Slides Optimizare 2016 VA

8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA

http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 1/325



Universitatea BABES-BOLYAI

Departamentul de Inginerie ChimicaCluj-Napoca, ROM ANIA

Optimizarea Proceselor

Chimice

sem.8, 2015-2016



Optimizarea Proceselor Chimice

Cuprins

Introducere 9

Notiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Etapele optimizarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Alegerea criteriului de optimizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Stabilirea restrictiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Aplicatii ın industria chimica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Modelarea matematica a proceselor 16

Modele matematice analitice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Modelul matematic al unui reactor prevazut cu agitator . . . . . . . . . . . 20

Modele matematice statistice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica

24 februarie 20163/324




Functii obiectiv f ara restrictii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Functii obiectiv cu restrictii de tip inegalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Dimensionarea unui vas de stocare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Grosimea optima a izolatiei unei conducte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Metode numerice unidimensionale de optimizare . . . . . . . . . . . . 89

Caracteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Algoritm general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Functii unimodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Reducerea intervalului de cautare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Metoda Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Metoda perechilor secventiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98






Metoda seriei lui Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Metoda sectiunii de aur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Temperatura optima de reactie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu . . . . . . . . . . . . . 124

Functii MATLAB utilizate ın optimizarea unidimensionala . . . . . . . . . . 135

Metode numerice multidimensionale de optimizare . . . . . . . . . . 136

Caracteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Algoritm general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Criteriile lui Himmelblau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Metode de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Metoda gradientului cu pas constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Metoda gradientului cu pas optim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Metoda Pattern Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163






Metoda Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Metoda poliedrului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Metoda poliedrului extensibil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Compozitia la echilibru a unui amestec gazos . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Functii MATLAB utilizate ın optimizarea multidimensionala . . . . . . . . . 212

Metode de programare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Programarea liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Determinarea cailor optime de aprovizionare . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Planul optim de productie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Functii MATLAB utilizate ın programarea liniara . . . . . . . . . . . . . . . 253

Programarea dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287






Optimizarea timpului de stationare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Algoritmi genetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Exemplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Metode experimentale de optimizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

EVOP - Operarea Evolutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

Bibliografie 324





Introducere

O i i P l Chi i I d



Optimizarea Proceselor Chimice: Introducere

A optimiza:

a identifica ˆ ıntr-o situatie de decizie (problem ˘ a)

aceea decizie (solutie) care dintr-un anumit punct de vedere dinainte stabilit (criteriu de optimizare),

este cea mai bun ˘ a decizie (solutie) dintre toate de-

ciziile (solutiile) posibile.

Problemele de optimizare pot fi definite ca probleme dedeterminare a celei mai mici sau a celei mai mari valoriale unei functii de una sau mai multe variabile.


24 februarie 201610/324

O ti i P l Chi i N ti i l



Optimizarea Proceselor Chimice: Notiuni generale

Notiuni specifice:

• criteriu de optimizare• variabila de decizie

• functie obiectiv (functie scop)• solutie optima


24 februarie 201611/324

O ti i P l Chi i Et l ti i ˘ ii



Optimizarea Proceselor Chimice: Etapele optimizarii

Alegerea criteriului

de optimizare

Stabilirearestrictiilor

Alegerea varia-

bilelor de decizie

Obtinerea modelului

matematic

Testarea modelului

Stabilirea functieiobiectiv

Selectarea metodeide optimizare

Calcularea

solutiei optime

Aplicarea solutieioptime

Operatii efectuate cuajutorul calculatorului


24 februarie 201612/324

O ti i P l Chi i Al it i l i d ti i



Optimizarea Proceselor Chimice: Alegerea criteriului de optimizare

Criterii de optimizare de natura economica:• beneficiul

• durata de recuperare a investitiei

• investitia totala

• costuri de productie

Criterii de optimizare de natura tehnica:• volumul reactorului

• conversia reactantului

• masa catalizatorului

• concentratia produsului


24 februarie 201613/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Stabilirea restrictiilor



Optimizarea Proceselor Chimice: Stabilirea restrictiilor

Restrictii de natura fizica:• variabile non-negative: xi 0De exemplu: lungimi, grosimi, concentratii sunt exprimate prin valori non-negative.

Restrictii de natura tehnica ori tehnologica:

• variabile ıntre anumite limite: a xi b

De exemplu: temperatura de operare a unui reactor, lungimea tevilor unuischimbator de caldura.

• expresii de forma: g j(x1, x2, . . . xn) = 0

ori

gk (x1, x2, . . . xn) 0

De exemplu: natura procesului ori chiar cerintele impuse procesului pot lua

astfel de forme.


24 februarie 201614/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Aplicatii ın industria chimica



Optimizarea Proceselor Chimice: Aplicatii ın industria chimica

Proiectare

• alegerea solutiei tehnologice optime• dimensionarea optima a utilajelor si a fluxurilor

Exploatare• determinarea valorilor optime ale parametrilor de lucru

• aprovizionarea/valorificarea optima a materiilor

prime/produsilor

Conducere

• alegerea structurii optime a sistemului de conducere

• identificarea valorilor optime ale regulatoarelor


24 februarie 201615/324



Modelarea matematica

a proceselor

Optimizarea Proceselor Chimice: Modelare matematica



Optimizarea Proceselor Chimice: Modelare matematica

Modele matematice

Rol: Permit identificarea legaturilor existente ıntre variabileleprocesului.

Forma: Ecuatii ori sisteme de ecuatii matematice.

Tipuri: Liniare si Neliniare

Stat ¸ionare si Dinamice Analitice si Statistice

Utilizare: Proiectare, Exploatare, Optimizare, Conducere procese si

instalatii.


24 februarie 201617/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Modele matematice analitice




Bazat pe:

◮ ecuatii de conservare:• masa totala/pe componente

• energie

• moment

◮ ecuatii ale proceselor chimice si fizice ce au loc ın sistem:

• cinetice• termodinamice

• legi ale proceselor fizice: - Fick (transfer de masa)

- Fourier (transfer termic)

- Stokes (sedimentare)

- Raoult (echilibre de faza), . . .UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica

24 februarie 201618/324





Avantaje

◮ flexibilitate

◮ domeniul de valabilitate extins

Dezavantaje

◮ necesita o buna cunoastere a fenomenelor si proceselor

◮ personal cu pregatire speciala

◮ validare cu date experimentale

◮ rezulta modele complexe greu de utilizat


24 februarie 201619/324

Exemple: Modelul matematic al unui reactor prevazut cu agitator



Exemple: Modelul matematic al unui reactor prevazut cu agitator

T R

V

FR

c A,0 , cB,0

FR

c A , cB , cC

Figura 1. Reactor.

Sa se scrie ecuatiile modelului matematic al

unui reactor operat continuu ın care are loc

reactia:

A + B −→ C


24 februarie 201620/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Modele matematice statistice



Opt a ea ocese o C ce: Mode e ate at ce stat st ce

Bazat pe:◮ date experimentale

◮ instrumente matematice simple

Sistemmodelat

xn..

.x2x1

ym... y1

V a r i a b i l e

i n d e p e n

d e n t e

V a r i a b i l e

d e p e n d

e n t e

y j = f j(x1, x2, . . . , xn) pentru j = 1, m


24 februarie 201621/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Modele matematice statistice



p

Avantaje◮ simple din punct de vedere matematic

◮ nu necesita cunostinte despre procese si fenomene

◮ nu necesita cunostinte speciale

Dezavantaje

◮ necesita un set extins de date experimentale

◮ nu pot fi extrapolate pe ale sisteme

◮ sunt valabile doar pe domeniul datelor experimentaleutilizate


24 februarie 201622/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie



p g

Etapele

analizei deregresie

Inventariereavariabilelor

Obtinerea datelorexperimentale

Testarea datelorexperimentale

Alegerea formeimodelului

Calcularea coeficientilormodelului

Testarea adecvanteimodelului

Testarea semnificatieicoeficientilor

M O D E L M A T E M A T I C

nu

corespunde

OK

nu

corespunde nu

corespunde

OK

nu

corespunde

OK


24 februarie 201623/324




p g

Obtinerea datelor experimentale◮ experimente aleatoare

prin utilizarea datelor rezultate din urmarirea

curenta a procesului

◮ experimente programate

prin identificarea, pe baza unui anumit algo-

ritm, a acelor combinatii de valori ale variabi-

lelor independente prin care se pot obtine maxi-

mum de informatii cu un numar minim de ex-

perimente


24 februarie 201624/324




p g

Experimentul factorial

Numarul de experimente: m = zn

Experimentul factorial la doua niveluri, n = 2.

Caracteristici:

• acoperirea ˆ ıntregului domeniu de variatie al variabilelor independente prin

alegerea pentru fiecare variabila a doua niveluri: inferior, xi,min si superior,

xi,max

• codificarea variabilelor prin valorile −1, 0 si 1 ın urma centrarii si normariifiecarei variabile conform expresiilor:

x0i =

xi,min + xi,max

2

pentru calcularea nivelului de baza al variabilei xi

∆xi = xi,max − xi,min

2 unitatea intervalului variabilei xi

X i =

xi

−x0

i

∆xi valorile codificate ale variabilei xi. X i ∈ {−1;0;1}UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica

24 februarie 201625/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Experiment factorial



Experiment factorial la doua niveluri: m = 2

n

• pentru n = 2 avem m = 22 = 4 experimente

X 1

X 2

0

(−1,+1) (+1,+1)

(−1,−1) (+1,−1)

Numarul Factori Variabilaexperimentului X 1 X 2 dependenta

1 +1 +1 Y 1

2 +1 −1 Y 2

3 −1 +1 Y 3

4

−1

−1 Y 4

Figura 2. Experiment factorial complet la 2 niveluri.


24 februarie 201626/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de planificare a experimentelor



Metodele de tip CCD (Central Composite Design)Utilizate pentru determinarea modelelor patratice.

Sunt trei tipuri de astfel de metode:

• metoda punctelor circumscrise - distribuirea unor puncte si ın afara do-

meniului [−1; +1] asigura o buna precizie pe ıntreg spatiul

factorilor.

• metoda punctelor ˆ ınscrise - o concentrare a punctelor ın interiorul dome-

niul [−1; +1] asigura o precizie mai buna ın spatiul centralal factorilor.

• metoda cu fete centrate - asigura o precizie buna atat ın spatiul central

cat si ın ıntreg spatiul factorilor.


24 februarie 201627/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de planificare a experimentelor



−1 0

1−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Metoda punctelor circumscrise

−1 0

1−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Metoda punctelor ınscrise

−1 0

1−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Metoda cu fete centrate

−1 0

1−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Metoda Box-Behnken


24 februarie 201628/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Functii MATLAB



Functii MATLAB utilizate ın planificarea experimentelor

fullfact - planificare experiment factorial total

exemplu de apelare: fullfact([3 4])

ff2n - planificare experiment factorial la doua nivele

exemplu de apelare: ff2n(4)

hadamard - planificare experiment factorial partial

exemplu de apelare: hadamard(4)


24 februarie 201629/324




Functii MATLAB utilizate ın planificarea experimentelor

ccdesign - planificare experiment tip CCD

- metoda punctelor circumscrise:

exemplu de apelare: ccdesign(3, ’type’, ’circumscribed’)

- metoda punctelor ınscrise:

exemplu de apelare: ccdesign(3, ’type’, ’inscribed’)

- metoda cu fete centrate:

exemplu de apelare: ccdesign(3, ’type’, ’faced’)

bbdesign - planificare experimente prin metoda Box-Behnken

exemplu de apelare: bbdesign(3)


24 februarie 201630/324




Testarea datelor experimentale

Sursa erori:• imprecizia masuratorilor efectuate;

• aparitia unor fluctuatii ale parametrilor considerati constanti;

• influenta unor factori care nu au fost considerati;

• subiectivitatea observatorului.

Modalitati de testare:

• testul Cochran pentru testarea omogenitatii dispersiilor:

Gcalculat = σ 2max

m

∑ i=1

σ 2

i

Gtabelat(m, ν)

unde:

σ 2i =

k i

∑ j=1

(Y i, j − Y i)2

k i − 1

- dispersia, iar Y i =

k i

∑ j=1

Y i, j

k i- media unei populatii


24 februarie 201631/324




Alegerea formei modelului

• functie polinomiala

O expresie de forma:

y(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + . . . + ci xi + . . . + cnxn+

c11x21 + c12x1x2 + . . . + c1k x1xk + . . . + c1nx1xn+

c21x1x2 + c22x22 + . . . + c2k x2xk + . . . + c2nx2xn + . . .

care poate fi obtinuta si prin dezvoltare ın serie Taylor a unei functii y = f (x):

y(x) = y(x0) +n

∑ i=1

∂ y

∂ xi

x=x0

(xi − xi,0) +

+1

2

n

∑ i=1

n

∑ k =1

∂ 2 y

∂ xi∂ xk

x=x0

(xi − xi,0)(xk − xk ,0) + . . .

Obs.: Prin gruparea termenilor se obtine o forma polinomiala.


24 februarie 201632/324




• analiza dimensionala

Un proces descris printr-o relatie de forma: f (x1, x2, . . . , xi , . . . , xn) = 0

poate fi exprimata prin expresia (teorema π - Buckingham):

ϕ(π 1, π 2, . . . , π k , . . . , π m) = 0 cu m < n

unde: m

∏k =1

π αk k = c

Se poate obtine o dependenta de tipul:

y = c0

n−1

∏

i=1

xcii

care poate fi adusa la o forma liniara prin logaritmare:

log y = log c0 +n−1

∑ i=1

ci log xi


24 februarie 201633/324




• reprezentare grafica - aplicabila ın cazul functiilor de o singura variabila

• utilizarea unor expresii ale unor unor legi ale fenomenului/procesului

modelat


24 februarie 201634/324




Calcularea coeficientilor modelului

Metoda celor mai mici patrateBazat pe minimizarea abaterilor date-model utilizand expresia:

S =

m

∑ j=1(Y j − y j)

2

Pentru un model matematic de forma: y = c0 + c1x1 + . . . + cnxn =n

∑ i=0

ci xi obtinem:

S =m

∑ j=1

Y j − y j

2=

m

∑ j=1

Y j −

n

∑ i=0

ci xij

2

Identificarea coeficientilor ci(i = 0, . . . , n) poate avea loc prin minimizarea lui S:

minc

S =m

∑ j=1

Y j −

n

∑ i=0

ci xij

2


24 februarie 201635/324




Solutia problemei este obtinuta prin anularea derivatelor partiale ale lui S functie de ci,

obtinandu-se sistemul de ecuatii:

∂ S

∂ c0= −2

m

∑ j=1

Y j −

n

∑ i=0

ci xij

x0i = 0

∂ S

∂ c1= −2

m

∑ j=1

Y j −

n

∑ i=0

ci xij

x1i = 0

...

∂ S

∂ cn= −2

m

∑ j=1

Y j −

n

∑ i=0

ci xij

xnj = 0


24 februarie 201636/324




Reprezentand sistemul ın forma matriceala:

C

X T X

= X T Y

unde X este matricea marimilor independente, Y este vectorul marimii dependente iar

C este vectorul coeficientilor avand urmatoarele expresii:

X =

x01 x11 · · · xn1

x02 x12 · · · xn2

.

.....

x0m x1m · · · xnm

Y =

Y 1

Y 2...

Y m

C =

c0

c1

.

..

cn

solutia este:

C = X T

X −1

X T

Y


24 februarie 201637/324




Calcularea coeficientilor modeluluiDate obtinute prin experimente factoriale completeCoeficientii pentru un model matematic de forma: y = c0 + c1x1 + . . . + cnxn se obtin

prin expresia:

ci =

m∑ j=1

X ijY j

m

∑ j=1

X 2ij


24 februarie 201638/324




Testarea modelului

Testarea adecvantei modeluluiSe utilizeaza testul Fisher:

F = σ 2m

σ 2

y

Ftabelat(α, νm, ν y)

unde σ 2m este dispersia de adecvanta a modelului calculata cu relatia:

σ 2m =

N

∑

i=1 Y j

− y j

2

N − N c

iar σ 2 y este dispersia datelor experimentale care se calculeaza cu relatiile:

σ 2 y =

m∑ j=1

σ 2 j ν j

m

∑ j=1

ν j

σ 2 j =

k j∑

k =1

Y kj − Y j

2

ν jν j = k j − 1


24 februarie 201639/324




Testarea modelului

Testarea semnificatiei coeficientilorSe pastreaza doar termenii ce contin coeficienti ce respecta conditia:

|c

i|∆c

unde ∆c este intervalul de ıncredere al coeficientilor dat de relatia:

∆c = ±t σ 2c

Dispersia coeficientilor σ 2c se calculeaza cu relatia:

σ 2c =σ 2 y

N

iar valoarea criteriului Student se alege din tabele sub forma t(α, ν) unde ν =m

∑ i=1

νi.


24 februarie 201640/324




Functii si operatori MATLAB utilizate ın analiza de regresie

operatori si functii de calcul matricial:

* - ınmultire matriciala

’ - transpusa unei matrici

inv - inversa unei matrici

exemplu de apelare: C = inv(X*X’)*X’*Y

mean - valoarea medie unde: x = 1n

n∑ i=1

xi

exemplu de apelare: mean(vector valori)

std - deviatia standard unde: σ =

1n−1

n

∑ i=1

(xi − x)2

exemplu de apelare: std(vector valori)


24 februarie 201641/324

Exemple: Transferul termic ıntr-un schimbator de caldura

ˆ



Nr. Re

Nu

exp. 1 2 3 4

1 50 33 32 33 -

2 250 57 56 56 -3 400 67 68 - -

4 600 77 78 77 77

5 800 85 86 87 -6 1000 92 91 92 -

7 1200 98 98 97 98

8 1400 103 102 103 1039 1600 108 107 108 108

10 2000 118 117 117 117

In scopul obtinerii unui model matema-

tic al transferului termic ıntr-un schim-

bator de caldura s-au efectuat o serie

de experimente (prezentate ın tabelul

alaturat).

Procesul de transfer termic poate fi de-scris de o ecuatie criteriala de forma:

a. Nu = a + b Re

b. Nu = a + b Re + c Re2

c. Nu = a Reb

Folosind datele experimentale disponi-

bile, sa se determine valorile coeficienti-

lor a, b si c.


24 februarie 201642/324



Metode de optimizare

Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de optimizare



Criterii de alegerea a metodei de optimizare:• numarul de variabile de decizie;

• forma functiei obiectiv;

• forma si numarul restrictiilor.

Clasificare:• Metode analitice

• Metode numerice

• Metode de programare


24 februarie 201644/324




Metode analiticesau clasice de optimizare ce pot fi aplicate la func¸tii

obiectiv definite, continue si derivabile. Aceste metode

sunt greu ori imposibil de aplicat pe masura ce va-riabilele de decizie sunt supuse la restrictii de tip

egalitate ori inegalitate ori creste dimensionalitatea

problemei.Din acest motiv, metodele analitice se aplica doar

pentru rezolvarea problemelor simple de optimi-

zare cu numar mic de variabile de decizie.


24 februarie 201645/324




Metode numerice

sau metode de c ˘ autare direct a sunt aplicabile pen-

tru probleme de optimizare cu functii obiectiv si

restrictii de forme complexe si cu numar mare de

variabile de decizei. Metodele din aceasta clasa se

bazeaza pe experimente numerice planificate prin

care se ınainteaza pas cu pas, prin ımbunatatiri

succesive a valorii functiei obiectiv, spre extremul

cautat.

Aceste metode se ımpart, ın functie de numarul de

variabile de decizie, ın:

• metode de eliminare si

• metode de urcare-coborare.


24 februarie 201646/324




Metode de programaresunt metode ce se aplica ın situatia ın care functia

obiectiv si restrictiile prezinta anumite forme de re-

prezentare specifice. Principalele metode de pro-gramare sunt: programarea liniar˘ a, programarea dina-

mic˘ a, programarea p˘ atratic˘ a, etc. Astfel programarea

liniara se aplica ın situatia ın care functia obiectiv sirestrictiile sunt expresii liniare ın raport cu variabi-

lele de decizie.


24 februarie 201647/324



Metode analitice

de optimizare

Optimizarea Proceselor Chimice: Metode analitice



Caracteristici:

• solutia optima este identificata cu precizie;

• pot fi aplicate si la problemele cu restrictii;

• functia obiectiv trebuie sa fie continua si de mai multe oriderivabila, cu cel putin o parte dintre derivate continue.

Datorita acestor caracteristici, metodele analitice clasice de

optimizare sunt aplicabile doar la problemele cu un numar redusde variabile de decizie ın care expresiile functiei obiectiv si ale

restrictiilor sunt matematic simple.


24 februarie 201649/324

Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii



Functii obiectiv de o variabila de decizie

Fie f (x) o functie obiectiv unidimensionala continua si de mai multe ori derivabila pe

domeniul de cautare A x B. Aceasta functie are un minim ın punctul x = x∗ daca se

respecta inegalitatea:

f (x∗ + ∆x) − f (x∗) 0 (1)

pentru orice −ǫ ∆x ǫ. In acelasi mod, functia f (x) are un maxim ın punctul x = x∗

daca se respecta inegalitatea:

f (x∗ + ∆x) − f (x∗) 0 (2)

pentru orice ∆x din intervalul [−ǫ, ǫ].


24 februarie 201650/324


Prin dezvoltarea functiei f (x) ın serie Taylor ın jurul presupusului punct de extrem x∗



Prin dezvoltarea functiei f (x) ın serie Taylor ın jurul presupusului punct de extrem x∗

se poate determina conditia necesara pentru ca functia sa prezinte un extrem:

f (x∗ + ∆x) − f (x∗) = ∆x ∂ f

∂ x

x=x∗+ ∆x2

2

∂ 2 f

∂ x2

x=x∗

+ . . . (3)

Daca punctul x∗ este un extrem atunci pe baza conditiilor prezentate ın ecuatiile (1) si

(2) este necesar ca termenul de ordinul ıntai din dezvoltarea ın serie Taylor, ecuatia (3),

sa nu ısi schimbe semnul indiferent de valoarea curenta a termenului ∆x. Acest lucru

este posibil daca: ∂ f

∂ x

x=x∗= 0 (4)

de unde rezulta si conditia necesara pentru ca un punct oarecare x sa fie un punct de

extrem, respectiv ca acel punct sa fie o radacina a derivata de ordinul ıntai a functieiobiectiv.

Punctele pentru care derivata de ordin ıntai este nula (optime locale si puncte de infle-

xiune) poarta denumirea de puncte stat ¸ionare (fig. 3).UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica

24 februarie 201651/324




x

f (x)

x∗

f (x∗)

∆x < 0 ∆x > 0

a

x

f (x)

x∗

f (x∗)

∆x < 0 ∆x > 0

b

x

f (x)

a

f (a)

∆x < 0 ∆x > 0

c

Figura 3. Tipuri de puncte stationare:

a - punct de maxim; b - punct de minim; c - punct de inflexiune.


