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Tema 24:Percepción espacial

TEMA 24: EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA

EDUCACIÓN PRIMARIA. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES

GEOMETRICAS EN EL ENTORNO: CLASIFICACIÓN Y

REPRESENTACIÓN. INTERVENCIÓN EDUCATIVA.

INTRODUCCIÓN

El estudio de la Geometría durante muchos años ha estado relegado a un segundo

plano dentro de los planes educativos y currículos de Matemáticas. Es a partir de los

años ochenta cuando se empieza a ver una demanda y un cambio dentro de los

currículos. Se proponen desde distintos ámbitos una geometría manipulativa y cercana

al alumnado, lo que implicará un mayor interés hacia la Geometría, en particular, y a las

matemáticas en general.

En este tema, pues, abordaremos aspectos relacionados con la Geometría, pero antes

deberemos prestar atención al tratamiento que se le da en el desarrollo de las enseñanzas

mínimas de la Educación primaria que se establecen en el Real Decreto 1513/2006 y en el

Real Decreto 126/2014.

En el Artículo 3. Objetivos de la Educación primaria, en el apartado g), nos habla entre

otras competencias matemáticas de "conocimiento geométrico... capaces de aplicarlos a

las situaciones de la vida cotidiana", competencias que habrá que tener en cuenta dada

la importancia que tiene la ubicación y relación espacial del alumnado con su entorno

próximo, en un primer momento, y lejano posteriormente.

Por último, como contribución del área al desarrollo de las competencias la:

geometría contribuye:

"con el desarrollo de la visualización (concepción espacial), los niños y las niñas

mejoran su capacidad para hacer construcciones y manipular mentalmente figuras

en el plano y en el espacio, lo que les será de gran utilidad en el empleo de mapas,

planificación de rutas, diseño de planos, elaboración de dibujos, etc."

Centro de Estudios Ágora 1


De todo ello podemos deducir la importancia que se le da a este bloque dentro de las

enseñanzas mínimas. La geometría es una importante herramienta que proporciona al

alumnado un mejor conocimiento del espacio y de las formas que le rodea.

EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA

EDUCACIÓN PRIMARIA

Concepto: La Geometría (del griego geo, 'tierra; metrein, 'medir) es la rama de las

matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. RAE: Estudio de las

propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. Estudia

idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas,

superficies...

Las matemáticas en general y la geometría en particular, por su grado de abstracción,

formalización y complejidad, resultan difíciles de comprender hasta la adolescencia. Por

ello el punto de partida ha de ser la experiencia práctica. El sentido de esta área en

primaria es eminentemente experiencial y partirá pues, de lo más cercano al alumnado

abordándose progresivamente conocimientos más complejos a partir de la experiencia,

en contextos de resolución de problemas y de contrastes de puntos de vista.

El conocimiento de la realidad en la que viven, se conseguirá también a partir del

desarrollo del pensamiento matemático, en continua interacción con el mundo físico y

la descripción ajustada del entorno. El desarrollo de la visualización o concepción

espacial, a partir de experiencias propias basadas en construcciones y manipulaciones

mentales de figuras en el plano y en el espacio, harán que se desarrollen paulatinamente

capacidades de resolución de problemas cotidianos, significativos en su vida práctica:

empleo de mapas, planificación de rutas, planos, dibujos,… Aplicando sus conocimientos

matemáticos fuera del ámbito escolar, en ámbitos familiares, del consumo y en general

de su vida social.

EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN EP

Nos basaremos en Godino y Ruiz (2003) para introducir la teoría de Pierre y Dina

Van Hiele. Según estos autores, los estudiantes progresan a través de niveles de

pensamiento geométrico, desde un nivel visual, seguido de niveles cada vez más



avanzados de descripción, análisis, abstracción y prueba. Los niveles son, según la

teoría, secuenciales y jerárquicos, de manera que, para que los estudiantes operen

adecuadamente en uno de los niveles, deben haber dominado amplias partes de los

niveles más inferiores. El progreso de un nivel al siguiente, según los van Hiele,

depende más de la instrucción que de la edad o maduración del niño/a. El profesor

debería adecuar sus enseñanzas a los niveles reales de sus alumnos, pues en otro caso el

aprendizaje no será significativo sino meramente memorístico.

Cabe destacar el modelo de enseñanza y aprendizaje de los esposos Pierre M.

Van Hiele y Diana van Hiele-Geldof que ha servido y sirve de modelo para la elaboración

y estructuración de los contenidos en los currículos de matemáticas. En este se plantean dos

grandes apartados, por un lado cómo evoluciona el razonamiento geométrico de los

individuos y su progreso, lo que se suele llamar niveles de razonamiento y por otro lado

las fases del avance en el razonamiento geométrico o lo que es lo mismo: las fases de

aprendizaje.

Los niveles de razonamiento se dividen en cinco niveles:

Nivel 1. Solo se reconocen figuras como un todo, no se diferencian las partes que la

forman, ni las propiedades que puedan tener.

Nivel 2. Ya se reconoce que las figuras geométricas están formadas por distintas partes

y pueden analizar propiedades pero no las pueden relacionar entre ellas.

Nivel 3. Ya pueden relacionar propiedades, se pueden comprender propiedades y las

pueden clasificar.

