Sol Esferica

5/19/2018 Sol Esferica

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TRIGONOMETRA ESFRICA

Unidad Docente de Matemticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

1.- Hallar lalongitudde un grado del paralelo que corresponde a Pekn (116 30E, 40 N).

2.- En la geometra eucldea, los ngulos interiores de un tringulo suman 180,

pero, en la geometra hiperblica, desarrollada por Lobachevski, la suma de loslados de un tringulo es siempre menor de 180 y en la geometra de Riemanndicha suma es siempre superior a 180, como en el caso de un tringulo situadosobre una esfera.Obtener el rea del tringulo esfrico determinado por: La Corua (4 43 O,43 22 N), Barcelona (5 50 E, 41 24 N) y Las Palmas (11 44 O, 28 9N).

3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos untringulo esfrico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular loselementos restantes:a. Tres lados: a = 60 0031, b = 137 2040, c = 116 0032b. Tres lados: a = 90, b = 48 50, c = 6738,c. Tres ngulos: A = 70 0025, B = 131 1015, C = 94 5053d. Dos lados y el ngulo comprendido entre ellos

a = 64 2403, b = 42 3010, C = 58 4052e. Dos ngulos y el lado comprendido entre ellos

c = 116 1205, A = 70 5115, B = 131 2026f. Dos lados y un ngulo no comprendido entre ellosa = 58 4622, b = 137 0250, B = 131 5233

g. Dos ngulos y un lado no comprendido entre ellosa = 70, B = 119, A = 76

4.- Hallar los lados a y b de un tringulo esfricodel que se conoce:A = 90, B = 47 5454, a - b = 13 4050

5.- Resolver, si es posible, los siguientes tringulos esfricosrectngulos, siendoA=90:

a) a=60 07 13, C=59 00 12.b) b=167 03 38, B=157 57 33.c) a=112 42 36, b=76 44 15.

6.- Dado el tringulo esfrico de lados a=80, b=40 y c=100, hallar laalturaesfricasobre el lado a y decir si es interior o exterior al tringulo.

7.- Calcular los arcos decircunferencia mximacorrespondientes a:


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A=8430'

B

C

c=10422'

b=5410'

a)Alturasobre el lado c.b) Medianasobre el lado c.c) Bisectrizdel ngulo C.

8.- Demostrar que en un tringulo esfricorectngulose verifica:1) Un cateto y su ngulo opuesto son ambos agudos o ambos

obtusos.2) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la

hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro esobtuso, entonces la hipotenusa es obtusa.

9.- Demostrar que enun tringulo esfricoequilterose verifica:a) cos A = cos a /(1+cos a)b) sec A - sec a = 1c) 2 cos (a/2) sen (A/2) =1.

10.- Un avin vuela de Madrid a Tokio a una altitud de 10 000 msiguiendo un crculo mximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las

coordenadas de Madrid y Tokio son:Madrid: latitud: Norte 40 24; longitud: Oeste 3 41Tokio latitud: Norte 35 40; longitud: Este 139 45y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide:a) Qu distanciarecorre el avin entre Madrid y Tokio?b) A qudistanciadel Polo Norte pasa aproximadamente?c) Se denomina Crculo Polar rtico a una circunferencia menorsobre latierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone entodo el da. El Crculo Polar rtico se encuentra a unalatitudNorte

60 30. Sobrevuela el mencionado avin elCrculo Polar rtico?

11.- Un avin se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de990 km/h. Hallar las coordenadas geogrficas del punto donde seencontrar el avin al cabo de 3 horas de vuelo.Coordenadas geogrficas de Madrid: 40 24 latitud N, 3 41 longitudOCoordenadas geogrficas de Nueva York: 40 45 latitud N, 74

longitud O Utilizar como radio de la esfera sobre la que se mueve elavin: 6371 km


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12.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 4835' Nortecon velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de unpunto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud3652 Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen su paralelo

en direccin Oeste. Encontrar ladistanciaen millas que los separa alcabo de 56 horas de marcha.NOTA: El arco de un minuto, de longitud 1852 m, se llama milla

marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo.

13.- Un barco que parte del punto A (latitud 3650' N. y longitud7620' O.) y que navega a lo largo de unacircunferencia mximacortaal Ecuador en un punto cuya longitud es 50 00' O. Encontrar el rumboinicial y ladistanciarecorrida.

14.- Resolver el tringulo esfricotal que:A = 68 39 07, B = 74 07 12, a = 51 42 08

15.- Un navo parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arcodecircunferencia mxima. Las coordenadas geodsicasde ambos puntosson:

Calcular ladistanciarecorrida por el navo y el rumbo del mismo (nguloCAB, siendo C el polo ms prximo A).Nota: Radio de la tierra R6371 km.

16.- Resolver el tringulo esfricode que se conocen los datos:a=760000; A=700000; B=1190000

17.- Resolver el siguiente tringulo esfricorectngulo:A = 90, b = 46 46 04, B= 57 28 03

18.- Resolver el tringulo esfricorectngulo ( = 90) sabiendo que:

B = 157 57 33 b = 167 3 38

19.- Sobre una esfera de radio R = 6370 km se sitan 3 puntos, A, B

y C, vrtices de untringulo esfrico. Los ngulos en A y B valen

Longitud 2030'40'' E

B Latitud 4850'02'' N

55Longitud 48'10'' E

A Latitud 5545'13'' N


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respectivamente A = 70 y B = 119, y el lado opuesto al ngulo Atiene como valor a = 76.

Se pide calcular la distancia esfrica(en km) entre el punto A y ellado opuesto, a.

20.- Dos tringulos esfricostienen en comn los elementos siguientes:a=5142, A=6839, B=7407. Calcular el lado b en ambos tringulosy analizar si ambas soluciones son vlidas.

21. Resolver el siguiente tringulo esfrico, sabiendo: a = 79 48, b =53 12 y A = 110 2

22.- a) Resolver el tringulo esfricorectilteroeisscelestal queb=c=600000b) Determinar losngulos de un tringulo esfricoequilterocuyareasea igual a la mitad del rea encerrada por unacircunferencia mxima

23.- Dadas las coordenadas geogrficasde las siguientes ciudades:Santiago de Compostela: 4252 N ; 833 OMadrid : 4024 N ; 341 O

Girona: 4159 N ; 249 EY dado el radio de la Tierra de 6371 kmCalcular:a) Distancias esfricasentre estas ciudadesb)Superficie del tringulo esfricoque tiene por vrtices dichas

ciudades.

24.- Un barco ha de salir del puerto A (latitud 20 31 N, longitud70 11 E) y llegar al puerto B (latitud 42 22 N, longitud 10 45 W).Calcular:a) La distancia AB (llamada distancia ortodrmica), considerando elradio de la tierra, R=6371 km.b) El rumboinicial.c) El rumbofinal.

25.- Resolver el tringulo esfricorectngulo (A = 90), sabiendo que:a = 143 21 58 y b = 16703 38.


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26.- Un avin vuela de Madrid a Nueva York a una altitud de 10.000m. De Madrid sale con rumbo Noroeste y vuela 2.000 km hasta llegar aun punto en el cual vira para dirigirse directamente a Nueva York.Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Nueva York son

Madrid: 3 41' Oeste; 4024' NorteNueva York: 7400' Oeste; 4045' Norte(La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avinrecorre ciclosde la esfera). Se pide:

a).Distanciaentre Madrid y Nueva York.b).Distanciarecorrida por el avin.

27.- Un avin parte de un lugar cercano a Nueva York (74 longitudOeste; 4045 latitud Norte) con rumbo 3010 (direccin Norte yOeste). Dar las coordenadasdel punto de su recorrido ms cercano alPolo Norte.

28.- Resolver el tringulo esfricorectilteroa=90, A=36 25 08,c=102 00 00, situado sobre una esfera de 5 km de radio. Calcular:

a)

La superficieque ocupan l y su tringulo polar.b)

Hallar la mediana esfrica del tringulo dado que parte delvrtice B.

c) Hallar la distancia esfricadesde el vrtice A al vrtice C, ascomo desde el vrtice Bal lado b.

29.- Demostrar que en un tringulo esfricorectngulo se verifica:a) Si A=90, entonces tgc cosa = senb cotgB.

b) Si A=90, entonces:

2a c a c btg tg tg2 2 2

.

c)Si C=90, entonces cos2A sen2c = sen(c+a) sen (c-a).

30.- Demostrar que labisectrizesfrica de un ngulo de un tringuloesfrico, divide al lado opuesto en dos arcos cuyos senos sonproporcionales a los senos de los lados contiguos.

31.- En un tringulo esfrico se verifica que a+b=180. Calcular elarco de cicloque es lamedianacorrespondiente al lado c.

32.- Enel tringulo esfricorectilteroen el que c=90; obtener laalturaesfricacorrespondiente al lado c en funcin de los otros dos


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lados.

33.- Expresar en funcin de los lados de un tringulo esfrico el

producto senA senB senC.

34.- Demostrar que en todo tringulo esfricose verifica que:

a b 180 A B 180 .

35.- Demostrar que si dos ngulos de untringulo esfricoson rectos,

los lados opuestos a estos ngulos son cuadrantes y el tercer nguloest medido por el lado opuesto. Si los tres ngulos de un tringuloesfrico son rectos, demustrese que la superficie esfrica deltringuloes un octante delaesfera.

36.- En un tringulo esfrico rectngulo la suma de los catetos vale100, la hipotenusa mide 80; calcular el valor del cateto ms pequeo.

37.- Si es elexceso esfricodel tringulo esfricoenel que a=b yC=90, calcular tgen funcin de a

38.- Calcular la distanciamnima en km que hubiera tenido que recorrer

las naves de Cristbal colon en su primer viaje y descubrimiento de

Amrica.

Datos: Considrese como punto de salida la ciudad de Santa Cruz de

Tenerife y llegada la isla de S. Salvador en las Bahamas

39.- Calcular el valor delcosenodelexcesoesfrico del tringulo cuyos

lados miden a=b=3

y c=2

.

40.- Calcular el rea del tringulo esfricoy el volumen de la pirmideesfrica que determina en una esfera de 6cm de radio un triedro


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equilterocuyos diedros miden 100 y cuyo vrtice es el centro dedicha esfera.

41.- De un tringulo esfricotrazado en una superficie esfrica cuyo

radio es 10 dm se conocen: A = 71 20; B = 119 25; C = 60 45.Se pide:

a) Resolver el tringulo.b) Hallarsurea.c) Hallar el volumen de la pirmide esfrica cuyo vrtice es el

centro de la esfera y su base el tringulo dado.

42.- Hallar elrea del pentgono esfricocuyos ngulos miden 87

16, 108 34, 126 23, 150 y 156 48 en una esfera de 16 dm deradio.

43.- En todo tringulo esfrico issceles (b=c), se verifican lasrelaciones siguientes:

a)

a Asen senb sen2 2

b)

A acos senB cos2 2

44.- De un tringulo esfricose conocen:a = 74 05 00, b = 63 17 00, A = 113 42 00a) Analizar cuntos tringulos esfricos se adaptan a estos datos.b) Resolver el los tringulos,segn proceda.

