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Electromagnetics:

Electromagnetic Field Theory

Skin Depth & Power Flow

Lecture Outline

• Skin Depth 𝛿•Power Flow

Slide 2

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Slide 3

Skin Depth 

Skin Depth 

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Waves in good conductors attenuate very quickly.  The distance over which they decay by a factor of 1 𝑒⁄ is called the skin depth 𝛿.

z

ze

0E

0E e

Definition of Skin Depth

1 m

In Terms of Fundamental Parameters

2 1

f

Relation to Impedance

1 245

j

3

4

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Skin Depth for Various Materials

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https://en.wikipedia.org/wiki/Skin_effect

DC Resistance, RDC

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J

Current density is uniform throughout the conductor so the entire conductor 

contributes to current flow.

2DCConductor Area A r

DC 2DC

RA r

r

5

6

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AC Resistance, RAC

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J

Current density is NOT uniform throughout the conductor so only part of the 

conductor contributes to current flow.

ACConductor Area 2A r

ACAC 2

RA r

r

for r

22ACA r r

Conductor Area for AC Resistance

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AC

Effective Conductor Area

2 for A r r

Area Described by 

2 2 22r r r

2 r

22 r

2 2 22r r r for r

7

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Notes on Skin Depth and AC Resistance

• High frequencies experience so much loss that they do not penetrate very far into a conductor.• The depth of penetration is called skin depth .• Due to the skin depth at high frequencies, only part of the conductor contributes to current flow.  This makes resistance increase as a function of frequency.• Drawbacks• High frequencies experience more loss.• Signals get distorted

• Benefits• Conductors can be made hollow – cheaper, lighter, etc.• Can make inner part of conductor out of a different material.

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Slide 10

Power Flow

John Henry Poynting1852 – 1914 Academic Advisor: James Clerk Maxwell

https://en.wikipedia.org/wiki/John_Henry_Poynting

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Poynting’s Theorem

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Poynting’s theorem is a conservation of power equation.

The total power leaving a volume must be equal to the rate of decrease of the total energy stored in the field plus the energy lost due to heat (or something else).

Power leaving

Power enteringOhmic Loss

Stored magnetic energy

Stored electric energy

2 2 21

2 VVS

H E dE H ds Evt

dv

Total power leaving volume

Rate of decrease of stored electric and magnetic energy

Ohmic power dissipated

Poynting Vector

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From Poynting’s theorem, the term responsible for power leaving the volume is identified.

2 2 21

2S V V

E H ds H E dv E dvt

Here flux is being integrated to get total power.  The argument must be power density (W/m2).  This term is called the instantaneous Poynting vector.

t E t H t

Due to the cross product, the Poynting vector ℘ is 

perpendicular to both 𝐸 and 𝐻.  For LHI materials, the Poynting vector is in the same direction as the wave vector.

E k H

E H

|| k

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Instantaneous Poynting Vector ℘ 𝑡

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Recall the electric and magnetic field components of a plane wave travelling in the +zdirection can be written in the time‐domain as

0 ˆ, coszxE z t E e t z a

0 ˆ, coszy

EH z t e t z a

Substituting these expressions into the definition of the instantaneous Poynting vector gives

00 ˆ ˆcos cosz z

x y

EE e t z a e t z a

Constant power flow

Rapidly oscillating fluctuation in power flow

2 2

2 20 0ˆ ˆcos cos 2 22 2

z zz z

E Et e a e t z a

t E t H t

Animation of Instantaneous Power Flow

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Constant power flow

Rapidly oscillating fluctuation in power flow

2 2

2 20 0ˆ ˆcos cos 2 22 2

z zz z

E Et e a e t z a

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Average Poynting Vector ℘

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The instantaneous power flow is rarely of interest because the rapidly fluctuating term does not transport any net power.  The more practical and useful quantity is the time‐average 

Poynting Vector ℘ .

To obtain the time‐average Poynting vector ℘ , integrate over one wave cycle 𝜏.

2 2

2 20 0

0 0

1 1ˆ ˆcos cos 2 2

2 2z z

z z

E Ee a dt e t z a dt

2

20avg ˆcos

2z

z

Ee a

avg

0

1t dt

Integrating cosine over one wave cycle equals zero because cosine is both negative and positive equally.

2

0 2 ˆ ˆz jx y

Ee e a a

Complex Poynting Vector ℘

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For time‐harmonic signals, the frequency‐domain Poynting vector is complex.

*E H

The field expressions for the plane wave are

0 ˆz xE z E e a

0 ˆz jy

EH z e e a

Substituting these into the definition of complex Poynting vector gives

220 ˆ z j

z

Ee e a

*

00 ˆ ˆz z j

x y

EE e a e e a

*0

0 ˆ ˆz j z z j z jx y

EE e e a e e e a

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2

20 ˆcos2

zz

Ee a

RMS Poynting Vector ℘

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The complex Poynting vector ℘ is like the instantaneous Poynting vector ℘ 𝑡 and contains the rapidly varying fluctuations in power flow.

A more meaningful quantity is the root‐mean‐square (RMS) power flow that is easily calculated from the complex Poynting vector.

*avg

1 1Re Re

2 2E H

2

20avg ˆcos

2z

z

Ee a

avg

1Re

2

2201

ˆRe2

z jz

Ee e a

Total Power

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The Poynting vector is a power density with units of W/m2.

To calculate total power flow through some area, integrate the Poynting vector over that area.

S

P t t ds

The average power flow is simply calculated from the average Poynting vector.

avg avg

S

P ds

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Index Ellipsoids and Power Flow

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Isotropic Materials

k

x

y

k

Anisotropic Materials

x

y

Phase propagates in the direction of 𝑘.  Therefore, the refractive index 𝑛 derived from |𝑘| is best described as the phase refractive index 𝑛 .  Velocity here is the phase velocity �⃗� .

Power propagates in the direction of the Poynting vector ℘ which is always normal to the surface of the index ellipsoid.  From this, we can define a group refractive index 𝑛 and group velocity �⃗� .

P

P

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