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EVALUACIÓN DE MODELOS SIMPLIFICADOS PARA EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE

TÚNELES DOVELADOS

Fernando Peña Mondragón1

RESUMEN

En este artículo se hace una evaluación de los modelos simplificados más comunes que se encuentran en la literatura para el análisis estructural de los túneles dovelados. Estos túneles no se pueden considerar como un

anillo continuo, debido a la existencia de las juntas. Por lo que es necesario tomar en cuenta la influencia de

las juntas en el cálculo de fuerzas internas y los desplazamientos del anillo. Los resultados obtenidos muestran

que existen tres parámetros importantes: el comportamiento mecánico de la junta, la posición relativa de las

juntas con respecto a las cargas y la relación entre cargas verticales y horizontales.

ABSTRACT

The evaluation of the more common simplified methods found in the literature for the structural analysis of

segmented tunnels is presented. This type of tunnels cannot be considered as a continuous ring, due to the joints between dowels. Therefore, it is necessary to take into account the influence of the joints in the calculus

of the forces and displacements of the ring. The results obtained show that there are three important

parameters: the mechanical behavior of the joint, the relative position of the joints respect to the loads and the

relation between the vertical and horizontal loads.

INTRODUCCIÓN

El objetivo principal del análisis estructural es el de proveer información adecuada para el diseño y la

evaluación estructural de los túneles. De este modo, la información principal que se busca es: a) el

comportamiento del túnel durante el proceso constructivo, b) una base para la interpretación de los resultados

del monitoreo, c) una base para el proceso de diseño.

Sin embargo, a pesar de los grandes avances que se han tenido en el análisis estructural de túneles, tanto en

las herramientas de análisis, como en la obtención de los datos necesarios para el análisis, es necesario

recordar que no existe un solo método que pueda ser usado en todos los casos y condiciones. De este modo, es

necesario conocer las herramientas de análisis existentes con el fin de utilizar la más adecuada para cada caso.

Los métodos de análisis existentes se pueden dividir en tres (BTS, 2004):

- Métodos empíricos, los cuales se basan en la experiencia obtenida de casos reales o de pruebas de

laboratorio

- Soluciones analíticas, las cuales se obtienen de formulaciones matemáticas adecuadas para cada problema en específico

- Modelos numéricos, los cuales se basan en métodos generales como son los elementos finitos

Cada uno de los métodos de análisis tiene ventajas y limitaciones. Sin embargo, los modelos numéricos

presentan la ventaja, sobre los otros dos, de que son aptos para el estudio de un gran intervalo de casos y

condiciones, por lo que comúnmente son los más empleados. Así mismo, otra de las ventajas de los modelos

1 Investigador Asociado, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Edificio 2 –

401, Circuito Escolar, Ciudad Universitaria, 04510, México, D.F. Teléfono: (55) 5623-3600 x 8404; Fax:

(55) 5623-3641; fpem@pumas.iingen.unam.mx

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numéricos es que pueden ser muy sencillos o simplificados; así como también se pueden utilizar para analizar

casos complejos.

De este modo, en este artículo se analizan diferentes opciones de modelos simplificados para el análisis de

túneles formados con dovelas que se encuentran en la literatura. Los modelos analizados consideran que las

dovelas están formadas por secciones que permanecen en el intervalo elástico lineal, mientras que lo que se

modela en forma simplificada es la influencia de la rigidez de las juntas. Así, los modelos a estudiar son:

- Anillo elástico continuo. La sección del túnel se considera como un anillo continuo formado de un

material elástico lineal. No se consideran las juntas de las dovelas.

- Anillo elástico con rigidez reducida. Se considera la sección del túnel como un anillo continuo formado de un material elástico lineal, pero con una rigidez reducida, con el fin de considerar la

influencia de las juntas y el posible agrietamiento del concreto.

- Anillo elástico con articulaciones en las juntas. En este caso, se consideran las juntas de las dovelas

como articulaciones.

- Anillo elástico considerando la rigidez de la junta. La rigidez de la junta se modela de forma

simplificada, la cual puede ser por medio de resortes rotacionales o mediante un material inelástico

equivalente.

Con el fin de mostrar las ventajas y limitaciones de cada uno de los modelos estudiados, se utilizará como

objeto de estudio las pruebas experimentales, de anillos formados con dovelas, realizadas en 1987 en el

Instituto de Ingeniería (Rodríguez et al., 1987; Rodríguez y Salmón, 1987).

Este trabajo se encuentra dividido en dos partes. En la primera se hará una breve descripción de la forma en

cómo trabajan los túneles dovelados y se describirán las pruebas experimentales. En la segunda parte se

presentarán los resultados numéricos obtenidos con cada uno de los modelos estudiados.

