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8/18/2019 teoria, calculo matematico basico.doc

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1.- LOS NUMEROS ENTEROS

Son números enteros los números naturalesPueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-)

Si un número aparece entre barras /5/, significa ue su valor absoluto es un número enteroal cual se le !a eliminado el signo" /-5/ # 5 /+5/ # 5

Si dos números enteros tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo se les llamaopuestos"

(-$) # $ (+$) # (-$) %a suma de un número entero y su opuesto siempre es &"

1.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Para saber si un numero es divisible por otro, basta efectuar la operaci'n y ver si es o noeacta, pero es mas c'modo tener criterios ue nos permitan con un solo golpe de vista opor medio de un breve calculo, saber si un numero es divisible por otro

UN NUMERO ESDIVISIBLEPOR

SI

2 %a cifra de las unidades es par3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de $9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 5 Si la cifra de sus unidades es & o 5

10 Si la cifra de las unidades es &

11Se suman las cifras del lugar par por un lado y las del lugar impar porotro* si la diferencia es &, , o múltiplo de , es múltiplo de

5 # (5 + ) . ( + ) # & luego es múltiplo de

2.- OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

%os números son los números positivos y los números negativos

Primero !ay realiar las operaciones ue est0n entre par1ntesis, a continuaci'n lasmultiplicaciones, luego las divisiones, despu1s las sumas y por último las restas" Si no sesigue este orden los resultados pueden ser err'neos"

2.1.- SUMAR Y RESTAR

Para sumar un número positivo y otro negativo el resultado es el mismo ue si restamos delnúmero positivo el negativo"

(+5) + (-) es lo mismo ue 5 . # "

Para restar un número negativo es la operaci'n inversa, es decir, se suma

(+2) - (-$) # 2 + $"

A.- Suma:

- Nm!"#$ %#& '(ua) $'(: 3l resultado es la suma de los valores absolutos de los dosnúmeros, con el mismo signo"

(+5) + (+) # (+) (-$) + (-4) # (-)

- Nm!"#$ %#& *'$+'&+# $'(: 3l resultado es la resta de sus valores absolutos y el signocorrespondiente al número con mayor valor absoluto"

(+) + (-$) # (+) (+5) . (- ) # (-$) (-5) + (+2) # (-$) (-5) + (+$5) # - &&

66666666666666666666NORMAS DE CALCULO MATEMÁTICO BASICO 6666666 PAG. 1


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B.- R!$+a:

7n signo delante de un par1ntesis cambia el signo de lo ue !ay dentro de este"Se suma al minuendo el opuesto del sustraendo"

(+$) . (+) # (-) (-$) . (-) # (+)(+$) . (- ) # (+) (-$) . (+) # (-)

2. 2.- MULTIPLICACI,N

3l signo de multiplicar se puede escribir de varias formas: con un aspa (5 2), con un punto(5 " 2), últimamente por utiliaci'n en inform0tica con un asterisco (5 8 2)

Se multiplican los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado" 3l signoviene dado por las tablas siguiente"

39emplo: (+) (-2) (- ) # (+)

%a multiplicaci'n de un número positivo y otro negativo, el resultado siempre ser0 negativo"

- -m0s por menos # menos - -menos por m0s # menos

/ /-2 -1.

%a multiplicaci'n de un número negativo y otro negativo, el resultado siempre ser0 positivo"

m0s por m0s # m0s

- - menos por menos # m0s

/-1 /-1 /1

3.- DIVISI,NSe dividen los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado" 3l signo vienedado por las tablas siguientes"

39emplo" (+2&) : (-2) : (-5) # (+2)

%a divisi'n de un número positivo entre otro negativo o a la inversa siempre es negativo* esdecir ue la divisi'n entre números de distinto signo siempre ser0 negativo

: - -m0s entre menos # menos

- : -menos entre m0s # menos

/20: /-2 /-10

Si dividimos un número negativo y otro negativo, el resultado siempre ser0 positivo"%a ivisi'n entre números del mismo signo siempre ser0 positivo

: +m0s entre m0s # m0s

- : - +menos entre menos # m0s

/-10: /-5 /2.

