Technique d’équilibrage

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Hatto Schneider

Technique d’équilibrageTraduction de la 6e édition allemande

Traduit de la 6e édition allemandeAuswuchttechnik by Hatto Schneider© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003Springer est membre du groupe Springer Science + Business Media

ISBN-10 : 2-287-32750-9 Springer Paris Berlin Heidelberg New YorkISBN-13 : 978-2-287-32802-2 Springer Paris Berlin Heidelberg New York© Springer-Verlag France, Paris 2006Imprimé en France

Cet ouvrage est soumis au copyright. Tous droits réservés, notamment la reproduction et la représentation, latraduction, la réimpression, l’exposé, la reproduction des illustrations et des tableaux, la transmission par voie d’en-registrement sonore ou visuel, la reproduction par microfilm ou tout autre moyen ainsi que la conservation des banquesde données. La loi française sur le copyright du 9 septembre 1965 dans la version en vigueur n’autorise une reproductionintégrale ou partielle que dans certains cas, et en principe moyennant le paiement des droits. Toute représentation,reproduction, contrefaçon ou conservation dans une banque de données par quelque procédé que ce soit est sanctionnéepar la loi pénale sur le copyright.L’utilisation dans cet ouvrage de désignations, dénominations commerciales, marques de fabrique, etc. même sansspécification ne signifie pas que ces termes soient libres de la législation sur les marques de fabrique et la protection desmarques et qu’ils puissent être utilisés par chacun.

SPIN : 11682295

Couverture : Jean-François Montmarché

Hatto SchneiderRotor Balancing ConsultingIm Kantelacker 3964646 HeppenheimAllemagne

TraductionAdelink - Daniel Gondouinwww.adelink.com

Avant-propos

Livre de référence depuis de nombreuses années dans le domaine,Auswuchttechnik, souvent qualifié de « bible de l’équilibrage » méritait d’êtreaccessible au plus grand nombre en langue française.

Écrit en langue allemande par un ancien collaborateur de la société, SchenckFrance se devait de prendre l’initiative de cette édition en langue française afinde répondre aux attentes d’un public toujours plus nombreux faisant confiance ànotre marque.Professionnels de l’industrie, de l’automobile, de l’aéronautique, spécialistes dela mécanique, experts de la prestation d’équilibrage, enseignants et élèves deslycées et écoles techniques, c’est en pensant à vous que nous avons décidé deréaliser ce livre.

Vous trouverez dans Technique d’équilibrage la synthèse des connaissances et des pratiques en matière d’équilibrage ainsi que les principales références aux normes qui régissent ce domaine d’activité, retracées de manière simple,accessibles et abondamment illustrées.

Nous tenons ici à remercier tout particulièrement quelques personnes ayant jouéun rôle clé dans la réalisation de ce projet.Tout d’abord, M. Franck Descours, Directeur de l’activité Schenck RoTec enFrance, qui, par son expertise des métiers de l’équilibrage, sa connaissance de la langue allemande et son implication personnelle, a apporté son aide à la validation technique de la traduction. Mes remerciements vont également à M. Didier Hans, Directeur Commercial deSchenck RoTec et à M. Alain Boidin, Directeur Après-Vente de Schenck RoTecqui l’ont épaulé à chaque étape de cette réalisation. Sans eux et sans leur dévouement, ce projet n’aurait pu voir le jour.

L’ensemble des équipes de Schenck en France se joint à moi pour vous souhaiter une lecture à la fois riche et plaisante.

www.schenck-france.fr Bruno BraureSchenck France

Président

II Préface

Préface à la 6e édition allemande

Deux ans après la 5e édition, qui avait été totalement remaniée, voici l’éditionsuivante de l’ouvrage Technique d’équilibrage. Seuls deux chapitres ont étéprofondément modifiés : � dans la 5e édition nous avions déjà signalé que les normes pour la

protection sur les machines à équilibrer devaient être révisées en raisondes nouvelles évolutions. Depuis, la nouvelle édition de la norme ISO7475 a été publiée. Le chapitre 15 – « Protection lors de l’équilibrage » – a été mis à jour ;

� certains termes et définitions de la technique d’équilibrage ont été discutésau niveau international et modifiés dans la nouvelle édition de la norme ISO 1925. Même si l’unanimité n’a pas encore été trouvée, le chapitre17.2 a été modifié en conséquence : il précise certaines contradictions etles améliorations envisageables de la norme actuelle. Des modificationsont été effectuées avant tout dans les domaines Balourd (17.2.3) et RotorsFlexibles (17.2.6).

La préface de la 5e édition est reproduite sans modification.

Heppenheim, décembre 2002 Hatto Schneider

Préface à la 5e édition

Les premiers rotors, notamment les moulins à vent ou à eau, ontvraisemblablement été équilibrés dès l’Antiquité. C’est à partir du début del’ère industrielle, au XIXe siècle, puis au XXe siècle que cette activité estdevenue vraiment intéressante, lorsque de nouveaux types importants debalourds ont été découverts.

Pratiquement tout ce qui tourne ou qui est monté sur des paliers estaujourd’hui équilibré. La gamme des rotors va de l’induit d’un modèle réduitde chemin de fer au générateur d’une centrale électrique, du disque dur d’unordinateur aux satellites de communication, du sèche-cheveux aux réacteurs d’avions. Le développement de ces machines s’accélère encore au début de cenouveau millénaire, avec des concepts inédits, des matériaux, des traitements et des séries encore plus grandes.

Les exigences envers la technique d’équilibrage sont donc de plus en plusgrandes, aussi bien en théorie qu’en pratique. Les connaissances du contexte et

des activités connexes à ce domaine spécifique augmentent donc enconséquence.

L’ouvrage Technique d’équilibrage a été publié pour la première fois il y a trente ans chez VDI Verlag, et à été réédité plusieurs fois. Il a été bienaccueilli dans le monde entier, et a été notamment traduit en anglais et enchinois.

La 5e édition a été prise en charge par Springer-Verlag en coopération avecla VDI. Elle a été profondément remaniée et décrit l’état des connaissances, telqu’il apparaît aujourd’hui dans les normes et directives ISO, DIN ISO et VDI.

En de nombreux points, nous mentionnons ou expliquons des aspects complémentaires, en effectuant par exemple une description exhaustive dubalourd des rotors, depuis l’état rigide jusqu’à l’état flexible. Certains de sesaspects demanderont encore plusieurs années pour arriver à maturité dans unenorme ou directive.

Cet ouvrage veut permettre une découverte systématique de ce domaine spécifique, aussi bien pour un étudiant que pour un professionnel. C’est aveccet objectif qu’il a été réorganisé, et illustré de schémas, d’illustrations et detableaux actuels.

Il peut également servir d’ouvrage de consultation pour les personnesexpérimentées dans la construction, l’acquisition de machines, la préparationdes travaux, la production, le développement et la recherche. En ce sens,l’indice a été détaillé et les références croisées dans le texte sont moins nombreuses.

