STATISTICA PER LE DECISIONI DI MARKETING

Andrea Cerioliandrea.cerioli@unipr.it

Sito web del corso

IL MODELLO DI REGRESSIONE LOGISTICA

Introduzione e inferenza

Materiale didattico: dispensa sulla regressione logistica (c/o Ufficio fotocopie del Dipartimento)

Previsione di una variabile dicotomica• La variabile da prevedere (Y = var. dipendente del

modello) è dicotomica: presenza/assenza di una caratteristica:– Compra / non compra un prodotto o categoria di prodotti– Appartiene / non appartiene a un certo profilo o segmento di clientela– Aderisce / non aderisce a una campagna promozionale– E’ solvente / è insolvente– …

• Le variabili esplicative X1, X2, … Xk-1 forniscono informazioni su fattori ritenuti rilevanti nella previsione di Y. Nel Trade marketing, spesso tali variabili sono tratte dal database aziendale:– Spesa per prodotti/categorie correlate– Comportamento di acquisto precedente– Informazioni sul comportamento complessivo di acquisto (spesa tot.,

scontrino medio, numero di visite in pdv, tipologia di pdv frequentata …)

• Le variabili esplicative X1, X2, … Xk-1 possono essere sia quantitative che qualitative

• Se disponibili, si possono usare anche informazioni esterne:– Reddito– Età, sesso e caratteristiche socio-demografiche– Comportamento presso i competitor (share of wallet, spesa c/o altre

insegne …)

Punteggio (score) per l’unità i

• k-1 variabili esplicative. Per ogni unità i (i=1, …, n):

• La combinazione lineare fornisce un punteggio (score) per l’unità i: analogia con la parte sistematica del modello di regressione lineare

• L’ obiettivo è però differente rispetto alla regressione: il punteggio è utilizzato per prevedere la classe a cui

appartiene l’unità i (Yi) separazione lineare tra le

classi

• In questo modello, che cosa descrive la combinazione lineare delle variabili esplicative (cioè che cosa mettiamo a sin. dell’=)?

'1 2 , 1

0 1 1 1 , 1

(1, , ,..., )

...i i i i k

i k i k

x x x x

b b x b x

• Nella regressione: Y = variabile dipendente quantitativa (con distribuzione normale)

• La combinazione lineare delle variabili esplicative descrive quindi il valore atteso di yi

• Nel problema in esame: Y = variabile dipendente dicotomica (che rappresentiamo con una distribuzione di Bernoulli)

E(yi)=i: probabilità di “successo” per l’unità i

yi Probabilità

0 1 - i

1 i

Tot. 1

Modello di regressione per Y dicotomica

• I parametri possono essere stimati con il metodo dei minimi quadrati (v. regressione multipla). Però:

– Sono violate le ipotesi del modello sulla variabile dipendente Y (Quali?)

– Non è detto che la stima di i sia compresa in [0; 1]

– Adattare un modello in [0; 1] è più complicato che non su tutta la retta reale

• Trasformazione dall’intervallo [0; 1] a R: logit

0 1 1 1 , 1...i i k i kx x

Logit

• Logit di Y dicotomica Y=1 oppure Y=0:

• Logit = logaritmo della “quota relativa” (odds):

Odds = /(1 – ) = P(Y=1)/P(Y=0)

• v. Zani-Cerioli, p. 102 + Complemento 1

( 1) ( 1)logit[ ( 1)] log log log

1 ( 1) ( 0) 1

P Y P YP Y

P Y P Y

Logit• Logit in presenza di k-1 variabili esplicative

X1, X2, …:

• Modello di regressione per logit[(xi)]

1 1 2 2 1 , 1( ) ( 1| , ,..., )

( )logit[ ( )] log

1 ( )

i i i i k i k

ii

i

x P Y X x X x X x

xx

x

0 1 1 1 , 1( )

log ...1 ( )

ii k i k

i

xx x

x

Regressione Logistica

• Il modello è lineare nei parametri: lo score per l’unità i è una combinazione lineare dei valori osservati xi1 … xi,k-1

• Il modello non è però lineare in (xi): non si può più utilizzare il metodo dei minimi quadrati

• Metodo alternativo di stima: massima verosimiglianza (maximum likelihood) v. Complemento 2

• Non esiste una formula esplicita per le stime dei parametri del modello: algoritmo di stima iterativo che risolve un sistema di equazioni non lineari

• Tale sistema di equazioni si basa sulla distribuzione congiunta di Y1, Y2 … Yn (quale distribuzione?)

