Sol Lab 02 Eco 2

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES ESPECIALIDAD DE ECONOMÍA SEMESTRE 2011–1

ECONOMETRÍA 2

(ECO 330) Profesor : Erick Lahura

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 2

Para resolver este laboratorio utilice el archivo Lab02_eco2.wf1 disponible en Intranet.

1. PARÁMETROS CAMBIANTES. En base a la información de la pestaña “Break”, responda: 1.1 Estime la ecuación:

Dependent Variable: SB

Method: Least Squares

Sample: 1950Q1 2009Q4

Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.219470 0.084897 26.14323 0.0000

X2 1.479004 0.088867 16.64297 0.0000

X3 1.330096 0.086432 15.38901 0.0000 R-squared 0.704795 Mean dependent var 2.245588

Adjusted R-squared 0.702304 S.D. dependent var 2.392996

S.E. of regression 1.305656 Akaike info criterion 3.383709

Sum squared resid 404.0227 Schwarz criterion 3.427217

Log likelihood -403.0451 Hannan-Quinn criter. 3.401240

F-statistic 282.9157 Durbin-Watson stat 1.529084

Prob(F-statistic) 0.000000

1.2 Teóricamente se sabe que los coeficientes de X2 y X3 del modelo anterior deberían ser

constantes a lo largo de toda la muestra (A2). Realice la estimación dividiendo la muestra en 2 grupos: 1950q1-1989q4 y 1990q1-2009q4. ¿Se confirma el supuesto A2 en las estimaciones? Explique por qué.

Erick Lahura Econometría 2 / 2010-2

2



Sample: 1950Q1 1989Q4

Included observations: 160

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 1.779329 0.075634 23.52545 0.0000

X2 1.147299 0.079176 14.49041 0.0000

X3 0.984532 0.074295 13.25170 0.0000

R-squared 0.724587 Mean dependent var 1.739979









Date: 03/30/11 Time: 14:26

Sample: 1990Q1 2009Q4


X2 2.155353 0.112598 19.14207 0.0000








No se cumple el supuesto A2, debido a que los parámetros de ambas regresiones son diferentes. Esto podría estar sucediendo, debido a que las series presentas quiebres a lo largo de la muestra, y ocasionaría que al dividir la muestra el coeficiente asociado a las series cambie de un período a otro.

1.3 Detecte la posible presencia de Quiebre estructural en los parámetros utilizando las siguientes pruebas. Especifique la estructura (Ho, Ha, regla de rechazo) de cada una de ellas.

Test de Chow La idea del Test de Chow es ajustar la ecuación por separado para cada submuestra, para ver si existen diferencias significativas en las ecuaciones estimadas. Una diferencia significativa indica un cambio estructural en la relación. Por ejemplo, puede utilizar esta prueba para examinar si la función de demanda de energía era la misma antes y después de la crisis del petróleo.


3

Por defecto, la prueba de Chow comprueba si hay un cambio estructural en todos los parámetros de la ecuación. Para llevar a cabo la prueba, se realiza la partición de datos en dos o más sub muestras. Cada submuestra debe contener más observaciones que el número de coeficientes de la ecuación de modo que la ecuación puede ser estimada. El Test de Chow compara la suma de los cuadrados de los residuos obtenidos mediante el ajuste de una sola ecuación para toda la muestra con la suma de los cuadrados de los residuos obtenidos en las ecuaciones independientes que ajustan a cada sub muestra de los datos. Una desventaja importante de la prueba de punto de interrupción es que cada submuestra requiere al menos tantas observaciones como el número de parámetros estimados. A su vez, la gran desventaja es que determina la fecha de quiebre de manera exógena. Donde:

Chow Breakpoint Test: 1980Q1

Null Hypothesis: No breaks at specified breakpoints

Varying regressors: All equation variables

Equation Sample: 1950Q1 2009Q4 F-statistic 17.46552 Prob. F(3,234) 0.0000

Log likelihood ratio 48.49352 Prob. Chi-Square(3) 0.0000

Wald Statistic 52.39657 Prob. Chi-Square(3) 0.0000

Regla de Rechazo: p-value < 0.05: Rechazo . Hay evidencia de quiebre estructural en la muestra. Test Quand-Andrews

