Temporario Alg Linear

8/19/2019 Temporario Alg Linear

1/56

N I V E R S I D A D E

F E D E R A L

D E S A N T A C A T A R I N A


V I R T A L D O E S T A D O D O

M A R A N H Ã O

C E N T R O

D E

C I E N C I A S

I S I C A S M A T E M A T I C A S

C R S O

E S P E C I A L I Z A Ç Ã Q E M M A T E M Á T I C A

C L A D I O

D O S

R E I S L O B O

F I L H O

C L O V E M I L T O N

M E N E Z E S P E R E I R A

D I A G O N A L I Z A Ç A O

D E C O M P O S I Ç Ã O

L D E M A T R I Z E S

C A X I A S

2 0 0 9


2/56

C L A D I O

D O S R E I S

L O B O

F I L H O

C L O V E M I L T O N

M E N E Z E S

P E R E I R A

D I A G O N A L I Z A Ç Ã O

D E c o M P o s I Ç Ã o

M A T R I Z E S

T r a b a l h o

c o n c l u s ã o d e C u r s o a p r e s e n t a d o

C u r s o E s p e c i a l i z a ç ã o

M a t e m á t i c a

F o r m a ç ã o

P r o f e s s o r ,

D e p a r t a m e n t o

M a t e m á t i c a ,

C e n t r o d e C i ê n c i a s

F í s i c a s

M a t e m á t i c a s ,

n i v e r s i d a d e

F e d e r a l S a n t a

C a t a r i n a

c o n v ê n i o

c o m n i v e r s i d a d e V i r t u a l d o E s t a d o d o

M a r a n h ã o .

P r o f e s s o r : R o b e r t o

C o r r ê a S i l v a .

C A X I A S

2 0 0 9


3/56

. . - 2 .

5 1 5 .

= = E z i f * *

l z í z ë z š

V r ; _ _ l

: :

_ _


F E D E R A L D E

S A N T A

C A T A R I N A

C E N T R O

C I E N C I A S F Í S I C A S

M A T E M Á T I C A S

D e p a r t a m e n t o M a t e m á t i c a

C u r s o

d e E s p e c i a l i z a ç ã o

M a t e m á t i c a - F o r m a ç ã o

P r o f e s s o r n a m o d a l i d a d e d i s t â n c i a

" D i a g o n a I i z a ç ã o

D e c o m p o s i ç ã o

M a r r i z e s

M o n o g r a f i a s u b m e t i d a

a C o m i s s ã o d e

a v a l i a ç ã o

d o C u r s o E s p e c i a l i z a ç ã o

M a t e m á t i c a - F o r m a ç ã o d o

p r o f e s s o r

c u m p r i m e n t o p a r c i a l

p a r a

o b t e n ç ã o

t í t u l o d e E s p e c i a l i s t a

M a t e m á t i c a .

A P R O V A D A P E L A

C O M I S S Ã O

E X A M I N A D O R A

0 8 / 0 9 / 2 0 0 9

D r . R o b e r t o

C o r r e a d a

S i l v a

( C F M / F S C

O r i e n t a d o r )

D r ] O s c a r R i c a r d o

J a n e s c h

( C F M / F S C

E x a m i n a d o r )

D r . I n d e r

J e e t

T a n e j a ( C F M / F S C

E x a m i n a d o r )

r / 7

š r f r m r a a

P r o f ?

e r i

e r e z i n h a B o C a r v a l h o

( D r a )

C o o r d e n a d o r a

C u r s o " d e

E s p e c i a l i z a ç ã o

M a t e m á t i c a - F o r m a ç ã o d e

P r o f e s s o r

F l o r i a n ó p o l i s ,

S a n t a

C a t a r i n a ,

s e t e m b r o

2 0 0 9 .


4/56

D e u s ,

n o s s o

o r i e n t a d o r

p r o f .

R o b e r t o

C o r r ê a

d a S i l v a t o d o s

a q u e l e s

q u e d e a l g u m a

f o n n a

t i v e r a m

c o n t r i b u i ç ã o p a r a

r e a l i z a ç ã o

d e s t e t r a b a l h o .


5/56

S e

e n s i n o

d e M a t e m á t i c a , n o s c u r s o s

b á s i c o s ,

f o s s e

f e i t o

c o m o r e a l m e n t e

d e v e r i a

s e r ,

c o m v i v o

i n t e r e s s e ,

c l a r e z a

s i m p l i c i d a d e ,

e s s a

f a b u l o s a

c i ê n c i a

e x e r c e r i a

s o b r e

t o d o s

h o m e n s

e s t r a n h a d e s m e d i d a

f a s c i n a ç a o

( R E Y

P A S T O R ,

M a t e m á t i c o

e s p a n h o l ) .


6/56

R E S M O

N e s t e

t r a b a l h o , a p r e s e n t a m o s

d i a g o n a l i z a ç ã o f a t o r a ç ã o

m a t r i z e s .

p r i m e i r a

d e c o m p o s i ç ã o

s e r á d a

f o r m a

M D M " ,

o n d e

u m a

m a t r i z d i a g o n a l

é a m a t r i z d o s

a u t o v e t o r e s

d e A .

s e g u n d a d o t i p o

q u e

é u m a m a t r i z

t r i a n g u l a r i n f e r i o r

e s c a l o n a d a . D e v e m o s

e s c r e v e r e s t a s

d e f i n i ç õ e s ,

e x e m p l o s

r e s u l t a d o s .

C o m o

a p l i c a ç õ e s ,

p a r a

o p r i m e i r o

c a s o ,

v e r e m o s

c o m o

c a l c u l a r

A p ,

s e n d o

u m n ú m e r o n a t u r a l

e v e n t u a l m e n t e

m u i t o

g r a n d e p a r a

s e g u n d o ,

i l u s t r a r e m o s a

t e o r i a

m o s t r a n d o

u m p r o b l e m a

R e s o l u ç ã o

S i s t e m a s

E q u a ç õ e s

L i n e a r e s .

P a l a v r a s - c h a v e :

D e c o m p o s i ç ã o .

D i a g o n a l i z a ç ã o .

M a t r i z e s . E q u a ç õ e s

L i n e a r e s .


7/56

s M Á R 1 o

I N T R O D Ç Ã O

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O P E R A D O R E S

L I N E A R E S

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 1

. D e f i n i ç a o

O p e r a d o r e s L i n e a r e s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 2

I s o r n o r s m o

O p e r a d o r I n v e r s í v e l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 3

M u d a n ç a

B a s e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 4 M a t r i z e s

S e m e l h a n t e s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 5

A u t o v a l o r e s

A u t o v e t o r e s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 6

A u t o e s p a ç o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 7

P o l i n ô m i o C a r a c t e r í s t i c o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 8

D e t e r m i n a ç ã o d e A u t o v a l o r e s

A u t o v e t o r e s

M a t r i z e s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D I A G O N A L I Z A Ç Ã O

O P E R A D O R E S

L I N E A R E S

E M A T R I Z E S

. . . . . . . . . . .

2 . 1

D i a g o n a l i z a ç ã o O p e r a d o r e s

L i n e a r e s

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . 2

D i a g o n a l i z a ç ã o d e M a t r i z e s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . 3

A p l i c a ç ã o D i a g o n a l i z a ç ã o :

P o t ê n c i a s

u m a

M a t r i z

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D E C O M P O S I Ç A O

L D E

M A T R I Z E S

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . 1

D e f i n i ç ã o D e c o n p o s i ç ã o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . 2

A p l i c a ç ã o D e c o m p o s i ç ã o

R e s o l u ç ã o

d e S i s t e m a s

E q u a ç õ e s

L i n e a r e s

C O N S I D E R A Ç Õ E S

F I N A I S

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B I B L I Q G R A F I A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


8/56

I N T R O D Ç Ã O

A s s i m

c o m o

f a t o r a ç ã o

n ú m e r o

n a t u r a l , d e c o m p o s i ç ã o

d e u m a m a t r i z

c o m o

p r o d u t o d u a s o u

m a i s

m a t r i z e s ,

p o d e

s e r

b a s t a n t e ú t i l

r e s o l u ç ã o

v á r i o s

p r o b l e m a s

E n g e n h a r i a ,

F í s i c a B i o l o g i a . N o c a s o

d i a g o n a l i z a ç ã o ,

u s a m o s

i n f o r m a ç ã o

s o b r e

a u t o v a l o r e s

a u t o v e t o r e s c o n t i d a

n u m a m a t r i z

p a r a

a p r e s e n t a r

u m a

f a t o r a ç ã o

t i p o

M D M 4 ,

o n d e

m e s m a

n o s

p e r m i t e c a l c u l a r

r a p i d a m e n t e p a r a v a l o r e s g r a n d e s


g e r a l m e n t e

u s a d a

p a r a r e s o l v e r

s i s t e m a s

e q u a ç õ e s

l i n e a r e s

o r d e m

m a i o r o u i g u a l

q u a t r o ,

n o s

q u a i s m é t o d o s c o n v e n c i o n a i s

f i c a m d i f í c e i s

s e r e m

a p l i c a d o s .

t r a b a l h o

e s t á

d i v i d i d o t r ê s

c a p í t u l o s .

c a p í t u l o

i n t r o d u z i m o s

i d é i a d e

o p e r a d o r e s

l i n e a r e s ,

d e s t a c a n d o

d e t e r m i n a ç ã o

d o s


a u t o v e t o r e s ,

c o m s u a s

d e n i ç õ e s ,

p r o p r i e d a d e s

a p l i c a ç õ e s .

c a p í t u l o

a p r e s e n t a m o s

c r i t é r i o s

d i a g o n a l i z a ç ã o

o p e r a d o r e s l i n e a r e s e m a t r i z e s ,

q u a l ,

a b o r d a m o s

t e o r e m a s

p r o p r i e d a d e s i l u s t r a m o s

e s s a

t e o r i a

c o m

u m a

a p l i c a ç ã o

s o b r e p o t ê n c i a

d e m a t r i z e s .

F i n a l m e n t e , c a p í t u l o e s t u d a m o s d e c o m p o s i ç ã o

u m a

m a t r i z

s e u s

c o n c e i t o s

f u n d a m e n t a i s

p r o p r i e d a d e s . D e s t a c a m o s

a i n d a u m p r o b l e m a

s o b r e

r e s o l u ç ã o

s i s t e m a

e q u a ç õ e s

l i n e a r e s u s a n d o

e s s a

d e c o m p o s i ç ã o ,

q u e

s e r v i r á c o m o b a s e

a p l i c a ç ã o

o u t r a s

s i t u a ç õ e s .


9/56

O P E R A D O R E S

L I N E A R E S

A d m i t i n d o

c o n h e c i d a

a t e o r i a

E s p a ç o s

V e t o r i a i s

T r a n s f o r m a ç õ e s l i n e a r e s ,

a b o r d a r e m o s

a q u i e s t u d o s a

p a r t i r O p e r a d o r e s

L i n e a r e s . N e s t e e s t u d o

v a m o s t r a b a l h a r

a p e n a s

c o m

E s p a ç o s

V e t o r i a i s

r e a i s ,

c u j a t e o r i a

e l e m e n t a r p o d e

s e r e n c o n t r a d a

[ l ] ,

[ 6 ]

c i t a d o s

n a s

r e f e r ê n c i a s

b i b l i o g r á f i c a s .

