Sincronización Eficiente en Energía en Redes de Sensores...

Tesis doctoral

Sincronización Eficiente en Energíaen Redes de Sensores Inalámbricos

Autor

ING. PABLO ARIEL BRIFF

Directores de tesis

Dr. Ing. Fabian Luis Vargas - PUCRS

Dr. Ing. Ariel Lutenberg - FIUBA

Jurado de tesis

Dra. Ing. Cecilia Galarza - FIUBA

Dr. Ing. Jorge Finochietto - UNC

Dr. Ing. Jorge Castiñeira Moreira - UNMdP

Ing. Carlos Belaustegui Goitia - FIUBA

Lugar de trabajo

LSE, Departamento de Electrónica, FIUBA

FACULTAD DE INGENIERÍA

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

23 de Octubre de 2015, Buenos Aires, Argentina

No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje,

ni la posesión del mismo, sino el trayecto recorrido hasta obtenerlo,

lo que proporciona la mayor satisfacción.

Carl Friedrich Gauss

i

Agradecimientos

Esta tesis es el fruto de varios años de trabajo durante los cuales he recibido la

ayuda y colaboración de varias personas, a las cuales quisiera agradecer a continua-

ción.

Quisiera empezar por mis directores de tesis y equipo de trabajo. Estoy profun-

damente agradecido a mi director de tesis, el Dr. Fabian Vargas. Desde el primer día

recibí su apoyo y la libertad que se requiere para llevar adelante una investigación.

El Dr. Vargas posee una visión admirable para encarar problemas y proponer solu-

ciones acertadas, al tiempo que es capaz de crear un entorno de trabajo productivo

y alineado a los objetivos de la investigación. Además, el Dr. Vargas siempre deposi-

tó su con�anza en mis soluciones propuestas, realizando críticas constructivas para

encaminarme hacia el objetivo en tiempo y forma.

En segundo lugar, quisiera agradecerle a mi co-director de tesis, el Dr. Ariel

Lutenberg, por haber sido quien me ayudó a dar el puntapié inicial en este trabajo.

El Dr. Lutenberg tiene una habilidad natural para formar y coordinar grupos de

trabajo, sin mencionar que siempre estuvo disponible para contestar mis consultas

técnicas y administrativas, así como también ha sido muy puntilloso a la hora de

revisar las soluciones propuestas a las problemáticas estudiadas a lo largo de la

investigación.

A continuación, quisiera agradecer a tres personas que han sido un complemento

fundamental a lo largo de las diferentes etapas de la elaboración del trabajo.

iii

iv

Desde el primer día, el Dr. Leonardo Rey Vega supo aconsejarme y corregir los

errores en mis desarrollos. Sin su ayuda, mis propuestas no habrían tenido la rigu-

rosidad matemática que merecen, y sus acertadas críticas constructivas han forjado

las bases matemáticas de la investigación. Creo que el Dr. Rey Vega es un profesor

e investigador admirable y me siento muy afortunado de haber recibido su guía.

Además, he recibido la invaluable asistencia del Dr. Mohammad Patwary de la

Universidad de Sta�ordshire, Reino Unido, a quien conocí en el año 2013. Desde

entonces, el Dr. Patwary se integró a nuestro grupo de trabajo de manera muy

natural, dedicando una enorme cantidad de horas de su tiempo para enseñarme a

ser amable con el lector a la hora de escribir un artículo.

Quiero agradecer también al Dr. Rolando Carrasco de la Universidad de New-

castle, Reino Unido, a quien conocí en el año 2014. El Dr. Carrasco muy amablemente

dedicó su tiempo a leer el primer borrador de la tesis y con su amplia experiencia

realizó críticas constructivas acerca de la presentación �nal del trabajo.

También agradezco al esfuerzo y la dedicación de la Comisión de Seguimiento,

integrada por el Dr. Jorge Finochietto y el Ing. Carlos Belaustegui Goitia, quienes

se encargaron de mantener los estándares de calidad esperados en una tesis doctoral,

así como también a Verónica Marchat de SECID, FIUBA, por el valioso soporte

administrativo brindado desde el inicio de la investigación.

Adicionalmente, quisiera expresar mi gratitud a la Dra. Cecilia Galarza, al Dr.

Jorge Castiñeira Moreira, al Dr. Jorge Finochietto y al Ing. Carlos Belaustegui Goitia

por haber aceptado ser parte del elenco del jurado de la tesis, dedicando horas de su

tiempo y esfuerzo en revisar este trabajo.

También quisiera destacar a la Dra. Graciela González y al Dr. Aníbal Zanini,

ambos de FIUBA, cuyos cursos reforzaron las bases matemáticas de esta investiga-

ción.

Quiero agradecer a mis amigos Cristian Di Pietrantonio, Martín Penalba, Andrés

Brumovsky, Gustavo Bongiovanni, Guido Jajamovich, Pablo Gómez, Andrés Lawler,

Matías Capeletto, Ariel Lutenberg, Leandro Vacirca, Emanuel González, Nicolás Ro-

mero, Roy Bierregaard, Hernán Kavaliauskas, Esteban Canepa y Mariano Sternheim

por siempre brindarme su afecto (y paciencia).

Desde ya conté desde el inicio con el apoyo de mi madre Zulma, mi tío Héctor,

mi abuela Zulema y mi hermana Romina, quienes siempre están conmigo incondi-

cionalmente en todos mis emprendimientos.

Por último, pero no por eso menos importante, nada de esto habría ocurrido sin

el apoyo, la ayuda y la paciencia de mi esposa, Jesica. Simplemente gracias por estar

conmigo en todas.

v

Sincronización E�ciente en Energía en Redes de Sensores

Inalámbricos

Resumen

Las Redes de Sensores Inalámbricos han atraído gran atención en el mundo aca-

démico e industrial en los últimos 10 años debido a su uso en diversas aplicaciones de

sensado, y control, ya sea en el ámbito doméstico, industrial o militar. Una red de sen-

sores inalámbricos, más comúnmente denominada por su nombre en inglés Wireless

Sensor Network (WSN), presenta desafíos complejos que deben ser inevitablemente

abordados para lograr su adecuado funcionamiento. Entre ellos se encuentran el ma-

nejo de la energía, la sincronización de los nodos, la �abilidad, la prevención de fallas,

y las técnicas de procesamiento de la información. Esta tesis aborda estos problemas

desde un punto de vista analítico, analizando los diferentes escenarios mediante he-

rramientas matemáticas y proponiendo soluciones de relación de compromiso para

que el diseñador de una WSN pueda tomar las decisiones adecuadas para la cumplir

con los requisitos su aplicación.