L’équilibrage d’un rotor impose certaines opérations spécifiques, qui varient suivant la fonction, la construction, le processus de fabrication choisi,le nombre de pièces prévu, les directives de réception, les conditionsultérieures de service, etc. C’est pourquoi l’équilibrage prend constamment denouvelles formes, ce qui rend cette petite étape du processus de production siintéressante, voire la transforme en un véritable défi de technique etd’organisation.

La diversité du problème apparaît clairement lorsque l’on pense que le coûtpar pièce peut aller de quelques centimes à plusieurs milliers d’euros dans certains cas.

La recherche d’une solution optimale pour cette opération complexe nes’appuie pas sur quelques recettes, mais sur une connaissance solide des basesthéoriques de l’équilibrage, de son exécution pratique et de la performance desdifférents systèmes d’équilibrage.

J’espère que cet ouvrage sera un fidèle compagnon pour tous ceux quiaffrontent en permanence de nouveaux problèmes d’équilibrage dans leur activité quotidienne.

Heppenheim, juin 2000 Hatto Schneider

VIII Technique d’équilibrage

Sommaire I

Sommaire

Avant-propos ................................................................................. V

Préface à la 6e édition allemande ...................................... VII

1 Introduction .................................................................................... 1 1.1 Développement de la technique d'équilibrage ...................................... 2 1.2 Normes et directives ............................................................................. 8

2 Principes physiques ....................................................................... 9 2.1 Grandeurs physiques ............................................................................. 9 2.2 Scalaires et vecteurs .............................................................................. 9 2.2.1 Addition .............................................................................................. 10 2.2.2 Multiplication ..................................................................................... 10 2.3 Système d’unités.................................................................................. 12 2.3.1 Grandeurs fondamentales .................................................................... 12 2.3.2 Grandeurs dérivées ............................................................................. 12 2.4 Lois physiques .................................................................................... 13 2.4.1 Équation fondamentale de la dynamique ............................................ 13 2.4.2 Gravitation........................................................................................... 14 2.5 Rotation ............................................................................................... 14 2.5.1 Angle plan ........................................................................................... 15 2.5.2 Vitesse angulaire ................................................................................ 16 2.5.3 Vitesse tangentielle.............................................................................. 16 2.5.4 Accélération angulaire ........................................................................ 17 2.5.5 Accélération tangentielle ..................................................................... 17 2.5.6 Couple d'entraînement ........................................................................ 17 2.5.7 Moment d'inertie ................................................................................ 18 2.5.8 Accélération radiale ............................................................................ 18 2.5.9 Force centrifuge .................................................................................. 19 2.6 Oscillations ......................................................................................... 20 2.6.1 Oscillateur simple sous l'action de la force centrifuge......................... 20 2.6.1.1 Domaine sous-critique ........................................................................ 23 2.6.1.2 Domaine de résonance ........................................................................ 24 2.6.1.3 Domaine surcritique ........................................................................... 24 2.6.2 Degrés de liberté ................................................................................. 25

2.6.3 Raideur dynamique ............................................................................. 25

3 Théorie du rotor rigide ................................................................. 273.1 Définitions et explications ................................................................... 28 3.2 Balourd d'un rotor en forme de disque ............................................... 30 3.3 Balourd d'un rotor (cas général) ......................................................... 31 3.4 Balourd statique .................................................................................. 33 3.5 Moment de balourd ............................................................................. 36 3.6 Balourd quasi statique ........................................................................ 37 3.7 Balourd dynamique ............................................................................ 39 3.8 Représentation d'un balourd ............................................................... 40 3.8.1 Dernière approche .............................................................................. 44

4 Théorie du rotor flexible .............................................................. 474.1 Rotor plastique .................................................................................... 48 4.2 Rotor à corps élastique ....................................................................... 48 4.3 Rotor à arbre élastique ........................................................................ 50 4.3.1 Rotor à arbre élastique idéal ............................................................... 51 4.3.2 Influence de la rigidité des paliers ...................................................... 52 4.3.3 Fréquence à l’arrêt et vitesse critique ................................................. 54 4.3.4 Rotor à arbre élastique (cas général) ................................................... 55 4.3.5 Action des balourds sur les rotors à arbre élastique ............................ 55 4.3.5.1 Balourds modaux ................................................................................ 56 4.3.5.2 Balourd modal équivalent .................................................................. 56 4.3.6 Correction d'un rotor à arbre élastique ................................................ 57 4.3.6.1 Premier mode de flexion .................................................................... 58 4.3.6.2 Deuxième mode de flexion.................................................................. 59 4.3.6.3 Troisième mode de flexion ................................................................. 60

5 Tolérances et évaluation du rotor rigide ................................. 615.1 Critères d’évaluation ........................................................................... 61 5.1.1 Masse du rotor et balourd résiduel admissible.................................... 61 5.1.2 Vitesse de service et balourd résiduel admissible ............................... 62 5.2 Détermination du balourd résiduel admissible .................................... 62 5.2.1 Classes de qualité et groupes de rotors ............................................... 63 5.2.2 Détermination expérimentale ............................................................. 65 5.2.3 Détermination à partir des forces admissibles aux paliers .................. 66 5.3 Répartition sur les plans de correction................................................. 66 5.3.1 Rotors avec un plan de correction ...................................................... 67 5.3.2 Rotor avec deux plans de correction ................................................... 68 5.4 Calcul du balourd résiduel .................................................................. 73 5.5 Calcul de la qualité d'équilibrage atteinte ........................................... 75 5.6 Contrôle du balourd ............................................................................ 76

6 Tolérances et évaluation du rotor flexible .............................. 776.1 Tolérances de balourd selon DIN ISO 11342 ..................................... 77

X Technique d’équilibrage

Sommaire III

6.2 Proposition de l'auteur ........................................................................ 78 6.2.1 Représentation du balourd d'un rotor .................................................. 78 6.2.2 Limites de tolérance ............................................................................ 79 6.2.3 Distribution sur plusieurs balourds ..................................................... 80 6.2.4 Différents déséquilibres....................................................................... 81 6.2.4.1 Rotor équilibré ................................................................................... 81 6.2.4.2 Équilibrage en un plan ........................................................................ 81 6.2.4.3 Équilibrage en deux plans .................................................................. 82 6.2.4.4 Équilibrage en plusieurs plans ............................................................ 83 6.2.5 Proposition .......................................................................................... 84 6.2.6 Vitesse nominale ................................................................................ 85 6.3 Évaluation d'un balourd ...................................................................... 85 6.3.1 Machine à équilibrer basse vitesse ..................................................... 86 6.3.2 Machine ou installation à équilibrer haute vitesse .............................. 86 6.3.2.1 Vibrations admissibles ....................................................................... 86 6.3.2.2 Balourds admissibles .......................................................................... 87 6.3.3 Au banc d'essai ................................................................................... 87 6.3.4 Sur site ................................................................................................ 87 6.4 Vulnérabilité et sensibilité au déséquilibre des machines ................... 88 6.4.1 Classification des vulnérabilités des machines ................................... 88 6.4.2 Domaines des sensibilités modales ..................................................... 89 6.4.3 Courbes enveloppes ............................................................................ 90 6.4.4 Détermination expérimentale des sensibilités modales ...................... 93

