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TEMA 6 Movimiento oscilatorio

1.- Movimiento armónico simple (M.A.S.) 2.- Oscilaciones amortiguadas 3.- Oscilaciones forzadas. Resonancia

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID FÍSICA I

TEMA 6: MOVIMIENTO OSCILATORIO

1.- Movimiento armónico simple 1.1.- Estudio dinámico del M.A.S.

1.2.- Estudio cinemático del M.A.S.

• Posición, velocidad y aceleración • Representación de Fresnel

1.3.- Estudio energético del M.A.S.

1.4.- Ejemplos de M.A.S.

• Péndulo simple • Péndulo físico • Péndulo de torsión



1.1.-Estudio dinámico del M.A.S. El M.A.S. es la situación ideal de una oscilación perfecta, repetida de forma indefinida en el tiempo.

Para hacer el estudio dinámico, veamos el ejemplo de una masa en un muelle, que ilustra muy bien el M.A.S.

mg

kx0

→→=∑ amF

En esta situación de equilibrio

mg-kx0 = 0

DSL

(sólo hay movimiento en una dirección, llamémosla x)



→→=∑ amF

Si ahora estiramos adicionalmente el muelle (situación fuera del equilibrio):

••=+ xm )xmg-k(x o

••=−− xm kxkxmg o

••=− xm kx 0x

mkx =+

••

Por la condición de equilibrio



Siempre que tengamos una ecuación diferencial de la forma:

0 x c x =+••

magnitud de posición derivada dos veces respecto al tiempo

cte.

magnitud de posición sin derivar

en que la aceleración sea proporcional al desplazamiento, estaremos ante un M.A.S., donde c se suele escribir como ω2

0

0xmkx =+

••

En el caso anterior:

0xx 20 =ω+

••

mk2

0 =ωmk

0 =ωcon:



1.2.- Estudio cinemático del M.A.S.

La solución de la ecuación diferencial vista es:

( )ϕ+ω= tsenAx(t) 00

t cos Ct sen Cx(t) 0201 ω+ω=

o también:

mk

0 =ω

siendo:

≡ frecuencia angular (natural) del sistema

(A0, ϕ) ó (C1, C2) ≡ constantes de integración

(dependen de las condiciones iniciales)

● Posición, velocidad y aceleración

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/shm/shm_s.htm




- Analicemos la expresión que nos da la posición de la partícula:


◙ A0 ≡amplitud máxima elongación (respecto a la posición de equilibrio)

◙ ϕ ≡desfase (también llamado cte de fase, fase inicial, etc.)



Notemos que en t = 0 x(t=0)=x0=A0 senϕ

ϕ viene dado por las condiciones iniciales (c.i.)

— Si el movimiento empieza en t=0:

x(t=0)=0=A0 senϕ senϕ=0 ϕ = 0

— Si la partícula en t=0 está en la posición máxima:

x(t=0)=A0=A0senϕ sen ϕ=1 ϕ = π/2

Así: ϕ > 0

“adelanto” de la onda

( )tsenAx(t) 00 ω=

( )2tsenAx(t) 00 π+ω=



◙ T ≡periodo

El tiempo que transcurre entre dos posiciones análogas (de máx. a máx., de mín. a mín., etc.) se denomina periodo.

Puesto que se repite el valor de x, eso es equivalente a que la fase aumente en 2π:

( ) ( )ϕ+ω=π+ϕ+ω tsen2tsen 00

π

ω==ν

2T1 0

Así: π+ϕ+ω=ϕ++ω 2tT)(t 00

0

2Tω

π=

π=ω 2T0

≡ periodo (en segundos)

◙ ν ≡ frecuencia

Se define como el nº de oscilaciones en un segundo. Así:

1 oscilación

ν 1 s

T (segundos) πν=ω 20

(unidades S.I. de ν ≡ s-1 = Hertz)



- A partir de la posición derivemos para obtener la velocidad de la partícula:


Puesto que:

derivando:

( )ϕ+ωω==•

tcosAxv 000

De nuevo se trata de una sinusoide. Notemos que: ( ) ( )2/sencos π+α=α

Así:

( )ϕ+ω= tcosAx(t) 00

( ) ( )2/tsenAtcosAxv 000000 π+ϕ+ωω=ϕ+ωω==•

Por tanto, la velocidad es una sinusoide:

• de amplitud A0ω0

• adelantada π/2 respecto a la posición



- A partir de la velocidad derivemos para obtener la aceleración de la partícula:

Puesto que:

derivando:

( )ϕ+ωω==•

tcosAxv 000

La aceleración es por tanto una sinusoide:

• de amplitud A0ω20

• en oposición de fase a la posición

( ) ( )π+ϕ+ωω=ϕ+ωω−==••

tsenAtsenAxa 02000

200



Cuestión 6.1

Considérese una masa de 100 g unida a un muelle (k=100 N/m). En el instante inicial la posición de la masa está situada a 1 cm de la posición de equilibrio y tiene una velocidad hacia la izquierda de 50 cm/s. Escribir la ecuación del MAS correspondiente.



● Representación de Fresnel

Veamos una representación interesante del MAS. Consideremos una partícula en una circunferencia de radio A0 con movimiento circular uniforme de velocidad angular ω0 (constante). Esta partícula se representa por su vector de posición o fasor.

La proyección de este movimiento sobre el eje x es:

x=A0sen(ω0t+ϕ)

Al recorrer Q (extremo del fasor) la circunferencia, la proyección P recorre el eje x pasando por los extremos A0 y –A0 de forma oscilatoria.



La velocidad de la partícula Q tiene módulo ω0A0 y es un vector tangente a la circunferencia en cada punto

v=A0ω0cos(ω0t+ϕ)

La aceleración de la partícula Q (aceleración centrípeta únicamente) es un vector de módulo ω2

0A0 dirigido hacia el centro de la circunferencia en cada punto

a=-A0ω20sen(ω0t+ϕ)

La proyección de este vector velocidad sobre el eje x es:

La proyección de este vector aceleración sobre el eje x es:



1.3.- Estudio energético del M.A.S. La energía mecánica es (se trata de un sistema conservativo):

ctekx21mv

21UEE 22

cm =+=+=

donde: ( ) ( )ϕ+ωω=ϕ+ω= tcosA; vtsenAx 00000

( ) ( )

( ) ( )[ ] 200

20

220

022

0o22

020

22m

kA21tsentcoskA

21

tsenkA21tcosmA

21kx

21mv

21E

=ϕ+ω+ϕ+ω=

=ϕ+ω+ϕ+ωω=+=

Así:

(ya que: ) k=mω20

20m kA

21E =

20m A E ∝

Tenemos entonces:

mk

0 =ω

http://www.edumedia-sciences.com/es/a229-conservacion-de-la-energia



http://www.edumedia-sciences.com/es/a229-conservacion-de-la-energia

Cuestión 6.2

Un cuerpo de 1.5 kg que alarga un muelle en 2.8 cm respecto a su longitud natural cuando cuelga de él en reposo, oscila con una amplitud de 2.2 cm. Calcula la energía cinética máxima del cuerpo.



1.4.- Ejemplos de M.A.S. ● Péndulo simple

Consideremos una masa unida a un hilo inextensible:

Estudio dinámico: →→

=∑ amF

1.- Equilibrio:

2.- Fuera del equilibrio:

mg

T

T-mg=0

mg

mgcosθ mgsenθ

t)

n)

n) T–mgcosθ=mv2/L α==θ− mLmamgsent) t

0senLg

=θ+θ••

T

1.- Equilibrio

2.- Fuera del equilibrio



Esto no es un MAS. Sólo si θ muy pequeño se tiene:

θ ↓↓ sen θ ≈ θ

M.A.S.

