TEHNICKA MEHANIKA 2 - Osnovne akademske …...oslonac, tako da je broj stepeni slobode jednak: n= 2...

Dinamika ta£keZakon o promeni kineti£ke energije

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢

email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2019/20

R.Mandi¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2


Sadrºaj

1 Dinamika ta£keDrugi Njutnov zakonZakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja

2 Zakon o promeni kineti£ke energijeKineti£ka energija i elementarni radKonzervativne sileZakon o odrºanju mehani£ke energije



Drugi Njutnov zakonZakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja

Sadrºaj






Dinamika materijalne ta£ke

A2: Aksiom o kretanju tela (Aksiom o promeni koli£ine kretanja)

Promena koli£ine kretanja tela proporcionalna je sili koja delujei vr²i se u pravcu i smeru delovanja sile.

Koli£ina kretanja mat. ta£ke

Koli£ina kretanja materijalne ta£ke je de�nisana sa

~K = m~v

Koli£ina kretanja je vektor koji u sebi sadrºi informacije o masii o brzini kretanja ta£ke





Diferencijalna jedna£ina kretanja mat. ta£ke

Drugi Njutnov aksiom (zakon)

d ~K

dt= ~F odnosno

d

dt(m~v) = ~F

(Zakon o promeni koli£ine kretanja)

Ako je masa ta£ke konstantna:

m~a = ~F odnosno m~r = ~F

dobija se diferencijalna jedna£ina kretanja slobodne mat. ta£ke






Diferencijalna jedna£ina kretanja

m~r = ~F

Po£etni uslovi kretanja (po£etni poloºaj i brzina)

t = 0 : ~r(0) = ~r0, ~v(0) = ~v0

Dif. jed. kretanja je vektorska diferencijalna jedn. drugog reda

Sila je, na£elno, data kao funkcija ~F = ~F (~r,~v, t)

Integracijom diferencijalne jedna£ine kretanja, uzzadovoljavanje po£etnih uslova, dobija se kona£na jedna£ina

kretanja: ~r = ~r(t)






Kretanje materijalne ta£ke u prisustvu veza:

m~r = ~FR gde je ~FR = ~F + ~R

~F . . . zbir aktivnih sila

~R . . . zbir reakcija veza

Po£etni uslovi kretanja (po£etni poloºaj i brzina):

t = 0 : ~r(0) = ~r0 ~v(0) = ~v0

Re²avanjem diferencijalne jedna£ine kretanja:

m~r = ~FR ⇒ ~r = ~r(t)





Dif. jedn. kretanja mat. ta£ke - skalarni oblici

Dekartove koordinate Oxyz

m~r = ~FR ⇒mx = XR

my = YRm z = ZR

Prirodne koordinate ~τ , ~n,~b

m~r = ~FR ⇒ms = Fτm v2

ρ = Fn0 = Fb





Primer - Matemati£ko klatno

Matemati£ko klatno mase m i duºine ` kre¢e se u vertikalnojravni pod dejstvom sopstvene teºine. Napisati diferencijalnujedna£inu kretanja ta£ke i odrediti reakciju veze.Napomena: matemati£ko klatno je materijalna ta£ka koja jevezana nerastegljivim uºetom za nepokretan oslonac.

Mat. ta£ka se kre¢e u (vertikalnoj) ravni, tako da raspolaºe sa2 stepena slobode

Mat. ta£ka je vezana uºetom date duºine za nepokretanoslonac, tako da je broj stepeni slobode jednak: n = 2− 1 = 1

Matemati£ko klatno u vertikalnoj ravni se kre¢e po kruºnojputanji sa centrom u nepokretnom osloncu




Matemati£ko klatno u vertikalnoj ravni






Generalisana koordinata je ugao ϕ

Ta£ka klatna se kre¢e po kruºnici radijusa `(nerastegljivo uºe je veza)

Komponente ubrzanja ta£ke u proizvoljnom poloºaju su(brzina je v = `ϕ):

aT = v = `ϕ aN =v2

ρ= `ϕ2

Ukoliko se ukloni veza (uºe), na slobodnu ta£ku delujusopstvena teºina (aktivna sila) i sila u uºetu (nepoznatareakcija veze)