24 februarie 201652/324


d l d d d d l b l



Presupunand ca suma termenilor de ordin mai mare decat doi este neglijabila ın raport

cu termenul de ordinu doi, conditia suficienta pentru ca x∗ sa fie un punct de extremeste:

• pentru minim: ∂ 2 f

∂ x2 x=x∗

> 0;

• pentru maxim: ∂ 2 f

∂ x2

x=x∗

< 0;

In situatia ın care derivata de ordinul doi este nula ın punctul x∗ atunci se examineaza

derivatele de ordin superior.


24 februarie 201653/324




Generalizare

Dac˘ a prima derivat˘ a nenul˘ a este de ordin par, punctul

stat ¸ionar considerat va fi minim local dac˘ a valoarea

derivatei respective ın acel punct este pozitiv˘ a si maxim

local dac˘ a este negativ˘ a; dac˘ a prima derivat˘ a nenul˘ a este

de ordin impar, punctul stat ¸ionar respectiv este un punct

de inflexiune.


24 februarie 201654/324


F tii bi ti d d ˘ i bil d d i i



Functii obiectiv de doua variabile de decizie

Fie o functie obiectiv f (x1, x2) de doua variabile independente, continua si multiplu de-

rivabila. Dezvoltarea ın serie Taylor a acestei functii ın jurul presupusului punct de

extrem (x∗1 , x∗

2 ) este:

f (x∗1 + ∆x1, x∗

2 +∆x2) − f (x∗1 , x∗

2 ) = ∆x1∂ f

∂ x1

x∗

1 ,x∗2

+∆x2∂ f

∂ x2

x∗

1 ,x∗2

+

+∆x2

12 ∂

2

f ∂ x21

x∗

1 ,x∗2

+∆x1∆x2 ∂

2

f ∂ x1∂ x2

x∗1 ,x∗

2

+ ∆x2

22 ∂

2

f ∂ x22

x∗

1 ,x∗2

+ . . .

(5)

In aceasta relatie s-a considerat ca intervalele ∆x1, ∆x2 sunt suficient de mici ıncat ter-

menii de ordin mai mare decat doi pot fi neglijabiti.


24 februarie 201655/324


C diti ˘ t t ∗ ∗ ˘ fi t t ti t ti l



Conditia necesara pentru ca un punct x∗1 , x∗

2 sa fie un punct stationar este ca respectivul

punct sa fie o solutie a sistemului:

∂ f

∂ x1= 0

∂ f ∂ x2

= 0

(6)

Pentru ca punctul stationar astfel identificat sa fie un maxim, este suficient, conform

celor expuse anterior, ca:

∆x21

2

∂ 2 f

∂ x21

x∗

1 ,x∗2

+∆x1∆x2∂ 2 f

∂ x1∂ x2

x∗

1 ,x∗2

+ ∆x2

2

2

∂ 2 f

∂ x22

x∗

1 ,x∗2

< 0 (7)


24 februarie 201656/324


Pentru simplificarea scrierii se noteaza:



Pentru simplificarea scrierii se noteaza:

∂ 2 f

∂ x21

x=x∗= A,

∂ 2 f

∂ x1∂ x2

x=x∗= B,

∂ 2 f

∂ x22

x=x∗= C

Astfel, relatia (7) devine:

∆x21 A + 2∆x1∆x2B + ∆x2

2C < 0 (8)

Daca se da factor comun termenul A, se obtine:

A

∆x2

1 + 2∆x1∆x2B

A +∆x2

2C

A

< 0


24 februarie 201657/324


B2



In interiorul parantezei prin adunarea si scaderea termenului ∆x2

2

B2

A2

se obtine un patrat

perfect:

A

∆x2

1 + 2∆x1∆x2B

A +∆x2

2B2

A2 +∆x2

2C

A −∆x2

2B2

A2

< 0

respectiv:

A

∆x1 + ∆x2

B

A

2

+ ∆x2

2

A2

A C − B2

< 0

Pentru ca termenii din paranteza dreapta sa-si pastreze semnul oricare ar fi ∆x1, ∆x2

simultan nenule este necesar ca:

AC − B2 > 0 (9)

ceilalti termeni fiind pozitivi. Pentru un maxim, conditia (9) este completata de conditia:

A < 0 (10)


24 februarie 201658/324


In mod similar pentru un minim avem:



In mod similar, pentru un minim avem:

∆x21

2

∂ 2 f

∂ x21

x∗1 ,x∗

2

+∆x1∆x2∂ 2 f

∂ x1∂ x2

x∗1 ,x∗

2

+ ∆x2

2

2

∂ 2 f

∂ x22

x∗1 ,x∗

2

> 0 (11)

astfel ıncat, efectuand aceleasi notatii, rezulta:

A

∆x1 + ∆x2

B

A

2

+ ∆x2

2

A2

A C − B2

> 0

Conditia suficienta pentru ca punctul x∗1 , x∗

2 sa fie un minim este:

AC − B2 > 0 si A > 0 (12)

Relatiile (9) si (10) respectiv (12) sunt cunoscute sub numele de criteriile lui Lagrange.


24 februarie 201659/324


Daca se scrie matricea hessiana al functiei f (x1 x2):



Daca se scrie matricea hessian a al functiei f (x1, x2):

H =

∂ 2 f

∂ 2x1

∂ 2 f

∂ x1∂ x2

∂ 2 f

∂ x1∂ x2

∂ 2 f

∂ 2x2

x∗1 ,x∗

2

se observa corespondenta expresiilor (9) si (10) respectiv (12) cu determinantii de ordinul

1 si 2 ai acestei matrice. Astfel daca se noteaza cu Di determinantul de ordinul i, o

formulare echivalenta a criteriilor lui Lagrange va fi:

• pentru un minim: D1 > 0 si D2 > 0

• pentru un maxim: D1 < 0 si D2 > 0


24 februarie 201660/324


Functii obiectiv de n variabile de decizie



Functii obiectiv de n variabile de decizie

Pentru cazul unei functii obiectiv f (x1, x2, . . . , xn) de n variabile de decizie se procedeaza

ın acelasi mod. Dezvoltarea ın serie Taylor si metoda completarii patratelor conduce la

urmatoarele conditii:

• conditia necesara pentru ca un punct x∗1 , x∗1 , . . . , x∗n sa fie un punct stationar:

∂ f

∂ x1= 0

∂ f

∂ x2= 0

...∂ f

∂ xn= 0

(13)


24 februarie 201661/324


• un punct stationar este un minim local daca toti determinantii matricei he-



un punct stationar este un minim local daca toti determinantii matricei he

ssiene sunt pozitivi:Di > 0 pentru i = 1, 2, . . . n (14)

• un punct stationar este un maxim local daca determinantii de ordin impar ai

matricei hessiene sunt negativi, iar cei de ordin par sunt pozitivi:

Di < 0 pentru i = 1, 3, 5, . . .

Di > 0 pentru i = 2, 4, 6, . . .(15)

• daca nu sunt ındeplinite nici conditiile (14) si nici (15), punctul stationar stu-

diat este un punct de inflexiune.


24 februarie 201662/324

Metode analitice: Exemplu

Sa se rezolve urmatoarea problema de optimizare:



p p

minx

f ob = 4x21 + 2x2

2 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (16)

RezolvarePentru identificarea punctelor stationare se anuleaza derivatele de ordinul ıntai:

∂ f ob

∂ x1= 8x1 + 4x2 = 0

∂ f ob

∂ x2= 4x2 + 4x1 + 2 = 0

(17)

Determinarea tipului de extrem se face prin analizarea valorilor derivatelor de ordinul

doi ın punctele stationare identificate astfel.


24 februarie 201663/324

Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate

Pentru un sistem cu n variabile de decizie (x1, x2, . . . , xn) supus la l restrictii de tip ega-



( 1, 2, , n) p ¸ p g

litate, formularea generala a problemei de optimizare este:

optimx

f (x) , x ∈ En (18)

supus la: g j (x) = 0 j = 1, . . . l (19)

unde domeniul de cautare este spatiul euclidian n-dimensional (En), iar f (x) si g j(x) sunt

functii de orice forma.

Rezolvare:

◮ Metoda substitutiei

◮ Metoda multiplicatorilor lui Lagrange


24 februarie 201664/324


Metoda substitutiei



Metoda substitutiei

Fie functia obiectiv:

y = f ob(x1, x2) (20)

cu restrictia:

g(x1, x2) = 0 (21)

Daca din restrictia (21) explicitam una din variabile ın functie de cealalta, obtinem:

x2 = h(x1) (22)

Inlocuind variabila de decizie x2 din functia obiectiv (20) cu expresia lui din (22),

obtinem:

y = f ob (x1, h (x1)) (23)Problema obtinuta, relatia (23), este o problema echivalenta cu cea initiala, relatiile (20)

si (21), ın sensul ca prezinta aceeasi solutie.


24 februarie 201665/324


In situatia ın care avem o functie obiectiv de n variabile de decizie:



y = f ob(x1, x2, . . . , xn) (24)

supusa la sistemul de restrictii:

gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . , m < n (25)

se exprima din cele m restrictii, m variabile de decizie din cele n ın functie de cele n − m

ramase, conform expresiilor:

x1 = h1(xm+1, xm+2, . . . , xn)

x2 = h2(xm+1, xm+2, . . . , xn)...

xm = hm(xm+1, xm+2, . . . , xn)

(26)

Prin substitutie rezulta functia obiectiv echivalenta nesupusa la restrictii de forma:

y = f ob(xm+1, xm+2, . . . , xn) (27)


24 februarie 201666/324





minx

f ob = 4x21 + 2x2

2 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (28)

cu restrictia:

x1 + x2 = 0 (29)

RezolvareSe exprima variabila x1 ın functie de x2 din restrictia (29):

x1 = −x2

Inlocuim ın functia obiectiv, relatia (28), pe x1 cu aceasta expresie si obtinem:

f ob = 4 (−x2)2 + 2x22 + 4 (−x2) x2 + 2x2 + 1 =

= 2x22 + 2x2 + 1

Functia obiectiv obtinuta astfel nu este supusa la restrictii.UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica

24 februarie 201667/324


Metoda multiplicatorilor lui Lagrange



p g g

Avand o functie obiectiv de doua variabile de decizie descrisa de expresia:

y = f ob(x1, x2) (30)

si supusa la restrictia: g(x1, x2) = 0 (31)

solutia poate fi un punct S de coordonate (x∗1 , x∗

2 ) din domeniul de cautare care verifica

ecuatia de restrictie, adica numai puncte de pe curba g(x1, x2) = 0.


24 februarie 201668/324




x∗1

x∗2

f (x∗1 , x∗

2 )

S

x1

x2 g

( x

1 , x

2 )

y = f ( x 1

, x 2 )

Figura 4. Pozitia punctului de extrem conform expresiilor (30) si (31).

Observat ¸ie: Functia obiectiv este reprezentata prin curbe de contur.


24 februarie 201669/324


Daca punctul S (fig. 4) este solutia problemei de optimizare descrisa prin relatiile (30)



si (31), atunci curbele f (x1, x2) = f ∗ si g(x1, x2) = 0 sunt tangente ın punctul S, avandaceeasi panta.

Aceasta conditie poate fi redata prin expresia:

∂ y

∂ x1

∂ g

∂ x1

x∗

1 ,x∗2

=

∂ y

∂ x2

∂ g

∂ x2

x∗

1 ,x∗2

= λ (32)

unde λ este raportul de pante si se numeste multiplicatorul lui Lagrange.


24 februarie 201670/324


Din (32) rezulta:∂ ∂



∂ y

∂ x1− λ

∂ g

∂ x1= 0

∂ y

∂ x2 −λ ∂ g

∂ x2

= 0

(33)

Ecuatiile (33) ımpreuna cu (31) pot fi interpretate drept conditiile necesare pentru valo-

rile extreme ale unei functii fara restrictii denumita funct ¸ia lui Lagrange:

L(x1, x2, λ) = y(x1, x2) − λ g(x1, x2) (34)


24 februarie 201671/324


In situatia unei functii obiectiv de n variabile de decizie si cu m n restrictii de tip



egalitate se construieste funct ¸ia lui Lagrange ın felul urmator:

L(x1, x2, . . . , xn, λ1, . . . , λm) = f (x1, x2, . . . , xn)−

−λ1 g1(x1, x2, . . . , xn)−−λ2 g2(x1, x2, . . . , xn)−

...

−λm gm(x1, x2, . . . , xn)

(35)


24 februarie 201672/324


Rezolvarea acestei probleme se face prin rezolvarea sistemului format din egalarea cu

zero a derivatelor partiale ale functiei L ın raport cu x1, x2, . . ., xn:



p ¸ ¸ p 1, 2, , n

∂ L

∂ x1= 0

∂ L

∂ x2

= 0

...∂ L

∂ xn= 0

(36)

precum si derivatele partiale ale functiei L ın raport cu λ1, . . . , λm:

∂ L

∂ λ1

= 0

...∂ L

∂ λm= 0

(37)


24 februarie 201673/324





minx f ob = 4x21 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (38)

cu restrictia:x1 + x2 = 0 (39)

Rezolvare: Se formeaza functia obiectiv a lui Lagrange:

L(x1, x2, λ) = 4x21 + 2x2

2 + 4x1x2 + 2x2 + 1 − λ(x1 + x2)

Rezolvam urmatorul sistem de ecuatii:

∂ L

∂ x1= 8x1 + 4x2 − λ = 0

∂ L∂ x2

= 4x2 + 4x1 + 2 − λ = 0

∂ L

∂ λ = x1 + x2 = 0

(40)


24 februarie 201674/324

Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip inegalitate

Pentru o functie obiectiv cu n variabile de decizie (x1, x2, . . . , xn) supusa la m restrictii

de tip inegalitate formularea generala a problemei de optimizare este:



de tip inegalitate, formularea generala a problemei de optimizare este:

optimx

f (x) , x ∈ En (41)

supus la: g j (x) 0 j = 1, . . . m (42)

unde domeniul de cautare este spatiul euclidian n-dimensional (En), iar f (x), si g j(x)

sunt functii de orice forma.Solutia problemei (optimul) se poate gasi fie ın interiorul domeniului admisibil, definit

prin relatiile (42), fie pe frontiera acestui domeniu. Pentru rezolvarea acestui tip de

probleme se prezinta doua modalitati de abordare.


24 februarie 201675/324


Metoda bazata pe ignorarea inegalitatilor



Abordarea identificarii solutiei are loc ın felul urmator:

1. se trateaza functia obiectiv ca o functie fara restrictii;

2. se verifica daca punctele stationare gasite astfel sunt ın interiorul

domeniului admis, respectiv daca verifica sistemul de restrictii;3. daca acest lucru este adev˘ arat, solutia problemei cu restrictiile inegalitate este

identica cu solutia problemei fara restrictii;

4. daca acest lucru este fals, optimul cautat se poate gasi pe frontiera impusa derestrictii. Identificarea solutiei ın acest caz are loc prin impunerea respectarii

la limita a inegalitatilor ce nu sunt satisf acute prin transformarea lor ın

restrictii egalitate. In acest caz rezolvarea problemei se reia de la primul

punct al algoritmului, incluzand ın calcul si restrictiile egalitate obtinuteastfel.


24 februarie 201676/324





minx f ob = 4x21 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (43)

supusa la restrictiile:

x1 + x2 = 0

x1 + x2 − x1x2 1,5(44)


24 februarie 201677/324


Metoda bazata pe transformarea inegalitatilor



In acest caz ın fiecare restrictie de tip inegalitate se introduce o variabila fictiva, non-negativa prin care restrictia de tip inegalitate devine una de tip egalitate. Modificarile

efectuate asupra restrictiilor (42) sunt:

r j = g j (x) + x2n+ j = 0 j = 1, . . . m (45)

Pe acesta cale, problema este transformata dintr-o problema de optimizare cu restrictii

de tip inegalitate, ıntr-o problema de optimizare cu restrictii de tip egalitate.


24 februarie 201678/324





minx f ob = 4x21 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (46)


x1 + x2 0

x1 + 9 x2 − x1x2 0,5(47)

Rezolvare: Transformam restrictiile inegalitate ın restrictii de tip egalitate prin intro-

ducerea unor variabile fictive notate cu x3 si x4. Sistemul de restrictii (47) devine:

−x1 − x2 + x23 = 0

−x1

−9 x2 + x1x2 + x2

4 =

−0,5

(48)

Pe aceasta cale obtinem o problema echivalenta problemei initiale, ecuatiile (46) si (47),

ın care functia obiectiv este expresia (46) si restrictiile sunt expresiile (48).


24 februarie 201679/324

Exemple: Dimensionarea unui vas de stocare

Sa se dimensioneze un vas de stocare de forma cilindrica cu fund si capac plan

avand volumul V R = 1000 m3.



R

h

d

Figura 5. Vas de stocare.

Dimensionarea vasului se va executa

ın asa fel ıncat costul materialului uti-

lizat pentru confectionarea vasului sa

fie minim, dar cu respectarea conditieide montaj ca ınaltimea vasului sa nu

depaseasca hR 9 m.


24 februarie 201680/324

Exemple: Grosimea optima a izolatiei unei conducte

Abur Izolatie Aert, [˚C]Sa se stabileasca grosimea optima δ∗iz a

izolatiei termice din polistiren a unei con-



0

tabur

tmed

r

rc δiz

Figura 6. Transferul termic prin

izolatia unei conducte.

¸ p

ducte ce transporta abur saturat.

Sistemul are urmatoarele caracteristici:

• presiunea aburului, pabur = 5 bar;

• diametrul conductei, dc = 60 mm;

• lungimea traseului, L = 150 m;

Sistemul este ın functiune h = 8.000 ore

pe an putand fi amortizat ın 10 ani defunctionare.


24 februarie 201681/324


Rezolvare:Determinarea grosimii optime a izolatiei unei conducte reprezinta o problema



g p p p

de minimizare ce implica o functie obiectiv de forma:

minδiz

f ob = Ctotal = Cinvestitie + Coperare (49)

unde termenii reprezinta cheltuieli ın unitati valorice [u.v] iar δiz reprezinta

grosimea izolatiei, [m].


24 februarie 201682/324


Cheltuielile de investitie, Ctotal, sunt date de cota anuala de amortizare a valorii

izolatiei:



Ctotal = V iz ρiz ciz ram (50)

unde: V iz este volumul izolatiei, [m3];

ρiz

- densitatea izolatiei, [kg/m3];

ciz - costul unitar al izolatiei (impreuna cu manopera de

montare), [u.v./kg];

ram - rata anuala a amortizarii izolatiei.

Pentru izolarea unei conducte, volumul izolatiei utilizate este data de expresia:

V iz = π L

(rc + δiz )2 − r2

c

= π Lδiz (δiz + 2rc) (51)

unde: L - lungimea conductei ce se izoleaza, [m];

rc - raza exterioara a conductei, [m].


24 februarie 201683/324


Cheltuielile de operare, Coperare, sunt date de valoarea pierderilor de caldura

prin izolatie:



Coperare = Q cen h (52)

unde: Q este cantitatea de energie pierduta prin izolatie, [W];

cen

- costul energiei termice, [u.v./W];

h - numarul anual de ore de functionare al traseului izolat,

[h/an].


24 februarie 201684/324


Pentru cazul izolarii unei conducte pentru calculul caldurii pierdute utilizam

relatia transferului de caldura prin pereti cilindrici coaxiali (fig. 6):



Q = 2π L (t − tamb)

δiz

λiz riz+

1

αaer rext

(53)

unde: t este temperatura fluidului vehiculat prin conducta, [K];

tamb - temperatura ambianta (media anuala), [K];

λiz

- conductivitatea termica a izolatiei, [W/(m·K)];

riz - raza medie logaritmica a stratului de izolatie, [m];

αaer - coeficientul partial de transfer termic spre mediul

ambiant, [W/(m2

·grd)];

rext - raza exterioara a conductei izolate, [m].


24 februarie 201685/324


Termenii riz si rext sunt exprimate prin relatiile:



riz = (rc + δiz ) − rc

ln

rc + δiz

rc

= δiz

ln

1 +

δiz

rc

(54)

rext = rc + δiz (55)

Functia obiectiv a problemei de optimizare, prin explicitarea cheltuielilor con-

form relatiilor (50)÷(55), devine:

minδiz

f ob = π L δiz ρiz ciz ram (2rc + δiz ) + 2π L cen h (t − tamb )1

λizln

1 +

δiz

rc

+

1

αaer (rc + δiz )

(56)


24 februarie 201686/324


Rezolvarea acestei probleme de optimizare este posibila prin aplicarea metodei

analitice de anulare a derivatei functiei obiectiv ın raport cu variabila de decizie

δ



δiz :

∂ f

∂ δiz= 2π L ρiz ciz ram (rc + δiz ) −

−2π L cen h (t − tamb ) (rc + δiz )

1λiz

− 1αiz(rc + δiz)

(rc + δiz)

λizln1 +

δiz

rc + 1

αaer

2 = 0

(57)


24 februarie 201687/324


Aplicatie numerica

Temperatura aburului saturat de pabur este de 158,2 ˚C. Caracteristicile materi-

l l i i l t f l it t λ 0 04 [W/( K)] 30 [k / 3] S t



alului izolator folosit sunt: λiz = 0,04 [W/(m·K)], ρiz = 30 [kg/m3]. Se cunoaste

ca: αaer = 10 [W/(m2·K)] iar tamb = 18,9 ˚C.

Costurile energiei termice si a materialului izolator (inclusiv manopera de mon-

tare) au fost considerate ca fiind: cen = 0,1 [u.v./kW] si ciz = 30 [u.v./kg].Notand cu x = rext = rc + δiz si ınlocuind aceste valori ın ecuatia (57) obtinem:

8,4825

·104x +

7,002 · 103 − 1,75048 · 106x

[25 x ln x + 70,3353 x + 0,1]

2 = 0 (58)

Rezolvarea acestei ecuatii neliniare se poate face printr-o metoda numerica.

Solutia obtinuta este x = 0,1693 m ce corespunde la δ∗iz = 0,1393 m.


24 februarie 201688/324



Metode numericeunidimensionale

de optimizare

Optimizarea Proceselor Chimice: Caracteristici

In cele mai multe situatii modelul matematic al unui proces din ingine-

i hi i ˘ t li i ltˆ d ii t ti l



ria chimica este neliniar, rezultand expresii matematice complexe pen-tru functia obiectiv si restrictii. Astfel de probleme de optimizare nu

pot fi rezolvate prin metode analitice ci necesita aplicarea unor metode

numerice.