TÚNELES FORMADOS CON DOVELAS PREFABRICADAS

Uno de los métodos más usados en la construcción de túneles es el del escudo o máquina tuneladora. Esta

técnica permite ir excavando el túnel, mientras se coloca un revestimiento primario el cual está formado por

dovelas prefabricadas. Estas dovelas son, generalmente, de concreto reforzado y se colocan gracias a una

máquina perforadora que también se encarga de la excavación del túnel. En dicha máquina, un elevador levanta las dovelas por succión, que posteriormente son llevadas al montador, el cual a medida que avanza la

tuneladora va colocando las dovelas formando así los anillos. Entre dovela y dovela se localizan juntas así

como también entre anillo y anillo.

Figura 1 Esquema de las partes básicas de una sección de túnel formado con dovelas (Luttikholt, 2007)

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Por lo general, las dovelas prefabricadas se construyen lo más largas que sea posible, teniendo así un mínimo

de dovelas por anillo. Lo que hace que el trabajo de la tuneladora se más ágil. Otros factores que determinan

las dimensiones de las dovelas son el espacio disponible para transportarlas y colocarlas, así como la

extensión máxima disponible de los gatos (Luttikholt, 2007). La Figura 1 muestra un esquema de las partes

básicas de una sección de túnel formado con dovelas.

Figura 2 Esquema de una junta plana (izquierda) y de juntas convexas (centro y derecha) (Luttikholt, 2007)

En la práctica existen principalmente dos tipos de juntas entre dovelas: las juntas planas y las convexas (Fig.

2). La diferencia principal entre estos tipos de juntas es la capacidad de la misma de transmitir momentos

flexionantes. Por ejemplo, en el caso de las juntas planas, cuando se presenta una rotación, un momento inducido por las fuerzas normales actuantes sobre el anillo tenderá a cerrar la junta. Esto significa que la junta

plana es capaz de transferir momentos flexionantes. Sin embargo, cuando se presentan grandes rotaciones en

los extremos de las juntas se concentran esfuerzos de compresión lo que puede llevar al aplastamiento del

concreto. Esto se puede evitar usando juntas convexas. Debido a su geometría (área de contacto curva) no

existe transmisión de momentos, por lo que la junta actuará como una articulación (Luttikholt, 2007).

DESCRIPCIÓN DE LAS PRUEBAS DE LABORATORIO

En 1987 se llevaron a cabo diversas pruebas de laboratorio en anillos formados con dovelas, en el Instituto de

Ingeniería de la UNAM (Rodríguez et al., 1987; Rodríguez y Salmón, 1987). Estas pruebas de laboratorio se

utilizarán para la validación de los diferentes modelos simplificados de análisis. En esta sección se describirán brevemente dichas pruebas.

El objetivo principal de las pruebas fue el del estudiar el comportamiento de la estructura bajo un estado

conocido de cargas, el cual estaba relacionado con ciertas hipótesis de distribución de presiones del terreno

sobre el túnel. Esto se logró mediante la aplicación de cargas concentradas en los anillos de dovelas. El

espécimen ensayado consistió en dos anillos de dovelas unidos entre sí mediante tornillos de fijación (Fig. 3).

Cada anillo de dovelas estuvo formado por cinco de éstas y una clave, unidas en el sentido circunferencial del

túnel con tornillos semejantes a los del sentido longitudinal. Estos anillos de dovelas fueron diseñados para el

tramo de drenaje semiprofundo construido en Iztapalapa, en la ciudad de México.

a) b)

Figura 3 Esquema de la colocación de tornillos de unión entre dovelas: a) espécimen en el laboratorio; b) detalle típico de una dovela (Rodríguez y Salmón, 1987)

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Figura 4 Distribución de las cargas aplicadas (Rodríguez y Salmón, 1987)

Las cargas que se aplicaron fueron concentradas y formando ángulos específicos entre ellas (Fig. 4). La distribución de estas cargas se seleccionó con el criterio de obtener un diagrama de momentos flexionantes

semejante en forma y valores al diagrama de momentos flexionantes de diseño empleado en el diseño del

drenaje semiprofundo de Iztapalapa. Se pretendió también representar el nivel de cargas axiales en la sección

transversal existentes en las dovelas según el criterio de diseño empleado.

Se aplicaron tres tipos de carga incrementando la relación entre la carga lateral Pl y la carga vertical Pv. La

condición de carga I corresponde a una relación Pl/Pv igual a 0.56, mientras que las condiciones de carga II y

III corresponden a relaciones de 0.87 y 1.09, respectivamente. La Tabla 1 muestra las cargas aplicadas en

cada condición de carga.