Matemati£ko klatno u vertikalnoj ravni






Diferencijalna jedna£ina kretanja (djk) se prikazuje u prirodnimkoordinatama:

m~a = ~FR ⇒ maT = FRTmaN = FRN

Dobija se:

m`ϕ = −mg sinϕ

m`ϕ2 = S −mg cosϕ(1)






Iz prve od jedn. (1) se dobija diferencijalna jedna£ina kretanja:

ϕ+g

`sinϕ = 0 (2)

Iz druge od jedn. (1) se dobija sila u uºetu (reakcija veze):

S = m`ϕ2 +mg cosϕ (3)

Naravno, sila u uºetu S moºe da se odredi tek kada se re²i djk

djk (2) ne moºe da se re²i preko elementarnih funkcija, ve¢ sesvodi na specijalne funkcije (elipti£ke funkcije prve vrste)




Primer - kosi hitac u bezvazdu²nom prostoru




Sadrºaj







A2: Aksiom o kretanju tela (Aksiom o promeni koli£ine kretanja)

Promena koli£ine kretanja tela proporcionalna je sili koja delujei vr²i se u pravcu i smeru delovanja sile.

Zakon o promeni koli£ine kretanja

Koli£ina kretanja materijalne ta£ke: ~K = m~v

Zakon o promeni koli£ine kretanja (Osnovni oblik):

d ~K

dt= ~F

De�ni²e se elementarni impuls sile: d~I = ~Fdt






Transformacijom Zakona o promeni koli£ine kretanja:

d ~K

dt= ~F/ · dt ⇒

dobija se:

Zakon o promeni koli£ine kretanja u diferencijalnom obliku:Diferencijal koli£ine kretanja jednak je elementarnom impulsusile

d ~K = d~I gde je d~I = ~Fdt






Iz Zakona o promeni koli£ine kretanja u diferencijalnom obliku,integracijom relacije se dobija

d ~K = ~Fdt/ ·∫ t2

t1

Zakon o promeni koli£ine kretanja u integralnom obliku,

~K2 − ~K1 = ~I(t1, t2) gde je ~I(t1, t2) =

∫ t2

t1

~Fdt

kona£an impuls sile u intervalu vremena [t1, t2]




Sadrºaj







Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja

Posmatra se Zakon o promeni koli£ine kretanja materijalneta£ke (u osnovnom obliku), pri £emu se ~K prikazuje kao m~v.

Zakon o promeni koli£ine kretanja se mnoºi vektorski sa levestrane sa vektorom poloºaja ~r (koji se meri iz ta£ke O):

md~v

dt= ~F /~r × (4)

tako da se dobija

m~r × d~r

dt= ~r × ~F






Kako jed

dt(~r × ~v) = d~r

dt× ~v + ~r × d~v

dt

odosno, kako je d~rdt × ~v = ~v × ~v = 0, to je

d

dt(~r × ~v) = ~r × d~v

dt

Prema tome, jedna£ina (4) je data sa

md

dt(~r × ~v) = ~r × ~F odn.

d

dt(~r ×m~v) = ~r × ~F (5)






Izraz na desnoj strani (5) je momenat sile ~F za ta£ku O:

~M (O) = ~r × ~F

De�ni²e se vektor momenta koli£ine kretanja za ta£ku O

~D(O) = ~r × ~K = ~r ×m~v

Time se dobija se Zakon o promeni momenta koli£ine kretanjau osnovnom obliku:

d ~D(O)

dt= ~M (O) (6)






Zakon za materijalnu ta£ku nije od posebnog zna£aja

Zakon (6) se mnoºi sa diferencijalom vremena dt:

d ~D(O)

dt= ~M (O) / · dt

£ime se dobija Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja udiferencijalnom obliku:

d ~D(O) = d ~H(O) gde je d ~H(O) = ~r × d~I = ~r × ~Fdt

Izraz d ~H(O) je elementarni impulsni momenat






Zna£i, Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja udiferencijalnom obliku glasi: Diferencijal momenta koli£inekretanja jednak je elementarnom impulsnom momentu

