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J.R Vidal Bosch COMPORAMIENTO DEL BUQUE ENLA MAR 2008

1

TEORÍA DE OLAS

Y

COMPORTAMIENTO DEL BUQUE EN LA MAR

J OSEP RAMON VIDAL BOSCH




2

INTRODUCCIÓN

El comportamiento del buque en la mar es una metodología que tiene como objeto el

estudio de los movimientos y de los esfuerzos producidos por las olas en los sistemas

marinos.

Si la excitación que actúa sobre los sistemas marinos, el oleaje, se pudiese representar

de una manera determinista como una función del espacio y del tiempo, el problema del

comportamiento en la mar sería un caso particular más o menos complicado del análisis

del movimiento armónico forzado y amortiguado en los seis grados de libertad.

Dado que la descripción determinista de la superficie de la mar parece difícil incluso deimaginar, se propone para el estudio del comportamiento del buque en la mar una

descripción estocástica del oleaje, en el domino de la frecuencia y del número de

longitud de onda, que permite calcular los movimientos y esfuerzos de los sistemas

marinos con una fiabilidad suficiente.

En 1898 Krylov estudió los movimientos del buque considerándolo como un sólido

rígido moviéndose según sus seis grados de libertad en olas regulares que se propagan

con cualquier rumbo relativo al buque y con su frente de onda, recto, manteniéndosesiempre paralelo a sí mismo (olas de cresta larga).

Froude y Krylov usaron hipótesis simplificadoras: supusieron que la presencia del

buque no alteraba el campo de presiones de las olas incidentes, con lo que las fuerzas

producidas por éstas se podían calcular integrando su presión sobre la superficie mojada

media del barco. Esta hipótesis denominada del “buque fantasma” que dependiendo de

las dimensiones del buque, pueden representar una parte importante de la fuerza total

que ejercen sobre éstas.

En 1950 aproximadamente Weinblum y St. Denis aplican las leyes de Newton para

resolver el problema del movimiento de la frecuencia de oscilación similar a las de un

movimiento amortiguado y forzado.

Las fuerzas excitadoras son la suma de las Froude-Krilov y las de difracción de las olas

incidentes. A las elongaciones de las oscilaciones del buque se les aplican unoscoeficientes hidrostáticos restauradores; las velocidades de estas oscilaciones se ven




3

afectadas por unos coeficientes hidrodinámicos amortiguadores y, por último, las

aceleraciones de dichas oscilaciones se multiplican por coeficientes hidrodinámicos que

consideran el efecto de la aceleración del fluido sobre las masas e inercias del buque

(masas e inercias añadidas).

Pierson y St. Denis en 1953 se aproxima más a la realidad de los movimientos de las

olas y el buque mediante las teorías de los procesos aleatorios que ya eran usadas en el

campo de las telecomunicaciones. La aportación de estos dos autores fue la de

reconocer que considerar localmente y a corto plazo la superficie libre de la mar comoun proceso aleatorio gaussiano de segundo orden era compatible con las leyes de la

hidrodinámica clásica aplicables a la cinemática y a la dinámica de las partículas del

agua. Así se justifica, con la ayuda del teorema del límite central, la aplicación del

principio de superposición que supone la superficie del mar formada por la suma demuchas olas sinusoidales de distintas amplitudes, frecuencias y direcciones pero, cada

una de ellas, con su desfase aleatorio y equiprobable (Modelo de Longuet-Higgins).

El último pilar se basa en Korvin-Kroukovsky. Basándose en la esbeltez de los buques

se propone la teoría de rebanadas que permite reducir el problema tridimensional del

cálculo de los potenciales de velocidad a uno bidimensional: se resuelve el problema

para distintas secciones transversales del buque y los resultados finales se obtienen

integrando estas soluciones parciales a lo largo de la eslora del buque. Se proponeademás considerar una condición linealizada de superficie libre y trabajar con el

concepto de frecuencia de encuentro.

Así se ha llegado a la teoría lineal clásica del Comportamiento en la Mar que se

encuentra ahora en su madurez y que se basa en las siguientes hipótesis fundamentales:

1. El fluido se suponen homogéneo, incompresible y sin viscosidad, y el flujo

irrotacional, derivando sus características, por lo tanto, de un potencial de velocidad.

2. Las olas tienen pequeñas amplitudes y por consiguiente los movimientos del buque

son pequeños: el buque oscila armónicamente con una frecuencia igual a la de

encuentro con las olas.

3. Se supone una relación lineal adimensional entre la amplitud (pendiente) de las olas,

y las amplitudes de las elongaciones (rotaciones) de los distintos movimientos del

buque.

4. El buque es un sólido rígido con costados verticales en su flotación.




4

5. Las formas del buque varían suavemente a lo largo de su eslora: se puede aplicar la

teoría de rebanadas suponiendo, salvo en el caso de la largada, que las velocidades

transversales del flujo sobre el casco del buque predominan sobre las longitudes.

6. La velocidad del buque no es excesivamente elevada como para crear sustentacióndinámica o generar trenes de olas que puedan alterar significativamente su superficie

mojada.

Estas hipótesis se pueden aplicar a buques de formas convencionales que naveguen a

velocidades correspondientes a números de Froude de hasta 0,35.

Si bien se puede discutir la “exactitud” de los resultados absolutos obtenidos al aplicar esta teoría son de gran utilidad los resultados relativos: es razonable esperar que si se

comparan distintas alternativas a un proyecto, aquella que presente los mejores

resultados será la que ofrezca un mejor comportamiento en la mar.

El comportamiento en la mar afecta al diseño y a la operación. Se debe tener en cuenta

en a la hora de tomar decisiones:

A largo plazo:

• Especificación de las características de los nuevos buques a incorporar

• Designación del buque más adecuado para cada misión.

A corto plazo:

• Rumbos y velocidades más adecuadas para realizar una misión determinada en

cierto estado de la mar.

• Evaluación de las condiciones de mar y de viento para la navegación y criticidad

de la misión.



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6

MOVIMIENTO DE LAS PARTÍCULAS DEL AGUA

El hecho experimentado de que las partículas de agua tienen muy poco o casi nulo

movimiento de translación lleva a las propuestas de que su movimiento puede ser o una

oscilación más o menos vertical, o que bien describen una trayectoria cerrada, tal comouna circunferencia. La primera hipótesis significaría la formación de una depresión en la

columna de agua debajo de una cresta y compresión de la columna de agua coincidiendo

con un seno. Las observaciones realizadas indican que esto no ocurre, por tanto, hay que

descartar esta propuesta. La segunda hipótesis es la base para las teorías potencial y

trocoidal de la ola.

Una ola en aguas profundas la podemos suponer que giran en órbitas circulares. En la

cresta de la ola las partículas de agua se mueven en sentido del oleaje, mientras que en

el seno de la ola se mueve en sentido contrario. Además suponemos que el radio del

movimiento circular de las partículas disminuye exponencialmente con la profundidad,

desapareciendo el efecto de la ola a partir de una profundidad del doble al triple de la

longitud de onda.

En aguas someras las circunferencias se convierten en elipses (caso B).




7

CARACTERÍSTICAS DE LAS OLAS

En el entorno de un buque, una de las maneras más simple y usual de describir el perfil

de las olas de la superficie libre de la mar es mediante la ola trocoidal bidimensional, es

decir, uniforme y no limitada en el espacio. En este apartado definiremos los siguientestérminos:

Cresta: Zona más elevada de la ola

Seno: Zona más baja de la ola

Altura de ola (H): Distancia entre cresta y seno, también conocida como valor pico-

pico.

Amplitud (): Distancia entre la cresta y la línea neutra correspondiente a aguas

tranquilas, también conocida como valor de pico.

Elevación de la ola (η): Distancia vertical de un punto cualquiera de la superficie libre

de la ola, en un instante determinado, sobre el nivel del mar en aguas tranquilas.

Periodo (T ): Tiempo que transcurre entre el paso de dos crestas o senos. También se

puede definir como el tiempo empleado por una cresta o un seno en recorrer una

distancia igual a la longitud de ola.

2

Frecuencia ( f ): número de crestas que pasan en un segundo. Es la inversa del periodo.