(+5) (+) # (+&) (+&) : (+5) # (+)(+5) (-) # (-&) (+&) : (-5) # (+)(-5) (+) # (-&) (-&) : (+5) # (-)

(-5) (-) # (+&) (-&) : (-5) # (+)



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2.- LOS NUMEROS DECIMALES

%os números decimales tienen dos partes: 4a"+! !&+!"a y 4a"+! *!%'ma), separadas poruna coma"

a) 4a"+! !&+!"a o números enteros los ue uedan a la iuierda de la comal

b) 4a"+! *!%'ma): o números decimales los ue uedan a la derec!a de la coma

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES:

Suma R!$+a *! &m!"#$ *!%'ma)!$: %os números decimales se suman y se restancomo los enteros, manteniendo la coma en la misma posici'n para todos los sumandosy el resultado"

&,&$5

, + 4,$4

5,&4

4,&- ,$

,;4

A.- SUMA:

Se colocan las comas deba9o de las comas, uedando en la misma columna las unidades delmismo orden"Se suman igual ue los números naturales"

&, + &,2 # ,4 ,5 + 5, + &,4 # 4,44

B.- RESTA:

"

4,(&) . 5,$5 # ,&5 &,25 . &, # &"

C.- MULTIPLICACI,N:

3n la suma y resta de número decimales !ay ue cuidar de ue las comas ue separan losenteros de los decimales y las unidades de un mismo orden vengan unas deba9o de otras*esto en la multiplicaci'n no es necesario

Se multiplican como si fueran enteros y en el resultado se coloca la coma tantos lugares!acia la iuierda, como cifras tiene la parte decimal de ambos números"

$,4 2,4 # 5,& 5,25 5 # 4,25?ultiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros:

Se desplaa la coma tantos lugares !acia la derec!a como ceros tenga la unidad (si no !aysuficientes cifras se a@aden ceros)"

&,$$ &&& # $$& &,25 & # 2,5

$,

,$ 52

4,$

%os números decimales se multiplican como si fueran enteros y terminada laoperaci'n se separaran tantas cifras decimales en el resultado como tengan elmultiplicando mas el multiplicador"

3l multiplicando $; tiene un solo decimal y el multiplicador ;$ tiene tambi1n decimal" Por lo tanto, el numero resultante debe tener + #2 decimales"



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D.- DIVISI,N: %a$#$

1.- D'6'*'" u& &m!"# *!%'ma) !&+"! u& !&+!"#: Se dividen igual ue si los dos númerosfueran enteros, separando despu1s en el cociente tantas cifras decimales como tiene eldividendo"A dic!o de otra forma: al ba9ar la primera cifra decimal se pondr0 una coma en el cociente

&,5 : $ # $,5$ 4,2 : # 4,&$

2.- D'6'*'" u& &m!"# !&+!"# !&+"! u& *!%'ma) : Se trasforma el decimal en entero* sea@ade al entero tantos ceros como cifras tenga el número decimal y asB desaparecen lascomas"

& : $,2 # && : $2 # 2,5 2& : &,5 # 2&&: &"5 # &

$25 : &; # $25& 666 &5 2;5 & 2&

Cntes de comenar la operaci'n convertimos en entero el divisor, poniendo en el dividendotantos ceros como cifras decimales tenga el divisor y uitamos la coma de este"

espu1s es una divisi'n de números enteros" Por lo tanto, la divisi'n $25 : &; es la mismaue $25& : " ya ue !emos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo número: &"

3.- D'6'*'" u& &m!"# *!%'ma) !&+"! #+"# *!%'ma): Se a@ade tanto al dividendo como aldivisor tantos ceros como sean necesarios, para igualar el número de cifras decimales, seelimina la coma y se opera como si fueran enteros"

, : &,&2 # ,& : &,&2 # 2& 5,$5 : $,2 # 5,$5 : $,2&& # ,4

Denemos ue igualar con ceros las cifras decimales y despu1s uitar la coma decimal,operando como si se tratara de números enteros" 3l dividendo 2;$ tiene decimal y eldivisor tiene decimales"

2;$ : &;&&$$ # 2$&&& : $$

Para ue el divisor resulte un número entero desplaamos la coma del dividendo y del divisor veces" Cl número 2;$ desplaamos la coma un lugar y le a@adimos $ ceros, resultando2$&&&" 3l divisor resulta $$"