T o d a s

a s p r o p r i e d a d e s

e s t u d a d a s n a s

t r a n s f o r m a ç õ e s

l i n e a r e s

s u a s r e s p e c t i v a s

m a t r i z e s

r e t a n g u l a r e s

s ã o v á l i d a s t a m b é m

p a r a

o p e r a d o r e s l i n e a r e s .

e n t a n t o ,

e s t e s s u a s

c o r r e s p o n d e n t e s

m a t r i z e s

q u a d r a d a s p o s s u e m

o u t r a s p r o p r i e d a d e s

p a r t i c u l a r e s ,

q u e

e s t u d a r e m o s

n e s t e c a p í t u l o .

1 . 1

D e f i n i ç ã o :

T o d a

T r a n s f o n n a ç ã o

L i n e a r

e s p a ç o

v e t o r i a l

m e s m o ,

i s t o

c h a m a d a d e

O p e r a d o r

L i n e a r s o b r e

1 . 1 . 1

E x e m p l o :

D a d a a

f u n ç ã o

. -

d e f i n i d a p e l a

l e i

T ( X ,

2 3 / ,

4 y ) ,

v e r i f i c a m o s q u e

o p e r a d o r

l i n e a r ,

p o i s :

S e j a , t = ( x , y ) E R 2 e v = ( a , b ) E R 2 , t e m o s :

i ) T ( H + V ) = T ( ( X , Y ) + ( b ) )

= T ( x + a , y + b )

= ( X + a - 2 ( y + b ) z 3 ( X + ) + 4 ( Y + b )

. = ( x + a - 2 y - 2 b i , 3 x + 3 a + 4 y + 4 b )

= ( x - 2 y + a - 2 b , 3 x + 4 y + 3 a + 4 b )

= ( x - 2 y , 3 x + 4 y ) + ( a - 2 b , 3 a + 4 b )

= T ( x ,

y ) + T ( a ,

T ( l 1 ) +

T ( V )

D a d o

( X ,

e o t

t e m o s :

i i )

T ú w )

T ( < 1 ( X z

Y ) )

T ( o . x ,


10/56

( a x 2 o t y ,

š a x

4 o z y )

1 ( x

2 y , 4 y )

T ( X ,

= m

L o g o ,

t e m o s

q u e

é , u m

O p e r a d o r

L i n e a r .

1 . 1 . 2 E x e m p l o :

D a d a a

f u n ç ã o

d e n i d a

p e l a

l e i

T ( X

: ( l x l

t e m o s

q u e

e s t e

n ã o

o p e r a d o r

l i n e a r ,

p o i s :

S e j a m

( x ,

( a ,

v e t o r e s

g e n é r i c o s

R 2 .

T u x ,

( a ,

b > 1

T o )

T o )

" f × ,

T o ,

= T < + a ,

y + b >

= × 1 , 2 y > + a | , 2 b >

+ z | ,

2 y + b

= < 1 1

+ l a 1 , 2 y + 2 b

( l x

a l ,

2 y i

2 b )

O b s e r v a m o s q u e

| x V +

l x ]

l a ]

n ã o v e r d a d e i r a ,

p o i s

p a r a

t e m o s :

l 1 + ( - 3 ) l I 1 l + l - 3 !

L o g o ,

T n ã o m n o p e r a d o r

l i n e a r .

1 . 2 I s o m o r s m o

O p e r a d o r

I n v e r s í v e l

1 . 2 . 1


T o d a

t r a n s f o r m a ç ã o

l i n e a r T :

e s p a ç o

v e t o r i a l

e s p a ç o

v e t o r i a l

q u e s e j a b i j e t o r a d e n o m i n a d a

i s o m o r s m o

c a s o

q u e

o p e r a d o r

l i n e a r ,

s e j a ,

t e r e m o s

a u t o m o r s m o d e V .

1 . 2 . 2

P r o p o s i ç ã o :

i s o m o r s m o

e n t ã o

T 4 :

e -

t a m b é m

i s o m o r s m o

( d e


11/56

D e m o n s t r a ç ã o :

C o m o

b i j e t o r a ,

e n t ã o ,

e x i s t e

f u n ç ã o

i n v e r s a

T 4 .

M o s t r a r e m o s

s e g u i r q u e

u m a

t r a n s f o r m a ç ã o l i n e a r .

( I )

S e j a m

v ,

c o n s i d e r e m o s

( v

v z )

C o m o

s o b r e j e t o r a ,

e n t a o

e x i s t e m

u l ,

d e m a n e i r a

q u e

T ( u )

T " ( v )

T ( u z )

T " ( v z )

u z .

S u b s t i t u i n d o

e s t e s

r e s u l t a d o s

i g u a l d a d e

i n i c i a l ,

t e m o s :

< T < u .

T t u z

( T o ,

u z

r v . T v z .

A s s i m :

T ( v .

v z )

T ( v , )

r * ( v z )

( I I )

S e n d o

T ( o . u )

u v ,

T ( v ) ,

t e m o s :

T * ( z v )

T ( T ( z u ) )

z T * ( v ) .

P r o v a r e m o s

a g o r a

q u e é b i j

e t o r a

c o n s e q u e n t e m e n t e

i s o m o r s m o .

( 1 1 1 )

s u p o n h a m s

V . ,

( v , )

T * ( v z )

E n t ã o

T ( u )

T ( u )

v z .

D a í ,

v z .

L o g o

i n j e t o r a .

( I V )

D a d o

t o m a n d o

T ( u )

t e r e m o s :

T ( V )

T l ( T ( 1 1 ) )

0 q u e

m o s t r a

q u e

s o b r e j e t o r a .

C o m o é u m a


l i n e a r

b i j e t o r a ,

l o g o é

i s o m o r s m o .

T e n d o c o m o

b a s e

t e o r i a n ú c l e o

i m a g e m

u m a

T r a n s f o r m a ç ã o L i n e a r ,

p o d e m o s

c i t a r

s e g u i n t e

c o r o l á r i o :

1 . 2 . 3 C 0 l 0 r á r i 0 :

S e j a

u m a


l i n e a r .

d i m

d i m V ,

e n t ã o

i n j e t o r a ,

s e e

s o m e n t e

s e ,

é s o b r e j e t o r a .

N o t a : C o m o

n e s t e

e s t u d o e s t a m o s n o s

l i m i t a n d o

o p e r a d o r e s

l i n e a r e s ,

a d i m e n s ã o

d o s

e s p a ç o s

v e t o r i a i s s e r á

s e m p r e a

m e s m a . D e s s a

f o r m a ,

p o d e m o s

p r o v a r

q u e

é u m

a u t o m o r s m o

s i m p l e s m e n t e m o s t r a n d o

q u e T

i n j e t o r a

( o u

s o b r e j e t o r a )


v e r e m o s q u e

e x i s t e

o p e r a d o r i n v e r s o


12/56

1 . 2 . 4

E x e m p l 0 .

M o s t r a r q u e

o p e r a d o r l i n e a r

d e n i d o

p o r

T ( x , y , z ) = ( x , x - y , 2 x + y ~ Z ) l

a u t o m o r s m o e

d e t e r m i n a r

S o l u ç ã o :

P r i m e i r a m e n t e

d e t e r m i n a r e m o s

N ( T )

a t r a v é s

d o S i s t e m a :

x = O

x ~ y = O

2 x + y ~ z = 0

C u j a ú n i c a

s o l u ç ã o

( 0 ,

0 ) .

L o g o ,

N ( T )

{ ( O ,

0 ) }

- = >

i n j e t o r a .

C o m

b a s e

c o r o l á r i o

a c i m a ,

p o d e m o s a r m a r

q u e

u m a u t o m o r s m o .

A g o r a ,

s e n d o

( a ,

T " ( x , e a p l i c a n d o

T e m a m b o s o s

m e m b r o s

d e s s a

i g u a l d a d e ,

t e m o s :

T @ a @ = W @ J J

C o m o

T " ( T ( x ,

2 ) )

( x ,

z ) ,

p o d e m o s

e s c r e v e r

T ( a ,

( x , z ) ,

a s s i m :

T ( a ,

( a ,

a - b ,

2 a + b

( x ,

a - b = y

2 a + b - c = z

O q u e r e s u l t a a = x , b = x - y e c = 3 x - y - Z .

L o g o ,

T < ,

( X ,

~ y ,

~ z .

1 . 3

M u d a n ç a

B a s e

S e j a m

b a s e s

e s p a ç o

v e t o r i a l

F a r e m o s

r e l a ç ã o

e n t r e a s

c o o r d e n a d a s

v e t o r v

r e l a ç ã o

b a s e

c o m

c o o r d e n a d a s

d e s t e

m e s m o

v e t o r r e l a ç ã o

b a s e

F a r e m o s

c o n s t r u ç ã o

p a r a

e s p a ç o

v e t o r i a l

d i m e n s ã o

p a r a

c o m

d i m e n s ã o

c o n s t r u ç ã o é

a n á l o g a .

S e j a m

{ v 1 ,

v 2 } { w ,

w 2 }

b a s e s

V . D a d o

v e t o r

s e n d o

e s t e

c o m b i n a ç ã o

l i n e a r

d o s v e t o r e s d a s

b a s e s

X } V 1

X 2 V z


13/56

[ V ] / t

( x t ,

x z )

) t W

Y 2 W 2 ( H )

[ V ] B ( Y i ,

Y 2 )

P o d e m o s

t a m b é m

f a z e r

u m a l r e l a ç ã o

e n t r e

v e t o r e s

d a b a s e

A c o m

o s d a

b a s e

i s t o

a 1 2 W 1 + a 2 2 W 2

V 1 :

a n W 1 + a 2 | W 2 }

( H I )

S u b s t i t u i n d o

( I I I )

( I ) ,

t e m o s :

( G H W 1

2 1 W 2 )

( a t 2 W |

a 2 2 W 2 )

( a t

t x t

a t z X z ) w t

( a z t x t

a z z X z ) W z ( I V )

C o m p a r a n d o

( I V )

c o m

( I I )

v e m q u e :

a 1 | X 1 +

ë l 1 2 X 2

a 2 t X t

a 2 2 X 2

[ y t : : I : a n

a t 2 ; H : X t J

a z t

a 2 2

f o r m a

m a t r i c i a l

p o d e m o s

r e p r e s e n t a r

s i m p l e s m e n t e

p e l a

e q u a ç ã o :

I V I B

[ V I A

O n d e a m a t r i z :

[ I E

c h a m a d a m a t r i z m u d a n ç a

b a s e

p a r a B .


14/56

( ) b s e r v a ç õ e s :

F a z e n d o

c o m p a r a ç ã o

m a t r i z

[ I ] Ê

c o m

( I I I ) ,

o b s e r v a - s e

q u e :

a n a n

I V I I B :

I V z ] B

m a t r i z

[ I ] Ê

m a t r i z o p e r a d o r l i n e a r

i d e n t i d a d e

V ~ + V

c o n s i d e r a d o

n a s

b a s e s

e B .

i n v e r s a

m a t r i z

m u d a n ç a

b a s e

p a r a

é a m a t r i z

m u d a n ç a

_ d e

b a s e

p a r a

s e j a ,

( [ I ] Ê ) "

[ I ] Ê

1 . 3 . 1

E x e m p l o :

C o n s i d e r e m o s

b a s e s

{ v ,

v z } { W ,

w z }

R 2 ,

o n d e

v = ( - 1 , 1 ) ,

v 2 = ( 1 , 0 ) , w = ( 2 , - I ) e w z = ( - 1 , I ) .

