T´ecnicas de optimizaci´on....

Indice Definicion Composicion Tipos de problemas Ejemplos

Tecnicas de optimizacion. Introduccion.

Diego A. Patino

Pontificia Universidad Javeriana

18 de julio de 2016

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Definicion

Composicion

Tipos de problemas

Ejemplos

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¿Que es “optimizacion”?

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Solucion de un cubo Rubiks

Distribucion de energıa en una reda partir de un generador y deacuerdo con el costo

Problema de cartera (Bolsa de va-lores)

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Algunos otros problemas que podemos responder

• ¿Cual es la figura geometrica que puede abarcar mas area?

• ¿Cuales son los valores R , L y C en un circuito para obtenerla maxima transferencia de potencia?

• ¿Cual es la curva que permite que una partıcula se mueva deun punto a otro en tiempo mınimo?

• ¿Como disenar estructuras de aeronaves para que tengan unpeso mınimo?

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Algunos otros problemas que podemos responder

• ¿Cual es la figura geometrica que puede abarcar mas area?

• ¿Cuales son los valores R , L y C en un circuito para obtenerla maxima transferencia de potencia?

• ¿Cual es la curva que permite que una partıcula se mueva deun punto a otro en tiempo mınimo?

• ¿Como disenar estructuras de aeronaves para que tengan unpeso mınimo?

La optimizacion es un conjunto de

metodos utilizados para la toma de

decisiones.4/ 20


Definicion

• Un problema de optimizacion requiere poder expresar un“costo” como una funcion matematica f (x). La optimizacionbusca el maximo o el mınimo de esta funcion.

mınx∈R

{f (x)} = maxx∈R

{−f (x)}

Problema: Minimizar f (x)sobre R o Maximizar−f (x)sobre R

0 1 2 3 4 5 6 7 8−30

−20

−10

0

10

20

30

Valor optimo de X, minimo de f(x)

Valor optimo de X, maximo de f(x)

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Definicion


mınx∈R

{f (x)} = maxx∈R

{−f (x)}


0 1 2 3 4 5 6 7 8−30

−20

−10

0

10

20

30



• Optimizacion es la minimizacion de una funcion f (x).

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Definicion


mınx∈R

{f (x)} = maxx∈R

{−f (x)}


0 1 2 3 4 5 6 7 8−30

−20

−10

0

10

20

30



• Optimizacion es la minimizacion de una funcion f (x).

• Optimizacion=programacion matematica ≈ investigacion deoperaciones. 5/ 20


Algo de historia

• 1947: Metodo simplex(Dantzig).

• 1951: Condiciones deKuhn Tucker (Kuhn yTucker).

• 1957: Programaciondinamica (Bellman).

• 1960: Programacionno lineal (Zoutendijky Rosen).

Metodos computacionales

Cálculo diferencial

Cálculo de variaciones

Análisis convexo

• Mitad del siglo 20, la optimizacion avanza gracias a loscomputadores.

• 1994: Teorıa de juegos (Nash).

• Ultimos 20 anos: Algoritmos geneticos y redes neuronales.

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Composicion

Encontrar X ∈ {x1, x2, . . . , xn} tal que minimice f (X , ξ)

sujeto a las restricciones

gj (X ) < 0, j = 1, 2, . . . ,m

lj(X ) = 0, j = 1, 2, . . . , p

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Composicion

Encontrar X ∈ {x1, x2, . . . , xn} tal que minimice f (X , ξ)

sujeto a las restricciones

gj (X ) < 0, j = 1, 2, . . . ,m

lj(X ) = 0, j = 1, 2, . . . , p

Un problema de optimizacion esta compuesto por:

• Conjunto de variables de diseno o de decision X con susdominios {x1, x2, . . . , xn}.

• Parametros ξ.

• Restricciones de desigualdad gj (X ).

• Restricciones de igualdad lj(X ).

• Funcion objetivo o de costo f (X , ξ).

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Composicion

• Las variables de diseno deben tener un conjunto admisible yeste se encuentra de acuerdo con la fısica del problema. A esteconjunto se le denomina espacio de la variable de diseno oespacio de diseno.

• Las restricciones que reflejan ciertos requerimientos de disenose les denomina restricciones de diseno.

• Las restricciones que representan las limitaciones fısicas se lesdenomina restricciones geometricas.

