Syllabus Médecine 2012 LH
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1MPHY B110 (Houssiau) - -
MPHY B110 : Physique Mdicale
Notes de cours du Professeur HOUSSIAU
Avertissement :
Ces notes sont destines aider les tudiants de 1re anne de bachelier en sciences mdicales tudier
leur cours. Elles se basent encore en partie sur le syllabus du cours des annes prcdentes et ne
constituent pas exactement la matire du cours, ni celle de lexamen.
La matire de rfrence du cours est celle qui a t enseigne au cours magistral. Certains aspects du
cours ne sont pas repris dans ces notes mais doivent tre connus sils ont t vus au cours magistral. Par
contre, les supplments de matire repris dans ce document ne font pas partie de la matire du cours.
Matire du cours = Ce qui a t enseign au cours magistral
Ce document vous sera nanmoins utile pour complter vos propres notes, ou pour apporter un
clairage diffrent sur certains points du cours. Je vous en souhaite une bonne lecture !
Laurent Houssiau
Le 19 dcembre 2012
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2MPHY B110 (Houssiau) - -
1.1. DEFINITION
L'quilibre d'un corps peut se dfinir en toute gnralit partir de l'absence d'acclration de
ce corps. Plus prcisment, on dira qu'un corps est en quilibre si son tat de repos ou de mouvement
(vitesse constante) ne se modifie pas : pour que cette condition soit vrifie (principe d'inertie) il faut
qu'aucune force n'agisse sur ce corps, ou bien qu'il y ait exacte compensation de toutes les forces qui
agissent sur ce corps.
Si le corps est au repos, on parle d'quilibre statique.
1.2. L EQUILIBRE DE TRANSLA TION
Le point matriel
L'objet matriel le plus simple pour une tude physique est le point matriel. C'est un modle
qui suppose que l'objet possde une masse concentre en un point.
Exemple :
ce point
Un point matriel ne peut effectuer qu'un mouvement de translation. Puisqu'il n'a pas de
dimension matrielle, le point ne peut pas subir un mouvement de rotation ou de vibration
(dformation). Enfin, si plusieurs forces agissent sur le point matriel, elles sont ncessairement
concourantes.
Equilibre du point matriel
Si plusieurs forces (ncessairement concourantes) agissent simultanment sur le corps (= point
matriel), celui-ci restera au repos, ou gardera son tat de mouvement vitesse constante, si la force
rsultante est nulle : on dit que le corps est alors en tat d'quilibre.
Mathmatiquement, on crit :
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3MPHY B110 (Houssiau) - -
n
i
i 1
R F o
si n forces agissent sur le point matriel.
Dans un systme de coordonnes Oxy du plan, cette quation devient, en passant aux
composantes des forces, un systme
n
ix
i 1
n
iy
i 1
F 0
F 0
Pour calculerR , la rsultante n
i 1
Fagissant sur le point matriel, on fait (1) le recensement de toutes les
forces, sans oublier les forces de raction ; (2) la somme gomtrique de toutes ces forces, par exemple
par la rgle du paralllogramme. .
La r
corps est
(F=0).
1.3. EQUILIBRE DE ROTATIO N
Le corps solide rigide
On ne peut pas toujours traiter un corps rel comme une particule. Ce corps a des dimensions,
une forme et une rpartition de masse bien dfinie. On supposera dans ce chapitre, que l'objet est
indformable. Les forces qui agissent sur lui pourront lui communiquer un mouvement de translation ou
de rotation, car ces forces ne sont pas ncessairement concourantes et n'ont donc pas, a priori, un point
d'application identique.
mme si la rsultante des forces est nulle (quilibre de translation), le corps peut tre mis en rotation, il
peut basculer
Le Moment d'une force
Un corps rigide (indformable), de dimension finie, peut prsenter un mouvement de
translation, ou de rotation, ou un mouvement combin. La grandeur qui met le corps en rotation
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4MPHY B110 (Houssiau) - -
quotidienne
Pour ouvrir une porte (qui pivote autour d'un axe fixe), il faut essentiellement la mettre en
mise en rotation sera proportionnelle trois grandeurs :
- La norme de la force applique (F)
fort sur la poigne ;
- : de fait, les poignes de
;
- La composante normale (=perpendiculaire la porte) de la force, qui vaut F.Sin o
form entre la force et la porte. On tire toujours sur une porte perpendiculairement la porte.
En dfinitive, la grandeur qui permet de mettre la porte en rotation vaut r.F.sin . Cet exemple nous
permettra de dfinir rigoureusement le moment de la force F par rapport au point O fixe sur l'axe de
rotation.
Dfinition : moment d'une force par rapport un point fixe (figure 1)
Soit un corps solide de masse M, possdant un point fixe 0, soumis l'action d'une force
extrieureF , applique en un point A diffrent de 0. Le segment 0A est not r et s'appelle le bras de
levier de F par rapport 0 ; r et F forment un angle .
L'exprience montre que dans ces circonstances, l'objet M va se mettre tourner, et ce autour
d'un axe qui est perpendiculaire au plan (0, F); l'effet sera proportionnel (et en sens et en intensit) F.r
sin ; si = 0, donc si F est dans l'axe de r , il n'y a pas de rotation (sin = 0).
Ces caractristiques nous apprennent que le phnomne tudi, le moment de la force F par
rapport au point fixe 0, est un tre vectoriel.
0n dfinit le moment selon le produit vectoriel (annexe 1) :
= r x F
avec = r . F sin
Unit
Le moment de force s'exprime en N . m (force x longueur).
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5MPHY B110 (Houssiau) - -
Figure 1
Le vecteur moment de force
La rotation imprime par F pouvant tre soit horlogique ou anti-horlogique, le vecteur
orient perpendiculairement au plan (0, F) (figure 2a) est dirig soit vers le bas ou vers le haut selon la
rgle du tire-bouchon (ou la rgle de la main droite) (figure 2b).
Figure 2
est un vecteur glissant mais le point 0 est tout dsign pour tre son point d'application !
est appele bras de levier efficace du moment de la force F (figure 3) : le
bras de levier efficace est donc la projection (la plus courte distance) de r sur la perpendiculaire l'axe
deF .
Figure 3
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6MPHY B110 (Houssiau) - -
L'effet de la force F varie en fonction de l'angle (figure 1) ; pour une force de mme grandeur,
des mouvements de rotation diffrents rsultent d'angles diffrents. En fait, lorsque F est dans l'axe
de r , il n'y a pas de rotation : la force est inefficace, son effet tant compens par la raction du point
fixe de la masse du corps solide. La force F a donc une composante active, dpendante de la valeur de
l'angle : sur la figure 3, F est dcompose en F || (sur l'axer ) et en F (perpendiculaire l'axer ).
Bien videmment, F est la composante active de la forceF .
On peut donc crire :
= r . F sin
r sin u levier)
r F sin = r F (force active).
En rsum, le vecteur moment de force est un vecteur caractris par :
- sa grandeur : r F sin
- sa direction : perpendiculaire au plan form par le point fixe 0 et la force F
- son support : passant par 0
- son sens : donn par la rgle de la main droite ou du tire-bouchon.
Afin d'tablir les conditions d'quilibre d'un corps matriel rigide quelconque l'aide de cette
notion de moment de force associe une rotation, essayons tout d'abord de rsoudre quelques
problmes simples.
1.4. CONDITIONS GENERALES D'EQUILIBRE D 'UN CORPS SOLIDE RIGIDE
Un corps solide rigide sera en quilibre si et seulement si les deux expressions vectorielles
suivantes sont vrifies en mme temps :
R 0
0
-
7MPHY B110 (Houssiau) - -
ou bien :
i
i
F
F 0
0
Ainsi : la somme des forces externes doit tre nulle et le moment net de toutes les forces
externes doit tre nul, par rapport n'importe quelle origine. La premire condition assure que le corps
ne sera soumis aucun mouvement de translation ; la seconde signifie que le corps est en quilibre de
rotation galement.
On peut dmontrer en effet que, si le corps est en quilibre, alors la rsultante des moments de
logique car ce point o est dfini comme un point fixe ; si le corps est immobile, tous ses points sont fixes
et peuvent servir de rfrence. En pratique, on rsoudra les problmes de statique en choisissant
moment car il est nul.
de six quations, car il
y a trois coordonnes par vecteurs. En gnral cependant la plupart des problmes de statique sont des
problmes plans, pour lesquels toutes les forces sont situes dans le mme plan. Dans ce cas, les
ique se rduisent en un systme de trois quations :
ix
iy
iz
F 0
F 0
0
-
8MPHY B110 (Houssiau) - -
Donnez-moi un point d'appui, un levier, et je soulverai le monde
Archimde
2.1. DEFINITIONS
Tout comme les poulies, les vrins ou les palans, etc. les leviers sont des machines mcaniques
simples, car elles ne mettent en jeu que deux forces :
1 force applique ou motrice f
et 1 force rsistante f '
avec pour but soit de raliser un quilibre, soit de faire passer une quantit d'nergie produite par le
travail d'une force (motrice) vers l'endroit o est applique l'autre force.
Plus pratiquement, on peut dire qu'un levier est une barre rigide qui peut tourner (pivoter)
autour d'un axe fixe afin de soulever un poids P (force rsistantef ' ) lorsqu'on lui applique une force
motricef .
Dans un levier on distingue donc une barre rigide, et un point ou axe fixe que l'on nomme
l'appui. Les distances de cet axe aux lignes d'action des forces sont les bras du levier.
2.2. CLASSES DE LEVIERS
On distingue trois genres de leviers, suivant les positions respectives de l'appui et des forces f et
f ' .
1er genre : levier interappui (figure 4a)
c'est--dire que le point d'appui se trouve entre f et f ' ; une application en est la balance, ou le
levier (pied de biche) utilis pour dplacer un objet trs lourd.
Dans l'anatomie humaine, ce type de levier existe dans l'articulation de la mchoire, et l'appui de
la tte sur la dernire vertbre cervicale.
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9MPHY B110 (Houssiau) - -
2me genre : levier interrsistant (figure 4b)
c'est--dire que la force rsistante (f ' ) se trouve entre le point d'appui et la force motrice.
Comme exemple, citons la brouette et l'articulation du pied de l'homme.
3me genre : levier intermoteur (figure 4c)
c'est--dire que la force motrice f ' se trouve entre le point d'appui et la force rsistante.
Citons pour illustration, la pdale d'acclrateur, et l'anatomie de l'avant-bras de l'homme.