Metodele numerice sau metodele directe de cautare a optimului suntcaracterizate de:

◮ utilizarea unui plan de cautare bazat pe experimente numerice

ce au loc prin alegerea convenabila a unor valori pentruvariabilele de decizie si calcularea valorii functiei obiectiv;

◮ cautarea porneste de la o solutie initiala aproximativa a

problemei;

◮ utilizarea unui algoritm ce aproximeaza solutia exacta a

problemei de optimizare.


24 februarie 201690/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritm general

• stabilirea unui interval initial ce contine punctul de extrem si pe care

functia obiectiv este unimodala (prezinta un singur extrem). Acest inter-



val de cautare corespunde unei restrictii de forma:

a x b

unde a si b sunt limitele intervalului, notate prin xmin = a si xmax = b;

• reducerea intervalului initial prin eliminarea simultana sau succesiva a

unor subintervale, pentru care exista certitudinea ca nu contin punctul

de extrem.

Observat ¸ie: Conditia necesara pentru aplicarea acestui algoritm este ca

functia obiectiv sa fie unimodala pe intervalul initial de cautare.

Daca pe un interval initial de cautare functia obiectiv este plurimodal˘ a (prezinta

mai multe puncte de extrem) se ımparte intervalul de cautare ın intervale pe

care functia este unimodala.


24 februarie 201691/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Functii unimodale

f (x) f (x)



xx∗

f ∗

xmin xmax

a

xx∗

f ∗

xmin xmax

b

Figura 7. Functii obiectiv unimodale pe domeniul de cautare:

a - punct de maxim; b - punct de minim.


24 februarie 201692/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Reducerea intervalului de cautare

f (x)

f (x)



xx1

x2xmin xmax1 2 3

Caz A

x

x1 x2xmin xmax1 2 3

Caz B

Figura 8. Reducerea intervalului de cautare.


24 februarie 201693/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de eliminare

Cautarea optimului se face prin doua tipuri de metode:

a) simultane - planul de cautare stabileste de la ınceput toate



a) simultane - planul de cautare stabileste de la ınceput toatevalorile variabilei de decizie ın care se vor face experimentele

numerice asupra functiei obiectiv;

b) secvent ¸iale - planul de cautare este astfel ıntocmit ıncat

experimentele succesive se bazeaza pe rezultatele

experimentelor anterioare, adica valorile variabilei de decizie ın

experimentul j + 1 depind de rezultatele obtinute ın

experimentele anterioare j, j − 1, j − 2, . . .


24 februarie 201694/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de eliminare

Datorita eficientei superioare, metodele de cautare secventiala sunt cele mai

utilizate. Din aceasta categorie de metode de eliminare se prezinta:



A. metode ce fac apel la valoarea derivatei functiei obiectiv pentru

reducerea intervalului de cautare:

◮ metoda Bolzano;

◮ metoda perechilor secventiale;

B. metode ce folosesc valoarea functiei obiectiv pentru reducerea

intervalului de cautare:

◮ metoda seriei lui Fibonacci;

◮ metoda sectiunii de aur.


24 februarie 201695/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Bolzano

Pentru aplicarea metodei, avem nevoie de:

• expresia derivatei functiei obiectiv;



• expresia derivatei functiei obiectiv;• intervalul initial de cautare ∆(0) = xmax − xmin pe care functia

obiectiv este unimodala;

• precizia dorita ın identificarea extremului, ǫ

.Observat ¸ie: Daca pe domeniul de cautare functia obiectiv este

unimodala atunci derivatele sale la limitele intervalului de cautare,

[xmin , xmax] vor avea semne diferite.


24 februarie 201696/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Bolzano. Algoritm1. se amplaseaza un punct ın mijlocul intervalului curent de cautare:

x(k ) =x

(k −1)max

−x

(k −1)

min2 (59)



x( ) 2 (59)

unde k este indicele eliminarii curente.

2. se calculeaza valorile derivatei functiei obiectiv ın punctele xmin, x(k ) si

xmax;

3. se elimina acel subinterval pe care derivata nu-si schimba semnul;

4. testarea atingerii punctului de extrem cu precizia impusa, ǫ se face prin

compararea marimii intervalului ramas cu precizia. Daca ∆(k ) > ǫ, setrece la o noua eliminare, k = k + 1, revenind la punctul 1 al algoritmu-

lui. Daca se ındeplineste conditia:

∆(k ) ǫ (60)

atunci x(k ) ± ǫ/2 reprezinta solutia problemei de optimizare.


24 februarie 201697/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda perechilor secventiale

Aceasta metoda deriva din metoda ınjumatatirii intervalului eliminand deza-

vantajul necesitatii derivarii analitice a functiei obiectiv.



f ob

xxi xi + ǫ

f ob (xi + ǫ)

f ob (xi)

δ

Figura 9. Estimarea derivatei unei functii

prin raportul diferentelor.


24 februarie 201698/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda perechilor secventiale

Derivata functiei obiectiv ın punctul xi poate fi aproximata prin raportul dife-

rentelor (fig. 9):



d f ob

dx

xi

≈ ∆ f ob

∆x =

f ob(xi + δ) − f ob(xi)

(xi + δ) − xi=

f ob(xi + δ) − f ob(xi)

δ (61)

unde prin δ s-a notat o distanta suficient de mica ın apropierea lui xi.Algoritmul metodei perechilor secventiale este identic cu algoritmul metodei

ınjumatatirii intervalului cu exceptia faptului ca semnul derivatei este calculat

pe baza relatiei (61).


24 februarie 201699/324

Metode de eliminare: Exemplu


minx f ob = x2

− 6x + 8



f +

pe intervalul de cautare [0; 5], cu precizia ǫ = 0,01.

Rezolvare:Expresia analitica a derivatei functiei obiectiv este:

d f ob

dx = 2x − 6 (62)


24 februarie 2016100/324

Metode de eliminare: Exemplu

Tabelul 1. Rezultatele obtinute

i xmin x(i) xmax d f ob(xmin) d f ob(x(i)) d f ob(xmax) ∆



1 0 2,5000 5,0000 − − + 5,0000

2 2,5000 3,7500 5,0000 − + + 2,5000

3 2,5000 3,1250 3,7500 − + + 1,25004 2,5000 2,8125 3,1250 − − + 0,6250

5 2,8125 2,9688 3,1250 − − + 0,3125

6 2,9688 3,0469 3,1250 − + + 0,15637 2,9688 3,0078 3,0469 − + + 0,0781

8 2,9688 2,9883 3,0078 − − + 0,0391

9 2,9883 2,9980 3,0078 − + + 0,019510 2,9883 2,9932 2,9980 − + + 0,0098

Rezultatul obtinut dupa 10 eliminari este x∗ = 2,9932 ± 0,0048 corespunzator f ∗ob = −1.


24 februarie 2016101/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda seriei lui Fibonacci

Metoda seriei lui Fibonacci a fost dezvoltata de J. Kiefer (1953) si se bazeaza

pe un sir de numere naturale utilizat de Fibonaccia (1202) pentru urmarirea

ınmultirii iepurilor.



¸ p

Sirul lui Fibonacci este dat de urmatoarea ecuatie recurenta:

(Fi)0 = (Fi)

1 = 1

(Fi)n = (Fi)n−1 + (Fi)n−2 cu n 2(63)

Expresia analitica a elementelor sirului lui Fibonacci este:

(Fi)n = 1√

5

1 + √ 52

n+1

−

1 − √ 52

n+1 (64)

Termenii sirului lui Fibonacci, pana la rangul 32, sunt date ın tabelul 2.aMatematicianul italian Leonardus filius Bonacci Pisanus - fiul lui Bonaccio Pisanul numit si Leo-

nardo din Pisa (1180-1228).


24 februarie 2016102/324


Tabelul 2. Valorile sirului lui Fibonacci

n (Fi)n n (Fi)n n (Fi)n

0 1 11 144 22 28 657



0 1 11 144 22 28.657

1 1 12 233 23 46.368

2 2 13 377 24 75.0253 3 14 610 25 121.393

4 5 15 987 26 196.418

5 8 16 1.597 27 317.8116 13 17 2.584 28 514.229

7 21 18 4.181 29 832.040

8 34 19 6.765 30 1.346.2699 55 20 10.946 31 2.178.309

10 89 21 17.711 32 3.524.578


24 februarie 2016103/324


Cerinte:

• expresia functiei obiectiv, sau sistemul de

optimizat din care prin masuratori se poate



p p p

determina sau calcula valoarea functiei

obiectiv,

• intervalul initial de cautare ∆(0),

• tipul de extrem cautat, maxim/minim,

• precizia dorita ın identificarea extremului ǫ.


24 februarie 2016104/324


Algoritmul metodei seriei lui Fibonacci:

1. se calculeaza numarul de eliminari teoretic necesare pentru atingerea

punctului de extrem conform pasilor urmatori:



a) se calculeaza numarul ajutator N A cu relatia:

N A = ∆(0)

ǫ (65)

b) se identifica ın sirul lui Fibonacci rangul elementului ce are valoa-

rea egala sau imediat superioara valorii lui N A. Rangul identificat

pe aceasta cale este n - numarul de eliminari succesive teoretic ne-cesare.


24 februarie 2016105/324


2. se calculeaza un subinterval δ cu relatia:

δ( j) =(Fi)

n−( j+1)(Fi)n (j 1)

∆( j−1) (66)



(Fi)n−( j−1)

unde j indica numarul eliminarii, initial j = 1, iar ∆(k ) este marimea in-

tervalului de cautare din pasul k calculata cu relatia:

∆(k ) = x(k )max − x

(k )min (67)


24 februarie 2016106/324


3. se pozitioneaza doua puncte ın intervalul de cautare cu relatiile (fig. 10):

x

( j)

1 = x

( j)

min + δ( j)

si x

( j)

2 = x

( j)

max − δ( j)

(68)



δ( j)

x( j)1

x( j)2

xmin xmax

δ( j)

Figura 10. Pozitionarea punctelor de cautare.


24 februarie 2016107/324


4. se calculeaza pe baza expresiei functiei obiectiv sau prin experimente ın

sistemul de optimizat, valoarea functiei obiectiv ın cele doua puncte x1

si x2



5. se elimina intervalul sau intervalele pe care este imposibil sa se afle punc-

tul de extrem, conform celor mentionate anterior

6. se testeaza atingerea preciziei dorite prin compararea numarului de eli-minari efectuate cu n − 1. Daca aceasta conditie nu se ındeplineste, se

trece la o noua eliminare, j = j + 1 ın relatiile (66), (67) si (68).

Punctele 2, . . . 5 din algoritm se reiau pana cand conditia finala se ındeplineste,respectiv numarul de eliminari efectuate este egal cu n − 1.

Solutia problemei de optimizare este:

x∗ = xmax + xmin

2 ± xmax − xmin

2 (69)


24 februarie 2016108/324


Avantajul utilizarii seriei lui Fibonacci consta ın faptul ca ıncepand de la cea de-a

doua eliminare este necesara calcularea valorii functiei obiectiv doar ıntr-un singur

punct nou (fig. 11).



δ( j−1)

x( j−1)1

x( j−1)2

xmin xmaxδ( j−1)

eliminarea j − 1

δ( j)

x( j)1

x( j)2

xmin xmax

δ( j)

eliminarea j

Figura 11. Reutilizarea punctelor de cautare cu ajutorul sirului lui Fibonacci.

Observat ¸ie: Reprezentarea grafica corespunde situatiei ıncare subintervalul eliminat este [xmin , x

( j−1)1 ].


24 februarie 2016109/324

Metoda seriei lui Fibonacci: Exemplu


minx f ob = x

2

− 6x + 8




Rezolvare: Se parcurg urmatoarele etape (metoda seriei lui Fibonacci):

1. se calculeaza numarul de eliminari necesare, conform relatiei (65):

N A = ∆(0)

ǫ

=x

(0)max − x

(0)min

ǫ

= 5 − 0

0,01

= 500

2. se identifica conform tabelului 2 elementul din sirul lui Fibonacci ce are valoarea

imediat superioara valorii N A. Acest element ((Fi)14 = 610) are rangul 14, deci

numarul de eliminari succesive necesare pentru identificarea punctului de extrem

cu precizia ǫ =0,01 este de 13.

3. se trece la prima eliminare, j = 1:...


24 februarie 2016110/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda sectiunii de aur

Sectiunea de aur este definita ca fiind raportul cel mai placut ochiului dintre

doua segmente.

A B M



0 1

x 1

−x

Figura 12. Calcularea sectiunii de aur.

Acest raport, (reprezentat pentru un segment AB - fig. 12) permite ımpartirea

sa cu un punct M ın asa fel ıncat: MB

AM=

AM

AB

Daca AB = 1 si AM = x:1 − x

x =

x

1

de unde x2 + x

−1 = 0 cu solutia pozitiva x = 0,618....


24 februarie 2016111/324


Cerinte:

• expresia functiei obiectiv, sau sistemul de optimizat

din care prin masuratori se poate determina sau



calcula valoarea functiei obiectiv,

• intervalul initial de cautare ∆(0),

• tipul de extrem cautat, maxim/minim

• precizia dorita ın identificarea extremului ǫ.


24 februarie 2016112/324


Algoritmul metodei sectiunii de aur:

1. se calculeaza un subinterval δ cu relatia:

δ( j) = (1 s)∆( j−1) (70)



δ(j) = (1 − s)∆(j ) (70)

unde s este numarul ce caracterizeaza sectiunea de aur (s = 0,618...), j

indica numarul eliminarii, initial j = 1, iar ∆(k ) este marimea intervaluluide cautare din pasul k calculata cu relatia:

∆(k ) = x(k )max

−x

(k )min (71)

2. se pozitioneaza doua puncte ın intervalul de cautare cu relatiile:

x( j)1 = x

( j)min + δ( j) si x

( j)2 = x

( j)max − δ( j) (72)


24 februarie 2016113/324


3. se calculeaza pe baza expresiei functiei obiectiv sau prin experimente ın

sistemul de optimizat, valoarea functiei obiectiv ın cele doua puncte x1

si x2



4. se elimina intervalul sau intervalele pe care este imposibil sa se afle punc-

tul de extrem, conform celor mentionate anterior

5. se testeaza atingerea preciziei dorite prin compararea intervalului de

cautare ramas, ∆( j) = x( j)max − x

( j)min cu precizia dorita ǫ. Daca ∆( j) > ǫ

se ia o noua eliminare, j = j + 1 ın relatiile (70), (71) si (72).

Punctele 1, . . . 5 din algoritm se reiau pana cand conditia finala se ındeplineste,respectiv ∆( j) ǫ.

Solutia problemei de optimizare este:

x∗ = xmax + xmin

2 ± xmax − xmin

2 (73)


24 februarie 2016114/324

Metoda sectiunii de aur: Exemplu


minx f ob = x

2

− 6x + 8

i t l l d ˘ t [0 5] i i 0 01




Rezolvare: Se parcurg urmatoarele etape (metoda sectiunii de aur):

1. se calculeaza valoarea subintervalului δ(1) conform relatiei (70):

δ(1) = (1 − s)∆(0) = 0,382 · 5 = 1,91

2. se trece la pozitionarea a doua valori x1 si x2, conform relatiilor (72):

x(1)1 = x

(1)min + δ(1) = 0 + 1,91 = 1,91

x(1)2 = x(1)max − δ(1) = 5 − 1,91 = 3,09

3. . . .


24 februarie 2016115/324

Exemple: Temperatura optima de reactie

T R

FR

c A,0 , cB,0

Reactiile consecutive, de ordinul I:

A k 1−−→ B

k 2−−→ C (74)

l ˆ i



V

FR

c A , cB , cC

Figura 13. Reactor.

au loc ıntr-un reactor continuu cu ames-

tecare perfecta de volum V (fig. 13).

Produsul valoros este B ce poate fi valo-rificat cu un beneficiu de b [u.v.]/kmol.

Compusul A poate fi recuperat la valoa-

rea a [u.v.]/kmol, iar compusul C se valo-

rifica cu c [u.v.]/kmol.

Sa se determine temperatura optima de

reactie T R ce asigura maximizarea bene-

ficiului ın situatia unui debit de alimentare reactant FR, tinand cont ca tempe-ratura de reactie poate varia doar ın domeniul T R ∈ [T R,min, T R,max].


24 februarie 2016116/324


Rezolvare:Maximizarea beneficiului obtinut ın acest reactor corespunde unei probleme de

optimizare ın care functia obiectiv este:



maxT R

f ob = a · c A · FR + b · cB · FR + c · cC · FR (75)

unde: c A, cB si cC sunt concentratiile molare ale compusilor A, B si C ın fluxulde iesire din reactor FR.

Pentru a explicita termenii din functia obiectiv ın functie de variabila de decizie

T R

trebuie sa scriem modelul matematic al sistemului.


24 februarie 2016117/324


Ecuatiile de bilant de masa pentru cei trei compusi:

- pentru compusul A:

c A,0 FR − c A FR + r A V R = 0 (76)



- pentru compusul B:

cB,0 FR − cB FR + rB V R = 0 (77)

- pentru compusul C:

−c

C F

R + r

C V

R = 0 (78)

Vitezele de reactie r A, rB si rC sunt date de expresiile:

r A = −k 1c A = −k 1,0 e−E1/(R T R)c A

rB = k 1c A − k 2cB = k 1,0 e−E1/(R T R)c A − k 2,0 e−E2/(R T R)cB

rC = k 2cB = k 2,0 e−E2/(R T R)cB

(79)


24 februarie 2016118/324


Din ecuatiile (76)÷(79) putem exprima concentratiile compusilor A, B si C din

fluxul de iesire FR:

c A = c A,01 + τ k 1,0 e−E1/(R T R) (80)



cB = cB,0

1 + τ k 2,0 e−E

2/(R T

R) +

τ k 1,0 e−E1/(R T R)c A,01 + τ k 1,0 e−E

1/(R T

R) 1 + τ k 2,0 e−

E2/(R T

R) (81)

cC = τ k 2,0 e−E2/(R T R)cB,0

1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R) +

τ 2k 1,0 e−E1/(R T R) k 2,0 e−E2/(R T R)c A,0

1 + τ k 1,0 e−E1/(R T R)

1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R)

(82)

unde τ este timpul de stationare.


24 februarie 2016119/324


Inlocuind aceste expresii ın functia obiectiv, obtinem:

maxT R f ob = a · c A · FR + b · cB · FR + c · cC · FR =

a FR c A 0

cB 0



= a FR c A,0

1 + τ k 1,0 e−E1/(R T R) + b FR

cB,0

1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R) +

+ τ k 1,0 e−E1/(R T R)c A,0

1 + τ k 1,0 e−E1/(R T R)

1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R)+

+ c FR τ k 2,0 e−

E2/(R T

R)cB,0

1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R) +

+ τ 2k 1,0 e−E1/(R T R) k 2,0 e−E2/(R T R)c A,01 + τ k 1,0 e−E1/(R T R) 1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R)

(83)


24 februarie 2016120/324


Aplicatie numericaSe dau urmatoarele valori numerice:

V R = 10 m3 FR = 0,15 m3/s;

T 60 ˚C T 90 ˚C



T R,min = 60 ˚C; T R,max = 90 ˚C;

c A,0 = 10 kmol/m3

; cB,0 = 0,01 kmol/m3

;

k 1,0 = 6·107 s−1; k 2,0 = 8·1012 s−1;

E1

R = 7.500 K;

E2

R = 12.000 K;

a = 2.000 [u.v.]/kmol; b = 34.000 [u.v.]/kmol;

c = 80 [u.v.]/kmol.


24 februarie 2016121/324


Inlocuind aceste valori ın expresia functiei obiectiv (83), obtinem:

maxT R

f ob = 30001 + 4 · 109 e−7500/T R + 51 + 6,4 · 10

13

e−12000/T R

1 + 5,33 · 1014 e−12000/T R +

(84)



+

2,04

·1014 e−7500/T R + 2,56

·1026 e−19500/T R

(1 + 4 · 109 e−7500/T R )(1 + 5,33 · 1014 e−12000/T R )

(84)

Identificarea solutiei problemei de optimizare s-a f acut prin aplicarea algorit-

mului metodei sectiunii de aur pornind de la intervalul de cautare T R ∈[333 K;

363 K]. Pentru o precizie de cautare de ǫ 1 · 10−3 rezultatele obtinute suntprezentate ın tabelul 3.

Solutia problemei de optimizare este: T ∗R = 342,9665 K ± 7,5 · 10−4 K, adica

T ∗R ≃

69,8 ˚C.


24 februarie 2016122/324

Exemple: Temperatura optima de reactieTabelul 3. Maximizarea beneficiului prin metoda sectiunii de aur

j xmin x1 x2 xmax f ob(x1) f ob(x2) ∆

1 333,000 344,460 351,540 363,000 22.624,082 20.431,999 30,000

2 333 000 22 439 943 22 624 082 18 540



2 333,000 340,082 344,460 351,540 22.439,943 22.624,082 18,540

3 340,082 344,460 347,163 351,540 22.624,082 22.136,664 11,457

4 340,082 342,787 344,460 347,163 22.693,617 22.624,082 7,080

5 340,082 341,754 342,787 344,460 22.648,899 22.693,617 4,377

6 341,754 342,787 343,426 344,460 22.693,617 22.687,966 2,705

7 341,754 342,393 342,787 343,426 22.684,343 22.693,617 1,671...

23 342,966 342,966 342,966 342,967 22.694,627 22.694,627 7,5·10−4

Observat ¸ie: Celulele colorate din corpul tabelului indica intervalele de cautare ramase dupaeliminare. De exemplu, ın eliminarea j = 7 intervalul ramas este [342,393; 343,426].


24 februarie 2016123/324

Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu

Se considera reactia reversibila de ordinul I:

A

k 1−−→←−−

k 2B (85)



ce are loc ıntr-un reactor continuu operat ın conditii izoterme la tempera-

tura T R.Reactia are loc ıntr-un reactor de volum V prevazut cu un sistem de agitare

precum si cu o manta de racire. Amestecul de reactie evacuat din reactor

este supus unui proces de separare a componentului B, considerat compo-

nent valoros. Reactantul A nereactionat este recirculat.

Se cere determinarea debitului optim de alimentare cu materia prima F∗R,

avand concentratia c A,0 ın asa fel ıncat beneficiul obtinut sa fie maxim.


24 februarie 2016124/324


Rezolvare:Beneficiul poate fi exprimat ca o diferenta dintre venitul realizat prin valorifi-

carea produsului B si totalul cheltuielilor necesare pentru producerea sa.Totalul costurilor pentru obtinerea produsului B este dat de expresia:



COST = Cmp + Cop + Cse p (86)

unde: Cmp este costul materiei prime;Cop - costurile de operare ale instalatiei;

Cse p - costurile de separare ale produsului B.

