8/3/2019 S.V. Astashkin- Multiple Rademacher Series in Rearrangement Invariant Spaces

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F u n c t i o n a l A n a l y s i s a n d I t s A p p l i c a t i o n s , V o l . 3 3 , N o . 2 , 1 9 9 9

M u l t ip l e R a d e m a c h e r S e r ie s i n R e a r r a n g e m e n t I n v a r i a n t S p a c e ss . v . A s t a s h k i n U D C 5 1 7 . 9 8 2 . 2 7L e t

r k ( t ) = s ign s in 2k - 17 r t ( k = 1 , 2 , . . . )b e t h e s y s t e m o f R a d e m a c h e r f u n c t i o n s o n t h e i n te r v al I = [0 , 1 ]. W e s h a ll c o n s i d e r t h e s e t o f f u n c ti o n s x ( t )r e p r e s e n t a b l e i n t h e f o r m

x ( t 7 ---- E a i d r i ( t ) r j ( t ) ( t E I ) . (1 )~ jJ u s t a s i n t h e c a s e o f t h e u s u a l R a d e m a c h e r s e ri e s (e . g ., s e e [1 , p p . 1 4 8 - 1 5 0 o f t h e R u s s i a n t r a n s l a t i o n ] ) ,

t h e s e r i es ( 1 ) c o n v e r g e s a l m o s t e v e r y w h e r e o n I ( i. e. , t h e r e e x i s t s a l i m i t o f i t s r e c t a n g u l a r p a r t i a l s u m s ) i fa n d o n l y i f t h e s e q u e n c e o f co e f fi c ie n t s a = ( a i , j ) i # j b e l o n g s t o t h e s p a c e t 2 .T h e s y s t e m { r i r j } i r i s o r t l m n o r m a l o n I b u t t h e f u n c t i o n s f o r m i n g t h i s s y s t e m a r e n o t i n d e p e n d e n t ,i n c o n t r a s t w i t h t h e u s u a l R a d e m a c h e r s y s t e m . N e v e r th e l e s s, t h e p r o p e r t i e s o f t h i s s y s t e m i n m a n y r e s p e c t sa r e s im i l a r t o t h o s e o f s y s t e m s o f i n d e p e n d e n t u n i f o r m l y b o u n d e d f u n c t i o n s . F o r e x a m p l e , t h e c o n d i t i o n~ ' ~ i C j ai2,j < ~: ) i m p l i e s t h e i n t e g r a b i l i t y o f t h e f u n c t i o n e x p ( a l x ( t ) l ) f o r a n y ~ > 0 [2 , p . 1 0 5]. A t t h e s a m et i m e , t h e r e a r e a l s o e s s e n t i a l d i f f e r e n c e s t h e r e . F o r e x a m p l e , t h e m u l t i p l e s y s t e m { r i r j } i r i s n o t a S i d o ns y s t e m [ 3] . T o c a r r y o u t a m o r e c o m p r e h e n s i v e s t u d y o f i t s p r o p e r t i e s ( in p a r t i c u l a r , o f t h e i n t e g r a b i li t y o ft h e s e r i es ( 1 )7 , w e s h a l l c o n s i d e r g e n e r a l r e a r r a n g e m e n t i n v a r i a n t s p a c e s .

L e t u s r e c al l t h a t a B a n a c h s p a c e X o f L e b e s g u e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s x - -- x ( t ) on I i s ca l led ar e a r r a n g e m e n t i n v a r i a n t s p a c e i f t h e r e l a t i o n s x * ( t ) 0 : S d r < . 1 < o c .

I f ~ (t ) i s a n o n n e g a t i v e i n c re a s i n g c o n c a v e f u n c t i o n o n ( 0, 1 ], t h e n t h e M a r c i n k i e w i c z s p a c e M ( ~ )c o n s i s ts o f a ll m e a s u r a b l e f u n c t i o n s x - x ( t ) s u c h t h a t }lXtlM(~) -- s u p x * ( s ) d s : 0 < t

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R e m a r k 1 . T h e o r e m 1 s h o w s t h a t t h e a s se r t io n o n t h e e x p o n e n t i a l i n t eg r a b i li t y o f m u l t i p le R a d e m a c h e rs e ri e s i n t h e b e g i n n i n g o f t h e p a p e r i s s h a r p .

R e m a r k 2 . F o r t h e u s u a l R a d e m a c h e r s y s te m , a s i m i l a r r e s u lt h o l d s w i t h H r e p l a c e d b y t h e c l o su r e Go f t h e s p a c e L c r i n t h e O r l i cz s p a c e L N , w h e r e N ( t ) - e t2 - 1 [5].

