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TEORIA AXIOMATICA DECONJUNTOS

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Renato A. LewinAuthor address:

Pontificia Universidad Catolica de Chile, Facultad de

Matematicas, Casilla 306 - Correo 22, Santiago CHILE.

e-mail: [email protected]

Indice

CAPITULO 1. Introduccion. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel 51. El Lenguaje Formalizado L 72. Los Axiomas de la Teorıa ZF . Conceptos Fundamentales 9

CAPITULO 2. Teorıa Elemental 171. Operaciones 172. Relaciones 233. Funciones 304. Relaciones de Equivalencia 405. Relaciones de Orden 44

CAPITULO 3. Ordinales 571. Numeros Naturales 572. Ordinales 643. Induccion Transfinita 704. Recursion 725. Funciones Normales 756. Ordinales y Buenos Ordenes 787. Aritmetica Ordinal 808. La Jerarquıa Acumulativa de Conjuntos 101

CAPITULO 4. El Axioma de Eleccion 1051. Equivalencias del Axioma de Eleccion 1052. Aplicaciones 111

CAPITULO 5. Cardinales 1171. Definiciones y Resultados Basicos 1172. Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos 1253. Aritmetica Cardinal 1294. Cardinales Regulares y Singulares 1445. La Hipotesis del Continuo 146

Bibliografıa 151

Glosario 153

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CAPITULO 1

Introduccion. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel

Este libro trata sobre los conjuntos. Intuitivamente un conjunto esuna coleccion (clase, agregado, conglomerado, etc.) de objetos, los quepertenecen a (forman parte de, son los elementos de, etc.) el conjunto.En toda teorıa axiomatica debemos partir de terminos que no podemosdefinir para no correr el riesgo de caer en un cırculo vicioso. Tal es elcaso de los conceptos de conjunto y pertenencia dentro de la Teorıa deConjuntos. Todas nuestras intuiciones descansan sobre la idea intuitivaque tengamos sobre estos conceptos primitivos, sin embargo, para eldesarrollo de la teorıa no es necesario contar con estas intuiciones.

Una teorıa axiomatica es un modelo formal de una realidad quequeremos estudiar. Esta compuesta por axiomas, o sea, oraciones apartir de las cuales, usando solo reglas logicas, podamos obtener todaslas propiedades de aquello que queremos modelar. Los axiomas tratande establecer las caracterısticas y propiedades esenciales de los objetosque estamos tratando de describir en nuestro modelo. El ideal serıa enprimer lugar que los axiomas modelaran las intuiciones que tenemos dela realidad y en segundo lugar que la lista fuera completa, es decir, quetodas y solo aquellas propiedades de los objetos a describir se puedanobtener a partir de nuestra lista.

Diversas teorıas axiomaticas de conjuntos han logrado en mayoro menor grado el segundo de estos objetivos. El primero en cambio,obtener todas las propiedades de los conjuntos a partir de un sistemade axiomas, no se ha logrado. El motivo de esto es muy sencillo: nose puede. En efecto, los resultados obtenidos por el logico Kurt Godelalrededor de 1930, demuestran que es imposible dar una axiomatizacioncompleta de la Teorıa de Conjuntos. Lo mismo es cierto de otras teorıasmatematicas como la teorıa de numeros.

Lo anterior parece condenar nuestro proyecto al fracaso, sin em-bargo esto no es ası, solo nos advierte que el ideal es imposible. De he-cho numerosos matematicos han logrado establecer teorıas axiomaticasque, si bien no completas, son suficientes para construir en ellas casitoda la matematica. Estudiaremos una de ellas en estas paginas, asaber, la teorıa de Zermelo–Fraenckel, ZF , desarrollada a partir del

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trabajo de E. Zermelo el primero en proponer una teorıa en los primerosanos de este siglo.

Un conjunto esta definido por los objetos que contiene. Nuestraintuicion nos dice que a cada conjunto corresponde una propiedad, esdecir, aquello que caracteriza a sus elementos, por ejemplo al conjuntoformado por los numeros 1, 2, . . . , 99, le corresponde la propiedad “sernumero entero mayor que cero y menor que cien”. A la inversa, a todapropiedad le debe corresponder un conjunto, la coleccion de todos losobjetos que verifican dicha propiedad.

Temprano en el desarrollo de la teorıa de conjuntos se descubrioque esta intuicion conducıa a contradicciones y que debıa descartarse.A fines del siglo pasado, el matematico ingles Bertrand Russell diocon la siguiente paradoja. Consideremos el conjunto R definido por lapropiedad “un objeto pertenece al conjunto R si y solo si no pertenecea si mismo”. En sımbolos1

R = {x : x 6∈ x}.La pregunta entonces es ¿pertenece R a R?, o en sımbolos, ¿R ∈ R?.

Si la respuesta es afirmativa, entonces R verifica la propiedad que definea R, o sea, R 6∈ R. Si la respuesta es negativa, entonces, por definicion,R ∈ R. En cualquier caso obtenemos la contradiccion

R ∈ R↔ R 6∈ R .

La paradoja de Russell (y otras) nos dice que el concepto de “pro-piedad”es mas delicado de lo que suponemos y que definitivamente nodebe corresponder a lo que llamamos un conjunto. Debemos tomarmedidas para evitar que esta paradoja y ninguna otra se produzca ennuestra teorıa.

Sin embargo, la nocion de que a cada propiedad deberıa correspon-der la coleccion de objetos que la verifican o “extension”de la propiedad,tiene fuerte arraigo en nuestra intuicion. Algunos matematicos no hanquerido deshacerse de ella y han elaborado teorıas bastante complejas,que incluyen dos tipos de objetos, conjuntos y clases propias. Deci-amos antes que lo que caracteriza a los conjuntos es sus elementos ypor ende para poder afirmar que algo es un conjunto, es preciso ser ca-paz de determinar exactamente cuales son los elementos de dicho con-junto. Las clases son las extensiones de propiedades. Si esta pertenecea otra clase, entonces decimos que es un conjunto, si no, hablamos de

1Supondremos que el lector esta familiarizado con la terminologıa y simbologıaconjuntista pero lo prevenimos de que estos tendran un sentido muy preciso ennuestra teorıa y el que, a veces, difiere del popularizado en la ensenanza basica ymedia.

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una clase propia. Es decir, las clases propias son las extensiones deuna propiedad que de alguna manera son “demasiado grandes”, no laspodemos aprehender. Ejemplos de estas ultimas son la clase R definidaanteriormente o la clase V formada por todos los conjuntos (o claseuniversal).

En nuestra teorıa, ZF , no existen las clases propias, solo conjuntos.Esto implica que, por ejemplo, no podemos hablar de la clase R. Sinembargo, la situacion no es tan mala como parece. Si bien no podemoshablar de R, nada nos impide hablar de la propiedad x 6∈ x. Ası,aunque no podemos afirmar “a ∈ R′′ (porque R no existe dentro de lateorıa), podemos perfectamente decir a 6∈ a que significa lo mismo. Enotras palabras, si queremos hablar de una clase propia, en ZFdebemoshacerlo mediante la propiedad que la define.

La nocion de “propiedad” no la hemos definido pero de lo anteriorse desprende que es central en nuestro estudio. Vamos a continuaciona definir este concepto.

Como dijimos, una teorıa axiomatica se desarrolla a partir de cier-tos enunciados o axiomas mediante la aplicacion de reglas logicas. Porello, es fundamental que el lenguaje usado sea lo mas preciso posible.Esto se logra mediante la formalizacion del lenguaje. Solo aquellasexpresiones escritas en este seran aceptables en nuestra teorıa y repre-sentaran propiedades.

No es el proposito de este texto introducir al lector a la LogicaMatematica. Tampoco suponemos que este sepa logica mas alla de losconocimientos que se aprende en un curso universitario de Introduccional Algebra o similar. Cierta madurez matematica es desde luego nece-saria para mantener la fluidez de las demostraciones. Usaremos por lotanto un estilo semi formal el que, por un lado, es habitual en el temay por el otro, no apabulla al lector con un rigor tedioso y excesivo.

1. El Lenguaje Formalizado L

Un lenguaje formalizado esta constituido por un conjunto de sımbolosbasicos y por reglas que nos permiten formar expresiones mas compli-cadas a partir de esos sımbolos originales.

Los sımbolos de L seran:1. Variables: x, y, z,X, Y, Z, x1, x2, . . . , en general, las ultimas le-

tras del alfabeto latino, minusculas o mayusculas, con o sinsubındices. Su significado es el habitual en matematicas y surango son los conjuntos.

2. Constantes: a, b, c, A,B,C, . . . , en general, las primeras letrasdel alfabeto latino. Sirven para referirnos a conjuntos especıficos.

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3. Sımbolo de pertenencia: ∈4. Sımbolo de igualdad: =5. Conectivos logicos: ¬, ∨, ∧, →, ↔, es decir, los sımbolos ha-

bituales para la negacion, disyuncion, conjuncion, implicacion yequivalencia.

6. Cuantificadores: ∀, ∃, con su significado habitual.7. Parentesis: ( , ). Usados como signos de puntuacion.

Cualquier cadena finita formada por estos sımbolos es una expresiondel lenguaje, pero no toda expresion es aceptable o significativa. Soloaceptaremos aquellas a las que llamaremos formulas de L.

Una formula de L es una expresion de L construida como sigue:

1. X ∈ Y, X = Y son formulas de L para cualquiera dos variableso constantes X e Y no necesariamente distintas.

La primera se lee X pertenece a Y o bien Y contiene aX y la segunda X es igual a Y . Su significado intuitivo es elobvio. Estas se llamaran formulas atomicas.

2. Si ϕ y ψ son formulas de L , entonces tambien lo son (ϕ ∨ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ→ ψ), (ϕ↔ ψ).

Estas formulas corresponden respectivamente a la disyuncion,conjuncion, implicacion y equivalencia de ϕ y ψ.

3. Si ϕ es una formula de L , entonces ¬ϕ tambien es una formulade L .

La formula ¬ϕ corresponde a la negacion de ϕ . Tambienusaremos los sımbolos auxiliares X /∈ Y y X 6= Y para escribir¬(X ∈ Y ) y ¬(X = Y ), respectivamente.

4. Si ϕ es una formula de L y x es una variable, ∀xϕ, ∃xϕ sonformulas de L .

Estas se leen cualquier conjunto x verifica ϕ y existe (porlo menos) un conjunto x que verifica ϕ , respectivamente. Susignificado es tambien evidente.

Solamente aquellas expresiones obtenidas por la aplicacion de (unnumero finito de) estas reglas es una formula de L .

Si ϕ es una formula de L y x una variable que aparece en ϕ ,decimos que x aparece ligada en ϕ si su aparicion se produce bajola influencia de un cuantificador ∀x o ∃x. En caso contrario decimosque x aparece libre en ϕ . Por ejemplo, en ∀x x 6∈ y, la variable xaparece ligada pero y aparece libre y en ∃x(x ∈ y ∨ ∀z x ∈ z), lasvariables x y z aparecen ligadas e y aparece libre.

Una formula que no contiene variables libres se llama una oracion.Una oracion de L es siempre verdadera o falsa (¡pero puede ser que no

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seamos capaces de determinar cual de las dos se cumple!). Una oracionhace una afirmacion acerca de los conjuntos a los que se refiere, unaformula que contiene variables libres no hace ninguna afirmacion, perosi asignamos interpretaciones a sus variables libres, entonces sı estare-mos afirmando algo. A menudo escribiremos ϕ(x1, x2, . . . , xn) paradejar en claro que las variables libres de ϕ estan entre x1, x2, . . . , xn.

Como hemos dicho, solo aceptaremos formulas de L para hablar deobjetos y hacer afirmaciones en ZF . Sin embargo, la expresion en L deconceptos bastante sencillos puede resultar increiblemente complicada.Ası, aceptaremos abreviaciones que faciliten la lectura. Por ejemplo elconcepto de subconjunto se denota x ⊆ y se puede expresar en terminosde los sımbolos basicos de L mediante:

x ⊆ y ssi ∀z(z ∈ x→ z ∈ y).

Entonces, como ya sabemos que x ⊆ y puede escribirse en el lenguaje L,permitiremos el sımbolo ⊆ en nuestras formulas. Lo mismo sucederacon otros sımbolos. Mas aun, en general usaremos expresiones delcastellano y no su formalizacion en L para trabajar con el conceptointuitivo y no con la a menudo ilegible formula de L . Lo importantees que dicha traduccion sea posible para que, llegado el caso, podamoshacer una demostracion rigurosa de nuestras afirmaciones.

2. Los Axiomas de la Teorıa ZF . Conceptos Fundamentales

A1. Axioma de Extensionalidad:“Si todo elemento de X es un elemento de Y y todo elemento de

Y es un elemento de X , entonces X es igual a Y ”.Dicho de otro modo, si dos conjuntos tienen los mismos elementos,

entonces son iguales. Este axioma nos dice que lo que caracteriza a unconjunto son sus elementos.

En L , este axioma se escribe

∀X∀Y (∀z(z ∈ X ↔ z ∈ Y )→ X = Y ).

Definicion 1.1. Decimos que X es subconjunto de Y , en sımbolos,X ⊆ Y , si y solo si todo elemento de X es un elemento de Y . O sea,

X ⊆ Y ↔ ∀x(x ∈ X → x ∈ Y ).

Con esta definicion A1 puede escribirse mas abreviadamente

∀X∀Y (X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X → X = Y ).

A2. Axioma del conjunto vacıo:“Existe un conjunto que no contiene ningun elemento”.

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En L escribimos∃X∀x x 6∈ X.

Observemos que, en particular, este axioma garantiza que existe almenos un conjunto.

Lema 1.1. Existe un unico conjunto que no contiene ningun ele-mento.

Demostracion. Supongamos que existen dos conjuntos distintosa y b ambos sin elementos.

Por A1 ∃x((x ∈ a ∧ x 6∈ b) ∨ (x ∈ b ∧ x 6∈ a)), una contradiccion.Luego hay un unico conjunto vacıo.

Definicion 1.2. El (unico) conjunto que no tiene elementos sellama el conjunto vacıo y se le denota ∅ .

Observese que el sımbolo ∅ no es la letra griega ϕ .

A3. Axioma de Separacion:“Si ϕ(x) es una formula de L y X es un conjunto, entonces

existe un conjunto Y cuyos elementos son aquellos elementos de Xque verifican ϕ(x)”.

En L escribimos ∀X∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ (z ∈ X ∧ ϕ(x)).Este axioma nos dice que para cualquier propiedad (expresada por

ϕ(x)) y cualquier conjunto A existe el subconjunto de A formado porlos elementos que verifican esa propiedad. Obviamente este conjuntoes unico.

Definicion 1.3. Si ϕ(x) es una formula de L y A un conjunto,el conjunto cuya existencia esta garantizada por A3 se denotara con elsımbolo

{x ∈ A : ϕ(x)}y se lee “el conjunto de los elementos de A tales que ϕ(x)”.

Recordemos que la paradoja de Russell se produce al tratar de cons-truir el conjunto de todos los conjuntos que verifican una propiedadcualquiera ϕ(x). Este axioma limita nuestra capacidad de formarconjuntos de objetos que verifican una cierta propiedad, solo podemosreferirnos a aquellos elementos que perteneciendo a un cierto conjuntodado, verifican la propiedad en cuestion. Veamos que esta restriccionevita que se produzca la paradoja.

Para ello tratemos de formar la clase de Russell. Dado un conjuntoA , el axioma de extensionalidad nos permite formar el conjunto

R = {x ∈ A : x 6∈ x}.10

En este caso tenemos que si R ∈ R, entonces

R ∈ A y R 6∈ R,

lo cual es una contradiccion, luego R /∈ R, lo que, a diferencia de antes,no es contradictorio, solo implica que R /∈ A.

Teorema 1.2. No existe el conjunto de todos los conjuntos.

Demostracion. Supongamos que si existe y llamemoslo V . En-tonces en virtud de A3 podemos construir el conjunto de RussellR = {x ∈ V : x 6∈ x}, contradiccion.

Por ultimo, cabe destacar que este no es propiamente un axiomasino mas bien un esquema. En efecto, para cada formula ϕ(x) deL tenemos un axioma distinto, o sea, hay una cantidad ilimitada deinstancias de este axioma.

A4. Axioma de Pares:“Dados dos conjuntos X e Y , existe un conjunto cuyos unicos

elementos son X e Y ”.Su expresion en L es

∀X∀Y ∃Z ∀x(x ∈ Z ↔ (x = X ∨ x = Y )).

Resulta claro por A1 que este conjunto es unico. Lo denotamos

{X,Y }.

y lo llamamos el par no–ordenado X,Y .El axioma A1 tambien garantiza la existencia del conjunto cuyo

unico elemento es el conjunto X

{X,X} = {X},

el que a menudo recibe el nombre de singleton X .

A5. Axioma de Uniones:“Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto cuyos elementos

son los elementos de los elementos de X ”.En L escribimos

∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ X)).

Nuevamente por A1, este conjunto es unico, se llama la union deX y se le denota

⋃X.

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Un caso particular que merece una notacion especial es el siguiente.Si X e Y son conjuntos, entonces existe

⋃{X,Y }. (¿Por que ?)

Entoncesx ∈

⋃{X,Y } ↔ (x ∈ X ∨ x ∈ Y ).⋃

{X,Y } se llama la union de X e Y y se le denota X ∪ Y .Corresponde al conjunto de todos los conjuntos que pertenecen ya seaa X o a Y (o a ambos).

Mas generalmente, dados los conjuntos X1, X2, . . . , Xn de maneraanaloga al caso de la union de dos conjuntos, definimos

X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xn =⋃{X1, X2, . . . , Xn}.

de tal manera que

x ∈ X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xn ↔ x ∈ X1 ∨ x ∈ X2 ∨ · · · ∨ x ∈ Xn.

El lector seguramente esta familiarizado con el concepto de unionde dos o de una cantidad finita de conjuntos, el axioma A5 generalizaeste concepto a la union de una familia arbitraria, incluso infinita, deconjuntos. Observemos que para definir la union de dos conjuntos sonnecesarios el Axioma de Pares, el Axioma de Uniones y el Axioma deExtensionalidad (para garantizar unicidad).

Usando la definicion de union de dos conjuntos, podemos tambiendefinir triples no–ordenados

{x, y, z} = {x, y} ∪ {z}y, en general, iterando el proceso, podemos definir n–tuplas no–ordenadas{x1, x2, . . . , xn}.

Otra generalizacion de un concepto familiar es el de interseccion deun conjunto no–vacıo X , en sımbolos,

⋂X, definida por⋂

X = {x ∈⋃

X : ∀y(y ∈ X → x ∈ y)}.

Observemos que en virtud de A5 y de A3,⋂X es efectivamente un

conjunto. ¿Por que debemos exijir que X sea no–vacıo?La interseccion de dos conjuntos X e Y , X ∩ Y , se define por

X ∩ Y =⋂{X,Y }

y en general

X1 ∩X2 ∩ · · · ∩Xn =⋂{X1, . . . , Xn}.

En rigor, para definir x∩ y no necesitamos A5. ¿Como podrıamoshacerlo?

Diremos tambien que dos conjuntos X e Y son disjuntos si

X ∩ Y = ∅.12

A6. Axioma del Conjunto Potencia:“Si X es un conjunto, entonces existe el conjunto de todos los

subconjuntos de X ”.Esto es

∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ z ⊆ X))

(En rigor deberiamos excribir

∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ ∀u(u ∈ z → u ∈ X))

sin embargo, como la lectura de la formula se complica bastante yya sabemos como definir ⊆ usando solo ∈ y los sımbolos logicos,preferimos la escritura abreviada).

Creemos que este axioma se explica por sı mismo.El (unico) conjunto cuya existencia garantiza este axioma se designa

por PX y se llama el conjunto potencia de X .

A7 Axioma de Regularidad:“Todo conjunto no vacıo contiene un elemento con el que no com-

parte ningun elemento.”En L escribimos

∀x(x 6= ∅ → ∃y(y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅)).

A pesar de que no resulta evidente a partir de su formulacion, esteaxioma impide la existencia de un conjunto a tal que a ∈ a o inclusoa ∈ b ∈ a , o a ∈ c ∈ b ∈ a , etc. Como veremos en su oportunidad,intuitivamente este axioma dice que ∈ , considerada como una relacionentre conjuntos,verifica una condicion analoga a la del orden de losnumeros naturales, esta es, que todo conjunto no vacıo tiene un menorelemento.

Teorema 1.3. i) ∀x x 6∈ x.ii) ∀x ∀y(x 6∈ y ∨ y 6∈ x).iii) En general, no existen a1, a2, . . . , an tales que a1 ∈ a2 ∈ · · · ∈

an ∈ a1.iv) No existen conjuntos a1, a2, a3, . . . , an, . . . tales que

· · · ∈ an ∈ · · · ∈ a2 ∈ a1.

Demostracion. i) Supongamos que existe a tal que a ∈ a ,entonces A = {a} contradice a A7.

ii) Idem i) con A = {x, y}iii) Idem i) con A = {a1, a2, . . . , an}.iv) Supongamos que existe el conjunto cuyos elementos son precisa-

mente a1, a2, a3, . . . . Llamemoslo A . Entonces A contradice a13

A7 ya que para cualquier y ∈ A, digamos y = am para algunm , am+1 ∈ am y am+1 ∈ X, o sea y ∩X 6= ∅.

El problema entonces se reduce a verificar que existe tal conjuntoA . Sin embargo para poder hacerlo no bastan los axiomas que tenemoshasta ahora, necesitamos dos axiomas mas. La demostracion deberaposponerse hasta entonces. (Ver ejercicio 7.)

Aunque la mayor parte de las matematicas puede desarrollarse sinel axioma de regularidad es mas comodo contar con el.

A8. Axioma del Conjunto Infinito: “Existe un conjunto quetiene infinitos elementos”.

Para escribirlo en el lenguaje L debemos usar una expresion queno es muy transparente.

∃X(∅ ∈ X ∧ ∀y(y ∈ X → y ∪ {y} ∈ X).

Es claro que el conjunto ası formado es intuitivamente infinito, bastaverificar que contiene a los siguientes conjuntos

∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . .por supuesto que habrıa que demostrar ademas que todos estos con-juntos son distintos.

Para introducir el ultimo axioma de ZF , debemos estudiar antesun cierto tipo de formula de L . Una formula ϕ(x, y) de L con dosvariables libres x e y se dira funcion proposicional si para todo conjuntoa existe un unico conjunto b tal que ϕ(a, b) se verifica. Ejemplos deestas son las formulas ϕ(x, y) siguientes:

y = ∪x,y = Px,y = x ∪ {x},y = x ∩ a,

donde a es un conjunto fijo, etc.

A9. Axioma de Reemplazo:“Si ϕ(x, y) es una funcion proposicional y A es un conjunto,

entonces existe el conjunto de los elementos b que verifican ϕ(a, b)para algun a ∈ A”.

Expresado en L , tenemos

∀X∃Y ∀y(y ∈ Y ↔ ∃x(x ∈ X ∧ ϕ(x, y))).14

De hecho, este axioma parece mas complicado de lo que es. Laidea intuitiva es que si tenemos un conjunto A y una funcion f cuyodominio es A , f [A] = {f(x) : x ∈ A}, es tambien un conjunto. Elproblema se suscita cuando vemos que en nuestra teorıa la “funcion”

x 7−→ Px

no es, como veremos formalmente mas adelante, un objeto de nuestrateorıa, es decir, no es un conjunto, sino que corresponde a lo que lla-mamos una clase propia. Como ya hemos dicho antes, nuestro lenguajenos permite referirnos a dichos objetos mediante la formula que los de-fine, lo que para los efectos practicos es casi lo mismo. Ası, ϕ(x, y) noes una funcion dentro de nuestra teorıa sino mas bien una regla que nospermite asociar a cada elemento de un conjunto A un unico elemento.Algunos matematicos llaman a la formula que define una funcion, sugrafico. Siguiendo con esta nomenclatura, el problema aquı es que eldominio de esta funcion es la clase de todos los conjuntos que, comoya vimos, no es un conjunto. Sin embargo, cuando restringimos dicho“dominio” a un conjunto A , A9 garantiza que existe el recorrido de lafuncion.

Esta lista de axiomas conforman ZF . Junto con el Axioma deEleccion, que estudiaremos en el capıtulo 3, son suficientes para desar-rollar casi toda la matematica. Inmediatamente se nos ocurren variaspreguntas ¿son estos axiomas independientes entre sı ? Es decir, ¿nopueden obtenerse unos de otros? La respuesta es no, el axioma de parespuede obtenerse a partir de los axiomas de reemplazo y del conjuntopotencia. Por su parte el axioma del conjunto vacıo puede obtenerse apartir del axioma de especificacion y del axioma del conjunto infinito(habrıa que darle otra formulacion a este ultimo).

El problema de la independencia del axioma de eleccion del restode los axiomas es mucho mas complicado. Fue resuelto positivamentepor K. Godel (1940).

Mas importante aun es el problema de la consistencia, es decir,¿es posible deducir una contradiccion a partir de estos axiomas? Esteproblema no se ha resuelto y no parece probable que vaya a resolversedebido a los resultados de Godel en 1930. Por supuesto no se ha de-scubierto ninguna contradiccion (de no ser ası, no tendrıa sentido elestudio de esta teorıa) y se estima que sı son consistentes.

El otro problema que surge naturalmente es el de la completud deeste sistema de axiomas. Es decir, ¿son suficientes estos para deducirtodos los teoremas posibles sobre conjuntos? La respuesta es tambienno. Mas aun, sabemos (nuevamente en virtud de los trabajos de K.

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Godel en 1930) que no puede completarse, es decir, aunque agreguemosuna lista de infinitos axiomas a ZF , seguira siendo incompleto, es decir,siempre existira una formula ϕ tal que ni ϕ ni ¬ϕ puede demostrarsea partir de esa lista.

Todos estos problemas requieren de conocimientos de Logica Mate-matica y estan fuera del alcance de esta obra. Nos parece interesanteeso sı mencionarlos para que el lector investigue por su cuenta.

Ejercicios.

1. Demuestre que el axioma de pares puede ser reemplazado por elaxioma mas debil:

“Dados dos conjuntos X e Y , existe un conjunto los contienea ambos”.

2. Demuestre que el axioma de uniones puede ser reemplazado porel axioma mas debil:

“Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que con-tiene a todos los elementos de los elementos de X ”.

3. Demuestre que el axioma del conjunto potencia puede ser reem-plazado por el axioma mas debil:

“Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que con-tiene a todos los subconjuntos de X ”.

4. Demuestre que el Axioma de Pares puede obtenerse a partir delos axiomas de Reemplazo y del Conjunto Potencia.

5. Demuestre el Axioma del Conjunto Vacıo a partir de de los otrosaxiomas y el nuevo axioma “Existe un conjunto infinito”.

6. Indique como definir x ∩ y sin usar el axioma A5.7. Use el axioma de reemplazo y el de conjunto infinito para de-

mostrar que el conjunto A definido en la demostracion del teo-rema 1.3 existe.

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CAPITULO 2

Teorıa Elemental

En este capıtulo formalizaremos y profundizaremos las nociones dela teorıa intuitiva de conjuntos que el lector probablemente ha estudi-ado en cursos de Algebra, Geometrıa u otros. Por tratarse de materialfamiliar, la mayorıa de las demostraciones se dejaran como ejercicio.Debemos cuidarnos eso sı de no dar a las intuiciones el caracter deteoremas y demostrar cuidadosamente todas nuestras afirmaciones apartir de los axiomas.

Una de las dificultades que enfrenta el principiante en Teorıa A-xiomatica de Conjuntos es precisamente ese conocimiento intuitivo deltema. En nuestra teorıa todo es un conjunto, ası los elementos de unconjunto son a su vez, conjuntos que contienen elementos que a su vezson conjuntos. Es decir, la familiar distincion entre elemento y conjuntono existe y si se dice por ejemplo “ a es elemento de b ” es solo paraenfatizar que a y b satisfacen a ∈ b, pero no para separar a a y b endos categorıas distintas. Ası, un mismo conjunto puede jugar ambospapeles en distintas situaciones, por ejemplo:

∅ ∈ {∅}{∅} ∈ {∅, {∅}}.

Lo mismo puede decirse de pares ordenados, relaciones, funcionesetc, etc, todo ente del cual hablemos sera un conjunto.

1. Operaciones

En el capıtulo anterior hemos definido las operaciones x ∪ y yx ∩ y. Definiremos ahora una tercera operacion

Definicion 2.1. Dados dos conjuntos a y b definimos el comple-mento relativo de b con respecto a a , o su diferencia como sigue

a− b = {x ∈ a : x /∈ b}.

Notese que en virtud de A3, a− b es un conjunto.Como lo demuestra la siguiente proposicion, la nocion de comple-

mento de un conjunto a , es decir, el conjunto de aquellos conjuntosque no pertenecen a a , no puede definirse en ZF .

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Teorema 2.1. No existe el “complemento”, de ningun conjunto.

Demostracion. Sea a un conjunto. Si existiera su complementollamemoslo a′, entonces en virtud de A5, a ∪ a′ serıa un conjunto,pero a ∪ a′ = V , la clase de todos los conjuntos que, como vimos, noes un conjunto.

El siguiente teorema nos da las propiedades de estas tres opera-ciones.

Teorema 2.2. (Algebra de Conjuntos).Para todo conjunto a, b, c :i) Asociatividad

a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c ,a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c .

ii) Conmutatividada ∪ b = b ∪ a ,a ∩ b = b ∩ a .

iii) Idempotenciaa ∪ a = a ,a ∩ a = a .

iv) Absorciona ∪ (a ∩ b) = a ,a ∩ (a ∪ b) = a .

v) Neutroa ∪ ∅ = a ,a ∩ ∅ = ∅ .

vi) Distributividada ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∩ c) ,a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c) .

vii) Leyes de De Morgana− (b ∪ c) = (a− b) ∩ (a− c) ,a− (b ∩ c) = (a− b) ∪ (a− c) .

viii) a− a = ∅ix) a = (a ∩ b) ∪ (a− b)

Demostracion. Ejercicio

La relacion a ⊆ b se relaciona con las otras operaciones como sigue.

Teorema 2.3. Para todo conjunto a, b, c, d.i) a ∩ b ⊆ a y a ∩ b ⊆ b.

ii) Si c ⊆ a y c ⊆ b, entonces c ⊆ a ∩ b.iii) a ⊆ b si y solo si a ∩ b = a.

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iv) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a ∩ b ⊆ c ∩ d.v) a ⊆ a ∪ b y b ⊆ a ∪ b.vi) Si a ⊆ c y b ⊆ c, entonces a ∪ b ⊆ c.vii) a ⊆ b si y solo si a ∪ b = b.

viii) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a ∪ b ⊆ c ∪ d.

Demostracion. Ejercicio.

Algunas propiedades del conjunto potencia de un conjunto son in-teresantes.

Teorema 2.4. Para todo conjunto a, b:i) ∅ ∈ Pa y a ∈ Pa.

ii) P∅ = {∅}.iii) Si a ⊆ b, entonces Pa ⊆ Pb.iv) Pa ∪ Pb ⊆ P(a ∪ b).v) Pa ∩ Pb = P(a ∩ b).vi) P(a− b) ⊆ (Pa− P(b)) ∪ {∅}.

Demostracion. A modo de ejemplo demostraremos vi). El restoqueda como ejercicio.

Sea x ∈ P(a− b), es decir, x ⊆ a− b.Si x = ∅, entonces x ∈ (Pa− Pb) ∪ {∅}.Si x 6= ∅, entonces para todo z ∈ x, z ∈ a y z /∈ b, o sea, x ⊆ a

y x 6⊆ b, luego x ∈ Pa− Pb.

Ejercicios.

1. Determine si a pertenecea , es subconjunto, o ni pertenece ni essubconjunto de alguno de los siguientes conjuntos.

(a) {{a}, a} ,(b) a ,(c) ∅ ∩ a ,(d) {a} − {{a}} ,(e) {a} ∪ a ,(f) {a} ∪ {∅} .

2. Sea a un conjunto. Si para todo conjunto b se tiene a∪ b = b,probar que a = ∅ .

19

3. Demostrar que :(a)

⋃{{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}} = {a, b, c, d, e, f} .

(b)⋂{{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}} = {a} .

(c)⋃{a} = a =

⋂{a} , para todo conjunto a .

(d) (⋂a) ∩ (

⋂b) 6=

⋂(a ∩ b) .

4. Probar que:(a) Si a ∩ c = ∅ , entonces a ∩ (b ∪ c) = a ∩ b .(b) Si a ∩ b = ∅ , entonces a− b = a .(c) Si a ∩ b = ∅ y a ∪ b = c , entonces a = c− b.(d) a ∩ (b− c) = (a ∩ b)− c .(e) (a ∪ b)− c = (a− c) ∪ (b− c) .(f) Si a ∪ b = ∅ , entonces a = ∅ y b = ∅ .

5. Definamos 0 = ∅ , 1 = 0 ∪ {0} , 2 = 1 ∪ {1} , 3 = 2 ∪ {2} ,4 = 3 ∪ {3}. Entonces:

(a) Probar que 0 , 1 , 2 , 3 y 4 son conjuntos.(b) Expresar 0 , 1 , 2 , 3 y 4 usando solo los sımbolos “ { ” ,

“ } ” , “ ∅ ” y “ , ” .(c) Decidir si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:

(i) 1 ∈ 2 (ii) 1 ∩ 2 = 0 (iii) (0 ∩ 2) ∈ 1(iv) 1 ⊆ 2 (v) 1 ∪ 2 = 2 (vi)

⋃3 ⊆ 3

(vii)⋂

4 ∈ 4

(d) Expresar los siguientes conjuntos usando los conjuntos 0,1, 2, 3 y 4. Simplifique.⋃

∅ , P∅ ,⋃⋃∅ , PP∅ ,

⋃⋃⋃∅ , PPP∅.

(e) Si a = {{2, 3}, 4, {4}} , encontrar⋂

(⋃a − 4) .

(f) Construir⋂⋃

(P2 − 2) .(g) Si a = {{1, 2}, {2, 0}, {1, 3}} , construir:⋃

a ,⋂a ,⋃⋃

a ,⋂⋂

a ,⋃⋂

a ,⋂⋃

a.6. Dar contraejemplo de P(a ∪ b) = Pa ∪ Pb .7. Probar que:

(a)⋃Pa = a .

(b) a ⊆ P⋃a .

(c) No es cierto que si a ∈ b, entonces Pa ∈ Pb .(d) Si a ∈ b, entonces Pa ∈ PP

⋃a .

(e)⋃{Px : x ∈ a} ⊆ P

⋃a.

