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TRANSMISION DE DATOS - Angel de la Torre - TSTC - UGR pag. 1

Tema 6:

MODULACI ON ANGULAR

Tema 6: MODULACI ON ANGULAR

TRANSMISION DE DATOS - Angel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulacion Angular pag. 2

6.1.- Angulo generalizado y modulacion angular:

Modulacion de fase (PM) y frecuencia (FM).

6.2.- Ancho de banda en modulacion angular:

FM de banda ancha (WBFM) y de banda estrecha (NBFM).

6.3.- Aplicaciones de FM.

6.4.- Generacion de senales FM:

Metodo indirecto de Armstrong.

Generacion directa.

6.5.- Demodulacion de senales FM:

Discriminadores y detectores de cruces por cero.

Sistemas PLL.

6.6.- Interferencia y ruido en modulacion angular:

Preenfasis y deenfasis. Efecto umbral

6.7.- FM estereo.

6.1.-Angulo generalizado y modulacion angular


ϕ(t) = A cos(θ(t)) sinusoide generalizada

ωi(t) =dθ(t)

dtfrecuencia instantanea

θ(t) =

∫ t

−∞ωi(τ )dτ

A diferencia del caso de modulacion lineal, en la que se variaba la amplitud de la sinusoide

proporcionalmente a la senal modulante, en modulacion angular se modifica elangulo gen-

eralizadoθ(t) de la sinusoide:

θ(t) = ωct + f (m(t))

Modulacion en fase (PM)


La fase de la sinusoide se varıa proporcionalmente a la amplitud de la senal modulante:

θ(t) = ωct + kpm(t) ωi = ωc + kpm(t)

ϕPM (t) = A cos(ωct + kpm(t))

Modulacion en frecuencia (FM)

La frecuencia instantanea se varıa proporcionalmente a la senal modulante:

θ(t) = ωct + kf

∫ t

−∞m(τ )d(τ ) ωi = ωc + kfm(t)

ϕFM (t) = A cos

(ωct + kf

∫ t

−∞m(τ )dτ

)Las modulaciones en frecuencia y fase son muy similares. De hecho son indistinguibles(dada una senal PM o FM es imposible distinguir si se trata de PM o FM).


Modulacion exponencial generalAunque los casos anteriores son los mas comunes, solo son dos casos particulares de la modulacion exponen-cial general:

ϕEM(t) = A cos

(ωct + k

∫ t

−∞m(τ )h(t− τ )dτ

)Para el caso deh(t) = δ(t) tenemos PM, y parah(t) = u(t) tenemos FM. Entre estos dos extremos existen

infinitas posibilidades de elegir la respuesta al impulso del filtro h(t).

Ejemplo 1


FM fi = fc +kf

2πm(t) = 108 + 105m(t) fi ∈ [99,9MHz, 100,1MHz]

PM fi = fc +kp

2πm(t) = 108 + 5m(t) fi ∈ [99,9MHz, 100,1MHz]

Ejemplo 2


FM fi = fc +kf

2πm(t) = 108 + 105m(t) fi ∈ [99,9MHz, 100,1MHz]

PM θ(t) = ωct + kpm(t) = ωct +π

2m(t) θ(t) ∈ [ωct− π/2, ωct + π/2]

6.2.- Ancho de banda en modulacion angular


Modulacion FM

a ≡∫ t

−∞m(τ )dτ ϕFM(t) = A exp(j(ωct + kfa(t))) ϕFM(t) = Re[ϕFM(t)]

ϕFM(t) = A

[1 + jkfa(t)−

k2f

2!a2(t) + . . . + jn

knf

n!an(t) + . . .

]eωct

ϕFM(t) = A

[cos(ωct)− kfa(t) sin(ωct)−

k2f

2!a2(t) cos(ωct) +

k3f

3!a3(t) sin(ωct) + . . .

