1 

Solid Mechanics Study Guide  Introduction  Fundamental Types of Equations 

1. equilibrium 2. geometry of deformation 3. material behavior 

 Geometry of Deformation in Problems: 

definitions of extensional strain and shear strain  simplifications and idealizations  

(“rigid” member, “fixed” support, displacements are small, planes sections remain plane)  connectivity of members or geometric compatibility  boundary conditions or other constraints 

 Stress  Definitions stress – the distribution of a force over the area on which it acts and is expressed as force intensity homogeneous – material is the same throughout the bar cross­section – section perpendicular to the longitudinal axis of the bar prismatic – straight and cross‐section does not change along the axis of bar uniaxial bar – a bar with only one axis  Units English:  lb/in2 = psi 

kip/in2 = ksi 

SI:  N/m2 = Pa (Pascal) kN/m2 = kPa 106 N/m2 = MPa 109 N/m2 = GPa 

  Normal Stress – stress acting perpendicular to the cross‐section 

 

€

σ = FA  

assume force is evenly distributed over cross‐section, except near the point of application  deformation is uniform throughout  loads must act through the centroid of the cross‐section  σ > 0: tensile  σ < 0: compressive 

 axial stress – normal stress that is uniform over a cross‐section bearing stress – special case of compressive normal stress (when one object bears on another) 

€

σ b = PAb

= Ptd  

A = projected area where bearing pressure is applied P = bearing force 

  

  2 

Shearing Stress – stress acting tangential to the surface of a material element 

 

€

τ = FA  

commonly found in bolts, pins, and rivets  do NOT assume τ is uniform over the cross‐section  max value of τ may be considerably greater than the average 

 direct shear – caused by forces that act parallel to a surface of some part (ex sheet‐metal punch) 

€

τ = F(πd)t

 

 Single Shear: 

 

Double Shear:  

 

  

 

  

€

τ =F 2A

= F2A  

 Equilibrium: 

 

€

τ1 = τ 2  

a shear stress must be balanced by three other stresses  shear stresses on opposite (parallel) faces are equal in magnitude 

and opposite in direction  shear stresses on adjacent (perpendicular) faces are equal in 

magnitude and both point toward or away from each other  Stress on an Oblique Plane 

 

€

σ = PA0cos2θ  

€

τ = PA0sinθ cosθ  

force can be resolved into components: 

€

F = Pcosθ  and 

€

V = Psinθ   area of the section is 

€

A0 = Aθ cosθ    normal force applied to a bar on an inclined section produces a combination of shear and 

normal stresses  max σ at 0° and max τ at 45° 

 Strain  Normal (Extensional) Strain – deformation per unit length of a member under axial loading 

 €

ε = ΔLL  

  3 

dimensionless quantity but can be expressed as in/in, μin/in (read as microinch per inch), mm/mm, or μ (read as microstrain) 

magnitude of extensional strain is usually quite small  δ = small displacement 

 Thermal Strain – changes in temperature produces expansion or compression causing strain 

 

€

εT =αΔT  

α = coefficient of thermal expansion  constrained (unable to deform freely) = thermal stress  free to deform = thermal strain ‐‐> ε = εT  εT > 0: expansion  εT < 0: contraction 

 Shear Strain – change in angle between two originally perpendicular line segments 

 

€

γ = π2 −θ  

θ = inner angle after deformation  result of shear stress τ  dimensionless but usually expressed in the same units as extensional strain or in radians 

 Mechanical Properties of Materials  Hooke’s Laws Young’s Modulus (modulus of elasticity E) – ratio of stress to strain 

€

σ = Eε   

Shear Modulus (modulus of rigidity G) – ratio of shear stress to shear strain 

€

τ =Gγ   NOTE: typical units for E and G are ksi or GPa  Design Properties Strength: 

yield strength – highest stress the material can withstand without undergoing yielding ultimate strength – maximum value of stress the material can withstand fracture stress – value of the stress at fracture 

Stiffness: ratio of stress to strain interest primarily in linearly elastic region and therefore represented by value E 

Ductility: ductile material – undergoes large permanent strains before failure brittle material – fails with little elongation after yield stress 

   

  4 

Stress‐Strain Diagram  stress and strain are material properties  load and dimension are specimen properties  stress‐strain diagrams of various materials vary widely 

 Linear: 

no permanent strain (safe zone)  slope = E  E has units of force per unit area 

 Yielding: 

begins at yield stress σY  slope rapidly until it is near horizontal  strain is permanent (never go back to zero strain at this point)  large strain increase with little to no stress increase 

