REND. SEM. MAT. UNIVERS. POLITECN. TORINO

Vol. 33° (1974-75)

SERGIO BENENTI

SULL'ALGEBRA DI CLIFFORD E SULLA STRUTTURA TENSORIALE DELLE ROTAZIONI

IN UNO SPAZIO VETTORIALE REALE A QUATTRO DIMENSIONI (.*)

SUMMARY. - In a four dimensional real vector space E± with a metric tensor we analyse the tensor structure of the rotation matrices (orthogonal tensors) starting from their decomposition into symmetric and skew-symmetric parts. In general any proper orthogonal tensor may be ex­pressed by a three degree polynomial in a skew-symmetric tensor (or two-form) in E±: the general form of this polynomial is obtained. From another point of view, when a real function is assigned (the so called « generating function » of [4]), there is defined a map of the space of 2-forms on E±, say A2, into the proper orthogonal group. Particu­larizing these results we may obtain classical formulae on the decom­position of orthogonal matrices into skew-symmetric matrices. No particular hypothesis is made about the metric of E4, so the results are quite general. This analysis is based upon a suitable definition of the CLIFFORD algebra of E4, which has the support on the space i ? X ^ X y(A2 X E4 X /?, the product of two elements being defined with some simple operation of tensor calculus.

1. INTRODUZIONE.

Partendo da uno studio dettagliato delle relazioni intercorrenti fra le parti simmetriche ed emisimmetriche dei tensor! ortogonali in spazi vettoriali reali tridimensionali dotati di una struttura orto-gonale di segnatura qualsiasi [3], e stata esposta in [4] una orga-

Classificazione per soggetto AMS (MOS) 1970: 15A66. (*) Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per la Fisica Materaatica

del C.N.R.

— 74 —

nica teoria generale sulle rappresentazioni di detti tensori mediante 2-forme, ovvero tensori doppi emisimmetrici, deducendone come casi particolari classici risultati dei quali, anche di recente, si sono occupati numerosi Autori. Questo studio e stato in seguito utilizzato, ai fini applicativi, per la generalizzazione di classiche formule di cinematica del corpo rigido [5].

£ sorta contemporaneamente, del tutto naturale, l'esigenza di estendere la teoria a spazi vettoriali quadridimensionali, dato il fondamentale ruolo che tali strutture svolgono nella fisica-mate-matica. II presente lavoro vuole essere un primo contributo al rag-giungimento di tale scopo.

Mentre nel caso tridimensionale, com'e stato puntualizzato in [4] e [5], alcuni risultati ottenuti, anche se in maniera elegante, con l'ordinario calcolo tensoriale potevano essere raggiunti per via piu sintetica (anche se non molto piu breve a causa delle necessarie premesse) ricorrendo a metodi quaternionali, nel caso quadridimen-sionale il ricorso ad una tecnica piu raffinata, facente capo all'al-gebra di CLIFFORD, s'impone oltre che in maniera spontanea, quasi di necessita. ,

La defmizione di algebra di CLIFFORD che qui (n. 2) propo-niamo per il generico spazio vettoriale En a n dimensioni e a segna-tura non degenere, si rivela, nel caso a quattro dimensioni un effettivo strumento di calcolo. Lo spazio base di tale algebra e il prodotto cartesiano RxE±x A2(£4) xE± x R e la definizione del

1« prodotto » di due suoi elementi e ricondotta a semplici operazioni di algebra tensoriale involgente tensori emisimmetrici e I'operazione di aggiunzione.

Lo studio dell'algebra di CLIFFORD cosi definite, ed in partico-lare la caratterizzazione dei suoi elementi regolari, cioe rappresen-tanti rotazioni, costituisce di per se stesso argomento interessante (n. 3).

Nel n. 4, prendendo in esame il gruppo proprio di CLIFFORD, si osserva come un generico tensore ortogonale proprio possa essere rappresentato da un tensore emisimmetrico in due forme. La prima (formula (4.4)), fa intervenire la parte tensoriale emisimmetrica deU'elemento del gruppo di CLIFFORD rappresentante quella rota-zione, ed, a meno di un caso particolare (quello classico di CAYLEY)

non puo mai essere interpretata come dedotta, con il metodo di SYLVESTER-LAGRANGE, da una funzione complessa analitica. La seconda (formula (4.13)) generalizza quanto visto nel caso tridi-

— 75 —

mensionale, scomponendo la generica rotazione nel prodotto di due rotazioni su 2-piani ortogonali e pud in generale, al contrario della precedente, essere pensata come dedotta da una funzione complessa.

Rimandando a successivi lavori lo studio di tali tipi di rappre-sentazione, ci si limita qui ad esporre un notevole risultato, rapida-mente raggiunto grazie alia tecnica di calcolo adottata, relativo alia rappresentazione di CAYLEY:

Q=(G+K) (G-Kp

(Q = rotazione propria, G = identita, K= tensore doppio emi-simmetrico), e precisamente la formula (4.8) di composizione dei tensori emisimmetrici rappresentativi (o caratteristici), formula che generalizza quella ottenuta in [4] nel caso tridimensionale (il cui aspetto vettoriale e originariamente dovuto a 0 . RODRIGUES).

Contrariamente al caso tridimensionale, le rotazioni improprie non possono invece esprimersi come polinomi di operatori emisim­metrici, com'e messo in evidenza nel n. 5; le relazioni fra i tensori ortogonali impropri e le componenti (vettoriali) degli elementi del gruppo di CLIFFORD che le rappresentano non sono tuttavia prive di interesse.

In questa ricerca viene fatto uso frequente di alcune generali proprieta dei tensori doppi emisimmetrici in uno spazio quadridi-mensionale e delPoperazione di aggiunzione definita tramite lo pseudotensore di RICCI. Tali proprieta (in parte note, come la for­mula (6.7) e la nozione di decomposizione canonica, ma riproposte in un contesto organico) vengono qui raccolte per comodita in un ultimo paragrafo formante un'appendice a se stante del lavoro.