V a m o s

d e t e r m i n a r a m a t r i z

m u d a n ç a

d e b a s e d e

p a r a

S o l u ç ã o :

a l l

a l 2

z l í a

[ m r

A g o r a

f a r e m o s

u m a


l i n e a r

d o s

v e t o r e s d a b a s e

r e l a ç ã o

b a s e

V ] = ( - 1 , 1 ) :

a | | ( 2 ,

- 1 ) + 8 2 | ( - I ,

O + a

{ 2 a 1 1 a 2 1 : _ 1

a - 1 | + a 2 i : ]

1 1 2 :

2 1 -

a H = O

a 2 | : 1


15/56

A s s i m ,

l V I l B

( l ,

3 . | z ( 2 ,

- 1 )

3 z z ( - l ,

O u

2 a 2 * a 2 2 : 1

- a I 2 + a 2 2 : 0

a 1 2 + a 2 2 : 0

- 1 + a z z = 0

a n z l

a z z

L o g o ,

[ v z ] B =

e p o r t a n t o [ I ] B

1 . 3 . 2

P r o c e s s o

P r á t i c o p a r a


m a t r i z

m u d a n ç a

d e b a s e

B a s e a d o

e m c o m p o s t a

t r a n s f o r m a ç õ e s

l i n e a r e s s a b e n d o q u e

m a t r i z

m u d a n ç a

b a s e d e u m a

b a s e q u a l q u e r

p a r a a

c a n ô n i c a

m a t r i z

c u j a s

c o l u n a s s ã o a s c o o r d e n a d a s d o s

v e t o r e s d a

b a s e ,

p o d e m o s

e s c r e v e r

r e l a ç ã o

a b a i x o . t

S a b e n d o

q u e

s ã o b a s e s

e s p a ç o

v e t o r i a l b a s e

c a n ô n i c a ,

t e m o s

q u e :

I l ê

= ( m 2 > " m ê

I s t o

= B _ ] A

o n d e

s ã o m a t r i z e s c u j a s

c o l u n a s

s ã o

f o n n a d a s p e l o s

v e t o r e s d a s

b a s e s

r e s p e c t i v a m e n t e .

1 . 3 . 2 . 1 E x e m p l 0 :

V a m o s

c a l c u l a r

m a t r i z

m u d a n ç a

d e b a s e

p a r a B d o

e x e m p l o

( 1 . 3 . 1 ) ,

u s a n d o

p r o c e s s o p r á t i c o .

T e m o s

q u e :

{ v ,

v 2 } { w , _ W z } ,

d a i :


16/56

: B - I A I L 2 1

i i l i l i i i i i

i i i ?

- 1 + 1

1 + o

_ - 1 + 2 1 + o

1 . 4

M a t r i z e s

S e m e l h a n t e s

1 . 4 . 1


D u a s m a t r i z e s

s ã o

s e m e l h a n t e s s e

e x i s t e

u m a

m a t r i z i n v e r s í v e l

t a l q u e

M J B M .

t e r m o s d e m a t r i z e s o p e r a d o r e s ,

m a t r i z m u d a n ç a

b a s e d e

p a r a

p o d e m o s

e s c r e v e r :

1 . 4 . 2

P r o p r i e d a d e :

A s m a t r i z e s s e m e l h a n t e s

[ T ] [ T ] B

p o s s u e m o

m e s m o

d e t e r m i n a n t e .


P a r t i n d o

q u e ,

s e g u e q u e :

M [ T l B

l T l A

d a í ,

d e t M

d e t [ T ] B

d e t [ T ] A

d e t M

A s s i m :

[ T ] B

d e :

[ T ] , .


17/56

1 . 4 . 3

E x € m p l 0 .

S e j a

o p e r a d o r

l i n e a r

c o n s i d e r e m o s

a s b a s e s

{ ( 1 ,

O ) ,

( O t ,

1 ) }

{ ( 4 ,

1 ) ,

( ~ 1 1 V ,

- 3 ) } .

S a b e n d o q u e

[ T ] A

L 1 1

v a m o s

d e t e r m i n a r

u m a

m a t r i z

[ T ] B

s e m e l h a n t e

[ T ]

S o l u ç ã o :

P a r a

c a l c u l a r a

m a t r i z

[ T ] B

v a m o s

u t i l i z a r

r e l a ç ã o

[ T ] B

[ T ] A M ,

o n d e

m a t r i z

m u d a n ç a

b a s e

p a r a

t i l i z a n d o - s e

p r o c e s s o p r á t i c o ,

t e m o s

q u e :

[ 1 ]

A " B

i s t o

: H i

1 2 H ? H z ~ J ; H :

1 2 1

M i z

- 1 1

- 1 1

O g o

- é i i i - 1

z i i i i

_ = 1 4

- 5 3 - 1 1

_ _ 5

- 1 9

s ó - 5 3 - 1 5 4 + 1 5 9

_ 2 o - 1 9

- 5 5 + 5 7

3 5 V

P o d e m o s m o s t r a r

a i n d a

q u e ,

c o m o m a t r i z e s

[ T ] A

[ T ] B

s ã o s e m e l h a n t e s ,

e n t ã o ,

p o s s u e m

m e s m o

d e t e r m i n a n t e ,

s e j a :

d e t [ T ] A

d e t [ T ] B


18/56

S e g u e q u e :

- 3

à - z r [ T ] A

z _ 1

1 : 4 - 3 : 1

1 t [ T ] ,

z ó - 5

s e j a ,

[ T ] A

[ T ] B

p o s s u e m m e s m o d e t e r m i n a n t e .

1 . 5

A u t o v a l o r e s

A u t o v e t o r e s :

C o n s i d e r e

o p e r a d o r l i n e a r T :

V - V .

D a d o

v e r e m o s

s e g u i r

i m p o r t a n t e

T ( u )

p o s s u í r e m m e s m a

d i r e ç ã o .

1 . 5 . 1


D a d o

e s p a ç o

v e t o r i a l e s e j a T :

V - * V

o p e r a d o r l i n e a r .

v e t o r

a u t o v e t o r e x i s t e

u m e s c a l a r

t a l

q u e

T ( u )

l u ,

s e n d o

d i t o

a u t o v a l o r

a s s o c i a d o a

N o t a :

a c o r d o

c o m a

d e n i ç ã o ,

v e t o r

d i t o a u t o v e t o r

s e e x i s t e

u m a

i m a g e m

T ( v )

m ú l t i p l o

e s c a l a r

P o d e m o s d i z e r q u e n o e n o

T ( v )

t ê m a m e s m a

d i r e ç ã o .

D e s s a

f o r m a ,

d e p e n d e n d o d o

v a l o r

o p e r a d o r d i l a t a

c o n t r a i s e 0

i n v e r t e

s e n t i d o v s e Ã a n u l a v q u a n d o À

O b s e r v e q u e n a

g u r a

( l . 5 a )

o v e t o r v E

a u t o v e t o r

o p e r a d o r

q u e

i n v e r t e

o s e n t i d o d e

i s t o

p o r q u e

0 . J á

f i g u r a

( l . 5 b )

i l u s t r a

v e t o r

q u e

n ã o é

a u t o v e t o r

o p e r a d o r

p o i s

T ( p )

n ã o

m ú l t i p l o

e s c a l a r d e

F i g u r a l . 5 a

F i g u r a l . 5 b

1 . 5 . 2

E . c e m p l 0 :

v e t o r

( 2 ,

a u t o v e t o r

o p e r a d o r

l i n e a r

R 2 , d e n i d o

p o r

T ( x , y )

( 2 x

3 y ,

2 y )

a s s o c i a d o

a u t o v a l o r 7 r

p o i s :

T ( _ v ) =

T ( 2 ,

2 ) z ~ z

( 1 o , 1 0 )

5 ( 2 , 2 )


19/56

c o n t r a p a r t i d a ,

v e t o r

( 1 ,

n ã o é

a u t o v e t o r

p o i s :

T ( u ) = T ( 1 , 2 ) = ( 2 - 1 + 3 ~ 2 , 3 - 1 + 2 - 2 ) = ( 8 , 7 ) ? t ( 1 , 2 )

s e j a ,

n ã o

e x i s t e

X p a r a e s s a

i g u a l d a d e ,

l o g o

s i s t e m a

n ã o

t e m

s o l u ç ã o .

1 . 5 . 3 E x e m p l o :

D a d o

v e t o r

( 1 , 1 , l )


d e n i d o

p o r

T ( x , y , z )

z ) ,

t e m o s

q u e

a u t o v e t o r a s s o c i a d o

a u t o v a l o r

p o i s :

T ( v )

T ( l , l , 1 ) = ( 1 + 1 , 1 + 1 , l + 1 ) = ( 2 , 2 , 2 ) =

2 ( 1 , 1 , 1 )

2 v .

q u e

n ã o

o c o r r e c a s o d a d o

v e t o r u

( 1 ,

3 ) ,

p o i s :

T ( u )

T ( l , 2 , 3 )

2 . 2

3 , 1 +

( 3 , 5 , 4 )

7 t ( l , 2 , 3 )

s e j a ,

n ã o

e x i s t e

p a r a

e s s a

i g u a l d a d e ,


u n ã o

a u t o v e t o r

1 . 6

A u t o e s p a ç o

1 . 6 . 1


S e n d o X u m

a u t o v a l o r

o p e r a d o r

l i n e a r

V ~ > V ,

t e m o s

c o n j u n t o

P O . )

{ u E

| T ( u ) =

9 t u }

d e t o d o s

v e t o r e s

i n c l u i n d o

n u l o ,

d e n o m i n a d o

a u t o e s p a ç o

a s s o c i a d o a o

a u t o v a l o r

1 . 6 . 2

T e o r e m a :

c o n j u n t o

f o r m a d o

p e l o s

a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s

a u t o v a l o r

9 e o

v e t o r n u l o

s u b e s p a ç o

v e t o r i a l

i s t o

P O . )

T ( u )

7 t u }

s u b e s p a ç o


d e m o n s t r a ç ã o

s e r á f e i t a c o m

P ( ) t )

R 2 ,

p a r a o

i n t e i r a m e n t e

a n á l o g a .

D a d o s

P ( 7 t )

t e m o s

q u e :

( 0 , 0 )

P ( ? t ) ,

p o i s

T ( 0 , ( ) ) ? t ( 0 , 0 )

( 0 , 0 )

i i ) T ( v +

v z )

T ( v | )

T ( v z )

7 t ( v

v z ) ,

e n t ã o :

v 1

P o t ) .

i i i )

T ( o < V )

T ( v )

< > < ( 7 t

V 1 )

M O C V 1 ) ,

l o g o :

z w .

P o ) .