Además se realizan contribuciones en la temática de sincronización de WSN y

su relación con el consumo de la energía de los nodos, siendo éste último un pro-

blema fundamental a la hora del diseño de una WSN. Se analizan casos donde el

canal inalámbrico sufre desvanecimiento de gran escala, de pequeña escala, con o sin

correlación, y con diversas tipos de perturbaciones de datos de origen. Usando la co-

ta de Cramer-Rao, se encuentran relaciones de compromiso óptimas que relacionan

el error de estimación de relojes de los nodos con la energía empleada para lograr

la sincronización en los distintos escenarios de análisis, generalizando las soluciones

mediante un problema de optimización de Lagrange.

Adicionalmente, se proponen técnicas de control de energía mediante herramien-

tas de estimación paramétrica de manera de prevenir una falla en la red a través

de la recon�guración dinámica de la misma cuando se estima que los nodos están

alcanzando el �n de su vida útil.

Por último, se propone un algoritmo de sincronización aplicado a una red dividi-

da en clusters que engloba los conceptos antedichos, en donde se resuelve el proble-

ma energético modelando la WSN como un sistema dinámico discreto y aplicando

técnicas de control óptimo. Se demuestra mediante simulaciones que el algoritmo

propuesto logra sincronizar los nodos de la WSN a la vez que logra controlar sus

energías, garantizándose así la sustentabilidad de la aplicación.

vi

Energy-e�cient Synchronization in Wireless Sensor

Networks

Abstract

Wireless Sensor Networks (WSN's) have attracted great attention in the aca-

demic and industrial world in the last 10 years because of its versatility and high

potential for use in various applications in sensing and control, either in the domes-

tic, industrial or military. WSN's present challenging problems that must inevitably

be addressed to achieve the proper functioning of the same. These include power

management, synchronization of the nodes, and data processing techniques. This

thesis addresses these problems from an analytical point of view, analyzing di�erent

application scenarios, and employing mathematical tools to propose tradeo�s which

can be exploited by the network designer to take adequate measures in order to

comply with the application requirements.

This thesis makes contributions on the �eld of WSN synchronization and its re-

lationship with the energy consumption of the nodes, being the latter a fundamental

problem in the design of a WSN. Cases where the wireless fading channel su�ers

large-scale, small scale, with or without correlation, and various types of disturban-

ces of the source data are analyzed. Using the Cramer-Rao lower bound, optimal

tradeo�s between the estimation accuracy and the energy employed in the synchro-

nization process are proposed for di�erent application scenarios. In addition to this,

a generalization of the solutions is made readily available by solving a Lagrange

optimization problem.

Moreover, power control techniques are studied by means of parametric estima-

tion tools to achieve reliable networks which can prevent a fault by dynamically

recon�guring the network upon detecting that the nodes are reaching the end of

their useful life.

Finally, a synchronization algorithm applied to a network divided into clusters

that includes the aforementioned concepts is proposed, in which the WSN is mode-

lled as a discrete dynamic system to which optimal control techniques are applied.

Simulations show that the proposed algorithm achieves synchronization of the WSN

nodes while controlling their energy, thus ensuring the sustainability of the applica-

tion.

Índice general

1 Prefacio 1

1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Organización de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Estrategia de Revisión Literaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Terminología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6 Publicaciones Generadas por esta Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Introducción 7

2.1 Modelo de Reloj de Nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 El Problema de Sincronización de WSN . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Modelo de Red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Error de Estimación de Reloj . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Demanda Energética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Principales Algoritmos Existentes para Sincronización de WSN 15

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Protocolo RBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Descripción del Enfoque de RBS . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.3 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Protocolo TPSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.2 Descripción del Enfoque de TPSN . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.3 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Protocolo PBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.2 Descripción del Enfoque de PBS . . . . . . . . . . . . . . . . 22

vii

viii

3.4.3 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Tabla comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Modelo Simpli�cado de Sincronización E�ciente en Energía 27

4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Error de Estimación del O�set en Función de la Potencia de Transmisión 28

4.2.1 Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.2 Planteo del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.3 Optimización de Consumo Energético . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.4 Función de Distribución Gaussiana del O�set . . . . . . . . . 30

4.2.5 Relación de Compromiso Energía vs. Error de Estimación de

Clock con Desvanecimiento de Gran Escala . . . . . . . . . . 31

4.2.6 Relación de Compromiso Energía vs. Error de Estimación de

Clock con Desvanecimiento de Pequeña Escala . . . . . . . . 33

4.3 Resultados de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Modelo Extendido de Sincronización E�ciente en Energía 37

5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.1 Múltiples Dominios de Broadcast . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.2 Problema a Resolver: Optimización de Energía . . . . . . . . 40

5.2.3 Funciones de Distribución de Probabilidad del O�set . . . . . 41

5.3 Error de Estimación de O�set con Mensajes Unidireccionales en Fun-

ción de la Potencia de Transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3.1 Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3.2 Desvanecimiento de Gran Escala por Pérdidas de Propagación

y Sombreado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3.3 Desvanecimiento de Pequeña Escala por Multi-camino . . . . 44

5.4 Error de Estimación de O�set con Mensajes Bidireccionales en Fun-


5.4.1 Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


5.4.3 Planteo del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4.4 Efectos de Desvanecimiento de Gran Escala . . . . . . . . . . 47

5.4.5 Efectos de Desvanecimiento de Pequeña Escala . . . . . . . . 47

5.5 Error de Estimación de O�set con Mensajes n-direccionales en Fun-


ix

5.5.1 Efectos de Desvanecimiento de Gran Escala . . . . . . . . . . 48

5.5.2 Efectos de Desvanecimiento de Pequeña Escala . . . . . . . . 48

5.6 Ejemplo de Aplicación al Algoritmo RBS . . . . . . . . . . . . . . . . 49


5.8 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Sincronización de Nodos en Movimiento 57

6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 Sincronización de Nodos en Movimiento con Desvanecimiento de Gran

Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2.2 Estimación de O�set con Mensajes Unidireccionales y Nodos

en Movimiento con Desvanecimiento de Gran Escala . . . . . 58

6.2.3 Resultados de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.3 Sincronización de Nodos en Movimiento con Desvanecimiento de Pe-

queña Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


6.3.3 Error de Estimación del O�set en Función de la Potencia de

Transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.3.4 Resultados de las Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3.5 Aplicación a Diseño de WSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7 Generalización de las Relaciones de Compromiso en Sincronización

de Nodos 71

7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


7.3 Optimización de Energía vs. Error de Estimación a Nivel de Red . . 73

7.4 Ejemplo de Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8 Prevención de Fallas en una WSN 81

8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


8.2.1 Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.2.2 Estimación de la Probabilidad de Outage . . . . . . . . . . . 83

