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TÉCNICAS CUANTITATIVAS I

Ejercicios

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Técnicas Cuantitativas I

Ejercicios

1.- Sea una distribución de frecuencias cuya media es 400 y varianza 25, con n = 2.000. El

conjunto ( ) ( )∞∪∞− ,415385, contiene un número de observaciones:

a) mayor o igual a 1.778.

b) menor a 222.

c) mayor o igual a 222.

d) menor a 1.778.

2.- Si una distribución de frecuencias tiene de media 100, desviación típica 10, y se

observan 1000 individuos, entonces, en el intervalo [80, 120] hay:

• menos de 100 individuos;

• al menos 750;

• 325 individuos.

3.- En una empresa se ha observado el salario mensual de sus trabajadores, medido en

miles de unidades monetarias. Se disponen de los siguientes datos:

Salario Nº trabajadores

80-100 10

100-120 30

120-150 40

150-200 15

200-300 5

Calcule:

a) El salario medio.

b) El salario mediano.

c) El salario que no supera el 30% de la población.

d) Los salarios que definen el intervalo que agrupa el 50% central de la

distribución.

e) El salario más frecuente.


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4.- En un barrio de una ciudad el 20% de las viviendas tiene una superficie comprendida

entre los 50 –60 m2, el 25% entre 60 y 70, el 20% entre 70 y 80; el 25% entre 80 y 100

y el 10% entre 100 y 120.

Obtenga la superficie media por vivienda y el tipo de vivienda más frecuente.

5.- Un inversor realizó el mismo tipo de inversión durante cuatro años consecutivos. Si

las rentabilidades fueron del 11%, 8%, 7% y 9%, justificar cuál es el promedio más

adecuado para obtener el rendimiento medio anual y calcular dicho rendimiento.

6.- El precio de unas acciones ha incrementado su valor en los ocho primeros meses del

año un 5%, 7%, 1%, 10%, 5%, 3%, 8% y 9%, respectivamente. Calcule el incremento

medio de dichas acciones en el citado periodo.

7.- En 1980 se invirtió en acciones de la sociedad UNO 250.000 u.m y en 1989 su valor

era ya de 375.000. En 1982 se invirtió 310.000 u.m en acciones de la sociedad DOS que

alcanzaban en 1989 el valor de 450.000 u.m. ¿Qué acciones considera más rentable

basándose en la rentabilidad media observada para cada tipo de acciones?

8.- El índice de precios de consumo de un determinado país ha evolucionado de la

forma siguiente

Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Índices 100 108 121 135 143 154

¿Cuál será el índice en 2004 si suponemos que la tasa media anual acumulativa del

periodo 1997-2002 se mantiene estable?

9.- Se observa la edad de 36 individuos, obteniendo los siguientes datos:

Edad 0-5 5-12 12-17 17-24

Nº individuos 12 5 9 10

Calcule:

a) La edad media.

b) La edad mediana.

c) La edad más frecuente.

d) La edad que supera el 40% de la población.

e) El coeficiente de variación.


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10.- Un curso está dividido en cuatro grupos. Se dispone de los siguientes datos:

Grupo A B C D

Nº alumnos 30 40 50 60

Nota media

grupo

6 6,5 5 4

Varianza grupo 1 1,69 0,81 0,64

Calcule:

a) Nota media del curso.

b) Coeficiente de variación de cada grupo. ¿cuál resulta más homogéneo?

11.- Se desea realizar un estudio sobre la duración en miles de km, de dos tipos de

neumáticos, A y B. Para ello se han observado 50 vehículos con neumáticos de cada

tipo y se han obtenido las siguientes distribuciones:

Miles de km 10-20 20-40 40-60 60-80

iAn 5 20 18 7

iBn 8 15 20 7

a) Calcule la duración por debajo de la cual está el 86% de los vehículos de

cada tipo de neumáticos. Comente el resultado.

b) Obtenga la duración media para cada tipo de neumáticos y compare la

representatividad de dichos promedios.

12.- Dada una variable X que toma los siguientes valores, y sus frecuencias absolutas:

ix 1 3 4 6 10

frecuencias 5 12 20 8 5

Calcule:

a) El valor medio.

b) Una medida de dispersión.

c) El coeficiente de asimetría de Fisher.

d) El coeficiente de curtosis.


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13.- Calcule 1m , 2m , 3m y 4m para la siguiente distribución de frecuencias:

ix 0-10 10-30 30-40 40-70 70-90

in 1 1 3 1 4

14.- Se dispone de la siguiente información sobre el número de agentes de una empresa

de seguros y los montantes en millones de unidades monetarias, de las pólizas de sus

asegurados:

Montante 0-5 5-10 10-20 20-40

Nº agentes 8 10 16 16

Obtenga:

a) El índice de Gini. Interprete el resultado

b) La mediana y la mediala.

c) ¿Por debajo de que montante de pólizas se encuentra el 40% de los agentes

que menos cartera de seguro tienen?

d) ¿Qué tanto por ciento de agentes tienen un montante de pólizas superior a 30

millones de unidades monetarias?