Quandt-Andrews unknown breakpoint test

Null Hypothesis: No breakpoints within 15% trimmed data

Varying regressors: All equation variables

Equation Sample: 1950Q1 2009Q4

Test Sample: 1959Q1 2001Q1

Number of breaks compared: 169 Statistic Value Prob. Maximum LR F-statistic (1990Q1) 71.25348 0.0000

Maximum Wald F-statistic (1990Q1) 213.7604 0.0000

Exp LR F-statistic 31.14662 1.0000

Exp Wald F-statistic 102.3066 1.0000

Ave LR F-statistic 22.33797 0.0000

Ave Wald F-statistic 67.01391 0.0000

Note: probabilities calculated using Hansen's (1997) method


4

Test de Predicción de Chow

Chow Forecast Test

Equation: UNTITLED

Specification: SB C X2 X3

Test predictions for observations from 1980Q1 to 2009Q4 Value df Probability

F-statistic 3.033366 (120, 117) 0.0000

Likelihood ratio 339.2883 120 0.0000 F-test summary:

Sum of Sq. df Mean

Squares

Test SSR 305.7477 120 2.547897

Restricted SSR 404.0227 237 1.704737

Unrestricted SSR 98.27500 117 0.839957

Unrestricted SSR 98.27500 117 0.839957 LR test summary:

Value df

Restricted LogL -403.0451 237

Unrestricted LogL -233.4009 117 Unrestricted log likelihood adjusts test equation results to account for

observations in forecast sample

Unrestricted Test Equation:



Date: 04/06/11 Time: 23:34

Sample: 1950Q1 1979Q4


X2 1.100294 0.085569 12.85857 0.0000









5

Test RESET de Ramsey Esta prueba permite comprobar la correcta especificación polinómica de un modelo estimado. El objetivo central del procedimiento es verificar que no se hayan omitido en la regresión uno o más de los siguientes regresores: - Potencias enteras positivas de los regresores actualmente incluidos en la

regresión. - Productos cruzados de los regresados actualmente incluidos en la regresión. - Logaritmos o recíprocos de los regresores actualmente incluidos en la regresión. El contraste se basa en la prueba de una regresión aumentada tal como s e indica a continuación. Si la regresión actual es:

El test construirá la siguiente relación:

Donde las variables en la matriz Z son regresores presumiblemente omitidos en la regresión original. Si se demostrara que el vector j es nulo, dicha hipótesis se rechazaría. En términos prácticos, el test de Ramsey utiliza los propios regresores registrados en X para construir la matriz Z. Donde:

Ramsey RESET Test

Equation: UNTITLED

Specification: SB C X2 X3

Omitted Variables: Squares of fitted values Value df Probability

t-statistic 0.327389 236 0.7437

F-statistic 0.107183 (1, 236) 0.7437

Likelihood ratio 0.108975 1 0.7413 F-test summary:

Sum of Sq. df Mean

Squares

Test SSR 0.183411 1 0.183411

Restricted SSR 404.0227 237 1.704737

Unrestricted SSR 403.8393 236 1.711183

Unrestricted SSR 403.8393 236 1.711183 LR test summary:

Value df

Restricted LogL -403.0451 237

Unrestricted LogL -402.9906 236

Unrestricted Test Equation:




6

Date: 04/06/11 Time: 23:35

Sample: 1950Q1 2009Q4


X2 1.445634 0.135339 10.68156 0.0000

X3 1.298877 0.128807 10.08390 0.0000

FITTED^2 0.005108 0.015601 0.327389 0.7437 R-squared 0.704929 Mean dependent var 2.245588







Regla de rechazo: p-value < 0.05: Rechazo . En este caso, se acepta la Hipótesis nula.