8.3 Tiempo de Vida vs. Potencia de Transmisión de un Nodo . . . . . . 84

x

8.3.1 Modelo de Sistema de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.3.2 Energía y Tiempo de Vida de un Nodo . . . . . . . . . . . . . 85

8.3.3 Disponibilidad de Red vs. Error de Estimación . . . . . . . . 87


8.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9 Algoritmo Propuesto para Sincronización E�ciente en Energía en

WSN 91

9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


9.2.1 Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.2.2 Modelo de Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.3 Algoritmo Propuesto para Sincronización de WSN E�ciente y Estable

en Energía basado en Codi�cación de Red . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.3.1 Descubrimiento y Formación de Red . . . . . . . . . . . . . . 95

9.3.2 Estimación de O�set de Reloj a Nivel de Red . . . . . . . . . 96

9.3.3 Estimación del O�set de Reloj usando Codi�cación de Red . 99

9.3.4 Control Óptimo de Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


9.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10 Conclusiones Generales 119

A Resumen de Herramientas Matemáticas 123

A.1 Ruido AWGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

A.2 Modelo de Grafo de una WSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

A.3 Modelo de Canal Inalámbrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

A.3.1 Modelo de Canal Inalámbrico Simpli�cado . . . . . . . . . . . 124

A.3.2 Canal Inalámbrico con Desvanecimiento de Gran Escala . . . 125

A.3.3 Canal Inalámbrico con Desvanecimiento de Pequeña Escala . 125

A.4 Estimación Paramétrica y Cotas Óptimas . . . . . . . . . . . . . . . 126

A.5 Teorema de la Probabilidad Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

A.6 Problema del Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

A.7 Sistemas Dinámicos y Control Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

A.8 Funciones Matemáticas Accesorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.8.1 Función Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.8.2 Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A.8.3 Norma de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

xi

A.8.4 Función de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A.8.5 Función Q Complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

B Demostraciones Matemáticas 137

B.1 Demostración del Lema (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

B.2 Demostración de Pr (tlt < tmin) en (8.17) . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Índice de �guras

2.1 Grafo de conexión de WSN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Topología de red estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Topología de red malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Topología de red árbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Intercambio de mensajes entre par de nodos. . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Número de mensajes transmitidos y energía consumida vs. potencia

de transmisión para desvanecimiento de gran escala, para diferentes

errores de estimación del o�set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Número de mensajes transmitidos y energía consumida vs. potencia de

transmisión para desvanecimiento de pequeña escala, para diferentes

errores de estimación del o�set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1 Topología de red con múltiples dominios de broadcast que requiere

comunicación multi-hop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Número de mensajes transmitidos y energía de sincronización consu-

mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de gran escala,

y para diferentes errores de estimación del o�set usando mensajes bi-

direccionales, con retardos Gaussianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de gran escala,

y para diferentes errores de estimación del o�set usando mensajes bi-

direccionales, con retardos exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . 51


mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de pequeña

escala, y para diferentes errores de estimación del o�set usando men-

sajes bidireccionales, con retardos Gaussianos. . . . . . . . . . . . . . 52

xiii

xiv


mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de pequeña

escala, y para diferentes errores de estimación del o�set usando men-

sajes bidireccionales, con retardos exponenciales. . . . . . . . . . . . 53

5.6 Mínima energía de sincronización vs. número de saltos para desvane-

cimiento de gran escala, y para diferentes errores de estimación del

o�set, con retardos Gaussianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.7 Mínima energía de sincronización vs. número de saltos para desvane-

cimiento de pequeña escala, y para diferentes errores de estimación

del o�set, con retardos Gaussianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


mida vs. potencia de transmisión para desvanecimiento de gran escala

a distancia constante, y para diferentes errores de estimación del o�set. 60

6.2 Número de mensajes transmitidos vs. potencia de transmisión y dis-

tancia entre nodos para desvanecimiento de gran escala, y para dife-

rentes errores de estimación del o�set. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3 Nodo u2 estimando el o�set del reloj del nodo u1 usando mensajes

unidireccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4 Número de mensajes transmitidos vs. potencia de transmisión y velo-

cidad relativa entre nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5 Energía de sincronización total vs. potencia de transmisión. . . . . . 68

6.6 Comparación de la energía total de sincronización entre [39] y la cota

inferior propuesta en la Sección 6.3, vs. potencia de transmisión. . . 68

7.1 Conexión de nodos vecinos en una red WSN genérica. . . . . . . . . 72

7.2 Error de sincronización óptimo entre el nodo u1 y sus nodos vecinos. 78

7.3 Curvas de nivel de energía de sincronización para el par u1-u3. . . . . 78

8.1 Topología estrella de una red WSN con nodo coordinadores ub y uc,

y cabeza de cluster u1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.2 Problema de estimación modelado como un sistema de control. . . . 84

8.3 Tiempo de vida de un sensor vs. probabilidad de outage, para dife-

rentes tasas de mensajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.4 Setpoint de la probabilidad de outage vs. tasa de mensajes, para di-

ferentes valores de la disponibilidad de red. . . . . . . . . . . . . . . 89

8.5 Error de estimación vs. disponibilidad de red, para diferentes tasas de

mensajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

xv

9.1 Sección de WSN compuesta por diez nodos. . . . . . . . . . . . . . . 94

9.2 Process de descubrimiento de red para el nodo u3. . . . . . . . . . . 96

9.3 WSN clusterizada luego de completarse el proceso de formación de red. 98

9.4 El nodo u1 envía un mensaje de broadcast con su reloj a todos los

nodos en el cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.5 Topología de mariposa para codi�cación de red [71]. . . . . . . . . . 102

9.6 El nodo u2 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en

su cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


su cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


su cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


su cluster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.10 El nodo u2 envía un mensaje de broadcast con la medición de su reloj

a todos los nodos en su cluster, pero el nodo u4 no recibe el mensaje. 104

9.11 Estimaciones producidas por u1 relativas a los o�sets de los nodos

u2 ∼ u5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.12 Estimaciones producidas por u1 relativas a las probabilidades de ou-

tage entre él mismo y los nodos u2 ∼ u5. . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.13 Comandos óptimos emitidos por el nodo u1 para los nodos u2 ∼ u5. . 115

9.14 Desviación de energía respecto del setpoint (normalizadas) para el

nodo u2 cuando es controlado por el nodo u1, superpuesta al promedio

de desviaciones de energía para los nodos u2 ∼ u5. . . . . . . . . . . 115

9.15 Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodo

u2 cuando es controlado por el nodo u1. . . . . . . . . . . . . . . . . 116







A.1 Funciones de Bessel de primera especie. . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Listado de Acrónimos