7 Procédures d'équilibrage des rotors rigides .......................... 957.1 Corps sans arbre propre ...................................................................... 95 7.1.1 Balourds provoqués par le montage de prise de pièce ........................ 95 7.1.2 Méthode d’équilibrage par retournement ........................................... 99 7.1.3 Autres applications de la méthode .................................................... 102 7.1.4 Faux-arbres, adaptateurs ................................................................... 102 7.2 Rotors assemblés .............................................................................. 102 7.2.1 Interchangeabilité des pièces ............................................................ 103 7.2.2 Corrections des erreurs d’assemblage ............................................... 104 7.2.3 Masses équivalentes (dummies) ........................................................ 104 7.3 Rotors avec clavettes ........................................................................ 104 7.3.1 Arbre avec clavette entière ............................................................... 105 7.3.2 Arbre avec demi-clavette .................................................................. 105 7.3.3 Influence sur le balourd .................................................................... 106 7.3.4 Mémorisation de l’influence ............................................................. 106 7.3.5 Mesures de compensation à la fabrication ........................................ 106

8 Procédures d'équilibrage des rotors flexibles ..................... 1078.1 Catégories de rotors .......................................................................... 107 8.1.1 Catégories de base des rotors à arbre élastique ................................. 107 8.1.2 Principes d'équilibrage ...................................................................... 108 8.1.3 Rotor avec disques ............................................................................ 109

Sommaire XI

8.1.3.1 Rotor à disque unique ....................................................................... 109 8.1.3.2 Rotor à deux disques ........................................................................ 110 8.1.3.3 Rotor à plus de deux disques ............................................................ 110 8.1.4 Rotor à tronçons rigides .................................................................... 111 8.1.5 Rotor cylindrique .............................................................................. 112 8.1.6 Rotor intégral .................................................................................... 112 8.1.7 Combinaisons ................................................................................... 112 8.1.8 Cas de réparation .............................................................................. 112 8.2 Procédures d'équilibrage ................................................................... 113 8.2.1 Procédure A : équilibrage en un plan ................................................ 113 8.2.2 Procédure B : équilibrage en deux plans .......................................... 113 8.2.3 Procédure C : équilibrage des différentes pièces avant le

montage ............................................................................................ 114 8.2.4 Procédure D : équilibrage après limitation du balourd initial ............ 114 8.2.5 Procédure E : équilibrage pas à pas pendant le montage .................. 114 8.2.5.1 Problème des transferts de balourds .................................................. 114 8.2.5.2 Solution ............................................................................................ 115 8.2.6 Procédure F : équilibrage dans des plans optimaux .......................... 116 8.2.7 Procédure G : équilibrage pour différentes vitesses ......................... 116 8.2.7.1 Développement en série ................................................................... 117 8.2.7.2 Comportement en réponse ................................................................ 118 8.2.7.3 Rapport de correction ....................................................................... 118 8.2.7.4 Recommandation .............................................................................. 119 8.2.7.5 Assistance du calculateur ................................................................. 120 8.2.8 Procédure H : équilibrage à la vitesse nominale ............................... 121 8.2.9 Procédure I : équilibrage à une vitesse donnée ................................. 121 8.2.10 Procédure pour un comportement plastique ..................................... 122

9 Description de l’opération d'équilibrage ............................... 1239.1 Rotor avec arbre propre .................................................................... 123 9.1.1 Description tabulaire du type de rotor .............................................. 124 9.1.2 Autres tableaux ................................................................................. 124 9.1.3 Données maximales .......................................................................... 124 9.1.4 Informations supplémentaires sur les rotors ..................................... 124 9.2 Rotor sans arbre propre...................................................................... 126 9.3 Rotor à haute vitesse ......................................................................... 128

10 Machines à équilibrer ................................................................. 12910.1 Offre et documentation technique .................................................... 129 10.1.1 Machines à équilibrer horizontales ................................................... 129 10.1.1.1 Limites pour la masse du rotor et le balourd .................................... 129 10.1.1.2 Efficacité du cycle de mesure ........................................................... 130 10.1.1.3 Rapport de réduction du balourd ...................................................... 130 10.1.1.4 Dimensions du rotor .......................................................................... 130 10.1.1.5 Portées de palier ............................................................................... 132 10.1.1.6 Domaine de réglage des plans de correction .................................... 132 10.1.1.7 Entraînement .................................................................................... 132

XII Technique d’équilibrage

Sommaire V

10.1.1.8 Freinage ............................................................................................ 132 10.1.1.9 Données supplémentaires ................................................................. 133 10.1.2 Machines à équilibrer verticales ........................................................ 133 10.1.2.1 Limites pour la masse du rotor et le balourd .................................... 134 10.1.2.2 Dimensions du rotor ......................................................................... 134 10.1.2.3 Influence du moment de balourd ...................................................... 135 10.1.3 Balances d’équilibrage statique ........................................................ 136 10.1.4 Machines à équilibrer haute vitesse .................................................. 136 10.1.4.1 Entraînement .................................................................................... 137 10.1.4.2 Supports de paliers ........................................................................... 137 10.1.4.3 Dispositif de mesure ......................................................................... 138 10.2 Détails techniques et leur évaluation ................................................ 138 10.2.1 Entraînement ..................................................................................... 138 10.2.1.1 Moteur à rotor en court-circuit ......................................................... 139 10.2.1.2 Moteur à bagues collectrices ............................................................ 139 10.2.1.3 Moteur à courant continu ................................................................. 139 10.2.1.4 Puissance de l'entraînement .............................................................. 140 10.2.1.5 Entraînement par arbre de transmission à cardan ............................. 140 10.2.1.6 Entraînement par courroie ................................................................ 141 10.2.1.7 Entraînement par champ magnétique rotatif .................................... 143 10.2.1.8 Entraînement propre ......................................................................... 144 10.2.1.9 Entraînement par air comprimé ........................................................ 144 10.2.2 Systèmes d’affichage ........................................................................ 145 10.2.3 Capteurs ............................................................................................ 147 10.2.4 Frein .................................................................................................. 147 10.2.5 Vitesse .............................................................................................. 147 10.2.6 Étalonnage et réglage de l’instrumentation de mesure ...................... 148 10.2.6.1 Machines à équilibrer à paliers souples ............................................ 148 10.2.6.2 Machines à équilibrer à paliers rigides ............................................. 149 10.2.7 Fondations ........................................................................................ 150 10.2.8 Plus petit balourd résiduel réalisable UQER ....................................... 151 10.2.9 Paliers ............................................................................................... 151 10.2.9.1 Paliers à galets porteurs .................................................................... 151 10.2.9.2 Paliers prismatiques........................................................................... 152 10.2.9.3 Paliers lisses ..................................................................................... 152 10.2.9.4 Paliers broche ................................................................................... 153 10.2.9.5 Paliers de service .............................................................................. 153 10.2.9.6 Paliers spécifiques ............................................................................ 154 10.2.10 Moment d'inertie, nombre de cycles ................................................. 155 10.2.11 Traitement de la mesure ................................................................... 155 10.2.12 Rotors d'essai, masses d'essai ........................................................... 156 10.2.12.1 Rotors d'essai .................................................................................... 156 10.2.12.2 Masses d'essai ................................................................................... 157 10.2.13 Surcharge .......................................................................................... 157 10.2.14 Influences de l'environnement .......................................................... 158 10.2.15 Rapport de réduction du balourd RRB .............................................. 158 10.2.16 Efficacité ...........................................................................................158