Velocidad de la ola: Es la velocidad de propagación de la ola. Para un ciclo:

Longitud de onda: Distancia recorrida en la propagación de la ola en el tiempo de un

periodo.




8

Número de olas o número de onda (k): Es la inversa de la longitud de onda por 2·π.

Representa el número de ciclos por unidad de longitud:

2

CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS HARMÓNICAS

Una partícula tiene un movimiento armónico simple a lo largo del eje X cuando su

elongación “ x”, o coordenada de posición sobre dicho eje, se expresa mediante una

función sinusoidal del tiempo dado.

cos Se denomina onda harmónica a las que tienen el origen en las perturbaciones periódicas

producidas en un medio elástico por un movimiento harmónico simple.

Las olas superficiales de la mar se caracterizan porque oscilan tanto paralelamente

(resorte) como transversalmente (cuerda) en la dirección de propagación de la ola.

Si consideramos la propagación de la onda como un movimiento rectilíneo uniforme, se

puede expresar la velocidad de propagación como:

∆∆




9

Si definimos la longitud de onda (λ como la distancia mínima entre dos puntos

consecutivos que se encuentran en el mismo estado de vibración y el periodo como el

tiempo que usa el movimiento ondulatorio en avanzar una longitud de onda, entonces:

λ λ

Finalmente se puede expresar la amplitud de onda o función de onda, como el valor de

la elongación para cada punto en función del tiempo.

, La anterior ecuación nos quedaría menos simplificada si no se definiese la constante k,

en dónde k es el número de ondas.

2λ

OLA TROCOIDAL O SINUSOIDAL

El tratamiento de la ola trocoidal no es fácil de manipular. Además para un sistema

regular o irregular de olas se realiza un tratamiento con sinusoides. Las diferencias en la

respuesta entre una y otro tipo de ola son pequeñas si las olas son de la misma altura y

longitud. En general tendremos los siguientes valores característicos:

2 λ

2 λ

λ 2 1,56

λ 1,56




10

VELOCIDAD DE UNA PARTÍCULA

El mecanismo preciso por el cual se generan las olas no es del todo conocido. La acción

del viento sobre la superficie del mar se considera la causa principal de la formación de

olas. Existen dos causas más que pueden generar olas importantes, aunque muyesporádicamente. Estas son, la interacción de las corrientes oceánicas que pueden crear

olas de gran longitud de onda y sucesos geológicos como seísmos y desprendimientos

de acantilados. De todas ellas, nosotros estudiaremos solamente las olas generadas por

el viento por ser las más cotidianas.

Cuando el viento tiene poca intensidad e interacciona con la superficie libre del mar en

reposo, se produce una cierta rugosidad sobre su superficie. La tensión superficial se

opone al desplazamiento de las partículas. Si cesa la acción del viento ligero, la mar queda nuevamente en calma. Por el contrario, si el viento interacciona con la superficie

libre de la mar con gran intensidad, las olas adquirirán cierta altura, oponiéndose a este

movimiento la fuerza de la gravedad. Este tipo de ola es conocido como olas de

gravedad, que serán las que nosotros tengamos en mente.

Las partículas de agua se consideran, como se ha dicho, que giran en órbitas

prácticamente circulares, luego su velocidad será:

2 2 2

R es el radio de trayectoria circular y H la altura de la ola.

Si queremos relacionar la velocidad de la partícula con la velocidad de la ola:

2 1

Relacionando:

2 2 2




11

Esto es aproximadamente igual a:

3

Como la pendiente de la ola es la tangente del ángulo α, tan y como según la

teoría de Stokes, la ola rompe cuando la pendiente es de 1/7, la relación entre las

velocidades de las partículas y las velocidades de la ola será de:

37

TEORÍA DE OLA MÁS ADECUADA

PROFUNDIDAD AMPL ITUD TEORÍAGrande Pequeña Airy

Grande Grande Sinusoidal 3º

Media Pequeña Stokes 3º/5º

Pequeña Pequeña CnoidalPequeña Grande Cnoidal 2º

Más pequeña Pequeña Solitaria

Más pequeña Grande Solitaria




12

ALTURA DE OLA SIGNIFICATIVA

La altura de ola significante, Hs o H1/3 es el parámetro más extendido a la hora de

describir un estado de mar. Fue presentado por primera vez por Sverdrup y Munk

(1947) y surgió de la necesidad de establecer un parámetro estadístico que relacionaralas alturas de ola obtenidas en el registro instrumental del oleaje y las establecidas a

través de observación visual de un estado de mar.

Si se registran las alturas de las olas en una zona y durante un tiempo determinado, se

observará una diversidad importante de valores. Para indicar la altura de la ola

representativa de este estado de la mar se toma un valor estadístico denominado altura

de la ola significativa, que es la media aritmética de las alturas del tercio de las olas de

mayor altura registradas. Hay que indicar que no se puede establecer una relación que permita hallar la altura máxima de la ola, a partir de la altura de la ola significativa.

/ ∑ 13 á13 ú 3 /

Dónde H i es la serie de alturas de ola individuales del registro, ordenada de mayor amenor ( H 1 es la altura de ola máxima y H N es la altura de ola mínima) y N es el número

total de olas individuales del registro. Se puede hacer de menor a mayor.

VELOCIDAD Y PERIODO DE ENCUENTRO

Cuando examinamos un MHS en un sistema resorte-masa, vemos que el movimiento

creado por la fuerza de excitación depende en magnitud de la fuerza de excitación y su

frecuencia. La respuesta de un barco a la fuerza de excitación no es diferente. Sin

embargo, la frecuencia de excitación de la fuerza no sólo depende de la frecuencia de la

ola, sino que también de la velocidad y la dirección del barco. El parámetro importante

es la frecuencia de encuentro, que tiene en cuenta la velocidad relativa del barco y de

las olas de la mar.

Intentaremos determinar la relación existente entre la frecuencia y el periodo de

encuentro entre el buque navegando y las olas.

• Velocidad absoluta del barco

• Velocidad absoluta de la ola




13

El cálculo de la velocidad de encuentro se tratará como un problema de móviles, siendo

esta igual a:

cos

Siendo el término cos positivo cuando el ángulo α esté en el primer o cuarto

cuadrante (mar por amura), y negativo cuando α esté en el segundo o tercer cuadrante

(mar de aleta).

El periodo de encuentro de la ola se puede obtener a partir de la velocidad de encuentro.

La velocidad de encuentro será mayor cuando el cos sea positivo y menor en el caso

contrario. Luego, para la misma longitud de onda, es decir, para la misma distancia

recorrida , el periodo será menor y estará en relación inversa con la velocidad de

encuentro:

y

Luego como: cos

Entonces:

cos

Como se puede ver el periodo de encuentro depende de la velocidad del buque y del

rumbo cos. La expresión se puede poner también como:

1 cos

A efectos de a bordo, el periodo de encuentro, se puede obtener de forma práctica

midiendo el tiempo que transcurre desde que pasa una cresta por un punto cualquiera

del buque, hasta que pasa la siguiente cresta por el mismo punto.




14

FORMACIÓN DE OLAS

El viento es la causa principal y más habitual de formación de olas sobre la superficie

libre del mar. La perturbación creada depende:

1. La fuerza del viento

2. Su duración

3. La profundidad de la zona

4. Fetch o superficie de la mar afectada por el viento

El viento transfiere energía a la superficie libre del mar. Dependiendo del balance

enérgico entre la energía aportada por el viento y la disipada por la mar, se formarán ono olas que deberán tenerse en consideración.

Cuando la energía aportada por el viento es menor que la energía disipada por lafricción viscosa de las partículas de agua, caso cuando sopla un viento ligero, no se

llegan a producir olas de gravedad. Entonces la mar se riza con olas de muy poca altura

y pequeña longitud de onda. Cuando cesa el viento se retorna rápidamente a la mar

calmada.

En el caso contrario, el viento tiene una intensidad y duración suficiente y afecta a una

superficie importante del mar ( fetch). Las olas de gravedad se forman y continúan

trasladándose aunque cese el viento.

