T. Thiemann- Quantum Spin Dynamics (QSD)

8/3/2019 T. Thiemann- Quantum Spin Dynamics (QSD)

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Q u a n t u m S p i n D y n a m i c s ( Q S D )

T . T h i e m a n n

P h y s i c s D e p a r t m e n t , H a r v a r d U n i v e r s i t y ,

C a m b r i d g e , M A 0 2 1 3 8 , U S A

P r e p r i n t H U T M P - 9 6 / B - 3 5 1

A b s t r a c t

A n a n o m a l y - f r e e o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t

o f L o r e n t z i a n , f o u r - d i m e n s i o n a l , c a n o n i c a l , n o n - p e r t u r b a t i v e v a c u u m g r a v i t y

i s c o n s t r u c t e d i n t h e c o n t i n u u m . T h i s o p e r a t o r i s e n t i r e l y f r e e o f f a c t o r o r d e r -

i n g s i n g u l a r i t i e s a n d c a n b e d e n e d i n s y m m e t r i c a n d n o n - s y m m e t r i c f o r m .

W e w o r k i n t h e r e a l c o n n e c t i o n r e p r e s e n t a t i o n a n d o b t a i n a w e l l - d e n e d

q u a n t u m t h e o r y . W e c o m p u t e t h e c o m p l e t e s o l u t i o n t o t h e Q u a n t u m E i n s t e i n

E q u a t i o n s f o r t h e n o n - s y m m e t r i c v e r s i o n o f t h e o p e r a t o r a n d a p h y s i c a l i n n e r

p r o d u c t t h e r e o n .

T h e a c t i o n o f t h e W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t o n s p i n - n e t w o r k s t a t e s i s

b y a n n i h i l a t i n g , c r e a t i n g a n d r e r o u t i n g t h e q u a n t a o f a n g u l a r m o m e n t u m

a s s o c i a t e d w i t h t h e e d g e s o f t h e u n d e r l y i n g g r a p h w h i l e t h e A D M - e n e r g y i s

e s s e n t i a l l y d i a g o n a l i z e d b y t h e s p i n - n e t w o r k s t a t e s . W e a r g u e t h a t t h e s p i n -

n e t w o r k r e p r e s e n t a t i o n i s t h e \ n o n - l i n e a r F o c k r e p r e s e n t a t i o n " o f q u a n t u m

g r a v i t y , t h u s j u s t i f y i n g t h e t e r m \ Q u a n t u m S p i n D y n a m i c s ( Q S D ) " .

1 I n t r o d u c t i o n

A t t e m p t s a t d e n i n g a n o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t

2 ] o f L o r e n t z i a n , f o u r - d i m e n s i o n a l c a n o n i c a l v a c u u m g r a v i t y h a v e b e e n m a d e r s t

i n t h e f r a m e w o r k o f t h e m e t r i c ( o r A D M ) v a r i a b l e s ( s e e , f o r i n s t a n c e , 3 ] ) . T h e

f o r m u l a t i o n o f t h e t h e o r y s e e m e d h o p e l e s s l y d i c u l t b e c a u s e o f t h e c o m p l i c a t e d ,

n o n - p o l y n o m i a l a l g e b r a i c f o r m o f t h e W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t a n d i t w a s t h e r e -

f o r e t h o u g h t t o b e m a n d a t o r y t o r s t o b t a i n a p o l y n o m i a l f o r m u l a t i o n o f t h e t h e o r y

t o c o m p l e t e t h e p r o g r a m m e .

T h e c e l e b r a t e d o b s e r v a t i o n d u e t o A s h t e k a r 4 ] i s t h a t t h e c a n o n i c a l c o n s t r a i n t s

o f g e n e r a l r e l a t i v i t y c a n i n d e e d b e c a s t i n t o p o l y n o m i a l f o r m i f o n e p e r f o r m s a c e r t a i n

c o m p l e x c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n o n t h e g r a v i t a t i o n a l p h a s e s p a c e . T h i s o p e n e d ,

f o r t h e r s t t i m e , t h e h o p e t h a t o n e c a n a c t u a l l y r i g o r o u s l y d e n e t h e q u a n t u m

H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t ( o r W h e e l e r - D e W i t t e q u a t i o n ) .

t h i e m a n n @ m a t h . h a r v a r d . e d u

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T h e m a j o r r o a d b l o c k a f t e r t h i s w a s t h e d i c u l t r e a l i t y s t r u c t u r e o f t h e t h e o r y s o o b -

t a i n e d : g e n e r a l r e l a t i v i t y , w h e n w r i t t e n i n A s h t e k a r ' s v a r i a b l e s , i s a d y n a m i c a l t h e -

o r y o f c o m p l e x - v a l u e d c o n n e c t i o n s f o r t h e n o n - c o m p a c t g a u g e g r o u p S L ( 2 ; C ) , h o w -

e v e r , s t a n d a r d m a t h e m a t i c a l c o n s t r u c t i o n s a n d t e c h n i q u e s u s u a l l y u s e d f o r Y a n g -

M i l l s t h e o r y a p p l y o n l y i f t h e g a u g e g r o u p i s c o m p a c t .

A s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m h a s b e e n r e c e n t l y p r o p o s e d i n f o r m o f a p h a s e s p a c e

W i c k r o t a t i o n t r a n s f o r m 5 ] ( s e e a l s o 6 ] ) w h i c h e n a b l e s o n e t o f o r m u l a t e g e n e r a l

r e l a t i v i t y a s a S U ( 2 ) g a u g e t h e o r y w h i l e k e e p i n g t h e p o l y n o m i a l a l g e b r a i c f o r m

o f W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t a n d i n c o r p o r a t i n g t h e c o r r e c t r e a l i t y c o n d i t i o n s i n t o

t h e q u a n t u m t h e o r y . T h i s t h e o r y c a n b e , n o t s u r p r i s i n g l y , r e c o g n i z e d a s E u c l i d e a n

f o u r - d i m e n s i o n a l g r a v i t y a s w r i t t e n i n t e r m s o f r e a l v a l u e d A s h t e k a r v a r i a b l e s 7 ] .

T h i s t h e n o p e n s a c c e s s t o t h e r e c e n t l y d e v e l o p e d , p o w e r f u l c a l c u l u s o n t h e s p a c e o f

( g e n e r a l i z e d ) c o n n e c t i o n s m o d u l o g a u g e t r a n s f o r m a t i o n s f o r c o m p a c t g a u g e g r o u p s

8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 ] . T h i s c a l c u l u s p r o v i d e s a r i g o r o u s k i n e m a t i c a l f r a m e w o r k b y m e a n s

o f w h i c h c o n s t r a i n t o p e r a t o r s c a n b e r e g u l a r i z e d i n a w e l l - d e n e d a n d u n a m b i g u o u s

m a n n e r . I n p a r t i c u l a r , t h i s f r a m e w o r k h a s a l r e a d y b e e n s u c c e s s f u l l y e m p l o y e d t o

a r r i v e a t t h e g e n e r a l s o l u t i o n o f t h e G a u s s a n d D i e o m o r p h i s m c o n s t r a i n t s 1 3 ] .

I n o r d e r t o c o m p l e t e t h e p r o g r a m m e o n e s t i l l n e e d e d t o c o n s t r u c t a r i g o r o u s l y

d e n e d o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e c l a s s i c a l g e n e r a t o r o f t h e t r a n s f o r m . T h i s

s e e m s a h o p e l e s s p r o b l e m t o s o l v e a s t h e c l a s s i c a l g e n e r a t o r i s a n o n - p o l y n o m i a l ,

n o t e v e n a n a l y t i c f u n c t i o n o f t h e p h a s e s p a c e v a r i a b l e s .

T h e r e i s , h o w e v e r , a n e v e n m o r e s e v e r e p r o b l e m : t h e H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t

o f E u c l i d e a n o r L o r e n t z i a n g r a v i t y a s d e n e d b y A s h t e k a r i s a d e n s i t y o f w e i g h t

t w o . N a m e l y , i n o r d e r t o o b t a i n a p o l y n o m i a l f o r m o f t h o s e c o n s t r a i n t s o n e n e e d s

t o r e s c a l e t h e c o n s t r a i n t f u n c t i o n a l a n d t o a b s o r b a f a c t o r o f 1 =

q

d e t ( q ) i n t o t h e

L a g r a n g e m u l t i p l i e r ( t h e l a p s e f u n c t i o n ; h e r e q = ( q

a b

) i s t h e i n t r i n s i c m e t r i c o f

a n i n i t i a l d a t a h y p e r s u r f a c e ) . O n g e n e r a l g r o u n d s , a n o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o a

c l a s s i c a l f u n c t i o n o n t h e p h a s e s p a c e w i t h d e n s i t y w e i g h t d i e r e n t f r o m o n e n e e d s

t o b e r e n o r m a l i z e d . W h i l e t h i s p o s e s n o , a p r i o r i , p r o b l e m s f o r , s a y , Y a n g - M i l l s

t h e o r i e s i n a c l a s s i c a l b a c k g r o u n d g e o m e t r y , s u c h a p r o c e d u r e i s u n a c c e p t a b l e f o r

q u a n t u m g r a v i t y s i n c e a r e n o r m a l i z a t i o n u n a v o i d a b l y i n t r o d u c e s a l e n g t h s c a l e a n d

t h u s b r e a k s d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n c e .

A s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m w a s r s t s u g g e s t e d i n 1 4 ] a n d i s c u r r e n t l y r e c o n s i d e r e d

i n 1 5 ] : t o p r o d u c e a n o p e r a t o r o f d e n s i t y w e i g h t o n e o n e t a k e s t h e s q u a r e r o o t o f

t h e r e s c a l e d E u c l i d e a n H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t . W h i l e c l a s s i c a l l y t h i s d o e s n o t a l t e r

t h e t h e o r y a n d w h i l e t h i s s e e m s t o b e a n e c e s s a r y s t e p t o d o i n q u a n t u m t h e o r y

i n o r d e r t o k e e p d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n c e , t h e r e r e m a i n p r o b l e m s t h a t h a v e t o d o

w i t h t a k i n g t h e s q u a r e r o o t o f a n i n n i t e n u m b e r o f n o n - s e l f a d j o i n t , n o n - p o s i t i v e ,

n o n - c o m m u t i n g o p e r a t o r s .

I n t h e p r e s e n t a r t i c l e w e s u g g e s t a t e c h n i q u e t o s o l v e b o t h p r o b l e m s , n a m e l y t h e

c o m p l i c a t e d r e a l i t y s t r u c t u r e o f t h e L o r e n t z i a n t h e o r y a s w e l l a s t h e p r o b l e m c o n -

n e c t e d w i t h t h e d e n s i t y w e i g h t , i n o n e s t r o k e : w h a t w a s t h o u g h t t o c r e a t e p r o b l e m s

i n t h e q u a n t i z a t i o n p r o c e s s i s p r e c i s e l y t h e r e a s o n f o r w h y w e a r e a b l e t o n d a n i t e

o p e r a t o r : t h e f a c t o r 1 =

q

d e t ( q ) i s n e e d e d

W e s h o w t h a t i t i s i n d e e d p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a n i t e , ( s y m m e t r i c ) o p e r a t o r

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c o r r e s p o n d i n g t o t h e o r i g i n a l , n o n - r e s c a l e d , L o r e n t z i a n W h e e l e r - D e W i t t c o n -

s t r a i n t w h o s e q u a n t u m c o n s t r a i n t a l g e b r a i s n o n - a n o m a l o u s . S i n c e t h e o r i g i n a l

W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t h a s d e n s i t y w e i g h t o n e , n o r e n o r m a l i z a t i o n i s n e c -

e s s a r y .

A m a z i n g l y , t h e r e s u l t i n g o p e r a t o r i s n o t m e s s y a t a l l a n d t h e p r o b l e m o f n d i n g

e x a c t s o l u t i o n s t o t h e q u a n t u m c o n s t r a i n t i s c o n c e i v a b l e .