Niveles 4 y 5 de deducción y de rigor se escapan de nuestra etapa educativa.

Mientras no se ha adquirido un nivel de razonamiento no se es capaz de pasar al

siguiente, lo que implica que el alumnado que no tiene adquirido un nivel no va a ser

capaz de comprender razonamientos o explicaciones del siguiente.

El modelo fija cinco fases de aprendizaje:

1. Fase de información donde se presenta el tema de estudio

2. Fase orientación dirigida, donde se presenta el material o los problemas.

3. Fase de explicitación, en la que se intenta que el alumnado explique los



resultados y con un lenguaje apropiado.

4. Fase de orientación libre, en esta fase se presentarán materiales o

propuestas que no son inmediatas, que generarán nuevos planteamientos.

5. Fase de integración, en esta fase se adquiere una visión global de todo lo

aprendido y su integración, se está capacitado para ascender de nivel

Las teorías de van Hiele y Piaget comparten algunas importantes características. Coinciden

en señalar una evolución del pensamiento de acuerdo con ciertos estadios o niveles.

Ambas, resaltan, también, el papel del individuo en la construcción activa de su propio

conocimiento.

Pero también tienen importantes diferencias. Por ejemplo, van Hiele enfatiza el papel de los

procesos de instrucción para el desarrollo de los procesos de pensamiento, mientras que en

Piaget ese desarrollo aparece más ligado a la evolución biológica general del individuo,

consecuencia de las interacciones generales con el medio. Importancia de la geometría

en la enseñanza Importancia de la geometría en la enseñanza

La necesidad de la enseñanza de la geometría en el ámbito escolar responde, en primer

lugar, al papel que la geometría desempeña en la vida cotidiana. Un conocimiento

geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana para orientarse;

para hacer estimaciones; para hacer cálculos relativos a la distribución de los objetos en el

espacio, en el arte, en el estudio de los elementos de la naturaleza...

Desde que el niño nace, establece relaciones con los objetos, los junta, separa, agrupa,

cuenta a través de la experiencia cotidiana organizándose y orientándose en el espacio

que le rodea. Posteriormente, la experiencia va dando paso a la abstracción y formalización

que permitirá corregir errores e irá convirtiendo al conocimiento en más simbólico,

abstracto y formal.

La geometría considerada fundamentalmente como la exploración del espacio, su

organización y situación, será el instrumento que permita la familiarización con los

objetos, el estudio de los cuerpos geométricos reconocibles en objetos cotidianos y el

conocimiento de los elementos que lo componen.

Es decir, las enseñanzas geométricas debían darse en los contextos cercanos que el

alumnado domina, controla y conoce. En aquellos elementos que están presentes en sus



vidas, que puede tocar, manipular, entender... Incluso en aquellos espacios y trayectos

habituales, recorridos previamente por ellos mismos. Y sobre todo de forma lúdica y

atractiva.

La dificultad de enseñanza de la geometría en Primaria, por la contradicción existente

entre el fuerte carácter abstracto de esta materia y la necesidad de aproximada de una

forma intuitiva, experimental a los alumnos, es lo que obliga a una simplificación de sus

elementos conceptuales. Hay que tener en cuenta que el niño, hasta los 12 años

aproximadamente, es decir hasta el final de la primaria, no es capaz de generalizar, y

que el conocimiento que obtenga de formas, magnitudes y posiciones no le lleva a

deducir cualidades o leyes generales.

El proceso de estructuración del espacio, es lento y progresivo y se va logrando gracias a la

maduración y al contacto con el medio, requiriendo para ello de una intervención educativa

global y sistemática. La percepción espacial que tenemos tanto del espacio próximo como

lejano, se logra a partir de receptores visuales y tácticos que nos informan, sobre

superficies, tamaños, formas…, el sentido de la vista, y sobre desplazamientos, situaciones

y desenvolvimiento en el medio que nos proporcionan los receptores tácticos y

cinestésicos. Todo ello, nos facilita una imagen final tanto de nuestra misma posición en

el espacio como de los seres y objetos que nos rodean.

En cuanto a la representación, consiste en evocar un objeto cuando no está presente y

lograr su imagen mental.

Para poder llegar a tener una imagen mental de un objeto, es necesario antes haber

tenido una correcta percepción del mismo. No puedo representar el colegio, si antes no

lo he visualizado y estructurado sus elementos. Y en último lugar, interpretamos. Es el

reconocimiento de la representación, es totalmente objetivo. Si estamos analizando un

mapa de carreteras a una escala determinada, lo hacemos en base a una proporción que

se nos da en la escala y nos permite objetivamente interpretar unos datos que plasmados

en el plano suponen y llevan implícitos una realidad que lo sustenta.



ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMETRICAS EN

EL ENTORNO: CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS: PUNTO, RECTA, PLANO, CURVA Y ESPACIO

A continuación pasamos a definir los diferentes elementos geométricos, según Castro

(2001).

Punto: indica una posición en el espacio y no tiene dimensiones, por lo que se dice que en

un plano o en una recta existen infinitos puntos. Un punto por tanto delimita una

posición en el espacio. Un punto no tiene grosor y sus formas de representación a nivel

escolar pueden ser muchas: una marcha con el bolígrafo en el papel, una marca con tiza

en el plano... Decimos que esas marcas son puntos.

