Some Exercises on Integral and Their Solutions

8/17/2019 Some Exercises on Integral and Their Solutions

http://slidepdf.com/reader/full/some-exercises-on-integral-and-their-solutions 1/25

1. dxx41 2∫ −

⇒ Misalkan

dααcos2

1dxαcos2

1

dα

dxαsin2

1x =⇒=⇒=

( ) ( )x2sinarcααsinx2αsin2

1x =⇒=⇒=

dααcos2

1αsin1dααcos

2

1αsin

4

141dxx41

222 ∫ ∫ ∫ −=

−=−

∫ ∫ == dααcos2

1dααcos

2

1αcos

2

α

2x1

2x41−



⇒ Ingat trigonometri

αcos2

1

4

1

α2cos4

1

4

1

αcos2

1

α2cos4

1

1αcos2α2cos

222

=+⇒−=⇒−=

Maka

C4

αα2sin

8

1dα

4

1α2cos

4

1dααcos

2

1 2 ++=

+= ∫ ∫


αcosαsin2α2sin =

( ) ( )( ) Cx2sinarc

4

1x41

2

xC

4

ααcosαsin

4

1C

4

αα2sin

8

1 2 ++−=++=++

Maka



( ) ( )( ) Cx2sinarc4

1x41

2

xdxx41

22 ++−=−∫

2. dx

4xx

1

22∫

−

⇒ Misalkan

dx

4a

daa

a

4a

dx

da

4x

x

dx

da4xa

2

2

2

2 =

+

⇒+

=⇒

−

=⇒−=

( ) ( )∫ ∫ ∫

+=

+

+=

−2

3

22222

4a

da

4a

daa

a4a

1dx

4xx

1

⇒ Misalkan

dααcos

2da

αcos

2

dα

daαtan2a

22

=⇒=⇒=

4αtan44aαtan2a 22 +=+⇒=



Maka

( ) ( ) ( ) ( )( )

∫ ∫ ∫ ∫

=

+

=

+

=

+ 2

3

2

2

2

3

2

2

2

3

2

2

2

3

2

αcos

18

dα

αcos

2

1αtan8

dα

αcos

2

4αtan4

dα

αcos

2

4a

da

( )

( ) ( ) C

4a

a

4

1C

4

αsin

4

dααcos

αcos

18

dααcos

2

2

2

3

2

2

++

=+=

=

= ∫ ∫

α

a

2

4a2 +



( )C

4a

a

4

1

4a

da

2

2

3

2

++

=

+∫

Jadi integralnya menhasilkan :

Cx

4x

4

1dx

4xx

1 2

22+

−=

−∫

3. dxx

1x2

∫

+

⇒ Misalkan

dx

1a

daa

a

1a

dx

da

1x

x

dx

da1xa

2

2

2

2 =−

⇒−

=⇒+

=⇒+=



Maka

da1a

ada

1a

daa

1a

adx

x

1x

2

2

22

2

∫ ∫ ∫

−=

−

−=

+

⇒ Lakkan !roses !em"agian

1a

11

1a

a

22 −+=

−

Maka

da1a

1ada

1a

1dada

1a

11da

1a

a

2222

2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

−+=

−+=

−+=

−



⇒ Lakkan !roses al#a"ar

1a

$

1a

%

1a

1

2 ++−=−

( ) ( )

1a

1a$1a%

1a

1

22 −−++

=−

( )

1a

$%a$%

1a

1x&

22 −−++

=−+

Maka' agar ras kiri sama dengan ras kanan'

1$%

&$%

=−=+

dengan mengrangkan !ersamaan !ertama dan keda' kita !eroleh



2

1$ −=

("stitsi hasil ini ke dalam salah sat !ersamaan di atas' kita !eroleh

&2

1%&$% =

−+⇒=+

2

1% =

Jadi' kita !eroleh !enyelesaian ntk sistem !ersamaan linear di atas' yait

2

1% =

2

1$ −=

(ehingga



da1a

2

1

1a

2

1

ada1a

1ada

1a

a

22

2

∫ ∫ ∫

+

−+

−+=

−+=

−

( ) ( ) C1aln2

1

1aln2

1

ada1a

a

2

2

++−−+=

−∫

Maka integral

( ) ( ) C11xln2

111xln

2

11xdx

x

1x 222

2

+++−−+++=

+∫

4. dxxx21

1

42∫

++

⇒ )lis



( ) 2242

1x

1

xx21

1

+=

++

( ) dx

1x

1

22

∫

+

⇒ Misalkan

dααcos

1dx

αcos

1

dα

dxαtanx

22

=⇒=⇒=

( ) ( )αcos

11αtan1xαtanx4

2222 =+=+⇒=

α

x

1

1x2 +



( ) ( )∫ ∫ ∫ =

=

+dααcosdα

αcos

1

αcos

1

1dx

1x

1 2

2

4

22


αcos2

1α2cos

2

1

2

1αcosα2cos

2

11αcos2α2cos

222 =+⇒−=⇒−=

( ) Cα2sin

4

1

2

αdα

2

1α2cos

2

1dx

1x

1

22

++=

+=

+ ∫ ∫

maka integral di atas menghasilkan

( ) C

1x

x

2

1xtanarc

2

1dx

1x

1

222

+

++=

+∫



*. ( dx3xx∫ +

⇒ Misalkan

dxda1dx

da3xa =⇒=⇒+=

Maka

( ) ( )( ) Ca2a*

2daa3adaa3adx3xx 2

3

2

*

2

1

2

3

+−=

−=−=+ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) C3x23x*2dx3xx 2

3

2

*

++−+=+∫



+. dx4x

x3x2

∫

++

⇒ )liskan

4x

2&2&1+1+x*x8x

4x

x3x 22

+−+−+−+

=+

+

4x

4

4x

&2x*

4x

1+x8x2

++

++

−+++

=

( ) ( )