W e a l w a y s w o r k w i t h r e a l - v a l u e d A s h t e k a r v a r i a b l e s , t h e r e a l i t y s t r u c t u r e o f

t h e t h e o r y i s v e r y s i m p l e , t h e c o m p l e x - v a l u e d A s h t e k a r v a r i a b l e s a r e n e v e r

i n t r o d u c e d .

I n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e W h e e l e r - D e W i t t o p e r a t o r t h e u n r e s c a l e d E u c l i d e a n

H a m i l t o n i a n o p e r a t o r a s w e l l a s t h e g e n e r a t o r o f t h e W i c k t r a n s f o r m a r i s e

i n a n a t u r a l w a y s o t h a t b o t h o p e r a t o r s a r e a l s o c o n s t r u c t e d r i g o r o u s l y a s a

s i d e r e s u l t . T h i s i s i m p o r t a n t s i n c e t h e W i c k r o t a t i o n t r a n s f o r m s i m p l i e s t h e

p r o b l e m o f n d i n g s o l u t i o n s t o t h e q u a n t u m c o n s t r a i n t .

U s i n g t h e s a m e t e c h n i q u e o n e c a n g i v e r i g o r o u s m e a n i n g t o a w h o l e b u n c h o f

o t h e r o p e r a t o r s i n a r e p r e s e n t a t i o n w h e r e t h e m e t r i c i s n o t d i a g o n a l , i n c l u d i n g

b u t n o t e x h a u s t i n g a ) t h e o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e l e n g t h o f a c u r v e 1 6 ] ,

b ) t h e g e n e r a t o r s o f t h e P o i n c a r e g r o u p f o r a s y m p t o t i c a l l y a t t o p o l o g i e s 1 7 ]

a n d c ) m a t t e r c o n t r i b u t i o n s t o t h e H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t 1 8 ] . I t m i g h t b e

t h a t i t i s i n t h i s s e n s e t h a t q u a n t u m g r a v i t y a r i s e s a s t h e \ n a t u r a l r e g u l a t o r

o f t h e m a t t e r e l d t h e o r i e s " . B y t h i s w e m e a n t h e f o l l o w i n g : i n t h e c a n o n i c a l

q u a n t i z a t i o n p r o g r a m m e a n a t u r a l r e g u l a r i z a t i o n p r o c e d u r e i s p o i n t s p l i t t i n g .

W i t h t h e e x c e p t i o n o f s p i n o r i a l m a t t e r , a l l m a t t e r H a m i l t o n i a n s o f , s a y , t h e

s t a n d a r d m o d e l , a r e q u a d r a t i c i n t h e m o m e n t a w h i c h m e a n s t h a t t h e y d i s p l a y

a d e n s i t y w e i g h t o f t w o w h e n n e g l e c t i n g t h e g r a v i t a t i o n a l i n t e r a c t i o n w h i l e t h e y

h a v e d e n s i t y w e i g h t o n e w h e n t a k i n g g r a v i t y i n t o a c c o u n t . W h e n r e m o v i n g

t h e r e g u l a t o r t h e d e n s i t y w e i g h t s h o w s u p i n t h e f o r m o f a p r o d u c t o f d e l t a

d i s t r i b u t i o n s e v a l u a t e d a t t h e s a m e p o i n t w h i c h i s s i n g u l a r . O n t h e o t h e r

h a n d , w i t h g r a v i t y t h e s i n g u l a r i t y i s r e m o v e d , i n t h e l i m i t o n e a r r i v e s a t a

w e l l - d e n e d o p e r a t o r - v a l u e d d i s t r i b u t i o n .

T h e a r t i c l e i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s :

A f t e r x i n g t h e n o t a t i o n a n d e x p l a i n i n g t h e m a i n i d e a w e c o n s t r u c t r s t t h e

u n r e s c a l e d E u c l i d e a n H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t o p e r a t o r . W e m o t i v a t e o u r c h o i c e s

i n v o l v e d i n t h e r e g u l a r i z a t i o n s t e p . T h e f r e e d o m i n o u r c h o i c e s i s s e v e r e l y r e s t r i c t e d

b y t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e r e s u l t i n g o p e r a t o r b e d i e o m o r p h i s m - c o v a r i a n t l y d e n e d

a n d n o n - a n o m a l o u s . W e p r o v i d e a s o l u t i o n t o b o t h r e q u i r e m e n t s . I f o n e a d d s t h e

r e q u i r e m e n t t h a t t h e o p e r a t o r b e a t l e a s t s y m m e t r i c ( p r e f e r r a b l y , i t s h o u l d p o s s e s s a

s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n ) t h e n t h e r e g u l a r i z a t i o n i n v o l v e s a n a d d i t i o n a l s t r u c t u r e . W e

w i l l s t i c k w i t h a n o n - s y m m e t r i c o p e r a t o r i n t h e m a i n t e x t a n d p r o v i d e a s y m m e t r i c

o p e r a t o r i n 1 ] w h i c h i s n o n - a n o m a l o u s a n d d i e o m o r p h i s m - c o v a r i a n t l y d e n e d a s

w e l l .

N e x t w e c o n s t r u c t o p e r a t o r s c o r r e s p o n d i n g t o t h e g e n e r a t o r o f t h e W i c k r o t a t i o n

t r a n s f o r m a n d n a l l y t h e L o r e n t z i a n W h e e l e r - D e W i t t o p e r a t o r .

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F o r t h e n o n - s y m m e t r i c o p e r a t o r w e a r e a b l e t o n d t h e c o m p l e t e k e r n e l o f t h e

W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t o p e r a t o r i n 1 ] . T h e p h y s i c a l H i l b e r t s p a c e t u r n s o u t t o

b e t h e o n e a l r e a d y g i v e n i n 1 3 ] .

F o r t h e s y m m e t r i c o p e r a t o r o n t h e o t h e r h a n d w e d o n o t h a v e t h e c o m p l e t e s o -

l u t i o n y e t , a l t h o u g h s o l u t i o n s c a n b e e a s i l y c o m p u t e d b y a c a s e b y c a s e a n a l y s i s . I n

p r i n c i p l e , s i n c e , e x p e c t e d l y , o n d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t s t a t e s t h e c o n s t r a i n t a l g e -

b r a i s A b e l i a n w e a r e a b l e t o n d s o l u t i o n s t o t h e c o n s t r a i n t a s w e l l a s c o n s t r u c t i n g

a p h y s i c a l i n n e r p r o d u c t b y t h e g r o u p a v e r a g i n g m e t h o d 1 9 , 2 0 ] . W e a l s o c o m m e n t

o n n d i n g o b s e r v a b l e s a l o n g t h e l i n e o f a r g u m e n t i n 1 3 ] . A l o t o f t h e m a t h e m a t i c a l

p r o b l e m s o f q u a n t u m g r a v i t y c a n b e s o l v e d , o n s o - c a l l e d c y l i n d r i c a l s u b s p a c e s , w i t h

w e l l - k n o w n H i l b e r t s p a c e t e c h n i q u e s f a m i l i a r f r o m q u a n t u m m e c h a n i c s .

W e h a v e c o m p l e t e c o n t r o l o v e r t h e s p a c e o f s o l u t i o n s t o b o t h v e r s i o n s o f t h e

c o n s t r a i n t a n d t h e i n t u i t i v e p i c t u r e t h a t a r i s e s i s t h e f o l l o w i n g : T h e H a m i l t o n i a n

c o n s t r a i n t a c t s b y a n n i h i l a t i n g , c r e a t i n g a n d r e - r o u t i n g t h e q u a n t a o f a n g u l a r m o -

m e n t u m ( w i t h w h i c h t h e g r a p h s o f s o - c a l l e d s p i n - n e t w o r k 2 1 , 2 2 , 2 3 ] s t a t e s a r e

\ c o l o u r e d " ) i n u n i t s o f h ; h = 2 ; 0 . O n t h e o t h e r h a n d , l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f s u c h

s t a t e s d i a g o n a l i z e t h e A D M e n e r g y o p e r a t o r v e r y m u c h i n t h e s a m e w a y a s F o c k

s t a t e s d i a g o n a l i z e t h e M a x w e l l H a m i l t o n i a n , t h e r o l e o f t h e o c c u p a t i o n n u m b e r b e i n g

p l a y e d b y t h e s p i n s o f t h e s p i n - n e t w o r k s t a t e . T h u s , t h e s p i n - n e t w o r k r e p r e s e n t a t i o n

i s t h e \ n o n - l i n e a r F o c k r e p r e s e n t a t i o n f o r q u a n t u m g r a v i t y " a n d t h i s m o t i v a t e s t o

c a l l t h e q u a n t u m t h e o r y w e o b t a i n \ Q u a n t u m S p i n D y n a m i c s ( Q S D ) " i n a n a l o g y

w i t h Q E D o r Q C D .

2 N o t a t i o n a n d t h e m a i n i d e a

L e t t h e t r i a d o n t h e s p a c e l i k e , s m o o t h , h y p e r s u r f a c e b e d e n o t e d b y e

i

a

, w h e r e

a ; b ; c ; : : : a r e t e n s o r i a l a n d i ; j ; k ; : : : a r e S U ( 2 ) i n d i c e s . T h e r e l a t i o n w i t h t h e i n t r i n s i c

m e t r i c i s g i v e n b y q

a b

= e

i

a

e

j

b

i j

. I t f o l l o w s t h a t d e t ( q ) : = d e t ( ( q

a b

) ) = d e t ( ( e

i

a

) )

2

0 . T h e d e n s i t i z e d t r i a d i s t h e n d e n e d b y E

a

i

: = d e t ( ( e

j

b

) ) e

a

i

w h e r e e

a

i

i s t h e i n v e r s e

o f e

i

a

. W e a l s o n e e d t h e e l d K

i

a

= e K

a b

e

b

i

; e = s g n ( d e t ( ( e

j

b

) ) ) ; w h e r e K

a b

i s t h e

e x t r i n s i c c u r v a t u r e o f . I t t u r n s o u t t h a t t h e p a i r ( K

i

a

; E

a

i

) i s a c a n o n i c a l o n e , t h a t

i s , t h e s e v a r i a b l e s o b e y c a n o n i c a l b r a c k e t s f K

i

a

( x ) ; E

b

j

( y ) g =

( 3 )

( x ; y )

b

a

i

j

w h e r e

i s N e w t o n ' s c o n s t a n t .

L e t t h e s p i n - c o n n e c t i o n ( w h i c h a n n i h i l a t e s t h e t r i a d ) b e d e n o t e d b y ?

i

a

. T h e n o n e

c a n s h o w t h a t ( A

i

a

: = ?

i

a

+ K

i

a

; E

a

i

) i s a c a n o n i c a l p a i r

1

o n t h e p h a s e s p a c e o f

L o r e n t z i a n g r a v i t y s u b j e c t t o t h e S U ( 2 ) G a u s s c o n s t r a i n t , t h e d i e o m o r p h i s m c o n -

s t r a i n t a n d t h e W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t ( n e g l e c t i n g a t e r m p r o p o r t i o n a l t o t h e

G a u s s c o n s t r a i n t )

H : =

q

d e t ( q ) K

a b

K

a b

? ( K

a

a

)

2

? R =

1

q

d e t ( q )

t r ( ( F

a b

? 2 R

a b

) E

a

; E

b

] ) ( 2 . 1 )

w h e r e F

a b

a n d R

a b

r e s p e c t i v e l y a r e t h e c u r v a t u r e s o f t h e S U ( 2 ) c o n n e c t i o n A

i

a

a n d

t h e t r i a d e

i

a

r e s p e c t i v e l y .

1

I f w e h a d c h o s e n E

a

i

=

p

d e t ( q ) e

a

i

i n s t e a d o f E

a

i

= d e t ( e ) e

a

i

t h e n t h i s p a i r i s n o t c a n o n i c a l , a

f a c t o f t e n o v e r l o o k e d i n t h e l i t e r a t u r e 4 ] . R o u g h l y s p e a k i n g , w e w o u l d s p o i l t h e i n t e g r a b i l i t y o f

t h e s p i n c o n n e c t i o n .

