Tema 2 Analisis Integral 04 EPSGS

rea de Mecnica de Fluidos. DINMICA DE FLUIDOS

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rea de Mecnica de Fluidos

Escuela Politcnica Superior Guillermo Schulz Curso de Complementos de Ingeniero Gelogo

HIDRULICA

DINMICA DE FLUIDOS. ANLISIS INTEGRAL

1. MTODOS Y TIPOS DE ANLISIS EN DINMICA DE FLUIDOS.

2. ANLISIS INTEGRAL. SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL.

3. TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS.

4. ECUACIN DE CONSERVACIN DE MASA.

5. ECUACIN DE CONSERVACIN DE ENERGA.

6. ECUACIN DE CONSERVACIN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

7. ECUACIN DE CONSERVACIN DEL MOMENTO CINTICO.

8. PROBLEMAS.


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1. MTODOS Y TIPOS DE ANLISIS EN DINMICA DE FLUIDOS.

1.1. TIPOS DE ANLISIS EN DINMICA DE FLUIDOS. El mbito general de la Mecnica de Fluidos es la interaccin entre fluidos y su entorno. Adems el fluido est

constituido por una sucesin continua de partculas que interaccionan entre si y entre los contornos. Como metodologa de estudio se dispone de dos alternativas:

-La identificacin de cada partcula fluida y su seguimiento en el tiempo; es decir, hay que determinar la

posicin de la partcula en funcin del tiempo, adems de conocer las magnitudes asociadas a cada partcula. Este el mtodo de LAGRANGE, que es el usado normalmente en Mecnica de Slidos.

-En Mecnica de Fluidos, es ms conveniente conocer el valor de las magnitudes en los diversos puntos que

ocupa el fluido, con independencia de la partcula que lo ocupa en un instante determinado; esta es la base del mtodo de EULER, en el que se estudia la evolucin temporal de una magnitud, en un determinado punto del espacio.

Al movimiento de un fluido se le denomina flujo, y en su anlisis es conveniente utilizar algn tipo de

representacin. Cada mtodo de anlisis utiliza diferentes procedimientos de representacin: -En el mtodo lagrangiano, se definen las trayectorias de las partculas como lugar geomtrico de las diferentes

posiciones temporales de las partculas. -En el mtodo euleriano, se definen las lneas de corriente, que son las envolventes tangenciales de los vectores

velocidad de todas las partculas en un instante determinado.

En el estudio de flujos hay que analizar el estado de movimiento del fluido, definido por las ecuaciones de

conservacin (leyes fundamentales en el movimiento de fluidos), por las ecuaciones de constitucin (leyes del comportamiento del fluido) y por las condiciones de contorno (impuestas por la geometra y el entorno).

Las ecuaciones de conservacin y de constitucin, junto con las condiciones de contorno, aplicadas a cada una

de las partculas del fluido, dan sistemas de ecuaciones diferenciales, cuya resolucin lleva a definir el flujo, en cuanto al campo de velocidades (cinemtica) y al campo de fuerzas (dinmica). Este tipo de anlisis diferencial da lugar a sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, que son de difcil resolucin; aunque pueden encontrarse soluciones analticas con hiptesis restrictivas, y tambin se pueden obtener soluciones aproximadas utilizando las tcnicas de simulacin numrica, que constituye la mecnica de fluidos computacional (CFD: computational fluid mechanics), en la que las derivadas se sustituyen por relaciones algebraicas en un nmero finito de puntos del flujo (mallado).

Si no se est interesado en el estado de movimiento del fluido, sino en sus efectos sobre una determinada regin

del flujo, se puede establecer otro tipo de anlisis que evale las caractersticas globales del flujo: caudales, fuerzas, momentos, potencias,... A la regin de estudio en la que se consideran las interrelaciones entre entorno y flujo se le denomina volumen de control; las modificaciones sobre el entorno que introduce el flujo en su entrada-residencia-salida del volumen de control, o que el entorno introduce en las propiedades del flujo, vienen determinadas por las ecuaciones integrales de conservacin aplicadas al sistema aislado entorno-volumen de control. Este mtodo de

A(t0) A(t1)

A(t2)

A(t3) trayectoria de la partcula A a lo largo del tiempo

(t0, t1,t2, ... )

lnea de corriente en un instante dado (t0) en los diversos puntos

A(t0)

B(t0)

(x0,y0,z0)

(x1,y1,z1) v (x0,y0,z0,to)

v (x1,y1,z1,t0)


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anlisis integral se fundamenta en las ecuaciones integrales que dan las velocidades de variacin de las propiedades del fluido a su paso por el volumen de control.

