Singular Value Decomposition (SVD) and Application in MatLab.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Singular Value Decomposition (SVD) and Application inMatLab:
Resolving the sign ambiguity in the SVD.
Autor:Walner Mendonca dos Santos
13 de Janeiro de 2012Fortaleza-CE, Brasil
– –Universidade Federal do Ceara
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Sumario
1 Apresentacao
2 Introducao
3 Historia
4 Matrizes
5 EVD
6 SVD
7 Aplicacoes
8 Referencias
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Tudo comeca com um pouco de
ideia e bastante disposicao...
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Metodos de analise
Metodos modernos de analise de dados;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Decomposicao em Autovalores (EVD);
Aplicacoes de tais metodos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Metodos de analise
Metodos modernos de analise de dados;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Decomposicao em Autovalores (EVD);
Aplicacoes de tais metodos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Metodos de analise
Metodos modernos de analise de dados;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Decomposicao em Autovalores (EVD);
Aplicacoes de tais metodos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Metodos de analise
Metodos modernos de analise de dados;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Decomposicao em Autovalores (EVD);
Aplicacoes de tais metodos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Nessa jornada...
Passearemos um pouco pela a algebra linear;
Contemplaremos a pureza dos autovalores;
Discutiremos a teoria da SVD;
Nos deliciaremos com algumas aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Nessa jornada...
Passearemos um pouco pela a algebra linear;
Contemplaremos a pureza dos autovalores;
Discutiremos a teoria da SVD;
Nos deliciaremos com algumas aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Nessa jornada...
Passearemos um pouco pela a algebra linear;
Contemplaremos a pureza dos autovalores;
Discutiremos a teoria da SVD;
Nos deliciaremos com algumas aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Nessa jornada...
Passearemos um pouco pela a algebra linear;
Contemplaremos a pureza dos autovalores;
Discutiremos a teoria da SVD;
Nos deliciaremos com algumas aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Motivacoes
Implicacoes teoricas;
A importancia pratica;
Aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Motivacoes
Implicacoes teoricas;
A importancia pratica;
Aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Motivacoes
Implicacoes teoricas;
A importancia pratica;
Aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Objetivos
Desenvolver uma teoria razoavel;
Apresentar os principais resultados;
Construir a SVD;
Mostrar aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Objetivos
Desenvolver uma teoria razoavel;
Apresentar os principais resultados;
Construir a SVD;
Mostrar aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Objetivos
Desenvolver uma teoria razoavel;
Apresentar os principais resultados;
Construir a SVD;
Mostrar aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Objetivos
Desenvolver uma teoria razoavel;
Apresentar os principais resultados;
Construir a SVD;
Mostrar aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
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Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
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Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
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Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
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Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Eugenio Beltrami (italiano)(1873)
Foi o desenvolvedor da SVD;
Criou um algoritmo proprio para o calculo da SVD;
Seu metodo tinha limitacoes: matrizes reais, quadradas,nao-singular e com autovalores distintos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Eugenio Beltrami (italiano)(1873)
Foi o desenvolvedor da SVD;
Criou um algoritmo proprio para o calculo da SVD;
Seu metodo tinha limitacoes: matrizes reais, quadradas,nao-singular e com autovalores distintos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Eugenio Beltrami (italiano)(1873)
Foi o desenvolvedor da SVD;
Criou um algoritmo proprio para o calculo da SVD;
Seu metodo tinha limitacoes: matrizes reais, quadradas,nao-singular e com autovalores distintos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Camille Jordan (frances)(1874)
Descobriu a SVD um ano depois de Beltrami;
Sua tatica: reduzir uma forma bilinear a uma forma diagonalpor substituicoes ortogonais;
Solucao mais elegante do que a de Beltrami;
Tecnica sem o devido reconhecimento.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Camille Jordan (frances)(1874)
Descobriu a SVD um ano depois de Beltrami;
Sua tatica: reduzir uma forma bilinear a uma forma diagonalpor substituicoes ortogonais;
Solucao mais elegante do que a de Beltrami;
Tecnica sem o devido reconhecimento.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Camille Jordan (frances)(1874)
Descobriu a SVD um ano depois de Beltrami;
Sua tatica: reduzir uma forma bilinear a uma forma diagonalpor substituicoes ortogonais;
Solucao mais elegante do que a de Beltrami;
Tecnica sem o devido reconhecimento.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Camille Jordan (frances)(1874)
Descobriu a SVD um ano depois de Beltrami;
Sua tatica: reduzir uma forma bilinear a uma forma diagonalpor substituicoes ortogonais;
Solucao mais elegante do que a de Beltrami;
Tecnica sem o devido reconhecimento.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
James Sylvester (ingles)(1889)
Obteve resultados similares ao de Jordan;
Seu metodo envolvia ignorar termos de segunda ordem.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
James Sylvester (ingles)(1889)
Obteve resultados similares ao de Jordan;
Seu metodo envolvia ignorar termos de segunda ordem.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Erhard Schmidt (alemao)(1907)
Foi o primeiro a introduzir a SVD em equacoes integrais;
Usou a SVD para obter uma melhor aproximacao de umoperador.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Erhard Schmidt (alemao)(1907)
Foi o primeiro a introduzir a SVD em equacoes integrais;
Usou a SVD para obter uma melhor aproximacao de umoperador.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Herman Weyl (alemao)(1912)
Desenvolveu uma teoria de perturbacao geral;
Deu uma elegante prova do teorema da aproximacao.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Herman Weyl (alemao)(1912)
Desenvolveu uma teoria de perturbacao geral;
Deu uma elegante prova do teorema da aproximacao.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Gene Golub (norte-americano)(1970)
Um dos principais contribuintes para algoritmos paradecomposicao de matrizes;
Criou um algoritmo estavel e eficiente que ate hoje e usado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Gene Golub (norte-americano)(1970)
Um dos principais contribuintes para algoritmos paradecomposicao de matrizes;
Criou um algoritmo estavel e eficiente que ate hoje e usado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Curiosidades Historicos
A expressao ”valores singulares”partiu provavelmente da teoriadas equacoes diferenciais;
Nao usado de forma consistente ate meados do seculo XX.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Curiosidades Historicos
A expressao ”valores singulares”partiu provavelmente da teoriadas equacoes diferenciais;
Nao usado de forma consistente ate meados do seculo XX.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Parte I
– MATRIZES –
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao
Uma matriz Am×n e um agrupamento retangular de m × nnumeros. Os numeros deste agrupamento sao chamdos entradasda matriz e sao representados por indexacoes do tipo aij .
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Representacao
Quando se interessa em mostrar a matriz, costuma-se representa-lada seguinte forma:
A =
a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2na31 a32 a33 · · · a3n
......
.... . .
...am1 am2 am3 · · · amn
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Nomenclatura
Quando for desejado uma notacao mais compacta para representaruma matriz Am×n, podemos escrever da seguinte forma:
Am×n = [aij ]m×n ou A = [aij ]
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz e quadrada quando o numero de linhasdela coincidir com o numero de colunas.
Diagonal de uma matriz
Chamamos o conjuto de elementos a11, a22, a33, ..., aij , onde i = jde diagonal da matriz A (nao necessariamente quadrada).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz e quadrada quando o numero de linhasdela coincidir com o numero de colunas.
Diagonal de uma matriz
Chamamos o conjuto de elementos a11, a22, a33, ..., aij , onde i = jde diagonal da matriz A (nao necessariamente quadrada).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Exemplos de matrizes
A =
9 16 13 22 08 10 0
B =
9 6 0 155 2 15 707 1 20 0, 9
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Igualdade entre matrizes)
Duas matrizes A e B sao iguais se, e somente se, tiverem o mesmotamanho m × n e se as entradas aij e bij forem iguais para todoi ≤ m e j ≤ n.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Soma de matrizes)
Se A e B sao matrizes do mesmo tamanho, entao a soma A + B ea matriz obtida somando as entrada de A as entradascorrespondetes de B. Matrizes de tamanho distintos nao podemser somadas ou subtraıdas.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Definicao (Produto de matrizes por escalares)
Se A e uma matriz e c e um escalar, entao o produto cA e amatriz obtida pela multiplicacao de cada entrada da matriz A porc . A matriz cA e chamada de multiplo escalar de A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
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Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
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Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
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Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Produto entre duas matrizes)
Sejam Am×n e Bn×p duas matrizes com o numero de colunas de Aigual ao numero de linhas de B. Definimos o produto entre elascomo a matriz m × p, C = AB, com as entradas cij calculadas daseguinte forma:
cij =n∑
k=1
aikbkj ,
para i = 1, ...,m e j = 1, ..., p.
Observacao
Nao se defini o produto entre matrizes quando o numero decolunas de A nao for igual ao numero de linhas de B.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Definicao (Produto entre duas matrizes)
Sejam Am×n e Bn×p duas matrizes com o numero de colunas de Aigual ao numero de linhas de B. Definimos o produto entre elascomo a matriz m × p, C = AB, com as entradas cij calculadas daseguinte forma:
cij =n∑
k=1
aikbkj ,
para i = 1, ...,m e j = 1, ..., p.
Observacao
Nao se defini o produto entre matrizes quando o numero decolunas de A nao for igual ao numero de linhas de B.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Exemplo de produto entre duas matrizes
A =
5 6 13 2 00 4 2
,B =
201
⇒ AB =
5 · 2 + 6 · 0 + 1 · 13 · 2 + 2 · 0 + 0 · 10 · 2 + 4 · 0 + 2 · 1
=
1162
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Transposta)
Se A e uma matriz m × n qualquer, entao a transposta de A,denota-se por AT , e definida como a matriz n ×m que resulta dapermutacao das linhas com as colunas de A; ou seja, a i-esimacoluna de AT e i-esima linha de A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Exemplos de matrizes transpotas
A =
5 6 13 2 00 4 2
⇒ AT =
5 3 06 2 41 0 2
B =
201
⇒ BT =[
2 0 1]
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
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Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Exemplos de matrizes simetricas
A =
0 1 01 2 40 4 8
, B =
5 3 0 13 2 4 30 4 2 71 3 7 9
C =
[0 12 3
]⇒ CCT =
[0 12 3
] [0 21 3
]=
[1 33 13
]
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Inversa)
Se A e B sao duas matrizes tais que AB = BA = I, dizemos queB e a matriz inversa de A e a denotamos por A−1.