4


5/33

W h a t h a s b e e n g a i n e d b y r e f o r m u l a t i n g c a n o n i c a l g r a v i t y a s a d y n a m i c a l t h e o r y

o f S U ( 2 ) c o n n e c t i o n s i s t h e f o l l o w i n g : i f , a s w e d o i n t h e s e q u e l , o n e m a k e s t h e

a s s u m p t i o n t h a t t h e r e e x i s t s a p h a s e f o r q u a n t u m g r a v i t y i n w h i c h t h e e x c i t a t i o n s

o f t h e g r a v i t a t i o n a l e l d c a n b e p r o b e d b y l o o p s r a t h e r t h a n , s a y , t e s t f u n c t i o n s o f

r a p i d d e c r e a s e , t h e n o n e h a s a c c e s s t o a p o w e r f u l c a l c u l u s o n t h e s p a c e o f ( g e n e r -

a l i z e d ) c o n n e c t i o n s m o d u l o g a u g e t r a n s f o r m a t i o n s A = G a n d , i n p a r t i c u l a r , t h e r e i s

a n a t u r a l c h o i c e o f a d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t , f a i t h f u l m e a s u r e

0

t h e r e o n w h i c h

e q u i p s u s w i t h a H i l b e r t s p a c e H : = L

2

( A = G ; d

0

) , a p p r o p r i a t e f o r a r e p r e s e n t a t i o n

i n w h i c h A i s d i a g o n a l . M o r e o v e r , G a u s s a n d d i e o m o r p h i s m c o n s t r a i n t s c a n b e

s o l v e d ( s e e 1 0 ] a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n f o r a n i n t r o d u c t i o n t o t h e s e c o n c e p t s ) .

T h e r e m a i n i n g s t e p t h e n i s t o g i v e a r i g o r o u s l y d e n e d q u a n t u m o p e r a t o r c o r r e -

s p o n d i n g t o t h e W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t a n d t o p r o j e c t t h e s c a l a r p r o d u c t o n i t s

k e r n e l .

L e t u s e x p l a i n e l e m e n t s o f t h e u n d e r l y i n g k i n e m a t i c a l f r a m e w o r k 1 3 ] :

W e b e g i n b y e x p l a i n i n g t h e n o t i o n o f a \ c y l i n d r i c a l f u n c t i o n " o n A = G . I n b r i e f

t e r m s , g a u g e i n v a r i a n t c y l i n d r i c a l f u n c t i o n s o n t h e s p a c e o f ( g e n e r a l i z e d ) S U ( 2 ) c o n -

n e c t i o n s a r e j u s t n i t e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t r a c e s o f t h e h o l o n o m y a r o u n d c l o s e d

a n a l y t i c

2

l o o p s i n . E a c h s u c h f u n c t i o n t h e r e f o r e m a y e q u a l l y w e l l b e l a b e l l e d b y

t h e c l o s e d , p i e c e w i s e a n a l y t i c g r a p h c o n s i s t i n g o f t h e u n i o n o f a l l l o o p s i n v o l v e d i n

t h a t l i n e a r c o m b i n a t i o n . S u c h a g r a p h c o n s i s t s o f a n i t e n u m b e r o f e d g e s e

1

; : : ; e

n

a n d v e r t i c e s v

1

; : : ; v

m

. S o , a f u n c t i o n c y l i n d r i c a l w i t h r e s p e c t t o a g r a p h t y p i c a l l y

l o o k s l i k e f ( A ) = f

( h

e

1

( A ) ; : : ; h

e

n

( A ) ) , w h e r e h

e

( A ) i s t h e h o l o n o m y a l o n g e f o r

t h e c o n n e c t i o n A a n d f

i s a c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n o n S U ( 2 )

n

s u c h t h a t f ( A )

i s g a u g e - i n v a r i a n t . T h e f u n c t i o n s c y l i n d r i c a l w i t h r e s p e c t t o a g r a p h t h a t a r e n -

t i m e s d i e r e n t i a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e s t a n d a r d d i e r e n t i a b l e s t r u c t u r e o n S U ( 2 )

m

f o r s o m e m w i l l b e d e n o t e d b y C y l

n

( A = G ) a n d C y l

n

( A = G ) : =

C y l

n

( A = G ) . O n e

a n d t h e s a m e c y l i n d r i c a l f u n c t i o n c a n b e r e p r e s e n t e d o n d i e r e n t g r a p h s l e a d i n g t o

c y l i n d r i c a l l y e q u i v a l e n t r e p r e s e n t a n t s o f t h a t f u n c t i o n . I t i s u n d e r s t o o d i n t h e a b o v e

u n i o n t h a t s u c h k i n d o f f u n c t i o n s a r e i d e n t i e d .

T h e m e a s u r e

0

r e f e r r e d t o a b o v e i s e n t i r e l y c h a r a c t e r i z e d b y i t s c y l i n d r i c a l p r o j e c -

t i o n s d e n e d b y

Z

A = G

d

0

( A ) f ( A ) =

Z

A = G

d

0

( A ) f

( f h

e

i

( A ) g ) =

Z

S U ( 2 )

n

d

n

H

( g

1

; : : ; g

n

) f

( g

1

; : : ; g

n

)

A n o r t h o n o r m a l b a s i s o n H i s g i v e n b y t h e s o - c a l l e d s p i n - n e t w o r k s t a t e s 2 1 , 2 2 , 2 3 ]

: g i v e n a g r a p h , \ c o l o u r " e a c h o f i t s e d g e s e w i t h a n o n - t r i v i a l i r r e d u c i b l e r e p r e -

s e n t a t i o n

j

e

o f S U ( 2 ) , t h a t i s , j

e

i s t h e s p i n a s s o c i a t e d w i t h e . W i t h e a c h v e r t e x

w e a s s o c i a t e a c o n t r a c t i o n m a t r i x c

v

w h i c h c o n t r a c t s a l l t h e m a t r i c e s

j

e

( h

e

) f o r e

i n c i d e n t a t v i n a g a u g e - i n v a r i a n t w a y . I n t h i s p a p e r w e w i l l d e n o t e a s p i n - n e t w o r k

s t a t e b y T

~

j ; ~ c

i f w e w i s h t o s t r e s s t h e d e p e n d e n c e o n ;

~

j = ( j

e

) ; ~c = ( c

v

) w h e r e t h e

v e c t o r s

~

j ; ~ c h a v e i n d i c e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e e d g e s a n d v e r t i c e s o f r e s p e c t i v e l y .

C o n s i d e r t h e s e t o f s m o o t h c y l i n d r i c a l f u n c t i o n s : = C y l

1

( A = G ) w h i c h c a n b e

s h o w n t o b e d e n s e i n H . B y a d i s t r i b u t i o n 2

0

o n w e m e a n a g e n e r a l i z e d

f u n c t i o n o n A = G s u c h t h a t f o r a n y 2 t h e n u m b e r : =

R

A = G

d

0


6/33

n i t e . I t t u r n s o u t t h a t t h e s o l u t i o n s o f t h e d i e o m o r p h i s m c o n s t r a i n t a r e e l e m e n t s

o f

0

1 3 ] .

S u p p o s e w e h a v e a q u a n t i z a t i o n

H ( N ) o f t h e H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t o p e r a t o r , t h a t

i s , i t i s d e n s e l y d e n e d o n H a n d i t s c l a s s i c a l l i m i t r e d u c e s t o H ( N ) , w h e r e N i s

t h e l a p s e f u n c t i o n . T h e n i t s a d j o i n t

H ( N )

y

a l s o h a s t h e s a m e c l a s s i c a l l i m i t H ( N )

( a r e o r d e r i n g o f t e r m s g i v e s o n l y h i g h e r o r d e r s i n h ) b e c a u s e H ( N ) i s r e a l - v a l u e d .

T h e r e f o r e , i f

H ( N ) i s n o t s e l f - a d j o i n t , t h e n i t i s a n o p t i o n o f w h e t h e r w e i m p o s e

H ( N ) = 0 o r

H ( N )

y

= 0 . I n b o t h c a s e s , t h e s o l u t i o n i s t y p i c a l l y n o t a n L

2

f u n c -

t i o n a n y l o n g e r b u t a d i s t r i b u t i o n , t h a t i s , i n o u r c a s e a n e l e m e n t o f

0

. T h u s , g i v e n

t h e f r a m e w o r k o f g e n e r a l i z e d e i g e n v e c t o r s 1 3 ] a n d t h e a s s o c i a t e d t r i p l e H

0

w e c h o o s e t o n d t h e g e n e r a l i z e d e i g e n v e c t o r s w i t h e i g e n v a l u e 0 c o r r e s p o n d i n g t o

t h e k e r n e l o f t h e ( s e l f - a d j o i n t ) H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t o p e r a t o r

H ( N )

y

a s f o l l o w s :

L e t 2

0

b e a d i s t r i b u t i o n . W e s a y t h a t i s i n t h e k e r n e l o f

H ( N )

y

w h e n e v e r

(

H ( N )

y

) ( f ) : = (

H ( N ) f ) = 0 f o r e a c h l a p s e a n d e a c h c y l i n d r i c a l f u n c t i o n f i n

t h e ( d e n s e ) d o m a i n o f

H ( N ) . N o t e t h a t w e c a n n o t r e q u i r e t h a t i s d i e o m o r p h i s m

i n v a r i a n t i f w e i m p o s e t h e c o n d i t i o n

H ( N )

y

= 0 . T h i s i s b e c a u s e t h e H a m i l t o -

n i a n c o n s t r a i n t d o e s n o t l e a v e t h e s u b s p a c e o f

0

, c o r r e s p o n d i n g t o d i e o m o r p h i s m

i n v a r i a n t e l e m e n t s , i n v a r i a n t s o t h a t o n e w o u l d b e f o r c e d t o s o l v e t h e H a m i l t o n i a n

c o n s t r a i n t b e f o r e t h e d i e o m o r p h i s m c o n s t r a i n t . O n t h e o t h e r h a n d , w e w i l l s e e t h a t

i f i s d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t a n d

H ( N ) i s d i e o m o r p h i s m c o v a r i a n t l y d e n e d ,

t h e n s o l v i n g (

H ( N ) f ) = 0 i s m e a n i n g f u l .

A f t e r t h i s p r e p a r a t i o n w e a r e n o w r e a d y t o e x p l a i n t h e m a i n i d e a o f o u r a p p r o a c h .

S u p p o s e t h a t w e c a n g i v e m e a n i n g , i n a r e p r e s e n t a t i o n i n w h i c h A i s d i a g o n a l , t o

t w o o p e r a t o r s c o r r e s p o n d i n g t o

1 ) T h e t o t a l v o l u m e o f g i v e n b y

3

V : = V ( ) : =

Z

d

3

x

q

d e t ( q ) a n d ( 2 . 2 )

2 ) t h e i n t e g r a t e d t r a c e o f t h e ( d e n s i t i z e d ) e x t r i n s i c c u r v a t u r e o f

K : =

Z

d

3

x

q

d e t ( q ) K

a b

q

a b

=

Z

d

3

x K

i

a

E

a

i

( 2 . 3 )

T h i s m e a n s t h a t t h e i r q u a n t i z a t i o n s

V ;

K a r e d e n s e l y d e n e d o n s u i t a b l e s u b s p a c e s

o f c y l i n d r i c a l f u n c t i o n s ( i n c a s e t h a t w e w i s h t o o b t a i n a s y m m e t r i c o p e r a t o r w e

w i l l a l s o r e q u i r e t h a t t h e y a r e s e l f - a d j o i n t o n H ) . T h e m o t i v a t i o n f o r t h e s e t w o

a s s u m p t i o n s c o m e s f r o m c o n s i d e r i n g t h e f o l l o w i n g t w o k e y i d e n t i t i e s

E

a

; E

b i

q

d e t ( q )

=

a b c

e e

i

c

( x ) = 2

a b c

V

E

c

i

( x )

= 2

a b c

f

A

i

c

; V g a n d ( 2 . 4 )

K

i

a

=

K

E

a

i

= f

A

i

a

; K g ( 2 . 5 )

