Taller (Graficas Trigonométricas)

Gráficas defunciones

trigonométricas

1Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez

TrigonometríaTrigonometría Es la rama de la matemática que estudia la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo.

Actividad Gráficas funciones trigonométricas

Trabajar los ejercicios de las páginas 1 -

6


El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

Gráfica de la función


𝑓 (𝑥 )=𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑓 (0 )=𝑠𝑒𝑛 (0 )=0

𝑓 ( 𝜋2 )=𝑠𝑒𝑛( 𝜋2 )=1𝑓 (𝜋 )=𝑠𝑒𝑛 (𝜋 )=0

𝑓 ( 3𝜋2 )=𝑠𝑒𝑛( 3𝜋2 )=−1

𝑓 (2𝜋 )=𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 )=0Evaluar algunos puntos

Características:

Dominio:

Alcance:

Intercepto:

Periodo:


0 𝑥

𝑦1

−1



El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

0 -1 1

𝑓 (𝑥 )=𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑓 (0 )=𝑐𝑜𝑠 (0 )=1

𝑓 (2𝜋 )=𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 )=1

Evaluar algunos puntos

𝑓 ( 𝜋2 )=𝑐𝑜𝑠( 𝜋2 )=0𝑓 (𝜋 )=𝑐𝑜𝑠 (𝜋 )=−1

𝑓 ( 3𝜋2 )=𝑐𝑜𝑠( 3𝜋2 )=0

Características:

Dominio:

Alcance:

Intercepto:

Periodo:


0 𝑥

𝑦1

−1



El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

- -

-1 0 1𝑓 (𝑥 )=𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑓 (0 )=𝑡𝑎𝑛 (0 )=0


𝑓 ( 𝜋4 )=𝑡𝑎𝑛( 𝜋4 )=1

𝑓 (− 𝜋4 )=𝑡𝑎𝑛(− 𝜋4 )=−1

0 𝑥

𝑦




El modelo de la gráfica de la función cosecante del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

𝑓 (𝑥 )=𝑐𝑠𝑐 𝑥𝑓 (0 )=𝑐𝑠𝑐 (0 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜

𝑓 (2𝜋 )=𝑐𝑠𝑐 (2𝜋 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜


1 0 𝑥

𝑦




El modelo de la gráfica de la función secante del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

1𝑓 (𝑥 )=𝑠𝑒𝑐 𝑥

𝑓 (0 )=𝑠𝑒𝑐 (0 )=1


𝑓 ( 𝜋2 )=𝑠𝑒𝑐 (𝜋2 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜

𝑓 ( 3𝜋2 )=𝑠𝑒𝑐 ( 3𝜋2 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 0 𝑥

𝑦𝑓 (− 𝜋2 )=𝑠𝑒𝑐(− 𝜋2 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜




El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se obtiene evaluando la función para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.

1𝑓 (𝑥 )=𝑐𝑜𝑡 𝑥𝑓 (0 )=𝑐𝑜𝑡 (0 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜

𝑓 (𝜋 )=𝑐𝑜𝑡 (𝜋 )=𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜


𝑓 ( 𝜋4 )=𝑐𝑜𝑡 ( 𝜋4 )=1𝑓 ( 𝜋2 )=𝑐𝑜𝑡 ( 𝜋2 )=0𝑓 ( 3𝜋2 )=𝑐𝑜𝑡 ( 3𝜋4 )=−1 0 𝑥

𝑦


Transformaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas



Las características de las gráficas de la ecuaciones y son similares. Por ejemplo estas funciones tienen el mismo dominio, el mismo alcance el mismo período.

La gráfica del las funciones representa las transformaciones de las gráficas de las ecuaciones

Las características a estudiar son:

Amplitud Período Desfase Translación Vertical Alcance



Amplitud de las funciones seno y coseno del ángulo

Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, la amplitud es la mitad de la distancia entre el valor máximo y el valor mínimo.


0 𝑥

𝑦1

−1

am

plit

ud

am

plit

uda

mp

litu

da

mp

litu

d

𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑=|𝐴|

0 𝑥

𝑦1

−1




Ejemplo:Determine la amplitud de y dibuje su gráfica.


Solución:

am

plit

ud

0 𝑥

𝑦3

−3

am

plit

ud

Inicialmente se identifica que el tres representa . Después se busca la amplitud de la función.

Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que el valor más alto es 3 y el valor más bajo es -3.




Ejemplo:Determine la amplitud de y dibuje su gráfica.


Solución:

am

plit

ud

0 𝑥

𝑦4

−4

am

plit

ud

Inicialmente se identifica que el cuatro representa . Después se busca la amplitud de la función.

Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que el valor más alto es 4 y el valor más bajo es -4.



Período de las funciones seno y coseno del ángulo

Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, el período es la duración o tamaño de un ciclo completo. También se dice que es el mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado.


0 𝑥

𝑦

1

−1

Per í odo =𝑇=2𝜋𝒃

período 0 𝑥

𝑦1

−1

período




Período de las funciones seno y coseno del ángulo Ejemplo:

Determine el período de y dibuje su gráfica.

Solución:

Inicialmente se identifica que el uno representa . Después se busca el período de la función.

Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno del ángulo indicando que el periodo es . 0 𝑥

𝑦1

−1

período




Ejemplo: Determine las transformaciones de y dibuje su gráfica.

Solución:

y

Inicialmente se identifica que es igual a dos y es igual a dos. Después se busca el período de la función y la amplitud.

Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno del ángulo indicando que el periodo es y la amplitud es .

0 𝑥

𝑦2

−2

am

plit

ud

am

plit

ud

período



Desfase de las funciones seno y coseno del ángulo

Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, la desfase (traslación horizontal) es el cambio de posición horizontal. La gráfica se desplaza a la derecha o a la izquierda h unidades.


0 𝑥

𝑦

1

−1

Desface=h

desfasedesfase

0 𝑥

𝑦1

−1




Desfase de las funciones seno y coseno del ángulo Ejemplo: Determine la desfase de y dibuje su gráfica.

Solución:

Inicialmente se identifica que el medio representa . Después se busca la desfase.

Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que la desfase es a la izquierda. 0 𝑥

𝑦1

−1

desfase





Solución:

, y

Inicialmente se factoriza el argumento para identificar , y correctamente.

Después se busca el período, la amplitud y la desfase de la función.

Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno del ángulo indicando que la desfase es , el periodo es y la amplitud es .

0 𝑥

𝑦2

−2

am

plit

ud

am

plit

ud

períododesfase



Traslación vertical de las funciones seno y coseno del ángulo

Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, la traslación vertical es el cambio de posición vertical. La gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo k unidades.


0 𝑥

𝑦

1

−1

Traslaci ón vertical=𝑘

Tra

slac

ión

vert

ical

Tra

slac

ión

vert

ica

l

0 𝑥

𝑦1

−1




Traslación vertical de las funciones seno y coseno del ángulo

Ejemplo: Determine la traslación vertical de y dibuje su gráfica.

Solución:

Inicialmente se identifica que el representa . Después se busca la traslación vertical.

Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que la traslación vertical es uno hacia arriba.

0 𝑥

𝑦

1

−1

2

Tra

slació

n

vertica

l



Alcance de las funciones seno y coseno del ángulo

Sean y las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, el alcance es el conjunto de números que son imagen de la función. Se utilizará la representación de intervalos.


0 𝑥

𝑦

1

−1

Alcance=[𝑘−|𝐴|,𝐾+|𝐴|]

alca

nce

alca

nce

0 𝑥

𝑦1

−1




Alcance de las funciones seno y coseno del ángulo


Solución:

y Inicialmente se identifica que el dos es la y el uno representa . Después se busca la amplitud, traslación vertical y el alcance.

Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que la amplitud es dos, la traslación vertical es uno hacia arriba y el alcance es de menos uno a tres.

0 𝑥

𝑦

1

−1

3

Resumen de las Transformaciones

de las funciones seno y coseno del ángulo

Resumen de las Transformaciones

de las funciones seno y coseno del ángulo La grafica del las funciones representa las transformaciones

de las graficas de las ecuaciones

Transformaciones:

Amplitud Es la mitad de la distancia entre el

valor máximo y el valor mínimo.

Periodo Duración o tamaño de un ciclo completo.

Desfase Es el cambio en posición horizontal.

Traslación vertical Es el cambio en posición vertical

Alcance Es el conjunto de números que son

imagen de la función. 23Prof. Miguel L. ColónProfra. Fredes Rodríguez

0 𝑥

𝑦

1

−1

alca

nce

Tra

slac

ión

vert

ical desfase

período

am

plit

ud

Transformaciones de la gráfica de la función seno del ángulo

Transformaciones de la gráfica de la función seno del ángulo

Ejemplo: Trace la gráfica de la función

Transformaciones:

Amplitud

Periodo

Desfase ( a la izquierda)

Traslación vertical

Alcance

Datos : Se obtienen de la función , , y

24Prof. Miguel L. ColónProfa. Fredes Rodríguez

𝑥

𝑦

−1

3

1

Nota: La solución de la desigualdad representa las posiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función seno del ángulo.

Transformaciones de la gráfica de la función coseno del ángulo

Transformaciones de la gráfica de la función coseno del ángulo


Transformaciones:

Amplitud

Periodo

Desfase a la derecha


Alcance


𝑥

𝑦

−3

1


Nota: La solución de la desigualdad representa las posiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función coseno del ángulo.

Transformaciones de la gráfica de una función trigonométrica

Transformaciones de la gráfica de una función trigonométrica

Ejemplo:

Escribe una función que represente la siguiente gráfica.

Información que se obtienen de la gráfica

𝑥

𝑦

−3

1

de

sfa

se

período Traslación vertical

alc

an

ce Ecuación:am

plit

ud

Alcance


Amplitud Desfase a la derecha

Periodo


3 −𝜋2

Transformaciones de la gráfica de la función secante del ángulo

Transformaciones de la gráfica de la función secante del ángulo


Transformaciones:

Asíntotas

Periodo

Traslación horizontal


Alcance


𝑥

𝑦

−2

2


Nota: La solución de la desigualdad representa las posiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función secante del ángulo.

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Trabajar los ejercicios de la página

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