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Matrizes
Exemplo de matriz inversa[2 14 3
] [32
−12
−2 1
]=
[1 00 1
]
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Usando o MatLab (Inversa de uma Matriz)
Sintaxe:
B = inv(A)
Retorna a inversa (quando existir) de uma matriz quadrada.
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Definicao (Menor)
Seja A uma matriz de ordem m × n. Denota-se por Aij a matrizmenor de A sobre a entrada ij . Esta matriz e a matriz A sem alinha i e a coluna j . Em outras palavras, Aij = [akl ], para1 ≤ k ≤ m; k 6= i e 1 ≤ l ≤ n; l 6= j .
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Matrizes
Exemplos de matrizes menores
A =
9 16 13 22 08 10 0
⇒ A11 =
[22 010 0
]; A22 =
[9 18 0
]; A33 =
[9 163 22
]
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Matrizes
Usando o MatLab (Matriz Menor)
Sintaxe:
B = menor(A,i,j)
Retorna a menor (i,j) da matriz A.
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Matrizes
Definicao (Determinante)
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se determinanteda matriz A o valor da funcao definida recursivamente da seguinteforma
det (A) =n∑
k=1
(−1)1+ka1k det (A1k)
onde det ([a11]) = a11 (determinate de uma matriz 1× 1 e igual aovalor da sua unica entrada).
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Exemplo de determinante de uma matriz
det(A) =
∣∣∣∣∣∣3 0 11 0 00 1 3
∣∣∣∣∣∣= (−1)1+1 ·3 ·
∣∣∣∣ 0 01 3
∣∣∣∣+(−1)1+2 ·0 ·∣∣∣∣ 1 0
0 3
∣∣∣∣+(−1)1+3 ·1 ·∣∣∣∣ 1 0
0 1
∣∣∣∣⇒ det(A) = 0− 0 + 1 = 1
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Matrizes
Usando o MatLab (Determinante)
Sintaxe:
d = det(A)
Retorna o determinante da matriz A quadrada pelo metodo deLagrange.
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Definicao (Matriz Diagonal)
Uma matriz m × n e dita matriz diagonal se todo elemento naopertencente a diagonal dela for nulo. Escrevemos
A = diag(a1, a2, a3, . . . , ap)m×n
Teorema
O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual ao produtodos n elementos de sua diagonal.
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Matrizes
Definicao (Matriz Diagonal)
Uma matriz m × n e dita matriz diagonal se todo elemento naopertencente a diagonal dela for nulo. Escrevemos
A = diag(a1, a2, a3, . . . , ap)m×n
Teorema
O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual ao produtodos n elementos de sua diagonal.
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Matrizes
Exemplos de matrizes diagonais
A = diag(5, 7, 11)5×3 =
5 0 00 7 00 0 110 0 00 0 0
B = diag(9, 1,−1, 0)4×4 =
9 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0
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Matrizes
Definicao (Matriz Ortogonal)
Uma matriz A e dita ortogonal se AAT = I. Portanto, A tera queser uma matriz quadrada.
Teorema
Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
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Matrizes
Definicao (Matriz Ortogonal)
Uma matriz A e dita ortogonal se AAT = I. Portanto, A tera queser uma matriz quadrada.
Teorema
Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
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Matrizes
Exemplos de matrizes ortogonais
Rθ =
[cos(θ) sen(θ)−sen(θ) cos(θ)
]
B =
0 0 1 01 0 0 00 0 0 10 1 0 0
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Matrizes
Definicao (Similaridade)
Sejam A e B matrizes quadradas n× n. Dizemos que A e similar aB (escrevemos A ≈ B) se existir uma matriz X n × n invertıvel talque
A = XBX−1
Teorema
Matrizes similares possuem o mesmo determinante.
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Matrizes
Definicao (Similaridade)
Sejam A e B matrizes quadradas n× n. Dizemos que A e similar aB (escrevemos A ≈ B) se existir uma matriz X n × n invertıvel talque
A = XBX−1
Teorema
Matrizes similares possuem o mesmo determinante.
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Matrizes
Exemplo de matrizes similares[−1 −26 6
]≈[
2 10 3
][−1 −26 6
]=
[2 −3−3 5
] [2 10 3
] [5 33 2
]
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Matrizes
Definicao (Produto Interno Vetorial)
O produto interno de dois vetores e uma funcao Rn × Rn → Rdefinida por
〈x, y〉 =n∑
i=1
xiyi
Equivalentemente, e mais conveniente, temos
〈x, y〉 = xTy
Nessa segunda forma, os vetores sao tratados como matrizes n × 1e os escalares como matrizes 1× 1.
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Matrizes
Definicao (Produto Interno Matricial)
O produto interno de duas matrizes e uma funcaoRm×n × Rm×n → R definida por
〈A,B〉 =m∑i=1
n∑j=1
aijbij
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Matrizes
Usando o MatLab (Produto Interno)
Sintaxe:
x = interno(u,v)
x = interno(A,B)
Retorna o porduto interno vetorial (matricial) de dois vetores(matrizes) u e v (A e B).
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Matrizes
Propriedades do produto interno
1 〈v, v〉 = 0⇔ v = 0
2 〈v, v〉 > 0, se v 6= 0
3 〈v,u〉 = 〈u, v〉4 〈v + u,w〉 = 〈v,w〉+ 〈u,w〉5 〈αu, v〉 = α〈v,u〉
Todas essas propriedades do produto interno vetorial tambemsao validas para o produto interno matricial.
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Matrizes
Propriedades do produto interno
1 〈v, v〉 = 0⇔ v = 0
2 〈v, v〉 > 0, se v 6= 0
3 〈v,u〉 = 〈u, v〉4 〈v + u,w〉 = 〈v,w〉+ 〈u,w〉5 〈αu, v〉 = α〈v,u〉
Todas essas propriedades do produto interno vetorial tambemsao validas para o produto interno matricial.
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Matrizes
Propriedades do produto interno
1 〈v, v〉 = 0⇔ v = 0
2 〈v, v〉 > 0, se v 6= 0
3 〈v,u〉 = 〈u, v〉4 〈v + u,w〉 = 〈v,w〉+ 〈u,w〉5 〈αu, v〉 = α〈v,u〉
Todas essas propriedades do produto interno vetorial tambemsao validas para o produto interno matricial.
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Matrizes
Propriedades do produto interno
1 〈v, v〉 = 0⇔ v = 0
2 〈v, v〉 > 0, se v 6= 0
3 〈v,u〉 = 〈u, v〉
4 〈v + u,w〉 = 〈v,w〉+ 〈u,w〉5 〈αu, v〉 = α〈v,u〉
Todas essas propriedades do produto interno vetorial tambemsao validas para o produto interno matricial.
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Matrizes
Propriedades do produto interno
1 〈v, v〉 = 0⇔ v = 0
2 〈v, v〉 > 0, se v 6= 0
3 〈v,u〉 = 〈u, v〉4 〈v + u,w〉 = 〈v,w〉+ 〈u,w〉
5 〈αu, v〉 = α〈v,u〉
Todas essas propriedades do produto interno vetorial tambemsao validas para o produto interno matricial.
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Matrizes
Propriedades do produto interno
1 〈v, v〉 = 0⇔ v = 0
2 〈v, v〉 > 0, se v 6= 0
3 〈v,u〉 = 〈u, v〉4 〈v + u,w〉 = 〈v,w〉+ 〈u,w〉5 〈αu, v〉 = α〈v,u〉
Todas essas propriedades do produto interno vetorial tambemsao validas para o produto interno matricial.
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Matrizes
Propriedades do produto interno
1 〈v, v〉 = 0⇔ v = 0
2 〈v, v〉 > 0, se v 6= 0
3 〈v,u〉 = 〈u, v〉4 〈v + u,w〉 = 〈v,w〉+ 〈u,w〉5 〈αu, v〉 = α〈v,u〉
Todas essas propriedades do produto interno vetorial tambemsao validas para o produto interno matricial.
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Matrizes
Definicao (Norma Eclidiana de Vetores)
A norma padrao (Euclidiana) de vetores e uma funcaoRn → R[0,∞] definida por
‖x‖ =√〈x, x〉
de modo equivalente, temos
‖x‖ =√
xTx =
√√√√ n∑i=1
x2i
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Matrizes
Definicao (Norma de Matrizes)
A norma (2) de matrizes e uma funcao Rm×n → R[0,∞] definidapor
‖A‖ = max (svd(A))
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Matrizes
Definicao (Norma Frobenius)
A norma de Frobenius de uma matriz e uma funcaoRm×n → R[0,∞] definida por
‖A‖F =√〈A,A〉
de modo equivalente, temos
‖A‖F =
√√√√ m∑i=1
n∑j=1
a2ij
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Matrizes
Usando o MatLab (Norma)
Sintaxe:
n = norm(v)
n = norm(A,p)
Retorna a norma padrao do vetor v.
Retorna a norma como o maior valor singular da matriz A.[p=2]
Retorna a norma de Frobenius da matriz A. [p=’fro’]
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖
4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Definicao (Cosseno do Angulo Entre Vetores)
O cosseno do angulo entre dois vetores e uma funcaoRn × Rn → R[−1, 1] definida por
cos(θ) =〈u, v〉‖u‖‖v‖
onde θ = ang(u, v) e o angulo entre os vetores u e v.