Integralni oblik Zakona se dobija kada se diferencijalni oblikintegrali u nekom intervalu vremena:

d ~D(O) = d ~H(O)/

∫ t2

t1

⇒ ~D(O)2 − ~D

(O)1 = ~H(O)(t1, t2)

gde je

~H(O)(t1, t2) =

∫ t2

t1

~r × ~Fdt

impulsni momenat sile ~F u intervalu t ∈ [t1, t2]





Zakon o odrºanju koli£ine kretanja

Ako je sila koja deluje na ta£ku nula, ~F = 0:

d ~K

dt= ~F ⇒ ~K = const ili ~K2 = ~K1

Zakon o odrºanju momenta koli£ine kretanja

Ako je ~F = 0, onda je, tako�e,

d ~D(O)

dt= ~M (O) ⇒ ~D(O) = const ili ~D

(O)2 = ~D

(O)1



Kineti£ka energija i elementarni radKonzervativne sileZakon o odrºanju mehani£ke energije

Sadrºaj







Zakon o promeni kineti£ke energije

Kineti£ka energija materijalne ta£ke se de�ni²e sa:

T =1

2m (~v)2

Elementarni rad sile (rad na elementarnom pomeranju d~r):

dA = ~F · d~r

Posmatra se Zakon o promeni koli£ine kretanja (osnovni oblik)i mnoºi se skalarno sa d~r

md~v

dt= ~F / · d~r





Zakon o promeni kineti£ke energije u diferencijalnom obliku

Dobija se:

md~v

dt· d~r = ~F · d~r

Transformi²e se leva strana jednakosti

md~v · d~rdt

= ~F · d~r ⇒ m~v · d~v = ~F · d~r

²to moºe da se napi²e u obliku:

d(1

2m~v2) = ~F · d~r





Zakon o promeni kineti£ke energije u diferencijalnom obliku

i pretstavlja Zakon o promeni kineti£ke energije udiferencijalnom obliku:

Diferencijal kineti£ke energije jednak je elementarnom radu sile,

dT = dA (7)

Na levoj strani relacije dT = dA je totalni diferencijal(diferencijal kineti£ke energije)

Na desnoj strani je elementarni rad sile, koji je samo uspecijalnom slu£aju totalni diferencijal





Zakon o promeni kineti£ke energije u kona£nom obliku

Posmatra se kona£an interval vremena [t1, t2] i kretanje ta£keiz poloºaja (1), u trenutku t1, do poloºaja (2), u trenutku t2.

Relacija (7) se integrali u granicama (1) do (2):∫ (2)

(1)dT =

∫ (2)

(1)dA (8)

Leva strana (8) je integral totalnog diferencijala dT u datimgranicama (1) do (2), tako da se dobija T2 − T1Desna strana je odre�en integral u granicama (1) do (2)elementarnog rada dA, koji moºe, ali ne mora da bude totalnidiferencijal.





Zakon o promeni kineti£ke energije u kona£nom obliku

Dobija se Zakon o promeni kineti£ke energije u integralnomobliku:

dT = dA ⇒ T2 − T1 = A1−2

gde je

A1−2 =

∫ (2)

(1)

~F · d~r

kona£an rad sile ~F na putu iz poloºaja (1) u poloºaj (2)

Kona£an rad sile A1−2 zavisi od putanje po kojoj se ta£kakre¢e





Primer: kretanje ta£ke uz strmu ravan

Posmatra se materijalna ta£ka mase m koja se kre¢e uvertikalnoj ravni po idealno glatkoj strmoj ravni nagiba α premahorizontali. U po£etnom trenutku ta£ka se nalazi u poloºaju Ana podnoºju strme ravni i ima poznatu brzinu v1 u tompoloºaju (usmerenu na gore).Odrediti mesto i vreme (poloºaj B) gde ¢e ta£ka da se zaustavi.Dalje kretanje (niz strmu ravan) zanemariti.

Po£etni poloºaj ta£ke je poloºaj A u kome je poznata brzina v1sa smerom na gore.

Iz tog poloºaja se meri koordinata x sa smerom na gore (to jegeneralisana koordinata)






Krajnji poloºaj ta£ke je poloºaj B u kome je brzina jednakanuli.