Pentru exprimarea acestor costuri este necesara obtinerea unui model mate-matic al reactorului. Reactorul poate fi modelat ca un reactor cu amestecare

perfecta.


24 februarie 2016125/324


Ecuatiile de bilant pot fi scrise pentru cele doua componente:

- pentru componenta A:

c A,0 FR − c A FR + r A V R = 0 (87)



- pentru componenta B:

−cB FR + rB V R = 0 (88)unde: FR este debitul de alimentare al reactorului, [m3/s];

c A,0 - concentratia initiala a componentului A, [kmol/m3];

c A, cB - concentratiile componentelor A si B la evacuarea din

reactor, [kmol/m3];

V R - volumul reactorului, [m3];

r A, rB - vitezele de reactie pentru componentele A si B,

[kmol/s].


24 februarie 2016126/324


Vitezele de reactie r A si rB sunt calculate cu expresiile:

r A = −k 1 c A + k 2 cB = −k 1,0 e−E1/(R T R)

c A + k 2,0 e−E2/(R T R)

cB

rB = k 1 cA − k 2 cB = k 1 0 e−E1/(R T R)cA − k 2 0 e−E2/(R T R)cB

(89)



B 1 A 2 B 1,0 A 2,0 B

Costurile din relatia (86) sunt exprimate prin urmatoarele ecuatii:

• costul materiei prime:

Cmp = a

·FR

·cB (90)

unde: a este reprezinta costul unitar al materiei prime A, [u.v./kmol].

Aceasta parte a costurilor totale include doar cheltuielile proportionale

cu cantitatea de A reactionat, ıntrucat partea nereactionata este reutilizata

dupa faza de separare.


24 februarie 2016127/324


• costurile de operare ale instalatiei:

Cop = b + c·

FR (91)

unde: b este termenul ce include componentele de cost ce sunt inde-



pendente de intensitatea operarii instalatiei, cum ar fi:

cheltuielile cu forta de munca, pt. amestecare, etc., ın[u.v./s] ;

c - termenul ce include acele elemente de cost ce sunt de-

pendente de intensitatea de operare a instalatiei, cum ar

fi: cheltuielile cu agentul termic, cheltuielile de vehiculare

a fluidelor, cheltuielile de reparatii, amortizarea, etc., ın

[u.v./m3];


24 februarie 2016128/324


• costul separarii compusului valoros:

Cse p = d + e·

FR + f ·

cB (92)

unde: d este termenul ce reprezinta componentele de cost ce sunt inde-



pendente de cantitatea si calitatea amestecului supus se-

pararii, ın [u.v./s];e - termenul ce reprezinta acele componente de cost ce depind

de debitul de amestec separat, ın [u.v./m3];

f - termenul ce reprezinta componentele de cost ce depind de

concentratia compusului B ın amestecul supus separarii,

ın [u.v./(kmol·s/m3)].


24 februarie 2016129/324


Veniturile realizate sunt date de valorificarea produsului B:

VENIT = g·

FR

·cB (93)

unde g este termenul ce reprezinta costul unitar al produsului B, ın [u.v./kmol].



Beneficiul realizat este dat de expresia:

BEN = VENIT − COST =

= g FR cB − [(a FR cB) + (b + c FR) + (d + e FR + f cB)] =

= −(b + d) − (c + e)FR − f cB + ( g − a)FR cB

(94)

Variabila de decizie ın aceasta problema este debitul de alimentare al reactoru-

lui FR, astfel toate elementele din ecuatia (94) trebuie sa fie exprimate ın functie

de aceasta variabila. Pentru aceasta trebuie sa exprimam cB functie de FR.


24 februarie 2016130/324


Din modelul matematic al reactorului rezulta:

cB =

c A,0 k 1 FR V R

(FR + k 1 V R)(FR + k 2 V R) − k 1k 2V 2R (95)

In urma acestor considerente, functia obiectiv este:



In urma acestor considerente, functia obiectiv este:

maxFR

f ob = −(b + d) − (c + e)FR + [( g

−a)F

R − f ] c

A,0 k

1 F

R V

R(FR + k 1 V R)(FR + k 2 V R) − k 1k 2V 2R

(96)

Pentru rezolvarea acestei probleme apelam la o metoda de eliminare. Pentru

aceasta, alegem un domeniu de cautare de forma FR,min

FR FR,max si preci-

zia de determinare a extremului, ǫ.


24 februarie 2016131/324


Aplicatie numericaSe dau urmatoarele valori numerice:

V R = 10 m3 T R = 70 ˚C;

k 1,0 = 6·108 s−1; k 2,0 = 4·1012 s−1;



1,0 ; 2,0 ;

E1

R = 9.500 K;

E2

R = 14.500 K;

c A,0 = 1 kmol/m3; a = 2 [u.v./kmol];

b = 0,2 [u.v]; c = 0,3 [u.v./(m3/s)];

d = 0,2 [u.v]; e = 0,1 [u.v./(m3/s)];

f = 0,1 [u.v./(kmol/m3)]; g = 90 [u.v./kmol];

FR,min = 0,01 [m3/s]; FR,max = 0,2 [m3/s];

ǫ = 5·10−4.


24 februarie 2016132/324


Inlocuind aceste valori ın expresia functiei obiectiv, obtinem:

maxFR f ob = −0,4 − 0,4 FR +

0,5 FR −

5,68·

10−

4

FR + 0,0057 (97)

Rezolvarea acestei probleme se face prin metoda perechilor secventiale pornind



Rezolvarea acestei probleme se face prin metoda perechilor secventiale pornind

de la domeniul de cautare FR

∈[0,01; 0,2] m3/s. Pentru precizia de cautare

ceruta rezultatele obtinute sunt prezentate ın tabelul 4.


24 februarie 2016133/324

Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuuTabelul 4. Determinarea debitului optim de alimentare

i FR,min F(i)R FR,max f ′ob(FR,min) f ′ob(F

(i)R ) f ′ob(FR,max) ∆

1 10,000 95,000 200,000 + − − 190,00

2 10,000 52,500 95,000 + + − 85,00



, , , ,

3 52,500 73,750 95,000 + +

− 42,50

4 73,750 84,375 95,000 + + − 21,25

5 84,375 89,687 95,000 + − − 10,62

6 84,375 87,031 89,687 +

− − 5,31

7 84,375 85,703 87,031 + + − 2,65

8 85,703 86,367 87,031 + + − 1,32

9 86,367 86,699 87,031 + + −

0,66

Solutia obtinuta este F∗R = 86,865±0,5 l/s (0,086865±5·10−4 m3/s).

Aceasta solutie corespunde unui beneficiu maxim de BEN∗ = 0,028328 [u.v./s].


24 februarie 2016134/324


Functii MATLAB utilizate ın optimizarea unidimensionala

• minimizare unidimensionala fara restrictii:fmin

exemplu de apelare: xopt = fmin(fun [x1 x2])



exemplu de apelare: xopt = fmin(fun,[x1 x2])

fminbnd

exemplu de apelare: xopt = fminbnd(fun,x1,x2)

fminunc

exemplu de apelare: xopt = fminunc(fun,x0)

• minimizare unidimensionala cu restrictii:

fmincon

exemplu de apelare:

xopt = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)


24 februarie 2016135/324



Metode numericemultidimensionale

de optimizare

Optimizarea Proceselor Chimice: Caracteristici

Metodele numerice (directe) pentru identificarea solutiei unei probleme de op-

timizare cu doua sau mai mult de doua variabile de decizie se mai numesc si

metode de urcare-coborare.Aceasta denumire provine de la analogia suprafetei de raspuns a functiei obiec-

tiv (pentru situatia ın care avem doua variabile de decizie) cu relieful unei



(p ¸ )

regiuni terestre pe care metodele directe se pot vizualiza sub forma unor de-

plasari catre extrem - urcare, pentru identificarea unui maxim, coborare, pentru

identificarea unui minim.

Metodele de urcare-coborare se caracterizeaza prin faptul ca fiecare deplasare

urmareste doua scopuri majore:◮ obtinerea unei valori ımbunatatite a functiei obiectiv;

◮ obtinerea de informatii utile cu scopul de a ımbunatati evolutia

ulterioara.


24 februarie 2016137/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de urcare-coborare

Cerinte:Aplicarea acestor metode implica specificarea urmatoarelor

elemente:◮ expresia functiei obiectiv;

◮ o solutie initiala oarecare x(0) (un set initial de valori



◮ o solutie initiala oarecare - x( ) (un set initial de valori

ale componentelor vectorului de decizie);◮ precizia de determinare a punctului de extrem, ǫ;

◮ tipul de extrem cautat.


24 februarie 2016138/324


1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial - corespunzator

solutiei initiale - f x(0)

;

2. se identifica (printr-un algoritm specific fiecarei metode ın parte) o noua

solutie a problemei de optimizare, x(k +1);

(k+1)



3. se calculeaza valoarea functie obiectiv ın noul punct, f x(k +1)

;


24 februarie 2016139/324


4. se compara valoare functiei obiectiv ın punctul initial al iteratiei cu-

rent (ce este identic cu solutia initiala pentru prima iteratie) cu valoarea

functiei obiectiv corespunzatoare noii solutii: f x(k +1) : f x(k ):a) daca noua solutie este favorabil˘ a (corespunde unei valori mai mici a

functiei obiectiv decat valoarea functiei obiectiv ın punctul initial



functiei obiectiv decat valoarea functiei obiectiv ın punctul initial

al iteratiei - pentru un minim, respectiv corespunde unei valorimai mari a functiei obiectiv decat ın punctul initial al iteratiei cand

cautam un maxim) - punctul curent devine punctul initial pentru

o noua iteratie;

b) daca noua solutie este nefavorabil˘ a - se pastreaza punctul initial cu-

rent si se determina un alt punct de cautare si se revine la punctul

2 din cadrul algoritmului ın cadrul iteratiei curente;


24 februarie 2016140/324


5. se verifica atingerea punctului de extrem cu precizia ǫ, folosind criteriile

lui Himmelblau:

f x(k +1)−

f x(k ) f

x(k ) ǫ (98,a)

(k 1) (k)



x(k +1)

−x(k )

x(k ) ǫ (98,b)

Daca cele doua criterii se ındeplinesc simultan, punctul curent este

solutia problemei de optimizare, x∗ = x(k +1)

±ǫ. In situatia ın care cri-

teriile lui Himmelblau nu se ındeplinesc simultan, se continua cu o nouacautare (k = k + 1), revenindu-se la punctul 2 din cadrul algoritmului.

Observat ¸ie: Utilizarea simultana a celor doua criterii este strict necesara deoarece

ındeplinirea doar a criteriului 98,a sau doar a criteriului 98,b ar putea conduce lao concluzie gresita ın cazul ın care suprafata de raspuns a functiei obiectiv ar avea

profilul prezentat ın figura 14,a, respectiv 14,b.


24 februarie 2016141/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Criteriile lui Himmelblau

f (x) f (x)

f (x(k ))



x

f (x(k )

) f (x(k +1))

x(k )

x(k +1)

a

x

f (x( ))

f (x(k +1))

x(k )

x(k +1)

b

Figura 14. Criteriile lui Himmelblau.


24 februarie 2016142/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de urcare-coborare

Metodele de urcare-coborare difera prin modul ın care se identifica un nou

punct de cautare (punctul 2 din algoritm).

O clasificare simpla a metodelor de urcare-coborare se poate face prin gruparea

lor ın doua categorii:

A metode care necesita evaluarea derivatelor functiei obiectiv;



A. metode care necesita evaluarea derivatelor functiei obiectiv;

B. metode care nu necesita evaluarea derivatelor functiei obiectiv.

Observat ¸ie: Modelele matematice ale proceselor din ingineria chimica sunt ca-

racterizate printr-o complexitate mare. Datorita acestui motiv, obtinerea ana-

litica a expresiei derivatelor functiei obiectiv este o sarcina, ın general, foarte

grea. Astfel, metodele din prima categorie prezinta o importanta mai redusa

fata de metodele din a doua categorie.


24 februarie 2016143/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de gradient

Metodele de gradient sunt metode de cautare numerica a punctului de extrem

ce folosesc pentru deplasare pe suprafata de raspuns a functiei obiectiv, directia

vectorului gradient.Vectorul gradient sau gradientul unei functii f (x) ın punctul x(k ) este:

∂ f (x)



▽ f (x(k )) =

f ( )

∂ x1

∂ f (x)

∂ x2

...

∂ f (x)

∂ xn

x=x

(k )

(99)


24 februarie 2016144/324


Gradientul unei functii prezinta urmatoarele proprietati (fig. 15):

1. gradientul este un vector ce defineste directia cu cea mai rapida

crestere ın punctul considerat, x(k );2. gradientul ıntr-un punct x(k ) este normal la linia de contur a functiei

f (x(k )) ce trece prin punctul respectiv.



f ( ) p p p

Tinand cont de aceste proprietati, directia gradientului este cea mai eficientacale de urmat pentru gasirea unui extrem, sensul pozitiv pentru gasirea unui

maxim, iar sensul negativ pentru gasirea unui minim.

Metodele de gradient folosesc directia vectorului gradient pentru deplasarea

catre extrem.

Directia vectorului gradient este o proprietate dependenta de pozitia punctu-

lui ın care ea se calculeaza. Metodele de gradient folosesc o succesiune de

deplasari pe suprafata de raspuns a functiei obiectiv, dupa fiecare deplasare,directia vectorului gradient este reevaluata.


24 februarie 2016145/324


2

2.5

3

3.5

4



−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 15. Vectorul gradient pe suprafata de raspuns

a unei functii reprezentate prin curbe de contur.


24 februarie 2016146/324


Deplasarile succesive pe suprafata de raspund au loc dupa relatia:

x(k +1) = x(k )

±λ(k )d

(k )(100)

unde: x este vectorul de decizie;

λ - pasul/deplasarea pe suprafata de raspuns a functiei

obiectiv;



obiectiv;

d - directia de deplasare;

k , k + 1 - exponent ce indica pasul/iteratia.


24 februarie 2016147/324


Vectorul d - directia de deplasare, este un vector normat avand directia si sensul

vectorului gradient al functiei obiectiv ın punctul curent. Acesta se calculeaza

prin ımpartirea vectorului gradient cu norma sa conform relatiei:

d(k )

= ▽ f (x(k ))

f (x(k ))(101)



▽ f (x( ))

unde

▽ f (x(k )) =

n

∑

i=1∂ f (x)

∂ xi 2

x=x(k )(102)


24 februarie 2016148/324


Pentru cautarea unui maxim, deplasarile au loc ın sensul dat de vectorul d caz

ın care ın relatia (100) avem semnul ’+’, iar ın cazul ın care cautarea are loc

pentru un minim, semnul este ’−’, deoarece deplasarile au loc ın sens opuscelei indicate de vectorul gradient.

Pentru alegerea pasului de deplasare λ se utilizeaza doua variante:



A. se alege initial pentru λ o valoare fixa ce poate fi ınjumatatita la

nevoie pentru identificarea cu precizia dorita a punctului de

extrem - metoda gradientului cu pas constrant

B. se calculeaza o valoare optima a pasului, λ∗ pentru fiecare

deplasare prin rezolvarea unei probleme de optimizare

unidimensionala ın care λ este variabila independenta - metoda

gradientului cu pas optim


24 februarie 2016149/324



Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas constant

Algoritm:

1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial f x(0)

;

2. se determina componentele vectorului gradient al functiei obiectiv ın

punctul curent cu ajutorul relatiei (99);

3 se determina directia de deplasare d(k )

cu relatia (101);



3. se determina directia de deplasare d cu relatia (101);

4. se identifica un nou punct de cautare cu ajutorul relatiei (100) unde vom

folosi ’+’ daca extremul cautat este un maxim si ’−’ daca cautam un

minim;

5. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın noul punct, f x(k +1);


24 februarie 2016151/324


6. se compara valoarea functiei obiectiv ın punctul initial al iteratiei curente

cu valoarea functiei obiectiv ın noul punct: f

x(k +1)

: f

x(k )

:

a) daca noua solutie este favorabil˘ a punctul curent devine punctulinitial pentru o noua iteratie (k = k + 1) si se continua cu pct. 2

din algoritm;



b) daca noua solutie este nefavorabil˘ a se determina un alt punct decautare prin pastrarea directiei de cautare dar cu ınjumatatirea pa-

sului (λ(k ) = λ(k )/2) si se revine la punctul 4 al algoritmului ın

cadrul iteratiei curente;


lui Himmelblau, relatiile (98). Daca cele doua criterii se ındeplinesc simul-

tan, punctul curent este solutia problemei de optimizare, x∗ = x(k ) ± ǫ. In

situatia ın care criteriile lui Himmelblau nu se ındeplinesc simultan, secontinua cu o noua cautare (k = k + 1), revenindu-se la punctul 2 din

cadrul algoritmului si la pasul de cautare initial λ(k ) = λ(0).


24 februarie 2016152/324


x2



x1

Figura 16. Metoda gradientului cu pas constant.


24 februarie 2016153/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas optim

Cerinte:Aplicarea acestei metode implica specificarea urmatoarelor

elemente:◮ expresia functiei obiectiv;

◮ o solutie initiala oarecare x(0);



◮ precizia de determinare a punctului de extrem, ǫ;◮ tipul de extrem cautat, minim sau maxim.


24 februarie 2016154/324


Algoritm:

1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial f x(0)

;

2. se determina componentele vectorului gradient al functiei obiectiv ın

punctul curent cu ajutorul relatiei (99);

3. se determina directia de deplasare d(k )

cu relatia (101);



3 se dete a d ect a de dep asa e d cu e at a ( 0 );


24 februarie 2016155/324


4. se calculeaza pasul optim λ∗(k ) ın urmatorul mod:

a) din relatia (100) se exprima punctul de cautare nou ın functie de

λ(k ): x(k )1 ± λ(k )d

(k )1

x(k )2 λ(k )d

(k )2



x(k +1) = x(k ) ± λ(k )d(k ) =

x2

±λ d2

...

x(k )n

±λ(k )d

(k )n

(103)

b) prin ınlocuirea variabilelor de decizie x1, x2, . . . xn ın expresia

functiei obiectiv cu relatiile obtinute prin (103) se obtine o functie

obiectiv ın care variabila independenta este λ(k ):

f ob(x(k +1)) = f ob(λ(k ))


24 februarie 2016156/324


c) se rezolva problema de optimizare unidimensionala (folosind o

metoda analitica ori o metoda numerica - de eliminare), obtinan-

du-se pe aceasta cale λ∗(k )

:

optim

λ(k )

f ob(λ(k )) =⇒ λ∗(k )



d) pe baza relatiei (103) se identifica solutia cea mai favorabila x(k +1)

pentru iteratia curenta;

5. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın noul punct, f x(k +1);


24 februarie 2016157/324



lui Himmelblau, relatiile (98). Daca cele doua criterii se ındeplinesc simul-

tan, punctul curent este solutia problemei de optimizare, x∗ = x

(k )

± ǫ. ˆInsituatia ın care criteriile lui Himmelblau nu se ındeplinesc simultan, se

continua cu o noua cautare (k = k + 1), revenindu-se la punctul 2 din

cadrul algoritmului.



g


24 februarie 2016158/324


x2



x1

Figura 17. Metoda gradientului cu pas optim.


24 februarie 2016159/324


Aplicarea practica a metodelor de gradient este posibila si ın situatiile limita-

tive ın care nu se poate obtine expresia analitica a derivatelor prin derivarea

numerica a functiei obiectiv.Aproximarea numerica a valorii derivatelor se poate face utilizand chiar relatia

de definitie a derivatelor:

(k) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k )



∂ f (x(k )

)∂ xi

≈ f (x

( )

1 , . . . , x

( )

i + δ, . . . , x

( )

n ) − f (x

( )

1 , . . . , x

( )

i , . . . , x

( )

n )δ

(104)

unde i = 1, 2, . . . , n iar δ ց 0 .


24 februarie 2016160/324

Metode de gradient: Exemplu

Pornind din punctul x(0) = [5; 5] si cu pasul λ(0) = 1 sa se rezolve:

minx1,x2

f (x1, x2) = 4x21 + 2x2

2 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (105)

Rezolvare: Se parcurg urmatoarele etape:

1 se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial: f (x(0)) = f (5; 5) = 261



1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial: f (x ) = f (5; 5) = 261.

2. se determina componentele vectorului gradient si se calculeaza valorile sale ın

punctul initial:

▽ f (x(0)) =

∂ f (x)

∂ x1

∂ f (x)

∂ x2

x=x(0)

=

8x1 + 4x2

4x2 + 4x1 + 2

x=[5;5]

=

60

42


24 februarie 2016161/324

Metode de gradient: Exemplu

3. se calculeaza vectorul directie de deplasare astfel:

a) norma vectorului:

▽ f (x(0)) =

2

∑ i=1

∂ f (x)

∂ xi

2

x=x(0)=

602 + 422 = 73, 2393



b) directie de deplasare:

d(0) = ▽ f (x(0))▽ f (x(0)) =

60

42

73, 2393 =

0, 8192

0, 5735

4. se calculeaza o solutie noua:

x1 = x0 − λ d0

...


24 februarie 2016162/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Pattern Search

Metoda Pattern Search utilizeaza ca principiu de cautare testarea dupa directii

paralele cu axele de coordonate.

Cautarea are loc ın 2 faze:

1. cautare locala cu pasul λ pe fiecare directie de cautare prin modificarea

la un moment dat a valorii unei singure variabile de decizie;



2. cautare extinsa ın care are loc deplasarea accelerata pe directia cea maifavorabila identificata ın cautarea locala.

Conditiile de aplicare a metodei implica specificarea urmatoarelor elemente:

◮ expresia functiei obiectiv;

◮ o solutie initiala oarecare x(0);

◮ precizia de determinare a punctului de extrem, ǫ;

◮ tipul de extrem cautat, minim sau maxim;

◮ pasul de cautare locala, λ(0).