3n realidad, !emos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo número: &"&&&"

.- D'6'*'" 4#" )a u&'*a* $!(u'*a *! %!"#$: esplaamos la coma tantos lugares !acia laiuierda como ceros tenga la unidad ( si no !ay suficientes cifras se a@aden ceros)"

2,$5 : &&& # &,&&2$5 $2,5 : && # ,$25 4;&5 : && # &;&4&5

Si dividimos un número decimal por la unidad seguida de ceros el resultado es el númerodecimal con la coma trasladada !acia la iuierda tantos lugares como ceros tenga el divisor"

&;&4&5 resulta de trasladar 2 lugares la coma, ya ue && contiene dos ceros



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3.- NUMEROS MI7TOS

Son la suma de un número natural y una fracci'n (ser0 sobreentendido el signo de la sumara'n por la ue se prescinde de 1l )"

$/ # $+/

Si se uiere epresar como fracci'n se multiplicar0 el denominador por la parte entera y sele sumar0 el numerador" $ E # $/

C la inversa, si se uiere epresar un número racional en forma de número mito" Fastar0con dividir el numerador entre el denominador e indicarlo asB:

25/ # 25: # $(cociente) y de resto # 3n forma de número mito: $ /

8a))a" 1 32

3l primer t1rmino de esta suma es un número mito" Gonsiste en la suma de un númeronatural y una fracci'n, 4 + H

Para pasarlo a fraccionario se aplica la definici'n de suma, asB

4 # 4 + # 4 + # ( 4 2 ) + # $ 2 2 2 2 2

A multiplicamos el número entero por el denominador y al resultado se le suma elnumerador" 3l denominador se mantiene"

4 # 4 2 + # $ 2 2 2

3l resto de la suma se realia como la suma de fracciones ue es

$ + $ # ($ 2 ) + $ # 2/2



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.- NUMEROS RACCIONARIOS

Iúmero fraccionario es el ue epresa una o varias partes de la unidad dividida en ciertonúmero de partes iguales"

3l número fraccionario tiene dos partes:

• Num!"a*#" (número de partes ue contiene una fracci'n)• y *!m'&a*#" (número de partes iguales en ue se divide la unidad) "

R!()a 1 : LAS DISTINTAS RACCIONES DE UN TODO DEBEN DE SUMAR 1

Si un negocio es de $ socios y dos de ellos poseen $/5 y /&, respectivamente, entre estosdos poseen $/5 + /& # /&

Por lo tanto el tercer socio tiene los $/& ue faltan

REPARTOS PROPORCIONALES

3n los repartos proporcionales, las distintas fracciones en ue se parte el total , adem0s deser proporcionales a los valores ue se se@ale, deben de sumar

Jalores a, b, c """"" Suma a + b + c +"""""" # S

Kracciones a/S , b/S, c/S """"" Suma a ; % ... S 1S S S S

OPERACIONES CON RACCIONES:

A.- SUMA Y RESTA :

• Suma # "!$+a *! "a%'#&a)!$ %#& '(ua) *!m'&a*#": Se suma o restan losnumeradores y se de9a el mismo denominador"

/ + 4/ # / / . $/ # /

Se $uma& los numeradores y se de9a el mismo denominador:

Se "!$+a& los numeradores y se de9a el mismo denominador:

Guando !ay ue sumar o restar m0s de dos uebrados con el mismo denominador, se de9a elmismo denominador y se suman o restan todos los numeradores"

numerador 5 + $ - + 2 #denominador

3n este caso se trata de sumar y restar fracciones de igual denominador" %a fracci'nresultante de esta operaci'n tendr0 el mismo denominador, siendo su numerador el resultadode sumar y restar los numeradores de las cuatro fracciones dadas"Iumerador # 5+$-+23l denominador ser0 el mismo ue en las fracciones anteriores" "3n consecuencia, el resultado de la operaci'n ser0: 4/


$

+ #$

5 5

$

5 5+ #

$ +

5#

5

- # $

5 55 5- #

- $

5#

5


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%a Suma o restas de fracciones cuyos denominadores sean primos entre sB: Se multiplicanlos denominadores para !allar un denominador común y luego, se multiplica el numerador dela primera fracci'n por el denominador de la segunda y se suma y resta a la multiplicaci'ndel denominador de la primera fracci'n por el de la segunda"

$/5 + / # ($$+$5) / 55 # 4/55

5/$ . 2/5 # (25 . 4) / 5 # /5

• Suma "!$+a *!