Pre�eni put od A do B je nepoznate duºine L, a proteklovreme je t = t2 − t1Dva na£ina re²avanja zadatka (u ovom primeru):

- Formulisanje dif.jed. kretanja, po£etnih uslova i re²avanje djk- Primena Zakona o promeni koli£ine kretanja i Zakona opromeni kineti£ke energije






(1) Diferencijalna jedna£ina kretanja - osnovni pristup

Ta£ka se kre¢e uz strmu ravan sa jednim stepenom slobode,n = 1

Generalisana koordinata je q1 = x

U proizvoljnom poloºaju tokom kretanja uzbrdo, brzina iubrzanje ta£ke su v = x, a = x

Na ta£ku deluju sopstvena teºina, kao jedina aktivna sila, kao ireakcije veze (uticaj idealno glatke strme ravni)

To su sile G = mg (vertikalno na dole) i R = N (upravno nastrmu ravan)






Diferencijalna jedna£ina kretanja ta£ke glasi

m~a = ~FR ⇒mx = −mg sinα

0 = N −mg cosα(9)

Prva od jedn. (9) je djk, a iz druge se dobja reakcija veze N(koja nije predmet interesovanja)

Po£etni uslovi kretanja su:

t1 = 0 : x(0) = 0, v(0) = v1 (10)






Op²ti integral diferencijalne jedna£ine kretanja je dat sa

x = −g t sinα+C1, x(t) = −1

2g t2 sinα+C1 t+C2 (11)

Integracione konstante se dobijaju iz po£etnih uslova:

x(0) = 0 : 0 = C2

x(0) = v1 : v1 = C1(12)

Re²enje djk je dato sa:

v(t) = −g t sinα+ v1, x(t) = −1

2g t2 sinα+ v1 t (13)






U poloºaju B se ta£ka zaustavi, pa je uslov zaustavljanja datsa v(t2) = 0

Iz re²enja djk (13) se dobija vreme t2:

v(t2) = 0 ⇒ t2 =v1

g sinα

Unose¢i dobijeno vreme t2 u re²enje (13) dobija se pre�eni putL:

x(t2) = L ⇒ L =1

2

v21g sinα






(2) Alternativno re²enje: Zakon o promeni koli£ine kretanjaK2 −K1 = IR(t1, t2), pri £emu je K2 = 0, jer je v2 = 0:

−mv1 = −mg sinα(t2 − t1) (14)

Na ta£ku deluje konstantna sila u pravcu kretanja, tako da jekona£an impuls jednak proizvodu komponente sile u pravcukretanja i kona£nog intervala vremena (pri £emu je t1 = 0)

Iz jedn. (14) se direktno dobija vreme kretanja ta£ke dozaustavljanja u poloºaju B:

t2 =v1

g sinα






Pre�eni put se dobija direktno iz Zakona o promeni kineti£keenergije T2 − T1 = A1−2, pri £emu je T2 = 0, jer se u poloºjuB ta£ka zaustavi:

−1

2mv21 = −mg sinα · L (15)

Kako je komponenta sile u pravcu kretanja konstantna, to jekona£an rad te sile na putu do poloºaja B jednak (negativnom,zbog smerova) proizvodu sile i duºine puta L

Iz jedn. (15) se direktno dobija pre�eni put ta£ke dozaustavljanja:

L =1

2

v21g sinα

Kao ²to se vidi, alternativno re²avanje zadatka je (u ovomprimeru) znatno e�kasnije




Sadrºaj







Elementarni rad sile

Elementarni rad sile ~F (odn. rad sile na elementarnompomeranju d~r ta£ke na koju sila deluje), je de�nisan sa:

dA = ~F · d~r

odnosno sa:dA = |~F ||d~r| cos(~F , d~r)

U Dekartovim koordinatama je elementarni rad:

dA = Xdx+ Y dy + Zdz

gde su ~F = {X,Y, Z} d~r = {dx, dy, dz}





Konzervativne sile

Izraºeno u prirodnim koordinatama, elementarni rad je

dA = Fτ ds

Kona£an rad sile na putu ta£ke iz poloºaja (1) u poloºaj (2):

A1−2 =

∫ (2)

(1)