45.- En un tringulo esfrico se verifica 2p=a+b+c=180. Demostrar

que cosA+cosB+cosC=1.

46.- Calcular ladistanciaen km, entre Madrid y Mlaga, siendo lascoordenadas de Madrid longitud 3 41 Oeste y latitud 40

2430Norte, y las de Mlaga 0

4955 Oeste y 36

4313 Norte.

47.- Resolver el tringulo esfricoconociendo el lado a=120

100, laalturah=42150 y lamedianam=62100 queparten del vrtice A.


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48.- Determinar los ngulos A y B de un tringulo esfricoconocida sudiferencia B-A=3214 y los lados opuestos a=672535 yb=1434446.

49.- En untringulo esfricorectngulo (A=90) la suma de los catetosvale 100 y la hipotenusa 80, calcular los catetos.

50.- Un avin parte de un punto de la Tierra de coordenadas 40 N,3 O. Su rumbo es 78 NE, su altitud de vuelo es de 4.000 m y suvelocidad de 610 km/h.Se pide obtenerlas coordenadasdel punto en el que el avin atraviesa

el paralelo 30N y calcular el tiempo que tarda en llegar a dicho lugar,considerando el radio de la tierra de 6373 km.

51.- En la Tierra, seael crculo mximoque pasa por los puntos A(latitud 0, longitud 60 O) y B (latitud 60 N, longitud 0)Se pide:

a) Distanciaen kilmetros entre los puntos A y B.b) Puntos en que dicho crculo mximo corta el Ecuadorc) Puntos en que dicho crculo mximo corta el paralelo 60 N

Nota: Radio de la Tierra R = 6378 km

52.- Sea eltringulo esfrico, situado sobre la superficie de la Tierra,cuyos vrtices son el Polo Norte y los puntos B y C de coordenadas:B (longitud: 120 Este, latitud: 40 Norte), C (longitud: 30 Oeste,latitud: 60 Norte)

Se pide:

a)

Resolver el tringulo.b)Calcular la superficie del tringulo.

53.- Un barco navega 2000 km hacia el Este a lo largo del paralelo delatitud 42 Cul es lalongituddel punto de llegada?, si:a) Parte de la longitud 125 O.b) Parte de la longitud 160 E.(Tomar como radio de la tierra 6370 km)


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54.- Un barco navega a lo largo de una circunferencia mximadesde lalocalidad de Dutch Harbor (latitud: 53 53 N, longitud: 166 35 O)hasta un punto M (latitud: 37 50 S, longitud: 144 59 O). Se pide:a) Calcular la distancia y el rumbo de salida (ngulo que forma latrayectoria con el meridiano del punto de salida indicando polo ydireccin Este u Oeste).b) Localizar el punto donde la trayectoria corta al Ecuador.c) Hallar el rea del tringulo esfricodeterminado por el Polo Norte yambos lugares.

55.- Un avin parte del aeropuerto de Talavera la Real. Encontrar elrumbo y la distancia para un vuelo a Nueva York. Sabiendo que lascoordenadas de Talavera la Real y Nueva York son:

Talavera la Real: 6 46 24' Oeste; 3852'35 NorteNueva York: 7400' Oeste; 4045' Norte

(La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avinrecorre ciclosde la esfera).Determinar cual es la mximalatitudque alcanza dicho vuelo

56.- Un avin parte de Kopervik (Noruega) hacia Fortaleza (Brasil). Lascoordenadas geogrficas de dichas ciudades son:

Kopervik (longitud: 5 18 E, latitud: 59 17 N)Fortaleza (longitud: 38 29 O, latitud: 3 41 S)Tomando como radio de la tierra R = 6371 km, hallar:a) Ladistanciaentre ambas ciudades.b) Ladistanciarecorrida por el avin que vuela a 10 km de altura.c) Las coordenadas geogrficas del punto H en que la trayectoria

corta al ecuador.

57.- Dado eltringulo esfricode ngulos B = 344911 y C =1185836 y siendo c (el lado opuesto al ngulo C), de valor c = 100.Se pide:a) Hallar la alturaesfricasobre el lado a (opuesto al ngulo A)indicando si es interior o exterior al tringulob) Resolver el tringulo


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58.- Dado el tringulo esfrico de lados a=80, b=40 y c=100,Calcular los arcos decircunferencia mximacorrespondientes a:a) Medianasobre el lado c.b) Bisectrizdel ngulo C.

59.-a) Hallar la distanciaentre Puerto Cabello (Venezuela) (10 29 N, 6800 O) y Cdiz (Espaa) (36 30 N, 6 20 O).b) Hallar elrumboinicial y elrumbofinal de un barco que se dirija dePuerto Cabello a Cdiz.c) Calcular la latitudylongitudde la posicin del barco cuando hayarecorrido 3000 km.d) Si el barco no parase en Cdiz, sino que siguiera navegando por lacircunferencia mximaque une ambas ciudades, localizar el punto delrecorrido ms prximo al polo norte (dar su latitudylongitud).Nota: tomar como radio de la tierra 6370 km.

60.- Un barco realiza un viaje desde Bergen (Noruega) (60 24 00N,5 19 00E) hasta St. Johns (Canad) (47 34 00N, 52 41 00O).Se pide calcular:

a) La distanciaentre ambas ciudades.b) El rumbo inicial (ngulo entre el norte del meridiano y la

trayectoria medido en sentido de las agujas del reloj).c) Ladistanciams corta del Polo Norte a la trayectoria.

61.- Un avin parte de una ciudad A(Cdiz) hacia otra ciudadB(Bristol). Las coordenadasgeogrficasde dichas ciudades son:

A (longitud: 6 20 O, latitud: 36 30 N);

B (longitud: 2 38 O, latitud: 51 27 N)a) Calcular la distanciaentre ambas ciudades d(A B).b) Sabiendo que las coordenadas geogrficasde otra ciudad C(Oviedo)son (longitud: 5 50 O, latitud: 43 22 N) y conocidas las distancias:d(A, C) = 764.6003 km, d(B, C) = 930.1393 km, hallar ladistanciaaproximada a la que pasa el avin de la ciudad C.Nota: tomar, en ambos apartados, el radio de la esfera sobre la querealizar los clculos R = 6370 km.


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62.- Un barco sale de un punto A (38 3 N, 40 20 O) con un rumboN 23 20 E. Tras haber realizado una travesa poruna circunferenciamximaentra en un punto B con un ngulo de 43 15 (43 15 =nguloABN). Sepide, calcular:

a) Las coordenadasdel punto B.b) Ladistanciaentre A y B

63.- Se va a estudiar la viabilidad de ciertos vuelos desde Boston(EEUU) con direccin a Monrovia (Liberia). Sabiendo que lascoordenadas geogrficasde dichas ciudades son:

Boston (longitud: 71 03 O, latitud: 43 23 N)

Monrovia (longitud: 10 49 O, latitud: 6 20 N)a) Calcular ladistanciaentre ambas ciudades.b) Hallar la longituddelpunto donde la trayectoria corta al Ecuador.

64.- Desde un punto M de la Tierra situado sobre el meridiano deGreenwich y con latitud45N parte un avin hacia otro punto P. Estepunto P equidista del Polo Norte, del Punto M y de un punto Q decoordenadas (653148.72 E, 45 N). El avin se ve obligado aaterrizar en un punto A, cuando lleva recorridos 2/3 de su camino, alEste de M. Se considera la Tierra como una esfera 6370 km de radio yque la altitud de vuelo del avin es despreciable frente a estamagnitud. Hallar:

a)

Las coordenadas geogrficasdel punto de aterrizajeb)

El tiempo que tard en efectuar ste si llev una velocidadconstante de 800 km/h

c)

El readel tringulo esfricodefinido por los puntos M, A y elPolo Norte

65.- Calcular la superficiedel tringulo esfricoque tiene por vrticeslas siguientes ciudades

Rio de Janeiro (Brasil) (latitud: 22540 S; longitud:431359 O)

Atenas (Grecia) (latitud: 375840 N; longitud:234340 E)

Kingston (Jamaica) (latitud:17590 N; longitud:

76480 O)


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66.- Dadas las coordenadasde las siguientes ciudades:Tokio (Japn): (354550N; 1402330E)Tahit (Polinesia Francesa): (174000 S; 1574934O)

Y conocidas las distancias esfricasentre Tokio y Honolulu (Hawaii) que

es de 6.146,812 km y entre Tahit y Honolulu que es de 4.430,312km.Siendo el radio de la Tierra es de 6.373 km.Se pide:a) Calcular la distancia esfricaentre Tokio y Tahit, expresada en km.b) Calcular la superficie esfricadel tringuloformado por Tokio,

Tahit y Honolulu.

67.- Un avin parte con rumbo30 10 (ngulo que forma el meridianocon la trayectoria medido en sentido contrario a las agujas del reloj)desde un punto A de coordenadas

A longitud 74 00 00 O, latitud: 40 45 00Na) Calcular las coordenadas geogrficas(latitud y longitud) del punto dela trayectoria ms cercano al Polo Norte.b) Hallar ladistanciaen unidades sexagesimales y en km desde el puntoA hasta Madrid longitud 3 41 00 O, latitud: 40 24 00N.

68.- Tomando como radio de la tierra 6370 km:a) Hallar la distanciaentre Puerto Cabello (Venezuela) (10 29 N, 6800 O) y Cdiz (Espaa) ( 36 30 N, 6 20 O).b) Hallar el rumbode un avin que se dirija de Puerto Cabello aCdiz.c) Calcular la latitudylongitudde la posicin del avin cuando hayarecorrido 3000 km desde Puerto Cabello.d) Si el avin no aterrizase en Cdiz, sino que siguiera volando por la

circunferencia mximaque une ambas ciudades, localizar el punto delrecorrido ms prximo al polo norte (dar su latitudylongitud).

EJERCICIOS PROPUESTOSResolver los siguientes tringulos esfricos:1) A=90, b=38 17 46, c=37 04 13.2) A=90, B=52 38 34, C=50 38 15.3) b=114 31 18, B=119 42 34, C=72 03 16.4) A=112 24 32, B=61 12 40, a=72 36 24.

5) A=161 16 32, B=126 57 15, a=163 17 55.


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1.- Hallar la longitudde un grado del paralelo que corresponde a Pekn(116 30 E, 40 N).Solucin:

360

1R2L

L1

R2360PP =

.

Hay que hallar el radio del paralelo de Pequn PR .

Llamando TR al radio de la tierra (6371 km) y llamando O yO a los centros del ecuador y del paralelo de Pequn P,respectivamente, se tiene que:

4880.466350senRRRROPPO'50sen TPTP ==== km.

Sustituyendo en360

1R2L P

= , se obtiene L= 85.1802 km.