 Strain‐Hardening: 

stress begins to increase until it reaches the point of ultimate stress σu  after undergoing large deformations it changes its crystalline structure  material has increased resistance to applied stress (appears harder) 

Necking:  specimen begins to neck‐down  loading beyond σu results in decreased load supported an eventually rupture  stress appears to drop because graph does not take decreased cross‐section into account 

 Offset Method  

 

used for some materials where there is not a clear yield stress  draw a line with slope E and offset by a specified amount of strain  σY is given by the intersection of this line with the stress‐strain curve  commonly offset by a value of 0.002 (or 0.2%)  

 Elastic vs. Plastic elastic – strain caused by the application of load disappears when the load is removed, and it 

returns to its original state (on stress‐strain diagram unloading path traces loading path) elastic limit  – largest value of stress for which the material behaves elastically (basically σY) plastic – once yield stress obtained, when the load is removed, the stress ad strain decrease linearly 

but do not return to their original state 

  5 

Axial Deformation  Conditions: 

axis of the member remains straight  cross‐sections remain plane and perpendicular to the axis after deformation  cross‐sections do not rotate about the axis  

 Uniform Axial Deformation 

1. constant cross‐sectional area A 2. constant modulus of elasticity E 3. axial forces applied only at the ends 

 Elongation: 

€

e = FLAE  

€

F = ke 

€

k = AEL  

Total Elongation: 

€

e = FLAE

+αLΔT 

€

F = k(e−αLΔT ) 

 

€

e =δ = ΔL   stiffness coefficient (k)– force required to produce a unit elongation (spring constant)  Nonuniform Axial Deformation 

 

Discrete Changes:   total change in length is the summation of the change in 

the length of each portion  each time the internal force, area, or material changes you 

need a new FBD  

€

e =FiLiAiEii

∑  

Example: 

€

e =F1L1A1E

+F2L2A2E

+F3L3A3E

 

  

 

 Continuous Changes: 

continuously changing area or continuously changing force (such as a rod hanging under its under weight) 

approximation because of the assumption that the stress distribution is constant over the cross‐section 

good approximation for small variations  

€

e = F(x)A(x)E0

L∫ dx  

     

  6 

Types of Displacement Problems statically determinate – reactions and internal forces can be determined uniquely from FBD and 

equations of equilibrium statically indeterminate – there are more unknown reactions than equations of equilibrium  

 

Determining Equations Needed: M = R – N 

N = number of equilibrium equations R = number of known reactions (or internal stresses) M = number of compatibility equations needed  Example: 

N = 1   (R1 – P – R2 = 0) R = 2   (R1, R2) M = 2 – 1 = 1 

 Solution Procedure: [Set up Fundamental Equations] 

1. using FBD write down independent equilibrium equations 2. write an force‐deformation equation for each element: 

€

e = FL AE  3. use geometry of deformation to write down the compatibility equation in terms of the 

element elongations e [Solve for Unknown Forces] 

4. substitute force‐deformation equations into geometric compatibility equations 5. solve simultaneously the equilibrium equations and compatibility equations written in 

terms of element forces [Solve for Displacements] 

6. substitute the element forces into the force‐deformation equations 7. use geometry of deformation to relate element elongation to system displacements 8. review the solution 

 Design Considerations  Factor of Safety: 

€

FS = ultimate loadallowable load   

 ultimate load – maximum load which a material can hold before failing allowable load – maximum load that the member is expected to see during its service lifetime  

ultimate normal stress: 

€

σ u =PuAσ

  ultimate shear stress: 

€

τ u =PuAτ 

         

  7 

Torsion  Torsional‐Deformation Assumptions 

axis remains straight and inextensible  every cross‐section remains plane and perpendicular to the axis  radial lines remain straight and radial as the cross‐section rotates about the axis 

 Variables: ϕ = angle of twist (in radians) τ = shear stress γ = shear strain  ρ = radius (distance from axis) T = torque (moment) L = length of bar Ip = polar moment of cross‐section  

 

€

φ(x) =φ xL  

€

dφdx  = twist rate 

 Shearing Strain 

assume small ϕ and small γ for each element  shear strain γ varies linearly with ρ the distance from the axis  max shear strain occurs on the surface of the cylinder when ρ = r  applies for all materials: elastic, linear, non‐linear, plastic, etc 

 

€

γ =ρφL  

€

= ρ dφdx  

 €

γmax =r2φL  

€

γmin =r1φL  

€

γ =ρrγmax  

 Shearing Stress & Torque 

use in simplest case – linearly elastic material  recall Hooke’s Law for shear  Ip = polar moment of inertia of the cross‐section of the bar 