Cuando el flujo es complejo y el anlisis diferencial no aporta soluciones (por ser insuficientes las ecuaciones o

porque la resolucin de los sistemas en derivadas parciales no es posible), y debido a que el anlisis integral da resultados globales, es necesario recurrir a un anlisis experimental, en el que los resultados se obtienen a partir de las magnitudes medidas en los experimentos. En este mtodo de anlisis aparecen dos problemas: el gran nmero de variables que intervienen en la descripcin del flujo y la imposibilidad, en ciertos casos, de ensayar en condiciones reales. Para abordar estos problemas, se dispone del anlisis dimensional que permite reducir el nmero de variables y la teora de modelos, con la que se correlacionan los resultados experimentales de un modelo con los que tendra su prototipo.

El anlisis diferencial puede ser utilizado para cualquier tipo de flujo, pero la dificultad de establecer y resolver

sistemas de ecuaciones diferenciales limita el mtodo; tambin el anlisis experimental puede aplicarse a cualquier flujo, pero las dificultades inherentes a las tcnicas experimentales, presupuesto y universalidad, son las que limitan el mtodo; en cuanto al anlisis integral, aporta resultados en el estudio de flujos, pero siempre de magnitudes globales.

El anlisis diferencial comenz con EULER y LAGRANGE en el siglo XVIII, el anlisis dimensional tuvo sus

primeros pasos con RAYLEIG a finales del siglo XIX, y el anlisis integral, aunque propuesto por EULER, se desarroll a mediados del siglo XX. En la actualidad las potentes tcnicas de clculo numrico, implementadas en ordenadores cada vez ms rpidos, han hecho posible el resurgimiento del anlisis diferencial, en cuanto a la posibilidad de resolucin de flujos cada vez ms complejos. En cuanto al anlisis experimental, el desarrollo de sensores especficos (piezoelctricos de presin, extensiomtricos de fuerza,...) y de tcnicas cada vez menos intrusivas (velocimetra lser-doppler, hilo caliente,...), est aportando medidas cada vez ms fiables.

1.2. CINEMTICA.

El trmino cinemtica est asociado al campo de velocidades; con su conocimiento es posible obtener resultados

y conclusiones del flujo y de su interaccin con el entorno. En el mtodo euleriano, el conocimiento de la velocidad de todas las partculas en cada instante de tiempo,

permite obtener la variacin temporal de cualquier magnitud, que se expresa como suma de dos trminos: uno de variacin de la propiedad con el tiempo para una determinada posicin (que se denomina variacin local), y otro de variacin de la propiedad desde un punto a otro en un determinado instante (que se denomina variacin convectiva).

Por ejemplo, consideremos una propiedad escalar como la presin p cuya magnitud en un determinado flujo

depende del instante de tiempo considerado y de la posicin considerada: p = p(t,x,y,z); el valor diferencial de la magnitud de la presin, desde un punto a otro: de (x,y,z) a (x+dx, y+dy, z+dz), y desde un instante t a siguiente t+dt; es

dzzpdy

ypdx

xpdt

tpdp

+

+

+

=

con lo que la velocidad de variacin de la propiedad es:

pvtp

zpw

ypv

xpu

tp

zp

dtdz

yp

dtdy

xp

dtdx

tp

dtdp

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

siendo tp

la variacin local, que evala la variacin temporal de la presin en un determinado punto y pv la

variacin convectiva, que evala la variacin de la presin (por unidad de tiempo) de un punto a otro. El trmino p se denomina gradiente de presin, y su expresin depende del sistema de coordenadas:

-Coordenadas cartesianas: p p pp i j kx y z

= + +

-Coordenadas cilndricas: r zp 1 p pp u u ur r z

= + +


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Si consideramos una propiedad vectorial, como por ejemplo la misma velocidad, su variacin temporal, es decir el vector aceleracin, viene determinado por:

Coordenadas cartesianas: v u i v j w k= + +

( )dv v v v v vv v(t, x, y, x) u v w v vdt t x y z t

= = + + + = +

es decir la aceleracin ( dt/vd ) tiene dos componentes:

-aceleracin local:tv

-aceleracin convectiva: ( ) u u u v v v w w wv v u v w i u v w j u v w kx y z x y z x y z