15.- Se dispone de la siguiente información sobre el sueldo/hora, en euros, recibido por

los trabajadores de una oficina:

Sueldo/h 0-10 10-20 20-30 30-40

Nº trabajadores 4 3 2 1

a) ¿Puede decir si existe mucha concentración en el reparto de esta magnitud?

b) Calcule el sueldo mediano.

c) ¿Qué porcentaje de trabajadores con menos sueldo obtiene el 30% de la

masa salarial?

d) ¿Qué sueldo recibe el 10% de los trabajadores mejor pagados?

e) ¿Qué porcentaje de masa salarial recibe el 20% de los obreros mejor

pagados?

f) Obtenga la mediala y compárela con la mediana.


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16.- Se conoce el salario por hora pagado a 25 trabajadores de una empresa, en unidades

monetarias:

Salario/ h 500-1500 1500-2500 2500-3500 3500-4500 4500-5500 5500-6500

Nº

trabajadores

3

7

8

4

2

1

a) Calcule el índice de Gini.

b) ¿Qué porcentaje de trabajadores con menor salario recibe el 50% de la

nómina?

c) ¿Qué parte de la nómina recibe el 12% de los trabajadores mejor pagados?

d) ¿Qué porcentaje de trabajadores cobra un sueldo superior a 3000 unidades

monetarias?

e) ¿Qué porcentaje de masa salarial perciben aquellos trabajadores cuyo sueldo

está comprendido entre 2500 y 2800?

17.- La distribución de los sueldos mensuales, en miles de unidades monetarias, de los

cuarenta empleados de una empresa es la siguiente:

Sueldo 100-150 150-180 180-200 200-210 210-240

% empleados 25 30 15 17,5 12,5

a) Determine el índice de concentración de Gini.

b) ¿Qué porcentaje de nómina percibe el 30% del personal mejor pagado?

18.- La siguiente tabla muestra los salarios mensuales en miles de unidades monetarias

de los empleados de una empresa:

Salarios 0-50 50-100 100-150 150-200


Calcule:

a) El índice de Gini.

b) El sueldo mínimo y máximo de los empleados mejor pagados que, en su

conjunto, se distribuyen el 20% de la nómina.

c) El porcentaje de empleados que ganan más de 132500 unidades monetarias.


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Salarios 60-100 100-140 140-200 200-300


Calcule:

d) El índice de Gini y la mediala.

e) La mediana, media y varianza.

f) Compare el índice de Gini con la varianza.

g) Compare la mediana con la mediala.



Salario 100-120 120-135 135-160 160-180 180-200

Nº

trabajadores

100

70

50

20

10

a) Estudie la concentración de la masa salarial;

b) ¿Qué porcentaje de empleados mejor pagados recibe el 25% de la nómina?;

c) ¿Qué porcentaje de nómina perciben el 40% de los obreros mejor pagados?;

d) Al 7% de los empleados mejor pagados se les considera empleados

distinguidos. ¿Cuál es el sueldo a partir del cual se ingresa en el grupo de

empleados distinguidos?

21.- Se dispone de la siguiente información sobre salarios pagados por hora en una

empresa:

Salarios 10-20 20-40 40-50 50-100


a) Calcule la moda y el coeficiente de variación;

b) Obtenga el índice de concentración de Gini;

c) ¿Qué parte de la nómina recibe el 5% del personal mejor pagado?


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22.- Conocidos la edad (X) y el salario (Y) de un grupo de personas, se dispone de la

siguiente información:

X \ Y 50-100 100-150 150-200

20 10 3 2

21 5 15 5

22 0 1 9

Para las distribuciones de frecuencias marginales de X e Y calcule su media y

varianza.

23- Dada la siguiente tabla:

X / Y 0-6 6-17 17-24

1-5 2 1 1

5-9 3 6 0

9-15 4 0 1

15-20 0 5 3

Fijándose en la distribución marginal de X:

a) Obtenga el coeficiente de variación

b) Calcule e interprete el índice de Gini.

24.- En un estudio sobre consumo de tabaco se ha preguntado a unos jóvenes sobre su

edad (X) y el número de cigarrillos que fuman al día (Y), obteniendo los siguientes

resultados:

X\Y 0-4 4-8 8-14

15-20 4 2 2

20-24 0 2 1

24-28 1 1 2

a) Calcule la edad más frecuente para aquellos jóvenes que fuman más de 4

cigarrillos al día.

b) Calcule la edad media de los jóvenes encuestados y su varianza.


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25.- Dada la siguiente distribución bidimensional:

X / Y 0 1 2

3 2 6 15

4 5 10 12

5 10 28 6

6 12 8 6

a) Calcule la varianza marginal de X.

b) Media y varianza de Y condicionada a que X tome el valor 5.

