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8/2/2019 sistemas_electricos_polifasicos

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Ingeniera Elctrica. Teora y problemas

Sistemas elctricos polifsicos

Una de las razones para estudiar el estado senoidal permanente es que la

mayor parte de la energa elctrica para la industria y los hogares se usa enforma de corriente alterna. Una fuente polifsica, como la mostrada en la figura1, se estudia porque casi toda la energa elctrica se genera y distribuye comopotencia polifsica con una frecuencia de 60 Hz.

Figura 1

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El sistema polifsico ms comn es el sistema trifsico balanceado. La fuentetiene tres terminales con voltajes senoidales de igual amplitud. Sin embargo,

esos voltajes no estn en fase; sino cualquiera de los voltajes est 120desfasado con cualquiera de los otros dos, donde el signo del ngulo de fasedepender del sentido de los voltajes. Vase la
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Figura 2.

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El uso de un mayor nmero de fases como sistemas de 6 y 12 fases, se limitacasi por completo al suministro de energa a grandes rectificadores. Aqu, losrectificadores transforman la corriente alterna en corriente directa, que senecesita para ciertos procesos como la electrlisis. La salida del rectificador es

una corriente directa ms una componente pulsante ms pequea, o rizo, quedisminuye conforme aumenta el nmero de fases.

Casi sin excepcin, en la prctica, los sistemas polifsicos contienen fuentesque se aproximan muy de cerca a las fuentes ideales de voltaje o a las fuentesideales de voltaje en serie con pequeas impedancias internas. Las fuentes decorriente trifsica son muy poco comunes.

Notacin de doble subndice

Para describir corrientes y voltajes polifsicos se utiliza una notacin de doble

subndice.Con esta notacin, un voltaje o una corriente, como Vab o IaA tiene mssignificado que sise indican simplemente como V3o Ix. Por definicin, Vab es elvoltaje del punto a con respecto al punto b. As, el signo ms se localiza en elpunto a. Por tanto, los subndices dobles equivalen a un par de signos ms-menos.

Tambin se aplica la notacin de doble subndice a las corrientes. La corrienteIab sedefine como la corriente que circula de a hacia b a travs de la trayectoriadirecta. Dehecho, cuando se hace referencia a esta corriente no se necesita laflecha de direccin;los subndices indican la direccin.
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Fuente trifsica Y

Las fuentes trifsicas tienen tres terminales llamadas de lnea y pueden tener ono tener una cuarta terminal denominada la conexin neutra. Se analizar unafuente trifsica que s tiene una conexin neutra. Puede representarse como

tres fuentes ideales de voltaje conectadas en Y, como se ve en la figura 3.Slo se considerarn fuentes trifsicas balanceadas, que son tales que

Estos tres voltajes, cada uno definido entre una lnea y el neutro, reciben elnombre de voltajes de fase. Si arbitrariamente se escoge a Van comoreferencia,

donde Vprepresenta la amplitud rms de cualquiera de los voltajes de fase;entonces, ladefinicin de la fuente trifsica indica que

o bien

La primera se llama secuencia de fase positiva, o secuencia de fase abc, y semuestra en la figura 4a; la segunda recibe el nombre de secuencia de fasenegativa, o secuencia de


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Figura 3

fase cba, y se indica por medio del diagrama fasorial de la figura 4b. Siemprepueden elegirse de manera que se tenga una secuencia de fase positiva, y sesupondr que esto se ha hecho en la mayor parte de los sistemas que se

consideren.

Figura 4

Los voltajes de lnea a lnea (o simplemente voltajes de lnea) son aquellos quese miden entre los puntos a, b y c o entre los puntos A, B y C. Vase la figura5. Se pueden obtener de diversas maneras. Utilizando la notacin rectangular y

de acuerdo a la figura 5a, se obtiene que Los tres voltajes dados y laconstruccin del fasor V ab se muestran en el diagrama fasorial de la figura 5a.


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Convirtiendo a polar nuevamente, se obtiene

Similarmente, para el voltaje Vbcse obtiene que

Siguiendo el mismo procedimiento, para Vcase obtiene

La ley de voltajes de Kirchhoff requiere que V ab + V bc + V ca = 0 y puedeverificarse alhacer la suma. En la figura 5b se muestra el diagrama de faseasociado a los voltajes de lnea y los voltajes de fase. Los voltajes de fase sonVan, V bn, V cn. Los voltajes de lnea son Vab, Vbc, Vca


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Figura 5

Si la amplitud rms de cualquiera de los voltajes de lnea se denota por VLentonces una de las caractersticas importantes de una fuente trifsicaconectada en Y puede expresarse como

La conexin Y-Y

Ahora considrese que se conecta a la fuente una carga trifsica balanceadaconectada en Y, usando tres lneas y un neutro, como se ve en la figura 6.

