Solucion de Problemas con CCPrestriccion de canal

slides basados en el curso “constraint Programming” deChristian Schulte 2

Profesor: Camilo Rueda 1

1Universidad Javeriana-Cali,2KTH Royal Institute of Technology, Sweden

PUJ 2008

Restriccion de canal: problema

Dada una baraja de 52 cartaspintas: espada, trebol, corazon, diamanteorden: As,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K

Repartir las cartas ası:poner el as de espadas en una sola pila (“hueco negro”)otras cartas: 17 pilas con tres cartas cada una

Movidatomar carta del tope de una de las 17 pilasmoverla al hueco negro, siempre y cuando la carta seaadyacente a la del tope del hueco negro

Juego del “hueco negro”

Adyacenteindependientemente de pintala siguiente mayor o menor (continua en ciclo)ejemplo: 9♣ ↔ 10♣, 9♣ ↔ 8♣, 9♥ ↔ 10♦, A♥ ↔ K♣

Objetivo:mover todas las cartas de las 17 pilas al hueco negro

Modelo: restricciones

A: las cartas deben estar adyacentes en la pila del hueconegro

asociar posicion en la pila con cartamodelar el hecho de ser adyacente

B: las cartas deben tomarse en orden de las 17 pilasasociar carta con posicion en la pila de hueco negromodelar que las posiciones estan oredenadasorden en la pila hueco negro: cartas movidas en orden delas 17 pilas

C: la primera carta en el hueco negro es el as de espadas.

Cartas adyacentes

numere las cartas de 0 a 51♠ : 0− 12,♣ : 13− 25,♥ : 26− 38,♦ : 39− 51

Adyacencia independiente de pinta: para la carta i ,considere i mod 13cartas i y j adyacentes

(i mod 13)− (j mod 13) = 1 ∨(i mod 13)− (j mod 13) = 12 ∨(j mod 13)− (i mod 13) = 1 ∨(j mod 13)− (i mod 13) = 12

Modelar adyacencia

Gecode no tiene restriccion para modulo...usar entonces element

Element: arreglo m de 52 elementosinicialice: m[i] = i mod 13el numero de la carta es el ındice en el arreglo, su modulo13 es el valor

Entonces: adyacente(i , j) es(i mod 13)− (j mod 13) ∈ {−12,−1, 1, 12}

crear variable d con dominio {−12,−1, 1, 12}la diferencia debe ser igual a d

Modelo: restriccion A

Variables: cartas es un arreglo de 52 variablesvalores: {0, ..., 51}asocia posicion en hueco negro con carta

Restriccion A: cartas en cada dos posiciones sucesivasdeben ser adyacentes

adyacente(carta[i], carta[i + 1]) para 0 ≤ i < 51Como modelar la restriccion B?

Modelo: restriccion B

Variables: pos es un arreglo de 52 variablesvalores: {0, ..., 51}asocia carta con posicion en hueco negro

Restriccion B: las posiciones deben estar en ordenpos[i] < pos[i + 1] para 0 ≤ i < 51

Como modelar la restriccion A?

Modelo: restricciones A y B

Tomar ambos: pos y carta: son duales por intercambiarvalores y variables

carta[i] = j ⇔ pos[j] = iIncluir:

Restriccion A sobre variables cartaRestriccion B sobre variables posRestriccion que liga valores de carta y pos: “channel”

Modelo: ajuste

Simetrıas: los colores son irrelevantesRamificacon: tratar de tomar cartas en el tope de cada pila

Restriccion “channel”

Suponga variables xi , yi (0 ≤ i < n)channel(xi , yi) se cumpe si

xi = j ⇔ yj = i (0 ≤ i < n)

Propagar “channel”

Metodo ingenuo: para un store ssi s(xi) = {j}, entonces s(yj) debe ser {i}si s(yi) = {j}, entonces s(xj) debe ser {i}

Mejor (metodo A): para un store ssi j 6∈ s(xi) entonces elimine i de s(yj)si j 6∈ s(yi) entonces elimine i de s(xj)

Existe algo mejor?

Propagar mejor “channel”

Observacion: para que channel(xi , yi) se cumpla,distinct(xi) y distinct(yj) deben cumplirse

sponga que xi1 = j y que tambien xi2 = j , donde i1 6= i2entonces yj = i1 y tambien yj = i2lo que es imposible...