Va infine sottolineato che nessuna particolare ipotesi e fatta sulla segnatura dello spazio (se non quella, ovviamente, che essa non sia degenere) conferendo cosi ai risultati ottenuti la massima generality.

2 . NOTAZIONI E DEFINIZIONE DI ALGEBRA DI CLIFFORD.

Siano En uno spazio vettoriale reale di dimensione n, dotato di una struttura ortogonale, cioe di un prodotto scalare che indiche-remo con " . " ; e\ una sua base, ex la sua duale ( i = 1,2,...,ra); gij = e{. ep gij == el. ej i coefficienti della metrica.

— 76 —

Dato un tensore t di componenti covarianti ti { ... t definiamo come suo antisimmetrizzato il tensore di componenti (*):

t — — d1*'*'"*!* t

essendo

f (—Vf se (i^ ... ik) e una permutazione di parita Q

0 negli altri casi,

il tensore di KRONCKER generalizzato. Se A = AiL...ikeh (g) eh ®... (g) eik e una A>forma, risulta

12

se si pone

c*i A e*2 A ... A «** = #!*"•£ e?J ® «'* ® ••• ® eh

(analogamente per gli indici in basso). Se B= (Bi { ,- ) e una h-iorma, definiamo il prodotto esterno

di A per B alia maniera seguente:

^ AJ,"fcTH A*i--A*-'*ei ' AehA - Ae<t Ac?1 A - Aeh

= fcT*! ^»A ••• *"Bhh --W c i ' A C'2 A - A e<4 A ^ A... A e* .

Posto per comodita di scrittura

eV«-*k = e\ A eh ... A e** , ei,. .., = ei /\et A ... A et , 1 2

definiamo, nello spazio A}1 delle forme esterne di En, tra una k-iorma

(') Riteniamo opportuno riportare brevemente le notazioni da noi usate perche differiscono da quelle usate da alcuni altri Autori (in genere per il fattore moltiplicativo).

A ed una h-iorma. B il seguente prodotto:

win (h, k) I

(1) AoB=Ai^-ikB'^"Jh 2 £U l\(k-l)\{h-l)\

L'estensione per linearita di questo prodotto a forme non omo-genee istituisce su An una struttura di algebra associativa. Osservato che nel caso di due vettori si ha :

u o i?== u • t?-f- u A v ( + : somma diretta)

e quindi in particolare:

u°u~w u = I u I

e che inoltre tale algebra puo essere generata da prodotti fra vet-tori, essendo

se i vettori e., e{ , ei/g sono a due a due ortogonali, si pud senzaltro

affermare che essa non differisce dalValgebra di CLIFFORD di En

(cfr. [6], cap. II , prop. 1.1 e 1.3) che indicheremo semplicemente con C.

La dimostrazione sulla base della definizione (1) delle note proprieta di C non risulta, per certi versi, piu agevole che non a partire dalle definizioni date da [1] o da [6]. Cosi definita, tuttavia, l'algebra di CLIFFORD si presenta come efficacissimo strumento nello rappresentazione delle rotazioni mediante tensori emisimmetrici, come si vede in questa nota per il caso TI = 4 e come e gia stato osservato in [5] per n=3.

Secondo le notazioni correnti indichiamo con C+ la sottoalgebra degli elementi pari di C cioe di quegli elementi generati da pro­dotti di un numero pari di vettori (e da /?, campo base): in Aw essi si identificano evidentemente con le forme di ordine pari; con C~ I'insieme degli elementi dispari (di analoga definizione); con T il gruppo di CLIFFORD, gruppo fondato da quegli elementi a E C, detti regolari, invertibili e tali che a ^ ^ ^ E ^ , V f E £ n ,

— 78 —

Ricordiamo (cfr. [6], prop. II. 3.2) che se n e pari, come nel caso che ora trattiamo, T e costituito da elementi pari o dispari, e che il gruppo quoziente T/R— 0 e isomorfo al gruppo ortogo­nale 0 di En posto che si abbia

X(a) = Q <=> *oVo*-i = Qv (VvEEn) ,

ovvero anche

X(a) = Q <=> arloVoa = Qv (Vv EEn) ,

con a E r e Q G 0, intendendo naturalmente Qv = Qtj • t/l'eJ. Qui, al contrario della corrente letteratura, romomorfismo fra

F e 0 sara inteso definito nel secondo modo: cio per motivi pura-mente formali. Poniamo infine J H + ^ J P H C+ e r~ = FC\C~: JH+

e detto gruppo speciale (o proprio) di CLIFFORD: risulta essere T+/R — 0 isomorfo al gruppo ortogonale proprio (9 + (det

11̂ 11 = 1).

3. CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI REGOLARI DELL'ALGEBRA

DI CLIFFORD DI UNO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONS

Dopo queste premesse generali passiamo dunque al caso parti-colare di uno spazio E4 a quattro dimensions

Date due qualsiasi forme esterne

(i)

i .. i ... a ..,„

e applicando la definizione (2.1) si ottiene dopo qualche calcolo:

(2) ao p = a6 + a % ( - i a % - ^ y <*>%* +^ai,h%m+

— 79 —

+ i a « n r + J o * 6 » - i o * 6 » ) e ^ + ( i I a i « » * + ^ . fl«»6+^. aibm+

Per rendere piu significativo questo prodotto conviene identificare la generica forma con la quintupla ordinata:

a = (a, a , A, a , a ) E R x £ 4 x A\ xE4x R

ponendo, con riferimento alia ( l ) i :

(3) a = aiei, A = -a%n a=--riimaiihke\ ~a = ~--%hkaiih\

dove Vijhk e il tensore dispari di RICCI . Chiamiamo a e a rispettiva-

mente scalare e pseudoscalare di a, a e a vettore e pseudovettore di a, 4̂ tensore di a. Caratterizzando sempre il soprassegno « / r w » il quarto e il quinto elemento di una forma, cioe il suo pseudo­vettore ed il suo pseudoscalare, e con lettera maiuscola il suo tensore, non possono sorgere confusioni se, come e fatto nel seguito, una forma con una sola componente non nulla, cioe, come si dice, omogenea, viene indicata con questa.