(f) {∅, {∅}} ∈ PPPa , para todo conjunto a .(g) Si Pa = Pb, entonces a = b .

8. Se define a+b = (a−b)∪ (b−a) , para a y b conjuntos. Probarque si a, b , c son conjuntos, entonces:

(a) a+ ∅ = a(b) a+ a = ∅

20

(c) a+ (b+ c) = (a+ b) + c(d) a ∩ (b+ c) = (a ∩ b) + (a ∩ c)(e) a− b ⊆ a+ b(f) a = b si y solo si a+ b = ∅(g) Si a+ c = b+ c , entonces a = b(h) a ∪ c = b ∪ c si y solo si a+ b ⊆ c(i) (a ∪ c) + (b ∪ c) = (a+ b)− c

9. Sean

a = {x ∈ Z : x es divisible por 4}b = {x ∈ Z : x es divisible por 9}c = {x ∈ Z : x es divisible por 10}

(a) Describir a ∩ b ∩ c .(b) Sean n , m ∈ Z. Si

d = {x ∈ Z : x es divisible por n}e = {x ∈ Z : x es divisible por m},

describa d∩ e . ¿ Que pasa si m y n son numeros primos?¿ Que pasa si m = −n ?

10. Probar que si a, b , c son conjuntos, entonces

(a ∩ b) ∪ c = a ∩ (b ∪ c) si y solo si c ⊆ a.

11. Para las siguientes oraciones, dar una demostracion o un con-traejemplo:

(a) (a− b)− c = a− (b− c) .(b) Si a ∩ b = a ∩ c , entonces b = c .(c) Si a ∪ b = a ∪ c y a ∩ b = a ∩ c , entonces b = c .(d) a− b = (a ∪ b)− b = a− (a ∩ b) .(e) a ∩ b = a− (a− b) .(f) a− (b− c) = (a− b) ∪ (a ∩ c) .(g) a− b = b− a .(h) a ∩ (a− b) = (a− b) .(i) (a− b) ∪ b = a ∪ b .(j) (a ∩ b)− b = ∅ .(k) (a− b) ∩ b = ∅ .

12. Probar que la inclusion ⊆ de conjuntos cumple:(a) a ⊆ a ( reflexividad );(b) Si a ⊆ b y b ⊆ a , entonces a = b ( antisimetrıa );(c) Si a ⊆ b y b ⊆ c , entonces a ⊆ c ( transitividad ).

13. Si a ⊆ b y b ⊆ c y c ⊆ a, probar que

a = b = c.

21

14. Si b ⊆ a y c ⊆ a , probar que

b ⊆ c si y solo si (a− c) ⊆ (a− b).

15. Sean b, c, d subconjuntos del conjunto a. Abreviaremos “a−x”por “ x ′ ” . Probar o dar contraejemplo de:

(a) b ⊆ c si y solo si b ∩ c ′ = ∅(b) b ⊆ c si y solo si b ′ ∩ c = ∅(c) b ⊆ c si y solo si b ′ ∪ c = a(d) b ⊆ c si y solo si b ∩ c ′ ⊆ b ′

(e) b ⊆ c si y solo si b ∩ c ′ ⊆ c(f) b ⊆ c si y solo si b ∩ c ′ ⊆ d ∩ d ′

16. Probar o dar contraejemplo de:(a) a ⊆ b ∩ c si y solo si a ⊆ b y a ⊆ c(b) b ∪ c ⊆ a si y solo si b ⊆ a y c ⊆ a(c) Si a ⊆ b ∪ c , entonces a ⊆ b o a ⊆ c(d) Si b ∩ c ⊆ a , entonces b ⊆ a o c ⊆ a

17. Probar:(a) Si para todo c ∈ a existe d ∈ b tal que c ⊆ d, entonces⋃

a ⊆⋃b

(b)⋂{c : c = {x}−b y x ∈ a} = (

⋂{c : c = {x} y x ∈ a})−b

(c) ⋃x∈a

x =⋃

a

(d) ⋂x∈a

x =⋂

a

(e)

a ∩ (⋃

b) =⋃c∈b

(a ∩ c)

(f) Si d 6= ∅, entonces

a ∪⋂

b =⋂c∈b

(a ∪ c).

18. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en elteorema 2.2.



22

2. Relaciones

Vamos ahora a introducir algunos conceptos matematicos famil-iares, como par ordenado, relacion, funcion, etc. Debemos tener espe-cial cuidado de que estos sean conjuntos en virtud de algun axioma deZF . Por otra parte, tambien queremos que estos conjuntos se com-porten como los objetos con que trabaja el matematico a quien nopreocupan los problemas de fundamento.

Definicion 2.2. Dados dos conjuntos a y b llamamos par ordenadoa, b al siguiente conjunto.

〈a, b〉 = {{a}, {a, b}}.a y b se llaman la primera y segunda coordenada de 〈a, b〉 , respec-tivamente.

Notemos que 〈a, b〉 es efectivamente un conjunto. Para justificarlo,basta usar dos veces el axioma de pares.

En el par no ordenado {a, b} no podemos distinguir ambos ele-mentos ya que {a, b} = {b, a} (¿por que?). En cambio, los elementosdel par ordenado 〈a, b〉 si y solo si son distinguibles, es decir, si y solosi sabemos cual es el primero y cual es el segundo. Este es el contenidodel proximo teorema.

Teorema 2.5. Si 〈a, b〉 = 〈c, d〉 , entonces a = c y b = d.

Demostracion. Supongamos que 〈a, b〉 = 〈c, d〉 , esto es,

{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.Si a = b, tenemos {{a}} = {{c}, {c, d}}, entonces {a} = {c} =

{c, d}, o sea a = b = c = d. (¿Que axiomas hemos usado?).Si a 6= b, {a} = {c} o {a} = {c, d}.En el primer caso, tenemos a = c y como {a, b} ∈ {{c}, {c, d}} y

a 6= b, {a, b} = {c, d} luego a = c y b = d.En el segundo caso, a = c = d , luego {a, b} ∈ {{a}}, o sea b = a ,

contradiccion, o sea, este segundo caso no se puede dar. Por lo tanto,si 〈a, b〉 = 〈c, d〉, entonces

a = c y b = d.

Podemos ahora definir triples ordenados y, en general, n-tuplas or-denadas.〈a, b, c〉 = 〈〈a, b〉, c〉〈a, b, c, d〉 = 〈〈a, b, c, 〉, d〉〈a1, a2, . . . , an〉 = 〈〈a1, . . . , an−1〉, an〉.

23

Lema 2.6. Si a ∈ A y b ∈ A, 〈a, b〉 ∈ PPA.


Definicion 2.3. Llamaremos producto cartesiano de los conjuntosa y b al conjunto

a× b = {z ∈ PP(a ∪ b) : ∃x∃y(x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ z = 〈x, y〉)}.

Notemos que por el axioma de especificacion de clases y el axiomadel conjunto potencia, a× b es un conjunto.

Usaremos en general una notacion informal aunque mas intuitiva

a× b = {〈x, y〉 : x ∈ a ∧ x ∈ b}.

Podemos tambien introducir productos cartesianos triples y cuadru-ples etc., de la manera obvia, por ejemplo

a× b× c = {〈x, y, z〉 : x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ z ∈ c}

Algunas propiedades de los productos cartesianos estan resumidasen el siguiente teorema.

Teorema 2.7. Para conjunto a, b , c , d ,i) a× ∅ = ∅ × a = ∅.

ii) Si a 6= ∅ y b 6= ∅, entonces a× b 6= ∅.iii) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a× b ⊆ c× d.iv) a× (b ∪ c) = a× b ∪ a× c.v) a× (b ∩ c) = a× b ∩ a× c.vi) a× (b− c) = a× b− a× c


Definicion 2.4. Un conjunto R es una relacion si todos sus ele-mentos son pares ordenados.

Definimos tambien el dominio de R

Dom R = {x ∈⋃⋃

R : ∃y〈x, y〉 ∈ R},

el recorrido de R

Rec R = {y ∈⋃⋃

R : ∃x〈x, y〉 ∈ R}

y el campo de R ,

Cam R = Dom R ∪Rec R.

Si Dom R ⊆ A y Rec R ⊆ B, decimos que R es una relacionentre A y B o una relacion de A en B .

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Es claro que tanto Dom R como Rec R son conjuntos (¿que a-xiomas usamos?). Lo que no es tan claro es que estos conjuntos corres-pondan a la idea informal que tenemos del dominio, es decir, el conjuntode las primeras coordenadas de los pares que estan en la relacion, yrecorrido, el conjunto de las segundas coordenadas de los pares queestan en la relacion. Basta para ello comprobar que, efectivamente,ambas coordenadas de los pares que pertenecen a una relacion R estanen

⋃⋃R. Esto es facil ya que para 〈a, b〉 ∈ R; a, b ∈ {a, b} ∈

〈a, b〉 ∈ R, lo que implica por definicion de union que

{a, b} ∈⋃

R ,

o sea,a, b ∈ {a, b} ∈

⋃R,

o sea,a, b ∈

⋃⋃R.

Definicion 2.5. La composicion de dos relaciones R y S es larelacion

S◦R = {u ∈ Dom R×Rec S : u = 〈x, y〉∧∃z(〈x, z〉 ∈ R∧〈z, y〉 ∈ S)}

y la relacion inversa de R

R−1 = {u ∈ Rec R×Dom S : u = 〈x, y〉 ∧ 〈y, x〉 ∈ R}.

En general escribimos mas informalmente

S ◦R = {〈x, y〉 : ∃z(〈x, z〉 ∈ R ∧ 〈z, y〉 ∈ S)}

yR−1 = {〈y, x〉 : 〈x, y〉 ∈ R}.

Es claro que S ◦R y R−1 son conjuntos.

Teorema 2.8. Si R , S y T son relaciones, entoncesi) (T ◦ S) ◦R = T ◦ (S ◦R).

ii) (S ∪ T ) ◦R = (S ◦R∪ T ◦R), y T ◦ (S ∪R) = (T ◦S ∪ T ◦R).iii) (S ∩ T ) ◦R ⊆ (S ◦R∩ S ◦ T ), y T ◦ (S ∩R) ⊆ (T ◦ S ∩ T ◦R).iv) Si R ⊆ S, entonces T ◦R ⊆ T ◦ S y R ◦ T ⊆ S ◦ T.v) (R−1)−1 = R.vi) (S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1.

Demostracion. iii) Sea 〈x, y〉 ∈ (S ∩ T ) ◦ R, entonces existez tal que 〈x, z〉 ∈ S ∩ T y 〈z, y〉 ∈ R.

25

Esto implica que existe z tal que 〈x, z〉 ∈ S y 〈z, y〉 ∈ S,vale decir, 〈x, y〉 ∈ S◦R, pero ademas, 〈x, z〉 ∈ T y 〈z, y〉 ∈ R,o sea, 〈x, y〉 ∈ T ◦R, o sea,

(S ∩ T ) ◦R ⊆ (S ◦R) ∩ (T ◦R).

Para ver que la inclusion anterior no es una identidad bastadar un ejemplo en el que la inclusion inversa es falsa. Considerese

R = {〈a, b〉, 〈a, a, 〉}, S = {〈b, a〉}, T = {〈a, a〉},

donde a 6= b. Entonces S ∩ T = ∅, luego (S ∩ T ) ◦ R = ∅.Sin embargo, como 〈a, b〉 ∈ R y 〈b, a〉 ∈ S, 〈a, a〉 ∈ S ◦ Ry como 〈a, a〉 ∈ R y 〈a, a〉 ∈ T, 〈a, a〉 ∈ T ◦ R, o sea,〈a, a〉 ∈ S ◦R ∩ T ◦R, luego S ◦R ∩ T ◦R 6= ∅.

vi) Sea 〈x, y〉 ∈ (S ◦ R)−1. Entonces 〈y, x〉 ∈ S ◦ R, o sea, existez tal que 〈y, z〉 ∈ R y 〈z, x〉 ∈ S, es decir, existe z tal que〈x, z〉 ∈ S−1 y 〈z, y〉 ∈ R−1 , o sea, 〈x, y〉 ∈ R−1 ◦ S−1, luego

(S ◦R)−1 ⊆ R−1 ◦ S−1

La inclusion inversa se demuestra en forma analoga y se dejacomo ejercicio.

El proximo teorema nos da las principales propiedades del dominioy del recorrido de una relacion.

Teorema 2.9. Sean R , S relaciones.i) Dom (R ∪ S) = Dom R ∪DomS.

ii) Rec (R ∪ S) = Rec R ∪Rec S.iii) Dom (R ∩ S) ⊆ Dom R ∩DomS.iv) Rec (R ∩ S) ⊆ Rec R ∩Rec S.v) DomR−DomS ⊆ Dom(R− S).vi) Rec R−Rec S ⊆ Rec(R− S).vii) Si R ⊆ S, entonces Dom R ⊆ Dom S y Rec R ⊆ Rec S.

viii) Dom R−1 = Rec R y Rec R−1 = Dom R.ix) Dom S ◦R ⊆ Dom R y Rec S ◦R ⊆ Rec S.vii) Cam R = Cam R−1.

viii) Cam (S ◦R) ⊆ Dom R ∪Rec S.


La siguiente operacion sera muy importante especialmente cuandotratemos con funciones.

26

Definicion 2.6. Si R es una relacion y a un conjunto la imagende a por R es el conjunto.

R∗a = {y ∈ Rec R : ∃x(x ∈ a ∧ 〈x, y〉 ∈ R)}.

Las principales propiedades de ∗ estan resumidas en el siguienteteorema.

Teorema 2.10. Sean R , S relaciones y a y b conjuntos.

i) ∅∗a = ∅.ii) R∗∅ = ∅.iii) R∗(a ∪ b) = R∗a ∪R∗b.iv) R∗(a ∩ b) ⊆ R∗a ∩R∗b.v) R∗a−R∗b ⊆ R∗(a− b).vi) Si a ⊆ b, entonces R∗a ⊆ R∗b.vii) (S ◦R)∗a = S∗(R∗a).

viii) Dom(S ◦R) = R−1∗(DomS) y Rec(S ◦R) = S∗(Rec R).ix) R∗a ⊆ Rec R.

Demostracion. iv)

x ∈ R∗(a ∩ b) ⇔ ∃y(y ∈ a ∩ b ∧ 〈y, x〉 ∈ R)⇒ ∃y(y ∈ a ∧ 〈y, x〉 ∈ R) ∧ ∃y(y ∈ b ∧ (y, x) ∈ R)⇔ x ∈ R∗a ∧ x ∈ R∗b⇔ x ∈ R∗a ∩R∗b

Es decir R∗(a ∩ b) ⊆ R∗a ∩R∗b.Para ver que la inclusion contraria no es valida basta el si-

guiente contraejemplo. Sean

a = {∅} , b = {{∅}} y R = {〈∅, ∅〉, 〈{∅}, ∅〉}.

Entonces a ∩ b = ∅, luego R∗(a ∩ b) = ∅. Pero R∗a = {∅}y R∗b = {∅} luego R∗a ∩R∗b = {∅} 6= ∅.

viii)

x ∈ Dom (S ◦R) ⇔ ∃y 〈x, y〉 ∈ S ◦R⇔ ∃y ∃z(〈x, z〉 ∈ R ∧ 〈z, y〉 ∈ S)⇒ ∃z(〈z, x〉 ∈ R−1 ∧ z ∈ Dom S)⇔ x ∈ R−1∗(Dom S).

Esto demuestra que Dom(S◦R) ⊆ R−1∗(Dom S), la otra inclusiony el resto del teorema se deja como ejercicio.

27

Ejercicios.

1. Probar que si definimos

〈a, b〉′ = {{a, 0}, {b, 1}},

entonces se satisface:

〈a, b〉′ = 〈c, d〉′ si y solo si a = c y b = d .

2. Sean a, b, c conjuntos. Definimos el conjunto

〈a, b, c〉′ = {{a}, {a, b}, {a, b, c}} .

Probar que 〈a, b, c〉′ = 〈d, e, f〉′ no implica que a = d yb = e y c = f .

3. Probar que:(a)

⋂〈a, b〉 = {a} .

(b)⋂ ⋂

〈a, b〉 = a =⋃ ⋂

〈a, b〉 .(c)

⋂ ⋃〈a, b〉 = a ∩ b .

(d) (⋂ ⋃

〈a, b〉)⋃

(⋃ ⋃

〈a, b〉 −⋃ ⋂

〈a, b〉) = b.4. Mostrar que no siempre el conjunto 〈a, b〉 tiene dos elementos

distintos.5. Probar que no existe el conjunto de todos los pares ordenados.6. Probar que no es cierto que 〈〈a, b〉, c〉 es igual a 〈a, 〈b, c〉〉 .7. (a) Probar que a × b = b × a si y solo si a = ∅ o b = ∅ o

a = b .(b) Probar que si a 6= ∅ y a× b ⊆ a× c , entonces b ⊆ c .(c) Probar que no es cierto : a× (b× c) = (a× b)× c .(d) Encontrar conjuntos a, b, c tales que

a ∪ (b× c) = (a ∪ b)× (a ∪ c).(e) Probar que a× b ∩ c× d = a× d ∩ c× d .(f) Probar que a× a ∩ b× c = a ∩ b× a× c .(g) Probar que a× b− c× c = (a− c)× b ∪ a× (b− c) .(h) Probar que a× a− b× c = (a− b)× a ∪ a× (a− c) .(i) Probar que no es cierto que a× b = c× d ocurra si y solo

si a = b y c = d .8. Si a, b son conjuntos, probar que existe un conjunto c tal quey ∈ c si y solo si existe un conjunto d que satisfaga que d ∈ ae y = {d} × b .

Concluir que a× b =⋃c .

9. (a) Encontrar todas las relaciones cuyo dominio esta contenidoen {a, b, c} y cuyo recorrido esta contenido en {s} .

(b) Encontrar todas las relaciones en 2 y en 3 (ver definicionde 2 y de 3 en ejercicios de la seccion anterior).

28

(c) ¿Cuantas relaciones se pueden formar en un conjunto de nelementos?

10. Probar que existe una relacion I que actua como neutro parala composicion de relaciones sobre un conjunto a , es decir, paracualquier relacion R sobre a

R ◦ I = I ◦R = R.

11. Probar que si R, S, T son relaciones y a, b, c conjuntos, entonces:(a) S ∩ T y S ∪ T son relaciones .(b) (S ∩ T )−1 = S−1 ∩ T−1 .(c) (S ∪ T )−1 = S−1 ∪ T−1 .(d) (R− S)−1 = R−1 − S−1 .(e) (R ◦ S)− (R ◦ T ) ⊆ R ◦ (S − T ) .(f) R ⊆ S si y solo si S−1 ⊆ R−1 .(g) (a× b)−1 = b× a .(h) Si a y b no son disjuntos, entonces (a×b)◦(a×b) ⊆ (a×b).(i) Si a y b son disjuntos, entonces (a× b) ◦ (a× b) = ∅ .(j) Si b no es vacıo, entonces (b× c) ◦ (a× b) = a× c .(k) Si R ⊆ a× b y S ⊆ b× c , entonces S ◦R ⊆ a× c .

12. Probar que ∅ es relacion y que para todo conjunto a se tieneque a ◦ ∅ = ∅ ◦ a = ∅ .

13. Se define la suma de dos relaciones R y S por:

R + S = (R ∪ S) ∩ (Cam R)× (Cam S) .

(a) Si R = {〈1, 2〉, 〈1, 3〉} y S = {〈3, 3〉}, calcular R + S yS +R .

(b) Encontrar Cam (R + S).(c) Determinar cuales de las siguientes leyes distributivas son

validas para la suma de relaciones:

R + (S ∪ T ) = (R + S) ∪ (R + T )R + (S ∩ T ) = (R + S) ∩ (R + T )R ∪ (S + T ) = (R ∪ S) + (R ∪ T )R ∩ (S + T ) = (R ∩ S) + (R ∩ T )

14. Encontrar contraejemplos para las siguientes afirmaciones:(a) Dom (R ∩ S) = DomR ∩DomS .(b) Rec (R ∩ S) = RecR ∩RecS .(c) DomR−DomS = Dom (R− S) .(d) RecR−RecS = Rec (R− S) .(e) Cam (S ◦R) = DomR ∪RecS .(f) R∗ (a ∩ b) = R∗ a ∩R∗ b .(g) R∗ a−R∗ b = R∗ (a− b) .

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(h) R∗ a = RecR .(i) (R−1 )∗ (R∗a ) = a .(j) R∗( (R−1 )∗ b ) = b .

15. Probar las siguientes afirmaciones:(a) (R−1 )∗ (a ∪ b) ⊆ (R−1 )∗ a ∪ (R−1 )∗ b .(b) (R−1 )∗ (a ∩ b) ⊆ (R−1 )∗ a ∩ (R−1 )∗ b .(c) (R−1 )∗ a− (R−1 )∗ b ⊆ (R−1 )∗ (a− b) .(d) a ⊆ (R−1 )∗ (R∗ a ) .(e) b ⊆ R∗ ( (R−1 )∗ b ) .(f) Si R ⊆ a× b , entonces

R∗ a = RecR y (R−1 )∗ b = DomR .16. (a) Probar que R∗ a = ∅ si y solo si DomR ∩ a = ∅ .

(b) Probar que DomR ∩ a ⊆ (R−1 )∗ (R∗ a ).(c) Probar que (R∗ a ) ∩ b ⊆ R∗ (a ∩ (R−1 )∗ b ) .(d) ¿ Bajo que condiciones se tiene que Cam (a× b) = a ∪ b?(e) Probar que si x ∈ DomR , entonces 〈x, x〉 ∈ R−1 ◦R .





3. Funciones

El concepto de funcion es uno de los mas importantes en matema-ticas. Intuitivamente, una funcion es una regla que asigna a cada el-emento de un conjunto un unico elemento de otro conjunto (no nece-sariamente distinto).

Definicion 2.7. Una relacion F es una funcion si y solo si

∀x∀y∀z((〈x, y〉 ∈ F ∧ 〈x, z〉 ∈ F )→ y = z)

Observese que una funcion es, en particular, una relacion, ası es quelos conceptos de dominio, recorrido, campo, composicion de funciones,funcion inversa, imagen, etc. se aplican a ellas tal y como se aplican aotras relaciones.

Habitualmente se usa la siguiente notacion.

Definicion 2.8. Sea F una funcion, x ∈ Dom F ,

F (x) = {z ∈⋃

Rec F : ∀y(〈x, y〉 ∈ F → z ∈ y)}.

30

En otras palabras, F (x) es aquel unico conjunto con el que xesta relacionado segun la funcion F . Observemos que el axioma deextensionalidad aplicado a funciones F y G nos dice que

F = G si y solo si Dom F = Dom G y ∀x F (x) = G(x).

Observemos tambien que de acuerdo con esta notacion,

G ◦ F (x) = G(F (x)).

Definicion 2.9.

i) Si F es una funcion, Dom F = a y Rec F ⊆ b decimos queF es una funcion de a en b y escribimos

F : a −→ b

x 7−→ F (x).

ii)ab = {F ∈ P(a× b) : F : a −→ b}.

iii) F es una funcion inyectiva o uno a uno si

∀x∀y(F (x) = F (y)→ x = y),

es decir, a conjuntos distintos F asigna conjuntos distintos.iv) Un funcion F de a en b se dice sobreyectiva si

∀y(y ∈ b→ ∃x(x ∈ a ∧ y = F (x))),

es decir, todo elemento de b es asignado a algun elemento deldominio de F .

El siguiente teorema nos da algunas propiedades de las funciones.

Teorema 2.11. Sean F , G , H funciones, a , b , c conjuntos.i) F es una funcion de Dom F en Rec F .

ii) F ∈ ∅a si y solo si F = ∅.iii) Si F ∈ a∅, entonces F = a = ∅.iv) Si b 6= ∅, entonces ab 6= ∅.v) Si F ∈ ab y b ⊆ c, entonces F ∈ ac.vi) Si F ∈ ab y G ∈ bc, entonces G ◦ F ∈ ac.vii) F ∈ ab es inyectiva si y solo si para todo c y todo

G ∈ ca, H ∈ ca, si F ◦G = F ◦H, entonces G = H.viii) F ∈ ab es sobreyectiva si y solo si para todo c y todo

G ∈ bc, H ∈ bc, si G ◦ F = H ◦ F , entonces G = H.

Demostracion. Demostraremos vii). El resto queda como ejerci-cio.

31

(⇒) Supongamos que F es inyectiva y sean c un conjunto cualesquieray G,H ∈ ca. Supongamos que para todo x ∈ c

F ◦G(x) = F ◦H(x) o bienF (G(x)) = F (H(x)) , y como F es inyectiva,

G(x) = H(x) .

Como ademas Dom G = Dom H = c, G = H.(⇐)) Supongamos que se verifica la afirmacion de la derecha y que sin

embargo F no es inyectiva. Entonces existen d, e ∈ a , d 6= ey F (d) = F (e).

Consideremos el caso particular en que c = a y definamos

G : a −→ ax 7−→ d

H : a −→ ax 7−→ e.

En-

tonces para todo x ,

F ◦G(x) = F (G(x)) = F (d) = F (e) = F (H(x)) = F ◦H(x),

es decir F ◦ G = F ◦H, ya que tienen el mismo dominio. Peroentonces, por hipotesis, G = H, una contradiccion. Luego Fes inyectiva.

Teorema 2.12. Sean F , G funciones.i) x ∈ F−1∗a si y solo si F (x) ∈ a.

ii) Dom (F ◦G) = G−1∗(Dom F ) ⊆ Dom G.iii) Rec (F ◦G) = F ∗(Rec G) ⊆ Rec F.iv) F es inyectiva si y solo si F−1 es funcion.

Demostracion.

i)x ∈ F−1∗a si y solo si ∃y(y ∈ a ∧ 〈y, x〉 ∈ F−1)

si y solo si ∃y(y ∈ a ∧ 〈x, y〉 ∈ F )si y solo si ∃y(y ∈ a ∧ y = F (x))si y solo si F (x) ∈ a.

ii) y iii), por teorema 2.10, viii).iv) Ejercicio.

Teorema 2.13. Sean F , G funciones.i) F−1∗(a ∩ b) = F−1∗a ∩ F−1∗b

ii) F−1∗(a− b) = F−1∗a− F−1∗b

32

Demostracion. i) Por el teorema 2.10, iv), basta demostrarque F−1∗a ∩ F−1∗b ⊆ F−1∗(a ∩ b).

Sea x ∈ F−1∗a ∩ F−1∗b. Entonces por teorema 2.12, i),F (x) ∈ a y F (x) ∈ b, o sea, F (x) ∈ a∩b, luego x ∈ F−1∗(a∩b).

ii) Ejercicio.

Definicion 2.10.

i) Si a es un conjunto, la funcion

Ia : a −→ a

x 7−→ x

se llama la funcion identidad en a .ii) Si F es una funcion y a un conjunto. La restriccion de F a

a , F � a, es la funcion

F � a : a ∩Dom F −→ F ∗a

x 7−→ F � a(x) = F (x).

El siguiente teorema nos permite “pegar” funciones que coincidenen la parte comun de sus dominios.

Teorema 2.14. Sean F , G funciones tales que F � a = G � a,donde a = Dom F ∩Dom G. Entonces F ∪G es una funcion.

Demostracion. Recordemos que Dom (F ∪ G) = Dom F ∪Dom G.

Si x ∈ Dom F − Dom G o x ∈ Dom G − Dom F , entonces esclaro que existe un unico y tal que 〈x, y〉 ∈ F ∪G.

Como F y G son funciones, para x ∈ Dom F ∩Dom G, existeun unico y y un unico z tal que 〈x, y〉 ∈ F y 〈x, z〉 ∈ G. Pero porhipotesis y = z , luego en este caso tambien hay un unico y tal que〈x, y〉 ∈ F ∪G.

Observemos en el teorema anterior que si Dom F ∩ Dom G =∅, F ∪G es siempre una funcion.

El proximo teorema es muy util para probar que ciertas funcionesson inyectivas o sobreyectivas.

Teorema 2.15. Sea F : a −→ b.i) Si existe una funcion G : b −→ a tal que F ◦G = Ib, entoncesF es sobreyectiva.

ii) F es inyectiva si y solo si a = ∅ o a 6= ∅ y existe una funcionG : b −→ a tal que G ◦ F = Ia.

33

iii) F es biyectiva si y solo si existe una funcion G : b −→ a talque F ◦G = Ib y G ◦ F = Ia. En este caso G = F−1.

Demostracion. i) Sea G : b −→ a tal que F ◦G = Ib.Entonces para todo y ∈ b, G(y) ∈ a y

F (G(y)) = F ◦G(y) = Ib(y) = y,

es decir F es sobreyectiva.ii) (⇒)

Supongamos F es inyectiva y a 6= ∅.Sea c ∈ a y definamos

G = F−1 ∪ {〈x, c〉 : x ∈ b− F ∗a}

(Observese que G es efectivamente un conjunto. ¿Como verifi-camos esto?)

Es facil ver que G es una funcion tal que Dom G = b. Paratodo x ∈ a,

G ◦ F (x) = G(F (x)) = F−1(F (x)) = x,

ya que F (x) ∈ F ∗a. Y como Dom G ◦ F = Dom F = a,

G ◦ F = Ia .

(⇐)Si a = ∅, entonces F = ∅ y por lo tanto F es inyectiva.Si a 6= ∅ y existe G : b −→ a tal que G ◦ F = Ia.Supongamos que F (x) = F (y). Entonces G(F (x)) = G(F (y)),

o sea, x = G ◦ F (x) = G ◦ F (y) = y, luego F es inyectiva.iii) Ejercicio

Notemos que en el teorema anterior parte i) no tenemos una equi-valencia como en ii) y iii). Para demostrar el recıproco de i), es decir,si F es sobreyectiva, entonces existe G : b → a tal que F ◦G = Ib,necesitamos el ultimo axioma de nuestra teorıa, el Axioma de Eleccion.Debido a la importancia de este, le dedicaremos un capıtulo completo,el cuarto. Solo entonces podremos analizar este problema.

Ejercicios.

34

1. Considerando los conjuntos N,Z,Q y R, de ejemplos de fun-ciones F tales que:

(a) F : N −→ N , F no es inyectiva ni sobreyectiva.(b) F : N −→ N , F es inyectiva pero no sobreyectiva.(c) F : N −→ Z , F no es inyectiva ni sobreyectiva.(d) F : Z −→ N , F no es inyectiva ni sobreyectiva.(e) F : Q −→ R , F no es inyectiva ni sobreyectiva.(f) F : R −→ Q , F es sobreyectiva pero no inyectiva.(g) F : R −→ Z , F sobreyectiva tal que F (x) 6= x para

todo x en R .2. Probar que no toda inyeccion de un conjunto en sı mismo es

sobreyectiva.3. Dar ejemplos de funciones tales que:

(a) F : 1 −→ 1 .(b) F : 0 −→ 1 .(c) F : 2× 3 −→ 6 , F biyeccion.

4. Supongamos que existe una funcion de a en b que no es inyectiva.Probar que a 6= ∅ y b 6= ∅ .

5. Supongamos que existe una funcion de a en b que no es so-breyectiva. Probar que b 6= ∅ .

6. Sean F : a −→ b y G : a −→ b funciones. Probar que siF ⊆ G , entonces F = G .

7. Sean F : a −→ b y G : c −→ d funciones. Se define elproducto entre F y G por

(F ∗G)(x, y) = 〈F (x), G(y)〉

para 〈x, y〉 ∈ a× c. Probar que:(a) F ∗G es una funcion de a× c en b× d .(b) Si F y G son sobreyectivas, entonces F ∗G es sobreyectiva.(c) Si F y G son inyectivas, entonces F ∗G es inyectiva .(d) Rec (F ∗G) = (RecF )× (RecG) .

8. Sean F : a −→ b y G : b −→ a funciones. Supongamos quey = F (x) si y solo si x = G(y). Probar que F−1 es funcion yque F−1 = G .

9. Sean G : b −→ c y H : b −→ c funciones. Supongamos queG ◦ F = H ◦ F para toda funcion F : a −→ b, donde a 6= ∅.Probar que G = H .

10. Sean G : a −→ b y H : a −→ b funciones. Sea c un conjuntocon mas de un elemento y supongamos que F ◦G = F ◦H paratoda funcion F : b −→ c . Probar que G = H .

11. Sean F : a −→ c y G : a −→ b funciones. Probar queexiste una funcion H : b −→ c tal que F = H ◦ G si y solo

35

si para todos x, y ∈ a se tiene que G(x) = G(y) implicaF (x) = F (y). Probar que H es unica.

12. Sean F : c −→ a y G : b −→ a funciones, con G inyectiva.Probar que existe una funcion H : c −→ b tal que F = G ◦Hsi y solo si RecF ⊆ RecG. Probar que H es unica .

13. Probar que si F y G son funciones, entonces F ⊆ G si ysolo si DomF ⊆ DomG y para todo x ∈ DomF se tieneF (x) = G(x) .

14. Probar que no existe el conjunto de todas las funciones.15. Sea F : a −→ b funcion. Se define G por G(y) = F−1∗ {y} .

Probar que G es funcion y que si F es sobreyectiva, entoncesG es inyectiva . Probar tambien que el recıproco es falso.

16. Determinar cuales de las siguientes relaciones son funciones:(a) R es relacion de R en R tal que 〈a, b〉 ∈ R si y solo si

a2 + b2 = 1.(b) R es relacion de R en R tal que 〈a, b〉 ∈ R si y solo si

0 ≤ a < 1 y b = a1−a .

(c) R es relacion entre (R)2 y R tal que 〈〈a, b〉, c〉 ∈ R si ysolo si c = a+b

2 .17. Si F y G son funciones inyectivas, entonces G ◦F es inyectiva

y (G ◦ F )−1 = F−1 ◦G−1 .18. Construır los conjuntos 32, 02, 00 .19. Probar que ab = ∅ si y solo si b = ∅ y a 6= ∅ .20. Probar que :

(a) ab =b a implica que a = b .(b) a ⊆ b implica que ca ⊆c b .(c) Si existe una biyeccion entre a y b , entonces existe una

biyeccion entre ca y cb .21. Sea F : a −→ a una funcion. Sea m un entero positivo. Se

define recursivamente Fm por

F 1 = F ;

F m+1 = F ◦ F m.

Supongamos que existe un entero positivo n tal que F n = Ia .Probar que F es biyeccion.

22. Sean a, b, c conjuntos tales que b ∩ c = ∅ . Probar que existeuna biyeccion entre b∪ca y ba×c a.

23. ¿Existe una biyeccion entre c(ba) y b×ca?24. Probar que existe una biyeccion entre c(a× b) y ca×c b .25. Sean F : a −→ b y G : a −→ b funciones.