Solo se necesita un distinctpropagar distinct sobre las xila propagacion del metodo A propagara distinct para yi

Prlaneamiento “scheduling”

A3 A5A4A2

S5S5

B5

S2S2

B2

M5

P1

A1

S3S3

B3

M2

A6

S1S1

B1 M3

P2

S6S6

B6

S4

T2

B4

S4

M1

M4

T1 T4

V1

M6

T5

V2

T3

Solucion de un problema de “scheduling”

Tiempo de arranque de cada tareaTodas las restricciones satisfechasTiempo de conclusion de tareas mınimo

“scheduling”, modelo

Variable para tiempo de comienzo de tarea astart(a)

restriccion de precedencia: a antes que bstart(a) + dur(a) ≤ start(b)

Procedimiento de propagacion

a antes que b

a

b

start(a) ∈ {0, ..., 7}start(b) ∈ {0, ..., 5}

Procedimiento de propagacion

a antes que b

a

b

a

b

start(a) ∈ {0, ..., 7} start(a) ∈ {0, 1, 2}start(b) ∈ {0, ..., 5} start(b) ∈ {3, 4, 5}

“scheduling”, modelo

Variable para tiempo de comienzo de tarea astart(a)

restriccion de precedencia: a antes que bstart(a) + dur(a) ≤ start(b)

Restriccion de recursosa antes que b, start(a) + dur(a) ≤ start(b)

ob antes que a, start(b) + dur(b) ≤ start(a)

Ramificacion

Establecer orden sobre las tareasque recurso escoger: el mas escaso?que tarea escoger primero: por ejemplo la mas larga

Modelo demasiado ingenuo

Vision muy localpares individuales de tareasO(n2) propagadores para n tareas

ision globaltodas las tareas sobre un recurso: serializar, ordenarun solo propagadorhay buenos algoritmos

Clases de problemas

Por tipo de recursoa lo sumo una tarea al tiempo: disyuntivomenos que la capacidad: acumulativo

Por tipos de tareasNo interruptiblesinterruptiblesestirables: elastico

veremos: disyuntivo, no interruptible

Serializacion

Considerar todas las tareas sobre el mismo recursoDeducir su orden tanto como sea posiblemenos que la capacidad: acumulativoTecnicas

Tempotabulacion: mirar slots temporales usados/libresbusqueda de arcos: que tarea ejecuta primero/ultimo?no-primera, no-ultima: que tareas no pueden serprimera/ultima?

Propagacion de tempotabulacion

Horario para recursoRegistrar informacion sobre tiempo en el que una tarea usacon seguridad el recurso

Propagar en ambas direccionesde tareas a horariosde horarios a tareas

Ejemplo

A

B

start(A) ∈ {0, 1} dur(A) = 2start(B) ∈ {0, 1, 2} dur(B) = 2

Hacia horario...

A

B

Horario

start(A) ∈ {0, 1} dur(A) = 2start(B) ∈ {0, 1, 2} dur(B) = 2

Hacia horario...

A

B

Horario

o

start(A) ∈ {0, 1} dur(A) = 2start(B) ∈ {0, 1, 2} dur(B) = 2

Hacia horario...

A

B

Horario

start(A) ∈ {0, 1} dur(A) = 2start(B) ∈ {0, 1, 2} dur(B) = 2

Hacia tareas...

Horario

A

B

start(A) ∈ {0, 1} dur(A) = 2start(B) ∈ {2} dur(B) = 2

Hacia horario...

Horario

A

B

start(A) ∈ {0, 1} dur(A) = 2start(B) ∈ {2} dur(B) = 2

Hacia tareas...

Horario

A

B

start(A) ∈ {0} dur(A) = 2start(B) ∈ {2} dur(B) = 2

Hacia horario...(inutil)

Horario

A

B

start(A) ∈ {0, 1} dur(A) = 2start(B) ∈ {2} dur(B) = 2

Busqueda de arcos

tempotabulacion es debilpropagacion reificada es mejor...

Pero hay idea importantetener en cuenta cuando se usa un recursopropagar esto hacia las tareas

Busqueda de arcos es un esquema mas general parapropagar el orden (arcos) entre tareas

Busqueda de arcos: idea

Asumir un subconjunto O de tareas y T ∈ Orestringir T para que ejecute primeroaverigue si las tareas en O\{T}

deben,pueden, o no puedenejecutar de primero o de ultimo

de manera simetrica para ultima

Puede hacerse en O(n2) para n tareas

Ejemplo

!! start(A) ! {0,…,11} dur(A) = 6

!! start(B) ! {1,…,7} dur(B) = 4

!! start(C) ! {1,…,8} dur(C) = 3

A

B

C

Ejemplo

A

{B,C}

Considere {B, C}A no puede ir antes que {B, C}

Ejemplo

A

{B,C}

Considere {B, C}A no puede ir antes que {B, C}propague que A va despues de {B.C}

Ejemplo

A

B

C

Resultado de la propagacionstart(A) ∈ {8, ..., 11}tempotabulacion y reificacion no propagarıan nada!