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MATHEMATICS: F . R . MOULTONSOLUTION O F A N I N F I N I T E SYSTEM OF D I F F E R E N T I A LE Q U A T I O N S O F T HE ANALYTIC TYPEB y F . R . M o u l t o n

DEPARTMENT O F ASTRONOMY. UNIVERSITY O F CHICAGOP r e s e n e d t o t d e A a d e m y , A p l 2 0 , 1 9 1 5C o n s i d e r t h e i n f i n i t e s y s t e m o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s *

d - = f i ( t ; x , i , . )=a + f ( ) + f ) + * * ( i = 1 , 2 , ) , ( 1 )w h e r e a i i s a c o n s t a n t a n d f i i i s t h e t o t a l i t y o f t e r m s o f f i w h i c h a r eh o m o g e n e o u s i n t , x I , x 2 , . . . o f d e g r e e j . T h a t i s , f s ( ) i s a l i n e a r f u n c -t i o n o f t h e i n f i n i t e l y m a n y v a r i a b l e s t , x l , x 2 , . . . ; f i / i s a q u a d r a t i cf u n c t i o n o f t h e s a m e v a r i a b l e s ; a n d s o o n . F r o m t h e a n a l o g y w i t ha n a l y t i c f u n c t i o n s o f a f i n i t e n u m b e r o f v a r i a b l e s , f i w i l l b e s a i d t o b eo f t h e a n a l y t i c t y p e .I t i s a s s u m e d t h a t t h e f o l l o w i n g h y p o t h e s e s a r e s a t i s f i e d :( H 1 ) . = 0 ( i = 1 , 2 , . . . ) a t t = O .( H 2 ) . F i n i t e r e a l p o s i t i v e c o n s t a n t s C o , c l , c 2 , . . . ; r , r i , r 2 , . . . , A a n da e x i s t s u c h t h a t

s = c o t c l x l + C 2 X 2 + . . . ( 2 )c o n v e r g e s i f I t I r o , x i r ( i = 1 , 2 , . . . ) ( 3 )a n d s u c h t h a t A r i s i d o m i n a t e s f i , ( a n d l a i l < A r i a .S i n c e t h e s e r i e s ( 2 ) c o n v e r g e s i f t h e r e l a t i o n s ( 3 ) a r e s a t i s f i e d , a f i n i t ec o n s t a n t M e x i s t s s u c h t h a t

l S = c o ~ + C ~ 1 + c ~ +

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MATHEMATICS: F . R . M O U L T O NT h e r e f o r e u n d e r t h e s e l i m i t a t i o n s n o t o n l y d o t h e t e r m s o f e a c h d e g r e ei n t h e r i g h t m e m b e r o f e q u a t i o n s ( 1 ) c o n v e r g e , b u t t h e w h o l e r i g h tm e m b e r s c o n v e r g e .T h e p a r t i c u l a r f o r m o f ( H 2 ) w a s c h o s e n s o a s t o s e c u r e b y o n e a n a l y s i sa s w i d e a r a n g e a s p o s s i b l e o f p e r m i s s i b l e v a l u e s o f x i , x 2 , .... F o re x a m p l e , i f i n f i n i t e l y m a n y o f t h e c i a r e b o u n d e d f r o m z e r o t h e x i m u s tt e n d t o z e r o f o r i o . On t h e o t h e r h a n d , i f 2 c i c o n v e r g e s a l l t h ec o n d i t i o n s s o f a r i m p o s e d c a n b e s a t i s f i e d b y x i w h i c h a r e b o u n d e d f r o mz e r o . I n t h e l a t t e r c a s e Z f i d o e s n o t c o n v e r g e .I f a n a n a l y t i c s o l u t i o n o f ( 1 ) s a t i s f y i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s ( H I )e x i s t s , i t w i l l h a v e t h e f o r m

x i = A ? ( I t + A ( 2 ) + . . . ( i 1 , 2 , . . . ) . ( 6 )On s u b s t i t u t i n g t h e s e s e r i e s i n ( 1 ) a n d e q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f c o r r e -s p o n d i n g p o w e r s o f t , i t i s f o u n d t h a t

