İSTATİSTİK II OLASILIK-3 · 2020. 3. 20. · İSTATİSTİK II OLASILIK-3 Dr. Öğretim Üyesi...

İSTATİSTİK IIOLASILIK-3

Dr. Öğretim Üyesi Muhlis ÖZDEMİR

http://www.sultankuzu.com/Dr. Öğr. Üyesi Muhlis ÖZDEMİR 2

Örnek 10:

!" = 100, ' = 16 )* + = 600 olan bir dağılım için aşağıdaki soruları yanıtlayınız.

a.) 84 ve ortalama arasında puan alanların yüzdesi ve sayısı nedir?b.) Puanı 84’ün üstünde olan kaç kişi vardır?

Dr. Öğr. Üyesi Muhlis ÖZDEMİR 3

Çözüm 10:


! = #$#% = &'$())

(* = −1,00à 0,3413

600 * 0,3413 = 204,78 = 205 kişi

0,3413 + 0,50 = 0,8413 à 0,8413 * 600 = 504,78 = 505 kişi

Örnek 11:

Bir sınavdan A alınabilmesi için sınıfın en iyi %10’luk grubuna girilmesi gerektiği bilinmektedir. Sınıfın ortalaması 70, standart sapması 14 ve puanlar normal dağılım gösterdiğine göre bir öğrencinin A alabilmesi için alması gereken minimum not kaçtır?


Çözüm 11:


%10’luk dilim demek ortalama ile %10’un başladığı alan arasında kalan alanın %40 olması demektir.

Bu da 0,3997 ile Z = 1,28’e karşılık gelecektir.

! = # − %#& => 1,28 = # − 70

14 => 17,92 = # − 70 => # = 87,92

%10’luk dilime girebilmek için sınavdan 87,92 ve üzerinde bir not almak gerekir.

Örnek 12:

Bir ölçümden elde edilen puanlar 9, 6, 10, 7, 10, 10, 11, 9, 12, 8, 7, 9 olduğuna göre bunlardan;• 10 ham puanı için z’yi hesaplayınız.• 6 ham puanı için z’yi hesaplayınız.


Çözüm 12:


!" (!" − !%) (!" − !%)' 6 -3 9 7 -2 4 7 -2 4 8 -1 1 9 0 0 9 0 0 9 0 0

10 1 1 10 1 1 10 1 1 11 2 4 12 3 9 108 0 34

(% = ∑!"+ ve

, = -(!"−!.)'+/0 olduğuna göre

1. = ∑234 = 567

58 = 9

, = -(:;−:.)24/5 = - =>

58/5 = 1,758≅ 1,76

Çözüm 12:


a. # = %& '%( = )*&+

),-. = 0,56

b. # = %& '%( = .&+

),-. = −1,70

Örnek 13:

Ortalaması 60 ve standart sapması 12 olan bir normal dağılımda;• 25. Yüzdelikteki puan nedir?• 75. Yüzdelikteki puan nedir?• 65 puanın üzerinde olanların yüzdesi nedir?• 66 puanın altında olanların yüzdesi nedir?


Çözüm 13:


a. 0,2486 ile Z = -0,67 olur.

b. Z = 0,67 olur.

c. ! = #$ %#& = '($')

*+ = 0,42 à 0,1628’dir. 65 puanın

üzerià 0,5 – 0,1628 = 0,3372 olur.

d. ! = #$ %#& = ''$0)

*+ = 0,33 à 0,1293’tir. 66 puanın altı à

0,5 – 0,1293 = 0,3707 olur.

Örnek 14:

85 kişilik bir sınıfta Yapay Zeka ile İşletmecilik Uygulamaları dersinden sınava girenlerin notlarının ortalaması 72, varyansı ise 144’tür. Alınan notlar normal dağılıma uymaktadır. Bu durumda söz konusu dersten sınava giren öğrencinin;• 70’ten az• 70’ten çok• 48 ile 81 arasında not alma ihtimali nedir?


Çözüm 14:


a. ! = #$#%& = '($')

*) = −0,17 => 0,0675 =>

0,5 – 0,0675 = 0,4325olur.

b. Z = 0,17 => 0,0675 => 0,5 + 0,0675 =

0,5675 olur.

c. P(48<X<81) Bu değerler için Z dönüşümü

yapılacak olursa;

!* = #$#%& = 12$')*) = −2 à 0,4772

!) = #$#%& = 2*$')*) = 0,75 à 0,2734

0,4772 + 0,2734 = 0,7506 = %75,06

!"#$"%& 144)*+,ğ,%" .ö#0Standart sapma

12’dir.