O

O

PRP

RT50


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2.- En la geometra eucldea, los ngulos interiores de un tringulosuman 180, pero, en la geometra hiperblica, desarrollada porLobachevski, la suma de los lados de un tringulo es siempre menor de180 y en la geometra de Riemann dicha suma es siempre superior a

180, como en el caso de un tringulo situado sobre una esfera.Obtener el rea del tringuloesfrico determinado por: La Corua (443 O, 43 22 N), Barcelona (5 50 E, 41 24 N) y Las Palmas (1144 O, 28 9 N).Solucin:Planteamiento:Con las coordenadas geogrficas de las tres ciudades podemoscalcular las distancias entre ellas, lo que nos proporciona elvalor de los lados del tringulo esfrico PBN determinado porlas tres ciudades. Con los tres lados y aplicando el teorema del

coseno podemos calcular los tres ngulos de dicho tringulonecesarios para la obtencin del rea pedida.

En el tringulo esfrico CBN (Corua, Barcelona, Polo Norte):CN = colatitud de la Corua = 90 - 43 22 = 46 38BN = colatitud de Barcelona = 90 - 41 24 = 48 36ngulo CNB= long. Corua + long. Barcelona = 4 43 + 5 50 = 10 33Por el teorema del coseno:cosCB= cosCN cosBN+ senCNsenBNcos(CNB) = 0,9901927456 CB=8 1 51.42.

Anlogamente en el tringulo CNP (Corua, Las Palmas, Polo Norte):CN = Colatitud de la Corua = 90 - 43 22 = 46 38PN= colatitud de Las Palmas = 90 - 28 9 = 61 51ngulo PNC = long. Las Palmas - long. Corua = 11 44 - 4 43 = 7 1Por el teorema del coseno:cosCP = cosCN cosPN + senCN senPN cos(PNC) = 0.9601396347 CP=161353.79

Y para el tringulo PBN (Las Palmas, Barcelona, Polo Norte):PN= colatitud de Las Palmas = 90 - 28 9 = 61 51BN = colatitud de Barcelona = 90 - 41 24 = 48 36ngulo PNB = long. Las Palmas + long. Barcelona = 11 44 + 5 50 = 17 34

Por el teorema del coseno:Cos PB = cos PN cos BN + sen PN sen BN cos(PNB) = 0.9425365278 PB= 19 314.83.

Ahora calculamos los ngulos del tringulo PBN.(Para facilitar la notacin les vamos a designar por la letra de la ciudad, es decir:P= ngulo(CPB); B= ngulo (PBC); C = ngulo (BCP))Por el teorema del coseno

.06"1'824912594357.0coscos-CBos

cos === PsenPBsenCP

PBCPcP

0.32"2'53545751626179.0

coscos-CPos

cos === BsenPBsenCB

PBCBc

B

BP

C

N


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4.81"6'102209641375.0coscos-PBos

cos === CsenCBsenCP

CBCPcC

As, el exceso esfrico es E = P + B + C 180 = 1 07 26.19, al ser un valor muypequeo nos indica que el tringulo tiene poca deformacin con respecto al tringulo

plano PBC.

El rea es )26.19"'071(180

63702=S = 795976,0562 km2

Nota: del tringulo PCB hemos calculado todos sus elementos y conviene comprobarque los clculos son correctos:

Comprobacin: 3416961,0;3416961,0;3416961,0 ===senC

senPB

senB

senCP

senP

senCB


16/123



3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir almenos un tringulo esfrico con los elementos dados. En casoafirmativo, calcular los elementos restantes:

a. Tres lados: a = 60 0031, b = 137 2040, c = 116 0032b. Tres lados: a = 90, b = 48 50, c = 6738,c. Tres ngulos: A = 70 0025, B = 131 1015, C = 94 5053d. Dos lados y el ngulo comprendido entre ellos

a = 64 2403, b = 42 3010, C = 58 4052e. Dos ngulos y el lado comprendido entre ellos

c = 116 1205, A = 70 5115, B = 131 2026f. Dos lados y un ngulo no comprendido entre ellos

a = 58 4622, b = 137 0250, B = 131 5233g. Dos ngulos y un lado no comprendido entre ellos

a = 70, B = 119, A = 76Solucin:

a) Aplicando el teorema del coseno:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A sencsenb

cbaA

coscoscoscos

= =

0,2912659729A=730358.

Anlogamente:

cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B sencsena

cabB

coscoscoscos

= = -

0,6632204119B=1313245

cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C senbsena

bacC

coscoscoscos

= = -

0,1207886561C=965615Comprobacin: Usando el teorema del seno obtenemos informacin acerca de la

validez o precisin de los resultados.

905354,0;905353,0;905355,0 ===senC

senc

senB

senb

senA

sena

(5 cifras decimales coincidentes en estas razones asegura aproximadamente un error

menor que 1 segundo)

b) Se trata de un tringulo rectiltero en a= 90luego su polar es rectngulo en Ap=90 y los elementos conocidos de dicho polar son:

Ap=180- a= 90; Bp=180- b=131 10; Cp= 180- c= 112 22

Aplicamos las reglas del pentgono de Neper al tringulo polar:


17/123



cosap= cotgBp cotgCp = ( ) ( )pp CtgBtg 1

= 0,3598094492 ap= 68 54 41.42

cosBp=sen(90-bp)senCp= cosbpsenCp )(

cos

cos p

p

p Csen

B

b = = -0,7118022192

bp= 135 22 54.2

cosCp=sen(90-cp)senBp= coscpsenBp )(

coscos

p

pp Bsen

Cc = = -0,5054907662.

cp= 120 21 50.1Comprobamos con el teorema del seno la validez de estos datos

9330259,0;9330260,0;9330258,0 ===senC

senc

senB

senb

senA

sena

Y ahora calculamos los datos del tringulo dado que nos faltaban:

A = 180 - ap= 111 5 18.58 (si queremos dar solo hasta los minutos A 111 5)

B = 180 - bp= 44 37 5.8 (si queremos dar solo hasta los minutos B 44 37)

C = 180 - cp= 59 38 9.9 (si queremos dar solo hasta los minutos C 59 38)

c) Aplicando el teorema del coseno para ngulos:

cos A cos B cos Ccos A cos Bcos C senBsenCcos a cos a 0,530015814

senBsenC

+= + = =

a=575937.Anlogamente,

cos B cos Acos Ccos B cos A cos C senAsenCcos b cos b 0,733898576

senAsenC

+= + = =

b=1371251

cos C cos Acos BcosC cos A cos B senAsenBcos c cos c 0,437657969

senAsenB

+= + = =

c=1155716

Ap=90

90-cp 90-bp

apap

Bp

bp

cpAp

Cp

Bp Cp


18/123




senc

senB

senb

senA

sena

d) Aplicando el teorema del coseno:

cos c = cos a cos b + sen asen bcos C = 0,6352607851 c = 50 33 38.42Y ahora, con este dato incorporado, aplicamos de nuevo el teorema del coseno para

calcular A y B:

sencsenb

cbaA

coscoscoscos

= = -0,06951367 A = 93 59 9.8

sencsena

cabB

coscoscoscos

= = 0,6644274671 B = 48 21 41.7


senc

senB

senb

senA

sena

e) Aplicando el teorema del coseno para ngulos:

cos C cos A cos B senAsenB cos c 0, 0965239= + = C 95 32' 21''

Y ahora teorema del coseno para los ngulos de nuevo para calcular ay b:

senC

coscoscoscos

senB

CBAa

+= = 0,5242012028 a= 58 23 7.86

senC

coscoscoscos

senA

CABb

+= = -0,7361569118 b= 137 24 18.2

Comprobacin: 901456,0;901457,0;901456,0 === senCsenc

senB

senb

senA

sena

f) Por el teorema del seno:


19/123



Comprobacin: 9151244,0;9151243,01

1 ===senC

senc

senB

senb

senA

sena

Datos conocidos del 2 tringulo: A2=1105151, a, b, B

Aplicando las analogas de Neper:

22

cos

2cos

2 2

2

2 batgBA

BAc

tg +

+

= = 3,810561712 22c =75 17 13.2 c2= 150 35 27.8

22cos

2cos

2 22

BAtg

ba

baC

tg++

= = 3,436280124 22C = 73 46 27.66C2= 1473255.3

Comprobacin: 22

sencsena senb 0,9151243; 0,91512439senA senB senC

= = =

g) Por el teorema del seno:

8470342211,076

11970===

sen

sensen

senA

senasenBsenb

==

==

"34'6122"26'5357180

"26'5357

2

1

b

bb .pero al ser B>A ha de verificarse que b> a=70,

luego, en este casob = b2= 122 6 34y solo hay una solucin vlida.Aplicando las analogas de Neper:

22

cos

2cos

2

batg

BA

BAc

tg +

+

= = 1,322596405 2

c= 52 54 27 c= 105 48 53.9

22

cos

2cos

2 BAtg

ba

baC

tg++

= = 1,121304997 2

C= 48 16 22.24 C= 96 32 44.49

Comprobacin:sena senb senc

0,968460; 0,968459senA senB senC

= = =


20/123



4.- Hallar los lados a y b de un tringulo esfricodel que se conoce:A = 90, B = 47 5454, a - b = 13 4050

Solucin:

Dividiendo miembro a miembro en las analogas de Neper:

=

+

+

=

+

+

=

+

=

+

''33'0221tg

''27'5768tg

''25'506tg2

batg

2

BAtg

2

BAtg

2

batg

2

batg

2

BAsen

2

BAsen

2

ctg

2

batg

2

BAcos

2

BAcos

2

ctg

2

batg

'.3453'2'78ba'.6726'1'392

ba

810479989.02

ba

tg =+=

+

=

+

Por hiptesis, '50'40'13ba = . Resolviendo el sistema lineal

=

=+

'50'40'13ba

'.3453'2'78ba,

se obtiene:

=

=

'2'11'32b

'52'51'45a.


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5.- Resolver, si es posible, los siguientes tringulos esfricosrectngulos, siendo A=90:a) a=60 07 13, C=59 00 12.b) b=167 03 38, B=157 57 33.

c) a=112 42 36, b=76 44 15.Solucin:

a) cos(90-c) = senasenC = 0,743252702177866

a C A

13

c 48

15

00'33

9'27''

'' <


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6.- Dado el tringulo esfrico de lados a=80, b=40 y c=100,hallar la altura esfrica sobre el lado a y decir si es interior oexterior al tringulo.

Solucin:

Por tanto, hemos de calcular primero los ngulos B y C:

cosB=sencsena

cab

coscoscos = 0.820952891B = 34 49 11 ' ''

cosC=senbsena

bac

coscoscos = -0.484454398C =118 5 3 8 ' 6 ' '

Luego al ser B = 34 49 11< 90 y C = 118 58 36> 90, deducimos que la altura

sobre el lado a es exterior al tringulo ABC y su valor es un ngulo agudo.

Considerando el tringulo ABH rectngulo en H

senh= senBsenc= 0.562321217h =34 12' 59''

145 47' 1'' 90>

Si la altura sobre el lado a es interior (h), altringulo ABC, entonces h, B y C han de sertodos agudos o todos obtusos, pues son ngulosque se oponen al cateto h, en los tringulosrectngulo en que h),divide al tringulo ABC.Si la altura es exterior (h), entonces han de ser h,B y (180- C) agudos u obtusos simultneamentees decir, B y C han de tener distinto carcter.

a

b

c

A

B

C

h

h

H


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7.- Calcular los arcos de circunferencia mximacorrespondientes a:a) Alturasobre el lado c.b) Medianasobre el lado c.c) Bisectrizdel ngulo C.