(a) Sea c el conjunto de los x ∈ a tales que F (x) = G(x) .Probar que F ◦ Ia � c = G ◦ Ia � c .

36

(b) Sea d ⊆ a tal que F ◦ Ia � d = G ◦ Ia � d . Probar qued ⊆ c .

26. Sea a un conjunto y sea F = {〈x, 〈x, x〉〉 : x ∈ a} . Probar queF es funcion biyectiva entre a y Ia .

27. Sea F : b ∪ c −→ a funcion. Probar que F = F � b ∪ F � c.28. Sean F : a −→ b y G : c −→ d funciones biyectivas, donde

a ∩ c = ∅ y b ∩ d = ∅ . Sea H = F ∪ G. Probar que H esbiyeccion entre a ∪ c y b ∪ d .

29. Sea F : a −→ b funcion. Probar que existe una funcionbiyectiva entre F y a .

30. Sea F : a −→ b funcion. Sean c ⊆ a y d ⊆ b .(a) Si F es inyectiva, probar que c = F−1∗ (F ∗ c) .(b) Si F es sobre, probar que d = F ∗ ( (F ∗ )−1 d) .

31. Sea F : a −→ b funcion. Probar que:(a) Si c ⊆ a y d ⊆ a y F inyectiva, entonces F ∗ c = F ∗ d

implica que c = d .(b) Si c ⊆ b y d ⊆ b y F sobreyectiva, entonces F−1∗ c =

F−1∗ d implica que c = d .32. Sea F : a −→ b funcion y sean c ⊆ a y d ⊆ a .

(a) Probar que F ∗ (F−1∗ (F ∗ c) ) = F ∗ c .(b) Probar que F ∗ c − F ∗ d = F ∗ (c − d) si y solo si F es

inyectiva.33. Probar que F � a = F

⋂(a×RecF ) .

34. Sea F : Pa −→ Pa funcion tal que si b ⊆ c y c ⊆ a , entoncesF (b) ⊆ F (c). Sean

d =⋂{b ∈ Pa : F (b) ⊆ b}

e =⋃{b ∈ Pa : b ⊆ F (b)}.

(a) Probar que F (d) = d y F (e) = e .(b) Probar que si F (b) = b , entonces d ⊆ b ⊆ e .

35. Dar un ejemplo de una funcion F y un conjunto a tales queF ∩ (a× a) 6= F � a .

36. Si F y G son funciones inyectivas, probar o dar contraejemplode:

(a) F ∪G es inyectiva.(b) F −G es inyectiva.(c) F ◦G es inyectiva.(d) F

⋃F−1 es inyectiva.

(e) a ∩ b = ∅ implica que F � a ∪G � b es inyectiva.(f) a ∩ b = ∅ implica que F ∗ a ∩ G∗ b = ∅ .

37

37. Determinar

〈ai : i ∈ I〉,⋃i∈I

ai,⋂i∈I

ai,∏i∈I

ai si:

(a) I = 3 y a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3 .(b) I = 3 y ai = i , para todo i en 3 .

38. Probar que existe una biyeccion entre a0 × a1 × a2 y∏i∈3

ai

39. ¿Existe una biyeccion entrea(∏i∈I

bi) y∏i∈I

( abi ) ?

40. Probar que existe una biyeccion entre∏

i∈I[i,i+1)R y RR.

41. Sea 〈bi : i ∈ I〉 una familia de subconjuntos de a . Probar que∏i∈I

bi ⊆ Ia.

42. Sean 〈ai : i ∈ I〉 y 〈bi : i ∈ I〉 dos familias de conjuntos conel mismo conjunto de ındices I.

(a) Probar que ai ⊆ bi , para todo i en I , si y solo si∏i∈I

ai ⊆∏i∈I

bi.

(b) Probar que

(∏i∈I

ai) ∩ (∏i∈I

bi) =∏i∈I

(ai ∩ bi).

43. Sean 〈ai : i ∈ I〉 y 〈bj : j ∈ J〉 dos familias de conjuntos.Probar que:

(a)

(∏i∈I

ai) ∩ (∏j∈J

bj) =∏

〈i,j〉∈I×J

(ai ∩ bj) .

(b)

(∏i∈I

ai) ∪ (∏j∈J

bj) =∏

〈i,j〉∈I×J

(ai ∪ bj) .

(c)

(⋃i∈I

ai) ∩ (⋃j∈J

bj) =⋃

〈i,j〉∈I×J

(ai ∩ bj) .

38

(d)

(⋂i∈I

ai) ∪ (⋂j∈J

bj) =⋂

〈i,j〉∈I×J

(ai ∪ bj) .

44. Sean 〈ai : i ∈ I〉 una familia de conjuntos y R una relacion.Probar que

R∗ (⋃i∈I

ai) =⋃i∈I

R∗ ai.

45. Sea 〈ai : i ∈ I〉 una familia de conjuntos tal que I =⋃J .

Probar que:(a) ⋃

i∈I

ai =⋃j∈J

(⋃i∈j

ai).

(b) ⋂i∈I

ai =⋂j∈J

(⋂i∈j

ai).

46. Sean 〈ai : i ∈ I〉 una familia de conjuntos y F una funcioncon dominio adecuado. Probar que:

(a)F ∗ (

⋃i∈I

ai) =⋃i∈I

F ∗ ai.

(b)F−1∗ (

⋃i∈I

ai) =⋃i∈I

F−1∗ ai.

(c)F ∗ (

⋂i∈I

ai) ⊆⋂i∈I

F ∗ ai

y que si F es inyectiva se tiene la igualdad.(d)

F−1∗ (⋂i∈I

ai) =⋂i∈I

F−1∗ ai.





39

4. Relaciones de Equivalencia

En matematica es frecuente que nos interesen solo ciertas propieda-des de los elementos de un conjunto y que queramos por consiguienteidentificar a todos los que comparten dichas propiedades. Por ejemplo,al estudiar las rectas del plano podemos identificar a todas las rectasque son paralelas entre sı. Si definimos la relacion R como todos lospares de elementos que queremos identificar, R es lo que llamamosuna relacion de equivalencia. Esta seccion estudiara este concepto.

Definicion 2.11. Sea R una relacion binaria.i) R es reflexiva sobre a si

∀x(x ∈ a→ 〈x, x〉 ∈ R),

R es reflexiva si R es reflexiva sobre Dom R.ii) R es simetrica si

∀x∀y(〈x, y〉 ∈ R→ 〈y, x〉 ∈ R).

iii) R es transitiva si

∀x∀y∀z((〈x, y〉 ∈ R ∧ 〈y, z〉 ∈ R)→ 〈x, z〉 ∈ R).

iv) Una relacion R es una relacion de equivalencia si y solo si Res reflexiva, simetrica y transitiva.

Es facil demostrar que la reflexividad (sobre su propio campo) esconsecuencia de la simetrıa y transitividad de la relacion (ver ejerci-cios). Sin embargo, la incluimos en la definicion porque tradicional-mente se le define ası y para hacer hincapie en que una relacion deequivalencia verifica esta propiedad.

Teorema 2.16. Sea R una relacion.i) R es transitiva si y solo si R ◦R ⊆ R.

ii) R es simetrica si y solo si R−1 ⊆ R.iii) R es reflexiva sobre a si y solo si Ia ⊆ R.iv) R es de equivalencia si y solo si R−1 ◦R = R.

Demostracion. i) Supongamos que 〈x, y〉 ∈ R y 〈y, z〉 ∈ R.Entonces 〈x, z〉 ∈ R ◦R = R, luego R es transitiva.

ii) y iii), ejercicio.iv) (⇒)

Supongamos que R es de equivalencia.Sea 〈x, y〉 ∈ R−1 ◦R, es decir, existe z tal que 〈x, z〉 ∈ R−1

y 〈z, y〉 ∈ R. Entonces 〈z, x〉 ∈ R y por lo tanto, como Res simetrica, 〈x, z〉 ∈ R y tambien 〈z, y〉 ∈ R, y como R estransitiva, 〈x, y〉 ∈ R. Luego R−1 ◦R ⊆ R.

40

Sea 〈x, y〉 ∈ R. Por simetrıa 〈y, x〉 ∈ R, luego 〈x, y〉 ∈ R−1

y por reflexividad, 〈y, y〉 ∈ R. Luego 〈x, y〉 ∈ R−1 ◦ R, o sea,R ⊆ R−1 ◦R y por lo tanto, R = R−1 ◦R.(⇐)

Supongamos que R = R−1 ◦R.Sea 〈x, y〉 ∈ R. Como R = R−1 ◦ R, existe z tal que

〈x, z〉 ∈ R−1 y 〈z, y〉 ∈ R. Entonces 〈y, z〉 ∈ R y 〈z, x〉 ∈ R−1,luego 〈y, x〉 ∈ R−1 ◦R = R. Esto prueba que R es simetrica.

Por otra parte, como

R−1 = (R−1 ◦R)−1 = R−1 ◦ (R−1)−1 = R−1 ◦R = R,

tenemos queR ◦R = R−1 ◦R = R,

luego, por i), R es transitiva.Como se menciono antes la reflexividad es consecuencia de la

simetrıa y transitividad. Ver ejercicios.

Definicion 2.12. Sea R una relacion de equivalencia.i) Sea x ∈ Dom R. La clase de equivalencia de x se define por

[x]R = {y ∈ Cam R : 〈x, y〉 ∈ R}.La clase de equivalencia de x es el conjunto formado por todoslos conjuntos relacionados con x .

ii)

P [R ] = {x ∈ P(Cam R) : ∃y(y ∈ Cam R ∧ x = [y]R)}.o mas informalmente

P [R ] = {[y]R : 〈x, y〉 ∈ R}.P [R ] es el conjunto de todas las clases de equivalencia de R .

Teorema 2.17. Sea R una relacion de equivalencia y sean x, y ∈Cam R.

i) Dom R = Rec R = Cam R.ii) x ∈ [x]R .iii) 〈x, y〉 ∈ R si y solo si [x]R = [y]R .iv) Si [x]R ∩ [y]R 6= ∅, entonces [x]R = [y]R .v) Si x ∈ [y]R, entonces [x]R = [y]R .vi) Si x, y ∈ [z]R, entonces [x]R = [y]R .

Demostracion. Demostraremos solo [iii)], el resto del teorema sedeja como ejercicio.

Supongamos que 〈x, y〉 ∈ R.41

Sea z ∈ [x]R. Entonces 〈x, z〉 ∈ R, luego 〈z, x〉 ∈ R por simetrıay 〈z, y〉 ∈ R por transitividad, o sea, z ∈ [y]R. Luego [x]R ⊆ [y]R.Analogamente, [y]R ⊆ [x]R, luego [x]R = [y]R.

Supongamos que [x]R = [y]R.Como 〈y, y〉 ∈ R, y ∈ [y]R, luego y ∈ [x]R, es decir, 〈x, y〉 ∈

R.

El teorema anterior nos da las principales propiedades de las clasesde equivalencia. ii) nos dice que todo elemento del campo esta enalguna clase y que toda clase es no vacıa. iv) nos dice que dos clasesdistintas son disjuntas. Estas tres propiedades definen otro importanteconcepto matematico, el de particion de un conjunto.

Definicion 2.13. Un conjunto P es una particion de a sii) a =

⋃P.

ii) ∀x(x ∈ P → x 6= ∅).iii) ∀x∀y((x ∈ P ∧ y ∈ P ∧ x 6= y)→ x ∩ y = ∅).

Veremos en el proximo teorema la estrecha relacion entre los con-ceptos de relacion de equivalencia y de particion, a saber, toda relacionde equivalencia sobre un conjunto da origen a una unica particion de eseconjunto. A la inversa, toda particion da origen a una unica relacionde equivalencia.

Teorema 2.18. i) Sea R una relacion de equivalencia concampo a . Entonces P [R ] es una particion de a .

Llamaremos a P [R ] la particion asociada a R .ii) Sea P una particion de un conjunto a . Entonces la relacion

R[P ] = {〈x, y〉 ∈ a× a : ∃z(z ∈ P ∧ {x, y} ⊆ z})es una relacion de equivalencia en a . Llamaremos a R[P ] larelacion de equivalencia asociada a la particion P .

iii) Dada una particion Q de a , P [R[Q ]] = Q.Dada una relacion de equivalencia S , R[P [S ]] = S.

Demostracion. i) Como lo hicimos notar, el teorema 2.17 ii)y iii) demuestra nuestra afirmacion.

ii) Sea P una particion de a .Para x ∈ a, como a =

⋃P , existe z ∈ P tal que x ∈ z, o

sea, {x} ⊆ z, luego 〈x, x〉 ∈ R[P ] y R[P ] es reflexiva.Si para algun z , {x, y} ⊆ z ∈ P , entonces {y, x} ⊆ z ∈ P ,

luego R[P ] es simetrica.Si existen u1, u2 ∈ P tales que {x, y} ⊆ u1 y {y, z} ⊆ u2,

entonces u1 ∩ u2 6= ∅ luego u1 = u2, por lo tanto, {x, z} ⊆ u1, osea, R[P ] es transitiva.

42

iii) Ejercicio.iv) Ejercicio.

Ejercicios.

1. Construır todas las clases de equivalencia que pueden existir so-bre el conjunto 3 .

2. Demuestre que una relacion simetrica y transitiva es tambienreflexiva (sobre su propio campo).

3. ¿Existe una relacion de equivalencia sobre el conjunto ∅ ?4. Sea a un conjunto. Demostrar que la igualdad de conjuntos es

relacion de equivalencia sobre Pa .5. Sea A un conjunto no vacıo de relaciones de equivalencia sobre

un conjunto a .(a) Probar que

⋂A es relacion de equivalencia sobre a .

(b) ¿Lo es siempre⋃A?

(c) Encuentre condiciones para que⋃A sea relacion de equiv-

alencia.6. Sea R una relacion sobre a . Probar que si R es transitiva y

refleja, entonces R ◦R = R . ¿ Es cierto el recıproco ?7. Sean R y S relaciones de equivalencia sobrea a y b respectiva-

mente. Definimos la relacion T sobre a×b por: 〈〈c, d〉, 〈e, f〉〉 ∈T si y solo si c ∈ a , e ∈ a , d ∈ b y f ∈ b , y 〈c, e〉 ∈ R y〈d, f〉 ∈ S . Probar que T es de equivalencia.

8. Sean R y S relaciones de equivalencia sobre a . Probar que:(a) R ◦ S es relacion de equivalencia sobre a si y solo si

R ◦ S = S ◦R.(b) R ∪ S es relacion de equivalencia sobre a si y solo si

R ◦ S ⊆ R ∪ S y S ◦R ⊆ R ∪ S.(c) Si T y H son relaciones arbitrarias sobre a , entonces si

R ⊆ T y R ⊆ H, entonces R ⊆ T ◦H.9. Sea F : a −→ b una funcion y sea R una relacion de equivalencia

sobre b. Sea c el conjunto {〈d, e〉 ∈ a× a : 〈F (d), F (e)〉 ∈ R}.Probar que c es relacion de equivalencia sobre a .

10. Sean para cada entero n , los conjuntos bn = {m ∈ Z : ∃ q(m =n + 5q)}. Probar que P = {bn : n ∈ Z} es una particion de Z.Determinar una formula para R[P ] .

43

11. Probar que las siguientes relaciones sobre R×R son de equiva-lencia; determinar la particion que determina cada una de ellas,y describir geometricamente los elementos de cada particion:

(a) R = {〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 : a2 + b2 = c2 + d2} .(b) S = {〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 : b− a = c− d} .(c) T = {〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 : a+ b = c+ d} .

12. Sea a un conjunto. Probar que Ia y a × a son relaciones deequivalencia sobre a, y describir las particiones correspondientes.

13. Sean P = {ai : i ∈ I} y Q = {bj : j ∈ J} particiones de a yb respectivamente. Probar que {ai × bj : 〈i, j〉 ∈ I × J} es unaparticion de a× b.

14. Sea F : a −→ b una funcion, y sean {ai : i ∈ I} y {bj : j ∈ J}particiones de a y b respectivamente. Probar que:

(a) Si F es sobre, entonces {F−1∗ bj : j ∈ J} es una particionde a .

(b) Si F es inyectiva, entonces F ∗ ai : i ∈ I} es una particionde RecF .

15. Sean R y S relaciones de equivalencia sobre a . Probar que:(a) [x]R∩S = [x]R ∩ [x]S , para todo x en a .(b) Si R∪S es de equivalencia, entonces [x]R∪S = [x]R∪ [x]S,

para todo x en a .16. Si F : a −→ b es una funcion, definamos la relacion R ={〈c, d〉 : F (c) = F (d)}.

(a) Probar que R es de equivalencia sobre a . R se dice larelacion de equivalencia determinada por F y se denotapor R [F ].

(b) Probar que R [F ] = F−1 ◦ F .(c) Si F : a −→ b y G : b −→ c son funciones, determinar

R [G ◦ F ] usando R [G] y F .17. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el

teorema 2.16.18. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el

teorema 2.17.19. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el

teorema 2.18.

5. Relaciones de Orden

Definicion 2.14. Sea R una relacion binaria.

i) R es antisimetrica si

∀x∀y((xRy ∧ yRx)→ x = y).

44

ii) R es conexa si

∀x∀y(xRy ∨ yRx ∨ x = y).

iii) R es un orden parcial si R es reflexiva, antisimetrica y transitiva.iv) R es un orden total si R es un orden parcial conexo.v) Si Dom R = a decimos que R es un orden (parcial, total) sobre

a . Decimos tambien que a esta parcial o totalmente ordenadopor R .

vi) Si R es un orden, en lugar de escribir 〈x, y〉 ∈ R, escribiremosx R y. Habitualmente los ordenes se designan con los sımbolos≤ o 4.

Ejemplo.

i) Los numeros reales con su orden usual constituyen un conjuntototalmente ordenado.

ii) Los numeros naturales se pueden ordenar parcialmente de la si-guiente manera, dados dos numeros naturales n y m definimos.

n 4 m si y solo si n|m.A menudo representamos ordenes mediante diagramas que consisten denodos unidos por lıneas. Los nodos representan conjuntos pertenecien-tes campo de la relacion R y las lıneas al orden mismo, ası, si 〈a, b〉 ∈ R,habra dos nodos unidos por una lınea (ver figura). Mientras mas arribaaparezca un conjunto en el diagrama, mas “grande” es.

Los diagramas de la figura representan a los ordenes

R = {〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈a, b〉}y

S = {〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c, c〉, 〈d, d〉, 〈e, e〉, 〈a, b〉, 〈a, c〉, 〈a, d〉, 〈a, e〉,〈b, d〉, 〈c, d〉, 〈c, e〉},

45

Definicion 2.15.

i) Una relacion R es asimetrica sobre a si y solo si

∀x∀y((x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ xRy)→ ¬ yRx).

ii) Una relacion es un orden estricto si es transitiva y asimetricasobre su campo.

Teorema 2.19. i) Si ≤ es un orden (parcial), entonces larelacion definida por

x < y si y solo si x ≤ y ∧ x 6= y

es un orden estricto cuyo campo es el mismo que el de ≤ .ii) Si R es un orden estricto, entonces la relacion definida por

xSy si y solo si xRy ∨ x = y,

es un orden parcial cuyo campo es el mismo que el de R .

Demostracion.

i) Ejercicio.ii) S es obviamente reflexiva.

Supongamos que xSy, ySx pero x 6= y. Entonces xRy yyRx, una contradiccion ya que R es asimetrica. Por lo tanto sixSy y ySx, x = y, o sea, S es antisimetrica.

S es transitiva ya que R lo es.

El mas tıpico ejemplo de orden parcial es la relacion de inclusion ⊆definida sobre el conjunto potencia de algun conjunto. Para ver hastaque punto este es el ejemplo tıpico de orden necesitamos primero unadefinicion.

Definicion 2.16. Sean R y S dos relaciones. Una funcion F :Cam R −→ Cam S es un isomorfismo entre R y S si y solo si Fes biyectiva y para todo a, b ∈ Cam R

aRb si y solo si F (a) S F (b).

Si tal F existe, decimos que R y S son relaciones isomorfas.Si R y S son ordenes decimos tambien que F es un isomorfismo deorden.

Teorema 2.20. Sea ≤ una relacion de orden. Entonces existe unconjunto a tal que ≤ es isomorfo con S = {〈x, y〉 ∈ a× a : x ⊆ y}.

46

Demostracion. Sea b = Cam ≤. Para cualquier conjunto xdefinimos yx = {z ∈ b : z ≤ x}.

Notemos que esta es una formula funcional. Luego por el axiomade reemplazo y dado que b es un conjunto

a = {{z ∈ b : z ≤ x} : x ∈ b},tambien es un conjunto.

Consideremos la relacion S = {〈x, y〉 ∈ a × a : x ⊆ y}. Entoncescampo S = a. Definimos

F : b −→ a

x 7−→ {z ∈ b : z ≤ x}.Observemos que por reflexividad de ≤ , para todo x ∈ b, x ∈

F (x).Supongamos que x 6= y. Entonces por antisimetrıa de ≤ , o bien

x 6≤ y o bien y 6≤ x, es decir, x /∈ F (y) o y /∈ F (x), lo que unido a laobservacion anterior demuestra que F (x) 6= F (y), es decir, F es 1–1.

Por otra parte, por definicion, F es sobreyectiva, luego F es unabiyeccion.

Si x, y ∈ b y x ≤ y, entonces por transitividad de ≤ , F (x) ⊆F (y), es decir, F (x) S F (y).

Si F (x) ⊆ F (y), entonces como x ∈ F (x), x ∈ F (y), o sea x ≤ y,por lo tanto

xRy si y solo si F (x) S F (y),o lo que es lo mismo, F es un isomorfismo.

A menudo nos encontramos con relaciones reflexivas y transitivaspero no antisimetricas (tal tipo de relacion se llama un preorden). Pode-mos obtener una relacion de equivalencia a partir de un preorden y or-denar las clases de una manera coherente con el preorden de la maneraindicada en el siguiente teorema. Esta construccion es bastante comunen matematica.

Teorema 2.21. Sea 4 una relacion transitiva y reflexiva concampo a .

Sea S = {〈x, y〉 ∈ a × a : x 4 y ∧ y 4 x}. Entonces S es unarelacion de equivalencia.

Mas aun, si definimos

[x]S ≤ [y]S si y solo si x 4 y,

entonces ≤ es un orden parcial sobre P [S ].

47

Demostracion. S es obviamente reflexiva y simetrica.Supongamos que xSy y ySz. Entonces x 4 y, y 4 x, y 4 z y

z 4 y, y como 4 es transitiva, x 4 z y z 4 x, o sea, xSz, lo quedemuestra que S es transitiva.

Para demostrar que ≤ es un orden parcial, sean [x]S ≤ [y]S y[y]S ≤ [z]S. Entonces x 4 y y y 4 z y como 4 es transitiva x 4 z,luego [x]S ≤ [z]S.

Supongamos [x]S ≤ [y]S y [y]S ≤ [x]S. Entonces x 4 y y y 4 x,es decir xSy. Luego [x]S = [y]S, o sea, ≤ es antisimetrica.

Por ultimo es facil ver que ≤ es reflexiva ya que 4 lo es.

Definicion 2.17. Sea ≤ un orden parcial con campoA. Suponga-mos que X ⊆ A y a ∈ A.

i) a es una cota superior de X si ∀x(x ∈ X → x ≤ a).ii) a es una cota inferior de X si ∀x(x ∈ X → a ≤ x).iii) a es el supremo de X si a es la menor cota superior de X .iv) a es el ınfimo de X si a es la mayor cota inferior.v) a es un elemento minimal de X si a ∈ X∧∀x(x ∈ X → x � a).vi) a es un elemento maximal de X si a ∈ X∧∀x(x ∈ X → a � x).

Los conceptos de cota superior, cota inferior, supremo e ınfimo sonprobablemente familiares para el lector. Notese que si un conjunto tienesupremo o ınfimo, estos son unicos. Tambien es interesante recalcar quelos elementos minimales no tienen por que ser el menor elemento delconjunto de hecho, este ni siquiera tiene que existir. En el ejemplo dela figura a y b son minimales

El siguiente teorema de punto fijo tiene muchas aplicaciones. Elargumento usado en su demostracion se usa frecuentemente.

Teorema 2.22. Sea ≤ un orden parcial con campo A y supon gamosque todo subconjunto de A tiene supremo. Sea F : A −→ A tal quex ≤ y → F (x) ≤ F (y). Entonces para algun x ∈ A, F (x) = x.

48

Demostracion. Observemos primero que A tiene que tener unmenor elemento. En efecto, es obvio que todos los elementos de Ason cota superior de ∅, pues si a ∈ A no lo fuera, existirıa x ∈ ∅ talque x 6≤ a lo que es imposible. Como ∅ ⊆ A, por hipotesis tiene unsupremo s , este es la menor de las cotas superiores, luego tiene queser el menor elemento de A .

Sea B = {x ∈ A : x ≤ F (x)}.Entonces B ⊆ A y B tiene supremo. Llamemos a al supremo

de B . Observese que B 6= ∅, ya que s ≤ Fs, donde s es el menorelemento de A .

Entonces para todo x ∈ B, x ≤ a y x ≤ F (x) ≤ F (a), luegoF (a) es cota superior de B y tenemos a ≤ F (a).

Por otra parte si a ≤ F (a), F (a) ≤ FF (a) y por lo tanto F (a) ∈B, luego F (a) ≤ a, es decir, a = F (a).

El concepto definido a continuacion es el origen de toda la teorıa delos numeros ordinales que estudiaremos en el proximo capıtulo. Comoveremos es una abstraccion de la conocida propiedad del orden de losnumeros naturales: todo subconjunto no vacıo de numeros naturalestiene un menor elemento.

Definicion 2.18. Sea R una relacion.i) R es bien fundada si para todo ∅ 6= A ⊆ Cam R, existe a ∈ A

tal que A ∩ {x ∈ Cam R : xRa} = ∅.ii) ≤ es un buen orden si < es un orden total bien fundado.

Notese la similitud de la definicion de relacion bien fundada con laformulacion del axioma de regularidad. De hecho el axioma de regular-idad dice que la relacion {〈x, y〉 ∈ a : x ∈ y} para cualquier conjuntoa es bien fundada.

Teorema 2.23. Para un orden parcial ≤ las siguientes condi-ciones son equivalentes.

i) ≤ es un buen orden.ii) ≤ es un orden total y todo subconjunto no vacıo del campo de≤ tiene un menor elemento.

iii) Todo subconjunto no vacıo del campo de ≤ tiene un menorelemento.

Demostracion. i)⇒ii) Sea A ⊆ Cam ≤. Escojemos a ∈ A talque

A ∩ {x ∈ Cam ≤ : x < a} = ∅,es decir para todo x ∈ A, x 6≤ a y como el orden es total,a ≤ x, es decir a es el menor elemento de A .

49

ii)⇒iii) Obvio.iii)⇒i) Dados dos elementos x, y ∈ Cam ≤, consideramos {x, y}, este

tiene un menor elemento luego x ≤ y o y ≤ x, o sea, ≤ esorden total.

Sea A ⊆ Cam ≤ y sea a su menor elemento. Entonces esclaro que

A ∩ {x ∈ Cam ≤ : x < a} = ∅,

es decir ≤ es bien fundado.

Ejercicios.

1. Sean a , b , c y d cuatro conjuntos distintos. ¿Cuantos or-denes parciales existen sobre {a, b}? ¿Sobre {a, b, c}? ¿Sobre{a, b, c, d}? Haga los diagramas correspondientes.

2. Diga cuales de los ordenes del ejercicio anterior son isomorfos.3. Sea a un conjunto con n elementos. Probar que un orden total

sobre a contiene 12n(n− 1) pares ordenados.

4. Probar que una relacion R sobre a es antisimetrica si y solo siR ∩R−1 ⊆ Ia.

5. Considere las siguientes relaciones sobre el conjunto8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:

(a) xR1 y si y solo si y − x ∈ 8.(b) xR2 y si y solo si y − x ∈ 8 y y − x 6= 0.(c) xR3 y si y solo si y − x = 0.(d) xR4 y si y solo si y − x es un entero par.(e) xR6 y si y solo si y − x = 1.

Determinar cuales de estas relaciones son antisimetricas, asime-tricas, transitivas, conexas, reflejas, de equivalencia o de orden.

6. Si R y S son relaciones y a un conjunto, probar que:(a) Si R es asimetrica, entonces R es antisimetrica.(b) Ia es simetrica y antisimetrica.(c) Si R , es simetrica y antisimetrica, entonces existe un con-

junto b tal que R = Ib.(d) Si R es asimetrica, entonces R−1, R ∩ S y R − S son

asimetricas.50

(e) Si R es antisimetrica, entonces R−1, R∩S y R−S sonantisimetricas.

(f) Si R es transitiva, entonces R−1 es transitiva.(g) Si R es conexa, entonces R−1 es conexa.(h) Si R es asimetrica, entonces R ∪ ICam R es antisimetrica.(i) Si R es antisimetrica, entonces R− ICam R es asimetrica.(j) Si R es transitiva y antisimetrica, entonces R− ICam R es

transitiva.7. Dar contraejemplos para las siguientes afirmaciones:

(a) Si R y S son asimetricas, entonces S ◦R y R ∪ S sonasimetricas.

(b) Si R y S son antisimetricas, entonces R ∪ S es anti-simetrica.

(c) Si R y S son transitivas, entonces R ∪ S y R − S yS ◦R son transitivas.

(d) Si R y S son conexas, entonces R∪S y R−S y S ◦Rson conexas.

8. ¿ Es ∅ un orden ?9. Si a es un conjunto no vacıo de ordenes sobre un conjunto b ,

probar que⋂a es un orden sobre b.

10. Si R es un orden sobre a y b ⊆ a, probar que R ∩ (b × b)es un orden sobre b y que si R es total, entonces R ∩ (b× b)tambien lo es.

11. Probar que R−1 es un orden sobre a si y solo si R es un ordensobre a .

12. Si R es un orden sobre a , probar que R−Ia es un orden estrictosobre a y si R es un orden estricto sobre a , probar que R

⋃Ia

es un orden (parcial) sobre a .13. ¿ Es ∅ un orden estricto ?14. Sean P1 y P2 particiones de a . Se dice que P1 es mas fina que

P2 si y solo si u ∈ P1 implica u ⊆ v para algun v en P2. Probarque la relacion “es mas fina que” es un orden sobre el conjuntode todas las particiones de a .

15. Dar un ejemplo de un conjunto a y un conjunto S de ordenessobre a , tales que

⋃S no es un orden sobre a .

16. Determinar cuales de las siguientes relaciones sobre Z son ordenesy si lo es, de que tipo de orden se trata:

(a) R = {〈x, y〉 : x+ y < 3}.(b) R = {〈x, y〉 : x divide a y}.(c) R = {〈x, y〉 : x+ y es par }.(d) R = {〈x, y〉 : x+ y es par y x es un multiplo de y }.(e) R = {〈x, y〉 : y = x+ 1}.

51

17. Sea R una relacion sobre a . Probar que R es de orden si ysolo si R ∩R−1 = Ia y R ◦R = R.

18. Sea < un orden estricto sobre a y sea b /∈ a . Definimos <1

sobre c = a ∪ {b} por:

x <1 y si y solo si (x, y ∈ a ∧ x ≤ y) ∨ (y = b ∧ x ∈ a).

Mostrar que <1 es un orden estricto sobre c y que la interseccionentre el orden <1 y a× a es el orden <.

19. Dar un contraejemplo de: Si R − ICam R es un orden parcialestricto, entonces R es un orden parcial.

20. Probar que si Ro es el conjunto de todos los ordenes sobre a yRe es el conjunto de todos los ordenes estrictos sobre a , entoncesexiste una biyeccion entre Ro y Re.

21. Sean x = {a, b, c, d, e} y S = {〈a, c〉, 〈b, c〉, 〈d, e〉}. Probar queS es un orden estricto para x , no es total y que x tiene treselementos minimales y dos maximales.

22. Sea a un conjunto ordenado tal que todo subconjunto no vacıode a con alguna cota superior en a tiene supremo en a . Probarque todo subconjunto no vacıo de a con alguna cota inferior ena tiene ınfimo en a .

23. Sea 〈≤i : i ∈ I〉 una familia de ordenes sobre a totalmenteordenada por inclusion. Probar que

⋃i∈I ≤i es un orden sobre

a .24. Sea R un orden sobre a y sea b un subconjunto de a. Probar que

c es el menor elemento de b si y solo si R∗ (R∩ ({c}× b)) = B.25. Consideremos ≤i orden sobre ai, con i ∈ {1, 2, 3}. Probar que:

(a) Si F : a1 −→ a2 es isomorfismo, F−1 : a2 −→ a1

tambien es isomorfismo.(b) Si F : a1 −→ a2 y G : a2 −→ a3 son isomorfismos,

entonces G ◦ F : a1 −→ a3 es isomorfismo.26. Sea ≤ un orden sobre a . Definamos Sb = {x ∈ a : a ≤ a},

para cada b en a . Probar que si 〈Sb : b ∈ a〉 esta ordenadopor inclusion, entonces 〈Sb : b ∈ a〉 es isomorfo a a .

27. Sean ≤1 y ≤2 ordenes sobre a1 y a2 respectivamente. SeaF : a1 −→ a2 un isomorfismo entre ≤1 y ≤2. Probar que:

(a) a es un elemento maximal (resp. minimal) en a1 si y solosi F (a) es maximal (resp. minimal) en a2.

(b) Si b ⊆ a1, entonces c es una cota superior (resp. inferior)de b en a si y solo si F (c) es una cota superior (resp.inferior) de F ∗ b en a2.

52

(c) Si b ⊆ a1, entonces c es el supremo (resp. ınfimo) de b ena si y solo si F (c) es el supremo (resp. ınfimo) de F ∗ ben a2.

28. Sea a un conjunto ordenado. Probar que:(a) Si todo subconjunto de a tiene ınfimo, entonces a tiene

un mayor elemento.(b) Todo subconjunto de a tiene supremo si y solo si todo

subconjunto de a tiene ınfimo.29. Sea 4 relacion sobre N× N dada por:

〈m,n〉 4 〈p, q〉 si y solo si m < n o m = p y n ≤ q,

donde ≤ es el orden usual sobre N.(a) Probar que 4 es un orden sobre N× N.(b) Encontrar todos los elementos minimales de N×N . ¿Tiene

N× N un menor elemento ?(c) Sea a = {1, 2}×{1, 2}. Encontrar todas las cotas de a . ¿

Tiene a supremo o ınfimo ? Encontrar todos los elementosminimales y maximales de a .