N.B. : dans ces dfinitions, ce qui importe est le point d'application des forces; mais les directions des
forces f et f ' peuvent tre tout fait quelconques.
Figure 4
2.3. EQUILIBRE D 'UN LEVIER
Soient (figure 5) un levier interappui, avec deux forces f et f ' dont les points d'application sont
fixs par rapport 0 (appui du levier).
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10MPHY B110 (Houssiau) - -
Figure 5
Pour que ce levier soit en quilibre, il faut que la somme des forces et la somme des moments de
ces forces soient nulles :
i
i
i
i
f
Identifions d'abord toutes les forces considrer, et appelons R la raction agissant sur le
levier au point d'appui. On a :
(1) if 0 f f ' R 0 R (f f ')
donc la force de raction R est la force oppose la rsultante des forces f et f ' .
(2) i 0
exprime par rapport au point d'appui 0, cette relation donne
f ' f ' 0, o OA et ' OB
f ' f ' 0
car tous les angles sont droits, et l'on a choisi arbitrairement de compter positif un moment engendrant
une rotation dans le sens horlogique. On dduit que :
l f l ' f ' ;
ou bien, f '
f '
qui est la condition d'quilibre du levier.
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2.4. AVANTAGE MECANIQUE (AM)
On crit :
f '
AMf '
qui est le rapport entre les grandeurs des bras du levier. Pour un levier de type inter-moteur, on a
toujours AM < 1 ; pour un levier inter-rsistant, AM est toujours > 1; alors que toute valeur de AM est
possible pour un levier inter-appui.
Pour un levier classique dans le langage courant (c'est--dire pour un pied de biche ou une
barre mine, soit des leviers inter-appuis), la force motrice f sera beaucoup plus petite que la force
rsistante f figure 4a) : si l'on cho l ', on pourra soulever une masse de 1
tonne avec une force de 10 kilogramme-force (soit environ 100 Newton).
Ces dfinitions du levier peuvent tre rationalises en montrant que le travail moteur est gal au
travail rsistant, il y a toujours dans un levier conservation du travail (c'est--dire du produit force x
dplacement).
2.5. APPLICATION : LA COLONNE VERTEBRAL E
L'quilibre de l'homme en position incline sera tudi en dtail plus loin. Ici, nous voudrions
faire remarquer que la colonne vertbrale d'une personne qui se penche vers l'avant est un levier dont
l'avantage mcanique est trs petit.
En effet, idalisons la colonne vertbrale d'un homme qui se penche l'horizontale comme une
barre rigide (figure 6) ; le pivot ou point d'appui de ce levier est le sacrum (la dernire vertbre) qui
supporte toute la colonne.
Faisons tout d'abord un inventaire des forces en jeu :
(1) le sacrum exerce une force R (raction) sur la colonne.
(2) les muscles du dos peuvent quant eux tre rassembls en une seule force f qui s'exerce, si la
personne est penche l'horizontale, sous un angle de 12 ; le point d'application de cette force est
environ un tiers de la longueur de la colonne vertbrale ; l'angle tant petit, le bras de levier efficace
de f (par rapport 0) est trs petit, soit l.
(3) le poids du corps (ici, il faut considrer l'ensemble tte + bras + tronc, soit environ 65% du poids total
de l'homme) s'exerce verticalement, de haut en bas, en un point d'application (le centre de gravit) situ
mi-distance de la colonne; le bras de levier de cette force p f ' ' .
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12MPHY B110 (Houssiau) - -
Les rapports des bras de levier ' est
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13MPHY B110 (Houssiau) - -
En ralit, le biceps forme un angle de 15 environ par rapport la verticale (figure 8). Montrer
qu' l'quilibre on doit avoir :
'
f f 'lcos15
Figure 7 Figure 8
-
14MPHY B110 (Houssiau) - -
3.1. LA PESANTEUR
La loi d'attraction universelle de Newton
Aprs avoir tudi le mouvement des plantes, - et peut-tre (ce qui est dit par la lgende) avoir
reu une pomme sur la tte pendant qu'il rflchissait au pied d'un pommier - Newton (1642 1727)
proposa dans un recueil fameux (Principia, 1687) la loi de l'attraction universelle :
Deux points matriels dans l'univers m et m' exercent l'un sur l'autre une force d'attraction
directement proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carr de la
distance qui les spare , qui se formule :
2
mm'F G
r
o G est un coefficient numrique, reprsentant une constante universelle, appele constante
gravitationnelle. Cette constante peut tre mesure exprimentalement (Cavendish, 1798), et dans le
systme SI, elle vaut
G = 6,673 x 10-11 N.m2
kg2
Il est important de faire remarquer que la force de gravitation voit son intensit varier comme
l'inverse du carr de la distance entre les deux masses. La constante G a numriquement une valeur
faible : la force de gravitation ne sera donc apprciable que si les masses qui s'attirent sont (trs)
importantes. En fait la force de gravitation est trs importante l'chelle de l'astronomie (systmes
plantaires, galaxies
Dans la vie de tous les jours - sauf pour les applications dcrites la section suivante - la force
gravifique entre deux objets est extrmement faible. Pour s'en convaincre, on peut calculer la force
d'attraction entre deux tudiants (M = 70 kg) se situant 1 m de distance : on trouve 0,35.10-6 N. Cette
force est bien infrieure en intensit au poids de chacun des tudiants La Terre par contre exerce une 24 kg !
Pesanteur et poids
La force gravitationnelle que la terre exerce sur un objet sa surface est relativement grande, en
raison de la masse importante de la terre. C'est une exprience classique (vidente) que d'observer que
si on lche un corps de masse m au-dessus du niveau du sol, il tombe vers le bas, avec une acclration
-
15MPHY B110 (Houssiau) - -
constante que l'on notera g. Tout objet massique la surface de la terre subit une force verticale, dirige
vers le bas, appele force pesanteur ou poids .
En effet, supposons que la masse M de la terre est rassemble en son centre, et que la masse
exprimentale m s'en trouve loigne de r = rayon de la terre (environ 6,38.106 m); on peut alors crire
la loi de gravitation sous la forme :
2 2
Mm GMF G. m mg P
r r
L'acclration g se dfinit donc par l'galit :
2 2
GM mg 9,81
r s
c'est une constante dtermine par la force d'attraction exerce par la terre sur une unit de masse.
Sous nos latitudes, cette force Pexerce sur une masse de 1 kg est de 9,81N. On dit alors que cette
masse de 1 kg, pse 9,81 N. Ce poids pourtant est fonction de diffrentes situations ; par exemple, il
varie :
1 En fonction de diffrentes positions sur la terre :
- g est plus grand au ple qu' l'quateur, car le rayon terrestre est dilat l'quateur. (Ple :
g 9,83; quateur : g 9,78); cet effet s'ajoute en fait celui de la rotation de la Terre (raction
centrifuge) ;
- des anomalies locales dans les densits de la crote terrestre influencent localement la
grandeur de g ;
- g varie avec l'altitude (g est d'environ 1/3000 par km).
2 En fonction de l'attracteur lui-mme : un astronaute sur la lune sera soumis une pesanteur
bien diffrente en intensit !
Masse et poids
Le poids d'un corps est la force (la pesanteur) qui l'attire vers le centre de la terre : il est d la
masse (c'est--dire la quantit de matire) de ce corps :
La masse est donc ce qui produit, ce qui cause la force ; mais la masse n'est pas la force. En
consquence, le poids (la force) n'est pas la masse.
Exemple : une tudiante dont la masse est 50 kg pse 490N.
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16MPHY B110 (Houssiau) - -
3.2. CENTRE DE MASSE (C.M.) OU CENTRE DE GRAVITE (C.G.)
La force pesanteur, ou le poids Pest un vecteur. Pour dfinir sans ambigut ce vecteur, il faut
donc spcifier :
1- sa direction : la verticale
2- son sens : de haut en bas
3- son intensit : mg
4- son point d'application : on peut montrer qu'il est possible de considrer que tout le poids du
corps est concentr en un seul point, que l'on appelle le centre de gravit, qui concide avec le centre de
masse (dans un champ gravitationnel uniforme).
Soit un corps solide rel, de masse M soumis l'attraction de la terre. Nous supposerons que ce
corps se trouve dans le plan xy, et que le poids total du solide est la rsultante de la force pesanteur
agissant sur une quasi-infinit de trs petites masses m1, m2, m3 i 1,
y1), (x2, y2), (x3, y3 i,yi figure 9).
Figure 9
Le poids total du solide M sera crit W; il vaut la rsultante de tous les poids partiels pi, qui sont
des forces parallles, diriges verticalement de haut en bas.
i ii i
W gm
En supposant que g ne varie pas sur l'tendue du corps matriel :
iW g m
W gM (expression identique celle du point matriel ; mg)
-
17MPHY B110 (Houssiau) - -
Le point matriel o toute la masse M du solide peut tre considre comme rassemble est
dfini par la condition que l'quilibre dfini pour M doit tre le mme que celui des mi ; il sera donc ce
point dont les coordonnes (x_ , y
_ ) correspondent celles de la rsultante de toutes les forces igm
parallles entre elles. De par notre tude relative aux moments de force nous dduisons que chaque
particule donne lieu un moment, par rapport l'origine, et le moment rsultant est dfini par :
i i
i
Fxx
Fdevient
i i
i
x
i i i i i i
ii
m gx m x m xx
m Mm g
Un raisonnement semblable permet de dduire que :
i im y
yM
et (x_ , y
_ ) sont les coordonnes du centre de gravit du corps solide M. C'est le point par o passe la force
pesanteur, quelle que soit l'orientation du corps.
Un exemple trs simple : soient deux masses m1 et m2 positionnes en x1 et x2
:
Si les deux masses sont identiques, la formule devient simplement :
--dire que le centre de masse se trouve au milieu des deux masses. La formule qui dcrit la
consquent, mme si le calcul peu
moyenne de la matire qui constitue le corps.
3.3. RECHERCHE DU CENTRE DE GRAVITE D 'UN CORPS
Le centre de gravit des corps symtriques et homognes est facilement identifi leur centre
gomtrique. Exemple, disque, cube, paralllpipde etc.
-
18MPHY B110 (Houssiau) - -
Pour les objets sans grande symtrie, le C.G. peut tre dtermin exprimentalement : un objet
suspendu dans le champ d'action de la pesanteur doit avoir son centre de gravit situ sur la verticale
qui passe par ce point de suspension O ; c'est en effet la seule condition pour que le moment du poids
par rapport au point de suspension s'annule (figure 10). Si on suspend le mme objet un autre point O',
le centre de gravit se trouvera toujours sur une verticale passant par O'. Le C.G. se trouve donc tout
simplement l'intersection des deux droites.