Observacao
Apesar do angulo entre vetores nao estar bem definido, a definicaoacima nos e satisfatoria para o que pretendemos aplica-la. A ideiade angulo deve ser sugerida como um valor real para θ tal que ocos(θ) seja como esta acima.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Cosseno do Angulo Entre Vetores)
O cosseno do angulo entre dois vetores e uma funcaoRn × Rn → R[−1, 1] definida por
cos(θ) =〈u, v〉‖u‖‖v‖
onde θ = ang(u, v) e o angulo entre os vetores u e v.
Observacao
Apesar do angulo entre vetores nao estar bem definido, a definicaoacima nos e satisfatoria para o que pretendemos aplica-la. A ideiade angulo deve ser sugerida como um valor real para θ tal que ocos(θ) seja como esta acima.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R
2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do anguloentre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
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Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
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Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
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Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
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Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
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Parte II
– AUTOVALORES & AUTOVETORES –
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Definicao (Autovalores e Autovetores)
Seja A ∈ Rn×n uma matriz quadrada. Um vetor nao-nulo x ∈ Rn eum autovetor ou um vetor caracterıstico de A, e λ ∈ R e oautovalor ou um valor caracterıstico correspondente, se
Ax = λx.
Consequencias da definicao
1 A cada autovetor, corresponde um unico autovalor.
2 A cada autovalor, uma infinidade de autovetores ocorresponde.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Definicao (Autovalores e Autovetores)
Seja A ∈ Rn×n uma matriz quadrada. Um vetor nao-nulo x ∈ Rn eum autovetor ou um vetor caracterıstico de A, e λ ∈ R e oautovalor ou um valor caracterıstico correspondente, se
Ax = λx.
Consequencias da definicao
1 A cada autovetor, corresponde um unico autovalor.
2 A cada autovalor, uma infinidade de autovetores ocorresponde.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Autovalores e Autovetores)
Sintaxe:
[V, E] = eig(A)
[V, E] = eigs(A)
V e a matriz dos autovetores.
E e a matriz diagonal dos autovalores.
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Autovalores e Autovetores
Teorema
Seja A uma matriz n × n e λ um escalar em R. Os seguintesenunciados sao equivalentes:
1 λ e um autovalor de A.
2 (A− λI)x = 0 tem uma solucao nao trivial.
3 det(A− λI) = 0
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Autovalores e Autovetores
Definicao (Polinomio Caracterıstico)
Seja A uma matriz n × n e λ um escalar em R. O polinomiocaracterıstico da matriz A e o polinomio
PA(λ) = det(A− λI).
Teorema
λ e uma autovalor de A se, e somente se, λ e raiz do polinomiocaracterıstico PA(λ). Em outras palavas, para algum x, λ satisfaz
Ax = λx⇔ PA(λ) = det(A− λI) = 0.
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Autovalores e Autovetores
Definicao (Polinomio Caracterıstico)
Seja A uma matriz n × n e λ um escalar em R. O polinomiocaracterıstico da matriz A e o polinomio
PA(λ) = det(A− λI).
Teorema
λ e uma autovalor de A se, e somente se, λ e raiz do polinomiocaracterıstico PA(λ). Em outras palavas, para algum x, λ satisfaz
Ax = λx⇔ PA(λ) = det(A− λI) = 0.
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Matematica Simbolica)
Sintaxe:
S = sym(A)
Transforma a estrura de dados A em um objeto simbolico S.
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Polinomio Caracterıstico)
Sintaxe:
p = poly(A)
Exibe os coeficientes do polinomio caracterıstico da matriz A.
Quando A for uma estrutura simbolica, poly(A) retornara opolinomio caracterıstico na forma simbolica.
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Fatoracao)
Sintaxe:
p = factor(poly(A))
Exibe o polinomio caracterıstico fatorado na forma simbolica.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Procedimento para o calculo de autovalores
1 Encontrar o polinomio caracterıstico da matriz.
PA(λ) = det(A− λI)
2 Achar as raızes do polinomio caracterıstico. Estas serao osautovalores.
PA(λ) = 0
3 Resolver o sistema (A− λi I)x = 0, para cada autovalor λi .Cada vetor solucao sera um autovetor da matriz A.
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Autovalores e Autovetores
Procedimento para o calculo de autovalores
1 Encontrar o polinomio caracterıstico da matriz.
PA(λ) = det(A− λI)
2 Achar as raızes do polinomio caracterıstico. Estas serao osautovalores.
PA(λ) = 0
3 Resolver o sistema (A− λi I)x = 0, para cada autovalor λi .Cada vetor solucao sera um autovetor da matriz A.
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Autovalores e Autovetores
Procedimento para o calculo de autovalores
1 Encontrar o polinomio caracterıstico da matriz.
PA(λ) = det(A− λI)
2 Achar as raızes do polinomio caracterıstico. Estas serao osautovalores.
PA(λ) = 0
3 Resolver o sistema (A− λi I)x = 0, para cada autovalor λi .Cada vetor solucao sera um autovetor da matriz A.
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Procedimento para o calculo de autovalores
1 Encontrar o polinomio caracterıstico da matriz.
PA(λ) = det(A− λI)
2 Achar as raızes do polinomio caracterıstico. Estas serao osautovalores.
PA(λ) = 0
3 Resolver o sistema (A− λi I)x = 0, para cada autovalor λi .Cada vetor solucao sera um autovetor da matriz A.
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Autovalores e Autovetores
Exemplo
A =
2 −3 11 −2 11 −3 2
⇒ PA(λ) =
∣∣∣∣∣∣2− λ −3 1
1 −2− λ 11 −3 2− λ
∣∣∣∣∣∣⇒ PA(λ) = −λ(λ− 1)2 ⇒ λ1 = 0, λ2 = λ3 = 1
(A− λi I)x =
2− λi −3 11 −2− λi 11 −3 2− λi
xiyizi
=
000
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Autovalores e Autovetores
Exemplo (continuacao)
Para i = 1, temos λ1 = 0
⇒ (A− λ1I)x =
2− 0 −3 11 −2− 0 11 −3 2− 0
x1y1z1
=
000
⇒
2x1 − 3y1 + 1z1 = 01x1 − 2y1 + 1z1 = 01x1 − 3y1 + 2z1 = 0
⇒
x1 = z1y1 = z1
⇒ (x1, y1, z1) = α(1, 1, 1)
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Autovalores e Autovetores
Exemplo (continuacao)
Para i = 2 = 3, temos λ2 = λ3 = 1
⇒ (A− λ2I)x =
2− 1 −3 11 −2− 1 11 −3 2− 1
x2y2z2
=
000
⇒
1x2 − 3y2 + 1z2 = 01x2 − 3y2 + 1z2 = 01x2 − 3y2 + 1z2 = 0
⇒ z2 = 3y2 − x2
⇒ (x2, y2, z3) = (x3, y3, z3) = (α, β, 3β−α) = α(1, 0,−1)+β(0, 1, 3)
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Autovalores e Autovetores
Exemplo (continuacao)
Conclusao:
Autovalor 0 1
Multiplicidade 1 2
Autovetor associado (1,1,1) (1,1,2)
Espaco gerado α(1, 1, 1) α(1, 0,−1) + β(0, 1, 3)
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
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Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
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Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
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Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
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Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
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Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
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Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
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Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
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Definicao (Matriz Diagonalizavel)
Uma matriz n × n, A, e dita diagonalizavel se existe uma matriznao singular X e uma matriz diagonal Λ tais que
A = XΛX−1
Dizemos que X diagonaliza A.
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Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonalizavel
1 Os vetores colunas da matriz diagonalizante X saoautovetores de A.
2 Os elementos da diagonal de Λ sao os autovalores de A
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Propriedades de uma matriz diagonalizavel
1 Os vetores colunas da matriz diagonalizante X saoautovetores de A.
2 Os elementos da diagonal de Λ sao os autovalores de A
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Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonalizavel
1 Os vetores colunas da matriz diagonalizante X saoautovetores de A.
2 Os elementos da diagonal de Λ sao os autovalores de A
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Autovalores e Autovetores
Teorema
Uma k-esima potencia de A e similar a uma k-esima potencia de Λsendo X a matriz diagonalizante.
Ak = XΛkX−1
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Autovalores e Autovetores
Teorema
Uma matriz A e diagonalizavel se, e somente se, o determinanteda matriz, cuja as colunas sao formadas por autovetores de A, fornao-nulo.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
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Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉
4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
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Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
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Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖
6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
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Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Decomposicao de Schur
Se A e uma matriz n × n com entradas reais e autovalores reais,entao existe uma matriz ortogonal Q tal que
A = QΩQ−1
onde Ω e uma matriz triangular superior da forma
Ω =
λ1 × × · · · ×0 λ2 × · · · ×0 0 λ3 · · · ×...
......
. . ....
0 0 0 · · · λn
com λi sendo autovalores de A repetidos de acordo com amultiplicidade.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Decomposicao de Schur)
Sintaxe:
[U,T] = schur(A)
U e a matriz ortogonal da decomposicao.
T e a matriz de Schur.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Decomposicao de Hessenberg
Uma decomposicao de Hessenberg de qualquer matriz A, n × n euma fatoracao do seguinte tipo, onde Q e uma matriz ortogonal eΘ e uma matriz Hessenberg superior.
A = QΘQ−1
Θ =
× × × · · · × × ×× × × · · · × × ×0 × × · · · × × ×
0 0 × . . . × × ×...
......
. . ....
......
0 0 0 · · · × × ×0 0 0 · · · 0 × ×
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Decomposicao de Hessenberg)
Sintaxe:
[P,H] = hess(A)
P e a matriz ortogonal da decomposicao.