Como ya hemos visto, la solución es:

Lg

0 =ω( )ϕ+ωθ=θ tsen(t) 0max gL2T π=

Estudio energético del péndulo simple:

0Lg

=θ+θ••

con:

2sen2mgL )cos1mgL(

) cosmg(L-LmghU2 θ

=θ−=

=θ==

22

C Lm21mv

21E

θ==

•

Em=cte=EC+U



Así:

cte2

mgLsen2mL21

2mgLsen2Lm

21UEEE 2

222

2

Cm =θ

+θ=θ

+

θ=+=≡

••

22

mL2)

2mgLsen2(E

dtd θ

−=θ

=θ•

2sen

mgL2E

Lg4

d

)2

mgLsen2(EmL2

ddt22

2θ

−

θ=

θ−

θ=

2sen

mgL2E

dgL

21dt

2 θ−

θ=

http://www.educaplus.org/play-128-conservaci%C3%B3n-de-la-energ%C3%ADa-en-el-p%C3%A9ndulo.html




















Notemos que es una función periódica de límites 0 y 1. Por

consiguiente: será: 2

mgLsen2U 2 θ=

Nótese que:

■ Si E>2mgL movimiento no oscilatorio (movimiento circular)

■ Si E<2mgL movimiento oscilatorio

Calculemos el periodo:

+θ

+

θ

+π

=θ

−

θ∫=

θ−

θ∫=∫=

θθ

... 2

sen83

2sen

211

gL2

2sen

mgL2E

dgL2

2sen

mgL2E

dgL

214dtT

max42

max22

2020

T

0

maxmax

2sen2 θ



● Péndulo físico Un péndulo físico es cualquier masa volúmica no puntual (sólido rígido) que oscila en torno a un cierto punto de sí misma.

Estudio dinámico: tenemos una fuerza (el peso) aplicada en el C.M. que da lugar a un giro en torno al punto O:

→→α=∑ IM

0senI

mgL=θ+θ

••

2

2

dtd

IMθ

=∑

→→→= F x dM θ= mgLsenM

donde hacemos los cálculos respecto al punto O.

El momento del peso respecto a O es:

Es un momento recuperador: si θ>0 M<0

θ−= mgLsenM

θ−=θ

mgLsendtd

I 2

2Así:



Esto tampoco es un M.A.S., excepto si θ muy pequeño, en cuyo caso:

θ ↓↓ senθ ≈ θ

M.A.S.

La solución es:

ImgL

0 =ω( )ϕ+ωθ=θ tsen(t) 0max

mgLI2T π=

0I

mgL=θ+θ

••

con:



● Péndulo de torsión Un péndulo de torsión consiste en una masa unida a un hilo que está girado (torsionado). Debido a la torsión el hilo gira y se produce un movimiento oscilatorio. Con el giro se produce un momento recuperador (que es proporcional al ángulo girado):

0θΙτθ =+

••

τθ−==θ

Mdtd

I 2

2

siendo τ ≡ cte de torsión del hilo

θ∝ M τθ−=M

Estudio dinámico: α= IM

MAS

I0τ

=ω

( )ϕ+ωθ=θ tsen(t) 0max

τπ=

I2Tcon:

Por tanto:

La solución es:



Cuestión 6.3

Un péndulo simple de 0.55 m de largo se mueve 7º a un lado y se suelta. ¿Cuánto tarda la pesa del péndulo en alcanzar su velocidad máxima?



2.- Oscilaciones amortiguadas

2.1.- Estudio dinámico con amortiguamiento

2.2.- Análisis del movimiento con amortiguamiento

• Amortiguamiento débil • Amortiguamiento crítico • Amortiguamiento supercrítico



Hasta ahora hemos considerado la situación ideal en la que el movimiento es indefinido, pero en realidad observamos que la oscilación cesa al cabo de unos segundos. El movimiento está amortiguado.

2.1.- Estudio dinámico con amortiguamiento

Hay muchos tipos de amortiguamiento, dependiendo del rozamiento. Nosotros vamos a considerar una situación en la que la fuerza de rozamiento de la masa sujeta a un muelle sea proporcional a la velocidad:

v-f γ=

Dimensiones de γ:

(Unidades en el S.I. kg.s-1)

1-MT [v][F] ][ ==γ

donde γ es una constante.



