CERCLESCERCLES DE FORD ARBRE DE STERN-BROCOT

SUITES DE FAREY

CHRONOLOGIE John Farey, géologue anglais, conjecture en 1816, sur les

fractions ordinaires Démonstration la meme année par Augustin Cauchy Magnifique illustration géométrique en 1938 par Lester

Ford (mathématicien américain) Représentation des rationnels par un arbre infini :

indépendamment par le mathématicien allemand Moriz Stern (1858) et l’horloger français Achille Brocot (1860)

DEFINITIONDEFINITIONCe sont toutes les fractions irréductibles

Entre 0 et 1

ayant un dénominateur inférieur ou égal

à n et classées par ordre croissant

Si a / b et a' / b'sont deux termes CONSECUTIFS

d'une suite de Farey

alorsba' - ab' = 1

INSERTION

Dans la suite de Farey, en prenant trois fractions consécutives : p/q < p’/q’ < p’’/q’’ le terme médian est donné par:                                                                                                    

Cercles de Ford

(fractal)

Tangence des cercles

d : distance en rouget = r + Rd² = ( X - x )² + ( Y - y )²t = y + Yd² = X² - 2Xx + x² + Y² - 2Yy + y²t² = y² + 2 yY + Y²d² - t² = ( X - x )² - 4Yy= ( P/Q - p/q )² - 4 (1/2Q² . 1/2q² )= ( (Pq - pQ)/qQ )² - (1/qQ )²= ( ( Pq - pQ )² - 1 ) /q²Q²

POINTS DE TANGENCE

EN DIMENSION 3

ARBRE DE STERN-BROCOT

ARBRE DE STERN-BROCOTARBRE DE STERN-BROCOT

Fait extraordinaire : tous les rationnelsfigurent dans l’arbre, une et une seule fois, et sous

forme irréductibleEnsembles de Farey : sous-arbres

                                                        

Chaque rationnel y apparaît une seule fois, en écriture irréductible

GENERATIONS 0/1 < 1/0 0/1 < 1/1 < 1/0 0/1 < 1/2 <1/1 < 2/1 < 1/0 0/1 <1/3< 1/2 <2/3<1/1<3/2 < 2/1<3/1 < 1/ 0 0/1 <1/4<1/3<2/5< 1/2<3/5 <2/3<3/4<1/1<4/3<3/2 <5/3< 2/1<5/2<<3/1 < 4/1<1/0 0/1<1/5< <1/4<2/7<<1/3<3/8<2/5<3/7< 1/2<4/7<3/5 <5/8<<2/3<5/7<3/4<4/5<1/1 2/3<7/10<5/7<8/11<3/4< 7/9<4/5<5/6<1/1 2/3< 9/13<7/10<12/17<5/7<13/18<8/11<11/15<3/4< 10/13<7/9<11/14<4/5<9/11<5/6< 6/7<1/1 3/4<13/17< 10/13< 17/22<7/9<18/23<11/14<15/19<4/5 3/4<16/21<13/17<23/30< 10/13<27/35< 17/22<24/31<7/9<25/32<18/23<29/37<11/14

27/35 : 1/1 - 1/2 - 2/3 - 3/4 - 4/5 - 7/9 – 10/13 – 17/22 – 27/35

PROPRIETESPROPRIETES1)Si m/n < m’/n’ sont consécutives dans l’arbre (i.e. dans une génération) alors m’n –mn’ = 1 (*)Preuve par récurrence : on vérifie que pour le nouvel élément (m+m’)(/n+n’), on a encore (cf

déterminants liés) : (m+m’)n – m(n+n’) =1 = m’(n+n’)-(m+m’)n’2)Conséquence : fractions irréductibles (Bezout)3)Si m/n < m’/n’ alors m/n < (m+m’)(/n+n’) < m’/n’ : la construction de l’arbre préserve l’ordre donc chaque fraction apparaît au plus une fois4)Chaque fraction est présente dans l’arbre : tant que a/b n’est pas apparue, on considère ses 2 plus proches voisins m/n < m’/n’ vérifiant donc (*)Puisque m/n < a/b < m’/n’ , on a : an-bm > 0 et m’b –an’ > 0 soit encore puisqu’ils sont entiers an-bm 1 et m’b –an’ 1;De (*), on déduit : a+b = (m’+n’) (an-bm) + (m+n) (m’b –an’ ) m+n + m’+n’ ,Ce qui ne sera plus vrai à partir d’un certain rang puisque m+n + m’+n’Croit strictement au fil des générations.

CODAGE Prenons par exemple 27/35, selon ce principe, elle se code sous la forme GDDDGGDG (G pour gauche et D pour droite). Or on peut vérifier que 1' on a :

Ensemble de MANDELBROT

Ampoule de période 3

Ampoule de période 9

Ampoules 2/5 et 3/7

ADDITION DE FAREY