• Spesso i valori delle variabili esplicative sono raggruppati in classi: tabelle di contingenza (multiple)

0 1 1 1 , 1( )

log ...1 ( )

ii k i k

i

xx x

x

Regressione logistica - Esempio• n = 40 clienti• Obiettivo (semplificato): prevedere il comportamento

di acquisto su un prodotto di largo consumo in base a reddito (supposto noto) e sesso del consumatore

• Prime 10 righe della matrice dei dati:

v. Sito del corso: Esempio introduttivo alla regressione logistica

Analisi preliminari con SPSS (per esercizio):Distribuzione di X=reddito (valori anomali, forma di

distribuzione …)Associazione tra Y e le X

In SPSS

Esempio: Modello 1 (regr. log. semplice)

• Comportamento di acquisto (Y) in funzione di X1 = sesso del consumatore (variabile dummy):

• Codifica X1 (arbitraria): xi1 = 0 (F); xi1 = 1 (M)

• Output SPSS modello logistico:

• Quale interpretazione dei parametri?• Significatività dei risultati (test e intervalli

di confidenza)

0 1 1( )

log1 ( )

ii

i

xx

x

Modello 1 – interpretazione parametri• Una sola variabile esplicativa X1 dicotomica

(dummy)• Se xi1 = 0 (consumatore femmina):

• Se xi1 = 1 (consumatore maschio):

• Quindi 1 è la differenza tra il logit per i maschi (X=1) e il logit per le femmine (X=0).

• Proprietà di log:

• Pertanto: exp(1) = Odds Ratio (v. ZC, pp. 100-102)

0( )

log1 ( )

i

i

x

x

0 1( )

log1 ( )

i

i

x

x

1

( ) 1 ( )log log ODDS RATIO

( ) 1 ( )i i M

i i F

x x

x x

exp(0) è la quota relativa (odds) (xi)/[1- (xi)] per il gruppo delle femmine

exp(0+1) è la quota relativa (odds) per il gruppo dei maschi

Interpretazione parametri -2• E’ possibile scrivere il modello logistico esplicitando la

probabilità di successo (xi):

• Formula per la stima di (xi)• Tale relazione vale anche con più variabili esplicative• Tale formula esprime (xi) come funzione di

ripartizione di una particolare v.a. (v.a. logistica) Funzione logistica: v. grafico

0 1 1

0 1 1

0 1 1 0 1 1

0 1 1

0 1 1 0 1 1

( )log

1 ( )

( )exp

1 ( )

( ) exp ( )exp

exp 1( )

1 exp 1 exp

ii

i

ii

i

i i i i

ii

i i

xx

x

xx

x

x x x x

xx

x x

Funzione logistica (0=0; 1 = 1)

• Funzione non lineare tra la probabilità (x) e x una retta crescerebbe invece indefinitamente (v. grafico)

• Pendenza della curva: 1 (x) [1-(x)] 1>0 andamento crescente; 1<0 andamento decrescente

• L’effetto sulla probabilità di una variazione unitaria di x non è costante: è max quando (x)=0.5 (punto di ascissa x=-0/1) implicazioni di marketing

• Tale effetto è simmetrico rispetto a (x)=0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

Probabilità

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

Probabilità

Modello 1 – aspetti inferenziali

• Output:

• E.S.: errore standard (asintotico) =

• Se n è grande, la stima della matrice di cov. di cappello è:

• Wald = statistica t2 per la verifica di H0: j=0 contro H1: j0

• Se H0 è vera, in grandi campioni

• Chi-quadrato con df=1: [N(0, 1)]2

• P-value:

• Intervalli di confidenza (asintotici): interpretazione (ZC§6.2)

ˆvar( )j

22

ˆ

ˆvar( )

j

jW t

2 21W t

21 0( | vera)obsP W H

1ˆ ˆ' [ ( ) 1 ( )i i iX diag n x x X

Esempio: Modello 2 (per esercizio)• Comportamento di acquisto (Y) in funzione del reddito

del consumatore (3 classi):

• Codifica X1 (parzialmente arbitraria): – xi1 = 1 se Reddito < 45

– xi1 = 2 se Reddito compreso tra 45 e 54

– xi1 = 3 se Reddito > 54

• Output modello logistico:

• Interpretazione dei parametri e inferenza• Effetto della scelta delle classi e della loro

quantificazione?