Mientras la energía aportada sea mayor que la disipada, la ola irá creciendo. El proceso

concluye cuando las energías se igualan, o bien, la ola rompe al superar una pendiente

de ola de 1/7. El mecanismo de transmisión de la energía del viento a las olas no está

claramente definido. Pero existen diferentes hipótesis, como:

1. Las olas obtienen la energía del viento por el empuje de este cuando suvelocidad es mayor que la velocidad de la ola.




15

2. La energía se transfiere por fricción de las partículas de aire con las partículas de

agua de la superficie libre del mar.

3. Las olas obtienen la energía del viento por la diferencia de presión entre la cara

anterior y posterior de la ola.

Existe una relación entre la velocidad del viento y la altura de la ola. Si comparamos las

escalas de Beaufort y Douglas tenemos:

REFLEXIÓN Y ROTURA DEL OLEAJ E

La reflexión es la parte de la energía que vuelve de nuevo a la mar. Depende de la

pendiente de la playa o del dique.



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17

PROCESOS ALEATORIOS

Un proceso aleatorio es aquel cuya evolución no depende de leyes deterministas sino de

causas aleatorias. Debido a su propia naturaleza, nunca se tendrá caracterizado un

proceso aleatorio a menos que se dispongan de todos los registros del mismo, cosa quees prácticamente imposible. Sin embargo existen procesos aleatorios especiales que, si

no totalmente, si se pueden caracterizar parcialmente conociendo unas cuantas de sus

características principales.

Se dice que un proceso aleatorio es estacionario si sus características estadísticas no

dependen del tiempo, y se dice que es homogéneo si estas características estadísticas no

dependen del espacio. Un proceso aleatorio se denomina ergódico si queda

“totalmente” caracterizado por una realización del mismo suficientemente larga.

La experiencia demuestra que la superficie de una mar moderada, descrita como su

elevación respecto a un nivel medio de referencia, puede considerarse un proceso

estacionario, homogéneo y ergódico siempre que se describa localmente y a corto plazo,

por ejemplo, en un radio de 60 millas durante 4 horas. También se admite que para

describir suficientemente este proceso bastaría con conocer solamente tres de sus

características estadísticas que serían independientes del espacio y del tiempo: el valor

medio (es prácticamente cero), el valor cuadrático medio (informa sobre la cantidadde energía contenida en la mar) y la función de autocorrelación (describe cómo se

pueden distribuir las elevaciones de la mar a lo largo del espacio y del tiempo).

Se dispone de tres dominios de cálculo distintos para cuantificar un mismo fenómeno,

pudiéndose trabajar en uno u otro según resulte más conveniente en cada caso.

Dominios de Interés en el Comportamiento en la mar

Dominio de la frecuencia. Función de la Densidad espectral.

Dominio de la probalidad. Estadística

Gaussiana.

Dominio del tiempo. Hidrodinámica clásica.




18

Notas:

Las elevaciones de la superficie libre tomadas a intervalos de tiempo constante se

distribuyen de acuerdo con una distribución normal ó de Gauss.

En cambio, los valores absolutos de las Amplitudes del registro se reparten de acuerdo a

una distribución de Rayleight.

Si suponemos que en el balance de un buque, el valor de su escora instantánea, es una

variable aleatoria Gaussiana o Normal, el valor medio es nulo y entonces su valor

cuadrático medio si coincide con su varianza.

Si suponemos que el máximo balance de un buque, su amplitud, es una variable

aleatoria de Rayleight en este caso el valor medio es nulo y su valor cuadrático medio so

coincide con su varianza.

OLAS REGULARES E IRREGULARES

La diferencia entre olas regulares e irregulares se entiende intuitivamente. Las olasregulares son aquellas que mantienen su altura y su longitud de onda en el tiempo. Son

aquellas que no cambian ni su tamaño ni su forma en el tiempo. Sin embargo, lo normal

es que ocurra justamente lo contrario, es decir, que las olas de la mar sean irregulares en

el tiempo y en el espacio. Por lo tanto, su descripción real responde a valores aleatorios

de las características. Esto es así, porque a su vez, el viento que las genera no es de

intensidad constante, estando sujeto a rechas que se manifiestan en esta irregularidad de

la mar.

ALGUNAS TEORÍAS DE OLAS REGULARES TEORÍA DE AIRY OLAS DE STOKES

Patm constante sobre la superficie del mar Mejora los resultados de Airy

No se detecta transporte de masa Detecta el transporte de masa

Muy cómoda de usar Crestas más picudas y senos más planos

Soluciones aceptables para tamaños no

muy grandes

No se puede aplicar el principio de

superposición.

Olas sinusoidales Tampoco el modelo de Longuet-Higgins




19

Lo que también ocurre dentro de esta irregularidad es que, en un punto cualquiera del

espacio, la mar presenta un modelo formado por un tren de olas irregulares, que se va

repitiendo durante un cierto periodo de tiempo, normalmente corto, y que le da una

apariencia de uniformidad.

Una vez formadas las olas se trasladarán sobre la superficie de la mar, fuera de la zona

de generación, hasta que se agote su energía. Estas olas, no sujetas ya al viento que las

originó, van suavizando sus formas, lo que se manifiesta en unas crestas redondeadas y

en menores variaciones de alturas entre crestas sucesivas, presentando, por tanto, una

mayor uniformidad. A la mar que tiene estas características se la denomina mar tendida

o de fondo.

Las olas irregulares varían su longitud de onda y altura de forma aleatoriamente y deben

ser consideradas desde el punto de vista estadístico. El origen de la irregularidad es

diverso: variaciones de profundidad a lo largo del espacio, variación de la fuerza del

viento, etc. La mar irregular puede ser explicada por el teorema de superposición, ya

que la ola irregular, realmente puede ser descrita por la superposición de olas

sinusoidales de diversa amplitud y frecuencia.

La energía de la ola tiene una componente cinética y otra potencia. La energía cinética

debida al movimiento circular de las partículas de agua y la potencial debido a su

elevación. Dicha energía vale:




20

12

Siendo:

B: La anchura considerada

: Longitud de onda: Amplitud de onda

: Densidad del fluido

Si dividimos la energía por la superficie comprendida en una distancia igual a la

longitud de onda:

12

En lo que llamaremos como E , densidad de energía de la ola. Podemos apreciar que al

duplicar la amplitud de la ola, se multiplica por 4 la energía de esta. Esta densidad de

energía es para una ola regular dónde no varía ni su longitud de onda, ni la altura de

ésta.

ESPECTRO DE LA OLA

En la mar irregular, las olas no son fenómenos ondulatorios deterministas. Realmente

son procesos aleatorios dónde existen distintas longitudes de onda y distintas alturas de

ola. Dependiendo del fenómeno aleatorio se usan distintas unidades de mediad en el

denominado dominio de la frecuencia.

Para fenómenos deterministas o periódicos Ö se usan unidades de potencia (PWR)

Para fenómenos aleatoriosÖ

Se usa la densidad de potencia espectral (PSD)

Para fenómenos transitorios Ö Se usa la densidad de energía espectral (ESD)

También se suele usar en el caso de señales deterministas o periódicos, el valor RMS,

que es la raíz cuadrada del autoespectro:

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22

ANÁLISIS ESPECTRAL DEL OLEAJ E IRREGULARLa forma más normal de obtener el espectro de energía es a partir del registro temporal

de oleaje recogido con una boya escalar del que podemos obtener el espectro

unidimensional local de energía, que depende sólo de la frecuencia S ζ ( ω ). El aspecto de

un registro temporal de elevaciones del mar tomado por una boya escalar podría ser

parecido al que muestra la siguiente figura:

En donde destacamos:

1. H : altura de ola, distancia vertical entre el máximo absoluto positivo en medio ciclo y

el mínimo absoluto negativo del siguiente medio ciclo, o viceversa. Siempre se

considera positivo.

2. A: amplitud de ola, distancia vertical de los máximos o mínimos de la superficie libre

del mar con respecto a un plano de referencia horizontal en aguas tranquilas.

3. T02 = Tz : período entre cortes por cero ascendente, intervalo de tiempo transcurrido

entre dos cortes sucesivos de la superficie del mar por el plano horizontal de referencia

cuando la elevación pasa de negativa a positiva.