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ComposicionEjemplo:

Considere un problema de diseno de un sistema de engranajes,considere la distancia d fija, el angulo de presion y los materiales

conocidos. Encuentre los componentes del problema.9/ 20


Composicion

Supongamos restricciones de la forma gj (X ) ≤ 0.

x1

x2

g1 = 0

g2 = 0g3 = 0

g4 = 0g5 = 0

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Composicion

Supongamos restricciones de la forma gj (X ) ≤ 0.

x1

x2

g1 = 0

g2 = 0g3 = 0

g4 = 0g5 = 0

Punto libre

Punto limite aceptable

Punto limite inaceptable

Punto inaceptable

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Composicion

Acerca de la funcion objetivo:

• Depende del criterio de diseno que se desee minimizar omaximizar.

• Puede representar multiples criterios. ¿Como?

• Se debe escoger adecuadamente para que el problema tengasolucion y tenga sentido.

Un problema de optimizacion se puede resolver facilmente demanera grafica (cuando es posible) con la ayuda de las curvas de

nivel de la funcion objetivo.

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Composicion

Ejemplo: Encontrar el valor de X = [x1, x2]T que soluciona el

problema de optimizacion:

mınx1,x2

− 2x1 − x2

s.t. x1 +8

3x2 ≤ 4

x1 + x2 ≤ 2

2x1 ≤ 3

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

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Clasificacion de los problemas de optimizacion

• Basada en la existencia de restricciones.• Con restricciones.• Sin restricciones.

• Basada en la naturaleza de las variables de diseno:• Encontrar parametros.• Encontrar funciones.

• Basada en la estructura fısica del problema:• Problemas de control optimo.• Problemas de control no optimo o cuasi-optimo.

• Basada en la naturaleza de las ecuaciones.• Programacion lineal.• Programacion no lineal.• Programacion cuadratica.• Programacion geometrica.

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Clasificacion de los problemas de optimizacion

• Basada en el conjunto de las variables de diseno.• Programacion entera.• Programacion real.

• Basada en la aleatoreidad de las variables.• Programacion deterministica.• Programacion estocastica.

• Basada en el numero de funciones objetivos• Mono-objetivo.• Multi-objetivo.

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El problema de transporte

Ejemplo: Cierto producto debe enviarse en determinadascantidades u1, . . . , um desde cada uno de los m orıgenes, y recibirseen cantidades v1, . . . , vn en cada uno de los n destinos. Elproblema consiste en determinar las cantidades xij que debenenviarse desde el origen i al destino j para minimizar el costo delenvıo. Plantear el problema de optimizacion. ¿De que tipo deproblema se trata segun la clasificacion anterior?

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El paquete postal

Un paquete postal es una caja de dimensiones x , y y z . Supongaque se tiene un requerimiento que la altura mas el perımetro de labase no puede exceder 108 cm. Formular el problema deoptimizacion si se busca maximizar el volumen del paquete.Determine el tipo de problema de optimizacion.

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Problema de manufactura

Una empresa fabrica dos productos, A y B usando dos materialesdiferentes y limitados por unidades. La maxima cantidad dematerial disponible por dıa es de 1000 y 250 unidades,respectivamente. La produccion de 1 u. del producto A requiere 1u. del material 1 y 0,2 u. del material 2. La produccion de 1 u. deB requiere 0,5 u. del material 1 y 0,5 u. del material 2. El costopor u. del material 1 y 2 es 0,375− 0,00005u1 y 0,76− 0,0001u2respectivamente, donde ui denota el numero de unidades delmaterial usado i . Los precios de venta de A y B , pA y pB son:

pA = 2− 0,0005xA − 0,00015xB

pB = 3,5− 0,0002xA − 0,0015xB

xA y xB es el numero de productos A y B vendidos. Formular elproblema de maximizacion de la rentabilidad asumiendo que laempresa puede vender todas las unidades que fabrica.

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Problema de carga

Un camion lleva artıculos de 5 tipos diferentes. El peso wi ,volumen vi y el valor monetario ci de cada tipo de artıculo para laventa esta dado por la siguiente tabla:

Tipo wi [Kg ] vi [m3] ci

1 4 9 52 8 7 63 2 4 34 5 3 25 3 8 8

Encontrar el numero de artıculos de cada tipo xi (i = 1, 2, 3, 4, 5)para que el valor monetario de la carga sea el maximo. El peso totalno puede exceder 2000Kg y el volumen 2500m3 respectivamente.

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Problema de flujo en una redConsiderese una red de transporte a traves de la cual deseamandarse un producto homogeneo desde ciertos puntos de la red,llamados nodos fuente, hasta otros nodos de destino, llamadossumideros. Ademas de estas dos clases de nodos, la red puedecontener nodos intermedios, donde no se genera ni se consume elproducto que esta fluyendo por la red. Se desea minimizar el costode transporte del producto. Formular el problema de optimizacion.

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