H e a matriz de Hessenberg.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Decomposicao em Autovalores (EVD)
Uma decomposicao em autovalores (EVD) da matriz simetrican × n, A, e uma fatoracao da seguinte forma
A = QΛQ−1
onde Q e uma matriz ortogonal e Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn), com λisendo autovalores de A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Parte III
– DECOMPOSICAO EM VALORES
SINGULARES –
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Definicao (Decomposicao em Valores Singulares)
Sejam as matrizes
A ∈ RI×J ;
U = u1,u2, . . . ,uI ∈ RI×I ;
V = v1, v2, . . . , vJ ∈ RJ×J ;
Σ ∈ RI×J
Uma decomposicao do tipo
A = UΣVT
satisfazendo certas propriedades e dita uma decomposicao emvalores singulares.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Definicao (Decomposicao em Valores Singulares)
Sejam as matrizes
A ∈ RI×J ;
U = u1,u2, . . . ,uI ∈ RI×I ;
V = v1, v2, . . . , vJ ∈ RJ×J ;
Σ ∈ RI×J
Uma decomposicao do tipo
A = UΣVT
satisfazendo certas propriedades e dita uma decomposicao emvalores singulares.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades
AI×J = UI×IΣI×JVTJ×J
UUT = IdI (Ortogonal de ordem I);
VVT = IdJ (Ortogonal de ordem J);
Σ = diag(σ1, σ2, . . . , σP)I×J , com P = min(I , J) eσ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σP ≥ 0.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades
AI×J = UI×IΣI×JVTJ×J
UUT = IdI (Ortogonal de ordem I);
VVT = IdJ (Ortogonal de ordem J);
Σ = diag(σ1, σ2, . . . , σP)I×J , com P = min(I , J) eσ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σP ≥ 0.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades
AI×J = UI×IΣI×JVTJ×J
UUT = IdI (Ortogonal de ordem I);
VVT = IdJ (Ortogonal de ordem J);
Σ = diag(σ1, σ2, . . . , σP)I×J , com P = min(I , J) eσ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σP ≥ 0.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades
AI×J = UI×IΣI×JVTJ×J
UUT = IdI (Ortogonal de ordem I);
VVT = IdJ (Ortogonal de ordem J);
Σ = diag(σ1, σ2, . . . , σP)I×J , com P = min(I , J) eσ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σP ≥ 0.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Nomenclatura
Os σk pertencentes a matriz Σ chamam-se valores singulares;
Os vetores colunas uk da matriz U sao os vetores singularesesquerdos;
Os vetores colunas vk da matriz V sao os vetores singularesdireitos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Nomenclatura
Os σk pertencentes a matriz Σ chamam-se valores singulares;
Os vetores colunas uk da matriz U sao os vetores singularesesquerdos;
Os vetores colunas vk da matriz V sao os vetores singularesdireitos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Nomenclatura
Os σk pertencentes a matriz Σ chamam-se valores singulares;
Os vetores colunas uk da matriz U sao os vetores singularesesquerdos;
Os vetores colunas vk da matriz V sao os vetores singularesdireitos.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Ilustracao da SVD
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Usando o MatLab (SVD)
Sintaxe:
[U, S, V] = svd(A)
[U, S, V] = svds(A)
U e a matriz dos vetores singulares esquerdos.
V e a matriz dos vetores singulares direitos.
S e a matriz dos valore singulares da matriz A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo
Considere o seguinte exemplo simples:
A =
4 22 3 51 5 1 1
11 69 10 1411 69 10 14
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Comando ’svd’
Usando ’svd’ para calcular a SVD de A, temos os seguintesvetores singulares esquerdos
U =
−0.22 −0.97 0.07 0.00−0.05 −0.06 −1.00 −0.00−0.69 0.16 0.03 −0.71−0.69 0.16 0.03 0.71
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Comando ’svds’
No entanto, ’svds’ troca os sinais dos primeiros tres pares devetores singulares. Abaixo os vetores singulares esquerdos saomostrados (os vetores singulares direitos tem um sinalcorrespondente).
U =
0.22 0.97 −0.07 0.000.05 0.06 1.00 −0.000.69 −0.16 −0.03 −0.710.69 −0.16 −0.03 0.71
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Usando o MatLab (Eigen & Singular Value Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos valores singulares para matrizes2× 2.
Observacao
Quando Ax for perpendicular a Ay, teremos:
1 Os vetores x e y sao os vetores singulares direitos da matriz;
2 Os vetores Ax e Ay, normalizados, sao os vetores singularesesquerdos da matriz;
3 A norma de Ax e Ay sao os valores singulares.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Usando o MatLab (Eigen & Singular Value Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos valores singulares para matrizes2× 2.
Observacao
Quando Ax for perpendicular a Ay, teremos:
1 Os vetores x e y sao os vetores singulares direitos da matriz;
2 Os vetores Ax e Ay, normalizados, sao os vetores singularesesquerdos da matriz;
3 A norma de Ax e Ay sao os valores singulares.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 Segue de (2) que V diagonaliza ATA, portanto os vi , vetoressingulares esquerdos de A, sao autovetores de ATA.
2 Segue de (3) que U diagonaliza AAT , portanto os ui , vetoressingulares direitos de A, sao autovetores de AAT .
3 Segue de (5) um meio de calcular os autovalores de A:
σi =√λi
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 Segue de (2) que V diagonaliza ATA, portanto os vi , vetoressingulares esquerdos de A, sao autovetores de ATA.
2 Segue de (3) que U diagonaliza AAT , portanto os ui , vetoressingulares direitos de A, sao autovetores de AAT .
3 Segue de (5) um meio de calcular os autovalores de A:
σi =√λi
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 Segue de (2) que V diagonaliza ATA, portanto os vi , vetoressingulares esquerdos de A, sao autovetores de ATA.
2 Segue de (3) que U diagonaliza AAT , portanto os ui , vetoressingulares direitos de A, sao autovetores de AAT .
3 Segue de (5) um meio de calcular os autovalores de A:
σi =√λi
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 Segue de (2) que V diagonaliza ATA, portanto os vi , vetoressingulares esquerdos de A, sao autovetores de ATA.
2 Segue de (3) que U diagonaliza AAT , portanto os ui , vetoressingulares direitos de A, sao autovetores de AAT .
3 Segue de (5) um meio de calcular os autovalores de A:
σi =√λi
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Teorema
Se A e uma matriz simetrica, entao a SVD de A se resumo a EVDde A.
Observacao
Se A e uma matriz simetrica, entao as matrizes ortogonais da SVDde A serao as mesmas. Consequentemente, os autovalores de Aserao iguais aos seus valores singulares.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Teorema
Se A e uma matriz simetrica, entao a SVD de A se resumo a EVDde A.
Observacao
Se A e uma matriz simetrica, entao as matrizes ortogonais da SVDde A serao as mesmas. Consequentemente, os autovalores de Aserao iguais aos seus valores singulares.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo
A =
1 11 10 0
⇒ ATA =
[1 1 01 1 0
] 1 11 10 0
=
[2 22 2
]
⇒ AAT =
1 11 10 0
[ 1 1 01 1 0
]=
2 2 02 2 00 0 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
Polinomio caracterıstico:
⇒ PAT A(λ) =
∣∣∣∣ 2− λ 22 2− λ
∣∣∣∣ = λ(λ− 4)
Autovalores e valores singulare:
⇒ λ1 = 4, λ2 = 0⇒ σ1 = 2, σ2 = 0
Autovetores:[2− λi 2
2 2− λi
] [xiyi
]=
[00
]⇒
(2− λi )xi + 2yi = 02xi + (2− λi )yi = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
⇒
(2− 4)x1 + 2y1 = 02x1 + (2− 4)y1 = 0
⇒−2x1 + 2y1 = 02x1 − 2y1 = 0
⇒ x1 = y1 ⇒ (x1, y1) = α(1, 1)
Exemplo (continuacao)
⇒
(2− 0)x2 + 2y2 = 02x2 + (2− 0)y2 = 0
⇒
2x2 + 2y2 = 02x2 + 2y2 = 0
⇒ x2 = −y2 ⇒ (x2, y2) = α(1,−1)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
⇒
(2− 4)x1 + 2y1 = 02x1 + (2− 4)y1 = 0
⇒−2x1 + 2y1 = 02x1 − 2y1 = 0
⇒ x1 = y1 ⇒ (x1, y1) = α(1, 1)
Exemplo (continuacao)
⇒
(2− 0)x2 + 2y2 = 02x2 + (2− 0)y2 = 0
⇒
2x2 + 2y2 = 02x2 + 2y2 = 0
⇒ x2 = −y2 ⇒ (x2, y2) = α(1,−1)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
Matriz dos vetores singulares direitos:
vi =(xi , yi )
‖(xi , yi )‖⇒ v1 =
(1, 1)√2
; v2 =(1,−1)√
2
V =
1√2
1√2
1√2− 1√
2
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
Polinomio caracterıstico:
⇒ PAAT (λ) =
∣∣∣∣∣∣2− λ 2 0
2 2− λ 00 0 0− λ
∣∣∣∣∣∣ = λ2(λ− 4)
Auto vetores: 2− λi 2 02 2− λi 00 0 −λi
xiyiz1
=
000
⇒
(2− λi )xi + 2yi = 02xi + (2− λi )yi = 00xi + 0yi − λz1 = 0
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
⇒ x1 = y1; z1 = 0⇒ (x1, y1, z1) = α(1, 1, 0)
⇒ x2 = −y2; z2 = 0⇒ (x2, y2, z2) = α(1,−1, 0)
⇒ x3 = y3 = 0; z3 = α⇒ (x3, y3, z3) = α(0, 0, 1)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
A matriz U dos vetores singulares esquerdos:
ui =(xi , yi , zi )
‖(xi , yi , zi )‖⇒ u1 =
(1, 1, 0)√2
; u2 =(1,−1, 0)√
2; u2 =
(0, 0, 1)√1
U =
1√2
1√2
0
1√2− 1√
20
0 0 1
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
A = UΣVT =
1√2
1√2
0
1√2− 1√
20
0 0 1
2 0
0 00 0
1√2
1√2
1√2− 1√
2
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
Conclusao:
Autovalor 4 0
Valor singular 2 0
Vetor singular direito ( 1√2, 1√
2) ( 1√
2, 1√
2)
Vetor singular esquerdo ( 1√2,− 1√
2, 0) ( 1√
2,− 1√
2, 0); (0, 0, 1)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Definicao (Pseudo-inversa)
A pseudo-inversa de uma matriz I × J,A, e uma matriz odtida doproduto das seguintes matrizes
A−1 = VΣ−1UT
onde Σ−1 = diag(σ−11 , σ−12 , . . . , σ−1P )J×I , com P = min(I , J). Sealgum valor λi singular da matriz for nulo, considera-se λ−1i = 0.