a . ) = a i ( i = 1 , 2 , ) ,2 b f + f ( 7 )

na =Pa )), . . , a - l ) ( j = l , 2 , . . ) ,w h e r e P i ( ) i s a p o l y n o m i a l i n a ( / ) , . . . , a ( - 1 ) w h o s e c o e f f i c i e n t s a r el i n e a r f u n c t i o n s o f t h e c o e f f i c i e n t s o f f i w i t h p o s i t i v e n u m e r i c a l m u l -t i p l i e r s . H e n c e t h e f o r m a l a n a l y t i c s o l u t i o n o f ( 1 ) i s u n i q u e .I n o r d e r t o p r o v e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s ( 6 ) f o r v a l u e s o f tw h o s e m o d u l i a r e s u f f i c i e n t l y s m a l l , c o n s i d e r t h e s o l u t i o n o f

d t - A r , + - ( i = , 2 , ) , ( 8 )t 1-orw h e r e a = c o t c l t l + C 2 B +* . * ( 9 )T h e r i g h t m e m b e r s o f ( 8 ) d o m i n a t e t h e r e s p e c t i v e r i g h t m e m b e r s o f ( 1 ) .T h e f o r m a l a n a l y t i c s o l u t i o n o f ( 8 ) i s

- -= 1 + ) + * * ( i = , 2 , * ) . ( 1 0 )T h e c o e f f i c i e n t s o f t h e s e s e r i e s can b e o b t a i n e d b y e q u a t i o n s a n a l o g o u st o ( 7 ) . T h e y a r e t h e r e f o r e r e a l a n d p o s i t i v e , a n d i t f o l l o w s f r o m t h ef a c t t h a t t h e r i g h t m e m b e r s o f ( 8 ) d o m i n a t e t h e r i g h t m e m b e r s o f ( 1 )t h a t

a ( a I , , ( , i j - 1 , 2 , . ) .

3 5 1

( 1 1 )

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MATHEMATICS: F . R . M O U L T O NT h e r e f o r e i f ( 1 0 ) c o n v e r g e f o r I t l_ p , t h e n ( 6 ) a l s o c o n v e r g e f o r a tl e a s t t h e s a m e v a l u e s o f t .

I t f o l l o w s f r o m ( 8 ) t h a t1 d t 1 1 db d .r i d t r 2 d t d tT h e i n i t i a l v a l u e s o f 1 , , t 2 , . . . a r e z e r o ; h e n c e o n t a k i n g t ( 0 ) = 0 , i tf o l l o w s t h a t

; = r i ( i = 1 2 , ) . ( 1 2 )T h e r e f o r e e a c h o f e q u a t i o n s ( 8 ) r e d u c e s t od t A { a+ c O t + C ( 1 3 )d t 1c o t-CJw h e r e

C = c r l + c 2 r 2 + * , ( 1 4 )w h i c h i s a f i n i t e c o n s t a n t b y ( H 2 ) .I t f o l l o w s f r o m t h e o r d i n a r y t h e o r y f o r a f i n i t e n u m b e r o f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h a t ( 1 3 ) h a s an a n a l y t i c s o l u t i o n w h i c h c o n v e r g e s i f t 1 1 i ss u f i c i e n t l y s m a l l . T h e r e f o r e e q u a t i o n s ( 1 0 ) a n d ( 6 ) c o n v e r g e f o r a tl e a s t t h e s a m e v a l u e s o f t .