Figura 6


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Considerando una secuencia de fase positiva, las fuentes de voltaje tienen laforma

La carga est representada por una impedancia Zpconectada entre cada lneay elneutro. Las tres corrientes de lnea se calculan muy fcilmente, ya que enrealidad setienen tres circuitos monofsicos con una conexin comn

En notacin rectangular

y por lo tanto

As, el neutro no lleva corriente si tanto la carga como la fuente estnbalanceadas y si los cuatro alambres tienen una impedancia igual a cero.Cmo cambiara esto si se insertara una impedancia ZL en serie con cada unade las tres lneas y una impedancia Z n en el neutro? Si no se producencambios en el sistema con un cortocircuito o un circuito abierto entre n y N,

puede insertarse cualquier impedancia en el neutro y la corriente en el neutroseguir siendo igual a cero.


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Si se tienen fuentes balanceadas, cargas balanceadas e impedancias de lneabalanceadas, un alambre neutro de cualquier impedancia puede remplazarsepor cualquiera otra impedancia, incluyendo un cortocircuito y un circuito abierto.El reemplazo no afectar los voltajes ni las corrientes del sistema. A menudo es

til visualizar un cortocircuito entre los dos puntos neutros, ya sea que enrealidad est presente o no un alambre neutro; as, el problema se reduce atres problemas monofsicos, todos idnticos excepto por las diferencias defase. En este caso se dice que el problema se resuelve "por fases".

Ejemplo 1. En el circuito de la figura 8 considere que Van = 200|_0 y que laimpedancia Z p= 100|_60. Calcular las corrientes, los voltajes en el circuito, y lapotencia total.

Solucin: Como uno de los voltajes de fase est dado, y como se supone unasecuencia de fase positiva, los tres voltajes de fase son

El voltaje de lnea vale

En la fase A, la corriente de lnea es

y la potencia absorbida por esta fase es, por lo tanto,

Considerando la simetra del circuito, la potencia total absorbida por la cargatrifsica es de 600 W.

Ejemplo 2. Supngase que se tiene un sistema trifsico balanceado con unvoltaje de lnea de 300 V rms, y que est alimentando a una carga balanceadaconectada en Y con 1200 W a un FP de 0.8 adelantado. Cul es la corrientede lnea y la impedancia de carga, por fase?

Solucin: Es evidente que el voltaje de fase vale 300/3 V rms y que la potenciapor fasees de 400 W. Entonces la corriente de lnea puede obtenerse a partirde la relacin de potencia promedio,


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La impedancia de fase est dada por

Como el FP es de 0.8 adelantado, el ngulo de fase de la impedancia es -36.9y

Pueden manejarse cargas ms complicadas con facilidad, ya que losproblemas se reducen a problemas monofsicos ms simples.

Ejemplo 3. Supngase que una carga balanceada de alumbrado de 600 W seaade (en paralelo) al sistema del ejemplo 2. Determine de nuevo la corrientede lnea.Solucin: Por la simetra, solo es necesario estudiar una fase, como muestrala figura 7.

Figura 7

La amplitud de la corriente de alumbrado est dada por


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En forma anloga, la amplitud de la corriente de la carga capacitiva no vararespecto a su valor anterior

Si el voltaje de fase tiene un ngulo de 0, entonces

y la corriente de lnea es

La potencia generada por esta fase es

lo cual est de acuerdo con la hiptesis original.

Si una carga conectada en Y desbalanceada est conectada a un sistematrifsico que por lo dems est balanceado, el circuito an puede analizarse porfases si el alambre neutro est presente y si tiene una impedancia igual a cero.Si cualquiera de estas dos condiciones no se cumple, deben usarse otrosmtodos, tales como el anlisis de mallas o el de nodos.

La conexin Y-

Es ms probable encontrar cargas trifsicas conectadas en que conectadasen Y. Una razn para ello, al menos en el caso de una carga desbalanceada,es la facilidad con la que pueden aadirse o quitarse cargas en una sola fase.Esto es difcil (o imposible) de hacer en una carga de tres conductoresconectada en Y.

Considrese una carga balanceada conectada en que consiste en unaimpedancia Z p insertada entre cada par de lneas. Obsrvese que en estecircuito no hay un cableconectado a n, vase la figura 8. Supngase que losvoltajes de lnea son conocidos, esdecir


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O bien los voltajes de fase son conocidos

donde

Figura 8

Como el voltaje en cada rama de la es conocido, se pueden encontrar lascorrientes de fase,


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En los nodos A, B y C de acuerdo con la LKC

las tres corrientes de fase tienen la misma amplitud

Las corrientes de lnea tambin son iguales en amplitud debido a que lascorrientes de fase son iguales en amplitud y estn 120fuera de fase.