En esta situación (seguimos considerando el ejemplo de una masa unida a un muelle), la ecuación dinámica será:

→→=∑ amF vkxxm γ−−=

••

0kxxxm =+γ+•••

0 xmk x

m x =+

γ+

••• 0xx2x 20 =ω+β+

•••

m2 ;

mk2

0γ

=β=ω20ωβ2

con:

El parámetro se denomina parámetro de amortiguamiento. m2γ

=β

Dimensiones de β T-1 (Unidades de β en el S.I. s-1)



La solución de esta ecuación diferencial depende del valor de β(γ) frente a ω0:

Si β<ω0 amortiguamiento débil

Si β=ω0 amortiguamiento crítico

Si β>ω0 amortiguamiento supercrítico

2.2.- Análisis del movimiento con amortiguamiento

0xx2x 20 =ω+β+

•••

Tenemos que resolver la ecuación dinámica que hemos obtenido:



● Amortiguamiento débil

En este caso la solución es: )'tsen(eAx(t) t-0 ϕ+ω= β 22

0' β−ω=ωcon:

La amplitud no es constante (ya no es un M.A.S.)

El movimiento no es estrictamente periódico, no existe un periodo estricto, aunque se puede considerar:

'2 Tωπ

=

Matemáticamente, la amplitud se hace nula sólo en el infinito. Sin embargo, en la realidad se observa que el sistema pierde toda la energía y se para.

( β < ω0 )

t-0eAA(t) β=



● Amortiguamiento crítico

Si nos fijamos en la ecuación anterior, ω´ sería cero y no estaría definida una frecuencia. De hecho, la solución no es oscilatoria. La solución es:

t-10 t)eA(Ax(t) β+=

A0, A1 ≡ constantes de integración (dependen de las c.i.)

Interés: diseño de sistemas para que no haya vibraciones y se tienda rápidamente a una situación de equilibrio (amortiguadores, etc.)

( β = ω0 )



● Amortiguamiento supercrítico o sobreamortiguado

De nuevo, si nos fijamos en la solución de ω´ de la situación 1, ω’ sería imaginario. Así, la solución no viene dada por funciones sinusoidales sino por funciones senh (que en esencia son exponenciales):

t-2

t-1

21 eAeAx(t) ωω +=

A1, A2 ≡ constantes de integración (dependen de las

c.i.)

( β > ω0 )

20

21 ω−β+β=ω

20

22 ω−β−β=ω

con:



Cuestión 6.4

El periodo de la oscilación lineal amortiguada de una masa de 200 g que cuelga de un resorte ideal de constante 150 N/m es 0.52 s. Calcular la constante de amortiguamiento γ.



3.- Oscilaciones forzadas. Resonancia

3.1.- Estudio dinámico de las oscilaciones forzadas

3.2- Análisis del movimiento de las oscilaciones forzadas

3.3.- Resonancia

• Resonancia en amplitud • Resonancia en potencia



3.1.- Estudio dinámico de las oscilaciones forzadas Como hemos visto, en la situación real la oscilación de una partícula no se mantiene al provocar o dar una fuerza momentánea, ya que cesa al cabo de unos segundos (amortiguamiento). Si queremos mantener la oscilación debemos mantener la fuerza apliquemos una F=F(t)

Un caso concreto e interesante será una fuerza sinusoidal:

t senFF(t)F 0 ω==Así, consideremos que F=F(t) sea: La ecuación dinámica (seguimos considerando el ejemplo de una masa unida a un muelle) es entonces:

→→=∑ amF F(t)xkxxm +γ−−=

•••



F(t)xkxxm =γ++•••

tsentsenmF

x2xx 002

0 ωα=ω=β+ω+•••

mF0

0 =αcon:

La solución consta de dos partes:

— Solución de la parte homogénea

0xx2x 2o =ω+β+

•••

La solución de esta ecuación ya la hemos visto, depende del tipo de amortiguamiento. Consideremos el caso de amortiguamiento débil (β<ω0):

)'tsen(eA(t)x t-oh ϕ+ω= β 22

o' β−ω=ω



— Solución particular

Si se sustituye en la ecuación diferencial, se obtiene:

)tAsen((t)xp δ−ω=

m)(4)(

A2

2220

022222

0

0

γω

+ω−ω

α=

ωβ+ω−ω

α=

)m(

2tg 220

220 ω−ω

γω=

ω−ωβω

=δ

Como vemos, tenemos: ω0, m ≡ dependen del sistema β(γ) ≡ depende del amortiguamiento ω, α0 ≡ características de la fuerza externa