3

I n c a s e t h a t i s n o t c o m p a c t , a s w e w i l l n e e d o n l y t h e v a r i a t i o n o f V i n t h e s e q u e l , ( 2 . 2 )

i s t o b e u n d e r s t o o d i n t h e f o l l o w i n g w a y : c o n s i d e r a n y n e s t e d o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f c o m p a c t

m a n i f o l d s

r

r

8 0 r < r


7/33

T h e l a s t e q u a l i t y r e l i e s o n t h e o b s e r v a t i o n t h a t f ?

a

; K g = 0 a n d i t i s t h i s i d e n t i t y

u n d e r l y i n g t h e i d e a s d e v e l o p e d i n 5 ] . T h e i m p o r t a n c e o f t h e s e i d e n t i t i e s b e c o m e s

c l e a r w h e n w e g e t r i d o f t h e c o m p l i c a t e d c u r v a t u r e t e r m R

a b

i n v o l v e d i n ( 2 . 1 ) i n

f a v o u r o f K . W e h a v e

H + H

E

=

2

q

d e t ( q )

t r ( K

a

; K

b

E

a

; E

b

) =

2

q

d e t ( q )

t r ( f

A

a

; K g ; f

A

b

; K g E

a

; E

b

)

=

4

3

a b c

t r ( f A

a

; K g ; f A

b

; K g f A

c

; V g ) =

8

3

a b c

t r ( f A

a

; K g f A

b

; K g f A

c

; V g ) ( 2 . 6 )

w h e r e w e h a v e i n t r o d u c e d t h e ( u n r e s c a l e d ) E u c l i d e a n H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t

H

E

: =

1

q

d e t ( q )

t r ( F

a b

E

a

; E

b

) =

2

a b c

t r ( F

a b

f A

c

; V g ) ( 2 . 7 )

S o w h a t w e h a v e a c h i e v e d i s t o h i d e t h e n o n - p o l y n o m i a l i t y o f t h e t h e o r y a s d e -

t e r m i n e d b y 1 =

q

d e t ( q ) i n a P o i s s o n b r a c k e t . C l a s s i c a l l y t h i s i s n o t h e l p f u l a t a l l

( e x c e p t , p o s s i b l y , f o r H a m i l t o n - J a c o b i m e t h o d s o r s e m i - c l a s s i c a l a p p r o x i m a t i o n s ) ,

h o w e v e r , w e w i l l s h o w t h a t i n t h e q u a n t u m t h e o r y i t i s o f a d v a n t a g e . N a m e l y , i t

i s n o w c l e a r w h e r e w e a r e d r i v i n g a t : i n a n y r e g u l a r i z a t i o n o f t h e W h e e l e r - D e W i t t

c o n s t r a i n t o p e r a t o r w e w i l l h a v e t o a p p r o x i m a t e t h e c o n n e c t i o n A

a

a n d t h e c u r v a -

t u r e F

a b

r e s p e c t i v e l y b y c y l i n d r i c a l f u n c t i o n s g i v e n b y t h e h o l o n o m i e s h a l o n g s o m e

e d g e s a n d c l o s e d l o o p s r e s p e c t i v e l y . N o w , o n e o b v i o u s q u a n t i z a t i o n o f ( 2 . 6 ) w o u l d

b e t o r e p l a c e V ; K b y

V ;

K a n d t h e P o i s s o n b r a c k e t s f ; g b y ; = ( i h ) . I t t h e n

f o l l o w s , g i v e n o u r a s s u m p t i o n , t h a t t h i s q u a n t i z a t i o n o f ( 2 . 6 ) h a s a c h a n c e t o r e s u l t

i n a n i t e o p e r a t o r o n c y l i n d r i c a l f u n c t i o n s s i n c e n o s i n g u l a r t e r m s a p p e a r w h e n

c o m p u t i n g t h e b r a c k e t a n d w e w o u l d h a v e m a n a g e d t o p r o d u c e a d e n s e l y d e n e d

o p e r a t o r .

I s i t t h e n t r u e t h a t t h e r e e x i s t q u a n t i z a t i o n s o f V ; K m e e t i n g o u r a s s u m p t i o n T h e

a n s w e r i s , s u r p r i s i n g l y , i n t h e a r m a t i v e :

F i r s t , i t i s a f a c t t h a t t h e r e h a s a l r e a d y b e e n c o n s t r u c t e d a w e l l - d e n e d , s e l f - a d j o i n t

o p e r a t o r

V o n H c o r r e s p o n d i n g t o V 2 5 , 2 6 ] w h o s e a c t i o n o n c y l i n d r i c a l f u n c t i o n s

i s p e r f e c t l y n i t e : ( w e f o l l o w 2 6 ] )

V f =

3

p

X

v 2 V ( )

V

v

f =

0

@

3

p

X

v 2 V ( )

v

u

u

t

i

8 3 !

X

e

I

\ e

J

\ e

K

= v

( e

I

; e

J

; e

K

)

i j k

X

i

I

X

j

J

X

k

K

1

A

f

( g

1

; : : ; g

n

)

( 2 . 8 )

w h e r e ( e

I

; e

J

; e

K

) = s g n ( d e t ( _ e

I

( 0 ) ; _e

J

( 0 ) ; _e

K

( 0 ) ) ) . W e h a v e a b b r e v i a t e d g

I

= h

e

I

( A )

a n d X

I

= X ( g

I

) i s t h e r i g h t i n v a r i a n t v e c t o r e l d o n S U ( 2 ) ( w e h a v e c h o s e n o r i e n -

t a t i o n s s u c h t h a t a l l e d g e s a r e o u t g o i n g a t v ) V ( ) i s t h e s e t o f v e r t i c e s o f a n d

p

: =

p

h i s t h e P l a n c k l e n g t h . T h e s y m b o l

V

v

i s d e n e d a s f o l l o w s :

V

v

f

=

(

q

i

8 3

P

e

I

\ e

J

\ e

K

= v

( e

I

; e

J

; e

K

)

i j k

X

i

I

X

j

J

X

k

K

f

i f v 2 V ( )

0 i f v 62 V ( )

;

t h a t t h i s , i t i s a n o p e r a t o r w h i c h a c t s o n t h e e d g e s o f a n y g r a p h m e e t i n g a t t h e

p o i n t v i n t h e w a y d i s p l a y e d i n ( 2 . 8 ) . T h i s d e m o n s t r a t e s t h a t

V i s a d e n s e l y d e n e d

o p e r a t o r o n t h r i c e d i e r e n t i a b l e c y l i n d r i c a l f u n c t i o n s . F r o m t h i s i t f o l l o w s a l r e a d y

7


8/33

t h a t w e h a v e a c h a n c e o f g i v i n g m e a n i n g t o a n o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o H

S e c o n d l y , i t i s a w e l l - k n o w n f a c t t h a t K i s , u p t o a m u l t i p l i c a t i v e c o n s t a n t , j u s t

t h e t i m e d e r i v a t i v e o f t h e t o t a l v o l u m e w i t h r e s p e c t t o t h e i n t e g r a t e d H a m i l t o n i a n

c o n s t r a i n t ( w h i c h i s a s i g n a t u r e i n v a r i a n t s t a t e m e n t )

K = ? f

V

;

Z

d

3

x H

E

( x ) g ( 2 . 9 )

w h i c h o f c o u r s e c a n a l s o b e v e r i e d i m m e d i a t e l y . S o , i f w e ( a g a i n ) r e p l a c e V ; H

E

b y t h e i r q u a n t i z a t i o n s a n d P o i s s o n b r a c k e t s b y ( 1 = ( i h ) t i m e s ) c o m m u t a t o r s w e a l s o

n d t h a t w e h a v e a c h a n c e o f g i v i n g m e a n i n g t o a n o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o K

T h i s c o m p l e t e s o u r e x p l a n a t i o n o f t h e m a i n i d e a . T h e r e s t o f t h i s p a p e r i s d e v o t e d

t o a p r e c i s e c o n s t r u c t i o n o f t h e o p e r a t o r s s k e t c h e d i n t h i s s e c t i o n . W e d o t h i s i n a

s e r i e s o f t h r e e s t e p s :

S t e p A ) W e b e g i n b y g i v i n g m e a n i n g t o a n o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e E u c l i d e a n

H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t ( 2 . 7 ) . T h e r e s u l t w i l l b e a ( s e l f - a d j o i n t ) o p e r a t o r o n H w h o s e

c o n s t r a i n t a l g e b r a i s a n o m a l y - f r e e .

S t e p B ) W e q u a n t i z e K a l o n g t h e l i n e s s k e t c h e d a b o v e u s i n g t h e k n o w n q u a n t i z a t i o n s

V ;

H

E

S t e p C ) W e q u a n t i z e t h e W h e e l e r - D e W i t t c o n s t r a i n t u s i n g t h e k n o w n q u a n t i z a t i o n s

H

E

;

K a n d e x p l o i t i n g ( 2 . 6 ) . W e s h o w t h a t i t s c o n s t r a i n t a l g e b r a i s a n o m a l y f r e e

a n d t h a t t h e r e s u l t i s a ( s y m m e t r i c ) d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r o n H a s w e l l .

R e c a l l i n g t h a t C = ( = 2 ) K i s t h e c l a s s i c a l g e n e r a t o r o f t h e W i c k r o t a t i o n t r a n s f o r m

5 ] w e n a t u r a l l y o b t a i n i t s q u a n t i z a t i o n , a s w e l l a s t h a t o f t h e E u c l i d e a n H a m i l t o n i a n

c o n s t r a i n t , f o r f r e e i n o u r p r o c e d u r e .

3 Q u a n t i z a t i o n o f t h e E u c l i d e a n H a m i l t o n i a n c o n -

s t r a i n t

T h e m e t h o d a p p l i e d i n 1 4 , 1 5 ] i s t o a b s o r b t h e p r e f a c t o r 1 =

q

d e t ( q ) i n ( 2 . 7 ) i n t o

t h e l a p s e f u n c t i o n a n d t o g i v e m e a n i n g t o t h e o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e s q u a r e

r o o t o f t h e t r a c e . W e w i l l n o t d o t h i s . B y e m p l o y i n g t h e m e t h o d d e s c r i b e d b e l o w w e

c a n a v o i d t h e c o m p l i c a t i o n s t h a t a r i s e i n c o n n e c t i o n w i t h t h e s e t w o s t e p s . A l s o , i t

w o u l d b e l e s s s t r a i g h t f o r w a r d t o d e n e K w i t h t h i s r e s c a l e d f o r m o f t h e c o n s t r a i n t

s i n c e t h e n K i s n o t t h e t i m e d e r i v a t i v e o f t h e v o l u m e a n y l o n g e r .

3 . 1 R e g u l a r i z a t i o n

T h e r e g u l a r i z a t i o n a n d a l l c o m p u t a t i o n s w i l l b e p e r f o r m e d i n a n a r b i t r a r y b u t x e d

s t a n d a r d f r a m e f o r a s u s u a l . T h e e n d r e s u l t w i l l b e i n d e p e n d e n t o f t h a t c h o i c e o f

f r a m e .

W e s t a r t f r o m t h e c l a s s i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e E u c l i d e a n c o n s t r a i n t f u n c t i o n a l

H

E

N =

2

Z

d

3

x N ( x )

a b c

t r ( F

a b

f A

c

; V g ) ( 3 . 1 )

w h e r e N i s t h e l a p s e f u n c t i o n d i v i d e d b y

W e n o w t r i a n g u l a t e i n t o e l e m e n t a r y t e t r a h e d r a w h e r e e a c h o f i t s e d g e s a r e

8


9/33

a n a l y t i c . F o r e a c h t e t r a h e d r o n w e s i n g l e o u t o n e o f i t s v e r t i c e s a n d c a l l i t v ( ) .

L e t s

i

( ) ; i = 1 ; 2 ; 3 b e t h e t h r e e e d g e s o f m e e t i n g a t v ( ) . L e t

i j

( ) : =

s

i

( ) a

i j

( ) s

j

( )

? 1

;

j i

=

? 1

i j

, b e t h e l o o p b a s e d a t v ( ) w h e r e a

i j

i s t h e

o b v i o u s o t h e r e d g e o f c o n n e c t i n g t h o s e e n d p o i n t s o f s

i

; s

j

w h i c h a r e d i s t i n c t f r o m

v ( ) . T h e n i t i s e a s y t o s e e t h a t

H

E

N : = ?