Osservato che delle (3)s>4 sussistono le inverse

amk = e arimk , am = ~- e r\im"a • ek ,

e essendo il segno del discriminate della metrica (cioe di det (gij)), e facendo ricorso, tramite il tensore di RICCI , all'operazione di aggiunzione, qui indicata con Fasterisco, la (2) si traduce al modo seguente:

— 80 —

(4) ao p = (a, a, A, a, a)o{b, b, B, h, £>) —

= (ab -f- e ab -f- a .b — e a . b +— tr AB ,

— — * _ * _

ab-\-ba-\-e(ba— ab)-\-Ba — Ab — e(Ba-\-Ab) , ,

aB + bA+BA — AB + aAb — saAb— e(aAb — a>Ab)* — s(bA-\-aB) _ _ _ _ _ _ * *

ab-{-ba-\-ba— ab-\-Ba—4b — Ba — Ab , 1 *

ab-\-ba-\-a'b — a-b~-trAB). (2) -̂ 6J

D'ora innanzi si guardera alia (4) come definizione dell'algebra di CLIFFORD di EA; essa riconduce il prodotto di due elementi di C ad alcune operazioni di algebra tensoriale.

La prima cosa da fare e caratterizzare, in base a questa defini­zione, gli elementi regolari: essi, come si e ricordato, devono ricercarsi tra gli elementi pari o dispari, vale a dire negli insiemi:

C+ = { a E C / a = a = o) , C ' = {aEC/a = a = o , A = o) .

Cominciamo da C± particolarizzando il prodotto (4):

(5) a o p = (a, o, A, o, a) o (b, o, B, o, b) =

(ab -f-e ab-f- - trAB,o ,

_ * _ * aB+6.4+B,4 — <4B-e(k4+aB),o , . _ 1

ab-\-ba—— tr AB) .

Di qui e immediato constatare che:

I. Afflnche a E C+ e P E C+ siarco permutabili e necessario e

(2) Con «£r » intendiamo la traccia; per un generico tensore A = (Aik), di componenti covarianti Aik, poniamo cioe fr -<4 — Ajl= giH Aik. Intendiamo inoltre con Av il vettore di componenti Aw-v* ecc Per le notazioni adottate si veda [3] e [4],

' . — 81 —

sufficientechelosianoirisp&ttivitensori:

(6) BA = AB ,

cioe che BA sia simmetrico.

Dunque, perche a ammetta inverso, devono potersi determinare

due scalari, b e b, ed un tensore emisimmetrico B permutabile con A tali da soddisfare alle condizioni:

(7)

ab-\- sdb-{-— trAB=l ,

— * _* aB + bA — e(aB + bA)=o

ab-\-ab — — trAB = o.

Considerate d'altra parte un qualunque vettore vG E± risulta:

(8) povoa=(o,(ab — ab)vJr(bA — aB)v-\-

+ 8(bA—aB)v+(e AB—AB)v,

o9(ab-ab)v-(bA + aB)v-(bA + aB)v+(AB--AB)v,o),

Pertanto, posto che, in virtu dell'ideritita [cfr. (9), Appendice]

(BA-ABj*=BA-AB = BA-AB ,

* * •

la simmetria di BA equivale alia simmetria di AB e AB, si vede che a e regolare se e solo se esistono b, be B, permutabile con A, soddisfacenti insieme alle (7) alle condizioni seguenti:

(9) (ab-~ab)G+AB-AB = o ,

bA + bA + aB + aB=o ,

dove con G si e indicata l'identita Si pud allora dimostrare il seguente teorema:

6

— 82 —

II. Affinche a E C sia regolare e necessario e sufficiente che sia \

a2-{-e a?-{-a ?£ o , 2aa = a% ,

essendo:

« = - z* A* 1

S=~2 trAA

in tal caso risulta

a - l

a2 -|- e a2~|-a (a, o, — A, o,a)

Infatti, dalle (7)2 e (9)2 e dalle uguaglianze da esse ottenute ope-rando per aggiunzione su ambo i membri si vede subito che deve

essere:

{10) aB=—bA , aB=—bA ,

cio che implica, a meno che non siano a e a entrambi nulli, la proporzionalita di B acL A. Posto dunque B = QA le (7) e (9) diventano:

en)

ab -\- e ab-\-~ gtr A2=l ,

(ga-^-b)A — e(ga-\-b)A= o

- ~ 1 ab — ab — — gtrAA=o ,

ab—ba — o ,

_ _ • *

(Qa-\rb)A-\-(ga-\-b)A = o .

Se A e A sono linearmente indipendenti si ha subito, dalla (11)2 • oppure dalla ( l l ) s ,

(12) ga-\-b = o , Qa-\-b = o

— 83 —

cio che non contraddice la ( l l ) 4 , e quindi dalle ( l l ) i , 3:

(13) g(a2-\- ea2-\-a)=—1 , g{2aa— a^) — o ,

• • • • * •

conformemente all'enunciato. D'altra parte A e A sono linear-mente dipendenti solo quando e A = o oppure, nel caso di uno spazio con e = 1, e A •= •+ A ?± o [cfr. Appendice].

