Universidad Politcnica de Quintana RooMayra Estephania Zi Chi

FSICA

Investigacin:TEORA DE ERRORESMETODOS DE MEDICIN DE ERRORESPROPAGACIN DE ERRORES

Grupo IB-1A

Profesor: Jess Manuel Ortega De Len

Alumno: Mayra Estephania Zi Chi

TEORA DE ERRORES

Todas las ciencias son, en mayor o menor grado, ciencias experimentales. La nica excepcin son las Matemticas y tambin la fsica en la medida en que est lo suficientemente matematizada. Por otro lado, las ciencias experimentales estn basadas en la medida, en la determinacin cuantitativa de observaciones o experimentos. De aqu pues la enorme importancia de la medicin para la ciencia en general.

Sabemos que medir, directa o indirectamente, consiste siempre en comparar dos magnitudes, la que queremos medir y la que hemos adoptado convencionalmente como patrn de medida. El caso es que cualquier medida es indefectiblemente una medida inexacta. En el mundo macroscpico esto podra aducirse a una posible imperfeccin en los aparatos de medida. Sin embargo, la incertidumbre en una medicin es una ley de la naturaleza que se pone de manifiesto de manera tcita cuando nos sumergimos en el mundo de las partculas microscpicas, en donde este fenmeno se evidencia de forma precisa con el principio de incertidumbre de Heisenberg. Segn dicho principio, no podemos obtener el valor exacto de una medicin, sino la probabilidad de que dicha medicin se encuentre en un determinado rango de valores. En cualquier caso, ya sea en el mundo microscpico o macroscpico, debemos tener siempre presente la imposibilidad de una medicin exacta, que en el primer caso llamaremos incertidumbre y en el segundo error.

Cuando llevemos a cabo una medicin deberemos tener pues en cuenta tres parmetros, que son un nmero, una unidad de medida y un error.

Antes de continuar hay que sealar que existen una serie de fallos en las mediciones que no se pueden considerar errores en el sentido en que tratamos aqu este trmino. Si estamos calculando una longitud en metros y nuestro aparato de medicin utiliza unidades inglesas de medida lgicamente vamos a equivocarnos. O si el aparato de medida es defectuoso, tambin, pero el error introducido siempre ser el mismo, motivo por el que este tipo de errores reciben el nombre de errores sistemticos y no son objeto de estudio matemtico. Frente a stos estn los errores debidos a causas imprevisibles o desconocidas en las que de alguna

forma interviene el azar, por lo que, en muchos textos, reciben el nombre de errores aleatorios.

Errores sistemticos

Son errores que se permiten a lo largo del experimento, siendo su influencia de una nica forma ya sea por exceso o bien por defecto. Las fuentes ms comunes de error sistemtico son:

A) Por calibracin del instrumentoB) Por condiciones experimentales inadecuadasC) Por tcnicas imperfectas de medicinD) Por el uso de frmulas incorrectasE) Por error del paralaje

Error absoluto y error relativo

Cuando se deja constancia de los resultados de una medicin, conscientes de que en la mayora de los casos pueden haber intervenido diversas fuentes de error, se suele asociar al resultado un trmino complementario que indique el grado de precisin de la medicin. Dicho trmino suele adoptar dos formas diferentes, el error absoluto (Ea) y el error relativo (Er). El primero se define como la diferencia, en valor absoluto, entre el resultado de la medicin M y el verdadero valor de sta, V:

Ea = |M V|

Y el error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero:

Er = Ea / V

Sabemos que el valor de V es inaccesible a la medicin, por lo que estas frmulas slo tienen valor en un contexto puramente matemtico.

Cifras significativas

Cuando nos dicen que una cierta distancia ha sido medida con un error de 0,6 m, tenemos garantizado que el error cometido es dcimas de metro, por lo tanto si el resultado de la medicin es 3.456,375 m nos estn dando dos cifras superfluas, ya que el 7 y el 5 nos proporcionan datos sobre los centmetros y los milmetros que en dicha medicin no tienen significado. En general no lo tienen aquellas cifras que ocupan una posicin posterior a la que indica el orden de error cometido. En una medicin de tiempo hecha con una precisin de minutos no tendran pues tampoco ningn significado las cifras que hicieran referencia a los segundos o a las dcimas de segundo, etc. Son por tanto cifras significativas aquellas que ocupan una posicin superior o igual al orden o posicin del error y se llaman as porque son las que tienen un significado, en el sentido de que proporcionan una informacin til en la medicin.

Es importante, cuando se hace una medicin, que en el resultado final se evite poner las cifras que no son significativas para evitar una posible fuente de errores.