ACK Acknowledgement

AWGN Additive White Gaussian Noise

CRLB Cramer-Rao Lower Bound

FDP Función de Densidad de Probabilidad

FTSP Flooding Time Synchronization Protocol

i.i.d. Independientes e Idénticamente Distribuidas

ID Número de Identi�cación

IoT Internet of Things

ISI Inter-Symbol Interference

KKT Karush-Kuhn-Tucker

LQR Linear Quadratic Regulator

MAC Medium Access Control

MVUE Minimum Variance Unbiased Estimator

NTP Network Time Protocol

OSI Open System Interconnection

PAN Personal Area Network

PBS Pairwise Broadcast Synchronization

RBS Reference Broadcast Synchronization

ROS Receiver-Only Synchronization

xvii

xviii

RSSI Received Signal Strength Indicator

RTSP Recursive Time Synchronization Protocol

SINR Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio

SNR Signal-to-Noise Ratio

TDMA Time Division Multiple Access

TFI Teorema de la Función Implícita

TPSN Timing-sync Protocol for Sensor Networks

WSN Wireless Sensor Network

Listado de Símbolos

α Disponibilidad de la red

Xe Media de Xe

C Matriz de correlación de X e Y

X Conjunto de m elementos de Xi

Y Conjunto de m elementos de Yi

P kRTSij Idem P kij→ji

δ Retardo de sincronización total

δmin Mínimo retardo de sincronización

εi dεi/dt

ei dei/dt

ε Error de estimación de o�set de reloj

ε′ij dεij/dS

εi(t) Error incurrido por el nodo ui al interpretar el tiempo t con su reloj interno

ci(t)

εij Error de estimación incurrido por el nodo uj cuando estima el o�set de ui

εq Error de estimación de o�set objetivo del cluster Cq

εijopt Error de estimación óptimo para el enlace entre los nodos ui y uj

γ Exponente de pérdidas de camino

γ0 Mínima relación señal a ruido aceptable por el receptor

γs Relación señal a ruido en el nodo receptor

xix

xx

γ0j Sensibilidad del receptor del nodo uj

θij Estimación del o�set de reloj entre los nodos ui y uj

θij(tk)|uj Estimación del o�set de reloj relativo entre los nodos ui y uj producida

en el nodo ul en el instante tk

Pout Estimación de Pout

S Estimación de S

Si|uj Estimación de la potencia del nodo ui producida por el nodo uj

λ Multiplicador de Lagrange

λe Parámetro de la distribución exponencial de Xe

λs Longitud de onda de ri(t)

d·e Función techo

b·c Función piso

R Conjunto de números reales

Ad Matriz que multiplica a los estados de un sistema dinámico discreto lineali-

zado

Bd Matriz que multiplica a los comandos de un sistema dinámico discreto linea-

lizado

Kd Matriz óptima para control LQR discreto

P Matriz solución de la ecuación de Riccati discreta estacionaria

Q1 Matriz de peso de la función de costo Jd que multiplica los estados x

Q2 Matriz de peso de la función de costo Jd que multiplica los comandos uv

uv Comando de control óptimo incluyendo perturbaciones que minimiza Jd

xi Posición espacial del nodo ui

x Vector compuesto por desviaciones de energía respecto del objetivo para los

nodos en el cluster Cq

x(k)[i] i-ésimo elemento del vector x en el instante tk

xxi

V = {1, 2, . . . , N} Conjunto formado por {1, 2, . . . , N}

Φi Inclinación o skew del reloj del nodo ui

φi(t) Fase de ri(t)

ψdB Variable aleatoria de desvanecimiento del canal inalámbrico

ρ ρ = 1: FDP de o�set Gaussiana, ρ = 2: FDP de o�set exponencial

ρC Índice de correlación de X e Y

σ2N Potencia de ruido AWGN �ltrado

σ2Φ

Varianza de la estimación del skew de reloj

σ2θ

Varianza de la estimación del o�set de reloj

σψdB Desviación estándar de ψdB

σ2V Varianza de las perturbaciones del parámetro a estimar

θ Desbalance u o�set de reloj

θi Desbalance u o�set del reloj del nodo ui

θij O�set de reloj entre los nodos ui y uj

θij(tk)|ul O�set de reloj relativo entre los nodos ui y uj observado en el nodo ul en

el instante tk

M Variable aleatoria binomial correlacionada que representa el número de men-

sajes recibidos exitosamente por el receptor

m Valor medio del número de mensajes recibidos correctamente por el receptor

ri(t) Envolvente compleja recibida por ui a través de un canal inalámbrico

zi(t) Señal temporal recibida a través de un canal inalámbrico

ζij Coe�ciente de correlación entre i-ésimo elemento de X y j-ésimo elemento

de Y

C1 Espacio de funciones cuyas primeras derivadas son continuas.

ci(t) Reloj del nodo ui en el instante de tiempo t

Cn Conjunto de n clusters en una red

xxii

d Distancia entre un par de nodos

d0 Distancia de referencia

dij Distancia entre los nodos ui y uj

Dijmax Máximo radio de cobertura del nodo ui cuando se comunica con el nodo uj

E′cij dEcij/dS

E[·] Operador esperanza

E0 Energía inicial de un nodo de la red

Ec Energía consumida en el proceso de sincronización

Ec(t) Energía consumida en el proceso de sincronización en el instante t

ei Idem ei(·)

ei(·) Desviación de energía del nodo ui respecto de ESP i

Ei(t) Energía total del nodo ui de la red en el instante t

E0i Energía inicial del nodo ui

Eci(t) Energía consumida por el nodo ui en el proceso de sincronización en el instante

t

Ecij Energía consumida en la sincronización entre los nodos ui y uj

EHi(t) Energía capturada por el nodo ui en el instante t

EH(t) Energía capturada por un nodo de la red en el instante t

Esync Presupuesto de energía de sincronización

ET (t) Energía total de un nodo de la red en el instante t

ESP i Objetivo o setpoint de energía para el nodo ui

fXY FDP conjunta de X e Y

fXe Función de Densidad de Probabilidad de Xe

g(t) Ganancia compleja del canal inalámbrico

gx(t) Parte real de g(t)

xxiii

gy(t) Parte imaginaria de g(t)