24 februarie 2016163/324




Algoritmul metodei Pattern Search este (fig. 18):

1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial f

x(k )

, pentru

prima cautare k = 0;2. se trece la etapa de cautare locala, de la directia de cautare 1, . . . i, . . . n ce

are loc dupa urmatoarele reguli:



a) initial, cautarea are loc ın sens pozitiv:

x(k +1)i = x

(k )i + λ(k ) (106)

b) se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul curent;


24 februarie 2016165/324


c) se compara valoarea calculata a functiei obiectiv cu valoarea din

punctul de baza curent:

i daca valoarea functiei obiectiv este favorabila, se trece laurmatoarea dimensiune, i = i + 1 si se continua cu punctul

3 din algoritm. Daca valoarea functiei obiectiv nu este

favorabila, se face o cautare ın sens opus, cu relatia:



x(k +1)i = x

(k )i − λ(k ) (107)

ii se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul curent;

iii daca valoarea functiei obiectiv nu este favorabila, sepastreaza punctul de baza curent pe directia lui xi si se

trece la cautarea dupa o noua dimensiune, i = i + 1;

iv daca valoarea functiei obiectiv este favorabila se adoptapunctul curent ca punct de baza si se trece la cautarea pe

directia urmatoare, i = i + 1 pana cand i = n;


24 februarie 2016166/324


Observat ¸ie: Daca cautarea locala se termina fara nici o deplasare din punctul de

baza se reduce pasului de cautare cu ajutorul relatiei:

λ =

λ

2 (108)

si se reia cautarea locala curenta.

3. se trece la etapa de cautare extinsa (accelerata) prin repetarea deplasarii



obtinute prin cautarea locala multiplicata cu un coeficient pozitiv supra-

unitar α (ın general α = 2 . . . 4);

a) daca cautarea extinsa se soldeaza cu un succes, aceasta etapa de

cautare se repeta multiplicand pasul total efectuat ın cautarea cu-renta cu o valoare pozitiva supraunitara α;

b) cautarea accelerata se repeta pana la obtinerea unui insucces, caz

ın care iteratia curenta este considerata ıncheiata;


24 februarie 2016167/324



Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Rosenbrock

Metoda Rosenbrock poate fi privita ca o dezvoltare a metodei Pattern Search.

Diferenta majora fata de Pattern Search consta ın faptul ca ın loc de a efectua

explorarile locale pe directii fixe si paralele cu axele de coordonate, acestea au

loc dupa un set de directii ortogonale ce se recalculeaza dupa fiecare iteratie pe

baza celei mai favorabile directii de deplasare curente.

Pentru aplicarea metodei Rosenbrock avem nevoie de:



p

◮ expresia functiei obiectiv;

◮ un set de valori initiale ale vectorului de decizie, x(0)0 ;

◮ un set de n vectori unitari ortogonali ce definesc directiile initiale de

explorare, d(0)1 , d

(0)2 , . . . , d

(0)n ;

◮ un vector al marimii pasilor de deplasare, λ(0)

;

◮ precizia dorita de identificare a solutiei, ǫ;


24 februarie 2016169/324


Algoritmul de minimizare al lui Rosenbrock este urmatorul (o reprezentare

schematica a etapelor algoritmului este facuta ın figura 19):

1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul de start al iteratiei, f ob

x

(0)0

;

2. se trece la faza de cautare locala ın care, pentru fiecare directiedecautare,

i = 1, . . . , n se parcurg urmatoarele etape:



a) se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul x(k )i + λ

(k )i d

(k )i

unde initial i = 1;


24 februarie 2016170/324


b) daca:

f

x

(k )i + λ

(k )i d

(k )i

< f

x

(k )i

pasul respectiv este considerat un succes si x(k )i = x(k )

i + λ(k )i d(k )

i .

Pasul pe directia respectiva este amplificat cu coeficientul pozitiv

supraunitar α, λ(k )i = α · λ

(k )i .

D



Daca ınsa f

x(k )i + λ

(k )i d

(k )i

f

x

(k )i

se considera pasul respectiv un insucces iar λ

(k )i = β

·λ

(k )i unde β

este un coeficient subunitar negativ;

c) pastrand ıntotdeauna cel mai bun punct atins, se continua cu

urmatoarea directiedecautare i = i + 1. Dupa epuizarea directiilor

de cautare, cand i = n, se revine la prima directie de cautare i = 1si se reiau cautarile locale pana cand pe fiecare directie de cautare

se obtine un succes urmat de un insucces;


24 februarie 2016171/324


3. se noteaza cu Λ(k ) j suma algebrica a tuturor pasilor λ

(k ) j, p, p = 1, 2, . . . , P

efectuati cu succes:

Λ(k ) J =

P

∑ p=1

λ(k ) j, p (109)

4. se verifica atingerea punctului de extrem verificand ındeplinirea criterii-

l l i Hi lbl



lor lui Himmelblau;a) daca nu s-a atins punctul de extrem se trece la calcularea noului

set al directiilor de explorare pentru o noua iteratie, pentru care

coordonatele punctului de plecare sunt: x(k +1)0 = x

(k )n .

b) daca conditiile lui Himmelblau se ındeplinesc, solutia este data de:

x∗ = x∗(k ) ± ǫ


24 februarie 2016172/324


Calculul noilor directii de cautare:Se definesc, ın prealabil, urmatorii vectori:

A(k +1)1 =Λ(k )

1 d(k )1 + Λ(k )

2 d(k )2 + . . . + Λ(k )

n d(k )n

A(k )2 = Λ

(k )2 d

(k )2 + . . . + Λ

(k )n d

(k )n

...(k) (k) (k)

(110)



A(k )n = Λ

(k )n d

(k )n

De remarcat ca A(k )1 reprezinta vectorul de la x

(k )0 la x

(k +1)0 , A

(k )2 de la x

(k )1 la x

(k +1)0

s.a.m.d.Se determina prima directie de explorare pentru iteratia urmatoare d

(k +1)1 ca

fiind paralela cu vectorul deplasarii totale A(k )1 efectuate ın iteratia anterioara.

d(k +1)1 = A(k )2

A

(k )1

(111)


24 februarie 2016173/324


Celelalte n − 1 directii sunt reciproc ortogonale cu d(k +1)1 , fiind calculate cu aju-

torul metodei lui Gram-Schmidt. Relatiile utilizate sunt:

B(k ) j = A

(k ) j − j−i

∑ i=1

A

(k ) j

T d

(k +1)i

d

(k +1)i

si

d(k+1) B

(k )

j j 2 (112)



d(k +1) j = B jB

(k ) j

j = 2, . . . , n (112)

Observat ¸ie: Iteratia initiala porneste de la directiile d(0)i paralele cu axele de coor-

donate. Valori uzuale ale coeficientilor sunt α = 3 si β = −0,5.

Efectul calcularii unui nou set de directii de explorare la fiecare iteratie consta

de fapt ıntr-o rotire a sistemului de directii de explorare, reducandu-se efec-

tele negative de interactiune a variabilelor (aceste efecte apar cand ın functia

obiectiv exista termeni sub forma de produse de variabilele xi · x j).

UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016174/324


x2



x1

Figura 19. Metoda Rosenbrock.


Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului

Metoda poliedrului, numita si metoda Box, utilizeaza o fi-

gura geometrica regulata, numita Simplex, definita ın spatiul

n-dimensional ca un corp geometric cu n + 1 varfuri, avand o

distanta constanta ıntre doua varfuri alaturate.

In spatiul de cautare bidimensionala (problema de optimizare

d ˘ i bil d d i i ) bi t l d ˘ t Si l l



cu doua variabile de decizie), obiectul de cautare, Simplex-ul

se prezinta sub forma unui triunghi echilateral, iar ıntr-un do-

meniu de cautare tridimensionala (probleme cu trei variabile

de decizie), obiectul de cautare este un tetraedru.



Plasarea ın domeniul de cautare a hiperpoliedrului se face cu ajutorul a doua

constante, p si q ce sunt calculate cu expresiile:

p = an√

2n − 1 + √ n + 1

q = a

n√

2 −1 +

√ n + 1

(113)



unde: a este dimensiunea laturii poliedrului de cautare;

n - dimensiunea problemei de optimizare (numarul de variabile

de decizie).Pozitionarea varfurilor corpului geometric de cautare se face utilizand schema

din tabelul 5.



Tabelul 5. Schema de pozitionare a varfurilor corpului de cautare

Varful j x( j)1 x

( j)2 . . . x

( j)n−1 x

( j)n Observatii

0 x(0)1 x

(0)2 . . . x

(0)n−1 x

(0)n varful origine

1 x(0)

1

+ p x(0)

2

+ q . . . x(0)

n−1

+ q x(0)n + q



1 2 n 1

2 x(0)1 + q x

(0)2 + p . . . x

(0)n−1 + q x

(0)n + q

......

... . . .

......

n − 1 x(0)1 + q x

(0)2 + q . . . x

(0)n−1 + p x

(0)n + q

n x(0)1 + q x

(0)2 + q . . . x

(0)n−1 + q x

(0)n + p



Daca avem doua variabile de decizie (n = 2), p si q se utilizeaza expresiile:

p =

√ 3 + 1

2√ 2a = 0,9657 a

q =

√ 3 − 1

2√

2a = 0,2587 a

Pozitionarea punctelor se poate observa ın figura 20



Pozitionarea punctelor se poate observa ın figura 20.

UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016179/324


x2

x(2)2

x(1)2

0 , 9

6 5 7 a

0 , 2

5 8 7 a

0,2587 a

a



x1

x(0)2

x(0)1 x(2)

1 x(1)1

x2

0,9657 a

Figura 20. Pozitionarea simplexului.


Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului. Algoritm

Algoritmul metodei poliedrului (Box) este urmatorul:

1. se pozitioneaza corpul geometric de cautare, cu varful 0 ın punctul initial

al cautarii;

2. se calculeaza valorile functiei obiectiv ın cele n + 1 varfuri ale corpului

de cautare;

3. se sorteaza varfurile ın ordinea valorilor functiei obiectiv, de la cea mai

favorabila valoare la cea mai nefavorabila;



favorabila valoare la cea mai nefavorabila;

4. se identifica varful ce se elimina pe baza urmatoarelor reguli:

a) se elimina varful cel mai nefavorabil cu exceptia situatiei ın care

prin eliminarea acestui varf se revine ıntr-un punct deja testat;

b) ın cazul ın care situatia anterioara (varianta a) nu este posibila, se

elimina varful anterior din lista de varfuri formata la punctul 3 din

algoritm;Observat ¸ie: In nici o situatie nu se elimin˘ a vˆ arful cel mai favorabil!!!


Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului. Algoritm

5. algoritmul se reia pana cand pe baza regulilor prezentate, nu mai poate

fi ımbunatatita valoarea functiei obiectiv;

6. se testeaza atingerea punctului de extrem comparand deplasarea totalaefectuata, considerand punctul final al deplasarii, varful curent cel mai

favorabil;

7. daca conditiile lui Himmelblau nu se ındeplinesc, cautarea se reia, punc-

tul initial al cautarii fiind cel mai bun varf curent. Plecand de la acest



tul initial al cautarii fiind cel mai bun varf curent. Plecand de la acest

punct, se reconstruieste corpul geometric de cautare cu dimensiunea la-

turii ınjumatatite, a = a/2.



Eliminarea unui varf al corpului de cautare are loc prin oglindirea varfului eli-

minat ın jurul laturii opuse a hiperpoliedrului. Acest lucru, din punct de vedere

matematic are loc pe baza relatiei:

x(N )i =

2

n

n

∑ j=0

x( j)i − x

(R)i

− x

(R)i (114)

pentru i = 1, 2, . . . , n, unde N este varful nou, R reprezinta varful respins.



p , , , , , p pPentru situatia ın care n = 2 relatia (114) devine:

x

(N )

i = 2

∑ j=0 x

( j)

i − x

(R)

i − x

(R)

i = x

(P1)

i + x

(P2)

i − x

(R)

i

unde varfurile P1 si P2 sunt varfurile pastrate (fig. 21).



x2

x(N )2

P1

P



x1

x(R)2

x(R)1 x(N )

1

P2

Figura 21. Eliminarea varfului respins.



x2



x1

Figura 22. Metoda poliedrului.


Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului extensibil

Metoda SIMPLEX (elaborat de Nelder si Mead) este o dezvol-

tare a metodei poliedrului. Caracteristica principala consta ın

utilizarea unui set de n + 1 puncte exploratoare, ce formeaza

ın spatiul de cautare varfurile unui hiperpoliedru.

La fiecare iteratie varful cel mai nefavorabil (ın care functia

obiectiv are cea mai slaba valoare) este ınlocuit cu un punct

corespunzator unei valori mai avantajoase a functiei obiectiv.



p j ¸

Inlocuirea se realizeaza prin proiectarea punctului nefavora-

bil prin centrul de greutate a celorlalte varfuri ale hiperpolie-

drului de explorare.Diferenta fata de metoda poliedrului consta ıntr-o etapa su-

plimentara de extensie a poliedrului pe directia reflexiei favo-

rabile.



Pentru iteratia k , minimizarea functiei obiectiv f ob(x) decurge dupa urmatorul

algoritm:

1. se determina care din varfurile hiperpoliedrului de explorare cores-

punde valorii celei mai mari si respectiv valorii celei mai mici a functiei

obiectiv astfel:

f x(k )

M = max f x(k )

1 , f x(k )

2 , . . . , f x(k )

n+1 (115)



si

f

x

(k )m

= min

f

x

(k )1

, f

x

(k )2

, . . . , f

x

(k )n+1

(116)

2. se calculeaza coordonatele centrului de greutate xW al varfurilor hiper-

poliedrului, exceptand varful x(k )W :

x(k )

W =

1

n + 1 n+1

∑ j=1x

(k )

j − x(k )

M (117)



3. se”

reflecta” punctul de coordonate x(k ) M prin centrul de greutate xW , re-

zultand:

x

(k )

R = x

(k )

W + α x

(k )

W − x

(k )

M (118)unde coeficientul de reflexie α > 0. Se calculeaza valoarea functiei obiec-

tiv ın punctul de reflexie, f

x

(k )R

.

4. daca f x(k )R f x(k )m

, se trece la o extindere a reflexiei:



x

(k )E = x

(k )R + γ

x

(k )R − x

(k )W

(119)

unde γ > 1 este coeficientul de extindere.

In situatia ın care f

x(k )E

< f

x

(k )m

, se ınlocuieste x

(k ) M cu x

(k )R , dupa

care se trece la iteratia urmatoare: k = k + 1.

In situatia ın care f x(k )R > f x

(k )m algoritmul continua ın urmatorul

mod:



5. daca, ın afara de x(k ) M exista cel putin ınca un punct x

(k )O pentru care:

f x(k )R < f x

(k )O < f x

(k ) M (120)

se ınlocuieste x(k ) M cu x

(k )R , dupa care se trece la iteratia urmatoare: k =

k + 1.

6. daca ınsa un astfel de punct nu exista, se efectueaza o contractie a refle-i i



xiei:

x(k )C = x

(k )W + β

x

(k ) M − x

(k )W

(121)

unde 0 < β < 1 este coeficientul de contractie. Se ınlocuieste x(k ) M cu x(k )C ,dupa care se trece la iteratia urmatoare: k = k + 1.

7. daca reflexia a fost total nefavorabila, f x(k )R f x

(k ) M se efectueaza

o reducere a hiperpoliedrului de explorare conform relatiei:

x(k ) j = x

(k )m + 0,5

x

(k ) j − x

(k )m

j = 1, . . . , n + 1 (122)



Inainte de trecerea la o noua iteratie (revenire a pct.1 din algoritm) se efectu-

eaza testele de stop. Un criteriu propus de Nelder si Mead consta ın satisfacerea

relatiei:

1

n + 1

n+1

∑ j=1

f

x(k ) j

− f

x

(k )W

2 ε (123)

unde ε reprezinta precizia ceruta.

Coeficientii α β γ au o influenta considerabila asupra numarului total de



Coeficientii α, β, γ au o influenta considerabila asupra numarului total de

evaluari ale functiei obiectiv pana la atingerea punctului de extrem cu preci-

zia dorita. Nelder si Mead propun urmatoarele valori: α = 1, β = 0,5 si γ = 2.


Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos

In procedeul de obtinere a H2SO4 prin procedeul de contact amestecul de gaze

ce intra ın reactorul ce lucreaza la temperatura de 500˚C si presiunea de 1 atm.

are compozitia:

SO2 7,8 [%]v,

O2 10,8 [%]v,

N2 81,4 [%]v.



N2 81,4 [%]v.

Sa se calculeze compozitia gazelor care ies din reactor prin metoda minimizarii

entalpiei libere.



Rezolvare:Compozitia la echilibru a unui amestec de N componente ın faza gazoasa la

temperatura T si presiunea P poate fi determinata prin minimizarea entalpiei

libere a amestecului. Dependenta de presiune a entalpiei libere pentru specia i

se calculeaza cu relatia:

∆GT ,i = ∆G0T ,i +

P V d p (124)



p0=1

unde: ∆GT ,i este entalpia libera a speciei i la temperatura T si presiunea P;

∆G0T ,i - entalpia libera a speciei i la temperatura T si presiunea

standard p0;

V - volumul.



Considerand specia chimica i gaz ideal, stiind ca pentru un mol p V = R T ,

relatia anterioara devine:

∆GT ,i = ∆G0T ,i +

P p=1

RT d p p

= ∆G0T ,i + RT ln P (125)

Entalpia libera a unui amestec gazos de N componente la temperatura T si

presiunea P se calculeaza cu relatia:



∆GT ,am =N

∑ i=1

ni ∆GT ,i (126)

unde ni reprezinta numarul de moli din specia i.

Aplicand ipoteza gazelor ideale, din expresiile (125) si (126) obtinem:

∆GT ,am =

N

∑ i=1 ni ∆G0T ,i + RT ln pi (127)

unde pi reprezinta presiunea partiala a speciei i.



Inlocuind:

pi = yi P = ni

N

∑ i=1 ni

P (128)

unde yi este fractia molara a speciei i, obtinem:

∆GT ,am =

N

∑ i=1ni ∆G0T ,i + RT ln ( yi P) (129)



Prin ımpartirea la termenul RT obtinem:

∆GT ,am

RT =

N ∑ i=1

ni

∆G0T ,i

RT + ln P + ln ( yi P)

(130)



Determinarea compozitiei de echilibru implica minimizarea functiei obiectiv:

minni

f ob =N

∑ i=1

ni∆G0

T ,i

RT + ln P + ln

ni

∑ N i=1 ni (131)

cu respectarea restrictiilor date de legea conservarii masei:

N

∑ i=1

ai, j ni = b j unde j = 1, . . . , M (132)



unde: ai, j este numarul de atomi ai elementului j continuti de specia i;

b j - masa atomica totala initiala din amestec a elementului j;

M - numarul total de specii atomice diferite.

Solutia trebuie sa contina doar elemente pozitive, adica:

ni 0 pentru i = 1, 2, . . . , N



Entalpia libera a componentului i se calculeaza pe baza entalpiei si entropiei:

∆G0T ,i = ∆ H 0T ,i + T ∆S0

T ,i (133)

Dependenta cu temperatura a entalpiei si entropiei componentului i este datade relatiile:

∆ H 0T ,i = ∆ H 0T 0,i +

T

T 0

c p,i dT (134)



∆S0

T ,i = ∆S0T 0,i +

T

T 0

c p,i

T dT (135)

unde ∆ H 0T 0,i si ∆S0T 0,i sunt valorile ın conditii standard.

Caldura specifica c p,i a componentului i se exprima cu ajutorul relatiei de core-

lare de forma:c p,i = αi + βi T + γi

T 2 (136)

unde αi, βi si γi sunt constante specifice componentului i.



Prin substituirea relatiilor (134), (135) si (136), ın urma integrarii, din relatia

(133) rezulta:

∆G0T ,i = ∆ H 0T 0,i + T ∆S0T 0,i + αi ln T

T 0+ (αi − βi T ) (T − T 0) +

+ βi

2 (T − T 0)2 − γi

2

1

T − T 0+

T

(T − T 0)2

(137)

Aplicatie numerica



Aplicatie numerica

Reactiile pe care le consideram a avea loc ın reactor sunt:

SO2

+ 12

O2 −−→←−− SO

3 (138)

1

2

N2

+ 1

2

O2

−−→←−− NO (139)

Calcularea compozitiei la echilibru a amestecului se bazeaza pe datele termo-

dinamice ale componentelor, date care sunt prezentate ın tabelul 6.



Tabelul 6. Date termodinamice ale componentelor amestecului de reactie

Componenta

∆ H 0298 ∆S0298

c p, [J/(mol

·K)]

[J/mol] [J/(mol·K)] α β · 103 γ · 10−5

O2 0 205,03 31,46 3,39 −3,77

N2 0 191,50 27,87 4,27 −SO2 −296,900 248,11 42,55 12,55 5,65



SO2 296,900 248,11 42,55 12,55 5,65

SO3 −395,200 256,23 57,32 26,86 −13,05

NO 90,370 210,62 29,58 3,85 −0,59



Conform relatiei (137) entalpia libera a componentelor este:

∆G0T ,O2

= 0 + T 205,03 + 31,46 lnT

T 0 + (31,46 − 3,39 · 10−3T )∆T +

+3,39 · 10−3

2 ∆2T +

3,77 · 105

2

1

∆T +

T

∆2T

= 195.749,52

(140)

∆G0T ,N2

= 0 + T

191,50 + 27,87 ln T T0

+ (27,87 − 4,27 · 10−3T )∆T +

(141)



T 0

+

4,27 · 10−3

2

∆2T = 180.716,58

(141)



∆G0T ,SO2

= −296900 + T

248,11 + 42,55 ln

T

T 0

+

+(42,55 − 12,55 · 10−3T )∆T +12,55

·10−3

2 ∆2T −

−5,65 · 105

2

1

∆T +

T

∆2T

= −56.740,60

(142)

∆G0 395200 T

256 23 57 32 l

T



∆G0T ,SO3

= −395200 + T

256,23 + 57,32 ln

T 0

+

+(57,32 − 26,86 · 10−3T )∆T + 26,86 · 10−3

2 ∆2T +

+13,05 · 105

2

1

∆T +

T

∆2T

= −134.505,29

(143)



∆G0T ,NO = 90370 + T

210,62 + 29,58 ln

T

T 0

+

+(29,58 − 3,85 · 10−3T )∆T +3,85

·10−3

2 ∆2T +

+0,59 · 105

2

1

∆T +

T

∆2T

= 288.045,37

(144)

unde T = 500 + 273 = 773 K si ∆T = T − T 0 = 773 − 298 = 475 K.