1 . 6 . 3

E x e m p l o : S a b e n d o

q u e X

a u t o v a l o r

o p e r a d o r

l i n e a r

t a l

q u e ,

T ( X , 2 Y z

4 Y )

D e t e r m i n a r e m o s


a s s o c i a d o

e s s e

a u t o v a l o r .


20/56

S o l u ç a o z

P ( 2 ) =

{ ( X ,

T ( X ,

2 ( X ,

Y ) }

{ ( X ,

2 Y ,

4 Y )

( 2 X ,

2 Y ) }

= { ( X , Y ) € R * I X + 2 Y = 2 X , - > < + 4 Y = 2 Y }

= { ( X , Y ) E R * l X = 2 Y }

{ ( 2 Y z

R }

- = { Y ( 2 1 ) | Y € R }

= [ ( 2 z 1 ) ]

A s s i m ,

c o n j u n t o

P ( 2 )

{ y ( 2 ,

[ ( 2 , 1 ) ]


a s s o c i a d o a

q u e

g e o m e t r i c a m e n t e

r e p r e s e n t a d o p e l a r e t a L .

. . . _ _ _

F i g . L é a

1 . 7

P o l i n ô m i o

C a r a c t e r í s t i c o

1 . 7 . 1


S e j a

A = ( a

M ( n ,

R ) ,

d e n o m i n a m o s

p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o

g r a u

p o l i n ô m i o

s e g u i r :

3 1 2

P ^ ( Ú = d e t . _ _ Ê _ 2 _ 1

_ _ _ _

. ? . 2 _ 2 . Í . Ê _ , . . , í ,

. . . . .

. _ * Ê 2 v _ . _

: d ° * ( ^ t I )

a n ? - t

a m - t

s e j a ,

P A ( t )

d e t ( A

t l n )


21/56

1 . 7 . 2

D e f i n i ç ã ü :

D a d o u m

e s p a ç o

v e t o r i a l

d i m e n s ã o

V u m

o p e r a d o r

l i n e a r . D e n o m i n a - s e

P o l i n ô m i o C a r a c t e r í s t i c o

p o l i n ô m i o

c a r a c t e r í s t i c o

m a t r i z d e

T e m

r e l a ç a o

a q u a l q u e r

b a s e

d e V . s a r e m o s a

i n d i c a ç ã o

P T ( t ) .

Ó b s e r v a ç ã o t

O p o l i n ô m i o


i n d e p e n d e d a

e s c o l h a u m a b a s e

p a r a

p o i s

d e t e r m i n a n t e d e m a t r i z e s

s e m e l h a n t e s

i g u a l .

1 . 7 . 3

T e o r e m a :

S e j a

T u m

o p e r a d o r l i n e a r , e n t ã o ,


s ã o r a í z e s r e a i s

p o l i n ô m i o


P T ( t ) .


a c o r d o c o m a

d e n i ç ã o

( 1 . 5 . 1 )

t e m o s

q u e é u m

a u t o v a l o r d e T

s e ,

s o m e n t e

s e ,

N u c

( [ T ] C

M n )

{ 0 } ,

i s t o

g a r a n t e

q u e

[ T ] C

n ã o i n v e r s í v e l , m a i s ,

g a r a n t e

a i n d a

q u e

d e t ( [ T ] C

M n )

0 . P o r

d e f i n i ç ã o

d e t ( [ T ]

X L . )

d e t ( [ T ] C

t l n )

P T ( t ) ,

a s s i m o

t e o r e m a

e s t á

p r o v a d o .

N o t a :

e s p a ç o

v e t o r i a l

s o b r e

n ú m e r o d e


o p e r a d o r

l i n e a r

- * V

m e n o r

o u i g u a l à

d i m e n s ã o

p o i s

a l g u m a s d a s

r a í z e s

P T ( t )

p o d e m

n ã o

s e r

r e a i s .

1 . 7 . 4

E x e m p l o f

S e j a

o p e r a d o r

l i n e a r

d e f i n i d o

p o r

T ( X , y , 2 ) = ( X + y + 2 , 2 y + Z ¬ 2 y + 3 Z ) ,

e n c o n t r a m o s

p o l i n ô m i o


d e t e r m i n a d o

p e l a

m a t r i z

b a s e

c a n ô n i c a

d a s e g u i n t e

f o r m a :

A z [ T ] C = 0

2 1 , 1 = 0 1 0 , 1 1 = 0 1 0

1 > T ( 1 ) = â e 1 ( A - 1 1 )

1 - 1

= â (

2 - 1

3 - :

L o g o ,

1 - 1 , 1 1 - 1 1

2 - t

2 - t

- _

t - Y *

: ( 1 - i ) ( 2 - 1 ) ( 3 - 1 ) - 2 ( 1 - 1 )


22/56

= ( 1 ~ f ) { ( 2 - 1 ) ( 3 - Í ) - 2 1

= i ( 1

- 1 )

[ ( 6 - 2 :

- 3 1

t z )

- 2 ]

= n - o w - a + @

= - t 3 + 6 t 2 - 9 t + 4

c u j a s

r a í z e s

e m R s ã o :

A s s i m ,


s ã o :

s e n d o p r i m e i r o c o m

m u l t i p l i c i d a d e

I . 7 . 5

E x e m p l o :

S e j a 0 o p e r a d o r

l i n e a r T : d e n i d o p o r

T ( X s

Z ) : ( X

X + y _ 2 Z :

y _ Z )

E n c o n t r a r e m o s

p e l a

m a t r i z

n a b a s e c a n ô n i c a d o

R 3 ,

o p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o d o

o p e r a d o r

S e g u e

q u e :

1 0 0

n l o o

t o _ o

A z [ T ] C = 1

1 - 2 , 1 = o 1

o , ú 1 = o

o 1 ~ 1

0 0 1 o o :

L o g o ,

P T ( t )

d e t ( A

t l )

l _ ~ t

= d e

_ l - t

- 1 - t

l - t

l - t

= ( 1 - ) ( 1 - ú ) ( - 1 - ú ) + 2 ( 1 ~ : )

_ 1 _

I -

) . _

1 1 ~ t

: ( 1 - Í ) [ ( 1 ~ Í ) ( - 1 ~ Í ) +

= ( 1 - ) ( t 2 + 1

= - t 3 + t 2 - t + 1

C u j a s

r a i z e s

s ã o : l E

~ i ,

( C .

P o r t a n t o ,

ú n i c o

a u t o v a l o r

l ~ ,

p o i s d e m a i s

s ã o c o m p l e x o s


23/56

1 . 8

D e t e r m i n a ç ã o

d e a u t o v a l o r e s


M a t r i z e s

C o n s i d e r e m o s

u m a m a t r i z

M ( n ,

R ) ,

v e r e m o s

a s e g u i r q u e p a r t i r

p o l i n ô m i o

P A ( ? )

d e t p o d e m o s

d e t e r m i n a r

a u t o v a l o r e s e o s a u t o v e t o r e s d e A .

1 . 8 . 1


d o s a u t o v a l o r e s

1 . 8 . 1 . 1



s ã o o s

a u t o v a l o r e s d o o p e r a d o r

l i n e a r a s s o c i a d o

1 . 8 . 2


d o s a u t o v e t o r e s

1 . 8 . 2 . 1


O s a u t o v e t o r e s s ã o


d o o p e r a d o r l i n e a r

a s s o c i a d o

a A .

1 . 8 . 3 E x e m p l o :

D a d a a m a t r i z

d e t e r m i n a r e m o s

s e u s a u t o v a l o r e s e


c o r r e s p o n d e n t e s .

S o l u ç a o :


a s s o c i a d o

m a t r i z

T ( X ,

( 2 X

2 y ,

3 y ) -

p o l i n ô m i o


o p e r a d o r

d a d o p o r

d e t ( A

X l ) ,

d a í :

7 1

= ( 2 - t ) ( 3 - > . ) _ 2

= 6 - 2 1 - 3 ? t + ) . 2 - 2

= 7 t 2 - 5 7 t + 4

9 3 - 5 ? t + 4 = 0

? t , = 4 e 9 t z = 1

E n t ã o , a u t o v a l o r e s

d o o p e r a d o r

T s ã o :


24/56

P a r a

d e t e r m i n a r f o s a u t o v e t o r e s ,

u s a r e m o s

d e f i n i ç ã o

a u t o e s p a ç o .

P a r a k l t e m o s :

P ( 4 )

{ ( X z

T ( X z

4 ( X z

Y ) }

{ ( x ,

( Z X

2 y _ ,

3 y )

( 4 x ,

4 y ) }

{ ( x , y )

E R 2 | 2 x + 2 y = 4 x , x + 3 y = 4 y }

= { ( X Y ) € R 2 l X = Y }

{ ( Y

R 2 )

= { Y ( 1 , 1 ) 1 y

G R )

K 1 ,

1 ) ] -

E n t ã o ,

o s v e t o r e s d o t i p o

P ( 4 )

{ y ( 1 ,

R } ,

s ã o o s


a s s o c i a d o s

a u t o v a l o r

P a r a

) t z =

t e m o s :

P ( 1 ) =

{ ( X

E R 2

T ( X z

1 ( X

Y ) }

{ ( X

( 2 X

Z Y ,

3 Y )

( X

Y ) }

{ ( x , y )

E R 2 \ 2 x + 2 y = x , x + 3 y = y }

{ ( X z

R 2 | X = - 2 Y }

{ ( - 2 Y ,

R 2 )

{ Y ( ~ 2

[ ( - 2 ,

1 ) ] .

A s s i m ,

v e t o r e s

t i p o

P ( 1 )

( - 2 ,

R } ,

s ã o


a s s o c i a d o s a o

a u t o v a l o r

- i l

1 . 8 . 4 E x e m p l o :

D a d a

m a t r i z

= { 0

- 3 }

d e t e r m i n a r e m o s s e u s


a u t o v e t o r e s .