Tabla 1 Valores de Pl y Pv, para las distintas condiciones de carga (Rodríguez y Salmón, 1987)

Carga Pl (kN) Pv (kN) K0 (Pl/Pv)

I 24.0 43.1 0.56 II 90.5 104.5 0.87 III 145.0 130.0 1.09

a)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv

[T

on

]

Delta D [mm]

Carga I

Carga II

Carga III

b)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv

[T

on

]

Delta D [mm]

Carga I

Carga II

Carga III

Figura 5 Curvas carga vertical Pv contra disminución del diámetro vertical ΔD en los anillos ensayados: a) anillo superior, b) anillo inferior (Rodríguez y Salmón, 1987)

En la Figura 5 se muestran las curvas experimentales carga vertical Pv contra disminución del diámetro

vertical ΔD. Se observa que la respuesta del anillo depende de dos factores, principalmente: de la relación de

las cargas horizontales y verticales Pl/Pv, la cual llamaremos K0; y de la posición de las juntas con respecto a

las cargas. La Figura 6 muestra esquemáticamente la posición de las juntas con respecto a las cargas. La

relación de cargas influye en la carga máxima que se puede aplicar en el anillo y aumenta también su rigidez,

o sea disminuyen las deformaciones para una carga dada. Mientras mayor sea el K0, mayor será la carga

máxima vertical que se puede aplicar en el anillo. Esto se debe a que la carga horizontal actúa como una carga

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de confinamiento sobre los anillos. Por otro lado, la posición de las juntas con respecto a las cargas modifica

la flexibilidad del anillo. Dependiendo de la posición, el anillo puede tener mayor o menor deformación

última. En este caso en particular, el anillo inferior es más flexible que el superior.

a) b)

Figura 6 Modelos de elemento finito. Posición relativa de las juntas en los anillos ensayados: a) anillo superior, b) anillo inferior

MODELOS NUMÉRICOS

Los modelos numéricos se realizaron con el Método del Elemento Finito (MEF), mediante el programa

comercial ANSYS (2006). Como el objetivo de este trabajo es el de estudiar la forma en cómo se modelan las

juntas, los modelos se simplificaron al considerar que las dovelas no sufrían daño, por lo que se modelaron

como elementos elástico lineales. El módulo de elasticidad del concreto, para todos los casos, se consideró

igual a 24,500 MPa (245,000 kg/cm2, Rodríguez et al., 1987).

Se consideraron dos tipos de elementos para modelar las dovelas: elementos barra y elementos sólidos. Los

modelos que se realizaron con elementos barra utilizaron el elemento BEAM188 (ANSYS, 2006). Este

elemento es una viga de Timoshenko de tres nodos, donde las deformaciones por cortante son tomadas en

cuenta. Así mismo, este elemento permite considerar la no-linealidad geométrica. Este modelo cuenta con 57 elementos, 126 nodos y 551 grados de libertad.

Por otro lado, los modelos realizados con elementos sólidos utilizaron el elemento PLANE182 (ANSYS,

2006). Este elemento es un sólido de dos dimensiones (2D), con cuatro puntos de integración. Así mismo, este

elemento permite considerar las deformaciones generalizadas planas y no linealidad geométrica. Este modelo

cuenta con 604 elementos, 755 nodos y 1506 grados de libertad (Fig. 6).

CONSIDERACIONES PARA LOS ELEMENTOS SÓLIDOS PLANOS

La formulación de los elementos sólidos planos puede ser mediante esfuerzos o deformaciones planas. En el

análisis de túneles es común utilizar la hipótesis de deformaciones planas. Esto es debido a que las

deformaciones fuera del plano están restringidas por el confinamiento que le da el suelo circundante. Esta suposición es exacta cuando el espesor del elemento a analizar tiende a infinito. Por otro lado, la hipótesis de

esfuerzos planos es exacta cuando el espesor tiende a cero. Sin embargo, cuando se estudia un elemento con

un espesor finito ambas suposiciones no son del todo correctas; pues los esfuerzos planos subestiman la

respuesta mientras que las deformaciones planas las sobreestiman (Pegon y Anthoine, 1997).