 

€

τ =ρrGγmax  

 Polar Moment of Inertia: 

€

I p = ρ2A∫ dA       for circular cross‐section ‐‐> 

€

I p = 12 π r

4   Torsion Formula: 

€

τ =TρIP

 

 

  8 

Torque‐Twist Equation: 

 

€

φ =Ti LiGi IPii

∑  

€

φ =T LGIP

 

 Inclined Planes 

 

 €

σθ = τ sin2θ  

€

τθ = τ cos2θ  

 Maximums: 

€

τmax =σmax  τmax occurs at θ = 0° and ±90° σmax occurs at θ = ±45°  Power Transmission Shafts 

shaft applies a torque T to another device and vise versa   notice that the slower the speed the higher the torque for a given power  work = 

€

Tφ   

€

P = Tω  

€

P = 2πf T   Units: Power (P)  Watt (W) = N‐m/s 

horsepower (hp) = 550 ft‐lb/s  

Torque (T)  ft‐lb J = N‐m 

Angular Speed (ω)  rad/s 

Frequency (f)  Hz = rev/s    

  9 

 Equilibrium of Beams  

 Types of Supports roller – prevents displacement in the transverse direction, but permits displacement in axial 

direction and z‐rotation pin – prevents displacement in the axial and transverse directions, but permits z‐rotation cantilever (fixed end) – prevents displacement in the axial ad transverse directions, and also 

prevents z‐rotation  Relations Between F, V, and M 

 w = load V = shear M = bending moment  

 

€

dVdx

= −w  

€

dMdx

=V  

 

€

V = − w dx0

x∫ +V0  

€

M = V dx0

x∫ +M0 

 Pure Bending  plane of bending – longitudinal plane of symmetry—which is loaded and supported symmetrically neutral surface (NS) – longitudinal plane perpendicular to the pane of bending that remains free of 

strain as the beam deforms neutral axis (NA) – intersection of the neutral surface with the cross‐section deflection curve – axis (intersection of neutral surface and plane of bending) of the deformed beam cross‐sections – plane and perpendicular to the axis of the unformed beam—remain plane and 

perpendicular to the deflection curve of the deformed beam  

     

  10 

Axial Strain  since angles do not change there is no shear stress (τ = 0)  origin set at neutral axis  ρ = radius of curvature  c = max distance between NA and upper or lower surface  max compressive strain occurs on the upper surface  max tensile strain occurs on the lower surface  

 

€

εx = −yρ  

 Above NA:    Below NA:   

+y contracts compression –εx 

€

εmax = − cρ 

–y expands tension +εx 

€

εmax = cρ 

 Transverse Strain υ = Poisson’s ratio (material dependent) anticlastic curvature – the curvature in a direction perpendicular to the direction of bending  

€

εy = εz = −υεx   radius of anticlastic curvature = 

€

ρυ 

 Normal (Flexural) Stress 

 

assume the beam is made of a linear‐elastic material  normal stress varies linearly with the distance from the NS  

€

σ x = Eεx = −Eyρ 

 NOTE: the x‐axis passes through the centroid of each cross‐section of the undeformed beam  

Moment‐Curvature Equation:  

€

M = EIρ  Flexure Formula:  

€

σ x = −MyI  

 Shear Stress and Shear Flow 

  

longitudinal shear stress balances the normal force F1—the resultant of the flexural stress on cross‐sectional area a above y1  

transverse shear stress at an arbitrary level y in the cross section can be calculated by determining the longitudinal shear stress 

no horizontal shear stress at top and bottom 

  11 

Horizontal Shear Force: 

€

ΔH = VQIΔx  

 Shear Flow: 

   

q ‐‐> shear force per unit length  

€

q = ΔHΔx

= VQI  

 

€

Q = ′ A ′ y  

€

Q = first moment of the area with respect to the NA 

€

′ A = cross‐sectional area above level y 

€

′ y = vertical distance from NA to the centroid of area A  Shear‐Stress: 

€

τ = VQIt  

τ = average transverse shear stress at level y I = moment of inertia of the entire cross‐section t = width of the cross‐section at level y (perpendicular to shear flow)  

 

Beams with Flanges:  vertical shear stresses are larger in the web than the flange  usually only calculate value in the web  ignore effects of small fillets at corners  flanges have large horizontal shear stresses 

 Centroids and Moments of Inertia Review  

Shape 

€

y  

€

Ix   Area Rectangle 

€

12 h  

€

112 bh

3  

€

bh  Right Triangle 

€

13 h  

€

136 bh

3 

€

12 bh  

Circle  0 

€

14 π r

4 

€

π r 2 

Semicircle 

€

43π r  

€

18 π r

4 

€

12 π r

2 

Centroid: 