Figure 10
3.4. EQUILIBRE DES CORPS POSES AU SOL
Si le corps solide est pos au sol en plusieurs points, on dfinit la base de sustentation par la
figure forme sur le sol par les tangentes externes aux points de contact avec le sol2. Ce corps sera en
quilibre tant que la projection verticale de son centre de gravit se trouvera l'intrieur de la base de
sustentation.
Exemple : quilibre du corps humain dans son ensemble
Lorsqu'une personne se dplace, il y a des moments o seulement un pied repose sur le sol. De
mme, une personne peut statiquement se trouver au repos sur un seul pied. Cette position peut tre
une position d'quilibre. Dans cette position verticale, il y a deux forces qui agissent sur le corps de
l'homme, pris dans son entiret : le poids du corps (W , vecteur dirig verticalement vers le bas, et la
raction du sol sur le(s) pied(s) ( N , dirige verticalement vers le haut); le point d'application de W peut
tre identifi au centre de gravit du corps humain, sur une ligne mdiane, vers le bas du ventre. Si l'on
mesure les moments de force par rapport au pied de l'individu, il est vident que l'quilibre ne sera
ralis que si, et seulement si, les lignes d'action de W et N concident (figure 11). L'quilibre de
translation sera lui assur lorsque W = N. Pratiquement, il suffit que la verticale au centre de gravit
passe par la base de sustentation. En tant debout sur deux pieds, cette base est dlimite par
sustentation devient limit
2
-
19MPHY B110 (Houssiau) - -
Figure 11
3.5. CALCULS D EQUILIBRE STATIQUE D U SQUELETTE HUMAIN
(voir prsentation PowerPoint)
Equilibre de la jambe
Si l'on considre maintenant la jambe comme un systme isol (figure 12), il faut faire d'abord un relev
de toutes les forces actives. Ce sont :
Figure 12
-
20MPHY B110 (Houssiau) - -
(1) N , la raction du sol sur le pied : c'est la force oppose au poids W du corps.
(2) F , la force rsultante de l'action de tous les muscles et ligaments, qui exerce une force de
traction sur le fmur (partie extrieure gauche) vers le bassin. Ce vecteur force a son point d'application
18 cm de la verticale dfinie par W ; il est orient 70 par rapport l'horizontale.
(3) R , la force de raction exerce par le bassin sur la tte du fmur (le point d'application est 11
cm de la verticale dfinie parW ).
(4) W
7, le poids de la jambe ; vecteur dirig verticalement vers le bas, au centre de gravit de la
jambe, un peu au-dessus du genou, 8 cm de l'axe W .
L'quilibre de la jambe sera ralis si iF 0et i 0 .
Equilibre des forces : par rapport 0, point d'application deR , on transporte les forces paralllement
elles-mmes, et on exprime :
Fix = Fiy = 0 (x est l'horizontale, y la verticale).
ix xF R Fcos70 0 (a)
iy yW
F R Fsin70 W 07
(b)
o Rx et Ry reprsentent des valeurs relatives (c'est--dire avec le signe implicite).
Ensuite, on annule le moment de toutes les forces par rapport ce mme point 0 (en choisissant comme
sens positif des moments la direction de la rotation horlogique) :
iW
F.0,07.sin70 .0,03 W.0,11 07
dont on retire F 1,6W(c)
On note donc que la grandeur des forces (F) identifies aux muscles dits abducteurs (qui maintiennent
l'extrmit du fmur 18 cm de la ligne mdiane dfinie parW ) est d'environ 1,6 fois le poids total du
corps. La valeur (c) permet d'valuerR , selon (a) et (b) :
xR Fcos70 1,6.W.0,342 0,55W
-
21MPHY B110 (Houssiau) - -
et y6 6
R Fsin70 W 1,6.W.0,94 W 2,4W7 7
Force d'crasement du coccyx
Dans cette section, la question de l'homme en position inclin l'horizontale, dj tudie au
point de vue des leviers), est rexamine dans l'optique de la notion d'quilibre. Ici, nous supposerons
que l'homme se penche en avant, sa colonne vertbrale faisant un angle = 60 avec l'horizontale. Le
figure
13).
Figure 13
Relev des forces
1) les bras sont supposs verticaux, attach en S ; avec la tte, ils dfinissent une force gale leur
poids qui vaut 0,2 W
2) au centre de la colonne, le poids du tronc est un vecteur qui s'applique au centre de gravit = 0,4
W
3) un ensemble de muscles du dos est rassembl en une seule force Fqui tire sur la colonne
pour garder l'homme son quilibre. Des tudes anatomiques montrent que cette force de traction fait
un angle de 12 avec l'axe de la colonne ; son point d'application est au tiers suprieur de la colonne.
-
22MPHY B110 (Houssiau) - -
4) le sacrum (la dernire vertbre) en 0 supporte lui l'action de compression de la colonne et ragit
en exerant sur la colonne une force R inconnue, dirige selon un angle par rapport l'horizontale.
Conditions d'quilibre
a) ii
F 0est calcul en transportant en 0 toutes les forces, puis en annulant les quations aux
composantes Fx et Fy :
xF 0 xR Fcos 12 0
xR 0,67F(a)
yF 0 yR Fsin 12 0,6W 0
yR 0,74F 0,6W(b)
b) ii
0 , par rapport au point 0, et pour des moments choisis positifs dans le sens horlogique,
donne :
F 0,2W 0,4W 0
2
.Fsin12 .0,2W.cos .0,4W.cos 03 2
donc (pour = 60)
F = 1,44 W
A ce moment, on peut rsoudre (a) et (b), pour obtenir :
Rx = 0,96 W
Ry = 0,74 F + 0,6 W = 1,67 W
ainsi que
1
2 2 2
x yR R R R 1,93W
orientation de R :
x
y
R 1,67tg 1,74
R 0,96
60
-
23MPHY B110 (Houssiau) - -
Il est trs important de noter que, l'quilibre, la force (R ) exerce sur le sacrum est grande,
beaucoup plus grande que le poids du corps (environ 2 fois si = 60). Donc si l'homme doit soulever un
poids suppl
disques cartilagineux des vertbres peuvent avoir des effets dommageables.
-
24MPHY B110 (Houssiau) - -
Jusqu' prsent, nous avons tudi les conditions d'quilibre statique des objets soumis des forces
extrieures, en supposant que les solides taient indformables. Or, tout objet - mme l'acier - subit une
lgre dformation lorsqu'il est soumis une force ou un moment de force. Tout type de matriau est
caractris par ses proprits dites lastiques que nous allons aborder ici.
1. LA PRESSION
Une force agit sur un solide par l'intermdiaire d'une certaine surface de contact.
La pression d'une forceF , agissant sur une surface S est gale par dfinition au quotient de la
composante normale de cette force --dire la composante perpendiculaire S) par la surface (qui
par son contact transmet l'effet de la force). En effet, la dformation du matriau sera dtermine par la
force qui s'exerce par unit de surface et non par la force seule :
F
pS
La pression p est scalaire. Si l'on dcompose F en des composantes normale et parallle par rapport S,
il est vident que seule F va causer une dformation ; F est donc la force utile , active ou efficace.
La justification de cette notion de pression est que l'exprience montre que l'effet de
dformation de Fdpend de F et de S.
Ainsi, pour F constant,
si S est grand, FS sera petit
si S est petit, FS sera grand
Donc si l'on veut diminuer l'effet de dformation d'une force, on a avantage augmenter la surface de
contact (S) : exemple, raquettes neige, voies de chemin de fer; inversement, si l'on souhaite amplifier
l'action de dformation d'une force, on diminuera S : exemple, le bistouri du chirurgien.
Units de pression : dans le systme international d'units, une force s'exprime en newton (N), et une
surface en 2m . L'unit de pression sera donc :
-
25MPHY B110 (Houssiau) - -
2
F 1Newtonp 1Pascal 1Pa
S m
1 Pascal est donc dfini comme la pression exerce par une force de 1 newton agissant
uniformment sur une surface de 12m .
2. TRACTION ET COMPRESSI ON D'UN SOLIDE UNI-DIMENSIONNEL
force (d'longation par exemple) en son extrmit B : sous l'effet de la dformation, la barre s'allonge
jusqu'en B', et l'on note une variation de longueur l (figure 14).
Figure 14
figure 15):
Figure 15
a) Si une force agit sur un solide, il va se dformer. Pour des forces suffisamment faibles, la dformation
est d'abord proportionnelle la force (zone I : lasticit linaire) ; de plus, si la force cesse d'agir, le
corps reprend sa forme primitive. Si l'on augmente l'intensit de la force agissante, la dformation se
pplique (zone II : lasticit non-liniaire), le
-
26MPHY B110 (Houssiau) - -
solide reprend sa forme lorsque l'action de la force est supprime. Ces modes de dformation
rversible du solide sont dits lastiques.
b) Si l'intensit de la force augmente encore, des modifications permanentes de la forme et de la
structure du corps sont induites. On parle de dformation plastique, de nature irrversible (zone III :
plasticit).
c) Enfin, le matriau soumis l'action d'une force trop importante peut se rompre.
Dans t linaire (faible intensit deF), l'longation sera proportionnelle la
force applique :
F = k
k est le coefficient de proportionnalit exprimant la force ncessaire pour allonger le corps de la
longueur unitaire (
La compression est la dformation inverse de la traction. Les mmes lois sont observes.
3. LA LOI DE HOOKE
Si dans l'exprience prcdente (figure 14) on place deux tiges minces l'une ct de l'autre,
chaque tige ne supporte plus que la moiti de la force, et leurs allongements sont rduits de moiti
(figure 16) : on a en fait doubl la section de la tige, et on remarque que l'allongement est inversement
proportionnel la surface.
Figure 16
Donc en fait, pour un vrai solide tendu, son accroissement de longueur sera proportionnel
- la tension, c'est--dire la force applique par unit de surface (FS );
-
-
27MPHY B110 (Houssiau) - -
La constante de proportionnalit est une caractristique intrinsque du matriau tudi : on l'appelle le
module de Young (Y) : la loi relative la traction s'crit :
1 F. .
Y S
Pour un matriau homogne, les modules de Young pour la traction et la compression sont
habituellement gaux; cela n'est plus vrai pour un solide inhomogne comme le bton ou l'os. L'quation prcdente est gnralement prsente sous la forme :
FY.