= + + + + + + + +

Coordenadas cilndricas: r r z zv v u v u v u = + +

( )dv v dr v d v dz v vv v(t, r, , z) ... v vdt t dt r dt dt z t

= = + + + = = +

-aceleracin local:tv

-aceleracin convectiva

( )

zz

zzz

r

rzr

r

2r

zrr

r

uz

vvvr

vr

vv

urvv

zv

vv

rv

rv

v

ur

vz

vvvr

vr

vvvv

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

1.3. TIPOS DE FLUJOS. Para poder clasificar el estudio del movimiento de un fluido, se establecen las pertinentes restricciones, que

determinan los siguientes tipos de flujos: -Flujo estacionario: ( )0#y0t/# = , en un determinado punto las propiedades del fluido no

varan con el tiempo, aunque puedan variar de un punto a otro (gradiente no nulo). -Flujo transitorio o no estacionario: ( )0#y0t/# , las propiedades del fluido varan con el

tiempo en cada punto y de un punto a otro. -Flujo irrotacional: ( v 0 0 = = ), el vector rotacional de velocidad es nulo y con ello la vorticidad es

nula. -Flujo rotacional: ( v 0 0 ), de vorticidad no nula. -Flujo incompresible: ( 0v.cte == ), la densidad es constante en todos lo puntos y a lo largo del

tiempo, lo que implica que la divergencia de la velocidad sea nula. -Flujo compresible: ( .cte ), la densidad vara a lo largo del tiempo y del espacio.


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-Flujo no viscoso: ( 0= ), no hay transporte de cantidad de movimiento entre las partculas que constituyen el fluido.

-Flujo ideal: ( = 0 y = 0), no hay interaccin entre las partculas que constituyen el fluido, ni de transporte de cantidad de movimiento (viscosidad) ni de transporte de calor (conductividad).

-Flujo viscoso: ( 0 ), hay interaccin entre las partculas que constituyen el fluido, manifestndose como intercambios de cantidad de movimiento, que dan lugar a fenmenos de disipacin de energa, que se denomina disipacin viscosa.

-Flujo laminar: las fuerzas viscosas predominan sobre las de inercia; en la interaccin viscosa con otras partculas, una determinada partcula de fluido no cambia su trayectoria, siendo arrastrada por la accin del resto de partculas: frenada por partculas ms lentas y acelerada por partculas ms rpidas.

-Flujo turbulento: las fuerzas de inercia predominan sobre las fuerzas viscosas; en la interaccin viscosa con otras partculas, una determinada partcula es desplazada de su trayectoria por los intercambios de cantidad de movimiento de otras partculas, adems de ser arrastrada.

-Flujo uniforme: todas las partculas tienen la misma velocidad en cualquier instante y posicin. -Flujo interno: el fluido est confinado por contornos slidos; se trata de obtener el campo de velocidades, las

fuerzas sobre los contornos y la perdida de energa del fluido a su paso entre los contornos; un caso tpico es el estudio de flujo en tuberas.

-Flujo externo: el fluido rodea a un objeto, se trata de obtener el campo de velocidades cerca de la superficie del objeto y las fuerzas del fluido sobre ella; un caso tpico es el estudio de perfiles aerodinmicos.

1.4. PRINCIPIOS GENERALES.

La interpretacin de la Naturaleza por ecuaciones matemticas se remonta a los griegos; GALILEO (1564-1642)

dijo que el libro de la naturaleza est escrito en lenguaje matemtico; NEWTON (1642-1727) escribi en 1687 los "Principios matemticos de filosofa natural", que son adems el inicio de la Mecnica de Fluidos como disciplina cientfica.

En el caso de la Mecnica de Fluidos, se puede llegar al conocimiento del comportamiento de los fluidos a partir

de una serie de Principios Generales (vlidos para todo sistema material) y de las Ecuaciones de Constitucin caractersticas de cada fluido en particular, que dan lugar al conjunto de ecuaciones diferenciales que definen el movimiento del fluido.

Los principios generales, que son vlidos para cualquier tipo de entidad material, son una expresin matemtica

de las leyes de conservacin. Se tienen fundamentalmente las siguientes leyes de conservacin: -Ley de conservacin de masa (la masa de un sistema no vara) -Leyes del movimiento de NEWTON: (1) ecuacin de equilibrio (el sistema est en equilibrio si no actan fuerzas externas). (2) ecuacin de cantidad de movimiento (la fuerza exterior que acta sobre un sistema es proporcional a la

velocidad del cambio de la cantidad de movimiento). (3) principio de accin-reaccin (cualquier fuerza de accin del entorno sobre el sistema, est equilibrada con

