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8/17/2019 sucesiones y series.pdf

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POR EL TÉRMINO GENERAL:Cuando los términos de la sucesión se for-man mediante una ley de correspondencia.Ejemplo:

TÉRMINO ENÉSIMO SUCESIÓN

Sn = 5n + 2 7; 12; 17; 22; . . .

Sn = n + 8 9; 10; 11; 12; . . .

Sn = n2 + 1 2; 5; 10; 17; . . .

Sn = nn-2 1; 1; 3; 16; . . .

POR LA LEY DE RECURRENCIA:

Cuando se establece el primer término comopunto de partida y los demás se enlazan conlos que le preceden mediante una regla derecurrencia. Ejemplo:

t1

tn + 1

t2

t3

t4

3 2tn

2t1= 2(3) = 6 2t

2 =2(6) = 12 2t

3=12(12)=24

2 n3tn

0,5t1= 0,5(2)= 1 23(1) = 8 33(8) = 216

POR UNA CARACTERÍSTICA:Cuando los términos de la suce-sión tienen una característica comúm.Ejemplo:1. La sucesión conformada por los númerosimpares. Sn = {1; 3; 5; 7; 9;. . . }2. La sucesión conformada por los números

cuadrados perfectos. Sn = {1; 4; 9, 16; 25; . . }LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

La sucesión {Sn} tiene por límite al núme-ro real R,cuando n tiende al innito y simul -táneamente Sn tiende a R. Simbólicamente:

Se lee:“El límite de la sucesión cuando n tien-de a más innito es igual a un número real R,

si y sólo si ,el límite de la sucesión es igual alnúmero real R

{ }lim limn n

Sn R Sn R→∞ →∞

= ⇔ =

NOCIÓN DE SUCESIÓNEs una función con dominio en losnúmeros enteros positivos (Z+),los elementos del rango pertene-cen a los números reales y sonlos términos de la sucesión:

Ejemplo: Sea la sucesión F denida por

F(n) = {2n - 2} ; sus términos serán:Sn= {0; 2;4;6;8...}.

Grácamente:

N Sn

1. .0 2. .2 3. .4 4. .6 n. .2n-1

NOTACIÓN: Se denota mediante una le-tra mayúscula con subíndice y entre llaves.Ejemplo: A = {S

n}

→

→

→

→

→

F →

CAPACIDADES:

Interpretar, conjeturar, formular, demostrar, abstraer, resolver y generalizar.

APRENDIZAJE ESPERADO:

-Se pretende que los estudiantes interpreten, formulen y resuelvan ejercicios yproblemas con sucesiones y series.

-Incorporar y aplicar sucesiones y series no sólo en la clase de matemáticas,sino en la vida cotidiana

DETERMINACIÓN DEUNA SUCESIÓN

P O R E L T É R M I N O G E N E R A L

P O R L A L E Y D E R E C U R R E

N C I A

P O R U N A C A R A C T E R Í S C A



TIPOS DE SUCESIONES

A)SUCESIONES CONVERGENTES: Son las sucesiones que tienen límite. Ejem-

plo:

1nSn

n

+=

Asignando valores a “n”

n 1nSn

n

+=

1 22 3/2 = 1.53 4/3 = 1,3333. . .

10 11/10 = 1,111. . . A medida que crece el valor de “n”; Sn seacerca al límite que es 1, es decir, convergea la unidad.B)SUCESIONES DIVERGENTES: Sonlas sucesiones que no tienen límite.

Ejemplo: Sn={n2 + 2 } Asignando valores a“n”

n Sn={n2 + 2 }

1 32 6

3 11

10 102 A medida que crece el valor de “n”; Sn sehace mas grande, tiende al innito.

C)SUCESIONES OSCILANTES:Sonlas sucesiones cuyos términos tienen

signos alternados. Ejemplo: Sn={3(-1)n n } Asignando valores a “n”

n Sn={3(-1)n n }

1 -3

2 6

3 -9

4 12Los términos de la sucesión tienen signosalternados.D)SUCESIONES CRECIENTES:Cuando un término cualquiera, a partir delsegundo, es mayor que el anterior.Ejemplo: 3; 5; 7; 9; 11; . . .E)SUCESIONES DECRECIENTES:Cuando un término cualquiera, a partir delsegundo, es menor que el anterior.Ejemplo: 30; 25; 20; 15; 10; . . .

1. Escribe los primeros cinco primeros térmi-nos de las sucesiones siguientes:

a) { 5n - 3 } b) { 2n +4} c) { n2 - 3 }

d) 4 32

nn

− +

e) { 5n - 10 } f) 4 3n

n −

Solución: a) { 5n - 3 } asignamos valoresnaturales a “n”

n { 5n - 3 }1 5(1)-3= 2

2 5(2)-3 = 7

3 5(3) - 3 = 12

4 5(4) - 3 = 17

5 5(5) - 3 = 22{ 5n - 3 } = 2; 7; 12; 17; 22; . . .

f)4 3n

n

−

asignamos valores naturales

a “n”n

4 3n

n

−

1 (41 - 3)/ 1 = 1

2 (42 - 3)/ 2 = 13/2

3 (43 - 3)/ 3 = 61/3

4 (44 - 3)/ 4 = 253/4

5 (45 - 3)/ 5 = 1021/5

4 3n

n

−

= 1; 13/2; 61/3; 253/4; 1921/5; . . . Importante:El alumno escribirá los 5 prime-

ros términos de las sucesiones b, c , d y e2.Escribe el término general o enésimo delas siguientes sucesiones:a) 5; 8; 11; 14; 17; . . . d) 2; 4; 8; 16; 32: . . .

b)3 5 7 9 11

; ; ; ; ;...5 6 7 8 9 e) 1; 3; 6; 10;15; . . .

c) 1 6 25 62 123

; ; ; ; ;...1 2 3 4 5

− f) 4; 18; 40; 70; 108;. .

RAZONANDO CONLAS

SUCESIONES I

Solución: a) 5; 8; 11; 14; 17; . . .

3 3 3 3Observamos que los términos de la sucesiónse llevan de 3 en 3; entonces el término ené-simo de la sucesión será de la forma 3n + kEl valor de K hallamos reemplazando paran=1 e igualando al valor del primer términoque es 5. Asi: 3n + k = 5; 3(1) + k = 5k= 5 - 3 = 2; nalmente la fórmula del térmi -no general o enésimo será : {3n + 2 }

Solución: f) 4; 18; 40; 70; 108;. . .

14 22Observamos que los dos primeros términosde la sucesión se diferencian por 14 uni-dades y que no es la misma diferencia conel tercer término. Hallamos la fórmula paralos dos primeros términos que es 14n - 10y para los demás términos agregamos untérmino que se anule para n=1 y para n=2 yfuncione para el resto de los términos. Esteserá de la forma: k(n-1)(n-2), es decir si n=1ó n=2, este se anula. Luego la ley de forma-ción del término enésimo será:

14n-10 + k(n-1)(n-2); hallamos el valor de ken el tercer término que es igual a 40, Asi: para n=3 reemplazando en 14n-10 +k(n-1)(n-2), obtenemos 14(1) - 10 +k(3-1)(3-2) = 40; resolviendo resulta32+2k=40, dedonde k=4. Finalmente la fórmula del términoenésimo de la sucesión dada queda como {14n-10 +4(n-1)(n-2)}Importante: El alumno hallará el tér-mino enésimo de las sucesiones:b, c, d y e.

3.Hallar el límite y determina la convergen-cia o divergencia de las siguientes sucesio-nes:a) d)

b) e)

c) f)

2

2

3n

2

52

2nn

+

+

2

3

2n

n

+

22 10

4

n

n

−

+

{ }2

7n +

IMPORTANTE: Recuerda quepara determinar la convergencia odivergencia de las sucesiones de-bes conocer algunas propiedadesde límites.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LÍMITES

Si ;k r ∈ ∈� �

Nº PROPIEDAD EJEMPLOS

1{ }lim r

n

Kn

→∞

± = ±∞ { }2

lim 6n

n→∞

= ∞

3lim

4n

n→∞

− = −∞

2lim 0

r n

k

n→∞

± =

2

12lim 0n n→∞

− =

3 { }limn

k k →∞

± = ± { }lim 7 7n→∞

− = −

4{ }lim

lim lim

n nn

n nn n

a b

a b

→∞

→∞ →∞

±

= ±

{ }lim 4 8

li m 4 li m 8

n

n n

n

n

→∞

→∞ →∞

+

= +

5

3. Solución: a) Hallamos el límite de lasucesión:

Aplicamos la propiedad Nº 42lim lim 7 7

x x

n→∞ →∞

+ = ∞ + = ∞

La sucesión es divergentef)Hallamos el límite de la sucesión:

Aplicamos las propiedades 4 y 5 Ahora aplicamos laspropiedades 1: 2 y 3

la respuesta es indeterminadaLevantamos la indeterminada dividiendo alnumerador y el denominador entre n3 (varia-ble con mayor exponente)

La sucesión es divergente porque tiende alinnito. El alumno hallará los límitesde las sucesiones: b, c, d y e.

{ }2lim 7n

n→∞

+

3

2

7 4

5

n

n

+

−

3

2

7 4

5

n

n

+

−

33

2 2

lim 7 lim 47 4lim

5 lim lim 5n n

n

n n

nn

n n

→∞ →∞

→∞→∞ →∞

+ +=

− −

45

∞ + ∞= =∞− ∞

3

3 3 3

2

33 3

7 4 47

7 0lim lim

1 55 0 0n n

n

n n nn

n nn n

→∞ →∞

+ + +

= = = ∞ − −−

24lim

5 2n

n

n→∞

+

−

2l im4

lim 5 2

n

n

n

n

→∞

→∞

+=

−

lim

lim lim

nn n

nn n

n

aa

b b

→∞

→∞→∞

=



SUCESIONES LITERALESEstá conformado por unconjunto ordenado de sólo se

letras que obedecen a usan 27 un criterio establecido. letras del Ejemplo:En la sucesión alfabeto

literal : A, D, I, O,. . queletra sigue:Solución:A B C D E F G H I J K L M N Ñ O

2 4 6P Q R S T U V W X Y Z. Respuesta: x8

Como se observa la sucesión tiene unarazón de 2 (aumenta de 2 en 2), no se hanusado las letras CH y LL SUCESIONES POLINOMIALES

DE PRIMER ORDEN Son aquellas sucesiones de

primer grado o lineales cuyotérmino enésimo tiene la forma de:

Tn= r.n + b

Donde, Tn: término enésimo

r: razón a1= primer término b: a1 - r

Ejemplo: Escribir el término enésimo de lasucesión: 5; 8; 11; 14; 17; . . .

Solución: 5; 8; 11; 14; 17; .

3 3 3 3Observando:a1 = 5; r= 3; b= 5 - 3 = 2Entonces el término enésimo es:T

n= 3n + 2. Comprobamos hallando el térmi-

no que sigue, en este caso es el sexto térmi-no (n=6)Reemplazamos en la fórmula deltérmino enésimo. T

n = 3n + 2

T6 = 3(6)+ 2 = 20

SUCESIONES POLINOMIALESDE SEGUNDO ORDEN

Son aquellas sucesiones de segundo grado o cuadráticas cuyotérmino enésimo tiene la forma de:

T

n= an2+ bn + c

Donde, Tn: término enésimo

3 x ∈ ≥�

1 1 1 1

1 0 1 1 1 2 1 3 ... 2n n n n

nT a C b C c C d C n

− − − −= + + + + ∀ ≥

a=r/2; b=b0-a y c= a

0 .

Ejemplo:Hallar el término enésimo de lasucesión cuadrádica:7; 9; 17; 31; 51; . . . SOLUCIÓN

a0 a

1 a

2

a3

a4 a

5

c=a0=11 11 7; 9; 17; 31 51

b0 b

1 b

2 b

3b

4

b=b0-a=-7 -4 2 8 14 20

r r r r

a=r/2=3 6 6 6 6Luego el término enésimo será:

Tn =3n2 - 7n + 11SUCESIONES POLINOMIALES

DE ORDEN SUPERIORSon aquellas sucesiones mayores desegundo grado cuyo término enésimotiene la forma de :

Tn= anx + bnx-1 + cnx-2 + dnx-3+. .. + zn+© .Donde a,b,c,d,z y © son cons-tantes;Importante:Para hallar el término enésimode una sucesión de orden superior se usa elteorema de Gregory que tiene la forma de:

Términos de la Suces. a1 a

2 a

3 a

4 a

5 a

6 . . .