26.- Conocidos la edad (X) y el peso (Y) de un grupo de 14 personas, se dispone de la

siguiente información:

X \ Y 50 54 60

20 2 1 2

25 3 2 1

30 1 1 1

Justifique si estas dos variables son estadísticamente independientes.

27.- En un estudio sobre el precio de venta (X) y el número de millones de artículos

vendidos (Y), se ha obtenido:

X \ Y 0,5-1,5 1,5-2,5 2,5-5,5

10-20 1 2 3

20-25 0 2 0

25-30 1 1 0

30-35 2 1 0

a) ¿Cuál es el número de ventas que con mayor frecuencia se ha observado, si

el precio es inferior a 25?

b) En cualquier caso, ¿Cuál ha sido el número de ventas que se ha superado en

el 90% de las ocasiones?

c) ¿Qué distribución es más homogénea, la del número de ventas cuando el

precio es inferior a 20 o la del número de ventas cuando el precio es superior

a 20?


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28.- Un estudio sobre ingresos familiares en euros (Y) según el número de miembros

(X) se ha obtenido:

X \Y 0-300 300-700 700-1300

2 3 0 5

3 2 4 2

4 1 2 1

a) Calcular el ingreso más frecuente para una familia de más de 2 miembros.

b) Si se considera con alta solvencia el 5% de las familias con mayores

ingresos, ¿Cuáles han de ser esos ingresos para que una familia sea

considerada como tal?

c) ¿Son independientes las dos variables?

29.- Con los datos de la tabla, calcule el coeficiente de correlación lineal:

Y

X

1

2

3

4 1 0 2

5 2 1 0

6 0 1 3

30.- Calcular para la siguiente tabla bidimensional la covarianza:

X \ Y -1 0 1 -1 15 12 0 0 11 14 3 1 18 0 7 2 0 12 8

31.- Calcular el coeficiente de correlación lineal en la siguiente distribución bidimensional:

X 2 3 4 5 6 Y 1 2 3 3 6


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32.- Dada la siguiente distribución:

ix jy ijn 2 3 5 2 4 10 2 5 17 4 5 19 7 4 20 7 5 16 10 3 9 10 3 4

Determine el coeficiente de correlación lineal.

33.- Una empresa está formada por 3 factorías. En el siguiente cuadro aparece el

número de empleados por factoría, el salario medio, la desviación típica y el salario más

frecuente, en millones de unidades monetarias anuales.

Calcúlese el salario medio, la desviación típica y el salario modal para el

conjunto de empleados de la empresa.

Factoría Nº empleados Sueldo medio anual Desviación típica moda

A 30 4,5 1,2 4,6

B 40 4 1,6 4,25

C 10 4,9 1,3 4,7

34.- El ingreso anual disponible y los gastos en consumo de 7 familias, en cientos de

miles de unidades monetarias son los que se detallan a continuación:

Ingresos 8 15 20 35 28 25 8

Consumo 7 12 18 30 20 24 8

a) Ajuste un modelo lineal por mínimos cuadrados que explique una variable en

función de la otra.

b) ¿Cuál sería el consumo si el ingreso fuese 24?

c) ¿En qué porcentaje viene explicado el consumo en función del ingreso?


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35.- Dada la siguiente distribución bidimensional, obtenga la recta de regresión de Y

sobre X:

X

Y

5

10

15

20

10 2 0 0 0

20 5 4 1 0

30 3 8 6 3

40 0 3 6 6

50 0 0 2 1

36.- Con los datos siguientes, ajuste por mínimos cuadrados una relación lineal del

gasto en función del tiempo:

Años 1984 1985 1986

Gasto 59 68 75

37.- Ajuste una línea recta a los datos sobre consumo de pan en función de la renta per

cápita:

KG

pan/persona

40

41

57

71

61

42

69

Renta 14,8 15,1 13,5 7,3 12 14 7,2

a) ¿En qué medida el consumo de pan está explicado por los valores de la renta

per cápita según el modelo anterior?

b) ¿Cuál sería el consumo de pan de una familia que tuviese 8 de renta?

38.- De una empresa se conoce el volumen de importación de un determinado input y su

nivel de producción, ambos expresados en miles de millones de unidades monetarias:

Importaciones 15 20 23 30 25

Producción 100 147 181 257 196

a) ¿Cuál será el volumen de importación para esa empresa si se prevé que la

producción será de 210.000 millones de unidades monetarias?

b) ¿Es buena la anterior estimación?


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39.- La siguiente tabla muestra las ventas y devoluciones en millones de unidades

monetarias de 7 empresas:

Ventas 17 23 40 21 19 20 10

Devoluciones 3 5 11 5 4 4 1

Dar una predicción lineal de las devoluciones para una empresa con 22 de

ventas.

40.- De una muestra de 30 personas se ha obtenido la siguiente información relativa a

peso en kilos (Y) y edad (X):

Y \ X 15-20 20-25 25-30

50-60 4 2 2

60-70 2 3 2

70-80 3 4 4

80-90 0 1 3

a) Dar una estimación del peso para una persona de 24 años.

b) ¿Es fiable la estimación hecha?