Test de Residuos Recursivos Una estimación recursiva del modelo es aquella que primero utiliza k observaciones al inicio de la muestra para evaluar coeficientes y luego se va agregando una observación adicional para cada nueva estimación. Cada estimación del conjunto de coeficientes es, a su vez, utilizada para predecir el valor de la variable dependiente en el período siguiente. Con esta información, el programa estima el error de predicción de manera recursiva, tal como se muestra en la siguiente ecuación:

Bajo la hipótesis nula de estabilidad de parámetros, el error normalizado se distribuye como una normal con media cero y varianza constante y es independiente del residuo recursivo normalizado (w). Eviews realiza la estimación de wt para t=k+1,…, n y reporta su evolución alrededor de 0, además incluye una banda de confianza calculada como ±2 veces la desviación estándar en cada observación. Si los parámetros se mantienen constantes a lo largo de toda la muestra, es de esperar que los valores de los errores de predicción se encuentren dentro de esta banda de confianza; es decir, que su valor medio sea igual a cero. Por tanto la existencia de valores fuera de este intervalo será un indicador de que la hipótesis de estabilidad está siendo violada.


7

Dicho grafico ofrece evidencia sobre la existencia de un quiebre estructural. La presencia de valores fuera del intervalo de confianza a mediados del 90 indica que es probable que los parámetros cambien alrededor de esta fecha.

Prueba CUSUM Esta prueba se basa en la suma acumulada de los residuos normalizados. La evaluación de presencia de quiebre se realiza graficando el estadístico CUSUM a lo largo del tiempo. Si esta grafica permanece dentro de las bandas de confianza, entonces los coeficientes son estables en el tiempo, pero si la grafica traspasa las bandas, se reconoce la posible existencia de un cambio estructural en el modelo. La expresión asociada a este estadístico es la siguiente:

Donde w es el residuo recursivo definido líneas arriba y es el error estándar del modelo estimado con todas las observaciones disponibles.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05

Recursive Residuals ± 2 S.E.


8

Prueba CUSUM cuadrado El estadístico CUSUM cuadrado hace referencia a la suma acumulada de los residuos normalizados al cuadrado. Por lo mismo, este estadístico no está expuesto a los problemas de la prueba anterior en lo referente a la presencia de errores con signo contrario. No obstante, su interpretación no es tan evidente como en el índice CUSUM convencional, ya que no se espera que su valor medio sea nulo. Dada la construcción del estadístico:

Al igual que en los casos anteriores, si el estadístico arroja un valor que sobrepasa el intervalo de confianza, no podemos afirmar que la media sea la indicada líneas arriba, y por tanto, que los parámetros sean estables.

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05

CUSUM 5% Significance


9

Test Predictivo de una etapa El grafico asociado a esta prueba traza los residuos recursivos y los errores estándar en la parte superior (esta parte de la grafica es idéntica a la grafica que se obtiene al requerir los residuos recursivos). Adicionalmente, en la parte inferior se muestra una nube de puntos que indican el nivel de confianza en el que es posible rechazar la hipótesis nula de estabilidad. Como sabemos a un nivel de significancia del 5% tiene asociada una confianza del 95%.

Debemos fijarnos en los puntos que tienen asociado el nivel de significancia mas bajo, en este caso se distinguen varios puntos cercanos a 0 en toda la muestra. Este

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05

CUSUM of Squares 5% Significance

.000

.025

.050

.075

.100

.125

.150

-4

-2

0

2

4

6

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05

One-Step Probability

Recursive Residuals


10

resultado se lee de la siguiente manera: aun con un nivel de significancia bastante reducido, la comparación del residuo recursivo obtenido con el intervalo de confianza nos lleva al rechazo de la hipótesis de estabilidad. Notemos que cuando los errores recursivos salen de las bandas, los puntos generados a partir del test predictivo de una etapa se encuentra en niveles inferiores a 5%.

Test Predictivo de “n” etapas En lugar de analizar los coeficientes estimados con la información disponible hasta t-1 para predecir únicamente la siguiente observación Yt, consideramos la posibilidad de utilizarlos para predecir las observaciones que siguen (t,…,n) . Así, una divergencia considerable entre los valores predichos y los verdaderos seria evidencia a favor de la existencia de un quiebre estructural. Su interpretación de los puntos de probabilidad es la misma a la de la prueba de una etapa.

Test de Coeficientes Recursivos Esta prueba grafica permite analizar la evolución de cualquier coeficiente a medida que la muestra empleada para la estimación se amplía en una observación. Por ello, y bajo la hipótesis de estabilidad, cabe esperar que los valores de cada coeficiente converjan en la mediad en que la estimación se acerque a aquella que utiliza toda la información disponible.