]El espectro esta centrado enωc. Si el ancho de banda dea(t) esB, el dean(t) esnB. Como hay infinitosterminos, el ancho de banda es infinito (si bien en la practica no lo es ya que decaen con1/n!).

Es claro que FM es una modulacion no-lineal:

A cos(ωct + k1a1(t)) + A cos(ωct + k2a2(t)) 6= A cos(ωct + k1a1(t) + k2a2(t))

Por ejemplo, la senalm(t) = k1 cos(ω1t) + k2 cos(ω2t) no solo genera los armonicosωc±ω1 y ωc±ω2, sino

ademasωc ± (nω1 ±mω2) conn y m enteros.

FM y PM de banda estrecha (NBFM y NBPM)


Si consideramos un valorkf pequeno, tal que|kfa(t)| � 1 podemos aproximar (ex ≈1 + x):

ϕFM (t) = A exp(j(ωct + kfa(t))) = Aejωctejkfa(t) ≈ Aejωct(1 + jkfa(t))

ϕNBFM (t) = A[cos(ωct)− kfa(t) sin(ωct)]

Esta modulacion es lineal y se denomina NBFM. Aunque es parecida a AM, la diferencia

es que en este caso, la senal modulante esta en cuadratura de fase con la portadora (desfase

deπ/2).

De forma similar, para PM de banda estrecha (NBPM) se obtiene la expresion:

ϕNBPM (t) ≈ A[cos(ωct)− kpm(t) sin(ωct)]

Como son modulaciones lineales, el ancho de banda es igual que en el caso de AM, es

decir, el doble del de la senal modulante (a(t) para NBFM ym(t) para NBPM).

Generacion de NBFM y NBPM


Las expresiones anteriores sugieren un metodo directo para generar senales moduladas de

banda estrecha utilizando moduladores de amplitud:

FM de banda ancha (WBFM)


Cuando no es valida la aproximacion de banda estrecha, el ancho de banda FM es en teorıainfinito. En la practica, se puede considerar la desviacion en frecuencia∆f para la esti-macion del ancho de banda de la senal modulada.

La frecuencia instantanea es: ωi(t) = ωc + kfm(t)

Si consideramosmp = max(m(t)) = mın(−m(t)), el rango de frecuencias de la senalmodulada sera:

ωi ∈ [ωc − kfmp, ωc + kfmp]

y es razonable admitir que el ancho de banda sera:

2πBFM ≈ 2kfmp = 2∆ω = 4π∆f

donde∆f = ∆ω/2π es la maxima desviacion en frecuencia.

Se puede aproximarBFM ≈ 2∆f si bien esta aproximacion solo es valida cuando∆f �B. En el caso en que∆f � B nos encontramos con FM de banda estrecha y en este casoel ancho de banda esBNBFM ≈ 2B.

Estimacion del ancho de banda de FM



ω ∈ [ωi − 4πB, ωi + 4πB] ωi ∈ [ωc − kfmp, ωc + kfmp]

El espectro FM estara en el intervalo:

[ωc − kfmp − 4πB, ωc + kfmp + 4πB]

y el ancho de banda sera BFM = 2(∆f + 2B) .

Con esta estimacion, el ancho de banda para FM de banda ancha es aproximadamente2∆f , mientras quepara banda estrecha es4B.

Otra estimacion utilizada (conocida como “regla de Carson”) es:BFM = 2(∆f + B) , que es mas conser-

vativa que la anterior y estima mejor el ancho de banda para NBFM.

En general, el ancho de banda correcto se encuentra entre ambas estimaciones:

BFM = 2B(β + k)

dondeβ = ∆f/B se denomina “razon de desviacion” y k = k(β) es un valor entre 1 y 2, que depende deβy tiende a 1 para banda estrecha (β � 1) y tiende a 2 para banda ancha (β � 1).