Solucin:a) Previamente obtenemos a:cosa= cosbcosc+ senbsenccosA= -

0.06998607184 a = 94 00 47.47.Se verifica que al ser b


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8.- Demostrar que en un tringulo esfricorectngulo se verifica:a) Un cateto y su ngulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos.b) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces lahipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso,

entonces la hipotenusa es obtusa.Solucin:

a) Por el pentgono de Neper:cosB=sen(90-b)senC=cosbsenC

b 90 y B90 y B>90cosb

b y B ambos agudos o ambos obtusos.

b) Ahora es:cosa=sen(90-b)sen(90-c)=cosbcosc

b 90 cosb 0 cosa cos bcos c 0 a 90c 90 cos c 0

< > = >

b 90 cos b 0cosa cos bcos c 0 a 90

c 90 cosc 0

> < = > < b 90 cosb 0

cosa cos bcos c 0 a 90c 90 cosc 0

< > = < >

> <

Recprocamente:a 90 cos a cos bcos c 0 signo(cos b) signo(cos c)< = > = b y c son ambos

agudos o ambos obtusos.

a 90 cos a cos bcos c 0 signo(cos b) signo(cos c)> = < b y c son de distintocuadrante.(Esta demostracin se puede ver tambin en los apuntes de teora, publicados en la

Escuela))


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9.- Demostrar que en un tringuloesfricoequiltero se verifica:a) cos A = cos a /(1+cos a)b) sec A - sec a = 1c) 2 cos (a/2) sen (A/2) =1.

Solucin:

Equiltero: los tres lados iguales a=b=cY por el teorema del coseno cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A=cos2a + sen2a cos AY despejando

2

2

cosa cos acosA

sen a

=

a)2

2 2

cos a cos a cosa(1 cos a) cos a(1 cosa) cos acosA

(1 cosa)(1 cosa) 1 cosasen a 1 cos a

= = = =

+ +

b) Por el apartado

anterior:1 1 1 cosa 1 1 cos a 1

sec A seca 1cos A cos a cos a cos a cos a

+ + = = = =

c) Sabemos que:1 cos

cos2 2

+ =

y1 cos

sen2 2

=

y as en nuestro caso:

=+=+

= Acos1acos12

Acos1

2

acos12

2

Asen

2

acos2

cos a 11 cos a 1 1 cos a 11 cos a 1 cos a

= + = + =+ +

, por el apartado a).


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10.- Un avin vuela de Madrid a Tokio a una altitud de 10 000 msiguiendo un crculo mximo de la esfera terrestre. Sabiendo que lascoordenadas de Madrid y Tokio son:Madrid: latitud: Norte 40 24; longitud: Oeste 3 41

Tokio latitud: Norte 35 40; longitud: Este 139 45y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide:a) Qu distanciarecorre el avin entre Madrid y Tokio?b) A qu distancia del Polo Norte pasa aproximadamente?c) Se denomina Crculo Polar rtico a una circunferencia menorsobre latierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone entodo el da. El Crculo Polar rtico se encuentra a una latitudNorte60 30. Sobrevuela el mencionado avin el Crculo Polar rtico?Solucin:

Planteamiento:a) Con las coordenadas geogrficas de Madrid y

Tokio podemos calcular la distancia entre ellas.

b) La distancia h al Polo Norte se calcula en el

tringulo rectngulo MPN (donde P es el pie del

arco perpendicular a MT por N.

c) El valor obtenido para d nos indicar si la

trayectoria del avin corta al Crculo Polar

rtico o no.

a) Calculamos MT en el tringulo MTN donde:MN= colatitud de Madrid = 90- 40 26= 49 34

TN= colatitud de Tokio =90-35 40= 54 20

ngulo MNT= long. Madrid + long. Tokio = 3 42 + 13945=143 27

Aplicando el teorema del coseno:

cos MT = cosMN cosTN + senMN senTN cos(MNT)= - 0,1186149437 distancia de Madrid a Tokio en unidades angulares = MT = 96 48 43.83.

Ahora bien, para calcular en unidades lineales la distancia recorrida por el avin

hemos de tener en cuenta que vuela a 10 km por encima de la superficie terrestre,luego:

Distancia recorrida por el avin = d= 43.83"48'96180

)106370( += 10780,23 km

b)Para calcular husamos el tringulo MPN . En l conocemos P = 90 y MN =colatitud de Madrid 49 34, necesitamos un dato ms, por ello calculamos el ngulo

M= NMT en el tringulo utilizado en el apartado anterior:

Aplicando el teorema del coseno:

senMTsen

coscoscos

cos MN

MTMNNT

M

= = 0,8732584817 M = 29 0937,68 (rumbo

MT

h

N

P


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del avin desde Madrid).

El pentgono de Neper correspondiente al tringulo MPN es:

sen(90-h) = senM. senMN = 0,3708812703

=11.92"46'21-180

11.92"46'21h pero hy su ngulo opuesto

M han de tener el mismo carcter luego hha de ser

agudo. Por tanto:

distancia al Polo N es h =21 46 11.92

Vamos a aproximar esta distancia en unidades de

longitud (km) por la distancia a la vertical del Polo a

10 km de altitud:

Distancia desde el avin = h= "11.92"46'21180

)106370( +

= 2424,14 kmc) Al ser h=214611.92 < (90-6030) =2930 (colatitud del Crculo Polar rtico:

S SE SOBREVUELA EL CRCULO POLAR

P=90

MN

M

90-h90-MH

N


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11.- Un avin se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de990 km/h. Hallar las coordenadas geogrficas del punto donde seencontrar el avin al cabo de 3 horas de vuelo.

Coordenadas geogrficas de Madrid: 40 24 latitud N, 3 41 longitudO.Coordenadas geogrficas de Nueva York: 40 45 latitud N, 76longitud O.Utilizar como radio de la esfera sobre la que se mueve el avin: 6371km.

Solucin:

Sea A = Madrid, B = Polo Norte, C = Nueva Cork, C = Punto donde se encuentra elavin al cabo de tres horas de vuelo. En el tringulo esfrico ABC:

c = 90 - 40 24 = 49 36a = 90 - 40 45 = 49 15B = 76 3 41 = 72 19.Teorema del coseno en ABC para hallar b:cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B = 0.5936860994

b = 53 15 04.51Teorema del coseno de nuevo, para calcular A:cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A

cos a-cosb cosccos A A 64 15' 42 ''

senb senc = =

Del tringulo ABC, se conocen:A 64 15' 42 ''= , c = 49 36 y puede calcularse fcilmente b pues es la distanciarecorrida por el avin en tres horas de vuelo: km29703hkm/h990'b == .

En unidades angulares, resulta ser: '.4635'42'26'b'bkm2970

360km63712=

.

Se aplica el teorema del coseno al tringulo ABC, para obtener el lado a, quecorresponde a la colatitud de C:cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A a = 43 18 50

Latitud del punto C= 90 - 43 18 50 = 46 31 10 N.

Se aplica el teorema del seno al tringulo ABC, para obtener el ngulo B:sen b' sen a' sen b' sen A

sen B' B' 36 10' 17''sen B' sen A sen a'

= = =

Ntese que B ha de ser agudo por ser B< B.Longitud el punto C= 36 10 17 + 3 41 = 39 51 17 O

B

C A

a c

Cb

ab

B


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12.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 4835' Nortecon velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de unpunto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud

3652 Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen su paraleloen direccin Oeste. Encontrar la distanciaen millas que los separa alcabo de 56 horas de marcha.NOTA: El arco de un minuto, de longitud 1852 m, se llama milla

marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo.Solucin:

Se conocen en millas las longitudes de los arcos de paralelos AA y BB; lasmillas divididas por los cosenos de las latitudes da en minutos los ngulos ANA yBNB, cuya diferencia es el ngulo ANB:

R= radio de la Tierrar

Rcos

=

siendo la latitud del paralelo.

Luego la longitud de la circunferencia mxima ser:

=

2 r2 R

cosy la distancia recorrida por

cada barco expresada en millas o minutos:

20 56A ' NA 1693.044819

cos4835' A ' NB' A 'NA B' NB 433.098105018 56

B' NB 1259.946714cos3652'

= = = =

= =

minutos que son

7.218301749 =71305.En el tringulo ANB se conocen dos lados:

NA=90-4835=4125NB=90-3652=5308y el ngulo comprendido:

cosA'B ' cosNA'cos NB' senNA'senNB'cosA' NB'= + = 0.9749692997A 'B ' 12.84648185=1250'47''= 770,79 millas o minutos

ecuador

paraleloR

R

r

Paralelo

N=Polo Norte

A

B

GreenwichA

B


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13.- Un barco que parte del punto A (latitud 3650' N. y longitud 7620' O.) yque navega a lo largo de una circunferencia mxima corta al Ecuador en un puntocuya longitud es 50 00' O. Encontrar el rumbo inicial y la distanciarecorrida.Solucin:

* Planteamiento

En el tringulo esfrico CAB:Conocemos CA: (90 Latitud de A).Conocemos CB: (90 Latitud de B).Conocemos el ngulo C.

* datos del tringuloC=7620-5000=2620

b=90-3650=5310a=90

Queremos calcular AB es decir c.Para ello aplicamos el teorema del coseno paralados.cos c= cos b cos a + sen b sen a cos Ccos c= 0 + 0,8003827 . 1. 0,8962285 = 0,1773257 de donde c = 440957la distancia recorrida viene dada porL = c(radianes) * R siendo R el radio de la Tierra R=6371 kmObtenindose L = 4911 km

Ahora se calcula el rumbo:

Queremos calcular CAB.Para ello aplicamos el teorema del seno.senA=sena.senC/senc=0.6901737602, luego el rumbo ser 1402721O bien,cos a = cosb cosc + senb senc cos A0 = 0,5994893 . 0,7173257 + 0,8003827. 0,696738cosAcos A = - 0,7711352A = 140 2721(Rumbo medido desde el Norte )

Ecuador

C=Polo Norte

A

B

Greenwich

b

a

Latitud 3650'A

Longitud 7620'

=

=

Latitud 0B

Longitud 50

=

=


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14.- Resolver el tringulo esfricotal que:A = 68 39 07, B = 74 07 12, a = 51 42 08

Solucin:

Por el teorema del seno:sen a sen b

sen b 0.8104585953sen A sen B

= = 1

2

b 54 08' 26.7''

b 125 51' 33.3''

=

=

baBA


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15.- Un navo parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arco decircunferencia mxima. Las coordenadas geodsicasde ambos puntos son:

Calcular la distanciarecorrida por el navo y el rumbo del mismo (ngulo CAB,siendo C el polo ms prximo A).Nota: Radio de la tierra R6371 km.Solucin:

En el tringulo esfrico CAB:Conocemos CA: (90 Latitud de A).

b=90-554513=341447Conocemos CB: (90 Latitud de B).

a=90-485002=410958Conocemos el ngulo C: C=554810-203040=351730

Queremos calcular AB es decir c. Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados.cos c = cos b cos a + sen b sen a cos Ccos c = 0,924639118 de donde c = 222310la distancia recorrida viene dada porD = c(radianes) * R siendo R el radio de la Tierra R=6371 km. Obtenindose 2489 kmAhora se calcula el rumbo: queremos calcular CAB. Para ello aplicamos el teorema del seno.senA=sena.senC/senc= 0,853689, luego el rumbo ser 865502 o bien, 93 04 58

Por el teorema del coseno:

cos a = cosb cosc + senb senc cos Acos a cos b cos c

cosAsenbsenc

= = -0,053774288.