.000

.025

.050

.075

.100

.125

.150

-4

-2

0

2

4

6

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05

N-Step Probability

Recursive Residuals


11

2. HETEROSCEDASTICIDAD. En base a la información de la pestaña “Hetero”, responda:

2.1 Estime la ecuación:

Dependent Variable: H


Date: 03/30/11 Time: 15:01

Sample: 1950Q1 2009Q4


X2 1.068623 0.106695 10.01571 0.0000








-2

-1

0

1

2

3

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05

Recursive C(1) Estimates

± 2 S.E.

0

1

2

3

4

5

6

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05


± 2 S.E.

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05


± 2 S.E.


12

2.2 Determine la presencia de Heteroscedasticidad usando las siguientes pruebas. Especifique en cada una de ellas, la Ho y Ha, así como también la Regla de Rechazo.

Test de Glejser (1969) - Se asume que los regresores originales contenidos en el vector “x” son los que

generan heteroscedasticidad. - Hipótesis nula y alternativa:

- El estadístico (t o F) es el que permite evaluar la significancia del vector “theta” en:

Heteroskedasticity Test: Glejser F-statistic 4.012610 Prob. F(2,237) 0.0193

Obs*R-squared 7.860630 Prob. Chi-Square(2) 0.0196

Scaled explained SS 7.950496 Prob. Chi-Square(2) 0.0188

Test Equation:

Dependent Variable: ARESID


Date: 04/07/11 Time: 00:37

Sample: 1950Q1 2009Q4


X2 -0.035009 0.064017 -0.546875 0.5850








Test de Harvey (1976) - Se asume que los regresores originales contenidos en el vector “x” son los que

generan heteroscedasticidad.

- Hipótesis nula y alternativa:

El estadístico (t of F) es el que permita evaluar la significancia del vector “theta” en:

2,1,)(:

:

'2

22

0

mxH

H

m

iia

i

ii vxu '|ˆ|

)exp(:

:

'2

22

0

iia

i

xH

H


13

Heteroskedasticity Test: Harvey F-statistic 0.887988 Prob. F(2,237) 0.4128



Test Equation:

Dependent Variable: LRESID2


Date: 04/07/11 Time: 00:38

Sample: 1950Q1 2009Q4


X2 -0.015115 0.073148 -0.206639 0.8365


Adjusted R-squared -0.000938 S.D. dependent var 2.247943






Test de Breusch-Pagan (1979) - La heteroscedasticidad se asocia a que la varianza puede ser una “función”

(desconocida) de una combinación lineal de “q” variables conocidas contenidas en el vector “x”.

- Hipótesis nula y alternativa: -

- Estadístico:

- Donde el R2 proviene de la regresión auxiliar:

iii vxu '2ˆln

)(:

:

'22

22

0

iia

i

xhH

H

)(~ 22 qnRLM

iii vxu '2ˆ


14

Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey F-statistic 5.044448 Prob. F(2,237) 0.0072



Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2


Date: 04/07/11 Time: 00:38

Sample: 1950Q1 2009Q4

Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.315352 6.240521 -0.050533 0.9597

X2 -0.332456 0.456065 -0.728967 0.4667








Test de White (con y sin términos cruzados,1980)


- Estadístico:

- donde el R2 y “q” = “# coeficientes -1” están asociados a la regresión auxiliar:

- La generalidad de esta prueba radica en que no requiere un modelo específico de la heteroscedasticidad.

- La debilidad es que si se rechaza la hipótesis nula no se puede concluir que existe heteroscedasticidad.