4. T24 = Tc: período entre crestas o picos, intervalo de tiempo transcurrido entre dos

máximos positivos sucesivos de la superficie libre del mar.

5. : Amplitud de la ola o desplazamiento instantáneo de la superficie del mar

respecto a la línea de referencia.

Los períodos medios de cortes por cero o entre crestas, la altura media del oleaje y la

altura significativa de ola usados normalmente para caracterizar los distintos estados del

mar se pueden obtener mediante el análisis espectral de un registro o historia temporal

que no sea demasiado corto, para no perder validez estadística, ni demasiado largo, para

no alterar las condiciones de mar. Por otro lado, el análisis de muchos registros




23

temporales de oleaje demuestra una razonable coincidencia entre las características

estadísticas obtenidas a partir de su análisis y las calculadas mediante la aplicación del

análisis espectral.

Se deben distinguir dos casos extremos de espectro: el espectro de banda estrecha y el

espectro de banda ancha. La diferencia entre ambos radica en que el rango de las

frecuencias es limitado e indicativo de un proceso regular, como puede ser el mar de

fondo, en los procesos de banda estrecha y que el rango de frecuencias es mayor e

indicativo de un proceso bastante irregular, como es el oleaje de viento, en los procesos

de banda ancha. Los casos intermedios de estado de mar o con particularidades distintas

(espectros bimodales con dos picos bien diferenciados) también son frecuentes.

MAR IRREGULAR

El estudio del movimiento de un buque en mar regular no suele ser muy apropiado ya

que en la realidad el mar se comporta irregularmente en cuanto a la altura de la ola y

periodos. Aquí definiremos algunos conceptos necesarios para el estudio del

comportamiento en la mar irregular de buques.

El Almirante Beaufort (British Navy) del s.XIX relacionó el espectro de la mar con la

velocidad del viento creando una escala ordenada según los números de Beaufort. En la

tabla se muestran los estados de la mar y la velocidad del viento que acompaña a estosestados de la mar. Los valores de altura de ola o periodo de ola se dan, promediando en

realidad en un mar irregular ambos valores varían segundo a segundo y metro a metro.

Definamos pues los parámetros necesarios para definir la mar irregular.

, cos La anterior ecuación define la variación de la onda en un punto determinado en función

del tiempo a lo largo del espacio en un instante determinado.

El promedio de altura de la ola de una mar irregular se da en el tiempo y en una

localización del mar como la media aritmética de la altura de todas las olas registradas

en la observación, excepto las olas menores de un pié de altura o 30,4 cm. Se define

como ola significativa como la media aritmética del 1/3 de las olas de mayoraltura de registro. Por ejemplo, vamos a determinar la altura significativa de ola de:




24

Altura dela ola (m)

Número deregistros

f (t) =100 · N/reg. F(t)

1 4 3,92 3,9

2 40 39,2 43,12

3 31 30,42 73,54

4 25 24,5 98,04

5 2 1,96 11,00

102 registros 100 %

El número de registros es 102. El 1/3 de los registros = 34. Los registros usados para

obtener el Hw(1/3) son:

- 2 registros de 5 metros de altura de ola (34 – 2 =32)

- 25 registros de 4 metros de altura de ola (32 – 25 = 7)

- 7 registros de 3 metros de altura de ola (7 – 7 =0)

Si sumamos, 2 + 25 + 7 dan 34. Por lo que la altura de ola promedio será:

1 4 2 4 0 3 3 1 4 2 5 5 2102 2,81

Altura de ola significativa:

/ ∑ 13 á13 ú 3 7 4 2 5 5 234 3,85

REGISTRO DE LAS IRREGULARIDADES DE LA MAR

El grado de irregularidad de la mar se determina por la forma de la función densidad o

por un histograma que es función de la frecuencia (de ocurrencia del suceso) para las

características individuales de olas dadas en función del tiempo o de la localización.

Supongamos que tomamos 200 registros de un minuto (60s) en una localización

determinada y medimos la amplitud de la ola

.




25

La experiencia demuestra que la distribución es Gaussiana para dicha amplitud de ola.

Algo similar se puede hacer con el periodo aparente de ola . Se realiza el registro de

periodos y se agrupan en intervalos (por ejemplo de 0,5s a 1,5s; de 1,5 a 2,5s) y se

obtiene la función de densidad f (t) y la función de distribución F(t).

El centro de gravedad del histograma es:

Para la altura de la ola ( H ), la distribución de Rayleight es la más usada para describir

teóricamente el fenómeno físico del oleaje. La distribución de Rayleight usa la siguienteexpresión:

2

La anterior expresión es la denominada función densidad por unidad de longitud o por

porcentaje de tiempo en la que aparece la altura . es el promedio del cuadrado de las alturas de las olas:

∑ ∑

En dónde es el número de sucesos ocurridos de .




26

Histogramas y distribuciones de probabilidad

La distribución de Rayleight se puede definir de otra manera por la ecuación (x > a):

La distribución Gaussiana o Normal se define por:

1√ 2

La distribución logarítmica Normal, se puede definir:

1

√ 2

En donde:

es la median de los valores , es la varianza y es la desviación estándard, y es la media de los logaritmos de . 2a es la media de valores de .

En estas expresiones p(x) es la densidad de probabilidad. La integral de la curva que

conforman es la unidad.

Ejemplo: Tiempo de muestreo igual a 24h:

Intervalo de altura de olas en pies 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25

Número de olas sucesivas registradas 5600 7200 1920 960 320




27

Obtener el diagrama de la función de densidad de ola y la energía de la ola, según la

distribución de Rayleight.

Intérvalos deregistros de ola

Altura media Números sucesivos f (H)

0-5 2,5 5600 35

5-10 7,5 7200 45

10-15 12,5 1920 12

15-20 17,5 960 6

20-25 22,5 320 2

16000 100%

1. Determinación del promedio del cuadrado de las alturas:

∑ ∑ 2,5 56007,5 192017,5 96022,5 32016000 74,75 74,75 8,64

2. Valores de la función de Rayleight ( :Intérvalos de

registros de olaAltura media

0-5 2,5 0,0615

5-10 7,5 0,0944

10-15 12,5 0,0412

15-20 17,5 0,0077

20-25 22,5 0,0006

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 5 10 15 20 25




28

La energía de la ola en función de la altura promedio es:

2

12 12 2 18

La función de distribución de Rayleight:

2

Representa la probabilidad que no se sobrepase la altura . La probabilidad de que si se

sobrepase la altura es 1 :

Con la distribución de Rayleight la altura significativa es:

/ /

En dónde x, puede ser H o ξ. Entonces:

/ 1,41




29

ESPECTRO DE LA OLA

Un patrón de olas se puede generar mediante la superposición de un número de olas

sinusoidales de diferentes longitudes de onda y alturas. La combinación de las senoides

nos da una señal periódica, pero realmente el patrón de la mar irregular es aleatorio, yaque las senoides no se repiten en el tiempo. La severidad del estado de la mar es medida

por el total de energía contenida en todas las olas presentes. La energía para una

determinada amplitud de ola viene dada por:

12

Esta energía es por unidad de superficie de la mar. Como hemos dicho que la mar

irregular está formada por un gran número de olas con distintas amplitudes, tenemos

que:

12

La energía se suele representar para cada una de las frecuencias de las sinusoides. Esta

representación es conocida para un estado particular de la mar.

Espectro de energía real de las olas también se hace para pequeños anchos de banda. La

representación de la energía por unidad de superficie y frecuencia, varía cuando se está

desarrollando el estado de la mar en amplitud y también respecto de la frecuencia, como

se muestra en la siguiente representación:




30

La representación de la mar plenamente desarrollada en función de la velocidad del

viento, será:

Si dividimos la energía entre ρ·g, obtendremos:

12

Si representamos este término tendremos el espectro de ola que se representa medianteS( ω ) que es la densidad espectral de la energía de la ola (que se representa como

unidades al cuadrado divididas por unidad de frecuencia).