H(·) Función de Heaviside

h(t) Respuesta impulsiva de la planta en un sistema de control

I(·) Función de Información de Fisher

Iq Corriente de mantenimiento de un nodo

J0(·) Función de Bessel de primera especie y orden cero

Jd Función de costo de algoritmo de control LQR para un sistema dinámico

discreto linealizado

k0 Tiempo de convergencia del algoritmo de sincronización

m Número de mensajes de sincronización enviados por el nodo transmisor

mmin Mínimo número de mensajes de transmisión

N Número de nodos en una WSN

n Número de saltos en una WSN

Nc Máximo número de nodos por cluster de la red

Nc Número de nodos en la red clusterizada

Nq Tamaño del cluster Cq

P ′outij dPoutij/dS

P (M = k) Probabilidad de recibir exitosamente exactamente k mensajes

P kij→ji Probabilidad de éxito de mensaje de ida y vuelta entre nodos ui y uj en el

instante tk

Pout Probabilidad de outage

P koutj→iProbabilidad de outage en enlace uj-ui en el instante tk

Q(·) Función Q complementaria

R Tasa de transmisión de mensajes

R(τ) Función de autocorrelación de las componentes de ri(t) para un intervalo de

tiempo τ

xxiv

Ri(k) Tasa variable de transmisión de mensajes para el nodo ui

ri(t) Módulo de ri(t)

S Potencia de transmisión

Savg Potencia de transmisión promedio

Sij Potencia de transmisión del nodo ui cuando se comunica con el nodo uj

skj→i Evento de recepción exitosa en ui de mensaje enviado por uj en el instante

tk

Sopt Potencia de transmisión óptima

SRx Sensibilidad de la antena del nodo receptor

TM Duración de tiempo de cada mensaje transmitido

Ts Intervalo de tiempo entre transmisión de mensajes

Tw Duración de tiempo de ventana de observación

tlt Tiempo de vida restante de un nodo

Tsync Tiempo total de sincronización

tui(tk) Medición de tiempo del nodo ui en el instante tk

tui(tk)|uj Medición de tiempo del nodo ui observado desde el nodo uj en el instante

tk

U{i}_ID Número de identi�cación del nodo ui

ui i-ésimo nodo en la red

v Velocidad relativa entre un par de nodos

Vdd Tensión de alimentación de un nodo

vij Velocidades relativas entre los nodos ui y uj

Xe Variable aleatoria exponencial que perturba al o�set de reloj

Xi Parte real de ri(t)

Yi Parte compleja de ri(t)

xxv

zi(t) Señal temporal enviada a través de un canal inalámbrico

Nq∗ij Número de observaciones del o�set del nodo ui recibidas exitosamente por el

nodo uj

exp(x) ex

sgn(·) Función signo

var[·] Operador varianza

Capítulo 1

Prefacio

1.1 Objetivo

El objetivo de esta tesis es investigar en detalle las redes de sensores inalámbricos,

haciendo especial énfasis en el estudio de la sincronización de los nodos, el consumo

energético de los mismos y la prevención de fallas de la red.

Es de interés investigar en detalle las relaciones de compromiso involucradas en

el proceso de sincronización y balance energético de los nodos en una red genérica,

así como también los efectos sobre el canal inalámbrico ante diversas situaciones de

ruido, desvanecimiento y correlación del mismo debido al movimiento relativo de los

nodos.

De esta forma, el objeto de esta tesis es obtener relaciones de compromiso entre

error de sincronización, consumo energético y �abilidad para una red genérica con

una cantidad de nodos y topología arbitraria.

Dado que la sincronización de los nodos constituye una funcionalidad básica de

la red, es necesario realizar especial hincapié en la comparación entre algoritmos

existentes, midiendo la complejidad algorítmica de los mismos y relacionándola con

el consumo energético empleado en alcanzar los objetivos de sincronización.

Finalmente, una vez determinadas las relaciones de compromiso óptimas que in-

tervienen en la problemática de sincronización e�ciente en energía de las redes de

sensores inlámbricos, el objetivo de esta tesis es proponer un algoritmo de sincroni-

zación que englobe las contribuciones aquí encontradas en un único mecanismo que

alcance la sincronización de los nodos al tiempo que se controla el consumo de la

energía de los mismos alrededor de un valor deseado, priorizando de esta forma la

prevención de fallas en los nodos por sobre el error de sincronización.

1

2

1.2 Organización de la Tesis

La tesis está organizada como se detalla a continuación: en el Capítulo 2 se realiza

una introducción a las redes de sensores inalámbricos y se explican los desafíos exis-

tentes en las mismas, haciendo hincapié en la importancia de lograr sincronización

y e�ciencia energética, resumiendo de forma breve los algoritmos de sincronización

más conocidos actualmente en la literatura. El Capítulo 3 resume los principales

algoritmos de sincronización relativos a la temática de WSN, explicando las ventajas

y desventajas de cada uno de ellos. El Capítulo 4 propone un modelo simpli�cado

que relaciona el error de sincronización con la energía de los nodos, detallando los

conceptos básicos del problema existente. El Capítulo 5 expande los conceptos an-

tedichos a diferentes situaciones de perturbaciones y al caso de redes de múltiples

saltos. En el Capítulo 6 se investigan las relaciones de compromiso existente entre

error de sincronización y e�ciencia energética para nodos en movimiento bajo efectos

de desvanecimiento de gran escala con usos de canal descorrelacionados, así como

también dichas relaciones de compromiso para nodos en movimiento bajo efectos de

desvanecimiento de pequeña escala y con correlación de canal. El Capítulo 7 extien-

de las relaciones de compromiso a una red genérica, generalizando las relaciones de

compromiso y proponiendo una solución práctica al problema de la regulación de

las potencias de transmisión de los nodos. En el Capítulo 8 se explora el concepto

de prevención de fallas de una red clusterizada. Y en el Capítulo 9 se propone un

algoritmo de sincronización e�ciente en energía, el cual controla la energía a través

de un regulador lineal cuadrático, un tipo de controlador óptimo, modelando la red

como un sistema dinámico. Finalmente, en el Capítulo 10 se realizan las discusiones

�nales y se exponen las conclusiones de este trabajo.

El cuerpo principal de esta tesis contiene mayormente las contribuciones al es-

tado del arte que se realizaron durante el desarrollo del doctorado. Las teorías y

herramientas matemáticas que son conocidas en el campo de estudio se resumen

brevemente en el Apéndice A, mientras que las demostraciones matemáticas que

requieren un desarrollo detallado para arribar a los resultados se presentan en el

Apéndice B.

1.3 Estrategia de Revisión Literaria

En esta tesis se adopta la estrategia de incluir un capítulo introductorio con el

estado del arte de los algoritmos más conocidos en la temática de sincronización de

WSN, y luego se realiza una revisión literaria relativa a cada tópico investigado al

inicio de cada capítulo de la tesis. De esta forma se garantiza que el lector tenga

3

presente el contexto en el cual se realizan los análisis y las contribuciones de cada

capítulo, lo cual permite una mejor apreciación de las contribuciones de esta tesis.

