Curs Roboti

8. Modelul dinamic

Modelul dinamic direct permite calculul forelelor robot: Q1 , Q2 ,, Qn ce acioneaz n articulaii. Forele robot sunt momente motoare, n cazul cuplelor de rotaie i fore motoare, n cazul cuplelor de translaie. n fig. 10 este reprezentat o structur RRTRR. Pentru cele patru cuple de rotaiedintre elementele 1/0; 2/1; 4/3 i 5/4 forele robot sunt cuplurile motoare Q1; Q2; Q4 i Q5 , respectiv. n cazul cuplei de translaie dintre elementele 3-2 fora robot reprezint fora motoare Q3 .

n unele cazuri se cere i determinarea reaciunilor pasive din articulaii.

i

i

i

i

q

Ep

q

Ec

q

Ec

dt

d

Q

+

-

=

&

necesare calculelor de rezisten.

Fig. 10

Modelul dinamic invers permite stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii cnd se cunosc forele robot. Modelul dinamic, att cel direct, ct i cel indirect se pot principial rezolva prin folosirea ecuaiilor lui Lagrange. Modelul direct poate utiliza metoda cinetostaticii (Newton-Euler), de tip recursiv. Sunt cunoscute metode recursive i la rezolvarea modelului invers, pentru problema complet, ct i metode de liniarizare.

8.1. Metoda bazat pe formalismul Lagrange de spea a II-a pentru modelul dinamic direct i invers

Metoda derivat din ecuaiile lui Lagrange permite direct deducerea forelor robot. Prin aplicare analitic, dei laborioas, acest metod se poate aplica i pentru rezolvarea problemei inverse a dinamicii.

Ecuaiile lui Lagrange de spea II sunt:

;

n

,...,

2

,

1

i

=

(39)

S-au notat cu Ec i Ep energia cinetic i, respectiv, energia potenial a sistemului:

=

=

=

=

n

1

i

j

n

1

i

i

Ep

Ep

;

Ec

Ec

Energia cinetic a unui element se poate calcula cu relaia de mai jos. Pentru simplificarea scrierii nu a mai fost notat indicele i al corpului.

[

+

w

+

w

+

w

+

+

+

=

2

z

z

2

y

y

2

x

x

2

z

2

y

2

x

c

J

J

J

mv

mv

mv

2

/

1

E

(

)

(

)

(

)

z

y

y

x

z

x

x

z

y

z

z

y

v

v

m

v

v

m

v

v

m

w

w

t

w

w

h

w

w

x

-

+

-

+

-

+

2

2

2

]

x

z

zx

z

y

yz

y

x

xy

J

2

J

2

J

2

w

w

-

w

w

-

w

w

-

(40)

Au fost notate: m- masa corpului;Oxyz - sistemul local de axe legat de corp; Jx , Jy , Jz - momentele de inerie fa de axele x , y , z;Jxy , Jyz , Jzx momente de inerie centrifugale. Dac x, y, z sunt axe principale de inerie ale corpului, atunci momentele de inerie centrifugale sunt nule; vx , vy , vz- componentele vitezei originii sistemului local de axe , fa de sistemul absolut; (x , (y , (z componentele vectorului vitezei unghiulare a corpului;

t

h

x

,

,

- coordonatele centrului de mas n sistemul local de axe; Momentele de inerie centrifugale sunt nule cnd axele adoptate coincid cu axele principale de inerie ale elementelor.

n Structuri 8- Anexa 1.doc este dat un exemplu de calcul.

8.2. Metoda cinetostatic (Newton-Euler) pentru modelul dinamic direct

Metodele bazate pe relaiile cinetostaticii introduc n echilibrul fiecrui element torsorul forelor de inerie. Metodele sunt relativ simple, n special n varianta calculului recursiv. Acceleraiile, de care depinde torsorul forelor de inerie, se calculeaz recursiv pornind de la primul element, iar forele i reaciunile, deasemenea, recursiv, pornind de la ultimul element spre baz. Metoda cinetostatic este avantajoas i n ceea ce privete viteza de calcul.

Aceast metod transform calculul dinamic al corpului ntr-un calcul de echilibru static prin introducerea torsorului de reducere a forelor de inerie. Pentru simplificarea calculelor se recomand adoptarea unor sisteme de axe cu originea n centrul de mas al corpului.

8.2.1. Calculul recursiv al elementelor cinematice ale elementelor

Calculele cinematice vor permite, ca, din aproape n aproape, pornind de la elementul 0 pn la elementul 6, pe baza relaiilor de recuren prezentate mai jos, s fie determinate acceleraiile centrului de mas Oi al corpurilor structurii (fig. 11). Deducerea relaiilor nu este prezentat aici.