una fuerza de reaccin del sistema sobre el entorno). -Principios de Termodinmica: Primer Principio de Termodinmica o de conservacin de energa. Segundo Principio de Termodinmica o de degradacin de energa. Tercer Principio de Termodinmica o de propiedades en el cero absoluto de temperatura. En el caso de la Mecnica de Fluidos y especficamente en el anlisis diferencial, consideraremos como entidad

la de una partcula fluida, que se asla del resto del fluido, y se le aplican las leyes de conservacin, de las cuales se consideran sistemticamente las siguientes: (1) conservacin de masa, que se denomina ecuacin de continuidad; (2) conservacin de la cantidad de movimiento, que se denomina ecuacin de movimiento de CAUCHY, y en funcin de las hiptesis restrictiva del comportamiento del fluido, se tiene la ecuacin de EULER para fluido no viscoso, ecuacin de BERNOULLI para fluido incompresible no viscoso y las ecuaciones de NAVIER-STOKES para fluidos newtonianos; y (3) conservacin de la energa, que se denomina ecuacin de energa.


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2. ANLISIS INTEGRAL. SISTEMA Y VOLMEN DE CONTROL. En ocasiones, en ingeniera no se est tan interesado en el conocimiento exacto de los campos de velocidad,

presin, temperatura, etc., como en las consecuencias macroscpicas de los mismos. Ello significa que para el tcnico las descripciones precisas de estas distribuciones no son un fin, sino un medio para determinar variables de mayor inters practico: empujes, momentos, caudales, rendimientos, potencias, etc. En consecuencia, el estudio profundo del flujo, ya sea por mtodos analticos o numricos, slo se efecta para problemas muy complejos, para los cuales se justifica el empleo de recursos importantes, en tiempo y dinero.

Por todo ello, resulta evidente la necesidad de disponer de un mtodo que conjugue en la medida de lo posible,

simplicidad y rigor. Es por este motivo por el cual surgieron ya en el siglo XIX los llamados Mtodos Integrales, los cuales consisten en efectuar una aplicacin de las ecuaciones bsicas de la Mecnica y la Termodinmica a unos determinados dominios del flujo, con caractersticas definidas, en los cuales tenga lugar el fenmeno objeto de estudio.

En rigor, estos mtodos no son exclusivos de la Mecnica de Fluidos, sino que son vlidos en su formulacin

general para todo sistema deformable. Sin embargo es evidente que es en el estudio de flujos de materia donde tienen el mayor posibilidad de utilizacin, tanto por la necesidad que de ellos se tiene como por la relativa facilidad de su empleo y grado de exactitud de las soluciones.

La naturaleza del medio material, las caractersticas del flujo y las propiedades asociadas al dominio merecen

una especial consideracin, pues de las hiptesis que respecto a ellos se realicen, se derivar por una parte una mayor o menor bondad de los resultados, y por otra, un distinto grado de complejidad del clculo. La validez de los mtodos integrales viene condicionada por las hiptesis de clculo adoptadas.

En consecuencia, deber elegirse adecuadamente el dominio en el cual se aplicarn los principios, de tal forma

que se puedan definir unas caractersticas de forma inequvoca, que sea posible definir su evolucin temporal si procede, que puedan formularse hiptesis razonables respecto a la direccin y distribucin de la velocidad del fluido en determinadas secciones, as como la distribucin de presin y temperatura y que puedan efectuarse consideraciones sobre la estacionariedad o variacin cclica del flujo.

Consideracin aparte merece la naturaleza del fluido. As, debern efectuarse hiptesis respecto a la

compresibilidad o incompresibilidad del mismo, y en caso de ser precisa, utilizar una ecuacin de estado. Adems, cuando no sea legtima la suposicin de flujo ideal sin disipacin viscosa, debern efectuarse hiptesis para la determinacin de la misma. Por ltimo, cuando exista transferencia de calor debern efectuarse hiptesis respecto al mecanismo de transmisin.