41.- Se consideran 50 tiendas y se recaba información sobre el tiempo en años (X) de

funcionamiento y el beneficio anual (Y):

Y \ X 0-5 5-10 10-15 15-20

0-1 0 2 8 10

1-3 2 4 4 3

3-4 5 4 6 2

Suponiendo una relación lineal, de una predicción del beneficio anual para un

establecimiento de 12 años de antigüedad.

42.- Los precios de la leche, queso y mantequilla en 1992 y 1993 fueron:

Años Leche (u.m/l) Queso (u.m/kg) Matequilla (u.m/kg)

1992 85 2100 900

1993 89 2300 1200

Tomando como período base 1992, obtenga los índices simples de esos

productos para el año 93, así como los índices de Bradstreet-Dudot y Sauerbeck.


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43.- En una empresa se fabrican tres artículos A, B, C. La estadística de precios y

producción es la siguiente:

1986 1987

Artículo 0iq 0ip 1iq 1ip

A 10 1000 15 1100

B 20 500 25 600

C 50 400 40 500

Calcular los índices de precios y producción de 1987 tomando como año base

1986.

44.- Con la información disponible, calcule los índices de Paasche, Fisher y Laspeyres:

Años Azúcar Leche Chocolate

1990 25 100 8 120 125 10

1995 30 90 12 140 200 15

p q p q p q

45.- Dadas las siguientes series de números índices, obtenga una serie única para dicho

período.

Años 1979 1980 1981 1982 1983 1984

I(79) 100 105 112 120

I(82) 100 110 123

46.- Dadas dos series de IPC:

Año IPC IPC

1985 100

1986 102

1987 101

1988 105 100

1989 106

1990 107

1991 109

1992 112

Se pide construir una serie única con base 1985


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47.- Los beneficios obtenidos por una empresa en los últimos 5 años, junto con el IPC

correspondiente se muestran en la tabla siguiente:

Año 2000 2001 2002 2003 2004

Beneficios 18 20 12 17 26

IPC 125,8 128,3 130,1 133,9 139

a) Obtenga una serie única para el IPC base 2003;

b) Obtenga los beneficios a precios del 2003.

48.- Estudie el cambio experimentado por el consumo para ese período en términos

reales.

Año Consumo IPC IPC(2001)

1998 230 100 55,55

1999 250 115 63,89

2000 270 135 75

2001 310 180 100

2002 325 189 105

49.- Los beneficios obtenidos por una empresa en los últimos 6 años y los valores del

IPC se muestran en la tabla siguiente:

Año 1980 1981 1982 1983 1984 1985

Beneficios 43 57 85 73 110 93

IPC 100 103 110 115

100 112 117

a) Obtenga los beneficios de los distintos años en unidades monetarias de 1980;

b) Calcule la tasa de variación anual media en ese período.

50.- Se tiene información sobre recaudaciones e IPC.

Año 1999 2000 2001 2002 2003

IPC 100 102,5 104

IPC 100 103 105

Recaudación 20000 21500 22200 21900 22800

a) Obtenga la recaudación expresada en unidades monetarias de 2000;

b) Calcule la tasa de crecimiento medio anual media de ese período en términos

reales.


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51.- Los ingresos y costes de una empresa medidos en millones de unidades monetarias

corrientes son:

Año 1998 1999 2000 2001 2002

Ingresos 19 22 21 26 29

Costes 9 24 12 11 22

Sabiendo que los índices de precios han sido:

Año 1998 1999 2000 2001 2002

IPC 123 132

IPC 100 104 115 122

a) Obtenga una serie única para el IPC base 2002;

b) Calcule el beneficio total de la empresa en unidades monetarias del año 2002.

52.- La tabla muestra los beneficios anuales, en millones de unidades monetarias

corrientes, de una empresa así como los índices de precios para el período 1991-1997:

Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Beneficios 8,3 8,5 8 9 10,4 12

IPC 103 108 112

100 105 108 112

a) Obtenga los beneficios anuales en unidades monetarias constantes del año 1997;

b) Obtenga la tasa de aumento medio anual de los beneficios para el período objeto

de estudio.

53.- La siguiente tabla presenta las cifras de miles de parados para el período 1991-

1994, organizados por trimestres:

Trimestres 1º 2º 3º 4º

1991 2698 2510 2421 2632

1992 2555 2438 2391 2686

1993 2468 2391 2480 2788

1994 2521 2424 2566 3047

Desestacionalice la serie observada.


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54.- El volumen de ventas de un establecimiento, en u.m., ha sido en cada trimestre de

cada año:

Trimestres

Años 1º 2º 3º 4º

1990 1.8 1.5 1.98 2

1991 2 1.9 2.2 2.5

1992 2.34 2.5 2.8 3

1993 3 3.2 3.1 3.4

1994 3.1 2.9 3.2 3.5

Ajustar una recta para obtener la tendencia secular y hacer una predicción para el

año 1995.