S o l u ç a o :


a s s o c i a d o à

m a t r i z

T ( x ,

( 3 x

- 3 2 ,

3 2 ,


25/56

p o l i n ô m i o

c a r a c t e r í s t i c o d o

o p e r a d o r

d a d o

p o r

d e t

M ) ,

d a í

s e g u e

q u e :

3 - À 3 ~ À

- 3 - x W - 1

2 - 7

. ~ 3

2 - Ã

~ ? t

- r -

- 4 +

( 3 -

( 2 -

( - 1 -

= - + 4 # - x ~ ó

- + 4 - x - ó = o

7 t = 3 ,

> t 2 = 2 , ? t 3 = = ~ 1

E n t ã o ,

a u t o v a l o r e s s ã o :

3 , K 2

P a r a

d e t e m a i n a r o s a u t o v e t o r e s u s a r e m o s

d e n i ç ã o


P a r a

t e m o s :

P ( 3 )

{ ( X ,

T ( X ,

3 ( X ,

Z ) }

{ ( X ,

( 3 X

- 3 2 ,

3 2 ,

- 2 )

( 3 X ,

B y ,

3 2 ) }

= { ( x ,

z ) E R 3 | 3 x - y - 3 z = 3 x ,

2 y - 3 z = 3 y , - z = 3 z }

= { ( x , y , z ) E R 3 | y = - 3 z e z = 0 }

= { ( X , Y , Z ) E R 3 I Y = 0 , Z = 0 } -

{ ( x , 0 , 0 ) E R 3 }

= { x ( 1 , ( ) , 0 ) | x E R }

= r < 1 , , 0 > 1

E n t ã o ,

v e t o r e s d o t i p o

P ( 3 )

{ x (

1 , 0 ,

R } ,

s ã o o s


P a r a

7 t 2 =

t e m o s :

P ( 2 )

{ ( X ,

T ( X ,

2 ( X ,

Z ) }

{ ( x ,

( 3 x

- 3 2 ,

É Z ,

- z )

( 2 x ,

2 y ,

2 z ) }

{ ( x ,

- 3 2

2 x ,

- 3 2

2 y ,

2 z }

= { ( x , y , z ) E R 3 | x = y e z = 0 }

{ ( Y ,

R }

= { y < 1 , 1 , 0 I y

[ ( 1 , 0 ) ]

A s s i m ,

v e t o r e s d o t i p o

P ( 2 )

{ y ( 1 ,

R } ,

s ã o


a s s o c i a d o s


26/56

P a r a - 1 ,

t e m o s :

P ( - 1 ) - =

{ ( X

T ( X

= ~ 1 ( X

× { ( X a

( 3 X

_ 3 Z :

3 2 :

_ Z )

( _ X :

_ y

_ Z ) }

{ ( × , * y ,

- 3 2

= ; - 5 ,

_ 3 z

- y ,

- z }

{ ( X y Z ) € R 3 l X = y = 2 }

{ ( x ,

{ x ( 1 ,

1 ) | x

E R }

= [ ( 1 , 1 z 1 ) ]

L o g o ,

v e t o r e s t i p o

P ( - 1 )

{ x ( 1 ,

s ã o o s


a s s o c i a d o s


27/56

D I A G O N A L I Z A Ç Ã O D E

O P E R A D O R E S

L I N E A R E S E

M A T R I Z E S


d e m a t r i z e s e s s e n c i a l

e s t u d o d a

á l g e b r a

l i n e a r ,

v i s t o

q u e ,

v á r i o s

p r o b l e m a s

d i a - a - d i a

n o s

e n c o n t r a m o s s i t u a ç õ e s

n a s q u a i s

u s a r t a i s m é t o d o s ,

e v i t a

u t i l i z a ç ã o

p r o c e s s o s l o n g o s q u e p o d e m

o c a s i o n a r e r r o s .

E s t e s ,

p o r

s u a

v e z ,

s ã o

m a i s

s i m p l e s e

p r á t i c o s ,

p a r a a

r e a l i z a ç ã o

e s t u d o s

d i r e c i o n a d o s à

a p l i c a ç ã o

o u t r o s

c a m p o s

l i g a d o s à

M a t e m á t i c a .

c a p í t u l o

a n t e r i o r i n t r o d u z i m o s

d e f i n i ç õ e s

d e o p e r a d o r e s l i n e a r e s

e s e u s

r e s p e c t i v o s

a u t o v a l o r e s e

a u t o v e t o r e s . F a r e m o s

a q u i

e s t u d o

d i a g o n a l i z a ç ã o

c o m b a s e

n a s


[ 2 ]

[ 6 ] ,

o n d e

o n o s s o

o b j e t i v o

e n c o n t r a r u m a

b a s e


d a d o

e s p a ç o

v e t o r i a l ,

q u a l

e s t a

s e j a m a i s

s i m p l e s

p o s s í v e l .

P o r

v á r i o s m o t i v o s ,

v e r e m o s

q u e

s i t u a ç ã o

m a i s c o n v e n i e n t e s e r á

e n c o n t r a r

u m a

m a t r i z d i a g o n a l a s s o c i a d a

o p e r a d o r .

2 . 1

D i a g o n a l i z a ç ã o

o p e r a d o r e s

l i n e a r e s

2 . 1 . 1


S e j a

e s p a ç o

v e t o r i a l

d i m e n s ã o

n i t a .

o p e r a d o r

l i n e a r

V ~ * V

é d i a g o n a l i z á v e l

q u a n d o

e x i s t e

u m a b a s e

f o r m a d a

p e l o s


d e T .

S e n d o

{ u , . . . ,

u , , }

u m a b a s e

f o r m a d a


e n t ã o ,

T ( u )

l t u

a s s i m

p o r

d e n i ç ã o

m a t r i z e s d a


l i n e a r

T e m

r e l a ç ã o

b a s e

B t e m o s

a m a t r i z

[ T l z í i ]

> z

r t

O n d e

X 1 ,

. . . ,

7 t , ,

s ã o o s a u t o v a l o r e s d e

d i a g o n a l :


28/56

2 8

O b s e r v a ç ã o :

O s a u t o v a l o r e s

? t , . . . , ? n

n ã o s ã o

n e c e s s a r i a m e n t e d i s t i n t o s d o i s

d o i s .

D e v i d o

i s s o j

p o d e

a c o n t e c e r d e o

p o l i n ô m i o


P T ( x )

o p e r a d o r

l i n e a r

d e c o m p o r f a t o r e s l i n e a r e s

t i p o

7 t ) k ,

s e m

q u e T s e j a

d i a g o n a l i z á v e l . E s s e

f a t o

o c o r r e

d e v i d o d i m e n s ã o

d o s

a ú t o e s p a ç o s ,

s e j a ,


a l g é b r i c a

d o s


i g u a l

d i m e n s ã o

d o s

s e u s r e s p e c t i v o s

a u t o e s p a ç o s .

2 . 1 . 2 P r ü p r i e d a d e t O s a u t o v e t o r e s

a s s o c i a d o s


r e a i s

d i s t i n t o s

o p e r a d o r

l i n e a r

s ã o

l i n e a r m e n t e

i n d e p e n d e n t e s .

d e m o n s t r a ç ã o a b a i x o ,

c o n j u n t o

q u e m o s t r a r e m o s

s e r L I

é c o m p o s t o

p o r

v e t o r

d e c a d a


a s s o c i a d o s e u

r e s p e c t i v o

a u t o v a l o r .


F a r e m o s a


p a r a n

p a r a


a n á l o g a .

S e j a m a u t o v a l o r e s

k z ,

v 1 ,


a s s o c i a d o s

a o s


r e s p e c t i v a m e n t e . D e v e m o s p r o v a r

q u e

v j e s ã o

L I .

S e j a

a l v j

a z v z

A p l i c a n d o

e s t a

e q u a ç ã o t r a n s f o r m a ç ã o

X 2 1 ,

e l e m b r a n d o

q u e

T ( v )

7 t v

I v

p a r a

1 , 2

s e g u e

q u e :

X 2 1 ) - ( a 1 v , +

a z v z )

T ( 0 )

T ( a , v ,

a z v z )

7 t 2 I ( a , v ,

a z v z )

a , T ( v , ) +

a 2 T ( v 2 )

7 t 2 a , I ( v , )

? t 2 a 2 I ( v 2 )

a , 7 , v ,

+ a 2 ? t 2 v 2

- ? t 2 a , v ]

- a z k z v z

a , ? t , v ,

- ? 2 a , v ,

a 2 7 t 2 v 2

a 2 7 t 2 v 2

a , ( ? t ,

- 7 t 2 ) v ,

+ a 2 ( ? 2

- ? 2 ) v 2

a 1 O \ ~ 1 _ ) " 2 ) V i

C o m o

7 t

K 2 ,

c o n c l u í m o s

q u e

A p l i c a n d o a g o r a T

X 1 1

e q u a ç ã o

o r i g i n a l

a l v ,

a z v z

t e m o s :

( T - > ¬ 1 ) ( a , v ,

+ z 2 v 2 ) z T ( o ) = o

T ( a , v ,

+ a v 2 ) - t , 1 ( a , v ,

+ z z 2 v 2 ) =

a T ( V 1 ) + a 2 T ( V 2 ) > 1 a i I ( V | ) 7 1 a 2 I ( V 2 ) :

a q v ,

+ a 2 7 t 2 v 2

- ? t , a , v ,

- À l a z v z

a , ? t , v ,

- 7 t ] a 1 v ,

+ a 2 ? t 2 v 2

- 7 t , a 2 v 2

a 1 ( ) * i i _ ) i ) V 1 + a 2 ( 7 2

_ ) | ) V 2

a 2 O z _ ) * l ) V z : V 0


29/56

T a m b é m ,

c o m o

c o n c l u í m o s .

q u e

L o g o

v e t o r e s

s ã o

l i n e a r m e n t e

i n d e p e n d e n t e s .

2 . 1 . 3

C o r o l á r i o :

S e n d o e s p a ç o

v e t o r i a l

d i m e n s ã o n

e T :

o p e r a d o r

l i n e a r c o m

a u t o v a l o r e s r e a i s

d i s t i n t o s , e n t ã o ,

p o s s u i

u m a b a s e

c u j o s

e l e m e n t o s

s ã o

t o d o s


d e T .

2 . 1 . 4

E x e m p l o :

S e j a

o p e r a d o r

l i n e a r

R 2 ,

j T ( X ,

2 y ,

4 y ) .

S e g u e

q u e a m a t r i z d e T

b a s e

c a n ô n i c a

^ = l i

p o l i n ô m i o


o p e r a d o r

d a d o

p o r :

1 - v t

â < - z t ( A - > t 1 ) =

= ( 1 ~ ) ( 4 - t ) + 2

= 4 - 7 - 4 k + ) t 2 + 2

X 2 - 5 ? t + 6

i f - 5 x + ó = . - 0

x , = 2

x z z s

L o g o ,

s ã o


C o m o

k z ,

t e m o s

u m a

b a s e

f o m l a d a

p e l o s



D e t e n n i n a r e m o s

o s a u t o v e t o r e s

u s a n d o

a d e n i ç ã o

d e a u t o e s p a ç o .

P a r a

P ( 2 )

{ ( × ,

R z l

T ( × ,

2 ( × z

Y ) }

~ { ( X z

R Z I

2 y ,

4 y )

( 2 × ,

2 y ) }

= { ( X , y ) € R 2 l X + 2 y = 2 × , - X + 4 y = 2 y }

{ ( × ,

R z l

2 y }

{ ( 2 y ,

R 2 }

= { y ( 2 , 1 ) 1 y

f 5 R }

= [ ( 2 , 1 ) ]

E n t ã o ,

V e t o r e s d o t i p o

P ( 2 )

{ y ( 2 ,

R } ,

s ã o


a s s o c i a d o s


30/56

P a r a

P ( 3 )

{ ( X ,

R 2 !

{ ( y ,

R 2 }

{ y ( 1 ,

[ ( 2 , 1 ) ]

E n t ã o ,

v e t o r e s d o

t i p o

P ( 3 )

{ y ( 1 ,

R } ,

s ã o


a s s o c i a d o s a

A s s i m ,

c o n j u n t o

{ ( 2 ,

1 ) ,

( 1 ,

1 ) }

u m a

b a s e d o

p o r t a n t o

d i a g o n a l i z a v e l

2 . 1 . 5

E x e m p l o :

S e j a

o p e r a d o r l i n e a r T :

R 3 ,

T ( x ,

( x ,

Z z ) ,

v e m

q u e :

m a t r i z d e T

n a b a s e c a n ô n i c a

- 2 - 1

p o l i n ô m i o


o p e r a d o r

1 - x

à e r ( A - m z

- 1 - x

~ 7 ~ ) ( - 1

- W 2 -

= - x 3 + 2 x 2 + x - 2

- f + 2 > G + > r - 2 : 0

) \ . 1 : 1 , > \ , z : - 1 ) \ . 3 : 2

L o g o ,

X 1 ,

s ã o o s

a u t o v a i o r e s

d e T .