~F · d~r

Vektor sile je sloºena funkcija vremena, ~F = ~F (~r,~v, t),

pa kona£an rad sile A1−2 zavisi od putanje po kojoj se ta£kakre¢e





Konzervativne sile

Ako se posmatra kretanje u prirodnim koordinatama, onda jekona£an rad dat sa

A1−2 =

∫ t2

t1

Fτ ds gde je Fτ = Fτ (s, v, t)

Ovaj integral moºe da se prikaºe kao integral po vremenu, uzrelaciju ds = v dt:

A1−2 =

∫ t2

t1

~F · ~v dt =∫ t2

t1

Fτ [s(t). v(t), t] dt





Konzervativne sile

Ako je elementarni rad prikazan u odnosu na Dekartov sistem,onda je kona£an rad sile dat sa:

A1−2 =

∫ (2)

(1)(Xdx+ Y dy + Zdz)

ili, kao integral po vremenu:

A1−2 =

∫ t2

t1

(Xx+ Y y + Zz)dt





Konzervativne sile

Da bi ovakav interal mogao da se izra£una, potrebno je da se

poznaje zavisnost sile ~F od vremena:

- posredno (preko ~v i ~r),

- kao i neposredno, jer je ~F = ~F (~r,~v, t),

Zna£i, potrebno je da se poznaje i kona£na jedna£ina kretanjata£ke ~r = ~r(t).

Zaklju£ak je da, u op²tem slu£aju, ukupan izvr²eni rad zavisiod putanje po kojoj se ta£ka kre¢e





Konzervativne sile

U posebnom slu£aju kona£an rad sile ne zavisi od putanje pokojoj se ta£ka kre¢e

Ako sila ima takvu osobinu, onda se naziva konzervativna sila

De�nicija konzervativnih sila:

Sile su konzervativne ukoliko njihov kona£an rad ne zavisiod putanje, ve¢ samo od poloºaja po£etne i krajnje ta£kena putanji





Konzervativne sile

Kona£an rad sile, dat sa:

A1−2 =

∫ (2)

(1)

~F · d~r =∫ (2)

(1)(Xdx+ Y dy + Zdz)

je nezavistan od putanje ukoliko je podintegralna funkcijatotalni diferencijal neke skalarne funkcije

Pretpostavlja se da postoji skalarna funkcija poloºajaU = U(x, y, z) takva da se koordinate vektora sile izraºavajukao:

X = −∂U∂x

Y = −∂U∂y

Z = −∂U∂z





Konzervativne sile

Takva sila, kra¢e napisano, je gradijent funkcijeU = U(x, y, z):

~F = −gradU = −~∇U

gde je ~∇ simboli£ni gradijentni (nabla) vektor:

~∇ =∂

∂x~ı+

∂

∂y~+

∂

∂z~k





Konzervativne sile

Funkcija U = U(x, y, z) se zove potencijal polja sile

Polje sile je deo prostora (u kome se kre¢e posmatrani objekat)kod koga svakoj ta£ki prostora odgovara neka vrednost sile

potencijal polja sile U = U(x, y, z) je, u isto vreme, ipotencijalna energija, jer se potencijalna energija de�ni²e kaorazlika izme�u posmatranog i nultog potencijala:

U = U(x, y, x)− U0

pri £emu je U0(x, y, z) = 0, odn. pretstavlja �nulti� potencijal





Konzervativne sile

Za silu koja je data u obliku ~F = −gradU = −~∇Uelementarni rad postaje:

dA = ~Fd~r = −∂U∂x

dx− ∂U

∂ydy − ∂U

∂zdz = −dU

Elementarni rad sile je jednak negativnoj elementarnoj promeni(diferencijalu) potencijalne energije

dA = −dU





Konzervativne sile

Kona£an rad je tada:

A1−2 =

∫ (2)

(1)dA = −

∫ (2)

(1)dU = U1 − U2

odnosno, nezavistan je od oblika putanje, ve¢ samo odpo£etnog i krajnjeg poloºaja na putanji

Kona£an rad konzervativnih sila na zatvorenoj putanjijednak je nuli

Zatvorena putanja zna£i da se po£etna i krajnja ta£kapoklapaju

To moºe da bude i alternativna de�nicija konzervativnih silaR.Mandi¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2