Debido a esto, es común utilizar la formulación de deformaciones generalizadas planas (Anthoine, 1997;

Cheng, 1998). La diferencia con la formulación de las deformaciones planas es que las primeras permiten

deformación fuera del plano (axial, flexión y torsión). Sin embargo, cuando estas deformaciones permanecen

constantes a lo largo del eje fuera del plano y no modifican las ecuaciones diferenciales de la formulación

clásica de deformaciones planas. Generalmente, estas deformaciones se obtienen considerando la fuerza

resultante aplicada perpendicular al plano igual a cero. Esto significa que las caras del elemento a analizar no están cargadas (Pegon y Anthoine, 1997).

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Como el largo de los anillos (es decir la dimensión en la dirección longitudinal del túnel) es de 1m no puede

considerarse como una dimensión infinita ni que tienda a cero. Debido a esto, en los modelos realizados en

este trabajo, en los cuales se utilizan elementos sólidos en el plano, se adopta la formulación de

deformaciones generalizadas planas.

NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA

En el estudio de los túneles formados con dovelas es necesario tomar en cuenta la no linealidad geométrica.

La cual es producto del movimiento relativo entre dovelas, debido a la flexibilidad de las juntas. De acuerdo

con los análisis aquí realizados. Cuando se considera el anillo continuo, es decir sin tomar en cuenta las juntas, la no linealidad geométrica se puede despreciar, pues el incremento en las deformaciones es menor al

1%. Sin embargo, cuando se considera la flexibilidad de las juntas, el incremento en las deformaciones debido

a la no linealidad geométrica puede ser hasta del 100%.

El porcentaje en el incremento de las deformaciones debido a este efecto depende tanto de la posición relativa

de las cargas con respecto a las juntas, como de la relación entre las cargas verticales y horizontales. Este

porcentaje no es constante y puede variar entre un 5 y un 100%. Todos los resultados aquí presentados toman

en cuenta la no linealidad geométrica.

RESULTADOS NUMÉRICOS

ANILLO ELÁSTICO CONTINUO

El primer modelo que se realizó fue el de considerar la sección del túnel como un anillo continuo formado de

un material elástico lineal. En este modelo no se consideran las juntas de las dovelas. Por lo tanto, el

comportamiento del anillo será completamente elástico lineal. La Figura 7 muestra los resultados.

Obviamente, como no se consideran las juntas, los resultados numéricos son los mismos tanto para el anillo

superior como para el inferior. De estos resultados se obtienen dos conclusiones importantes.

La primera es que la rigidez inicial de los anillos depende no sólo de la geometría y material de las dovelas,

sino también de las cargas a las que está sometida. Principalmente, a la relación entre las cargas horizontales

con las verticales (K0). A un mayor K0 la rigidez inicial es mayor. Esto se debe al efecto de confinamiento de la carga horizontal.

La segunda conclusión es que la rigidez del modelo numérico como anillo continuo es la misma que la rigidez

inicial de los especímenes. Esto significa que el comportamiento inicial del anillo con juntas será igual al de

un anillo continuo.

a)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

Carga ICarga IICarga III

b)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

Carga ICarga IICarga III

Figura 7 Anillo elástico continuo. Curvas carga vertical Pv contra disminución del diámetro vertical ΔD: a) anillo superior, b) anillo inferior

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ANILLO ELÁSTICO CON RIGIDEZ REDUCIDA

El segundo modelo realizado fue considerando la sección del túnel como un anillo continuo formado de un

material elástico lineal, pero con una rigidez reducida, con el fin de considerar de forma sencilla la influencia

de las juntas. De acuerdo con las pruebas experimentales, el factor de reducción η depende de K0, pero es

independiente de la posición de las juntas (Rodríguez y Salmón, 1987). La Tabla 2 muestra los valores

propuestos por Rodriguez y Salmón (1987).

Tabla 2 Valores del factor de reducción de rigidez η (Rodríguez y Salmón, 1987)

Carga K0 (Pl/Pv) η

I 0.56 7.35 II 0.87 6.28

III 1.09 3.97

Por otro lado, Muir Wood (1975) propuso una expresión (ec. 1) para calcular el momento de inercia efectivo

para un túnel dovelado con segmentos de igual longitud.

𝐼𝑒 = 𝐼𝑗 + 4

𝑛

2

𝐼, 𝐼𝑒 ≤ 𝐼,𝑛 > 4 (1)

Donde: Ie es la inercia efectiva, Ij es la inercia de las juntas, I es la inercia del anillo considerado continuo y n

es el número de juntas.

Para un anillo formado por cuatro o menos juntas, Muir Wood (1975) considera que la existencia de las juntas

no afecta significativamente la rigidez del anillo. Por lo que se puede considerar que la expresión anterior es

válida para anillos con más de cuatro juntas. Considerando una rigidez de la junta igual a cero (articulación),

entonces el factor de reducción de rigidez η para un anillo con seis juntas sería igual a 2.25. El cual es menor

que los propuestos por Rodríguez y Salmón (1987).