4x

4

4x

4x*

4x

4x 2

++++

−++

=

( ) ( )∫ ∫

++

++

−+

+=

++

dx4x

4

4x

4x*

4x

4xdx

4x

x3x 22

( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +

+++

−+

+=

++

dx4x

14dx

4x

4x*dx

4x

4xdx

4x

x3x 22

( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ −+++−+=

++

dx4x4dx4x*dx4xdx4x

x3x2

1

2

32



( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +++++−++=

++ −

4xd4x44xd4x*4xd4xdx4x

x3x2

1

2

32

( ) ( ) ( ) C4x84x3

1&4x

*

2dx

4x

x3x2

1

2

3

2

*2

++++−+=

++∫

,. dx1x

x4

∫

−

⇒ )liskan

1x

11xxx

1x

x 23

4

−++++=

−

Maka

( ) ∫ ∫ ∫ ∫

−++++=

−++++=

−

dx1x

1dx1xxxdx

1x

11xxxdx

1x

x 23234



( ) C1xlnxx2

1x

3

1x

4

1dx

1x

x 234

4

+−++++=

−∫

8. ( ) ( ) dx

1x12x

1x*

∫

−+

+

⇒ )liskan

( ) ( ) ( ) ( )1x

$

12x

%

1x12x

1x*

−

+

+

=

−+

+

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1x12x

12x$1x%

1x12x

1x*

−+++−

=−+

+

( ) ( )

( )

( ) ( )1x12x

$%x$2%

1x12x

1x*

−++−+

=−+

+




1$%

*$2%

=+−

=+

-ita !eroleh sistem !ersamaan linear' dengan da !ersamaan linear dan da aria"el' % dan $' yang

hars dicari.

1$%

*$2%

=+−=+

dengan men#mlahkan !ersamaan !ertama dan keda' kita !eroleh

2$ =


1% =




1% =

2$ =

Maka integral di atas menghasilkan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C1xln212xln

21dx

1x2

12x1dx

1x12x1x* +−++=

−++=

−+ + ∫ ∫

/. ∫

++

1

&

2 dx

x2x31

1

⇒ )lis



( ) ( )1x12x

1

x2x31

1

2 ++=

++

⇒ )liskan

( ) ( ) ( ) ( )1x

$

12x

%

1x12x

1

++

+=

++

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1x12x

12x$1x%

1x12x

1

+++++=

++

( ) ( )

( )

( ) ( )1x12x

$%x$2%

1x12x

1x&

+++++=

+++




1$%

&$2%

=+=+

-ita !eroleh sistem !ersamaan linear' dengan da !ersamaan linear dan da aria"el' % dan $' yanghars dicari.

1$%

&$2%

=+=+

dengan mengrangkan !ersamaan !ertama dan keda' kita !eroleh

1$ −=


2% =




2% =

1$ −=


( ) ( ) ( ) ( )[ ]1

&

1

&

2 1xln12xlndx1x

1

12x

2dx

x2x31

1+−+=

+

−+

=

++ ∫ ∫

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=−=+−+=

++∫

2

3ln2ln3ln1xln12xlndx

x2x31

1 1

&

1

&

2



1&. ∫

−−−4

3

23

23

dxx2x

4x2x

⇒ )lis

( )2xx

41

x2x

4x2x

223

23

−−=

−−−

( ) ( )

( )∫ ∫ ∫ ∫

−−=

−−=

−

−− 4

32

4

3

4

32

4

323

23

dx

2xx

14dx1dx

2xx

41dx

x2x

4x2x

( ) ( )∫ ∫ ∫

−

−=

−

−=

−

−− 4

3

2

4

3

2

4

3

4

3

23

23

dx2xx

141dx

2xx

14xdx

x2x

4x2x

⇒ )liskan



( ) ( )2x

C

x

$x%

2xx

1

22 −+

+=

−

( )

( ) ( )

( )2xx

xC2x$x%

2xx

1

2

2

2 −+−+

=−

( )

( ) ( )

( )2xx

$2x$%2xC%

2xx

1x&x&

2

2

2

2

−−+−++

=−

++


1C&$2%&

&C&$%2

&C$&%

=+−

=++−=++

-ita !eroleh !enyelesaian ntk sistem !ersamaan linear di atas' yait



4

1% −=

2

1$ −=

4

1C =


( )∫ ∫

−

−+

−−−=

−

−− 4

3

2

4

3

23

23

dx2x

41

x

21x

41

41dx

x2x

4x2x

( )∫ ∫ ∫

−

+

++=

−−− 4

3

4

3

2

4

3

23

23

dx2x

1dx

x

2x1dx

x2x

4x2x

+=

−−−

∫ 3

8ln

+

,dx

x2x

4x2x4

3

23

23

Some Exercises on Integral and Their Solutions

Documents

Transcript of Some Exercises on Integral and Their Solutions