In aceste conditii functia obiectiv devine:

minn

O2, n

N2,

nSO2 , nSO3 ,nNO

nO2 195.749,52

RT

+ ln P + lnnO2

∑ ni +

+nN2

180.716,58

RT + ln P + ln

nN2

∑ ni

+

+nSO2

-56.740,60

RT + ln P + ln

nSO2

∑ ni

+ (145)



RT ∑ ni

+nSO3 -134.505,29

RT + ln P + ln

nSO3

∑ ni+

+ nNO

288.045,37

RT + ln P + ln

nNO

∑ ni

unde:∑ ni = nO2

+ nN2 + nSO2

+ nSO3 + nNO



Restrictiile la care este supusa aceasta functie obiectiv sunt date de ecuatiile de

bilant de masa pentru oxigen, azot si sulf. Aceste relatii sunt identificate pe

baza coeficientilor ai, j si b j prezentate ın tabelul 7:

Tabelul 7. Coeficientii ai, j si bi ai

speciilor si componentelor din amestec

j i O N S



O2 2 0 0

N2 0 2 0SO2 2 0 1

SO3 3 0 1

NO 1 1 0

b j 0,372 1,628 0,078



2 nO2 + 2 nSO2

+ 3 nSO3 + nNO = 0,372

2 nN2 + nNO = 1,628

nSO2 + nSO3 = 0,078

(146)

Problema de optimizare este supusa la 3 restrictii si are un numar de 5 variabile

de decizie. Putem sa exprimam din sistemul de restrictii 3 variabile de decizie

ın functie de celelalte doua, prin acesta putem reduce dimensionalitateaproblemei de la 5 variabile de decize la doua. Fie aceste doua variabile de

d i i i E iil d b tit ti t i t



decizie nNO si nSO3. Expresiile de substitutie pentru nN2

, nSO2 si nO2

sunt:

nN2

= 0,814−

0,5 nNO

nSO2 = 0,078 − nSO3

nO2 = 0,108 − 0,5 nSO3

− 0,5 nN2

(147)

Rezolvarea acestei probleme s-a f acut utilizand functia fmins din MATLAB prinscrierea unei functii externe ce calculeaza valoarea entalpiei libere a

amestecului de gaze ın conditiile prezentate ın problema. Functia este:


function y = AmGazR(x);

% Calculeaza valoarea entalpiei libere a

% amestecului de gaze la T=500 grd.C si P=1 atm.

%

% stabilirea constantelor

T = 500 + 273; % [K]

T0 = 298; % [K]

DT = T - T0; % [K]

P = 1; % [atm]

R = 8.314; % [J/(mol K)]



% identificarea variabilelor de decizie

nSO3 = x(1);nNO = x(2);

% fixarea restrictiilor

nSO2 = 0.078 - nSO3;

nO2 = 0.108 - 0.5*nSO3 - 0.5*nNO;nN2 = 0.814 - 0.5*nNO;

% calcularea entalpiei libere a componentilor

G_O2 = 0 + T*(205.03 + 31.46*log(T/T0)) + ...

(31.46 - 3.39e-3*T)*DT + 3.39e-3/2*DTˆ2 + ...

3.77e-5/2*(1/DT + T/DTˆ2);

G_N2 = 0 + T*(191.5 + 27.87*log(T/T0)) + ...

(27.87 - 4.27e-3*T)*DT + 4.27e-3/2*DTˆ2;

G_SO2 = -296900 + T*(248.11 + 42.55*log(T/T0)) + ...

(42.55 - 12.55e-3*T)*DT + 12.55e-3/2*DTˆ2 - ...

5.65e-5/2*(1/DT + T/DTˆ2);



G_SO3 = -395200 + T*(256.23 + 57.32*log(T/T0)) + ...

(57.32 - 26.86e-3*T)*DT + 26.86e-3/2*DTˆ2 + ...13.05e-5/2*(1/DT + T/DTˆ2);

G_NO = 90370 + T*(210.62 + 29.58*log(T/T0)) + ...

(29.58 - 3.85e-3*T)*DT + 3.85e-3/2*DTˆ2 + ...

0.59e-5/2*(1/DT + T/DTˆ2);

% numarul total de moli

nT = nO2 + nN2 + nSO2 + nSO3 + nNO;

% calcularea elementelor din functia obiectiv

% cu impunerea domeniului de cautare >= 0if nO2 <= 0

y1 = 1e10;

else

y1 = nO2*(G_O2/(R*T) + log(P) + log(nO2/nT));

end;

if N2 0



if nN2 <= 0

y2 = 1e10;

else

y2 = nN2*(G_N2/(R*T) + log(P) + log(nN2/nT));

end;

if nSO2 <= 0

y3 = 1e10;

else

y3 = nSO2*(G_SO2/(R*T) + log(P) + log(nSO2/nT));

end;

if nSO3 <= 0

y4 = 1e10;

else

y4 = nSO3*(G_SO3/(R*T) + log(P) + log(nSO3/nT));

end;



if nNO <= 0

y5 = 1e10;

else

y5 = nNO*(G_NO/(R*T) + log(P) + log(nNO/nT));

end;

% calcularea valorii functiei obiectivy = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 ;

%PROGRAM pt. calcularea compozitiei la echilibru

% a amestecului gazos de reactie

%

% setare valori pt. structura OPTIONSOPTIONS = optimset(’TolX’,1e-20, ...

’TolFun’,1e-20, ...

’MaxFunEvals’,1000);

% apelarea functiei fmins

c = fminsearch(’AmGazR’,[1e-3 1e-3],OPTIONS);



% identificarea solutiei obtinute

nSO3 = c(1);

nNO = c(2);

nSO2 = 0.078 - nSO3;

nO2 = 0.108 - 0.5*nSO3 - 0.5*nNO;

nN2 = 0.814 - 0.5*nNO;

% calcularea compozitiei de echilibru

nT = nO2+nN2+nSO2+nSO3+nNO;

cO2 = nO2/nT;

cSO2 = nSO2/nT;

cSO3 = nSO3/nT;cNO = nNO/nT;

cN2 = nN2/nT;

% afisarea solutiei optime

disp([cO2 cSO2 cSO3 cNO cN2]’);




Solutia identificata pe aceasta cale este data de urmatoarea compozitie a

amestecului de gaze la iesirea din reactor:

SO2

4,263·

10−

11 [%]v

,

O2 7,180 [%]v,

N2

84,703 [%]v

,

SO3 8,116 [%]v,

(148)



NO 4,433 · 10−6

[%]v.

UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA

Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016

211/324


Functii MATLAB utilizate ın optimizareamultidimensionala

• minimizare multidimensionala f ara restrictii:

fmins

exemplu de apelare: xopt = fmins(fun,x0)

fminsearch

exemplu de apelare: xopt = fminsearch(fun,x0)



fminunc

exemplu de apelare: xopt = fminunc(fun,x0)

• minimizare multidimensionala cu restrictii:

fmincon

exemplu de apelare:

xopt = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)



212/324

Metode de programare



Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de programare

Metode de programare

sunt metode ce se aplica ın situatia ın care functiaobiectiv si restrictiile prezinta anumite forme de re-

prezentare specifice.

Principalele metode de programare sunt:◮ programarea liniar˘ a,



◮ programarea dinamic˘ a,

◮ programarea p˘ atratic˘ a,◮ etc.



214/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara

Metoda de programare liniara a fost dezvoltat de George Danzig ın 1947 si se

refera la rezolvarea problemelor de optimizare ın care atat functia obiectiv cat

si restrictiile sunt expresii liniare ın raport cu variabilele de decizie.

In cadrul acestor probleme se minimizeaza functii obiectiv de forma:

minx

f ob =n

∑ i=1

ci xi (149)

supuse la sistemul de restrictii:

n



n

∑ i=1

aijxi b j j = 1, 2, . . . , l (150)

n

∑ i=1

aijxi = b j j = l + 1 , . . . , m (151)

undexi 0 i = 1, 2, . . . , n (152)



215/324


Astfel de probleme de optimizare sunt ın general tipice sistemelor economice

cum ar fi problemele de alocare optima de resurse, optimizarea transporturilor,

optimizarea deciziilor, etc.

In ingineria chimica astfel de probleme sunt mai rare, ın mare parte datoratefaptului ca procesele respective nu pot fi redate prin expresii liniare. Totusi pro-

bleme de optimizare cu expresii ale functiei obiectiv si ale restrictiilor de tipul

aratat, apar ın ingineria chimica ın general ın situatia ın care modelele mate-

matice ale fenomenelor sunt liniarizare ori rezulta din analiza de regresie ıntr-o

astfel de forma. De asemenea, sunt comune si problemele de calcul concentratii



p

ori amestecuri, ce ın anumite situatii duc tot la probleme rezolvabile prin pro-

gramare liniara.Importanta rezolvarii problemelor de programare liniara deriva din faptul ca

prin aceasta metoda pot fi rezolvate probleme cu nu numar deosebit de mare

de variabile si restrictii, permitand pe aceasta cale abordarea optimizari unor

sisteme mari (grupuri de instalatii, platforme industriale, s.a.m.d.).



216/324


Conform relatiei (149), prin derivarea functiei obiectiv ın raport cu variabilele

de decizie se obtine:∂ f

∂ xi

= ci (153)

Se observa ca aplicarea metodelor analitice clasice nu este posibila deoarece

derivatele nu sunt dependente de variabilele de decizie ci sunt egale cu niste

constante.

Pentru identificarea unei solutii ıntr-o astfel de situatie, singura posibilitate

este ca aceasta sa fie situata pe limita domeniului admis definit de sistemul



de restrictii.



217/324

Programarea liniara: Exemplu

O firma dispune de doua tehnologii ce permit obtinerea a doua

produse, P1 si P2 utilizand doua materii prime, M1 si M2.

Consumurile specifice din cele doua materii prime sunt de:◮ 1 kg M1/kg P1 si 3 kg M2/kg P1, respectiv

◮ 2 kg M2/kg P1 si 1 kg M2/kg P2.

Daca beneficiile obtinute prin valorificarea produselor fabricate

sunt de 150 lei/kg P1 respectiv 100 lei/kg P2 sa se determine can-

i il fi b i di l d d ili ˆ d



titatile ce urmeaza a fi obtinute din cele doua produse utilizand

100 kg materie prima M1 si 150 kg materie prima M2 ın asa felıncat beneficiul obtinut sa fie maxim.



218/324


Rezolvare:Formularea matematica a acestei probleme de alocare optima a resurselor este

data de functia obiectiv:

maxx

f ob = 150 x1 + 100 x2 (154)


x1 + 2 x2 100

3 x1 + x2 150(155)



3 x1 + x2 150

x1, x2 0unde x1 si x2 reprezinta cantitatile obtinute din cele doua produse, P1 si P2.



219/324


Figura 23. Rezolvarea grafica

ın programarea liniara.

Din reprezentarea grafica se observa ca

solutia optima este cea data de un varf

al domeniului de cautare, varful C de

coordonate sunt x∗1 = 40 si x∗

2 = 30.

x2

100

150

f o b

= 1 5

. 0 0

f ∗ o b

= 9 . 0 0

x

1 +

2 x

2

1 0 0



Valoarea functiei obiectiv pentru care

dreapta prin care ea este reprezentata

intersecteaza domeniul de cautare este

de 9.000 lei si reprezinta beneficiul ma-

xim realizabil.

x10

50 100

50

x∗1

x∗2

A

B

C

D

00 0

u . a .

00 u . a .

3 x 1 +

x 2

1 5 0



220/324


Din acest exemplu putem observa ca exista 4 situatii posibile:

1. solut ¸ie unic˘ a - cazul cel mai dorit, identic cu cea ce se observa ın exemplul

anterior (fig. 23). In aceasta situatie exista o solutie unica ce corespunde

unui varf al domeniului de cautare.

2. solut ¸ie multipl˘ a (fig. 24.a) - apare atunci cand functia obiectiv prin transla-

tare se poate suprapune peste una din restrictii. In aceasta situatie toate

punctele de-a lungul acestei restrictii, pe limitele dictate de domeniul decautare, vor avea ca rezultat acceasi valoare a functiile obiectiv. Toate

punctele din acest domeniu (x1, x2) vor fi solutii ale problemei de opti-



p ( 1, 2) ¸ p p

mizare.

3. solut ¸ie nem˘ arginit˘ a (fig. 24.b) - daca sistemul de restrictii formeaza un do-

meniu de cautare nemarginit atunci solutie problemei este la infinit.

4. solut ¸ie imposibil˘ a (fig. 24.c) - daca sistemul de restrictii formeaza un do-

meniu de cautare vid, problema nu are solutie.



221/324




a b c

Figura 24. Solutii posibile ın programarea liniara:

a - solutii multiple; b - solutie nemarginita; c - solutie imposibila.



222/324


Problemele de optimizare rezolvabile prin programare liniara sunt mult prea

complexe pentru a putea fi rezolvate geometric. Rezolvarea acestor probleme

se face prin metode algebrice.

Rezolvare algebricaAlgoritmul algebric de rezolvare a problemelor de programare liniara include

doua etape:

Pasul 1. determinarea initiala a unei solutii de baza admise;

Pasul 2. schimbarea solutiei de baza admise, cu o alta, pana la

determinarea punctului de optim



determinarea punctului de optim.



223/324


Pasul 1. In cadrul acestui pas, se efectueaza urmatoarele operatii:

a) Aducerea problemei la forma standard.

Transformam restrictiile de tip inegalitate ın restrictii de tip egalitate conform

relatiilor:

n

∑ i=1

aijxi b j =⇒n

∑ i=1

aijxi + xn+ j = b j sau

n

∑ i=1

aijxi b j =⇒n

∑ i=1

aijxi − xn+ j = b j pentru j = 1, 2, . . . , l

(156)



prin adaugarea unor variabile fictive xn+1, . . . , xn+l cu respectarea conditieide nonnegativitate xn+ j 0 pentru j = 1, 2, . . . , l.

In urma acestei etape obtinem o problema de optimizare ın care avem N =n+l

variabile de decizie (n variabile de decizie initiale plus cele l variabile de

decizie fictive adaugate pentru convertirea restrictiilor de tip inegalitate larestrictii de tip egalitate) supuse la m restrictii de tip egalitate.



224/324


b) Identificarea unei solutii de baza initiale.

Sistemul de restrictii include m ecuatii si N variabile. Ca urmare N − m varia-

bile pot fi alese arbitrar, celelalte m variabile fiind astfel complet determinate.

Daca luam cele N − m variabile egale cu zero si calculam celelalte m variabiledin sistemul de restrictii, obtinem o solutie a sistemului ce se numeste solut ¸ie

de baz˘ a, ın care cele m variabile determinate constituie baza solutiei de baza,

iar cele N −

m variabile egale cu zero constituie non-baza solutiei de baza.

Daca solutia de baza astfel determinata are elementele din baza non-negative,

solutia de baza se numeste solut ¸ie de baz˘ a admis˘ a, si pentru domeniul de cau-

t d i ˆ f



tare corespunde unui varf.



225/324


Pasul 2. Pentru ımbunatatirea solutiei initiale se efectueaza operatiile:

a) Rearanjarea restrictiilor si a functiei obiectiv.

Pornind de la restrictii, se exprima variabilele din non-baza solutiei de baza ın

functie de variabilele din baza solutiei de baza. De asemenea se rearanjeazafunctia obiectiv ın asa fel ıncat sa fie exprimata doar ın functie de variabilele

din baza solutie de baza.




Departamentul de Inginerie Chimica

24 februarie 2016

226/324


b) Deplasarea ıntr-un alt varf al domeniului de cautare cu scopul de a ameli-

ora valoarea functiei obiectiv.

Aceasta deplasare se va efectua ıntr-un varf alaturat al domeniului de cautare

prin modificarea unei variabile din non-baza. Pentru alegerea variabilei ceurmeaza sa fie modificata se analizeaza expresia functiei obiectiv.

Pentru a mari valoarea functiei obiectiv, cu scopul de a maximiza valoarea

sa, trebuie sa crestem valoarea variabilei cu coeficient pozitiv (ın situatia ıncare avem mai multe variabile cu coeficient pozitiv, cea mai buna cale este

alegerea variabilei cu coeficientul pozitiv cel mai mare).



Pentru a micsora valoarea functiei obiectiv, cu scopul de a minimiza valoa-rea sa, trebuie sa marim valoarea variabilei cu coeficient negativ (ın situatia

ın care avem mai multe variabile cu coeficient negativ se alege variabila de

decizie ce prezinta valoarea negativa cea mai mare).



24 februarie 2016

227/324


Observatie: M˘ arirea valorii acestei variabile se face pˆ an˘ a la limita la

care nici una din variabilele din baz˘ a nu devine negativ˘ a.

Pe aceast˘ a cale se identific˘ a o nou˘ a solut ¸ie de baz˘ a

admis˘ a ce corespunde unui vˆ arf al˘ aturat vˆ arfului curent

al domeniului de c˘ autare, vˆ arf ın care avem cea mai

favorabil˘ a valoare a funct ¸iei obiectiv.

Pasul 2 este reluat atat timp cat exista posibilitatea unei ımbunatatiri a valorii

functiei obiectiv.

Acest lucru este posibil cat timp ın expresia functiei obiectiv exista variabile de



Acest lucru este posibil cat timp ın expresia functiei obiectiv exista variabile de

decizie cu coeficient pozitiv ın situatia cautarii unui maxim, sau cat timp existavariabile de decizie cu coeficient negativ, ın situatia cautarii unui minim.



24 februarie 2016

228/324

Programarea liniara: Algoritmul Simplex

Algoritmul Simplex

Algoritmul Simplex reprezinta o algoritmizare a metodei

algebrice prezentate pentru a putea fi utilizat pe calculator.

Se porneste de la un tablou ın care sunt introduse toti

coeficientii din functia obiectiv si din sistemul de restrictii,

denumit tablou simplex (tabelul 8).





24 februarie 2016

229/324


Tabelul 8. Tabloul Simplex

x1 x2 . . . xn xn+1 xn+2 . . . xn+l b

a1,1 a1,2 . . . a1,n 1 0 . . . 0 b1

a2,1 a2,2 . . . a2,n 0 1 . . . 0 b2

......

. . . ...

......

. . . ...

...

al,1 al,2 . . . al,n 0 0 . . . 1 bl

al+1,1 al+1,2 . . . al+1,n 0 0 . . . 0 bl+1



al+2,1 al+2,2 . . . al+2,n 0 0 . . . 0 bl+2

......

. . . ...

......

. . . ...

...

am,1 am,2 . . . am,n 0 0 . . . 0 bm

c1,1 c1,2 . . . c1,n 0 0 . . . 0 f ob



24 februarie 2016

230/324


Se porneste de la o solutie fesabila/admisa initiala, pentru care functia obiectiv

si restrictiile sunt scrise sub forma:

− f ob = −n+m

∑ i=1

ci xi = −bm+1 (157)

n+m

∑ i=1

aijxi = b j , j = 1, . . . , m (158)

Daca x1, x2,..., xn sunt variabilele din non-bazei (care au valoarea zero) iar

xn+1, xn+2,..., xn+m sunt variabilele din baza (cele calculate pe baza restrictii-



n+1 + + ( p ¸

lor ın functie de variabilele din non-baza) se ıntocmeste corespunzator solutieiinitiale de baza, relatiile (157) si (158), urmatorul tabel:



24 februarie 2016

231/324


ITERATIA 0 x1 x2 . . . xn b

xn+1 a11 a12 . . . a1n b1

xn+2 a21 a22 . . . a2n b2

......

... . . .

......

xn+m am1 am2 . . . amn bm

f −c1 −c2 . . . −cn bm+1





24 februarie 2016

232/324


Trecerea de la un varf la altul al hiperpoliedrului ce delimi-

teaza domeniul de cautare admis pana la varful ce corespun-

de solutiei problemei de optimizare corespunde cu o serie de

transformari ın cadrul acestui tabel de date.Pentru fiecare iteratie ın cadrul algoritmului Simplex se fac

urmatoarele operatii:

1. se determina coloana corespunzatoare variabilei ce va

intra ın baza;

2. se determina linia corespunzatoare a variabilei ce iese

din baza;



din baza;

3. se interschimba pozitia variabilelor respective si se re-

calculeaza coeficientii din tabel astfel ıncat sa cores-

punda noii solutii de baza.



24 februarie 2016

233/324


Detailarea algoritmului este urmatoarea:

1. se va cauta ın caz de maximizare ın ultima linie a tabelului coeficientul cu

cea mai mare valoare negativa (ın caz de minimizare - coeficientul cu cea

mai mare valoare pozitiva). Coloana corespunzatoare indica variabilacare va intra ın baza si se mai numeste si coloana pivot;

2. pentru determinarea variabilei ce iese din baza se identifica pe coloana

pivotului pozitia coeficientului pozitiv pentru care raportul dintre ter-menul liber corespunzator si coeficient este cel mai mic. Acest coeficient

este denumit pivot. Linia corespunzatoare acestui coeficient corespunde

variabilei ce urmeaza sa iasa din baza si se mai numeste si linia pivot



variabilei ce urmeaza sa iasa din baza si se mai numeste si linia pivot.



24 februarie 2016

234/324


3. Conform schimbarii reciproce a pozitiei relative a celor doua variabile se

vor interschimba simbolurile lor din prima linie respectiv prima coloana

a tabelului. Recalcularea coeficientilor are loc astfel:

• noua valoare a pivotului este 1/α pq

• noile valori ale celorlalti coeficienti de pe linia pivotului sunt

α pj/α pq

• noile valori ale celorlalti coeficienti de pe coloana pivotului sunt−αiq/α pq

• noile valori ale celorlalti coeficienti sunt αij − α pjαiq/α pq .



(ın aceste relatii p este indicele liniei pivotului, q indicele coloanei

pivotului, α pq valoarea pivotului, iar αij valoarea coeficientului

situat pe linia i, coloana j, unde i = q si j = p ).

Repetarea acestor etape este f acuta pana cand toti coeficientii de pe ultima linie

a tabelului situate pe coloanele variabilelor au acelasi semn (pozitiv pentru ma-

ximizare, negativ pentru minimizare).



24 februarie 2016

235/324


Sa se maximizeze functia obiectiv:

f ob = 2x1 + 3x2 (159)


−x1 + 2x2 6

2x1 + x2 82x1 − x2 4

(160)

si x1, x2 0.



si x1, x2 0.



24 februarie 2016

236/324


Rezolvare:Prin introducerea variabilelor fictive x3, x4 si x5 se obtine:

maxx f ob = 2 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 (161)

supusa la restrictiile

−x

1 + 2x

2 + x

3 = 6

2x1 + x2 + x4 = 8

2x1 − x2 + x5 = 4

(162)



si x1, x2, x3, x4 si x5 0.Solutia de baza admisa evidenta este data de non-baza x1 = 0, x2 = 0, iar din sis-

temul de restrictii rezulta valorile variabilelor din baza solutiei de baza admise

x3 = 6, x4 = 8, x5 = 4.