Redondeos

Supongamos que tenemos un termmetro en el que en las indicaciones del fabricante figura que el error en la medicin es de 3 dcimas de grado. Hacemos una medicin de temperatura y anotamos el resultado:

38,345

Es obvio que es una forma incorrecta de dar el resultado de la medicin, porque estamos incluyendo decimales que nada aportan a la misma, ya que el 4 y el 5 estn ocupando una posicin que es menor del error cometido. Si se trata de un termmetro de precisin, el fabricante especificar la cuanta del error poniendo, por ejemplo, con lo que la forma correcta de expresar la medicin sera:

De manera que un primer criterio, cuando hacemos un redondeo, es prescindir de aquellas cifras que no aportan ninguna informacin, porque el error que contiene es mayor que el significado de dichas cifras.En el caso en que el resultado de la medicin hubiera sido 38,375 lo correcto habra sido expresar el resultado en la forma:

O simplemente: 38, 4

Esto es lo que se llama hacer un redondeo, que consiste bsicamente en la eliminacin de cifras. Qu criterios suelen seguirse para hacer un redondeo? Son de sentido comn y se reducen a las tres siguientes reglas:

1.- Una cifra que es menor que 5 se elimina, sin ms consecuencias.

2.- Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la cifra anterior.

3.- Cuando la cifra a eliminar es justamente 5 hay dos posibilidades: si la cifra anterior es par se deja tal y como est y si es impar se aade una unidad.

Veamos algunos ejemplos:

Redondear 4,573 a tres cifras significativas es poner 4,57. Si el nmero hubiera sido 4,579, el resultado hubiera sido 4,58.

La tercera regla se aplicara de la siguiente forma: 4,575 se redondea a 4,58 y 4,565 se redondea a 4,56.

El criterio para establecer la tercera regla consiste en considerar que la mitad de las veces se redondear por defecto y la otra mitad por exceso, compensndose as los errores en el cmputo general.

En el redondeo hay que tener en cuenta el tipo de notacin utilizada, ya que cuando se trata de nmeros grandes los redondeos se hacen a base de sustituir las cifras eliminadas por ceros. Por ejemplo, el nmero 5.386 se redondea dejando una sola cifra significativa escribiendo 5.000, pero

escribindolo con la notacin exponencial 5103, ya que de la otra forma no acabara de quedar muy claro si los ceros son cifras significativas o no. De manera que en 5103 slo el 5 es cifra significativa, mientras que en 5.000103 los tres ceros tambin son cifras significativas.

Exactitud y precisin

La exactitud y la precisin son dos conceptos de la Teora de Errores que ataen a los aparatos de medida y que a menudo se confunden uno con otro. Imaginemos que hacemos una serie de disparos con un arma de fuego sobre una diana. Si se trata de un arma precisa (un rifle de precisin), los disparos estarn agrupados entre s. Si adems la mira est bien calibrada, se podr hacer puntera y colocar el mximo nmero posible de disparos en la diana. En las cuatro dianas de la figura podemos observar las diferentes situaciones: en la 1 no hay ni precisin, ni exactitud; en la 2 hay exactitud, pero no precisin; en la 3 hay precisin, pero no exactitud; y en la 4 hay ambas cosas.

Para entendernos, un cronmetro que sea capaz de medir centsimas de segundo pero que retrase cinco minutos en cada hora es ms preciso que nuestro reloj de pulsera, pero menos exacto.

Errores de peso

Est comprobado estadsticamente que la bscula de bao es uno de los utensilios domsticos que menos se utilizan. Las personas sin problemas de peso porque ni se acuerdan de que la tienen y las que padecen problemas de sobrepeso, porque prefieren no ver lo que est pasando. El resultado es que se produce lo que en Teora de Errores es conocido como el error del cero, que aparece cuando el aparato de medicin no es utilizado durante un largo lapso de tiempo y como consecuencia la aguja no seala correctamente el cero de la escala. Esto se palia con un pequeo botoncito que los fabricantes suelen poner para ajustar peridicamente la escala.

MTODOS DE MEDICIN DE ERRORES

Error cuadrtico medio

Concluimos que la determinacin del mejor valor para la magnitud que estamos midiendo es el promedio matemtico de las Vmi medidas realizadas. El siguiente problema a resolver es cmo informamos de las incertezas o desviaciones cometidas en el proceso de medicin. Para ello vamos a calcular el error del promedio. Con ello queremos acotarlo en funcin de las mediciones realizadas.

El error cuadrtico medio de cada medicin es:

Observamos que hemos obtenido una expresin que nos informa del error promedio de cada medicin, que aunque aumente el nmero de ellas,

tanto el numerador como el denominador, estn afectados proporcionalmente, por lo que resulta independiente del nmero de mediciones realizadas. Por otro lado, nos da la calidad o precisin de la medicin realizada, como consecuencia de la construccin de su expresin. Si su valor es grande, las mediciones efectuadas se desvan bastante del Vm , caso contrario sucede con un valor ms pequeo.

Error cuadrtico medio del promedio

Podemos plantearnos ahora el problema de acotar el error del promedio, para ello calculamos elerror cuadrtico medio del promedio:

Observemos que a medida que aumente m, E disminuir, es decir podemos acotar el mejor valor. Esta ltima expresin nos da un intervalo de incerteza de nuestra medicin. Por clculos que no desarrollaremos en este breve trabajo, la certeza de encontrar el valor verdadero en el intervalo mencionado, es de un 63,8%.