Sommaire XIII

10.3 Conditions à réunir ........................................................................... 159

11 Contrôle des machines à équilibrer ........................................ 16111.1 Statistiques concernant les balourds ...................................................162 11.1.1 Dispersion circulaire des résultats ......................................................163 11.1.2 Dispersion annulaire des résultats ......................................................164 11.1.3 Caractéristiques de distributions normales uni- et bidimensionnelles 16511.1.4 Spécificités supplémentaires...............................................................166 11.1.5 Contrôle systématique ou par échantillonnage ...................................166 11.1.6 Valeurs caractéristiques......................................................................167 11.1.7 Rejets ..................................................................................................167 11.2 Rotors d'essai ......................................................................................167 11.2.1 Rotors d'essai type A .........................................................................169 11.2.2 Rotors d'essai type B .........................................................................170 11.2.3 Rotors d'essai type C .........................................................................172 11.2.4 Conditions d'essai ...............................................................................173 11.3 Essai du plus petit balourd résiduel réalisable UQER ...........................176 11.3.1 Conditions initiales .............................................................................176 11.3.2 Correction...........................................................................................176 11.3.3 Tests avec masses d'essai....................................................................177 11.3.4 Interprétation du test UQER ..................................................................177 11.3.5 Test UQER simplifié.............................................................................179 11.4 Test du rapport de réduction du balourd RRB.....................................179 11.4.1 Conditions initiales .............................................................................179 11.4.2 Tests avec masses d'essai....................................................................180 11.4.3 Interprétation du test RRB...................................................................181 11.4.4 Test RRB simplifié..............................................................................182 11.5 Test du taux d'interaction du moment de balourd ME ........................182 11.5.1 Interprétation du test ME ....................................................................182 11.6 Test de la compensation par retournement .........................................183 11.6.1 Conditions initiales .............................................................................183 11.6.2 Tests avec masses d'essai....................................................................183 11.6.3 Interprétation du test de la compensation par retournement ...............184

12 Correction ...................................................................................... 18512.1 Types de correction .......................................................................... 185 12.1.1 Enlèvement de matière ..................................................................... 186 12.1.2 Déplacement de matière ................................................................... 188 12.1.3 Ajout de matière ............................................................................... 188 12.2 Temps de correction ......................................................................... 189 12.3 Écarts de correction .......................................................................... 190 12.3.1 Masses de correction ........................................................................ 191 12.3.2 Plans de correction ........................................................................... 191 12.3.3 Rayons de correction ........................................................................ 191 12.3.3.1 Correction radiale ............................................................................. 192

XIV Technique d’équilibrage

Sommaire VII

12.3.3.2 Correction en périphérie ................................................................... 192 12.3.3.3 Correction par écartement de deux masses de correction ................. 192 12.3.4 Angle des masses de correction ........................................................ 192 12.3.5 Écarts acceptables lors de la correction ............................................ 193 12.4 Rapport de réduction du balourd ...................................................... 194

13 Préparation et réalisation de l'équilibrage ............................ 19513.1 Causes des balourds .......................................................................... 195 13.2 Effets des balourds ........................................................................... 196 13.3 Directives de fabrication et indications sur les plans ........................ 196 13.4 Étude de la correction ....................................................................... 197 13.5 Préparation de l’opération ................................................................ 198 13.6 Chargement et déchargement ........................................................... 204 13.7 Préparation du rotor .......................................................................... 205 13.8 L'équilibrage dans le processus de fabrication ................................. 206

14 Défauts lors de l'équilibrage ..................................................... 20714.1 Limitation de la qualité d'équilibrage par le rotor ............................. 207 14.2 Défauts .............................................................................................. 207 14.2.1 Types de défauts ................................................................................ 207 14.2.1.1 Défauts systématiques ...................................................................... 208 14.2.1.2 Défauts aléatoires ............................................................................. 208 14.2.1.3 Défauts scalaires ............................................................................... 209 14.2.2 Explications ...................................................................................... 209 14.2.2.1 Pièces mobiles ................................................................................. 209 14.2.2.2 Liquides ou solides à l'intérieur de cavités ........................................ 212 14.2.2.3 Influences thermiques et effets de la gravité .................................... 213 14.2.2.4 Écoulement de l'air ........................................................................... 213 14.2.2.5 Magnétisme ...................................................................................... 214 14.2.2.6 Inclinaison de roulements à billes ................................................... 214 14.2.2.7 Montage incomplet............................................................................ 215 14.2.2.8 Accouplement sur le rotor ................................................................ 215 14.2.2.9 Jeu d'ajustement ............................................................................... 215 14.2.2.10 Glissement de pièces rapportées ....................................................... 215 14.2.2.11 Balourd de l’outillage ....................................................................... 216 14.2.2.12 Balourd dans l'élément d'entraînement ............................................. 216 14.2.2.13 Désalignement de l’outillage ............................................................ 216 14.2.2.14 Excentricité du palier d'équilibrage .................................................. 216 14.2.2.15 Défauts systématiques et aléatoires de la chaîne de mesure ............. 217 14.3 Estimation du défaut global .............................................................. 217 14.4 Critères de réception ......................................................................... 217

15 Protection lors de l'équilibrage ................................................ 21915.1 Dangers générés par le rotor .............................................................. 219 15.2 Classes de protection ........................................................................ 220 15.2.1 Exemples de classes de protection..................................................... 221

Sommaire XV

15.2.2 Classe de protection C ...................................................................... 223 15.2.2.1 Énergie surfacique spécifique ........................................................... 223 15.2.2.2 Énergie absolue ................................................................................. 224 15.2.2.3 Impact ............................................................................................... 224 15.2.2.4 Classe de protection C pour des machines à équilibrer universelles 22515.2.3 Conception de la protection .............................................................. 226 15.2.4 Identification de la protection............................................................ 226 15.3 Responsabilités ................................................................................. 226