I n g e n e r a l t h e l i m i t a t i o n s p l a c e d o n t i n o r d e r t h a t t h e s o l u t i o n o f( 1 3 ) s h a l l b e k n o w n t o c o n v e r g e a r e s o r e s t r i c t i v e t h a t t h e c o r r e s p o n d i n gx i d o n o t a t t a i n t h e b o u n d a r y o f t h r e g i o n f o r w h i c h t h e r i g h t m e m b e r so f ( 1 ) c o n v e r g e . T h e q u e s t i o n a r i s e s w h e t h e r t h e s o l u t i o n c a n b e c o n -t i n u e d b e y o n d i t s o r i g i n a l d o m a i n .S u p p o s e e q u a t i o n s ( 6 ) c o n v e r g e f o r t = t o a n d l e t t h c o r r e s p o n d i n gv a l u e o f x i b e x / ( o ) . S u p p o s ec o l t o l c i l x l ( 0 ) I + c 2 1 x 2 ( o ) 1 . . . = S o < S 1 < l .T h e n l e t

x i = X i ( ) + y i , t = t o + r . ( 1 5 )T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 1 ) b e c o m e i n t h e n e w v a r i a b l e s

d y =+i + g l ) +g2)+ * ( + - 1 , 2 , * ) ( 1 6 )d r

w h e r e g ( i ) i s t h e t o t a l i t y o f t e r m s i n t h e i t h e q u a t i o n w h i c h a r e h o m o -g e n e o u s i n T , , Y 2 , , . . o f d e g r e e j .

3 5 2

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MATHEA T I C S : F . R . M O U L T O NI t f o l l o w s f r o m ( 1 ) t h a t t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n s f o r b i , g i ( ) , g ( ) , . . .

are

( 1 ) , b f i _i= - t y l y 2 ( 7 )g i = t y ly2bxYbxl ( 1 7 )/ iL < ( X i b X 2

. . . . ., . . . . . . . . . .

w h e r e t h e p o w e r i n d i c a t e d i n t h e l a s t e q u a t i o n i s s y m b o l i c s u c h t h a ta tf s ) ( Ty l )2-tr.ib x 2 sxS ... t x x xi~~~~~~~~~~~~( n o + n +* = n ) . ( 1 8 )

A f t e r t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s h a v e b e e n f o r m e d , t , x l , x 2 , * * * a r er e p l a c e d b y t o , x ( ) , ( ) , * * * r e s p e c t i v e l y .S i n c e t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 1 5 ) i s l i n e a r , g ( ) d e p e n d s o n l y on f ( f + ) ,f + 2 ) . . I t f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t f , f + ) ) a r e d o m i -n a t e d b y A r i S , A r i S + ' , * r e s p e c t i v e l y t h a t

i - i . ( o ) x j l - i ( o ) lh r o I X i oI t i s e a s i l y f o u n d t h t

a t r b x n l a - b 2 . . XN o w l e t

( 1 ) - CoI - S ot X t o l ( o- / - i x X o | x- ^

n C o ' C l i C 2 n . .( 1 - S o ) +o l

( 1 ) C iC 1 =-S- s o

( 1 9 )

( 2 0 )2 ( 1 )C 2i - S oT h e s e r i e s

c o n v e r g e s i fr < r o ( 1 - S O ) , . y 1 < r i ( 1 - S o ) , y- r 2 ( 1 - S o ) ,

a n d j T I < 1 i f r o ( 1 - S o ) Y i r - S o )=M M

3 5 3

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G E N E T I C S : COLE AND KIRKPATRICKA rM o r e o v e r g ( ) i s d o m i n a t e d b y 1 - o T . T h e r e f o r e e q u a t i o n s ( 1 6 )

h a v e t h e e s s e n t i a l p r o p e r t i e s a s s u m e d t o h o l d f o r ( 1 ) , a n d t h e i r s o l u -t i o n c o n v e r g e s f o r I T 1 s u f f i c i e n t l y s m a l l .I t i s e a s y t o i m a g i n e a p h y s i c a l p r o b l e m w h i c h s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n so f t h i s t h e o r y . F o r e x a m p l e , s u p p o s e t h e n u m b e r o f m u t u a l l y g r a v i -t a t i n g b o d i e s i n t h e u n i v e r s e w h o s e m a s s e s a r e b o u n d e d f r o m z e r o i si n f i n i t e . I f b e y o n d a f i n i t e n u m b e r o f t h e m ( w h i c h m a y b e a r b i t r a r i l yg r e a t ) t h e i r i n i t i a l d i s t a n c e s f r o m o n e a n o t h e r i n c r e a s e , a s t h e n u m b e ro f b o d i e s i n c r e a s e s , w i t h s u f f i c i e n t r a p i d i t y , i t i s e a s y t o s h o w t h a t a l l t h eh y p o t h e s e s a r e s a t i s f i e d . I n t h i s c a s e t h e r e i s a r i g o r o u s , t h o u g h l i m i t e d ,s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m o f i n f i n i t e l y m a n y b o d i e s m o v i n g s u b j e c t t ot h e i r m u t u a l a t t r a c t i o n s .SEX RATIO I N P I G E O N S , T O G E T H ER WITH OBSERVATIONSO N T H E L A Y I N G , INCUBATION A N D HATCHINGO F T H E EGGSB y L e o n J . C o l e a n d Wm. F . K i r k p a t r i c k