24 februarie 2016

237/324


Problema de optimizare este transpusa ın tabel, conform

algoritmului Simplex, ın felul urmator:

ITERATIA 0 x1 x2 b

x3 −1 2 6

x4 2 1 8x5 2 −1 4

f −2 −3 0





24 februarie 2016

238/324


ITERATIA 1 x1 x3 b

x2 − 12

12 3

x4 2 − 1·(−1)2 = 5

2 − 12 8 − 1·6

2 = 5

x5 2−

(−1)·(−1)

2

= 3

2

1

2

4−

6·(−1)

2

= 7

f −2 − 32 = − 7

232 0 − 6·(−3)

2 = 9





24 februarie 2016

239/324


ITERATIA 2 x4 x3 b

x2 − 12 · −

25 = 1

512 − − 1

2 · − 12

25 = 2

5 3 + 5 12 · 2

5 = 4

x152 − 1

2 · 25 = − 1

5 5 25 = 2

x53

2 · − 2

5 =−

3

5

1

2 − 3

2 · −1

2 · 2

5

= 11

10

7−

5 3

2 · 2

5

= 4

f − 72 ·− 2

5

= 7

532 −

− 72

·− 1

2

· 2

5 = 45 9 − 5

− 72

· 25 = 16



Cautarea se termina deoarece toti coeficientii variabilelor din functia obiectiv sunt pozi-tivi. Solutia problemei este: x∗1 = 2, x∗

2 = 4, x∗3 =0 si f ∗ob = 16.



24 februarie 2016

240/324

Exemple: Determinarea cailor optime de aprovizionare

Un combinat chimic dispune de 3 sectii S1, S2 si S3. Materia prima necesara

functionarii celor trei sectii poate fi obtinuta de la doi furnizori F1 si F2.

Tabelul 9. Date privind aprovizionarea combinatului

Cheltuieli de transportF1 F2

Necesar

[u.v./t] [t]

S1 20 30 60

S2 30 35 15

S3 20 25 30



Disponibil, [t] 70 40

Sa se determine planul optim de aprovizionare, ın asa fel ıncat sa avem cheltu-

ieli minime de transport.



24 februarie 2016

241/324


Rezolvare:Modelul matematic al procesului de optimizat include urmatoarele ecuatii:

m1,1 + m1,2 + m1,3 = MF1

m2,1 + m2,2 + m2,3 = MF2

20 m1,1 + 30 m1,2 + 20 m1,3 = C1

30 m2,1 + 35 m2,2 + 25 m2,3 = C2



m1,1 + m2,1 = MS1

m1,2 + m2,2 = MS2

m1,3 + m2,3 = MS3



24 februarie 2016

242/324


unde: mi, j reprezinta cantitatile de materia prima transportata de la furnizorul

i la sectia j, [t];

MFi - cantitatea totala transportata de la furnizorul i, [t];

Ci - costul aprovizionarii de la furnizorul i, [u.v.];

MSi - cantitatea totala cu care s-a aprovizionat sectia i, [t].

Din lista de variabile utilizate ın modelul matematic al sistemului de optimizat,alegem cantitatile cu care se aprovizioneaza de la furnizori sectiile combinatului,

adica variabilele mi, j, ca variabile de decizie.





24 februarie 2016

243/324


Facand notatiile, x1 = m1,1, x2 = m1,2, x3 = m1,3, x4 = m2,1, x5 = m2,2 si x6 = m2,3,

functia obiectiv devine:

minx f ob = 20 x1 + 30 x2 + 20 x3 + 30 x4 + 35 x5 + 25 x6 (163)

fiind supusa la restrictiile:

x1 + x2 + x3 70x4 + x5 + x6 40

x1 + x4 = 60 (164)



x2 + x5 = 15

x3 + x6 = 30

x1, x2, x3, x4, x5, x6 0



24 februarie 2016

244/324

Exemple: Planul optim de productie

Intr-o instalatie ce produce insecticide, ın nomenclatorul de fabricatie exista la un

moment dat doua produse, P1 si P2. Fiecare din aceste produse ınglobeaza trei

materii prime M1, M2 si M3.

Tabelul 10. Date pentru instalatia de insecticide

Consum specificP1 P2

Disponibil

[kg/t] [t]

M1 200 400 20

M2 600 300 40



M3 200 300 30

Beneficiul, [u.v./t] 8 6

Cunoscand datele din tabelul 10, sa se determine planul optim de productie, ast-fel ıncat beneficiul realizat sa fie maxim.



24 februarie 2016

245/324


Rezolvare:Modelul matematic al sistemului de optimizat include urmatoarele ecuatii:

c1,1

m1 + c

1,2 m

2 = M

M1

c2,1 m1 + c2,2 m2 = M M2

c3,1 m1 + c3,2 m2 = M M3

b1 m1 + b2 m2 = B

unde: mi reprezinta cantitatile de produs i obtinute, [t];



ci, j - consumul specific de materie prima i necesara la fabrica-rea produsului j, [t/t];

M Mi - cantitatea de materie prima i consumata, [t];

bi - beneficiul realizat prin valorificarea produsului i, [u.v./t];

B - beneficiul total, [u.v.].



24 februarie 2016

246/324


Alegem cantitatile m1 si m2 de produse fabricate ca variabile de decizie.

Notand x1 = m1 si x2 = m1 functia obiectiv a problemei de optimizare este:

maxx

f ob = 8 x1 + 6 x2 (165)

fiind supusa la urmatoarele restrictii:

0,2 x1 + 0,4 x2 20

0,6 x1 + 0,3 x2 40

0,2 x1 + 0,3 x2 30

(166)



x1, x2 0

Problema este rezolvabila prin programare liniara si are un numar de 2 varia-

bile de decizie si 2 restrictii de tip inegalitate.



24 februarie 2016

247/324


Transformam restrictiile de tip inegalitate ın restrictii egalitate prin introduce-

rea unor variabile fictive:

0,2 x1 + 0,4 x2 + x3 = 20

0,6 x1 + 0,3 x2 + x4 = 40

0,2 x1 + 0,3 x2 + x5 = 30

(167)

x1, x2, x3, x4, x5 0

Facand un scurt inventar constatam ca avem 5 variabile de decizie si 2 restrictii.

Prin urmare, pentru obtinerea unei solutii de baza admise, anulam 5 − 3 = 2



variabile de decizie.O solutia de baza admisa implicita este cea obtinuta prin anularea variabilelor

x1 si x2.



24 februarie 2016

248/324


Pentru aceasta solutie de baza admisa formam tabloul Simplex:

Iteratia 0 x1 x2 b

x3 0,2 0,4 20

x4 0,6 0,3 40

x5 0,2 0,3 30

f ob −8 −6 0

Observat ¸ie: Linia si coloana evidentiata

reprezinta linia si coloana pivotului



p p



24 februarie 2016

249/324


Iteratia 1 x4 x2 b

x3 − 0,20,6 = −0,333 0,4− 0,2·0,3

0,6 =0,3 20− 0,2·400,6 =6,666

x11

0,6 =1,666 0,30,6 =0,5 40

0,6 =66,666

x5

−0,20,6 =

−0,333 0,3

−0,2·0,3

0,6 =0,2 30

−0,2·40

0,6 =16,666

f ob −−80,6 =13,333 −6 − 0,3·(−8)

0,6 = −2 0 − (−8)·400,6 =533,333





24 februarie 2016

250/324


Iteratia 2 x4 x3 b

x2−0,333

0,3 = −1,11 10,3 =3,333 6,666

0,3 =22,22

x1 1,666−−0,33·0,50,3 =2,22 − 0,5

0,3 = −1,666 66,666− 6,66·0,50,3 =55,555

x5

−0,333

−−0,33·0,2

0,3 =

−0,11

−0,20,3 =

−0,666 16,666

−6,66·0,2

0,3 =12,22

f ob 13,333−−(0,33)·(−2)0,3 =11,11 −−2

0,3 =6,66 533,333−−2·6,660,3 =577,77

O ımbunatatire ulteriora a solutiei curente nu mai este posibila deoarece toti coeficientii



functiei obiectiv din tabel sunt negativi.



24 februarie 2016

251/324


Astfel solutia problemei de optimizare este:

x1 = 55,55

x2 = 22,22

x3 = 0

x4 = 0

x5 = 12,22

cu valoarea maxima a beneficiului de 577,777 u.v..





24 februarie 2016

252/324


Functii MATLAB utilizate ın programarea liniara

• minimizare prin programare liniara:

lpexemplu de apelare:

xopt = lp(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

linprog

exemplu de apelare:

xopt = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)





24 februarie 2016

253/324

Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica

Exista probleme, ce nu sunt specifice doar ingineriei chimice, ın care functia obiectiv

depinde nu de variabile de decizie ci de functii necunoscute de una sau mai multe

variabile independente, functii care trebuiesc determinate astfel ıncat sa permita

identificarea unui extrem al functiei obiectiv.Astfel de probleme apar ın problemele de optimizare ale sistemelor cu parametri

distribuiti si ın optimizarea sistemelor dinamice.

De exemplu, concentratia produsului valoros la iesirea dintr-un reactor tubuların care au loc reactii succesive, depinde de profilul de temperatura T ( z), unde

z reprezinta coordonata pe lungimea reactorului.

Solutia unei astfel de probleme nu este data de o valoare optima T ∗ a temperaturii



ci de o functie optima T ∗( z) (fig. 25).

Astfel de probleme de optimizare implica, ın loc de calcularea unei valori optime,

identificarea unei politici optime de variatie a valorii variabilei de decizie ın timp

sau spatiu.



24 februarie 2016

254/324


Fi , ci

Reactor tubularFe , ce

z

c

T ∗



Figura 25. Profilul optim de temperatura

ıntr-un reactor tubular.



24 februarie 2016

255/324


Problema de optiune:

Care este modul ın care trebuie s˘ a varieze parametri, astfel ıncˆ at optimul determinat

ın fiecare etap˘ a de desfasurare a procesului s˘ a ne duc˘ a la un optim global?

In ingineria chimica, astfel de probleme pot fi cele care necesita:

◮ determinarea unei functii de variatie optima a unui parametru ın spatiu:

• identificarea unui profil optim de variatie a temperaturii ıntr-un reac-tor tubular (fig. 25) cu scopul maximizarii concentratiei produsului de

reactie ın fluxul de evacuare;

identificarea modurilor optime de operare ale utilajelor din cadrul unei

li ii h l i l i i ˘ ii f i ˘ ii ˆ l i i



• linii tehnologice cu scopul maximizarii functionarii ıntregului sistem.



24 februarie 2016

256/324


◮ determinarea unei functii de variatie optima a unui parametru ın timp:

• identificarea profilului optim de variatie a temperaturii ıntr-un reac-

tor discontinuu cu scopul maximizarii productivitatii prin reducerea

duratei unei sarje;• identificarea secventei optime de comenzi ıntr-un sistem, care permite

minimizarea duratei anularii efectului unei perturbatii.

In astfel de situatii, se impune alegerea unor politici optime - functie de timp sau despatiu care ia locul variabilelor independente din cazurile anterioare.

Rezolvarea acestor tipuri de probleme necesita sa determinam optimul unei functii

d f tii



de functii.



24 februarie 2016

257/324


Principiul de optimalitate

Programarea dinamica se aplica ın situatiile ın care trebuie luate o

serie de decizii care trebuie sa optimizeze un sistem compus dintr-

o serie de etape/portiuni distincte, cu conditia ca aceste decizii

luate pentru o anumita etapa sa nu afecteze etapele anterioare.

Principiul de optimalitate care sta la baza programarii dinamice

este acela ca: politica optim˘ a are proprietatea c˘ a, oricare ar fi starea init ¸ial˘ a

si decizia init ¸ial˘ a, deciziile r˘ amase trebuie s˘ a constituie o stra-

tegie optim˘ a ın raport cu starea care rezult˘ a din prima decizie -

(Ri h d B ll )



(Richard Bellman).

Programarea dinamica presupune ca sistemul de optimizat este

aciclic si poate fi defalcat ıntr-o serie de stadii sau de trepte ce se

succed ın timp ori ın spatiu (fig. 26).



24 februarie 2016

258/324


1 2 i n-1 n . . . . . .

d1 d2 di dn−1 dn

x0 x1 x2 xi−1 xi xn−2 xn−1 xn

Figura 26. Structura unui sistem aciclic pentru

aplicarea programarii dinamice.xi pentru i = 0, . . . , n - vector de stare

di pentru i = 1, . . . , n - vector de decizie.

Orice decizie luata la o treapta ori stadiu conform structurii aciclice a sistemu



Orice decizie luata la o treapta ori stadiu, conform structurii aciclice a sistemu-

lui, nu poate influenta decat treptele/stadiile situate la aval de ea.

Pe baza principiului optimalitatii mersul general al programarii dinamice

ıncepe cu optimizarea ultimei trepte/stadii.



24 februarie 2016

259/324


1 2 i n-1 n Treapta i - optimizarea

ultimelor i etape

1 2 i n-1 n Treapta II - optimizarea

ultimelor doua etape

1 2 i

n-1 n Treapta I - optimizarea

ultimei etape

1 2 i n-1 n Sistemul aciclicde optimizat

Figura 27. Schemaprogramarii dinamicepentru un sistem format

din n etape.



1 2 i n-1 n Treapta n - optimizareaıntregului sistem

1 2 i n-1 n Treapta n-1 - optimizarea

ultimelor n-1 etape



24 februarie 2016

260/324

Programarea dinamica: Exemplu

Fie o linie tehnologica formata din trei utilaje. Aceste utilaje sunt: un preıncalzitor P, un

reactor R si un separator S (prezentate ın figura 28).

Se cere identificarea modurilor optime de operare ale celor trei utilaje astfel ıncat

obtinerea produsului dorit sa aiba loc cu un cost minim al energiei utilizate ın sistem.

Preıncalzitor

Debit agent

de ıncalzire

cost abur

Reactor

Debit agent de

schimb termic

cost apa de racire

Separator

Debit abur pentru

coloana de distilare

cost abur

Variabile dedecizie locale

Criteriu local



cost abur cost apa de racire cost abur costul energiei utilizate de ıntreaga instalatie

Criteriu localde optimizare

Criteriu global

de optimizare

Figura 28. Linie tehnologica formata din 3 utilaje.


D t m nt l d Ingin i Chimi ˘

24 februarie 2016

261/324


Conform criteriului de optimizare urmarit, costurile energiei utilizate

ın instalatie sunt prezentate ın figura 29.

Observat ¸ie: Pentru o mai usoara ıntelegere a principiului opti-

mului s-a considerat ca fiecare utilaj poate fi operat ın 3 mo-

duri distincte la care corespund 3 niveluri de costuri cu ener-

gia utilizata. Astfel preıncalzitorul poate fi operat ın modurile

P1, P2 si P3, reactorul ın modurile R1, R2 si R3, iar separatorulın modurile S1, S2 si S3.




D t t l d I i i Chi i ˘

24 februarie 2016

262/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator



Figura 29. Costurile energiei utilizate ın instalatie.



24 februarie 2016

263/324


Rezolvare

Pentru un astfel de sistem, exista trei modalitati de operare cu

scopul obtinerii unui optim global:

A. Operarea fiec˘ arui utilaj la optimul local

B. Operare cu identificarea modului optim de operare pornind

de la intrare

C. Operare cu identificarea modului optim pe baza principiului

optimalit˘ at ¸ii





24 februarie 2016

264/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator



Figura 30. Costul minim al energiei - modul de calcul A.



24 februarie 2016

265/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

2






24 februarie 2016

266/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

2

1






24 februarie 2016

267/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

2

1

1

l l d l d l l






24 februarie 2016

268/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

Fi 31 C l i i l i i d l d l l B



Figura 31. Costul minim al energiei - modul de calcul B.


24 februarie 2016269/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

2

Fi 31 C t l i i l i i d l d l l B





24 februarie 2016270/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

2

3

Fi 31 C t l i i l i i d l d l l B





24 februarie 2016271/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

2

3

4

Figura 31 Costul minim al energiei modul de calcul B





24 februarie 2016272/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

Figura 32 Costul minim al energiei modul de calcul C



Figura 32. Costul minim al energiei - modul de calcul C.


24 februarie 2016273/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

432422142

Figura 32 Costul minim al energiei - modul de calcul C



Figura 32. Costul minim al energiei - modul de calcul C.


24 februarie 2016274/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

222

422




Figura 32. Costul minim al energiei modul de calcul C.


24 februarie 2016275/324


2

3

465

5

537

4

324

5

1

465

3

326

2

342

3

6

145

3

465

2

245

Preıncalzitor

Reactor

Separator

3

2

2




Figura 32. Costul minim al energiei modul de calcul C.


24 februarie 2016276/324


Formulare matematica

Fie sistemul serial:

n n-1 i 2 1 . . . . . .

dn dn−1 di d2 d1

xn+1 xn xn−1 xi+1 xi x2 x1 x0

Se observa ca pentru fiecare stadiu i exista un vector de intrare xi+1, un vector de iesirexi si un vector de decizie di.




24 februarie 2016277/324


Conditiile necesare pentru aplicarea principiului optimalitatii sunt:

◮ existenta pentru fiecare treapta a unui model matematic care sa permita calcu-

larea componentelor vectorului de iesire xi functie de vectorul de intrare xi+1 si

vectorul deciziilor di:

xi = gi

xi+1, di

pentru i = 1, . . . , n (168)

◮ functia obiectiv globala a sistemului f ob sa poata fi descompusa ıntr-o suma de

functii obiectiv locale f ob,i:

f ob =n

∑

i−1

f ob,i xi+1, xi , di pentru i = 1, . . . , n (169)

Daca aceste conditii sunt ındeplinite se poate trece la aplicarea programarii dinamice pe



Daca aceste conditii sunt ındeplinite se poate trece la aplicarea programarii dinamice pe

respectivul sistem cu scopul determinarii deciziilor locale optime (d∗1 , d

∗2 , . . . , d

∗i , . . . , d

∗n)

ın asa fel ıncat functia obiectiv globala f ob sa prezinte un extrem.


24 februarie 2016278/324


Etapa 1In aceasta etapa se optimizeaza sistemul format din ultimul stadiu prin

determinarea deciziei locale optime d∗1 ın functie de starea sistemului

dupa deciziile luate ın stadiile anterioare data de vectorul x2.

Functia obiectiv a acestei subprobleme de optimizare este:

Fob,1 = f ob,1

x2, x1, d1

(170)

Din modelul matematic se poate exprima:

x1 = g1

x2, d1

(171)

astfel ıncat prin substitutie, functia obiectiv devine:



Fob,1 = f ob,1

x2, d1

(172)


24 februarie 2016279/324


Utilizand o metoda de optimizare analitica ori numerica adecvata for-mei subproblemei de optimizare se poate determina decizia locala op-

tima sub forma unei functii de vectorul marimilor de intrare pe treapta

1:

d∗1 = h1 (x2) (173)

expresia valorii optime a functiei obiectiv fiind F∗ob,1 (x2).




24 februarie 2016280/324


Etapa 2Se optimizeaza sistemul format din ultimele doua stadii prin deter-

minarea deciziei locale optime d∗2 functie de starea sistemului dupa

deciziile luate pe stadiile anterioare. Functia obiectiv a acestei subpro-

bleme de optimizare este:

Fob,2 = f ob,2

x3, x2, d2

+ f ob,1

x2, x1, d1

=

= f ob,2

x3, x2, d2

+ Fob,1

(174)

Deoarece din modelul matematic al stadiului 2 se poate exprima:

x2 = g2x3, d2

(175)



si expresia solutiei optime pentru stadiul 1 este deja determinata, re-

zulta:

Fob,2 = f ob,2

x3, d2

+ F∗ob,1 (x3) (176)


24 februarie 2016281/324


Utilizand o metoda de optimizare analitica ori numerica adecvata for-mei subproblemei de optimizare se poate determina decizia locala op-

tima sub forma unei functii de vectorul marimilor de intrare pe treapta

2:

d∗2 = h2 (x3) (177)

expresia valorii optime a functiei obiectiv fiind F∗ob,2 (x3).




24 februarie 2016282/324


Etapa iPrin generalizare, ın cadrul acestei etape de aplicare a programarii di-

namice se optimizeaza sistemul format din ultimele i stadii prin de-

terminarea deciziei locale optime d∗i

functie de starea sistemului dupa

deciziile luate pe stadiile anterioare dat de vectorul xi+1.

Functia obiectiv a acestei subprobleme de optimizare este:

Fob,i = f ob,ixi+1, xi , di

+i−

1

∑ j=1

f ob, jx j, x j−1, d j

=

= f ob,i xi+1, xi , di

+ Fob,i−1

(178)




24 februarie 2016283/324


Deoarece din modelul matematic al stadiului i se poate exprima:

xi = gi

xi+1, di

(179)

si expresia solutiei optime pentru treptele 1, . . . ,i − 1 este deja determi-nata, rezulta:

Fob,i = f ob,i xi+1, di + F∗ob,i−1 (xi+1) (180)

Se determina, ın conditiile aratate la etapele anterioare, decizia locala

optima sub forma unei functii de vectorul marimilor de intrare pe

treapta i:

d∗i = hi (xi+1) (181)

i l ii ti f ti i bi ti fii d F∗ ( )



expresia valorii optime a functiei obiectiv fiind F∗ob,i (xi+1).


24 februarie 2016284/324


Etapa nIn final se considera ıntreg sistemul, determinand decizia locala op-

tima d∗n ın functie de vectorul marimilor de intrare a sistemului xn+1.

Functia obiectiv pentru aceasta etapa este:

Fob,n = f ob,n

xn+1, xn, dn

+

n−1

∑ j=1

f ob, j

x j, x j−1, d j

=

= f ob,n xn+1, xn, dn+ Fob,n−1

(182)

Deoarece din modelul matematic al stadiului n se poate exprima:

xn = gn xn+1, dn (183)

i i l ti i ti t t t l 1 1 t d j d t



si expresia solutiei optime pentru treptele 1, . . . ,n − 1 este deja deter-

minata, rezulta:

Fob,n = f ob,n

xn+1, dn

+ F∗

ob,n−1 (xn+1) (184)


24 februarie 2016285/324


Se determina decizia locala optima si expresia functiei obiectiv functiede vectorul xn+1:

d∗n = hn (xn+1) si F∗

ob,n (xn+1) (185)

Deoarece vectorul marimilor de intrare xn+1 este cunoscut se pot iden-

tifica valorile numerice corespunzatoare ale vectorilor de decizie d∗i

pentru toate stadiile i = 1, . . . , n.




24 februarie 2016286/324

Exemple: Optimizarea timpului de stationare

Fie o cascada de doua reactoare cu amestecare de volume V 1=V 2=V , cefunctioneaza ın regim izocor si izoterm cu T 1=T 2=T (fig. 33).

T

V

Fi , ci

T

V

Fe , ce

Figura 33. Sistem de doua reactoare.



Sa se determine care va fi timpul de stationare optim ın fiecare reactor, astfel

ıncat conversia sa fie maxima, considerand timpul total de stationare θ iar tim-pul de stationare maxim ıntr-un reactor de τ max = θ.