Konzervativne sile

Kako je, za konzervativne sile, kona£an rad dat sa:

A1−2 =

∫ (2)

(1)dA = −

∫ (2)

(1)dU = U1 − U2

to je ukupan rad jednak razlici potencijala u po£etnom ikrajnjem poloºaju

Ako se po£etni i krajnji poloºaj poklapaju (zatvorena putanja),o£igledno je ukupan rad jednak nuli:

(1) ≡ (2) ⇒ U1 = U2 ⇒ A1−2 = 0





Konzervativne sile

Ako se ta£ka kre¢e u poloºaj sa ve¢im potencijalom, U2 > U1,onda je rad negativan ⇒ potrebno je da se unese rad da bi seto realizovalo

Ako se ta£ka kre¢e u poloºaj sa manjim potencijalom,U2 < U1, izvr²en rad je pozitivan, odn. osloba�a se rad

Princip rada gravitacionih brana (osloba�anje rada, odn.transformacija u energiju)





Konzervativne sile

U = U(x, y, z) je potencijal polja sile (potencijalna energija)

Ako je potencijal sile U(x, y, z) neprekidna funkcija poloºaja,onda njeni drugi (me²oviti) izvodi zadovoljavaju uslovekomutativnosti:

∂∂x(

∂U∂y ) =

∂∂y (

∂U∂x )

∂∂y (

∂U∂z ) =

∂∂z (

∂U∂y )

∂∂z (

∂U∂x ) =

∂∂x(

∂U∂z )

odn.

∂Y∂x −

∂X∂y = 0

∂Z∂y −

∂Y∂z = 0

∂X∂z −

∂Z∂x = 0

(16)





Konzervativne sile

Relacije (16)/2 pretstavljaju dovoljne uslove konzervativnostisile

Ovi uslovi mogu da se pi²u skra¢eno kao

rot ~F = 0 (17)

gde rot ~F pretstavlja rotor sile ~F de�nisan sa:

rot ~F = ~∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

X Y Z

∣∣∣∣∣∣R.Mandi¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2




Konzervativne sile

U = U(x, y, z) je potencijal polja sile (potencijalna energija)

Potrebni uslovi za konzervativnost sile ~F su:

~F = −gradU = −~∇U

Dovoljni uslovi za konzervativnost sile ~F su:

rot ~F = ~∇× ~F = 0

Zna£i, ako su koordinate vektora sile ~F = {X,Y, Z} takve dasu zadovoljene relacije (16)/2: ∂Y

∂x −∂X∂y = 0, itd, onda je sila

konzervativna




Sila gravitacije je konzervativna





Primeri konzervativnih sila - sila gravitacije

Sila gravitacije je intenziteta G = mg, gde je m masa, a gubrzanje zemljine teºe

Pravac sile gravitacije (odn. sopstvene teºine) je vertikalan, asmer je na dole, odn. ka Zemlji

Sila gravitacije (z je vertikalna osa sa smerom na gore) moºeda se prikaºe kao vektor

~G = {0, 0,−mg} = −mg~k

De�ni²e se skalarna funkcija jedne promenljive (koordinate z):

U = U(z) = mg z





Primeri konzervativnih sila

Funkcija U = U(z) = mgz o£igledno pretstavlja potencijal silegravitacije, jer jedina koordinata sile ~G = −mg~k moºe da seizrazi kao negativni gradijent funkcije U :

Z = −dUdz

odn. ~G = −gradU = −mg~k

Rotor sile ~G je dat sa

rot ~G = ~∇× ~G =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

0 0 −mg

∣∣∣∣∣∣ = {0, 0, 0}Prema tome, sile ~G je konzervativna






Vertikalna koordinata z se meri sa smerom na gore od povr²ineZemlje, koja se posmatra kao prostor sa �nultim potencijalom�(z = 0)

Funkcija U(z) = mgz pretstavlja tada potencijalnu energiju

sile gravitacije

Materijalna ta£ka (ili telo) na ve¢oj visini ima ve¢upotencijalnu energiju od tela na manjoj visini