Recta: se considera que dos puntos determinan una y sólo una línea recta que contiene a

dichos puntos. La recta tiene las siguientes características:

- Son ilimitadas por ambos extremos. - No tienen ningún espesor.

- Tres o más puntos pueden determinar varias rectas, pero si están contenidas en

una recta se dice que son colineales.

- Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningún punto en común se dice

que son paralelas. Si tienen un punto en común se dice que son concurrentes o

secantes.

- Un punto P cualquiera de la recta divide a la misma en dos subconjuntos

formados por los puntos que están situados a un mismo lado respecto de P. Estos

subconjuntos se dice que son semirrectas.

El trabajo didáctico de la recta se plantea a partir de una realidad perceptible, normalmente

cercana al alumno: el borde de una regla, un hilo o cuerda muy tirante, etc.

Plano: un plano se determina por tres puntos que no estén contenidos en la misma recta. El

plano, desde un punto de vista didáctico, puede ser evocado a partir de una hoja de

papel apoyada sobre una mesa, la propia superficie de una mesa, la pizarra, etc. De la

misma forma que se habla de semirrectas se habla de semiplanos. Un semiplano se define

como cada una de las dos partes en que queda dividido un plano al quitar una recta del

mismo.



Espacio: se dice que las rectas y los planos son conjuntos de puntos. Se define el

espacio como el conjunto de todos los puntos.

Figura geométrica: la figura geométrica se define como cualquier subconjunto de puntos

del espacio. Como hemos expuesto con anterioridad, el objetivo de la geometría será

describir, clasificar y estudiar las propiedades de las figuras geométricas.

Segmento: conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos A y B, que son los

extremos del segmento AB. La longitud del segmento se define como la distancia entre

los puntos A y B. Los segmentos pueden ser abiertos o cerrados, según se consideren

incluidos o no los extremos en las semirrectas.

Ángulo: se define como la intersección de dos semiplanos cerrados, obtenidos a partir de

dos rectas incidentes. Ambas semirrectas son los lados del ángulo y el punto de

concurrencia es el vértice. También se usa la palabra ángulo para designar la figura

geométrica formada solamente por el conjunto de los lados y el vértice. Su tamaño se

mide por la cantidad de rotación requerida para girar uno de los lados del ángulo,

tomando como centro de giro el vértice, para que coincida con el otro lado. Como unidad

de medida habitual se usa el grado, la 360 ava parte de la abertura de la circunferencia

Según la abertura del ángulo se distinguen diferentes tipos:

- Ángulo nulo = 00

- 00< ángulo agudo < 90°

- Ángulo recto = 90°

- 90° < ángulo obtuso < 180° - Ángulo llano = 180°

- 180° < ángulo reflejo < 360°

Características de los ángulos:

- Dos ángulos con medidas a y b se dice que son complementarios si y sólo si a

+ b = 90°. Se dice que son suplementarios si a + b = 180°.

- Dos ángulos que tienen un lado común y cuyos interiores no se solapan se

dice que son adyacentes.



Curva: se define como el conjunto de puntos que un lápiz traza al ser desplazado por el

plano sin ser levantado. La curva es simple si el lápiz nunca pasa dos veces por un

mismo punto. Si el lápiz se levanta en el mismo punto en que comenzó a trazar se dice

que la curva es cerrada. La curva es cerrada, simple si el único punto por el que el

lápiz pasa dos veces es el del comienzo" final del trazado. Se requiere que las curvas

tengan un punto inicial y otro final, por lo que las rectas, semirrecta y ángulos no son

curvas.

Polígono: se define como una curva poligonal cerrada. Los segmentos que la

forman se llaman lados y los extremos de esos segmentos, vértices. Si todos los

lados de un polígono son iguales se dice que es regular. Los polígonos se

nombran según el número de lados o vértices que tienen (triángulo, cuadrado,

pentágono, hexágono, etc.). Las semirrectas que contienen dos lados concurrentes en

un vértice determinan un ángulo del polígono.

Características de los polígonos regulares:

- Un polígono es equilátero si tiene todos sus lados iguales.

- Un polígono es equiángulo si sus ángulos miden lo mismo.

- Un polígono es regular si tiene sus lados y sus ángulos iguales

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO

Las figuras geométricas en el plano se denominan atendiendo al número de lados

con la utilización de prefijos numéricos. De esta forma se distinguen triángulos,

cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, etc. Nosotros nos vamos a

centrar en los dos primeros tipos teniendo en cuenta los criterios de presencia en los

currículum escolares de esta etapa educativa.

Los triángulos y su clasificación

El triángulo se define como un polígono de tres lados. Es una porción de plano limitada

por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan

el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, por donde se unen,

vértices.



Tipos de triángulos

- Según sus lados:

a) Equiláteros: son los que tienen sus tres lados iguales.

b) Isósceles : son los que t ienen dos lados iguales .

c) Escalenos: son los que tienen tres lados desiguales.

- Según sus ángulos:

a) Rectángulos: son los que tienen un ángulo recto (900).

b) Acutángulos: son los que tienen sus tres ángulos agudos.

c) Obtusángulos: son los que tienen un ángulo obtuso.