COLLEGE O F A G R I C U L T U R E . UNIVERSITY OF WISCONSIN4 e . P r e t e d tt o t h e A c a d e m y . A p i l 3 0 . 1 9 1 5T h e c o n c l u s i o n s L h e r e p r e s e n t e d a r e t h e r e s u l t s o f a s t u d y o f t h e r e c o r d sw h i c h h a v e a c c u m u l a t e d f r o m 1 9 0 7 t o 1 9 1 4 i n c o n n e c t i o n w i t h i n v e s t i -g a t i o n s o f i n h e r i t a n c e i n p i g e o n s b e g u n a t t h e R h o d e I s l a n d A g r i c u l t u r a lE x p e r i m e n t S t a t i o n a n d l a t e r c o n t i n u e d a t t h e E x p e r i m e n t S t a t i o n a tM a d i s o n , W i s c o n s i n . I t i s i m p o s s i b l e i n a b r i e f s p a c e t o p r e s e n t t h ed a t a u p o n w h i c h t h e c o n c l u s i o n s a r e b a s e d ; f o r t h e s e t h e r e a d e r i sr e f e r r e d t o t h e c o m p l e t e r e p o r t . F u r t h e r m o r e , a l t h o u g h t h e c o n c l u s i o n sa r e h e r e p r e s e n t e d s o m e w h a t d o g m a t i c a l l y a n d a s i f o f g e n e r a l a p p l i -c a t i o n , a n d w h i l e we b e l i e v e t h a t t h e y w i l l p r o b a b l y b e f o u n d i n t h em a i n t o a p p l y g e n e r a l l y t o d o m e s t i c p i g e o n s , t h e y a r e n e v e r t h e l e s sb a s e d a l m o s t e n t i r e l y o n t h e d a t a o f t h e e x p e r i m e n t s m e n t i o n e d a n dt h e r e i s , t h e r e f o r e , n o p o s i t i v e a s s u r a n c e t h a t t h e r e s u l t s w o u l d b e t h es a m e w i t h o t h e r s t o c k o r u n d e r d i f f e r e n t c o n d i t i o n s . T h e n u m b e r o f

d a t a o b t a i n e d w e r e , h o w e v e r , v e r y c o n s i d e r a b l e f o r p i g e o n s , a n d i t i sf e l t t h e y a c c o r d i n g l y f u r n i s h a g o o d f o u n d a t i o n f o r t h c o n c l u s i o n s d r a w n .I t i s c o m m o n l y b e l i e v e d b y p i g e o n b r e e d e r s a n d o t h e r s t h a t f r o m t h et w o e g g s o f a c l u t c h a p a i r o f o f f s p r i n g , t h a t i s a m a l e a n d a f e m a l e , a r ep r o d u c e d e i t h e r i n v a r i a b l y , o r a t l e a s t i n a g r e a t m a j o r i t y o f i n s t a n c e s .F u r t h e r m o r e , i t i s m a i n t a i n e d t h a t o f t h i s p a i r t h e m a l e h a t c h e s f r o m t h ee g g w h i c h i s l a i d f i r s t , w h i l e t h e e g g l a i d l a t e r p r o d u c e s t h f e m a l e : T h e

3 5 4