Potencijalna energija je energija poloºaja

Akumulaciono jezero gravitacione brane ima velikupotencijalnu energiju (velika masa na velikoj visini u odnosu nadno brane)




Sila u elasti£noj opruzi je konzervativna





Primeri konzervativnih sila - sila u elasti£noj opruzi

Sila u elasti£noj opruzi je de�nisana sa

- pravcem opruge- koe�cijentom krutosti k- duºinom u nenapregnutom stanju

Smer sile u opruzi je takav da teºi da vrati oprugu unenapregnuto stanje - sila u opruzi je restituciona sila

Koe�cijent krutosti elasti£ne opruge (ili samo krutost opruge)je sila koja je potrebna da izvr²i jedini£no pomeranje opruge uodnosu na nenapregnutu duºinu

Krutost opruge se izraºava u jedinicama [Sila/Duºina], naprimer [kN/m], [MN/m] i sl.






Sila u elasti£noj opruzi ima intenzitet koji je proporcionalan sapomeranjem u odnosu na nenapregnutu duºinu (sa izduºenjemili sabijanjem)

Smer je uvek takav da teºi da vrati oprugu u nenapregnutostanje

Ako je intenzitet sile linearno proporcionalan sa pomeranjem,onda je opruga linearno elasti£na

Koe�cijent krutosti opruge je koe�cijent proporcionalnostiizme�u sile i duºine (u odnosu na nenapregnuto stanje)






Intenzitet linearno elasti£ne opruge je dat sa

Fop = k x

gde je k krutost, a x promena duºine u odnosu nanenapregnuto stanje

Ako se koordinata x u pravcu opruge meri od nenapregnuteduºine opruge, u izabranom smeru, obi£no u smeru izduºenjaopruge, onda je vektor sile u opruzi dat sa

~Fop = −k x~ı






Opruga moºe da bude i nelinearno elasti£na

Sila u nelinearno elasti£noj opruzi moºe da se de�ni²e, naprimer, u obliku

Fop = k1 x+ k2 x3 ili, npr. Fop = k x2/3

Nelinearno elasti£na opruga moºe da bude

- sa oja£anjem (sa porastom x sila je ve¢a u odnosu na kx)- sa omek²avanjem (sa porastom x sila je manja u odnosu nakx)






Moºe da se de�ni²e funkcija jedne promenljive U = U(x):

U = U(x) =1

2k x2

O£igledno je da funkcija U(x) pretstavlja potencijal sile uelasti£no opruzi, ako je k koe�cijent krutosti, jer sila u opruzimoºe da se prikaºe kao

U =1

2kx2 ⇒ ~Fop = −gradU = −kx~ı = {X(x), 0, 0}

Funkcija U = U(x) pretstavlja potencijalnu energiju elasti£neopruge

Vidi se da je za silu ~F = {X(x), 0, 0} rotor jednak nuliR.Mandi¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2





Sila ~F , koja je zavisna od poloºaja na slede¢i na£in,

~F = {X(x), Y (y), Z(z)}

je tako�e konzervativna sila, jer je njen rotor jednak nuli:

rot ~F = ~∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

X(x) Y (y) Z(z)

∣∣∣∣∣∣ = 0

Oblik potencijala polja takve sile (njene potencijalne energije)zavisi od konkretnih zavisnosti koordinata sile i poloºaja i zasvaku silu se traºi odgovaraju¢a funkcija U = U(x, y, z)




Sadrºaj







Zakon o odrºanju mehani£ke energije

Zakon o promeni kineti£ke energije (za bilo kakve sile):

dT = dA ⇒ T2 − T1 = A1−2

Za konzervativne sile vaºi:

dA = −dU ⇒ A1−2 = U1 − U2

Zakon o promeni kineti£ke energije (za konzervativne sile):

dT = dA = −dU ⇒ dT + dU = 0 ⇒ T + U = const

Ukupna mehani£ka energija konzervativnog sistema jekonstantna


TEHNICKA MEHANIKA 2 - Osnovne akademske …...oslonac, tako da je broj stepeni slobode jednak: n= 2...

Documents

Transcript of TEHNICKA MEHANIKA 2 - Osnovne akademske …...oslonac, tako da je broj stepeni slobode jednak: n= 2...