¡Atención con las unidades!: ρ·g es en ó ,




31

PREDICCIÓN DE MAR IRREGULAR

Para definir el estado de la mar es necesario registrar los datos de las alturas de la ola y

la frecuencia en un periodo limitado de tiempo y en una localización. El patrón de oleaje

nunca será repetido, sin embargo, las características estadísticas del estado de la mar como el espectro de energía y el espectro de la ola, permanecerán constantes en una

zona concreta. Sabemos que la densidad espectral de la ola es:

12∑ ∆

La densidad espectral es la cantidad de energía de las diferentes olas componentes. En

dónde, ∞ , representa el área de debajo la curva de densidad espectral.

12

12

Como se aprecia el espectro de energía o la densidad espectral, no siguen una ley

Gausiana como lo hacen la amplitud de ola. Para usar los principios de espectro de ola o

densidad espectral hay que conocer los valores cuantitativos del espectro de ola para

cada región y cada condición climática.




32

Conociendo la densidad espectral se puede determinar la altura significativa de ola:

/ 4,0

La constante 4,0 se obtiene de la aproximación matemática dada por la distribución de

Rayleight. Del espectro de ola se puede conocer:

1. El rango de frecuencia que son importantes por su contribución energética en el

estado de la mar

2. La frecuencia que aporta la máxima energía3. El contenido energético de las diversas bandas de frecuencia

4. La existencia de oleaje a baja frecuencia

Como hemos dicho la densidad espectral o espectro de la ola es el mismo siempre para

una determinada zona. Vamos a representar un estado de la mar concreto en el espectro

del ola general, que contemple todos los posibles estados de la mar. La energía total por

unidad de superficie de mar es:

Siendo el área encerrada por la curva de densidad espectral. Conocido dicho valor,

podemos obtener los valores promedio de amplitud y altura de la ola, así como los

valores significativos. Por lo tanto, el valor de un pico tal que el número de picos

mayores al dado sea 1/N (Rayleight) es:

/ 2 ln AMPLITUD DE OLA ALTURA DE OLA

Ola promedio 1,25 2,5 Ola significativa / 2,0 / 4,0

Para tomar datos de altura de ola es necesario que el intervalo de tiempo sea menor queel tiempo de paso entre cresta, es decir, el periodo menor a registrar.




33

Como las constantes anteriores se han obtenido de la distribución teórica de Rayleight y

nosotros realmente trabajamos con valores obtenidos de la estimación de la amplitud o

altura de la ola, se puede cometer un error considerable si el ancho de banda elegida eselevado. Para evitar dicho error se introduce un factor de corrección CF:

1 Número de pasos por ceroNúmero de puntos crestas o senos En donde:

1

“ε sirve para corregir el posible error de la altura de ola significativa”

Dónde, se definen los momentos de diverso orden sobre el área de la densidad espectral

como:

∞

Siendo “n” un número entero que define el orden del momento en consideración. El

valor de ε varía entre 0 y 1, en función del ancho de banda tomado en los registros.

Cuando el espectro es de banda ancha entonces ε = 1. En general los factores que

determinan la forma del espectro de ola son:

• Velocidad del viento (parámetros más significativos)

• Duración del viento

• Superficie del mar afectada ( fetch2)

• Otros factores

2 Fetch en inglés significa “alcance”. En este contexto se refiere a la superficie de mar afectada.




34

También se puede obtener el número de paso por cero (línea de referencia) por unidad

de tiempo de la amplitud de la ola, en función de los momentos de la densidad espectral

ó espectro de la ola:

12

En dónde su inversa es:

1 12

Y el periodo de cresta como:

2

es normalmente menor que y éste último no contempla la existencia de rizado en

la ola.

2

es el parámetro más adecuado para determinar el periodo del oleaje. La longitud de

onda aparente, basado en el paso por cero, se obtiene con la siguiente expresión:

2

Y el basado en la máxima:

2




35

Por ejemplo en el anterior dibujo, si al contar no nos equivocamos, tenemos 20 pasos

por cero y 23 crestas y senos. Esto nos da un CF de 20/23 = 0,86., i.e de ε = 0,24.




36

ESPECTRO IDEALIZADO

A menudo es muy útil definir el espectro idealizado de olas el cual en términos

generales representa las características del espectro energético real de olas. Algunos

son:

• Bretschneider o los dos parámetros de espectro de la ITTC

• Un parámetro de Brestchneider

• JONSWAP

• Espectro DNV

• Pierson Moskowitz

Bretschneider o ITTC (un parámetro de/)Cuando no se conoce el espectro de ola de un mar en particular, se debe usar la

siguiente formulación dada por la Iternational Towing Tank Conference (ITTC):

Siendo en unidades del sistema internacional S.I:

8,11 10 (Constante de Philip) y ,/

La altura de la ola significativa se puede medir u obtener de la siguiente tabla que le

relaciona con la velocidad del viento en mar abierto:

Velocidad del viento en kn Altura significativa de la ola20 10

30 17,2

40 26,5

50 36,6

60 48,0

La velocidad del viento se toma con el anemómetro del buque.




37

Modelo J ONSWAP (J oint North Sea Wave Project)

Este modelo describe el espectro de aguas costeras en dónde la superficie del mar

afectada (fetch) es limitada. Suele obtener un espectro de ola de igual energía que el de

la ITTC pero más apuntado. Este modelo es un modelo realizado con registros en aguasdel mar del norte. La forma espectral depende de 5 parámetros.

Entonces:

3.30 22

σ vale 0.07 si , y 0.09 si . F significa Fetch y es la velocidad del

viento medida a 10 m sobre la superficie del mar.

En la siguiente gráfica se ven los distintos espectros de ola (con el modelo JONSWAP)

en función de la superficie afectada Fetch y para una velocidad de viento de 10 m/s.




38

Topología Típica del Atlántico Norte

Modelo de PIERSON-MOSKOWITZ

Este modelo se usa para una velocidad nominal del viento a 19,5 m de altura sobre la

superficie de la mar.

En dónde:

8.11 10 0,74,

MOVIMIENTO DEL BUQUE EN UNA MAR IRREGULAR

La respuesta del buque en mar irregular se rige por el mismo patrón (valores

estadísticos) que rige el movimiento de las olas. De la misma forma que existe un

espectro de ola, dónde se representa la amplitud de la ola al cuadrado de cadacomponente frente a la frecuencia, se puede obtener un representación gráfica de las

amplitudes de cualquier movimiento del buque al cuadrado frente a la frecuencia. El

espectro obtenido es conocido como espectro de respuestas y puede ser caracterizado

con los mismos parámetros estadísticos que las olas.




39

TIPOS DE OLAS EN MAR IRREGULAR

Sistema de olas irregulares de cresta larga

Todas las componentes de la ola van en la misma dirección. El modelo irregular tendrá

una serie de crestas rectas extendiéndose hasta el infinito en la dirección normal a la

propagación.

Sistema de olas irregulares de cresta corta

El modelo resultante no presenta crestas largas, sino senos y valles. En caso más

general, las componentes individuales van en distintas direcciones.

PREDICCIÓN EN MAR IRREGULAR

El movimiento en un mar irregular de un buque se determina siguiendo los pasos que se

indican a continuación:

1. Elegir el espectro de ola adecuado para el estado de la mar por donde navega el

buque.

2. El espectro de ola se transforma en función de la frecuencia de encuentro.

Normalmente el área de debajo el espectro de densidad es la misma en función

frecuencia absoluta como de la frecuencia de encuentro.

3. Se obtiene el espectro del movimiento del buque (balanceo, cabeceo, o

desplazamiento vertical) en función de la frecuencia de encuentro. Se puede

obtener de dos formas:

• Analíticamente a partir de las ecuaciones del movimiento

• Experimentalmente en un canal de experiencias

4. Se obtiene un nuevo diagrama donde en ordenadas se representa la relación del

desplazamiento del buque al cuadrado y el cuadrado de la amplitud del espectro

de ola. Siendo el eje X, la frecuencia de encuentro. Esta representación gráfica la

ya conocida como RAO, operador de amplitud de respuesta y que no es más que

una función de transferencia entre la fuerza o energía excitadora del movimiento

(espectro de ola) y el desplazamiento del movimiento del buque. Si

multiplicamos el espectro de ola por la RAO a la frecuencia correspondiente se

obtiene la amplitud del movimiento del buque. Del espectro de amplitud delmovimiento se puede obtener siempre los valores estadísticos que caracterizan el




40

movimiento (valor significativo, valor promedio, valor RMS, etc…). Existirán

tres curvas RAO de interés, una para el balance, otra para el cabeceo y otra para

el desplazamiento vertical.