S
avec FS = la tension ou pression (en Pa) et
Loi de Hooke.
Units : le module de Young s'exprime en Newton
m2 = Pascal (Pa).
crit aussi souvent sous la forme condense suivante :
= Y.
O reprsente la contrainte de traction (>0) ou de compression (
-
28MPHY B110 (Houssiau) - -
Matire Y (N/m2) Tension de rupture (N/m2)
acier
fmur
tibia
radius
tendon
vaisseau sanguin
caoutchouc
2.1011
1,7.1010
1,8.1010
1,85.1010
2.107
2.105
2.105
4.108
1,2.108
1,4.108
1,5.108
Les units N/m2 tant probablement peu parlantes dans la vie de tous les jours, on peut vrifier
par exemple que 1,8.1010 pascals 180 tonnes/cm2.
Dans ce tableau, on observera : le module de Young de l'acier est environ 10 fois plus important que
celui (moyen) d'un os long; pourtant la rsistance la rupture de l'acier n'est que de trois fois celle d'un
os.
On peut retenir aussi qu'un os (long) se dforme de faon tout fait lastique jusqu' un allongement
relatif ( '
) de 5 %o; 7 8 %o est la limite pour la rupture de l'os.
Voir prsentation PowerPoint pour des exemples de modules de Young et les courbes de dformation (
vs.
Exercice :
Soit un fmur dont le diamtre minimum est de 3 cm (la section minimale qui correspond au point le
:
Y=1,7.1010 Pa=17 GPa
r,tension = 1,2.108 Pa
r, compression = -1,7.108 Pa
subit normalement des contraintes de compression et est rarement sollicit en traction.
Question (1) : soit une force de 1000 N exerce sur le fmur. Quelle
considrant que sa longueur l est 45 cm ?
-
29MPHY B110 (Houssiau) - -
Par la loi de Hooke, on a
Comme l vaut 0,45 m, l vaut donc 0,45.8,4.10-5 = 3,78.10-5 m, soit seulement 38 m. Cette dformation
est extrmement faible et le squelette est donc rellement rigide.
Question (2) : Quelle force produira une rupture du fmur ?
La rupture en tension se produira si F/S > r, tension, donc Fmax = r,tension . S = 1,2.108. 7.10-4=8,4.104 N.
De mme, en compression on calcule une Force maximale = r,compression . S = 1,2.105 N.
!), qui ne sont jamais atteintes dans des conditions
normales. Nanmoins, en
, le corps passe
n temps trs court, donc le corps
subit une acclration intense. Comme F=m.a, la force peut tre trs leve aussi.
-
30MPHY B110 (Houssiau) - -
1. TRAVAIL
Dans la vie quotidienne, travail et nergie ont de multiples significations ; en physique, ces
termes recouvrent des concepts des plus importants, qu'il faut dfinir de faon trs rigoureuse.
Commenons par prciser la notion de travail.
Le travail : dfinition
Un corps matriel est au repos sur une surface horizontale sans frottement ; soumis l'action
d'une force constanteF , il se dplace dans la direction et le sens deF (figure 17a). Si Fagit
obliquement, on dcompose la force Fen une partie perpendiculaire (F ) et une composante parallle
au sol ( / /F ) (figure 17b) ; comme par hypothse le corps reste sur le sol, on dduit que la composanteF
est inactive et seule la partie / /F entranera un mouvement horizontal du corps matriel.
Figure 17
Le travail (W) de cette force Fse dfinit comme :
le produit de la composante de F oriente dans le sens du dplacement, par la grandeur du
dplacement de son point d'application .
Si ce dplacement est notx , on a donc par dfinition :
cas a : W F . x
cas b : //W F . x Fcos x
-
31MPHY B110 (Houssiau) - -
On distingue aisment force et travail moteurs, de force et travail rsistants : le travail est
moteur s'il est positif, c'est--dire si le dplacement x est dans le sens de F ; le travail est rsistant s'il
est ngatif, si la force s'oppose au dplacement.
En toute gnralit, le travail se dfinit par un produit scalaire :
W F. x F. x.cos
o est le plus petit angle entre les deux vecteurs (force et dplacement). On vrifie donc aisment que
le travail effectu par une force perpendiculaire au dplacement est nul (cos90 0) : donc porter un
fardeau lourd le long d'une surface horizontale reprsente physiquement un travail nul. Il en est de
mme de tenir immobile un objet pesant bout de bras ! (cependant, les muscles de la personne sont
contracts, entranant une certaine consommation d'nergie, l'intrieur de l'organisme).
Units et dimensions
L'unit internationale du travail est celle d'une force de 1 newton qui dplace son point
d'application de 1 mtre ; on l'appelle le joule (J) : 1 J = 1 N . 1 m. Le joule est une unit trs importante,
Exemple : travail ncessaire pour soulever un objet de masse m
Le travail ncessaire pour soulever un objet (p.ex. une valise)
hauteur h.
Donc : W P.h mgh
(note : la force applique vaut bien moins
Une masse de 1 kg souleve sur une distance de 1 m consomme un travail de :
2
mW = 1 kg . 9,81 .1 m=9,81 J
s
Lorsque nous exer --dire sans dplacement, soit isomtrique, le
travail mcanique effectu est nul car le dplacement est nul. Ce rsultat est cependant paradoxal car
maintenir une force musculaire est fatiguant et donc consomme ef
-
32MPHY B110 (Houssiau) - -
travail est nul !
sur un terra
effectu, mme pour une contraction musculaire isomtrique. Les fibres musculaires sont constitues
ctiles se contractent chaque impulsion nerveuse,
sous forme de chaleur. En finale, contracter le muscle consomme effectivement une
quantit ; cette nergie se
dgrade ultrieurement en chaleur. Porter une charge est fatiguant , donc con
donne chaud , parce que cette nergie se dissipe en chaleur.
2. ENERGIE
En toute gnralit, une nergie (E) est identifie toute capacit d'un corps matriel produire
un travail (W) ou de la chaleur (Q). Un travail est toujo
sur le systme et seront
co par
systme
entielle) la charge (=le systme). Une voiture
en mouvement produit du travail (W
-
33MPHY B110 (Houssiau) - -
rappel du ressort effectue un travail rsistant, donc ngatif) donc on stocke
otentielle peut tre vue comme un rservoir de travail. Le
ressort contenu dans une montre mcanique entretient le mouvement d'horloge; il accomplit un travail.
Un ressort comprim contient donc de l'nergie potentielle. Nous verrons plus loin que les artres,
lors de la diastole (voir la fin du chapitre 12).
b)
L'nergie cintique est tout travail qu'un corps peut produire en raison de son mouvement ; elle
sera note Ec ou Ek.
On imagine facilement qu'un corps matriel soumis l'action d'une force et donc une
acclration peut acqurir de la vitesse. Avec cette vitesse (cette nergie cintique), le mobile peut
effectivement effectuer un travail.
dilatation des artres (chapitre 12).
bien connue :
Nous donnons ici une dmonstration simplifie de cette formule. Soit un corps initialement au repos,
subissant une acclration constante : il va donc adopter un mouvement rectiligne uniformment
constante, de valeur F=ma. Cette force se dplace
il vaut F. x,
o
gale v. Nous pouvons crire les deux formules suivantes relatives au MRUA :
v = a.t
Par consquent, le travail vaut :
-
34MPHY B110 (Houssiau) - -
On pourrait montrer que cette formule reste vraie mme si le mouvement est quelconque (non
rectiligne avec acclration variable).
Principe de conservation de l'nergie
C'est une observation qui n'a jamais t mise en dfaut - que l'nergie totale d'un systme isol
ne varie pas, dans la mesure o l'on tient compte de toutes les formes d'nergie en prsence.
Etot = constante
L'nergie ne peut donc jamais tre cre ou dtruite ; la forme de l'nergie peut se modifier, mais
l'nergie totale est toujours constante. On peut mme affirmer que l'nergie totale de l'univers est
constante.
tomber, la balle est immobile (Ec=0) et possde une Ep=mgh. En tombant, elle acquiert de la vitesse (
cE Ep ) Ec=- Ep.
art est convertie en nergie cintique :
2
mvmgh
2
2ghv
: dans ce cas, toute
c=Ep
en chaleur. Une quantit de chaleur gale (mgh) Joules a t libre aprs la chute de la balle.
Autre exemple : us
partie de cette nergie est garde en rserve dans notre corps aprs des processus biochimiques tudis
travail musculaire, qui lui-mme peut tre converti en nergie potentielle (soulever une valise) ou
sous forme de chaleur.
-
35MPHY B110 (Houssiau) - -
inexorablement en chaleur : penso
principe dpasse videmment le cadre de ce cours et est mentionn ici pour information.
3. PUISSANCE
En pratique, il n'est pas seulement intressant de connatre un travail total effectu, ou une
quantit totale d'nergie dpense, mais il devient important de dterminer la rapidit avec laquelle
cela se fait. Plus ce temps sera court, plus le moteur sera dit puissant.
Dfinitions
Lorsqu'un travailW est effectu pendant un intervalle de tempst , la puissance mcanique se dfinit
par le quotient :
WP
t
E.
La puissance se dfinit alors de manire plus gnrale par :
: puissance mcanique, puissance
lumineuse, puissance acoustique, puissance thermique, etc. Le mtabolisme du corps humain
consommons par unit de temps. Au repos, notre corps consomme dj 80 W, qui deviennent de la
chaleur et un peu de travail (cardiaque et respirato
consommons de 200- 7 J)
!
Units
Dans le systme international d'units, on dfinit l'unit de puissance comme tant le watt (W),
correspondant un travail de 1 joule effectu en 1 seconde.
1 W = 1 joule/s
-
36MPHY B110 (Houssiau) - -
Dans la pratique quotidienne, on parle de kilowatt (1 kW =310 W). L'nergie lectrique quant
elle se vend sous forme de kilowatt-heure (kWh), correspondant au travail fourni pendant une heure par
une machine qui a une puissance de 1 kilowatt :
6joules
1kWh 1000 3600s 3,6.10 Js
;
Attention, on de puissance.
-
37MPHY B110 (Houssiau) - -
1. DEFINITION
--
aprs un intervalle de temps appel la priode T. Plus exactement, la position du corps en mouvement
revient au mme point aprs une priode ; on peut crire :
Les exemples de mouvement priodiques sont
ressort, voire le mouvement du muscle cardiaque, si le rythme cardiaque est constant.