1.4 Terminología

Debido a que existe un consenso internacional acerca de términos puntuales rela-

tivos al área de las redes de sensores inalámbricos, a lo largo de la tesis se mantendrán

ciertos términos en idioma inglés de manera de asociar fácilmente su signi�cado con

la literatura existente. Son ejemplos de estas terminologías o�set de reloj, WSN,

probabilidad de outage, entre otras. Por otra parte, mantener ciertos términos en

inglés ayuda a enlazar más fácilmente los conceptos y resultados aquí presentados

con aquellos explicados en los principales libros y artículos de la temática.

1.5 Contribuciones

Las contribuciones e innovaciones introducidas en esta tesis son:

• El planteo de un modelo genérico que relaciona el error de sincronización con

la energía de los nodos.

• La obtención de las relaciones de compromiso óptimas entre el error de sincro-

nización con la energía de los nodos para los casos de perturbaciones Gaussiana

y exponencial en los datos de fuente, así como también su aplicación a una red

de múltiples saltos.

• La obtención de las relaciones de compromiso óptimas relacionando el error de

sincronización con la energía de los nodos, para el caso de nodos en movimiento

bajo efectos de desvanecimiento de gran escala en canales descorrelacionados.



bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala en canales correlacionados.



bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala en canales correlacionados.

• La generalización de las relaciones de compromiso para una red genérica sin

particularizar la topología.

• Un algoritmo para alcanzar prevención de fallas en una red clusterizada.

4

• Un algoritmo de sincronización que engloba los conceptos anteriores y logra

sincronizar los nodos de una red clusterizada a la vez que controla sus consumos

de energía de forma óptima.

1.6 Publicaciones Generadas por esta Tesis

A lo largo del desarrollo de esta tesis, se produjeron las siguientes publicaciones

en revistas indexadas con referato internacional y conferencias internacionales:

Publicaciones en Revistas

• A Generalized Trade-o� Model for Energy-E�cient WSN Synchronization, P.

Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, M. Patwary, IET Electronics

Letters, Vol. 51, Núm. 3, págs. 291�292, Febrero 2015.

• A Primer on Energy-E�cient Synchronization of WSN Nodes over Correlated

Rayleigh Fading Channels, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, M.

Patwary, IEEE Wireless Communication Letters, Vol. 3, Núm. 1, págs. 38-41,

Noviembre 2013.

• On Energy-E�cient Time Synchronization for Wireless Sensors under Large-

Scale and Small-Scale Fading E�ects, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey

Vega, Wireless Sensor Network, Vol. 5, págs. 181-193, Octubre 2013.

• On the Trade-o� between Power Consumption and Time Synchronization Qua-

lity for Moving Targets under Large-Scale Fading E�ects in Wireless Sensor

Networks, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, Communications

and Network, Vol. 5, págs. 498-503, Septiembre 2013.

• Energy-E�cient WSN Synchronization Scheme with Concatenated Network

Coding and LQR Control Theory, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey

Vega, M. Patwary, R. Carrasco, enviada a IEEE Trans. on Communications,

Septiembre 2015.

Publicaciones en Conferencias

• A Novel Control Strategy for Fail-Safe Cyclic Data Exchange in Wireless Sen-

sor Networks, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, M. Patwary,

Full Paper, IEEE Latin-American Test Workshop, Porto Alegre, Brazil, Pro-

ceedings of the IEEE Latin-American Test Workshop, págs 1-5, 2014.

5

• On the Trade-o� between Power Consumption and Time Synchronization Qua-

lity for Moving Targets under Large-Scale Fading E�ects in Wireless Sensor

Networks, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega, Full Paper, In-

ternational Conference on Wireless Communications, Networking and Mobile

Computing, WiCOM, Beijing, China, 2013.

• On the Trade-o� of Power Consumption and Time Synchronization Quality

in Wireless Sensor Networks, P. Bri�, A. Lutenberg, F. Vargas, L. Rey Vega,

Poster Session, IEEE Sensors Conference, Taipei, Taiwan, Proceeding of the

IEEE Sensors Conference, págs 1-4, 2012.

Capítulo 2

Introducción

Con el advenimiento de las tecnologías inalámbricas en la última década, el con-

cepto de red de sensores inalámbricos, en inglés WSN, ha ganado terreno frente a

las redes cableadas en el campo de sensado y detección [64]. Las WSN suelen estar

compuestas por sensores o nodos de bajo costo alimentados a batería o que capturan

energía para su alimentación, es decir sensores autoalimentados. Por esta razón, la

gestión de la energía se convierte en una cuestión primordial a la hora de garantizar

la vida útil de los sensores.

Las WSN juegan un papel preponderante en la industria, así como también en

la vida cotidiana debido a su interacción con el mundo físico a gran escala. Se las

utiliza para recopilar, procesar y entregar información vital en tiempo real en siste-

mas dinámicos distribuidos. Esto puede incluir aplicaciones de monitoreo del medio

ambiente, salud, control de trá�co y control de la seguridad, las cuales se consideran

como los elementos clave en el desarrollo de las ciudades inteligentes. Para hacer

frente a las condiciones hostiles y al difícil acceso al medio que suelen experimentar

estas aplicaciones, los sensores inalámbricos trabajan en estrecha colaboración con

sus pares a �n de utilizar con e�cacia sus limitados recursos. La totalidad de la red

también debería ser capaz de llevar a cabo la autogestión y adaptarse a los cambios

ambientales y operacionales de manera dinámica a �n de maximizar el rendimiento

de la red. La e�ciencia en el consumo de energía debe ser una de las principales

prioridades de una WSN, ya que en la mayoría de las aplicaciones los nodos son

alimentados por baterías, siendo la recarga o sustitución de la misma impráctica en

la mayoría de los casos. Maximizar la e�ciencia energética no sólo prolonga el fun-

cionamiento de los nodos de sensores, sino que también bene�cia al medio ambiente

[72]. Además, con la reciente introducción de la Internet de las Cosas, del inglés

Internet of Things (IoT) [53], la densidad de los nodos crecerá notablemente y por

dicho motivo el problema de sincronización presentará aún más desafíos desde el

7

8 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN

punto de vista energético para lograr un error de sincronización determinado.