Diferencias de 1º Orden b1 b

2 b

3 b

4 b

5

Diferencias de 2º Orden c1 c

2 c

3 c

4

Diferencias de 3º Orden d1 d

2 d

3

Ejemplo: Hallar el término enésimo de lasucesión: 2 7 18 37 66 107. . .SOLUCIÓN: 2 7 18 37 66 107 a

1 = 2

b1= 5 5 11 19 29 41

c

1 = 6 6 8 10 12

d1 = 2 2 2 2

Resolviendo:

Comprobamos hallando el sexto término que es 107

1 1 1 1

0 1 2 32 5 6 2n n n n

Tn C C C C − − − −= + + +

5( 1 ) 6( 1 )( 2) 2( 1 )( 2)( 3)20! 1! 2! 3!

n n n n n n

nT − − − − − −= + + +

3 23 3

3n n nTn + − +=

3 2( 6 ) 3( 6 ) 7 3

6 3 107T

+ − += =

SUCESIONESHIPERGEOMÉTRICAS

Son aquellassucesiones{T

n }

que tienen la for-ma de:

Ejemplo:Dado la sucesión:15; 105; 315; 693. . . ;comprobar si eshipergeométrica y luego hallarSolución:La sucesión se puede expresarcomo: 1x3x5; 3x5x7; 5x7x9; 7x9x11; . . .

t n=(2n-1)(2n+1)(2n+3); t

n+1=(2n+1)(2n+3)(2n+5)

Luego:

RAZONANDOCON LAS

SUCESIONES II

BATERÍA DE PROBLEMAS

RESUELTOS Nº 2

1.¿Cuántos términos tiene la sucesión: 5; 8; 11; 14; . . . ; 242Solución: 5; 8; 11; 14; . . . ; 242

r 3 3 3Observamos que la sucesión es polinomialde primer orden de razón 3 , su forma es

Tn = r.n + b Tn = 3.n + bHallamos el valor de “b”, para n=1; t

1 = 5

5 = 3.1 + b b = 2; entonces eltérmino enésimo es: Tn = 3.n + 2

Ahora hallamos el número de términos para Tn=242; 242 = 3.n + 2 n=80La sucesión tiene 80 términos

n+1

n

n

n

t

t

α β

α θ

+

+=

, ,α β θ

( 2 1)( 2 3)( 2 5) (2 5)1

( 2 1)( 2 1)( 2 3) ( 2 1)

n n n nn

n n n n

n

t

t

+ + + ++− + + −= =

2; 5; 1α β θ = = = −

2.Dado la sucesión: 700; 690; 680; 670; . .a) ¿Qué lugar ocupa el térmi-no negativo y cuál es ese número?b) ¿Qué término ocupa el lugar 2000?

Solución: 700; 690; 680; 670; . . .

-10 -10 -10Observamos que la sucesión es polinomialde primer orden de razón -10 , su forma es

Tn = r.n + b Tn = -10.n + b

Hallamos el valor de “b”, para n=1; t1 = 700

700 = -10.1+b; b = 710; entonces el

término enésimo es: Tn = -10.n+ 710

a) Hallamos qué lugar ocupa el tér-mino negativo y cuál es ese número

Tn<0; -10.n+ 710<0Resolviendo n>71Entonces el primer término negativo ocupa el

lugar 72 y es: T72 = -10.72+ 710 = -10

b)Hallamos el término que ocupa el

lugar 2000. T2000 = -10.2000+ 710 = -19290

3.Hallar el término que ocupa el lugar 30 enla sucesión:9; 15; 23; 33; 45; . . . Solución: c=a

0=5 5 9; 15; 23; 33; 45;. .

a0

b=b0-a=3 4 6 8 10 12

b0

a=r/2=1 r 2 2 2 2Observamos que la sucesión es poli-nomial de segundo orden su forma es

Tn = an2+bn+c Tn= n2+3n+5 Ahora hallamos el término de lugar 30

T30=(30)2+3(30)+5 = 9954.Dado las sucesiones:

an = -42;-38; -34; -30; . . .;110

bn = -69; -62; -55; -48; . . .; 113.Hallar :

Solución: Primero hallamos el tér-mino enésimo de ambas sucesiones:a

n=4n-46 y b

n = 7n - 76; luego halla-

mos el término donde coinciden ambosvalores igualando las sucesiones: a

n = b

n

4n - 16 = 7n - 76 n= 10 ; coincidenen el término 10 donde ambos valen -6.

n na b∩



TÉRMINOS VALORESa

n=4n-46 b

n = 7n - 6

a10

a10

-6a

17b

1422

a24

b18

50a

31b

2278

a38

b26

106

a45

b30

134(incorrecto)

Sus términos varían de 7 en 7

Sus términos varían de 4 en 4

Los valores varíande 28 en 28 que es el

mcm de (4 y 7)

Finalmente n na b∩ ={-6; 22; 50; 78; 106; }

5.hallar el 30º término de la sucesión:6; 10; 21; 42; 76....Solución: 6; 10; 21; 42; 76....

4 11 21 34

7 10 13

3 3Observamos que la sucesión es polino-

mial de orden superior su forma es:

Ahora hallamos t30

6.hallar el 20º término de la sucesióncuadrática: 20

(x); 31

(x); 46

(x); 101

(x); 130

(x)....

Solución: Los números están escritos enbase distinto al decimal, donde x>6; puedeser 7; 8 ; 9;...; los términos de la sucesiónexpresada en base 7 son:14; 22; 34; 50;70;..

que viene a ser una sucesión de 20

Orden.14; 22; 34; 50; 70

8 12 16 20

4 4 4El término enésimo es: T

n = 2n2 + 2n + 10

El 20º término es: T20

=2(20)2 +2(20)+10=850

7.hallar el 10º término de la sucesión:2; 1; 1; 8/7; 4/3Solución: La sucesión se puede expresar

6 4( 1) 7 ( 1)( 2) 3( 1)( 2)( 3)0! 1! 2! 3!

n n n n n n

− − − − − −+ + +

3 2 2 12n

t n n n= + − +

3 2

30 30 30 2(30) 1 2 27852t = + − + =

Asi: 2/1; 3/3; 5/5; 8/7; 12/9; . . . Analizamos el numerador: 2; 3; 5; 8; 12;Es una sucesión cuadrática 1 2 3 4 Su 10º término es: 1 1 1

Analizamos el denominador: 1; 3; 5; 7; 9; . .Son los números impares T

n = 2n - 1

Su 10º término es: 2(10) - 1= 19

Luego; el 10º termino de la sucesión es:

8.Hallar por cuatro métodos diferentes eldécimo término de la sucesión cuadrática:32; 96; 192; 320; 480; . . .Solución:A)Primer método (por la fórmula del término enésimo de unaecuación de segundo orden ,T

n=an2 + bn + c)

0 32; 96; 192; 320; 480;a0

32 64 96 128 160 b0

32 32 32 32

r

a= r/2 = 32/2 = 16; b=b0-a=16 c=a0=0Tn=16n2 + 16n + 0; remplazando valores para

n=10 T10

=16(10)2 + 16(10) + 0 = 1760

B)Segundo método(de combinación, teorema de Gregory)T

n= 32 +64(n-1)+16(n-1) (n-2)

=32 + 64(9) + 16(9)(8)=1760

D)Tercer método (de ecuación)

an Ecuacióna

1 = 32 A(1)2+ B(1)+(C)=32 A+B+C=32

a2 = 96 A(2)2+ B(2)+(C)=32 4A+2B+C=96

a3 = 192 A(3)2+ B(3)+(C)=32 9A+3B+C=192Resolviendo el sistema de ecuaciones:

A=16; B= 16 y C = 0 Tn=16n2 + 16n + 0

T10

=16(10)2 + 16(10) + 0 = 1760E)Cuarto método (hipergeométrico)La sucesión se puede expresar como32; 96; 192; 320; 480; . . .

4x8; 8x12; 12x16; 16x20; 20x24; . . .

y su término enésimo es:Tn = [4(n)] [ 4(n+1)]

Remplazando valores T10

= [4(10)] [ 4(10+1)]T

10 = [40] [ 44] = 1760

2

22 2

n

n nT = − +

2(1 0) 1 02 47

2 2n

T = − + =

47

19

3 2 64 ( 1) 3 2 ( 1) ( 2 )

0! 1! 2!n

n n nT

− − −= + +

SUCESIONES ESPECIALES

PROGRESIONESARITMÉTICAS

Son aquellas sucesiones de primer ordendonde un término cualquiera es igual al an-

terior incrementado en una misma cantidadllamada razón.Su término enésimo es:a

n = a

1 + (n-1) r

Donde:

an= término de lugar “n”a

1= primer término de la progresión

r = razón o diferencia de la progresiónn = número de elementos de la progresiónEjemplo:Hallar el vigésimo término de la progresión:2; 5; 8; 11; 14; . . .

Observamos que: an = a1 + (n-1) r a

1 = 2; r =3; n= 20; a

20 = 2 + (20-1) 3

Luego el vigésimo término es: 2+19(3) = 59

PROGRESIONESGEOMÉTRICAS

Son aquellas sucesiones donde un términocualquiera es igual al anterior multiplicadopor una misma cantidad llamada razón.

Su término enésimo es: an = a1 . r n-1

Donde:an= término de lugar “n”

a1= primer término de la progresiónr = razón de la progresiónn = número de elementos de la progresiónEjemplo:Hallar el décimo término de la progresión:2; 4; 8; 16; 32; . . .

Observamos que: an = a

1 . r n-1

a1 = 2; r =2; n= 10; a

10 = 2 . 210-1 Luego

el décimo término es: 210 = 1024

PROGRESIONESARMÓNICAS

Son aquellas sucesiones donde sus térmi-nos son las inversas de las progresiones

aritméticas.Ejemplo:

Su término enésimo se halla con la fór-mula de la progresión aritmética, luego alresultado se invierte.

PRÁCTICANº 1

SUCESIONES

AHORA TE

TOCA A TI

CEREBRITO

1.En la sucesión :12; 48; 9; 36; 6; 24; a; b ; . . .Hallar a + b

a) 12 b) 13 c) 15 d) 18 e) 20

2. Qué término sigue en lasucesión 1; 10; Z; Q; 2; 9; Y;a) P b) Q c) R d) S e) T

3. Que letra sigue:G; L; O; R; . . .a) I b) S c) T d) U e) V

4. La siguiente sucesión:a)es divergente b) converge a 0c)converge a 3 d) es indenida e) N.A.

5. ¿Cuántos términos tiene la sucesión? 3; 10; 17; 24;. . . 696a) 100 b) 102 c) 104 d) 106 6) 108

6.Hallar el término que ocupa ellugar 2010 en la sucesión: 1; 3; 5; 7; . . .a)1011 b) 2013 c) 3015 d) 4019 e) 4021

1 1 1 1; ; ; : ..

3 7 1 1 1 5

{ }4

3

3 2

1

n n

nS

+

+=



7. Halla el término que sigue en la sucesión :

a) 6 b) c) 8 d) e)

8.En el siguiente arreglo triangular hallar an

sitiene 20 las.

1 3 4 5 8 12

7 12 20 32 9 16 28 48 80

a20 - - - - - - - - - - - - an

a)5.217 b) 5.218 c) 5.219 d) 5.220 e) 5.221

9.Halla el 21º término de:2; 9; 28; 65; 126; . .a)9520 b)9262 c)9530 d)10340 e)10540

10. Halle el 20º término de la sucesión en elsistema decimal: 15

7; 26

7; 46

7; 75

7;. . .

a) 1190 b) 1192 c) 1194 d) 1196 e9 1198

11. ¿En qué número termina la la que

comienza con el número 100?24 6

6 9 128 12 16 2010 15 20 25 30

a) 2000 b) 2200 c) 2300 d)2450 e) 2550

12.Hallar el primer término negativo de lasucesión: 512; 509; 506; 503; . . .a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5

13. Hallar el término de lugar 31 en lasucesión: 22; 42; 74; 121; 186; 272; . . .a)18000 b)18010 c)18020 d)18220 e)18022

14. ¿Cuántos términos de la sucesión:

10; 22; 34; 46; 58; 70; . . . son núme-ros de tres cifras terminados en 0?a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

15.¿Cuántos términos de la sucesión:15; 22; 29; 36; 43;. . . ; tienen cuatro cifras enel sistema de base 6 ?a) 154 b) 155 c) 156 d) 157 e) 158

16. Halla a + b + c ,en la sucesión:1534; 1836; 2138; 2440; 2742; . . . a(2b)cabc

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

2 ; 2 ; 8 ; 4; . ..

14 18 32

17.Si la sucesión: 10; 18; x; 56; 94; y: . . espolinomial y de tercer orden, halle su décimotérmino.a) 620 b) 624 c) 630 d) 634 e) 640

18. Hallar el término de lugar 20 en la suce-sión polinomial de primer orden cuyos térmi-nos son múltiplos de 5:

_ __ _____ _____ _____ a; ba; (b+1)a; (b+2)a: (b+3)a; . . .a) 175 b) 185 c) 195 d) 205 e)215

19. En el mes de febrero del 2008 Franz tuvoun record de visitantes en su blog; el primerdía le visitaron 8 personas, el segundo día 13,el tercer día 20, el cuarto día 29, el quinto día40 y asi sucesivamente.¿Cuántas personasle habrían visitado el último día de febrero?a) 845 b) 850 c) 875 d) 904 e)905

20.En la sucesión literal: L; M, M; J; .....queletra sigue?a) K b) N c) O d) R e) V

21. En la progresión aritmética decrecien-te: 69; 65; 61; 57; . . . Halla la suma del pri-

mer y último término negativo de 2 cifras.a) -110 b) -111 c) - 113 d) - 114 e) - 115

22. El tercer término de una progresiónaritmética es 22 y un término no conse-cutivo posterior a él es 31. Halle el térmi-no de lugar 100 si la razón es mayor que 1.a) 312 b) 314 c) 316 d) 318 e) 320

23. Si la progresión aritmética: xy; xp; xq; yx;. . . tiene como razón “y” . Halle x + y + p + qa) 18 b) 19 c) 19 d) 20 e) 21

24. Halle el 20º término de la pro-

gresión armónica: 1/5; 1/8; 1/11; . . .a) 1/58 b) 1/59 c) 1/60 d) 1/61 e) 1/62

25. En una progresión geométrica de 10términos y de razón igual a 3; el décimo

témino es 273. Hallar el primer término.a) 34 b) 33 c) 32 d) 31 e) 30

26. En la progresión geométrica: 26x-4; 22x-1; 2x/2; . . . Hallar “x”a) 0,8 b) 0,7 c) 0,6 d) 0,5 e) 0,4

SERIES Son adiciones

indicadas desucesiones, elvalor de laserie estáexpresado porla suma

Ejemplo: Dado la sucesión:

Sn ={a1; a

2; a

3; a

4;. . .a

n}.La serie será:

Sn = a1 +a2+ a3+ a4+ . . .+an

PRINCIPALES SERIES

1. SERIE DE PRIMERGRADO O ARITMÉTICA

Sus términos forman una progresión aritméti-ca. Para hallar esta serie se utiliza la fórmula: a

1 = primer término

an = último término

n = número total de términosSn = Suma de términos de la sucesión

aritmética.