2. LE MOUVEMENT CIRCULAI RE UNIFORME . DEFINITIONS , VARIABLES
ANGULAIRES
En plus de la cinmatique des mouvements rectilignes, les lois de Newton permettent la comprhension
et la description d'un autre type de mouvement trs souvent rencontr dans la nature, il s'agit du
mouvement circulaire.
Le MCU : Dfinition
Un point matriel (de masse m) dcrivant un mouvement dont la trajectoire est une circonfrence (de
rayon r), avec une vitesse constante en grandeur est dit anim d'un mouvement circulaire uniforme
(MCU).
C'est par exemple le mouvement dcrit par une pierre au bout d'une corde, que l'on fait tourner autour
de soi.
Une caractristique fondamentale du MCU est qu'il constitue un mouvement priodique : la pierre
parcourt toujours la mme circonfrence, et repasse toujours au mme endroit, aprs un mme
intervalle de temps. Un tel mouvement priodique sera dcrit par des grandeurs physiques nouvelles.
Priode et frquence du mouvement
Dfinitions :
La priode (T) du MCU est par dfinition le temps mis par le point P pour parcourir la circonfrence
complte. Il s'exprime en seconde (s).
-
38MPHY B110 (Houssiau) - -
La frquence ( ) du MCU est le nombre de tours (ou de cycles) effectu par le point P en 1 seconde. La
frquence s'exprime en cycle par seconde. Par dfinition, on a que
T = 1;1
=T
ou1
T = .
Pour caractriser des phnomnes lectriques, ou lectromagntiques, on rserve l'unit de Hertz :
1 Hertz = 1 tour/seconde = s-1
Variables angulaires
Plutt que de dcrire un mouvement circulaire plan l'aide des coordonnes (x, y), nous allons
montrer qu'il est trs intressant d'utiliser des variables angulaires.
Sur la figure 18, on prendra ox comme axe de rfrence, et l'on spcifiera la position du point P
au cours de son MCU en prcisant la valeur de l'angle :
en t = t1, P se trouve en 1
en t = t2, P se trouve en 2, etc.
Figure 18
La vitesse angulaire moyenne ( ) se dfinit comme le rapport du dplacement angulaire1 2 au
temps 1 2t t mis pour le parcourir :
2 1
2 1
=t t t
Les angles se mesurent en degrs ou en radians (rad). La figure 19 montre que la position angulaire et
la trajectoire parcourue s sont relies par la relation
s
= R
t1
t2
-
39MPHY B110 (Houssiau) - -
Figure 19
sera gal 1 pour s = R (l'arc s a la mme longueur que le rayon R). Comme la circonfrence (1 tour
complet) vauts = 2 R, on a que2 R
(360) = = 2R
rad. se mesurant en rad, on exprime en
rad/s = s-1.
La vitesse angulaire instantane vaut par dfinition :
t 0
dlim =
t dt
Pour un mouvement circulaire avec vitesse angulaire uniforme, on a :
d
= = =t dt
constante
Dans ce cas, la loi du MCU exprime avec des variab :
t
o est la position angulaire initiale. Notons la similitude avec la loi du MRU (x=x0+vt).
:
22
T
Dans un MCU, on peut galement dfinir une vitesse linaire v : c'est la variation de l'espace s parcouru
par unit de temps : ds
v = dt
. Puisque le mouvement est uniforme, on a :
-
40MPHY B110 (Houssiau) - -
ds s
v= = =dt t
constante
et comme l'espace parcouru pendant une priode T est une circonfrence complte :
s = 2 R pour t = T
on a que 2 R
v 2 RT
on en dduit que, dans un MCU,
v R
donc qu'il existe une relation simple entre les vitesses linaire (v) et angulaire (). Cette formule peut
plus sa vitesse est grande. Au centre du carrousel, elle a une vitesse
nulle, sur la circonfrence du carrousel sa vitesse est maximale.
On note que le dplacement angulaire est indpendant du rayon R : donc tous les points matriels d'un
mme corps solide rigide ont la mme vitesse, et le mme dplacement angulaire. C'est pourquoi, pour
l'tude des M.C., on prfre utiliser les variables angulaires plutt que les coordonnes et vitesse
linaires.
L'acclration centripte
Dans un MCU, bien que la vitesse v (et ) du point matriel soit constante, la direction du
vecteur vitesse v change constamment en fonction du temps ; en consquence, le point matriel
acclre. Cette acclrationdv
a= 0dt
.
A partir de l'exemple simple d'une pierre que l'on maintient en rotation autour de soi, en la
retenant par une ficelle, on remarque que :
- le bras doit exercer une force pour retenir la ficelle et la pierre ;
- si l'on lche la ficelle, la pierre quitte sa trajectoire circulaire en suivant la tangente, avec la vitesse
qui tait la sienne ce moment-l.
La direction dev tant toujours tangente la trajectoire et donc changeant chaque instant, mais la
grandeur de v restant toujours constante, il ne peut pas y avoir de composante de l'acclration qui soit
tangente la trajectoire.
-
41MPHY B110 (Houssiau) - -
L'existence d'une acclration dans le MCU implique (2de loi de Newton) l'existence d'une force, celle qui
est ressentie dans le bras de l'exprimentateur (voir plus haut). Dans son mouvement, le corps reste sur
la circonfrence, la force l'empchant de s'loigner du centre : l'acclration et la force associe sont
diriges suivant un rayon, vers le centre de la circonfrence. Force et acclration sont radiales, toujours
perpendiculaires la vitesse: on appelle ces force et acclration, la force centripte (dirige vers le
centre) et l'acclration centripte .
Formulation mathmatique de l'acclration centripte
Note
.
a) dmonstration gomtrique
Figure 20
Sur une circonfrence a de centre 0, et de rayon R (fig. 20) M et M' sont deux positions du point
matriel mobile en des temps t ett + t . Dans cet intervalle de temps, le mobile parcourt un arc de
cercle s, ou une distance c = MM' (corde). On noteMV = |V| = M'V' = |V'| les vitesses du mobile,
en M et M', qui sont constantes en grandeur (puisque MCU), mais de direction diffrente.
En M on porte le vecteur M'V' paralllement lui-mme pour obtenir MV" : le vecteur VV'' est la
variation de vitesse V pendant t (figure 21).
Figure 21
Dans la construction rsultante (fig. 20) il apparat que les triangles MOM' et VMV" sont semblables
(triangles isocles avec les angles au sommet (0 et M) gaux) ; on peut donc crire les rapports :
-
42MPHY B110 (Houssiau) - -
OM MM'
=MV VV"
;R c
=v v
donc c
v = v.R
et l'acclration centripte sera par dfinition :
cp t 0
V dV= lim =
t dta
cp t 0 t 0
v c v c= lim . = . lim
R t R ta
Lorsque t 0 , c = MM' s, et puisques
= vt
, on obtient :
2
cp t 0
v s v= . lim =
R t Ra
ou bien 2cp
= Ra
puisquev = R .
La direction decpa est la direction de V ; or
''V VV est c . Si t 0 , c s, donc
cpsa ; on conclut que l'acclration centripte est dirige suivant un rayon, vers le centre de la
circonfrence perpendiculaire la trajectoire : sa grandeur correspond 2
2v = RR
.
b) dmonstration analytique
Le corps en rotation est repr par le vecteur position de composantes scalaires x et y :
:
-
43MPHY B110 (Houssiau) - -
Les composantes scalaires du vecteur vitesse nt par drivation des fonctions x et
y par rapport au temps :
Enfin, les composantes scalaires du vecteur acclration
fonctions vx et vy :
.
Le vecteur acclration est donc un vecteur de mme direction que (rayon) mais de sens oppos : il est
La norme du vecteur acclration est la norme du vecteur (gale au rayon du cercle R), fois .
a=R = v/R.
La force centripte
La force qui produit l'acclration centripte s'crit :
22
cp cp
mvF = m a = m R
R.
Cette force centripte est donc caractrise par les proprits suivantes :
- cpF est perpendiculaire la trajectoire, dirige suivant un rayon vers le
centre de la circonfrence dcrite par le MCU ;
- cpF est constante en grandeur (voir figure 22).
Figure 22
-
44MPHY B110 (Houssiau) - -
La force centrifuge (fictive) ou raction centrifuge
Selon le principe de l'action-raction toute force centripte exerce sur le corps m et dirige
vers l'intrieur de la circonfrence, doit correspondre une force exerce sur le centre de la rotation,
oriente vers l'extrieur : c'est la force centrifuge cfF (fig. 23). Cette force, comme toute force de
e invoque pour expliquer la
rotation.
Figure 23
Dans le langage quotidien, la force centrifuge dont il est question pour expliquer le mouvement
d'un observateur qui est en mouvement circulaire, est une force fictive, diffrente de celle dfinie ci-
dessus. L'origine de cette force fictive est due au mouvement qui anime l'observateur : on parle d'un
observateur non-inertiel, en dfinissant un systme de rfrence inertiel comme celui o les lois de
mouvement de Newton sont d'application.
Soit l'exemple du mouvement du carrousel (fig. 24)
Figure 24
- pour un observateur inertiel, qui ne participe pas au mouvement, une cabine, solidaire du plancher
du carrousel, tourne uniformment si elle subit une acclration centripte, due 2
cp
MvF =
R (2de loi
de Newton) ;
-
45MPHY B110 (Houssiau) - -
- pour un observateur situ lui-mme sur le carrousel, la cabine apparat au repos : pour pouvoir
appliquer la 2de loi de Newton, il doit imaginer qu'une force fictive dirige vers l'extrieur de la
circonfrence vient contrebalancer la force centripte, on acf cpF = - F .
Ainsi donc, il y a deux manires d'interprter la force ressentie par le passager d'un train qui
entre dans une courbe. Le passager lui-mme dira - dans le langage courant - qu'il subit l'action d'une
force centrifuge qui le pousse vers l'extrieur de la courbe; un observateur ct de la voie dira tout
simplement que, lorsque le train entre dans la courbe, le passager doit - principe d'inertie - continuer son
mouvement en ligne droite : en consquence, il sera dplac par une force qui le tire vers l'extrieur de
la courbe.
3. LE MOUVEMENT HARMONIQ UE
Le mouvement harmonique est dfini par une loi de mouvement sinusodale. On crit donc :
x = A sin = A sin ( t+ )
en dfinissant :
A ;
= la phase du mouvement sinusodal ;
= la pulsation du mouvement sinusodal ;
= la constante de phase, ou la phase l'origine ; c'est la valeur de lorsque t = 0.