Elementos notables de un triángulo

- Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Las

bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado Incentro, que es el

centro de la circunferencia inscrita.

- Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su

punto medio. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un

punto llamado Circuncentro, que es el centro de la circunferencia

circunscrita.

- Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el

lado puesto. Las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado

Ortocentro.

- Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio

del lado opuesto. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto

llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.

Los cuadriláteros y su clasificación

Son aquellos polígonos con cuatro lados que, atendiendo a las siguientes

características, darán lugar a uno u otro tipo de cuadrilátero.

- Paralelismo de lados.

- Igualdad de lados.

- Igualdad de ángulos.



- Número de ángulos rectos.

- Posición relativa de las diagonales.

- Concavidad y convexidad.

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas

formas pero todos ellos constan de cuatro vértices y dos diagonales. En todos los

cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360°. Los paralelogramos son

los cuadriláteros que tienen paralelos los dos pares de lados opuestos.

Los paralelogramos son un tipo de cuadriláteros en los que se cumple que:

- Los lados opuestos son iguales.

- Los ángulos opuestos son iguales.

- Las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO

Según Godino y Ruiz (2003): Un poliedro es el sólido delimitado por una superficie cerrada

simple formada por regiones poligonales planas. Cada región poligonal se dice que es una cara del

poliedro, y los vértices y lados de las regiones poligonales se dicen que son los vértices) lados del

poliedro.

En el ámbito escolar se distinguen dos tipos: pirámides y prismas . Las pirámides

tienen una sola base y las caras laterales son triangulares. Los prismas tienen dos bases y

sus caras laterales son rectangulares. Se denominan en función del polígono que sea su

base.

Poliedros regulares

Un poliedro regular es un poliedro que debe cumplir las siguientes condiciones:

- Las caras son regiones poligonales regulares iguales.

- En cada vértice concurre el mismo número de caras.

- La suma de los ángulos interiores de los polígonos que forman las caras de un

poliedro regular que concurren en un mismo vértice debe ser menor de 360°, de

lo contrario no podrían cerrar un espacio interior.

- Los ángulos interiores del triángulo equilátero miden 60°; por tanto, podemos

formar poliedros regulares cuyas caras son triángulos: el tetraedro y el icosaedro.



- Con caras que sean cuadrados sólo se puede formar el hexaedro o cubo.

- Si utilizamos pentágonos regulares como caras de un poliedro se obtiene el

dodecaedro.

- En cualquier poliedro se cumple que la suma del número de vértices y el de caras es

igual al número de aristas más 2 (fórmula de Euler para los poliedros).

Conos y cilindros

El cono tiene las siguientes características:

- Tiene una base que es cualquier región limitada por una curva cerrada simple

contenida en un plano.

- La superficie lateral está generada por los segmentos que unen un punto fijo (el

vértice) no situado en el plano de la base con los puntos de la curva que delimita la

base.

- La altura del cono es el segmento que une el vértice del cono y el centro de la

base de manera que dicho segmento es perpendicular al plano que contiene la

base.

El cilindro tiene las siguientes características:

Se genera trasladando los puntos de una región cerrada simple contenida en un plano

hacia otro paralelo.

- Los puntos que unen puntos correspondientes en las curvas que limitan las bases forman

la superficie lateral.

- Un cilindro es recto si los segmentos que unen puntos correspondientes en las dos

bases son perpendiculares a los planos de las bases, en caso contrario se trata de un

cilindro oblicuo.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. SIMETRÍA, GIRO Y

TRASLACIÓN

Aclaración conceptual:

- Transformación en un plano: decimos que es la correspondencia establecida entre

los puntos del plano, de forma que a un punto p determinado que se

"mueva o traslade" le corresponde un punto p'.



- Movimiento rígido: según Godino y Ruiz (2003): una transformación del plano

se dice que es un movimiento rígido si y sólo si la distancia entre cualquier par de

puntos PyQ .Q es la misma que la distancia entre sus imágenes en dicha

transformación, esto es, .13,,Q = pri, para todo par de puntos PyQ. 2

También se llaman isometrías porque conservan propiedades geométricas de

las figuras (forma y medidas).

Hay tres movimientos rígidos del plano básicos: traslaciones, giros y simetrías.

Simetrías

La simetría o reflexión sobre un espejo es el movimiento rígido del plano que se produce

fijando una recta r del plano y hallando para cada punto P otro punto P' de tal manera

que la recta r es mediatriz del segmento PP'. Esto quiere decir que r es perpendicular a

PP' y que pasa por el punto medio del segmento PP'.

Una simetría de una figura plana es cualquier movimiento rígido del plano que hace

coincidir todos los puntos de la figura con otros puntos de la misma figura. Existen

diferentes tipos de simetrías (Godino y Ruiz, 2003).

- Simetría axial. Se dice que una figura tiene simetría por reflexión si hay una recta

que pasa por la figura que es un eje de simetría de la figura, esto es, el

movimiento de simetría sobre dicho eje hace coincidir la figura consigo misma

de manera global.

- Simetría rotacional. Se dice que una figura tiene simetría rotacional si la figura

coincide consigo misma cuando se gira un cierto ángulo entre 00 y 360° alrededor

de un cierto punto. El centro de giro es el centro de rotación de la figura.