Observacao
A pseudo-inversa de uma matriz quadrada e a inversa antesdefinida.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Definicao (Pseudo-inversa)
A pseudo-inversa de uma matriz I × J,A, e uma matriz odtida doproduto das seguintes matrizes
A−1 = VΣ−1UT
onde Σ−1 = diag(σ−11 , σ−12 , . . . , σ−1P )J×I , com P = min(I , J). Sealgum valor λi singular da matriz for nulo, considera-se λ−1i = 0.
Observacao
A pseudo-inversa de uma matriz quadrada e a inversa antesdefinida.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Usando o MatLab (Pseudo-inversa)
Sintaxe:
B = pinv(A)
Retorna a pseudo-inversa da matriz A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
O Teorema da SVD
1 Sempre e possıvel decompor uma matriz A em valoressingulares.
2 Os valores singulares de uma matriz A sao unicamentedeterminados.
Observacao
Os valores singulares σ1, ..., σp sao unicos; entretanto, as matrizesU e V nao sao unicas.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
O Teorema da SVD
1 Sempre e possıvel decompor uma matriz A em valoressingulares.
2 Os valores singulares de uma matriz A sao unicamentedeterminados.
Observacao
Os valores singulares σ1, ..., σp sao unicos; entretanto, as matrizesU e V nao sao unicas.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
O Teorema da SVD
1 Sempre e possıvel decompor uma matriz A em valoressingulares.
2 Os valores singulares de uma matriz A sao unicamentedeterminados.
Observacao
Os valores singulares σ1, ..., σp sao unicos; entretanto, as matrizesU e V nao sao unicas.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
O Teorema da SVD
1 Sempre e possıvel decompor uma matriz A em valoressingulares.
2 Os valores singulares de uma matriz A sao unicamentedeterminados.
Observacao
Os valores singulares σ1, ..., σp sao unicos; entretanto, as matrizesU e V nao sao unicas.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Definicao (rank de uma matriz)
O rank de uma matriz I × J, A, e o numero de valores singularesdistintos.
Observacao
O rank de uma matriz e na verdade o numero de colunas (oulinhas) linearmente independentes, o que e equivalente ao numerode valores singulares.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Definicao (rank de uma matriz)
O rank de uma matriz I × J, A, e o numero de valores singularesdistintos.
Observacao
O rank de uma matriz e na verdade o numero de colunas (oulinhas) linearmente independentes, o que e equivalente ao numerode valores singulares.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Usando o MatLab (Rank de uma Matriz)
Sintaxe:
k = rank(A)
Retorna o rank da matriz A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Forma truncada
A ∼= UKΣKVTK =
K∑k=1
σkukvTk = A(k)
com K ≤ min(I , J)
Onde
UK = u1,u2, . . . ,uK ∈ RI×K ;
VK = v1, v2, . . . , vK ∈ RJ×K ;
ΣK = diag(σ1, σ2, . . . , σK ) ∈ RK×K .
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Forma truncada
A ∼= UKΣKVTK =
K∑k=1
σkukvTk = A(k)
com K ≤ min(I , J)
Onde
UK = u1,u2, . . . ,uK ∈ RI×K ;
VK = v1, v2, . . . , vK ∈ RJ×K ;
ΣK = diag(σ1, σ2, . . . , σK ) ∈ RK×K .
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Ilustracao da forma truncada da SVD
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Teorema
Seja A = UΣVT a SVD da matriz A ∈ RI×J e A(K) a truncada deA de ordem K .
Se K ≤ rank(A), entao ‖A− A(K)‖ = σk+1.
Demonstracao
Lembrando a definicao da norma matricial ‖A‖ = max (svd(A)).Portanto, segue que
‖A− A(K)‖ = ‖UΣVT −UΣ(K)VT‖ =
‖U(ΣT −Σ(K))VT‖ = σk+1
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Teorema
Seja A = UΣVT a SVD da matriz A ∈ RI×J e A(K) a truncada deA de ordem K .
Se K ≤ rank(A), entao ‖A− A(K)‖ = σk+1.
Demonstracao
Lembrando a definicao da norma matricial ‖A‖ = max (svd(A)).Portanto, segue que
‖A− A(K)‖ = ‖UΣVT −UΣ(K)VT‖ =
‖U(ΣT −Σ(K))VT‖ = σk+1
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da truncada
1 Segue da definicao de matriz truncada que, paraK < rank(A) ≤ P = min(I , J),
A = UKΣKVTK
= σ1u1vT1 + σ2u2vT2 + ...+ σKuKvTK + ...+ σPuPvTP≈ σ1u1vT1 + σ2u2vT2 + ...+ σKuKvTK
2 limK→P
[‖A− A(K)‖] = 0
3 limK→P
[ang(A,A(K))] = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da truncada
1 Segue da definicao de matriz truncada que, paraK < rank(A) ≤ P = min(I , J),
A = UKΣKVTK
= σ1u1vT1 + σ2u2vT2 + ...+ σKuKvTK + ...+ σPuPvTP≈ σ1u1vT1 + σ2u2vT2 + ...+ σKuKvTK
2 limK→P
[‖A− A(K)‖] = 0
3 limK→P
[ang(A,A(K))] = 0
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da truncada
1 Segue da definicao de matriz truncada que, paraK < rank(A) ≤ P = min(I , J),
A = UKΣKVTK
= σ1u1vT1 + σ2u2vT2 + ...+ σKuKvTK + ...+ σPuPvTP≈ σ1u1vT1 + σ2u2vT2 + ...+ σKuKvTK
2 limK→P
[‖A− A(K)‖] = 0
3 limK→P
[ang(A,A(K))] = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da truncada
1 Segue da definicao de matriz truncada que, paraK < rank(A) ≤ P = min(I , J),
A = UKΣKVTK
= σ1u1vT1 + σ2u2vT2 + ...+ σKuKvTK + ...+ σPuPvTP≈ σ1u1vT1 + σ2u2vT2 + ...+ σKuKvTK
2 limK→P
[‖A− A(K)‖] = 0
3 limK→P
[ang(A,A(K))] = 0
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Usando o MatLab (Truncada de uma Matriz)
Sintaxe:
B = truncada(A,k)
Retorna a forma truncada de ordem k de uma matriz de postor ≥ k .
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Reflexividade
σkukvTk = σk(−uk)(−vTk )
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Parte IV– APLICACOES –
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Aplicacoes da SVD
Atributos da SVD
Simplificacao de dados;
Praticidade no tratamento dos dados;
Ortogonalizacao de espacos;
Aproximacoes;
Maximizacao do desempenho.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Aplicacoes da SVD
Atributos da SVD
Simplificacao de dados;
Praticidade no tratamento dos dados;
Ortogonalizacao de espacos;
Aproximacoes;
Maximizacao do desempenho.
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Aplicacoes da SVD
Atributos da SVD
Simplificacao de dados;
Praticidade no tratamento dos dados;
Ortogonalizacao de espacos;
Aproximacoes;
Maximizacao do desempenho.
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Aplicacoes da SVD
Atributos da SVD
Simplificacao de dados;
Praticidade no tratamento dos dados;
Ortogonalizacao de espacos;
Aproximacoes;
Maximizacao do desempenho.
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Aplicacoes da SVD
Atributos da SVD
Simplificacao de dados;
Praticidade no tratamento dos dados;
Ortogonalizacao de espacos;
Aproximacoes;
Maximizacao do desempenho.
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Aplicacoes da SVD
Atributos da SVD
Simplificacao de dados;
Praticidade no tratamento dos dados;
Ortogonalizacao de espacos;
Aproximacoes;
Maximizacao do desempenho.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Aplicacoes da SVD
Algumas dos metodos mais comum
Analise de Componentes Principais (PCA);
Indexamento Semantico Latente (LSI));
Selecao induzida de hipertextos topicos (HITS);
Analise de Classificacoes, Analise de agrupamentos;
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Aplicacoes da SVD
Algumas dos metodos mais comum
Analise de Componentes Principais (PCA);
Indexamento Semantico Latente (LSI));
Selecao induzida de hipertextos topicos (HITS);
Analise de Classificacoes, Analise de agrupamentos;
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Aplicacoes da SVD
Algumas dos metodos mais comum
Analise de Componentes Principais (PCA);
Indexamento Semantico Latente (LSI));
Selecao induzida de hipertextos topicos (HITS);
Analise de Classificacoes, Analise de agrupamentos;
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Aplicacoes da SVD
Algumas dos metodos mais comum
Analise de Componentes Principais (PCA);
Indexamento Semantico Latente (LSI));
Selecao induzida de hipertextos topicos (HITS);
Analise de Classificacoes, Analise de agrupamentos;
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Aplicacoes da SVD
Aplicacoes apresentadas aqui
Indexamento Semantico Latente (LSI);
Compressao de Imagens;
Algoritmo SignFlip;
Analise de Dados Espectrais;
Analise de Componentes Principais (PCA);
Eigenfaces.
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Aplicacoes da SVD
Aplicacoes apresentadas aqui
Indexamento Semantico Latente (LSI);
Compressao de Imagens;
Algoritmo SignFlip;
Analise de Dados Espectrais;
Analise de Componentes Principais (PCA);
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Aplicacoes da SVD
Aplicacoes apresentadas aqui
Indexamento Semantico Latente (LSI);
Compressao de Imagens;
Algoritmo SignFlip;
Analise de Dados Espectrais;
Analise de Componentes Principais (PCA);
Eigenfaces.