Desde el punto de vista práctico:

1. Seleccionamos el espectro de ola y obtenemos la altura significativa.

2. A continuación pondremos el espectro de ola en función de la frecuencia de

encuentro.

Se puede demostrar que con las siguientes ecuaciones, se obtienen los valores delespectro de ola en función de :

1 2 cos 1 2 cos

Con las anteriores dos ecuaciones se obtienen los valores del espectro de la ola enfunción de . 3. Asumiendo que la respuesta de un buque a la acción individual de una componente

de ola regular es una función lineal, podemos asumir que la respuesta al conjunto de

componentes individuales también va ser lineal. Por lo tanto, la respuesta será lineal y

proporcional a la amplitud de la ola. Si la componente excitadora es:

cos La respuesta será:

cos A efectos de amplitud de ambos movimientos en el dominio de la frecuencia:




41

Pero al ser el espectro de ola un proceso aleatorio, no trabajamos con los valores de la

amplitud de la ola, sino con la densidad espectral, que está relacionada con el cuadrado

de la amplitud:

∆ 12 ∆ 12

De forma que considerando el espectro de ola como entrada y la densidad espectral del

movimiento del buque como salida, puesto como función de la frecuencia de encuentro.

Resolviendo la anterior relación:

12 ∆12 ∆




42

LAS RAO

Las RAO dan las respuestas del buque frente a olas regulares para movimientos,

aceleración, etc. Las RAO se pueden obtener mediante cálculos realizados con

ordenador o mediante ensayos de canal. Las curvas RAO de interés son:

1. Para el balance: RAO ξ

2. Para el cabeceo: RAO Ѳξ

3. Para el desplazamiento vertical o arfada:

RAO ξ

Normalmente medir los desplazamientos del tipo que sea del buque y la amplitud de

ola, no tiene sentido en la fase de diseño. Para estudiar el comportamiento de un buque

cuando se está diseñando es necesario modelizar mediante el software apropiado su

comportamiento en la mar en una fase preliminar o de anteproyecto. Para ello existen

unos cuantos programas en el mercado capaces de hacer ese estudio previo.

Para poder trabajar necesitamos ensayar nuestro modelo informático en diversos estados

de la mar, para ello utilizamos alguno de los modelos de oleaje como la ITTC,

JONSWAP, PIERSON-MOSKOWITZ, etc.

Con alguno de estos modelos podemos obtener el espectro de la ola para cualquier

condición del estado de la mar.

Por otra parte, podemos modelizar el buque como si fuera un sólido rígido (el buque-

viga) sometido al movimiento de la base. Es decir, un vulgar movimiento vibratorio en

cualquiera de las direcciones de interés (giro respecto al eje longitudinal, giro respecto

al eje transversal o desplazamiento vertical). Estos movimientos pueden ser estudiados

con o sin acoplamiento.

Obtenidos los desplazamientos se puede calcular la función de densidad espectral del

movimiento del buque. Y conocida la densidad espectral de la amplitud de ola (espectrode la ola) y la densidad espectral del movimiento del buque, determinar la RAO




43

correspondiente. La RAO o función de respuesta del estado de la mar, aunque no de la

velocidad de avance del buque o el ángulo de incidencia del frente de la ola con

respecto a la dirección de avance.

Una vez conocida la RAO de un movimiento determinado, se puede determinar el valor

de los desplazamientos del buque simplemente multiplicando la RAO por el espectro de

la ola.

De esta forma podemos obtener la densidad espectral del movimiento del buque e

integrando el área de debajo la curva, obtenemos:

∞

/ 2,0 y / 4,0

1,25

∞

Conocidos los distintos momentos determinamos el coeficiente de corrección debido al

ancho de banda seleccionado:

1

1




44

/ 2,0

También se puede determinar el valor máximo de la amplitud del movimiento:

2 ,0 l n 2 √ 1 1 √ 1

Apréciese que si los valores obtenidos son de banda estrecha, es decir ε = 0, los valores

estadísticos, se obtienen con los coeficiente de la distribución de Rayleight, sin ningúntipo de corrección. Por ejemplo:

/ 2,0 2,0 1

Si ε = 0, entonces:

/ 2,0 √1 2,0

FENÓMENOS DINÁMICOS

Algunos de los fenómenos dinámicos que produce el oleaje son la resistencia añadida de

las olas, el slamming, el embarque de agua, emersión del propulsor, mareo, etc.

1. Resistencia añadida de las olasSe trata de un incremento de resistencia debida al efecto de los movimientos de arfada y

cabeceo. Es un fenómeno potencial dominado por las fuerzas de inercia y las olas

generadas. Se puede sobrecargar el motor por aumento de resistencia, por lo tanto se

hará un estudio modelo-buque para evitar dicho efecto:

2

∞




45

2. Slamming

El Slamming o el pantocazo es un movimiento rápido. Cuando baja la proa, queda

atrapada una burbuja de aire entre el agua y el casco. Cuando la proa se hunde más, la

burbuja de aire tiende sale. Si esta sale rápidamente el impacto es violento contra elcasco, si sale más progresivamente el aire amortigua el impacto y no se produce el

slamming.

LAS HIPÓTESIS DE FROUDE-KRYLOV

La presencia del buque no altera el campo de presiones de las olas incidentes.

Las fuerzas producidas por las olas se pueden calcular integrando su presión sobre la

superficie mojada del casco.

La respuesta de los buques a las olas depende de:

• Las dimensiones del buque

• La distribución de pesos a bordo

Normalmente se trabaja en el dominio de la frecuencia, en vez de trabajar en el dominiodel tiempo.

Para la excitación, adoptamos una descripción estadística. I estos métodos no son

válidos para buques rápidos.

La superficie de la mar moderada, descrita como su elevación respecto a un nivel medio

de referencia, es un proceso estacionario, homogéneo y ergódico3 siempre que sedescriba localmente y a corto plazo y no contenga componentes periódicos no

amortiguados. Para describir el proceso, hay tres características:

• Valor medio

• Valor cuadrático medio (Cantidad de energía contenida)

3 La ergodicidad es una propiedad muy importante de algunos sistemas mecánicos que permite

justificar ciertos resultados de la mecánica estadística.




46

• La función de autocorrelación (distribución de las elevaciones en el espacio y el

tiempo)

EL MODELO DE LONGUET-HIGGINS

Modelo que describe la superficie libre del mar irregular, a partir del principio de

superposición, como la suma de las elevaciones de muchas olas sinusoidales de pequeña

amplitud y cada una con su frecuencia y sentido de propagación determinados. La

aleatoriedad de la superficie libre del mar se conserva al hacer que los desfases de las

olas sean aleatorios y equiprobables, el modelo es estable al suponer que se dan todas

las frecuencias y sentidos de propagación posibles y que ambas características varían de

forma continua. Estas olas cumplen la ecuación de Airy y son independientes entre sí.

Esta hipótesis es fácil de comprender a partir del análisis de Fourier, el cual permite

describir una serie temporal periódica en el dominio de la frecuencia como suma de

muchas funciones seno y coseno de los múltiplos de una frecuencia fundamental o

armónico afectados por una serie de coeficientes, es decir, emplear el análisis de Fourier

a modo de tratamiento de señales (mar irregular = señal irregular).