A = 93 04 58

ecuador

C=Polo Norte

AB

Greenwich

ba


B Latitud 4850'02'' N

=

=


A Latitud 5545'13'' N

=

=


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16.- Resolver el tringulo esfricode que se conocen los datos:a=760000; A=700000; B=1190000

Solucin:

Por el teorema del seno:sen a sen b sen asen b senB =0,9031035

sen A sen B sen A= =

b 64 34' 08''

b 115 25' 52'' >a B A

= >

Aplicando las analogas de Neper:A B

cosc a b cos(94 30 ')2tg tg tg(95 42 '56 '') 0,86151311

A B2 2 cos( 24 30 ')cos2

++

= = =

, c 81 29' 26'' y luego

teorema del coseno para obtener C bien:

a bcosC cos( 19 42 '55'')2tg 0,743969

a b A B2 cos(95 42 '56 '')tg(94 30 ')cos tg2 2

= = = + +

C= 73 17 46


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17.- Resolver el siguiente tringulo esfricorectngulo:A = 90, b = 46 46 04, B = 57 28 03

Solucin:

A = 90( )

senbcos 90 b senb sena senB sena=

senB = = = 0.8641859432 1

2

59 47 ' 2 4 '' aa

12012'36'' a

= =

=;

A=90 > B a > b. Luego, ambas soluciones son vlidas.

Sen c = cotg B cotg (90 b) =tgb

tgB= 0.6784953626 1

2

42 43 ' 34 '' cc

13716' 26'' c

= =

=, ya que al ser

1a 90< y b 90< , debe ser 1c 90< .

Cos b = sen C sen (90 -b) = sen C cos bcosB

senC

cosb

= = 0.7851265898

1

2

51 43' 57' ' CC

12816' 03'' C

= =

=, pues c1y C1han de ser ambos agudos o ambos obtusos.

Hay, entonces, dos soluciones:


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18.- Resolver el tringulo esfricorectngulo ( = 90) sabiendo que:

B = 157 57 33 b = 167 3 38Solucin:

Por el teorema del seno:sen a sen b sen Asen B

senasen A sen B sen b

= =a 36 38 '02 '' b A B

a 143 41'58'' b A B

= <


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b =

c

19.- Sobre una esfera de radio R = 6370 km se sitan 3 puntos, A, B y C,vrtices de un tringulo esfrico. Los ngulos en A y B valen respectivamente A =70 y B = 119, y el lado opuesto al ngulo A tiene como valor a = 76.

Se pide calcular la distancia esfrica(en km) entre el punto A y el lado

opuesto, a.Solucin:

Lo que se pide en el problema es calcular la altura dsobre el lado a

Para calcular d se resuelve el tringulo rectngulo ABH, del que se conocen H=90 y B=119. Senecesita, por tanto, otro dato y ste puede ser el ngulo C.Para calcular el lado c, se resuelve el tringulo ABCSe tiene un tringulo en el que se conocen dos ngulos y un lado no comprendido entre ellos.

Aplicando el teorema del seno.

0,903103573sen a sen B

sen bsen a

= =

b=64349 solucin no vlida pues B > A b > ( a = 76 )

b=1152551

cos2 0,861486188

2 2cos2

A Bc a b

tg tgA B

++

= =

c = 81 29 20

por el teorema del coseno se obtiene C = 73 17' 40''(NOTA: se poda haber calculado directamente C sin calcular c/2, ya que en este caso no se utilizar c

para calcular la altura esfrica)Como Ces agudo y Bobtuso, el tringulo corresponde a la figura dibujada y la altura es exterior.Ahora hay que resolver el tringulo rectngulo AHB conocidos H,By c

Por el teorema del seno.

0,86498847190

= =sen b sen C

sen dsen

d = 595253d = 12077 solucin no vlida puesto que C < H d > (b = 115 25 51)Pasando el ngulo a radianesd = 1,045127397 rad distancia= d. R = 6657,461 km

BC a

b d

H


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20.- Dos tringulos esfricos tienen en comn los elementos siguientes:a=5142, A=6839, B=7407. Calcular el lado b en ambos tringulos y analizarsi ambas soluciones son vlidas.Solucin:

Calcular el lado b en ambos tringulos.

Se aplica el T. del seno:=

Asen

Bsenasenbsen

Bsen

bsen

Asen

asen

sen b = 0,81043091

2

b 54 08'

b 125 52'

=

=

son las soluciones buscadas, puesto que tanto una como

otra verifican: b > a y a + b < 180


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21. Resolver el siguiente tringulo esfrico, sabiendo: a = 79 48, b = 53 12y A = 110 2Solucin:

Se aplica el T. del seno: sen a sen b sen A sen b sen Bsen A sen B sen a= =

sen B = 0,764362B 49 51' 01''


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22.- a) Resolver el tringulo esfricorectilteroe isscelestal queb=c=600000b) Determinar los ngulos de un tringulo esfrico equilterocuya rea sea iguala la mitad del rea encerrada por una circunferencia mxima

Solucin:

a) Rectiltero y ''00'0060cb == , luego, 90a= .

=

=+=3

1

csenbsen

ccosbcosacosAcosAcoscsenbsenccosbcosacos

A 109 28 ' 16 ''

=

=+=3

1

csenasen

ccosacosbcosBcosBcoscsenasenccosacosbcos

B 54 44 ' 08 ''= C

b)rea de un crculo mximo: 2r

rea del tringulo esfrico: ( )2 2r r

S A B C 1802180

= + + =

A B C 180 90 A B C 270+ + = + + =

Por tanto, 3A 270= A B C 90= =


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23.- Dadas las coordenadas geogrficas de las siguientes ciudades:Santiago de Compostela: 4252 N ; 833 OMadrid : 4024 N ; 341 OGirona: 4159 N ; 249 E

Y dado el radio de la Tierra de 6371 kmCalcular:a) Distancias esfricasentre estas ciudadesb) Superficie del tringulo esfricoque tiene por vrtices dichas ciudades

Solucin:a)distancia Santiago (S) Madrid (M)

tringulo P (polo norte), M, Sdatos lado m = 90 - 4252 = 4708

lado s = 90 - 4024 = 4936ngulo P = 833 - 341 = 452

solucin: aplicando el teorema del cosenocos p = cos m * cos s + sen m * sen s * cos P

p=42337la distancia es d (S,M)= 0,076682979941 (rad)*6371= 48,547 km

distancia Madrid (M) Girona (G)tringulo P, G, Mdatos lado m = 90 - 4159=4801

lado g = 90 - 4024 = 4936ngulo P = 341+249= 630

solucin: aplicando el teorema del cosenocos p = cos g * cos m + sen g * sen m * cos P

p=50823la distancia es d (M,G)= 0,089705075(rad)*6371= 571,511 km

distancia Santiago (S) Girona (G)tringulo P, S, Gdatos lado s = 90 - 4159=4801

lado g = 90 - 4252 = 4708ngulo P = 833+249= 1122

solucin: aplicando el teorema del cosenocos p = cos g * cos s + sen g * sen s * cos P

p=82549

la distancia es d (M,G)= 0,147136104 (rad)*6371= 937,404 kmb) Se necesita calcular los ngulos del tringulo SGM del que se conocen los tres lados:m = 82549s = 50823g = 42337Resolviendo el tringuloM = 1241153S = 302130G = 253625Ahora se aplica la frmula de la superficie del tringulo esfricoS+G+M = 180 09 48

S = (R2

/180) (S+G+M-180)S = (R2/180) (0948) = 115709,07 km2

P

M G

g m

pP

S G

g s

p

M

SG

g s

m


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24.- Un barco ha de salir del puerto A (latitud 20 31 N, longitud 70 11 E) y

llegar al puerto B (latitud 42 22 N, longitud 10 45 W). Calcular:

a) La distancia AB (llamada distancia ortodrmica), considerando el radio de la

tierra, R=6371 km.

b) El rumboinicial.

c) El rumbofinal.

Solucin:

Punto A.Longitud = 70 11 E.

Latitud = 20 31 N.Punto B.

Longitud = 10 45 W.Latitud = 42 22 N.a) Clculos del tringulo PBAa= 90 - Latitud de B = (90 - 42 22 N) = 47 38.b= 90 - Latitud de A = (90 - 20 31N) = 69 29.P= Longitud A + Longitud B = 70 11 + 10 45 = 80 56.Aplicando el t. del coseno para lados:

cos p = cos a cos b + sen a sen b cos P. Luego:

cos p= cos(47 38 ) cos(6929) + sen(47 38) sen(69 29)cos(80 56)== 0.345223879

p = arc cos 0.345223879 = 69,804537

Considerando la Tierra esfrica con radio R = 6.371 km, el valor de un ciclo es 2R = 40.030 km.Un grado de ciclo valdr: 40.030 / 360 = 111,2 km por grado

La distancia AB en km es 69,80 . 111,2 km = 7762,26 km.

b)Rumbo inicial: 360- A

Rumbo inicial: 360- A =360- 51126= 308 58 34

c) Rumbo final: 180 + B

Rumbo final: 180 + '56'12'80 = 260 12 56

'26'1'51A0,62899260,87898975

0,55287811

psenbsen

pcosbcos-acosAcos

'56'12'80B0.169942250.69342301

0.11784187

psenasen

pcosacos-cosbBcos


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25.- Resolver el tringulo esfrico rectngulo( A = 90 ), sabiendo que:a = 143 21 58y b = 167 03 38.