55.- En el supuesto de que la evolución trimestral de las pernoctaciones (en u.m.) en los

establecimientos hoteleros de Andalucía durante los años 1990-92 sean los que se

detallan en la siguiente tabla:

Trimestres

Años 1º 2º 3º 4º

1990 2’941 4’395 5’885 3’259

1991 3’075 4’706 6’091 3’253

1992 3’126 5’299 6’347 3’605

Obtenga:

a) Estimación de las pernoctaciones de cada uno de los trimestres del año 93.

b) La serie desestacionalizada.

56.- Las ventas de motocicletas (en miles) en un país han sido las siguientes:

Años

Cuatrimestres 1985 1986 1987 1988 1989

1º 26 26 25 25 24

2º 52 53 53 52 51

3º 22 23 23 23 24

Calcule la variación estacional.


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57.- Dados dos sucesos A y B, siendo 3 1 1( ) ; ( ) ; ( )8 2 4p A p B p A B= = ∩ = :

a) Calcule la probabilidad de A unión B.

b) Calcule la probabilidad del complementario de A.

c) ( )p A B∩ .

d) ( )p A B∪ .

e) ( )p A B∩ .

58.- La probabilidad de que un hombre viva dentro de 30 años es 35 , y la de que su

mujer viva dentro de 30 años es 23 . Hallar:

a) La probabilidad de que ambos vivan dentro de 30 años.

b) La probabilidad de que sólo viva el hombre dentro de 30 años.

c) La probabilidad de que viva al menos uno de los dos.

59.- Sean A, B, C tres sucesos tales que:

08,0)CBA(p1,0)CB(p;2,0)CA(p;1,0)BA(p

3,0)C(p;2,0)B(p;4,0)A(p

=∩∩=∩=∩=∩

===

Hallar:

a) La probabilidad de que ocurra un suceso por lo menos.

b) Probabilidad de que ocurran Ay B pero no C.

60.- Se extrae una carta de una baraja española de 48 cartas. Comprobar cuales de los

siguientes pares de sucesos son independientes:

a) A = ”sacar un rey” y B = “sacar espadas”.

b) A = ”sacar una figura” y B = “sacar espadas”.

61.- Se tienen tres urnas con la siguiente composición: la 1ª urna contiene una bola

blanca, 2 negras y tres rojas. La 2ª, dos blancas, 3 negras y cuatro rojas. La 3ª contiene 4

blancas, 7 negras y 5 rojas.

Se elige una urna al azar y se toma una bola.

a) Calcule la probabilidad de que la bola sea roja.

b) La bola que sale es blanca. Calcule la probabilidad de que proceda de la

tercera urna.


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62.- Una empresa compra una pieza suministrada por 3 proveedores. Al primero le

compra el 45% de las piezas, resultando defectuosas el 1% de las mismas. Al segundo le

compra el 30% de las piezas, siendo defectuosas el 2%. El resto lo suministra el

proveedor tres, y de ellas son defectuosas el 3%.

En un control se selecciona una pieza al azar y es defectuosa. Calcule la

probabilidad de que venga del segundo proveedor.

63.- La probabilidad de que suban las acciones de una empresa es 0,8 si el índice de la

bolsa sube, y 0,15 si la bolsa no aumenta el índice. Un estudio revela que la

probabilidad de que aumente el índice de la bolsa es 0,7. Calcule la probabilidad de que

las acciones hayan aumentado su valor.

Se ha detectado que las acciones de la empresa no han subido. Calcule la

probabilidad de que, sin embargo, el índice de la bolsa sí haya aumentado.

64.- La producción de una factoría se realiza en cuatro máquinas M1, M2, M3 y M4. La

primera máquina produce diariamente 600 unidades; la segunda 500; la tercera máquina

produce 350 y la última 250. Además sabemos que los porcentajes de piezas

defectuosas producidas por cada una de las máquinas es del 4% para M1, 3,5% para

M2; 4,6% para M3 y 2% para M4.

a) Si las piezas se almacenan juntas, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer

una pieza al azar sea defectuosa?

b) Se ha extraído una pieza que resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de

que haya sido producida por la máquina dos?

65.- En una universidad terminan la carrera el 5% de los estudiantes de arquitectura, el

10% de los de ciencias y el 20% de los de letras. El 20% de los estudiantes estudian

arquitectura, el 30% ciencias y el resto letras. Se elige un estudiante al azar:

a) Calcule la probabilidad de que sea de arquitectura y haya terminado la

carrera.

b) Se escoge un estudiante al azar y nos dice que ha terminado la carrera.

Calcule la probabilidad de que sea de arquitectura.

66.- Se dispone de dos urnas, una con 3 bolas blancas y dos rojas y otra con 4 blancas y

dos rojas. Se escoge una urna al azar y se extrae una bola al azar. Calcule la

probabilidad de que la bola sea blanca.