Los principios de conservacin (de masa, energa, cantidad de movimiento) son aplicables a conjuntos definidos

de partculas dentro de un medio material. Es lo que se denomina habitualmente un sistema, y precisa para su reconocimiento la previa determinacin de la identidad y propiedades del conjunto de dichas partculas. Dado que se usar la descripcin Euleriana para la formulacin del movimiento, es necesario obtener expresiones para las leyes de variacin de las variables fluidodinmicas ligadas a volmenes de fluido o, en general, a volmenes que pueden variar con el tiempo de forma arbitraria, que desde ahora se denominarn volmenes de control (espacio que limita el dominio del flujo objeto de estudio), tal y como se muestra en la siguiente figura:


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La dificultad de la aplicacin de los principios de conservacin en el volumen de control deriva del hecho de que estos son vlidos para los sistemas materiales, no para los espacios ocupados coyunturalmente por ellos. En consecuencia, es preciso deducir un mtodo que permita obtener la variacin de una magnitud asociada a un sistema en funcin de las propiedades del flujo en un determinado volumen de control ocupado, para un instante dado, por dicho sistema. El Teorema de Arrastre de Reynolds permite efectuar esta relacin entre magnitudes, como se mostrar a continuacin. En la figura siguiente se muestran distintas posibilidades de volumen de control:

3. TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS

Asociadas a formulaciones diferenciales se tienen las magnitudes intensivas, que son aqullas cuyo valor no depende de la cantidad de materia que interviene en el fenmeno en cuestin. Ejemplos de tales magnitudes seran la velocidad y la temperatura.

Las magnitudes extensivas estn asociadas a formulaciones integrales y son aqullas cuyo valor s depende de

la cantidad de materia que interviene. Son ejemplos de tales magnitudes la masa, la cantidad de movimiento y la entalpa.

Los ejemplos dados de magnitudes intensivas y extensivas sugieren una relacin entre ambas. Si se denomina

t),x( una magnitud intensiva genrica, funcin de la posicin y del tiempo, existe una magnitud extensiva )t,x(B asociada a ella, funcin tambin del tiempo y de la posicin del conjunto de partculas del sistema, estando relacionadas ambas por la expresin:

dV)t,x()t,x(BVC=

La integral est definida en el volumen ocupado por el sistema. Las magnitudes t),x( y )t,x(B pueden tener carcter escalar o vectorial. Es sabido que la magnitud t),x( , por ser intensiva, admite la operacin derivada material, en la forma:

( )vt

dtd

+

=

Sin embargo, la magnitud extensiva t),xB( no admite dicho operador, por lo cual hay que determinar las variaciones por otro mtodo, tenindose como primera expresin:

dV)t,x(dtd

dtdB

VC=


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En la expresin de la derivada material de una magnitud extensiva no es posible permutar el orden de los operadores derivada e integral, puesto que el volumen de integracin es dependiente de la variable temporal. Se tiene pues, necesidad de hacer una transformacin Lagrangiana, a fin de poder aplicar los principios de conservacin, vlidos para sistemas de partculas en evolucin y que ocupan posiciones cambiantes en el tiempo, al espacio definido por un volumen de control que, en un instante, aloje al sistema.

A continuacin se va realizar una deduccin del Teorema de Arrastre de Reynolds. En la figura se muestra una situacin inicial (instante t) en el que un sistema ocupa exactamente un volumen de control. En un instante posterior (instante t+t) una porcin del sistema ha abandonado en volumen de control y nueva masa de fluido ocupa el volumen de control. En un instante posterior (instante t+2t) el sistema ha abandonado completamente el volumen de control.

La cantidad total de B en el sistema es:

VSistema

B dV= La variacin temporal de B es:

t t tt 0

B BdB limdt t

+

=

Por la definicin anterior:

VSistema VSistemat t tt 0

dV dVdB limdt t

+

=

En el instante t: VSistema = VControl y en el instante t+t: VSistema)t + t = VII + VIII = VControl - VI + VIII. Por tanto:

I IIIVControl V V VControlt t tt t t tt 0

dV dV dV dVdB limdt t

+ + +

+ =

que se puede reescribir como:

I IIIV VVControl VControlt t t t t t tt 0

dV dV dV dVdB limdt t t t

+ + +

= +

El primer trmino del segundo miembro representa la variacin de B en el Volumen de control:

VControl VControlt t tt 0

VControl

dV dVlim dV

t t+

=

El segundo trmino representa la cantidad de B que sale del volumen de control entre t y t+ t, y el tercer

trmino representa la cantidad de B que entra en el volumen de control entre t y t+ t:


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( ) ( )I IIIV Vt t t tsal ent

dV dV

dm ; dmt t

+ +

= =

Los flujos msicos entrante y saliente se pueden representar como:

r rdm (v dA) v dA cos= =

siendo el ngulo formado por el vector velocidad al atravesar la superficie del volumen de control y la direccin normal saliente a dicha superficie.