30. Sea 4 relacion sobre N× N dada por:

〈m,n〉 4 〈p, q〉 si y solo si m ≤ p y n ≤ q,

donde ≤ es el orden usual sobre N.(a) Probar que 4 es un orden sobre N× N.(b) Si a es un subconjunto no vacıo de N×N que tiene alguna

cota superior, entonces a tiene supremo.(c) Si a es un subconjunto no vacıo de N × N, entonces a

tiene ınfimo.(d) Dar un ejemplo de un subconjunto no vacıo de N×N que

tenga cotas superiores e inferiores pero que no tenga menorelemento ni mayor elemento.

31. Sea R un orden sobre a . Definimos una relacion S sobre Papor:

uS v

si y solo si

u = v o bien existe w ∈ v tal que u = {c : c ∈ v ∧ cRw}.

Probar que:(a) S es un orden sobre Pa .(b) Si d ⊆ b tal que S es un orden sobre d , entonces

⋃d ∈ b

y⋃d es cota superior de d .

32. Sea R un orden sobre a y sea b ⊆ a. Probar que:53

(a) c es el menor elemento de b respecto de R si y solo si esel mayor elemento de b respecto de R−1 .

(b) Analogo para elementos minimales y maximales, para cotassuperiores e inferiores y para supremos e ınfimos.

33. Dar ejemplos de ordenes sobre conjuntos finitos a y subconjuntosb de a tales que:

(a) b tiene un mayor elemento pero no menor elemento.(b) b tiene un menor elemento pero no tiene mayor elemento.

34. Sea Pb , con b 6= ∅ ordenado por inclusion y sea c ∈ Pb.Probar que:

(a)⋃c es el supremo de c.

(b)⋂c es el ınfimo de c, si c 6= ∅.

(c) El ınfimo de ∅ es Pb.35. Probar que todo subconjunto de un conjunto bien ordenado esta

bien ordenado.36. Sea ≤ un orden para a . Definimos el segmento inicial de b :

Sb = {x ∈ a : x < b}. Dado b ∈ a , a bien ordenado, probarque todo segmento inicial de Sb es a su vez segmento inicial dea , y que todo segmento incial de a contiene a Sb o es segmentoinicial de Sb.

37. Sea a un conjunto totalmente ordenado. Probar que el ordende a es un buen orden si y solo si todo segmento inicial de aesta un bien ordenado por (la restriccion de) el orden de a .

38. Si ≤ es buen orden sobre a y F es un isomorfismo entre a yun subconjunto de a , entonces x ≤ F (x) para todo x ∈ a.

39. Probar que ningun conjunto con un buen orden es isomorfo a unsegmento inicial de sı mismo.

40. Probar que entre dos buenos ordenes hay, a lo mas, un isomor-fismo.

41. Sean ≤1 y ≤2 buenos ordenes sobre a1 y a2 respectivamente.Probar que si a1 con ≤1 es isomorfo a un subconjunto de a2 con≤2, y a2 con ≤2 es isomorfo a un subconjunto de a1 con ≤1,entonces ≤1 y ≤2 son isomorfos sobre a1 y a2.

42. Sea ≤A un orden total sobre A y ≤B un orden total sobre B .Definimos

〈a1, b1〉 4 〈a2, b2〉 si y solo si a1 ≤A a2 ∨ a1 = a2 ∧ b1 ≤B b2.

Demuestre que la relacion ası definida es un orden total sobreA×B. Este orden se llama orden lexicografico.

Demuestre que si ≤A y ≤B son buenos ordenes, el ordenlexicografico tambien es un buen orden.

54

43. Demuestre que la relacion definida sobre los numeros naturalesen 5 es efectivamente un orden.



46. Demuestre que la relacion ≤ definida en el teorema 2.21 esefectivamente un conjunto.

47. Demuestre que el supremo y el ınfimo, con respecto a cualquierorden, de un conjunto A , si existen, son unicos.

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CAPITULO 3

Ordinales

En este capıtulo estudiaremos un tema un poco mas avanzado deteorıa de conjuntos. El lector esta seguramente familiarizado con losnumeros naturales. Los numeros naturales nos sirven para contar ypara ordenar los conjuntos finitos. Es esta segunda propiedad la quetrataremos de generalizar para conjuntos infinitos, empezaremos porconstruir dentro de nuestra teorıa el conjunto de los numeros naturales.

1. Numeros Naturales

Formalizaremos ahora el concepto intuitivo de numero natural den-tro de la teorıa ZF .

Definicion 3.1. El sucesor de un conjunto x es el conjunto

Sx = x ∪ {x}.Observese que si x es un conjunto, Sx tambien lo es (¿Por que?).

Definicion 3.2.

0 = ∅1 = S0 = {∅}2 = S1 = {∅, {∅}}3 = S2 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

...

Cada uno de estos conjuntos es un numero natural.

La definicion anterior introduce todos los numeros naturales enforma bastante sencilla. Debemos destacar algunas caracterısticas deesta. En primer lugar 0 es un numero natural. En segundo lugar, si nes un numero natural, su sucesor tambien lo es. En tercer lugar todonumero natural corresponde a una de esas dos posibilidades, o es 0 oes el sucesor de algun otro numero.

Una segunda observacion en el plano intuitivo (y que formalizare-mos en el capıtulo 5), es que el numero natural n contiene n elementos

57

i.e. 0 no tiene elementos, 1 tienen un elemento, 2 tiene dos elementos,etc.

Mas aun, notese que

1 = {0}2 = {0, 1}3 = {0, 1, 2}

...

En general,Sn = {0, 1, . . . , n} ,

todo numero natural esta formado por los naturales que lo preceden,salvo el 0 uqe no contiene ningun elemento.

Hasta ahora hemos construido cada uno de los numeros naturales.¿Existe un conjunto que contenga a todos y solamente a los numerosnaturales? La respuesta es sı pero dista de ser obvia, de hecho senecesita el Axioma de Infinito para poder construir el conjunto de losnumeros naturales.

Definicion 3.3. Decimos que X es inductivo sii) 0 ∈ X.

ii) Si x ∈ X, entonces Sx ∈ X.

El axioma de infinito nos dice precisamente que existe al menos unconjunto inductivo. Llamemoslo I.

Definicion 3.4. El conjunto ω de los numeros naturales se definecomo sigue:

ω = ∩{x ∈ PI : x es inductivo}Observese ω es inductivo y que si X es inductivo, ω ⊆ X, es decir,

ω es el mas pequeno de los conjuntos inductivos.Por la manera en que definimos los numeros naturales, es claro

que todo conjunto inductivo, en particular ω , contiene a todos losnumeros naturales. Por otra parte, ningun conjunto que no sea unnumero natural pertenece a ω . Esto quedara mas claro si demostramosprimero el siguiente teorema, del que derivan las propiedades que masnos interesan de los numeros naturales, conocido como Principio deInduccion. En adelante nos referiremos a el simplemente como P.I.

Teorema 3.1. (Principio de Induccion)Sea ϕ(x) una formula con una variable libre x . Supongamos quei) ϕ(0) se verifica.

58

ii) Para todo n ∈ ω si ϕ(n) se verifica, entonces ϕ(Sn)tambien se verifica.

Entonces ϕ(n) se verifica para todo n ∈ ω.

El P.I. puede ser enunciado en terminos de la relacion de pertenen-cia. En este caso, resulta mas evidente que P.I. simplemente afirmaque ω es el menor conjunto inductivo. Las dos maneras de enunciarel principio son equivalentes, (ver ejercicios.)

Teorema 3.2. (Principio de Induccion)Sea B un conjunto tal quei) 0 ∈ B.

ii) Para todo n , si n ∈ B , entonces Sn ∈ B.Entonces ω ⊆ B.

EjemploSi x ∈ ω, entonces x = 0 o bien x es el sucesor de un numero

natural.

Demostracion. SeaB = {x ∈ ω : x = 0 o x es el sucesor de un numero natural}.

Es claro que B es inductivo, luego ω ⊆ B ⊆ ω.

Resulta interesante notar que

0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ · · · y tambien o ⊆ 1 ⊆ 2 ⊆ 3 · · ·Esta observacion nos da la intuicion de que la relacion de pertenenciaentre naturales define una nocion de orden apropiada. En estricto rigor,la verdad es todo lo contrario, los numeros naturales se definen ası paraque la relacion de pertenencia sea un orden con buenas propiedades.

Definicion 3.5. La relacion ≤ se define en ω por:

m ≤ n ssi m ∈ n o bien m = n.

Diremos que m es menor o igual que n . Tambien usaremos el sımbolo< para denotar

m < n ssi m ≤ n y m 6= n.

Observese que m < n ssi m ∈ n.

Debemos demostrar que esta relacion es un orden lineal, mas aun,que es un buen orden.

Lema 3.3. Para todo n,m ∈ ω,59

i) 0 ≤ n.ii) Si x ∈ n, entonces x ∈ ω.iii) m < Sn ssi m ≤ n.iv) Si n < m, entonces Sn ≤ m.

Demostracion. i) Por induccion con ϕ(x) = 0 ≤ x.– ϕ(0) se verifica.– Supongamos ahora que ϕ(n) se verifica.

Es decir, 0 ≤ n, o sea 0 ∈ n o 0 = n. En cualquier caso0 ∈ n ∪ {n} = Sn, o sea ϕ(Sn) se verifica. Luego, envirtud de P.I., para todo n ∈ ω, 0 ≤ n.

ii) Por induccion sobre n . Sea

ϕ(x) = ∀y(y < x→ y ∈ ω)

– ϕ(0) se verifica trivialmente.– Supongamos ϕ(m) y sea y ∈ Sm. Entonces y ∈ m oy = m.Si y ∈ m, por hipotesis de induccion, y ∈ ω.Si y = m, entonces y ∈ ω. En cualquier caso y ∈ ω.

Luego por P.I., todo n ∈ ω verifica ϕ(x)iii) m < Sn ssi m ∈ Sn = n ∪ {n} sii m ≤ n.iv) Por induccion sobre m . Consideramos

ϕ(x) = ∀y(y < x→ Sy ≤ x).

– ϕ(0) se verifica trivialmente.– Supongamos ϕ(m), o sea, ∀y(y < m→ Sy ≤ m).

Supongamos pues que y < Sm y recordemos que estoocurre si y solo si y ∈ m o y = m.Si y ∈ m, por hipotesis de induccion, Sy ≤ m y luegoSy ≤ Sm.Si y = m, entonces Sy = Sm. En cualquier caso, siy < Sm, entonces Sy ≤ Sm, es decir, ϕ(Sm) se verifica.

Luego por P.I., para todo m ∈ ω, ϕ(m) se verifica.

Teorema 3.4. ≤ es un orden total sobre ω .

Demostracion. i) ≤ es obviamente reflexiva.ii) ≤ es antisimetrica. En efecto, supongamos que m ≤ n y

n ≤ m, pero m 6= n. Entonces m ∈ n y n ∈ m lo quecontradice el teorema 1.3.

iii) ≤ es transitiva. Supongamos que k ≤ m y m ≤ n. De-mostraremos que k ≤ n por induccion sobre n . Para ello sea

ϕ(x) = ∀y∀z((z ≤ y ∧ y ≤ x)→ z ≤ x).

60

– ϕ(0) se verifica ya que si k ≤ m y m ≤ 0, m = 0 luegok ≤ 0.

– Si ϕ(n) se verifica, consideremos k ≤ m y m ≤ Sn.Entonces m < Sn o m = Sn.Si m < Sn, entonces por el lema 3.3 iii), m ≤ n y porhipotesis de induccion k ≤ n. Es decir k ∈ n o k = n. Encualquier caso k ∈ Sn, o sea, k ≤ Sn.Si m = Sn, como k ∈ m o k = m tenemos k ∈ Sn ok = Sn, es decir, k ≤ Sn.Esto completa la induccion, luego todo numero natural nverifica ϕ(n), o sea, ≤ es transitiva.

iv) ≤es un orden total. Sean m y n dos numeros naturales.Demostraremos por induccion sobre n que m < n o m = n on < m. Para ello sea

ϕ(x) = ∀y(y < x ∨ y = x ∨ x < y)

– ϕ(0) se verifica por el lema 3.3 i).– Supongamos ϕ(n) se verifica. Entonces para todo m, m <n o m = n o n < m.Si m < n o m = n, entonces m ∈ Sn, luego m < Sn.Si n < m, entonces Sn ≤ m por el lema 3.3 iv).

Luego por P.I., ≤ es un orden total sobre ω .Para verificar que ≤ es un buen orden, resulta mas facil demostrar

primero otra version del Principio de Induccion. Para distinguirlode P.I., lo llamaremos Principio de Induccion Completa. Debemosrecordar siempre que este nuevo principio es equivalente con P.I. De-mostraremos a continuacion una de las implicaciones, la otra se dejacomo ejercicio.

Teorema 3.5. (Principio de Induccion Completa).Sea ϕ(x) una formula con una variable libre x . Supongamos que(∗ ) si ϕ(k) se verifica para todo k < n, entonces ϕ(n) tambien

se verifica.Entonces para todo n ∈ ω, se verifica ϕ(n).

Demostracion. Demostramos primero por induccion que paratodo n ∈ ω se cumple ψ(n) donde

ψ(x) = ∀y(y < x→ ϕ(y))

i) ψ(0) se cumple trivialmente ya que no existe m < 0.61

ii) Supongamos ψ(n) se verifica. Entonces por (∗), ϕ(n) tambien,pero por el lema 3.3 iii), para todo n

y < Sn→ (y < n ∨ y = n),

luego ∀y(y < Sn→ ϕ(y)), es decir ψ(Sn) es cierta.Esto completa nuestra induccion, o sea para todo n ∈ ω, se verifica,

en particular, ψ(Sn), y como n < Sn, esto garantiza que se verificaϕ(n).

El principio de Induccion Completa tambien puede plantearse enterminos de la relacion de pertenencia.

Teorema 3.6. Sea B ⊆ ω tal que(∗ ) si {k ∈ ω : k < n} ⊆ B, entonces n ∈ B.Entonces B = ω.

Teorema 3.7. ≤ es un buen orden.

Demostracion. Hemos visto que ≤ es un orden total. Debemosdemostrar que ≤ es bien fundado, es decir, que si X ⊆ ω, X 6= ∅,entonces X tiene un menor elemento.

Para ello suponemos que X no tiene menor elemento y aplicamosel Principio de Induccion Completa 3.6 a X ∈ ω −X)

Dado n , si para todo k < n , k ∈ ω −X , entonces n ∈ ω −Xporque, si no, n es el menor elemento de X, luego ω−X = ω, es decir,X = ∅ , lo que es una contradiccion. Por lo tanto todo subconjunto novacıo de ω tiene un menor elemento y ≤ es un buen orden.

Volveremos sobre estas propiedades en un contexto mas general enlas proximas secciones.

Teorema 3.8. Si un subconjunto de ω tiene una cota superior,entonces tiene un maximo elemento.

Demostracion. Sea X ⊆ ω, X 6= ∅, definimos

Y = {x ∈ ω : x es cota superior de X}.Por hipotesis Y 6= ∅. Sea m el menor elemento de Y . Por definicionm es el supremo de X. Debemos demostrar que m ∈ X.

Si m = 0, entonces para todo x ∈ X, x ≤ 0, o sea X = ∅ o bienX = {0}. El primer caso no ocurre por hipotesis y en el segundo, 0 esel maximo de X.

Si m 6= 0, entonces m = Sn para algun n. Pero entonces sim /∈ X, n es cota superior de X y n < m, una contradiccion. Luegom ∈ X y es el mayor elemento de X.

62

Ejercicios.

1. Demuestre la equivalencia de las dos maneras de enunciar el Prin-cipio de Induccion dadas en el texto, es decir los teoremas 3.1 y3.2.

2. Demuestre el Principio de Induccion Completa a partir del teo-rema 3.7

3. Demuestre la equivalencia de las dos maneras de enunciar el Prin-cipio de Induccion Completa dados en el texto, es decir los teo-remas 3.5 y 3.6.

4. Sea 〈ai : i ∈ ω〉 una familia de conjuntos tal que para todoi ∈ ω, ai ⊂ aSi. Probar que a0 ⊂ an para todo n ∈ ω − 1.

5. Sea 〈ai : i ∈ ω〉 una familia de conjuntos tal que para todoi ∈ ω , ai ⊆ aSi y

⋃i∈ω ai ⊆ a0. Probar que ai = a0 para todo

i en ω.6. Probar que si n ∈ ω,

⋃Sn = n y que

⋃ω = ω.

7. Probar que si a ⊆ ω, a 6= ∅ y⋃a = a , entonces a = ω.

8. Probar que si m y n estan en ω y m 6= n , entonces:

(a) m ∪ n ={m si n ∈ m,n si m ∈ n.

(b) m ∩ n ={n si n ∈ m,m si m ∈ n.

9. Probar que si n ∈ m y n 6= 0 , entonces existe un mayorelemento en n .

10. Si a ⊆ b ⊆ ω son no vacıos, n es el menor elemento de a ym es el menor elemento de b , ¿cual es la relacion entre n ym ? Justificar y responder para los mayores elementos de a yde b si estos existen.

11. Probar que si n ∈ ω , entonces no existe k ∈ ω tal que n < k <Sn.

12. Probar que si n y m estan en ω y n < m , entonces Sn < Sm.13. Probar que no existe una funcion F : ω −→ ω tal que para

todo n ∈ ω, F (Sn) < F (n).14. Probar que si ϕ(x) es una formula con variable libre x y existe

un k ∈ ω , tal que(a) ϕ(k) se verifica y(b) para todo n ∈ ω tal que k ≤ n, si se verifica ϕ(n) entonces

se verifica ϕ(Sn).Entonces ϕ(n) se verifica para todo n ∈ ω − k.

15. Probar que si ϕ(x) es una formula con variable libre x y existeun k ∈ ω tal que

(a) ϕ(k) se verifica y63

(b) para todo n ∈ ω tal que n > k, si se verifica ϕ(n) entoncesse verifica ϕ(Sn).

Entonces ϕ(n) se verifica para todo n ∈ ω − k.

2. Ordinales

Los ordinales son conjuntos asociados con buenos ordenes, de hecho,son los ejemplos tıpicos de estos ultimos en el sentido que todo buenorden es isomorfo a algun ordinal. La definicion de ordinal no hacesino extender las propiedades de los numeros naturales estudiadas enla seccion anterior sin embargo, esto no se podra apreciar sino hastaque el capıtulo este bastante avanzado.

Definicion 3.6. i) a es ∈–transitivo si

∀x∀y((x ∈ y ∧ y ∈ a)→ x ∈ a).

ii) a es un ordinal si a es ∈–transitivo y todo elemento de a es ∈–transitivo. Si x es un ordinal escribiremos Ord (x). Observeseque Ord (x) es una formula de nuestro lenguaje en la que xaparece libre.

Notacion: Usaremos letras griegas minusculas para denotar ordi-nales.

Nada en la definicion indica que haya ordinales, ni siquiera que ex-istan conjuntos ∈–transitivos. Tambien podrıa suceder que todo con-junto es un ordinal. A continuacion dilucidaremos estos problemas. Dehecho, el siguiente teorema demuestra que todos los numeros naturalesson ordinales.

Teorema 3.9. i) 0 es un ordinal.ii) Ord (x)→ Ord (Sx).iii) ∀x(x ∈ ω → Ord (x)).iv) Ord (ω).

Demostracion. i) Ord (0) trivialmente ya que 0 = ∅.ii) Supongamos que x es ordinal. Entonces x es ∈–transitivo y

todo elemento de x es ∈–transitivo. Como Sx = x∪ {x}, todoelemento de Sx es ∈–transitivo.

Para ver que Sx es ∈–transitivo consideremos z , y talesque z ∈ y ∈ Sx.

Si y ∈ x, entonces z ∈ x, ya que x es ∈–transitivo.Si y = x, entonces tambien z ∈ x, es decir, en cualquier

caso, z ∈ x ⊆ Sx, o sea, Sx es ∈–transitivo.64

iii) Consideramos la formula ϕ(x) = Ord (x). Por i) y ii) y P.I.,todo numero natural es un ordinal.

iv) El lema 3.3, ii) demuestra que ω es ∈–transitivo.Si n ∈ ω, iii) demuestra que n es ∈–transitivo. Luego

Ord (ω).

Ver que no todo conjunto es un ordinal es facil. De hecho, {{0}}no es ni siquiera ∈–transitivo. Tambien es facil ver que ningun parordenado 〈a, b〉 es un ordinal.

Teorema 3.10. Si C es un conjunto de ordinales, entonces⋃C

es un ordinal.

Demostracion. Para demostrar que⋃C es ∈–transitivo, supong-

amos x ∈ y ∈⋃C. Entonces existe α ∈ C talque y ∈ α. Como

x ∈ y ∈ α y este ultimo es ∈–transitivo, x ∈ α y por lo tanto,x ∈

⋃C, es decir,

⋃C es ∈–transitivo.

Sea x ∈⋃C. Entonces existe α ∈ C tal que x ∈ α, entonces, x

tambien es ∈–transitivo.Por lo tanto

⋃C es un ordinal.

El siguiente teorema demuestra que todo ordinal esta compuestopor ordinales.

Teorema 3.11. Si α es un ordinal, entonces todos sus elementosson ordinales.

Demostracion. Supongamos que x ∈ α. Entonces x es ∈–transitivo. Si y ∈ x, como α es ∈–transitivo, y ∈ α, luego y es∈–transitivo, luego x es ordinal.

Los ordinales nos proporcionan un nuevo ejemplo de clase propia.

Teorema 3.12. No existe el conjunto de todos los ordinales.

Demostracion. Supongamos por el contrario queO es el conjuntode todos los ordinales. Entonces es claro que O es ∈–transitivo y quetodos sus elementos son ∈–transitivos, es decir, O es un ordinal, luegoO ∈ O, contradiccion.

Teorema 3.13. Para todo par de ordinales α, β,

α ∈ β o α = β o β ∈ α.Mas aun, solo una de estas posibilidades se verifica.

65

Demostracion. Supongamos por el contrario que existen ordi-nales α y β tales que α 6∈ β, α 6= β y β 6∈ α.

Sea

A = {x ∈ Sα ∪ Sβ : ∃y(y ∈ Sα ∪ Sβ ∧ x 6∈ y ∧ x 6= y ∧ y 6∈ x)}.Nuestra suposicion implica que α, β ∈ A. Luego A 6= ∅.

Por el axioma de regularidad, existe a ∈ A tal que A ∩ a = ∅.Definimos entonces el conjunto

B = {x ∈ Sα ∪ Sβ : a 6∈ x ∧ a 6= x ∧ x 6∈ a}B 6= ∅ ya que a ∈ A.

Por el axioma de regularidad nuevamente sea b ∈ B tal queB ∩ b = ∅. Como a 6∈ B, a 6= b.

La contradiccion se obtiene probando que a = b.Sea x ∈ a, como a es ordinal, x tambien lo es. Como a ∩ A =

∅, x 6∈ A. Por ultimo como x ∈ a ∈ Sα ∪ Sβ, x ∈ Sα ∪ Sβ, ya queeste ultimo, al ser union de dos ordinales, es tambien un ordinal y, porlo tanto, es ∈–transitivo.

Entonces

∀y(y ∈ Sα ∪ Sβ → (x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x))

en particular como b ∈ Sα ∪ Sβ,

x ∈ b ∨ x = b ∨ b ∈ x.Si x = b, b ∈ a, luego b 6∈ B.Si b ∈ x, como a es ordinal b ∈ a, luego b 6∈ B. En ambos casos

tenemos una contradiccion.Por lo tanto la unica posibilidad es x ∈ b, es decir, hemos de-

mostrado que a ⊆ b.Supongamos ahora que x ∈ b. Como antes x ∈ Sα∪Sβ y x 6∈ B

ya que B ∩ b = ∅. Luego

a ∈ x ∨ a = x ∨ x ∈ a .Si a ∈ x o a = x, entonces a ∈ b ya que b es ordinal. Luego x ∈ a.Hemos demostrado que b ⊆ a.

Por lo tanto a = b lo que contradice nuestra suposicion, luego

α ∈ β ∨ α = β ∨ β ∈ α .El teorema 1.3 garantiza que solo una de las tres posibilidades an-

teriores se verifica.

Teorema 3.14. Si A es un conjunto no vacıo de ordinales, en-tonces

⋂A esordinal. Mas aun,

⋂A ∈ A.

66

Demostracion. Si x ∈⋂A, entonces para todo α ∈ A, x ∈ α,

luego x es ordinal, por lo tanto es ∈–transitivo.Supongamos x ∈ y ∈

⋂A. Entonces para todo α ∈ A, x ∈ y ∈

α ∈ A, pero α es ordinal, luego para todo α ∈ A, x ∈ α ∈ A, o sea,x ∈

⋂A y

⋂A es ∈–transitivo. Hemos demostrado que

⋂A es un

ordinal.Por 3.13, para todo α ∈ A,

⋂A ∈ α o

⋂A = α o α ∈

⋂A,

pero esta ultima posibilidad implica que, en particular, α ∈ α. Lasdos primeras posibilidades implican que

⋂A ∈ A.

Teorema 3.15. Para cualquier α y β

i) α ∈ β ssi α ⊂ β.ii) Si C ⊆ α, entonces

⋃C = α o

⋃C ∈ α.

iii) α =⋃Sα.

iv) Si α ∈ β, entonces Sα ∈ β o Sα = β.v) α = S

⋃α o α =

⋃α.

Demostracion. i) ⇒ Por ∈–transitividad de β , si x ∈ α,entonces x ∈ β, o sea, α ⊆ β. Como α ∈ β − α, α 6= β.⇐ Si α ⊂ β, entonces α 6= β y β 6∈ α. Luego por el

teorema 3.13, α ∈ β.ii)⋃C es un ordinal por el teorema 3.10.Supongamos que α ∈

⋃C, entonces α ∈ x para algun

x ∈ C y como hemos supuesto que C ⊆ α, x ∈ α. O seaα ∈ x ∈ α, lo que contradice el teorema 1.3. Luego

⋃C ∈

α o⋃C = α.

iii) Si x ∈⋃Sα, x ∈ y para algun y ∈ Sα. Entonces y ∈

α o y = α; en cualquier caso x ∈ α.Entonces x ∈ α ∈ Sα, luego x ∈

⋃Sα.

iv) Supongamos que β ∈ Sα, o sea, β ∈ α o β = α. Como porhipotesis α ∈ β, tendriamos que β ∈ β, lo que contradice elteorema 1.3. Luego por 3.13, Sα ∈ β o Sα = β.

v) Sabemos que⋃α es ordinal. Si α 6=

⋃α, entonces por ii),⋃

α ∈ α. Luego por iv), S⋃α ∈ α o S

⋃α = α. Si suponemos

que S⋃α ∈ α, como

⋃α ∈ S

⋃α, concluiriamos que

⋃α ∈⋃

α, lo que contradice el teorema 1.3. Luego S⋃α = α o α =⋃

α.

Observemos que iv) es una generalizacion del lema 3.3, iii). Tambienes importante notar que todo ordinal es o bien sucesor de algun otroordinal o bien la union de sı mismo.

67

Definicion 3.7. Sea α un ordinal. Definimos la relacion ≤ enα como sigue. Para x, y ∈ α

x ≤ y si y solo si x ∈ y ∨ x = y .

Notese que, en rigor, para distintos ordinales α el orden reciendefinido no es el mismo ya que su campo varıa. Sin embargo usaremosel mismo sımbolo ya que es claro dos de estos ordenes coinciden en lainterseccion de sus campos.

Tambien debemos notar que este coincide con el orden que definimospara los numeros naturales.

El siguiente teorema resume las principales propiedades de este or-den.

Teorema 3.16. Sea α un ordinal.

i) ≤ es un buen orden en α.ii) Si A ⊆ α y A 6= ∅, entonces

⋂A es el menor elemento de A.

iii) 0 es el menor elemento de α .iv) β < Sα si y solo si β ≤ α.v) α = {β ∈ α : β < α}.vi) No existe un ordinal β tal que α < β < Sα.vii) α ≤ β si y solo si α ⊆ β.

viii) Si A ⊆ α, entonces⋃A es el supremo de A .

ix) α < β si y solo si Sα ≤ β.x) Sα = Sβ si y solo si α = β.xi) Sα < Sβ si y solo si α < β.

Demostracion. i) ≤ es obviamente reflexiva. Es antisimetricapor el teorema 1.3. Es transitiva por la ∈–transitividad de α .Es decir, ≤ es un orden. En virtud del teorema 3.13, ≤ es unorden total.

Para ver que ≤ es un buen orden, consideremos un sub-conjunto no vacıo A ⊆ α. Por el teorema 3.14,

⋂A ∈ A.

Supongamos x ∈ A∩ (⋂A). Entonces para todo α ∈ A x ∈ α,

en particular, x ∈ x, una contradiccion. Luego A ∩ (⋂A) = ∅,

o sea, ≤ es un buen orden.ii) Quedo demostrado en (i), ∩A es el menor elemento de Aiii) iv) y v) son obvios.vi) Supongamos existe β tal que α < β < Sα, o lo que es lo

mismo, α ∈ β ∈ Sα, es decir α ∈⋃Sα = α, por 3.15 iii), una

contradiccion.vii) Es consecuencia inmediata de la parte i) del teorema anterior.

68

viii) Supongamos A ⊆ α, entonces⋃A es un ordinal y para x ∈ A

es claro que x ⊆⋃A, o sea, por vii), x ≤

⋃A, es decir,

⋃A

es cota superior.Sea β otra cota superior de A. Entonces para todo x ∈

⋃A,

como x ∈ α ∈ A y β es cota superior de A , x ≤ α ≤ β, esdecir, x ∈ β, o sea,

⋃A ⊆ β, por lo tanto ∪A es la menor de

las cotas superiores de A .ix) Si α ∈ β, entonces por ∈–transitividad Sα ⊆ β, o sea, Sα ≤ β.

Si Sα ≤ β, como α < Sα, α < β, por transitividad de < .x) Supongamos Sα = Sβ y α 6= β. Entonces como α ∈ Sα =

Sβ, α ∈ Sβ. Pero entonces α ∈ β. Analogamente β ∈ α lo quees imposible, luego, α = β. Es claro que si α = β, Sα = Sβ.

xi) α < β si y solo si Sα ≤ β si y solo si Sα < Sβ por ix) yiv) respectivamente.

Observacion.

En viii) hay un pequeno abuso producido por el hecho de denotarcon el mismo sımbolo ordenes distintos. En efecto, si tenemos

⋃A =

α, entonces ∪A no esta en el campo de ≤, luego no puede ser unacota superior. Podemos sin embargo entender dicha proposicion comoexpresada en un orden cuyo campo contiene a α , por ejemplo Sα ocualquier ordinal mas grande. En este caso la proposicion es totalmentecorrecta.

Ejercicios.

1. Probar que:(a) α es un ordinal si y solo si ∈ es un buen orden sobre α

y β ∈ α implica que β ⊆ α.(b) Si α es totalmente ordenado por ∈ y β ∈ α implica que

β ⊆ α , entonces α es un ordinal.2. Todo ordinal es segmento inicial de algun otro ordinal.3. Probar que α ∈ ω si y solo si α es ordinal y, o bien α = 0 , o

bien α 6=⋃α y para todo β ∈ α , β = 0 , o β 6=

⋃β.

4. Probar que α ∈ ω si y solo si α es ordinal y para todo β ⊆ αtal que β 6= 0 se tiene

⋃β ∈ β.

5. Probar que α es ordinal si y solo si α es ∈–transitivo y ∈ esbuen orden sobre α .

6. Probar que α ∈ ω si y solo si todo subconjunto no vacıo de αtiene mayor elemento.

69

7. Sea B un conjunto de ordinales . Probar que si α es un ordinaly para todo β ∈ B, β ≤ α , entonces

⋃β ≤ α. Probar tambien

que lo anterior no es necesariamente cierto si no se requiere queα sea ordinal.

8. Probar que si α ∈ ω y β es el mayor elemento de α , entoncesα = Sβ. ¿Es esto cierto si α es ordinal arbitrario?

3. Induccion Transfinita

En esta seccion generalizaremos el teorema de induccion de losnumeros naturales a los ordinales. De hecho, el primero es un casoparticular del segundo.

Teorema 3.17. (Principio de Induccion Transfinita)Si ϕ(x) es una formula con una variable libre y para todo ordinal

α ,(∗) si para todo β < α, ϕ(β) , entonces ϕ(α).Entonces para todo ordinal α, ϕ(α).

Demostracion. Observemos primero que como no existe ningunβ < 0, por ( ∗ ), ϕ(0) se verifica trivialmente.

Supongamos que el teorema es falso para algun ordinal α. Entoncesel conjunto C = {β ∈ Sα : ¬ϕ(β)} es no vacıo, luego tiene un menorelemento γ. La observacion al comienzo de esta demostracion implicaque γ 6= 0. Ademas, como γ es el menor elemento de C, para todoβ < γ, β 6∈ C, es decir, para todo β < γ, ϕ(β), pero entonces por lahipotesis ( ∗ ), ϕ(γ), pero como γ ∈ C, se llega a una contradiccion.

Luego para todo ordinal α ϕ(α).

Notese que esta formulacion del teorema de induccion transfinitaes similar a la del teorema de induccion completa de los numeros nat-urales, A veces es util usar una forma mas parecida al principio deinduccion “por casos”. Para ello recordemos que todo ordinal es obien el sucesor de algun otro o es la union de sı mismo. La proximadefinicion y el teorema que le sigue formaliza estas ideas.

Definicion 3.8. Un ordinal α es un sucesor si existe : β tal queα = Sβ. Si α 6= 0 y α no es un ordinal sucesor, entonces α es unordinal lımite lımite.

Notemos que hay tres clases de ordinales, 0, sucesores y lımites.

Teorema 3.18. Sea α un ordinal.i) α es sucesor si y solo

⋃α < α.

ii) α es lımite si y solo⋃α = α 6= 0.70

iii) α es lımite si y solo α 6= 0 ∧ ∀β(β < α→ ∃ γ(β < γ < α)).

Demostracion. i) Si α = Sβ, entonces por el teorema 3.15iii),

⋃α =

⋃Sβ = β < α,

Reciprocamente, si⋃α < α, S

⋃α ≤ α. Si suponemos que

S⋃α < α, ⋃

α ∈ S⋃

α ∈ α,o sea,

⋃α ∈

⋃α, una contradiccion. Luego α = S

⋃α y como⋃

α es un ordinal, α es sucesor.ii) Sabemos por el teorema 3.15 ii), que

⋃α ≤ α. Entonces por i),⋃

α = α si y solo si α no es sucesor, luego α 6= 0 y⋃α = α

si y solo si α es lımite.iii) Por ii), α es lımite si y solo si α 6= 0, α =

⋃α y esta ultima

es equivalente a que para todo β ∈ α, existe γ ∈ α tal queβ ∈ γ ∈ α.