{ ( X

R 2 |

T ( X z

3 ( X z

{ ( X ,

R 2 I

2 y z

4 y )

( 3 X ,

3 y ) }

{ ( × ,

R 2 !

+ 2 y

3 X , - X

4 y =

3 y }

. _ 2

_ 1 _

. - À


31/56

C o m o o s a u t o v a i o r e s s ã o

t o d o s d i s t i n t o s ,


a u t o v e t o r e s f o r m a m

u m a

b a s e

R 3 .

P a r a

d e t e r m i n a r


u s a r e m o s d e f i n i ç ã o


~ P a r a ? t , = 1 , t e m o s :

P ( 1 )

{ ( X z

R 3 | T ( X , Y , Z ) = 1 ( X Y Z ) }

= { ( X , Y , Z ) E R 3 { ( X z ~ 2 X - Y , 2 X + Y + 2 Z ) = ( X Y z Z ) }

= { ( x , y , z ) t - E R 3 | x = x , - 2 x - y = y , 2 x + y + 2 z = z }

= { ( X , Y , Z ) € R 3 I . X = - Y z Y = Z }

= { ( X z Y , Z ) E R 3 I X = - 2 , ! / = 2 }

{ ( - z ,

R 3 }

= { z ( - 1 , 1 , 1 ) | z E R }

= [ ( - 1 , 1 , 1 ) ]

L o g o ,

v e t o r e s

t i p o

P ( 1 )

{ z ( - 1 ,

s ã o


P a r a - 1 ,

t e m o s :

P ( - 1 )

{ ( X

T ( X ,

~ 1 ( X ,

{ ( X z

( X ,

~ Y ,

2 2 )

( - X , ~ Y z - 2 ) }

{ ( x ,

z ) E R 3 | X = É x , - 2 x - y = - y , 2 x + y + 2 z = - z }

= { ( x , y , z ) E R 3 | x = 0 , y = - 3 z }

{ ( 0 ,

~ 3 z ,

R 3 }

{ Z ( O ,

- 3 ,

_ 3 >

E n t ã o ,


P ( - 1 )

{ z ( 0 ,

- 3 ,

R } ,

s ã o o s


P a r a

t e m o s :

P Q ) { ( X z

T ( X z

Y z Z )

2 ( X z

Y z Z ) }

{ ( X :

( X

_ y n Z Z )

( Z X :

Z y v

{ ( X ,

2 - x ,

- 2 x

2 y , t 2 x


32/56

3 2

{ ( x , y , z ) € R 3 | x = 0 e y - = 0 }

{ ( O ,

z ) . €

= { z ( 0 , 0 , 1 ) ] z E R }

A s s i m ,

o s v e t o r e s

d o t i p o

P ( 2 )

( 0 ,

R } ,

s ã o


D e s s a

f o r m a ,

c o n j u n t o

{ ( - 1 ,

1 ) , ( 0 ,

- 3 ,

1 ) , ( 0 , 1 ) }

é u m a b a s e


T é d i a g o n a l i z á v e l .

2 . 1 . 6

E x e m p l 0 .

D a d o o p e r a d o r l i n e a r

R 2 *

R 2 ,

d e n i d o

p o r

T ( X

( S X

T e m o s

q u e ,

m a t r i z b a s e

c a n ô n i c a

p o l i n ô m i o

c a r a c t e r í s t i c o d o

o p e r a d o r

d a d o p o r :

5 ~ x

ó = z r ( A - M ) :

1 3 X

= ( 5 - ? ) ( 3 . - X ) - f l

= 1 5

- 5 ) - 3 ? t + ) t 2

8 7

8 )

+ 1 6

A s s i m ,

o ú n i c o a u t o v a l o r d e T

D e t e r m i n a r e m o s


a t r a v é s

d e n i ç ã o


P a r a ? = 4 ,

t e m o s

P ( 4 )

{ ( X z

T ( X

= 4 ( X

y ) }

{ ( X z

( 5 X

~ Y

3 5 / )

( 4 X z

4 > ) }

{ ( x , y ) E R 2 | 5 x - y = 4 x , x + 3 y = 4 y }

= { < , > f e R 2 | = y }

{ ( y ,

E R * }

= { y ( ( 1 1 ) | Y

= [ ( 1 , 1 ) ] ~


33/56

A s s i m , o s

v e t o r e s

d o t i p o

P ( 4 )

{ y ( 1 ,

s ã o a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s

a 7

C o m o

n ã o e x i s t e m

d o i s


L I d o

R 2 ,

e n t ã o ,

n ã o e x i s t e u m a b a s e

f o r m a d a

p o r a u t o v e t o r e s ,

L o g o ,

n ã o

d i a g o n a l i z á v e l .

2 . 1 . 7

T e o r e m a :

S e j a T :

V u m

o p e r a d o r l i n e a r . d i a g o n a l i z á v e l , e n t ã o ,

t e m

u m a

d e c o m p o s i ç ã o d o

t i p o

[ T ]

P D P 4 ,

o n d e

m a t r i z

d i a g o n a l

f o r m a d a i p e l o s


F a r e m o s u m a

v e r s ã o

r e d u z i d a


d e s t e

t e o r e m a ,

s e n d o

e s t a n o

c o m


d i s t i n t o s ,

p a r a o


é a n á l o g a .


S e j a

o p e r a d o r

l i n e a r

R 3 ,

q u a l a d m i t e a u t o v a l o r e s

X 1 ,

d i s t i n t o s ,

a s s o c i a d o s

a o s


v | ,


c o r o l á r i o d a

p r o p r i e d a d e a n t e r i o r n o s

g a r a n t e

q u e o c o n j u n t o

{ \ / 1 ,

V 2 ,

v 3 }

u m a

b a s e

D e s s a

f o n n a :

T ( v , ) = ? t , v ,

= 7 t , v ,

+ 0 v , + 0 v 3

T ( v 2 )

= 7 \ . 2 v 2

= 0 V ,

+ ? 2 v 2

+ 0 \ / 3

T ( v 3 )

7 3 v \ 3

O v , O V ,

7 t 3 v 3

O n d e

o p e r a d o r

r e p r e s e n t a d o

n a b a s e d o s a u t o v e t o r e s

p e l a m a t r i z

d i a g o n a l .

, [ T ] , ,

f o r m a d a

p e l o s

a u t o v a l o r e s n a d i a g o n a l p r i n c i p a l .

m a t r i z

c a n ô n i c a o p e r a d o r i s t o

[ T ]

e n t ã o ,

m a t r i z e s A

s ã o


p o r

r e p r e s e n t a r e m

m e s m o

o p e r a d o r

T e m b a s e s d i f e r e n t e s .

B a s e a d o

r e l a ç ã o

e n t r e

m a t r i z e s


p o d e m o s

e s c r e v e r :

M " A M

O n d e ,

a m a t r i z

m u d a n ç a

d e b a s e

p a r a

a b a s e

c a n ô n i c a

{ e ,

e z ,

e 3 } ,

s e n d o

= ( 1 . z 0 ,

0 ) , € z = ( 0 , 1 , 0 ) € s = ( 0 , 0 ,


34/56

C o m o

P o d e m o s

e s c r e v e r

r e l a ç ã o

a c i m a

s e g u i n t e

f o r m a :

0 1 1

M = [ I ] Ê

= C - P = r P = P

1 > " A P

[ T 1

P D P

. 3 4

o n d e P

m a t r i z

c u j a s c o l u n a s s ã o


d o o p e r a d o r

2 . 1 . 8

E x e m p l o :

D o e x e m p l o

( 2 . 1 . 5 )

t e m o s

q u e o

o p e r a d o r l i n e a r d i a g o n a l i z á v e l , e n t ã o ,

e x i s t e u m a

m a t r i z !

i n v e r s í v e l

P f o r m a d a

p e l o s


t a l

q u e

P " A P

o n d e

u m a

m a t r i z

d i a g o n a l

c u j o s

e l e m e n t o s

d i a g o n a l

p r i n c i p a l s ã o

a u t o v a l o r e s d e

D e f a t o :

A = { - 2

z - 1

0 } , P = { 1

O i l ,

P ] =

1 ~ 2

- 1 0 0

P 1 A P =

- _ . . - . Â

0 - 2

~ 1 0

5 5 1

P * A P =

i l l

1 0 0

P " A P =

0 0 2

1 2 l 1


35/56

2 . 1 . 9

T e o r e m a :

S e j a

u m .

e s p a ç o

v e t o r i a l

d e d i m e n s ã o

n i t a s o b r e

o p e r a d o r

l i n e a r

d i a g o n a l i z á v e l

s e ,

s o m e n t e s e :

p o l i n ô m i o

c a r a c t e r í s t i c o d e

t e m t o d a s

r a í z e s

m u l t i p l i c i d a d e a l g é b r i c a c a d a

a u t o v a l o r

i g u a l

d i m e n s ã o

V ( ? ) .


( = = = > )

S e j a

B = { u , , . . . , u , l , . . . , k , - - . , k ( } u m a

b a s e

d e - V

f o r m a d a d e


m o d o

q u e e m c a d a

= { , , . . . , 1 1 r } e s t ã o

t o d o s


a u t o v a l o r

R ( i

. . . ,

k ) .

m a t r i z d e T

r e l a ç ã o

e s s a

b a s e

[ T ] B =

p o r t a n t o , q u e

P T ( t )

i n d e p e n d e

r e p r e s e n t a ç ã o

m a t r i c i a l

( Í ) :

- Í ) r

- Í ) r k

c u j a s r a í z e s

e s t ã o

t o d a s e m

P a r a

c a d a

í n d i c e

( 1 5

s e j a

I - I

s u b e s p a ç o

g e r a d o

p o r

B ,

d e v e m o s m o s t r a r

q u e

V ( 7 ) ~ .

i n c l u s ã o

( ? )

f á c i l d e

v e r i c a r ,

p o i s

e l e m e n t o

é u m a

c o m b i n a ç ã o l i n e a r

p o r t a n t o ,

a u t o v e t o r

c u j o

a u t o v a l o r

a s s o c i a d o

i q .

A g o r a ,

p a r a

p r o v a r q u e

V ( ? t )

t o m a r e m o s

V ( ? )

r e l a ç ã o

à b a s e

u = u , , u , , + . . . + x k r k u k r k _

E n t ã o :

7 t , o t , , u H + . . . + ? 1 a , I . . . + 7 , o t k , u k , + . . . + ) , 1 k , k u k r k

l q u

T ( u )

o t , , T ( u , , ) + . . . +

o t k r k T ( u k r k

X , 1 , , u , , + . . . +

) t , 1 , , | u , , |

+ . . . +

l t k a m u k ,

. . . +

l t k u m k u k r k


36/56

C o m p a r a n d o a

p r i m e i r a

a ú l t i m a


l i n e a r

a c i m a o b t e m o s :

x i a z i X z u z i

- - ~

l i a m , X k a z f ,

? 1 a | i : ? | < a | u - - - ) 1 a i < r k

: À k a k r k

P a r t i n d o d e

) z , 0 t 2 ,

- ? 2 o t 2 ,

t e m o s ,

( X 1

X 2 )

o t z l .