16 Équilibrage sur site ..................................................................... 22716.1 Valeurs limites de vibrations ............................................................ 227 16.2 Présentation du problème ................................................................. 228 16.3 Théorie de l'équilibrage sur site......................................................... 229 16.3.1 Causes de balourds ........................................................................... 229 16.3.2 Problématique ................................................................................... 230 16.3.3 Méthode ............................................................................................ 230 16.3.3.1 Correction en un plan ....................................................................... 230 16.3.3.2 Correction en deux plans .................................................................. 232 16.3.3.3 Correction en plusieurs plans ........................................................... 233 16.4 Pratique de l'équilibrage sur site ........................................................ 234 16.4.1 Moyens de mesure ............................................................................ 234 16.4.2 Plans de mesure ................................................................................ 235 16.4.3 Conditions à réunir ........................................................................... 235

17 Annexe ............................................................................................ 23717.1 Symboles .......................................................................................... 237 17.2 Termes et définitions ........................................................................ 240 17.2.1 Mécanique ........................................................................................ 240 17.2.2 Systèmes de rotors ............................................................................ 241 17.2.3 Déséquilibre, balourd ........................................................................ 244 17.2.4 Équilibrage ....................................................................................... 247 17.2.5 Machines à équilibrer et équipement ................................................ 250 17.2.6 Rotors flexibles ................................................................................. 257 17.2.7 Corps-libres rigides en rotation ......................................................... 260 17.2.8 Outillages pour machine à équilibrer................................................. 260 17.3 Données de calculs ........................................................................... 261 17.3.1 Multiples et sous-multiples décimaux .............................................. 262 17.3.2 Coefficients de conversion des unités SI en unités pouces/livres ..... 263 17.3.3 Nomogrammes, diagrammes ............................................................ 264 17.4 Normes ............................................................................................. 286 17.4.1 DIN ISO 1940-1 (2003) : Vibrations mécaniques � Exigences

en matière de qualité dans l’équilibrage pour les rotors en état rigide(constant). Partie l (2005) : Spécifications et vérification des tolérances d’équilibrage .................................................................... 287

17.4.2 DIN ISO 11342 : Vibrations mécaniques � Procédures et critères pour l'équilibrage mécanique de rotors flexibles .............................. 325

XVI Technique d’équilibrage

Sommaire IX

Bibliographie ................................................................................................. 373

Source des illustrations .............................................................................. 376

Index ................................................................................................................ 377

Sommaire XVII

1 Introduction

L'équilibrage est un processus permettant de contrôler la répartition desmasses d'un rotor et d’améliorer celle-ci pour maintenir dans des limitesacceptables les forces et vibrations provoquées par les balourds. On considère comme rotor non seulement toutes les pièces qui tournent en fonctionnement,mais aussi celles qui, pour des raisons fonctionnelles, sont montées sur un axe.Les rotors peuvent avoir des caractéristiques extrêmement diverses, et doncposer des problèmes très différents (tableau 1.1).

Tableau 1.1. Spectre des rotors

Critère Limite inférieureExemple

Limite supérieure Exemple

Masse < 1 g Balancier

> 300 t Turbine à vapeur basse pression

Diamètre < 3 mm Broche textile

> 6 m Turbine hydraulique

Longueur < 10 mm Induit de modèle réduit

> 20 m Turbogénérateur

Vitesse nominale 0 min-1

Disque de meuleavant cuisson

> 1 000 000 tr/min Turbine de roulette dedentiste

Tolérance de balourd (excentricité du centre de gravité)

< 0,01 �m Gyroscope d’aviation

> 0,5 mm Roue de train

Valeur du rotor < 0,5 euro Induit de jouet

> 400 millions d’euros Satellite de communication

Quantité de rotors à équilibrer sur une machine

< 10 unités par anSatellites

> 3 millions d’unités par an Induit de moteur pour véhicules

L'équilibrage est considéré aujourd'hui comme absolument nécessaire pour pratiquement tous les rotors, que ce soit pour prolonger la durée de vie de la machine, améliorer son fonctionnement ou pour utiliser l'absence de vibrationscomme un argument supplémentaire de vente.

Bien que de nombreux responsables soient persuadés de cette nécessité, le processus « équilibrage » n'est que rarement intégré harmonieusement dans le déroulement de la fabrication. Très souvent, sauf pour la fabrication en grande

2 1 Introduction

série, la procédure d'équilibrage est considérée comme coûteuse bienqu'inévitable ; elle est mise en œuvre sans préparation précise, ce qui entraînedes frais inconsidérés.

Alors que pour d'autres opérations, comme le tournage, toutes les donnéesimportantes sont disponibles � type de machine-outil, prise de pièce, vitessede rotation, vitesse de coupe, avance, profondeur de passe, temps nécessairepour l’équipement et la fabrication � pour l'équilibrage on laisse tout le processus entre les mains de l' « équilibreur » ou du contremaître.

Ces derniers doivent décider sur la base de leur expérience ou de leur intuition ce qui doit être fait, et de quelle manière. En effet, malgré tous lestravaux d'information et de normalisation réalisés par les ingénieurs et lesspécialistes dans ce domaine depuis des décennies, les bases générales de latechnique d'équilibrage ne font pas encore partie de la culture techniquegénérale. L’évolution des méthodes et des connaissances est souvent ignorée,et le travail est effectué selon des procédures et principes traditionnels, enn'utilisant que très imparfaitement les potentialités actuelles.

Aucun constructeur expérimenté ne se risquerait aujourd'hui à concevoir unepièce de machine sans prendre en compte les possibilités de fabrication et indiquerles tolérances techniques acceptables. L'équilibrage est en revanche fréquemment oublié, alors que les conditions essentielles pour une procédure d'équilibrageréalisable et économique se préparent souvent dès le bureau d’études.

De la même manière, il règne une certaine méconnaissance de l’offre dumarché des machines à équilibrer, qui permettent pourtant de résoudreefficacement les différents problèmes d'équilibrage. Cet ouvrage veut contribuer à la connaissance de la technique d'équilibrage, donner les moyensau débutant de s'initier à cette technique, mais surtout permettre au praticiendans l'industrie et le développement d'évaluer lui-même les problèmes d'équilibrage qui se posent à lui.

1.1 Développement de la technique d'équilibrage

On peut supposer que le problème « équilibrage » est apparu il y a quelquesmilliers d'années avec les premières roues à eau ou les ancêtres des moulins àvent. Des problèmes survenaient lorsque ces roues n'étaient pas construites demanière suffisamment symétrique, ou quand le matériau n’était pasd’épaisseur constante ou de dimensions identiques : la roue tendait à tourner jusqu'à une position donnée (point le plus lourd vers le bas), et y restaitbloquée lorsque le courant ou le vent était faible.