(Para ω=ω0 → δ vale siempre π/2)



La solución general es, por tanto: )t Asen() ' tsen(e Ax(t) t-

0 δ−ω+ϕ+ω= β

(A0, ϕ c.i.) parte temporal parte “permanente”

transitorio ( 0 si t ↑)

parte temporal parte “permanente”

3.2.- Análisis del movimiento de las oscilaciones forzadas

La frecuencia permanente o estacionaria es la de la fuerza aplicada (ω)



3.3.- Resonancia ● Resonancia en amplitud

m)(

A2

2220

0

γω

+ω−ω

α=

0m

)( dd 2

2220 =

γω

+ω−ωω

Al cabo de un cierto tiempo la parte temporal de la solución de la amplitud se hace muy pequeña y sólo permanece la solución permanente:

Nótese que:

Así, A es máxima, y se tiene la situación de resonancia en amplitud, cuando el denominador es mínimo:

2202

220max 2

m2β−ω=

γ−ω=ω

Esta ωmax recibe el nombre de frecuencia de resonancia.

)tAsen((t)xpermanente δ−ω=



Notemos que la resonancia en amplitud se produce para un valor de ω menor que ω0 (excepto si β=0, en cuyo caso ω=ω0).

Cuando β es muy pequeño (amortiguamiento débil), ωmax= ω0= y hay resonancia en amplitud, con valor de ésta, teóricamente, infinito.

Cuanto menor es el amortiguamiento β, más pronunciada es la resonancia.

http://www.walter-fendt.de/ph14s/resonance_s.htm

mk



http://www.walter-fendt.de/ph14s/resonance_s.htm

Calculemos la potencia transferida al sistema por la fuerza externa:

)tAsen(x δ−ω=•

= xv

2/π−δ=φ

FvP =

donde:

t senFF 0 ω=

siendo

)tsen(A )2/tsen(A)t(cosAv

φ−ωω=

=π+δ−ωω=δ−ωω=

◙

◙

con:

)tAsen(x δ−ω=

t senFF 0 ω=

)t sen(Av φ−ωω=

Notemos que:

x está atrasada δ respecto a F

v está atrasada φ respecto a F

● Resonancia en potencia



La potencia es:

)tsencostsencost(senAF

)tsencoscost(sentAsenF

)tsen(tAsenFFvP

20

0

0

φωω−φωω=

=φω−φωωω=

=φ−ωωω==

Calculemos la potencia media transferida:

φω>=< cosA F21P 0

0tcostsen >=ω>=<ω<

21tsen2 >=ω<

Operando: 222220

00 4)(

2 F

21P

ωβ+ω−ω

βωαω>=<

lo que nos da una función periódica de frecuencia 2ω, que muestra dependencia con el término cosφ, conocido como factor de potencia.



Veamos esta función (<P> función de ω):

Se obtiene una potencia máxima transferida (resonancia en potencia) para el valor ω=ω0

(que corresponde con tgδ=∞ δ=π/2 φ=0)

En el diagrama de fasores tendremos:

En condiciones de resonancia (φ=0) la velocidad y la fuerza están en fase, de modo que la partícula se mueve siempre en la misma dirección que la fuerza. Esta es evidentemente la condición mas favorable para transferir potencia al sistema oscilante.



Analogía eléctrica

•Circuito oscilante

•Sintonizador de radio

•……………………

Proceso de resonancia condiciones más favorables para la transferencia de energía de un sistema a otro

( )δ−ω=⇒ω=++ tsenIItsenECQ

dtdQR

dtQdL maxmax2

2



Cuestión 6.5

Un oscilador amortiguado está caracterizado por su masa m=10 g, su constante elástica k=0.360 N/m y su constante de amortiguamiento γ=40 g/s. Se le aplica al oscilador una fuerza impulsora de frecuencia angular 15 rad/s y de 4·10-3 N de amplitud. a) Determinar el tipo de amortiguamiento; b) calcular el desfase angular entre la posición y la fuerza aplicada y entre la velocidad y la fuerza aplicada; c) calcular la amplitud de la elongación; d) calcular la "amplitud" de la velocidad.



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