- Esta es una prueba asintótica cuyos resultados son más confiables a medida que “n” crece.

ciertoesnounomenosalH

udenteindependieXuXyH

a

i

:

,,: 22

0

)(~ 22 qnRLM

iiiii vxcxxu 3

'

2

'

1

'2 )()2(ˆ


15

Sin términos cruzados:

Heteroskedasticity Test: White F-statistic 4.728201 Prob. F(2,237) 0.0097



Test Equation:



Date: 04/07/11 Time: 00:39

Sample: 1950Q1 2009Q4


X2^2 -0.011972 0.022133 -0.540923 0.5891

X3^2 0.071207 0.023242 3.063800 0.0024 R-squared 0.038369 Mean dependent var 10.62670







Con términos cruzados:




Test Equation:



Date: 04/07/11 Time: 00:40

Sample: 1950Q1 2009Q4


X2 -6.624864 4.012580 -1.651023 0.1001

X2^2 0.196850 0.154065 1.277706 0.2026

X2*X3 0.231765 0.258060 0.898104 0.3701

X3 -0.756745 4.296508 -0.176130 0.8603

X3^2 -0.008001 0.168897 -0.047372 0.9623 R-squared 0.051119 Mean dependent var 10.62670





16




Test ARCH-LM (Heteroscedasticidad condicional; Engel, 1982)


- Estadístico: Donde el R2 y “q” = “# rezagos” están asociados a la regresión auxiliar:

Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 0.555350 Prob. F(1,237) 0.4569


Test Equation:



Date: 04/07/11 Time: 00:41

Sample (adjusted): 1950Q2 2009Q4

Included observations: 239 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 10.15240 1.151235 8.818709 0.0000

RESID^2(-1) 0.048477 0.065051 0.745218 0.4569 R-squared 0.002338 Mean dependent var 10.66387







q

s

ststa

t

uH

H

1

2

0

2

22

0

:

:

)(~ 22 qnRLM

t

q

s

stst vuu

1

2

0

2 ˆˆ


17

2.3 De presentarse Heteroscedasticidad, resuelva el problema encontrado. ¿De qué depende la metodología a utilizar? Si la Heteroscedasticidad es una característica del modelo poblacional, entonces se utiliza MCG, MCGF o MCO (errores estándar robustos).

- Si se conoce la forma funcional de la heteroscedasticidad y sus valores numéricos (caso inusual), se debe estimar los parámetros del modelo y hacer inferencia usando MCG.

- Si se conoce sólo la forma funcional de la heteroscedasticidad (caso menos inusual), se debe estimar los parámetros del modelo y hacer inferencia usando MCGF.

- Si no se conoce ni siquiera la forma funcional o no se tiene información suficiente, se debe estimar los parámetros del modelo usando MCO. Para hacer inferencia, se debe utilizar la fórmula correcta de la matriz de var-cov y estimarla de manera robusta (usando el estimador o matriz de White).



Date: 04/07/11 Time: 00:36

Sample: 1950Q1 2009Q4


White heteroskedasticity-consistent standard errors & covariance Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.146230 1.527363 2.059910 0.0405

X2 1.068623 0.113803 9.390105 0.0000








2.4 Asumiendo que

, ¿Cuál es la metodología apropiada? ¿Por qué? ¿Se

solucionó el problema de Heteroscedasticidad? Aplique las pruebas vistas anteriormente.

Si se conoce la forma funcional de la Heteroscedasticidad y sus valores numéricos (caso inusual), se debe estimar los parámetros del modelo y hacer inferencia usando MCG.



Date: 04/07/11 Time: 00:36

Sample: 1950Q1 2009Q4


Weighting series: X3^(-0.5)

Weight type: Inverse standard deviation (EViews default scaling)


18

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.106770 1.384519 2.243935 0.0258

X2 1.055323 0.103694 10.17732 0.0000

X3 0.838284 0.101802 8.234443 0.0000 Weighted Statistics R-squared 0.436769 Mean dependent var 21.84398






Prob(F-statistic) 0.000000 Weighted mean dep. 21.64216 Unweighted Statistics R-squared 0.422397 Mean dependent var 22.03693


S.E. of regression 3.280698 Sum squared resid 2550.826

Durbin-Watson stat 1.887217

Pruebas para detectar Heterocedasticidad:

Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey F-statistic 0.961970 Prob. F(2,237) 0.3836



Test Equation:

Dependent Variable: WGT_RESID^2


Date: 04/07/11 Time: 00:42

Sample: 1950Q1 2009Q4


X2*WGT -0.444609 0.426824 -1.041668 0.2986

X3*WGT 0.370305 0.959681 0.385862 0.6999 R-squared 0.008053 Mean dependent var 10.12941