2

3

N

v

i j k

t r ( h

i j

( )

h

s

k

( )

f h

? 1

s

k

( )

; V g ) ( 3 . 2 )

t e n d s t o t h e c o r r e c t v a l u e 2

R

N t r ( F ^ f A ; V g ) ] a s w e s h r i n k t o t h e p o i n t

v ( ) ; N

v

: = N ( v ( ) ) . M o r e o v e r , H

E

N ] i s m a n i f e s t l y g a u g e - i n v a r i a n t s i n c e

i j

s

k

s

? 1

k

i s a \ l o o p w i t h a n o s e " .

L e t t h e t r i a n g u l a t i o n b e d e n o t e d b y T . T h e n

H

E

T

N =

X

2 T

H

E

N ] ( 3 . 3 )

i s a n e x p r e s s i o n w h i c h h a s t h e c o r r e c t l i m i t ( 3 . 1 ) a s a l l s h r i n k t o t h e i r b a s e p o i n t s

( o f c o u r s e t h e n u m b e r o f t e t r a h e d r a l l i n g a n y b o u n d e d s u b s e t o f g r o w s t o i n n i t y

u n d e r t h i s p r o c e s s ) .

A s w e h a v e s a i d b e f o r e , w e n o w s i m p l y r e p l a c e V b y

V a n d t h e P o i s s o n b r a c k e t b y

1 = i h t i m e s t h e c o m m u t a t o r a n d

H

E

T

N : =

X

2 T

H

E

N ;

H

E

N : = ? 2

N ( v ( ) )

3 i

2

p

i j k

t r ( h

i j

( )

h

s

k

( )

h

? 1

s

k

( )

;

V ] ) = : N

v

H

E

( 3 . 4 )

i s a n o p e r a t o r w i t h t h e c o r r e c t c l a s s i c a l l i m i t .

I t i s o b v i o u s t h a t t h e p r o p e r t i e s o f t h e o p e r a t o r ( 3 . 4 ) a r e l a r g e l y d e t e r m i n e d b y t h e

c h o i c e o f t r i a n g u l a t i o n T a n d t h e r e f o r e w e d e v o t e t h e s u b s e q u e n t p a r a g r a p h t o a

p r e l i m i n a r y i n v e s t i g a t i o n o f t h o s e p r o p e r t i e s o f ( 3 . 4 ) w h i c h h o l d f o r a n y c h o i c e o f

t r i a n g u l a t i o n . T h e s e c o n s i d e r a t i o n s w i l l t h e n m o t i v a t e o u r c h o i c e s .

3 . 1 . 1 M o t i v a t i o n

T h e r s t p r o p e r t y o f ( 3 . 4 ) t h a t w e w i s h t o p r o v e i s t h a t i t s a c t i o n o n c y l i n d r i c a l

f u n c t i o n s i s i n d e e d n i t e n o m a t t e r h o w n e t h e t r i a n g u l a t i o n T i s , p r o v i d e d t h a t a

c e r t a i n c r i t e r i o n i s s a t i s e d w h i c h w e d e r i v e n o w .

I n o r d e r t o s e e t h i s i t i s s u c i e n t t o c o n s i d e r t h e o p e r a t o r h

s

k

( )

;

V f w h e r e f i s a

c y l i n d r i c a l f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o s o m e g r a p h . T h e r s t c a s e i s t h a t s

k

( ) \ = ;

T h e n V ( s

k

( ) ) = V ( ) V ( s

k

( ) ) a n d i t f o l l o w s f r o m ( 2 . 8 ) t h a t h

s

k

( )

;

V f =

P

v 2 V ( )

h

s

k

( )

V

v

f ?

P

v 2 V ( s

k

( ) )

V

v

h

s

k

( )

f = ? f

P

v 2 V ( s

k

( ) )

V

v

h

s

k

( )

= 0 s i n c e

V

a n n i h i l a t e s a n y c y l i n d r i c a l f u n c t i o n , w h e t h e r g a u g e - i n v a r i a n t o r n o t , w h o s e u n d e r -

l y i n g g r a p h i s n o t a t l e a s t t h r e e - v a l e n t

4

T h e n e x t c a s e i s t h a t s

k

( ) \ 6= ; b u t d o e s n o t c o n t a i n a v e r t e x o f . T h a t i s , t h e s e t

V ( s

k

( ) ) ? V ( ) c o n s i s t s o f v e r t i c e s w h i c h a r e a t m o s t f o u r - v a l e n t , h o w e v e r , t h e

t a n g e n t s o f t h e e d g e s i n c i d e n t a t e a c h o f t h o s e v e r t i c e s l i e i n a t w o d i m e n s i o n a l v e c t o r

s p a c e . I t t h e n f o l l o w s t h a t a g a i n h

s

k

( )

;

V f = ?

P

v 2 V ( s

k

( ) ) ? V ( )

V

v

h

s

k

( )

f = 0

4

W e s a y t h a t a g r a p h i s n - v a l e n t i f t h e r e a r e n o m o r e t h a n n e d g e s i n g o i n g o r o u t g o i n g a t e a c h

v e r t e x

9


10/33

b e c a u s e o f t h e s i g n a t u r e f a c t o r ( s

i

; s

j

; s

k

) i n v o l v e d i n ( 2 . 8 ) . N o t i c e t h a t t h i s p r o p -

e r t y w o u l d n o l o n g e r b e t r u e h a d w e u s e d t h e v o l u m e o p e r a t o r a s d e n e d i n 2 5 ] :

a c c o r d i n g t o t h e s e c o n d r e f e r e n c e i n 2 6 ] , t h a t o p e r a t o r d o e s n o t v a n i s h f o r v e r t i c e s

w h i c h i n v o l v e o n l y e d g e s w i t h c o - p l a n a r t a n g e n t s . T h e r e f o r e , h a d w e u s e d t h i s o p -

e r a t o r , a s w e m a k e t h e t r i a n g u l a t i o n n e r a n d n e r w e w o u l d g e t m o r e a n d m o r e

c o n t r i b u t i o n s a n d t h u s t h e r e s u l t i n g c o n t i n u u m o p e r a t o r c o u l d n o t e v e n b e d e n s e l y

d e n e d .

I t f o l l o w s t h a t ( 3 . 4 ) r e d u c e s t o

H

E

T

N f =

X

\ V ( ) 6= ;

H

E

N f =

X

v 2 V ( )

N

v

X

v 2

H

E

f = :

X

v 2 V ( )

N

v

H

E

v

f ( 3 . 5 )

a n d w e s e e t h a t t h i s e x p r e s s i o n i s n i t e n o m a t t e r h o w \ n e " t h e t r i a n g u l a t i o n i s ,

p r o v i d e d t h e n u m b e r o f t e t r a h e d r a i n t e r s e c t i n g t h e v e r t i c e s o f s t a y s b o u n d e d a s

w e g o t o n e r a n d n e r t r i a n g u l a t i o n s . T h e s e c o n s i d e r a t i o n s m o t i v a t e t o c o n s t r u c t

a t r i a n g u l a t i o n T ( ) a s s i g n e d t o a g r a p h w h i c h m e e t s t h i s c r i t e r i o n a n d w e g e t a n

o p e r a t o r

H

E

T ( )

. T h i s f u r n i s h e s o u r p r e l i m i n a r y a n a l y s i s .

3 . 1 . 2 R e q u i r e m e n t s f o r a t r i a n g u l a t i o n a d a p t e d t o a g r a p h

C e r t a i n l y , t h e r e a r e a n i n n i t e n u m b e r o f p o s s i b l e a s s i g n m e n t s . W e c h o o s e a p a r t i c -

u l a r a s s i g n m e n t g u i d e d b y t h e f o l l o w i n g p r i n c i p l e s :

a ) N o n - t r i v i a l i t y :

W e c o u l d c h o o s e T ( ) i n s u c h a w a y t h a t t h e r e a r e n o i n t e r s e c t i o n s w i t h a t

a l l , g i v i n g a u t o m a t i c a l l y a t r i v i a l r e s u l t . T h i s i s i n a p p r o p r i a t e a s t h e n u m b e r o f

d e g r e e s o f f r e e d o m s h o u l d b e g e n u i n e l y r e d u c e d b y t h e H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t .

b ) D i e o m o r p h i s m - C o v a r i a n c e :

R e m e m b e r t h a t w e w a n t t o i m p o s e t h e c o n s t r a i n t o n a d i s t r i b u t i o n a s o u t -

l i n e d i n s e c t i o n 2 a n d t h a t t h e m e a s u r e

0

i s d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t . T h i s

f a c t e n a b l e s u s t o g e t r i d o f a h u g e a m o u n t o f a m b i g u i t y a r i s i n g i n t h e a s s i g n -

m e n t o f a t r i a n g u l a t i o n a s f o l l o w s : t h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t i s n o t

d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t b u t i t i s d i e o m o r p h i s m c o v a r i a n t . I f w e c o u l d c a r r y

o v e r t h i s c l a s s i c a l p r o p e r t y t o t h e q u a n t u m t h e o r y t h e n d i e o m o r p h i c v e c t o r s

w o u l d b e m a p p e d b y

H

E

i n t o d i e o m o r p h i c v e c t o r s . T h e r e f o r e , p r o v i d e d t h e

s t a t e i s d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t , t h e n u m b e r

H

E

f ] w o u l d o n l y d e p e n d o n

t h e d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t p r o p e r t i e s o f t h e t r i a n g u l a t i o n a s s i g n m e n t ( t h i s

w a s r s t o b s e r v e d i n 1 4 ] ) . T h e a s s i g n m e n t s h o u l d t h e r e f o r e m o v e w i t h t h e

g r a p h u n d e r d i e o m o r p h i s m s o f .

M o r e p r e c i s e l y , w e h a v e t h e f o l l o w i n g

5

: L e t b e a g r a p h a n d ( ) i t s d i e o -

m o r p h i c i m a g e f o r s o m e s m o o t h d i e o m o r p h i s m 2 D i ( ) ( t h e d i e o m o r -

p h i s m d o e s n o t n e e d t o b e a n a l y t i c b u t i t m u s t k e e p t h e g r a p h a n a l y t i c ) . T h e n

H

E

T ( )

f

w i l l d e p e n d o n a g r a p h

b

a n d l i k e w i s e

H

E

T ( ( ) )

f

( )

w i l l d e p e n d o n a

g r a p h

d

( ) . T h e n t h e r e q u i r e m e n t i s t h a t

b

;

d

( ) a r e d i e o m o r p h i c .