In questo secondo caso le (11)2, 5 implicano, insieme, ancora le (12) e quindi le (13). Se invece e A = o, Q risulta indetermi-nato, com'era da attendersi, mentre le (ll)i#8,4 implicano che a

o a devono essere nulli, ma non contemporaneamente, se si vuole

che b e b siano determinati; poiche si ha

a_1 = — (a = a ^ o ) , a_1 = —— ( a = a ^ o ) , a ea

anche questo caso rientra neU'enunciato del teorema.

Non resta che esaminare il caso eccezionale a = a— o (A^o).

Le (10) implicano subito b=b = o, percio dalle (7) e (9) non si deducono che le condizioni:

(14) trAB = 2 , trAB = o , BA^BA .

La seconda di queste, in virtu delFidentita [cfr. (5), Appendice]

BA = -AB+l tr(AB)G ,

# *

implica BA = — AB; dal confronto con la (14)3 non puo che * * . • • *

essere BA =—AB e quindi necessariamente BA — o, per la

simmetria di BA conseguente alia (6). Dall'identita AA = - tr

(AA) G [cfr. (7), Appendice], poiche BAA = ABA = 0 , segue tr(AA)B—o cioe, non potendo essere B = o per la (14)i,

trAA = — 2 0 ^ = 0 . A deve dunque essere di rango 1 (bivet-1

tore) [cfr. Appendice] e non puo che essere B= A perche

— 84 —

siano soddisfatte le (14)^ 2. Dunque anche questo caso eccezionale rientra nell'enunciato del teorema che e pertanto completamente dimostrato.

Vediamo ora di caratterizzare gli elementi regolari dispari, cominciando col particolarizzare la (4) nel caso in cui a, p E C~:

a o p = (o, a, o, a, o) o (o, b, o, 6, o) =

= (a • b — e a 'b,o,a/\b— e a f\b — e (a /\b — a/\b)*,

o,a,'b — a-b).

Si puo cosi osservare come prima cosa che

III. Affinche a E C~ e P E C~ sz'arco permutabili e necessario <e sufficiente che sussista I'uguaglianza:

(15) a Ab = e a Ab .

Cio posto, si puo affermare che affinche a E C~ ammetta inverso, che ovviamente deve ancora essere un elemento di C~, devono po-

tersi determinare due vettori b e b tali da soddisfare, insieme alia (15), alle condizioni seguenti:

(16)

a'b — ea - 6 = 1 ,

aAb=aAb ,

a • b = a- b .

Risulta d'altra parte, per un qualunque vettore v E £ 4 :

p 0 f o a = (o, &• t?<ii = e &• va— [bAv-\- e (& A *>)*]«—

— e[(bAv)*+bAv]a,

o,b- va-\-b- va— [bAv-\- s (5 A v)*] a — [(bAv)*-{-bAv] a, o) ,

ovvero, osservato che sussiste l'identita

(u A v)*w=(w A u)*v (V M, t?, w E £4) ,

— 85 ' -*-

anche:

p • o v o a = (o, b • va-\- a • t?6:+ e (6 • t?a-f-a • t?6) — (ft-a-f-eo' 6) t?~

(17) — s (a/\b-\-a/\b)*v,o,b- va-\-a- vb-\-b- va-\-a vb —

- ( o • 6-|-o • 6 ) r . - ( O A H «O A 6)*», o) '.

Dunque affinche a E.C~~- sia regolare devono anche essere sbddi-sfatte, oltre alle (15) e (16), le uguaglianze:

(18) (a -b + ab)G=a®b-\-b ® a-\-~a ®b + b (8) a,

a Ab ~{- sa A b=o .

Si puo allora dimostrare il seguente teorema:

IV. Affinche a G C~ sia regolare e necessario e sufficiente che sia

a ||-f- e'II all 5^0 a • a = o :

in tal caso risulta

a - l

a + e\\a\ (o, a,o, —a,o) .

Infatti, chiaramente la (15) e la (18)2 implicano a/\b =

= b A f l = o ci'oe il parallelismo di b con a e di b con a senza escludere che qualcuno di tali vettori sia nullo; quello che certo ne consegue e che la (18)i non pud essere vera se non quando sono nulli ambo i membri:

(19) a •• b-\-a- b = o ,

a (g) 6 + 6 ® a + a (g) fo+b ® a = o

Se a = o, e quindi senz'altro, per la (16)i, a^o, la (19)2 im-

plica fe = o; analogamente a = o=> b = o. Si puo dunque porre

b — Qd b = aa

(20)

— 86 —

e dedurre quindi dalle (16) e (19) le uguaglianze:

p\\ a II — eo || a 11 = 1', w ii ii ii II

7

Qd'a — oa'a — o,

(i) + o ) a A o = o ,

(Q-\-O) (a ® a-\-a®a) = o .

La terza e la quarta delle (20) implicano, nelPipotesi che ne a

ne a siano nulli,

Q= O

e quindi dalle (20)x e (20)2, successivamente:

e(IL«ll+«||o||)=i * a - a = o

conformemente all'enunciato del teorema. Se invece e a = o,

a^ o, quindi b=o,Q risulta indeterminato, com'e naturale, men-

tre dalla (20)i si ha e a | |« || ! = — 1; in modo analogoa = o,

a?^ o =-±b = o, ^ | | a | | i = l ; in entrambi i casi, avendosi anche,

necessariamente, a.'a=o e valido I'enunciato del teorema che pertanto risulta completamente dimostrato.

4. RAPPRESENTAZIONE DELLE ROTAZIONI PROPRIE MEDIANTE TEN-

SORI DOPPI E M I S I M M E T R I C I .

Sia x u n elemento regolare di C+:

X=(K°- K,o,k)

In virtu di quanto visto nel paragrafo precedente deve essere:

k% -\-ek2 + x^o (:*; = —- trK2) ,

(1) ZtKHi — X* (X*^~2 trKK) '

87 .—

ed inoltre:

- i

V+tk*+x (#, O, — K, o, fy .