Teorema 3.19. Sea ϕ(x) una formula con una variable libre talque

i) ϕ(0),ii) para todo ordinal α , si ϕ(α) , entonces ϕ(Sα) yiii) para todo ordinal lımite α , si ϕ(β) para todo β < α, entonces

ϕ(α).Entonces para todo ordinal α, ϕ(α).

Demostracion. Para demostrar este teorema, demostraremos lashipotesis del teorema 3.17 a partir de i), ii) y iii).

Sea entonces α un ordinal y supongamos que ϕ(β) para todoβ < α. Debemos demostrar que ϕ(α).

Hay tres casos.Si α = 0, entonces ϕ(α) por hipotesis i).Si α es un sucesor, entonces α = Sβ luego β < α y por lo tanto

ϕ(β). Pero entonces por ii), ϕ(Sβ) o sea, ϕ(α).Si α es un lımite, como ϕ(β), para todo β < α, por iii) ϕ(α).En cualquier caso ϕ(α). Por lo tanto en virtud del teorema 3.17,

para todo ordinal α, ϕ(α).

Este teorema puede demostrarse sin recurrir al teorema 3.17 peroestimamos que la demostracion tiene cierto interes en sı misma. Verejercicios problema 2.

Ejercicios.

71

1. Demuestre que el Principio de Induccion dado en el teorema 3.19implica al Principio de Induccion del teorema 3.17.

2. Demuestre el Principio de Induccion 3.19 sin usar el teorema3.17.

3. Demuestre el siguiente Principio de Induccion.Sean α un ordinal no nulo A ⊆ α tales que

(a) 0 ∈ A,(b) si β ∈ A y Sβ < α, entonces Sβ ∈ A,(c) si β =

⋃β < α y para todo γ < β, γ ∈ A.

Entonces A = α.

4. Recursion

En esta seccion estudiaremos un proceso, ıntimamente ligado a lainduccion transfinita, que nos permite definir operaciones entre ordi-nales, este es el principio de recursion.

En algebra elemental frecuentemente nos encontramos con suce-siones del tipo siguiente

a0 = 1an+1 = 2an + 1

Es claro que esta sucesion esta bien definida ya que para cualquiern , con algun trabajo, podemos obtener el valor de an. Por otra parte,es claro que esta definicion difiere esencialmente de la de la sucesion

bn = n2 + 1 .

La diferencia reside en que para conocer el valor de an debemosprimero determinar el valor de an−1, y para conocer este, debemosdeterminar el valor de an−1 y ası sucesivamente. No es este el caso debn . Decimos que {an}n∈ω esta definida recursivamente. A continuacionformalizaremos estos conceptos.

Recordemos que una formula ϕ(x, y) tal que para todo a existe ununico b tal que ϕ(a, b) define una operacion unaria y habitualmenteescribimos

b = F (a) si y solo si ϕ(a, b) .Observese que por el axioma de reemplazo, si a es un conjunto

F (a) y {F (x) : x ∈ a} tambien lo son.

El siguiente teorema nos permite definir una operacion unaria sobreun conjunto cualquiera conociendo todos los valores de la operacionsobre sus elementos. Una forma alternativa es definir la operacion porcasos, para el 0, para ordinales sucesores, para ordinales lımites y para

72

conjuntos cualquira. Este ultimo caso es necesario ya que la operaciondebe estar definida para todos los conjuntos y no solo para los ordinales.

Teorema 3.20. i) Sea y = G(x) una operacion unaria. En-tonces existe una unica operacion unaria y = F (x) tal que

∀α(Ord (α)→ F (α) = G({F (β) : β ∈ α})∧∀x(¬Ord (x)→ F (x) = x)

ii) Sean y = G(x), y = H(x) dos operaciones unarias, entoncesexiste una unica operacion unaria y = F (x) tal que para todoordinal α

F (Sα) = G(F (α)) ∧ (α =⋃

α→ F (α) = H{F (β) : β ∈ α})

y si x no es ordinal,

F (x) = x).

Demostracion. i) Demostraremos por induccion que para todoordinal α existe una unica funcion fα tal que

a) Domfα = Sα,b) fα(β) = G(f∗α β), para todo β ∈ Sα yc) si β ∈ α, entonces fβ ⊂ fα.Sea entonces α un ordinal y supongamos que para todo

β < α existe fβ con las propiedades a), b) y c). Entoncesdefinimos

fα(β) ={fβ(β) , si β ∈ α,G(f ∗α(α)) , si β = α.

Entonces fα es una funcion, Dom fα = Sα y fα verificab) y c).

Observemos tambien que f0(0) = G(0).Para probar la unicidad de fα supongamos que para algun α

existen dos funciones fα y gα con las caracterısticas anteriores.Sea α0 el menor tal ordinal. Entonces para β < α0 existe unaunica funcion fβ como arriba. Pero entonces para todo β < α0

fα0(β) = fβ(β) = gα0(β),

y por lo tanto73

f ∗α0α0 = {fα0(β) : β ∈ α0}

= {fβ(β) : β ∈ α0}= {gα0(β) : β ∈ α0}= g∗α0

α0,

luego

fα0(α0) = G(f ∗α0α0) = G(g∗α0

α0) = gα0(α0),

Es decir fα0 = gα0 lo que contradice nuestra suposicion.Por lo tanto, por el teorema 3.17, para todo ordinal α existe

una unica funcion fα que verifica a) y b).Podemos ahora definir nuestra operacion unaria y = F (x).

F (x) ={fx(x) si x es ordinal,x si x no es ordinal.

Por construccion, y = F (x) verifica la tesis del teorema.ii) Demostraremos por induccion que para todo α existe una unica

funcion fα tal quea) Dom fα = Sα,b) Si Sβ ∈ Sα, entonces fα(Sβ) = G(fα(β)),c) Si β =

⋃β ∈ Sα, entonces fα(β) = H(f ∗αβ).

d) Si β ∈ α, entonces fβ ⊂ fα.Si β = 0 , entonces β =

⋃β luego definimos f0 con

dominio 1 como sigue:

f0(0) = H(f ∗0 (0)) = H(0)

Si β = Sγ, suponemos que existe fγ con Dom fγ = Sγy que satisface a), b), c) y d). Definimos entonces fβ de lasiguiente manera

fβ(α) ={

fγ(α) si α ∈ β = Sγ,G(fγ(γ)) si α = β.

Es claro que fβ verifica a), b), c) y d).Si β = ∪β, suponemos por hipotesis de induccion que para

todo γ ∈ β existe fγ que verifica a), b), c) y d).Definimos fβ como sigue

fβ(α) ={

fα(α) si α ∈ β = Sγ,H(f ∗β(β)) si α = β.

74

fβ tambien verifica a), b), c) y d). Luego por induccion, paratodo ordinal α , existe una funcion fα con las caracterısticasindicadas.

La unicidad de fα es obvia y se deja como ejercicio.Podemos definir la operacion unaria F como en i).

Ejercicios.

1. Definimos la clausura transitiva de a, que denotamos T (a), comoel menor conjunto ∈–transitivo que contiene a a . Demuestreque existe la clausura transitiva de cualquier conjunto.

Indicacion: Definir recursivamente una funcion F sobre ωde tal manera que

F (0) = a

F (n+ 1) =⋃

F (n)

y luego probar que T (a) =⋃n∈ω F (n). Intuitivamente

T (a) = a ∪⋃

a ∪⋃⋃

a ∪⋃⋃⋃

a · · · ,

es decir contiene los elementos de a , los elementos de los ele-mentos de a , etc.

5. Funciones Normales

En esta seccion estudiaremos algunas propiedades de las funcionesnormales que nos seran utiles en las secciones siguientes.

Definicion 3.9. Sean A y B ordinales y µ : A→ B una funcion.i) µ es no-decreciente si

∀α∀β(α < β → µ(α) ≤ µ(β)).

ii) µ es estrictamente creciente si

∀α∀β(α < β → µ(α) < µ(β)).

iii) µ es continua si

∀α((α 6= 0 ∧⋃

α = α ∈ A)→ µ(α) =⋃β∈α

µ(β)).

iv) µ es normal si es continua y estrictamente creciente.

Ejemplo.

75

1. La funcion S es estrictamente creciente pero no continua, porejemplo Sω 6= ω =

⋃Sω.

2. La funcion⋃

es continua pero no estrictamente creciente, porejemplo, ω < Sω, pero

⋃ω =

⋃Sω.

3. Sea α un ordinal lımite. Definimos para β ∈ α

f(β) ={Sβ , si β es sucesor,β , si no.

Facilmente podemos ver que f es normal.

Teorema 3.21. Sean A,B ordinales µ : A→ B una funcion.Si µ es estrictamente creciente, entonces para todo α ∈ A, α ≤

µ(α).

Demostracion. Por induccion.

Teorema 3.22. Sean A,B ordinales µ : A → B una funcioncontinua tal que si Sβ ∈ A, µ(β) < µ(Sβ). Entonces µ es normal.

Demostracion. Tenemos que demostrar que µ es estrictamentecreciente. Lo haremos por induccion usando la siguiente formula

ϕ(x) = ∀β((β < x ∧ x ∈ A)→ µ(β) < µ(x))

i) ϕ(0) se verifica trivialmente.ii) Si β = Sγ, supongamos que ϕ(γ) se verifica y que Sγ ∈ A.

Entonces para δ < γ, µ(δ) ≤ µ(γ) por hipotesis de in-duccion . Si δ = γ, µ(γ) < µ(Sγ), por hipotesis, es decirluego

∀δ((δ < β = Sγ ∧ Sγ ∈ A)→ µ(δ) < µ(beta)),

es decir, ϕ(β).iii) Si β es lımite, entonces por la continuidad de µ , ϕ(β).

Esto que completa muestra induccion. Luego µ es estrictamente cre-ciente y por lo tanto normal.

Teorema 3.23. Si µ es una funcion normal y α ∈ Dom µ es unordinal lımite, entonces µ(α) tambien es lımite.

Demostracion. Sea δ ≤ µ(α). Como

µ(α) =⋃β<α

µ(β) ,

existe γ < α tal que δ ∈ µ(γ), o sea,76

δ < µ(γ) < µ(α),ya que como µ es estrictamente creciente, µ(γ) < µ(α). Luego porteorema 3.18 iii), µ(α) es lımite.

Teorema 3.24. Si α es un ordinal, β < α y µ es no decreciente,entonces ⋃

γ<α

µ(γ) =⋃

β≤γ<α

µ(γ).

Demostracion. Si γ < β , µ(γ) ≤ µ(β), luego⋃γ<β

µ(γ) ≤ µ(β)

y por lo tanto⋃γ<α

µ(γ) =⋃γ<β

µ(γ) ∪⋃

β≤γ<α

µ(γ) =⋃

β≤γ<α

µ(γ).

Teorema 3.25. Sean µ, ν funciones normales tales que Rec µ ⊆Dom ν. Entonces ν ◦ µ es una funcion normal.

Demostracion. ν ◦ µ es estrictamente creciente ya que si α <β, µ(α) < µ(β), luego

ν(µ(α)) < ν(µ(β)),

o sea, ν ◦ µ(α) < ν ◦ µ(β).Para ver que ν ◦ µ es continua, sea α 6= 0, α = ∪α. Por teorema

3.23,µ(α) =

⋃β<α

µ(β) es tambien un ordinal lımite. Luego como ν es

continuaν ◦ µ(α) = ν(µ(α)) =

⋃β<µ(α)

ν(β).

Pero si β < µ(α) =⋃γ<α

µ(γ), entonces existe γ < α tal que β <

µ(γ) < µ(α) luego

ν(β) < ν(µ(γ)) <⋃δ<α

ν(µ(δ)).

Por lo tanto

ν ◦ µ(α) ≤⋃δ<α

ν(µ(δ)) ≤ ν(µ(α)) = ν ◦ µ(α)

77

o seaν ◦ µ(α) =

⋃δ<α

ν ◦ µ(δ),

es decir ν ◦ µ es continua y por lo tanto ν ◦ µ es normal.

Teorema 3.26. Sea α un ordinal, µ una funcion normal condominio α . Supongamos que para algun β ∈ α existen δ, γ ∈ αtal que µ(δ) ≤ β < µ(γ). Entonces existe un unico γ ∈ α tal queµ(γ) ≤ β < µ(Sγ).

Demostracion. Sea ε el menor γ tal que β < µ(γ). Este debeexistir por hipotesis.

Supongamos ε = 0, entonces como ε ≤ β, µ(ε) ≤ µ(β) < µ(ε),una contradiccion, luego ε 6= 0.

Supongamos ε 6= 0, ε = ∪ε. Entonces β < µ(ε) =⋃δ<ε

µ(δ) luego

existe δ < ε tal que β < µ(δ) contradiciendo la minimalidad de ε.Por lo tanto ε es un sucesor, digamos ε = Sγ. Entonces µ(γ) ≤

β < µ(Sγ).Para probar la unicidad de γ, sea ξ 6= γ un ordinal. Entonces

γ < ξ o ξ < γ .

Si γ < ξ , Sγ ≤ ξ, luego β < µ(Sγ) ≤ µ(ξ); si ξ < γ, Sξ ≤ γ,luego µ(Sξ) ≤ µ(γ) < β. En cualquier caso, ξ no verifica queµ(ξ) ≤ β < µ(Sξ), luego γ es unico.

Ejercicios.

1. Demuestre que la funcion definida en los ejemplos 5 es normal.2. Demuestre el teorema 3.21.3. Considere la topologıa generado sobre el ordinal α por todos los

intervalos(β), γ) = {δ : β < δ < γ},

donde β < γ ∈ α.Demuestre que µ : α −→ α es continua segun la definicion

3.9 si y solo si, µ es continua en esta topologıa.

6. Ordinales y Buenos Ordenes

Esta breve seccion la dedicaremos a demostrar un resultado im-portante, a saber, que todo buen orden es isomorfo al orden de algunordinal. De esta manera, los ordinales sirven para representar a todos

78

los posibles buenos ordenes. Volveremos sobre este tema en el proximocapıtulo.

Teorema 3.27. Todo buen orden es isomorfo con (el orden de) unordinal.

Demostracion. Sea R un buen orden cuyo campo es A . Defi-namos la operacion unaria

F (α) ={R−menor elemento de A− F ∗α si este es no vacıo,A si no.

(Para ser rigurosos, la operacion F debe estar definida para todoconjunto y no solo para los ordinales, sin embargo, siempre podemosdefinir F en forma arbitraria para un conjunto x que no es ordinal.Por ejemplo, podemos definir F (x) = A).

Por el axioma de reemplazo,

Γ = {α : F (α) ∈ A}

es un conjunto de ordinales y por lo tanto existe algun ordinal β talque F (β) /∈ A. Sea

γ =⋂{β : F (β) /∈ A}.

Observemos que si F (β) /∈ A, entonces F (β) = A y A− F ∗β = ∅,luego si α > β, F (α) /∈ A. Esto demuestra que Γ = γ.

Si α < β < γ, entonces F ∗α ⊂ F ∗β, luego A− F ∗β ⊆ A− F ∗α,y por lo tanto

R−menor elemento A− F ∗α ≤ R−menor elemento A− F ∗β,

es decir, F (α) ≤ F (β).Por otra parte, si α < β, F (α) ∈ F ∗β, luego F (α) /∈ A − F ∗β y

por lo tanto F (α) 6= F (β).Esto demuestra que si definimos

f : γ −→ A

α 7−→ F (α),

f es una biyeccion y

α ≤ β si y solo si f(α)Rf(β),

o sea, R y γ son isomorfos.

79

7. Aritmetica Ordinal

A continuacion definiremos la suma, el producto y la exponen-ciacion de ordinales.

Las dos primeras operaciones tienen una interpretacion bastanteintuitiva en terminos de buenos ordenes. Como sabemos todo ordinalesta bien ordenado por ∈ , es mas, como vimos en la seccion ante-rior, todo buen orden esta codificado o representado por algun ordinal.Ahora bien, la suma de dos ordinales α y β representa al (buen)orden que resulta de ordenar α ∪ β poniendo todos los elementos deβ despues de los de α , graficamente

−−−−−−−− →︸︷︷︸α

−−−−− →︸︷︷︸β

Por su parte α · β representa al (buen) orden lexicografico sobreα× β (ver ejercicios).

La exponenciacion no tiene una interpretacion intuitiva.

7.1. Suma de Ordinales.

Definicion 3.10. Definimos la suma de ordinales como sigue. Siα es un ordinal cualquiera

i) α + 0 = αii) α + Sβ = S(α + β)iii) α + λ = ∪{α + β : β ∈ λ}, si 0 6= λ = ∪λ

Observese que tal operacion esta bien definida en virtud del teorema3.20, ii), donde

G(x) = Sx y H(x) = ∪x.Ademas para todo α, β, α + β es un ordinal.

Teorema 3.28. Para todo par de ordinales α y β , la funcion

+α : β −→ α + β

γ 7→ α + γ ,

es una funcion normal.

Demostracion. +α es continua por definicion.Supongamos que γ ∈ β y Sγ ∈ β, entonces

+α(γ) = α + γ < S(α + γ) = α + Sγ = +α(Sγ),

luego por el teorema 3.22, +α es normal.

80

Formalizaremos ahora las ideas intuitivas sobre la suma de ordinalesque dimos en la introduccion de esta seccion.

Teorema 3.29. Dados α y β ordinales, definimos el orden Rcuyo campo es {0} × α ∪ {1} × β como sigue:

〈x0, y0〉R 〈x1, y1〉si y solamente si se verifica una de las siguientes condiciones

1. x0 = x1 = 0 y y0 ≤ y1 < α,2. x0 = 0 , x1 = 1,3. x0 = x1 = 1 y y0 ≤ y1 < β.

Entonces R es un buen orden isomorfo a α + β.

Demostracion. Es facil demostrar que R es un buen orden (verejercicios).

Definimos:

F (x, γ) ={

γ si x = 0 y γ < α,α + γ si x = 1 y γ < β.

Entonces

Dom F = {〉0, γ〈: γ ∈ α} ∪ {〉1, γ〈: γ ∈ β}= Cam R .

Tambien es claro que α ⊆ Rec F ⊆ α+ β. Para ver que Rec F =α + β, sea δ ∈ α + β, δ 6∈ α. Luego α ≤ δ < α + β. Como +α

es normal, por teorema 3.26, existe un unico γ tal que +α(γ) ≤ δ <+α(γ), o bien

α + γ ≤ δ < α + Sγ = S(α + γ).Por teorema 3.16, vi) , α+γ = δ. Luego, como γ tiene que ser menorque β ,

δ = α + γ = F (1, γ) ,

o sea, δ ∈ Rec F y por lo tanto α + β = Rec F .Por ultimo como +α es normal, es facil verificar que

xRy ssi F (x) ≤ F (y)

y que F es inyectiva.

Algunas de las propiedades mas importantes de la suma de ordinalesestan resumidas en el siguiente teorema.

Teorema 3.30. Sean α , β , γ ordinales. Entoncesi) (α + β) + γ = α + (β + γ).

ii) β ≤ α + β.81

iii) α < β si y solo si existe γ > 0 tal que α + γ = β.iv) Si α < β , entonces α + γ ≤ β + γ.v) Sα = α + 1.vi) 0 + α = α.vii) Si β < γ , entonces α + β < α + γ.

Demostracion. i) Por induccion sobre γ .– Si γ = 0

(α + β) + 0 = α + β = α + (β + 0).

– Supongamos que (α + β) + γ = α + (β + γ). Entonces

(α + β) + Sγ = S((α + β) + γ)= S(α + (β + γ))= α + S(β + γ)= α + (β + Sγ).

– Si 0 6= λ = ∪λ y para todo γ ∈ λ, α + (β + γ) =(α + β) + γ. Entonces como +β(x) = β + x es normal yλ es lımite, por 3.23,

β + λ = ∪{β + γ : γ < λ}

es lımite, y por 3.24

∪{β + γ : γ < λ} = ∪{δ : δ < β + λ}.

Similarmente, +α(x) = α + x es normal, luego

α + (β + λ) = α + ∪{β + γ : γ < λ}= α + ∪{δ : δ < β + λ}= ∪{α + δ : δ < β + λ}= ∪{α + δ : β ≤ δ < β + λ}= ∪{α + (β + γ) : γ < λ}= ∪{(α + β) + γ : γ < λ}= (α + β) + λ.

Esto completa la induccion y demuestra por lo tanto la aso-ciatividad de + .

ii) Por induccion sobre β .– Si β = 0 , obviamente 0 ≤ α + 0.– Supongamos β ≤ α + β. Entonces

Sβ ≤ S(α + β) = α + Sβ.

82

– Si 0 6= λ = ∪λ y para todo γ ∈ λ γ ≤ α + γ. Entonces

λ = ∪{γ : γ ∈ λ} ≤ ∪{α + γ : γ ∈ λ} = α + λ.

iii) Supongamos α < β. Como β ≤ α + β,

A = {δ ∈ Sβ : β ≤ α + δ},es no vacıo, luego A tiene un menor elemento γ tal que

β ≤ α + γ.

Supongamos que β < α + γ.Es claro que γ 6= 0 ya que α < β.Si γ es un sucesor, digamos γ = Sε,

β < α + Sε = S(α + ε),

luego β ≤ α + ε, lo que contradice la minimalidad de γ .Si γ = ∪γ, β < α+γ = ∪{α+ δ : δ ∈ γ}, luego β ∈ α+ δ

para algun δ < γ, lo que contradice la minimalidad de γ .Es decir γ no es 0 ni sucesor ni lımite lo que no es posible,

luego β = α + γ.Recıprocamente, si β = α+γ, como α+x es estrictamente

creciente y 0 < γ

α = α + 0 < α + γ = β.

iv) Por induccion sobre γ .– Si γ = 0,

α + 0 = α < β = β + 0.

– Supongamos que α + γ < β + γ. Entonces

α + Sγ = S(α + γ) < S(β + γ) = β + Sγ.

– Si 0 6= λ = ∪λ y para γ < λ, α+ γ < β + γ.Entonces

α + λ = ∪{α + γ : γ ∈ λ}⊆ ∪{β + γ : γ ∈ λ}= β + λ.

La desigualdad estricta no se puede lograr ya que, por ejem-plo,

1 + ω = 2 + ω.

v) Obviovi) 0 + α = α se demuestra por induccion sobre α.

– Si α = 0, entonces 0 + α = 0 = α.83

– 0 + Sα = S(0 + α) = Sα.– Si 0 6= α = ∪α y para todo γ ∈ α, 0 + γ = γ,

0 + α = ∪{0 + γ : γ ∈ α} = ∪{γ : γ ∈ α} = α,

lo que completa la induccion.vii) Ya lo demostramos en el teorema 3.28.

La suma de ordinales restringida a ω nos da la suma usual de losnumeros naturales, por ejemplo, 2 + 2 = 4. En efecto

2 + 2 = 2 + S1 = S(2 + 1) = S(2 + S0) = SS2 = S3 = 4.

En el proximo teorema se demuestran algunas propiedades de lasuma de los numeros naturales.

Teorema 3.31. Sean m y n numeros naturales. Entoncesi) m+ n es natural.

ii) n+ 1 = 1 + n.iii) m+ n = n+m.

Demostracion. i) Por induccion sobre n .– m+ 0 = m es natural.– Si m + n es natural, su sucesor tambien lo es. PeroS(m+ n) = m+ Sn, luego m+ Sn tambien es natural.Por el principio de induccion, 3.1, para todo natural n, m+n es natural.

ii) Por induccion sobre n .– 1 + 0 = 1 = 0 + 1, por 3.30, vi).– Supongamos que 1 + n = n+ 1. Entonces

1 + Sn = S(1 + n) = S(n+ 1) = SSn = Sn+ 1,

lo que completa la induccion.iii) Por induccion sobre n .

– m+ 0 = 0 +m por 3.30, vi).– Supongamos que m+ n = n+m. Entonces

m+ Sn = m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1= (n+m) + 1 = n+ (m+ 1)= n+ (1 +m) , por ii),= (n+ 1) +m = Sn+m ,

lo que completa la induccion.

84

Notemos que la suma de ordinales no es general conmutativa, enefecto,

1 + ω = ∪{1 + n : n ∈ ω} =⋃{Sn : n ∈ ω} = ω 6= ω + 1 .

De hecho esta propiedad caracteriza a los ordinales que no sonnumeros naturales.

Teorema 3.32. ω ≤ α si y solo si 1 + α = α.

Demostracion. Ya vimos que 1 + ω = ω.Si α ≥ ω, existe γ tal que α = ω + γ. Entonces

1 + α = 1 + (ω + γ) = (1 + ω) + γ = ω + γ = α.

Si α < ω, entonces por 3.31 ii), 1 + α = α + 1 6= α.

7.2. Multiplicacion de Ordinales.

Definicion 3.11. Definimos por recursion el producto por α comosigue

i) α · 0 = 0.ii) α · Sβ = α · β + α.iii) α · λ = ∪{α · β : β ∈ λ}, si 0 6= λ = ∪λ.

Como en el caso de la suma, hemos definido la multiplicacion porrecursion usando el teorema 3.20, donde

G(x) = x+ α y H(x) = ∪x.

Teorema 3.33. Para todo par de ordinales α y β, α 6= 0 lafuncion×α : β −→ α · β

γ 7−→ α · γ ,es una funcion normal.

Demostracion. ×α es continua por definicion.Para ver que ×α normal, por teorema 3.22, basta verificar que para

todo γ ∈ β ×α (γ) < ×α(Sγ).

×α(γ) = α · γ< α · γ + α, por teorema 3.30, iii),= α · Sγ= ×α(Sγ).

85

Teorema 3.34. Dados α y β ordinales, definimos el orden Rcuyo campo es α× β como sigue:

〈x0, y0〉R 〈x1, y1〉

si y solamente si se verifica una de las siguientes condiciones

1. y0 ≤ y1 < β,2. y0 = y1 y x0 ≤ x1 < β.

Entonces R es un buen orden isomorfo a α · β}.

Demostracion. Podemos suponer que α y β son distintos de 0.Es facil demostrar que R es un buen orden (ver ejercicios).Para γ ∈ α, δ ∈ β, definimos

F (〈γ, δ〉) = α · δ + γ.

Entonces Dom F = α × β = Cam R. F es una funcion y para cada〈γ, δ〉 ∈ α× β,

F (〈γ, δ〉) = α · δ + γ

< α · δ + α, por teorema 3.30, vii),= α · Sδ≤ α · β, ya que ×α es creciente.

O sea, hemos demostrado que Rec F ⊆ α · β. Para demostrar queF es sobreyectiva, sea ε ∈ α · β.

Entoncesα · 0 = 0 ≤ ε < α · β.

Como ×α es normal, por el teorema 3.26, existe un unico δ tal que

α · δ ≤ ε < α · Sδ = α · δ + α.

Es claro que δ < β y que si β ≤ δ, ε < α · β ≤ α · δ ≤ ε.Ahora bien, como α · δ ≤ ε, por 3.30, iii) existe un unico γ tal que

α · δ + γ = ε. Evidentemente γ < α pues si no,

ε < α · Sδ = α · δ + α ≤ α · δ + γ = ε.

Por lo tanto, dado ε ∈ α · β, existe un unico 〈γ, δ〉 ∈ α × β talque F (〈γ, δ〉) = ε, o sea, F es sobreyectiva.

Para probar que F es estrictamente creciente, supongamos que〈γ, δ〉R〈ε, ξ〉, entonces o bien δ < ξ , en cuyo caso

86

F (〈γ, δ〉) = α · δ + γ

< α · δ + α

= α · Sδ ≤ α · ξ≤ alpha · ξ + ε = F (〈ε, ξ〉),

o bien δ = ξ y γ < ε, entonces

F (〈γ, δ〉) = α · δ + γ

= α · ξ + γ

< α · ξ + ε = F (〈ε, ξ〉),

o sea F es estrictamente creciente, luego es inyectiva y por lo tantoes un isomorfismo.

Observacion.

El orden R recien introducido se llama orden antilexicografico,corresponde a sustituir cada elemento de β por una copia de α .

Las propiedades basicas de la multiplicacion ordinal estan resumi-das en el siguiente teorema.

Teorema 3.35. i) α · (β + γ) = α · β + α · γ.ii) α · (β · γ) = (α · β) · γ.iii) α · 0 = 0 · α = 0.iv) α · 1 = 1 · α = α.v) α · 2 = α + α.vi) Si α 6= 0, entonces β ≤ α · β.vii) Si α 6= 0 y β < γ, entonces α · β < α · γ.

viii) Si α 6= 0 y 1 < β, entonces α < α · β.ix) Si α < β, entonces α · γ ≤ β · γ.x) Si 1 < α, 1 < β, entonces α + β ≤ α · β.xi) Si α, β 6= 0, entonces α · β 6= 0.

Demostracion. i) Por induccion sobre γ .– Si γ = 0, α · (β + 0) = α · β = α · β + 0 = α · β + α · 0– Si α · (β + γ) = α · β + α · γ,

87

α · (β + Sγ) = α · S(β + γ)= α · (β + γ) + α

= (α · β + α · γ) + α

= α · β + (α · γ + α)= α · β + α · Sγ.

– Si γ = ∪γ 6= 0 y para todo δ ∈ γ, α · (β+ δ) = αβ+αδy

α · (β + γ) = α ·⋃{β + δ : δ ∈ γ}.

Como +β es normal,⋃{β + δ : δ ∈ γ} es un ordinal lımite

luego

α ·⋃{β + δ : δ ∈ γ} =

⋃{α · (β + δ) : δ ∈ γ}

=⋃{α · β + α · δ : δ ∈ γ}

= α · β + ∪{α · δ : δ ∈ γ},

ya que ×α es normal. Esto completa la induccion, por lotanto

α · (β + γ) = α · β + α · γ.ii) Por induccion sobre γ usando i).iii) y iv) se demuestran por una sencilla induccion.v) Por definicion.

vii) Por induccion sobre β . Sea 1 ≤ α.– Si β = 0, 0 ≤ α · 0 = 0.– Si β ≤ α · β, entonces

Sβ ≤ S(α · β)= α · β + 1≤ α · β + α

= α · Sβ.

– Si β = ∪β 6= 0 y para todo γ < β, γ ≤ α · γ,

β = ∪{γ : γ ∈ β} ≤ ∪{α · γ : γ ∈ β} = α · β,

lo que completa la induccion.ix) Por induccion sobre γ .x) Por induccion sobre β .

88

– Si β = 2, entonces como 2 ≤ α,

α + β = α + 2 ≤ α + α = α · 2 = α · β

– Si 1 < β y α + β ≤ α · β,

α + Sβ = S(α + β)≤ S(α · β)= α · β + 1≤ α · β + α

= α · Sβ.

– Si β = ∪β 6= 0 y para todo γ ∈ β, 1 < γ, entoncesα + γ ≤ α · γ, entonces

α + β =⋃{α + γ : γ ∈ β} ⊆

⋃{α · γ : γ ∈ β} = α · β.

xi) Si no, existen α, β 6= 0 tales que α · β = 0 pero por vi), comoα 6= 0, β ≤ α · β = 0, luego β = 0 , contradiccion.

El siguiente teorema demuestra que la multiplicacion de ordinalesrestringida a ω verifica las propiedades que esperamos que esta ver-ifique, a saber, que sea conmutativa y que distribuya por la derechasobre la suma. Cabe destacar que la multiplicacion ordinal en generalno verifica estas propiedades. Por ejemplo,

2 · ω = ω 6= ω + ω = ω · 2

y por endeω = (1 + 1)ω 6= ω + ω

Teorema 3.36. Sean m , n y l numeros naturales. Entonces

i) m · n es natural.ii) m · n = n ·m.iii (m+ n) · l = m · l + n · l.

Demostracion. i) Por induccion sobre n .ii) Por induccion sobre n .

– Si n = 0, entonces m · n = n ·m = 0– Si m · k = k ·m, demostraremos por induccion sobre m

que para todo m, m · Sk = Sk m.– Si m = 0, m · Sk = Sk m = 0

89

– Si l · Sk = Sk · l, entonces

Sl · Sk = Sl · k + Sl= k · Sl + Sl, por hipotesis de induccion sobre m,= (k · l + k) + Sl= (l · k + k) + Sl, por hipotesis de induccion sobre, n= (l · k + Sl) + k, por 3.30, i) y 3.31 iii),= (l · k + (l + 1)) + k= (l · k + l) + (k + 1)= l · Sk + Sk= Sk · l + Sk, por hipotesis de induccion sobre, m= Sk · Sl.

Esto completa ambas inducciones.

Notese que en la demostracion anterior se hizo una doble induccion,es decir, el paso de induccion se demostro, a su vez, por induccion.

Teorema 3.37. (Algoritmo de la division).Si α y β son ordinales y β 6= 0, entonces existe un unico γ y

un unico δ tales que

α = β · γ + δ , γ ≤ α y δ < β.

Demostracion. Como ×β es normal, en virtud de 3.26, existe ununico γ tal que

β · γ ≤ α < β · Sγ = β · γ + β.

Por 3.30, iii) existe un unico δ tal que

β · γ + δ = α .

Por 3.35, vi), es claro que γ ≤ α. Ademas, δ < β, pues si β ≤ δ,

α < β · γ + β ≤ β · γ + δ = α.

Teorema 3.38. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.i) α es lımite.

ii) α = ω · γ, para algun γ 6= 0.iii) Para todo m ∈ ω − {0}, m · α = α y α 6= 0.

Demostracion. i) ⇒ ii) Por el algoritmo de division, existenγ y δ tales que γ ≤ α, δ < ω y

α = ω · γ + δ.

90

Si δ 6= 0 , δ = Sm, para algun m ∈ ω, entonces α =ω · γ + Sm = S(ω · γ + m), o sea α no es lımite. Por lo tantoδ = 0 y

α = ω · γ.Obviamente γ 6= 0 pues si no, α = 0.

ii) ⇒iii) Primero verifiquemos que para todom ∈ ω−{0} m·ω = ω.En efecto, por 3.35, vi),

ω ≤ m · ω = ∪{m · n : n ∈ ω} ⊆ ω,

luego m · ω = ω.Entonces si m 6= 0 y α = ω · γ, para algun γ 6= 0,

m · α = m · (ω · γ) = (m · ω) · γ = ω · γ = α

iii) ⇒i) Supongamos m · α = α, α 6= 0 y α = Sβ para algun β .Entonces

α = 2 · α = 2 · Sβ = 2 · β + 2 ≥ β + 2 > β + 1 = α,

una contradiccion, luego α es lımite.

