Tema 5. Segona part: teoria de cues · Tema 5. Segona part: teoria de cues Lali Barri ere...

Tema 5. Segona part: teoria de cues

Lali Barriere

Departament de Matematica Aplicada 4 (EETAC-UPC)

2015-16

Probabilitat i Estadıstica (EETAC-UPC) Tema 5. Segona part: teoria de cues 2015-16 1 / 28

Continguts

ContingutsDescripcio d’un sistema de cues

Elements i notacio

La distribucio exponencial en un sistema de cuesPropietatsLa distribucio m-Erlang

Terminologia i notacioRegim transitoriRegim estacionariMagnituds d’un sistema de cues

Proces de naixement i mortEl model M/M/1El model M/M/sEl model M/M/1/KEl model M/M/s/K

Referencies


Descripcio d’un sistema de cues

Que es un sistema de cues

Molts sistemes en la realitat i la vida diaria incorporen en el seufuncionament procediments en que persones, maquines, components etc.experimenten esperes abans d’efectuar-se amb ells unes determinadesoperacions. La teoria de cues tracta l’estudi matematic dels sistemesd’espera o sistemes de cues. La formacio d’una cua obeeix a un exces dedemanda que supera la capacitat de proporcionar servei de formaimmediata per part del servidor. La teoria de cues ajuda a prendredecisions sobre la capacitat del servei, i els nivells d’ocupacio del sistemade manera que s’assoleixi un equilibri entre el Cost del Servei i el Cost del’Espera.


Descripcio d’un sistema de cues Elements i notacio

Elements d’un sistema de cuesI Els clients o usuaris, que requereixen els serveis del servidor.

I Els clients arriben al sistema a instants diferents i d’un en un. Elstemps d’arribada segueixen una v.a.

I En el model habitual, el nombre de clients per unitat de temps segueixuna llei de Poisson. O, equivalemntment, l’interval entre dues arribadesde clients segueix una llei exponencial.

I La cua es el conjunt (ordenat) de clients que esperen a rebre servei.I Capacitat de la cua:I Disciplina de gestio

I Els servidors que atenen els clients.I Quan el servidor completa el proces de servei sobre un client, el client

abandona el sistema i el servidor escull un nou client de la cua, o restaocios si no n’hi ha. Els temps de servei segueixen una v. a.

I En el model mes habitual, el temps de servei segueix una lleiexponencial.

I Tambe son molt estudiats els models amb temps de servei constant otemps de servei seguint una distribucio m-Erlang.



Notacio de Kendall-Lee

1. Temps d’arribades successives Y1, Y2,. . . independents i identicamentdistribuıdes, amb funcio de distribucio FY (y).

2. Temps de servei S1, S2,. . . independents i identicament distribuıdes,amb funcio de distribucio FS(t).

3. Nombre de servidors: s.

4. Capacitat de la cua: K. Podria ser infinita.

Notacio per al sistema. Escrivim FY /FS/s/K per descriure el sistema.Si K es suposa infinita, escrivim FY /FS/s.Notacio per a les distribucions

I M per a la distribucio exponencial (M fa referencia a memoriless).

I D per a la distribucio determinista: temps (entre arribades, o deservei) constant.

I Em per a la distribucio m-Erlang.

I G per a una distribucio general. GI, si els temps son independents.



Exemples i sistemes que estudiarem

Exemples

I M/G/1 denota un sistema de cues amb un unic servidor amb tempsentre arribades exponencial i una distribucio dels temps de serveiarbitraria.

I M/D/1 indica un sistema de cues amb un unic servidor amb tempsentre arribades exponencial i temps de servei constant.

Sistemes que estudiarem

I M/M/1

I M/M/s

I M/M/1/K

I M/M/s/K


La distribucio exponencial en un sistema de cues

La distribucio exponencial en un sistema de cues

Les caracterıstiques operatives dels sistemes de cues venen determinadesbasicament per la distribucio de probabilitat dels temps entre arribades alsistema i la distribucio dels temps de servei.Els models mes tractables per la Teoria de Cues pressuposen unadistribucio exponencial de les dues variables aleatories: temps entrearribades i temps dels serveis.Per tant, caldra coneixer previament les propietats mes importants de ladistribucio exponencial de probabilitats, aixı com de la seva distribucioderivada, la distribucio m-Erlang.