Agrupando los diferentes trminos, se obtiene:

)Adv(dVtdt

dBr

SCVC

+

=

en la que el primer trmino del segundo miembro representa la variacin de la suma de la propiedad intensiva en el interior del volumen de control, mientras que el segundo trmino es el flujo de dicha propiedad intensiva a travs de la superficie de control que encierra dicho volumen. VCr vvv = es la velocidad relativa entre el fluido y el volumen de control.

En definitiva, el Teorema de Arrastre de Reynolds establece la relacin existente entre la derivada material de una magnitud extensiva de un sistema )t,x(B , con la derivada temporal de la integral de la magnitud intensiva asociada, en el volumen de integracin definido, y el trmino de flujo de dicha magnitud intensiva a travs de las superficies del volumen.


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4. ECUACIN DE CONSERVACIN DE MASA Recibe el nombre de ecuacin de continuidad la expresin obtenida de la aplicacin simultnea del Principio de

Conservacin de la masa y del Teorema de Arrastre de Reynolds a un volumen de control. La magnitud extensiva es la masa m mientras que la magnitud intensiva asociada sera 1 = .

Por el principio de conservacin de masa, la masa de un sistema no vara, de tal manera que se puede escribir:

0dtdm

=

Por el Teorema de Arrastre se tendra:

)Adv(dVtdt

dmr

SCVC

+

=

Igualando ambas expresiones, se deduce la llamada ecuacin de continuidad o de conservacin de la masa para un volumen de control:

0)Adv(dVt

r

SCVC

=+

Dicha expresin indica que la variacin de masa (aumento o disminucin) en el interior del volumen de control se obtiene mediante el flujo de masa (hacia el interior o hacia el exterior) a travs de las superficies del mismo.

5. ECUACIN DE CONSERVACIN DE ENERGA De la aplicacin simultnea del Primer Principio de la Termodinmica y del Teorema de Arrastre de Reynolds,

se deduce la ecuacin de la energa para volmenes de control. Aqu, la magnitud extensiva es la energa, E, mientras que la magnitud intensiva asociada es la energa por unidad de masa, e.

El Primer Principio permite relacionar la energa, el calor y el trabajo, mediante la expresin:

dtdW

dtdQ

dtdE

=

El convenio de signos utilizado establece que el calor (Q) absorbido por el sistema es positivo mientras que el cedido se considera negativo. En cambio se considera positivo el trabajo (W) efectuado por el sistema y negativo el efectuado sobre el mismo.

En este caso, el Teorema de Arrastre establece que:

)Adv(edVetdt

dEr

SCVC

+

=

Igualando ambas expresiones resulta la ecuacin de la energa en su forma ms general:

)Adv(edVetdt

dWdtdQ

r

SCVC

+

=


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La energa por unidad de masa es:

otras

2

otraspotencialcinticaernaint ezg2vueeeee +++=+++=

donde otrase incluye los posibles cambios de composicin qumica, reacciones nucleares, efectos electromagnticos y electrostticos, entre otros.

El trmino de trabajo se puede dividir en los siguientes trminos:

VPS.visc.esfpresinmotor WWWWWWW

++=++=

El trabajo de las fuerzas gravitatorias est incluido como energa potencial en la energa e. El trabajo de

elementos mviles denominado motor ( SW

) incluye el trabajo intercambiado entre el volumen de control y una mquina cuyo eje atraviese la superficie de control. El trabajo realizado por la presin actuante sobre las superficies de

control ( PW

) es igual a la fuerza sobre un elemento de rea Ad por la componente normal de la velocidad hacia el volumen de control:

)Adv(pWSC

P =

Para la determinacin del trabajo debido a los esfuerzos viscosos ( VW

) es suficiente considerar stos slo en la superficie de control (pues los esfuerzos cortantes internos se cancelan), y se obtiene integrando el producto escalar de cada esfuerzo viscoso (con una componente normal y dos tangenciales) por la componente respectiva de la velocidad:

dA)v(WSC

V =

donde es el vector esfuerzo sobre el elemento de rea dA. Este trmino puede ser nulo o despreciable en ciertos tipos particulares de superficies de control, entre las que se tiene:

-Superficie slida: v = 0, por la condicin de no deslizamiento, y por tanto: VW

= 0.