Ejemplo: Hallar el valor de:3 + 5 + 7 + . . . + 135

Solución: a1 = 3; a

n =135 . n =

Necesitamos hallar “n” para aplicar la fórmulaHallamos “n” con la fórmula del término ené-simo de la sucesión lineal.Tn = 2n + 1 135 = 2n + 1 134 = 2nn= 67

2. SERIE GEOMÉTRICA:Sus términos forman una progresión geomé-trica. Para hallar esta serie se utiliza la fórmula:

Ejemplo: Hallar el valor de:

1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 219 Solución: a

1 = 1; a

n =219 . n =20

Reemplazando en la fórmula:

1

2

na a

Sn n+

=

3 13567 4623

2Sn

+ = =

1

( 1)1

na r

Snr

−= −

201(2 1)1048575

2 1Sn

−= =

−

3. SERIE INFINITA DECRECIENTE EILIMITADA (SUMA LÍMITE):

Representa la suma límite de una progre-sión geométrica decreciente e ilimitada.Se calcula con la fórmula:

Ejemplo: Hallar. S = 9 + 3 + 1 + 1/3 + . . .Solución: a

1 = 9 , r = 1/3


4. SERIE CUADRÁTICA:Es la suma de una sucesión de segundoorden o cuadrática. Se calcula con la fórmula:

Ejemplo:Hallar.S = 2+5 +10 +17 +26+. . + t n 20 términosSolución:

a1 2 5 10 17 26

b1 3 5 7 9

c1 2 2 2


Resolviendo S= 40 + 570 + 2280 = 28905. SERIE DE GRADO SUPERIOR:

Sus términos forman una sucesión de gra-do superior. La serie se halla con la fórmula:

Ejemplo: hallar S= 1+3+19+61+141+...+tn

10 términos

Solución:a

1 1 3 19 61 141

b

1 2 16 42 80

c1 14 26 38

d1 12 12


1

1

aS

r ∞ =

−

913,5

11

3

S ∞ = =−

1 1 1( ) ( )( 1) ( )( 1)( 2)

1! 2! 3!

a n b n n c n n nSn

− − −= + +

1 1 1 1a (n) b (n)(n-1) c (n)(n-1)(n-2) d (n)(n-1)(n-2)(n-3)

Sn= + + + +.....1! 2! 3! 4!

1(10) 2(10)(9) 14(10)(9)(8) 12(10)(9)(8)(7)Sn= + + + =4300

1! 2! 3! 4!

2(20 3(20)(19) 2(20)(19)(18)

1! 2! 3!+ +



1( )

nt n t

Sn α β θ

α β θ

+ −=

+ −

1n

n

t n

t n

α β

α θ

+ +=

+

; yα β θ

θ

6. SERIE HIPERGEOMÉTRICA:Tiene laforma de:

La serie hipergeométrica se halla con lafórmula:

Donde: son diferentes de 0

tn= término enésimon= número de términost1= primer término

α = Coeciente de n

β = Término independiente en el numerador

=Término independiente en el denominador Ejemplo: Hallar S=1x3x5+3x5x7+5x7x9+. . .

20 términosSolución: Le damos forma se sucesiónhipergeométrica.

tn = (2n-1)(2n+1)(2n+3)

tn+1=(2n+1)(2n+3)(2n+5)

donde: = 2 = 5 = -1

SERIES NOTABLES

1.Suma de los elementos neutrosmultiplicativos:

S = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . . S = n

n términos

2.Suma de los “n” números naturales:

S = 1 +2+ 3+ 4+ 5+. . . .+ n

n términos

α β θ

1 (2 1)(2 3)(2 5) (2 5)

(2 1)( 2 1)(2 3) ( 2 1)

n

n

t n n n n

t n n n n

+ + + + += =

− + + −

1( )

nt n t

Sn α β θ

α β θ

+ −=

+ −

( 2 1)( 2 1) (2 3) (2 5 ) 15 ( 1)n n n nSn

α β θ

− + + + − −=

+ −(2(20) 1)(2(20) 1)(2(20) 3)(2(20) 5) 15( 1)

3867602 5 ( 1)

Sn − + + + − −

= =+ − −

( 1)

2

n nS

+=

3.Suma de los “n” primeros números naturales pares:

S= 2+ 4+ 6+ 8+ . . . S= n (n+ 1)

4.Suma de los “n” primeros números naturales impares:

S = 1+ 3+ 5+ 7+ . . . S = n2

5.Suma de los cuadrados de los “n”primeros números naturales:

S = 12+ 22+ 32+. . . +n2

6.Suma de los cubos de los “n” primeros números naturales:

S = 13+23+33+. . . n3

7.Suma de las cuartas potencias delos “n” primeros números naturales:

S = 14+ 24+ 34+ . . . n4

8.Suma de las quintas potencias delos “n” primeros números naturales:

S =15+25+35+ . . . n5

9.Suma de los productos binarios delos “n” primeros números naturales:

S = 1x2 + 2x3+ 3x4+ . . . n(n+1)

10.Suma de los productos ternariosde los “n” primeros números

naturales:

S = 1x2x3+ 2x3x4+ 3x4x5+ . . . +n(n+1)(n+2)

11.Suma de las “n” potencias deigual base:

S = k1+ k2+ k3+ k4+. . . +kn

( 1)(2 1)

6

n n n

S

+ +=

2( 1)

2

n nS

+ =

2( 1)(2 1)(3 3 1)

30

n n n n nS

+ + + −=

2 2 2( 1) (2 1)(2 2 1)

12

n n n n nS

+ + + −=

( 1)( 2)

3

n n nS

+ +=

( 1)( 2)( 3

4

n n n nS

+ + +=

( 1)

1

nk k

S k

−=

−

12.Suma de las inversas deproductos de igual razón:

r r r r

13.Suma de números enterosconsecutivos:S=m+(m+1)+(m+2)+ . . . +n

14.Serie geométrica de “n” términospositivos:

S= 1 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 +. . . + xn-1

15.Serie geométrica de infnitos

términos:

S= 1 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 +. . . + ∞

(condición de convergencia)

16.Serie geométrica de “n” términoscon signos alternados(+) y (-):

S= 1 -x1 + x2 - x3 + x4 - x5. . . ± xn-1

(+), si n es par

(-), si n es impar

17.Serie geométrica de coefcientes

crecientes naturales de infnitos

términos:

S=1 + 2x +3x2 + 4x3 + . . . + ∞

(condición de convergencia)

1 2 2 3 3 4 1

1 1 1 1...

n na xa a xa a xa a xa−

+ + + +

1

1 1 1

n

S a a r

= −

( )( 1)

2

n m n mS

+ − +=

1

1

n x

S x

−=

−

1

1S

x=

−

1

1

n xS

x

±=

+

0 1 x≤ <

2

1

(1 )S

x=

−0 1 x≤ <

RAZONANDO CON LASSERIES

BATERÍA DEPROBLEMAS

RESUELTOS Nº 31.Halla la suma de las cifras de la suma de los 10primeros términos comunes de las sucesiones:

An = {10; 15; 20; 25; . . . }B

x= { 7; 10; 13; 16, . . .}

a) 19 b)20 c) 21 d)22 e) 23Solución:Los términos enésimos de las sucesionesson: A

n = 5n ; B

x= 3x + 4; por condición

del problema: 5(2) = 3(2) + 4 5(5) = 3(7) + 4 5(8) = 3(12) + 4 5(11) =3(17) + 4 5(14) =3(22) + 4Los términos que coinciden son:10; 25; 40;55; 70;. . . ,forman una progresión aritmé-

tica cuyo término enésimo es: tn= 15n - 5

donde t10= 15(10) - 5 = 145 y la sumade los 10 primeros términos es:

Respuesta: a 2. Halla S

a)24/73 b) 24/146 c) 12/73 d) 12/146 e) N.ASolución: Factorizando

Aplicando la fórmula 12

1

1 1 1

n

S a a r

= −

Respuesta: c

1 10

10

10 14510 10 775

2 2

t t S

+ + = = =

1 1 1 1 1...

3.3 9.5 15.7 21.9 213.73S = + + + +

1 1 1 1 1 1...3 1.3 3.5 5.7 7.9 71.73

S = + + + +

1 1 1 1 12

3 1 73 2 73

− =



3.¿Cuántos términos hay que considerar enlas 2 series para que la suma de ambas seala misma?S

1 = 2; 4; 6; 8; . . . n términos

S2= 50; 48; 46; 44, . . .n términos

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25Solución:Sabemos que:S

1 = (n+1), suma de números pares

y S2= ,suma de términos de una progresiónaritmética. Reemplazando valores en la fórmula

S2= (51-n)nSegún la condición del problema

S1 = S

2n(n+1) = (51-n)n2n = 50, de donde n= 25Respuesta e

4.Calcular: 20 cifras

S= 3 + 33 + 333 + 3333 + . . . + 33... 333a) 62 b) 63 c) 64 d) 65 e) 66Solución:Multiplicamos por 3 20 cifras 3S= 9 + 99 + 999 + 9999 + . . . + 99...9993S=[101-1 + 102-1 + 103-1 + . . .+ 1020-1]

3S=[101 + 102 + 103 + . . .+ 1020 - 20(-1)]

( Suma de la “n” potencias de igual base) 20 cifras

3S=[ 10(1020 -1) - 20] =10[( 99...999)/9 - 20] 20 cifras 3S = 10[( 11...111] - 20 21 cifras

3S = 11...11090 ; S= 3703. . . 370307 veces 3 + 6veces 7 = 7x3 + 6x7 = 21 +42Respuesta b 100 sumandos

5.Hallar S=5+6+8+9+11+12+14+15+17+18...

a) 7600 b) 7700 c) 7800 d) 7900 e) 8050

Solución:Ordenando:

S1 = 5+8+11+14+17. . . t50= 3(50) + 2 =152S

2= 6+9+12+15+18 . . . t

50= 3(50)+3 = 153

S1 =[(5+152)/2]50 = 3925

S2 = [(6+153)/2]50 = 3975Finalmente S = S

1 + S

2= 3925+3975 = 7900

Respuesta d

6. Halla la suma de cifras del resultado de

sumar:12 + 22 + 32 + 42 + . . . . . . . . . . . + 202

22 + 32 + 42 + 52 + . . . . . . . + 202

32 + 42 + 52 + 62 + . . . . . + 202

42 + 52 + 62 + 72 +. . . . .+202

. . . . .

. . . .

. .202

a) 9 b)10 c)11 d)12 e) 13Solución: Si observamos cuidadosamente

Tenemos 1.12+2.22+3.32+4.42+. . . +20.202

13

+23

+33

+43

. . . 203

(Suma de los cubosde los 20 primeros números naturales)

S= [(20.21)/2]2 =44100. Donde lasuma de las cifras es 4+4+1+0+0 =9Respuesta a

7. Si M = 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + . . .+ S =Hallar S.Va)108 b) 37 c) 216 d) 36 e) 206Solución:1 + 2 + 3+ 4 + 5 + . . .+ S =

(suma de los S primeros números naturales)Resolviendo: S(S+1) = 2(100v + 10V +V)S(S+1) = 2(101V) S(S+1) = 2(37.3V)S(S+1) = 37. 6V 36.(36+1) =37.6VDe donde S=36 y V = 6 SV = 216Respuesta c8.Hallar la suma de cifras del resultado de S:

S=23 + 43 + 63 + 83 + . . . . 203

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14Solución: Factorizando

S=23(13 + 23 + 33 + 43 + . . . . 103)

S= 8 [ (10.11)/2]2 S = 8.552 24200Luego la suma de cifras de S es= 2+4+2= 8Respuesta b

1

2

na a

Sn n+

=

( 1)

2

S S VVV

+=

VVV

PRÁCTICA Nº 2SERIES

AHORA TE

TOCA A TI

CEREBRITO

NIVEL I

1.Hallar RR=1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 2n-1

50 sumandosa)1500 b) 2000 c) 2500 d)3000 e) 3500

2. ¿ Cuántos sumandos hay en la serie ?2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = 992a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

3. En la serie: 1 + 2 +3 +4 + . . . n = 378hallar na)25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

4. Calcular S= 22+42+62+82+. . . +1002

a)17070 b)17170 c)170070 d) 171700 e) N.A.

5.Hallar SS= 1+1+1+4+8+3+9+27+5+16+64+7. . .

60 sumandosa) 44100 b) 46970 c) 47010 d)47370 e) N.A.

6.Hallar S (x, número par menor que 3) ___

S = 1 + 2 + 3 + 4 +. . .+ xxxa)24753 b)24754 c)24756 d) 24853 e) N.A.

7.Calcular:

a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5 d/ 5/4 e) 3/5 8. Hallar SS= 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + . . .

12 sumandosa)1365 b) -1365 c) 2730 d) - 2730 e) N.A.