Ce « balourd statique » pouvait être contrebalancé empiriquement par des masses additionnelles m sur le rayon r (à l'arrêt au-dessus de l'axe), pourobtenir finalement que la roue tourne « rond » (fig. 1.1).

Avec le temps, les ressources se sont améliorées, et au début du XIXe siècle le balourd statique était correctement maîtrisé : les rotors étaient« débalourdés » sur des couteaux ou des galets avec beaucoup d'habileté et de doigté. Parfois, ceux-ci devaient également être corrigés sur le lieud'exploitation pour obtenir un fonctionnement silencieux et sans défauts.

2 Technique d’équilibrage

1.1 Développement de la technique d'équilibrage 3

m

r

Fig. 1.1. Un problème millénaire : balourd statique sur une roue à eau, le centre de gravité setrouve sous l'axe à l'arrêt. Ce balourd statique peut être corrigé grâce à une masse de correction msur le rayon r

Pour ceci, des masses étaient placées à différentes positions jusqu'àobtention par tâtonnements successifs de la correction optimale.

Avec les premières machines à grande vitesse de la deuxième moitié duXIXe siècle, et l'arrivée triomphante des machines électriques, apparaît un nouveau problème de balourd, inconnu jusqu'ici : soudain les méthodesd'équilibrage éprouvées ne suffisent plus. On découvre alors un nouveau typede balourd, le « moment de balourd » (fig. 1.2) qui ne peut être révélé qu'enrotation. Le nombre croissant de turbines à vapeur, de générateurs, de moteurs électriques, de pompes et de compresseurs centrifuges rend ce problème fondamental. On commence à équilibrer dans deux plans de correction, dans l'environnement opérationnel ou bien sur de simples chevalets, à l'aide demarques effectuées à la craie ou au crayon. Cette procédure itérative nepermettait d'approcher de l'objectif que par petites étapes successives. Laplupart des fabricants de machines rotatives possédaient leurs propresinstallations d'équilibrage, appliquaient des recettes confidentielles etemployaient des spécialistes pour cette « science secrète ».

Fig. 1.2. Un problème jusqu'alors inconnu, le moment de balourd : deux balourds de mêmes valeurs,mais opposés dans deux différents plans radiaux. Le moment de balourd n'apparaît qu'en rotation

Introduction 3

4 1 Introduction

Fig. 1.3. Balourd modal : les balourds individuels sont pondérés le long du rotor avec un modeprincipal de flexion (ici le premier mode principal). Pour la correction de balourds modaux, ilfaut en général plus de deux plans de correction.

Dans les premières décennies du XXe siècle apparaissent encore de nouveaux problèmes d'équilibrage. Les rotors équilibrés avec l'expérienceacquise présentent de graves problèmes de vibrations. Il s'agit toujours derotors dont la vitesse nominale se trouve un peu en dessous ou même au- dessus d'une vitesse critique de flexion, et donc présentent des phénomènes typiques de résonance. Pour ces rotors, des procédures d'équilibrageadditionnelles, voire très spécifiques, sont nécessaires, la plupart du temps enopérant à proximité de ces résonances pour réduire la flexion par descorrections sélectives dans plusieurs plans. Plus tard, ces balourds spécifiquesont été appelés balourds « modaux » (fig. 1.3).

Un brevet précoce concernant l'équilibrage a été déposé en 1870 � donc quatre ans après l'invention de la dynamo par W. VON SIEMENS �, au Canada par H. MARTINSON (fig. 1.4). Il s'agissait d'ailleurs plutôt d'un modèle physique demachine à équilibrer, qui n'était pas encore adapté aux besoins de l'industrie.

Au début du XXe siècle, N.W. AKIMOFF aux États-Unis et A. STODOLA en Suisse donnent une nouvelle impulsion à la technique d'équilibrage.

En Allemagne, c'est en 1907 que F. LAWACZEK dépose le brevet d'unemachine à équilibrer dans deux plans (fig. 1.5) qui sera construite par CarlSCHENCK à Darmstadt. Le premier modèle présentait encore quelques problèmes, mais l'idée a été ensuite perfectionnée (brevet d'une machine àéquilibrer horizontale en 1912) et transformée avec succès par les travaux deH. HEYMANN (fig. 1.6).

Ces machines ont été livrées à des entreprises dans le monde entier : ce futle début de la production industrielle de machines à équilibrer.

Les machines des premières années du XXe siècle n'ont que peu de chosesen commun avec les machines à équilibrer modernes de la fin de ce mêmesiècle. Il est vrai que les paliers et l'entraînement pour le rotor étaientsimilaires à ceux utilisés aujourd'hui, mais les techniques de mesures n'en étaient qu'à leurs premiers balbutiements. Pour une utilisation industrielle, ilétait nécessaire de mettre en œuvre des solutions robustes et simples à utiliser,et donc des moyens de mesures purement mécaniques.

4 Technique d’équilibrage

1.1 Développement de la technique d'équilibrage 5

Fig. 1.4. Un extrait du brevet de H. MARTINSON concernant une machine à équilibrer (1870). Il s'agit plutôt d'un modèle physique que d'une solution pour une production industrielle

Introduction 5

6 1 Introduction

Fig. 1.5. Un extrait du brevet LAWACZEK (1907). Machine à équilibrer avec disposition verticale du rotor

Pour augmenter la sensibilité de mesure, on mesurait la résonance dusupport pendant que le rotor continuait à tourner par inertie, ce qui permettait déjà d’obtenir une bonne sélectivité de fréquence.

Au début, la position angulaire ne pouvait être qu'estimée, et une répartitionexacte des valeurs mesurées sur les plans de correction choisis (séparation desplans) était impossible.

Fig. 1.6. Une machine à équilibrer LAWACZEK-HEYMANN avec rotor (1), roulement à billes à rotule (2), stylets pour l'angle du balourd (3) et pour sa valeur (4)

6 Technique d’équilibrage

1.1 Développement de la technique d'équilibrage 7

Au cours des décennies suivantes, une pléthore de nouvelles idées a permis de compléter et d'améliorer les machines, des variantes ou nouveaux systèmes ont été développés et concrétisés par de nombreux nouveaux brevets. Lesobjectifs principaux restaient l'amélioration de la précision pour répondre auxexigences croissantes, et une amélioration de la rentabilité obtenue avant toutpar une diminution du temps nécessaire à chaque pièce. Les progrès ne seproduisaient à cette époque que du côté de l'industrie mécanique.

Ceci va changer avec l'apparition du transducteur de mesure mécanique-électrique, puis évoluer radicalement après la Seconde Guerre mondiale avecle développement rapide des techniques de mesures électroniques, des semi-conducteurs et l'arrivée des ordinateurs dans tous les domaines de l'industrie.

Le poids croissant de l'aspect mesure permet alors de simplifier de nouveau la mécanique des machines à équilibrer, qui reprennent la structure épurée despremières années, excepté certaines machines spécifiques (fig. 1.7). Toutes lestâches critiques comme la sensibilité, la sélection de fréquence, la séparationdes plans, les indications de correction, etc., sont effectuées aujourd'hui par lesdispositifs de mesure.