Fig. 11

Pentru a separa cazul legrii corpurilor prin cuple de rotaie sau/i de translaie a fost introdus pentru corpul oarecare i , la cupla sa dinspre elementul de rang inferior (i-1), parametrul

i

x

definit astfel:

)

1

(

;

0

i

i

=

x

=

x

pentru cupla de rotaie i

(

)

0

;

1

i

1

=

x

=

x

pentru cupla de translaie.

Versorii axelor cuplelor sunt notai cu ei .

Sunt necesare, n primul rnd, relaiile iterative pentru calculul vitezelor

unghiulare i pentru calculul acceleraiilor unghiulare:

i

i

i

1

i

i

e

q

x

+

w

=

w

-

r

&

r

r

(41)

(

)

i

i

1

i

i

i

i

1

i

i

e

q

e

q

x

w

+

+

e

=

e

-

-

r

r

&

r

&

&

r

r

(42)

Pentru vitezelor i acceleraiile originilor Oi ale sistemulor de axe se utilizeaz relaiile:

1

i

1

i

i

i

1

i

i

b

r

a

r

v

v

-

-

-

w

-

w

+

=

r

r

r

r

r

r

(

)

(

)

(

)

i

i

i

i

1

i

i

1

i

1

i

1

i

1

i

1

i

i

i

i

i

,

a

i

1

i

i

e

q

e

q

2

b

r

b

r

a

r

r

a

a

x

+

w

+

+

w

w

-

e

-

w

w

+

e

+

=

-

-

-

-

-

-

-

r

&

&

r

r

&

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(43)

Relaiile (41)(43) permit calculul recurent al elementelor cinematicii corpurilor.

8.2.2. Calculul dinamic prin metoda Newton-Euler

n fig. 12 este reprezentat corpul i. Sistemul de axe este cel descris mai nainte. Torsorul forelor de inerie redus n centrul de mas Oi are componentele: fora de inerie

i

in

F

r

i momentul de inerie

i

in

M

r

:

i

i

i

a

m

in

F

r

r

-

=

(44)

(

)

i

i

i

in

M

w

w

-

e

-

=

r

r

r

r

i

i

i

J

J

(45)

Fig. 12

Matricea Ji are expresia:

-

-

-

-

-

-

=

z

,

i

zy

,

i

zx

,

i

yz

,

i

y

,

i

yx

,

i

xz

,

i

xy

,

i

x

,

i

i

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

(46)

n cupla Ai apare torsorul forelor provenite de la elementul i-1:

i

,

a

F

r

i

i

,

a

M

r

. n cupla Ai+1 torsorul forelor provine de la elementul i+1. Acesta este reaciunea torsorului din cupla Ai+1 ce acioneaz asupra elementului i+1, adic:

1

i

,

a

i

,

b

F

F

+

-

=

r

r

i

1

i

,

a

i

,

b

M

M

+

-

=

r

r

.

Asupra corpului mai acioneaz greutatea sa

i

G

r

. De asemenea, este posibil aciunea unei fore exterioare

i

e

F

r

i a unui cuplu exterior

i

e

M

r

. Ecuaiile de echilibru ale acestui element sunt:

0

e

F

G

in

F

F

F

i

i

i

1

i

,

a

i

,

a

=

+

+

+

-

+

r

r

r

r

r

(

)

0

M

e

F

r

e

M

in

M

F

r

F

r

M

1

i

,

a

i

e

,

i

i

i

1

i

,

a

i

,

b

i

,

a

i

,

a

i

,

a

=

-

-

+

+

-

-

-

+

+

r

r

v

r

r

r

r

r

r

r

Metodica de calcul se face pornind de la echilibrul elementului n, urmnd elementul n-1, pn la elementul 1. Aceasta presupune calculul succesiv al torsorului

i

,

a

F

r

,

i

,

a

M

r

. Din relaiile de mai sus se deduce:

i

i

i

1

i

,

a

i

,

a

e

F

G

in

F

F

F

r

r

r

r

r

-

-

-

=

+

(47)

i

i

e

,

i

i

1

i

,

a

i

,

b

i

,

a

i

,

a

1

i

,

a

i

,

a

e

M

e

F

r

in

M

F

r

F

r

M

M

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

-

+

-

-

+

=

+

+

(48)

Efectul vectorilor de mai sus asupra elementului depinde de tipul cuplei (fig. 13).