Esta diferencia se puede deber a que Muir Wood no considera ciertas características estructurales que afectan también la rigidez efectiva del anillo. Por ejemplo, Lee y Ge (2001) encontraron que tanto la rigidez de la

junta como el radio del túnel tienen gran influencia en el factor η. Pero también encontraron que la posición

de las juntas no afecta significativamente la rigidez efectiva. Sin embargo, a pesar de que Lee y Ge (2001)

toman en cuenta factores no considerados por Muir Wood, el método propuesto por estos autores requiere una

larga serie de iteraciones y sobretodo una aproximación en la distribución de cargas, lo cual hace que este

método sea poco práctico (Hefny et al., 2004).

Por otra parte, Liu and Hou (Ge, 2002) proponen la ecuación 2 para obtener el factor η, tomando en cuenta la

rigidez rotacional de las juntas Kθ y el radio del túnel R:

𝜂 =1

1 + 𝑏; 𝑏 =

3𝐸𝐼

𝑅𝐾𝜃 cos𝜑𝑖cos2𝜑𝑖𝑚

𝑖=1; 0 ≤ 𝜑𝑖 <

𝜋

2

(2)

Donde EI es la rigidez a flexión del anillo continuo, m es el número de juntas en un rango de 0° a 90°,

mientras que φi es el ángulo medido desde la dirección vertical hasta la posición de la junta i-ésima, siempre

dentro de un rango de 0° a 90°. Cabe hacer notar que la ecuación 2 sólo es válida para dovelas de igual

tamaño.

Debido a lo anterior, los ejemplos numéricos aquí presentados se realizaron considerando los factores de

reducción propuestos por Rodríguez y Salmón (1987). La Figura 8 muestra los resultados numéricos. Se

observa que el desplazamiento último del modelo de anillo continuo con rigidez reducida es similar al

desplazamiento último de las pruebas experimentales.

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8

a)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

Carga ICarga IICarga III

b)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

Carga ICarga IICarga III

Figura 8 Anillo elástico continuo con rigidez reducida. Curvas carga vertical Pv contra disminución del diámetro vertical ΔD: a) anillo superior, b) anillo inferior

ANILLO ELÁSTICO CON ARTICULACIONES EN LAS JUNTAS

En este caso se consideran las juntas de las dovelas como articulaciones. A pesar de que las cargas son

simétricas, el programa de análisis reporta inestabilidad de la estructura cuando se consideran las seis juntas.

Esto se debe a que un anillo de cinco articulaciones es hipostático. Debido a esto se consideró únicamente un anillo con cuatro articulaciones. Si bien el modelo numérico no puede ser considerado representativo del

modelo experimental, los resultados obtenidos dan una idea del comportamiento del anillo cuando se

consideran las juntas como articulaciones.

La Figura 9 muestra los resultados para el caso del anillo con cuatro articulaciones. Como se observa, la

rigidez del anillo se reduce de forma considerable, sobreestimando el desplazamiento último del anillo. Sin

embargo, se comprueba nuevamente, que la rigidez del anillo depende, de forma importante, del valor de K0.

El factor de reducción de rigidez η es de 15, 9.5 y 9 para las cargas I, II y III, respectivamente. Estos factores

de reducción son dos veces mayores para la carga I y tres veces mayor para la carga III.

La Figura 10 presenta la deformada para dos casos particulares de posición de las articulaciones. En el primer caso, la clave se encuentra biarticulada; mientras que en el segundo la clave no tiene articulaciones. Como se

observa, en el primer caso se tiene una falla local, debido a que la clave se encuentra biarticulada; mientras

que en el segundo caso se presenta una deformación generalizada del anillo. Obviamente, la distribución de

esfuerzos es diferente para ambos anillos (Fig. 10).

a)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

Experimental

NuméricoCarga III

Carga I

Carga II

b)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

Experimental

Numérico

Carga III

Carga I

Carga II

Figura 9 Anillo elástico con articulaciones en las juntas. Curvas carga vertical Pv contra disminución del diámetro vertical ΔD: a) anillo superior, b) anillo inferior

9

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a) b)

Figura 10 Anillo elástico con articulaciones en las juntas. Deformación esfuerzo axial: a) anillo superior, b) anillo inferior

ANILLO ELÁSTICO CON RIGIDEZ DE LAS JUNTAS

En este modelo, la rigidez de la junta se modela de forma simplificada. Un primer modelo considera a la junta

como resortes rotacionales, mientras que un segundo modelo la considera como un material inelástico

equivalente.