De tal manera que la elevación de una ola de cresta larga, en el dominio del tiempo, en

un mar irregular y propagándose a lo largo del eje x (positivo), se puede escribir como

la suma de muchas olas o componentes regulares en el dominio de la frecuencia:




47

Por ello, el análisis de Fourier es la herramienta básica que permite formular

matemáticamente el modelo de Longuet-Higgins para la descripción del mar irregular

de una manera sencilla y con un formato similar al de muchos de los problemas de ladinámica del buque.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRALSi se define, bajo ciertas condiciones, una variable aleatoria como suma de otras muchas

variables de las que se desconoce sus funciones de probabilidad, la variable aleatoria

resultante tiene una función de distribución de probabilidad gaussiana. Admitiendo el

modelo de Longuet-Higgins y viendo el desfase de cada ola regular que compone el mar

como una variable aleatoria, se puede justificar de una manera intuitiva la hipótesis de

que la elevación del mar, suma de muchas olas sinusoidales, sigue aproximadamente

una distribución normal o gaussiana, ejemplo que indica que la naturaleza tiende de

manera natural a ser gaussiana. A partir de esta consideración, elevación del mar =

proceso gaussiano, y aplicando estadística se pueden obtener funciones de densidad de

probabilidad del proceso, sus máximos y otros valores estadísticos que sirven para

caracterizar y describir de manera útil los distintos estados de mar.

“La elevación del mar, es un proceso Gaussiano”




48

.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

La función de distribución de Weibull es la que mejor describe oleajes a largo plazo. Se

trata de una función de distribución de tres parámetros que se deben determinar

buscando el mejor ajuste posible de los datos disponibles.




49

Si un sistema lineal invariante en el tiempo es excitado mediante una acción exterior,

este responderá con:

• Causalidad

• Linealidad

• Invarianza en el tiempo

• Principio de superposición




50

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE GUMBEL

A menudo los Ingenieros y arquitectos navales se han preocupado de lo que sucede con

olas extremas. Suponemos un número de registros, llamados M , y N valores de la

amplitud se registran para cada registro. Si la mayor amplitud de ola se anota será M lamáxima.




51

Período de retorno y riesgo del proyectoSi definimos el período de retorno TR como el intervalo medio de tiempo, en años, en

el que se excede una vez una determinada condición, se puede relacionar TR con la

ordenada reducida y de Gumbel de la siguiente forma:




52




53

ROLL O BALANCE

El balance es producido por cualquier desalineación transversal de B y G creando un

momento interno de escora y adrizamiento. La desalineación en este caso se crea por

una ola.

En dónde C es una constante que depende del tipo de buque y oscila entre 0,69 y 0,8.

La ecuación demuestra que los barcos con grandes alturas metacéntricas transversales

experimentarán oscilaciones de período pequeñas, y grandes fuerzas restauradoras y

grandes aceleraciones angulares transversales. Al igual que con los otros movimientos

rígidos del casco, las aceleraciones elevadas son más propensas de causar daños a

equipos y tripulantes.




54




55

PREGUNTAS DE TEORÍA (PRIMERA PARTE)

1. Listar cuatro factores que afectan la altura del sistema de olas. Para cada factor

explicar cómo afecta el sistema de olas.

Fuerza del viento: A mayor intensidad de viento, mayor energía se aporta al agua y en

consecuencia las olas aumentan de tamaño.

Duración del viento: Cuanto mayor sea el tiempo que el viento sople, más aumentan la

altura de las olas.

Profundidad de las aguas: En aguas de poca profundidad la altura de las olas es

mayor.

Fetch: Es el área afectada por el viento.

2. Eres el capitán de un mercante de 20000 LT que pretende cruzar la bahía de

Chesapeake para amarrar en el muerto de Baltimore. El buque tiene un calado de 26

pies y está siendo azotado por un viento de 40 kn con rachas de 55, del oeste. Se tiene

que elegir tres posibles rutas para cruzar la bahía. ¿Qué ruta tomarías?:

a. Una ruta por el centro en aguas profundas

b. Una ruta por el este más protegida por el viento pero en aguas poco profundas.

c. Idem por el oeste.

La menos arriesgada es la del centro.

3. ¿Cuáles son las dos condiciones que tiene que cumplirse en un movimiento

harmónico simple? Describir un ejemplo de movimiento harmónico simple.

a. El sistema debe de ser lineal. La magnitud de restauración de la fuerza es

proporcional a la respuesta.

b. La fuerza de restauración debe de ser en la dirección opuesta al desplazamiento.




56

4. La resistencia de un buque es una fuerza que contrarresta el empuje producido por las

olas del buque. Sin embargo, el movimiento de las olas no es un movimiento harmónico

simple para el buque. ¿Por qué?

a. El movimiento harmónico simple, requiere que la respuesta sea proporcional a la fuerza aplicada y que la fuerza se oponga a la dirección del desplazamiento.

b. Aunque la resistencia actué en la dirección opuesta al empuje, una vez la fuerza del

propulsor se anula, el buque va parando sin un movimiento de oscilación hasta su

detención.

8. ¿Cómo afecta a la altura de la ola a la respuesta del buque?

A medida que la altura de la ola aumenta, la respuesta del movimiento del buque,también aumentará.

9 ¿Qué condición de olas produce una máxima respuesta en la estructura del buque?

a. Si la frecuencia de encuentro es igual a la frecuencia natural de flexión, la estructura

entra en resonancia.

b. La máxima respuesta se tiene cuando la longitud de ola es igual a la eslora entre

perpendiculares.

10. El buque de la clase FF6-7 requiere una operación de emergencia para cambiar un

apéndice dañado. Se cree que se puede realizar la operación si el buque no se mueve

demasiado. La DCA sugiere realizar la operación a 20 pies detrás la maestra (sección

media del buque) en una cubierta cercana a la línea de flotación. Comentar su

razonamiento si el estado de la mar es de 8, con 11,3 m de ola y 60 kn de viento. (El

c.d.g se sitúa a 24 pies a popa de la maestra).

El punto o la zona que menos se mueve del buque es su cdg por lo que deberemos

realizar la reparación lo más próximo posible a su cdg. A 20 ft la reparación puede ser

viable.

11. ¿Qué entiendes por el término “sea” y “swell”?




57

PREGUNTAS DE TEORÍA (SEGUNDA PARTE)

1. Explicar que representa el espectro de ola y como se puede modelizar. Explicar

también que representan las RAO, de los diversos movimientos del buque.

El espectro de ola es la representación de la energía por superficie con cada una de las

frecuencias de las diferentes sinusoides.

2. Explicar que describe el espectro escalar de energía. Indicar la información que

facilita, sus unidades, su relación con la función de densidad espectral, sus limitaciones

y modos de solucionarlas.

3. Indicar para qué y cuándo se usa la función de distribución de Weibull, de qué

parámetros depende, qué representan estos parámetros y como se obtienen.

4. Diferencias entre espectros y registros de banda ancha y de banda estrecha. Poner

ejemplos de funciones de distribución de probabilidad de banda ancha y de banda

estrecha usados en el estudio del comportamiento en la mar.

5. Relacionar más de seis fenómenos no lineales para los que no es aplicable

directamente la teoría de contemplada en la disciplina del comportamiento del buque en

la mar basada en procedimientos lineales. ¿Cuáles son cada una de las condiciones de

contorno que se imponen en los cálculos de los movimientos de un buque en olas?

¿Cómo es el movimiento de balance de un buque sometido a olas cortas de alta

frecuencia? ¿Y si las olas son de periodos altos y de baja frecuencia? Indicar

justificadamente cómo influye la velocidad del buque en su balance.

6. Explicar si son conceptos equivalentes la varianza y el valor cuadrático medio de una

variable aleatoria. Razonar si en caso de la elevación de la mar coincidirían ambos

valores. Y razonar también si en el caso del movimiento de balance de un buque

coincidirían ambos valores.

7. Indicar las características básicas generales sobre las que se puede actuar en la etapa

de diseño preliminar para que un buque convencional mejore determinados aspectos de

su comportamiento en la mar y exponer cuáles son esos aspectos.




58

8. Explicar como son, en general, los movimientos de arfada y cabeceo de un buque en

función de los diferentes tipos de olas. Comentar como influyen otros factores en esos

movimientos.

9. Indicar a qué función de probabilidad pertenece la siguiente expresión e indicar

cuándo se usa.

1 10. Explicar cómo se debe realizar el cambio de variable en una función de densidad de

probabilidad.

11. Indicar como se compara analíticamente la distribución anterior con otros habituales

usadas para el estudio del comportamiento del buque en la mar.