Solucin:

Por el teorema del seno o bien utilizando el pentgono de Neper:sen bsen A sen16703'38''sen90

sen B 0,375266076sen a sen143 21'58''

= = = 2202'27''

B=

No valido

157 57'33'' A b a

> >

=

No valido

Latitud 2=90-a = 90 - 222235=673725

cosb=cotgP cotgA1

tgP 2.633364639 P 6912 '22 ''cosbtgA

= = =

Longitud P=2-1=6912222=P+1=691222+74=1431222

Coordenadas:

ecuador

P=Polo Norte

B

p

GreenwichA

1

1

Longitud 74 O=A

Latitud 4045' N=

=

=

21

2

1

90

2

2

Longitud 14312'22'' O=B

Latitud 6737'25'' N=

=

=


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28.- Resolver el tringulo esfrico rectilteroa=90, A=36 25 08, c=10200 00, situado sobre una esfera de 5 km de radio. Calcular:a) La superficieque ocupan l y su tringulo polar.b) Hallar la medianaesfrica del tringulo dado que parte del vrtice B.

c) Hallar la distancia esfricadesde el vrtice A al vrtice C, as como desde elvrtice B al lado b.Solucin:Resolveremos previamente el tringulo polar por ser rectngulo:Ap=180-a=90; ap=180-A=1433452; Cp=180-c=78

ap

Bp Cp

90-cp 90-bpcosap=cotgBpcotgCp

p p pp p

1tgB 0,2641439724 B 16512 '13'' b 180 B 14 47 '47 ''

cosa tgC = = = = =

cos(90-cp)=senapsenCp p p ps enc sena senC 0.5807108495 = =

p p p

p p

35 30 '02 '' a C Ac C 180 c 144 29 '58

14429'58''No valido

<


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b) Mediana esfrica sobre b:Puesto que, en el tringulo de la izquierda, conocemosdos lados y el ngulo comprendido, utilizamos el teoremadel coseno:cosm=cosc cos(b/2)+senc sen(b/2) cosA=

= - 0.1048273963 luegom=960102

c) La distancia del vrtice A al vrtice C es la longitud del lado b:

b = 14 47 47 ( )br 5

L b 14 47 '47 '' 1,291 km180 180

= =

La distancia del vrtice B al lado b es la longitud de la altura sobre b:Considerando el tringulo ACH rectngulo en H

senh= senasenC= 0.5807069025h =35 30' 01'' c A 90

144 29' 59''

<

a b 180 A B 180 .

Solucin:

De la analoga de Neper:

a bcos

A B 2tga b C2 cos tg

2 2

+

=+

podemos observar que:a b

cos 02

> ya que

a b90 90

2

< < y adems

Ctg 0

2> ya que

C0 90

2< < . Por tanto,

A B a bsigno tg signo cos

2 2

+ + =

Consideramos las tres posibilidades:

Si a+b > < + <

Si

a+b=180a b a b A B A B

90 cos 0 tg no existe 90 A B 1802 2 2 2

+ + + + = = = + =

Sia+b>180

a b a b A B A B90 cos 0 tg 0 90 A B 180

2 2 2 2

+ + + + > < < > + >


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35.- Demostrar que si dos ngulos de un tringulo esfricoson rectos, los ladosopuestos a estos ngulos son cuadrantes y el tercer ngulo est medido por ellado opuesto. Si los tres ngulos de un tringulo esfrico son rectos,

demustrese que la superficie esfrica del tringuloes un octante de la esfera.Solucin:

2 3 3 12 1 3 3

1 3 3 2

A 90 r r b 90r

B 90 r r a 90

= = =

= =

y adems 1 2C r , r c = =

Como el tercer ngulo es tambin recto el tercer lado (c=90) tambin lo es, resultando untringulo trirrectngulo y trirectiltero que es la octava parte de la esfera.

A=90

B=90

C

b

c

a

r1

r2

r3

1

2

3


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36.- En un tringulo esfricorectngulo la suma de los catetos vale 100, lahipotenusa mide 80; calcular el valor del cateto ms pequeo.Solucin:

Datos: A=90, a=80, b+c=100

Del pentgono de Neper: cosa=sen(90-b)sen(90-c)= cosbcosc=cos80del coseno de la suma:cos(b+c)=cosbcosc-senbsenc=cos100=cos80-senbsenc => senbsenc=cos80-cos100

Y del coseno de la diferencia:cos(b-c)=cosbcosc+senbsenc=cos80+cos80-cos100 = 3cos80 => b-c=583616

Resolviendo el sistema:

b c 100

b c 5836 '16 ''

+ =

=

b 79 18'8''

c 20 41' 52 ''

=

=


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37.- Si es el exceso esfrico del tringulo esfricoen el que a=b y C=90,calcular tgen funcin de aSolucin:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

tg tg A B C 180 tg A B 90 180 tg A B 90 tg 90 A B1 cot g A cot g B

cot g A B (*)cot g A cot g B

= + + = + + = + = + =

= + = =+

Si a=b, entonces A=B. Del pentgono de Neper obtenemos la frmula siguiente:cos A= senBsen(90-a)=senB cosa, de dnde, cosa = cotgA=cotgB

c

B A

90-a 90-b

Ahora sustituyendo en (*):

( ) ( )( ) ( )

21 cot g A cot g B 1 cos a cos a 1 cos a(*)

cot g A cot g B cos a cos a 2cos a

= = = =

+ +

senatg

2cosa=

C=90


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38.- Calcular la distanciamnima en km que hubiera tenido que recorrer las

naves de Cristbal colon en su primer viaje y descubrimiento de Amrica.

Datos: Considrese como punto de salida la ciudad de Santa Cruz de Tenerife y

llegada la isla de S. Salvador en las Bahamas.

Solucin:Datos:

Coordenadas de Santa Cruz de Tenerife: Latitud. 28 28 N Longitud. 16 15 W

Coordenadas de S. Salvador en las Bahamas: Latitud. 24 00 N Longitud 74 35 W

Resolviendo el tringulo esfrico:

tp = 90 - 28 28 = 61 32

sp = 90 - 24 00 = 66

P = 74 35 16 15 = 58 20

Distancia entre Tenerife y S. Salvador:

cos st = cos sp cos tp + sen sp sen tp cos P =

= cos 66 cos 61 32 + sen 66 sen 61 32 cos 58 20

st = 52 0 48.83

distancia = st(radianes).R == (52 0 48.83) (/180) (6371) =5779,2848 km.


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39.- Calcular el valor del cosenodel exceso esfrico del tringulo cuyos lados

miden a=b=3

y c=2

.

Solucin:

Primeramente resolvemos el tringulo esfrico con el pentgono de Neper para tringulosrectilteros, o bien, con el teorema del coseno. Adems a=b A=B.

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A.

Y despejando

1 1cos cos cos 0cos a cos bcosc 13 3 2 2 2cos A cos B

senbsenc 3 3sen sen 13 2 2

= = = = =

cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C. 22

22

2 22

1cos cos 0

cos c cos a 1 2 22 3 2cosC senC 1 cos C

3 3sen a 3sen3 2

= = = = = =

ahora( ) ( ) ( )

2 2

cos cos A B C 180 cos 2A C 180 cos 2A C cos 2A cos C sen2AsenC

1 2 1 2 1 2 2(cos A sen A)cos C 2senA cos AsenC 2

3 3 3 3 3 3

= + + = + = + = + =

= + = + =

=

7

9


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40.- Calcular el rea del tringulo esfricoy el volumen de la pirmide esfricaque determina en una esfera de 6cm de radio un triedro equiltero cuyosdiedros miden 100 y cuyo vrtice es el centro de dicha esfera.Solucin:

Si los ngulos diedros miden 100, los vrtices del tringulo esfrico sern A=B=C=100 y elexceso esfrico =A+B+C-180=300-180=120

rea del tringulo esfrico: ( )2 2r 6

S A B C 180 120180 2

= + + = =

275,3982 cm

Volumen de la pirmide esfrica:1 1

V S h 75,3982 63 3

= = = 3150,7964 cm


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41.- De un tringulo esfricotrazado en una superficie esfrica cuyo radio es10 dm se conocen: A = 71 20; B = 119 25; C = 60 45. Se pide:

a) Resolver el tringulo.b) Hallar su rea.

c) Hallar el volumende la pirmide esfrica cuyo vrtice es el centro dela esfera y su base el tringulo dado.Solucin:

a)Para resolver el tringulo esfrico utilizamos el teorema del coseno para nguloscos A cos Bcos C

cos A cos Bcos C senBsenCcos a cosa 0.035771senBsenC

+= + = = a=8757.

Anlogamente,cos B cos Acos C

cos B cos A cos C senAsenCcos b cos b 0,404994senAsenC

+= + = = b=113

53cos C cos A cos B

cosC cos A cos B senAsenBcos C cos c 0.401681senAsenB

+= + = = c=6619

b)rea del tringulo esfrico:

( )2 2r 10

S A B C 180 71 30 '180 2

= + + = =

2124,79 dm

c)

Volumen de la pirmide esfrica:1 1

V S h 124,79 103 3

= = = 3415,96 dm


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42.- Hallar el readelpentgono esfricocuyos ngulos miden 87 16, 10834, 126 23, 150 y 156 48 en una esfera de 16 dm de radio.Solucin:

rea del pentgono esfrico:

( )

( ) ( )

2

n 5 1 2 3 4 5

2 2

rS A A A A A (n 2)180

180

16 168716'+108 34'+126 23'+150+156 48'-3 180 62901' 540

2 2

=

= + + + + =

= = =

= 2397,7302 dm


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43.- En todo tringulo esfrico issceles (b=c), se verifican las relacionessiguientes:

a) a Asen senb sen2 2

b) A acos senB cos2 2

Solucin:

a) De las razones trigonomtricas del ngulo mitad:

( ) ( ) ( ) ( )2

2b c

asensen p b sen p c sen p b sen p bA 2sen

2 senbsenc senb senbsen b=

= = = = a A

sen senb sen2 2

=

b) Aplicando la frmula de Bessel del coseno para ngulos:

cosA=-cosBcosC+senBsenCcosa=-cos 2B+sen2Bcosa y como b c B C= = 2 2 2 2 2A 1 cos A 1-cos B+sen Bcosa sen B+sen Bcosa sen B(1+cosa)

cos2 2 2 2 2

(1+cosa) asenB senB cos

2 2

+= = = = =

= =


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44.- De un tringulo esfricose conocen:a = 74 05 00, b = 63 17 00, A = 113 42 00a) Analizar cuntos tringulos esfricos se adaptan a estos datos.b) Resolver el los tringulos, segn proceda.