Frquence et priode
Si T est la priode du mouvement, le mobile aux instants t et (t T ) doit se trouver au mme
endroit ; il faut donc que :
t T t 2
puisque la fonction sinus se reproduit en et ( 2 ). On dduit que :
2
= = 2 T
( = la frquence).
Signification de la constante de phase
Il y a deux cas particuliers du mouvement sinusodal :
-
46MPHY B110 (Houssiau) - -
si 0 , alors x = A sin t; ent 0 , x vaut 0, donc le mouvement dmarre l'origine, son
longation minimale ( 0 ).
si2
, alors x = A sin (t+ /2) = A cos t ; ent 0 , x=A, donc le mouvement dmarre
avec son longation maximale (A).
4. COMPOSITION DE MOUVEM ENTS HARMONIQUES DE FREQUENCES VOISINES :
LE PHENOMENE DE BATT EMENTS
Si un mme corps physique est soumis simultanment plusieurs mouvements harmoniques, le
mouvement rsultant est rgi par le principe de superposition.
Principe de superposition
Un objet matriel soumis deux mouvements harmoniques effectue un dplacement qui est la
somme algbrique des dplacements qu'effectuerait l'objet sous l'action de chacun des mouvements
pris sparment ce mme instant .
On suppose ici que les deux mouvements ont la mme amplitude, des frquences proches1 2v v , et
pas de dphasage, on crit donc :
1 1x Asin t
2 2x Asin t
Selon le principe de superposition : 1 2x x x , donc
1 2x A sin t sin t
1 2 1 2x 2Asin .t .cos .t2 2
En crivant 1 2
2qui sera (trs) petit, puisque1est (trs) proche de 2 ,
et 1 2
2qui vaut 1 2 , le mouvement rsultant devient :
x 2A.sin t.cos t
-
47MPHY B110 (Houssiau) - -
A chacune des fonctions trigonomtriques est associe une pulsation, donc une priode
diffrente :
petit T grand
plusgrand T' plus petit
donc la fonction sinusodale a une priode plus courte que la partie cosinusodale du mouvement : la
premire est dite l'onde porteuse, la seconde est la modulation : sur un graphique (fig. 25) on a l'image
typique d'un battement de deux ondes.
Figure 25
Un battement rpond aux trois caractristiques suivantes :
1- c'est un mouvement harmonique d'une frquence ' proche de 1 et 2 (1 2
' =2
)
2- l'amplitude de ce mouvement est module par un autre mouvement de frquence 1 2 =2
petite,
-
48MPHY B110 (Houssiau) - -
2- il faut un couplage entre ces deux systmes, dfini comme un lien physique par lequel la vibration et
etc.
3- les conditions de rsonance proprement dites :
: (actif)= 0.
La seconde condition impose que les deux oscillateurs vibrent en phase (c--
mme phase : (passif)=(actif). En gnral, cette condition se met en place spontanment
quand la condition sur la frquence est ralise.
Exemples
- La figure 26 montre une collection de pendules, tous attachs au mme support. Si le pendule 1 est
mis en oscillation, on observe que, au bout d'un certain temps, par l'intermdiaire du support de
couplage, il y a transfert d'nergie vers un autre pendule pourvu que celui-ci soit caractris par la
mme frquence d'oscillation, c'est--dire qu'il ait exactement la mme longueur.
- La figure 27
L'exprience montre que la corde sert de moyen de couplage pour transmettre l'nergie du moteur
(actif) au ressort massif (passif), et qu'en faisant varier la frquence de rotation du moteur,
l'amplitude du systme passif va passer par un maximum, lorsque sera
rencontrela condition de rsonance : n (actif) = n0 (passif) .
Fig. 28 : lorsque la frquence de l'oscillateur forc (le moteur) vaut exactement la frquence propre
du ressort, soit 01 k
= 2 m
- Deux diapasons sont accords sur la mme frquence. Toute excitation de l'un d'eux se transmet
(par l'intermdiaire de l'air et des botiers de rsonance) l'autre.
Autres exemples de rsonance
- Pont de Tacoma (tat de Washington) dtruit en 1940 ;
- Vibration des pices de carrosserie d'une voiture ;
- 1 colonne de soldats doit rompre le pas pour traverser un pont ;
- mares terrestres ;
- chanteur ou violon et bris d'un verre de cristal.
-
49MPHY B110 (Houssiau) - -
Figure 26
Figure 27
Figure 28
-
50MPHY B110 (Houssiau) - -
1. DEFINITIONS
Au sens de la physique, un phnomne ondulatoire (une onde), consiste en un nergie sur
une grande distance, sans de matire sur cette distance. Ainsi, une
- - qui
se dplace, mais chaque particule d
effectue un mouvement de haut en bas, mais aprs le passage de la dformation, il reste localis au
mme endroit.
- les ondes mcaniques
exemple. [Analogie avec le transfert de chaleur par conduction et convection].
- les ondes lectromagntiques
propager. Ce sont les ondes radio, TV ... la lumire.
Les ondes mcaniques sont produites et se propagent dans un milieu matriel grce ses proprits
e systme
Classification des ondes
La direction
La direction du mouvement des particules de la matire par rapport la direction de propagation de
On distingue :
a) une onde longitudinale : lors du passage de la dformation, le dplacement de matire
Exemples :
- le ressort (oscillateur harmonique)
-
51MPHY B110 (Houssiau) - -
- : dans la direction de propagation, la matire se dplace
b) une onde transversale : lors du passage de la dformation, le mouvement de la matire
est transversal, perpendiculair e la direction de propagation. Exemples :
- impulsion sur une corde tendue
- la lumire (onde lectro-magntique)
c) une onde mixte : est une combinaison de a et b.
- exemple :
verticale, mais aussi une composante horizontale (reflux).
Le milieu de propagation.
On distingue :
a) onde une dimension : la corde, le ressort.
b) onde deux dimensions
c) onde trois dimensions : les ondes sonores, les ondes sismiques.
2. LES ONDES MECANIQUES PROGRESSIVES
Une onde progressive est une perturbation qui se dplace dans un milieu lastique sans altration de sa
forme et vitesse constante.
est une constante, la vitesse de dplacement dx
vdt
(onde une dimension) est galement constante.
Exemples :
- impulsion sur une corde tendue
- ondes sonores
- dformation sur un ressort boudin.
Expression mathmatique
On choisit une onde de dformation dcrite par une fonction mathmatique y f x , qui se propage
dans un milieu une dimension (axe des x). En t 0 , elle se trouve enx 0. Aprs un certain temps t,
a (fig. 29). La premire hypothse impose que
-
52MPHY B110 (Houssiau) - -
:
y = f(x-a)
(attention au signe "" qui reprsente bien un dplacement vers la droite)
La seconde hypothse indique que la vitesse de propagation est constante, soit dx x
v cstedt t
.
On aura donc la relation :
a = vt
sera dcrite en toute gnralit par :
y f x vt
e des x) sera reprsente par :
y f x vt
Attention nouveau au signe, ici "+" pour un dplacement vers la gauche !
vitesse de phase
pour tous les points de la dformation, puisque celle-ci est de forme constante.
deux variables : une
x et une variable temporelle t, et bien sr ces deux paramtres peuvent varier en
mme temps !
Si on imagine :
a) que 0t fix t , on obtient 0y f x vt f ' x
une image de la dformation.
b) que 0t fix x , on obtient y f x vt f ' vt
-
53MPHY B110 (Houssiau) - -
un cran, avec une fente mince en 0x x : on voit alors dfiler devant soi la
dformation f ' vt .
Figure 29
3. ONDE SINUSODALE PROGRESSIVE
Considrons prsent le cas particulier des ondes de forme sinusodale. La plupart des ondes
priodiques peuvent se modliser, en premire approximation, par des ondes sinusodales. Nous
En toute gnralit, une dformation sinusodale :
y = y0 sin (kx+)
et se reprsente comme la figure 30.
Figure 30
La constante de phase , traduit que la fonction sinusode ne passe pas ncessairement par zro
x 0. Nous considrerons par la suite que onc simplement
-
54MPHY B110 (Houssiau) - -
y = y0 sin (kx)
La de cette sinusode est la distance remarquable qui spare deux abscisses pour
deux minima ou, plus
gnralement, entre deux points de mme phase successifs.
lettre grecque (lambda).
, on peut rcrire :
y(x+ )=y(x) y0 sin(kx+k ) = y0 sin (kx),
: k =2
On aboutit donc la relation:
2
k
Le nombre k est appel .
ale progressive (OSP), nous appliquons la
formule y f x vt .avec la fonction de dformation y=f(x) de la forme : y = y0 sin kx.
Si une onde sinusodale se dplace sans se dformer et vitesse constante vers les abscisses x
positives, on applique les rsultats du paragraphe 2 pour poser que sa reprsentation mathmatique
doit tre :
y = y0 sin[k(x-vt)]= y0 sin[kx-kvt)]
Le terme kv 2 v/ Montrons que ce terme vaut aussi , la pulsation.
:
priode (priodicit temporell , se
exactement /v. Le passage de ce cycle correspond au mouvement de va-et-vient de la matire pendant
exactement une priode. On crira donc :
T= /v
: = v/
-
55MPHY B110 (Houssiau) - -
On voit donc bien que
kv=2 v/ =2 = /T=
sodale progressive, se dplaant de
gauche droite :
0y y sin kx t
signes donc:
y = y0 sin (kx+ t)
Ces relations trs importantes permettent de reprsenter mathmatiquement des ondes sonores. y
4. VITESSE DES ONDES, VITESSE DU SON
La pro
que le coefficient propre au solide dcrivant son lasticit est le module de Young Y. Rcrivons la
loi de Hooke :
V produite
:
Ce qui se lit une variation de pression p sur un fluide induit une variation de volume V due la
compressibilit du fluide . Clairement, une compression (p>0) produit une diminution de volume
( V
-
56MPHY B110 (Houssiau) - -
Il est possible de dmontrer que la vitesse du son dans les fluides ne dpend que de leur lasticit
en volume (K) et de leur masse volumique (). La formule de la vitesse du son est :
K
v
Un K lev (faible compressibilit)
favorise des vitesses du son leves, une masse volumique leve (haute densit) favorise des
vitesses du son lentes.
Applications :
:
340 m/s (valeur retenir !). Le
son se propage plus vite quand la temprature augmente
donc
-50C, le son se propage 294 m/s.