24 februarie 2016287/324


RezolvarePentru aplicarea programarii dinamice problema de optimizare trebuie sa permita:

◮ descompunerea sistemul de optimizat ıntr-o secventa de elemente ce se succed

ın timp sau spatiuAcest lucru este simplu deoarece putem observa ca fluxurile de masa ce sunt ın

cadrul sistemului de optimizat definesc doua subsisteme ce corespund celor doua

reactoare din sistem, rezultand o structura a sistemului de forma prezentata ın

figura 34 (notarea subsistemelor s-a facut de la ultimul subsistem).

c3 Reactor

2

τ 2

c2 Reactor

1

τ 1

c1



2 1

Figura 34. Schema sistemului de doua reactoare.


24 februarie 2016288/324


◮ obtinerea modelul matematic al fiecarui element al sistemuluiModelul matematic al reactorului trebuie sa descrie concentratia de iesire, functie

de concentratia de intrare si de timpul de stationare.

Modelul matematic al unui astfel de reactor este dat de ecuatia de conservare amasei:

Fi+1ci+1 − Fici − riV i = 0 (186)

unde Fi+1 si Fi sunt debitele de alimentare, respectiv golire ale reactorului i, ri este

viteza de reactie ın etapa i iar V i reprezinta volumul reactorului i..

Deoarece putem considera Fi=Fi+1=F, prin ımpartire cu F obtinem:

ci+1

−ci

−riτ i = 0 (187)

Viteza de reactie pentru o reactie ireversibila de ordinul 1 este:



ri = cik 0e−E/RT i (188)


24 februarie 2016289/324


Deoarece T 1=T 2=T , termenul k 0e−E/RT este constant si ıl notam cu k (T ),astfel ıncat bilantul de masa devine:

ci+1

−ci

−ciτ ik (T ) = 0 (189)

Din aceasta ecuatie putem exprima concentratia de iesire astfel:

ci = ci+1

1 + τ ik (T ) (190)

Ecuatia (190) reprezinta modelul matematic simplificat al reactorului i.




24 februarie 2016290/324


◮ descompunerea functiei obiectiv ıntr-o suma de functii obiectiv locale pe fie-care element

Conversia totala a reactantului poate fi exprimata astfel:

ξ = c3 − c1

c3(191)

Deoarece maximizarea acestui raport implica maximizarea diferentei de la numa-

rator, functia obiectiv globala o putem defini ca fiind:

f ob = c3 − c1!= max (192)

Functiile obiectiv locale rezulta astfel:

f ob = (c3 − c2) + (c2 − c1) =2

∑(ci+1 − ci) =2

∑ f ob i!= max (193)



fob ( 3 2) + ( 2 1) ∑ i=1

( i+1 i) ∑ i=1

fob,i ( )

unde: f ob,i = ci+1 − ci

!= max (194)


24 februarie 2016291/324


Etapa 1Modelul matematic al reactorului 1 este dat de expresia:

c1 = c2

1 + τ 1k (T )

(195)

Functia obiectiv pentru acest subsistem este:

f ob,1

= c2

−c

1

!= max (196)

Prin ınlocuire se obtine:

f ob,1 = c2

− c2

1 + τ 1k (T )

= c2τ 1k (T )

1 + τ 1k (T )

!= max (197)




24 februarie 2016292/324


Identificarea solutiei optime pentru problema de optimizare redata defunctia obiectiv (197) este posibila pe cale analitica prin anularea deri-

vatei de ordinul ıntai a functiei obiectiv ın raport cu variabila de deci-

zei τ 1. Astfel obtinem:

d f ob,1

dτ 1=

c2k (T )

1 + τ 1k (T ) − c2τ 1k 2(T )

[1 + τ 1k (T )]2 =

= c2k (T ) [1 + τ 1k (T )] − c2τ 1k 2(T )[1 + τ 1k (T )]2

= c2k (T )[1 + τ 1k (T )]2

= 0

(198)

Anularea acestei expresii se poate obtine pentru τ 1 ր ∞. In cazul

nostru solutia este τ ∗1 = τ 1,max = θ − τ 2. Pentru aceasta valoare optimavaloarea maxima a functiei obiectiv pentru subsistemul 1 este:



f ∗ob,1(c2) = c2k (T )(θ − τ 2)

1 + k (T )(θ − τ 2)

(199)


24 februarie 2016293/324


Etapa 2In cadrul etapei a doua de optimizare se trece la optimizarea sistemu-

lui format din cele doua reactoare.

Pentru cel de al doilea reactor, modelul matematic este:c2 =

c3

1 + τ 2k (T ) (200)

Functia obiectiv pentru acesta etapa este identica cu functia obiectiv a

problemei de optimizare:

f ob = c3 − c1 = f ob,2 + f ob,1!= max (201)

Deoarece solutia algebrica a primei etape de optimizare este deja cu-noscuta, putem scrie:



f ob = f ob,2 + f ∗ob,1 = c3 − c2 + c2k (T )(θ − τ 2)

1 + k (T )(θ

−τ 2)

!= max (202)


24 februarie 2016294/324


Prin utilizarea modelului matematic, se obtine:

f ob = c3 − c2 + c2k (T )(θ − τ 2)

1 + k (T )(θ − τ 2) =

= c3 − c3

1 + τ 2k (T ) +

c2k (T )(θ − τ 2)

1 + k (T )(θ − τ 2) =

=

c3 [1 + τ 2k (T )]

−c3

1 + τ 2k (T ) +

c3

1 + τ 2k (T )

(θ

−τ 2)k (T )

1 + (θ − τ 2)k (T ) =

= c3τ 2k (T )

[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ

−τ 2)]

+ c3k (T )(θ − τ 2)

1 + k (T )(θ

−τ 2)

!= max

(203)




24 februarie 2016295/324


Prin anularea derivatei functiei obiectiv ın raport cu variabila de deci-zie τ 2 se obtine:

d f ob

dτ 2

= c3k (T )

[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ − τ 2)] − c3k (T )

[1 + k (T )(θ − τ 2)] −− c3τ 2k 2(T )

[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ − τ 2)] +

c3k 2(T )(θ − τ 2)

[1 + k (T )(θ − τ 2)]2 +

+ c3τ 2k 2(T )

[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ − τ 2)]2 = 0

(204)




24 februarie 2016296/324


Aducand aceste fractii la numitor comun si anuland numaratorul,obtinem:

[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ

−τ 2)]

−τ 2k (T ) [1 + k (T )(θ

−τ 2)] +

+τ 2k (T ) [1 + τ 2k (T )] − [1 + k (T )(θ − τ 2)] [1 + τ 2k (T )]2 +

+k (T )(θ

−τ 2)2 = 0

(205)Dupa simplificari, obtinem:

1 + k (T )(θ

−τ 2) + τ 2k (T ) [1 + τ 2k (T )]

−[1 + τ 2k (T )]2 =

= k (T )θ − 2τ 2k (T ) = 0(206)



cu solutia τ ∗2 =

θ

2.


24 februarie 2016297/324


Astfel, solutia problemei de optimizare este:

τ ∗1 = τ ∗2 = θ

2

Valoarea maxima a functiei obiectiv este:

f ∗ob = c3 − c1 = f ∗ob,1 + f ∗ob,2 = c3k (T )θ

2 + k (T )θ




24 februarie 2016298/324

Algoritmi genetici

ın optimizare



Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici

Algoritmii genetici sunt modele bazate pe genetica si evolutie preluate din biologie.

Elementele de baza ale algoritmilor genetici sunt:

• select ¸ia solutiilor ın functie de gradul de potrivire;

• reproducerea pentru ıncrucisarea genelor;

• mutat ¸ia pentru modificarile aleatoare ale genelor.

Prin aceste mecanisme, algoritmul genetic identifica solutii din ce ın ce mai bune aleunei probleme, la fel cum speciile evolueaza pentru a se adapta mai bine mediului.

Algoritmii genetici au fost extinsi din punct de vedere al modului ın care reprezinta

solutiile si efectueaza procesele de baza.

Calculul evolutiv reprezinta o definitie mai larga a algoritmilor genetici. Acesta in-



clude nu numai algoritmii genetici ci si o clasificare a sistemelor, programare gene-

tica, etc.


24 februarie 2016300/324


Algoritmii genetici includ concepte ca: cromozomi, gene, procese de reproducere,mutatii si evolutie.

In principal, aplicarea algoritmului genetic implica urmatoarele etape:

• generarea aleatoare ale unor solutii ale problemei - cromozomii;

• etapa iterativa ce include:

– selectarea celor mai bune solutii;

– efectuarea operatiilor de reproducere;

– ocazional, efectuarea unor mutatii asupra solutiilor;

Prin identificarea ın cadrul iteratiilor a celor mai bune solutii, algoritmul va identi-fica solutii din ce ın ce mai favorabile la fel ca ın cazul procesului natural de evolutie.

Acest algoritm poate fi utilizat ın acest mod la rezolvarea problemelor de optimi-



g p p p

zare.


24 februarie 2016301/324


Reprezentarea solutiilor

Algoritmul genetic ıncepe cu definirea reprezentarii solutiilor pentru o problema

data. Prin solutie ıntelegem orice valoare ce poate fi solutia corecta a problemei,

astfel ca o solutie poate fi sau nu solutia corecta a problemei de optimizare. Modulde reprezentare a solutiei pentru algoritmul genetic este la libera alegere a utiliza-

torului. In general, modul cel mai des utilizat de reprezentare a solutiei este cel sub

forma de siruri de caractere.

Alfabetul de reprezentare poate sa fie compus din cifre binare (0 si 1), numere ın

virgula flotanta, ıntregi, simboluri (de exemplu: A, B, C,. . . ), matrice, etc.

Gradul de potrivire a unei solutii

Gradul de potrivire a unei solutii este o masura ce poate fi utilizata pentru a com



Gradul de potrivire a unei solutii este o masura ce poate fi utilizata pentru a com-

para solutiile si a determina care este mai buna.


24 februarie 2016302/324


Etapele aplicarii algorimilor genetici

Pasul 0 - Initializarea populatiei

a) Generarea unor solutii aleatoare

Urmatoarele trei etape se repeta pana cand se obtine solutia optima a pro-

blemei de optimizare sau o anumita conditie de terminare este satisf acuta.

O astfel de conditie poate fi data de conditiile lui Himmelblau.




24 februarie 2016303/324


Pasul 1 - Reproducereaa) Determinarea gradului de potrivire si a probabilitatii corespunzatoare

pentru toate solutiile populatiei.

b) Crearea unui centru de ımperechere. Se selecteaza aleator solutii pon-derate cu gradul de potrivire al lor. Solutiile cu un grad de potrivire

mai ridicat au astfel o probabilitate mai mare de a fi alese spre deose-

bire de solutiile mai putin potrivite, astfel avand sanse mai mari de a

supravietui ın noua generatie. Astfel conceptul de evolutie bazata peselectie naturala este pusa ın valoare.




24 februarie 2016304/324


Pasul 2 - Cresterea ıncrucisataa) Se selecteaza aleator doua solutii la un moment dat. Cu o probabilitate

de ıncrucisare fixata pc (de ex.: pc = 0,7), se determina aleator daca au

loc ıncrucisari. Daca au loc ıncrucisari, se trece la pasul urmator, altfel

se formeaza doi descendenti ce sunt copii exacte a celor doua solutii si

se trece la pasul 3.




24 februarie 2016305/324


b) Se selecteaza aleator puncte interne (puncte de ıncrucisare) alesolutiilor si se schimba ıntre ele portiunile de dupa punctul respectiv

(vezi tabelul 11).

Tabelul 11. Cresterea ıncrucisata a indivizilor

Inainte de ıncrucisare Solutiile din

punct de ıncrucisare generatia

↓ urmatoare

Solutia 1 ♦ ♦♦ ♦♦ ▽▽▽▽▽ ♦ ♦♦ ♦♦

Solutia 2 ▽▽▽▽▽

Aceasta procedura se repeta pe populatia obtinuta la pasul 1, pana



cand dimensiunea noii populatii atinge dimensiunea initiala a

populatiei, alegand aleator cate o pereche la un moment dat.


24 februarie 2016306/324


Pasul 3 - Mutatii aleatoarea) Cu ajutorul unei probabilitati de mutatie mica, fixata, pm (de exem-

plu: pm = 0,001) se selecteaza aleator mici portiuni ale reprezentarii

solutiilor si se modifica artificial (de ex. prin modificarea bit-ului res-

pectiv de la 1 la 0 ori de la 0 la 1). Frecventa mutatiilor este ın general

mica asa cum rezulta si din valoarea aleasa a lui pm.

Prin acest pas 3 se modeleaza modul ın care au loc ın natura mutatiile.

Astfel este posibila crearea unor noi rase ce nu ar fi posibila prin repro-

ducerea ori ımperechere ıncrucisata. Prin aplicarea algoritmului ge-

netic, dupa un anumit numar de iteratii, cateodata ıntreaga populatie

tinde sa fie similara, astfel ıncant o deplasare semnificativa catre ex-trem, nu mai are loc. Portiunile modificate ın urma mutatiei permit,

deseori, deplasari semnificative catre extrem.



p


24 februarie 2016307/324


Procedura prezentata, formata din pasul 0 urmat de repetareapasilor 1, . . . ,3 pana la ındeplinirea conditiei de terminare for-

meaza o singura rulare.

De foarte multe ori aplicarea algoritmului respectiv se repeta (deex. de 10 ori), pornind de la un set diferit de solutii aleatoare.

Acest lucru este necesar deoarece algoritmul genetic nu garan-

teaza identificarea solutiei optime. Totusi exista probleme de opti-mizare pentru care utilizarea metodelor clasice nu asigura identi-

ficarea solutiei optime. In astfel de situatii algoritmii genetici pot

fi o solutie.




24 februarie 2016308/324


Avantajele utilizarii algoritmilor genetici se manifesta prin:• auto-ghidare,

• auto-organizare,

• robustete,• flexibilitate,

• calcul simplu si direct ce permite o usoara implementare a

calculului paralel.

Dezavantajele sunt legate de obtinerea unui rezultat dependent de

sansa si un timp de calcul ceva mai lung, respectiv incertitudinea

obtinerii unei solutii optime globale.




24 februarie 2016309/324

Algoritmi genetici: Exemplu

Fie urmatoarea functie obiectiv:

f ob = x1 + 10 sin(5 x1) + 7 cos(4 x2) + 20 (207)

Se cere identificarea unui maxim pe domeniul de cautare x1

∈[0; 3] si x2 ∈ [0; 3] cu o precizie de 1 · 10−6.




24 februarie 2016310/324


Rezolvare:O reprezentare grafica a functiei obiectiv releva o suprafata de

cautare pe care exista mai multe puncte de extrem (fig. 35).

1

1.5

2

2.5

3

1

1.5

2

2.5

3

0

5

10

15

20

25

30

35

40

xx

f ( x 1 , x 2

)



0

0.5

1

0

0.5x1

x2

Figura 35. Suprafata de raspuns a functiei obiectiv.


24 februarie 2016311/324


Aplicarea algoritmului genetic necesita generarea unei populatii initiale. Dimensiu-nea acestei populatii este de obicei de ordinul zecilor/sutelor de seturi de valori ale

variabilelor de decizie.

Codificarea membrilor populatiei poate fi facuta prin elemente binare ori reale, con-form urmatoarelor relatii:

• pentru domeniul de valori reale:

xi, j = (L M,i − Lm,i) ri, j + Lm,i pentru j = 1, . . . , nP (208)

unde: L M,i reprezinta limita superioara a domeniului de cautare pentru

directia de cautare i;

Lm,i - limita inferioara a domeniului de cautare pentru

directia de cautare i;

l l t t˘ d i l [0 1]



ri, j - valoare aleatoare generata pe domeniul r

∈[0; 1];

nP - marimea populatiei utilizate;


24 februarie 2016312/324


• pentru domeniul de valori binare, numarul de biti pe care se face reprezenta-rea se calculeaza prin rotunjirea la valoarea ıntreaga urmatoare a rezultatului

expresiei:

log2 L M,i − Lm,i

ǫ (209)

unde: ǫ reprezinta precizia de determinare a solutiei;

Elementele populatie initiale rezulta prin combinatii aleatoare de valori binare

(0 si 1) luate cate nb.




24 februarie 2016313/324


In cazul acestui exercitiu, ın situatia ın care alegem o reprezentare bi-nara a indivizilor, numarul de biti necesari este dat de urmatoarea

relatie:

log2 L M−

Lmǫ = log2 31·10−6 = log2 3 · 106 = 21,5165

⇓nb = 22

Aplicarea algoritmului genetic implica utilizarea calculatorului deoa-

rece metoda este eficienta doar utilizand o populatie formata dintr-un

numar mare de indivizi ce sunt urmariti pe parcursul catorva zeci de

generatii.




24 februarie 2016314/324


Se defineste functia obiectiv ın fisierul fobGA.m:1 function y = fobGA(x);

2 %Functia obiectiv corespunzatoare relatiei din exemplu

3 %

4 y = x(1) + 10*sin(5*x(1)) + 7*cos(4*x(2)) + 20;

Se apeleaza functia algGena prin urmatoarea linie de comanda:

1 xopt = algGen(’fobGA’,[0 3;0 3],[1e-6 0 0],[200 100])

2 xopt =

3 2.8314 1.5708 39.8294

unde ultima valoarea reprezinta valoarea maxima identificata a functiei obiectiv.

aaceasta functie MATLAB este prezentata ın lucrarea [1].




24 februarie 2016315/324


Rezolvarea acestei probleme, utilizand metode deterministe, permite, ın functie depunctul de start, identificarea doar a unui optim local. Astfel, utilizand functia

MATLAB, fminsearch din Optimization Toolbox, obtinem:

1 xopt = fminsearch(’-(x(1)+10*sin(5*x(1))+7*cos(4*x(2))+20)’, ...

2 [1.5 1.5])3 xopt =

4 1.5748 1.5708

cu valoarea functiei obiectiv de f ∗ob

(1,5748;1,5708)=38,5728. Se obseva, comparand

valorile maxime gasite de cele doua metode, superioritatea algoritmului genetic.




24 februarie 2016316/324

Metode experimentale

de optimizare



Optimizarea Proceselor Chimice: EVOP - Operarea Evolutiva

Operarea evolutiv˘ a - EVOP (EV olutionary OP eration) - este o metoda

on-line de optimizare utilizata pentru ımbunatatirea procesele de

productie.

• introdus de Box ın 1957;• ınlocuieste operarea statica cu un mod de operare di-

namica prin utilizarea unei scheme de lucru cu mici

modificari sistematice ale conditiilor de operare aleunui proces;

• prin evaluarea efectelor observate ale acestor modi-

ficari se identifica modalitatile de ımbunatatire ale pro-

cesului.




24 februarie 2016318/324


EVOP − caracterisitici:

• se aplica proceselor industriale f ara perturbarea ori

ıntreruperea acestora;

• permite pastrarea nivelelor impuse de calitate aproduselor;

• nu implica costuri suplimentare de productie;

• poate fi aplicata ın timpul operarii normale a proceselor;• nu necesita pregatire specifica.

Limitari:

• necesita un numar mare de experimente;

• aplicabila pentru un numar mic de variabile considerate.




24 februarie 2016319/324


EVOP − schema de lucru pentru o singura variabila X :

• se alege valoarea variabilei X corespunzator nivelului

de productie curent/nominal;

• se aleg nivelurile X −∆X si X +∆X ın interiorul limi-telor de specificatie ale procesului;

• se evalueaza calitatea procesului ın toate cele trei

puncte;

• se alege punctul ın care calitatea procesului este cea

mai buna si se trece la un nou ciclu de cautare.




24 februarie 2016320/324

Exemplu: EVOP - proces cu o singura variabila

Sa se determine prin metoda EVOP temperatura optima de operare aunui reactor ın asa fel ıncat concentratia produsului A sa fie maxima

ın fluxul evacuat din reactor.

Obs. Variatia concentratiei produsului A ın fluxul de evacuare

functie de temperatura de operare T poate fi reprezentata prin

functia:

c A = −3, 636 · 10−5 T 3 + 5,85 · 10−3 T 2 − 0, 2581 T + 4, 2793

Temperatura normala de operare a reactorului poate varia

ıntre 50˚C si 90˚C.




24 februarie 2016321/324


EVOP − schema de lucru pentru doua variabile, X si Y :• se aleg valorile variabilelor X si Y corespunzator nivelurilor de

productie curente/nominale;

• se aleg variatiile∆X si∆Y ın asa fel ıncat valorile: X

−∆X , X +

∆X , Y −∆Y si Y +∆Y sa se situeze ın interiorul domeniului de

functionare normala a procesului;

• se evalueaza calitatea procesului pentru toate combinatiile de

valori ale celor doua variabile:(X + ∆X , Y + ∆Y )

(X + ∆X , Y −∆Y )

(X

−∆X , Y + ∆Y )

(X −∆X , Y + ∆Y )

• se alege combinatia de valori pentru care calitatea procesului

este cea mai buna drept punct central pentru un nou ciclu de



p p p

cautare.


24 februarie 2016322/324

Exemplu: EVOP - proces cu doua variabile

Utilizand EVOP, sa se determine conditiile optime de lucru ıntr-oinstalatie (definite de: T - temperatura de reactie si F - debitul de

alimentare) ın asa fel ıncat sa avem costuri minime de operare.

Obs. Costurile de operare pot fi definite functie de condi-tiile lucru prin relatia:

COST = 100 (0, 11 T − F2 + 5, 8 F − 14)2 + F2 − 7, 2 F + 22

Domeniul de operare admis este:

T ∈ [20; 90]˚C si F ∈ [2; 5] m3/h.




24 februarie 2016323/324


Bibliografie1. Imre A., Agachi P.S., Optimizarea proceselor din industria chimic˘ a, Editura

Tehnica, Bucuresti, 2002

2. Woinaroschy A., Mihai M., Isopescu R., Optimizarea proceselor din industria

chimic˘ a. Exemple si aplicat ¸ii, Editura Tehnica, Bucuresti, 1990

3. Curievici I., Optimiz˘ ari ın industria chimic˘ a, Editura Didactica si

Pedagogica, Bucuresti, 1980

4. Smigelschi O., Woinaroschy A., Optimizarea proceselor ın industria chimic˘ a,

Editura Tehnica, Bucuresti, 1978

5. Imre A., Cormos A., M ATLAB. Exemple si aplicat ¸ii ın ingineria chimic˘ a, Editura

Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2008



6. Lopez C.P., M ATLAB. Optimization Techniques, Springer Science+BusinessMedia, New York (SUA), 2014


24 februarie 2016324/324

Slides Optimizare 2016 VA

Documents

Transcript of Slides Optimizare 2016 VA