- Simetría central. Una figura tiene simetría puntual si existe una simetría por rotación

de 180° sobre algún punto O. Esto implica que al darle media vuelta a la figura

coincide consigo misma de manera global, y cada punto P de la figura tiene un punto

correspondiente P' de la figura que está en dirección opuesta en el giro de centro O.

Traslaciones

Una traslación es el movimiento rígido en el que todos los puntos del plano se mueven

en la misma dirección y la misma distancia, quedando definida por un vector que



determina la dirección en la que se trasladan todos los puntos del plano y la distancia a

la cual se trasladan.

Giros

Consiste en girar todos los puntos del plano alrededor de un punto fijo (centro del giro) un

cierto ángulo que será el ángulo de giro, quedando definido por el centro O y la

amplitud del ángulo.

INTERVENCIÓN EDUCATIVA

FUNDAMENTACIÓN LEGAL: LA GEOMETRÍA EN EL CURRÍCULUM DE

LA EP

Objetivos generales del área, establecidos según el RD 1513/2006 y Decreto

56/2007, destacar el número 7: (desaparecen en el RD 126/2014 y en el D 27/2014)

7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el

conocimiento de sus elementos, propiedades y relaciones para describir la

realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.

Para la consecución de este objetivo se desarrollan una serie de contenidos, todos ellos en

el área de Matemáticas, concretamente en el bloque de contenidos número 3, Geometría

(RD 1513/2006 y Decreto 56/2007).

En cambio con la nueve legislación vigente que surge de la LOMCE (RD 126/2014 y

D 27/2014) el concepto de geometría pasa al bloque de contenidos 4. Geometría.

Así, con este bloque de contenidos se pretende conseguir que el alumno se familiarice

con formas y estructuras geométricas: definir, describir, analizar propiedades, clasificar

y razonar. El aprendizaje de la geometría requiere pensar y hacer.

La situación en el espacio. Distancias y giros.

- Formas y estructuras geométricas.



- Formas planas y espaciales.

- Regularidades y simetrías

Con respecto a los criterios de evaluación del área de Matemáticas, en lo referente a las

formas geométricas y situación en el espacio, se tendrá que evaluar el desarrollo de las

capacidades espaciales topológicas en relación con puntos de referencia, distancias,

desplazamientos y ejes de coordenadas. Para ello los alumnos y alumnas tendrán que

realizar e interpretar una representación espacial (croquis de un itinerario, plano, maqueta)

tomando como referencia elementos familiares y estableciendo relaciones entre ellos. Habrán

de utilizar las nociones geométricas de simetría, paralelismo, perpendicularidad, perímetro y

superficie para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana.

Un ejemplo para el primer ciclo:

6. Reconocer en el entorno inmediato objetos y espacios con formas

rectangulares, triangulares, circulares, cúbicas y esféricas.

Este criterio pretende valorar la capacidad de reconocer en el entorno las

formas geométricas planas o espaciales más elementales. Es importante valorar

la capacidad de recibir y emitir informaciones de modo oral o escrito sobre los

espacios familiares, utilizando con propiedad los términos geométricos propios

del ciclo.

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS GENERALES *

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS ESPECÍFICAS PARA LA ENSEÑANZA

DE LA GEOMETRÍA (Chamorro, 2003)

Debemos tener en cuenta que el proceso de construcción del pensamiento

geométrico sigue una lenta evolución desde las formas intuitivas iniciales hasta un

razonamiento deductivo, que escapa ya de la etapa educativa en la que debemos trabajar.

Esta evolución de la percepción espacial pasa por la adquisición de conocimiento del

espacio real que rodea al alumnado y a través de lo que se suele llamar intuición

geométrica, dicha evolución necesita además del desarrollo de ciertas habilidades que

permitirán al alumnado saber ver e interpretar el espacio que les rodea. Pero esta

habilidades debemos potenciarlas y desarrollarlas apoyándonos en la geometría ya

que a través de ella el alumnado va adquiriendo capacidades que les permitirán

identificar y reconocer formas, figuras, propiedades e incluso relaciones en un espacio



bidimensional y tridimensional, es decir, la identificación y relación de cuerpos y

figuras geométricas.

Por ello la enseñanza de la geometría en esta etapa deberá plantearse partiendo de

formas, objetos, figuras del entorno próximo sin un razonamiento lógico a priori, pero que

poco a poco se irá construyendo, ayudando a que tomen conciencia del espacio que les

rodea a través de sus sentidos y que dará paso a la experimentación y construcción de

esquemas explicativos de propiedades, clasificación, que nos llevará a desarrollar una

mayor abstracción en el razonamiento de etapas posteriores.