El lımite entre WBFM y NBFM se encuentra en torno aβ = 0,5

Modulacion de un tono


m(t) = α cos(ωmt) a(t) =α

ωmsin(ωmt)

ϕFM(t) = A exp

[jωct +

kfα

ωmsin(ωmt)

]∆ω = kfmp = αkf β =

∆ω

ωm=

αkf

ωm

ϕFM(t) = Aej[ωct+β sin(ωmt)] = Aejωctejβ sin(ωmt)

ejβ sin(ωmt) =

∞∑n=−∞

Gnejnωmt

Gn =ωm

2π

∫ π/ωm

−π/ωm

ejβ sin(ωmt)e−jnωmtdt =1

2π

∫ π

−π

ejβ sin(x)−nxdx = Jn(β)

dondeJn(β) es la funcion de Bessel de primera clase, de ordenn, evaluada enβ. En MatLab se puede obtener

con Jn(β) =besselj(n,beta) .


ejβ sin(ωmt) =

∞∑n=−∞

Jn(β)ejnωmt ϕFM (t) = A∞∑−∞

Jn(β) cos((ωc + nωm)t)

La senal modulada contiene armonicos enωc, ωc ± ωm, ωc ± nωm, . . .. La amplitud de estos armonicosdepende de las funciones de Bessel. Como se aprecia en la figura, para un valor dado deβ, unicamentecontribuyen los terminos conn ≤ β + 2. Por lo tanto el ancho de banda se puede estimar como:

BFM = 2nfm = 2(β + 2)fm = 2(δf + 2B)

Espectro FM para modulacion de un tono


Ancho de banda para PM


Los resultados obtenidos para FM son aplicables a PM considerando que la desviacion en

frecuencia es∆ω = kpm′p, dondem′(t) = max(|m(t)|):

BPM = 2(∆f + kB) = 2

(kpm

′p

2π+ kB

)1 ≤ k ≤ 2

A pesar de la similitud, una diferencia entre FM y PM es que la maxima desviacion en

frecuencia para FM dependeunicamente de la amplitud de pico de la senal, mientras que

para PM depende del valor de pico de su derivada. Por ello, el ancho de banda PM depende

del espectro de frecuencias de la senal modulante, mientras que es independiente para FM.

Para un tono, por ejemplo, se tiene:

(∆ω)FM = kfmp = αkf

(∆ω)PM = kpm′p = αωmkp

6.3.- Aplicaciones de FM


FM presenta 3 ventajas frente a AM:

Es mas inmune a efectos no lineales del canal.Presenta mejor comportamiento que AM frente a interferencias de baja potencia.Permite implementar (a traves dekf o kp) el intercambio SNR-BFM .

Esto lo hace recomendable en aplicaciones de comunicaciones por radio.

Comportamiento en canales no lineales:

φ(t) ≡ kf

∫ t

−∞m(τ )dτ x(t) = A cos(ωct + φ(t)) y = a1x + a2x

2 + a3x3

y(t) = a1A cos(ωct + φ(t)) + a2A2 cos2(ωct + φ(t)) + a3A

3 cos3(ωct + φ(t))

y(t) =a2A

2

2+

(a1A +

3

4a3A

3

)cos(ωct + φ(t)) +

a2A2

2cos(2ωct + 2φ(t)) +

a3A3

4cos(3ωct + 3φ(t))

y tras el filtrado en torno aωc obtenemos una senal sin distorsion:

z(t) =

(a1A +

3

4a3A

3

)cos(ωct + φ(t))

6.4.- Generacion de senales FM


Basicamente existen dos metodos: generacion indirecta y generacion directa.