-Superficie de una mquina: el esfuerzo viscoso es una contribucin de la mquina y se incluye en el trmino SW

. -Entrada o salida: el flujo suele ser normal al elemento de rea y la nica contribucin procede del esfuerzo viscoso

normal, que habitualmente es muy pequeo. -Superficie de corriente: hay que tenerlo en cuenta. Agrupando trminos, el trmino del trabajo es:

dA)v()Adv(pWWSCSC

S +=

A partir de ahora, se considerar que no hay movimiento del volumen de control, es decir: 0vVC = y vvr = . En estas condiciones, el trmino de trabajo de las fuerza de presin se puede incorporar al trmino de flujo de energa, con lo que se llega a:

)Adv(pedVe

tWWQ r

SCVCVS

++

=


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Como dentro de e aparece la energa interna, u, en el trmino del flujo de energa aparece la entalpa,

puh += , por lo que la ecuacin queda:

)Adv(zg2vhdVzg

2vu

tWWQ r

SC

2

VC

2

.Corr.SupS

+++

++

=

Particularizndose para el caso de un flujo estacionario en un volumen de control con una entrada y una salida, se obtiene:

+++

++= 22

22

211

21

1.Corr.SupS mzg2vhmzg

2vhWWQ

Por la ecuacin de continuidad:

== .mmm 21 Si se divide la ecuacin anterior por

m :

.Corr.SupS2

22

21

21

1 wwqzg2vhzg

2vh ++++=++

Dividiendo por g:

vsq2

222

2

21

211

1

1 HHHzg2

vgu

gpz

g2v

gu

gp

+++++=+++

Llamando zg2

vg

pH2

O ++= , la expresin anterior quedar:

gquuHHHH 12VS2O1O

+++=

donde el trminog

quu 12 representa las variaciones de energa (medida en metros) reversibles e irreversibles. Las

reversibles son debidas al intercambio entre energa mecnica e interna durante procesos de expansin o compresin. Las irreversibles tienen lugar como resultado de la disipacin viscosa que convierte energa mecnica en energa interna, no recuperable, y calor.


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6. ECUACIN DE CONSERVACIN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO El Segundo Principio de Newton establece la relacin existente entre fuerzas exteriores aplicadas a un sistema y

la variacin de la cantidad de movimiento del mismo. La magnitud extensiva a considerar es ahora dicha cantidad de movimiento vm mientras que la magnitud intensiva asociada es la velocidad v . De esta manera, se tiene:

( ) )Adv(vdVvt

Fdt

vmdr

SCVC

+

==

-En esta expresin v es la velocidad del flujo respecto a un sistema de coordenadas inercial. -El trmino F es el vector suma de todas las fuerzas exteriores que actan sobre el volumen de control

considerado. Incluye las fuerzas de superficie ejercidas sobre las superficies de control ms las fuerzas de volumen (gravitatorias, inerciales, electromagnticas) que actan sobre la masa incluida en el volumen de control.

Si el sistema de referencia es inercial (reposo o velocidad de traslacin uniforme) la derivada de la velocidad es

la aceleracin absoluta del sistema. Si el sistema es no inercial debe corregirse la anterior expresin a fin de poder utilizar las facilidades que proporciona el referir el volumen de control al sistema ms propio. Dicha correccin consiste en incluir las fuerzas de inercia en el primer miembro a fin de utilizar las velocidades relativas en los dos trminos anteriores.

:v velocidad respecto al sistema no inercial :a i aceleracin de la partcula respecto al sistema inercial, es decir:

arri adtvda +=

La segunda ley de Newton se aplica a :a i

+== arri adtvdmamF

)Adv(vdVvtdt

vdmdmaF rSCVCVC

arr +

==

siendo arra la aceleracin del sistema no inercial respecto al inercial, es decir:

( )rv2rdtd

dtRda 2

2

arr ++

+=


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7. ECUACIN DE CONSERVACIN DEL MOMENTO CINTICO Si se consideran momentos en lugar de fuerzas tanto en la expresin del Segundo Principio de Newton, como en

la del Teorema de Arrastre de Reynolds se llega a la expresin:

)Adv()vr(dV)vr(t

)Fr(M rSCVC

O +

==

en la que se debe aadir el momento de las fuerzas de inercia en el volumen de control en caso de tomar un sistema de referencia no inercial, llegndose a la siguiente expresin:

)Adv()vr(dV)vr(t

dm)ar()Fr( rSCVCVC

arr +

=


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8. PROBLEMAS.

1) Un caudal Q = 1.388 10-3 m3/s de petrleo (densidad 892 kg/m3) circula por la tubera representada en la figura. La tubera se divide en dos tuberas del mismo dimetro. Calclese: 1) Flujo msico en las tuberas 1 y 3. 2) Velocidad media en las tuberas 1, 2 y 3.