€

y = ∫ y dAA  

 Moment of Inertia: 

€

Ix = ∫ y 2dA   Design of Beams in Bending  Common Shapes: 

wide‐flange (W) I‐beam (S) channel (C) 

 Notation English:  symbol  nominal depth (in)  ✕  weight per foot (lb) SI:  symbol  nominal depth (mm)  ✕  mass (kg/m)  Angles:  L  longest leg length  ✕ leg length  ✕  thickness  

  12 

NOTE: wood beam actual net dimensions (finish dimensions) are smaller than the nominal dimensions and should be used in structural calculations  Safe Design elastic section modulus (S) – property of the cross‐sectional dimensions 

€

S = Ic  

€

σmax =M

maxS

 

 Requirements:  max stress no more than allowable stress (

€

σmax ≤σ all ) 

€

Smin =M

maxσ all

 

 Procedure: 

1. determine the value of σall 2. draw shear and moment diagrams 3. from diagrams, determine the max absolute bending moment 4. determine min allowable value of S 5. use Smin to determine best cross section dimensions (see Appendix for values) 

 Beam Deflection  deflection curve – (elastic curve) characterized by the function 

€

υ(x)  that gives the transverse displacement of the points that lie along the axis of the beam  

€

1ρ

= dθds

= d 2υdx 2

 

€

θ = tan−1 dvdx

≈

dvdx  

 

Assumptions: 1. angle θ is small 2. beam is linearly elastic 

 

€

EI ′ ′ ′ ′ υ = −w = dVdx  

€

EI ′ ′ ′ υ =V = dMdx  

€

EI ′ ′ υ = M   EI = flexural rigidity = constant  

  

€

υ(x) = deflection  

€

′ υ (x) = slope of deflection curve   

€

δB =υ(L) = deflection at end  

€

θB = ′ υ (L) = slope at end  

 

  13 

Conditions used for: evaluating constants of integration  boundary conditions – set of known conditions specified for behavior at the boundaries 

deflections and slopes at supports  known moment and shear conditions 

   

€

υA = 0  

€

θA = 0 

€

VB = 0  

€

MB = 0 

€

υA = 0  

€

MA = 0 

€

υB = 0  

€

MB = 0  continuity conditions – set of known conditions specified for behavior where two intervals meet 

displacement continuity  slope continuity  symmetry conditions 

 

  

€

υ(C)AC =υ(C)CB  

€

θ(C)AC =θ(C)CB   NOTE: statically indeterminate beams ‐‐> take advantage of the boundary conditions to solve  Method of Superposition 

deflection and slope produced by multiple loads acting simultaneously can be found be superimposing the deflections produced acting separately 

reference the Appendix for common formulas  method can be applied to both statically determinate and indeterminate beams 

 

   

  14 

Transformation of Stress  State of Stress 

all the stress vectors associated with all planes that pass through a particular point  written in terms of the 6 normal and shear stress components  only one unique state of stress at a point but with different representations depending on 

the orientation of the axes used  plane stress – state of stress in a body if stresses along the z‐axis disappear 

 Stress‐Transformation Equations 

€

τ ′ x ′ y = −σ x −σ y

2

sin2θ + τ xy cos2θ  

€

σ ′ x =σ x +σ y

2

+

σ x −σ y

2

cos2θ + τ xy sin2θ  

€

σ ′ y =σ x +σ y

2

−

σ x −σ y

2

cos2θ −τ xy sin2θ  

€

σ ′ x +σ ′ y =σ x +σ y  

 Principal Stresses and Max Shear Stresses 

principal stresses – max and min normal stresses  orientation of  the principal planes determined by the angles θp (90° from each other)  NO shear stress on the principal planes  planes of maximum shear stress lie at ±45° from principal planes  normal stress at planes of max shear is σavg 

 

€

σ avg =σ x +σ y

2  

€

R=σ x −σ y

2

2

+ τ xy2  

 Principal Stress:  Max Shear Stress: 

€

cos2θp = ±

σ x −σ y

2

R 

€

sin2θp = ±τ xyR 

€

sin2θs = ±

σ x −σ y

2

R 

€

cos2θs = ±τ xyR 

€

σ p =σ avg ± R  

€

τ p = 0  

€

τ s = ±R  

€

σ s =σ avg  

 Mohr’s Circle 

center = 

€

(σ avg, 0)   radius = R 

 

angle θ on the body ‐‐> angle 2θ on Mohr’s circle  τ is positive downward   angles turned in the same direction on both the body 

and on Mohr’s circle—counterclockwise  original x‐axis and y‐axis are represented by line X‐Y  principal stresses at intersections of circle and σ‐axis  max shear stresses lie directly above and below center   every point on the circle corresponds to the stresses  