Resortes rotacionales

Cuando se trabaja con modelos que consideran las dovelas como elementos barra, una de las formas más

sencillas de modelar las juntas es considerándolas como resortes rotacionales inelásticos. Estos resortes están

definidos por una ley momento – rotación; la cual, generalmente es bilineal. La Figura 11 muestra unas curvas

típicas momento – rotación para una junta con pernos, ante diferentes valores de carga axial (Xiaochum et al.,

2006). De estas curvas se observa que el comportamiento de la junta depende de la carga axial. Sin embargo,

la rigidez inicial es independiente de ella. La carga axial modificará el momento de fluencia y la pendiente de

la rama plástica.

Figura 11 Curvas típicas momento rotación para una junta con pernos (Xiaochun et al., 2006)

Varios autores han propuesto expresiones para definir una ley bilineal para juntas no atornilladas, donde el

momento resistente está dado por la carga axial actuante en el anillo (Gruebl, 2006; Luttikholt, 2007). Por

ejemplo, la ecuación 3 muestra la ley propuesta por Janssen (van der Vliet, 2006), quien la obtuvo a partir de

una relación lineal de esfuerzos y deformaciones, utilizando una curva bilineal para el concreto. Al

considerarse una junta no atornillada, la junta no es capaz de desarrollar esfuerzos de tensión; además de que

considera a las dovelas como elásticas lineales. Esta relación está en función de la carga axial N, la geometría

de la junta (largo b y ancho h) y el módulo de elasticidad E. Sin embargo, cuando se trabaja con juntas

atornilladas estas leyes no son aplicables, pues el tornillo aumenta el momento resistente. Esto se debe a que este tipo de juntas son capaces de resistir tensiones, debido precisamente a los tornillos. Es por esto que en

este trabajo no se utilizaron este tipo de leyes.

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(3)

La ley utilizada se obtuvo directamente de las pruebas experimentales, calibrando el modelo con el anillo

inferior y la carga I, manteniéndola constante para todas las pruebas. El momento y la rotación de fluencia son

iguales a 5 kN-m (0.5 t-m) y 1.31x10-4 rad, respectivamente. Cabe hacer notar que el momento de fluencia

obtenido por calibración es cuatro veces superior al que se tendría de utilizar la ecuación 3.

La Figura 12 muestra los resultados numéricos. Como se aprecia, tanto para el anillo superior como para el

inferior, el modelo numérico reproduce satisfactoriamente las pruebas experimentales para las cargas I y II.

Sin embargo, para la carga III el modelo numérico es más flexible. Así mismo, se observa que la primera degradación de rigidez es debida a la flexibilidad de las juntas; mientras que las dovelas permanecen en el

intervalo elástico. La deformación última calculada con el modelo numérico es menor que la obtenida

experimentalmente porque la última degradación de rigidez es debida al daño en las dovelas (Rodríguez y

Salmón, 1987).

a)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

Experimental

Numérico

Carga III

Carga I

Carga II

b)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

ExperimentalNuméricoCarga III

Carga I

Carga II

Figura 12 Anillo elástico con resortes inelásticos en las juntas. Curvas carga vertical Pv contra disminución del diámetro vertical ΔD: a) anillo superior, b) anillo inferior

a) b)

Figura 13 Anillo elástico con resortes inelásticos en las juntas. Deformación del anillo inferior con la carga I: a) experimental, b) numérico

La Figura 13 presenta la deformación del anillo inferior debido a la carga I. El modelo numérico representa

correctamente la deformada del anillo. Debido a la posición de las juntas, la deformada no es simétrica;

cerrando más la parte superior del anillo. Esto hace que el anillo se ovale. La Figura 14 presenta el

ovalamiento del anillo, el cual se puede definir como la relación en porcentaje de la disminución del diámetro

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vertical con respecto al aumento del diámetro horizontal, ante las cargas I y II. Como se observa, el porcentaje

de ovalamiento depende de la posición de las juntas, el cual se puede incrementar o disminuir; así como

también de la relación entre las cargas horizontales y verticales.

a)

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5

Ova

lizac

ión

Dy/

Dx

[%]

Carga Pv

Inferior

Superior

b)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12

Ova

lizac

ión

Dy/

Dx

[%]