Dalla (3.8) si trae dunque, tenendo presente che sussiste Pidentita

[cfr. (7), Appendice] KK=— ~ x#G :

x- Joi;oX = — „ [(/c2-. e&)» + 2 (kK + ekK)v + (K*-e K?)v\ k2-\- ek2-\- x

per ogni v€E±. Si pud quindi affermare che:

I. Ad ogni elemento regolare x = (K °> K-i °? k) E JT+ corrisponde Voperatore ortogonale (rotazione) proprio

(2) Q= .. [(A;2 - efe) G + 2(kK + e kg) + K2-e K2]. k2 + ek2+x '

£ interessante vedere come si particolarizza Q con l'annullarsi di qualche componente di X- A tale scopo conveniamo di definire come rango di una rotazione il rango della parte emisimmetrica di Q, indicando brevemente con involuzioni (perche sono ovviamente tali) quelle di rango zero; diciamo inoltre semplice una rotazione che lasci uni'ti i vettori di un 2-piano.

Si trae immediatamente il seguente quadro:

a) K=o, ~k=o, k¥^o, cioe x = &, = > Q = G (inversione identica),

b) K=oy k = o, Ic^o, cioe x = ^ = > Q=~G (rotazione totale),

c) K^o, ~k=o, k¥=o, = > Q=G+tfr+-x (kK+K2) (rota-

zione semplice sul piano < K > invariante in K) (3),

d) K^o, k*= o,l^o => Q=-[G+^— ( - i K + i 2 ) ] kl-\-ex

(rotazione di rango 1 sul piano < K> piu un'inversione totale),

— 88 —

e) Kr^o, k== k= o, x¥=o => Q=G — 2E<K> (involuzione, semplice, sul piano < K>, cioe inversione su < X > ) essendo

E<K> ^ — K* <K> x

il proiettore ortogonale sul piano <K>. E da osservare che nel easo d) se % ¥* o, cioe < K > a metrica

non degenere, si ha una rotazione sul piano <K> seguita da una inversione sul 2-piano a questo ortogonale.

Cio premesso, osservato che sussistono le identita

(3) eK=— K2—%G , xtK=-2e(K3+xK)

[cfr. (4), (10), Appendice] e tenuto conto della (1)2, dalla molti-plicazione a numeratore e denominatore della (2) per k2, supposto diver so da zero, segue che:

II. Ad ogni elemento regolare x = (k9 °? ^? °? ^) ^F + con k.¥* o corrisponde la rotazione propria

(4) Q= l [(fc*+Aj»*^J xl)G+2k(k*+x)K+2k*K2+2kK3].

1 l 4 *

Detti +2i e +z2 gli autovalori di K e introdotti gli invarianti canonici di K:

• . t • •. •

essendo [cfr. ((1), Appendice]

g

(3) Con < K > indichiamo il 2-piano di cui K, qui in d) e in e) ovviamente di rango 1 poiche x^ = o, e grassmanniano.

— 98 —

la (4) pud anche essere posta nella forma seguente:

1 (41 Q=m

'{\k2+k2(x;+x^-

Nella (4'). A. pud riguardarsi come funzione, ovviamente simme-trica, di xx e x2; ne consegue pertanto che

III. Assegnata una funzione reale a due variabili reali, simmetrica, X(x1,x2), soddisfacente in un dominio cA alle condizioni

\[x(xi>x2)]2+xi} {[x(xv x^Y+x^o , X(xirxft)^o (4) ,

risulta definita neWinsieme

un applicazione di AA2 in Q ponendo nella (4') k — X(xu x2).

Va comunque osservato che:

IV. A meno che non sia X(xl9 x2) •= cost, il secondo membro della (4'), con k•:•= X(xu #2), non pud interpretarsi come pblinomio in­terpolate di SYLVESTER-LAGRANGE relativo a K di una funzione a variabile complessa f(z).

Si consideri infatti, vista la (4A), il polinomio

(6) P(Z) (^+%)(^ + ^)' •[/c4+k2 (x\ -(- x^ - x,x2 -f 2k (&2-f- x, -f x%) z -\-2k?z2-ir2kz*]

che fornisce gli autovalori di Q quando a z si sostituiscono gli autovalori di K, e calcoliamone il valore per z = zx autovalore di K ; in virtu delle notazioni (5) si ottiene, dopo qualche calcolo,

(*)' Questa condizione si puo ovviamente abbandonare se si conviene, come la (4') di per se suggerisce, che per k — o sia Q = — G .

—- 90 —-

il che esclude la dipendenza di k da z2 e quindi, per la simmetria, anche da.zi. Tuttavia, si vede bene di qui, se k e costante, il poli­nomio P(z) dato dalla (6) e il polinomio interpolante di LAGRANGE

sui quattro valori +Zi, ±z2 (immaginari puri o reali a seconda della segnatura di £"4) della funzione

dunque

V. La (4), intesa k¥=o costante prefissata, coincide con la rappre-sentazione di CAYLEY delle rotazioni:

Q=(kG+K) (kG-K)-1 .

Posto senz'altro k—l, si considerino le rotazioni associate ai tensori emisimmetrici A e B cioe agli elementi di C+

a = ( l , o , A, o, - a*) , P = ( l , o, B, o, - ^ ) .

Si ponga cioe:

Qi = (G+A) (G-A)-1 , Q2=±(G+B) (G-B)"1 .