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B.- MULTIPLICACI,N : Se multiplican numeradores por un lado y denominadores por otro"

%os uebrados se mu)+'4)'%a& multiplicando en paralelo:

Para multiplicar cuando !ay m0s de dos uebrados, no !ay problema ya ue al ser enparalelo se pueden realiar todos de una ve"

39emplo: 3 2 5 3 2

Se multiplicar los numeradotes entre si y los denominadores entre sB"

$ 2 5 # $&, y $ 2 # 2" 3l resultado es $&/2 # 5/

Se divide numerador y denominador por (4), para reducir al m0imo la fracci'n"

C.- DIVISI,N: Se multiplican en cru"

3 : 5 3

%a divisi'n es la operaci'n inversa a la multiplicaci'n" Para resolverla se multiplicar0 laprimera fracci'n por la inversa de la segunda

3s decir, $/5 $ / y el resultado es /2&

%os uebrados se *'6'*!& multiplicando en aspa:

4/ : /5 # $&/

Guando !ay ue dividir m0s de dos conviene dividir los dos primeros y luego el resultadodividirlo por el tercero, el resultado dividirlo por el cuarto y asB sucesivamente"

Kracci'n decimal: Kracci'n cuyo denominador es la unidad seguida de ceros" $/&/&&&

7na fracci'n decimal se puede escribir como un número decimal"

&, # /& /&&&& # &,& /&&& # &,&&

e a!B ue cuando tengamos ue realiar una operaci'n como:

23:0=01 # 2$: /&& # 23 100


$

5 2 # #

$

5 2

$

5 2#

2

&# ,2

5 2

$

5 2: # : #

$ $ 2

5 #

4

2&# &,$


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5.- POTENCIAS

%lamamos potencia de base =a> y eponente =n> al producto de =n> factores iguales a =a>"

;a$! E4#&!&+!

53 555

- Si una potencia tiene base negativa el resultado podr0 ser: 22 # 2$ #

Positiva si el eponente es par: (-2)2 # Iegativa si el eponente es impar: (-2)$ # -

- Dener en cuenta ue .$2 # -($$)# - no es igual a (-$)2 # (-$) (-$)#

a >& 1? a& a m . a & a m & am a m - &

a

&

/a . ; & a& . ;&

/a . ; . % & a & . ; & . % &

/ am & a m.& /a?; & a & ? ; &

/ a : ; & a & : ; &

a ;@ a& ;& a0 1 / a ; 2 a2 ;2 2a;

/a ; . /a > ; a2 - ;2

OPERACIONES CON POTENCIAS

A.- SUMA Y RESTA:

Se calcula cada una de ellas por separado - 22 +5$-$2 # +25- # 2&

22 23 22 20

%a suma de potencias, al igual ue la resta, no presenta ninguna propiedad" Por esto sedeben de !allar las potencias independientemente y luego sumarlas o, en su caso" restarlas"

Gualuier número, positivo o negativo, elevado a la potencia cero dar0 como resultado uno"

20 1.

B.- MULTIPLICACI,N CON IUAL BASE

3s otra potencia con la misma base y el eponente igual a la suma de los eponentes"

33 32 35 /-22 /-23 /-223 /-25

35 32 33 310

C.- DIVISI,N DE IUAL BASE

Potencia con igual base y eponente la diferencia de los eponentes"

: 3 1 /-33 : /-32 /-31 /-3

: 2: 5



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.- RAICES

de un número =a> ser0 otro número =b> ue elevado a =n> es igual a =a>" &*'%! RaF

&

a # ; ;& a

Ra*'%a&*# SINO DE UNA RAG

1.- Ra*'%a&*#4#$'+'6#

ndice par dos soluciones5 5(-5) (-5)

ndice impar raB positiva

2.- Ra*'%a&*# &!(a+'6# ndice par: no tiene soluci'n

ndice impar raB negativa

A.- RAG DE UNA RAG:

Se multiplican los Bndices y el radical ser0 en mismo"

B.- POTENCIA DE RACES:

Se eleva el radicando a dic!a potencia

C.- MULTIPLICACI,N DE UN NÚMERO POR UNARAG:

3s otra raB con el mismo Bndice y el radicando ser0 elproducto del radicando y el número ue multiplicaelevado al Bndice

D.- PRODUCTO DE RACES:Si tienen igual Bndice se mantiene el Bndice y semultiplican los radicandos

E.- DIVISI,N DE RACES: Gon igual Bndice se

mantiene el Bndice y se dividen los radicandos

.- SIMPLIICAR UNA RAG:

Poner la raB en forma potencial

.- RAG DE NÚMEROS DECIMALES:

La raB de un número decimal, se etrae como si el número fueraentero y en el número ue se obtiene, se separan tantas cifras!acia la derec!a, como indiue el cociente entre la cantidad decifras decimales ue tenBa el número dado y el Bndice de la raB

%a


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.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

May $ m1todos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos inc'gnitas

1.- MHTODO DE SUSTITUCI,N

?uy útil cuando una de las inc'gnitas tiene coeficiente o . en alguna de las ecuaciones

S! *!$4!a u&a '&%J(&'+a !& u&a *! )a$ !%ua%'#&!$ $! $u$+'+u! !& )a #+"aSe obtiene asB una ecuaci'n con una inc'gnita"

3 > 5 1 15 > 2 $( 5 . 2y) . 5y # y # * #

2.- METODO DE IUALACI,N

Se utilia cuando ya aparece despe9ada una misma inc'gnita en ambas ecuaciones"

S! *!$4!a )a m'$ma '&%J(&'+a !& )a$ *#$ !%ua%'#&!$ $! '(ua)a& )#$ "!$u)+a*#$

3 > 5 1 @ 1 53

1 5 15 > 2 @ @ 3 2 15 * # 5 . 2y

3.- METODO DE REDUCCION

Se Cplica cuando una inc'gnita tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, o bien suscoeficientes son uno múltiplo del otro

Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números ue convenga), para ue una

de las dos inc'gnitas tenga el mismo coeficiente en ambas* CsB al restarlas desaparece esainc'gnita

$ + 5y # 4 * ( ) * 2 + 2&y # $&

. 2y # 4 * ( $) * 2 - 4y #

restando """"""""""""""""""""""""""" 24 y # 24 * L # * #

7na ecuaci'n es una operaci'n en la ue !ay una parte o dato ue desconocemos, ue vieneepresado por una letra o incognita"

3l planteamiento de la ecuaci'n siempre es a modo de igualdad: - 2 5

Q"- Poner todos los números ue acompa@an a la inc'gnita al mismo lado de la igualdad yel resto al otro7n número para cambiar de lado en la igualdad, pasa con el mismo valor absoluto perocambi0ndole el signo

a"- Si esta sumando en un lado pasa restando al otrob"- Si esta multiplicando en un lado de la igualdad pasa dividiendo y al reves

- 2 5

2Q"- 7na ve agrupados se realian las operaciones" 12

$Q"- espe9ar la inc'gnita, pasar ue est0 multiplicando al otro lado, y pasarlo dividiendo

# 2 por tanto # $



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Si repartimos 2& Euros entre dos amigos de forma que uno de ellos recibe triple cantidad que la otra, mas 8 Euros . ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?

Gantidad de uno -R al otro -R $ +

%a suma de las dos cantidades tieneue ser el valor a repartir"

+ $ + # 2& + $ # 2 # 2

# 2/ # 2

"- 2 3uros2"- 2 3uros

SISTEMAS DE ECUACIONES.