El conocimiento del espacio ambiental y por tanto el desarrollo de la percepción

espacial deberá trabajarse a partir de que el alumnado vaya memorizando imágenes de

objetos y formas semejantes de iguales o diferentes dimensiones o posiciones, (por

ejemplo, si utilizo el geoplano para construir una forma triangular de un objeto real, al

girar el geoplano por uno de sus lados, el triángulo sigue siendo el mismo), de tal

modo que sea capaz de reconstruir formas geométricas u objetos partiendo de los

elementos básicos que lo forman, que sea capaz de hacer una descripción verbal, con lo

que deberá adquirir también un vocabulario básico, que sea capaz de reconocer sus

relaciones métricas y su representación gráfica. Asimismo le servirá para representar y

resolver problemas en otros apartados o bloques de las matemáticas y en situaciones

reales a lo largo de la vida. El desarrollo del razonamiento espacial le será útil para el

uso de planos, mapas o creaciones artísticas, ya que le proporciona una visión global del

entorno. Todo ello convierte a la Geometría en una herramienta que proporciona al

alumnado un mejor conocimiento del espacio en el que se desenvuelve y se desarrolla.

Recursos manipulables dentro del aula (Bermejo, 2004 y Godino y Ruiz, 2003)

La utilización de materiales manipulativos puede ayudar al alumnado a que

comprendan tanto el significado de las ideas matemáticas como su aplicación a

situaciones de la vida real y cotidiana. Deberemos, pues, desarrollarles las destrezas de

visualización partiendo tanto de los recursos manipulativos como de programas de

geometría dinámica.

Siempre que presentemos un material nuevo deberemos dejarles un tiempo para que lo

manipulen, reconozcan y experimenten con él, antes de pasar a realizar actividades

dirigidas. Entre los diversos materiales que podemos utilizar el geoplano ocupará un



lugar preferente para potenciar los niveles de representación geométrica, ya que con el

podremos trabajar conceptos relacionados con los ángulos, triángulos, cuadrados, áreas y

perímetros, trayectorias, simetrías, e incluso pequeños dibujos.

EL GEOPLANO

Con el podremos conseguir que el alumnado represente las figuras geométricas antes de que

tenga la suficiente destreza manual para dibujarlas.

Así mismo podremos trabajar distintos contenidos tales como:

- Nociones topológicas básicas: líneas, fronteras, regiones...

- Reconocer formas geométricas planas.

- Adquirir la noción de ángulo, vértice y lado.

- Componer y descomponer superficies superponiendo polígonos.

- Comprender el concepto, intuitivamente, de superficie, según el número de

cuadrículas que componen las figuras.

- Comprender los movimientos en el plano.

Actividades.

Antes de comenzar a trabajar presentaremos el material a los alumnos/as y les dejaremos

un tiempo libre para que se familiaricen con él. Transcurrido este empezaremos a proponer

las actividades que tengamos programadas según el nivel a trabajar.

Entre las muchas que se pueden plantear podemos trabajar en las siguientes: Reconocer

y copiar formas geométricas elementales (cuadrado, rectángulo, triángulo).

(Asimilar los conceptos de rotación y simetrías)

- Mismas figuras pero en distintas posiciones u orientaciones.

- Plantear cuestiones como que sucede si variamos solo la goma de un lado,

¿seguirá siendo la misma figura? ¿qué habrá que hacer para que siga siendo la

misma figura?

- Una vez esto podemos preguntar si el tamaño de la figura es el mismo o más

grande y cuanto más.

- También cuantas veces contiene una figura a otra e introduciremos el

concepto de superficie.



- Rectas paralelas y/o perpendiculares. Construiremos figuras de forma

que se corten, habiendo varias posibilidades. Unas se cortarán, otras tendrán un

punto en común, o un lado, o parte de un lado, etc. Definiremos pues cuando son

paralelas o perpendiculares.

- Construcción de simetrías. Construiremos distintas figuras y realizaremos su

simétrica. Variaremos la posición de los ejes y volveremos a realizar otras

figuras.

- Hacer trayectorias: orientación espacial

• Sugerir un camino empezando por un punto y dando órdenes (2

arriba, 3 a la derecha...), para salir todos por un mismo punto.

• Dar trayectos elaborados para reproducir en el geoplano.

Reconstrucción o construcción de dibujos, letras y/o números, para iniciarse en el

trazado. Circunferencia y rectas notables (radio, diámetro, secante, tangente).

Círculo, corona, segmento circular, sector circular.

Cálculo de áreas:

Podremos representar áreas de 1/2 de U. (unidad), o de las unidades que queramos.

EL TANGRAM

Muy conocido por todos, es un juego de origen chino que consta de un cuadrado

dividido en siete partes, cinco triángulos de tres tamaños, un cuadrado y un

paralelogramo, aunque podemos encontrar otros tipos de tangrams como el pitagórico,

el cardiotangram... aunque menos difundidos que el chino.

Con el podremos trabajar de forma manipulativa los siguientes aspectos:

- Figuras geométricas planas

- Ángulos y su clasificación

- Áreas y perímetros de figuras

- Giros y desplazamientos

Mediante lo cual se pueden conseguir los siguientes aprendizajes:

- Utilizar las piezas del Tangram como modelo geométrico.

- Combinar las piezas del Tangram para describir otras figuras.

- Medir, describir y clasificar ángulos



- Medir áreas y perímetros de figuras geométricas.

Actividades

- Medir los ángulos de las piezas del Tangram con transportador

- Clasificar ángulos, partiendo de las medidas de la actividad anterior

- Relacionar las medidas de los ángulos.

- Desarrollar ejercicios complementarios de ángulos

- Utilizando diferentes piezas del Tangram formar figuras congruentes

- Utilizando regla medir el perímetro de las diferentes piezas del Tangram.