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Aplicacoes da SVD
Aplicacoes apresentadas aqui
Indexamento Semantico Latente (LSI);
Compressao de Imagens;
Algoritmo SignFlip;
Analise de Dados Espectrais;
Analise de Componentes Principais (PCA);
Eigenfaces.
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Aplicacoes da SVD
Aplicacoes apresentadas aqui
Indexamento Semantico Latente (LSI);
Compressao de Imagens;
Algoritmo SignFlip;
Analise de Dados Espectrais;
Analise de Componentes Principais (PCA);
Eigenfaces.
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Aplicacoes da SVD
Aplicacoes apresentadas aqui
Indexamento Semantico Latente (LSI);
Compressao de Imagens;
Algoritmo SignFlip;
Analise de Dados Espectrais;
Analise de Componentes Principais (PCA);
Eigenfaces.
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Parte IV– APLICACOES –
Aplicacao 1Indexamento Semantico Latente (LSI)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Indexamento Semantico Latente (LSI)
Metodo de Busca
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz de frequencia das palavras-chave(previamente definidas). [A]
3 Normalizar a matriz. [Q]
4 Ler palavras-chave (com base nas palavras-chave dos aquivosda base de dados).
5 Formar um vetor de busca. [v]
6 Normalizar o vetor de busca. [x]
7 Calcular o vetor de correlacao. [y = QTx]
8 O arquivo que melhor se ajusta ao criterio de busca e aquelecorrepondente ao yi mais proximo de 1.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Metodo de Busca
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz de frequencia das palavras-chave(previamente definidas). [A]
3 Normalizar a matriz. [Q]
4 Ler palavras-chave (com base nas palavras-chave dos aquivosda base de dados).
5 Formar um vetor de busca. [v]
6 Normalizar o vetor de busca. [x]
7 Calcular o vetor de correlacao. [y = QTx]
8 O arquivo que melhor se ajusta ao criterio de busca e aquelecorrepondente ao yi mais proximo de 1.
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Metodo de Busca
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz de frequencia das palavras-chave(previamente definidas). [A]
3 Normalizar a matriz. [Q]
4 Ler palavras-chave (com base nas palavras-chave dos aquivosda base de dados).
5 Formar um vetor de busca. [v]
6 Normalizar o vetor de busca. [x]
7 Calcular o vetor de correlacao. [y = QTx]
8 O arquivo que melhor se ajusta ao criterio de busca e aquelecorrepondente ao yi mais proximo de 1.
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Metodo de Busca
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz de frequencia das palavras-chave(previamente definidas). [A]
3 Normalizar a matriz. [Q]
4 Ler palavras-chave (com base nas palavras-chave dos aquivosda base de dados).
5 Formar um vetor de busca. [v]
6 Normalizar o vetor de busca. [x]
7 Calcular o vetor de correlacao. [y = QTx]
8 O arquivo que melhor se ajusta ao criterio de busca e aquelecorrepondente ao yi mais proximo de 1.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Metodo de Busca
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz de frequencia das palavras-chave(previamente definidas). [A]
3 Normalizar a matriz. [Q]
4 Ler palavras-chave (com base nas palavras-chave dos aquivosda base de dados).
5 Formar um vetor de busca. [v]
6 Normalizar o vetor de busca. [x]
7 Calcular o vetor de correlacao. [y = QTx]
8 O arquivo que melhor se ajusta ao criterio de busca e aquelecorrepondente ao yi mais proximo de 1.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Metodo de Busca
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz de frequencia das palavras-chave(previamente definidas). [A]
3 Normalizar a matriz. [Q]
4 Ler palavras-chave (com base nas palavras-chave dos aquivosda base de dados).
5 Formar um vetor de busca. [v]
6 Normalizar o vetor de busca. [x]
7 Calcular o vetor de correlacao. [y = QTx]
8 O arquivo que melhor se ajusta ao criterio de busca e aquelecorrepondente ao yi mais proximo de 1.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Metodo de Busca
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz de frequencia das palavras-chave(previamente definidas). [A]
3 Normalizar a matriz. [Q]
4 Ler palavras-chave (com base nas palavras-chave dos aquivosda base de dados).
5 Formar um vetor de busca. [v]
6 Normalizar o vetor de busca. [x]
7 Calcular o vetor de correlacao. [y = QTx]
8 O arquivo que melhor se ajusta ao criterio de busca e aquelecorrepondente ao yi mais proximo de 1.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Metodo de Busca
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz de frequencia das palavras-chave(previamente definidas). [A]
3 Normalizar a matriz. [Q]
4 Ler palavras-chave (com base nas palavras-chave dos aquivosda base de dados).
5 Formar um vetor de busca. [v]
6 Normalizar o vetor de busca. [x]
7 Calcular o vetor de correlacao. [y = QTx]
8 O arquivo que melhor se ajusta ao criterio de busca e aquelecorrepondente ao yi mais proximo de 1.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Frequencia das Palavras-Chave
ModulosPalavras-chave M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8
determinante 0 6 3 0 1 0 1 1autovalores 0 0 0 0 0 5 3 2linear 5 4 4 5 4 0 3 3matrizes 6 5 3 3 4 4 3 2numerico 0 0 0 0 3 0 4 3ortogonalidade 0 0 0 0 4 6 0 2espacos 0 0 5 2 3 3 0 1sistemas 5 3 3 2 4 2 1 1transformacoes 0 0 0 5 1 3 1 0vetor 0 4 4 3 4 1 0 3
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Matriz de Frequencia das Palavras-Chave
A =
0 6 3 0 1 0 1 10 0 0 0 0 5 3 25 4 4 5 4 0 3 36 5 3 3 4 4 3 20 0 0 0 3 0 4 30 0 0 0 4 6 0 20 0 5 2 3 3 0 15 3 3 2 4 2 1 10 0 0 5 1 3 1 00 4 4 3 4 1 0 3
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Matriz de Frequencia das Palavras-ChaveNormalizada
Q =
0, 00 0, 59 0, 33 0, 00 0, 10 0, 00 0, 15 0, 150, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 50 0, 44 0, 310, 54 0, 40 0, 44 0, 57 0, 40 0, 00 0, 44 0, 460, 65 0, 50 0, 33 0, 34 0, 40 0, 40 0, 44 0, 310, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 30 0, 00 0, 60 0, 460, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 40 0, 60 0, 00 0, 310, 00 0, 00 0, 55 0, 23 0, 30 0, 30 0, 00 0, 155, 00 0, 30 0, 33 0, 23 0, 40 0, 20 0, 15 0, 150, 00 0, 00 0, 00 0, 57 0, 10 0, 30 0, 15 0, 000, 00 0, 40 0, 44 0, 34 0, 40 0, 10 0, 00 0, 46
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Indexamento Semantico Latente (LSI)
Ler Palvras-Chave; Formar um Vetor de Busca;Normalizar o Vetor de Busca
Palavras-chaves: ortogonalidade; espacos; vetor.
a =
0000011001
⇒ x =
a
‖a‖⇒ x =
0.000.000.000.000.000.580.580.000.000.58
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Indexamento Semantico Latente (LSI)
Calcular o Vetor de Correlacao
y = QTx
⇒ yi = qTi x = cos(θ)i
⇒ y =[
0.00 0.23 0.57 0.33 0.64 0.58 0.00 0.54]T
Conclusao
O modulo 5 e o que melhor se ajusta ao nosso criterio de busca.
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Calcular o Vetor de Correlacao
y = QTx
⇒ yi = qTi x = cos(θ)i
⇒ y =[
0.00 0.23 0.57 0.33 0.64 0.58 0.00 0.54]T
Conclusao
O modulo 5 e o que melhor se ajusta ao nosso criterio de busca.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Indexamento Semantico Latente (LSI)
Aproximando a Base de Dados
Devido a problemas de polissemia e sinonımia, nosso metodode busca nao e perfeito.
Suponha que fosse possıvel corrigir esse problemas e chegar auma matriz de dados perfeita P.
Podemos pensar em E = Q− P como uma matriz querepresenta o erro da aproximacao.
Encotremos uma aproximacao de Q mais simples, Q1 (composto menor). Q1 sera a truncada de Q de ordem k.
Veja que pode acontecer de ‖E1‖ ser menor que ‖E‖.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Aproximando a Base de Dados
Devido a problemas de polissemia e sinonımia, nosso metodode busca nao e perfeito.
Suponha que fosse possıvel corrigir esse problemas e chegar auma matriz de dados perfeita P.
Podemos pensar em E = Q− P como uma matriz querepresenta o erro da aproximacao.
Encotremos uma aproximacao de Q mais simples, Q1 (composto menor). Q1 sera a truncada de Q de ordem k.
Veja que pode acontecer de ‖E1‖ ser menor que ‖E‖.
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Aproximando a Base de Dados
Devido a problemas de polissemia e sinonımia, nosso metodode busca nao e perfeito.
Suponha que fosse possıvel corrigir esse problemas e chegar auma matriz de dados perfeita P.
Podemos pensar em E = Q− P como uma matriz querepresenta o erro da aproximacao.
Encotremos uma aproximacao de Q mais simples, Q1 (composto menor). Q1 sera a truncada de Q de ordem k.
Veja que pode acontecer de ‖E1‖ ser menor que ‖E‖.
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Aproximando a Base de Dados
Devido a problemas de polissemia e sinonımia, nosso metodode busca nao e perfeito.
Suponha que fosse possıvel corrigir esse problemas e chegar auma matriz de dados perfeita P.
Podemos pensar em E = Q− P como uma matriz querepresenta o erro da aproximacao.
Encotremos uma aproximacao de Q mais simples, Q1 (composto menor). Q1 sera a truncada de Q de ordem k.
Veja que pode acontecer de ‖E1‖ ser menor que ‖E‖.