Örnek 15:

Bir öğrencinin sosyal medyada her gün geçirmiş olduğu zaman dakika olarak normal dağılım göstermiş olup, günlük ortalama zaman sarfiyatı 12 dakika ve varyansı 4 dakika olarak belirlenmiştir. Bu duruma göre bir yıl boyunca söz konusu öğrencinin sosyal medyada;• 17 dakikadan fazla zaman harcadığı gün sayısı• 10 dakikadan az zaman harcadığı gün sayısı• 9 ile 13 dakika arasında zaman harcadığı gün sayısını bulunuz.


Çözüm 15:


!"#$"%& 4()*+ğ+%" -ö#/Standart sapma

2’dir.

a. !" = $%$&' = ")%"** = 2,5 à 0,4938 => 0,5

– 0,4938 = 0,0062 * 365 = 2,26 ≅ 2 gündür.

b. !" = $%$&' = "/%"** = −1 à 0,3413 => 0,5

– 0,3413 = 0,1587 * 365 = 57,9 ≅ 58 gündür.

c. P(9<X<13) Bu değerler için Z dönüşümü

yapılacak olursa;

!" = $%$&' = 2%"** = −1,5 à 0,4332

!* = $%$&' = "3%"** = 0,5 à 0,1915

0,4332 + 0,1915 = 0,6247 = %62,47

0,6247 * 365 = 228,01 ≅ 228 gündür.

Örnek 16:

Bir ülkede yaşayan insanların boy uzunlukları normal dağılım göstermekte olup, aritmetik ortalaması !, standart sapması ise 12 cm’dir. Aynı zamanda bu ülkede yaşayanların %4,78’inin 180 cm’den uzun olduğu bilinmektedir. Bu durumda ülkenin boy ortalaması kaç cm’dir.


Çözüm 16:


%4,78’lik dilim demek ortalama ile %4.78’in başladığı alan

arasında kalan alanın %45,22 olması demektir. Bu da 0,4522

ile Z = 1,67’ye karşılık gelecektir.

! = # − %& =>

1,67 = ,-./0,1 => % = 159,96 cm

Örnek 17:

• Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta alabileceği sürekli değişen değerleri normal dağılmış olup, ortalaması 200 ve varyansı ise !"’dir. P(fx<212) = 0,8849 olduğuna göre bu fonksiyonun aldığı değerlerin standart sapmasını bulunuz.


Çözüm 17:


%88,49’luk dilimin %50’si aritmetik ortalamanın

altında olacağından aritmetik ortalama ile 212

puanı arasında kalan alan %38,49 olması

demektir. Bu da 0,3849 ile Z = 1,20’ye karşılık

gelecektir.

! = 212 − 200' =>

1,20 = *+, => ' =10

Örnek 18:

• Bir bankada çalışanların ağırlıkları normal dağılım göstermekte olup, ortalaması !, standart sapması ise "’dır. Yapılan ölçümler neticesinde; bankacıların %5’inin 85 kg.’dan yüksek, %10’unun ise 65 kg.’dan düşük ağırlıkta oldukları gözlemlenmiştir. Bankacıların ağırlıklarının ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz.


Çözüm 18:


%5’lik dilim ile aritmetik ortalama arasında kalan alan %45 olacağından Z = 1,65’e karşılık gelecektir.

! = 85− &' =>

1,65 = 85− &' =>

,,-./ = 0.− 1

Çözüm 18:


%10’luk dilim ile aritmetik ortalama arasında kalan alan %40 olacağından Z = -1,28’e karşılık gelecektir.

! = 65− &' =>

−1,28 = 65− &' =>

−-,./0 = 12− 3

Çözüm 18:


1,65% = 85− )1,28% = −65+ )

İfadeler alt alta toplanırsa eğer;20 = 2,93% değeri elde edilir. % = 6,825 kg. olarak bulunur.

Bu değer denklemlerden birisine konulduğunda; 1,65 ∗ 6,825 = 85− )) = 73,738 kg. olarak bulunur.

İSTATİSTİK II OLASILIK-3 · 2020. 3. 20. · İSTATİSTİK II OLASILIK-3 Dr. Öğretim Üyesi...

Documents

Transcript of İSTATİSTİK II OLASILIK-3 · 2020. 3. 20. · İSTATİSTİK II OLASILIK-3 Dr. Öğretim Üyesi...