STATISTIKA - istiarto.staff.ugm.ac.id Continuous Probability... · Type I –extreme value smallest...
Transcript of STATISTIKA - istiarto.staff.ugm.ac.id Continuous Probability... · Type I –extreme value smallest...
STATISTIKA
Continuous Probability Distributions
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan
Universitas Gadjah Mada
5-Sep-14http://istiarto.staff.ugm.ac.id 1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 2
Continuous Probability Distributions
Normal Distribution
Uniform Distribution
Exponential Distribution
Gamma Distribution
Lognormal Distribution
Extreme Value Distributions
Extreme Value Type I
Extreme Value Type III Minimum (Weibull)
Beta Distribution
Pearson Distributions
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 3
Normal Distribution
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 4
Distribusi Uniform
X
pX(x)
a b
pdf: pX x( ) =1
b-a, a £ x £ b
cdf: PX x( ) =x -a
b-a, a £ x £ b
E X( ) = 12
b+a( ) var X( ) = 112
b-a( )2
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 5
Distribusi Eksponensial
pdf: pX x( ) = le-l x , x > 0, l > 0
cdf: PX x( ) = le-l t d t
0
x
ò =1- e-l x , x > 0
X
pX(x)
cs = 2 (konstan)
Coefficient of skew:
estimasi l =
1
X
Parameter l:
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 6
Distribusi Gamma
Penjumlahan sejumlah n variabel random berdistribusi
exponensial, masing-masing berparameter l, menghasilkan
variabel random berdistribusi gamma dengan parameter l.
pdf ® pX x( ) = lh xh-1 e-l x G h( ) , x,l,h > 0
cdf ® PX x( ) = lh th-1 e-l t G h( ) d t
0
x
ò
® PX x( ) =1- e-l x l x( )j
j!j=0
h-1
å , h = integer
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 7
Distribusi Gamma
G h( ) = fungsi gamma
G h( ) = h-1( )!, h =1,2,3,...
G h+1( ) = hG h( ) , h > 0
G h( ) = th-1 e-h d t
0
¥
ò , h > 0
G 1( ) = G 2( ) =1
G 12( ) = p
E X( ) = h l
Mean:
var X( ) = h l2
Variance:
g = 2 h
Coef. of skew:
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 8
Distribusi Gamma
h= konstan
X
pX(x)
l1
l2 < l1
l3 < l2 < l1
pX x( ) =1
G h( )lh xh-1e-l x , x,l,h> 0
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 9
Distribusi Lognormal
Variabel random X
Jika disusun dari penjumlahan sejumlah pengaruh variabel kecil, maka
X kemungkinan besar berdistribusi normal.
Jika disusun dari perkalian sejumlah pengaruh variabel kecil, maka ln X
kemungkinan besar berdistribusi normal.
X = X1+ X2 + ...+ Xn
X i = berdistribusi normal
X = berdistribusi normal
X = X1 × X2 × ...× Xn
ln X = ln X1 + ln X2 + ...+ ln Xn ln X = berdistribusi normal
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 10
Distribusi Lognormal
pY y( ) =1
sY 2pe-1
2y-mY( )
2sY
2
, -¥ < y < +¥
pX x( ) = pY y( )d y
d x
Y = ln X
Yi = ln X i Y berdistribusi normal
Distribusi X ?
pX x( ) =1
xsY 2pe-1
2ln x-mY( )
2sY
2
, x > 0
Y = ln X Þd y
d x=
1
x, x > 0
Y = Y1 +Y2 + ...+Yn
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 11
Distribusi Lognormal
Y = 12
lnX 2
cv2 +1
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
sY2 = ln cv
2 +1( )
Estimasi mY dan sY
Data xi ditransformasikan dulu menjadi yi = ln xi
cv = koefisien variasi data asli
cv =sX
X
mY ®Y
sY ® sY
Cara lain:
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 12
Distribusi Lognormal
• Mean
E X( ) = e
mY +12sY
2æ
èç
ö
ø÷
• Varian
var X( ) =m X2 e
sY2
-1æ
èç
ö
ø÷
• Koefisien variasi
cv = esY
2
-1æ
èç
ö
ø÷
2
• Coefficient of skew
g = 3cv + cv
3
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 13
Distribusi Nilai Ekstrem
Contoh nilai ekstrem
Debit banjir
Debit minimum
Nilai-nilai ekstrem variabel random juga merupakan variabel random.