2) Un recipiente de seccin transversal constante ST est lleno de un lquido de densidad hasta una altura h0. En la parte inferior, existe un orificio de seccin SS por el que el lquido puede abandonar el recipiente.

Calclese la velocidad de descenso de la superficie libre del lquido.

3) Un recipiente de seccin transversal circular est lleno de un lquido de densidad hasta una altura h0. En la parte inferior, existe un orificio de seccin SS por el que el lquido puede abandonar el recipiente. Calclese la variacin del radio de la seccin transversal con la altura h de la superficie libre si se desea que la velocidad de descenso de la superficie libre del lquido sea constante e igual a Cv .

4) Un tanque contiene 500 kg de una solucin salina (agua mezclada con sal) con un 10% de sal. A partir de cierto momento, por la tubera 1 comienza a entrar en el tanque un flujo msico de 10 kg/h de solucin salina con un 20% de sal, y por la tubera 2 se extraen 5 kg/h del contenido del tanque. Durante todo el proceso, el tanque est siendo agitado, de forma que la concentracin de sal en el mismo es uniforme. Calclese: 1) La evolucin con el tiempo de la concentracin de sal (en %) en el interior del tanque. 2) El valor de la concentracin de sal a las 2 horas, a las 20 horas y a las 200 horas.

ST

SS

h0Vc


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5) Una corriente de agua cuya temperatura es 18.33C y cuya presin absoluta es 137.9 kPa entra en una caldera con una velocidad media de 1.52 m/s. A la salida de la caldera, situada 15.2 m por encima de la entrada, se tiene una corriente de vapor de agua a 148.9C y 137.9 kPa con una velocidad media de 9.14 m/s. Calclese el calor cedido en la caldera al agua por unidad de masa.

6) Un lquido de densidad fluye por una tubera en la que la seccin es A1 y la presin es p1; a continuacin, pasa por una reduccin de seccin hasta otra tubera en la que la seccin es A2 y la presin es p2. Calclese las velocidades v1 y v2 si se ha medido la diferencia de presin p1 - p2 y no hay prdidas por friccin.

7) La figura representa una pequea turbina hidrulica de geometra axial, que permite transformar la energa hidrulica del agua que pasa a su travs en energa mecnica en su eje de giro. Con los datos suministrados, suponiendo que el eje de giro es horizontal, que el flujo es isotermo, calclese la reaccin horizontal conjunta que deben soportar los tornillos de las bridas B1 y B2.

DATOS: Potencia absorbida por la turbina: SW

Caudal: Q

Densidad del lquido: Seccin de la tubera en la brida B1: A1

Seccin de la tubera en la brida B2: A2 Seccin de la tubera en la turbina: AT

Presin en la seccin de la brida B1: p1

8) Una tobera de seccin transversal A2 est colocada a la salida de un depsito a la atmsfera. La superficie libre del depsito est situada h metros por encima de la tobera. Calclese la velocidad de salida del lquido (de densidad ) y el caudal, si se considera que no hay prdidas por friccin.


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Q

A2

A1

9) La figura muestra una tobera situada al final de una manguera de riego por la que circula un caudal constante.

Calclese la fuerza FT que soportan los tornillos que mantienen unida la tobera el resto de la manguera. Supngase que el chorro es vertical descendente y que se conoce el volumen de la tobera.

DATOS:Caudal: Q Densidad del lquido: Secciones de entrada y de salida de la tobera: A1, A2, (A2 < A1) Presin en la seccin de entrada de la tobera: p1 Masa de la tobera: MT

10) Un chorro de agua (densidad ) de dimetro D con una velocidad v es desviado por una placa curvada, como se muestra en la figura. Calclese la fuerza del chorro sobre la placa. Aplicacin numrica: Densidad del agua: = 1000 kg/m3; dimetro: D = 0.0254 m; velocidad: v = 30.5 m/s; = 60.

11) Un lquido de densidad fluye a travs de un codo de una conduccin, cuyo peso es P. Son conocidas las variables indicadas en la figura. Calclese la fuerza sobre el codo.

12) La figura muestra una vista en planta de un aspersor de riego de un solo brazo de radio R. Bajo la accin del chorro de lquido (de densidad ), el aspersor gira a velocidad angular constante alrededor de la parte vertical del aspersor, que soporta un par resistente de valor T0. El caudal que circula por el aspersor es Q y la seccin interior de los dos tramos del aspersor es A.

Calclese la velocidad de giro en funcin de la geometra y de las propiedades del flujo.

k nr

n

TO

R

A

Tema 2 Analisis Integral 04 EPSGS

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