1 1 11 ...5 25 125

S = + + + +

9. Hallar Z7326 = 123 + 122 + 121 + 120 + . . . + za) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

10. Halla la sumatoria de todos los ele-mentos del siguiente arreglo triangular: Fila 1 2 Fila 2 4 4 Fila 3 6 6 6 Fila 4 8 8 8 8

. . . . .

. . . . . .. . . . . . .

Fila 15 . . . . .a) 2380 b) 2480 c) 3280 d) 3480 e) 4320

NIVEL II

1. El siguiente triángulo numérico está forma-do por el - 1 y todos los números impares po-sitivos en forma correlativa. Calcula la sumade todos los números ubicados en la la 20

(Problema 5 , ONEM 2005 -II Fase Nivel 2)

Fila 1 -1

Fila 2 1 3 Fila 3 5 7 9 Fila 4 11 13 15 17 . . . . . . . . . . .

. . . . . . .Fila 20 . . . . .a) 3960 b) 4960 c) 5960 d)6960 e) 7960

2.Calcular S= 1+ 11+ 111 + 1111 + . . .11...111(UNI 97 II ) n cifras

3. Halla la suma de cifras del resultado de FF = 7+97+997+ 9997 + . . . 99.....997

10 cifrasa)14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

1 1

1 1

1 10 10 1 10 10) [ ] ) [ ]

9 9 9 9

1 10 10 1 10 10) [ ] ) [ ] ) .

9 9 9 9

n n

n n

a n b n

c n d n e N A

+ −

+ +

− −+ +

− +− +



4. Halla la suma de todos los términos de lasucesión nita. ( San Marcos 2003)

4 + 7 + 12 + 19 + 28 + . . . 292a) 1836 b) 1785 c) 1863 d) 1896 e) 1752

5. Si la suma de los 20 números natura-les consecutivos es N, la suma de los 20siguientes será: (Villareal 2001)a) N b) N + 20 c) N + 400 d) N + 120 e) N.A.

6.Hallar la suma de las cifras del resultado

de: MM=1+3+5+11+33+55+111+333+555+ . . .

60 sumandosa) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

7. Halla la sumatoria de todos los elementosdel siguiente arreglo triangular: Fila 1 5 Fila 2 6 6 Fila 3 7 1 7 Fila 4 8 2 3 8

Fila 5 9 4 5 6 9

. . . . . .

. . . . . . .Fila 20 . . . . . . a)15281 b)16721 c) 17684 d) 15106 e) N.A.

8. Calcular PP= 1 + 2 + 6+ 12 + 20 + . . . . + 420a) 2270 b) 2280 c) 3080 d) 3081 e) 4320

9. Sumar:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24

. . . . .. . . . . . .

23 + 24 + 24a)4800 b) 4900 c) 5000 d) 5800 d) 5900

10. Hallar S S = 6 + 24 + 60 + 120 + . . . . 9240a)53103 b) 53010 c) 53303 d) 53130 e) N.A.

NIVEL III

1. Hallar S, si está en progresión aritmética.S= 23

(x) + 30(x) + 35

(x) + . . . 155(x)

a)1214 b) 1314 c) 1215 d)1216 e) 1218

2. Hallar S + V + P _____ Si 5 + 7 + 9 + 11 + . . . = SVSV P sumandosa) 113 b) 114 c) 115 d) 116 e) 117

3.Hallar P = 21S + 22S + 23S + 24S + . . .

10 sumandosV = 1 + 1.2 + 2. 3 + 3.4 + . . .

11 sumandosa)1/5 b) 3/7 c) 2/ 7 d) 1/ 7 e) 1/21

4. Halla f + r + a + n + z , si los sumandosforman una progresión geométrica:

_____

f + 10(n)

+ 30(n)

+ 90(n)

+ . . . = arnzf

r sumandos

a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30

5.Halla S = 1 + 1/8 + 3/32 + 7/128 + . . . .a) 4/3 b) 5/3 c) 7/2 d) 3/5 e) 7/56. Una pelota se suelta desde una altura de 42metros, si en cada rebote alcanza una altura iguala los 3/5 de l a altura anterior. Calcula la distanciatotal que recorre hasta que se detengaa)160 b) 162 c) 168 d) 170 e) 1727. Hallar s+m en:1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8 + . . . + s.m = 11315a)56 b) 58 c) 60 d) 62 e) 648. Hallar R en:R= -2+0 + 0+ 0+ 2 + 8 +20 + . . . + 6552a) 47 502 b) 47450 c)47500 d) 45600 e) N.A.9.Un jardinero tiene que regar sus 10 plantas

de naranjos situados en línea recta.Si su pri-mera planta se encuentra a 3 metros del pozode agua y las plantas se encuentran separa-das entre si entre 3 y 5 metros alternadamen-te, sabiendo que en cada viaje que realiza solopuede regar una planta. ¿Cuál es el recorri-do total que hará para regar todas las plantas?a) 390 b) 395 c) 400 d ) 485 e) 49010. Sea N = 9 + 99 + 999 + 9999 + . . . + 99...999 2009 veces¿Cuántas veces aparecerá el dígito 1 en el número N(ONEM 2010-Segunda Fase- Nivel II)a) 2007 b) 2008 c) 2009 d) 2010 e) 2011

.682 1S V =

CAPACIDADES: Interpretar, comprender, formular, plantear, resolver y aplicar.


- Interpreta y comprende problemas con ecuaciones.

- Plantea y resuelve ecuaciones.

- Formula problemas con ecuaciones.

- Aplica las ecuaciones en la solución de problemas de la vida cotidiana.

Dos velas del mismo tamaño se prendensimultáneamente.Después de cierto

tiempo una de las velas es “V” veces el otro, si se sabe

que uno se agota en“S” horas y elotro en “V” horas

(S>V).El tiempo es: T=[S(V-1)] / S-1



NOCIÓN DE ECUACIÓN

Es la relación de igualdad entre expresionesalgebraicas, contiene variables(incógnitas )ynúmeros.

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNAECUACIÓN (C. S.)

Son los números, valores o elementos queverican el valor de verdad de una ecuación,

tambien se conoce como raíces de la ecua-ción.Ejemplos de ecuaciones1. 3x + 2 = 26El valor de la incógnita que verica la ecua-ción es x = 8 C.S. = {8}2. x(x - 3) = 10Los valores de x que hacen verdadera la ecua-ción son x= -2 y x= 5; llamados tambien raí-ces de la ecuación C.S. = { -2; 5 }

CLASIFICACIÓN DE LASECUACIÓNES

I)POR EL TIPO DE SOLUCIONES:

1. Ecuaciones compatibles.-Cuandoadmiten por lo menos una solución, éstaspueden ser:

a)Determinadas.- Admiten un númerolimitado de soluciones.Ejemplo: (x2 - 1 ) ( x + 2 ) = 0C.S. = { -2; -1; 1 }, admite tres soluciones.

b) Indeterminadas: Cuando admiten ilimi-tadas soluciones.Ejemplo:4x + 2( x + 4 ) - 5 = - 7 + 5(x + 2 ) + x4x + 2x + 8 - 5 = -7 + 5x + 10 + x6x + 3 = 6x + 3. se verica para cualquier

valor de x.

c: No admiten solución alguna por eso sellaman ecuaciones absurdas.Ejemplo:

2 ( 2x + 5 ) = 3 ( x + 4 ) + x4x + 10 = 3x + 12 + x10 = 12 (absurdo). C.S. = { }

II)POR EL GRADO DE SU VARIABLE:

1. Ecuaciones lineales.-Cuando son deprimer grado.Ejemplo:3x + 7 = 9 + 2x

2. Ecuaciones cuadráticas.- Cuandoson de segundo grado.Ejemplo:

x2 + 5x + 6 = 0

3. Ecuaciones de tercer grado.- Cuan-do el grado de la ecuación es 3Ejemplo:

x3 - 3x2 - 10 = 13x - x2. ; etc.

III)POR LA CANTIDAD DE VARIABLES

1. Con una variable.Ejemplo:2x - 9 = x + 6

1. Con dos variables.

Ejemplo:x + y = 42x - y = 53. Con tres variables.Ejemplo:x + y + z = 202x + 3y - z = 165x - y + 2z = 34 , etc.

IV) POR SU NATURALEZA:

1. Ecuaciones racionales.-Cuando sus

incógnitas tienen exponentes enteros y no

estan afectados de radicales.

a) Ecuación racional entera:

Cuando sus incógnitas sólo están afectadas

de exponentes enteros positivos, no tienen

incógnita en el denominador.

Ejemplo:

3x2 + 2x - 5 = 2x2 - 6x + 16

b) Ecuación racional fraccionaria:

Cuando sus incógnitas tienen exponentes ne-

gativos o tienen incógnita en el denominador

Ejemplo:

2. Ecuaciones irracionales.-Cuando sus

incógnitas tienen exponentes fraccionarios,

decimales o están dentro de un radical.

Ejemplo:

PLANTEO DEECUACIONES

Plantear una ecuación es traducir unenunciado verbal y expresar con sím- bolos matemáticos en una expresión algebraica.

ENUNCIADO VERBAL

TRADUCCIÓNSÍMBOLOS

MATEMÁTICOS EXPRESIÓN ALGEBRAICA

La comprensión de lectura es muyimportante en la traducción deenunciados verbales

23 195 x

x x

−+ = +

1 5 2 6 x x+ + = − +

PASOS PARA PLANTEARECUACIONES

COMPRENDA ELPROBLEMA

DISEÑE UN PLANDE SOLUCIÓN EJECUTE EL PLANDE SOLUCIÓN

EXAMINE LASOLUCIÓNOBTENIDA

COMPRENDA EL PROBLEMA

Reconociendo lasincógnitas, los datos

y las condiciones.

DISEÑE UN PLAN DE SOLUCIÓN

planteando el problema traduciendo el enunciado

verbal y expresándolo consignos matemáticos.

EJECUTE EL PLAN DE SOLUCIÓN

resolviendo la ecuación usando los métodos de

solución aprendidos enclase.

EXAMINE LA SOLUCIÓN OBTENIDA

Vericando sus resultados

en las operaciones y procedimientos aplicados en otros problemas.



ALGUNOS EJEMPLOS DET RADUCCIÓN DE ENUNCIADOS

VERBALES A FORMAS SIMBÓLICAS

Nº ENUNCIADO VERBAL FORMA SIMBÓLICA

1 El triple de un número aumentado en 8 3x + 8

2 La suma de dos números consecutivos x + (x + 1 )

3 Un número par disminuido en siete 2n - 7

4 Un número par aumentado en su mitad (2x - 1) + (2x-1) / 2

5 Mi edad dentro de cinco años x + 5

6 Tu edad hace ocho años x - 87 El doble de mi edad aumentado en 40 es igual a 80 años 2x + 40 = 80

8 Un número aumentado en su inverso es igual a treinta x + 1/x = 30

9 Tres números se encuentran en relación a dos; tres y cinco 2x, 3x ; 5x

10 El cuadrado de la suma de dos números ( a + b )2

11 La suma de los cuadrados de dos números a2 + b2

12 L as e dades de Pe dro y Juan suman 90 años Ed ad de Pedro : x ; e dad de Juan 90 - xx + (90 - x) = 90

13 Faltan transcurrir dos tercios de las horas transcurridas horas transcurridas:x; faltan transcurrir: 24-x

24 - x = (2/3)x

14 Un número de cuatro cifras abcd

15 Un número capicúa de cinco cifras abcba

16 Gasto los cinco séptimos de lo que no gasto gasto: x; no gasto: y

x = (5/7)y 17 El cociente de dos números es igual a la cuarta parte del

número mayora: número mayor; b: número menor

(a/b) = ( a/4)

18 Mi edad es excedido por tu edad en quince años Mi edead: x ; tu edad: x + 15

19 La semisuma de dos números (x + y) / 2

20 La suma de las cifras de un número de tres dígitos es múl-tiplo de 9

El número de tres dígitos es abca + b + c = 9k , k pertenece a N

21 Hoy tengo el cuádruple de lo que tuve ayer y ayer tuve laséptima parte de lo que tendré mañana

hoy tengo: 4x ; ayer tuve: xmañana tendré : 7x

22 El triple, de lo que tengo disminuído en cinco 3 (x - 5)

23 El triple de lo que tengo , disminuído en cinco 3 x - 5

24 M es dos veces más que N M=N + 2N ; M = 3N

25 Dos números están en la relación de dos a tres A/B = 2 / 3

26 Si me das S/ . 10 entonces tendremos igual cant idad Yo tengo x ; tu t ienes x + 2027 El exceso de P sobre Q es treinta P - Q = 30

28 Sesenta se divide en cuatro partes, tal que cada uno es eldoble de su anterior

x + 2x + 4x + 8x = 60

29 Un número es 40 vec es más que que otro y su suma es 200 x + x + 40 = 200

30 En un salón de un colegio mixto se conformas igualcantidad de equipos de vóley y básket con las alumnasy los alumnos respectivamente, sabiendo que hay cinco

alumnas más que alumnos. ¿ Cuántos estudiantes hay enel salón de clase?

Alumnas: 6xAlumnos: 5x

Ecuación: 6x = 5x + 5De donde x = 5

hay 6(5) = 30 alumnasy 5(5)=25 alumnos

ALGUNAS FRASESCOMUNES Y

RECOMENDACIONES PARA PLANTEARECUACIONES

FRASES COMUNES EQUIVALENTES EJEMPLOS

ADICIÓN ( + ) Sumar, agregar, aumentar, más,ganancia, incremento, exceso,

suma, dentro de x años, etc.