σ and τ on a particular face 

€

(σ ′ x , τ ′ x ′ y )    

  15 

 

Constructing and Using a Mohr’s Circle:  draw axes  plot center point O

€

(σ avg, 0)   plot given stresses point X 

€

(σ x, −τ xy )  and point Y

€

(σ y, τ xy )   draw a line connecting X and Y through the center  draw a circle with diameter X‐Y  calculate principle stresses and plot on the σ‐axis  2θ is the angle CCW from original state X‐Y to the σ‐axis 

€

φ = 2θp ± angle of rotation 

€

σ ′ x = Rcosφ +σ avg  

€

σ ′ y = Rcosφ −σ avg  

€

τ ′ x ′ y = Rsinφ   Poisson’s Ratio  

€

υ = −εyεx 

€

εx =σ xE−υσ y

E−υσ zE 

  Poisson’s ratio – the ratio of lateral strain to axial strain  when an axial force is applied to a bar the bar not only elongates but also shortens in the 

other directions  material specific property and dimensionless  limits of υ: 0 < υ < ½  material properties E and G can be related using υ 

 

€

G = E2(1+υ)  

 Thin­Walled Pressure Vessels  Assumptions 

constant gage pressure (p = internal – external)  thickness much less than radius  internal radius = r  point of calculation far away from the ends  no shear stress in the cutting planes  radial stress σr is usually ignored since it is so much smaller than in‐plane stresses 

 Cylindrical Pressure Vessels Axial (Longitudinal) Stress:  Hoop (Circumferential) Stress:  Shear Stress: 

 

 

€

σ a =pr2t  

 

 

€

σ h =prt  

€

τ absmax =pr4t  

€

τmax =pr2t  

     

  16 

Spherical Pressure Vessels Normal Stress:  Shear Stress: 

 

 

€

σ s =pr2t  

 

€

τmax =pr4t  

 Stress Due to Combined Loads  

Stress Resultant  Symbol  Formula 

normal force  F 

€

σ = FA  

torsional moment  T 

€

τ =TρIP 

bending moment  M 

€

σ = −MyI  

transverse shear force  V 

€

τ = VQIt  

 Example: 

  

 Equ #  Equilibrium Equation  Stress at H 1 

€

∑Fx = 0    

2 

€

∑Fy = 0    

3 

€

∑Fz = 0    

4 

€

∑Mx = 0    

5 

€

∑My = 0    

6 

€

∑Mz = 0     

  17 

Buckling of Slender Columns  Stability of Equilibrium stable equilibrium: after being slightly displaced the object moves back to equilibrium unstable equilibrium: once displaced the object tends to move farther away from equilibrium neutral equilibrium: no visible tendency for the object to return to equilibrium or farther from it  

    

 What happens as P increases? 

1. point A moves downward and the beam shortens 2. at a certain value, Pcr, the beam “buckles” and suddenly changes shape 3. new shape may not support the full load 

 buckling – loss of stability of equilibrium critical load (

€

Pcr) – value of the load at which the transition from stable equilibrium to unstable equilibrium occurs 

 Euler’s Formula 

consider an ideal pin‐ended column  solve for the deflection curve of the buckled beam and use boundary conditions to find 

constants in the general solution  buckling mode function 

€

υ(x)  represents the shape of the deflected column  infinite values but lowest value for P at which buckling occurs corresponds to n = 1  r = 

€

I /A  = radius of gyration   buckling load can be increased by increasing the value of the cross‐sectional moment of 

inertia I by using thin‐walled tubular members  critical (buckling) stress depends on the slenderness ratio (L/r)—below a certain ratio the 

yield stress determines failure and above it buckling determines failure  Buckling Load:  Buckling Mode:  Buckling Stress: 

€

Pcr = π 2EIL2

 

€

υ(x) =C sin π xL

 

€

σ cr = π 2E(L / r)2

 

 

  18 

Other End Conditions  extend Euler’s formula to columns with other end conditions  replace length L with and equivalent or effective length, Le  effective length – length of a pin‐ended column having the same buckling load as the actual 

column (physically, the distance between points of zero moment when deflected)  effective­length factor (K) – dimensionless coefficient that depends on the end condition 

 

€

Pcr = π 2EILe2  

€

Le = KL