7.3. Exponenciacion de Ordinales.

Definicion 3.12. Sean α y β ordinales. Definimos por recursionla exponenciacion de ordinales como sigue.

i) α0 = 1.ii) αSβ = αβ · α.iii) αβ = ∪{αγ : γ ∈ β}, si β =

⋃β 6= 0.

Como en el caso de la suma y la multiplicacion, hemos definido laexponenciacion por recursion usando el teorema 3.20, donde

G(x) = x · α y H(x) = 1 ∪⋃

x.

Teorema 3.39. Para todo par de ordinales α > 1 y β , la funcion

expα : β −→ αβ

γ 7→ αγ,

es una funcion normal.

Demostracion. Como expα es continua por definicion, bastademostrar que es estrictamente creciente. Para ello usamos el teorema3.22.

Por induccion podemos demostrar que αβ 6= 0 para todo ordinalβ . Luego,

expα(β) = αβ = αβ · 1 < αβ · α = αSβ = expα(Sβ).91

Las propiedades de la exponenciacion de ordinales se resumen en elsiguiente teorema.

Teorema 3.40.

i)

0α ={

0 , si α es sucesor,1 , si α es lımite o α = 0.

ii) 1α = 1.iii) α0 = 1, α1 = α y α2 = α · α.iv) Si α, β > 1, entonces α < αβ.v) Si α > 1, entonces β ≤ αβ.vi) Si α > 1 y β < γ, entonces αβ < αγ.vii) Si α 6= 0, entonces αβ+γ = αβ · αγ.

viii) Si α 6= 0, entonces (αβ)γ = αβ·γ.ix) Si α > 1 y β 6= 0, entonces 1 < αβ.x) Si α, β > 1, entonces α · β ≤ αβ.

Demostracion. i) y ii) se demuestran por induccion.iii) es obvio.iv) se verifica porque expα es estrictamente creciente y α1 = α.v) se puede demostrar por induccion sobre β o por 3.21 porque

expα es normal para α > 1.vi) simplemente expresa que expα es creciente para α > 1.vii) Por induccion sobre γ .

– Si γ = 0, entonces αβ+γ = αβ = αβ · 1 = αβ ·α0 = αβ ·αγ.– Si αβ+γ = αβ · αγ, entonces

αβ+Sγ = αS(β+γ)

= αβ+δ · α= (αβ · αγ) · α= αβ · (αγ · α)= αβ · αSγ.

92

– Si γ = ∪γ 6= 0 y para todo δ ∈ γ, αβ+δ = αβ · αδ,entonces como β + γ es lımite y usando el teorema 3.24

αβ+γ =⋃{αε : ε < β + γ}

=⋃{αε : β ≤ ε < γ}

=⋃{αβ+δ : δ ∈ γ}

=⋃{αβ · αδ : δ ∈ γ}

= αβ ·⋃{αδ : δ ∈ γ}

= αβ · αγ,

lo que completa la induccion.viii) Por induccion sobre γ

– Si γ = 0 , entonces (αβ)γ = (αβ)0 = 1 = α0 = αβ·0 = αβ·γ.– Si (αβ)γ = αβ·γ, entonces

(αβ)Sγ = (αβ)γ · αβ

= αβ·γ · αβ, y por vii),= αβ·γ+β

= αβ·Sγ .

– Si γ = ∪γ 6= 0 y para todo δ ∈ γ, (αβ)δ = αβ·δ,entonces

(αβ)γ =⋃{(αβ)δ : δ ∈ γ}

=⋃{αβ·δ : δ ∈ γ}.

=⋃{αε : ε ∈ β · γ}

= αβ·γ ,

ya que β · γ es lımite. Para demostrar el paso anterior,debe usarse un argumento similar al empleado en la de-mostracion de vii). Esto completa la induccion.

ix) Si 1 < α y 0 < β, entonces por vi), 1 = α0 < αβ.x) Por induccion sobre β .

– Si β = 2, entonces α ·β = α ·2 = α+α ≤ α ·α = α2 = αβ

93

– Si α · β ≤ αβ, entonces

α · Sβ = α · β + α

≤ αβ + α

≤ αβ · α= αSβ.

– Si β = ∪β 6= 0 y para todo γ ∈ β, α · γ ≤ αγ, entonces

α · β =⋃{α · γ : γ < β}

≤⋃{αγ : γ < β}

= αβ.

Esto completa la induccion.

El ultimo teorema de esta seccion nos dice que la exponenciacionde ordinales restringida a los numeros naturales tiene las propiedadesque esperamos que esta tenga.

Teorema 3.41. Sean l , m y n numeros naturales. Entoncesi) mn es un numero natural.

ii) (l ·m)n = ln ·mn

Demostracion. Ambas se demuestran por induccion sobre n.

Ejercicios.

1. Demuestre que los ordenes definidos en 3.34 y 3.29 son buenosordenes.

2. Demuestre la asociatividad de la multiplicacion, 3.35, ii).3. Demuestre tambien 3.35, iii), iv), v) y ix).4. Demuestre el teorema 3.41.5. Encontrar ordinales α, β, γ tales que α+ γ = β + γ y α 6= β.6. Probar que:

(a) Si α ≤ β, entonces γ + α ≤ γ + β.(b) Si γ + α < γ + β, entonces α < β.(c) Si α + γ < β + γ, entonces α < β.(d) Si α < β, entonces para todo n ∈ ω se tiene α+n < β+n.(e) Si α + α = α, entonces α = 0.(f) Si α + α = β + β, entonces α = β.(g) Probar que si α + β = ω, entonces α ∈ ω y β = ω.(h) Si γ + α = γ + β, entonces α = β.

94

7. Probar que si β 6= 0, entonces α+ β es ordinal lımite si y solosi β es ordinal lımite.

8. Probar que α + γ = α ∪ {α + β : β ∈ γ}.9. Probar que si β es ordinal lımite, entonces

⋃{α+γ ; γ ∈ β} =⋃

{δ : δ ∈ α + β}.10. Sea F una operacion tal que si α es ordinal, entonces F (α)

es ordinal. Definimos la operacion∑

F sobre los ordinales por:•∑

F (0) = 0 ;• si α es ordinal, entonces

∑F (Sα) =

∑F (α) + F (α) ;

• si α es ordinal lımite, entonces∑

F (α) =⋃{∑

F (β) :β ∈ α} ;• si α no es ordinal, entonces

∑F (α) = 0.

Probar que:(a)

∑F esta bien definida sobre los ordinales.

(b) Si α es ordinal, entonces∑

F (α) es ordinal.(c) Definimos

∑β∈α F (β) =

∑F (α).

(i) Probar que∑

n∈ω n = ω.(ii) Para cada n ∈ ω definimos fn por:

(A) Dom (fn) = ω + 1 ;(B) si m ∈ ω y m 6= n , entonces fn(m) = m ;(C) fn(n) = ω ;(D) fn(ω) = n.Probar que

∑α∈ω+1 fn(α) = ω + ω + n.

(iii) Probar que si β < α , entonces∑

γ∈β F (γ) ≤∑γ∈α F (γ).

(iv) Sea α un ordinal. Probar que si G es una operacionque lleva ordinales en ordinales, entonces si para todoβ β < α implica que F (β) ≤ G(α) , entonces∑

β∈α F (β) ≤∑

β∈αG(β).Probar que “ ≤ ” se puede reemplazar por “ < ” sise agrega la condicion de que si γ ∈ α , entoncesF (γ) 6= 0 .

(v) Si F es tal que para todo β < α se tiene F (β) = 1, entonces α =

∑β∈α F (β).

(vi) Probar que si α es ordinal lımite y para todo β < αse tiene F (β) 6= 0 , entonces

∑β∈α F (β) es tambien

ordinal lımite.11. Probar que para todo ordinal α existe un ordinal lımite β y un

n ∈ ω tales que α = β + n.12. Probar que no existe un ordinal γ tal que para cualquier par de

ordinales δ y β tales que δ < β se tenga α + δ < γ < α + β.

95

13. Probar que si α 6= 0 , entonces α + ω < ω + α.14. Diremos que β es un residuo de γ si β 6= 0 y existe α tal que

α+ β = γ. Probar que si α > β y α y β son residuos de γ ,entonces β es residuo de α .

15. Probar que:(a) Si α + β = ω, entonces α · β = ω.(b) Si γ · α < γ · β, entonces α < β .(c) Si γ 6= 0 y γ · α = γ · β , entonces α = β.(d) Si β · γ < α · γ, entonces β < α .(e) Si α · γ = β · γ y γ 6= 0 no es ordinal lımite, entonces

α = β.16. Bajo division por 2 un ordinal tiene por resto a 0 o a 1 , y se dira

que tal ordinal es par o impar en los respectivos casos. Clasificarlos siguientes ordinales en pares o impares:

(a) ω ;(b) ω + 1 ;(c) (ω + 1)2 ;(d) (ω + 1) · 2.

17. Por vecindad de un ordinal entendemos un intervalo abierto(β, γ) = {δ : δ es ordinal y β < δ < γ} al que pertenece elordinal. Una operacion F sobre el ordinal α que lleva ordinalesen ordinales puede ser representada por (αi)i∈α, donde αi = F (i), para todo i ∈ α. En tal caso hablamos de una sucesion de ordi-nales (es claro que si F es operacion arbitraria que lleva ordinalesen ordinales, restringiendola a un ordinal cualquiera la consider-amos como sucesion de ordinales). Diremos que una sucesion deordinales tiene lımite λ = limi∈α ai si y solo si dada una vecindad(β, γ) de λ , existe un ordinal δ ∈ α tal que si δ ≤ i < α se tieneαi ∈ (β, γ).

(a) Probar que limi∈α αi es el supremo de {αi : i ∈ α} , si(αi)i∈α es una sucesion de ordinales estrictamente creciente.

(b) Dar un ejemplo de dos sucesiones de ordinales estricta-mente crecientes (αi)i∈α y (βi)i∈α , tales que limi∈α αi +limi∈α βi 6= limi∈α(αi + βi).

(c) Probar que α es lımite de cualquier sucesion de ordinales talque (αi)i∈α ⊆ Sα , pero no existe una sucesion de ordinales(αi)i∈ω que simultaneamente este contenida en Sα−{α} yque tengta a α como lımite.

(d) Sea (αi)i∈α una sucesion estrictamente creciente de ordi-nales con λ como lımite. Probar que αi 6= λ para todoi ∈ α. Ademas, probar que λ es ordinal lımite.

96

(e) Sea (αi)i∈α una sucesion de ordinales no necesariamentecreciente. Probar que si α es ordinal sucesor entonces existelimi∈α αi , pero si α es ordinal lımite no necesariamenteexiste tal lımite.

(f) Si (αi)i∈α es un a sucesion estrictamente creciente deordinales, probar que para todo ordinal λ se tiene λ +limi∈α αi = limi∈α(λ + αi) , pero no necesariamente setiene limi∈α αi + λ = limi∈α(αi + λ). Probar tambien queλ · (limi∈α αi) = limi∈α(λ · αi) , pero no necesarimente(limi∈α αi) · λ = limi∈α(αi · λ).

18. Sea (αi)i∈α una sucesion de ordinales tal que αi = β para todoi ∈ α. Probar que

∑i∈α αi = β · α.

19. (a) Probar que n · ω = ω si n ∈ ω.(b) Probar que α es ordinal lımite si y solo si n · α = α para

todo n ∈ ω.20. Probar que si α 6= 0 es ordinal sucesor, entonces para todo γ 6= 0

se tiene (γ + 1) · α > γ · α.21. Probar que si β es ordinal lımite y α 6= 0 , entonces

⋃{α · γ :

γ ∈ β} =⋃{δ : δ ∈ α · β}.

22. Sea F una operacion que lleva ordinales en ordinales. Definimos∏F (α) por:•∏

F (0) = 1 ;•∏

F (Sα) =∏

F (α) · F (α) ;• Si α es ordinal lımite y existe β ∈ α tal que F (β) = 0 ,

entonces∏

F (α) = 0 ;• Si α es ordinal lımite y para todo β ∈ α se tiene F (β) 6= 0

, entonces∏

F (α) =⋃{F (β) : β ∈ α} ;

• Si α no es ordinal, entonces∏

F (α) = 0.Probar que:

(a)∏

F esta bien definida.(b)

∏F (α) es un ordinal si α lo es.

(c)∏

F (α) = 0 si y solo si existe β ∈ α tal que F (β) = 0.(d) Definimos

∏β∈α F (β) :=

∏F (α).

Para cada n ∈ ω definimos fn por:(i) Dom (fn) = ω + 1 ;(ii) si m ∈ ω y m 6= n , entonces fn(m) = m+ 1 ;(iii) fn(n) = ω ;(iv) fn(ω) = n+ 1.Entonces

∏α∈ω+1 fn(α) = ω · ω · (n+ 1).

(e) Si para toda γ ∈ α se tiene F (γ) 6= 0 , entonces si β < αse tiene

∏γ∈β F (γ) ≤

∏γ∈α F (γ).

97

(f) Si G es una operacion que lleva ordinales en ordinales,entonces si para todo β ∈ α se tiene F (β) ≤ G(β) , elloimplica que

∏β∈α F (β) ≤

∏β∈αG(β).

23. Simplificar ω + ω · ω y (ω + 1) · ω · ω.24. Probar que si β > 1 es aditivamente indescomponible y α > 0 ,

entonces α · β es aditivamente indescomponible.25. Sean α y β ordinales. Probar que si F es una operacion

sobre los ordinales tal que F (γ) = α para todo γ ∈ β , entonces∏γ∈β F (γ) = αβ.

26. Encontrar la suma y el producto de la sucesion de ordinales(αi)i∈ω tal que αi = ωi , para todo i ∈ ω.

27. Sea (αi)i∈ω la sucesion de ordinales tal que α0 = ω y αSβ =(αβ)ω para β ∈ ω. Sea ε0 =

⋃{αi : i ∈ ω}. Probar que ε0 = ωε0 .

(a) Probar que si α < ε0, entonces:(i) α + ε0 = ε0.(ii) α · ε0 = ε0.(iii) αε0 = ε0.

(b) Probar que βωε0 = βω·ε0 para todo ordinal β28. Probar que si α es ordinal lımite y γ 6= 0 , entonces αγ es

ordinal lımite.29. Probar que si n ∈ ω , entonces nω = ω.30. Probar que si α es ordinal lımite y p y q son naturales, entonces

(α · p)q = αq · p.31. Sean α y β ordinales tales que α 6= 0 y β > 1. Probar que

existen unicos ordinales γ , δ y ρ tales que α = βγ · δ + ρ y0 6= δ ∈ β y ρ ∈ βγ.

32. Probar que si α 6= 0 y β 6= 0 , entonces α · ωβ = Sα · ωβ.33. Probar que si α < ωδ y β < ωδ , entonces α + β < ωδ.34. Probar que si α < ωω

δ y β < ωωδ , entonces α · β < ωω

δ .35. Calcular:

(a)∑

α∈ω 2ω.(b)

∑α∈ω2 α2.

(c)∑

n∈ω ω · n.(d)

∑n∈ω ω

n.(e)

∏α∈ω2(α + 1).

(f)∏

n∈ω ωn.

(g)∏

n∈ω(ω + n).(h) ω1 + ω · 2 + ω · 3 + . . .+ 1 + 2 + 3 + . . .(i) ω · ω2 · ω3 · . . . · 1 · 2 · 3 · . . .(j) ω · ω2 · ω3 · . . . · ωn−1 · ωn+1 · . . . · 2 · 3 · . . .

98

36. Expresar en la forma ωαn · an + ωαn−1 · an−1 + . . .+ ωα1 · a1 + a0,donde α1 < α2 < . . . < αn−1 < αn son ordinales , n ∈ ω , yai ∈ ω − 1 para i ∈ Sn :

(a) 3 · ω(b) (ω + 1)2

(c) ω · 2 · (ω + 1)(d) (ω + 1) · 2(e) (ω2 · 2 + ω · 4 + 3) · 5(f) 2 + ω · 2 + ω2

(g) (ω2 · 3 + ω · 2) · (ω3 · 2 + ω · 4 + 2)37. Diremos que α > 1 es ordinal primo si no existen β y γ tales

que 1 < β < α y 1 < γ < α y α = β · γ.(a) Probar que si n ∈ ω , esta definicion coincide con la

definicion clasica de ser primo.(b) Probar que los siguientes ordinales son primos : ω, ω + 1,

ω2 + 1, ω3 + 1, ωω.(c) Probar que si α > 1 , entonces existe n ∈ ω tal que para

todo m < n existe un ordinal primo αm , con los que setiene :

α =∏m∈n

αm.

¿ Es unica esta representacion ? ( ver ω2 ).(d) Probar que si α es ordinal lımite , entonces α es primo si

y solo si existe un ordinal β tal que α = ωωβ .

(e) Probar que si α > ω es ordinal sucesor, entonces α esprimo si y solo si existe β > 0 tal que α = ωβ + 1.

38. Probar las siguientes factorizaciones en primos:(a) ω2 + ω + 1 = (ω + 1)2

(b) ω2 · 3 + 1 = (ω2 + 1) · 3(c) ω2 + 2 = 2 · (ω2 + 1)(d) ω3 · 7 + ω2 · 5 + 3 = 3 · (ω2 + 1) · 5 · (ω + 1) · 7(e) ωω + ω + 1 = (ω + 1) · (ωω + 1)(f) ωω+1 + ωω + ω4 + ω2 = ω · ω · (ω2 + 1) · (ωω + 1) · (ω + 1)

39. Expresar como producto de primos:(a) ω4 + 24(b) ω · 2 + 1(c) ω2 + ω · 2 + 1(d) ω3 · 3 + ω2 · 7 + 6(e) ωω + ω3 + ω2

(f) ωω+1 · 2 + ωω · 3 + 2(g) ω6 · 2 + ω5 · 5 + ω3 + ω2 · 7(h) ωω2 · 6 + ωω+5 · 3 + ωω+1 · 2 + ωω · 4

99

40. Calcular los siguientes lımites:(a) limn∈ω(2n + n)(b) limn∈ω n · ω(c) limn∈ω ω · n(d) limβ∈ω2 β · ω(e) limβ∈ω·2 2β

(f) limβ∈ω·2 β2

41. Diremos que el ordinal α es un numero epsilon si α = ωα.(a) Definimos E(α) := (α + 1) + ωα+1 + ωω

α+1 + ωωωα+1

+ . . .Probar que E(α) es un numero epsilon, que α < E(α) ,que no existe un numero epsilon β tal que α < β < E(α).Probar tambien que si α < β y no existe un numero epsilonγ tal que α < γ ≤ β , entonces E(α) = E(β).

(b) Probar que si definimos εα por:• ε0 = E(0);• εSα = E(εα);• si α es ordinal lımite, entonces εα = limβ∈α εβ ,

entonces para todo ordinal α se tiene que εα es un numeroepsilon y que si β es un numero epsilon, entonces existeun ordinal α tal que β = εα.

(c) Probar que si β es un numero epsilon, entonces dado unordinal α , se tiene que si 2 ≤ α < β , entonces α+β = βy α · β = β y αβ = β.

(d) Probar que si existe un ordinal α ≥ ω tal que αβ = β ,entonces β es un numero epsilon.

(e) Probar que si αβ = β, entonces α · β = β.(f) Probar que si α · β = β, entonces α + β = β.(g) Probar que si β es un numero epsilon, entonces αω

β =(αω)β , para todo ordinal α .

(h) Probar que si α es ordinal lımite y β es un numero epsilontales que α < β , entonces αβ·α = (β · α)α.

42. Encontrar un conjunto de racionales tales que bajo su orden usualsea isomorfo a:

(a) ω + 1(b) ω · 2(c) ω · 3(d) ωω

( Por ejemplo, {n+1m

: n,m ∈ N− {0}} es isomorfo a ω2 ).43. Si λ =

∑γ∈δ βγ , entonces αλ =

∏γ∈δ α

βγ .44. Probar que:

(a) Si para γ ∈ ω se tiene αγ = ω2 , entonces∑

γ∈ω αγ = ω3.

100

(b) Si para γ ∈ ω+ω se tiene αγ = ω , entonces∏

γ∈ω+ω αγ =ωω+ω.

(c) Si para γ ∈ ω se tiene αγ = ωγ , entonces∏

γ∈ω αγ = ωω

45. Probar que para todo α , ωα es aditivamente indescomponible.

8. La Jerarquıa Acumulativa de Conjuntos

En esta seccion construiremos recursivamente una clase de conjun-tos que es de gran importancia en el estudio mas avanzado de los fun-damentos de la teorıa de conjuntos. Si bien estos temas caen fueradel alcance de este libro, esta construccion, llamada la jerarquıa acu-mulativa de conjuntos, ayuda a entender la complejidad relativa de losconjuntos y el rol que juega el axioma de regularidad en la estructurade los mismos.

Definicion 3.13. Para cada ordinal α definimos

V0 = ∅Vα+1 = PVαVλ =

⋃γ∈λ

Vγ, si λ es lımite.

La coleccion de los Vα se llama la jerarquıa acumulativa de conjun-tos. Es usual definir tambien el universo de von Neumann a la clasepropia

V =⋃{Vα : Ord(α)}.

Observemos que los Vα estan bien definidos en virtud del teorema3.20, ii). Las operaciones empleadas son

G(x) = Px y H(x) =⋃

x.

Debe tambien tenerse presente que V no es un objeto de nuestrateorıa y debe entenderse solo como una manera de abreviar un conceptocorrespondiente a la formula

ϕ(x) = ∃α(Ord(α) ∧ x ∈ Vα).

Como veremos, el axioma de regularidad es equivalente a decir quetodo conjunto verifica varphi(x).

Teorema 3.42. 1. Si α ≤ β, entonces Vα ⊆ Vβ.2. Si α ∈ β, entonces Vα ∈ Vβ.3. Para todo α, Vα es ∈–transitivo.

101

El proximo lema es necesario para demostrar el principal teoremade esta seccion.

Lema. Sea a un conjunto, entonces ϕ(a) si y solo si para todo x ∈ a,

ϕ(x).Mas informalmente, un conjunto pertenece a V si y solo si todos

sus elementos tertenecen a V .

Demostracion. Si a pertenece a V , entonces a ∈ Vα para algunordinal α. Pero como Vα es ∈–transitivo, todos los elementos de apertenecen a Vα.

Supongamos que todos los elementos de a pertenecen a V . Paracada x ∈ a, sea γ(x) el menor ordinal γ tal que x ∈ Vγ. Definamos

α =⋃{γ(x) : x ∈ a},

el que esta bien definido en virtud del axioma de reemplazo.Entonces a ⊆ Vα y por lo tanto a ∈ PVα = Vα+1 , lo que termina

nuestra demostracion.

Resulta sencillo verificar que la clase V es cerrada bajo uniones,pares, potencias productos cartesianos y demas construcciones quehemos estudiado en los capıtulos precedentes. Esto implica que todoslos conjuntos que aparecen en la practica, pertenecen a V . ¿ Existiraalgun conjunto que no esta en V? El siguiente teorema, atraves de unaaplicacion del axioma de regularidad, demuestra que este no es el caso.

Teorema 3.43. Todo conjunto pertenece a algun Vα .(Mas informalmente, para todo conjunto x , x ∈ V.)

Demostracion. Recordemos que la clausura transitiva de a , quedenotamos T (a), es el menor conjunto ∈–transitivo que contiene a a ,ver ejercicio 1 y que intuitivamente

T (a) = a ∪⋃

a ∪⋃⋃

a ∪⋃⋃⋃

a · · · .

Supongamos que existe un conjunto a tal que a /∈ V, o masformalmente, supongamos ¬ϕ(a), donde varphi(x) es la formula de L1 que lo expresa. (Ver mas arriba.)

Entonces por el lema 8

b = {x ∈ T (a) : ¬ϕ(x)} 6= ∅.Tomemos cualquier elemento c ∈ b. Entonces por el mismo lema,

existe x ∈ c talque ¬ϕ(x), y como ademas x ∈ T (a), x ∈ b, es decirx ∈ c ∩ b, lo que contradice el axioma de regularidad.

102

Ejercicios.

1. Demuestre que para todo α, Vα =⋃{PVβ : β < α}.

2. Demuestre el teorema 3.42.3. Demuestre α es el mayor ordinal que pertenece a Vα.4. Demuestre el axioma de regularidad a partir del teorema 3.43.

103

CAPITULO 4

El Axioma de Eleccion

El ultimo axioma de la teorıa de conjuntos en cierta medida pertenecea una categorıa aparte debido a las importantes consecuencias que deel se desprenden. Estudiaremos varias formulaciones diferentes de estey enseguida algunas de sus aplicaciones.

1. Equivalencias del Axioma de Eleccion

Axioma de Eleccion (AC):“Si A es un conjunto de conjuntos no vacıos, entonces existe una

funcion F cuyo dominio es A y tal que para todo x ∈ A, Fx ∈ x ”.Tal funcion se llama una funcion de eleccion para A .Observemos que

F : A −→⋃

A

x 7−→ Fx ∈ xLa existencia de una funcion de eleccion implica elegir simulta-

neamente un elemento de cada conjunto que pertenece a A . Esto norepresenta ningun problema si A es finito, sin embargo si A es infinito,no es en absoluto intuitivo que se pueda hacer. Notese tambien que elaxioma no da ninguna idea de como construir tal funcion.

La siguiente es una lista de los principios mas importantes que sonequivalentes al axioma de eleccion.

1. Principio Multiplicativo:Si A es una funcion y Dom A = I y si Ai = A(i) 6= ∅,

entonces Πi∈IAi 6= ∅.2. Principio de Zermelo:

Si P es una particion de un conjunto A , entonces existeB ⊆ A tal que para todo M ∈ P , B ∩ M tiene un soloelemento.

Recordemos que toda particion sobre A induce una relacionde equivalencia cuyo campo es A y cuyas clases de equivalenciason los elementos de P . El principio de Zermelo nos dice quepodemos escoger un elemento de cada clase de equivalencia, esdecir un sistema de representantes de las clases de equivalencia.

105

3. Principio de Enumeracion:Para todo conjunto A existe un ordinal α y una funcion

biyectiva entre ellos.4. Principio de Buen Orden:

Todo conjunto puede bien ordenarse.5. Lema de Zorn:

Si A es un conjunto parcialmente ordenado por R y todosubconjunto de A totalmente ordenado por R tiene una cotasuperior en A , entonces A tiene un elemento maximal.

Un subconjunto de A totalmente ordenado por R se llamauna R-cadena.

Notese que la hipotesis del lema de Zorn implica que A 6= ∅ya que ∅ es una R-cadena luego tiene una cota superior en A .

6. Principio de Kuratowski:Si R es un orden parcial y S ⊆ R es un orden total, entonces

hay un orden ⊆-maximal T tal que S ⊆ T ⊆ R.Dicho de otro modo, todo suborden total de un orden parcial

puede extenderse a un orden total maximal.7. Principio de Tricotomıa:

Dados dos conjuntos A y B , existe una funcion inyectivade A en B o existe una funcion inyectiva de B en A .

8. Principio de la Imagen Inversa:Dados dos conjuntos no vacıos A y B , existe una funcion

sobreyectiva de A en B o existe una funcion sobreyectiva deB en A .

Como veremos en el Capıtulo 5 estos dos ultimos principios sonmuy importantes en la teorıa de cardinalidad.

Teorema 4.1. Todos los principios anteriores son equivalentes alaxioma de eleccion.

Demostracion. Primero demostraremos AC ⇒ 1)⇒ 2)⇒ AC.AC ⇒ 1).

Sea A una funcion con Dom A = I tal que para todo i ∈ I,Ai 6= ∅, . Entonces, por el axioma de reemplazo, A = {Ai : i ∈ I} esun conjunto de conjuntos no vacıos.

Por AC, existe F, Dom F = A y para todo i ∈ I, F (Ai) ∈ Ai.

G : I −→⋃i∈I

Ai

i 7−→ F (Ai)106

G ∈ Πi∈IAi , o sea, Πi∈IAi 6= .

1) ⇒ 2).Sea P una particion de A . Entonces P ⊆ PA, luego P es un

conjunto. Consideremos IP , la funcion identidad sobre P . Por 1)

ΠM∈P IP (M) = ΠM∈P M 6= ∅,

luego existe una funcion G , tal que Dom G = P y para todo M ∈P, G(M) ∈ M . Como M ⊆ A para todo M ∈ P, Rec G ⊆ A.Ademas, como los elementos de P son disjuntos, para cada M ∈ P ,

M ∩Rec G = {G(M)}.

2) ⇒ AC.Sea A un conjunto no vacıo de conjuntos no vacıos.Definamos K = {〈x, y〉 : y ∈ x ∈ A} y P = {{〈x, y〉 : y ∈ x} :

x ∈ A}. Es claro que K es un conjunto (¿por que?) y que P es unaparticion de K .

Escojamos B ⊆ K tal que para cada M ∈ P, B ∩ M tieneexactamente un elemento. Entonces B es una funcion de eleccion paraA . En efecto, para cada x ∈ A,

B ∩ {〈x, y〉 : y ∈ x} = {yx},

para algun yx ∈ x. Luego B es funcion, Dom B = A y para cadax ∈ A, B(x) ∈ x.

La equivalencia de los otros principios la demostramos dando ungran cırculo de implicaciones que comienza y termina en AC.AC ⇒ 3.

Sea A un conjunto. Vamos a encontrar un ordinal α y una funcionbiyectiva de α en A .

Podemos suponer que A 6= ∅.Consideremos PA−{∅}. Este es un conjunto no vacıo de conjuntos

no vacıos, luego existe una funcion de eleccion F para el. Notemosque esta asigna a cada subconjunto no vacıo de A un elemento de simismo.

Definimos por recursion una operacion unaria H como sigue

H(α) ={F (A−H∗α) , si A−H∗α 6= ∅,

A , si A−H∗α = ∅.

Si α < β, entonces

H∗α ⊆ H∗β

A−H∗β ⊆ A−H∗α,107

luego, si A−H∗α = ∅, entonces tambien A−H∗β = ∅. Por lo tanto,si α < β; y H(α) = A, entonces Hβ = A.

Si α < β y H(β) 6= A, entonces como H(α) ∈ H∗β y por ser Ffuncion de eleccion, H(β) ∈ A−H∗β,

H(α) 6= H(β).

Demostraremos ahora que existe un ordinal β tal que H(β) = A.(i.e. A − H∗β = ∅). Supongamos por el contrario que no existe.Entonces como H es una operacion unaria (definimos Hx = x si xno es ordinal) y como para todo par de ordinales α 6= β, Hα 6= Hβ,por el axioma de reemplazo,

B = {α : Hα ∈ PA− {∅}}es un conjunto. Pero por la suposicion anterior, B contiene a todos losordinales, luego no es un conjunto, contradiccion. Por lo tanto existeβ tal que H(β) = A.

Seaα =

⋂{γ ∈ Sβ : H(γ = A)},

es decir α es el menor ordinal tal que H(α) = A, luego siβ < α , Hβ 6= A. Definimos

G : α −→ A

β 7−→ H(β).

Entonces G es una funcion biyectiva.3) ⇒ 4).

Sea A un conjunto y sean α y G como en 3).Entonces R = {〈x, y〉 ∈ A×A : G−1x ≤ G−1y} es un buen orden.

4) ⇒ 5).Sea ≤ un orden parcial con campo A , tal que toda cadena tiene

una cota superior.Sea S un buen orden cuyo campo es A . Definimos la siguiente

operacion unaria.

F (α) =

S −menor elemento de {a ∈ A : ∀x(x ∈ F ∗α→ x < a}si este es no vacıo,

A si no.

Intuitivamente, F (0) elije el S-menor elemento de A . F (1) elijeel S-menor elemento de {a ∈ A : F (0) < a}, etc. En general F (α esel S-menor elemento de aquellos elementos de A que son ≤-mayoresque aquellos elementos de A que ya han sido elejidos por F en unaetapa anterior a α .

108

Si β < α y F (α) 6= A, entonces como F (β) ∈ F ∗α,

F (β) < S −menor{a ∈ A : ∀x(x ∈ F ∗α→ x < a)} = F (α).

Como en la demostracion anterior, existe β tal que F (β) = A,pues si no, por el axioma de reemplazo,

{α : F (α) ∈ A}es un conjunto de ordinales que contiene a todos los ordinales, lo quees una contradiccion.

Sea α el menor ordinal tal que F (α) = A, es decir,

{a ∈ A : ∀x(x ∈ F ∗α→ x < a)} = ∅.Vimos antes que para β < γ ∈ α , F (β) < F (γ), es decir, F ∗α esuna <-cadena. Como F ∗α ⊆ A, por el Lema de Zorn, existe c ∈ Aque es <-cota superior de F ∗α, es decir

∀x(x ∈ F ∗(α)→ x ≤ c).

Es claro que c es maximal pues si no, existe b ∈ A tal que b > c,pero entonces

∀x(x ∈ F ∗α→ x < b) o seab ∈ {a ∈ A : ∀x(x ∈ F ∗α→ x < a)} = ∅,

lo que es una contradiccion, luego c es maximal.5) ⇒ 6).

Sea R un orden parcial y S ⊆ R un suborden total. Sea

A = {T : S ⊆ T ⊆ R y T es un orden total.

Consideramos A ordenado por inclusi’on. Entonces toda cadena Btiene una cota superior, a saber,

⋃B. Por el lema de Zorn, A tiene

un elemento maximal el que obviamente verifica la tesis de 6).6) ⇒ 7).

Sean A , B conjuntos. Definimos

R = {〈f, g〉 : Dom f ⊆ Dom g ⊆ A ∧ Rec f ⊆ Rec g ⊆ B ∧f ⊆ g ∧ f es inyectiva ∧ g es inyectiva}

Es claro que R es un orden parcial. Por el principio de Kuratowskicon S = ∅, existe un orden total maximal T ⊆ R.

Sea F =⋃

Cam T , F es una funcion inyectiva, Dom F ⊆ A yRec F ⊆ B.

Supongamos que Dom F 6= A y Rec F 6= B, entonces existea ∈ A−Dom F y b ∈ B −Rec F .

DefinimosG = F ∪ {(a, b)},

T ′ = T ∪ {〈f,G〉 : f ∈ T} ∪ {〈G,G〉}.109

Entonces, como G es inyectiva, Dom G ⊆ A y Rec G ⊆ B,T ⊂ T ′ ⊆ R, o sea, T no es maximal, una contradicci’on. Por lo tantoDom F = A o bien Rec F = B. En el primer caso F es inyectivade A en B , en el segundo caso, F−1 es inyectiva de B en A .7) ⇒ 8).