0 1 1( )

log1 ( )

ii

i

xx

x

Esempio: Modello 2bis• Comportamento di acquisto (Y) in funzione del

reddito del consumatore (variabile quantitativa):

• Output modello logistico:

• Interpretazione dei parametri e inferenza

• Effetto del reddito a parità di sesso?

0 1 1( )

log1 ( )

ii

i

xx

x

Esempio: Modello 3 (regr. log. multipla)• Comportamento di acquisto (Y) in funzione del sesso

(X1) e del reddito (X2) del consumatore:

• X1 è dummy: – Se xi1 = 1 (M)

– Se xi1 = 0 (F)

• Adattare un modello logistico tra Y, X1 (dummy) e X2 equivale ad adattare due modelli logistici diversi tra Y e X2: un modello per M e un altro per F.

• Tali modelli differiscono per l’intercetta; la pendenza è invece la stessa (2)

0 2 2( )

log1 ( )

ii

i

xx

x

0 1 2 2( )

log1 ( )

ii

i

xx

x

0 1 1 2 2( )

log1 ( )

ii i

i

xx x

x

Esempio: Modello 3 (X2 = reddito quant.)

• Output modello logistico:

• Interpretazione dei parametri: coefficienti netti (parziali)

• L’effetto del reddito (a parità di sesso) ora è triplicato ed è significativo

• Confronto tra associazione marginale e parziale (v. tabella a doppia entrata e a tripla entrata)

0 1 1 2 2( )

log1 ( )

ii i

i

xx x

x

Esempio: Relazione tra Y e reddito (in classi)• Senza considerare il sesso (v. Modello 2): non significativa

• Distinguendo M e F: la relazione è molto più forte nei 2 gruppi

Modello 3: Stima della probabilità di acquisto• Ad esempio: consumatore F di reddito 40:

• Se invece il consumatore è M (reddito=40):

• Nel Modello 2bis (non distingue tra M e F):

• E’ possibile considerare un coeff. del Reddito diverso per M e F?

ˆ( )log 9.843 3.49 0 0.158 40 3.523

ˆ1 ( )

ODDS = exp( 3.523) 0.0295

exp( 3.523) 1ˆ( ) 0.0287

1 exp( 3.523) 1 exp(3.523)

i

i

i

x

x

x

ˆ( )log 9.843 3.49 1 0.158 40 0.033

ˆ1 ( )

ODDS = exp( 0.033) 0.9675

exp( 0.033) 1ˆ( ) 0.4918

1 exp( 0.033) 1 exp(0.033)

i

i

i

x

x

x

ˆ( )log 2.734 0.054 40 0.574

ˆ1 ( )

ODDS = exp( 0.574) 0.5633

exp( 0.574) 1ˆ( ) 0.3603

1 exp( 0.574) 1 exp(0.574)

i

i

i

x

x

x

Modello 4: interazione tra le variabili esplicative• Comportamento di acquisto in funzione del sesso (X1), del reddito

quantitativo (X2) e di un fattore di interazione (X1 X2):

• Ora i modelli M e F differiscono sia per l’intercetta sia per la pendenza

• Output modello logistico:

• In questo caso l’interazione non è utile (Quando potrebbe esserlo?)

• E’ opportuno inserire con parsimonia le interazioni nel modello

0 1 1 2 2 3 1 2( )

log1 ( )

ii i i i

i

xx x x x

x

0 2 2

0 1 2 2 3 2 0 1 2 3 2

( )F: log

1 ( )

( )M: log ( ) ( ) ( )

1 ( )

ii

i

ii i i

i

xx

x

xx x x

x