Solucin:

a) Por el teorema del seno:

==sena

senbsenAsenB 0.8505144307

='56'43'121

'04'16'58B

a > b A > B B 58 16' 04'' Solucin nica.

b) Aplicando las analogas de Neper:

2027464054.02batg

2

BAcos

2

BAcos

2ctg =+

+

= c 11 27' 40''2=

c 22 55' 20''

Mediante el teorema del coseno:cos c-cos a cos b

cos C 0.9286917248sen a sen b

= = C 21 46' 06''


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45.- En un tringulo esfrico se verifica 2p=a+b+c=180. Demostrar quecosA+cosB+cosC=1.Solucin:Dato: a+b+c=180 a=180-(b+c)

cosa=cos(180-(b+c))=-cos(b+c)=-cosbcosc+senbsenc

utilizamos el teorema del cosenocosa cosbcosc senbsenccosA

cosa cos bcosc -cosbcosc+senbsenc-cosbcosc senbsenc-2cosbcosccos A 1 2cot gbcot gc

senbsenc senbsenc senbsenc

= +

= = = =

Anlogamente,cos B 1 2 cot ga cot gc= cos C 1 2 cot ga cot gb=

( )

cos A cos B cosC 1 2cot gb cot gc 1 2cot ga cot gc 1 2cot ga cot gb

3 2 cot gbcot gc cot ga cot gc cot ga cot gb 1 cot gb cot gc cot ga cot gc cot ga cot gb 1

+ + = + + =

= + + = + + =

Demostramos la ltima expresin:

( )

( )

( )

( )

1 1 1 1 1 1 tga tgb tgccotgbcotgc cotgacotgc cotgacotgb

tgb tgc tga tgc tga tgb tgatgbtgc

tg 180 (b c) tgb tgc tg b c tgb tgc(*)

tg 180 (b c) tgbtgc tg b c tgbtgc

+ ++ + = + + = =

+ + + + + += =

+ +

Sabemos que:

( )tgb tgc

tg b c1 tgbtgc

++ =

ahora

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

tgb tgctgb tgc

tg b c tgb tgc tgb tgc 1 tgbtgc tgb tgc1 tgbtgc(*)

tgb tgctg b c tgbtgc tgb tgc tgbtgctgbtgc1 tgbtgc

tgbtgc tgb tgc1

tgb tgc tgbtgc

+ + +

+ + + + + += = = =

+ + +

+= =

+


66/123



46.- Calcular la distanciaen km, entre Madrid y Mlaga, siendo lascoordenadas de Madrid longitud 3 41 Oeste y latitud 402430 Norte, y lasde Mlaga 04955 Oeste y 364313 Norte. (R=6371 km)Solucin:

Datos: A=341-04955=2515b= 90-402430=493530c=90-364313=531647

solucin del tringulo: A(polo); C(Madrid); B(Mlaga)

aplicando el teorema del coseno:cos a = cosb cosc + senb senc cos A obtenemos a=41832

por lo que la distancia recorrida es d = a(radianes). R = a (/180) (6371) = 479 km

b

a

c

B

A

C


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47.- Resolver el tringulo esfricoconociendo el lado a=120100, la alturah=42150 y la mediana m=62100 que parten del vrtice A.Solucin:

Consideramos el tringulo rectngulo HAM:m

H=90m=6210 M Ah=4215

90-a1 90-h

cosm=cosa1cosh 1cosm

cos a 0,630761cosh

= = 1a 50 53'37''

En el tringulo rectngulo HAC:b

H=90

1

aHC a 11015'37 ''

2= + = C A

h=4215

90-HC 90-hcos b cos HC cosh 0, 2649992= = b 10521'59 ''

senhsenC 0,697295

senb= =

4412'37'' C 90 h b

13547'13''

= < >

c

a

b

C

A

B

m

H M

h

h

a1

m

M

A

H

H=90

H=90


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En el tringulo rectngulo HAB:

H=90

aBH HC 911'23''2

= =

h=4215

c

B A

90-BH 90-h

cos c cos BHcosh 0,730717= = c 43 03 '12''

senhsenB 0,984896

senc= =

8 01'45'' B 90 h c

17159'15''

= <

Comparando ahora B con A:

a b A B< < tampoco nos sirve para decidir.Ha de ser A+B+C>180, no nos dice nada.

Comprobamos con el teorema del coseno para ngulos que nos dar el valor nico:

cosA=-CosBcosC+senBsenCcosa-0,359449 A 11104 '00 ''=


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49.- En un tringulo esfrico rectngulo (A=90) la suma de los catetos vale100 y la hipotenusa 80, calcular los catetos.Solucin:

Como el dato es b+c=100 usamos las analogas de Gauss-Delambre:b c B C B Ccos cos cos

cos50 B C B C2 2 2 cos 0,593333 53 36 '22 ''a A cos 40 s en45 2 2cos s en2 2

+ + ++ +

= = = =

b c B C B Cs en cos cos

s en50 B C B C2 2 2 cos 0,8426961 32 34 '27 ''a A s en40 s en45 2 2s en s en2 2

+

= = = =

Resolviendo el sistema:B C

5336'22'' B 8610 ' 49 ''2B C C 21 01'55''

3234'27''2

+ = =

==

Por ltimo, del pentgono de Neper:

cosC=cotga cotg(90-b), entonces tgb=cosC tga= 0,3778146 b 20 41' 52 ''=

c 100 b 7918'08''= =


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50.- Un avin parte de un punto de la Tierra de coordenadas 40 N , 3O. Surumboes 78 NE, su altitud de vuelo es de 4.000 m y su velocidad de 610km/h.Se pide obtener las coordenadas del punto en el que el avin atraviesa el

paralelo 30N y calcular el tiempo que tarda en llegar a dicho lugar,considerando el radio de la tierra de 6373 km.Solucin:

Resolviendo el tringulosen B = (senC senc) / senbsenB = 0,86522234892638450965733190209936B1=595429.17B2=180-B1= 1200530.83Como b


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51.- En la Tierra, sea el crculo mximoque pasa por los puntos A (latitud 0,longitud 60 O) y B (latitud 60 N, longitud 0)Se pide:

a) Distanciaen kilmetros entre los puntos A y B.

b) Puntos en que dicho crculo mximo corta el Ecuadorc) Puntos en que dicho crculo mximo corta el paralelo 60 N

Nota: Radio de la Tierra R = 6378 kmSolucin:

a) Es un problema de clculo de la distancia entre dos puntos de la esfera.Sea el tringulo esfrico de vrtices A, B y N (Polo Norte)

Conocidos dos lados y el ngulo comprendido entre ellos, calcula el lado n mediante elteorema del coseno obtenindose n=753120,96

La distancia pedida se obtiene pasando este ngulo a radianes, nn=1,31811609 rad y multiplicando por el radio de la Tierradist = n. RT= 8406,944 km

b) Dado que los crculos mximos se obtienen de la interseccin con la esfera de planos quepasan por el centro de la misma, los puntos de corte de los crculos mximos con elEcuador tienen longitudes que difieren en 180.Por tanto, el punto A tiene por coordenadas A (longitud 120E, latitud 0)

Figura1. Proyeccin sobre el plano del Ecuador terrestre

A

B

N=60

b=90 a=90-60=30


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c) Segn lafigura 1anterior, todos los puntos de corte del crculo mximo del problema conlos paralelos son simtricos respecto del plano que contiene al meridiano 30E, por lo queel otro punto de corte con el paralelo 60N es B(longitud 60E, latitud 60N)

NOTA: este apartado tambin se puede resolver de forma analtica mediante resolucin de

tringulos esfricos.

Hay que resolver el tringulo esfrico NBB del que se conocen los lados b=30, b=30.El otro dato conocido es el ngulo B, que se obtiene del tringulo NBA del apartado a). Elngulo B en NBA es B = 1163354,18.

Por tanto, el ngulo B en NBB vale B=180-1163354,18=632605,82Se busca resolver un tringulo esfrico conocidos dos lados y un ngulo no comprendidoentre ellos. La incgnita del problema es el ngulo N.Se obtiene N = 60

A

B

N

b=90 b=30

B

b=30


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52.- Sea el tringulo esfrico, situado sobre la superficie de la Tierra, cuyosvrtices son el Polo Norte y los puntos B y C de coordenadas:B (longitud: 120 Este, latitud: 40 Norte), C (longitud: 30 Oeste, latitud:

60 Norte)Se pide:a) Resolver el tringulo.b) Calcular la superficie del tringulo.Solucin:

a)

(Considerando positivos la latitud Norte y la Longitud Este)Datos del problema:ngulo A = 120+30 = 150Lado c = 90-40 = 50Lado b = 90-60 = 30

Resolucin:Se trata de un tringulo del que se conocen dos lados y el ngulo comprendido entre ellos,

que se resuelve aplicando el teorema del coseno para lados sucesivamente, y se obtiene:a = 76 59' 57,38''B = 14 52' 1,33''C = 23 8' 50,75''

b)La superficie de este tringulo viene dada por2

( 180 )180

RS A B C

= + + siendo A,B,C los

ngulos expresados en grados, obtenindose:A+B+C 180 = 8,0144667

S = 5690115 km2

A (0,90)

B (120,40)C (-30,60)


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53.- Un barco navega 2000 km hacia el Este a lo largo del paralelo de latitud42 Cul es la longituddel punto de llegada?, si:a) Parte de la longitud 125 O.b) Parte de la longitud 160 E.

(Tomar como radio de la tierra 6370 km)

a) Si el barco parte de la longitud 125 O, la longitud del punto de llegada es:

125- 24 12 25= 100 47 35O(pues va hacia el Este).

b) Si el barco parte de la longitud 160E, la longitud del punto de llegada es:160+ 24 12 25= 184 12 25E (pues va hacia el Este)=

360- 184 12 25= 175 47 35 O.

O

O

42

r

R

La relacin entre el radio del paralelo de latitud 42 y

el radio R de la Tierra es:

r = R sen (90-42) = 6370 sen 48.

Por otro lado, los 2000 km en el paralelo 42

corresponde al ngulo central tal que:

=

360

2000

2 r

4863702

720000

2

2000360

senr =

=

2000 km 24 12 25


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54.- Un barco navega a lo largo de una circunferencia mxima desde lalocalidad de Dutch Harbor (latitud: 53 53 N, longitud: 166 35 O) hasta unpunto M (latitud: 37 50 S, longitud: 144 59 O). Se pide:

a) Calcular la distanciay el rumbo de salida (ngulo que forma la trayectoriacon el meridiano del punto de salida indicando polo y direccin Este u Oeste).b) Localizar el punto donde la trayectoria corta al Ecuador.c) Hallar el rea del tringulo esfricodeterminado por el Polo Norte y amboslugares.

Solucin

Conocemos, por tanto, dos lados y el ngulo comprendido luego hemos de aplicar el teorema

del coseno para hallar directamente el lado DM:

Cos(DM)= cos (DN) cos(MN) +sen (DN)sen(MN)Cos (DNM)= -0,06264828854

DM = 93 35 30.6 y pasando a km "6.30'3593180

6370=DM = 10405,3037 km.

El rumbo de salida viene dado por el ngulo NDM, medido desde el Norte hacia el Oeste:

Cos(MN)= cos (DM) cos(DN) +sen (DM)sen(DN)Cos (NDM)

)()(

)cos()cos()cos()cos(

DNsenDMsen

DNDMMNNDM

= = -0,9566267926

rumbo = DNM = N 163 3 47,6 Este.

b) Para localizar el punto C donde la trayectoria corta al Ecuador trabajamos con el tringuloesfrico MAC, rectngulo en A, determinado por los puntos:

M.

C: Interseccin de la trayectoria con el Ecuador.

A: Interseccin del meridiano de M con el Ecuador.

El punto C tiene latitud 0 por estar en el Ecuador y su longitud = longitud de M +AC (Oeste).

M

G

ND

AC

Designamos por D al punto que indica la localidad de

Dutch Harbor y por M al punto de destino.

a)

Para calcular el arco DM consideramos el tringuloesfrico de vrtices D, M, N. En l conocemos:

Lado DN: colatitud del punto D = 90-53 53 00

DN = 36 7 00.Lado MN: 90 + latitud del punto M = 90+37 50

00 MN = 127 50 00.ngulo DNM = diferencia de longitudes de D y N

(por estar ambos puntos al Oeste de Greenwich.