Metodo indirecto de Armstrong

Parte de una senal FM de banda estrecha generada a partir de un modulador lineal. Aumenta

la desviacion de frecuencia mediante un multiplicador de frecuencia (un dispositivo no

lineal y un filtro paso-banda adecuado) y finalmente traslada el espectro con un conversor

de frecuencia. El elemento no lineal aumenta la desviacion de frecuencia:

ei(t) = ϕFM (t) = cos

(ωct + kf

∫ t

−∞m(τ )dτ

)eo(t) = e2

i (t)

eo(t) =1

2+

1

2cos

(2ωct + 2kf

∫ t

−∞m(τ )dτ

)

Generador indirecto de Armstrong


Distorsion en el metodo de Armstrong


El metodo de Armstrong tiene la ventaja de su estabilidad en frecuencia, pero el incon-

veniente de introducir distorsiones no lineales de amplitud y frecuencia causadas por la

aproximacion usada en la generacion de NBFM:

ϕFM (t) = A(cos(ωct)− kfa(t) sin(ωct)) = AE(t) cos(ωct + θ(t))

E(t) =√

1 + k2fa2(t) θ(t) = tan−1(kfa(t))

La distorsion de amplitud tiene lugar porqueE(t) no es constante. Este es un problema

menor dado que la variacion de amplitud puede ser eliminada con un limitador paso-banda,

como veremos mas adelante.

Sin embargo, tambien aparece una distorsion no lineal en la fase. Esta distorsion hace que

aparezca una distorsion no lineal en la frecuencia que afecta a la senal transmitida.


Idealmente, la fase deberıa serθ(t) = kfa(t) y la frecuencia instantaneaωi(t) = kfm(t).Sin embargo, debido a la distorsion se tiene:

ωi(t) =kf a(t)

1 + k2fa2(t)

=kfm(t)

1 + k2fa2(t)

= kfm(t)[1− k2fa2(t) + k4

fa4(t)− . . .]

Para la modulacion de un tono se tiene:

m(t) = α cos(ωmt) a(t) =α

ωmsin(ωmt) β =

αkf

ωm

ωi(t) = β cos(ωmt)[1− β2 sin2(ωmt) + β4 sin4(ωmt)− . . .]

considerandounicamente armonicos inferiores a orden 4 tenemos:

ωi(t) ≈ βωm cos(ωmt)[1−β2 sin(ωmt)] = βωm

(1− β2

4

)cos(ωmt)+

β3ωm

4cos(3ωmt)

≈ βωm cos(ωmt) +β3ωm

4cos(3ωmt) = kfα cos(ωmt) +

β3ωm

4cos(3ωmt)

La distorsion es proporcional aβ2/4.

Generacion directa


Se consigue utilizando un oscilador controlado por tension (VCO) para el que la frecuencia

de oscilacion es proporcional a una tension de control:

ωi = ωc + kfm(t)

Este efecto se puede conseguir con un comparador con histeresis como el trigger de Schmitt,

o variando un parametro reactivo (L o C) en un oscilador resonante, como el oscilador de

Hartley de la figura:


ω0 =1√LC

C = C0 − km(t) ω0 =1√

LC0

[1− km(t)

C0

]ω0 =

1√

LC0

[1− km(t)

C0

]1/2 ≈ 1√LC0

[1 +

km(t)

2C0

]km(t)

C0� 1

ω0 ≈ ωc

[1 +

km(t)

2C0

]= ωc + kfm(t) ωc =

1

LC0kf =

kωc

2C0

Este efecto se puede conseguir con un diodo de capacidad variable (varicap) para el que las pequenas varia-ciones de capacidad pueden aproximarse linealmente.

∆C = kmp =2kfC0mp

ωc

∆C

C0=

2kfmp

ωc=

2∆f

fc

Como en la practica∆C/C0 = 2∆f/fc es pequeno, la distorsion armonica es pequena.

Usualmente, la desviacion de frecuencia es suficiente para generar FM de banda ancha y se requiere una

pequena multiplicacion de frecuencia. Este esquema, sin embargo, presenta el problema de estabilidad de

frecuencia y es necesario un circuito realimentado para estabilizarlo.

6.5.- Demodulacion de senales FM


En una senal FM, la informacion esta contenida en la frecuencia instantanea

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