2 . T h e c o m p l e m e n t a b i l i t y o f t h e s u b s p a c e g e n e r a t e d b y t h e m u l t i p l e R a d e m a c h e r s y s t e m .R e c a l l t h a t t h e n o r m o f a r e a r r a n g e m e n t i n v a r ia a t s p a c e X is s a i d to b e o rd e r se mic o n t in u o u s i f t h em o n o t o n e c o n v e r g e n c e x n ( t ) T x ( t ) a s n ~ o c a h n o s t e v e r y w h e r e o n I ( x ,, > / 0 , x E X ) i m p l ie s t h e r e l a t i o nl l x n l l x - " I l x l I x

L e t ~ . ( X ) b e t h e s u b s p a c e o f a r e a r r a n g e m e n t i n v a r i a n t s p a c e X c o n s is t in g o f a ll f un c t io , ts o f t h e f o r m( 1) s u c h t h a t x E X .

T h e o r e m 2 . Le t X b e a re a rra n g e m e n t i n v a r ia n t sp a c e wi th o rd e r se m ic o n t in u o u s n o rm . Th e su b sp a ce~ ( X ) i s c o m p l e m e n t ed in X i f a n d o n ly i f H C X C H * .

R e m a r k 3 . It f o ll o w s f r o m t h e t h e o r y o f O r l i c z s p a c e s [ 6] t h a t H * = L ~ ) , w h e r e ~I ( u ) u - I I n - 1 u --* 1a s u - -* + o o .

R e m a r k 4 . I t is w e l l k n o w n t h a t t h e s u b s p a c e g e n e r a t e d b y th e u s u a l R a d e m a c h e r sy s t e m is c o m p l e -m e n t e d i n a r e a r r a n g e m e n t i n v a r i a n t s p a c e X w i t h o r d e r s e m i c o n t i n u o u s n o r m i f a n d o n l y if G C X C G * ,w h e r e G * = L F ~ , N ( t ) u - 1 1 n - 1 / 2 u ~ 1 a s u ~ + o c ( s e e [7 ] o r [ 8, 2 . 5 . 4 ] ) .

3 . T h e m u l t i p l e R a d e m a c h e r s y s t e m i n r e a r r a n g e m e n t i n v a r i a n t s p a c e s " c l o s e " t o L o o . T h eb e h a v i o r o f t h e m u l t i p l e R a d e m a c h e r s y s t e m i s f a r m o r e c o m p l i c a t e d in t h e s p a c e L c ~ a n d s p a c es " c l o se "t o i t . 8 nF o r a r b i t r a r y n E N a n d 8 = { i ,J}i , j=l, 8i , j - + 1 , w e s e t

I1on(O) = Oi,jrirj ,/ , j --1 oow h e r e II " I Ic ~ i s t h e n o r m o n L c r

I t f o l l o w s f r o m t h e d e f i n i t i o n o f R a d e m a c h e r f u n c t i o n s t h a t s u p e ~p ,~(0 ) i s a t t a i n e d a t 0 i ,j = 1 ( i , j =1 , . . . , n ) a n d is e q u a l t o n 2 .

T h e o r e m 3 . T h e f o l lo w i n g e s t i m a t e s h o ld w i t h c o n s t a n t s i n d e p e n d e n t o f n E N :~ ( ~ ) 2 - ~ ~ V ~n (8 ) n f n3/2 .o o

R e m a r k 5 . I n p a r t i c u l a r , i t f o ll ow s f r o m T h e o r e m 3 t h a t t h e s y s t e m ( r i r j } i C y i s n o t a S i d o n s y s t e mo n t h e i n t e r v a l I . E a r l i e r t h i s s t a t e m e n t w a s p r o v e d i n [ 3].

A b a s i s s e q u e n c e (X n} nC r i n a B a n a c h s p a c e X i s s a i d t o b e u n c o n d i t i o n a l i f t h e c o n v e r g e n c e o f a s e r i e s~'~.n~__l a n x n (a n E ]R) i n X i m p l i e s t h e c o n v e r g e n c e i n X o f t h e s e r i e s ~]~cr 8 n a n x n f o r a r b i t r a r y s i g n s8 n = - ! -I ( n ---- 1 , 2 , . . . ) .