DNM=166 3500-144 5900=21 36 00.


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Para resolver un tringulo rectngulo necesitamos dos datos (adems del ngulo recto). En

este caso disponemos de:

Lado AM = latitud de M 37 50 00.

ngulo CMA = DMN que lo podemos calcular en el tringulo DNM considerado en el

apartado anterior.

Cos(DN)= cos (DM) cos(MN) +sen (DM)sen(MN)Cos (DMN)=

)()(

)cos()cos()cos()cos(

MNsenDMsen

MNDMDNDMN

= = 0,9760801154DMN = 12 33 25,3.

Ayudndonos del pentgono de Neper elegimos la frmula que nos relaciona los datos con el

lado que queremos calcular:

Cos (90-AM) = cotg (CMA) cotg (90-AC)

tg(AC)= ( )

( ) ( )CMAtgAMsenCMAcotg

AMsen

)( = =sen(375000)tg(123325,3)=0,13662075553.

AC = 7 46 46.66 y la longitud de C es 7 46 46.66 + 144 59 = 152 45 46.66.

Luego la trayectoria corta al ecuador en el punto C :

C (latitud: 0 N, longitud: 152 45 46.66.O)

c)

El rea del tringulo esfrico DMN es:

S =180

6370 2(21 36 00 + 163 3 47,6 + 12 33 25,3 -180) = 12195389,75.

S = 12195389,75 km2

CM

A=90CMA

90-AM 90-AC

ACM

AC

M


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55.- Un avin parte del aeropuerto de Talavera la Real. Encontrar el rumbo yla distancia para un vuelo a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas deTalavera la Real y Nueva York son:

Talavera la Real: 6 46 24' Oeste; 3852'35 Norte

Nueva York: 7400' Oeste; 4045' Norte(La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avin recorreciclos de la esfera).Determinar cual es la mxima latitudque alcanza dicho vueloSolucin:

distancia Talavera (A) Nueva York (B)tringulo P (polo norte), A, Bdatos:

lado a = PB = 90 - 4045 = 4915lado b = PA = 90 - 385235 = 510725ngulo P = 74 - 64624 = 671336

solucin: aplicando el teorema del cosenocos p = cos a cos b + sen a sen b cos P= 0.6379899781

p=502128,44

La distancia es d (A,B)=p R180

= 0.8789111593 (rad)*6371= 5599,54 km

El rumbo viene determinado por el ngulo PAB, que podemos calcular por el teorema del seno:65 6 '27,62 ''

=

De donde la latitud ser


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N

K

S

F

56.- Un avin parte de Kopervik (Noruega) hacia Fortaleza (Brasil). Lascoordenadas geogrficas de dichas ciudades son:

Kopervik (longitud: 5 18 E, latitud: 59 17 N)Fortaleza (longitud: 38 29 O, latitud: 3 41 S)

Tomando como radio de la tierra R = 6371 km, hallar:a) La distanciaentre ambas ciudades.b) La distanciarecorrida por el avin que vuela a 10 km de altura.c) Las coordenadas geogrficasdel punto H en que la trayectoria corta al

ecuador.Solucin:

a)Hallar la distanciaa lo largo de una circunferencia mxima desde Kopervick (Noruega) hastaFortaleza (Brasil), siendo las coordenadas:

K(5 18 E, 59 17 N) F(38 29 O, 3 41S)

(Figura 1)

cos(FK) = cos(NF) cos(NK)+ sen(NF) sen(NK) cos( N ) = 0,3127820467

KF = 71 46 229 Calculamos esta distancia en km suponiendo R = 6371km

d(K,F) = "9,22'4671180

6371= 7980,7968km

b)La distancia recorrida por el avinse calcula de igual manera pero con un radio R=6371+10=6371 km:

dAvin(K,F) = "9,22'4671180

6381= 7993,3236km

En el tringulo FKN de la Figura 1 se conocen:

Lado NK = colatitud de K = 30 43 00

Lado NF = 90+ latitud de F = 93 41 00

ngulo N =long K + longF = 43 47 00

Aplicando el teorema del coseno obtenemos el

lado KF (distancia terrestre entre ambas

ciudades):

HA


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c)Coordenadasdel punto H donde la travesa corta al Ecuador

Consideraremos el tringulo rectngulo esfrico HAF de la Figura 2, donde A 90= , y AF = 3 41

(Figura 2)

sen(KF)sen(NF)

cos(KF)cos(NF)-cos(NK)Fcos = = 0,928190626 F = 21 50 43.8

La Figura 3 corresponde al pentgono de Neper del tringulo rectngulo HAF:

Luego, las coordenadas del punto H donde la trayectoria corta al Ecuador (ver Figura 1) son:

Longitud= longitud de F- HA = 38 29 - 1 2831 = 37 0 29 WLatitud= 0por ser un punto del Ecuador

F

HA Para determinar la coordenada longitud de H necesitamoscalcular HF. Y para poder aplicar las frmulas de

Trigonometra Esfrica en el tringulo HAF necesitamos

conocer otro dato del mismo.

El ms fcil de calcular es F en el tringulo FNA de la

Figura 1 (aplicando el teorema del coseno):

Cos (90-CF) = cotg(90-HA) cotg ( F )

sen(CF) =tg(HA)

tgF

tg(HA) = sen(CF) tgF = 0,0257541718

HA = 1 2831

A 90=

FH

90- HA

F

90- CF

H


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57.- Dado el tringulo esfrico de ngulos B = 344911 y C = 1185836 ysiendo c (el lado opuesto al ngulo C), de valor c = 100. Se pide:a) Hallar la alturaesfricasobre el lado a (opuesto al ngulo A) indicando si esinterior o exterior al tringulo

b) Resolver el tringuloSolucin:a)

Luego al ser B = 34 49 11< 90 y C = 118 58 36> 90, deducimos que la altura sobre el lado a

es exterior al tringulo ABC y su valor es un ngulo agudo. Considerando el tringulo ABHrectngulo en H

senh= senB.senc= 0.562321217h =34 12' 59''

145 47' 1'' 90

b)Por el teorema del seno:

senc senB sen100sen3449'11''senb 0,6427874946senC sen118 58'36 ''

= = = 12

b 40bb 180 40 140

=== =

.pero al

ser B


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58.- Dado el tringulo esfrico de lados a=80, b=40 y c=100, Calcular losarcos de circunferencia mximacorrespondientes a:a) Medianasobre el lado c.b) Bisectrizdel ngulo C.

Solucin:

a) La mediana (m) divide al lado en dos partesiguales.Hemos de calcular primero el ngulo A B

cosA=cos a cos b cos c

senb senc

= 0.4844543979

A = 61 01' 24 '' Ahora, en el tringulo de la izquierda, conocemos doslados y el ngulo comprendido, utilizamos el teorema

del coseno:cosm= cosbcos(c/2) + senbsen(c/2)cosA == 0.7309511000 (con c/2 = 50) luego la mediana es:

m = 43 02 02

b) La bisectriz (z) divide al ngulo en dos partesiguales.Calculamos, en primer lugar, el ngulo C en el tringuloABC, aplicando el teorema del coseno:

cosC=cosc cosa cosb

sena senb

= -0.484454398

C =118 58' 36''

Hallamos ahora el ngulo AZC (que designamos Z) en el tringulo ACZ aplicando el teorema delcoseno para ngulos:

cos Z= -cosA cos2

C+ senA sen

2

Ccosb= 0.3313858910 Z = 70 38 49.5

Y, por ltimo aplicamos el teorema del coseno para obtener la bisectrizz:

cos A= -cosZ cos2

C+ senZ sen

2

Ccosz

2

2

coscoscoscos

C

C

sensenZ

ZAz

+= = 0.8029859953 la

bisectriz es z = 36 35 1.69

m

c/2

C/2

z

Z


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59.-a) Hallar la distancia entre Puerto Cabello (Venezuela) (10 29 N, 68 00O) y Cdiz (Espaa) (36 30 N, 6 20 O).b) Hallar el rumboinicial y el rumbofinal de un barco que se dirija de Puerto

Cabello a Cdiz.c) Calcular la latitudy longitudde la posicin del barco cuando haya recorrido3000 km.d) Si el barco no parase en Cdiz, sino que siguiera navegando por lacircunferencia mximaque une ambas ciudades, localizar el punto del recorridoms prximo al polo norte (dar su latitudy longitud).Nota: tomar como radio de la tierra 6370 km.

Solucin

a)

Punto A = Puerto Cabello

O00'68longitud

N29'10latitud

Punto B = Cdiz

O20'6longitud

N30'36latitud

Polo norte en N.

En el tringulo ABN:

N = 68 00 6 20 = 61 40

a = 90 - 36 30 = 53 30,b = 90 - 10 29 = 79 31.

Teorema del coseno en este tringulo:

cos n = cos a cos b + sen a sen b cos N = 0.483370247 n = 61 5 39.3

En unidades lineales:360

n63702n gl

= = 6792.304 km.

b) El rumbo inicial viene medido por el ngulo A:

cos a = cos b cos n + sen b sen n cos Asennsenb

ncosbcosacosAcos

= = 0.588838023

A = 53 55 31.46rumbo Noreste.

Y el rumbo final, por el ngulo 180 - B:

cos b = cos a cos n + sen a sen n cos Bsennsena

ncosacosbcosBcos

= = - 0.150019547

B = 98 37 41.01 180 - B = 81 22 18.99 rumbo Noreste.

N

b a

n

G


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c)

Sea C el punto donde seencuentra el barco despus derecorrer m = 3000 km.

La medida de m en unidadesangulares es:

m =63702

3603000

= 26 59 1.98.

Por el teorema del coseno en el tringulo A N C, se tiene:

cos a = cos b cos m + sen b sen m cos A = 0.424860912 a = 64 51 29.3

La latitudde C es: 90 - a = 25 8 30.7 Norte.

La longitud de C es: long A - )'C'A(arc = long A N. Calculemos N aplicando de nuevo

el teorema del coseno en el tringulo A N C: cos m = cos b cos a + sen b sen a cos N

'senasenb

'acosbcosmcos'Ncos

= = 0.91426483 N = 23 53 54.46.

Longitudde C = long A N = 44 6 5.52 Oeste.

c) Sea P el punto del recorrido ms prximo al polo norte. Esto ocurre cuando el arco NP seaarco NP sea perpendicular al arco AB. El tringulo ANP es rectngulo en P.

Por la regla de Neper, se verifica:cos (90 - a) = sen a = sen b sen A = 0.794759633 a = 52 37 57.21(pues a ha de ser

menor de 90). Latitudde P = 90 - a = 37 22 2.79

Para calcular la longitud de P necesitamos conocer elngulo N:Aplicando de nuevo la regla de Neper en el tringuloAPN, se tiene:

Cos N = cotg b cotg (90-a) =btg

'a'tag=

= 0.242305132 N = 75 22 2.79Longitud P = arc (GP) Este = arc (AP) - arc(AG) =

=N long A = 7 58

Sol Esferica

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