59

PROBLEMAS

1. Se define un espectro de ola con la siguiente tabla (sombreada en gris). Calcular la

altura significativa, la media de altura de ola y la media de la 1/10 ola más alta.

ω (1/s) Sξ(ω) F.S F.S x Sξ(ω)

0,2 0 1 0

0,4 7,94 4 31,76

0,6 11,68 2 23,36

0,8 5,56 4 22,24

1 2,3 2 4,6

1,2 0,99 4 3,96

1,4 0,45 2 0,9 1,6 0,23 4 0,92

1,8 0,12 2 0,24

2 0,07 4 0,28

2,2 0 1 0

Sumatorio = 88,26

Por lo que el

o el área de debajo la curva será: (1/3)·0,2·88,26 = 5,884.

/ 2 4,851

/ 2,55 6,186

Y la media de amplitud de ola será:

1,25 3,032




60

2. Un largo número de alturas de ola se registran y se analizan encontrando que el

número de olas en varias alturas de banda son las del cuadro sombreadas en tono gris.

Dibuja esto como un histograma y deduce la distribución normal y de Rayleigh.

Banda de alturas de

ola

fi

Nº de olas

0‐0,5 5

0,5‐1 10

1‐1,5 20

1,5‐2 40

2‐2,5 55

2.5‐3 40

3‐3,5 25

3,5‐4 5Sumatorio 200

xi

medio xi∙fi (xi‐μ)^2 fi∙(xi‐μ)^2 normal P(x) Media x^2 Rayleight

0,25 1,25 3,75390625 18,7695313 0,021555831 0,15625 0,04544244

0,75 7,5 2,06640625 20,6640625 0,090117099 2,8125 0,11318372

1,25 25 0,87890625 17,578125 0,246591331 15,625 0,13002736

1,75 70 0,19140625 7,65625 0,441648313 61,25 0,10417557

2,25 123,75 0,00390625 0,21484375 0,517730218 139,21875 0,06363772,75 110 0,31640625 12,65625 0,397245163 151,25 0,03068102

3,25 81,25 1,12890625 28,2226563 0,199499535 132,03125 0,01187481

3,75 18,75 2,44140625 12,2070313 0,065577269 35,15625 0,00372548

437,5 117,96875 537,5

μ 2,1875

σ^2 0,58984375

σ 0,76801286




61

3. Un buque de 20 MN presenta el siguiente perfil que se muestra abajo. Asumiendo

que la fuerza del viento actúa sobre el área en metros cuadrados debido al viento develocidad V en kn, se tiene que la fuerza es 0,19 .

Calcula la fuerza debido a un viento nominal de 50kn (midiéndolo a 6 por encima la

superficie de la mar) permitiendo que el gradiente del viento se defina. Deduce la media

efectiva de la velocidad del viento. El buque siente un calado de 6 metros y una altura

metacéntrica de 1,5 m. Calcular el ángulo de escora debido al viento.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Distribución de Rayleight

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,50,6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Distribución normal




62

4. En este ejercicio, el número de olas de distintas alturas se da en la siguiente tabla.

Calcular la media del (1/10) de altura de olas.

Altura de olas (ξ)

Número de olas

0,5 10

1 39

1,5 5

2 35

2,5 16

3 5

3,5 4

4 1

Si recordamos, ∑ . Entonces:

Número de olas ξ^2

10 0,25

39 1

5 2,25

35 4

16 6,25

5 9

4 12,25

1 16

Suma = 115 Suma = 51

12115 51 0,222

Para la media de amplitud de 1/10 de altura de ola: 2,55 1,200




63

5. Calcular la longitud de onda en metros y las velocidades en metros por segundo

correspondientes a los periodos de onda de 1, 2, 4, 6, 8, 10, 14, 18 y 20 s.

Si recordamos: λ λ

y λ

T λ C

1 1,561309992 1,56130999

2 6,245239967 3,12261998

4 24,98095987 6,24523997

6 56,2071597 9,36785995

8 99,92383947 12,490479910 156,1309992 15,6130999

14 306,0167584 21,8583399

18 505,8644373 28,1035799

20 624,5239967 31,2261998

6. Las sucesivas crestas de un perfil de olas a lo largo del lado del buque cuando tiene

una cierta velocidad en aguas tranquilas están separadas 100m. ¿Cuál es

aproximadamente la velocidad del buque en kn? Si el buque reduce la velocidad a 10 kn

¿cuál será la distancia de separación de las crestas?

λ 2 1002 12,495 24,289

λ

2

2 100,5144

16,951




64

8. Un registro contiene 1000 olas con sus alturas de hasta 10 m. El registro se da a

continuación. Dibuja el histograma para estos valores y realiza la correspondiente

distribución normal.

Alturas fi

Número de olas

0‐1 6

1 a 2 29

2 a 3 88

3 a 4 180

4 a 5 247

5 a 6 260

6 a 7 133 7 a 8 42

8 a 9 10

9 a 10 5

Alturas fi xi

Media fi∙xi (xi‐μ)^2 Fi*(x‐μ)^2 p(x)

0‐1 6 0,5 3 18,0625 108,375 0,00503195

1 a 2 29 1,5 43,5 10,5625 306,3125 0,02606187

2 a 3 88 2,5 220 5,0625 445,5 0,08705679

3 a 4 180 3,5 630 1,5625 281,25 0,18755477

4 a 5 247 4,5 1111,5 0,0625 15,4375 0,26060448

5 a 6 260 5,5 1430 0,5625 146,25 0,23354144

6 a 7 133 6,5 864,5 3,0625 407,3125 0,13498153

7 a 8 42 7,5 315 7,5625 317,625 0,05031681

8 a 9 10 8,5 85 14,0625 140,625 0,01209707

9 a 10 5 9,5 47,5 22,5625 112,8125 0,00187575

1000 4750 2281,5

μ = 4750 /1000, 2281,5/1000, y 2281,5/1000

μ 4,75

σ^2 2,2815




65

9. Encuentra la distribución de energía de un mar irregular compuesto por diferentes

olas de las siguientes características.

Registro de ola 1 2 3 4

Longitud de onda 1265 562 316 202 ft

Altura (H) 3 5 4 2 ft

Frecuencia ω 0,39645904 0,59480613 0,79323168 0,99212846 rad/s

Elevación ξ 1,5 2,5 2 1 ft

Energia de cada ola 70,2 195 124,8 31,2

Como la energía por metro cuadrado será igual a:

2 421,2 / Si dibujamos el espectro de energíapara cuatro olas:

Para construir el histograma, lo que haremos será la siguiente tabla, la cual, tomando un

ancho de banda de 0,2 y dividiendo la energía de cada onda entre ello se obtiene:

0,3‐0,5 70,2 3510,5‐0,7 195 975

0

0,10,2

0,3

0 2 4 6 8 10

Distribución normal de probabilidad

0

50

100

150

200

250

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2




66

0,7‐0,9 124 620

0,9‐1,1 31,2 156

La densidad espectral de la energía de la ola se representa de la siguiente manera:

12

12 32 52 42 22

= 1,125+3,125+2+0,5 = 6,75 ft^2

/ 1,125 3,125 2 0,5

rad/s 0,4 0,6 0,8 1,0

0

200

400

600

800

1000

1200

0,4 0,6 0,8 1




67

Si hacemos un nuevo histograma, el área de cada rectángulo tendrá el 0,2 anterior y una

altura de (1,125/0,2); (3,125/0,2); (2/0,2); (0,5/0,2).

9. Usando el modelo de la ITTC ó Bretschneider dibujar el espectro de ola para una

velocidad del viento de 31 nudos, obtener el resto de parámetros característicos.

Determinar la altura de la ola significativa admitiendo que la altura de ola no sigue ladistribución de Rayleight.

De la siguiente tabla se obtiene la altura significativa de ola:

Velocidad delviento en kn

H 1/3 (en ft)

20 1030 17,2

40 26,5

50 36,5

60 48,0

Para 31 kn se interpola, encontrando una altura significativa de 18,13 ft.

0

0,5

1

1,5

2

2,53

3,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Densidad espectral s(w)‐w

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