Cazul cuplei de rotaie

n acest caz fora robot Qi este de fapt un cuplu (Mti) i se calculeaz proiectnd pe

i

,

a

M

r

pe axa cuplei, adic:

i

i

,

a

i

i

e

M

Mt

Q

r

r

=

=

(49)

Componenta forei

i

,

a

F

r

pe axa cuplei reprezint sarcin axial a lgruirii respective:

i

i

,

a

i

e

F

Fax

r

r

=

(50)

Fig. 13

Cazul cuplei de translaie

Fora robot este sarcina axial ce trebuie realizat la acionarea cuplei:

i

i

,

a

i

i

e

F

Q

Fm

r

r

=

=

(51)

Componenta Maxi a

i

a

M

,

r

pe axa cuplei reprezint o solicitare a sistemului de mpiedicare a rotirii ghidajului:

i

i

,

a

i

e

M

Max

r

r

=

(52)

Componente cu semnificaie comun ambelor tipuri de cuple

Componenta lui

i

,

a

M

r

perpendicular pe axa cuplei reprezint ncrcare transversal a lagrului, respectiv ghidajului. Calculul acestei componente se face cu relaia:

(

)

i

i

,

a

i

i

e

M

e

n

M

r

r

r

r

=

(53)

Dac intereseaz numai mrimea, aceasta se poate calcula astfel:

2

i

2

i

i

Max

Ma

Mn

-

=

(54)

Componenta lui

i

,

a

F

r

perpendicular pe axa cuplei reprezint sarcin radial pentru lgruire (ghidaj):

(

)

i

i

,

a

i

i

e

F

e

n

F

r

r

r

r

=

(55)

Mrimea se poate calcula direct:

2

i

2

i

i

Max

Ma

Fn

-

=

(56)

Ca exemplificare, n fiierul Structuri 8- Anexa 1.doc este redat calculul dinamic pentru structura RRR din fig. 8. Se calculeze momentele motoare din cuple i reaciunile din cuple. Pe lng elementele geometrice se cunosc, n plus, elementele ineriale mi i momentele de inerie ale elementelor fa de axele proprii, date prin matricele Ji.

Vectorul acceleraiei gravitaionale este

(

)

T

81

,

9

0

0

g

-

=

, dat fiind orientarea axei OZ0 .

Se calculeaz vectorii forelor din cuple Fa i vectorii momentelor Ma cu relaiile (47) i (48). Deoarece calculul recursiv pornete de la elementul fictiv cu i = 4 i aceste matrice apar cu 4 coloane. Vectorul corespunztor unui element i (i = 13) este cuprins n coloana respectiv, ce se poate extrage introducnd indice superior: Fa< i > i Ma< i >. Matricele sunt calculate ca funcii de vectorul coordonatelor robot q.

Forele robot Qi sunt de natur momente de torsiune avnd de a face cu cuple de rotaie. Sunt calculate cu relaiile (52) i sunt redate printr-un vector ale crui componente corespund celor trei elemente. Mai sunt calculate: fora axial din cuple cu relaia (50); fora normal (radial) cu relaia (55); momentul normal (transversal) dat de relaia (53). Fora normal i momentul normal sunt vectori; din componentele lor li se poate determina direcia. Se pot calcula i modulele aspect ce nu este cuprins n program.

Aa cum s-a mai spus programul Matcad este ilustrativ, fiind lent. Pentru lucru n timp real se vor folosi programe adecvate: C sau Pascal.

_1128527754.unknown

_1128527929.unknown

_1128527956.unknown

_1128528085.unknown

_1128547497.unknown

_1128547505.unknown

_1128547580.unknown

_1128547487.unknown

_1128527996.unknown

_1128528083.unknown

_1128528084.unknown

_1128528081.unknown

_1128528082.unknown

_1128528007.unknown

_1128527988.unknown

_1128527940.unknown

_1128527950.unknown

_1128527938.unknown

_1128527773.unknown

_1128527921.unknown

_1128527927.unknown

_1128527918.unknown

_1128527766.unknown

_1128527770.unknown

_1128527758.unknown

_1127736342.unknown

_1128527706.unknown

_1128527746.unknown

_1128527750.unknown

_1128527712.unknown

_1128527688.unknown

_1128527699.unknown

_1127743386.unknown

_1128527647.unknown

_1127738924.unknown

_980781709.unknown

_980790954.unknown

_1016921117.unknown

_1016921291.unknown

_1016921367.unknown

_1016921130.unknown

_1016920535.unknown

_980790925.unknown

_980780991.unknown

_980780999.unknown

_980448923.unknown