L'operatore ortogonale prodotto di ^ e Q2 nell'ordine, Q—Q%QA,

sara, a meno di un fattore reale moltiplicativo, individuato dal prodotto a<>p che per la (3.5) non differisce da:

e 1 (7) « ° P = ( l + 4 ^ * + 2 f r ^ B , o ,

A+B+BA-AB~(atB + P*A),o9 ^ ( a . + . & ) - - fr^B) . V

e l Se 1 + — a#^*+n" ^"-45 ¥=o-\& rotazione Q appartiene ancora

4 ^

— 91 —

aH'immagine della rappresentazipne di GAY LEY, sicche, normaliz-zando il prodotto (7) in modo che la parte scalare sia uguale ad 1 si pud affermare che:

VI. Date le due rotazioni Qi — (G-\-A) (G—A)'1, Q2 = (G+B) • e l

. (G - B)"', se 1 + j a, ft + - tr AB ^ o risulta Q = Q2Qi =

= (G+K) (G-K)'1

con

(8) K= [A+B+BA-AB-^{a>B+P*A)].

l + e- a^+-trAB

La (8) traduce dunque in ^42, cioe nello spazio dei tensori doppi

emisimmetrici, la legge di composizione delle rotazioni in uno spazio a quattro dimension^ di segnatura qualsiasi, secondo la classica rappresentazione di CAYLEY.

E notevole la eircostanza che se Qt e Q29 cioe A e B, sono di rango 1, con il che a^=^= o, si ritrova la formula

K= — (A + B+BA-AB)

1 + ^trAB

valida in uno spazio tridimensional [cfr. [4]]. Si consideri ora il generico elementox= (k,°> '&>•<>> k)EC+

e si ponga

f K===^k1'4-'i1k8 ( K t K 2 - o ) ,

Ki — KtfCo ,5

(9) 1 • 1 *

k= — -trKiK2=—-trK%Kl ,

con Kie K2 di rango 1 ( ).

(5) Go che e sempre possibile, naturalmente senza escludere che KioK2 sia nullo, fornendo la (9)i la decomposizione canonica di K [cfr. Appendice].

— 92 —

La seconda delle condizioni di regolarita (1) e identicamente soddisf atta. Per esplicitare la prima cominciamo con I'osservare che, essendo < Kj > e <K2 > ortogonali si puo sempre trovare un yt ed un y2 tali che

(10) i = y , K , , K 2=J 2K d .

Posto allora

Xt = ~ \ t r K * ' ;

x2 — i = ~ 2 trKi '

si ha subito

(ii) exi=ylxi , ex%- =j\x\

e quindi successivamente

(12) k=zy2x1=yix2 , «^2 = %^2 .

Poiche inoltre

X '• KiaXi ~-J fCjXo m

/

la prima delle condizioni di regolarita si traduce nella seguente:

che sta a significare che ne k± ne A;2 devono coincidere con un auto-valore, rispettivamente, di K4 e K2.

D'altra parte, poiche dalla posizione (10) segue:

dalla (12)i e dalle (1) si trae subito

— *

Pertanto, avuto riguardo della (3)i si puo con semplice calcolo

— 93 —-

concludere, partendo dalla (20), che:

1 * VII. AlVelemento x = {h . 7c2, o, k2K{ + ktK2, o, — - tr K^) EC+, con K j K ^ o , regolare see solo se ,

\ + x1)(kl + x2)^o ,

e associato Voperatore ortogonale proprio

2 ,,' . _ 1 Q=G+2 ^ (^Kl+K?)+M+^2 <**•+*»

prodotto, permutabile, delle due rotazioni proprie semplici

<?» = C + j ^ . ( * » * ! + *»• •• <?1 = G + ^ | ^ (**+*» .

associate rispettivamente a

Xt 5* (A ,̂ o, K4, o, o) , x^ ^ fe °> Kg> °> °) >

elementi regolari di C+. Quest'enunciato non solo mette bene in evidenza, poiche ogni

elementi regolare di C+ e suscettibile della forma (9), la nota circostanza che ogni rotazione propria e il prodotto di rotazioni proprie su 2-piani ortogonali, ma consente di avvalersi di quanto e noto nel caso di rotazioni in uno spazio tridimensionale rappre-sentante da tensori emisimmetrici (cfr. [5]). In altri termini, per quanto e stato messo in evidenza in [5], si pud affermare che

VIII. Assegnata una funzione reale g a variabile reale, nell'insieme

i f ^ { K 6 A ! / K ^ K 1 + K2(K1K8 = o)i g ^ + x^o, g2(x2) + x^o)

e definita un'applicazione f dello spazio dei tensori doppi emisim­metrici nel gruppo ortogonale proprio Q di £"4 ponendo:

(13) Q==G+2U^{8{Xi)Kx f K?] +¥ik^l [8{X*)K*+ K | ] h / ( £ )

— 94 —

Se g(o)¥=o tale applicazione pud essere pensata come generata dalla funzione complessa

nel senso che il polinomio interpolante della f(z) su K, una volta

effettuata la decomposizione canonica K = K4 + K2, si riduce proprio alia forma (13) (G)

5. SULLA STRUTTURA DELLE ROTAZIONI IMPROPRIE.

Diamo infine un breve sguardo alle rotazioni improprie: esse sono associate agli elementi regolari dispari. Sia

X=(o,fe, o, fe, o ) E r ~ ;

deve essere per quanto visto al n. 3 :

( i )

in tal caso y

||fe.|| - f - e ||fc|| ^ o ,

Dalla (3.17) si trae dunque, per ogni v E E±

2 < -' - 1 t;ov — — ffe• vk— ek- v k-\- e (k/\k)*v— — (\\k\\— s \\k\\) v]

* 'ftll + fillfc!! ; 2 " " " "

e si pud eosi affermare che

(°) La (13) generalizza, fra l'altro, la formula di decomposizione di una matrice di LORENTZ (caso e = — 1) data in [2] .

— 95 —

I. Ad ogni elemento regolare x—^(oyfc,-o,-fc',fo):G C~ corrisponde Voperatore ortogonale improprio

W <? = | ,n 2 I,.,, [fe®fe ~ «fe®fc- i (||fe|| - # | | ) G + e (k Ak)*]

Si osserva cosi che una rotazione impropria ha al piu. rango uno, essendo la sua parte emisimmetrica caratterizzata, a meno di un fattore, dall'agiunto del bivettore

A =fe Afc .