19

67.- En una empresa el 8% de los hombres y el 4,3% de las mujeres ganan más de

20.000 euros al año. Se sabe que el porcentaje de mujeres es del 47%. Se selecciona al

azar un empleado y resulta que gana menos de 20.000 euros al año. Calcule la

probabilidad de que sea mujer.

68.- En un campus universitario hay 3 carreras; el 50% estudian derecho, el 30%

empresariales y el resto Economía. Finalizan sus estudios el 20%, el 10% y el 5%

respectivamente. Seleccionado un estudiante al azar,

a) Halle la probabilidad de que haya finalizado sus estudios.

b) Nos dice que ha finalizado los estudios. Calcule la probabilidad de que no

sea de Derecho.

69.-En una caja hay 15 piezas de la fábrica A, 10 de la B, y 25 de la C. La probabilidad

de que la pieza de la fábrica A sea de calidad excelente es 0,6; de la fábrica B es 0,9 y

de la C es 0,7.

a) Calcule la probabilidad de que extraída una pieza al azar, ésta resulte de

calidad excelente.

b) Se extrae una pieza al azar y resulta de calidad excelente. ¿Cuál es la

probabilidad de que sea de la fábrica B?

70.-Una compañía eléctrica estudia la comercialización de un producto que desea sea

superior al de su competidor. Un estudio asigna una probabilidad del 50% de que el

producto sea superior al del competidor, un 30% de que sea de igual calidad y un 20%

de que sea de calidad inferior. Teniendo en cuenta la experiencia de las encuestas de

mercado se sabe que si un producto es realmente superior al del competidor, la encuesta

dice que es superior con una probabilidad de 0,7. Si el producto tiene la misma calidad

que la del competidor, la probabilidad de que la encuesta diga que es superior es de 0.4,

y si el producto tiene calidad inferior a la del competidor, la probabilidad de que la

encuesta diga que es superior es de 0.2.

La encuesta dice que el producto es superior. ¿Cuál es la probabilidad de obtener

un producto superior al del competidor?

71.- Una compañía clasifica las formaciones geológicas de acuerdo a la posibilidad de

obtener petróleo en tres tipos. La compañía pretende perforar un pozo al que se le

asignan las probabilidades de 0,35; 0,4 y 0,25 para los tres tipos de formaciones,


20

respectivamente. Se sabe que el petróleo se encuentra en el 40% de las formaciones tipo

1, en el 20% de las formaciones tipo 2 y en el 30% de las tipo 3. Calcular la

probabilidad de que al perforar no se encuentre petróleo, y si se perfora y no se

encuentra petróleo, determine la probabilidad de que exista una formación tipo 2.

72.- Considere el experimento tirar una moneda dos veces y la variable aleatoria X que

mide el número de cruces en dos tiradas. Obtenga la distribución o Ley de

probabilidades.

73.- Considere el experimento tirar una moneda tres veces y la variable aleatoria X que

mide el número de cruces en tres tiradas. Obtenga la distribución o Ley de

probabilidades.

74.- Hay seis maceteros. En cada uno germinan 3, 1, 1, 0, 0, y 1 semillas

respectivamente. Considere la variable aleatoria X: “número de semillas que germinan”,

y calcule la ley de probabilidad, su media y varianza.

75.- La demanda de cierto artículo viene dado por la siguiente ley de probabilidad:

ix 0 1 2 3 4 5 6

[ ]i ip p X x= = 0,1 0,15 0,25 0,15 0,1 0,05

a) Halle la función de distribución.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda sea menor que 2?

c) ¿Para qué valor de la variable se tendrá [ ] 0,55p X x> = ?

d) Obtenga su media y su varianza.

e) Moda y mediana.

76.- Sea una variable aleatoria discreta con distribución:

ix 1 2 3 4 5 6

[ ]i ip p X x= = 0,07 0,1 0,3 0,23 0,15 0,15

a) Obtenga el coeficiente de variación.

b) Obtenga la función de distribución.

c) Calcule la mediana y la moda.


21


ix 0 2 4

[ ]i ip p X x= = 0,5 0,1 0,4



c) Calcule la moda.

d) Obtenga el coeficiente de curtosis.


ix 1 2 3 4 5

[ ]i ip p X x= = 0,03 0,2 0,3 0,27 0,2

a) Obtenga el coeficiente de asimetría.



ix 0 3 5 7 9 11

[ ]i ip p X x= = 0,07 0,1 0,3 0,23 0,15 0,15

a) Obtenga la media y la varianza.



ix 2 3 5 6

[ ]i ip p X x= = 0,2 0,6 0,1 0,1



c) Calcule la moda, mediana, coeficiente de asimetría y el de curtosis.


ix 0 1 2

[ ]i ip p X x= = 0,25 0,5 0,25




22

c) Calcule la moda y el coeficiente de asimetría.

82.- Dada una variable con la siguiente función de distribución:

( )F x = 11

;10;00

3

>≤<

≤

xxx

x

a) Obtenga la función de densidad.

b) P[X > 0,5].