Sean A y B conjuntos no vacıos. Supongamos sin perdida degeneralidad que existe una funcion inyectiva, f : A −→ B. Sea a ∈ Ay definamos

g : B −→ A

g(x) ={f−1(x) , si x ∈ f ∗A,a , si x ∈ B − f ∗A.

Entonces g es sobreyectiva.8) ⇒ AC.

Para demostrar esta implicacion debemos demostrar un lema pre-vio.

Lema 4.2. Sea B un conjunto. Entonces

Γ = {α : existe funcion inyectiva f : α −→ B}tambien es un conjunto.

Demostracion. Sea M = {R : R es un buen orden y campoR ⊆ B}. M ⊆ P(PB × PB), por lo tanto M es un conjunto. Comosabemos, por el teorema 3.27, para todo buen orden R existe un unicoordinal α tal que R y {〈β, γ〉 : β ≤ γ < α}, es decir, el orden de α ,son isomorfos. Entonces

Γ = {α : existe R ∈M α es isomorfo con R}.En efecto, si α ∈ Γ existe una funcion inyectiva f : α −→ B,

entoncesR = {〈f(β), f(γ)〉 : β ≤ γ < α} ∈M,

R y α son isomorfos y el isomorfismo es precisamente f .Supongamos ahora que α es isomorfo a un buen orden R ∈M y

sea g : α −→ R tal isomorfismo. Entonces por ser isomorfismo, g esinyectiva y g : α −→ Cam R ⊆ B, es decir α ∈ Γ.

Como M es conjunto, por el axioma de reemplazo, Γ es unconjunto.

Demostremos ahora el teorema. Sea A un conjunto no vacıo deconjuntos no vacıos. Queremos encontrar una funcion de eleccion para

110

A . Como A es conjunto, P⋃A tambien lo es,luego or el lema recien

demostrado,

Γ = {α : existe funcion inyectivaf : α −→ P⋃

A

es un conjunto de ordinales. Sea β = ∪Γ + 1. Es claro que noexiste una funcion inyectiva de β en P

⋃A ya que β 6∈ Γ.

Por otro lado, tampoco existe una funcion sobreyectivaf :⋃A −→ β, pues si existiera, podriamos definir

g : β −→ P⋃

A

α 7−→ f−1∗{α} ,

o sea, existirıa una funcion inyectiva de β en P⋃A, contradiciendo

la ultima afirmacion.Entonces por 8), existe una funcion sobreyectiva g : β −→

⋃A.

Definamos

F : A −→⋃

A

a 7−→ g(⋂

g−1∗a) .

F es una funcion de eleccion. En efecto, si x ∈ A, entoncesx ⊆

⋃A y como g es sobreyectiva g−1∗x 6= ∅ es un conjunto de

ordinales cuyo menor elemento es⋂g−1∗x. Es claro entonces que

g(⋂g−1∗x) ∈ x.

2. Aplicaciones

En todas las ramas de las matematicas hay importantes aplicacionesdel axioma de eleccion. A continuacion daremos una breve lista conalgunas de estas.

1. Todo espacio vectorial tiene una base.2. La union enumerable de conjuntos enumerables es enumerable.3. Existe un conjunto de numeros reales que no es Lebesgue-medi-

ble.4. El producto de espacios compactos es compacto.5. Todo anillo con unidad tiene un ideal maximal.6. Todo orden parcial puede extenderse a un orden total.7. El teorema de Hahn-Banach.8. El teorema de completud para la logica de primer orden.9. Toda algebra de Boole es isomorfa a un campo de conjuntos.

111

Demostraremos algunas de estas. Supondremos que el lector manejalos conceptos involucrados en cada caso.

Teorema 4.3. Todo espacio vectorial tiene una base.

Demostracion. Sea V un espacio vectorial y sea A = {B ⊆ V :B es linealmente independiente}. Consideremos a A parcialmenteordenado por inclusion.

Sea entonces C = {Bi : i ∈ I} una cadena de elementos de A .Entonces

⋃C ⊆ V y

⋃C contiene a todos los miembros de la

cadena.Veremos ahora que

⋃C es linealmente independiente.

Sean v0, v1, . . . , vn−1 ∈⋃C, luego existe B0, . . . , Bn−1 ∈ C tales

que vi ∈ Bi, i < n. Pero C es una cadena, luego Bi ⊆ Bn−1, i < n,por lo tanto v0, . . . , vn−1 ∈ Bn−1 y como este es linealmente indepen-diente,

⋃C es un conjunto linealmente independiente.

Por lo tanto⋃C pertenece a A , luego toda cadena de A tiene

una cota superior y por el lema de Zorn A tiene un elemento maximal.Probar que un conjunto linealmente independiente maximal es una

base es un ejercicio elemental de algebra lineal.

Teorema 4.4. La union enumerable de conjuntos enumerables esenumerable.

Demostracion. Recordemos que un conjunto A se dice enumer-able si existe una biyeccion entre A y ω.

Sea C un conjunto enumerable de conjuntos enumerables. Por sim-plicidad podemos suponer que los elementos de C son todos disjuntos.Si C = {Ai : i ∈ ω}, sea

fi : ω −→ Ai

una biyeccion. Definimos

F : ω × ω −→⋃

Ai

〈n,m〉 7−→ fn(m)

g : ω × ω −→⋃Ai como sigue

g(n,m) = fn(m).g es inyectiva ya que si g(n,m) = g(p, q) entonces

fn(m) = fp(q) ∈ An ∩ Ap ,

y como los Aj son disjuntos se tiene que n = p. Entonces como lasfi son inyectivas, m = q, o sea, g es inyectiva.

112

g es sobreyectiva ya que si a ∈⋃Ai existe n tal que a ∈ An y

como fn es sobreyectiva, existe m tal que

a = fn(m) = g(n,m).

Es decir, existe una biyeccion g de ω × ω en⋃C .

Por otra parte es bien sabido que existen biyecciones entre ω yω × ω (ver el capıtulo 5). Si tomamos cualesquiera de ellas, digamos,

h : ω −→ ω × ω,entonces f = g ◦h es una biyecci’on entre ω y

⋃C , luego este ultimo

es enumerable.Observemos que en la demostracion anterior aparentemente no he-

mos usado el axioma de eleccion. Sin embargo este se uso cuandoescogimos las funciones biyectivas fi , especificamente,

si Bi = {f : ω −→ Ai, f biyectiva }A = {Bi : i ∈ ω} es un conjunto no vacıo de conjuntos no vacıos

(esto ultimo por hipotesis) luego por el axioma de eleccion existe paracada i un elemento

fi ∈ Bi.

Este teorema es el ejemplo clasico de uso encubierto del axioma deeleccion. Durante anos los matematicos hicieron uso de argumentoscomo el anterior sin darse cuenta de que estaban usando un principioespecial.

Teorema 4.5. Existe un conjunto de numeros reales que no esLebesgue-medible.

Demostracion. Definimos sobre [0, 1) la siguiente relacion de e-quivalencia.

x ∼ y ssi x− y ∈ QEntonces ∼ induce una particion de [0, 1). Por el principio

de Zermelo, existe un subconjunto B ⊆ [0, 1) tal que B contieneexactamente un representante de cada clase de equivalencia.

Sea {ri}i∈ω una enumeracion de los racionales entre 0 y 1 (vercapıtulo 5) y sea Bi = B + ri = {x + ri : x ∈ B}, donde la suma esmodulo 1 i.e.

x+ y ={x+ y si x+ y < 1x+ y − 1 si x+ y ≥ 1

Es bien sabido que si A es un conjunto Lebesgue-medible, entoncesA+ a tambien lo es; mas aun, m(A) = m(A+ a).

113

Notemos que todo x ∈ [0, 1) pertenece a algun Bi puesto que ∼induce una particion de [0, 1). Por lo tanto

[0, 1) =⋃i∈ω

bi.

Ademas la union es disjunta ya que Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j. En efecto,si x, y ∈ B y

x+ ri = y + rj

entonces x − y = rj − ri ∈ Q , o sea, x ∼ y y como B contieneun solo representante de cada clase de equivalencia, x = y, entoncesri = rj, o sea, i = j, contradiccion, luego

i 6= j ⇒ Bi ∩Bj = ∅.

Por lo tanto

m([0, 1) = m(⋃i∈ω

Bi) =∑i∈ω

m(Bi).

Si B fuera medible, por la observacion hecha anteriormente, paratodo i ∈ ω, m(Bi) = m(B), entonces si m(B) = 0, m(

⋃Bi) = 0 y

si m(B) 6= 0, m(⋃Bi) =∞, pero m([0, 1)) = 1, por lo tanto B no

puede ser medible.

Teorema 4.6. Todo orden parcial puede extenderse a un orden to-tal sobre el mismo campo.

Demostracion. Sea ≤ un orden parcial, B = Cam ≤.Consideremos el conjunto de todos los ordenes totales que extienden

a ≤

A = {R ⊆ B ×B : R es un orden total y ∀x, y(x ≤ y → x Ry),

A esta ordenado por inclusion.Sea {Ri}, i ∈ I, una cadena de elementos de A . Es claro que⋃Ri es un orden total y que si x ≤ y, entonces x

⋃Ri y, es decir⋃

Ri es una cota superior de la cadena que pertenece a A , luego, porel lema de Zorn, A tiene un elemento maximal. Llamemoslo M .

Para demostrar nuestro teorema es suficiente probar que campoM = B. Supongamos que no es ası, entonces existe a ∈ B −Cam M .

Definimos el nuevo orden R como sigue

R = M ∪{〈x, a〉 : x ∈ Cam M, a ≤ x}∪ {〈a, x〉 : x ∈ Cam M, x ≤ a}.114

Es facil verificar que R es un orden total que extiende a M ,contradiccion.

Ejercicios.

1. Demuestre sin usar el axioma de eleccion que todo conjunto tieneuna funcion de eleccion. (Indicacion: Use induccion sobre elnumero de elementos del conjunto).

2. Demuestre que el conjunto K definido el el teorema 4.1, 2) ⇒AC es efectivamente un conjunto y que el conjunto P es unaparticion de K .

3. Complete los detalles de la demostracion de 4.1, 5) ⇒ 6).4. Demuestre que la relacion R definida en la demostracion del

teorema 4.1, 6) ⇒ 7), es efectivamente un orden parcial.5. Demuestre que toda relacion binaria contiene una funcio con el

mismo domino.

115

CAPITULO 5

Cardinales

En este capıtulo investigaremos uno de los topicos mas importantesde la teorıa de conjuntos, a saber, la teorıa de la cardinalidad o numerode elementos que tiene un conjunto. Hasta el momento sabemos comocontar los elementos de los conjuntos finitos. En este capıtulo for-malizaremos estos conceptos intuitivos y los generalizaremos a conjun-tos infinitos. La mayor parte de los teoremas de este capıtulo dependendel axioma de eleccion. Indicaremos estos mediante el sımbolo †.

1. Definiciones y Resultados Basicos

Definicion 5.1. i) Dos conjuntos A y B son equinumerososssi existe una biyeccion entre A y B . En tal caso escribimosA ∼ B.

ii) Un ordinal α es un cardinal ssi α no es equinumeroso conninguno de sus elementos.

Si α es un cardinal escribimos Car (α). En general usaremosletras goticas minusculas m, n, p · · · para designar cardinales.

Ejemplo.

1. Dos intervalos de numeros reales son siempre equinumerosos.Para demostrar esto basta ver que

f : [a, b] −→ [c, d]

x 7−→ d− cb− a

x+cb− adb− a

es una biyeccion.2. Todo intervalo abierto es equinumeroso con el conjunto de los

numeros reales.Considerese la funcion

tan : (−π2,π

2) −→ R

Sabemos que tan x es una biyeccion. Una funcion similar a ladel ejemplo anterior demuestra que cualquier intervalo abierto esequinumeroso con (−π

2 ,π2 ).

117

3. ω y ω × ω son equinumerosos.Considerese la funcion

f : ω × ω −→ ω

〈m,n〉 7−→ 2m(2n+ 1)− 1 .

f es una biyeccion.Resulta claro que la relacion “ser equinumeroso” es reflexiva, sime-

trica y transitiva, pero no es una relacion dentro de nuestra teorıaya que su campo es la clase de todos los conjuntos. Naturalmente,si nos restringimos a un conjunto particular, esta es una relacion deequivalencia.

En el caso finito, la cantidad de elementos de un conjunto nos sirvecomo una nocion de tamano. Para ello se identifica todos aquellosconjuntos que tienen el mismo numero de elementos, en otras palabras,todos aquellos que son equivalentes bajo la “relacion”anterior. Unaposible idea es definir la cardinalidad de un conjunto como su “clasede equivalencia” bajo la relacion de equinumerosidad, sin embargo, esclaro que la clase de equivalencia de cualquier conjunto no vacıo es unaclase propia, por lo tanto no existen dentro de nuestra teorıa,luego nopodemos usarlas como “cardinales”.

Para conjuntos finitos, es facil ver que en cada “clase de equiva-lencia” habra un unico numero natural, este se conoce habitualmentecomo la cardinalidad o numero de elementos del conjunto, vale decir,aquel unico natural con el que es equinumeroso. Podemos tratar degeneralizar la idea anterior a conjuntos infinitos, sin embargo, hay dosdificultades, la primera es que dado un conjunto infinito cualquiera, nopodemos garantizar que exista algun ordinal que es equinumeroso conel. De hecho tal afirmacion es ni mas ni menos, el principio del buenorden, es decir, equivalente con el axioma de eleccion. En segundo lu-gar, es facil ver que si existe un ordinal equinumeroso con un conjuntoinfinito dado, este no sera nunca unico, como lo demuestra por ejemplola funcion que aparece en la demostracion del teorema 5.3, la que nosdice que α y α + 1 son siempre equinumerosos.

Por estos motivos, la manera de extender la nocion de cardinalidadde los conjuntos finitos a los infinitos es suponer el Axioma de Elecciony escoger un representante de cada una de las “clases de equivalencia”,a saber, el menor ordinal que pertenece a ella. Necesitamos antes unpar de resultados.

Teorema 5.1. Si m 6= n, entonces m y n no son equinumerosos.

Demostracion. Como m y n son ordinales distintos m ∈ n on ∈ m, luego m y n no son equinumerosos por definicion de cardinal.

118

Teorema 5.2.† Para todo conjunto A existe un unico cardinal n

tal que A y n son equinumerosos.

Demostracion. Por el principio de enumeracion existe un ordinalα tal que A es equinumeroso con α . Sea

m =⋂{β ∈ Sα : A ∼ β},

o sea, m es el menor elemento del conjunto no vacıo {β ∈ Sα : A ∼ β},es claro entonces que A ∼ m.

Por ultimo, si existiera β ∈ m tal que β ∼ m, tendrıamos que β ∼A, luego m no es el menor elemento del conjunto anterior, contradiccion.Por lo tanto m es un cardinal.

Resulta claro que m no depende del ordinal α usado en la definicion.

Definicion 5.2. La cardinalidad |A| de un conjunto A es el unicocardinal m tal que A ∼ m. Decimos tambien que m es el cardinal deA .

Teorema 5.3. Si A , B son conjuntos y α es un ordinal,i) A ∼ B ssi |A| = |B|.

ii) A ∼ |A|.iii) |α| ≤ α.iv) Si α ∼ A, entonces |A| ≤ α.v) α es un cardinal ssi |α| = α.vi) Si ω ≤ α, entonces |α + 1| = α.

Demostracion. vi) Si ω ≤ α, entonces α = ω+ γ. Definimosf : α + 1 −→ α como sique

f(x) =

0 si x = α,x+ 1 si x ∈ ω,x si x 6∈ ω, x 6= α .

Es claro que f es una biyeccion.

El proximo teorema es probablemente el resultado mas importantesobre cardinalidad que puede demostrarse sin usar el axioma de eleccion.

Teorema 5.4. Cantor - Schroeder - BernsteinSi A y B son dos conjuntos tales que existen funciones inyectivas

f : A −→ B y g : B −→ A, entonces |A| = |B|.

119

Demostracion. Notemos primero que si

A1 = g∗f ∗A

entoncesA1 ∼ A

ya que g ◦ f : A −→ A1 es claramente inyectiva y sobreyectiva.Por otra parte, si D = g∗B, entonces D ∼ B.Sea h = g ◦ f y definamos

A0 = A , D0 = D

An+1 = h∗An , Dn+1 = h∗Dn

...

En el diagrama los An son los cuadrados y los Dn son los cırculos.Ahora podemos demostrar por induccion que para todo n ∈ ω,

An+1 ⊆ Dn ⊆ An.

Definimos F : A −→ D

F (x) ={h(x) , si x ∈

⋃(An −Dn)

x , si no

Observe que⋃

(An −Dn) es la zona sombreada en el dibujo.F es inyectiva ya que para x, y ∈ A, tenemos tres posibilidades

x, y ∈⋃

(An − Dn), x, y 6∈⋃

(An − Dn) o x ∈⋃

(An − Dn) yy 6∈

⋃(An−Dn). En los dos primeros casos es claro que si F (x) = F (y),

entonces x = y. Nos queda la tercera posibilidad pero en este casoF (x) = h(x) y x ∈ An − Dn para algun n , luego h(x) ∈ An+1. Sisuponemos que h(x) ∈ Dn+1, entonces h(x) = h(z) para algun z ∈ Dn

(ya que Dn+1 = h∗Dn) pero como h es inyectiva, z = x, es decirx ∈ Dn pero x ∈ An − Dn, contradiccion luego h(x) 6∈ An+1, o sea,h(x) ∈

⋃(An −Dn) y por lo tanto

120

F (x) = h(x) 6= y = F (y).Para ver que F es sobreyectiva recordemos primero que para todo

n 6= 0, An ⊆ D ⊆ A. Sea x ∈ D y n el menor natural tal quex 6∈ An, entonces x ∈ An−1. Si x 6∈ Dn−1, n− 1 6= 0 y entonces x ∈An−1 −Dn−1 y por lo que vimos anteriormente, x ∈ h∗(An−2 −Dn−2),luego x = h(y) = F (y) para algun y ∈

⋃(An −Dn).

Si x ∈ Dn−1, x 6∈⋃

(An − Dn) pues x 6∈ An para m ≥ n yx ∈ Dm para m < n. Por lo tanto, x = F (x). En cualquier casox ∈ F ∗A luego F es sobreyectiva.

Hemos demostrado queA ∼ D ∼ B, luego |A| = |B|.

Teorema 5.5. Si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B|.

Demostracion. Supongamos por el contrario que |B| < |A| ysean f, g biyecciones

Af−→ |A|

j ↓ ↑ i

Bg−→ |B|

donde i y j son la funcion identidad. Entonces j : A −→ B esinyectiva, f−1 ◦ i ◦ g : B −→ A es inyectiva, luego por el teorema 5.4,|A| = |B|, contradiccion luego |A| ≤ |B|.

Teorema 5.6.† Las siguientes tres condiciones son equivalentes.

i) |A| ≤ |B|.ii) Hay una funcion inyectiva f : A −→ B.iii) A = ∅ o hay una funcion sobreyectiva g : B −→ A.

Demostracion. i) ⇒ ii)Sean f : A −→ |A|, g : |B| −→ B biyecciones, entonces g ◦ f :

A −→ B es inyectiva.ii) ⇒ iii)

Sea A 6= ∅, a ∈ A y f : A −→ B inyectiva. Definimosg : B −→ A como sigue.

g(x) ={f−1(x) , si x ∈ f ∗A ,a , si no ,

entonces g es sobreyectiva.121

iii) ⇒ i)†

Supongamos A 6= 0 y sea g : B −→ A sobreyectiva. Entoncesg−1∗A induce una particion de B , a saber, {g−1∗{a} : a ∈ A}. Por elaxioma de eleccion, escogemos un sistema de representantes para estaparticion. Definimos f : A −→ B asignando a x ∈ A el representantede g−1∗{x} anteriormente elegido. Es claro que f es inyectiva, luego,|A| ∼ |f ∗A| y f ∗A ⊆ B, luego por 5.5, |A| = |f ∗A| ≤ |B|.

Observemos que el axioma de eleccion se usa solamente en la de-mostracion de iii) ⇒ i). Todas las otras implicaciones se pueden de-mostrar sin ese axioma. Todavıa no hemos dado ningun ejemplo de

cardinal. Los siguientes dos teoremas remedian esta situacion.

Teorema 5.7. Si n ∈ ω, entonces n es un cardinal.

Demostracion. Por induccion.Es claro que 0 es un cardinal.Supongamos que n es un cardinal y n + 1 no lo es. Entonces

existe m < n + 1 tal que m ∼ n + 1, es claro que m 6= 0. Seaf : n+ 1 −→ m una biyeccion. Podemos suponer que f(n) = m− 1,porque si no, mediante una permutacion apropiada lo podemos lograr.Entonces f � n : n −→ m − 1 es una biyeccion, luego, por hipotesisde induccion, m− 1 = n, o sea, m = n+ 1, una contradiccion. Por lotanto n+ 1 es cardinal, lo que completa nuestra induccion.

Teorema 5.8. ω es cardinal.

Demostracion. Sabemos por 5.3, iii), que |ω| ≤ ω. Si |ω| <ω, |ω| = m para algun numero natural m.

Pero m ⊆ m+ 1 ⊆ ω, luego

|ω| = m = |m| ≤ |m+ 1| = m+ 1 ≤ |ω|luego m = m+ 1, contradiccion.

Luego |ω| = ω.

Teorema 5.9. CantorPara todo A, |A| < |PA|.

Demostracion. Es claro que |A| ≤ |PA| ya que la asignaciona 7−→ {a} define una funcion inyectiva de A en PA.

Supongamos que existe una funcion sobreyectiva f : A −→ PA ysea

122

B = {x ∈ A : x 6∈ f(x)}.Como B ⊆ A y f es sobreyectiva, existe a ∈ A tal que B = f(a).

Entonces si a ∈ B, por definicion a 6∈ f(a), luego a 6∈ B. Sia 6∈ B, entonces a 6∈ f(a), o sea, a ∈ B, es decir,

a ∈ B si y solo si a 6∈ B,contradiccion, luego tal funcion sobreyectiva no puede existir y |A| 6=|PA|.

Corolario 5.10. Dado un ordinal α , existe un cardinal m > α.

Demostracion. Basta considerar m = |Pα|.

Corolario 5.11. No existe el conjunto de todos los cardinales.

Demostracion. Si existiera el conjunto C de todos los cardinales,por el teorema recien demostrado, el conjunto⋃

n∈C

{α ∈ n : α < n}

contendrıa a todos los ordinales y por lo tanto estos constituirıantambien un conjunto.

Teorema 5.12. Si Γ es un conjunto de cardinales, entonces⋃

Γes un cardinal.

Demostracion. Supongamos⋃

Γ no es un cardinal, entonces,|⋃

Γ| <⋃

Γ (recordemos que⋃

Γ es un ordinal). Luego, existen ∈ Γ

|⋃

Γ| ∈ n ∈ Γ ,

pero n ⊆⋃

Γ y

|⋃

Γ| < n = |n| ≤ |⋃

Γ| .

Definicion 5.3. Para todo ordinal α, α+ es el menor cardinalmayor que α .

Definimos la operacion ℵ (aleph) recursivamente para todo ordinal.123

ℵ0 = ω

ℵα+1 = (ℵα)+

ℵλ =⋃α<λ

ℵα, si λ es lımite.

Ejercicios.

1. Demuestre que la relacion “ser equinumeroso” es refleja simetricay transitiva.

2. Probar que:(a) PPP0 ∼ 4.(b) Si A ∼ B, entonces CA ∼ CB.(c) Si B ∩ C = ∅, entonces B∪CA ∼ BA× CA.(d) C(BA) ∼ B×CA.(e) C(A×B) ∼ CA× CB.(f) Si R1 es el conjunto de todos los ordenes estrictos sobre X

y R2 es el conjunto de todos los ordenes sobre X, entoncesR1 ∼ R2.

(g) Probar que si E es el conjunto de todas las clases de equiv-alencia sobre A y P es el conjunto de todas las particionesde A , entonces E ∼ P .

3. Sea A un conjunto. Probar que PA ∼ A2.4. Sea {Ij : j ∈ J} una particion de I. Probar que∏

i∈I

Ai ∼∏j∈J

(∏i∈Ij

Ai).

5. Si A1 ∼ A2 y B1 ∼ B2 y A1 ∩ B1 = A2 ∩ B2 = ∅, probar queA1 ∪B1 ∼ A2 ∪B2.

6. Probar que si A ∼ C y B ∼ D, entonces A×B ∼ C ×D.7. Probar que si A ∼ B, entonces PA ∼ PB.8. Probar que si (A−B) ∼ (B − A), entonces A ∼ B.9. Probar que si A ∼ B y a ∈ A y b ∈ B, entonces (A−{a}) ∼

(B − {b}).10. Probar que si A ∼ B y C ∼ D y C ⊆ A y D ⊆ B, entonces

(A− C) ∼ (B −D).11. Sean (Ai)i∈I y (Bi)i∈I dos familias, cada una de conjuntos

disjuntos dos a dos. Si Ai ∼ Bi para todo i ∈ I, probar que⋃i∈I Ai ∼

⋃i∈I Bi .

12. Sean (Ai)i∈I y (Bi)i∈I dos familias de conjuntos tales que Ai ∼Bi para todo i ∈ I. Probar que

∏i∈I Ai ∼

∏i∈I Bi .

124

13. Demuestre las partes del teorema 5.3 que no fueron demostradasen el texto.

14. Haga la induccion mencionada en la demostracion del teorema5.4.

15. Demuestre directamente, sin usar el axioma de eleccion, la equiv-alencia de las dos primeras afirmaciones del teorema 5.6.

16. Demuestre directamente, sin usar el axioma de eleccion, la im-plicacion i) ⇒ iii) del teorema 5.6.

17. Probar que para intervalos de numeros reales se tiene (a, b) ∼[a, b].

18. Probar que ω y | ω2| son cardinales distintos.19. Probar que |Q| = |Q[x]| = ω, donde Q[x] es el conjunto de

polinomios en x con coeficientes en Q.20. Sea R el conjunto de todas las raıces reales de polinomios de

Q[x]. Probar que |R| = ω.21. Si B ⊆ A y ω ⊆ |B| < |A|, cual es la cardinalidad de A−B ?.22. Probar que α es un cardinal tal que ω < α si y solo si α es

ordinal lımite.23. Para α y β ordinales, probar o dar contraejemplo de:

(a) Si α y β son cardinales, entonces α + β es cardinal.(b) Si α y β son cardinales, entonces α · β es cardinal.(c) |α + β| = |α|+ |β|.(d) |α · β| = |α| · |β|.(e) Si α < β, entonces |α| < |β|.

24. Sean A , B y C conjuntos. Probar que:(a) Si B 6= ∅, entonces |A| ≤ | BA|.(b) SI B ⊆ C, entonces | BA| ≤ | CA|.(c) Si |B| ≥ 2, entonces |A| ≤ | AB|.

25. Probar que para todo α , ℵα es un cardinal.26. Probar que:

(a) ℵα = ℵβ si y solo si α = β.(b) ℵα < ℵβ si y solo si α < β.

27. Probar que para todo cardinal α existe un ordinal β tal queα < ℵβ.

2. Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos

En esta seccion daremos un marco formal a la nociones intuitivasde finitud e infinitud yveremos algunas diferencias entre estos dos tiposde conjuntos.

Definicion 5.4. i) Un conjunto A es finito si |A| < ℵ0.ii) A es infinito si |A| ≥ ℵ0.

125

iii) A es enumerable si |A| = ℵ0.

Una consecuencia inmediata de esta definicion es que los numerosnaturales son finitos, es mas, la cardinalidad de un conjunto finito essiempre un numero natural. Ası por ejemplo|{x}| = 1 ,|{x, y}| = 2 , si x 6= y, etc.

Teorema 5.13. Si A ⊆ B o existe una funcion sobreyectiva f :B −→ A, entonces:

i) Si A es infinito, B es infinito,ii) † Si B es finito, A es finito.

Demostracion. Si A ⊆ B, use el teorema 5.5.Si existe una funcion sobreyectiva f : B −→ A, entonces como

existe una biyeccion g : |A| −→ A, tenemos que

g ◦ f : |A| −→ B

es una funcion sobreyectiva, luego por el teorema 5.6, |A| ≤ |B|. (Aquıes donde hemos usado el axioma de eleccion.)

La conclusion del teorema se sigue de esta afirmacion.

Teorema 5.14. Si A es finito y B ⊂ A, entonces |B| < |A|.

Demostracion. Sea b ∈ A − B y f : A −→ m una biyeccion.Podemos suponer que f(b) = m − 1 pues si f(b) 6= m − 1 podemospermutar dos valores de f y la funcion resultante sigue siendo biyectiva.Entonces

f � B : B −→ m− 1es inyectiva y por el teorema 5.6,

|B| ≤ m− 1 < m = |A|.Recuerdese que esta parte del teorema 5.6 no requiere del axioma deeleccion.

El teorema anterior caracteriza a los conjuntos finitos, de hecho, sepuede definir conjunto infinito como un conjunto que es equinumerosocon uno de sus subconjuntos propios. Un conjunto que satisface estapropiedad se dice Dedekind–infinito. Se necesita el axioma de eleccionpara demostrar que ser infinito y ser Dedekind–infinito es equivalente.

Teorema 5.15.† Un conjunto A es infinito si y solo si A es

equinumeroso con uno de sus subconjuntos propios.

126

Demostracion. ⇐) Por el teorema anterior.⇒) † Como A es infinito, |A| ≥ ℵ0 = ω, luego existe una funcion

inyectiva f : ω −→ A. Definamosh : A −→ A− {f(0)} como sigue

h(x) ={f(f−1(x) + 1) si x ∈ f ∗ω,x si x 6∈ f ∗ω.

es claro que h es biyectiva.

Teorema 5.16. Si A y B son finitos, |A| = |B| y f : A −→ B,entonces f es inyectiva si y solo si f es sobreyectiva.

Demostracion. ⇒) Supongamos f es inyectiva. Si f no essobreyectiva, entonces como f∗A ⊆ B, por 5.14

|A| = |f∗A| < |B|,

contradiccion.⇐) Supongamos que f es sobreyectiva. Entonces f induce la sigu-

iente particion sobre A :

{f−1∗{b} : b ∈ B}Podemos seleccionar un representante de cada elemento de la par-

ticion y definir

g : B −→ A

b 7−→ el representante de f−1∗{b} seleccionado.

Observese que como B es finito, la particion indicada es finita y por lotanto para seleccionar un representante de cada elemento de la particionno es necesario el axioma de eleccion.

Es claro que f(g(b)) = b y que g es inyectiva. Aplicando la primeraparte de esta demostracion a g, esta es sobreyectiva, es decir, g esbiyectiva. Por ultimo f = g−1, luego f es inyectiva.

Ejercicios.

1. Demuestre que un conjunto A es Dedekind–infinito si existe unafuncion inyectiva de A en A , que no es sobreyectiva.

2. Sea F una funcion de A sobre B , con A enumerable. Probarque |B| ≤ ℵ0.

127

3. Probar que, si A y B son finitos, entonces A ∪ B, A × B yAB son finitos. Si A o B son enumerables ¿es alguno de losconjuntos mencionados infinito no numerable?.

4. Probar que A es infinito si y solo si existe un subconjunto enu-merable de A .

5. Probar que si A es infinito y B no es vacıo, entonces A×B esinfinito.

6. Probar que si A es infinito y B ⊆ A es finito, entonces A− Bes infinito.

7. Probar que A es infinito si y solo si para todo n ∈ ω existeB ⊆ A con B ∼ n.

8. Sean A infinito y B enumerable. Probar que A ∼ (A ∪B).9. Probar que si A es enumerable y x ∈ A, entonces A − {x} es

enumerable.Probar que A es infinito si y solo si A ∼ (A− {x}).

10. Probar que si PA es infinito, entonces A es infinito.11. Probar que todo subconjunto de un conjunto enumerable es finito

o enumerable.12. Probar que si A y B son enumerables, entonces A × B es

enumerable. Probar lo mismo si B es finito no vacıo.13. Sea (Ai)i∈ω una familia de conjuntos enumerables. Probar que⋃

i∈ω Ai es enumerable.14. Probar que si A es enumerable, entonces existe B ⊆ A enumer-

able tal que A−B es enumerable.15. Probar que si n ∈ ω, entonces ωn es enumerable (exponen-

ciacion ordinal).16. Probar que si I = ω, entonces

⋃i∈I ω

i es enumerable.17. Probar que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de un

conjunto enumerable es enumerable.18. Probar que si A es infinito, entonces A es enumerable si y solo

si A ∼ B para todo B ⊆ A infinito.19. Probar que si A es el conjunto de los subconjuntos infinitos de

ω, entonces |A| = | ω2|.20. Sea a = (an)n∈ω una familia de naturales. Entonces:

(a) Diremos que a es eventualmente constante si existen n0 ∈ω y s ∈ ω tales que an = s para todo n ≥ n0. Probarque el conjunto de las familias eventualmente constantesde numeros naturales es enumerable.

(b) Diremos que a es eventualmente periodica si existen n0 ∈ω y p ∈ ω − 1 tales que an+p = an para todo n ≥n0. Probar que el conjunto de las familias eventualmenteperiodicas de numeros naturales es enumerable.

128

(c) Diremos que a es progresion aritmetica si existe d ∈ ω talque an+1 = an + d, para todo n ∈ ω. Probar que el con-junto de las progresiones aritmeticas de numeros naturaleses enumerable.

21. Probar que una particion de un conjunto enumerable tiene unconjunto de representantes, sin usar el Axioma de Eleccion oalguno de sus equivalentes.

22. Sea ϕ una formula con variable libre x . Probar que si A esfinito y se verifica ϕ(∅) y para todo x ∈ A y todo B ⊆ Asi se verifica ϕ(B), tambien se verifica ϕ(B ∪ {x}), entonces severifica ϕ(A).

23. Probar que A es finito si y solo si A pertenece a todo conjuntoK tal que ∅ ∈ K y para todo x ∈ A y todo B ⊆ A tal queB ∈ K, se tenga B ∪ {x} ∈ K.

24. Probar que A es finito si y solo si A pertenece a todo conjuntoK tal que ∅ ∈ K, y x ∈ A implica {x} ∈ K y, si B ∈ K yC ∈ K, entonces B ∪ C ∈ K.

25. Probar que A es finito si y solo si PA es el unico conjunto Ktal que K ⊆ PA, ∅ ∈ K, x ∈ A implica {x} ∈ K, y si B ∈ Ky C ∈ K, entonces B ∪ C ∈ K.

26. Probar que, si A es enumerable, entonces existe una familia Bde conjuntos tal que:

(a) B es enumerable,(b) si C ∈ B, entonces C es enumerable,(c) Si C y D estan en B , y C 6= D, entonces C ∩D = ∅ , y(d)

⋃B = A.