La distribucio exponencial en un sistema de cues Propietats

Propietats de la distribucio exponencial (1)T v.a. que representa temps entre ocorrencies d’esdeveniments (arribadeso serveis del sistema de cues). T es distribueix segons una llei exponencialde parametre α si la seva funcio densitat de probabilitat, fT , es:

fT (t) = α · e−αt, si t ≥ 0

La funcio de distribucio es:

FT (t) = P (T ≤ t) =

∫0tfT (t) dt = 1− e−αt, si t ≥ 0

Per tant:

I P (T > t) = e−αt

I E(T ) =1

α

I V ar(T ) =1

α2



Propietats de la distribucio exponencial (2)

P1 fT (t) es estrictament decreixent.

P2 Absencia de memoria. P (T ≥ t2|T ≥ t1) = P (T ≥ t2 − t1)Com hem vist quan estudiavem el proces de Poisson.L’ocorrencia d’un esdeveniment no depen de l’ocorrencia de l’anterior.Propietat exclusiva de la distribucio exponencial.

P3 Si T , temps entre esdeveniments, segueix una distribucio exponencialde parametre α, aleshores la v.a. X = # incidents en l’interval [0, t]segueix una distribucio de Poisson de parametre λ = α · t.Com hem vist quan estudiavem el proces de Poisson.

I X ∼ Poiss(α · t)I P (X = n) =

(αt)n

n!e−αt

I E(X) = V ar(X) = α · t




P4 La variable aleatoria U definida com el mınim d’ un conjunt de nvariables aleatories independents i exponencials T1, . . . , Tn deparametres respectius α1, . . . , αn segueix una llei exponencial de

parametre α =

n∑i=1

αi.

Comprovacio. FU (t) = P (U ≤ t) = 1− P (U > t) == 1− P (T1 > t, . . . , Tn > t) = 1− e−α1t · · · · · eαnt = 1− eαtInterpretacio. Temps entre arribades: si hi ha diferents tipus declients que arriben cadascuna segons una llei exponencial, ambparametres possiblement diferents, podem treballar com si nomes hihagues un tipus de clients.Temps de servei: si hi ha s servidors, el temps de servei no depen del’instant ni del servidor que ha completat el darrer servei i segueix unadistribucio exponencial. Per tant, podem treballar com si tinguessinun unic servidor que treballa tant rapid com els s junts.




P5 Si T , temps entre esdeveniments, segueix una distribucio exponencialde parametre α, aleshores la probabilitat que es produeixi un incidenten un interval de temps ∆t→ 0, si ja fa un cert temps t des de ladarrera ocorrencia, es proporcional a α i a ∆t.Comprovacio. P (T ≤ t+ ∆t|T ≥ t) = P (T ≤ ∆t) = 1− e−α∆t =

= 1−∞∑n=0

(−α∆t)n

n!= α∆t− (α∆t)2

2+

(α∆t)3

6+ . . . ' α∆t.

P6 Si T , temps entre arribades, segueix una distribucio exponencial deparametre α, i els clients son distribuıts en n cues seguint unadistribucio multinomial, amb probabilitats p1, . . . pn, amb

∑i pi = 1,

llavors la cua i observa arribades de clients que segueixen una lleiexponencial de parametre α · pi.


La distribucio exponencial en un sistema de cues La distribucio m-Erlang

La distribucio m-ErlangSuposem que hi ha un unic servidor, i que el proces de servei esta dividiten m etapes, amb temps de servei Ti, i = 1, . . . ,m, independents idistribuıts exponencialment amb parametre α. Aleshores, el temps total de

servei T =

k∑i=1

Ti es distribueix segons la llei de probabilitat m-Erlang.

I La funcio de distribucio es:

FT (t) = P (T ≤ t) = 1− e−αtm−1∑i=0

(αt)i

i!, si t ≥ 0

I La funcio de densitat es:

fT (t) = αe−αt(αt)m − 1

(m− 1)!, si t ≥ 0

I E(T ) =m

αI V ar(T ) =

m

α2


Terminologia i notacio Regim transitori

Terminologia i notacio: regim transitori

Regim transitori: quan el sistema comenca a funcionar.

I Estat del sistema: nombre de clients en el sistema de cua.Longitud de la cua: nombre de clients en espera de servei.

I N(t) := # clients en l’instant t.

I Pn(t) := Probabilitat que hi hagi n clients a l’instant t.

I s := # servidors.

I λn := # esperat d’arribades de clients per unitat de temps, quan ja hiha n clients. Si λn es constant es denota per λ.

I µn := # esperat d’arribades de complecio de serveis per unitat detemps, quan ja hi ha n clients. Si µn es constant es denota per µ.


Terminologia i notacio Regim estacionari

Terminologia i notacio: regim estacionari

Regim estacionari: quan el sistema fa temps que funcions i s’estabilitza.

I Pn := Probabilitat que hi hagi n clients.

I L := # esperat de clients al sistema de cues.

I Lq := # esperat de clients en la cua o longitud esperada de la cua.