:
Donald Duck
Vitesse du son dans un solide
peut tre visualise
par un pendule lger. Si le solide est caractris par sa masse spcifique et son module de Young Y, on
montre que la vitesse du son dans le solide vaut :
Y
v
:
- v (caoutchouc) 50 m/s (record infrieur)
- v (basalte) 6000 m/s (record suprieur)
propage
-
57MPHY B110 (Houssiau) - -
- v (eau sale) 1500 m/s
- v (sang) 1560 m/s
- v (graisse) 1450 m/s
- v (muscle) 1600 m/s
- v (os) 2700 4100 m/s
-
Soit une corde de masse linaire l (kg/m), soumise une tension T. Si une impulsion est
cre sur la corde, elle va se propager une vitesse v qui vaut :
l
Tv
On vrifie facilement par y
dplacera plus vite. Cette formule sera importante par la suite pour comprendre la production des
sons par les instruments de musique corde, mais aussi par les cordes vocales.
5. ENERGIE ET INTENSITE DES ONDES SINUSOIDALES PROGRESSIVES
Dfinitions
--dire une puissance :
puissance de la source (haut-
intensit
onde se dfinit donc ainsi :
a t cr dcode
Toutefois, il est montr que
l
Ainsi, pour une masse attache au ressort (oscillateur harmonique) qui oscille de faon sinusodale 2kx
2, --dire elle est proportionnelle au
-
58MPHY B110 (Houssiau) - -
2mv
2 , etc.
nde sonore
transporte par seconde vaut :
2 20dE 1
A y vdt 2
(watt)
onde dpend
1) 20y (important !);
2) 2 2 24 .
de
surface. Elle vaut donc :
2 2
0
dE 1 1I . v y
dt A 2 (watt/m)
source est de di
R), R tant la distance de la source par
:
o vibration de
nce de la source : .
-
59MPHY B110 (Houssiau) - -
1. LA PRESSION ACOUSTIQUE OU PRESSION SONORE
Les ondes sonores ont t dcrites
au mouvement naturel de
(voir chapitre 14)
considrer comme une onde de pression.
variations de pression qui se propagent la vitesse du son. Ce sont ces variations de pressions qui sont
rellement dtectes par nos tympans ou par un microphone. La pression acoustique (ou sonore) est
p. --
pression atmosphrique.
Qualitativement, on remarque que si le dplacement de type sinusodal, la
pression sonore P varie cosinusodalement : il y a donc un dphasage de 2
entre le dplacement et la
pression sonore : l
vice-versa (figure 31). Ce rsultat
On peut dmontrer (non vu au cours) que, une onde sonore de dplacement
Correspond une onde de pression
/
amplitude y0, la pression acoustique sera
est leve.
Ordres de grandeur
Une onde sonore est un phnomne en ralit s faible et il est mme tonnant que notre
oreille y soit sensible. En effet, un son de 1000 Hz et de 60 dB (voir plus loin), correspondant une
0 = 10-8 m (10 nm !) et
une pression acoustique maximale po= 3.10-2 Pa. En comparaison, la pression atmosphrique vaut 105
Pa !
-
60MPHY B110 (Houssiau) - -
Figure 31
2. LES ONDES STATIONNAIRES
Rflexion sur une extrmit fixe
Sur une corde une onde progressive se propage de la droite vers la gauche; si en la coordonne ( ,
l o la corde est fixe), cette onde rencontre un plan parfaitement rigide (de module de Young ),
il rsulte (voir exprience du cours) de la
collision de londe avec cet obstacle, une onde rflchie qui se propagera - dans ce cas prcis - de la
droite vers la gauche.
i 0iy y sin kx t ,
rflchie sera r 0ry y sin kx t dformations en
( x 0) de la corde est donne par :
i r 0i 0ry y y y sin t y sin t
0i 0ry sin t y y
Comme y (en ) doit tre nulle, on dduit que :
0i 0ry y
--
onde sinudodale.
x 0
x 0
-
61MPHY B110 (Houssiau) - -
chie. La rsultante vaut :
i ry y y
0y y sin kx t sin kx t
:
0y 2y sinkxcos t
e
mme fonction comme dans f x vt
une onde stationnaire.
et ventres :
Les s de l onde se produisent aux endroits o lamplitude y est nulle (interfrence destructive). Il
faut donc rsoudre lquation trigonomtrique suivante :
Les ventres de londe se produisent aux endroits o lamplitude de londe est maximale (interfrence
constructive), cest--dire l o sin kx vaut 1 ou -1 :
Corde fixe deux extrmits
Supposons que la corde soit (figure 32).
Figure 32
Il faut que l, en tout temps, la corde ne puisse bouger, donc :
x L
-
62MPHY B110 (Houssiau) - -
0y x L 0 2y sinkLcos t
:
sinkL 0
soit encore : kL n (n = nombre entier)
Sachant que 2
k , on crira encore :
2
L n
2L
ou L nn 2
En se rappelant que v , on dduit que :
v n
.v2L
(avec )
Donc : v
n2L
avec
la corde vibre des frquences particulires :
Pour n=1 : (Frquence fondamentale),
Pour n=2 : 2 = 2. 1 (1re harmonique),
Pour n=3 : 3 = 3. 1 (2me harmonique),
Etc.
Le fait que la corde soit fixe en ses deux extrmits (ce sont des conditions aux limites)
soumise une excitation priodique rsulte en une quantification du problme : les ondes ne peuvent
exister sur cette corde que pour des frquences bien particulires.
Les modes de vibration de la corde
Suivant les valeurs prises par le nombre entier (le nombre quantique) n, diffrentes vibrations vont
rsider sur la corde.
- mode fondamental :
Tv
n 1,2,...i
n 1
-
63MPHY B110 (Houssiau) - -
Si , 2Lou L2
.
dans le temps, selon une loicos t.
- harmonique : n 2
Si n 2, L . La figure 32 rapporte quelques tats particuliers de cette vibration de la corde ; cette
- harmonique : n 3
Si n 3 ; 2
L3
, 3
L2
a figure 32;
Figure 32
Une corde tendue est fixe en , libre en x 0 (figure 37). On montre graphiquement que la
long
4L 1
ou L 2n 12n 1 4
On dduit encore que diffrentes frquences de vibration peuvent exister sur la corde, selon v
.
De nouveau, la corde va vibrer des frquences particulires :
n 1
x L
-
64MPHY B110 (Houssiau) - -
Si n 0 0
v
4L : mode fondamental
Si n 1 1 03 : 1
re harmonique
Si n 2 2 05 : 2
nd harmonique
(On remarque que les harmoniques sont des multiples impairs du mode fondamental).
Modes stationnaires
- mode fondamental : n 0
Lorsque n vaut 0, on calcule que 4L ou 1
L4
; la dformation est un quart de cosinusode sur
a pas de dformation (x L ), l o elle est libre, il y a une
dformation (x 0) (figure 33a).
Ce mode prsente un ventre et un noeud.
- Premire harmonique : n 1
On dduit que 4
L3
ou3
L4
: sur la corde se dveloppe 3
4
(figure 33b).
Ce mode prsente deux noeuds et deux ventres.
On note que ces modes de vibration comportent toujours un ventre Au total il y a (
n 1) noeuds et (n 1) ventres.
(a) n=1 (b) n=2
Figure 33
-
65MPHY B110 (Houssiau) - -
1. OBSERVATIONS EXPERIME NTALES
s par des corps en oscillation ; exemples : (1) le
-
v
petit bouchon trs lger : si un marteau heurte la coupe (et produit un son), le bouchon oscille
priodiquement ...
lectriques priodiques, de frquence variable, connect un haut-
humaine) sont dans la gamme 20 Hz 20 000 Hz. En dessous de 20 Hz se trouvent les infra-sons telles les
ondes sismiques, au-dessus de 20kHz est la gamme des ultra-
vo v = 340 m/s : elles sont respectivement de 17m et de
1,7cm. Certai -sons : le chien (sifflet ultra-sons),
la chauve-souris ( 120kHz), le marsouin ( 200kHz).
puisse tre produit et se propager : le son
r, le
son se propage dans tout solide et dans tout fluide.
Exprience du cours : une sonnette dans une cloche
2. PROPRIETES PHYSIQUES ET EFFETS PHYSIOLOGI QUES DU SON
Un gnrateur de frquence variable reli un haut-parleur et un oscilloscope montre que trois
paramtres sont dfinir pour caractriser entirement un son. Ce sont :
a) le volume sonore,
o Cette intensit est lie la
pression sonore puisque 0p Kky cos kx t .
ressentie comme un son plus faible.
-
66MPHY B110 (Houssiau) - -
b) la hauteur sonore --dire le nombre
de dformations par seconde ; units : s-1
frquence comme un son aigu, une basse frquence comme un son grave. c) le timbre -
-dire la valeur mathmatique de la fonction f dansy f x vt
timbres diffrents lorsque un mme son (intensit et hauteur identique) est produit par
des instruments diffrents : on parle donc ici de distinguer le la produit par un piano
ou par une flte bec. Un son pur est produit par une fonction de dplacement
e produira un son plus
Thorme de Fourier (voir PowerPoint):
Tout phnomne priodique,
des multiples de la frquence du phnomne .
3. INTENSITE PHYSIQUE ET PHYSIOLOGIQUE : LA REPONSE AUDITIVE
fort sur celle du son le plus faible est 1012). Pourtant la rponse auditive est assez subjective,
pu tre dgages.
Courbes de Fletcher
Soit une source sonore dfinie
- 2) qui est audible. Pour une
frquence de 1000 Hz, ce seuil correspond -12 W/m2.
5P 3 10 N/m2111.10
une valeur extr -10
-10 W/m2. La courbe de Fletcher (figure 34) montre comment ce seuil dpend
la frquence.
- un seuil de douleur
ce seuil correspond quelques W/m2 2, ou
encore un dplacement maximal de 10-5 m.
-
67MPHY B110 (Houssiau) - -
Figure 34
Figure 35
Les courbes isosoniques de Fletcher-Munson (Figure 35) donnent encore une information plus dtaille.
Chaque courbe reprsente une ligne
attnuation des basses et hautes frquences. On dfinit ainsi une nouvelle unit, le Phone, qui
exemple, on voit que 30 phones correspondent 45 dB 100 Hz
La loi de Fechner
-
68MPHY B110 (Houssiau) - -
Attention ne pas confondre Gustav-Theodor FECHNER avec Harvey FLETCHER !
Fechner a montr que
:
La sensation physiologique crot proportionnellement au loga
UNITES D INTENSITE
Puisque les intensits sonores perceptibles varient dans une gamme extrmement large, on utilise
naturellement une
logarithmique.