T h a t i s , w e w a n t t h a t t h e r e e x i s t s

0

2 D i ( ) s u c h t h a t

U (

0

)

H

E

T ( )

f

=

5

T h i s m o r e p r e c i s e f o r m u l a t i o n o f t h e i n t u i t i v e i d e a o f d i e o m o r p h i s m c o v a r i a n c e w a s c o m m u -

n i c a t e d t o t h e a u t h o r b y J u r e k L e w a n d o w s k i

1 0


11/33

H

T ( ( ) )

f

( )

w h e r e U ( ) f

= f

( )

i s a u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d i e o -

m o r p h i s m g r o u p D i ( ) o n H . N o t i c e t h a t w e h a v e b e e n d e a l i n g w i t h t h e

H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t a t a p o i n t

H

E

r a t h e r t h a n w i t h i t s s m e a r e d v e r s i o n

H

E

N ] w h i c h i s a p p r o p r i a t e b e c a u s e w e n e e d t o i m p o s e t h e c o n s t r a i n t a t e v e r y

p o i n t o f . W e w i l l s e e t h a t i n o u r c a s e t h e n o t i o n o f a c o n s t r a i n t o p e r a t o r a t

a p o i n t m a k e s p e r f e c t s e n s e .

c ) C y l i n d r i c a l c o n s i s t e n c y :

I f

0

i s b i g g e r t h a n t h e n T ( ) a n d T (

0

) w i l l i n g e n e r a l d i e r f r o m e a c h

o t h e r . H o w e v e r , i f f i s c y l i n d r i c a l w i t h r e s p e c t t o t h e n t h e v e c t o r s

H

E

T ( )

f

a n d

H

E

T ( )

f s h o u l d b e d i e o m o r p h i c t o e a c h o t h e r . T h a t i s , w e h a v e c y l i n d r i c a l

c o n s i s t e n c y u p t o a d i e o m o r p h i s m . T h e r e a s o n w h y w e d o n o t n e e d t o r e q u i r e

e x a c t c y l i n d r i c a l c o n s i s t e n c y i s b e c a u s e t h e a s s i g n m e n t o f t h e t r i a n g u l a t i o n i s

o n l y d e n e d u p t o a d i e o m o r p h i s m i f w e c a r e o n l y a b o u t t h e e v a l u a t i o n o f a

d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t s t a t e o n t h e s t a t e s

H

E

f

6

d ) S y m m e t r y a n d S e l f - A d j o i n t n e s s :

T h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n o n t h e p h a s e

s p a c e o f g e n e r a l r e l a t i v i t y . I t i s t h e r e f o r e c o m p a t i b l e w i t h t h e p r i n c i p l e s o f

q u a n t u m t h e o r y t o c o n s t r u c t a n o p e r a t o r c o r r e s p o n d i n g t o i t w h i c h i s s e l f -

a d j o i n t o r a t l e a s t s y m m e t r i c . W h i l e o n e i s n o t f o r c e d t o d o s o a s t h e s y m m e t r i c

a n d n o n - s y m m e t r i c o p e r a t o r s h a v e t h e s a m e c l a s s i c a l l i m i t a n d a s w e a r e o n l y

i n t e r e s t e d i n t h e p o i n t 0 o f t h e s p e c t r u m , r a t h e r t h a n t h e f u l l s p e c t r u m , t h e r e

a r e p r a c t i c a l r e a s o n s , a m o n g o t h e r s t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e g r o u p a v e r a g i n g

m e t h o d a n d t h e p o s s i b i l i t y o f b e i n g a b l e t o g e t r i d o f a q u a n t i z a t i o n a m b i g u i t y ,

w h i c h m o t i v a t e t o h a v e t h e c o n s t r a i n t i n s y m m e t r i c f o r m . W e w i l l t h e r e f o r e

p r o p o s e t w o q u a n t i z a t i o n s o f t h e H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t : i n t h e m a i n t e x t w e

w i l l s t i c k w i t h a n o n - s y m m e t r i c o p e r a t o r a s i t t u r n s o u t t h a t i t i s t e c h n i c a l l y

m u c h e a s i e r t o h a n d l e a n d i n 1 ] w e w i l l t r e a t a s y m m e t r i c v e r s i o n o f t h e

o p e r a t o r .

e ) E c i e n c y :

T h e r e s u l t o f a p p l y i n g

H

E

T

N ] t o c y l i n d r i c a l f u n c t i o n s w i l l b e a c y l i n d r i c a l

f u n c t i o n t h a t d e p e n d s o n a d d i t i o n a l e d g e s . W e w a n t t o c h o o s e a n a s s i g n m e n t

w h i c h i n t r o d u c e s a s l e s s a d d i t i o n a l s t r u c t u r e ( e d g e s ) a s p o s s i b l e .

f ) N a t u r a l i t y :

T h e a s s i g n m e n t s h o u l d b e u n i f o r m , t h a t i s , i t t r e a t s a l l t h e e d g e s o f t h e g r a p h

i n c i d e n t a t a v e r t e x o n e q u a l f o o t i n g .

g ) A n o m a l y - f r e e n e s s :

T h e a s s i g n m e n t s h o u l d b e f r e e o f a n o m a l i e s , t h a t i s , t h e c o n s t r a i n t a l g e b r a

s h o u l d c l o s e , o t h e r w i s e w e a r e r e d u c i n g t h e n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m t o o

m u c h a n d w e d o n o t o b t a i n a q u a n t i z a t i o n o f t h e c l a s s i c a l t h e o r y .

h ) N o n - E m p t y n e s s :

T h e a s s i g n m e n t s h o u l d n o t b e s u c h t h a t t h e k e r n e l o f t h e c o n s t r a i n t o p e r a t o r

6

T h i s o b s e r v a t i o n a g a i n w a s r s t c o m m u n i c a t e d t o t h e a u t h o r b y J u r e k L e w a n d o w s k i

1 1


12/33

i s e m p t y . T h e s p a c e o f s o l u t i o n s t o t h e c l a s s i c a l E i n s t e i n e q u a t i o n s h a s a r i c h

s t r u c t u r e a n d s o a n e m p t y k e r n e l i s n o t a p p r o p r i a t e a s i t w o u l d n o t c o r r e s p o n d

t o t h e n o n - e m p t y c l a s s i c a l r e d u c e d p h a s e s p a c e .

3 . 1 . 3 C h o i c e o f a t r i a n g u l a t i o n a d a p t e d t o a g r a p h

T h e n u m b e r o f c h o i c e s m e e t i n g t h e s e r e q u i r e m e n t s i s c e r t a i n l y s t i l l i n n i t e . T h e

a s s i g n m e n t T ( ) w e c h o o s e i s a s f o l l o w s : w e g i v e i n t h i s s u b s e c t i o n a n a s s i g n m e n t

w h i c h i s a p p r o p r i a t e o n l y f o r t h e n o n - s y m m e t r i c r e g u l a r i z a t i o n o f t h e o p e r a t o r a n d

w i l l m o d i f y i t a t a l a t e r s t a g e i n o r d e r t o m a k e i t a p p r o p r i a t e f o r t h e s y m m e t r i c

v e r s i o n .

0 ) T w o - v a l e n t v e r t i c e s :

I f a v e r t e x v i s t w o - v a l e n t , a d j o i n o n e m o r e e d g e t o i n c i d e n t a t v a n d n o t

i n t e r s e c t i n g i n a n y o t h e r p o i n t s u c h t h a t i t s t a n g e n t a t v i s t r a n s v e r s a l t o

a l l t h e t a n g e n t s o f e d g e s o f a t v . W e w i l l s e e l a t e r t h a t t h e e n d r e s u l t o f t h e

r e g u l a r i z e d o p e r a t o r i s i n d e p e n d e n t o f t h a t a d d i t i o n a l e d g e , e v e n b e t t e r , t h a t

f u n c t i o n s o n g r a p h s w i t h o n l y d i v a l e n t v e r t i c e s a r e a n n i h i l a t e d b y

H

E

( N )

W i t h t h i s p r e p a r a t i o n w e w i l l a s s u m e f r o m n o w o n t h a t a l l v e r t i c e s a r e a t

l e a s t t r i v a l e n t . N u m e r a t e a l l t h e e d g e s e

I

o f t h e ( s o p o s s i b l y e x t e n d e d ) g r a p h

b y s o m e i n d e x I ; J ; K ; : : : . A l s o w e t a k e a l l e d g e s t o b e o u t g o i n g a t a v e r t e x

a s f o l l o w s : b y d e n i t i o n a n a n a l y t i c a l e d g e i s a n a n a l y t i c a l e m b e d d i n g o f a

c o m p a c t i n t e r v a l i n t o a n d a v e r t e x v i s a p o i n t o f s u c h t h a t t h e r e i s n o

o p e n n e i g h b o u r h o o d U o f v s u c h t h a t \ U i s a n e m b e d d e d i n t e r v a l .

B y d e n i t i o n a n e d g e i s b o u n d e d b y t w o v e r t i c e s . G i v e n a n e d g e ~ e o f w i t h

e n d p o i n t s v ; v

0

w e s u b d i v i d e i t i n t o t w o p a r t s ~ e = e e

0

w h e r e e ; e

0

r e s p e c t i v e l y

a r e o u t g o i n g a t v ; v

0

r e s p e c t i v e l y . N o t e t h a t e \ e

0

i s n o t a v e r t e x o f s o t h a t

e ; e

0

a r e s t r i c t l y s p e a k i n g n o e d g e s a n y l o n g e r b u t w e w i l l c o n t i n u e t o c a l l t h e m

e d g e s a g a i n a s i t s i m p l i e s t h e n o t a t i o n .

1 ) S e g m e n t s a n d a r c s :

G i v e n a n e d g e e

I

i n c i d e n t a t a v e r t e x v c h o o s e s

I

t o b e a s e g m e n t o f e

I

w h i c h

i s s u c h t h a t i t

a ) i s i n c i d e n t a t v w i t h o u t g o i n g o r i e n t a t i o n a n d

b ) w h i c h d o e s n o t i n c l u d e t h e o t h e r e n d p o i n t v

I

o f e

I

d i s t i n c t f r o m v

A l s o , g i v e n a n u n o r d e r e d p a i r o f e d g e s e

I

; e

J

i n c i d e n t a t a v e r t e x v , l e t a

I J

b e

a c u r v e w h i c h i s s u c h t h a t t h a t i t

i ) i n t e r s e c t s i n t h e e n d p o i n t s o f s

I

; s

J

d i s t i n c t f r o m v a n d

i i ) d o e s n o t i n t e r s e c t a n y w h e r e e l s e .

T h e d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t p r o p e r t i e s o f t h e p o s i t i o n o f t h e a r c a

I J

w i l l b e

s p e c i e d m o r e p r e c i s e l y b e l o w . W e w i l l s e e l a t e r t h a t i n o r d e r t o m e e t t h e

r e q u i r e m e n t t h a t t h e c o n s t r a i n t o p e r a t o r b e s y m m e t r i c o n H w e h a v e t o r e l a x

t h e p r e s c r i p t i o n s b ) , i i ) a b o v e .

2 ) T e t r a h e d r a s a t u r a t i n g a v e r t e x :

F o r e a c h v e r t e x v o f a n d e a c h u n o r d e r e d t r i p l e o f m u t u a l l y d i s t i n c t e d g e s

( e

I

; e

J

; e

K

) i n c i d e n t a t v ( t h e n u m b e r o f s u c h t r i p l e s i s g i v e n b y E ( v ) =

n ( v ) ( n ( v ) ? 1 ) ( n ( v ) ? 2 ) = 6 w h e r e n ( v ) i s t h e v a l e n c e o f t h e v e r t e x ) c o n s t r u c t

1 2


13/33

e i g h t t e t r a h e d r a s a t u r a t i n g v a s f o l l o w s :

W e h a v e a m a p

( s

I

; s

J

; s

K

; a

I J

; a

J K

; a

K I

) ! ( s

1

( ) ; s

2

( ) ; s

3

( ) ; a

1 2

( ) ; a

2 3

( ) ; a

3 1

( ) ) w h e r e

t h e l a b e l l i n g i s s u c h t h a t t h e o r i e n t a t i o n o f t h e t h e t a n g e n t s a t v i s p o s i t i v e a n d

w e h a v e i n d e x e d t h e s e s i x s e g m e n t s b y t h e o b v i o u s t e t r a h e d r o n t h a t t h e y

f o r m . C h o o s e t h e b a s e p o i n t o f t o b e t h e v e r t e x o f u n d e r c o n s i d e r a t i o n ,

t h a t i s , v ( ) = v

W e a r e n o w r e a d y t o c o n s t r u c t t h e e i g h t t e t r a h e d r a s a t u r a t i n g v f o r t h e t r i p l e

( e

I

; e

J

; e

K

) :

L e t 0 ; 1 ! s

i

( ) ( t ) a n d 0 ; 1 ! a

i j

( ) ( t ) b e p a r a m e t e r i z a t i o n s o f s

i

( ) a n d

a

i j

( ) r e s p e c t i v e l y . D e n e t h e i r \ m i r r o r i m a g e s " b y

s

i

( )

a

( t ) : = 2 v

a

? s

i

( )

a

( t ) ;

a

i

j

( )

a

( t ) : = 2 v

a

? a

i j

( )

a

( t ) ;

a

i j

( ) ( t ) : = a

i

j

( )

a

( t ) ? 2 t v ? s

j

( ) ( 1 ) ]

a

;

a

i

j

( ) ( t ) : = a

i j

( )

a

( t ) + 2 t v ? s

j

( ) ( 1 ) ]

a

r e s p e c t i v e l y w h e r e v

a

a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e v e r t e x v . H e r e w e h a v e a s -

s u m e d t h a t a l l o b j e c t s l i e i n a c h a r t c o n t a i n i n g v w h i c h i s a l w a y s p o s s i b l e

b y c h o o s i n g t h e b a s i c q u a n t i t i e s s

i

( ) ; a

i j

( ) s m a l l e n o u g h . N o t i c e t h a t b y

d e n i t i o n s

i

( ) ( 0 ) = v ; s

i

( ) ( 1 ) = a

i j

( ) ( 0 ) ; s

j

( ) ( 1 ) = a

i j

( ) ( 1 ) s o t h a t

s

i

( ) ( 0 ) = v ; s

i

( ) ( 1 ) = a

i

j

( ) ( 0 ) = a

i j

( ) ( 0 ) ; s

j

( ) ( 1 ) = a

i

j

( ) ( 1 ) =

a

i

j

( ) ( 1 ) ; s

i

( ) ( 1 ) = a

i

j

( ) ( 0 ) ; s

j

( ) ( 1 ) = a

i j

( ) ( 1 ) . W e d i d n o t m a k e u s e

o f a n y b a c k g r o u n d m e t r i c . W e n o w f o r m l o o p s

i

j

;

i j

;

i

j

a n d c o m b i n e t h e m

w i t h s

k

; s

k

t o f o r m s e v e n m o r e r i g h t o r i e n t e d t e t r a h e d r a . T o g e t h e r w i t h

t h e s e a r e t h e e i g h t t e t r a h e d r a t h a t w e l o o k e d f o r . W e w i l l s e e t h a t t h e s e v e n

\ m i r r o r " t e t r a h e d r a d o n o t p l a y a n y r o l e a t t h e e n d o f t h e d a y s o t h a t t h e

c h o i c e o f a d a p t e d f r a m e i s i r r e l e v a n t t o d e n e t h e m .