Probar el recıproco usando el Axioma de Eleccion.

3. Aritmetica Cardinal

En esta seccion definiremos suma, producto y exponenciacion decardinales y algunas de sus propiedades. Tambien veremos que estasoperaciones tienen una interpretacion intuitiva.

3.1. Suma de Cardinales.

Definicion 5.5. Sea 〈mi : i ∈ I〉 una familia de cardinales. Lasuma cardinal de los mi denotada por

∑i∈I

mi es el cardinal del conjunto

⋃i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ mi}

129

Si I = 2, escribimos ∑i∈2

mi = m0 +c m1

Mas generalmente si i = n, escribimos∑i∈n

mi = m0 +c · · ·+c mn−1.

La idea de la definicion es que la suma de cardinales representa lacardinalidad de la union de conjuntos disjuntos que tienen las cardi-nalidades indicadas, ası por ejemplo,

m0 +c m1 = |{(0, α) : α ∈ m0}⋃{(1, α) : α ∈ m1}|

como

|{(0, α) : α ∈ m0}| = m0 y |{(1, α) : α ∈ m1}| = m1,

la finalidad de tomar estos conjuntos de pares ordenados es simplementedisjuntar los conjuntos (obviamente m0 y m1 no son disjuntos).El siguiente teorema nos dice que no importa que conjuntos usemospara calcular la suma siempre que estos sean disjuntos y tengan lascardinalidades adecuadas.

Teorema 5.17.†

Si 〈Ai : i ∈ I〉 y 〈Bi : i ∈ I〉 son familias de conjuntos disjuntosdos a dos tales que para todo i ∈ I Ai ∼ Bi, entonces⋃

i∈I

Ai ∼⋃i∈I

Bi ∼∑i∈I

|Ai|

Demostracion. Para i ∈ I, sea fi : Ai −→ Bi una biyeccion.Definimos

f :⋃i∈I

Ai −→⋃

Bi

a 7−→ fi(a) , si a ∈ Ai.f esta bien definida ya que los Ai son disjuntos a pares, luego a nopuede pertenecer a dos de ellos al mismo tiempo. Es claro tambien quef es biyectiva. Observese que f =

⋃i∈I fi.

Teorema 5.18.

|⋃i∈I

Ai| ≤∑i∈I

|Ai|.

130

En particular ⋃i∈I

mi ≤∑i∈I

mi.

Demostracion. Si |Ai| = mi para cada i ∈ I, sea fi : mi −→ Abiyectiva y definamos:

g :⋃i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ mi} −→⋃

Ai

〈i, α〉 7−→ fi(a).

Es facil ver que g es sobreyectiva luego por 5.6, |⋃i∈I Ai| ≤∑

i∈I |Ai|.

Algunas propiedades elementales de la suma de cardinales estanresumidas en el proximo teorema.

Teorema 5.19. i)∑i∈I

0 = 0.

ii)∑i∈0

mi = 0.

iii) Si I ⊆ J , entonces∑i∈I

mi ≤∑i∈J

mi.

iv) Si mi ≤ ni, para i ∈ I, entonces∑i∈I

mi ≤∑i∈I

ni.

v)∑β<m

1 = m.

Demostracion. i) y ii) son obvias a partir de la definicion.iii) Basta notar que⋃

i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ mi} ⊆⋃i∈J

{〈i, α〉 : α ∈ mi},

luego aplicar 5.5.iv) Idem iii) ya que⋃

i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ mi} ⊆⋃i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ ni}

v) Observese que

f : m −→⋃β∈m

{〈β, α〉 : α ∈ 1}

β 7−→ 〈β, 0〉131

es una biyeccion.

Teorema 5.20. (Conmutatividad Generalizada)Si 〈mi : i ∈ I〉 es una familia de cardinales y σ es una permutacion

de I (i.e. σ : I −→ I es una biyeccion), entonces∑i∈I

mi =∑i∈I

mσ(i)

Demostracion. Considerese

f :⋃i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ mi} −→⋃i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ mσ(i)}

〈i, α〉 7−→ 〈σ−1(i), α〉.

Es claro que f es biyectiva, por ejemplo, para verificar que f essobreyectiva, sea 〈k, β〉 ∈

⋃i∈I{〈i, α〉 : α ∈ mσ(i)} es decir k ∈ I y

β ∈ mσ(k).Sea j = σ(k), entonces

f(〈j, β〉) = 〈σ−1(j), β〉 = 〈k, β〉,

con 〈j, β〉 ∈⋃i∈I{〈i, α〉 : α ∈ mi}, luego f es sobreyectiva.

Teorema 5.21. (Asociatividad generalizada)Sea {〈mij : 〈i, j〉 ∈ I × J〉} una familia de cardinales. Entonces∑

〈i,j〉∈I×J

mij =∑i∈I

(∑j∈J

mij).

Demostracion. Para cada 〈i, j〉 ∈ I × J definimos

Aij = {〈〈i, j〉, α〉 : α ∈ mij}.

Entonces los Aij sondisjuntos a pares y |Aij| = mij, para todo〈i, j〉 ∈ I × J . Por el teorema 5.17,∑

〈i,j〉∈I×J

mij = |⋃

〈i,j〉∈I×J

Aij|.

Ademas, para cada i ∈ I,

|⋃j∈J

Aij| =∑j∈J

mij.

132

Pero 〈⋃j∈J Aij : i ∈ I〉 es tambien una familia de conjuntos dis-

juntos a pares luego ∑i∈I

|⋃j∈J

Aij| = |⋃i∈I

(⋃j∈J

Aij)|.

Para terminar basta con notar que⋃〈i,j〉∈I×J

Aij =⋃i∈I

⋃j∈J

Aij ,

por asociatividad de la union. Juntando los cuatro resultados anteri-ores, ∑

〈i,j〉∈I×J

mij =∑i∈I

(∑j∈J

mij.

Para completar estos resultados sobre la suma cardinal veremosalgunos teoremas sobre cardinales finitos.

Teorema 5.22. Para todo par de numeros naturales m,n,

m+c n = m+ n

Demostracion. Por induccion sobre n .Si n = 0, es facil comprobar que m +c 0 = m y lo dejamos como

ejercicio. Luegom+c 0 = m = m+ 0

Antes de demostrar el paso inductivo demostraremos que m+c 1 =m+ 1. En efecto,

f : {〈0, `〉 : ` ∈ m} ∪ {〈1, 0〉} −→ m+ 1〈0, `〉 7−→ `

〈1, 0〉 7−→ m

es una biyeccion, luego m+c 1 = m+ 1.Supongamos ahora que m+c n = m+ n entonces

m+c Sn = m+c (n+ 1)= m+c (n+c 1) , por lema,= (m+c n) +c 1 , por 5.21,= (m+ n) + 1 , por hipotesis y lema,= m+ (n+ 1)= m+ Sn

Esto completa la induccion.

133

Corolario 5.23. Si A y B son finitos, entonces A⋃B tambien

lo es.

Demostracion. Por 5.17, |A∪B| ≤ |A|+c|B| = |A|+|B| < ω.

3.2. Producto de Cardinales.

Definicion 5.6. Sea 〈mi : i ∈ I〉 una familia de cardinales.El producto cardinal de los mi es

Xi∈Imi = |∏i∈I

mi|

Si I = 2, Xi∈Imi se escribe m0 ×c m1.En general si I = n, Xi∈Imi = m0 ×c m1 ×c · · · ×c mn−1.

Como en el caso de la suma, el producto de cardinales no depende delos conjuntos que empleemos para calcularlo, solo de las cardinalidadesde esos conjuntos.

Teorema 5.24.† Si |Ai| = |Bi| para todo i ∈ I, entonces

|∏i∈I

Ai| = |∏i∈I

Bi|.

Demostracion. Sea fi : Ai −→ Bi una biyeccion. Consideremos

f :∏i∈I

Ai −→∏i∈I

Bi

definida porf(a)(i) = fi(a(i)),

Para todo a ∈∏

i∈I Ai.Veamos que f es inyectiva.Si f(a) = f(b), entonces para todo i ∈ I f(a)(i) = f(b)(i), es

decir

fi(a(i)) = fi(b(i)),pero como para todo i ∈ I, las funciones fi son inyectivas, a(i) = b(i),es decir, a = b.

Para verificar que f es sobreyectiva. Sea b ∈∏

i∈I Bi y seaa(i) = f−1

i (b(i)). Tal a(i) existe por ser fi biyectiva. Es claro quef(a) = b.

Por lo tanto f es biyeccion y∏

i∈I Ai ∼∏

i∈I Bi.

Corolario 5.25. |∏

i∈I Ai| = Xi∈I |Ai| y en particular |A× B| =|A| ×c |B|.

134

El proximo teorema resume algunas propiedades elementales de elproducto cardinal.

Teorema 5.26. i) Si mi = 0 para algun i ∈ I, entoncesXi∈Imi = 0.

ii) Xi∈∅mi = 1.iii) Xi∈I1 = 1.iv)

∑i∈I

m = |I| ×m.

v) Si mi ≤ ni, para todo i ∈ I, entonces Xi∈Imi ≤ Xi∈Ini.

Demostracion. i) En este caso∏

i∈I mi = ∅.ii)∏

i∈∅mi = {0}iii)

∏i∈I 1 = {f}, donde f(i) = 0, para todo i ∈ I.

iv) Notese que

I ×m =⋃i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ m},

luego por definicion,∑i∈I

m = |⋃i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ m}|

= |I ×c m|= |I| ×c m.

v) En este caso ∏i∈I

mi ⊆∏i∈I

ni.

Teorema 5.27. (Conmutatividad Generalizada)Si σ es una permutacion de I , entonces

Xi∈Imi = Xi∈Imσ(i).

Demostracion. Considerese la biyeccion

f :∏i∈I

mi −→∏i∈I

mσ(i),

definida porf(a)(i) = a(σ(i)).

Teorema 5.28. (Asociatividad Generalizada)

X〈i,j〉∈I×Jmij = Xi∈I(Xj∈Jmij).

135

Demostracion. Por el teorema 5.24

Xi∈I(Xj∈Jmij) = |∏i∈I

(∏j∈J

mij)|

X〈i,j〉∈I×Jmij = |∏

〈i,j〉∈I×J

mij|

Definimos F :∏〈i,j〉∈I×J mij −→

∏i∈J(

∏j∈J mij)

F (f)(i)(j) = f(〈i, j〉).

Es claro que F es biyeccion.

Teorema 5.29. (Distributividad)Si para todo i ∈ I ni es un cardinal,

n×c∑i∈I

ni =∑i∈I

m×c ni.

Demostracion. Notemos primero que∑i∈I

m×c ni = |⋃i∈I

{〈i, α, β〉 : α ∈ m, β ∈ ni}|,

ya que para todo i ∈ I,

n×c ni ∼ {〈i, α, β〉 : α ∈ m, β ∈ ni}.

Por otra parte

n×c∑i∈I

ni = |m×c⋃i∈I

{〈i, β〉 : β ∈ ni}|.

Por ultimo

F : m×c⋃i∈I

{〈i, β〉 : β ∈ ni} −→⋃i∈I

{〈i, α, β〉 : α ∈ m, β ∈ ni}

〈α, 〈i, β〉〉 7−→ 〈i, α, β〉

es obviamente biyectiva.

El siguiente teorema tiene por consecuencia el que las operacionesde suma y producto cardinal para el caso infinito son en algun sentidotriviales.

Teorema 5.30. Sea m un cardinal infinito. Entonces

m×c m = m

136

Demostracion. Supongamos que esto es falso. Sea m el menorcardinal tal que m×c m 6= m. Definiremos un orden sobre el productocartesiano m×c m y demostraremos que este es un buen orden.

Para α, β, γ, δ ∈ m definimos

〈α, β〉 4 〈γ, δ〉si y solo si

1. α = γ y β = δ o2. α ∪ β < γ ∪ δ o3. α ∪ β = γ ∪ δ y α < γ o4. α ∪ β = γ ∪ δ y α = γ y β ≤ δ.

No demostraremos que 4 es un orden lineal sobre m ×c m puessu demostracion es rutinaria. Para ver que 4 es un buen orden, seaΓ ⊆ m×c m no vacıo.

Seaγ =

⋂{α ∪ β : 〈α, β〉 ∈ Γ},

es claro que γ existe pues es el menor elemento de un conjunto novacıo de ordinales.Sea

δ =⋂{α : 〈α, β〉 ∈ Γ} para algun β y α ∪ β = γ}.

Finalmente seaε =

⋂{β : 〈δ, β〉 ∈ Γ}

Es facil ver que 〈δ, ε〉 es el menor elemento de Γ.Luego, 4 es un buen orden con campo m ×c m y por lo tanto es

isomorfo a algun ordinal α .Sea f : α −→ m ×c m el isomorfismo (i.e. si β < γ ∈ α, entonces

f(β) 4 f(γ)). Notese que en particular, α ∼ m×c m.Supongamos que α ≤ m. Entonces

m×c m = |m×c m| = |α| ≤ m = m×c 1 ≤ m×c mc

donde para el ultimo paso hemos usado 5.26, v) , o sea, m×c m = m,una contradiccion.

Por lo tanto α > m, es decir m ∈ Dom f . Sean

f(m) = 〈β, γ〉 ∈ m×m

δ = (β ∪ γ) + 1.

Como m es lımite, δ ∈ m y β ∪ γ < δ = δ ∪ δ por lo tanto(β, γ 4 (δ, δ).

De hecho para todo ε < m

137

f(ε) 4 f(m) 4 〈δ, δ〉 y f(ε) 6= δ.

Por lo tantof � m : m −→ δ × δ

es inyectiva, luego,m ≤ |δ × δ| = |δ| ×c |δ|.

Como δ < m, o bien, δ es finito, o bien |δ| ×c |δ| = |δ|.En el primer caso m es finito. En el segundo m ≤ |δ| y δ < m lo

que contradice el que m sea cardinal. Esto concluye la demostracion.

Corolario 5.31. Si m ≥ ℵ0 o n ≥ ℵ0, entonces m +c n = m∪n.Si ademas m 6= 0 y n 6= 0, m×c n = m ∪ n.

Si α, β son ordinales, entonces

ℵα + ℵβ = ℵα∪β = ℵα ×c ℵβ.

Demostracion. Supongamos sin perdida de generalidad que m ≥ℵ0 y m ≥ n. Entonces

m +c n ≤ m +c m

= m×c 2 por 5.26 iv),≤ m×c m

= m

≤ m +c n

Luegom +c n = m = m ∪ n.

Si ademas suponemos n > 0,

m×c n ≤ m×c m

= m

= m×c 1≤ m×c n

Luegom×c n = m = m ∪ n.

La observacion respecto de los ℵ ahora es obvia.

Corolario 5.32. Sea m un cardinal infinito, |Ai| ≤ m para todoi ∈ I y |I| ≤ m. Entonces |

⋃i∈I Ai| ≤ m.

138

Demostracion.

|⋃i∈I

Ai| ≤∑i∈I

|Ai|

≤∑i∈I

m

= |I| ×c m

≤ m×c m

= m.

Corolario 5.33. La union enumerable de conjuntos enumerableses enumerable.

Teorema 5.34.† (Desigualdad de Zermelo)

Si para todo i ∈ I mi < ni ,∑i∈I

mi < Xi∈Ini.

Demostracion. Como ni − mi 6= ∅, existe f ∈∏

i∈I(ni − mi).Definimos ahora

F :⋃i∈i

{〈i, α〉 : α ∈ mi} −→∏i∈I

ni

F (〈i, α〉)(j) ={f(j) si i 6= j,α si i = j.

F es inyectiva. En efecto, supongamos que

F (〈i, α〉) = F (〈j, β〉),es decir, para todo k ∈ I,

F (〈i, α〉)(k) = F (〈j, β〉)(k).

Entonces, si i 6= j,

f(j) = F (〈i, α〉)(j) = F (〈j, β〉)(j) = β

pero f(j) 6∈ mj y β ∈ mj, contradiccion. Luego, i = j. Pero entoncesα = β y F es inyectiva. Por lo tanto,∑

i∈I

mi ≤ Xi∈Ini.

Supongamos que son iguales. Entonces existe una biyeccion

h :⋃i∈I

{〈i, α〉 : α ∈ mi} −→∏i∈I

ni.

139

Para cada i ∈ I definimos

hi : {〈i, α〉 : α ∈ mi} −→ ni

〈i, α〉 7−→ h(〈i, α〉)(i) .

Es claro que hi es inyectiva porque h lo es. Entonces

|h∗i {〈i, α〉 : α ∈ mi}| ≤ |{〈i, α〉 : α ∈ mi}| = mi < ni

Podemos usar nuevamente el principio multiplicativo y encontrar

` ∈∏i∈I

(ni − k∗i {〈i, α〉 : α ∈ mi}).

Como ` ∈∏i∈I

ni y h es sobreyectiva, existe i ∈ I, α ∈ mi tal que

` = h(〈i, α〉, pero entonces

`(i) = h(〈i, α〉)(i) = hi(〈i, α〉) ∈ k∗i {〈i, α〉 : α ∈ mi},contradiciendo la definicion de `.

Por ultimo verificamos que el producto de cardinales finitos se com-porta como lo deseamos.

Teorema 5.35. Si m,n son naturales

m×c n = m · n

Demostracion. Por induccion- m×c 0 = 0 = m · 0- Supongamos m×c n = m · n. Entonces

m×c Sn = |m× (n ∪ {n})|= |m× n ∪m× {n}|

y como la union es disjunta y m× {n} ∼ m,

m×c Sn = m×c n+c m

= m · n+m

= m · Sn.

Corolario 5.36. El producto finito de cardinales finitos es finito.

140

3.3. Exponenciacion de Cardinales. Para terminar con estaseccion definiremos la operacion de exponenciacion de cardinales. Debe-mos tener presente que al igual que en el caso de las sumas y los pro-ductos, la exponenciacion cardinal difiere radicalmente de la exponen-ciacion ordinal. Sin embargo, diferencia de las otras dos operaciones,no existe una buena manera de distinguir notacionalmente ambas ex-ponenciaciones. Para no recargar aun mas una notacion de suyo algoengorrosa, hemos optado por usar la misma notacion para las dos de-jando al contexto como indicador de cual de las dos exponenciacionesse esta usando. En general, como las letras goticas designan cardinales,no hay demasiada poibilidad de confusion.

Definicion 5.7. Si m y n son cardinales,

mn = |nm|

Es decir la exponenciacion de m por n es la cardinalidad del conjuntode todas las funciones de m en n . Por simplicidad notacional, cuandoel exponente sea un ℵ no lo subrayaremos.

Teorema 5.37. Dados dos conjuntos A y B ,

|AB| = |B||A|

Demostracion. Basta probar que AB ∼|A| |B|. Consideremos lasbiyecciones f y g como en el diagrama.

Ax−→ B

f ↓ ↑ g

|A| F (x)−→ |B|

Definimos

F : AB −→ |A||B|x 7−→ g ◦ x ◦ f

F es una biyeccion porque f y g lo son.

Teorema 5.38. i) m0 = 1.ii) Si m 6= 0, entonces 0m = 0.iii) 1m = 1.iv) m1 = m.v) Xi∈Im = m|I|.

141

Demostracion. i) - iv) Son obvias.v) Basta notar que

∏i∈I m = Im.

Teorema 5.39. i) mPi∈I ni = Xi∈Im

ni .ii) (Xi∈Imi)n = Xi∈Im

ni.

Demostracion. i) Sea

F :Si∈I{〈i,α〉:α∈mi}m −→

∏i∈I

(nim)

f 7−→ F ◦ f

donde F (f)(i) es la funcion de ni en m definida por

F (f)(i)(α) = f(〈i, α〉).

ii) Sea

F : n∏i∈I

mi −→∏i∈I

(nmi)

donde F (f)(i) es la funcion de n en mi definida por

F (f)(i)(α) = f(α)(i)

Tanto en i) como en ii) F es biyectiva.

Teorema 5.40.

(mn)p = mn×cp.

Demostracion. La funcion

F : p(nm) −→ n×cpm

definida porF (f)(〈α, β〉) = f(β)(α)

es la biyeccion requerida.

El siguiente teorema es bastante util.

Teorema 5.41. Para cualquier conjunto A ,

|P(A)| = 2|A|

142

Demostracion. Asociamos a cada conjunto de A su funcion car-acterıstica:

χ : P(A) −→ A2B 7−→ χB,

donde

χB(x) ={

1 si x ∈ B,0 si x 6∈ B .

Es claro que χ es biyectiva.

Teorema 5.42. Sean 1 < m ≤ n dos cardinales y n > ℵ0, en-tonces mn = 2n.

Demostracion.

mn ≤ (2m)n

= 2m×cn

= 2n

≤ mn,

en donde hemos usado el hecho de que la exponenciacion es creciente(ver ejercicios) y dos teoremas anteriores. Luego mn = 2n.

Ejercicios.

1. ¿Donde usamos el axioma de eleccion en el teorema 5.17?2. Probar que si m ≤ n, entonces m +c p ≤ n +c p.3. Probar que si m +c 1 = m, entonces m es infinito.4. Probar que si m es infinito, entonces ℵ0 +c m = m.5. Sea 〈mi : i ∈ I〉 una familia de cardinales que no contiene

a su mayor elemento. Probar que para todo j ∈ I se tienemj <

∑i∈I mi .

6. Asumiendo que cada suma es de ℵ0 terminos, probar que:(a) 1 +c 2 +c 3 +c · · · = ℵ0.(b) n+c n+c n+c · · · = ℵ0.(c) ℵ0 +c ℵ0 +c ℵ0 +c . . . = ℵ0.

7. Probar que m ≤ n si y solo si existe p tal que m +c p = n.8. Probar que:

(a)∑

β≤α ℵβ = ℵα.(b) Si α es ordinal lımite, entonces

∑β∈α ℵβ = ℵα.

(c) Si (αi)i∈I es una familia de ordinales, con⋃i∈I αi ⊆ α,

entonces ℵα =∑

i∈I ℵαi si y solo si α =⋃i∈I αi .

143

9. Probar que si m ≤ n, entonces m×c p ≤ n×c p.10. (a) Probar que si m ≤ n, entonces mp ≤ np.

(b) Sea p 6= 0. Probar que si m < n, entonces pm ≤ pn.Probar tambien que si pm < pn, entonces m < n.

(c) Mas generalmente, demuestre que si m ≤ n con m 6= 0y p ≤ q, entonces mp ≤ nq.

11. Probar que si n ∈ ω y c = 2ℵ0 , entonces:(a) (n+c2)ℵ0 = ℵℵ0

0 = n+cc = n×cc = cn = ℵ0+cc = ℵ0×cc =cℵ0 = c +c c = c×c c = c2 = c.

(b) (n+c 2)c = ℵc0 = cc = 2c.(c) ℵ0 6= c 6= 2c.

12. Probar que si I = ω − 1, entonces∏

i∈I i = c.13. Probar que {m : mℵ0 = m} es infinito.14. Probar que si m +c n = p, entonces (r +c s)p ≥ rm ×c sn.15. Si m ≥ ℵ0 y m ≤ n×c p, probar que m ≤ n o m ≤ p.16. Un cardinal infinito m se dice dominante si n < m y p < m

implica np < m. Probar que m es dominante si y solo si p < m

implica 2p < m.17. Probar que si mi ≤ n para todo i ∈ I, con |I| ≤ n, entonces∑

i∈I mi ≤ n y∏

i∈I mi ≤ 2n.18. Probar que ℵ0 ≤ 2ℵ0 .19. Probar que m2 = n2 implica m = n.20. Probar que si mi = c, entonces

∏i∈ω mi = c.

21. Probar que∏

β≤α ℵβ = ℵ|α|α , y si α es ordinal lımite, entonces∏β∈α ℵβ = ℵ|α|α .

22. Si α y β son ordinales tales que |α| ≤ ℵγ y |β| ≤ ℵγ,entonces |α + β| ≤ ℵγ y |α · β| ≤ ℵγ.

23. Si a es un subconjunto propio de ℵα, entonces |ℵα − a| = ℵα.24. Probar que ℵℵβα+1 = ℵℵβα ×c ℵα+1.25. Probar que si 2ℵβ ≥ ℵα, entonces ℵℵβα = 2ℵβ .26. Probar que si n ∈ ω, entonces ℵℵβn = ℵn ×c 2ℵβ .27. Probar que

∏n∈ω ℵn = ℵℵ0

ω .28. Probar que ℵℵ1

ω = ℵℵ0ω ×c 2ℵ1 .

4. Cardinales Regulares y Singulares

Definicion 5.8. Decimos que el ordinal β es cofinal con el ordinalα si existe una funcion estrictamente creciente f : β −→ α que no esacotada en α .

La cofinalidad de α es el menor ordinal cofinal con α y se le denotacof (α).

144

Observese que si α = β + 1 es un sucesor, la funcion f : 1 −→ αtal que f(0) = β no es acotada en α , lo que prueba que la cofinalidadde un sucesor es siempre 1, por lo que este concepto tiene interes solopara ordinales lımite. El siguiente lema es consecuencia inmediata dela definicion y puede ser usado como definicion alternativa.

Lema. Si β es cofinal con α , entonces existe una funcion f : β −→ α

tal que ⋃γ<β

f(γ) = α.

Definicion 5.9. Un cardinal infinito se dice regular si es igual asu cofinalidad. En caso contrario diremos que el cardinal es singular.

Ejemplos1. ω es regular.2. ℵω es singular ya que cof (ℵω) = ℵ0.3. Mas generalmente, ℵα es singular si y solo si α es lımite. Esto

lo demostraremos mas adelante.

Teorema 5.43. Un cardinal m es regular si y solo si para todoX ⊆ m, si |X| < m, entonces

⋃X < m.

Demostracion. Supongamos que m regular y sea X ⊆ m tal que|X| < m. Veremos que

⋃X 6= m. Para ello sea h : |X| −→ X una

biyeccion y definamos recursivamente f : |X| −→ m como sigue

f(β) =⋂{γ ∈ X : f ∗β ⊆ γ and h(β) ≤ γ},

es decir, f asigna a β el menor elemento de X que sea mayor o igualque h(β) y que todos los valores asignados previamente por f .

Es facil ver por induccion que f es creciente y como para todoβ < |X|, h(β) < f(β),⋃

X ⊆⋃β<|X|

h(β) ≤⋃β<|X|

f(β).

Pero por hipotesis y lemma ⋃β<|X|

f(β) < m,

que es lo que queriamos demostrar.

Si m no es regular entonces cof (m) ⊆ m, |cof (m)| = cof (m) < m

y⋃cof (m) = m, es decir, X = cof (m) es un contraejemplo para la

condicion del teorema.145

Teorema 5.44.† Todo cardinal sucesor infinito es regular.

Demostracion. Consideremos el cardinal ℵα+1 y sea f : β −→ℵα+1 una funcion creciente donde β < ℵα+1.

Para cada γ < β, f(γ) ≤ ℵα, luego

|⋃γ<β

| ≤∑γ<β

|f(γ)| ≤∑γ<β

ℵα = |β| ×c ℵα ≤ ℵα ×c ℵα = ℵα.

Luego f es acotada en ℵα+1 y por lo tanto ningun β menor queℵα+1 puede ser cofinal con el. Por lo tanto cof (ℵα+1) = ℵα+1 y este esregular.

Ejercicios.

1. ¿Cual es la cofinalidad de ω + ω, ω · ω, ωω?2. Demuestre que cof (α) es un cardinal.3. Demuestre que cof (cof (α)) = cof (α).4. Si m es un cardinal,

⋃cof (m) = m.

5. Demuestre que la funcion f definida en el teorema 5.43 es efec-tivamente creciente.

6. Demuestre que cof (m) es el menor cardinal n tal que existeuna particion de m en n conjuntos cada uno de los cuales tienecardinalidad estrictamente menor que m.

5. La Hipotesis del Continuo

Por el teorema de Cantor 5.9 sabemos que ℵ0 < 2ℵ0 , es decir, elconjunto de todos los subconjuntos de ω tiene mayor cardinalidad queω . Sin embargo no sabemos si existe algun otro cardinal entre ℵ0

y 2ℵ0 . La afirmacion de que este no es el caso recibe el nombre deHipotesis del Continuo (HC), es decir

2ℵ0 = ℵ1.

Tal nombre se debe a que, como sabemos, el conjunto R de losnumeros reales, o continuo, es equinumeroso con el conjunto potenciade ω . En otras palabras, HC dice que el segundo cardinal infinitoes la cardinalidad de los numeros reales. Como corolario se obtieneque todo subconjunto no enumerable de numeros reales tiene la mismacardinalidad.

146

En la decada del 30, K. Godel demostro que HC es compatible conZFC, es decir, que si existe un modelo de ZFC, entonces existe unmodelo en el cual HC tambien es valido. En otras palabras, es imposibledemostrar a partir de ZFCque HC es falsa. En la decada del 60, P.Cohen demostro que HC tampoco es demostrable a partir de ZFC.Estos dos resultados conjuntamente implican que HC es independientede ZFCy que tanto ella como su negacion pueden ser agregadas comonuevo axioma de la teorıa obteniendose resultados muy distintos.

La Hipotesis Generalizada del Continuo (HGC) es la afirmacion

2ℵα = ℵα+1.

Los resultados de Godel y Cohen tambien se aplican a HGC.Es interesante tambien notar que con posterioridad a los traba-

jos de Cohen, se ha demostrado que es consistente con ZFCque 2ℵ0 =ℵ1, ℵ2, . . . , pero como veremos a continuacion, no puede tomar cualquiervalor.

Lema.

ℵω < ℵℵ0ω .

Demostracion. Como sabemos, ℵω =∑

n∈ω ℵm. Por la desigual-dad de Zermelo 5.34, como ℵm < ℵω,

ℵω <∏m∈ω

= ℵℵ0ω .

Corolario 5.45.

2ℵ0 6= ℵω.

Demostracion. Si 2ℵ0 = ℵω, entonces

2ℵ0 < (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0×cℵ0 = ℵ0,

una contradiccion.

Suponiendo HGC resulta bastante facil calcular las exponencialesde cardinales.

Teorema 5.46. Si n es un cardinal infinito, entonces ncof (n) > n.

147

Demostracion. Sea F : cof(n) −→ n be such that⋃α<cof (n) F (α) = n. Entonces

n =⋃

α<cof (n)

F (α) ≤∑

α<cof (n)

|F (α)| <∏

α<cof (n)

n = ncof (n).

Teorema 5.47. Sean m y n dos cardinales infinitos y supongaque HGC es valida. Entonces

mn =

m si n < cof (m),m+ si cof (m) ≤ n ≤ m,n+ si m < n .

Demostracion. (i) Supongamos que n < cof (m). Sea f ∈n m

entonces f es acotada en n , luego f ∈n α, para algun α ∈ m. luego

m ≤ = |nm|

≤ |n⋃

α<m

α|

≤∑α<m

|α|n

≤∑α<m

(|α| ∪ n)|α|∪n

≤∑α<m

(|α| ∪ n)+, por 5.42 y HGC,

≤∑α<m

m = m×c m = m

(ii) Si cof (m) ≤ n ≤ m,

m < mcof (m) ≤ m

n = m+,

por lo tanto mcof (m) = m+.(iii) Es consecuencia directa de 5.42 y HGC.

Ejercicios.

1. Demuestre que HGC es equivalente con mcof (m) = m+, paratodo m infinito.

148

2. (Hausdorff) Demuestre que

ℵℵβα+1 = ℵℵβα ×c ℵα+1.

3. Demuestre que dados dos cardinales m y n, m > 2 y n > ℵ0,se tiene cof (mn) > n.

Concluya que 2ℵ0 6= ℵω.

149

Bibliografıa

[1] Chuaqui, R. B. Aximatic Set Theory. Impredicative Theories of Classes. North–Holland, 1981.

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1980.[6] Kuratowski, K. y Mostowski, A. Set Theory, with an introduction to descrip-

tive set theory. North–Holland, 1976.[7] Monk, J. D. Introduction to Set Theory, Mac Graw-Hill, New York, 1969.[8] Moore, G. H. Zermelo’s Axiom of Choice. Its origins, Development, and influ-

ence. Springer–Verlag, 1982.

151

Glosario

clase propia 6pertenencia 8Axioma de Extensionalidad 9subconjunto 9Axioma del Conjunto Vacıo 9conjunto vacıo 10∅ 10Axioma de Separacion 10Axioma de Pares 11par no-ordenado 11singleton 11Axioma de Uniones 11union 11interseccion 12conjuntos disjuntos 12Axioma del Conjunto Potencia 13conjunto potencia 13Axioma de Regularidad 13Axioma del Conjunto Infinito 14funcion proposicional 14Axioma de Reemplazo 14complemento relativo 17diferencia de conjuntos 17complemento 18par ordenado 23producto cartesiano 24relacion 24dominio de una relacion 24recorrido de una relacion 24campo de una relacion 25composicion de relaciones 25inversa de una relacion 25imagen de un conjunto por una relacion

27funcion 30dominio de una funcion 30recorrido de una funcion 30campo de una funcion 30composicion de funciones 30

funcion inversa 30imagen de un conjunto por una funcion

30funcion de a en b 31funcion inyectiva 31funcion uno a uno 31funcion sobreyectiva 31funcion identidad 33restriccion de una funcion 33relacion reflexiva 40relacion simetrica 40relacion transitiva 40relacion de equivalencia 40clase de equivalencia 41particion 42particion asociada a una relacion de

equivalencia 42relacion asociada a una particion 42relacion antisimetrica 44relacion conexa 45orden parcial 45orden total 45relacion asimetrica 46orden estricto 46relaciones isomorfas 46isomorfismo de orden 46preorden 47cota superior 48cota inferior 48supremo 48ınfimo 48elemento minimal 48elemento maximal 48relacion bien fundada 49buen orden 49sucesor 57conjunto Inductivo 58numeros naturales 58Principio de Induccion 58

153

Principio de Induccion Completa 61∈–transitivo 64ordinal 64Principio de Induccion Transfinita 70ordinal sucesor 70ordinal 70clausura transitiva 75funcion no–decreciente 75funcion estrictamente creciente 75funcion continua 75funcion normal 75jerarquıa acumulativa 101universo de von Neumann 101funcion de eleccion 105equinumerosos 117cardinal 117cardinalidad 119cardinal de un conjunto 119Teorema de Cantor, Schroeder y Bern-

stein 119Teorema de Cantor 122ℵ 123conjunto finito 125conjunto infinito 126conjunto enumerable 126suma cardinal 129Teorema de Zermelo 139cofinal 144cofinalidad 144Hipotesis del Continuo 146Hipotesis Generalizada del Continuo

147

154

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