L'aspect mécanique garde toutefois toute son importance, car il s'agit toujours de faire fonctionner harmonieusement tous les composants les uns par rapport aux autres : la mécanique, la technique d'entraînement et la technique de mesure.

Bien qu'il existe encore quelques machines à équilibrer de type ancien sur lemarché, nous ne décrirons par la suite que les modèles de conception actuelle.

Fig. 1.7. Machine à équilibrer moderne pour une utilisation universelle, avec entraînement par arbre de transmission à cardan et protection contre les projectiles éventuels, conformément à la norme ISO 7475, classe C

Introduction 7

8 1 Introduction

1.2 Normes et directives

Les premiers efforts pour unifier les critères se sont portés sur la définition desvibrations des machines. En Allemagne, au milieu des années cinquante, une commission de travail de la VDI1 – groupe « Technique des vibrations » – entame des travaux qui mèneront à la directive VDI 2056 « Critèresd'appréciation des vibrations mécaniques des machines ».

Les travaux pour l'appréciation du balourd des rotors débutèrent en 1960 etmèneront à la directive VDI 2060 « Critères d'équilibrage des rotors rigidesen rotation » (1966).

Les deux directives VDI ont été transmises au secrétariat ISO2 compétent :la directive VDI 2056 a fortement influencé la norme ISO 2372 « MechanicalVibration of machines with operating speeds from 10 to 200 rev/s � Basis forspecifying evaluation Standards » (1974), alors que la directive VDI 2060 aété une base essentielle pour la norme ISO 1940 « Balance quality of rotating rigid bodies » (1973).

Pour une meilleure compréhension dans le domaine de la technique d'équilibrage � également au niveau international �, la norme ISO 1925 « Balancing – Vocabulary » (1974) apporte une assistance précieuse. Lesprincipaux termes concernant la technique d'équilibrage y sont listés et définis.

La norme ISO 2953 « Balancing machines � Description and evaluation »(1975) constitue une recommandation permettant de décrire parfaitement etd'évaluer les machines à équilibrer à vocation universelle.

La norme ISO 5406 « The mechanical balancing of flexible rotors » (1980) effectue une classification des différents rotors flexibles et définit suivant leur comportement des procédures d'équilibrage à faible ou à haute vitesse. Lespossibilités de définir et d'obtenir des tolérances d'équilibrage dans ce domainedifficile ont été décrites dans la norme ISO 5343 « Criteria for evaluatingflexible rotor balance » (1983).

Les dangers que représente l'équilibrage de rotors sont analysés par lanorme ISO 7475 « Balancing machines � Enclosures and other safety measures » (1984) qui recommande des mesures de précautions échelonnées.

Après que, dans un premier temps, chaque pays a développé ses proprescritères et classification, des travaux de rédaction de directives sont maintenant menés depuis quelques décennies au niveau international, sousl'impulsion des principaux pays industrialisés, et ceci permet unecommunication plus facile dans ce domaine. De nombreuses normes ISO sonttranscrites aujourd'hui comme normes DIN3 ISO ou bien publiées commedirectives VDI.

Les normes et directives importantes pour la technique d'équilibrage sontlistées dans la bibliographie.

1 VDI : Verein Deutscher Ingenieure, Association des ingénieurs allemands 2 ISO: International Standard Organisation, Organisation internationale de normalisation 3 DIN: Normes allemandes

8 Technique d’équilibrage

2 Principes physiques

La théorie de la technique d'équilibrage s'appuie sur des principes physiquesgénéraux. Les paragraphes suivants présentent les équations et les explications les plus importantes pour l'équilibrage, afin d’éviter au lecteur des recherches fastidieuses dans d'autres ouvrages.

2.1 Grandeurs physiques

Les comportements physiques s'expriment par des équations entre desgrandeurs physiques. Une caractéristique importante d'une valeur est sa mesurabilité. On distingue les grandeurs fondamentales, qui ne peuvent êtrecalculées par des équations s'appliquant à d'autres valeurs déjà déterminées, etles grandeurs dérivées, déduites de la combinaison des valeurs fondamentales.

Chaque grandeur physique est constituée d'un nombre et d'une unité, p. ex. : s = 12 m

Abréviation pour Valeur Unité la grandeur (déplacement)

L'unité est une grandeur de référence choisie arbitrairement d'un commun accord pour la grandeur physique. Pour que les valeurs ne soient ni trop grandes ni trop petites, on utilise des multiples de 10 ou des fractions décimales des unités, p. ex. kilomètre et millimètre (voir § 17.3.1). Ce n'estque pour les multiples de l'unité de temps, la seconde, que des multiples nondécimaux (minute, heure, jour, année) sont acceptés.

2.2 Scalaires et vecteurs

Il existe des grandeurs sans direction, les scalaires, et des grandeursdirectionnelles, les vecteurs. La masse est un exemple typique de scalaire : la donnée « 7,5 kg » est suffisante pour décrire la caractéristique. Les propriétésd'un vecteur peuvent être illustrées p. ex. pour un déplacement : la donnée« 12 m » n'est pas suffisante. Dans le langage courant, on ajoutera la plupartdu temps : « de hauteur », « de longueur », « de largeur », etc., pour un objetou un processus donné ; il s'agit ici d'une indication de direction.

Pour représenter des comportements ou processus physiques, on utilise dessystèmes de coordonnées (repères) et on indique la position des

10 2 Principes physiques

vecteurs dans ces systèmes. Les vecteurs sont représentés par des flèchespointant dans la direction voulue et dont la longueur indique la norme (ouintensité). Dans les équations, les vecteurs sont représentés avec une flèchehorizontale surmontant l'abréviation, pour un déplacement p. ex. avec .s

�

Pour le calcul, les scalaires et les vecteurs présentent des différencesessentielles.

2.2.1 Addition

Théoriquement, seules les valeurs présentant la même unité peuvent être additionnées ou soustraites. Alors que les scalaires peuvent être simplement additionnés, en ne tenant compte que de leur signe (3 kg + 9 kg = 12 kg), les vecteurs doivent être ajoutés « vectoriellement ». À l'extrémité du vecteur 1s

�

on trace le vecteur 2s� , et la somme vectorielle est représentée par le vecteur

partant de l'origine du vecteur 1s� et se terminant à l'extrémité du vecteur 2s

�

(fig. 2.1a).

Fig. 2.1. Addition et soustraction de vecteurs, a Addition, b Soustraction

La différence 21 ss��

� est représentée en plaçant 2s� dans la direction

opposée, avant d'effectuer la même opération (fig. 2.1b) : )( 2s1s��

�� .