C o m o

( X 1 X 2 )

d i f e r e n t e

z e r o ,

e n t ã o

o t z |

t e m q u e

s e r

z e r o ,

a s s i m :

1 2 , = . . . = o , &

= . . . = a 1 < , = . . . = o . , q

D o n d e

= , l 1 + . . . + ( 1 L l , , |

e p o r t a n t o

H .

C o n c l u í m o s

p o r t a n t o m o d o

a n á l o g o

q u e

V ( ? t )

p a r a t o d o

k ) .

D a s

i g u a l d a d e s

V ( ? t )

t e m o s

q u e d i m

V ( ? t )

d i m

q u e m u l t i p l i c i d a d e

a l g é b r i c a

7 .

( < : )

P o r h i p ó t e s e

o p o l i n ô m i o


p o d e

s e r

f a t o r a d o

s o b r e

s e g u i n t e

f o r m a :

P T f = < ¬

- o f *

. . . W

- o f *

o n d e

? j

s e í

+ . . . + r k

= g f d d

P T ( t )

d i m v n .

m u i ú p i i e i d a d e

a l g é b r i c a

c a d a d o s


?

p o i s ,

r ( i

k ) .

P o r

h i p ó t e s e s

a i n d a ,

d i m V ( ? t )

r ( i

. . .

S e j a

V O )

. . .

V ( 7 t k )

m o s t r e m o s

q u e

V ( ? )

V ( ? t )

{ 0 } ,

s e m p r e

q u e

f a t o ,

O q )

V ( 7 q - ) ,

e n t ã o

T ( u )

7 t ~ u

l j u

d a í

( ?

7 ) u

C o m o

7 t

l j ,

e n t ã o


V ( ? t , )

( V ( 7 )

. _ .

V ( 7 , _

1 ) )

{ 0 }

k ) ,

s e j a ,

t e m o s

u m a

s o m a

d i r e t a .

V o a )

. . . A

v o d ) .

S e g u e

q u e ,

d i m d i m

V ( ? t )

_ . .

d i m

V ( 7 t k )

r + . . .

s e n d o

s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e c u j a

d i m e n s ã o

e n t ã o

T o m a n d o

u m a

b a s e

V ( ? )

. . .

k ) ,

e n t ã o

é u m a b a s e

c o n s t i t u í d a


D o n d e



37/56

O b s e r v a ç õ e s :

1 )

S e n d o

o p e r a d o r

l i n e a r .

a u t o v a l o r

p o l i n ô m i o


P T ( x )

d e s s e

o p e r a d o r

f o r d o

t i p o

x ) " ,

d i z e m o s

q u e

u m a r a i z

m ú l t i p l a

P T ( x )

e c o m m u l t i p l i c i d a d e

a l g é b r i c a n .

S e j a m

s u b e s p a ç o s

v e t o r i a i s

e s p a ç o

v e t o r i a l

{ 0 } ,

d i z - s e

q u e

u m a

s o m a d i r e t a d o s

s u b e s p a ç o s

N o t a ç ã o :

C - B

2 . 1 . 1 0

E x e m p l o :

S e j a o p e r a d o r l i n e a r

R 2 - *

R 2 ,

d e n i d o

p o r

T ( X ,

( 9 X

6 y ) -

T e m o s

q u e :

p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o d o

o p e r a d o r

é d a d o

p o r

d ( A * x 1 )

ó q l

= ( 9 - x ) ( ó _ i ) _ 4

= 5 4 - 9 7 \ ~ 6 7 + 7 3 - 4

) 8 ~ 1 5 À + 5 0

X 2 - l 5 ? z + 5 0 = O

7 = 1 0 ,

7 z = 5

L o g o , a u t o v a l o r e s s ã o : 1 0 e

s a r e m o s a

d e n i ç ã o


p a r a


d o s


P a r a

1 0 ,

t e m o s :

P ( 1 0 )

{ ( X ,

R 2 |

T ( > , 1 0 ( X ,

I / ) }

{ ( X ,

R 2 !

( 9 X 6 y ) = ( 1 0 x , 1 0 y ) }

{ ( x ,

R 2 ] 9 X +

= 1 0 x ,

6 y = 1 0 y }

{ ( X z Y ) € R 2 | X = Y }

{ < y , y E R 2 }

= { Y ( 1 z 1 ) l Y € R }

= [ ( 1 z 1 ) ]

A s s i m , V e t o r e s

t i p o

P ( 1 0 " ) =

{ y ( l ,

l )

s ã o


a s s o c i a d o s


38/56

3 1 8

P a r a

o b t e m o s :

P ( 5 )

{ ( X _ ,

R Z Í

T ( X ,

5 ( X ,

y ) }

{ ( x ,

R 2 |

( 9 x

ó y )

( S X ,

5 y ) }

{ ( x , y )

E R 2 l 9 x + y = 5 x ,

4 x + 6 y = 5 y }

= K & Y ) E R y = 4 W }

{ ( x ,

4 x )

R 2 }

= { x ( l , - 4 ) | x E R }

= = [ ( 1 , - 4 ) ]

E n t ã o

v e t o r e s d o

t i p o

P ( 5 ) { x ( l

s ã o

a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s a

O b s e r v e

q u e

r a í z e s d o

p o l i n ô m i o


s ã o

t o d a s

r e a i s

m u l t i p l i c i d a d e a l g é b r i c a

d e c a d a

a u t o v a l o r

7 t

é i g u a l à

d i m e n s ã o

s e u

r e s p e c t i v o

a u t o -

e s p a ç o

V ( ? z ) .

L o g o ,


P o r t a n t o , e x i s t e

u m a

m a t r i z i n v e r s í v e l

f o r m a d a

p o r


t a l

q u e

P f l

d i a g o n a l .

, P z

, P =

V e m

T e m o s

q u e :

1 - I > 1 - ^

L J 1 - I

P " A P

P " A P =

P * A P =

O W L / 1 - J > 1 - * 1 - >

C > L l | > - *

5 1 0

- 2 0

i l l - 1 4


39/56

2 . 1 . 1 1

E x e m p l o :

D a d o o p e r a d o r l i n e a r

T : R 3

- R 3 ,

d e n i d o p o r

T ( x ,

( 3 x

4 2 ,

5 2 ,

- 2 ) .

T e m o s

q u e a m a t r i z T n a

b a s e

c a n ô n i c a

q u e

o p o l i n ô m i o


d e T é

d a d o

p o r

3 - 9 ,

d e t ( A - X I )

3 - X

¬ > >

( - 1

- >

= - 9 8

+ 5 ? 2 - 3 ) - 9

- 9 3 5 7 3 - 3 7 - 9

Ó . .

= x z = 3 , x 3

= - 1

A s s i m , a u t o v a l o r e s

d e T

s ã o :

- 1 ,

s e n d o

o p r i m e i r o

c o m m u l t i p l i c i d a d e

P a r a

d e t e r m i n a r


u s a r e m o s

d e f i n i ç ã o


P a r a

t e m o s :

P ( 3 )

{ ( X z

( X

3 ( X

Z ) }

{ ( x ,

( 3 x

4 2 ,

5 2 ,

- 2 )

( 3 x ,

3 y ,

3 2 ) }

{ ( x , . y ,

- 4 2

3 x ,

3 y ,

3 2 }

= { ( x , y , 2 ) E R 3 | 2 = 0 }

{ ( X

. = { x ( 1 , 0 , 0 ) + y ( O , 1 , 0 ) | x e y E R }

[ ( 1 ,

O ) , ( 0 , 1 ,

0 ) ]

P a r a

- 1 ,

t e m o s :

P ( 3 )

{ ( X ,

( X ,

- 1 ( X ,

Z ) }

{ ( X

( g x

4 Z >

5 Z >

_ Z )

( _ X _ y = _ Z ) }

{ ( x ,

3 x - 4 2 = - X ,

3 y +

5 2 = - y , - 2 = - 2 }

= { ( x , y , 2 ) E R 3 | x = z , y =

- Z 2 }


40/56

{ ( Z :

_ Ã Z

= { z ( 1 ,

- Ê ,

l ) { z E R }

= t < 1 ,

- , 1 1

N o t e

q u e r a í z e s d o p o l i n ô m i o


s a o

t o d a s r e a i s


a l g é b r i c a

d e c a d a

i g u a l à

d i m e n s ã o

s e u

r e s p e c t i v o


E n t ã o ,

d i a g o n a l i z á v e l , o u

s e j a ,

e x i s t e

u m a m a t r i z


t a l

q u e

P A P

u m a m a t r i z

d i a g o n a l

f o r m a d a

p e l o s


T e m o s

q u e :

3 0 _ 4 1 0 1

1 0 - 1

A = 0 3 5 , 1 > = 0 l 1 - - É P - z o i ã

0 0 - 1

0 0 1

0 0 1

1 0 - 1 3 0 - 4 1 0 1

P - * A P = 0 1 Ê 0 3 5 0 1 - Í

0 0 1 0 0 - 1 0 0 1 .

~ 3 0 0

= 0 3 0

0 0 - 1

2 . 2

D i a g o n a l i z a ç ã o

m a t r i z e s

D a í

2 . 2 . 1


D a d a u m a

m a t r i z

M ( n ,

R ) .

b a s e c a n ô n i c a

R " ,

e x i s t e

o p e r a d o r

l i n e a r

R " -

a s s o c i a d o a

t a l

q u e

[ T ]

m a t r i z

d i z


s e ,

e s o m e n t e

s e ,

o p e r a d o r a s s o c i a d o d i a g o n a l i z á v e l .

S e A

d i a g o n a l i z á v e l ,

e n t ã o ,

e x i s t i r á d e

m a n e i r a

i n t e i r a m e n t e

a n á l o g a a

o p e r a d o r e s ,

m a t r i z e s

d e a u t o v e t o r e s e m a t r i z

d i a g o n a l


t a l q u e

M D M 4 .

C o m o A

s ã o

m a t r i z e s d e

u m m e s m o

o p e r a d o r

l i n e a r ,

e n t ã o s ã o s e m e l h a n t e s ,

i n d i c a n n o s

p o r

m a t r i z

m u d a n ç a

d e b a s e d e p a r a

t e m o s :


41/56

M l A M

f a t o ,

s e n d o

C = { ( 1 , 0 , . . . , 0 ) ; . . . ; ( 0 , 0 , . . . , O ,

l ) } c B = { ( X , . . . , X n ) ; . . . ; ( X , , | , . . . , X , ¬ n ) } ,

e n t ã o :

X 1 1

X z t

X 2 2 x n z

X z n

s e j a ,

c o m p o n e n t e s d o

n - é s i m o

a u t o v e t o r

f o r m a m

n - é s i m a

c o l u n a

2 . 2 . 2

E x e m p l o :

D a d a

m a t r i z

v a m o s

m o s t r a r

q u e


0 0 3

d u e

e x i s t e

u m a

m a t r i z


f o r m a d a

p o r


[ T ]

o n d e

M J A M

d i a g o n a l .