Heteroskedasticity Test: Harvey


19

F-statistic 0.127104 Prob. F(2,237) 0.8807



Test Equation:

Dependent Variable: LWRESID2


Date: 04/07/11 Time: 00:43

Sample: 1950Q1 2009Q4


X2*WGT -0.034067 0.070497 -0.483235 0.6294

X3*WGT -0.011944 0.158508 -0.075352 0.9400 R-squared 0.001071 Mean dependent var 1.038159







Heteroskedasticity Test: Glejser F-statistic 0.662948 Prob. F(2,237) 0.5163



Test Equation:

Dependent Variable: AWRESID


Date: 04/07/11 Time: 00:43

Sample: 1950Q1 2009Q4


X2*WGT -0.047976 0.061481 -0.780342 0.4360

X3*WGT 0.060052 0.138235 0.434420 0.6644 R-squared 0.005563 Mean dependent var 2.544641







Heteroskedasticity Test: ARCH


20

F-statistic 1.565804 Prob. F(1,237) 0.2121


Test Equation:



Date: 04/07/11 Time: 00:44

Sample (adjusted): 1950Q2 2009Q4

Included observations: 239 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 9.336765 1.081467 8.633423 0.0000

WGT_RESID^2(-1) 0.081105 0.064816 1.251321 0.2121 R-squared 0.006563 Mean dependent var 10.15445










Test Equation:



Date: 04/07/11 Time: 00:44

Sample: 1950Q1 2009Q4


Collinear test regressors dropped from specification Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -21.96080 34.54516 -0.635713 0.5256

WGT^2 58.54086 30.82734 1.898992 0.0588

X2^2*WGT^2 0.301362 0.134740 2.236616 0.0263

X2*WGT^2 -8.593385 3.695449 -2.325397 0.0209

X2*X3*WGT^2 0.212010 0.241995 0.876094 0.3819

X3^2*WGT^2 0.083317 0.148727 0.560200 0.5759 R-squared 0.031451 Mean dependent var 10.12941








21

Todas las pruebas No rechazan la hipótesis nula de homoscedasticidad, por lo tanto se corrigió la Heteroscedasticidad.

3. Considere un modelo de regresión clásico de k variables: . Demuestre que el vector de estimadores MCO de es sesgado cuando se asume A3Rsru, es decir, los regresores y las perturbaciones tienen covarianza contemporánea igual a cero.

Aplico esperanza en ambos lados:

Es una función no lineal de X, no sabemos si es igual a 0. Por lo

tanto es estimador de MCO bajo A3Rsru es sesgado.

4. Considere el siguiente modelo de regresión lineal clásico, . Calcule

utilizando:

a. La formula de la varianza total. La fórmula de la varianza total se define como:

A B

B =

, por supuesto A3sru:

B = 0

A =

, debido a que

tiene media 0 (por B), entonces su varianza será:

A =

Entonces:


22

b. Ley de esperanzas iteradas.

5. Sea el modelo de regresión lineal clásico utilizando notación matricial:

donde el vector de perturbaciones (de orden ) se distribuye normal con media 0 (vector

) y matriz de varianzas y covarianzas igual a ( es un escalar y una matriz positivo

definida de orden ). En particular, se asume que las perturbaciones son heterocedásticas:

2 = 2

a. Demuestre que le estimador MCO del vector es insesgado y consistente. Asuma que

los datos se comportan bien en asintóticamente, es decir:

Además, asuma por simplicidad que:

.

b. Asumiendo que es diferente para cada , demuestre que el

estimador MCO del vector es asintóticamente normal, es decir:

2

donde:

San Miguel, marzo de 2011


23

Insesgadez:

Aplico esperanza condicional:

Bajo A3Rmi y A2:

Entonces:

Aplicando esperanzas iteradas:

Consistencia:

Aplico :

Slutsky:

Por A3Rsru

a. Asumiendo que es diferente para cada , demuestre que el

estimador MCO del vector β es asintóticamente normal, es decir:

Sol.

De acuerdo al enunciado y usando la regla de slutsky:

Además, se demuestra que


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Demostración:

-

-

-

Por TLC:

Luego, por Cramer:

Sol Lab 02 Eco 2

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