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Aproximando a Base de Dados
Devido a problemas de polissemia e sinonımia, nosso metodode busca nao e perfeito.
Suponha que fosse possıvel corrigir esse problemas e chegar auma matriz de dados perfeita P.
Podemos pensar em E = Q− P como uma matriz querepresenta o erro da aproximacao.
Encotremos uma aproximacao de Q mais simples, Q1 (composto menor). Q1 sera a truncada de Q de ordem k.
Veja que pode acontecer de ‖E1‖ ser menor que ‖E‖.
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Aproximando a Base de Dados
Devido a problemas de polissemia e sinonımia, nosso metodode busca nao e perfeito.
Suponha que fosse possıvel corrigir esse problemas e chegar auma matriz de dados perfeita P.
Podemos pensar em E = Q− P como uma matriz querepresenta o erro da aproximacao.
Encotremos uma aproximacao de Q mais simples, Q1 (composto menor). Q1 sera a truncada de Q de ordem k.
Veja que pode acontecer de ‖E1‖ ser menor que ‖E‖.
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Aproximando a Base de Dados
A multiplicacao QTx requer um total de mn multiplicacoes deescalares.
Se r ≤ min(m, n)/2, a multiplicacao Q1 = V1Σ1UT1 e a
multiplicacao QT1 x requerem juntas um total de r(m + n + 1)
multiplicacoes de escalares.
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Indexamento Semantico Latente (LSI)
Aproximando a Base de Dados
A multiplicacao QTx requer um total de mn multiplicacoes deescalares.
Se r ≤ min(m, n)/2, a multiplicacao Q1 = V1Σ1UT1 e a
multiplicacao QT1 x requerem juntas um total de r(m + n + 1)
multiplicacoes de escalares.
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Aproximando a Base de Dados
A multiplicacao QTx requer um total de mn multiplicacoes deescalares.
Se r ≤ min(m, n)/2, a multiplicacao Q1 = V1Σ1UT1 e a
multiplicacao QT1 x requerem juntas um total de r(m + n + 1)
multiplicacoes de escalares.
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Parte IV– APLICACOES –
Aplicacao 2Compressao de Imagens
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Compressao de Imagens
Usando o MatLab (Compressao de Imagens)
Rotina:
1 Carregar imagem.
2 Transforma a imagem numa matriz.
3 Calcular a forma truncada de ordem k por meio da SVD.
4 Transforma a matriz numa imagem.
5 Exibir a imagem.
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Compressao de Imagens
Usando o MatLab (Compressao de Imagens)
Rotina:
1 Carregar imagem.
2 Transforma a imagem numa matriz.
3 Calcular a forma truncada de ordem k por meio da SVD.
4 Transforma a matriz numa imagem.
5 Exibir a imagem.
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Compressao de Imagens
Usando o MatLab (Compressao de Imagens)
Rotina:
1 Carregar imagem.
2 Transforma a imagem numa matriz.
3 Calcular a forma truncada de ordem k por meio da SVD.
4 Transforma a matriz numa imagem.
5 Exibir a imagem.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Compressao de Imagens
Usando o MatLab (Compressao de Imagens)
Rotina:
1 Carregar imagem.
2 Transforma a imagem numa matriz.
3 Calcular a forma truncada de ordem k por meio da SVD.
4 Transforma a matriz numa imagem.
5 Exibir a imagem.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Compressao de Imagens
Usando o MatLab (Compressao de Imagens)
Rotina:
1 Carregar imagem.
2 Transforma a imagem numa matriz.
3 Calcular a forma truncada de ordem k por meio da SVD.
4 Transforma a matriz numa imagem.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Parte IV– APLICACOES –
Aplicacao 3Ambiguidade no sinal da SVD
Algoritmo SignFlip
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Essencia do Metodo
Idealizacao
Matematicamente, nao ha maneira de evitar a ambiguidadedo sinal de um termo multiplicativo, como o par de vetoressingulares.
A fim de identificar o sinal de um vetor singular, sugere-se queseja semelhante ao sinal da maioria dos vetores que estarepresentando.
Geometricamente, ele deve apontar na mesma direcao, e naona direcao oposta dos pontos que estao representando.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Essencia do Metodo
Idealizacao
Matematicamente, nao ha maneira de evitar a ambiguidadedo sinal de um termo multiplicativo, como o par de vetoressingulares.
A fim de identificar o sinal de um vetor singular, sugere-se queseja semelhante ao sinal da maioria dos vetores que estarepresentando.
Geometricamente, ele deve apontar na mesma direcao, e naona direcao oposta dos pontos que estao representando.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Essencia do Metodo
Idealizacao
Matematicamente, nao ha maneira de evitar a ambiguidadedo sinal de um termo multiplicativo, como o par de vetoressingulares.
A fim de identificar o sinal de um vetor singular, sugere-se queseja semelhante ao sinal da maioria dos vetores que estarepresentando.
Geometricamente, ele deve apontar na mesma direcao, e naona direcao oposta dos pontos que estao representando.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Exemplo
Quatro exemplos de matrizes 10×2 aleatorias
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Exemplo
Exemplo de uma matriz de dados
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Funcao SignFlip
Entradas:
X ∈ RI×J e sua (possivelmente truncadas) decomposicao emvalores singulares (U,V,Σ).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Funcao SignFlip
1º passo
Para cada vetor singular a esquerda, k = 1, 2, ...,K e para yj sendoa j-esima coluna de Y
Y = X−K∑
m=1,m 6=k
σmumvTm
Seja sesquerdok =J∑
j=1
sign(uTk yj)(uT
k yj)2
fim do para
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Funcao SignFlip
2º passo
Para cada vetor singular a direita, k = 1, 2, ...,K e para yi sendo ai-esima linha transposta de Y
Y = X−K∑
m=1,m 6=k
σmumvTm
Seja sdireitok =I∑
i=1
sign(vTk yi )(vTk yi )2
fim do para
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Funcao SignFlip
3º passo
Para cada vetor singular, k = 1, 2, ...,K
se (sesquerdok )(sdireitok ) < 0, entao
se (sesquerdok ) < (sdireitok ), entao
sesquerdok = −sesquerdokse nao,
sdireitok = −sdireitok
fim do sefim do se
(...)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Funcao SignFlip
3º passo (continuacao)
Para cada vetor singular, k = 1, 2, ...,K(...)
uk = sign(sesquerdok )uk
vk = sign(sdireitok )vk
fim do para
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Funcao SignFlip
Saıdas:
u e v( vetores singulares a esquerda e a direita com sinaisapropriados).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Parte IV– APLICACOES –
Aplicacao 4Exemplos de uso da convencao de sinais:
Dados Espectrais
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
O efeito da sinalizacao ambıgua em DadosEspectrais
Dados espectrais
Um exemplo para a ilustracao da ambiguidade no sinal da SVD e aanalise de Dados Espectrais.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
O efeito da sinalizacao ambıgua em DadosEspectrais
Dados espectrais
Figura: Sesenta e uma emisoes de espectros fluorescentes201-dimensionais.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
O efeito da sinalizacao ambıgua em DadosEspectrais
Dados espectrais
Figura: Bootstrapped dos tres primeiros vetores singulares direitos apartir da Figura 6 antes (superior) e depois (inferior) da correcao do sinal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Parte IV– APLICACOES –
Aplicacao 5Analise de Componentes Principais (PCA)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Metodologia
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz correpondente a base de dados. [A]
3 Calcular a matriz dos desvios medio. [X]
4 Computar a matriz de covariancia. [S = XT Xn−1 ]
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Metodologia
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz correpondente a base de dados. [A]
3 Calcular a matriz dos desvios medio. [X]
4 Computar a matriz de covariancia. [S = XT Xn−1 ]
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Metodologia
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz correpondente a base de dados. [A]
3 Calcular a matriz dos desvios medio. [X]
4 Computar a matriz de covariancia. [S = XT Xn−1 ]
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Metodologia
Rotina:
1 Carregar base de dados.
2 Montar a matriz correpondente a base de dados. [A]
3 Calcular a matriz dos desvios medio. [X]
4 Computar a matriz de covariancia. [S = XT Xn−1 ]
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Notas da turma de matematica da Universidade deMassachusetts Dartmouth
Graus——————————————————-
Aluno Trabalhos Provas Parciais Prova Final
S1 198 200 196S2 160 165 165S3 158 158 133S4 150 165 91S5 175 182 151S6 134 165 101S7 152 136 80
Media 161 163 131
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Matriz dos desvios
X =
37 37 65−1 2 34−3 −5 2−11 2 −4014 19 20−27 −28 −30−9 −27 −51
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Normalizando os desvios
u1 =x1‖x1‖
; u2 =x2‖x2‖
e u3 =x3‖x3‖
Matriz dos desvios normalizada
U =
0, 74 0, 65 0, 62−0, 02 0, 03 0, 33−0, 06 −0, 09 0, 02−0, 22 0, 03 −0, 380, 28 0, 33 0, 19−0, 54 −0, 49 −0, 29−0, 18 −0, 47 −0, 49
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Normalizando os desvios
u1 =x1‖x1‖
; u2 =x2‖x2‖
e u3 =x3‖x3‖
Matriz dos desvios normalizada
U =
0, 74 0, 65 0, 62−0, 02 0, 03 0, 33−0, 06 −0, 09 0, 02−0, 22 0, 03 −0, 380, 28 0, 33 0, 19−0, 54 −0, 49 −0, 29−0, 18 −0, 47 −0, 49
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Relacao angular entre os vetores
cos(θ) =xT1 x2
‖x1‖ ‖x2‖≈ 0, 92
Matriz de correlacao
C = UTU =
1 0, 92 0, 830, 92 1 0, 830, 83 0, 83 1
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Relacao angular entre os vetores
cos(θ) =xT1 x2
‖x1‖ ‖x2‖≈ 0, 92
Matriz de correlacao
C = UTU =
1 0, 92 0, 830, 92 1 0, 830, 83 0, 83 1
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Variancia
s2 =1
n − 1
n∑i=1
x2i =
xTx
n − 1
Covariancia
cov(X1,X2) =xT1 x2n − 1
Matriz de covariancia
S =XTX
n − 1
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Variancia
s2 =1
n − 1
n∑i=1
x2i =
xTx
n − 1
Covariancia
cov(X1,X2) =xT1 x2n − 1
Matriz de covariancia
S =XTX
n − 1
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Variancia
s2 =1
n − 1
n∑i=1
x2i =
xTx
n − 1
Covariancia
cov(X1,X2) =xT1 x2n − 1
Matriz de covariancia
S =XTX
n − 1
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Matriz de covariancia
S =1
6
37 −1 −3 −11 14 −27 −937 2 −5 2 19 −28 −2765 34 2 −40 20 −30 −51
37 37 65−1 2 34−3 −5 2−11 2 −4014 19 20−27 −28 −30−9 −27 −51
=
417, 7 437, 5 725, 7437, 5 546, 0 830, 0725, 7 830, 0 1814, 3
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Problema das componentes principais
Queremos, portanto, fatorar a matriz de dados X (m× n, onde n eo numero de fatores hipoteticos - testes) da seguinte forma
X = UW
onde U e a matriz das componentes principais normalizadas e W ea matriz que mede em que extensao cada teste depende dosfatores hipoteticos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Problema das componentes principais
Em geral, a SVD resolve a PCA. Se X tem posto r e sua SVD,X = UΣV (truncada), entao os vetores componente principais saodados por
y1 = σ1u1, ..., yr = σrur
Os vetore a esquerda u1, ...,un sao os vetores componentesprincipais normalizados. Se fizermos W = ΣVT , entao
X = UW
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Parte IV– APLICACOES –
Aplicacao 6Eigenfaces
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Eigenfaces
Eigenfaces
Um exemplo para a ilustracao da ambiguidade no sinal da SVD eda PCA e uma tecnica bem conhecida chamada Eigenfaces, muitasvezes usado no reconhecimento de faces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (2ª Parte - Computar o Eigenspace)
1 Calcular os autovetores da matriz de covariancia C = ∆∆T ,(M ×M): (INVIAVEL!)
2 Calcular os autovetores da matriz L = ∆T∆, (n × n).
eig(∆T∆) = svd(∆T∆) = VΣTΣVT
Portanto, V e a matriz dos autovetores de L.
3 Computar o Eigenspace: U = EV, onde E = [e1, ..., en].
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (2ª Parte - Computar o Eigenspace)
1 Calcular os autovetores da matriz de covariancia C = ∆∆T ,(M ×M): (INVIAVEL!)
2 Calcular os autovetores da matriz L = ∆T∆, (n × n).
eig(∆T∆) = svd(∆T∆) = VΣTΣVT
Portanto, V e a matriz dos autovetores de L.
3 Computar o Eigenspace: U = EV, onde E = [e1, ..., en].
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (2ª Parte - Computar o Eigenspace)
1 Calcular os autovetores da matriz de covariancia C = ∆∆T ,(M ×M): (INVIAVEL!)
2 Calcular os autovetores da matriz L = ∆T∆, (n × n).
eig(∆T∆) = svd(∆T∆) = VΣTΣVT
Portanto, V e a matriz dos autovetores de L.
3 Computar o Eigenspace: U = EV, onde E = [e1, ..., en].
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (3ª Parte - Comparando as Projecoes)
1 Projetar a face-teste (z) no Eigenspace: w = UT (z− µ)
2 Projetar os vetores-faces (ei ) no Eigenspace: yi = UT (ei − µ)
Y = UT∆
3 Calcular a distancia entre a face-teste projetada (w) e osvetores-faces proetados (yi ):
disti = ‖yi −w‖
4 Pegar o vetor-face projetado menos distante da face-testeprojetada e a sua numeracao (distmin, k).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (3ª Parte - Comparando as Projecoes)
1 Projetar a face-teste (z) no Eigenspace: w = UT (z− µ)
2 Projetar os vetores-faces (ei ) no Eigenspace: yi = UT (ei − µ)
Y = UT∆
3 Calcular a distancia entre a face-teste projetada (w) e osvetores-faces proetados (yi ):
disti = ‖yi −w‖
4 Pegar o vetor-face projetado menos distante da face-testeprojetada e a sua numeracao (distmin, k).
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Rotina: (3ª Parte - Comparando as Projecoes)
1 Projetar a face-teste (z) no Eigenspace: w = UT (z− µ)
2 Projetar os vetores-faces (ei ) no Eigenspace: yi = UT (ei − µ)
Y = UT∆
3 Calcular a distancia entre a face-teste projetada (w) e osvetores-faces proetados (yi ):
disti = ‖yi −w‖
4 Pegar o vetor-face projetado menos distante da face-testeprojetada e a sua numeracao (distmin, k).
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Rotina: (3ª Parte - Comparando as Projecoes)
1 Projetar a face-teste (z) no Eigenspace: w = UT (z− µ)
2 Projetar os vetores-faces (ei ) no Eigenspace: yi = UT (ei − µ)
Y = UT∆
3 Calcular a distancia entre a face-teste projetada (w) e osvetores-faces proetados (yi ):
disti = ‖yi −w‖
4 Pegar o vetor-face projetado menos distante da face-testeprojetada e a sua numeracao (distmin, k).
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Eigenfaces
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Rotina: (4ª Parte - Classificando a Imagem)
1 Assuma um limite tolerancia:
Limite =σi
rank(L)
2 Se distmin > Limite, entao a face-teste nao pertence ao bancode faces e nem ao menos possui uma similar.
3 Se distmin < Limite e distmin 6= 0, entao a face-teste possuiuma similar no banco de faces (a face k).
4 Se distmin < Limite e distmin = 0, entao a face-teste pertenceao banco de faces, sendo k a sua numeracao.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (4ª Parte - Classificando a Imagem)
1 Assuma um limite tolerancia:
Limite =σi
rank(L)
2 Se distmin > Limite, entao a face-teste nao pertence ao bancode faces e nem ao menos possui uma similar.
3 Se distmin < Limite e distmin 6= 0, entao a face-teste possuiuma similar no banco de faces (a face k).
4 Se distmin < Limite e distmin = 0, entao a face-teste pertenceao banco de faces, sendo k a sua numeracao.
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Eigenfaces
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Rotina: (4ª Parte - Classificando a Imagem)
1 Assuma um limite tolerancia:
Limite =σi
rank(L)
2 Se distmin > Limite, entao a face-teste nao pertence ao bancode faces e nem ao menos possui uma similar.
3 Se distmin < Limite e distmin 6= 0, entao a face-teste possuiuma similar no banco de faces (a face k).
4 Se distmin < Limite e distmin = 0, entao a face-teste pertenceao banco de faces, sendo k a sua numeracao.
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Eigenfaces
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Rotina: (4ª Parte - Classificando a Imagem)
1 Assuma um limite tolerancia:
Limite =σi
rank(L)
2 Se distmin > Limite, entao a face-teste nao pertence ao bancode faces e nem ao menos possui uma similar.
3 Se distmin < Limite e distmin 6= 0, entao a face-teste possuiuma similar no banco de faces (a face k).
4 Se distmin < Limite e distmin = 0, entao a face-teste pertenceao banco de faces, sendo k a sua numeracao.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
O efeito da sinalizacao ambıgua em Eigenfaces
Eigenfaces
Figura: Eigenfaces correspondentes aos tres primeiros vetores singularesobtidos em execucoes diferentes do metodo ’svd’ em MATLAB, quando200 de 265 imagens sao aleatoriamente amostradas em cada execucao.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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O efeito da sinalizacao ambıgua em Eigenfaces
Eigenfaces
Figura: Eigenfaces correspondentes aos tres primeiros vetores singularesobtidos de forma consistente em execucoes diferentes com a funcaoSignFlip quando 200 de 265 imagens sao aleatoriamente amostradas emcada execucao.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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E tudo termina com muitas ideias.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Lista de funcoes usadas no MatLab
inv (inversa)
menor (menor de uma matriz)
det (determinante)
interno (porduto interno matricial e vetorial canonico)
norm (norma)
cos (cosseno)
eigshow (eigen-singular show)
eig (autovalores e autovetores)
sym (manipulacao simbolica)
poly (polinomio caracterıstico)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Lista de funcoes usadas no MatLab
factor (fatorizacao)
schur (decomposicao de Schur)
hess (decomposicao de Hessenberg)
svd (decomposicao em valores singulares completa)
svds (decomposicao em valores singulares parcial)
rank (rank de uma matriz)
truncada (truncada de uma matriz)
pinv (pseudo-inversa de uma matriz)
signflip (funcao signflip)
svdimagens (rotina de compressoes de imagens)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Referencias
Banco de faces
Pode-se encontrar o banco de faces usado a aplicacao Eigenface noseguinte site:http://www.cl.cam.ac.uk/research/dtg/attarchive/facedatabase.html
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Referencias
1 Linear Algebra; Kenneth Hoffman & Ray Kunze; editoraPrentice Hall, 2ªed.
2 Algebra Linear com aplicacoes; Steven J. Leon; editora LTC,8ªed.
3 Singular value decomposition, eigenfaces, and 3Dreconstructions; Muller, N., Magaia, L. and Herbst B. M;SIAM Review, Vol. 46 Issue 3, pp. 518–545. Dec. 2004.
4 On the early history of the singular value decomposition; G.W. Stewart; IMA Preprint Series nº952, abril de 1992.
5 Singular Value Decomposition Tutorial; Kirk Baker; March 29,2005; http://www.cs.wits.ac.za/ michael/SVDTut.pdf
6 Resolvign the sign ambiguity in the singular valuedecomposition; R. Broa, E. Acar e Tamara G. Kolda; J.Chemometrics 2008, 22, 135-140.
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