83.- Dada la siguiente función de densidad:

( )f x = 0 1;

2 1 2;0 resto

kx xx x< ≤

− < ≤

a) Obtenga k.

b) Función de distribución.

c) P[X < 2].

d) P[0 < X <1,5].

84.- Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad:

( )f x = 1 0 3;60 otro caso.

x k x+ ≤ ≤

a) Determinar el valor de k.

b) Calcular la función de distribución.

c) Calcular P[0<X<1,5].

d) Calcular su esperanza y varianza.

85.- La función de distribución de la variable aleatoria X es:

( )F x = 21 0;

0 0.

xe xx

−− ≥<

a) Determine la función de densidad.

b) Calcule la probabilidad de que X sea superior a 4.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que X esté comprendida entre 0 y 3?

86.- Dada una variable con la siguiente función de densidad:

f(x) = (1 ) 0 1;

0 otro caso;k x x− < <


23

a) Obtenga el valor de k para que sea función de densidad.

b) Calcule su esperanza y su varianza.

c) Determine el coeficiente de asimetría y la mediana.

d) P[X ≥ - 2]; P[0 < X < 0,5]; P[0,5 < X < 1,5].

87.- La demanda de un producto tiene la siguiente función de distribución:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

<≤+−

<≤+

<≤

<

=

4x1

4x231

48xx

81

2x161x25,0

1x0x125

0x0

)x(F3

2

4

Obtenga el primer cuartil y la mediana.


( )f x = 1 0 8;80 otro caso.

x≤ ≤

a) Calcular la función de distribución.

b) Obtenga su media y varianza.


( )f x = 0 5;

0 otro caso.kx x≤ ≤

a) Calcular la función de distribución.

b) Obtenga su media, varianza y mediana.

c) Calcule P[0 ≤ X ≤ 1];

90.- Dada la variable aleatoria con la siguiente función de densidad:

f(x) = 1 1 1;

20 otro caso;

x x+− < <

a) Obtenga su función de distribución;

b) Obtenga mediana y media.



24

f(x) = 0 5;

120 otro caso;

x x< <

Determine su varianza y el coeficiente de curtosis.


f(x) = 3 1 0 2;8 80 otro caso;

x x+ < <

a) Determine media y varianza.



f(x) = (1 ) 0 1;

0 otro caso;k x x− < <

a) Calcule la varianza y la mediana.

b) Calcule el coeficiente de asimetría.


f(x) = 2 0 1;0 otro caso;

x x< <

a) Calcule la función de distribución.

b) Calcule esperanza y la varianza.


F(x) = 2

0 0;1 ( ) 0 1;21 x 1

x

x x x

<

+ ≤ <

≥

a) Calcule la esperanza.

b) Calcule la mediana.

96.- A un escritor le pagan 3.000 euros más 7 euros por cada libro que venda. El

número de ejemplares que se venderán es una variable aleatoria de media 20.000 y

desviación típica 4.000. Obtenga los ingresos medios y la desviación típica del autor.

97.- En un proceso se fabrican piezas cuya longitud media es 16 cm y la desviación

típica 1 cm (no se conoce la distribución de probabilidad). ¿Qué porcentaje de piezas

tienen una longitud entre 14 y 18 cm?


25

98.- La variable aleatoria X tiene la función de densidad:

⎪⎩

⎪⎨⎧ <<

−=

resto elen ,0

100,50

10)( xx

xf

Obtener la función de densidad y de distribución de otra variable Y en los siguientes

casos:

a) 4X2Y +=

b) 22 +−= XY

99.- Sea la variable X el número de caras que salen en dos lanzamientos de una moneda

y la variable Y el número de caras en el primer lanzamiento.

Obtenga:

a) La función de cuantía.

b) Las funciones de distribución marginales.

c) La función de distribución de X condicionada a que Y tome el valor 0.

d) ¿Son independientes las dos variables?


X/Y 5 10 15

1 0.25 0.15 0.32

2 0.10 0.05 0.13

Se pide:

a) Media marginal de X e Y.

b) Varianza de Y condicionada a X=2.

101.- Un agente inmobiliario está interesado en averiguar cuál es la relación entre el

número de líneas de un anuncio en prensa sobre un apartamento y el volumen de

demanda de información por parte de posibles inquilinos. Representemos el volumen de

demanda mediante la variable aleatoria X, que toma el valor 0 si despierta poco interés,

1 para un interés moderado y 2 si despierta fuerte interés. El agente estima que la

función de probabilidad conjunta es la que aparece en la tabla:

Volumen de demandas (X)

Nº de líneas (Y) 0 1 2

3 0.09 0.14 0.07

4 0.07 0.23 0.16


26

5 0.03 0.10 0.11

Hallar:

a) Distribución marginal del número de líneas y del volumen de demanda.

b) Número medio de líneas si se despertó fuerte interés.


Y/X 1 2 3

2 0.14 0.08 0.21

3 0.10 0.12 0.10

4 0.09 0.11 0.05

Obtener la esperanza matemática y la varianza de cada una de las variables.