T e m o s q u e

o o p e r a d o r

a s s o c i a d o

à m a t r i z

T ( x ,

( 2 x

4 z ,

3 z )

p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o é d a d o p o r :

d e t ( A - M ) :

1 - À

1 - 9

l \ )

= ( 2 - , ) ( 1 - x ) ( 3 ¬ , )

= - > 8 + ó 3 - 1 1 i + ó

- > + ó 8 _ 1 1 > t + ó = o

) t = 1 , ? t z = 2 ,

7 z 3 = 3

A s s i m ,

o s a u t o v a l o r e s d e

s ã o :

C o m o o s a u t o v a l o r e s

s ã o

t o d o s

d i s t i n t o s ,

e n t ã o ,

t e m o s

u m a b a s e

f o n n a d a

p o r

a u t o v e t o r e s d e

[ T ] C


42/56

c á l c u l o

s i m p l e s

p o r

m e i o d a

d e n i ç ã o


n o s

g a r a n t e q u e :

O s v e t o r e s t i p o

P ( 1 )

( - 3 ,

s ã o o s



P ( 2 )

( l ,

s ã o o s


a s s o c i a d o s


P ( 3 )

{ z ( - 7 ,

- 2 ,

s ã o


a s s o c i a d o s

D e s s a

f o n n a ,

o c o n j u n t o

{ ( - 3 ,

0 ) , (

0 ) , ( - 7 ,

~ 2 ,

l ) }

u m a

b a s e d o


é d i a g o n a l i z á v e l .

C o m o A


e n t ã o ,

e x i s t e m

m a t r i z e s

t a l

q u e

M D M 4 .

S e g u e q u e :

2 3 - 1

- 3 1 - 3 7

0 1 2

A = 0 1 - 4 ; M = 1 0 - 2 ; M " = 1 3 1 3

0 0 3

0 0 1

0 0 1

0 1 2 2 3 - 1 - 3 1 ~ 7

M A M = 1

B o

- A M 1

- z i

0 1 1 0

0 1 2 - 3 1 - 7

M " A M = 2

2 ó 1

M " A M =

O 2 0

O 0 3

2 . 3

A p l i c a ç ã o d i a g o n a l i z a ç ã o :

p o t ê n c i a s d e

u m a

m a t r i z

S e j a

u m a

m a t r i z d e

o r d e m

p o t ê n c i a s s ã o

d e n i d a s d a s e g u i n t e

f o r m a :

A A A . . . A

s e n d o

G e r a l m e n t e

é m u i t o d i ñ c i l o c á l c u l o

A p ,

s o b r e t u d o q u a n d o

p , v e z e s

n u m e r o e v e n t u a l m e n t e

g r a n d e . M a s

d i a g o n a l i z a v e l ,

c a l c u l o

m a i s

s i m p l e s .

O r a ,

u m a m a t r i z


e n t ã o ,

e x i s t e

u m a m a t r i z


t a l

q u e

M 1 A M

D , o n d e


43/56

m a t r i z

d i a g o n a l d o s a u t o v a l o r e s

A l é m

d i s s o ,

t e m o s

q u e :

D z z , D 3 = q

, . . . , D ° =

P a r t i n d o

M " A M

m u l t i p l i c a n d o

i g u a l d a d e

à e s q u e r d a

p o r

d i r e i t a

p o r

o b t e m o s

M D M 4 .

C o m o

A ° =

A A A .

L í _ . ¬ , _ ; _ J

p v e z e s

( M D M )

T e m o s

q u e :

( M D M ~ )

( M D M - )

( M D M - 1 )

( M D M 1 )

v e z e s

M D ( M - * M )

D ( M - 1 M ) D ( M - L M )

D M -

l z y l u v u t m v

L o g o ,

M D P M *

o n d e D p

m a t r i z

d i a g o n a l

e l e v a d a u m a p o t ê n c i a

n o s

e l e m e n t o s

d i a g o n a l

m a t r i z

c u j a s

c o l u n a s

s ã o o s


2 . 3 . 1

E x e m p l r

C a l c u l e

A l o ,

o n d e

S o l u ç ã o :

T e m o s q u e

o p e r a d o r a s s o c i a d o

T ( x ,

( 4 x

3 y ,

P r i m e i r a m e n t e

v e r e m o s s e d i a g o n a l i z á v e l ,

c a l c u l a n d o

s e u s



c o r r e s p o n d e n t e s .


44/56

p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o

d a d o p o r

A s s i m ,

o s a u t o v a l o r e s

s ã o :

F a z e n d o

d e v i d o s

c á l c u l o s

a t r a v é s

d e n i ç ã o

a u t o e s p a ç o ,

v e r e m o s q u e

P ( 2 )

{ y ( 3 ,

a s s o c i a d o s a

P ( 1 )

{ y ( 1 ,

a s s o c i a d o s s ã o


[ T ] C

A . S e g u e q u e o c o n j u n t o

{ ( 3 ,

2 ) , ( 1 ,

1 ) }

L I .

L o g o ,

d i a g o n a l i z a v e l

s e g u i d a c o n s i d e r e m o s :

4 - x

m A - x n z

l J

z 4 4 - m p i - w + ó

- 4 - i 4 > + 7 L + ? f

: X 2

- 3 X + 2

Q - z x x - n z o

) \ . | : 2 ,

Ã z z l

) \ . ] : 2 € \ . z : 1 .

, n z

z n i z

C o m o

V e m

q u e :

P o r t a n t o ,

~ A p

M D p M - 1

A I O

M D Í O M - 1

, 0 _ 3 1 1 O 2 4

O 1 ~

1 0 _ f 3 o 7 2

_ 2 m m

1 i 1

m _ d 3 o 7 o

- 3 0 6 9

_ _ 2 o 4 ó

- 2 Q 4 5 }

: i i i

o i i

i i i


45/56

4 0 - 2

2 . 3 . 2

E x e m p l o :

D a d a

a " m a t r i z _ A


C o m o

f o i v i s t o

a n t e r i o n n e n t e ,

m a t r i z "

s e j a ,

M " A M

A c h e m o s u m a

f ó r m u l a

p a r a

A p ,

o n d e

p _ é

i n t e i r o

p o s i t i v o

T e m o s :

1 2 d i a g o n a l i z a

5 0 = D .

0 4 _

0 0 1

j á s a b e m o s

q u e :

2 1 4

- 1 0 - 2

M D p M 1 ,

e n t ã o :

A p :

- - 2

A p :

1 0 O O

~ 2 - 5 °

- 1 - 4 P

2 - 4 P

- 2 ~ 5 ° + 2 ~ 4

A P :

2 - 5 ° - 2 - 4 P

s f

4 ~ 5 ° - 4 ~ 4 P

- 2 ( 5 P - 4 ° )

A P :

2 ( 5 P - 4 P )

4 ( 5 P - 4 P )


46/56

D E c o M P o s 1 Ç Ã o

M A T R I Z E S

V i m o s n o . c a p í t u l o

d o i s ,


u m a

m a t r i z p o r d i a g o n a l i z a ç ã o

t i p o

M D M J ,

o n d e m a t r i z c u j a s

c o l u n a s s ã o


m a t r i z

d i a g o n a l .

F u n d a m e n t a d o

n a s


[ 3 ] ,

[ 4 ]

[ 5 ] ,

e s t u d a r e m o s

a g o r a

o u t r a


f o r m a

n a q u a l L u m a m a t r i z

t r i a n g u l a r

i n f e r i o r

e s c a l o n a d a .

3 . 1


P o d e m o s

r e d u z i r a s

p r i n c i p a i s

o p e r a ç õ e s

e s c a l o n a m e n t o

à t r ê s

o p e r a ç õ e s

e l e m e n t a r e s

s o b r e

l i n h a s d e u m a

m a t r i z :

( 1 )

T r o c a r

p o s i ç ã o

d e d u a s

l i n h a s ;

( 2 )

S o m a r

a u m a l i n h a m ú l t i p l o

o u t r a

l i n h a ;

( 3 )

M u l t i p l i c a r

u m a

l i n h a p o r u m n ú m e r o

d i f e r e n t e

d e z e r o .

C a d a

u m a d e s s a s t r ê s

o p e r a ç õ e s

p o d e

s e r

i n t e r p r e t a d a

c o m o

m u l t i p l i c a ç ã o

e s q u e r d a p o r

u m a

m a t r i z

i n v e r s i v e l

e s p e c i a l ,

d e n o m i n a d a

m a t r i z e l e m e n t a r ,

s e j a ,

u m a m a t r i z

M ( n ,

q u e

r e s u l t a

a p l i c a ç ã o

u m a

o p e r a ç ã o

e l e m e n t a r à

m a t r i z

i d e n t i d a d e

I m .

- D e s s a

f o r m a

t r ê s t i p o s

m a t r i z e s e l e m e n t a r e s .

O b s e r v e

o s e x e m p l o s

a b a i x o ,

t i p o

0 1 0

1 0 * 0

1 0 0

1 0 0 , - 0 1 0 , 0 × 0

0 0 1

( 1 0 1 0

0 0 1

m a t r i z e s a c i m a

s ã o

o b t i d a s

p a r t i r

I 3 ,

a t r a v é s

d a s

o p e r a ç õ e s

L - L z ,

0 i L z


S u p o n h a m o s

q u e ,

d u r a n t e p r o c e s s o

e s c a l o n a m e n t o

d e u m a d a d a

m a t r i z

M ( n ,

n ã o h a j a n e c e s s i d a d e e f e t u a r

p e r m u t a ç õ e s

l i n h a s .

E n t ã o ,

p o d e m o s

a r m a r

q u e

e x i s t e m

m a t r i z e s e l e m e n t a r e s

M , M 2 ,

. . . ,

M k ,

t a i s

q u e :

M k . . .

M 1 A

o n d e é

u m a m a t r i z e s c a l o n a d a . C o m o

u m a

m a t r i z q u a d r a d a ,

t r i a n g u l a r

s u p e r i o r .

C o m o

f o i

o b s e r v a d o ,

c a d a

m a t r i z

n ã o - s i n g u l a r

( d e t M 0 ) .

L o g o ,

p r o d u t o

M 2 M

i n v e r s i v e l ,

i s t o e x i s t e

( M k

l \ / I z M ) l ,

t a l

q u e

( M k . . . M z M 1 ) * .


47/56

m a t r i z

( M k . . . M z M ; ) l

u m a m a t r i z

t r i a n g u l a r

i n f e r i o r

c o m

e l e m e n t o s d i a g o n a i s

t o d o s

i g u a i s à q u a l c h a m a r e m o s d e o n d e

M ( n , R ) ,

s e j a ,

D e s s a

f o r m a

o b t i v e m o s


m a t r i z

c o m o p r o d u t o

u m a

m a t r i z

t r i a n g u l a r

i n f e r i o r

L p o r

u m a m a t r i z t r i a n g u l a r

s u p e r i o r

E n u n c i a r e m o s f o r m a l m e n t e o r e s u l t a d o

a c i m a

c o m o

t e o r e m a :

3 . 1 . 1

T e o r e m a :

S e j

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