Distribusi variabel random nilai ekstrem tsb bergantung pada:
distribusi variabel random tempat asal variabel nilai ekstrem tsb diperoleh parent distribution
jumlah/ukuran sampel
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 14
Distribusi Nilai Ekstrem
Contoh
Variabel random
X = x1,x2,...,xn
PY y( ) = prob Y £ y( )PXi
x( ) = prob X i £ x( )
Y = nilai ekstrem variabel random tersebut
PY y( ) = prob Y £ y( ) = prob semua x yang £ y( )
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 15
Distribusi Nilai Ekstrem
maka:
PY y( ) = PX1
y( ) × PX2y( ) × × × PXn
y( ) = PX y( )éë
ùûn
pY y( ) =d PY y( )
d y= n PX y( )é
ëùûn-1 d PX y( )
d y
= n PX y( )éë
ùûn-1
pX y( )
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 16
Distribusi Nilai Ekstrem
Contoh
Waktu antara 2 hujan berurutan berdistribusi eksponensial.
Waktu rata-rata antara 2 hujan = 4 hari
Waktu antara tsb merupakan kejadian independent satu
dengan yang lain
Dicari:
waktu antara terbesar, misal probabilitas waktu antara tsb lebih besar
daripada 8 hari.
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 17
Distribusi Nilai Ekstrem
Ditinjau 10 kejadian hujan
h h h h h h h h h h
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 n = 9
Distribusi Eksponensial:
pX x( ) = l e-l x , x > 0, l > 0
PX x( ) =1- e-l x , x > 0
E X( ) = l-1
Þ l =1
E X( )l =
1
X
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18
Distribusi Nilai Ekstrem
pX x( ) = 14
e-1
4x
PX x( ) =1- e-1
4x
PY 8( ) = prob Y £ 8( ) = prob semua x £ 8( )
= PX 8( )éë
ùû
9
= 1- e-2( )9
= 0.271
prob Y > 8( ) =1-0.271
= 0.729
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 19
Distribusi Nilai Ekstrem
Permasalahan yang sering ditemui adalah bahwa jenis parent distribution tidak diketahui.
Hal ini diatasi dengan
ukuran sampel cukup besar, n »
pemakaian distribusi asimtotis
dikenal 3 jenis distribusi asimtotis
Type I – parent distribution unbounded in direction of the desired extreme and all moments of the distribution exist (exponential type distributions)
Type II – parent distribution unbounded in direction of the desired extreme and all moments of the distribution do not exist (Cauchy type distributions)
Type III – parent distribution bounded in the direction of the desired extreme (limited distributions)
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 20
Distribusi Nilai Ekstrem
Permasalahan yang menjadi interest umumnya menyangkut nilai-nilai ekstrem maximum atau extrem minimum.
Beberapa contoh parent distributions
Type I – extreme value largest – normal, lognormal, eksponential, gamma
Type I – extreme value smallest – normal
Type II – extreme value largest or smallest – distribusi Cauchy
Type III – extreme value largest – distribusi beta
Type III – extreme value smallest – beta, lognormal, gamma, eksponential
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 21
Distribusi Nilai Extrem (9)
Permasalahan di bidang hidrologi
Type II – extreme value largest or smallest
jarang dijumpai/dipakai
Type I – extreme value largest
nilai ekstrem maksimum sering mengikuti distribusi jenis ini
mengingat banyak variabel hidrologi unbounded di sisi kanan
Type III – extreme value smallest
nilai ekstrem minimum sering mengikuti distribusi jenis ini
mengingat banyak variabel hidrologi bounded di sisi kiri oleh
nilai nol
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 22
Type I Extreme Value Distribution
(Gumbel Distribution)
pX x( ) = exp ∓ x -b( ) a-exp ∓ x -b( ) aé
ëùû{ } a
-¥ < x < +¥
-¥ < b < +¥
a > 0
− untuk nilai maksimum
+ untuk nilai minimum
α = skala
β = lokasi = mode
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 23