La gestión e�ciente de la energía se puede lograr por medio de la implementación

de per�les de bajo consumo energético, los cuales ponen los sensores a dormir cuando

las actividades de transmisión inalámbrica o de cómputo no son necesarias, es decir

solamente activándolas cuando sea necesario. El concepto subyacente en la gestión

de la energía está en coordinar cuándo un dispositivo debe entrar o salir del modo de

suspensión o stand-by. Para alcanzar este objetivo es necesario sincronizar los nodos,

es decir, implantar un mecanismo para que todos los dispositivos sigan un único reloj

de referencia. Por este motivo, la sincronización de los relojes de los nodos se convierte

en un elemento clave de la WSN ya que proporciona un mecanismo para lograr

implementar per�les de baja potencia en cada sensor y al mismo tiempo permitir la

transmisión de datos con el mínimo de colisión de paquetes y retransmisiones.

Sincronizar una WSN completa es un problema complejo, ya que engloba un

conjunto de desafíos que deben ser resueltos antes de lograr el objetivo de la sin-

cronización global. Por este motivo, el problema de sincronización está considerado

uno de los cinco problemas más difíciles abiertos en el campo de las WSN [41].

Varios autores (por ej. [58] y [23]) exponen el problema del balance entre error de

sincronización y gasto energético como un problema abierto conocido.

Es primordial, sin embargo, cuestionarse dónde subyace la complejidad de sin-

cronizar una WSN completa. La razón por la cual el problema es complejo tiene

sus bases en que en el caso más general no existe una señal de reloj común para

toda la red, por lo que el principal objetivo en este campo es el de proporcionar un

mecanismo por el cual todos los sensores puedan corregir sus nociones del tiempo

para llegar a un consenso sobre el signi�cado de tiempo entre todos los sensores en

la red.

El primer paso para abordar el problema de sincronización es caracterizar el reloj

de un sensor, como se detalla a continuación.

2.1 Modelo de Reloj de Nodo

El reloj, o clock de un nodo ui se puede modelar de acuerdo a la siguiente ley

lineal:

ci(t) = Φi t+ θi i = 1, 2, . . . , N (2.1)

donde N es la cantidad de nodos en la WSN, Φi es la inclinación o skew, y θi es

el desfasaje u o�set [54] [57]. En el caso más general, Φi y θi pueden ser funciones de

tiempo, aunque en la bibliografía generalmente se los considera constantes durante

CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN 9

el período de sincronización. La variabilidad de estos parámetros con el tiempo se

debe fundamentalmente a envejecimiento del sensor, así como también condiciones

climáticas y mecánicas.

En general, salvo en excepciones que serán detalladas oportunamente, cuando

se habla de sincronización se referiere exclusivamente a estimar los clocks de los

nodos, y no sus skews. Esto se debe a que se supone que Φi ≈ 1, siendo su variación

pequeña durante el tiempo de sincronización, por lo que en general se supone que el

parámetro θi es dominante en el problema de estimación de reloj.

Sincronizar una WSN conlleva inicialmente dos desafíos: en primer lugar, pro-

porcionar un mecanismo que permita a los relojes de los sensores obtener la misma

idea de un tiempo de referencia dado; y en segundo lugar, mantener la sincronización

de la WSN a medida que transcurre el tiempo.

Aún cuando se alcance la sincronización en la WSN, surgen varios interrogantes.

Para empezar, suponga por un momento que una WSN con N nodos se ha sin-

cronizado y la sincronización se mantiene estable en función del tiempo. Es válido

preguntarse qué le sucede a la sincronización si se agrega (es decir, se acopla un nue-

vo nodo a la red) o se quita un nodo a la red (por ejemplo, porque éste ha dejado de

funcionar). De esta manera, es importante investigar estas situaciones y su impacto

en el rendimiento de la solución.

Otro aspecto importante en una WSN es la topología de la red. Las topologías

pueden ser de malla (mesh), estrella (star), árbol (tree), o una combinación de ellos.

El caso más general es la topología de malla, donde no hay jerarquías prede�nidas

y todos los dispositivos pueden comunicarse entre sí. Sin embargo, las topologías

de estrella y árbol presentan un mejor rendimiento que la topología de malla en

cuanto al enrutamiento de paquetes. El precio a pagar por este bene�cio es que

las topologías estrella y árbol requieren un dispositivo coordinador de Red de Área

Personal, del inglés Personal Area Network (PAN), que actúan como enrutadores

para los dispositivos �nales, lo cual impone la restricción de que todos los nodos

�nales deben estar bajo el dominio de broadcast de al menos un coordinador de

manera de poder recibir los mensajes. Esto representa una desventaja desde el punto

de vista de la con�abilidad y la gestión energética de los nodos ya que gran parte

de la funcionalidad de la red puede verse interrumpida por la falla de dichos nodos

coordinadores. Lo antedicho conlleva a plantearse el problema de recon�guración

dinámica de la red, lo cual será investigado en el curso de esta tesis junto con la

prevención de falla de una WSN.

A continuación se introduce el problema de sincronización desde un punto de

vista formal, lo cual dará las herramientas para entender el estado del arte y las


contribuciones de esta tesis.

2.2 El Problema de Sincronización de WSN

2.2.1 Modelo de Red

Considere una WSN conN nodos y un nodo de referencia que transmite el tiempo

de referencia, o lo que para la red es el tiempo absoluto t. En el caso más general, el

nodo de referencia del área de cobertura no incluirá todos los nodos de la red, como

se muestra en la Figura 2.1.

Figura 2.1: Grafo de conexión de WSN. No todos los nodos se encuentran en el áreade broadcast del nodo de referencia.

Una WSN puede representarse como un grafo bidireccional con matriz de conec-

tividad Ac de acuerdo con la siguiente expresión:

Ac =

1 a12 . . . a1N

a21 1 . . . a2N

......

. . ....

aN1 aN2 . . . 1

. (2.2)

La conexión entre los nodos está representada por el coe�ciente aij , el cual debe

cumplir las siguientes condiciones:

aij =

1, si el nodo i está conectado al nodo j y i 6= j

0, si el nodo i no está conectado al nodo j y i 6= j

1, si i = j

(2.3)


con i, j = 1, 2, . . . , N .

En el caso más general, los coe�cientes aij son variables aleatorias que mode-

lan a la ganancia del canal inalámbrico como un proceso estocástico. Más aún, los

coe�cientes aij pueden ser una función de la distancia entre nodos, tomando valores

reales en lugar de valores binarios. De la matrix Ac se puede obtener información

de esfuerzos de sincronización, lo cual será la base de varias contribuciones de esta

tesis.

2.2.2 Error de Estimación de Reloj

Sea εi(t) el error en el que incurre el nodo ui al interpretar el tiempo de referencia

t con su reloj interno ci(t). La expresión de εi(t) está dada por:

εi(t) = t− ci(t)

= t− (Φi(t) t+ θi). (2.4)

Considere ahora que el nodo ui se desea sincronizar al tiempo de referencia t.