A l t h o u g h w e w i l l o n l y b e c o n c e r n e d l a t e r w i t h t h e o n e - d i m e n s i o n a l e d g e s o f

t h e t e t r a h e d r a c o n s t r u c t e d , w e w i l l n e e d a l s o t h e i r t w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l

p r o p e r t i e s i n a n i n t e r m e d i a t e s t e p :

C h o o s e a n y s u r f a c e s b o u n d e d b y t h e e d g e s o f t h e s e e i g h t t e t r a h e d r a a n d d e n e

t h e c l o s e d s u b s e t o f b o u n d e d b y t h o s e f a c e s o f a t e t r a h e d r o n t o b e t h e

r e g i o n a s s i g n e d t o . T h e o n l y p r o p e r t y o f t h e r e g i o n a s s i g n e d t o w h i c h

w i l l b e i m p o r t a n t i s t h a t a n d i t s m i r r o r i m a g e s s a t u r a t e v w h i c h i s a d i e o -

m o r p h i s m i n v a r i a n t p r o p e r t y a n d t h e r e f o r e e v e r y t h i n g w i l l b e i n d e p e n d e n t o f

t h e s e r e g i o n s .

3 ) D i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t p r e s c r i p t i o n f o r t h e p o s i t i o n o f t h e a r c s a

i j

( ) :

T h e f o l l o w i n g l e m m a , w h o s e p r o o f t o t h e b e s t o f o u r k n o w l e d g e i s u n p u b l i s h e d ,

s h o w s t h a t o n e c a n a l w a y s c h o o s e t w o c u r v e s t o l i e i n t h e x = y p l a n e o f a n

a d a p t e d c o o r d i n a t e s y s t e m i n w h i c h t h e y t a k e a s t a n d a r d f o r m .

L e m m a 3 . 1 L e t s

1

; s

2

b e t w o d i s t i n c t a n a l y t i c c u r v e s w h i c h i n t e r s e c t o n l y i n

t h e i r s t a r t i n g p o i n t v . T h e r e e x i s t p a r a m e t e r i z a t i o n s o f t h e s e c u r v e s , a n u m b e r

> 0 a n d a n a n a l y t i c d i e o m o r p h i s m s u c h t h a t i n t h e c o r r e s p o n d i n g f r a m e

t h e c u r v e s a r e g i v e n b y

a ) s

1

( t ) = ( t ; 0 ; 0 ) ; s

2

( t ) = ( 0 ; t ; 0 ) ; t 2 0 ; i f t h e i r t a n g e n t s a r e l i n e a r l y

i n d e p e n d e n t a t v a n d

1 3


14/33

b ) s

1

( t ) = ( t ; 0 ; 0 ) ; s

2

( t ) = ( t ; t ; 0 ) ; t 2 0 ; f o r s o m e n 2 i f t h e i r t a n g e n t s

a r e c o - l i n e a r a t v

W e w i l l c a l l t h e a s s o c i a t e d f r a m e a f r a m e a d a p t e d t o s

1

; s

2

P r o o f :

G i v e n a f r a m e , d e n o t e b y b

i

; i = 1 ; 2 ; 3 t h e s t a n d a r d v e c t o r w i t h e n t r y 1 a t t h e

i - t h i n d e x a n d z e r o o t h e r w i s e .

F i r s t w e s h o w t h a t a n y c u r v e s c a n b e m a p p e d i n t o a s t r a i g h t l i n e b y a n

a n a l y t i c d i e o m o r p h i s m . T o t h a t e n d , l e t u s e x p a n d s ( t ) = f

i

( t ) b

i

w h e r e

f

i

a r e a n a l y t i c f u n c t i o n s o f t . S i n c e _ s i s n o w h e r e v a n i s h i n g , a t l e a s t o n e

o f t h e f u n c t i o n s , s a y f

1

, h a s t h e p r o p e r t y

_

f

1

( 0 ) 6= 0 a n d s o i t d o e s n o t i n

a n e i g h b o u r h o o d o f 0 . C h o o s e b

0

1

: = b

1

; b

1

? b

2

; b

1

? b

3

; b

1

? b

2

? b

3

a n d

( f

2 0

; f

3 0

) = ( f

2

; f

3

) ; ( f

2

+ f

1

; f

3

) ; ( f

2

; f

3

+ f

1

) ; ( f

2

+ f

1

; f

3

+ f

1

) w h e n e v e r

(

_

f

2

( 0 ) ;

_

f

3

( 0 ) ) a r e ( 6= 0 ; 6= 0 ) ; ( = 0 ; 6= 0 ) ; ( 6= 0 ; = 0 ) ; ( = 0 ; = 0 ) . W e c o n c l u d e

t h a t w e c a n w r i t e s ( t ) = f

1

( t ) b

0

1

+ ( f

2

)

0

( t ) b

2

+ ( f

3

)

0

( t ) b

3

= : g

i

( t ) b

0

i

w h e r e b

0

i

f o r m a b a s i s a n d _ g

i

( 0 ) 6= 0 . I t f o l l o w s b y t h e i n v e r s e f u n c t i o n t h e o r e m t h a t

t h e e q u a t i o n x

i

= g

i

( t ) c a n b e i n v e r t e d i n a n e i g h b o u r h o o d o f 0 a n d t h a t

( g

i

)

? 1

( x

i

) i s a n a l y t i c i n a n e i g h b o u r h o o d o f 0 b e c a u s e g

i

( t ) i s o f o r d e r o ( t )

W e n o w s e e t h a t t h e f o l l o w i n g d i e o m o r p h i s m x

i 0

( x

1

; x

2

; x

3

) : = ( g

i

)

? 1

( x

i

) i s

a n a l y t i c a n d m a p s s ( t ) t o s

0

( t ) = x

0

( s ( t ) ) = t ( b

0

1

+ b

0

2

+ b

0

3

) . U p o n p e r f o r m i n g

a c o n s t a n t d i e o m o r p h i s m ( t h a t i s , a G L ( 3 ) t r a n s f o r m a t i o n ) w e c a n a c h i e v e

t h a t s

0

( t ) = t b

1

S o w e c a n a s s u m e t h a t w e h a v e a l r e a d y m a p p e d s

1

; s

2

s o t h a t s

1

( t ) = t b

1

. N o w

c o n s i d e r s

2

( t ) = f

i

( t ) b

i

C a s e a ) S i n c e _ s

1

( 0 ) ; _s

2

( 0 ) a r e n o t c o - l i n e a r ( w h i c h i s a d i e o m o r p h i s m i n v a r i -

a n t s t a t e m e n t ) i t f o l l o w s t h a t n o t b o t h o f

_

f

2

( 0 ) ;

_

f

3

( 0 ) c a n v a n i s h . S o l e t u s

a s s u m e t h a t f o r i n s t a n c e

_

f

2

( 0 ) 6= 0 . B y a s i m i l a r a r g u m e n t a s a b o v e w e c a n

w r i t e s

2

( t ) = g

1

( t ) b

1

+ g

2

( t ) b

0

2

+ g

3

( t ) b

3

w h e r e b

1

; b

0

2

; b

3

a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t

a n d _ g

i

( 0 ) 6= 0 . T h e a n a l y t i c d i e o m o r p h i s m x

i 0

( x

1

; x

2

; x

3

) = ( g

i

)

? 1

( x

i

) m a p s

s

0

1

( t ) = x

0

( s ( t ) ) = g

1 0

( t ) b

1

; s

0

2

( t ) = t ( b

1

+ b

0

2

+ b

3

) . N o w , a c h a n g e o f p a r a m e t e r -

i z a t i o n t

0

= g

1 0

( t ) f o r s

1

a n d a n a l G L ( 3 ) t r a n s f o r m a t i o n p r o v e s t h e a s s e r t i o n .

C a s e b ) S i n c e _ s

1

( 0 ) ; _s

2

( 0 ) a r e c o - l i n e a r i t f o l l o w s t h a t

_

f

1

( 0 ) 6= 0 ;

_

f

2

( 0 ) =

_

f

3

( 0 ) = 0 . L e t n 2 b e t h e s m a l l e r o f t h e t w o n u m b e r s n

2

; n

3

d e n e d b y

f

2

( t ) = o ( t

n

2

) ; f

3

( t ) = o ( t

n

3

) ( n i s n i t e b e c a u s e t h e c u r v e s a r e n o t i d e n t i c a l ) .

W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e n

2

= n a n d n o w i t f o l l o w s b y a n

a l r e a d y f a m i l i a r a r g u m e n t t h a t w e c a n w r i t e s

2

( t ) = g

1

( t ) b

1

+ g

2

( t ) b

0

2

+ g

3

( t ) b

3

w h e r e b

1

; b

0

2

; b

3

a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t a n d _ g

1

( 0 ) ; ( g

2

)

( n )

( 0 ) ; ( g

3

)

( n )

( 0 ) 6= 0 . I t

f o l l o w s t h a t g

2

( t ) = : ~ g

2

( s ) ; g

3

( t ) = : ~ g

3

( s ) a r e a n a l y t i c f u n c t i o n s o f t h e a n a -

l y t i c c o o r d i n a t e s : = t

n

a n d t h a t t h e y a r e i n v e r t i b l e i n a n e i g h b o u r h o o d o f 0 .

W e n o w d e n e t h e a n a l y t i c d i e o m o r p h i s m x

i 0

( x

1

; x

2

; x

3

) : = ( ~ g

i

)

? 1

( x

i

) w h e r e

g

1

= ~g

1

w h i c h m a p s s

0

1

( t ) = b

1

( g

1

)

? 1

( t ) ; s

0

2

( t ) = b

1

t + t

n

( b

0

2

+ b

3

) a n d a g a i n a

r e p a r a m e t e r i z a t i o n f o r s

1

a n d a G L ( 3 ) t r a n s f o r m a t i o n p r o v e s t h e a s s e r t i o n .

2

U s i n g t h i s l e m m a w e w i l l n o w d e s c r i b e m o r e p r e c i s e l y t h e c h o i c e o f t h e a r c s

a

i j

( ) . W e f o l l o w a n d e x t e n d ( t o t h e c a s e o f a p a i r o f e d g e s w i t h c o - l i n e a r t a n -

g e n t s a t t h e i r i n t e r s e c t i o n ) a n e l e g a n t p r e s c r i p t i o n d u e t o J u r e k L e w a n d o w s k i

1 5 ] t o w h i c h o n e i s d r i v e n q u i t e n a t u r a l l y . F o r t h e s a k e o f s e l f - c o n t a i n e d n e s s

1 4


15/33

o f t h e p r e s e n t p a p e r w e r e p e a t t h e a r g u m e n t h e r e t o t h e e x t e n t w e n e e d i t .