Type I Extreme Value Distribution
(Gumbel Distribution)
E X( ) = b+0.577a (max)
= b-0.577a (min)
var X( ) =1.645a2 (max min)
g =1.1396 (max)
= -1.1396 (min)
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 24
Type I Extreme Value Distribution
(Gumbel Distribution)
PY y( ) = exp ∓ t - exp ∓t( )éë
ùû d t
-¥
+¥
ò , -¥ < y < +¥
= exp - exp -y( )éë
ùû (max)
=1-exp -exp y( )éë
ùû (min)
Y =
x -b
a
Pmin y( ) =1- Pmax -y( )
Dengan memakai transformasi
− untuk nilai maksimum
+ untuk nilai minimum
pY y( ) = exp ∓ y -exp ∓ y( )é
ëùû
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 25
Type I Extreme Value Distribution
(Gumbel Distribution)
Estimasi parameter α dan β
a =s
1.283
b = X -0.45s (max)
= X +0.45s (min)
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 26
Type II Extreme Value Distribution
PX x( ) = 0 if x £ b
= exp -u -b
x -b
æ
èç
ö
ø÷
ké
ë
êê
ù
û
úú
if x ³ b
k > 0 ® bentuk
u -b > 0 ® skala
b ® lokasi
E X( ) = b+ u -b( ) G 1-1 k( )
var X( ) = u -b( )2
G 1- 2 k( ) -G2 1-1 k( )éëê
ùûú, k > 2
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 27
Type III Extreme (Minimum) Value Distribution
(Weibull Distribution)
pX x( ) = a xa-1b-a exp -x
b
æ
èç
ö
ø÷
aé
ë
êê
ù
û
úú, x ³ 0
PX x( ) =1-exp -x
b
æ
èç
ö
ø÷
aé
ë
êê
ù
û
úú
E X( ) = b G 1+1 a( )
var X( ) = b2 G 1+ 2 a( ) -G2 1+1 a( )éëê
ùûú
g =G 1+3 a( ) -3G 1+ 2 a( )G 1+1 a( )+ 2G3 1+1 a( )
G 1+ 2 a( ) -G2 1+1 a( )éëê
ùûú
3 2
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 28
Type III Extreme (Minimum) Value Distribution
(Weibull Distribution)
l = b-a
l =n
xia
i=1
n
å
a =n
l xia ln xi
i=1
n
å - ln xi
i=1
n
å
b = a( )-1 a
Estimates:
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 29
Extreme Value Distributions
Silakan baca discussion pada hlm 118 (Haan, 1982)
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 30
Beta Distribution
pX x( ) = xa-1 1- x( )
b-1B a,b( ) , 0 < x <1 and a,b > 0
Distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah
B a,b( ) = beta function
= xa-1 1- x( )b-1
d x
0
1
ò
=G a( )G b( )G a+b( )
E X( ) =a
a+b
var X( ) =ab
a+b+1( ) a+b( )2
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 31
Pearson Type III Distribution
pX x( ) = p0 1+ x a( )
a 5e-x d
• mode di x = 0
• batas bawah di x = −α
pX x( ) = p0 e- x-a( ) d x
a
æ
èç
ö
ø÷
a b
• mode di x = α
• batas bawah di x = 0
Dengan transformasi (translasi) sehingga:
5-Sep-14
DISTRIBUSI SAMPEL
STATISTIK
Distribusi Chi-square
Distribusi t
Distribusi F
5-Sep-14http://istiarto.staff.ugm.ac.id 32
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 33
Chi-square Distribution
Z =
X -m
svariabel random berdistribusi normal
pc2 x( ) =
x- 1-n 2( )
e-x 2
2n 2 G n 2( )
x,n > 0
n = 2h
Distribusi chi-square = distribusi gamma denganλ = ½η = kelipatan ½
Y = Zi2
i=1
n
å berdistribusi chi-square dengan n degrees of freedom
E c2( ) = n var c2( ) = 2n n = X
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 34
t Distribution
Y dan U independent
pT t( ) =G 1
2n+1( )é
ëùû 1+ t2 n( )
-12
n+1( )
pn G n 2( )-¥ > t < +¥
n > 0
X = Yn
U berdistribusi t dengan ν degrees of freedom
E T( ) = 0
var c2( ) =n
n- 2untuk n > 2
Y = normal standar
U = chi-square
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 35
F Distribution
U dan Vindependent
pF f( ) =G 1
2g1 + g2( )é
ëùûg1
g1 2g
g2 2f
12
g1-2( )
g2 + g1 f( )12
g1+g2( )G g1 2( )G g2 2( )
g1,g2 > 0
X = U m( ) V n( ) berdistribusi F dengan γ1 = m dan γ2 = n
degrees of freedom
E F( ) =g1
g2 - 2var F( ) =
g22 g1 + 2( )
g1 g2 - 2( ) g2 - 4( )
U = chi-square dengan γ = m degrees of freedom
V = chi-square dengan γ = n degrees of freedom
maka:
5-Sep-14
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 365-Sep-14