I n v i e w o f T h e o r e m 1, t h e m u l t i p l e R a d e m a c h e r s y s t e m is n o t o n l y u n c o n d i t i o n a l b u t a ls o s y m m e t r i ci n a r e a r r a n g e m e n t i n v a ri a x tt s p a c e X i f X D H . T h e s i t u a t i o n i s c o m p l e t e l y d i f f e r e n t fo r s p a c e s " cl o se "t o L c ~ . W e s u g g e s t af t a p p r o a c h t h a t p e r m i t s o n e t o u n d e r s t a n d t o w h a t e x t e n t t h e m u l t i p l e s y s t e m is n o tu n c o n d i t i o n a l i n t h e se s p a ce s .ooF o r a n y ' s i g n s O = { i ,j } i , j = l , O i ,j = 4 -1 , o n ~ . ( L o o ) , w e i n t r o d u c e t h e o p e r a t o r

T o x( t) = ~ O i , j a i , j r i ( t ) r j ( t ) ,w h e r e i # j

9 ( t ) = a jr ( t )rAt) e a = ei# j14 2

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T h e o r e m 4 . F o r a r b i t r a r y 0 < e < 1 /2 , t h e r e ex i s ts a ch o i ce o f s i g n s 8 = { S i , j} s u ch t h a tTo: ~ ( L ~ r -/4 M ( ~ ) ,

w h e r e M ( ~ e ) i s t he M a r c i n k i e w i c z s p a c e w i t h ~ ( t ) = t l og i2 /s -~ ( 2 / t ) .U s i n g t h i s t l m o r e m a n d t l m r e s u l t s o f [ 5] , w e o b t a i n t h e f o ll o w i ng s t a t e m e n t .C o r o l l a r y . I f p 6 [1, 2), t h e n t h e r e i s n o r e a r r a n g e m e n t i n v a r i a n t s p a c e X f o r w h i c h

i# j I IX iCjR e m a r k 6 . T h e s i t u a t i o n f o r t h e u s u a l R a d e m a c h e r s y s t e m i s c o m p l e t e l y d i ff e re n t [5 , 9 ]. F or e x a m p l e ,i t was p r o v ed in [9] t h a t f o r an y seq u en c e sp ace E th a t i s an in t e r p o la t io n sp ace b e tw een l i an d 12, t h e r e

e x i s t s a r e a r r a n g e m e n t i n v a r i a n t s p a c e X o n I s u c h t h a tI I = I I ( c j ) l l -"= Cjrj XI n th e p r o o f s o f T h e o r e m s 1 - 4 , t h e m a i n i d e a is to s e p a r a t e t h e v a r i a b le s . T h i s m e a n s t h a t , i n s t e a d o ft h e f u n c t io n s ( 1 ) , w e c o n s i d e r f u n c t i o n s o f t h e f o rm

y ( s , t ) = E b i , j r i ( s ) r j ( t ) ( s 6 I , t E I ) . (2 )S t a t e m e n t s s i m i l a r t o T h e o r e m s 1 - 4 h o l d f o r f u n c t i o n s o f t h e f b r m ( 2 ) a n d f o r t h e r e a r r a n g e m e n t i n v a r i a n ts p a c e X ( I I ) o n t h e s q u a r e I x I .

R e f e r e n c e s1 . S. K a c z m a r z a n d H . S t e i n h a u s , T h e o r i e d e r O r t h o g o n a l r e i h e n , W a r s z a w a - L ' w o w , 1 93 5.2 . M . L e d o u x a n d M . T a l a g r a n d , P r o b a b i l i t y i n B a n a c h s p a c e s , S p r i n g e r- V e r l ag , 19 91 .3 . A . M . P l i c h k o a n d M . M . P o p o v , S y m m e t r i c f u n c ti o n s p a c es o n a t o m l e s s p r o b ab i li t y s p a c e s, D i s s . M a t h .

Warszawa, 1990 .4 . S . G . K r e i n , Y u . I. P e t u n i n , a n d E . M . S e m e n o v , I n t e r p o l a t i o n o f L i n e a r O p e r a to r s , A m e r . M a t h . S o c . ,Prov iden ce , R .I . , 1982 .5 . V . A . R o d in a n d E . M . Sem en o v , An a l . M a th . , 1 , No . 3 , 2 0 7 - 2 2 2 ( 1 9 7 5 ).

6 . M. A . K r asn o se l ' sk i i an d Y a . B . R u t i ck i i , C o n v ex Fu n c t io n s a n d Or l i cz Sp aces , P . N o o r d h o f f L td . ,Gr o n in g en , 1 9 6 1.7 . V . A . R o d in an d E . M. Se m e n o v , Fu n k t s . An a l . P r i l o zh en . , 1 3 , No . 2 , 9 1 - 9 2 ( 19 7 9) .

8 . J . L in d en s t r a u ss an d L . Tz a f r i r i, C la ss i ca l B an ach S p aces , Vo l. 2 , Fu n c t io n Sp aces , Sp r in g e r - Ver l ag ,Berlin, 1979.9 . S . V . As ta sh k in , I zv . R A EN , Se r . M M M I U, 1 , No . 1 , 1 8 - 3 5 ( 1 9 9 7 ) .

T r an s l a t ed b y S . V . As ta sh k in

143