2.2.2 Multiplication

La multiplication d'un scalaire par un scalaire produit un scalaire, p. ex.WPt � Puissance�Temps = Travail (2.1)

Si un scalaire est multiplié par un vecteur, le résultat est un nouveau vecteurdont la norme est en général différente, mais qui garde la même direction que le vecteur initial, p. ex. stv ��

� Vitesse�Temps = Déplacement (2.2)

10 Technique d’équilibrage

2.2 Scalaire et vecteur 11

Fig. 2.2. Exemple pour un produit scalaire : Travail égale Force�Déplacement

Pour la multiplication de deux vecteurs, il existe en revanche deux formes différentes.

Le résultat d'un produit scalaire est, comme son nom l'indique, un scalaire ;l'équation sera p. ex.

WsF���

� Force�Déplacement = Travail (2.3)

Si la force se trouve sur le même axe que le déplacement, on peut également écrire : F s = W, sans prendre en compte le caractère vectoriel de la force et dudéplacement (les signes doivent cependant être respectés). Si la force estperpendiculaire au déplacement, le travail est nul. Il suffit donc de considérerla composante sur la direction du déplacement (fig. 2.2). Dans ce cas, lesgrandeurs sont traitées comme des scalaires.

WsF ��cos N�m (2.4)

Pour un produit vectoriel, on obtient comme résultat un nouveau vecteurprenant une position précise par rapport aux vecteurs d'origine, p. ex.

MFr���

�� ; Rayon × Force = moment de rotation (ou couple d’entraînement) (2.5)

Contrairement au produit scalaire, le résultat est maximum lorsque le rayonet la force présentent un angle droit, et le résultat est nul lorsque les deuxvecteurs pointent dans la même direction. Ceci signifie que l'on aura lesvaleurs suivantes :

MrF ��sin N�m (2.6)

La direction dans laquelle on doit faire tourner le vecteur rayon pourl'amener par le chemin le plus court dans la direction du vecteur force indiquele sens de rotation du moment (fig. 2.3).

Fig. 2.3. Exemple pour un produit vectoriel : le moment s'exprime par « Bras de levier »�Force

Principes physiques 11

12 2 Principes physiques

Le vecteur moment est perpendiculaire au plan dans lequel se trouvent r� et

F�

(ici perpendiculairement à la figure), la pointe dirigée vers le bas. On voit donc son origine (il indique la direction dans laquelle une vis à pas à droites'enfoncerait sous l'action du moment). �

On en déduit que r� et F ne sont pas interchangeables (car on obtiendrait

un autre sens de rotation) ; sous forme d'équation on obtient :

rFFr����

���� N�m (2.7)

Le vecteur moment donne trois indications : l'axe de rotation, la grandeur etle sens de rotation du moment.

2.3 Système d’unités

Dans le système international d'unités SI (ISO 1000, DIN 1301, DIN 1304) sixgrandeurs fondamentales sont définies.

2.3.1 Grandeurs fondamentales

Les grandeurs fondamentales qui nous intéressent dans le domaine del'équilibrage sont les suivantes :

� le déplacement s avec comme unité le mètre m ; � le temps t avec comme unité la seconde s ; � la masse m avec comme unité le kilogramme kg.

Le déplacement et le temps nous paraissent évidents, mais la troisième valeurfondamentale doit être précisée.

La masse est une caractéristique d'un corps, indépendante du lieu où il setrouve, et peut dans notre contexte d'équilibrage être considérée commeconstante. Une masse est théoriquement mesurée sur une balance, encomparaison avec des poids calibrés, ou par affichage direct (DIN 1305).

2.3.2 Grandeurs dérivées

Les grandeurs dérivées importantes pour l'équilibrage sont :

La vitesse v� rapport du chemin parcouru et du temps nécessaire pour ceci :

tsv�

�� en m/s (2.8)

12 Technique d’équilibrage

2.4 Lois physiques 13

Fig. 2.4. Position des vecteurs vitesse, a pendant une accélération, où v�

à la même direction que et donc avec positif, b lors d'une décélération (freinage) où 1v

� �a v

� et a

� deviennent

négatifs.

Si la vitesse v n'est pas constante, cette valeur correspond à la vitessemoyenne. Si la vitesse instantanée doit être indiquée, il faut écrire :

�

dtsdv /��

� en m/s (2.9)

Les valeurs sd� et représentent un déplacement et un intervalle de temps

infinitésimaux. Les vecteurs vitesse et déplacement ont constamment la mêmedirection.

dt

L'accélération indique à quel rythme la vitesse se modifie. a�

dtvda /��

� en (m/s)/s soit m/s2 (2.10)

Si la vitesse augmente, alors a� est positive, si elle diminue, a� est négative(fig. 2.4).

Dans le langage courant on parle d'accélération et de freinage.

2.4 Lois physiques

Pour la compréhension de la théorie de l'équilibrage et de ses applicationspratiques, deux lois physiques sont essentielles, et elles doivent être présentéesrapidement.

2.4.1 Équation fondamentale de la dynamique

L'équation fondamentale de la dynamique (loi fondamentale) s'exprime :

amdtvdmF ���

�� Force = Masse�Accélération (2.11)

Principes physiques 13

14 2 Principes physiques

Pour un corps de masse m, le vecteur vitesse évolue sous l'action d'uneforce F

�. La force est un vecteur, et elle a la même direction que dv

� ou a� .

L'unité de force est donnée par l'accélération d'une masse de 1 kg à 1 m/s2, et elle est appelée Newton :

1Nsm11kg 2 �� 1 Newton (2.12)

La force s'exerçant sur un corps dans la gravité terrestre 2m/s81,9�g� est

appelée poids, G�

:

gmG ��� N (2.13)

Le poids d'une masse de 1 kg est

G = 1 kg�9,81 m/s2 = 9,81 N (2.14)

Pour des calculs approximatifs, on peut utiliser g 10 m/s2 de manière à ceque le poids G d'une masse de 1 kg soit approximativement 10 N.

2.4.2 Gravitation

L'attraction terrestre et donc le poids sont un cas particulier de la loid'attraction universelle exprimant l’attraction réciproque de deux masses. On obtient :

221

rmmaF �

�a constante en N�m2/kg2 (2.15)

m1 et m2 sont les deux masses et r la distance entre leurs centres de gravité.Avec la masse d'un corps m1 et de la terre m2 il est clair que le poids sur la terre est différent, p. ex. de celui sur la lune, et ne peut donc pas être uneconstante associée au corps.

2.5 Rotation

Tous les corps concernés par l'équilibrage subissent un mouvement rotatif, ou au minimum, sont montés sur des paliers leur permettant de tourner. Lemouvement circulaire, et tous les termes ou formules qui lui sont associés sontdonc très importants pour la technique d'équilibrage. Dans les paragraphes quisuivent, nous décrivons les principes fondamentaux et les grandeurs physiquesdérivées nécessaires pour l'équilibrage. Nous mettons l'accent sur une bonnecompréhension, plus que sur l'aspect mathématique.

14 Technique d’équilibrage