I Ls := # mitja de clients atesos.

I W := Temps mitja d’espera en el sistema (incloent el temps deservei).

I Wq := Temps mitja d’espera en la cua del sistema.

I Ws := Temps mitja de servei.

La majoria de resultats de teoria de cues son per a sistemes en regimestacionari.


Terminologia i notacio Magnituds d’un sistema de cues

Magnituds d’un sistema de cues (1)e(t) : # clients que han entrat al sistema fins l’instant t.s(t) : # clients que han sortit del sistema fins l’instant t.w(t) : Temps que resta en el sistema del client que entra exactament a l’instant t.wq(t) : Temps d’espera en ser ates un client que entra en el sistema a l’instant t.

ws(t) : Durada del servei del client, si s’ha iniciat el servei a l’instant t. ?



Magnituds d’un sistema de cues (2)

Dues classificacions.Segons el significat de la mesura:

I Relacionades amb l’estat del sistema de cues.

I Relacionades amb els temps d’espera.

I Relacionades amb la taxa temporal de clients que entren el sistema.

Segons el tipus de mesura:

I Magnituds instantanies. Son variables aleatories, i depenen de t.

I Magnituds en regim estacionari.

I Esperances matematiques de les magnituds en regim estacionari.Aquestes son les que estudiarem.



Formules de Little

L = λW Ls = λWs Lq = λWq

L = Ls + Lq W = Ws +Wq

Aquestes relacions son independents de les caracterıstiques particulars delsistema d’espera.

Observacio. Coneixent les probabilitats P0, P1, P2, . . ., es poden calcularels temps mitjans d’espera per client i en la cua, i a partir d’aquı elnombre esperat de clients i la longitud esperada de la cua.Es compleix:

L =

∞∑n=0

n · Pn, Lq =

∞∑n=s

(n− s) · Pn

i tambe, quan λn no es constant, la taxa mitjana d’arribades al sistema, λ:

λ =

∞∑n=0

n · λn


Proces de naixement i mort

Proces de naixement i mort

I El proces de naixement i mort descriu probabilısticament comevoluciona l’estat del sistema de cues, N(t), al llarg del temps.

I Parteix de l’estudi de les transicions del sistema.

I Es basa en el principi d’equilibri de fluxos: la taxa mitjana d’entradaiguala la taxa mitjana de sortida.

En sistemes amb distribucio de temps d’arribades i de temps de serveiexponencials, i suposant que en un instant de temps es pot donar com amolt una arribada o una sortida, podem calcular els valors de lesprobabilitats P0, P1, P2, . . ..

Els detalls d’aquest calcul no formen part dels objectius d’aquest curs.


Proces de naixement i mort El model M/M/1

El model M/M/1

1. Temps entre arribades independents i identicament distribuıts, segonsuna llei exponencial de parametre λn = λ.

2. Temps entre de serveis independents i identicament distribuıts, segonsuna llei exponencial de parametre µn = µ.

3. Un unic servidor, s = 1.

Factor de carrega del sistema: ρ =λ

µ


Proces de naixement i mort El model M/M/1

El model M/M/1

Es compleix:

I P0 = 1− ρI Pn = ρn · P0 = ρn · (1− ρ)

Comprovacio. Pn = ρn · P0, perque ρ es el factor de carrega del sistema.

A mes: 1 =∑n

Pn =∑n

ρn · P0 =1

1− ρ · P0 ⇒ P0 = 1− ρ

I L =ρ

1− ρ=

λ

µ− λ

I Lq =ρ2

1− ρ=

λ2

µ(µ− λ)

I W =L

λ=

1

µ− λ

I Wq =W

λ=

λ

µ(µ− λ)=

ρ

1− ρ· 1

µ


Proces de naixement i mort El model M/M/s

El model M/M/s


2. Temps entre de serveis independents i identicament distribuıts, segonsuna llei exponencial de parametre µn = µ.

3. Un conjunt de s > 1 servidors en paral·lel.

ObservacioLa taxa d’arribades es λ.La taxa de sortides quan hi ha n clients al sistema depen de n i es:

I µ · n, si n = 1, 2, . . . , s− 1

I µ · s, si n = s, s+ 1, s+ 2, . . .


s · µ


Proces de naixement i mort El model M/M/s

El model M/M/sEs compleix:

I P0 =1

s−1∑n=0

1

n!

(λ

µ

)n+

1

s!

(λ

µ

)s· 1

1− ρ

I Pn =

1

n!

(λ

µ

)n· P0 si n = 1, 2, . . . , s− 1

1

s!

(λ

µ

)s·(

λ

µ · s

)n−s· P0 si n ≥ s

I Lq =1

s!