T h e d i s c u s s i o n i s r a t h e r t e c h n i c a l a n d l e n g t h y a n d t h e r e a d e r n o t i n t e r e s t e d

i n t h e d e t a i l s m a y s k i p t h e r e s t o f t h e p r e s e n t i t e m a n d j u s t s h o u l d a s s u m e

t h a t t h e r e e x i s t s a d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t p r e s c r i p t i o n o f t h e t o p o l o g y o f t h e

r o u t i n g .

L e t s

1

; s

2

b e t w o s e g m e n t s o f e d g e s e

1

; e

2

o f , i n c i d e n t a t t h e v e r t e x v . T h e i r

o t h e r e n d p o i n t s v

1

; v

2

a r e c o n n e c t e d b y a n a r c a . B a s i c a l l y w e w i s h t o a v o i d

t h a t t h e a r c a i n t e r s e c t s a n y o t h e r p o i n t o f d i e r e n t f r o m v

1

; v

2

. C l e a r l y , b y

c h o o s i n g a t o l i e i n a s m a l l e n o u g h n e i g h b o u r h o o d o f v t h e o n l y d a n g e r i s t h a t

a c a n i n t e r s e c t s o m e o t h e r e d g e e d i e r e n t f r o m e

1

; e

2

, a l s o i n c i d e n t a t v . W i t h

r i s i n g v a l e n c e o f v t h e n u m b e r o f t o p o l o g i c a l l y d i e r e n t p o s s i b i l i t i e s o f r o u t i n g

a b e t w e e n t h e e d g e s e i n c i d e n t a t v b e c o m e s r a t h e r c o m p l e x s o t h a t w e n e e d

t o g i v e a d i e o m o r p h i s m i n v a r i a n t d e s c r i p t i o n o f t h e c h o i c e o f r o u t i n g .

B y c h o o s i n g a f r a m e a d a p t e d t o s

1

; s

2

w e h a v e p a r t i a l l y x e d t h e g a u g e f r e e d o m

a s s o c i a t e d w i t h a n a l y t i c i t y p r e s e r v i n g d i e o m o r p h i s m s . C o n s i d e r a n y o t h e r

f r a m e ( x

i 0

) c o n n e c t e d t o t h e i d e n t i t y ( s o t h a t i n p a r t i c u l a r x

i 0

x

i

> 0 ) a n d

p r e s e r v i n g t h e a d a p t e d n e s s o f t h e f r a m e . T h u s x

i 0

( s

1

( t ) ) = ( t ; 0 ; 0 ) i m p l i e s

t h a t , u p o n t a k i n g a r b i t r a r y d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o t , t h a t @

m

x

y

0

= @

m

x

z

0

= 0

f o r a l l m > 0 a t v . L i k e w i s e , x

i 0

( s

1

( t ) ) = ( 0 ; t ; 0 ) i m p l i e s @

m

y

x

0

= @

m

y

z

0

= 0

f o r a l l m > 0 a t v . H o w e v e r , f o r x

i 0

( t ; t

n

; 0 ) = ( t ; t

n

; 0 ) i t i s m o r e s u b t l e t o

c h a r a c t e r i z e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s . C o n s i d e r t h e k ? t h d e r i v a t i v e a t t = 0 o f

t h e f u n c t i o n z

0

( t ; t

n

; 0 ) = 0 . L e t k = m n + r w h e r e r = 0 ; : : ; n ? 1 . I t f o l l o w s t h a t

w e g e t a l i n e a r c o m b i n a t i o n , w i t h p o s i t i v e c o e c i e n t s , o f t h e f o l l o w i n g p a r t i a l

d e r i v a t i v e s a t v : @

r + l n

x

@

m ? l

y

z

0

f o r l = 0 ; : : ; m w h i c h h a s t o v a n i s h . I n p a r t i c u l a r ,

t h e c a s e m = 1 ; r = 0 ; : : ; n ? 1 s h o w s t h a t w e g e t a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f @

r + n

x

z

0

a n d @

r

x

@

y

z

0

s o t h a t @

r

x

@

y

z

0

= 0 a t v f o r a l l r = 0 ; : : ; n ? 1 . T h e c a s e m = 2 ; r = 0

g i v e s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f @

2 n

x

z

0

= 0 ; @

n

x

@

y

z

0

; @

2

y

z

0

a n d t h e l a t t e r t w o t e r m s

d o n o t n e e d t o v a n i s h s e p a r a t e l y . W o r k i n g o u t t h e p r e c i s e c o e c i e n t s o f t h a t

l i n e a r c o m b i n a t i o n w e n d t h a t

n !

2 n

n

!

@

n

x

@

y

z

0

+ ( n ! )

2

2 n ? 1

n

!

@

2

y

z

0

= 0

I t t u r n s o u t t h a t t h i s i s a l l w e n e e d t o p r e s c r i b e t h e r o u t i n g o f t h e a r c .

T h e i d e a i s t h a t w e w i s h t o c h o o s e t h e a r c a t o l i e i n t h e c o o r d i n a t e p l a n e

b o u n d e d b y s

1

; s

2

( t h a t i s , e i t h e r i n t h e q u a d r a n t x ; y 0 o r t h e w e d g e

f ( x ; y ; z ) ; 0 y x

n

; z = 0 g r e s p e c t i v e l y ) a n d t h e q u e s t i o n i s u n d e r w h i c h

c i r c u m s t a n c e s w e c a n g u a r a n t e e t h a t t h e n a d o e s n o t i n t e r s e c t e

T h e e a s i e s t c a s e i s t h a t _ e

z

( 0 ) 6= 0 . W e s h o w t h a t s g n ( _ e

z

( 0 ) ) i s p r e s e r v e d u n d e r

c h a n g e o f a d a p t e d f r a m e s . N a m e l y _ e

z

( 0 ) = z

0

a

_e

a

( 0 ) = z

0

z

_e

z

( 0 ) . B y a n a l y t i c i t y

i t t h e n f o l l o w s t h a t e i s c u r v e d a w a y f r o m t h e x = y p l a n e i n a n e i g h b o u r h o o d

o f v a n d s o d o e s n o t i n t e r s e c t a f o r n o c h o i c e o f a d a p t e d f r a m e a n d t h e r e f o r e

f o r n o f r a m e .

T h e c a s e _ e

z

( 0 ) = 0 i s m o r e t r i c k y . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e

t h a t a t l e a s t _ e

x

( 0 ) 6= 0 ( o t h e r w i s e _ e ( 0 ) = 0 ; s w i t c h t h e r o l e o f x a n d y i f

n e c e s s a r y f o r t h e c a s e t h a t s

1

; s

2

d o n o t h a v e c o - l i n e a r t a n g e n t s a t v . I f t h e y

1 5


16/33

d o h a v e c o - l i n e a r t a n g e n t s a t v a n d _ e ( 0 ) = 0 t h e n _ e ( 0 ) 6= 0 a n d i t f o l l o w s

t h a t a s e g m e n t i n c i d e n t a t v o f t h e p r o j e c t i o n o f t h e c u r v e e i n t o t h e x = y p l a n e

l i e s a b o v e t h e p a r a b o l a y = x

n

w h i c h d e s c r i b e s s

2

a n d s o a c a n n o t i n t e r s e c t e

a n y w a y ) .

W e c a n m a k e a d i s t i n c t i o n b e t w e e n t w o s i t u a t i o n s .

S i t u a t i o n A : T h e r e e x i s t s a n i t e n u m b e r m

0

s u c h t h a t ( e

( m )

)

z

( 0 ) 6= 0 a n d m

m

0

; m 1 s u c h t h a t ( e

( m )

)

y

( 0 ) 6= 0 a r e t h e r s t n o n - v a n i s h i n g d e r i v a t i v e s .

T h e c o m b i n a t i o n m

0

= m = 1 i s e x c l u d e d a s o t h e r w i s e s

1

a n d e w o u l d o v e r l a p

i n a n i t e s e g m e n t ( h e r e w e h a v e u s e d t h e a n a l y t i c i t y o f t h e e d g e s ) . W e t h e n

r e a d i l y v e r i f y t h a t u n d e r a c h a n g e o f a d a p t e d f r a m e w e h a v e t h a t t h e r s t

n o n - v a n i s h i n g d e r i v a t i v e o f t h e z - c o m p o n e n t o f e i s g i v e n b y ( e

( m )

)

z

( 0 ) =

z

0

z

( e

( m )

)

z

( 0 ) s o t h a t t h e s i g n o f ( e

( m )

)

z

( 0 ) i s a g a i n p r e s e r v e d a n d e i s c u r v e d

a w a y f r o m t h e x = y p l a n e s o a s n o t t o i n t e r s e c t a

S i t u a t i o n B : T h e r e e x i s t s a n i t e n u m b e r m s u c h t h a t ( e

( m )

)

y

( 0 ) 6= 0 a n d

m

0

> m ; m

0

1 s u c h t h a t ( e

( m )

)

z

6= 0 a r e t h e r s t n o n - v a n i s h i n g d e r i v a t i v e s .

A g a i n m = m

0

= 1 i s a n e x c l u d e d p o s s i b i l i t y .

C a s e t h a t _s

1

( 0 ) ; _s

2

( 0 ) a r e n o t c o - l i n e a r .

I f e d o e s n o t p o i n t i n t o a n o c t a n t o f t h e f r a m e w h e r e b o t h x = y a r e p o s i t i v e t h e n

a g a i n t h e r e i s n o d a n g e r t h a t a i n t e r s e c t s e s i n c e w e c h o o s e a t o l i e i n t h e x = y

p l a n e w i t h p o s i t i v e x = y c o m p o n e n t s a s s a i d a b o v e . S i n c e x

0

x

; y

0

y

6= 0 ; @

k

x

y

0

=

@

k

y

x

0

= 0 8 k i t f o l l o w s t h a t t h e s i g n o f t h e r s t n o n - v a n i s h i n g d e r i v a t i v e s o f

e

x

; e

y

a r e p r e s e r v e d u n d e r c h a n g e s o f t h e a d a p t e d f r a m e .

S o l e t u s a s s u m e t h a t e d o e s p o i n t i n t o a n o c t a n t w h e r e b o t h x = y a r e p o s i t i v e .

T h i s m e a n s t h a t _ e

x

( 0 ) ; ( _e

( m )

)

y

( 0 ) > 0

T h e r s t p o s s i b l y n o n - v a n i s h i n g d e r i v a t i v e o f t h e z - c o m p o n e n t o f e i s g i v e n

b y ( e

( m + 1 )

)

z

( 0 ) = z

0

x y

_e

x

( 0 ) ( _ e

( m )

)

y

( 0 ) + z

0

z

( e

( m + 1 )

)

z

( 0 ) a n d w e s e e t h a t t h i s c a n

h a v e a n y s i g n f o r a s u i t a b l e c h o i c e o f z

0

. W e u s e t h i s f r e e d o m t o f u r t h e r x

t h e f r a m e s u c h t h a t t h i s s i g n i s p o s i t i v e . C h o o s e z

0

( z ; y ; z ) = z + x y . T h i s

s a t i s e s a l l r e q u i r e m e n t s o n z

0

a t x = y = z = 0 a n d w e s e e t h a t u p o n c h o o s i n g

o n e a n d t h e s a m e ( s

1

; s

2

) l a r g e e n o u g h w e c a n b e a t t h e t e r m s z

0

z

( e

( m + 1 )

)

z

( 0 )

f o r a n a r b i t r a r y ( b u t n i t e ) n u m b e r o f e d g e s e a s t o m a k e ( e

( n + 1 )

)

z

( 0 ) > 0

C a s e t h a t _s

1

( 0 ) ; _s

2

( 0 ) a r e c o l i n e a r .

I

T. Thiemann- Quantum Spin Dynamics (QSD)

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