Si I et 0I sont deux intensits sonores, dont la seconde est prise comme niveau de rfrence (qui doit
vaut :
100
Ilog
I o est exprim en bels
dcibel, dfini selon
100
In 10log
I (en dcibels ou dB)
ent entre le seuil daudibilit, soit 100
In 10log 0
I
dB et le seuil de douleur soit 100
In 10log 120
IdB.
Ci-
avion reaction 150 dB
marteau pic 130 dB
Tonnerre 120 dB
avion hlice 110 dB
-
69MPHY B110 (Houssiau) - -
mtro, tondeuse gazon 100 dB
+ 90 dB : il faut se protger les oreilles
circulation intense 80 dB
conversation normale 65 dB
poste de radio (normal) 40 dB
ville calme, chuchotement 30 dB
bruissement de feuilles 10 dB
4. OREILLE
-
nerveuses) dcoder par le cerveau. Le cerveau analyse et reconnat les diffrentes frquences,
xterne, l (figure 36).
Figure 36
u conduit auditif, un tuyau acoustique de 2
mm2 ; il est presque en appui total sur le marteau.
-
70MPHY B110 (Houssiau) - -
-ci puisse vibrer
an produit une impression de
douleur, les pressions sont mal quilibres entre les oreilles externe et moyenne et on peut y remdier
facilement en dglutissant).
(figure 37) : le long bras de le
sur le tympan, le petit bras sur la fentre ovale -
augmentant la pression sur cette membrane
lastique et compressible; la fentre ovale est en contact avec le prilymphe, liquide lourd,
incompressible et peu lastique.
Figure 37
semi-circulaires et la cochle ou limaon. Les canaux semi-circulai
un conduit enroul sur lui-
mme comprenant deux canaux remplis de fluide (figure 38) : les rampes vestibulaire et tympanique
environ 30.000 terminaisons nerveuses sont en connexion avec le nerf cochlaire.
t ovale
produire un mouvement de la fentre ronde (ce mouvement sera inverse de celui de la fentre ovale).
--dire que le canal cochlaire est sollicit : cette dformation des membranes de
a aussi remarqu que des sons de frquences di
-
71MPHY B110 (Houssiau) - -
(figure 39) est le sige
sont
de frquence plus basse (mouvement des membranes).
Figure 38
Figure 39
-
72MPHY B110 (Houssiau) - -
1. IMAGERIE PAR ECHOGRAP HIE
Les ultra
pour les ti
et comme outil de chirurgie se multiplient galement.
Rflexion et transmission des ondes sonores
Nous avons tudi le cas extrme ou une onde sonore se rflchit sur une extrmit fixe : dans ce cas
- En
exactemen
rflchie est appele coefficient de rflexion R et la fraction
acoustique (Z), dfinie comme le produit de la vitesse de propagation du son et de la masse volumique :
Z = .v
Plus la diffrence entre les impdances acoustiques des milieux 1 (Z1) et 2 (Z2) est grande, plus le
coefficient de rflexion est lev. Cet effet est rsum par les deux quations suivantes (non vues au
cours) :
2
1 2
1 2
Z ZR
Z Z et 1 2
2
1 2
4Z ZT
Z Z
Absorption des ondes sonores
pas mais se dissipe sous forme de chaleur. Ce phnomne est li la viscosit des fluides (voir chapitre
frquence est leve : ainsi, les sons plus graves ( les basses ) sont perceptibles de loin car ils sont
-
73MPHY B110 (Houssiau) - -
Localiser un objet, mesurer une distance
Les ultra-
missions successives, l e
Cette technique est connue sous le nom de radar (utilise une onde lectromagntique) ou de sonar
(utilise les sons et ultra-sons).
la frontire de deux milieux de densits proches, voir figure 40.
Figure 40
ible de mettre profit un balayage de la source ultrasonore
autour de la rgion tudier, et de produire une image deux (ou pseudo trois) dimensions. On arrive
examen aux rayons X est tout fait proscrit).
Pourquoi des ultrasons ?
? La raison principale est la
diffraction
cherchera visualiser des dtails anatomiques infrieurs si possible 1 mm, ce qui suppose une
: < 10-3 m. Par consquent, la frquence (=v/ ) doit tre
suprieure 1,5 MHz
effet :
trop importante trs haute frquence (>>10 MHz) et les ondes ne pntrent plus suffisamment
profondment dans le corps. Un bon compromis entre rsolution et absorption se situe autour de 8
MHz.
-
74MPHY B110 (Houssiau) - -
Production des ultra -sons : la sonde mettrice rceptrice
Pour rappel, les ultra-sons sont des ondes sonores de frquence suprieure 20.000 Hz. On peut
produire couramment des ultrasons jusque dans la gamme des gigahertz (109 -
sons sont utilises de manire routinire, les cristaux magntostrictifs et les cristaux piezzolectriques.
La magntostriction variable, un barreau de Fer (ou de
Nickel) se magntise la mme frquence et sa longueur varie (vibre) la mme frquence.
La piezzolectricit : un cristal piezzolectrique (quartz par exemple) soumis une diffrence de
potentiel voit ses atomes subir un dplacement dans la direction du champ ; il en rsulte une
dformation mcanique macroscopique et si le champ extrieur appliqu varie priodiquement, le cristal
de quartz se met vibrer. En appliquant une diffrence de potentiel alternative haute frquence
(>1MHz), le cristal produira des ultrasons. De plus, la piezzolectricit est rversible : en exerant une
contrainte mcanique (compression ou traction) sur le cristal, une diffrence de potentiel se dveloppe
ses extrmits. Ainsi, les va
! phie sont constitues de
rseaux complexes de cristaux piezzolectriques, soumis des tensions alternatives qui peuvent tre
2. EFFET DOPPLER-FIZEAU
que audible) et un observateur
(dtectant ce son) sont en mouvement relatif
note - toute abstraction faite de - que la frquence
On supposera ici que le mouvement se fait selon une droite qui joint source et observateur.
Source sonore fixe Observateur mobile
Soit (figure 41) une source sonore S ponctuelle, au repos, mettant une onde, reprsente sous forme
uence . Selon v
conde. 0v , en direction
de la source), il va
-
75MPHY B110 (Houssiau) - -
0tv en t secondes, il peroit un nombre additionnel tv0
par seconde, la frquence apparat modifie de 0v
(nombre positif)
'
soit encore 0 0v v vv
'
0v v
'v
puisque v
seconde ; la
frquence perue sera diminue selon :
0v v
'v
En toute gnralit, lors0v une source
immobile, la frquence enregistre est :
0v v
'v
quation avec le signe
Figure 41
2. OBSERVATEUR FIXE SOURCE EN MOUVEMENT
que la source se dplace
avec une vitesse sv , en mettant une onde sonore dcrite par v , la frquence dtecte vaut :
-
76MPHY B110 (Houssiau) - -
s
v'
v v
- rsque la
plus grave).
En effet, on observe sur la figure 42
e gale vs T. La
-vs)T. Ds lors,
la frquence perue vaudra :
ss v-v
v
)Tv-(v
v
v
s)T et donc
ss vv
v
)Tv(v
v
v
Figure 42
Doppler pour
dterminer la vitesse de dplacement de la source ou de .
-
77MPHY B110 (Houssiau) - -
Contrle de la vitesse des voitures par radar (Doppler) de la police de vitesse c vers une voiture qui
v' 1
c mais la voiture rflchit
une partie de cette onde vers le radar, donc est une source mobile, par rapport au radar dtecteur fixe.
Les ondes reues en retour par le radar seront de frquence
2v v 2v
'' ' 1 1 1c c c
En crivant '' , on obtient :
v
.2c
qui permet bien de dterminerv2
c, --dire la vitesse du vhicule, partir de la mesure du
dplacement de frquence Doppler .
Doppler (ou dbitmtre) un vaisseau
(figure 43). Le son mis par la source est rflchi par les composants du sang (les globules rouges) en
mouvement. Si
:
c 1
v2 cos
soit pour = 8 MHz, = 15, v = 100 mm/s, 1kHz
--
audible.
Exprience du cours : audition des battements cardiaques.
Figure 43
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78MPHY B110 (Houssiau) - -
1. FLUIDE : DEFINITION
Nous vivons d
liquides en gnral. Par opposition aux corps solides (indformables), les fluides se caractrisent par leur
proprit de u rcipient
est--
deuxime --dire les relations entre les mouvements du fluide et les
forces appliques.
crira par un coefficient de viscosit.
Au dpart, des fluides idaux seront tudis. Par liquide idal, on entend un matriau incompressible et
sans viscosit e
volume du liquide est constant (V 0 ) ; donc un liquide idal a une masse spcifique (masse par unit
de volume) constante, et son coefficient dlasticit en volume est infini (K ). Labsence de viscosit
su
que les molcules de liquide glissent les unes sur les autres, sans aucune force de frottement. Un gaz
idal, ou gaz parfait, obit la loi connue de Boyle-Mariote,pV nRT
- mme idal - est compressible et sa masse
spcifique varie en consquence. Pour un gaz idal, on suppose en plus que la viscosit est nulle.
2. LE CONCEPT DE PRESSION DANS UN FLUIDE AU REPOS
a) forces normales
rsultante des moments nulle. Un solide indformable au repos sur une surface lisse ne peut pas tre
soumis une force tangentielle (parallle cette surface), car celle-ci provoquerait un dplacement du
solide. Le solide sera au repos si la force normale (perpendiculaire la surface) est compense par une
force de raction quivalente.
Dans un fluide au repos, il ne peut y avoir aucune force tangentielle sur les molcules constituant le
est toujours horizon
provoquerait un cisaillement et donc un mouvement des molcules.
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79MPHY B110 (Houssiau) - -
La pression (dans un fluide) est dfinie comme la force normale une surface, exprime par unit de
surface. 2 :
21Pa 1Nm
Puisque par dfinition le fluide est au repos, toute pression existant sur/dans le fluide se transmet
toute surface intrieure (relle ou hypothtique) ou
provient cette pression ? Le fluide est compos de molcules qui sont dans un tat perptuel de
une paroi du rcipient qui contient le fluide, son vecteur vitesse change de direction ; donc une force est
exerce, donc tout fluide exerce une pression sur son contenant.
Dans un fluide, existe une pression due la pression atmosphrique et au poids du fluide lui-mme :
cette pression est toujours normale un lment de surface du fluide, quelle que soit cette surface
(hypothtique ou relle).
En particulier les forces dues la pression exerce par le fluide sur une paroi du rcipient doivent tre