103.- La función de densidad conjunta de una variable bidimensional viene dada por:

( , )f x y = 0 4 1 5

0 otro caso

kxy x y< < < <

a) Determine k para que sea función de densidad.

b) Obtenga las funciones de densidad marginales.

c) Obtenga las funciones de distribución marginales.

d) ¿Son independientes las variables?

e) Calcule las medias marginales.

f) Calcule la E(XY).

104.- Sea una variable aleatoria bidimensional con la siguiente función de densidad:

( , )f x y = 6 0 2, 2 4

80 otro caso

x y x y− −< < < <

a) ¿Son independientes las variables?

b) Obtenga las funciones de densidad condicionadas.

c) Calcule la varianza marginal de Y.

105.- La función de densidad conjunta de una variable bidimensional viene dada por:

( , )f x y =

23 0 4 0 264

0 otro caso

xy x y< < < <

¿Son independientes las variables?


27

106.- Sea una variable aleatoria bidimensional con la siguiente función de densidad:

( , )f x y =

4 ( ) 0 1 0 13

0 otro caso

x xy x y+ < < < <

Obtenga las funciones de densidad condicionadas.

107.- Dada la siguiente función de densidad de una variable aleatoria bidimensional:

( , )f x y =

2( ) 0 2 0 1

0 otro caso

k x y x y+ < < < <

Obtenga:

a) Medias marginales de X e Y.

b) Varianzas marginales de X e Y.

108.- Se tira una moneda tres veces. Calcule la probabilidad de que salgan dos caras.

109.- Se lanza 4 veces una moneda. Calcule la probabilidad de obtener:

a) Dos caras;

b) Como mínimo dos caras.

c) A lo sumo una cara.

110.- Un alumno responde un test de 10 preguntas. Cada una tiene 4 respuestas

posibles, de las cuales sólo una es correcta. Como no sabe nada, responde al azar. Halle

la probabilidad de que acierte:

a) 4 preguntas.

b) Ninguna;

c) Todas;

d) Al menos 8.

e) A lo sumo tres.

111.- Una prueba falla el 1% de las veces. Halle la probabilidad de que falle 10 veces en

1000 pruebas.

112.- En una centralita, por término medio se reciben 4 llamadas por minuto. Halle la

probabilidad de que en un determinado minuto no se reciban llamadas.

113.- El número de fallos por hora en un mecanismo sigue una distribución de Poisson

de parámetro 10. Calcule la probabilidad:

a) De que se presente un fallo.


28

b) De que halla más de un fallo.

114.- La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 410− . La producción en un año

es 36.000 piezas. Calcule:

a) La probabilidad de que haya 2 piezas defectuosas.

b) La probabilidad de que haya como mínimo 2 piezas defectuosas.

115.- En una fábrica hay 3.000 bujías de las cuales 400 son defectuosas. Se escogen al

azar 10 bujías, con reemplazamiento. Determinar la probabilidad de que todas estén en

buen estado.

116.- En cierto barrio se sabe que el número de individuos por vivienda sigue una

distribución de Poisson, siendo la probabilidad de las viviendas con dos individuos el

doble que las que tienen sólo uno. Calcule la probabilidad de que una vivienda esté

desocupada.

117.- En un hospital se ha detectado que la probabilidad de contraer una determinada

enfermedad es del 1%. Si en una habitación hay 6 enfermos:

a) Calcule la probabilidad de que hayan contraído la enfermedad menos de dos

personas.

b) Con la aplicación de un fármaco, la probabilidad de contraer la enfermedad

se ha reducido al uno por mil. Si en el hospital hay 1200 enfermos:

b1) Calcule la probabilidad de que en el hospital haya más de tres

personas con dicha enfermedad.

b2) Calcule la probabilidad de que en el hospital hay más de dos y menos

de seis personas que hayan contraído la enfermedad.

118.- En las máquinas de un taller se producen dos averías por término medio a la

semana. Calcule la probabilidad:

a) De que no haya ninguna avería en una semana.

b) De que haya menos de cinco averías en una semana.

c) De que haya menos de 6 en cuatro semanas.

119.- En la centralita telefónica de una empresa se producen un promedio de 12

llamadas por hora. Calcule:

a) La probabilidad de que en una hora, cogida al azar, haya 3 llamadas.

b) La probabilidad de que en un período de 10 minutos se produzcan de 3 a 5

llamadas.


29

120.- El porcentaje de personas en una localidad con una renta superior a 2000 euros al

mes es 0,0005%. Determinar la probabilidad de que de 5000 individuos consultados,

haya dos con ese nivel de renta. Extraídos de Martín Pliego. F. J. (2004) Introducción a la estadística económica y empresarial. ED Thomson.

Hermoso Gutierrez, J. A. y Hernández Bastida, A. (2000) Curso básico de estadística descriptiva y probabilidad. Teoría y

problemas. Ed. Némesis. Granada.

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