- Utilizando regla y fórmulas calcular el área de las piezas del Tangram.

- Formar otras figuras geométricas y calcular áreas y perímetros.

- Realizar giros de las piezas y observar que la forma de la figura permanece.

Para facilitar el trabajo en la clase debemos intentar que todo el alumnado tenga su

propio tangram, para ello podemos proporcionar unas fotocopias en cartulina y de ese

modo todos tendrán las mismas medidas, lo que nos facilitará la puesta en común a la

hora de comparar resultados.

El MECANO

El mecano es un recurso poco utilizado pero con el podemos introducir

conceptos topológicos así como en la introducción de los polígonos aunque no tengan las

destrezas manuales suficientes para su dibujo, con lo que podremos trabajar, entre otros,

los siguientes contenidos:

- Diferencia entre líneas abiertas y cerradas

- Construcción de polígonos regulares y no regulares.

- Clasificación de los polígonos según el número de lados.

- Elementos de un polígono: lados, ángulos y vértices

- Movimientos y giros.

Es evidente que lo ideal será de disponer de mecanos en el centro, pero si ello no es posible

podemos construir uno reciclando las cajas de los folios u otro tipo de cartones, para ello

cortaremos tiras de cartón de 3 ó 4 longitudes diferentes y las podemos ensamblar

haciéndoles unos agujeros en los extremos y uniéndolas con chinchetas de

encuadernar. Una vez tengamos suficientes podemos realizar las actividades.



Actividades:

- Formar líneas abiertas de diferentes longitudes.

- Las longitudes de la actividad anterior se pueden unir por sus extremos y

transformarse en líneas cerradas

- Formar líneas cerradas con el menor número de tiras, es evidente que saldrán

triángulos, con lo que podemos introducir las diferencias de triángulos que hay y

clasificarlos, también se les pude hacer la observación que un triángulo es

indeformable, por eso, por ejemplo, las estructuras de los andamios aparecen los

triángulos.

- Una vez obtenido el triángulo irán apareciendo el resto de polígonos, que

deberemos ir clasificándolos en regulares e irregulares.

Se pueden ir introduciendo, de una forma experimental, los elementos de los polígonos

para pasar posteriormente a su interiorización y abstracción.

Nos permitirán poder realizar giros y traslaciones y observar que no por ello ha variado su

forma y propiedades.

PENTOMINÓS

Los pentominós son configuraciones formadas por cinco cuadrados iguales y unidos por una

arista o lado, (como si tomáramos cuadrados de un tablero de dominó o ajedrez). Existe un

número máximo de ellos, ya que no se consideran los que proceden de una rotación giro

o imagen de alguno de ellos. Deberán cumplir unas determinadas condiciones, tales

como:

No podrá haber ningún cuadrado sin compartir un lado, como mínimo. El lado compartido

debe ser común en su totalidad.

Como consecuencia de todo ello, existe un máximo de soluciones posibles y que estas son

12, por lo que si montamos dichas figuras para obtener un rectángulo, el área mayor

que forme será de 60 unidades.

A su vez, los diferentes rectángulos que podemos obtener con ellas se corresponderán

con los resultados de los diferentes productos que den 60 unidades, pero no todas son

posibles, debido a la propia configuración de las figuras y cuyos resultados son



1 x 60, 2 x 30, 3 x 20, 4 x 15, 5 x 12, 6 x 10 donde los subrayados no son posibles.

Con ellos, podremos trabajar, entre otros, los siguientes objetivos:

- Reconocer elementos en una figura geométrica. O Diferenciar entre perímetro y

área.

- Realizar simetrías y giros.

- Reconocer ejes de simetría de una figura.

- Desarrollar la percepción visual y la observación

- Favorecer la creatividad, la lógica y la deducción.

- Desarrollar la capacidad para resolver problemas.

Actividades:

Evidentemente, las actividades pueden ser estas u otras y siempre considerando el nivel

educativo en que se encuentre el alumnado.

Calcular todos los pentominós que se pueden hacer (no vale los que se obtengan de una

rotación, imagen, giro...). Se pueden utilizar palitos para realizarlos y pasarlos luego a una

hoja de cuadrículas grandes.

Calcular el área y perímetro de cada uno de los pentominós, tomando el cuadrado base

como unidad de área y la longitud de su lado como unidad de longitud.

Con los datos anteriores construir una tabla. Observar y comentar los resultados obtenidos.

Dibujar el simétrico de cada pentominó respecto de unos ejes dados.

Buscar, si tienen, el eje de simetría de cada uno de los pentominós.

Tomando un número concreto de pentominós, construir rectángulos menores de 60

unidades. Formar con todos los pentominós un cuadrado, en este cuadrado aparecerán

cuatro huecos de una unidad cada uno de ellos.

ACTIVIDADES POR CICLOS

Primer ciclo



- Reproducción de líneas de diversas formas con una cuerda partiendo de

modelos ilustrados.

- Representación e identificación de líneas rectas, curvas y poligonales.

- Representación e identificación de líneas abiertas y cerradas.

- Representación de formas y figuras geométricas en cuadrícula

- Identificación de prismas cubos conos, esferas

- Determinación de caminos en una cuadrícula y sus medidas.