Estamos en condiciones ahora de expresar el resultado del proceso de medicin como

V =VmE

MTODO DE LOS CUADRADOS MNIMOS

El proceso de acotacin mencionado en el prrafo anterior, comienza con la compensacin de los errores que se cometen en cada medicin disponible. Otra consideracin que podemos realizar es que las magnitudes puedan estar relacionadas en forma lineal. Con estas dos condiciones podemos suponer que:

la relacin entre las magnitudes X e Y medidas estn relacionadas con la expresin:Y = a X + b

1. la expresin de a y b est dada por:

y para una recta que pasa por el origen, la expresin esY = a XDonde

PROPAGACIN DE ERRORES

EnEstadstica, lapropagacin de errores(opropagacin de incertidumbre) es el efecto devariablesdeincertidumbre(oerrores) en la incertidumbre de unafuncin matemticabasada en ellos. Cuando las variables son los valores de mediciones experimentales tienen incertidumbre debido a la medicin de limitaciones (por ejemplo, instrumento de precisin), que se propagan a la combinacin de variables en la funcin.

En muchos casos podr plantersenos el problema de acceder a mediciones de ciertas magnitudes a travs de otras en forma indirecta, ya sea por no poseer los instrumentos adecuados o por slo poseer una expresin matemtica a travs de la cual se la define cuantitativamente. Tal es el caso del volumen de un cuerpo q travs de las longitudes de sus aristas, o el caudal de un ro a travs del volumen por minuto de agua que circula, etc.

Reflexionando podemos concluir que el Vm de la medicin indirecta depender de los valores promedios o mejores valores de las magnitudes que se miden en forma directa.

Para facilitar el proceso de acotacin de los errores ejemplificaremos con:

a) Si V = A + B entonces EV = EA + EBb) Si V = A . B entonces ERV = ERA ERBc) Si V = A/ B entonces ERV = ERA + ERBd) Si V = An entonces ERV = n ERA

Ocurre que al medir las distintas magnitudes directas, no todas son medidas con el mismo nmero de cifras significativas. En este caso, se tomar como criterio determinar el orden del error de la magnitud indirecta como aquella del orden de la menor nmero de cifras significativas. Para ello se realizar el redondeo correspondiente.

La incertidumbre es normalmente definida por elerror absoluto. La incertidumbre tambin puede ser definida por elerror relativox/x, que usualmente es escrito como un porcentaje.

Ms comnmente, el error en una cantidad,, est dado por ladesviacin estndar,. La desviacin estndar es la raz cuadrada positiva de lavarianza,. El valor de una cantidad y su error son, a menudo, expresados como.

Si ladistribucin de probabilidadestadstica de la variable es conocida o puede ser asumida, es posible derivar elintervalo de confianzapara describir la regin dentro de la cual el valor verdadero de la variable puede ser encontrado. Por ejemplo, el intervalo de confianza de 68% de una variable perteneciente a unadistribucin normales una desviacin estndar del valor, esto es, existe un 68% de probabilidad que el valor verdadero se encuentre en la regin. Si las variables estncorrelacionadas, entonces lacovarianzadebe ser tomada en cuenta.

Combinaciones lineales

Seaun conjunto dekfunciones que son combinaciones lineales devariablescon coeficientes de combinacin.

y sea lamatriz de covarianzaen x denotada por.

Entonces, la matriz de covarianaza, defest dada por

Esta es la expresin ms general para la propagacin del error de un conjunto de variables a otro. Cuando los errores enxno estn correlacionados, la expresin general se simplifica a

Obsrvese que, incluso aunque los errores enxpuedan estar no correlacionados, sus errores enfsiempre lo estn. Las expresiones generales para una funcin simple,f, son un poco ms sencillas.

Cada trmino de covarianza,puede ser expresado en trminos delcoeficiente de correlacinpor, con lo que una expresin alternativa para la varianza defes

En el caso que las variablesxestn no correlacionadas, esto se simplifica ms an a

Advertencias

La estimacin de errores para funciones no lineales est sesgada debido al uso de series de expansin truncadas. La extensin de este sesgo depende de la naturaleza de la funcin; por ejemplo, el sesgo en el error calculado para log x se incrementa si x aumenta, dado que la expansin de 1+x es una buena aproximacin solo si x es pequea.

En aplicaciones de data correspondiente, es a menudo posible asumir que los errores de medida no estn correlacionados; sin embargo, los parmetros derivados de estas mediciones, tales como parmetrosMnimos cuadrados, estarn correlacionados. Por ejemplo, en unaregresin lineal, los errores en la pendiente y la intercepcin estarn correlacionados y esta correlacin debe ser tomada en cuenta cuando se derive el error en un valor calculado.

En el caso especial de la inversadonde, la distribucin es unadistribucin de Cauchyy no hay una varianza definible. Para talesdistribuciones de ratio, puede haber probabilidades definidas para intervalos que pueden ser definidos o bien por simulacin Monte Carlo o, en algunos casos, usando la transformacin Geary-Hinkley.