El incremento de un número A sobre otronúmero B excede a un terer número C en

20 unidades: C = A + B + 20SUSTRACCIÓN ( - ) Restar, disminuir, quitar, diferen-

cia, deuda, bajo cero, desc ontar,perder, hace x años, etc.

La diferencia de dos números disminuídoen su semidiferencia es 40(a-b) - [(a- b) / 2] = 40

MULTIPLICACIÓN( X )

Producto, de, del, de los , de las,n veces, etc.

El doble de los tres quintos de la cuartaparte de 0cho: 2 [(3/5) (1/4)(8)]

DIVISIÓN Entre, cociente, dividido, sobre,estan en la relación de, s on entresi como, son proporcionales a, etc.

El cociente de las edades de a y b entre laedad de c es igual a dos:

IGUALDAD Igua l, equivale , es, son , como, vale, es similar, etc.

La edad de x es igual a la edad de y x = y

NÚMERO PAR 2n Dos números pares consecutivos se diferen-cian en tres: (2n+2) - 2n = 3

NÚMERO IMPAR 2n - 1 la suma de un número impar con otro parequivale a veinticuatro: (2n-1) + 2n = 24

DOBLE, TRIPLE,CUÁDRUPLE, ...

2x, 3x, 4x, ... La diferencia entre el triple y el doble de unnúmero: 3x - 2x

MITAD, TERCERAPARTE, CUARTAPARTE, . . . .

x/2; x/3; x/4; . . . La suma de la mitad y la cuarta parte de unnúmero: x/2 + x/4

ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA PLANTEAR ECUACIONES

1. En dos o más números,edades, cantidades, etc.; se recomienda representar al menor con la varia-ble “x” y al que le sigue debe expresarse como una suma o diferencia de la cantidad total.Ejemplo: La suma de las edades de un padre y de su hijo es cincuenta añosEdad del hijo: x Edad del padre: 50 - x

2. Antes de plantear una ecuación es importante tener presente: - Leer atentamente el enunciado o problema - Para visualizar un problema es mejor gracar o dibujar el problema.

- Relacionar las cantidades desconocidas unas con otras. - Es preferible utilizar una sola variable para representar cantidades desconocidas. - En algunos casos se usa dos o más variables tratando que se relacionen en un solo sistema. - Los enunciados o problemas se representan con símbolos matemáticos respetando las comas y

los demás signos de puntuación.- Generalmente los puntos nos indican que ha terminado la parte de una ecuación y a partir de el

ella se debe plantear otra igualdad o ecuación. - La solución de una ecuación no necesariamente es la respuesta del problema, pero si de ella depende la solución. - Verique los datos resueltos en una ecuación luego de haber relacionado datos e incógnitas

(÷)

2a

cb

÷ =



PRÁCTICA Nº 3

PLANTEO DE ECUACIONES

AHORA TE TOCA PENSAR A TI CEREBRITO, DEMUESTRA TU HABILIDADUSANDO TU IMAGINACIÓN Y DOMINIO DE COMPRENSIÓN LECTORA.

Nº ENUNCIADO VERBAL FORMA SIMBÓLICA

1 El triple de un número disminuído en cinco 3x - 5

2 x/2 + 8

3 Dos números son entre si como cinco es a siete

4 x2 + 20

5 El doble de un número disminuído en su tercera parte

6 El producto de dos números consecutivos

7 5 - 3x = 2

8 ( x - y ) / 2

9 La semisuma de dos números consecutivos

10

11 Lo que sobra a “x” para ser “y” es cincuenta

12 y - x = 50

13 La suma de las cifras de las unidades con las decenas14 (x) ( x + 2 ) ( x + 4 )

15 x3 - y 3 = 19

16 El exceso de treinta sobre el doble de un número

17 Un número excede a dos en veintiocho

18 (1 / x) + 2x = 100

19 Tres números consecutivos

20 La edad de mi padre excede a mi edad en 30 años Edad de mi padre: x + 30mi edad: x

21 José tiene cuatro veces más que Luis José tiene: . . . . . . . .Luis tiene: . . . . . . . .

22 Adolfo tiene el doble de la edad de Pedro Edad de Adolfo: . . . .Edad de Pedro: . . . .

23 Tres números estan relacionados de modo que el segundoes dos unidades mayor que el primero y el tercero es cuatro

unidades mayor que el segundo.

Número mayor: . . . . . . . . . . . . . . . . .Número intermedio: . . . . . . . . . . . . .

Número menor . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Las edades de Franz Bryan y Jayaira están en

proporción a tres, cinco y siete

25 Gasté los 3/4 de lo que no gasté

26 La diferencia de dos números es catorce y el duplo del me-nor de los números es 5 unidades menor que el mayor de los

números

27 La mitad de un número , aumentado en su triple

28 La mitad, de un número aumentado en su triple (x + 3x) / 2

29 En un corral hay gallinas y conejos, el número de cabezas es 18 y el de patas es 52

3

5

x

y=

RAZONANDO OBSERVA Y

CON LAS VERIFICA

ECUACIONES LAS

BATERÍA DE ECUACIONES

PROBLEMAS RESUELTAS

RESUELTOS Nº 41. Un galgo persigue a una liebre que lleva

90 saltos de adelanto sabiendo que el galgoda 7 saltos mientras que la liebre da 6 saltosy que 4 saltos de liebre equivale a 3 de galgo¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar ala liebre?a) 160 b) 169 c) 180 d) 189 e) 190

SOLUCIÓN ( Gracando); d= distancia

90 saltos de liebre = (90/4)d

Galgo da 7 saltos Liebre da 6 saltos

Avanza 1/3 de d Avanza 1/4 de d

En un mismo lapso de tiempoEl galgo avanza (7/3)dLa liebre avanza (6/4)dEn cada 7 saltos el galgo se aproxima a laliebre en: (7/3)d - (6/4) d = (5/6)dEn 7 saltos el galgo se aproxima (5/6) dEn x saltos el galgo se aproxima (90/4) dResolviendo. X =( 90/4) 7 ( 6/5 ) = 189Respuesta: d

2. Dos velas de la misma altura se encien-den simultáneamente, el primero se consumeen 4 horas y el otro en 3 hoiras, suponiendoque cada uno se consume en una cantidadconstante. ¿Cuántas horas después del en-

cendido, la altura del primero es el doble delsegundo?a) 2h 24m b) 2h 30m c) 2h 45 d) 3h e) 4hSOLUCIÓN: Grafcando

1º 2º(1/4)H.m

(1/3)H.m

2h Hh

Observando detenidamente el gráfco

“H” es la altura de las velasEl primero en una hora se consume (1/4) HEl segundo en una hora se consume (1/3) HEn un determinado tiempo de “m” horas laaltura del 1º será el doble del 2ºEl primero se consume (1/4) H. mEl segundo se consume (1/3) H. m2h = H - (1/4)H.m (1) h = H - (1/4)H.m (2) Reemplazando (2) en (1)2[H-(1/3)Hm = H - (1/4)Hm

Resolviendom= (12/5) horasRespuesta: a

3.Se ha comprado cierto número de som-breros por S/.300. si el precio por unidad hu-biese sido cinco soles menos se tendrían 10sombreros más por el mismo precio. ¿Cuán-tos sombreros se compró?a) 5 b) 10 c) 15 d) 25 e) 20SOLUCIÓN:Datos

Nº desombreroscomprados

Precio decada

sombrero

Primero x 300/xLuego x + 10 (300/x) - 5

Ecuación:

Resolviendo la ecuación

300x = 300x + 300 - 5x2 - 50x

5x2 + 50x - 3000 = 0( x + 30 ) ( x - 20 ) = 0De donde x = 20 Respuesta: e

4.En una sección de “S” alumnos del colegioparroquial “San Vicente de Paúl “ de Tarma

un profesor formó “V” grupos de 5 alumnoscada grupo, con la nalidad de que el nú-mero de alumnos sea par, formó dos gruposmás, disminuyendo un alumno por cadagrupo. Hallar “S.V”.a) 310 b) 320 c) 340 d) 350 e) 355SOLUCIÓN:Nº de alumnos: S; Nº de grupos : VEcuación: 5V= 4(V + 2), resolviendo V = 8S = 5(8) =40 Finalmente S.V = 40. 8 = 320Respuesta: b

30010

3005

x

x

= +−



5.Los profesores de primaria juegan contralos profesores de secundaria, del ColegioParroquial “San Vicente de Paúl “ de Tarma,acuerdan que el que pierda dará al ganador50 soles, si después de 16 partidos conse-cutivos los profesores del nivel secundariohan ganado S/. 100. ¿Cuántos partidos hanganado los profesores del nivel primario?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9SOLUCIÓN:

Datos:PG = partidos ganadosPP = partidos perdidos Se sabe que los profesores de secundaria hanganado S/.100 después de 16 partidos; ademásreciben S/. 50 por partido ganado y pagan S/. 50cuando pierden. Entonces la ecuación será: PG + PP = 1650PG - 50PP = 100Resolviendo el sistema de ecuacio-nes con dos variables:PG = 9 y PP = 7, signica que los profesoresde primaria han ganado 7 partidos.Respuesta: c

6.Una obra se puede realizar con 30 obrerosen 55 días. Si 12 de ellos aumentan su e-ciencia en 1/4. ¿ En cuántos días harían todala obra? ( Evaluación de talento PUC- 2010 )

a) 15 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50SOLUCIÓN:Datos:En 1 día 18 obreros harán “x” parte de la obra x =18(1/30)(1/55)En 1 día 12 obreros harán “y” parte de la obray = 12(1/30) (1/55) (5/4)En un día los 30 obreros harán (sumando)

x + y = ( 3/275) + ( 1/110) = 1/50 . Finalmente

toda la obra lo realizarán en 50 díasRespuesta: e

7.Cada vez que Sonita se encuentra conPanchito,éste último duplica el dinero que ll e-va Sonita . Sonita en retribución le entrega 20soles. Si se han encontrado tres veces luegode los cuales Sonita tiene 260 soles y Panchi-to se queda sin dinero en el bolsillo. ¿Cuántotenía Panchito inicialmente?

a)200 b) 205 c) 210 d) 215 e) 220

SOLUCIÓN:Datos:

Encuen

tros

Personas

Te-nía

Queda

S/. 1ºencuen-

tro

2ºencuentro

3º encuentro

Sonita S 2s - 20 2(2s-20)-20 2(4s-60)-20

Panchito P P - S + 20 P - 3S + 60 P - 7S + 140

Analizando el cuadro

Sonita en el tercer encuentro con Panchito sequeda con S/.260, entonces la ecuación será:2(4s-60)-20 = 260 (Ecuación 1)

Resolviendo: 8S - 120 - 20 = 2608S = 400; S = 50Panchito en el tercer encuentro con Sonita sequeda con S/.0; entonces la ecuación será:P - 7S + 140 = 0 (Ecuación 2)

Reemplazando S = 50 y resolviendoP - 7(50) + 140 = 0P = 210Respuesta: c

8.Para ir al segundo piso en el colegio “SanVicente” hay “ n “ gradas. Si Tomás subede 4 gradas en 4 gradas y da un paso másque José que sube de 5 gradas en 5 gradas.¿Cuántas gradas hay en total?a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22SOLUCIÓN:Datos:

Personas Pasos que dapara ir al 2º piso

Nº total de gradas

Tomás x + 1 4 ( x + 1 )

José x 5 xAnalizando el cuadroComo el Nº total de gradas es igual en amboscasos. La ecuación será:4 ( x + 1 ) = 5xResolviendo: 4x + 4 = 5x x = 4El Nº total de gradas es 5 ( 4 ) = 20Respuesta: d

9. A un curso asistieron 3 ingenieros porcada 4 profesores y 3 profesores por cada2 médicos. Si en total asistieron entre inge-nieros, profesores y médicos 290 personas.Hallar el número de profesores ingenieros ymédicos que asistieron al cursoa) 180, 90 y 120 b) 120, 60 y 80c) 120, 90 y 80 c) 80, 60 y 120 e) N.A.

SOLUCIÓN:Datos: Representando los asistentes en fun-ción de una constante kIngenieros: 3k, profesores: 4k, médicos:(8 /3)kLa relación de médicos hallamos mediante la proporción:

Si por 3 profesores hay 2 médicos por 4 profesores habrá x médicos

Ahora sumamos los asistentes e igualamos a290 personas: 3k + 4k + (8/3)k = 290Resolviendo la ecuación: k = 30

Luego hay: 3(30) ingenieros = 90 4(30) profesores = 120

(8/3)(30) médicos = 80Respuesta: c

10. Las mascotas de Daniel son todos conejitos menos 8, todos gatitos menos 6 y todosiguanas menos 4. ¿Cuántas mascotas tiene?a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13SOLUCIÓN:Datos: C= conejitos, G= Gatitos, I= IguanasG + I = 8 (ecuación 1)C + I = 6 (ecuación 2)C + G = 4 (ecuación 3)Sumando: 2C + 2G + 2I = 18 Simplicando C + G + I = 9 Respuesta: b

11. Virgilio tiene 80 billetes de 10 soles ymáximo tiene 56 billetes de 50 soles. Halle elnúmero de billetes que deben intercambiarVirgilio y Máximo( el mismo número) para queambos tengan igual dinero.a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30SOLUCIÓN: Sea “x” el número de billetes aintercambiar. Según la tabla adjuntaPERSONAS TENÍA (S/. ) DA (S/ .) RECIBE(S/ .)