Carga Pv

Inferior

Superior

Figura 14 Ovalamiento del anillo: a) carga I, b) carga II

Material inelástico equivalente Cuando se trabaja con modelos que utilizan elementos sólidos, la forma de modelar las juntas por medio de

resortes inelásticos deja de ser recomendable. Esto se debe a que los resortes son elementos puntuales, lo que

hace que al conectarse con elementos sólidos se haga una concentración de esfuerzos en un solo punto, lo cual

no es realístico. De esta forma es necesario modelar la junta de una forma diferente. En este caso se decidió

modelar la junta mediante elementos sólidos. Debido a que los tornillos de las juntas modifican el

comportamiento de la misma y a que el modelo desarrollado no es tan detallado como para modelar también

los tornillos, se decidió utilizar un material inelástico equivalente. Este material debe tomar en cuenta la

resistencia a compresión y tensión que pueda desarrollar la junta, para que la relación momento – rotación del

modelo sea similar a la obtenida experimentalmente. La Figura 15 muestra esquemáticamente la forma en

cómo se realizó el modelo de la junta; mientras que la Figura 6 presenta los modelos de elemento finito.

Figura 15 Esquema de la forma de modelar una junta con elementos sólidos (Luttikholt, 2007)

Se utilizó un material isótropo con una ley bilineal y una superficie de falla tipo Von Mises. La resistencia del

material se obtuvo calibrando el modelo del anillo inferior con la carga I, manteniéndolo constante en todas

las demás pruebas. De esta calibración se obtuvo que la resistencia a tensión del material debería ser 0.45

MPa (4.5 kg/cm2, aproximadamente un 1% de la resistencia a compresión del concreto usado en las dovelas).

La Figura 16 presenta las curvas carga vertical disminución del diámetro vertical. Como se observa, los resultados numéricos con este modelo son semejantes a los resultados obtenidos con el modelo de barras y

resortes (Fig. 12). El modelo numérico reproduce correctamente el comportamiento de los anillos superior e

inferior para las cargas I y II. Sin embargo, el modelo es más flexible con la carga III de lo que reportan las

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pruebas experimentales. Así mismo, la Figura 17 presenta la deformada del anillo inferior con la carga I. El

modelo representa correctamente la deformada del anillo, así como la distribución de esfuerzos es similar al

modelo de barras y resortes (Fig. 13b).

a)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

ExperimentalNumérico

Carga III

Carga I

Carga II

b)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pv [

Ton

]

Delta D [mm]

Experimental

Numérico

Carga III

Carga I

Carga II

Figura 16 Anillo elástico con material equivalente en las juntas. Curvas carga vertical Pv contra disminución del diámetro vertical ΔD: a) anillo superior, b) anillo inferior

a) b)

Figura 17 Anillo elástico con material equivalente en las juntas. Deformación del anillo inferior con la carga I: a) experimental, b) numérico

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Los resultados aquí presentados muestran las ventajas y limitaciones de los modelos simplificados de análisis

para túneles dovelados. Se presentaron cuatro modelos: anillo elástico continuo, anillo elástico con rigidez

reducida, anillo elástico con articulaciones en las juntas y anillo elástico considerando la rigidez de la junta.

El anillo elástico con articulaciones no representa el comportamiento de las juntas, pues hace demasiado

flexible el anillo. El modelo que considera el anillo elástico continuo representa la rigidez inicial del túnel

dovelado, pero subestima las deformaciones y sobrestima los esfuerzos. Por su parte, el anillo con rigidez reducida es útil cuando se quiere conocer la deformación última del túnel; pero no es útil para conocer

condiciones intermedias de carga, pues sobrestima las deformaciones y subestima los esfuerzos. Por otra

parte, el modelo que considera la rigidez de la junta es el que mejor describe el comportamiento del anillo. Se

observa que la primera pérdida de rigidez del túnel es debida a la flexibilidad de la junta.

Existen tres parámetros importantes en el comportamiento global de un túnel dovelado: a) el comportamiento

mecánico de la junta; b) la posición relativa de las juntas con respecto a las cargas; y c) la relación K0.

El comportamiento mecánico de la junta se puede modelar sencillamente mediante resortes inelásticos o

mediante un material equivalente. En la literatura existen expresiones para definir los resortes inelásticos de

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una junta sin tornillos (Luttikholt, 2007; Peña et al., 2010; van der Vliet, 2006). Sin embargo, para una junta

atornillada, los parámetros para estos modelos no son sencillos de calcular. Por lo que se requieren de otros

procedimientos.

Por ejemplo, una forma de calcular estos parámetros es haciendo un modelo refinado de una junta para

conocer su relación momento – rotación; así servirá de calibración de parámetros (BTS, 2004; Luttikholt,

2007; Peña, 2010; Xiaochun et al., 2006). La Figura 18 muestra un ejemplo de un modelo refinado de una

junta mediante elementos finitos por medio del cual se calculó su relación momento – rotación (Peña, 2009).