7n sistema de ecuaciones es un con9unto de ecuaciones en el ue !ay mas de una inc'gnita,es decir, mas de un valor desconocido"

$ + 5y # 2 - $y - &

Q"- espe9ar en una ecuacion una inc'gnita y sustituir esa inc'gnita en la otra ecuaci'n # & + $y

$ + 5y # 2 ------------ $( & + $y) + 5y # 2$& + y +5y # 2 y + 5y # 2 - $& y # - 2 y # - 2 y # -2

7na ve obtenido uno de los valores volvemos al valor de y sustituimos la y por su valornum1rico obteniendo asB el valor de "

# & + $ " (-2) # & - 4 -R #

39emplo: %os $2& empleados de una fabrica traba9an en tres secciones* 3n la secci'n !aytantos traba9adores como en la suma de los otras dos y la $T tiene & traba9adores menosue la 2T UGu0ntos traba9adores !ay en cada secci'nV"

# T secci'n* y # 2T secci'n # $T secci'n

%a T tiene tantos como las otras dos 9untas: # y +

%a $T tiene & menos ue la 2T : # y - &

Si todos son $2&: + y + # $2&

Denemos tres ecuaciones con tres inc'gnitas"

+ y + # $2& # y + # y . &

3n la $T ecuaci'n tengo el valor de , por lo ue sustituyo ese valor en la 2T ecuaci'n y en laprimera, uedando asB:

# y + y - &*

# 2 y . &

+ y + y . & # $2&

+ 2 y # $4&

C!ora !ay dos ecuaciones con dos inc'gnitas como en el e9emplo anterior"

+ 2y # $4& # 2y - &

Sustituyo de nuevo el valor de # 2y - & en la T ecuaci'n, uedando asB-2y . & + 2y # $4&2y + 2y # $4& + &

y # && ----- y # &&Si y # 5&" entonces # 2 " && - & -R # 4&Si + y + # 4&, entonces & + 5& + # 4&* # 4&



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1.- RELA DE TRES

%a regla de tres simple resuelve los problemas en los cuales se dan dos cantidades demagnitudes distintas y ue guardan entre sB una proporci'n directa o indirecta"

1.1..- RELA DE TRES DIRECTA

) Gompro 5 compactos por 2 euros ,Guanto cuestan 2 masV"

%a relaci'n entre el nQ de compactos y el precio total guarda una relaci'n directa, es decir, esdirectamente proporcional, ya ue a mayor número de compactos , mayor ser0 el precio apagar"

Planteamiento del problema:

5 compactos -------- 2 3uros2 compactos ------- UV

# 2 2 # 5,4 3uros5

D!;!"K 4a(a" 5= Eu"#$.

2) 7n alba@il 5& 3uros al mes por su traba9o" UGu0nto recibe si solo !a traba9ado 2 dBasV

%a relaci'n entre lo ue cobra y los dBas ue traba9a es directamente proporcional ya ue sitraba9a menos dBas cobra menos dinero"

$& dBas -R 5& 3uros "2 dBas -R

# 5& 2 # $&& 3uros" $&

P!"%';'"K 300 Eu"#$

1.2.- RELA DE TRES INVERSA

Para realiar un traba9o 2 especialistas tardan 2 dBas" UGu0nto tardar0n especialistasV

%a relaci'n entre el número de especialistas y el tiempo empleado es inversamenteproporcional porue a menos especialistas m0s tiempo tenemos ue emplear en !acer eltraba9o

2 especialistas --------- 2 dBas especialistas ---------

# 2 2 # $

Dardar0n $ dBas

2.- PORCENTAES

3l tanto por ciento

• Se representa con el sBmbolo W• Se calcula aplicando el concepto de regla de tres directa del apartado anterior"

$"- Supuestos :

C) Mallar el W de una cantidad

Si compro una moto por "$5& 3uros y me realian un descuento del 2W UGu0nto !e depagarV

&& - R "$5& 2 - # "$5& 2 #4 &&

Dotal del precio # "$5&$5& . 4 # 54&&* 3s lo ue tengo ueabonar



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F) Ios dan el W de una cantidad, calcular dic!a cantidad

$$ !ombres de un pueblo, est0n solteros y son el 4 W de los !ombres del pueblo" UGu0ntos!ombres !ay en totalV

4 -R $$ !ombres

&& -R

# && $$ # 55&

4

May 55& !ombres en el pueblo

G) ada una cantidad ue es un W de otra dada, calcular dic!o W

Una clase tiene una matrícula de 2! alumnos. "i faltan a clase #!, ¿Qué tanto por cientofalt$ a clase?

25& alumnos -R &&& alumnos -R

# && # 4 25

Kalt' el 4 W de los alumnos


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