Segundo ciclo

- Identificación y sencilla descripción de objetos del entorno próximo

relacionados con figuras geométricas y sus elementos.

- Realizar desplazamientos, ángulos, giros, semirrectas líneas horizontales y

verticales.

- Experimentación con el propio cuerpo de todos los elementos de los cuerpos

geométricos aprendidos.

Tercer ciclo

- Representación gráfica de los movimientos en el espacio.

- Realizar desplazamientos, giros, rotaciones y cambios de dirección.

- Dibujo, construcción y clasificación de cuadriláteros y polígonos



- Identificación de figuras planas, sus elementos y propiedades.

- Manejo de materiales de dibujo, escuadra, cartabón, compás.

- Elaboración de croquis y planos de complejidad creciente

CONCLUSIÓNEntre los conocimientos matemáticos elementales imprescindibles en una formación

básica, la cultura geométrica, entendida como conjunto de competencias, capacidades

y habilidades, vocabulario adecuado, visión global de las aplicaciones actuales,

conocimiento de las nociones geométricas elementales y sensibilidad por la belleza, el

rigor, etc., debe ocupar una buena parte de la formación en Educación Primaria. El

objetivo fundamental debe ser la consecución de un buen nivel de alfabetización

geométrica en el contexto más amplio del desarrollo de las competencias básicas y

matemáticas específicas, lo que sitúa este tema en un lugar destacado, ocupando, junto a

los números, las operaciones aritméticas, el cálculo y la medida de magnitudes, la

mayor parte del currículo de matemáticas en Primaria.

LEGISLACIÓN CITADA

- LEY ORGANICA 2/2006, de 3 de mayo, de Educación.

- Ley 6/2008, de 26 de diciembre, de Educación de Cantabria.

- R.D. 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la

Educación Primaria.

- Decreto 56/2007, de 10 de mayo, por el que se establece el currículo de la Educación Primaria

para la Comunidad Autónoma de Cantabria.

- RD 126/2014

- D 27/2014

BIBLIOGRAFÍA CITADA

- Bermejo (2004) "Como enseñar matemáticas para aprender mejor". Madrid: CCS.



- Castro, E. (Ed.) (2001). “Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria”.

Madrid: Síntesis

- Chamorro, C (2003) "Didáctica de la matemática para primaria". Madrid: Pearson.

- Godino, J. y Ruiz, F. (2003). Geometría y su didáctica para maestros. Universidad de

Granada. (http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/welcome.htm)

BIBLIOGRAFÍA COMENTADA

- Goñi, J. (2008). El desarrollo de la competencia matemática. Barcelona: Grao

OCDE. Proyecto PISA (2003)

El contenido de este libro puede dividirse en dos partes. En la primera se reflexiona

sobre el concepto de competencia y se trata de dar una definición del mismo desde el

punto de vista de su aplicación al currículo escolar de Matemáticas. Se pone el énfasis

en las ideas de "transferibilidad" y "contexto de uso" como bases de partida para una

clarificación conceptual. Se definen de manera explícita los contextos de uso que

debieran formar parte de manera explícita del currículo escolar de Matemáticas. En la

segunda parte se aportan algunas ideas prácticas sobre la estrategia a seguir para

acercarnos a una propuesta curricular que tenga en cuenta las competencias básicas y

desde este punto de vista se defiende la necesidad de priorizar los contextos de uso

personal y social como los referentes ineludibles en la educación obligatoria..

RECURSOS

- matematicas.net/ (Página para la exposición de recursos matemáticos sirviendo de

punto de unión entre profesores)

- Thesaurus.maths.org (Enciclopedia de Matemáticas con numerosos enlaces)

- Jgodino/edumat-maestros/welcome (Godino, J. (2004); matemáticas y su didáctica

para maestros: fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas,

sistemas numéricos, proporcionalidad, geometría, magnitudes, etc.

- Wikipedia.org/wiki/Matem% (Enciclopedia digital sobre matemáticas con numerosos

enlaces).



1. INTRODUCCIÓN

2. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN

PRIMARIA

a. Conceptos

b. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN EP

3. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMETRICAS EN EL

ENTORNO: CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN

a. CONCEPTOS BÁSICOS

i. Punto

ii. Recta

iii. Plano

iv. Espacio

v. Figura geométrica

vi. Segmento

vii. Ángulo

viii. Curva

ix. Polígono

b. LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO

i. Los triángulos y su clasificación

ii. Los cuadriláteros y su clasificación

c. FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO

i. Poliedros regulares

ii. Conos y cilindros



d. TRANSFORAMCIONES GEOMÉTRICAS. SIMETRÍA, GIRO Y

TRASLACIÓN

i. Simetrías

ii. Giros

iii. Traslaciones

4. INTERVENCIÓN EDUCATIVA

a. FUNDAMENTACIÓN LEGAL

b. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS GENERALES

c. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS ESPECÍFICAS

i. Recursos manipulables dentro del aula

ii. Actividades por ciclos

5. CONCLUSIÓN

6. LEGISLACIÓN CITADA

7. BIBLIOGRAFÍA CITADA

8. BIBLIOGRAFÍA COMENTADA

9. RECURSOS


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