Virgilio 800 10x 50x

Máximo 2800 50x 10x

Ecuación 800 - 10x + 50x = 2800 - 50x + 10x resolviendo la ecuación. x = 25

Respuesta: d12. Alexandra cada vez que va al comedorgasta la tercera parte de lo que tiene más cua-tro soles, al salir por tercera vez se queda sindinero. ¿Cuánto tenía al comienzo?a) 28,5 b) 17,5 c) 14,5 d) 15,6 e) N.A.SOLUCIÓN:

JUEGOS TENÍA GASTA QUEDA

1º x (x/3) + 4 (2x-12)/3

2º (2x-12)/3 [(2x-12)/9]+4 (4x-60)/9

3º (4x-60)/9 [(4x-60)/27]+4 (8x-228)/27

Ecuación. [(8x-228)/27] = 0 Resolviendo 8x - 228 = 08x = 228x = 28,5Respuesta: a

13.En un laboratorio nacieron ratones fenó-menos con 4 cabezas y 12 patas, ademàs ra-tones normales. Si en total hay 32 cabezas y100 patas ¿Cuántos ratones anormales hay?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

SOLUCIÓN:Planteamos la ecuación con dos incógnitasSea x: ratones normales. y: ratones anormalesSegún el cuadro adjunto tenemos:

Ratón Nº de cabezas Nº de patas

Normal 1 4

Anormal 4 12

Total 32 100Planteando la ecuación:x + 4y = 324x + 12y = 100Resolviendo el sistemax = 4, y= 7

Respuesta: e14. José Luis ha resuelto 150 ejercicios defísica en 4 días, si cada día resolvió la mi-tad del día anterior. ¿Cuántos ejercicios haresuelto el tercer día?a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

SOLUCIÓN:

Día Ejerciciosresueltos

Ecuación

1º x x + x/2 + x/4 + x/8 = 15015x = 1200x = 80El tercer día resolvió:

80/4 = 20

2º x/2

3º x/4

4º x/8Respuesta: c

15. En una esta Bruno le dice a Mirella:

somos el doble o el triple de ustedes. Mirellale responde: Mira allí vienen mis 5 amigascon los cuales nadie quedará sin pareja .¿Cuántas personas había en la esta?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30Nº de mujeres: x; Nº de varones: 2x ó 3xSi llega 5 mujeres. x + 5 = 2x ó x + 5 = 3xCumple solo en el primero x= 5; Total perso-nas: x + 2x = 5 + 10 = 15. Respuesta: b



PRÁCTICA Nº 4

NIVEL I

1.La suma de tres números consecuti-vos es 90 . ¿Cuál es el número mayor?a)32 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28

2. El exceso de cinco veces un número sobrecuarenta equivale al exceso de cuarenta sobredos veces más el número.¿Cuál es el número?a)8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15

3. Bryan compra un libro, una calcula-dora y una maleta por S/. 200. Si la cal-culadora cuesta el doble del precio del li-bro y la maleta cuesta S/.25 más que lacalculadora. ¿Cuánto cuesta la calculadora?a)50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

4. En un corral de chanchos y pavos, el nú-mero de ojos es 24 menos que el núme-ro de patas. Hallar el número de hocicos.a)6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

5. En una granja por cada gallo hay 3 gallinasy por cada gallina hay 4 pavos. Si en total sehan contado 160 patas. ¿Cuántos pavos hay?a)8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

6. Al retirarse 30 alumnos del Colegio “SanVicente de Paúl”, se observa que éste que-dó disminuído es sus 1/33 parte. ¿Cuántos

alumnos se matricularon en ese colegio?a)800 b) 860 c) 900 d) 950 e) 990

7. Lorena y Magaly tienen S/.1200, siLorena le diera S/. 200 a Magaly, am-bos tendrían la misma cantidad. ¿Cuán-to más tiene Lorena que Magaly?a)800 b) 600 c) 400 d) 200 e) 100

8. Si Luli vende cada cuaderno a S/.15,gana S/.20, pero si vende a S/.12 cadacuaderno pierde la mitad de su ganancia.

¿De cuántos cuadernos dispone para la venta?a)8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

9. Un depósito contiene 72 galones de pe-tróleo si éste debe ser envasado en 30envases ;unos de un galón de capaci-dad y otros de 4 galones. ¿Cuántos en-vases de éste último se va necesitar?a)12 b) 14 c) 10 d) 18 e) 16

10. En una esta la relación de hombres a la de

mujeres es de tres a cinco; en un momento dadose retiran ocho damas y llegan tres caballeroscon lo que la relación es ahora de tres a cua-tro. ¿Cuántas personas ahora hay en la esta?

a)91 b) 81 c) 71 d) 61 e) 52

NIVEL I I

1. Un carnicero obtuvo por la venta de susanimales S/.9600. Si vendió 3 carneros másque vacas y en ambas ventas obtuvo lo mis-mo. ¿Cuántos animales vendió si los carne-ros cuestan 360 soles menos que las vacas?a)13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

2. En una reunión hay 45 personas( entredamas y caballeros) si se retiran 5 parejas,la diferencia entre el número de hombres yde mujeress es 5 ¿Cuántas damas quedan?a)13 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20

3. Tengo tres números los sumo 2 a 2 y ob-tengo 13, 17 y 24. Hallar la semisuma de losdos mayores.a)20 b) 18 c) 12 d) 10 e) 8

4. En una tienda donde se venden conejospalomas y gatos, son todos conejos menos 6,

son todos gatos menos 3 y son todos palomasmenos 7. ¿Cuántos animales hay en la tienda?a)4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

5. En un eámen de 60 preguntas Franzacertó tanto como falló; y no contestó tantocomo puntaje sacó. Si las preguntas se cla-sican así: Correcta 5 puntos; incorrecta - 2

puntos; no contestada 0 puntos.¿ Qué puntaje sacó?a)26 b) 28 c) 30 d) 34 e) 36

6. Un grupo de amigos deciden alquilar un lo-cal para hacer una esta. Si el alquiler cuesta

S/.120, pero desisten participar dos de ellos,entonces cada uno de los restantes paganS/.10 más. ¿Cuántos alquilan el local?a)8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 7. Un anciano reparte cierta cantidad de susahorros entre sus hijos. Primero desea darleS/. 30 mil a cada uno de ellos; antes que seefectúe el reparto , uno de ellos se va y la suma

que le correspondía se reparten equitativamen-te entre los demás recibiendo ahora cada unoS/. 36 mil . ¿Qué cantidad repartió el anciano?a)150 mil b) 160 mil c) 170 mil d) 180 mil e) 190 mil

8. Subiendo las escaleras de 3 en 3, Joséda seis pasos más que subiendo de 5 en5. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera?a)35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55

9. En el cine hay 126 personas, si el número dehombres supera en 24 al número de mujeres y elnúmero de hombres y mujeres supera en 66 alnúmero de niños. ¿Cuántos niños hay en la sala?a)20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45

10. Una llave puede llenar un reservorio deagua en 3 horas, otra llave puede llenarlo en 6horas y un desagüe puede vaciarlo en 18 horas,estando lleno. ¿En cuánto tiempo se llenará eldepósito, estando vació y abierto el desagüe, sise abren a la vez las dos llaves que la surten?a)2h15m b) 2h18m c) 2h20m d) 3h e) 3h10m

NIVEL I I I

1. Walter dice: yo tengo tantas hermanas comohermanos, pero mi hermana tiene la mitad dehermanas que de hermanos. ¿cuántos somos?

a)7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 8

2. Dos helados de igual calidad y diámetro sediferencian en 10 cm, de longitud. Se empie-zan a derretir al mismo tiempo y se observaque en un momento determinado la longitudde uno de ellos es el triple del otro y quinceminutos después se termina el más pequeño,si el mayor se derritió en dos horas. ¿Cuálera la longitud del helado más pequeño?a)20 b) 30 c) 32 d) 35 e) 40

3. Del dinero que tengo, gasto el doble de loque no gasto, de lo que no gasto pierdo la mi-tad de lo que no pierdo, de lo que no pierdo re-galo la tercera parte de lo que no regalo. Si lasuma de lo que gasto más de lo que regalo es26 soles. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?a)20 b) 30 c) 36 d) 40 e) 50

4. Si a un número de tres cifras que empiezaen 9, se le suprime esta cifra queda 1/21 delnúmero. Dar como respuesta la suma de las

cifras de la s decenas y unidades del número. a)6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

5. Tengo un negocio de venta de plátanos;por cada 100 que compro, 10 se me malograny por cada 100 que vendo doy 10 de regalo.Si vendo 1800 plátanos. ¿Cuántos compré?a)2020 b) 2030 c) 2036 d)2100 e) 2200.

6. Dos cilindros contienen un total de 688 ga-lones de petróleo. Si se vende 1/4 del conte-nido del primero y 2/5 del segundo, queda 30galones más en el primero que en el segun-do. ¿Cuántos galones hay en cada cilindro?a)330 y 358 b) 360 y 390 c) 360 y 330

d) 328 y 358 e) 328 y 360

7. Gasté 4/5 de lo que tenía , perdí 3/5 delo que me quedó, si luego volvi a perder 40soles quedándome sin nada. ¿Cuánto teníaal principio.a)300 b) 350 c) 400 d)500 e) 550

8. Entre mis primos y tíos son 32. Y quecasualidad que cada uno de mis tíos tie-ne la misma cantidad de hijos Si cuadrupli-co el número de tíos que tengo, el resulta-do excede a la cantidad de primos en 8.¿Cuántos hijos tiene cada uno de mis tíos?

a)5 b) 4 c) 3 d)2 e) 19. Hay “n” niños y una caja con “m” carame-los. El primer niño coge un caramelo más1/10 de los restantes, el segundo niño coge2 caramelos más 1/10 de los restantes, y asisucesivamente hasta que el n-ésimo niñocoge n caramelos. Si todos los niños cogie-ron la misma cantidad de caramelos, Hallam + n. (ONEM 2010 -segunda fase.- nivel 3)a)81 b) 90 c) 91 d)92 e) 98



CAPACIDADES: Interpretar, comprender, formular, plantear, resolver y aplicar.


- Interpreta y comprende problemas sobre edades- Plantea y resuelve problemas con edades-Utiliza de manera adecuada las tablas de doble entrada en la solución de pro-blemas con edades- Formula problemas con ecuaciones.- Aplica métodos prácticos para el planteo y resolución de problema con edades-de la vida cotidiana.

En las ecuacionescon edades inter-vienen personas,edades y tiempos,para su resoluciónes necesario te-ner un cocimientobásico del planteode ecuaciones.

Cuando se trata de ecuaciones donde inter-vienen las edades se presentan varios casosde planteamientos. A continuación abordare-mos los casos más usuales:

1. Cuandointerviene

la edadde una sola

persona

Se establece determinadas relaciones dela persona con su edad a través del tiempo( pasado, presente y futuro) mediante unatabla simple de doble entrada.Ejemplo:1. Hace cinco años Jayaira tenía 2/5 de losaños que tendrá dentro de 10 años. ¿Cuán-tos años tendrá dentro de 20 años?Solución: Según la tabla

TIEMPO

PERSONA

PA SA DO P RES EN -TE

FUTURO

Hace 5años

Actual-mente

dentro de

10años

20años

Edad de-Jayaira

x -5 x x+10 x+20

Ecuación x - 5 = (2/5)(x + 10)Resolviendo: 5x - 25 = 2x + 20

x= 15 . Dentro de 20 años tentrá 352. Cuandointervienen

las edadesde dos o más

personas.

Se dan dos casos:a) Cuando se dan tiempos concretos y especícos.

b) Cuando los tiempos no se especican

a)Cuando los tiempos son concretosy específcos:

En estos casos se usa un cuadro de dobleentrada que contiene nombre de las per-sonas personas, sua respectivas edades através del tiempo.Ejemplo: 11, Hace siete años la edad de Bryan eraseis veces la edad de Franz. Dentro decinco años tendrá veinticinco veces la edadque Franz tenía cuando el tenía la edad que

Franz tendrá dentro de once años. ¿Quéedad tiene Bryan? Solución: Mediante la tabla

EDADESTiem-

poPersonas

Hace 2años

Actuasl-mente

Dentrode 5 años

Dentrode 11años

Bryan 6x 6x +2 6x+7 6x+13

Franz x x+2 x+7 x+13

Según la tablaBryan tiene 6x + 2 años y hace “a” añostenía x + 13 añosHallamos “a” 6x + 2 - a = x + 13, entoncesa = 5x - 11;

hace “a” años Franz teníax + 2 - (5x- 11) 0 -4x + 13Finalmente la ecuación planteada será:6x + 7 = 25 (- 4x + 13 )Resolviendo: 6x + 7 = - 100x + 35x = 3; reemplazando en la edad actual deBryan 6x + 2 = 6(3) + 2 = 20.Respuesta: Bryan tiene actualmente 20 añosEjemplo: 22. Hace 5 años la edad de un hijo se dife-renciaba en el doble de su edad con la edadde su padre, y se diferenciaba en la mi-tad de su edad con la de su hermano me-nor. Si dentro de 7 años el menor tendrá laedad que tiene su hermano mayor. Calculala edad que tuvo el padre cuando nació suprimer hijo. Solución: Mediante la tabla

PERSO-NAS

EDADESHace 5 años Actual Dentro de 7

años

Padre 3x 3x + 5 3x + 12hijo mayor x x + 5 x + 12Hijo menor x/2 x/2 + 5 x/2 + 12

Ecuación x/2 + 12 = x + 5, resolviendo x=14Edad del padre: 47; edad del hijo mayor:19Diferencia de edades 28



b)Cuando los tiempos no se especifcan.