(λ

µ

)s· P0 ·

ρ

(1− ρ)2= Ps ·

ρ

(1− ρ)2

La resta de magnituds, es calculen amb les formules de Little:

I Wq =Lqλ

I W = Wq +1

µI L = λ ·W


Proces de naixement i mort El model M/M/1/K

El model M/M/1/K


2. Temps de serveis independents i identicament distribuıts, segons unallei exponencial de parametre µn = µ.

3. Un unic servidor, s = 1.

4. El nombre de clients al sistema no pot superar el valor positiu K.

Observacio Taxa d’arribades quan hi ha n clients al sistema:

I λn = λ, si n = 0, 1, 2, . . . ,K − 1

I λn = 0, si n = K,K + 1,K + 2, . . .

Taxa de sortides quan hi ha n clients al sistema:

I µn = µ, si n = 1, 2, . . . ,K

I µn = 0, si n = K + 1,K + 2, . . .


s · µProbabilitat i Estadıstica (EETAC-UPC) Tema 5. Segona part: teoria de cues 2015-16 23 / 28

Proces de naixement i mort El model M/M/1/K

El model M/M/1/KEs compleix:

I P0 =1− ρ

1− ρK+1, si ρ 6= 1

I Pn =

{ρn · P0 si n = 0, 1, 2, . . . ,K0 si n > K

I L =

∞∑n=0

n · Pn =ρ

1− ρ− (K + 1)ρk+1

1− ρK+1

I Lq = L− (1− P0)

Per a W i Wq necessitem la taxa mitjana d’arribades:

I λ =

K−1∑n=0

λ · Pn = λ · (1− PK)

I W =L

λ

I Wq =Lq

λProbabilitat i Estadıstica (EETAC-UPC) Tema 5. Segona part: teoria de cues 2015-16 24 / 28

Proces de naixement i mort El model M/M/s/K

El model M/M/s/K1. Temps entre arribades independents i identicament distribuıts, segons

una llei exponencial de parametre λn = λ.2. Temps de serveis independents i identicament distribuıts, segons una

llei exponencial de parametre µn = µ.3. Un conjunt de s > 1 servidors en paral·lel.4. El nombre de clients al sistema no pot superar el valor positiu K. Se

suposa K ≥ s.

Observacio Taxa d’arribades quan hi ha n clients al sistema:I λn = λ, si n = 0, 1, 2, . . . ,K − 1I λn = 0, si n = K,K + 1,K + 2, . . .

Taxa de sortides quan hi ha n clients al sistema depen de n:I µn = n · µ, si n = 1, 2, . . . , s− 1I µn = s · µ, si n = s, s+ 1, . . . ,KI µn = 0 si n = K + 1,K + 2, . . .


s · µProbabilitat i Estadıstica (EETAC-UPC) Tema 5. Segona part: teoria de cues 2015-16 25 / 28


El model M/M/s/K

Es compleix:

I P0 =1

s−1∑n=0

1

n!

(λ

µ

)n+

K∑n=s

1

s!

(λ

µ

)s·(λ

sµ

)n−s

I Pn =

1

n!

(λ

µ

)n· P0 si n = 1, 2, . . . , s− 1

1

s!

(λ

µ

)s·(λ

sµ

)n−s· P0 si n = s, s+ 1, . . . ,K

0 si n > K

I Lq =1

s!

(λ

µ

)s· P0 ·

ρ

(1− ρ)2· (1− ρK−s − (K − s)ρK−s(1− ρ))



El model M/M/s/K

Per a L, W i Wq necessitem la taxa mitjana d’arribades i les formules deLittle:

I λ =

K−1∑n=0

λ · Pn = λ · (1− PK)

I L = Lq +λ

µ

I Wq =Lq

λ

I W =L

λI L = λ ·W


Referencies

Referencies

Aquests apunts son un resum de:Esteve Codina i Lıdia Montero. Apunts de Teoria de Cues. Facultat deMatematiques i Estadıstica, UPC, 2000.

Altres referencies:

I Hillier F.S., Lieberman J.G. Introduction to Operations Research.Holden Day, 1986

I Winston W.L. Operations Research. Applications and Algorithms.PWS-Kent Publishing Company, 1991.

I Trivedi K.S. Probability and Statistics with Reliability, Queueing andComputer Science Applications. Prentice Hall Inc, 1982.

I Kleinrock L. Queueing Systems. Vols. I and II. Wiley Science, 1976.


Tema 5. Segona part: teoria de cues · Tema 5. Segona part: teoria de cues Lali Barri ere...

Documents

Transcript of Tema 5. Segona part: teoria de cues · Tema 5. Segona part: teoria de cues Lali Barri ere...