Cabe hacer notar, que no es necesario modelar toda la dovela, sino solamente una sección de ella. Sin

embargo, para que este tipo de modelos sea representativo de la junta es necesario modelar todos los detalles

de la misma, entre los que se encuentran (Chen y Mo, 2009): a) la geometría real de la junta; b) el contacto entre dovelas; c) los tornillos y otros conectores.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Mo

men

to [T

-m]

Rotación [rad]

Elemento FinitoJanssenGladwell

Figura 18 Ejemplo típico del modelo refinado de una junta y su curva momento - rotación (Peña, 2009)

REFERENCIAS

Anthoine A. (1997), “Homogenization of periodic masonry: plane stress, generalized plane strain or 3D

modeling?”, Comm. Num. Methods Engng., vol. 13, pp. 319-326.

ANSYS (2006), “Documentation for ANSYS”, ANSYS Workbench Release 11.0, ANSYS Inc., USA.

BTS (2004), “Tunnel lining desing guide”, The British Tunnelling Society and The Institution of Civil

Engineers, Thomas Telford Ltd, Londres.

Chen J.S. y Mo H.H. (2009), “Numerical study on crack problems in segments of shield tunnel using

finite element method”, Tunnelling and Underground Space Technology, vol. 24, pp. 91-102.

Cheng A. (1998), “On generalized plane strain poroelasticity”, Int. J. Rock Mech. Min. Sci., vol. 35, no. 2,

pp. 183-193.

Ge X. (2002), “Response of a shield-driven tunnel to deep excavations in soft clay”, Tesis de Doctorado,

Universidad de Ciencias y Tecnología de Hong Kong. Disponible en: http://hdl.handle.net/1783.1/541

Gruebl F. (2006), “Modern design aspects of segmental lining”, Memorias del International Seminar on

Tunnels and Underground Works, LNEC, Lisboa.

XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato 2010.

14

Hefny A.M., Tan F.C. y Macalevery N.F. (2004), “Numerical study on the behavior of jointed tunnel

lining”, Journal of the Institution of Engineers, Singapur, vol. 44, no. 1, pp. 108-118.

Lee K.M. y Ge X.W. (2001), “The equivalence of a jointed shield-driven tunnel lining to a continuous

ring structure”, Canadian Geotechnical Journal, vol. 38, no. 3, pp. 461-483.

Luttikholt A. (2007), “Ultimate limit state analysis of a segmented tunnel lining – Results of full-scale

tests compared to finit element analysis –”, Facultad de Ingeniería Civil y Geociencias, Universidad

Tecnológica de Delft. Disponible en:

http://www.mechanics.citg.tudelft.nl/~pierre/MSc_projects/reportLuttikholt.pdf

Muir Wood A.M. (1975), “The circular tunnel in elastic ground”, Geotechnique, vol. 1, pp. 115-127.

Pegon P. y Anthoine A. (1997), “Numerical strategies for solving continuum damage problems with

softening: application to the homogenization of masonry”, Computers and Structures, vol. 64, no.1-4, pp.

623-642.

Peña F. (2009), “Comportamiento estructural de las juntas entre dovelas del túnel Emisor Oriente”,

Informe para la Comisión Nacional del Agua. Instituto de Ingeniería, UNAM.

Peña F., Galván Chávez A. y Meli R. (2010), “Relación teórica momento rotación de juntas entre dovelas

de túneles”, Memorias del XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, León, Guanajuato.

Rodríguez M., Meli R., Olivares A. y Montero M. (1987), “Comportamiento estructural de dovelas para

revestimiento de túneles. Primera parte: Mediciones de Campo”, Informe elaborado para la Dirección

General de Construcción y Operación Hidráulica del Departamento del Distrito Federal. Instituto de

Ingeniería, UNAM.

Rodríguez M. y Salmón R. (1987), “Comportamiento estructural de dovelas para revestimiento de

túneles. Segunda parte: Ensayos en Laboratorio”, Infomre elaborado para la Dirección General de

Construcción y Operación Hidráulica del Departamento del Distrito Federal. Instituto de Ingeniería, UNAM.

Van der Vliet C. (2006), “Langsvoeggedrag op basis van de elastici-teitstheorie, Een aanscherping van de

Janssen-relatie”, Bouwdienst Rijkswaterstaat.

Xiaochun Z., Wei Z., Zhengrong H. y Yuewang H. (2006), “Effect of joint structure on joint stiffness for

shield tunnel lining”, Tunnelling and Underground Space Technology, vol. 21, pp. 406-407.