In altri termini:

II. La parte emisimmetrica di un operatore ortogonale improprio non involutorio e riducibile, cioe ha rango 1.

Osserviamo ora che, vista la (1)2,

A*=—\\k\\k®k--\[k\\k®k,'-' « = - ~ *r^2==|jfc||||fc|| ,

e che inoltre [cfr. (4), Appendice],

eA2=— \\k\\ \\k\\G+\\k\\k®k+\\k\\ fc(g)fc .

Se dunque facciamo l'ipotesi || k\\ ^ o n e segue

- 4 - A*= - llfel] G+fe® fe+^lJ. fc<g> k • 11*11 !l l! 11*11

e quindi

*<g)fc- f f e ( g ) & = 7 4 - J i 2 + | | f e | | G - e ( l + « j = | ) &®fc •

La (2) puo pertanto porsi sotto la forma

- . . * * 0 = G - - i - fe®k + -^- ,—^7^: (llfeM+^2) •

— 96 — *

Si vede bene di qui, essendo Ak = o, che Q e il prodotto permu-

tabile di una simmetria rispetto al vettore k e di una rotazione *

sul 2-piano < A > che, visto il paragrafo precedente, si pud pen-•~ i i *

sare associata all'elemento regolare (|| fe||, o9-A9 o, o). Con un procedimento analogo si puo anche provare che se

|| k || 7^0 la rotazione Q puo pensarsi come prodotto di una inver-sione sul 3-spazio ortogonale a k per la rotazione propria gene-

ii n *

rata da ( e|| fe||, o, ^4, 0,0). In particolare per x = ^ ° X = ^ si ha allora rispettivamente

una inversione sul 3-spazio ortogonale a k o una simmetria ri­spetto a k.

6. APPENDICE: ALCUNE PROPRIETA DEI TENSORI DOPPI EMISIM-

METRICI IN UNO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONS

Ricordiamo che si dice aggiunto del tensore doppio emisimme-*

trico A —(Ay) il tensore A di componenti 1 :

e che, inoltre, in virtu dell'identita

/

dove e e il segno del determinante delle componenti del tensore metrico, cioe del discriminante della metrica, e

** (1) A= eA .

Sia B^ (B{j) un altro tensore doppio emisimmetrico; in virtu dell'identita

(2) vnnnmm=eW?= * W#,T+'#S*+«

si ha, con semplice calcolo:

\ niirsnmmAr%m = - e (BtrA'h+ i A*tij%) ,

— <97 — N

ovvero l'interessante uguaglianza:

• • T

(3) eBA=-AB + ̂ {trAB)G ,

dove con G5^ (Gy)5555 (<V) si indica I'operatore identico, la quale posto B=A ed introdotto Tinvariante

1 « - - 2 tr A% '

si traduce nella seguente:

(4) eA2=-A2~aG .

Dalla (3), sostituendo ad A il suo aggiunto e tenendo conto della (1), si ha ancora l'identita

(5) AB= -BA + - (tr AB) G

dalla quale, ponendo B=A e introdotto lo pseudoinvariante (7)

\l\ I ' $

(6) a * = ~ 2 ^ ^ ^ '

si trae infine (8)

(7)- AA==~2 a*G '

Nelle identita (3) e (5) va tenuto presente che, come si verifica immediatamente,

(8) trAB=trAB, tr AB '= 'etr AB .

C) La definizione di a# e ovviamente legata, tramite I'operazione di aggiunzione, all'orientamento dello spazio.

(8) Cfr. [7].

7

- ' . - ' • — 9 8 —

Sempre utilizzando Tidentita (2) si ha successivamente

* * AT U Ar D

ossia:

9k }k ik sk

(9) (BA-AB)* = BA-AB=BA-AB .

La seconda uguaglianza essendo dedotta dalla prima per simmetria (oppure anche dalla (5)).

Ritornando alia (4), la si moltiplichi per A; in virtu della

(6) e (7) si ottiene A come combinazione lineare di A e A3 (a meno che non sia a* =o):

(10) ^-a*A = A3 + aA .

Moltiplicando ancora una volta per A e utilizzando ancora la (7) si vede che

A* + aA2+^ €?G = o ;

si pud allora affermare, in virtu del teorema di HAMILTON-CAYLEY,

che:

(11) J »l = det{A\) ,

attribuendo cosi alFinvariante a* un ruolo sostitutivo rispetto al determinante A\ A.

Com'e noto, condizione necessaria e sufficiente affinche un ten-sore doppio emisimmetrico A non nullo sia di rango 1, cioe sia il prodotto di due vettori (9), e a* = o. La necessita segue immedia-tamente dalla (11) o dalla (16), la sufficienza e ancora conseguenza

(°) Si uea anche dire che A e riducibile, o che e un bivettore.

ovvia della (11) solo nel caso di uno spazio strettamente euclideo, poiche nel caso di spazi a metrica indennita non si pud far ricorso ai teoremi di calcolo matriciale senza qualche cautela. Si pud tut-tavia ragionare come segue. Da A = a/\-b-\-c /\d (a , fo, c, d linearmente indipendenti), cioe dall'ipotesi che A sia di rango 2,

* e da trAA = o seguirebbe VimaWchdk <= o, cioe a^bjcndh^= o, ov-vero a /\b /\c f\d = o, contro la supposta lineare indipendenza di tali vettori.