Esto ocurre cuando no se especican exac-tamente el tiempo y las edades de las perso-nas que intervienen en el problema.En estos casos es bueno utilizar algunas pro-piedades como:•La diferencia de edades de 2 personas es

constante en cualquier tiempo.• Las sumas de edades de 2 personas en

diferentes tiempos , ubicadas en aspa son

iguales.Ejemplo (en la tabla)

EDADES

TIEMPOPERSONAS

Hace 6años

Ac tu al Dentro de8 años

Fulano 12 18 26

Sultano 20 26 34•Diferencia de edades:

0 - 12 = 26 - 18 = 34 - 26 = 8•Suma en aspas12 + 26 = 20 + 18 = 3818 + 34 = 26 + 26 = 52Ejemplo: 1

Coco le dice a Fico. “Yo tengo 3 veces laedad que tú tenías, cuando yo tenía la edadque tu tienes y cuando tengas la edad que yotengo, la suma de nuestras edades será 35años. Hallar ambas edades.Solución: Haciendo uso de la tabla y apli-cando las propiedades mencionadas:

PERSO-NAS

EDADES

TIEMPOPERSONAS

PASADO P RESEN-TE

FUTURO

Coco x 3y 35 - 3y

Fico y x 3y

Aplicando la primera propiedad:x - y = 3y - x, entonces 2x = 4y x = 2y35 - 3y - 3y = 3y - x y = 5 x = 10Respuesta: Las edades son 15 y 10 años.Ejemplo: 2Jayaira le dice a Bryan yo tengo 5 años másde la edad que tu tenías, cuando yo tenía tresaños menos de la edad que tienes y cuandotu tengas el doble de la edad que yo tengo,nuestras edades sumaran 49 años. ¿Queedad tienen Jayaira y Bryan?

Solución: Gracando en la tabla

PERSO-NAS

PASADO PRESEN-TE

FUTURO

JAYAIRA y - 3 x + 5 49 - 2(x + 5)

BRYAN x y 2( x + 5) Aplicando la propiedad de las sumas en as-pas son iguales:y - 3 + y = x + x + 52y - 2x = 8 y - x = 4( ecuación 1)x + 5 + 2( x + 5) = y + 49 - 2 (x + 5)5x - y = 24 ( ecuación 2 )

Resolviendo (1) y (2)y - x = 4 y - x = 4-y + 5x = 24 y - 7 = 4 4x = 28 y = 11 x = 7Respuesta: Jayaira tiene 12 años y Bryantiene 11 años. Ejemplo: 2Sonia tiene “x “ años y Mary “y” años. ¿Den-tro de cuántos años ambas edades estaránen relación de 2 a 1?a) x + y b) x - y c) x + 2y d) x - 2y e) N.A.Solución:

Personas Edad actual Dentro de n

añosSonia x x + n

Mary y y + nSegún el enunciado planteamos la ecuación Resolviendo: x + n = 2y + 2n x - 2y = nRespuesta: d

3.Relaciones entre del año de naci-miento, la edad actual y el año actual.Propiedades:1. Si una persona ya cumplió años

AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL

2. Si una persona aún no cumplió años AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1Ejemplo : El año en que nació Danielito representa elcuadrado de su edad en 1980. Calcular su edad en elaño 2010.Solución: Sea x su año de nacimiento y E: edad

AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL X + E = 1980

E = 1980 - x

Ecuación: x = ( 1980 - x )2

x2 -3961 + 3920400 = 0 , de donde x = 1936O sea en 1980 tenía años.En el 2010 tiene 44 + 30 = 74 años.

PROBLEMAS

DE EDADES

BATERÍA DE

PROBLEMASRESUELTOS

Nº 5

1. A los 80 años murió Fulano y nació enel año 19ba y en el año 19ab tenía (2a + b)años. ¿Cuándo murió Fulano si aún no cum-plía años? ( a > b)Solución:

AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1

19ba + (2a + b) = 19ab - 1 (2a + b) + 1= 19ab - 19ba

2a + b + 1 = 1900 + 10a + b - 1900 - 10b - a1 = 7a - 10b. Por tanteo a= 3 y b = 2Entonces Fulano nació en el año de 1923y murió después de 80 años; es decir en elaño: 1923 + 80 = 2003

2. Mi gato “Chalaco” pasó 1/3 de su vidadurmiendo; 1/12 comiendo; 1/4 lavándose lacarita; 1/6 matando sus pulguitas y el resto desu vida que son 3/2 peleando en el techo conotros gatos machos. ¿Cuándo nació si murióenvenenado en el mes de julio del 2010?Solución:Sea “x” la edad que tenía antes de morir Planteamos la ecuación:x - [ (1/3)x+ (1/12)x + (1/4)x + (1/6)x +3/2 ] = 0Resolviendo la ecuación: x = 9Entonces nació en el año 2010 - 9 = 2001

3.Mi tía Rosalía tenía en el año 1972 , tantos

años como el doble del número formado porlas dos últimas cifras del año de su nacimien-to. ¿Cuántos años tendrá mi octogenaria tíaen el año 2012?Solución:


19 2 1972ab ab+ = Resolviendo:

1900 + 10a + b + 20a + 2b = 197230a + 3b = 72, simplicando 10a + b = 24

Por tanteo a= 2 y b = 4, luego nació en 1924y el 2012 tendrá: 2012 - 1924 = 88 años

4. Cuando tenga “a” años tendré “v” vecesla edad que tenía hace “ n” años. ¿Cuántosaños tendré dentro de “n” años ?Solución:

PASADO PRESENTE FUTURO

Edad hace “n”años

Edad actual Dentro de “n”años

a - n a a + nEcuación planteada: a = v (a - n) (Ec. 1)Dentro de “n años tendré: a + n = v (a - n) + nResolviendo (Ec. 1)

a =va - vn a ( v - 1 ) = vn a = [(vn)/(v-1)]Luego: a + n = [(vn)/(v-1)] + n

a + n =[ n( 2v - 1)] (v - 1 )

5. En el mes de marzo Jacinto sumó a losaños que tiene la mitad de los meses que havivido obteniendo como resultado 324. ¿Enqué mes nació Jacinto?Solución:

Años que tiene Jacinto: xmeses que ha vivido 12xEcuación: x + 6x = 324 7x = 324324 7 Jacinto tiene 46 años y 2 meses 44 46 en el mes de marzo; entonces

2 hace 2 meses nació; o sea en elmes de Enero.

6. La edad de Renato al fallecer era 1/31 delaño de su nacimiento ¿Que edad tenía en elaño de 1980?Solución: Sea “m” el año en que murió yx” el año de su nacimientoRenato nació antes de 1980 y murió después de 1980


x + E = Año en que murióE =(1/31)x x + (1/31)x = m31x + x = 31 m 32x = 31m x = (31m)/32

Analizando: x< 1925 , además x es múltiplo de31 y 32 y tiene 4 cifras.Luego x = 1922 (año denacimiento) y m = 1984( año en que murió).Renato murió a los 62 años de edad.En 1980 tenía 1980 - 1922 = 58 años

7. Mi edad es mayor en 4 que el cuadrado de tuedad y menor en 5 que el cuadrado de tu edaddel próximo año. ¿En qué relación estan nuestrasedades?Solución: Sea “x” mi edad; “y” tu edadEl próximo año tu edad será y + 1.Ecuaciónes: x = y2 + 4; x = (y + 1 )2 - 5Resolviendo: x = 20; y = 4. La relación es de 5 a 1

2

1

x n

y n

+=

+

1936 44=



8. Le preguntaron a Poly por su edad y contestó: Mi edad más el doble de Saly, másel triple de Saly y así sucesivamente hastatantas veces mi edad suman en total 1090¿Cuál es la edad de Saly, si es-tán en relación de 1 a 2?Solución:Edad de Poly = x; Edad de Saly = 2xSegún el enunciado del problema tenemos:x + 2(2x) + 3 (2x) + 4(2x) + . . . + x (2x) =1090x + 2x(2 + 3 + 4 + . . .x) = 1090x + x [ x (x+1) - 2 ] = 1090

x + x3 + x2 - 2x = 1090Resolviendo la ecuación: x = 10Edad de Poly = 10; Edad de Saly = 20

9. Cocoliso nació en el año y en el año1990 tenía (a + b ) años. ¿En que año tendrá2a + 8b años?Solución:

AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL + x = 1990

1900 + + a + b = 1990Resolviendo: 10a + b + a + b = 9011a + 2b = 90. Tanteando a = 8 y b = 1

Tendrá 2a + 8b años ( 24 años) en:1981 + 24 = 2005

10. Coquito en el mes de agosto resta losaños que tiene de los meses que ha vivido yobtiene 221 meses. Si es mayor en 194 mesesque su hermano, Pachón. ¿ En qué mes nacióPachón?Solución:

Años vividos de Coquito: xMeses vividos de Coquito: 12xEcuación: 12x - x = 221 11x = 221221 111 20 En el mes de agosto Coquito te-

nía 20 años 1 mes ; es decir nació en Julio.

Además, es mayor que Pachón por 194 meses(16 años + 2 meses) ; O sea Pachón cumpliráaños dentro de 2 meses , es decir en Septiembre.

11. Un abuelo dice a su nieto. Nuestras eda-des terminan en 6, su producto termina en 36,su suma está comprendida entre 100 y 150.Si yo tuviese 8 años menos, mi edad sería eltriple de tu edad. Hallar la suma de las edadesdel nieto y del abuelo.

Solución:Edad del abuelo: Edad del nieto:

6b - 8 = 3 6a 10b + b - 8 = 30a + 1810b - 30a = 20; por tanteo a = 2 y b = 8Luego el nieto tendrá 26 años y el abuelo ten-drá 86 años, siendo la suma de las edades 112.

12. La tercera parte de la edad de Ticomás la cuarta parte de la edad Toco esigual a 16 años. Si a Tico se le disminuye-ra 4 años y a Toco se le aumentara 4 años;

entonces la quinta parte de la edad deTico más la sexta parte de la edad de Toco sería 10 años. ¿Que edad tiene cada uno?Solución:Edad de Tico: x; Edad de Toco: y(x/3) + (x/4) = 16[(x- 4) / 5] + [(y+ 4) / 6 = 10Resolviendo: x = 24; y= 32

13. Rosita dice: No nací en mayo, lue-go multiplica la fecha de su nacimien-to por 18 y el número del mes por 30,para nalmente sumar esos productosy obtener 204. ¿Cuándo nació Rosita?Solución:

Mes en que nació Rosita: xFecha en que nació Rosita: yEcuación: 30x + 18y = 204Por tanteo: 30(2) + 18(8) = 204Rosita nació el 8 de Febrero

14. Si al año de mi nacimiento le sumo lacuarta parte de mi edad actual obtengo 1990.Si actualmente estamos en el año 2003y aún no cumplo años. ¿En qué año nací?Solución:

AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1

19ab + x = 2003 - 1 x - 2002 = -Ecuación:

19ab

+ x/4 = 1990 x/4 - 1990 = -

19ab

Igualando: x - 2002 = x/4 - 1990Resolviendo: x = 16(años de edad)Nací en el año: 2002 - 16 = 198615. Macario en 1993 tenía una edad igual ala suma de las cifras del año de su nacimien-to. ¿En qué año nació ?


+ x = 19931900 + 10a + b + 10 + a + b = 199311a + 2b = 83. Por tanteo : 11(7) + 2(3) = 83Nació en el año: 1973

19ab

19ab

ab

6b 6a

19ab

19ab

PRÁCTICANº 5

ECUACIONESCON EDADES

NIVEL I

1. Si actualmente la suma de las edades dedos hermanos es 72. ¿ Hace cuántos añosla suma de sus edades era 50?a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

2. Dentro de 20 años tendré el doble de la edadque tuve hace 10 años ¿Cuántos años tengo?a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

3. Pedro comentaba: “La suma de mi edadde hace 9 años con la edad que tendré dentrode 9 años es igual a 36 años”¿Cuántos añostiene actualmente si estamos en el 2010?a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

4. Nicole fue madre por primera vez a los 20años, por segunda vez a los 25 años y porúltima vez a los 30 años. Si a nes del 2010

las edades de Nicole y sus tres hijos suma-ban 65 años. ¿En qué año nació Nicole?a) 1969 b) 1970 c) 1973 d) 1975 e) 1976

5. En el año 2010 la edad de Ana coincidíacon la cantidad que expresa las dos últimascifras de su año de nacimiento. ¿En qué añonació Ana?a) 1949 b) 1955 c) 1960 d) 1965 e) 1970

6. Hace 9 años tenía la tercera parte dela edad que tendré dentro de nueve años.¿Dentro de cuántos años tendré el doble dela edad que tengo actualmente?a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

7. Emilio multiplica los años que tiene porlos meses que ha vivido. Obteniendo 10800 .Hallar la suma de las cifras de la edad quetiene Emilio.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

8. Actualmente las edades de un tío y susobrino suman 56 años, sabiendo que hace 4años la edad del tío era el doble de su sobri-no. ¿Hace cuántos años la edad del tío era eltriple de su sobrino?a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

9. Ana le dice a Ruth, actualmente tengoel triple de la edad que tu tenías cuando yotenía tu edad, y cuando tu tengas mi edad,entre ambos sumaremos 119 años. ¿Cuántos

años tiene Ruth?a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) 36

10. Mi abuelo nació 6 años antes que miabuela y en 1950 la suma de sus edades erala cuarta parte de la suma de sus edades en1965. Si estamos en el año 2010 y mi abueloestá celebrando su onomástico. ¿Cuántosaños está cumpliendo?a) 68 b) 69 c) 70 d) 71 e) 72