Si la carga est conectada en , entonces el voltaje de fase y el voltaje delnea son indistinguibles el uno del otro, pero la corriente de lnea es mayor quela corriente de fase por el factor 3; con una carga conectada en Y, sinembargo, la corriente de fase y la corriente de lnea se refieren a la mismacorriente, y el voltaje de lnea es mayor que el voltaje de fase por el factor 3.

La solucin de problemas trifsicos se puede efectuar rpidamente si 3 seusa en forma apropiada. Considrese un ejemplo numrico frecuente.

Ejemplo 4. Determine la amplitud de la corriente de lnea en un sistema trifsicode 300 Vrms que entrega 1200 W a una carga conectada en con un factor depotencia de 0.8 atrasado.

Solucin: De nuevo se considerar una sola fase. En esta fase, la cargaabsorbe 400 W; con un factor de potencia de 0.8 atrasado, a un voltaje de lneade 300 Vrms. Entonces,

de donde

y la relacin entre corrientes de fase y corrientes de lnea da

El ngulo de fase de la carga es cos-1(0.8) = 36.9 y por lo tanto, la impedanciaen cadafase debe ser


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Ahora se cambiar un poco el enunciado del problema.

Ejemplo 5. La carga del ejemplo 4 est conectada en Y, en vez de en . Denuevo determine las impedancias de fase.

Solucin: En un anlisis por fase, se tiene un voltaje de fase de 300/3 Vrms,una potencia de 400 W y un FP = 0.8 atrasado. Entonces,

El ngulo de fase de la carga es otra vez 36.9, por lo que la impedancia encada fase de la Y es

El factor 3 no slo relaciona cantidades de fase y de lnea, sino que tambinaparece en una expresin til de la potencia total absorbida por cualquier cargatrifsicabalanceada. Si se supone una carga conectada en Y con un ngulo del factor depotencia, entonces la potencia que toma cualquier fase es

y la potencia total es

En forma similar, la potencia entregada a cada fase de una carga conectada en es

lo que da una potencia total


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La ecuacin (1.5) permite calcular la potencia total entregada a una carga

balanceada si se conoce la magnitud de los voltajes de lnea, de las corrientesde lnea y el ngulo de fase de la impedancia (o admitancia) de la carga,independientemente si la carga est conectada en Y o en . Ahora puedeobtenerse la corriente de lnea en los ejemplos 4 y 5 en dos pasos sencillos:

La fuente tambin puede conectarse en una configuracin . Pero esto no escomn, ya que un ligero desbalance en las fases de la fuente puede provocarque circulen grandes corrientes en el lazo en .

Debe observarse que las fuentes trifsicas balanceadas pueden transformarsede Y a , o viceversa, sin afectar las corrientes o los voltajes de la carga.

Las relaciones necesarias entre los voltajes de lnea y de fase se muestran enla figura 5b para el caso en el que Van tiene un ngulo de fase de referencia de0. Esta transformacin permite usar la conexin de fuentes que se prefiera, ytodas las relaciones de la carga sern correctas. Por supuesto, no se puedeespecificar ninguna corriente o voltaje dentro de la fuente sino hasta que sesepa cmo est conectada realmente.

Ejemplo 6

Una carga equilibrada conectada en Y, formada por tres impedancias, cada

una de 16|_30, se alimenta con los siguientes voltajes equilibrados de fase aneutro: E an =240|_0V, Ebn = 240|_240 V, Ecn= 240|_120 V. (a) Encontrar lacorriente de fasorial en cada lnea; (b) Encontrar los voltajes fasoriales entrelneas; (c) Encontrar las potencias activas y reactivas totales suministradas a lacarga.

Solucin

(a) Recordando que en una conexin Y-Y, IL= I. La corriente I an est dada por


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La corriente Ibnest dada por

La corriente Icn est dada por

(b) Los voltajes entre lneas

(c) La potencia reactiva Q:

La potencia total reactiva


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La potencia activa P:

La potencia activa P, se calcula tomando la parte real de la impedancia decarga

La potencia total activa PT= 3 P

Ejemplo 7

Cada rama de una carga equilibrada conectada en , consta de unaimpedancia Z =(7 + j4) . Las tensiones entre fases son Eab= 2360|_0V, Ebc=

2360|_240 V y Eca=2360/120V. Determinar (a) Las corrientes fasoriales Iab,Ibc, e Ica; (b) Cada corriente delnea y su ngulo de fase asociado; (c) El factorde potencia de la carga.

Figura 9

Solucin

(a) Las corrientes de fase

Considerando que la impedancia de las cargas es


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la corriente de fase est dada por

Las corrientes de lnea. Aplicando la LKC al nodo a de la figura 9

Aplicando la LKC al nodo b de la figura 9

Aplicando la LKC al nodo c de la figura 9

El factor de potencia de la carga es:

La potencia activa es:

La potencia reactiva es

La potencia aparente es


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El factor de potencia es

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