Dato il tensore emisimmetrico A, di rango 2, ci si pud pro-porre di cercare due scalari % e y tali che la combinazione lineare

• * > • • • . • ' , • '

xA -\-.yA sia di rango 1 (o sia nulla). Imponendo la condizione di ccui sopra si vede che x e y devono

soddisfare all'equazione:

(x2 -\- ey-) a ~\- 2s axy=o (10)

Poiche non pu6 certo esser y — o, a meno che non sia anche

x = o, posto u — —- si ricava, essendo per ipotesi a# ¥= o,

M2_|_2 — u + s=^o , a*

da cui

(12) u = - - (a±p-eal) ( « - — ) •

Queste radici sono sempre reali; la cosa e banale se e<= — 1, non altrettanto se e = 1; basta tuttavia richiamare l'equazione ca-

(10) Quando e — — 1 si puo porre x = Q cos Q% y — Q sin 6 per cui l'equazione assume

la forma - = ctg 20(cfr. [2]). a*

Quando e = 1 si puo porre invece x—Q Ch 6, y — —gSh6 ottenendo cosl

— = Cth 26. Queste due posizioni si possono intetizzare nell'iinica a*

X — Q cos i—ed , y = gY—e sin K— e6

ottenendo cosi l'equazione:

_^ = }Cr £ ctg 1 ^ 2 0 •

— 100 —

8

ratteristica di A: ^4 + a^2-f -r a? = o, per osservare che e a%u =

i= 2X2 e quindi, dovendo essere X reale o immaginario puro in virtu dell'emisimmetria di A, che u e reale. Resta cosi tra I'altro dimostrata, nel caso € = 1, la disuguaglianza

a -^ a

che naturalmente si pud riconoscere facilmente in altri modi.

Se ora indichiamo con (xu y±) e (x29 y?) le coppie di soluzioni date dalla (12) e imponiamo le condizioni

xi + xi=l , yi-\-y2 = o ,

ricaviamo in particolare

J i = -s a l a

ea

72 = a

2 ^ ( /a 2 - ea 2 >

supposto naturalmente a2 — eaj T^O (sicuramente vero se € = — 1). Subordinatamente a questa ipotesi i tensori emisimmetrici di rango 1

(13)

1

A*

2 | / a 2 - e a 2

1

ltf<* ea + a) A — eaA] ,

[(,/„*_Ea2 )A + e X] ,

forniscono le componenti canoniche di A, nel senso che

(14) A = At+As , A.A^o (").

(u) La prima di queste uguaglianze e immediata; la seconda si deduce con semplice calcolo facendo intervenire la (4) e la (7).

— • 1 0 1 —

La decomposizione canonica (14) di un tensore doppio emi-simmetrico di rango 2, cioe la sua decomposizione nella somma di due bivettori fra loro ortogonali (vale a dire i cui 2-piani orto-gonali), e unica ad eccezione del caso in cui, con € = 1,. e a2*= a j vale a dire proprio nel caso in cui non sussistono le (13). Per riconoscerlo occorre osservare innanzitutto che < A± > e < A2> non sono a metrica degenere dovendo essere ortogonali e comple-mentari; dunque A{ e A% ammettono, ciascuno, sicuramente una coppia di autovalori non nulli, e naturalmehte di segno opposto, i quali, in virtu delle (14), sono anche autovalori di A, con gli stessi autovettori. Dunque, poiche < A{ > e < A^ >• sono indivi-duati dalle coppie di autovettori di A, associati agli autovalori di segno opposto, essi non sono univocamente determinati quando gli autovalori hanno doppia molteplieita, vale a dire quando, ricor-dando l'equazione caratteristica di A, e proprio «2 — sal — o.

II caso eccezionale € — 1 , a2 = aJ , fin qui messo in evidenza

corrisponde all'unico caso in cui A e A (non nulli) sono linear-mente dipendenti. Scritta infatti l'uguaglianza

* aA + bA = o

* ed eseguito il prodotto una volta per A ed una volta per A, si trag-gono rispettivamente le uguaglianze:

aa-\~ba = o ,

aa -\-bsa = o ,

dalle quali si vede appunto che a e b non sono necessariamente nulli solo se a2 — e a 2 = o, cioe solo se € = 1 e a2 <= a* dovendo essere certamente a¥= o (altrimenti A sarebbe di rango 1 e quindi certa-

* mente indipendente da A). In questo caso si ha dunque

a * A=— A ,

a *

vale a dire

A=±A <=> a= i a , (e=l ) •

— 102 —

BIBLTOGRAFIA

[1] E. ARTIN, Algebre geometrujue, Gauthier-Villars, Paris (1962).

[2] S. L. BAZANSKI, Decomposition of the Lorentz Transformation Matrix into Skew-Symmetric Tensors, J. Math. Ph., 6. 8, 1201 (1965).

[3] S. BENENTI, Forme canoniche degli operatori ortogonali in uno spazio tridimensio­nal, Rend. Circ. Mat. di Palermo, tomo XXII (1973).

T4] S. BENENTI, Sulla rappresentazione tramite tensori emisimmetrici di operatori orto; gonali in uno spazio tridimensionale, Rend. Circ. Mat. di Palermo, tomo XXIII (1974).

[5] S. BENENTI, Sulla generalizzazione del concetto di vettore caratteristico delle rota-zioni nei mod rigidi, Rend. Sem. Mat. Univ. e Polit. di Torino, vol. 32° (1973-74).

[6] C. C. CHEVALLEY, The algebraic theory of spinors, Columbia Univ. Press (1954).

[7] J. PLEBANSKI, On Algebraical Properties of Skew Tensors, Bull. Ac. Pol. Sc , vol. IX, n. 8 (1961).

II presente lavoro, come i precedenti [3], [4], [5], ha tratto stimolo da una confe­renza del Prof. W. Grobner tenuta al Seminario Matematico dell'Universita e del Politecnico di Torino nel 1971 e da alcune discussioni che in relazione a detta conferenza ho avuto con il Prof. D. Galletto.

Torino, luglio 1974.

SERGIO BENENTI, Istituto di Meccanica Razionale, Universita di Torino.

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