NIVEL I I

1. Si Antonieta tuviese 9 años menos, el

tiempo que hubiese permanecido durmiendosería la quinta parte del tiempo que hubie-se permanecido despierto si es que tuviese9 años más. Si en el transcurso de su vidaduerme 8 horas diarias. ¿ Cuántos años tieneantonieta?

a) 12 b) 14 c) 17 d) 19 e) 21

2. Si a la edad que tengo en el año 2010,primero le quito la mitad más 1, de lo quequeda, nuevamente le vuelvo a quitar lamitad más 1, y asi sucesivamente repito lamisma operación por 5 veces consecutivas

hasta quedarme con cero años. ¿En qué añonací?

a) 1948 b) 1949 c) 1950 d) 1951 e) 1952

3. En una reunión hay 8 personas, si sesuman sus edades más los años de sus na-cimientos dará 16075. Si la suma se hizo enel 2010. ¿cuántas personas de la reunión yacumplieron años?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6



4. En el año 2010 Panchito decía:“El producto de las cantidades querepresenta las 2 últimas cifras del año demi nacimiento con los 3/11 de la sumade mi edad y dichas cantidades, es igualal año actual. ¿cuándo nació Panchito?

a) 1956 b) 1957 c) 1958 d) 1959 e) 1960

5. La edad de Sonia en el año de1974 era igual a la raíz cuadrada de ladécima parte del año de su nacimiento.¿Cuántos años tendrá Sonia en el 2015?

a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

6. La edad de Elsner al fallecer era 1/90 desu nacimiento. ¿Qué edad tenía el año 2000?

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

7. En el mes de Marzo Lucía sumó alos años que tiene, la mitad de los me-ses que ha vivido obteniendo comoresultado 324. ¿ En qué mes nació Lucía?

a) diciembre b) enero c) febrero d) abril e) mayo

8. En navidad del 2010, Francisco divide elcuadrado de los meses que ha vivido con elsextuplo de los años que tiene obteniendo1281. ¿En qué mes y año nació Francisco?

a) marzo 1957 b) mayo 1957c) junio 1958 d) febrero 1959 e) marzo 1960

9. Las edades de Chayer y Chimeco semuestran en tiempos diferentes en la tablaadjunta. Hallar la suma de sus edades actuales

TiempoPersonas

Pasado Presente Futuro

Chayer a 2b 72 - 2b

Chimeco b a 2b

a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59

10. Thalia nació en la segunda

mitad del siglo XX en el año n2 tenía “n”años. ¿Qué edad tiene actualmente?

a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31

NIVEL I I I

1. En el año 2010 le preguntaron por suedad a Francisco y el contestó: “Mi edad esigual a 1/19 del año de mi nacimiento, me-nos 50 . ¿Cuántos años cumplirá Franciscoen el año 2020?

a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) 64

2. Sonia dice: “Si al año de mi nacimiento lomultiplico por 10 y luego le extraigo la raízcuadrada obtengo 140” ¿Qué edad tiene elhijo Franz de Sonia que nació cuando ellatenía 31 años?

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

3. Un abuelo dice: “Tengo 2 hijos y 4 nietos(2 nietos por cada hijo); las edades de misnietos por parte de cada uno de mis hijosson números primos y se diferencian en 16;mis nietos menores se llevan por 4 años ,lo mismo pasa con mis nietos mayo-

res; La edad de mi hijo primogénito esigual al producto de las edades de sussobrinos y la edad de mi otro hijo es iguala la suma de edades de sus sobrinos”Hallar la suma de edades de loshijos y nietos del abuelo(6 personas).

a) 139 b) 132 c) 138 d) 140 e) 136

4. Aynor nació en el año de y su hijo enel año ; en el año de 1992 las edadesde Aynor y su hijo estaban el la relación de 4 a 1. Determinar la edad actual de Aynor siestamos en el año 2011 y aún no cumple años.

a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 46

5.Un niño resta a los meses que ha vividolos años que tiene, obteniendo un cuadra-do perfecto que tiene raíz cúbica exacta.Si estamos actualmente en el mes de agostodel 2011. ¿En qué mes y año nació el niño?

a) noviembre del 2003 b) diciembre del 2004c) enero del 2005 d) noviembre del 2006e) diciembre del 2007

19ab

19ba

6.El año del nacimiento de Franz es igual aun número capicúa cuya suma de sus dí-gitos es igual a 20, si actualmente estamosen el año 2011. ¿¿Cuntos años tiene Franz?

a)19 b)20 c) 21 d) 22 e) 23

7. Sonia sumó un año, más 2 años, más 3 añosy asi sucesivamente hasta la edad actual quetiene, dando como resultado un número de

tres cifras iguales. ¿ Cúantos años tiene Soniaa)32 b)33 c) 34 d) 35 e) 36

8. Cuando yo tenga 5 veces la edad quetenías cuando yo tenía la edad que tendráscuando yo tenga lo que ya te dije, habrántranscurrido 5 años a partir de ahora. ¿Quéedad tienes , si es la mitad de lo que tengo?

a)8 b)10 c) 12 d) 19 e) 6

9. Tú tienes la mitad menos 5 años de laedad que yo tendré cuando tú tengas lo queyo tenía cuando tú tenías la cuarta parte de

la edad que yo tuviese, si tendría 10 añosmás de los que yo tendré, pero si yo tuviese10 años más de lo que tendré y tú los que tehe dicho que tienes, entonces entre ambostendríamos 110 años. ¿Qué edad tengo?

a)50 b)65 c) 55 d) 56 e) 54

10. Romeo y Julieta tienen varios hijos,. Si lasuma de sus edades y la de sus hijos están enla relación de 2 a 1; si hace 2 años dicha rela-ción era de 7 a 3 y dentro de 4 años será de8 a 5 ¿Cuántos hijos tienen Romeo y Julieta?

a)2 b)3 c) 4 d) 5 e) 6

11. Mi abuelo nació 6 años antes que miabuela y en 1950 la suma de sus edades erala cuarta parte de la suma de sus edades en1965. Si estamos en el año 2011 y mi abueloestá celebrando su onomástico. ¿Cuántosaños está cumpliendo?

a)65 b)66 c) 67 d) 68 e) 69

12. Milagritos dice mi edad es igual a (a+b) ;

además 333a + 333b = 444. ¿Cuántos añostiene Milagritos?a)14 b)15 c) 16 d) 17 e) 18

13. Lucía Antonieta nació en el añoy en el tenía ( a + b ) años. En que

año tendrá a3 + b años.

a)2011 b)2012 c) 2013 d) 2014 e) 2015

19ab

19ba



CAPACIDADES:

Interpretar, comprender, formular, plantear, resolver y aplicar.

APRENDIZAJE ESPERADO:- Interpreta y comprende problemas sobre relojes- Plantea y resuelve problemas con campanadas-Utiliza de manera adecuada las tablas de doble entrada en la solución de proble-mas con tiempos transcurridos- Formula problemas con ecuaciones de relojes malogrados.- Aplica métodos prácticos para el planteo y resolución de problemas con relojesen la vida cotidiana.

ECUACIONES CONRELOJES

Se denomina reloj a uninstrumento que permitemedir el tiempo. Exis-ten diversos tipos, quese adecuan según elpropósito:

Conocer la hora actual (reloj de pulseraautomático o de cuerda, reloj de bolsillo, reloj desalón o pared, cronómetro)Medir la duración de un suceso (cronó-grafo, reloj de arena)Señalar las horas por sonidos parecidosa campanadas o pitidos (reloj de péndulo,reloj de pulso con bip a cada hora)Activar una alarma en cierta hora espe-cífca (reloj despertador).En este capítulo estudiaremos al reloj conmanecillas. FIGURA 1

ESPACIO MANECILLAS

Espacios re-corridos enuna vuelta

HORA-RIO

MINUTE-RO

SEGUN-DERO

x 12x 720xEspacio engrados(hora)

300 3600 7200

Espacio engrados (mi-

nuto)

(1/2)0 600 3600

Tiempo quedemora en

avanzar 300

1 hora 5 minutos 5 segun-dos

Observando detenidamente la gura 1 pode-mos armar:

-El avance del horario es (1/12) del minutero.-El avance del horario es (1/720) del segun-dero.-El segundero avanza 60 veces un minutero.

ÁNGULO QUE FORMAN EL HORARIOY EL MINUTERO A CIERTA HORA( )

I. CUANDO EL HORARIO ESTÁ DELANTE

DEL MINUTERO

=30H - 11 M/2

II. CUANDO EL MINUTERO ESTÁ DELAN-TE DEL HORARIO

α = 11 M/2 - 30H

FUSIONANDO LAS DOS FÓRMULAS

(11 / 2) 30( ) M H = ± ±

α = ángulo buscado H= horas; M = minutosSi 30H > 11M/2 30H es (+) y 11M/2 es (-)Si 30H < 11M/2 30H es (-) y 11M/2 es (+)

EJEMPLOS APLICATIVOS1 ¿Cuál es el menor ángulo que forman lasmanecillas de un reloj a las 7h 30 min?Solución: Grafcando

Mi=Posicióninicial del

minutero Mf=Posición nal del

O minutero Hi=Posición

inicial del horario Hf=Posición

nal del

horarioSegún el gráco debemos calculat el ángulo

Hf O Mf Avance del minutero es igual a 1800

Avance del horario es 1/12 de 1800 = 150

� Hf O Mf =α + � Hi O Mf

� Hf O Mf = 150 + 300 = 450

α

α

�



Segundo método: Con la fórmula(El horario adelanta al minutero)M= 30 α =30H - 11 M/2

H= 7 α =30(7)- 11 (30)/2 α =210 - 65 = 450

2. ¿A qué hora entre las 10 y las 11 el minu-tero está exactamente a 6 minutos del hora-rio?Solución:

Primer método (Gracando)

Mf O Hf = = 6’ de separación

Mf O Hi = 6’ - x de separación

Planteando la ecuación:12x + 6’ - x = 50’x = 4’ 6’ - x = 2’Hora nal: 10 h 48 minutos.

Segundo método (Con la fórmula)

α = 6’ = 36º = 30H - (11M) /2Reemplazando valores en la fórmulaH= 10 M = x36º = 30(10) - (11x) /2x= 528/11 x = 48 Rpta: 10h 48 minutos.

3. ¿Qué hora marca el reloj mostrado en lagura?

�

α �

Solución: (Observando detenidamente elgráco)

Avance del horario: 30º -

Avance del minutero: 180º -Ecuación planteada:30º - = (180º - ) / 12

= 18º = 3’ ( porque 1’ = 6º )El minutero de su posición a la posición nal

avanzó 30’ - = 30’ - 6’ = 24’

Rpta: Marca las 2h 24 minutos.4. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 un relojtiene sus agujas formando un ángulo recto?Solución: Se da dos casos

a) Por primera vez:

Primer método (Gracando)

Ecuación planteada: 12x + 90º = 25’ + x 12x + 15’ = 25’ + x 11x = 10’ x = 10/11Luego el avance del minutero será: 12x 12(10/11)Rpta: Por primera vez forman un ángulo recto alas

a) Por segunda vez: Primer método (Gracando)

Ecuación:12x =25’ + 15’ + x

11x = 40’x = 40/11

Luego: 12x =

12(40)/11 480/11

Rpta: Forman un ángulorecto a las

α

2α

α 2α

α

2α

743

11

75 43 min

11horas

105 10 min

11horas

Segundo método (Con la fórmula )a) Por primera vez:

I. CUANDO EL HORARIO ESTÁ DELANTEDEL MINUTERO

90º = 30(5) - 11/2(M)M = 120/11

Rpta:

105 10 min

11

horas

a) Por segunda vez:

I. CUANDO EL MINUTERO ESTÁ DELAN-TE DEL HORARIO

= 11 M/2 - 30 H 90º = 11 M/2 - 30 (5) [ 2(240º) ]/11= MRpta:

=30H - 11 M/2α

α

75 43 min

11horas



CLAVE DE RESPUESTASPRÁCTICA DE SUCESIONES Nº 1

1.C 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.E

8.E 9.B 10.A 11.E 12.A 13.E 14.C

15.A 16.B 17.D 18.C 19.A 20.B 21.A

22.C 23.D 24.D 25.E 26.A

PRÁCTICA Nº 2 - SERIESNIVEL I NIVEL II NIVEL iii

1. C 6. A 1.E 6. D 1. D 6. C2. A 7. D 2. C 7. A 2. A 7. E

3.C 8. B 3. B 8. D 3. D 8. C

4. D 9. E 4. A 9. B 4. A 9. A

5. D 10. B 5. C 10. D 5. B 10. A

PRÁCTICA Nº 4 - PLANTEO DEECUACIONES

NIVEL I NIVEL II NIVEL III

1. A 6. E 1. A 6. E 1. A 6. E

2. B 7. D 2. B 7. D 2. B 7. D

3. C 8. C 3. C 8. C 3. C 8. C

4. D 9. B 4. D 9. B 4. D 9. B

5. E 10. A 5. E 10. A 5. E

PRÁCTICA Nº 5 - PLANTEO DEECUACIONES CON EDADES

NIVEL I NIVEL II NIVEL III

1. D 6. A 1. E 6. C 1. D 6. B 11. E

2. C 7. B 2. A 7. B 2. A 7. E 12. C

3. A 8. A 3. B 8. A 3.A 8. B 13. D

4. D 9. C 4. B 0. B 4. A 9. C

5. B 10. A 5. D 10. D 5.D 10. C

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