Para tal �n, el nodo ui deberá estimar el valor del reloj de referencia a partir de una

medición del mismo. Si se asume que Φi ≈ 1, entonces se puede reescribir (2.4) como

εi(t) ≈ −θi (2.5)

con lo que el problema de sincronización se reduce a un problema de estimación

del o�set del nodo ui respecto de un reloj de referencia. El error con el que se estime

dicho parámetro determinará el error de estimación de reloj.

El error de cada nodo en la red se transmitirá en el caso más general a sus

vecinos dado que las observaciones de los nodos generalmente son compartidas en

forma colaborativa, ya sea para acelerar el proceso de sincronización o bien porque la

conectividad de la red así lo impone. Dicho esto, el objetivo �nal de la sincronización

de red es estimar el o�set de reloj y minimizar el error de estimación del mismo

conforme avanza el proceso de sincronización. En otras palabras, es deseable que

lımt→+∞

E[εi(t)] = −θi (2.6)

lımt→+∞

var[εi(t)] = 0. (2.7)

La propuesta de esta tesis es transformar el problema de sincronización en un

problema de estimación donde las variables a estimar sean el o�set y el skew de


los nodos de una red usando herramientas de estadística, estimación y procesamiento

de señales. En esencia, en un problema de estimación el objetivo es encontrar el valor

de uno o más parámetros en principio desconocidos, a partir de un conjunto de datos

o mediciones disponibles. Varios ejemplos de problemas de estimación aplicados a la

ingeniería electrónica se presentan en [33].

2.2.3 Demanda Energética

Es un tema clave en la investigación priorizar el consumo de energía empleado

en el proceso de sincronización y garantizar la prevención de fallas de la red. Siendo

la energía un bien escaso en las WSN, es necesario determinar una métrica con�able

para estimar las demandas energéticas de un algoritmo de sincronización. La métrica

que comúnmente se suele utilizar en la bibliografía es el cálculo de la complejidad

algorítmica, el cual es una medida de la cantidad de mensajes que se requieren

para alcanzar la sincronización. Asimismo, el número de mensajes es una métrica

de la energía empleada en el proceso de sincronización. Sin embargo, como se verá

más adelante, el número de mensajes no es el único factor determinante en el gasto

energético, ya que la probabilidad de error en la comunicación, introducida por el

canal inalámbrico, juega un papel preponderante en el número de mensajes recibidos

exitosamente por un nodo, así como también el retardo de tiempo con el cual se

recibe cada mensaje.

De manera de comenzar el análisis, la propuesta es estudiar redes con N nodos

con�gurados en tres diferentes topologías: malla, árbol y estrella, como se muestra

en las Figuras 2.2 a 2.4. En la topología malla, se requiere un algoritmo que utilice

un enlace punto-a-punto para cada par de nodos a �n de lograr la sincronización.

De esta manera, calculando la combinatoria binomial de N mensajes tomados de a

pares [4, p. 29] se llega a que se requieren(N2

)= N(N − 1)/2 mensajes por cada

ronda de sincronización. Por este motivo, la complejidad algorítmica de la demanda

de energía de la red (totalmente) mallada es O(N2).

En el caso de topología de árbol, antes de poder comunicarse los nodos deben

formar una jerarquía de varios niveles (es decir, un conjunto de nodos en la misma

profundidad); con el �n de analizar esta complejidad, se puede hacer una analogía

con el orden del algoritmo Mergesort 1 [70, p. 198], en el que cada nivel tiene asociada

una complejidad de N , y hay un total de logN , es decir la complejidad algorítmica es

de O(N logN). Una vez que la red está formada, la complejidad de la sincronización

se encuentra de la siguiente manera: si cada nodo jerárquico es el objeto primario

de K0 < N nodos, hay logK0N niveles; en consecuencia, para el nivel l, con l =

1Mergesort funciona en árboles binarios solamente.


0 . . . logK0N − 1, hay K l

0 nodos para sincronizar, dividida en diferentes dominios de

l nodos jerárquicos. Si cada uno de los nodos del nivel l deben compartir información

con sus vecinos, hay(K0

2

)= K0(K0−1)/2 mensajes para cada uno de los nodos en el

nivel l. Esto reduce la complejidad algorítmica a O(K20 ) < O(N2), habiendo pagado

el precio de la formación de la jerarquía de la red con complejidad de O(N logK0N)

por ronda de sincronización.

La topología estrella implica que un único nodo actúe como gateway, siendo

Figura 2.2: Topología de red estrella.

Figura 2.3: Topología de red malla.

Figura 2.4: Topología de red árbol.


necesario que todos los nodos de la red o el clusters permanezcan en su dominio de

broadcast, este enfoque podría ser bene�cioso para las redes pequeñas en las que unos

pocos mensajes de broadcast podrían ser su�ciente para proporcionar una referencia

temporal a los N nodos de la red, lo que lleva a una complejidad algorítmica de

O(1) por ronda de sincronización, es decir independiente del número de nodos en la

red; sin embargo, este enfoque no es adecuado para aplicaciones con requisitos de

grandes áreas de cobertura, ni tampoco es bene�cioso desde el punto de vista de la

con�abilidad de la red, ya que si el nodo gateway fallase habría una interrupción

temporaria o permanente de las comunicaciones en la red. A pesar de ello, tanto

las demandas de energía y complejidad computacional dependen fuertemente del

número de mensajes necesarias para lograr la sincronización.

En suma, la sincronización de una WSN debe siempre minimizar la energía em-

pleada por los sensores para alcanzar el error de estimación impuesta por la aplica-

ción.

Capítulo 3

Principales Algoritmos Existentespara Sincronización de WSN

3.1 Introducción

En este capítulo, se resumen los principales trabajos de investigación sobre sin-

cronización de WSN considerados por la literatura como los trabajos base de esta

rama.

Los protocolos aquí mencionados di�eren notablemente en la forma en la que uti-

lizan la información y gestionan la comunicación de los nodos de manera de lograr la

sincronización de la WSN. Entre las diferencias más notorias, se encuentra la com-

plejidad algorítmica de cada protocolo, la cual es una medida del esfuerzo energético

que deben hacer los nodos para alcanzar los niveles de sincronización deseados.

Como se observará, ninguno de estos trabajos presentados en este capítulo rea-

liza consideraciones de e�ciencia energética y/o prevención de fallas al momento de

lograr la sincronización entre los nodos de la WSN. Por este motivo, en los capítulos

subsiguientes de esta tesis se estudiará en detalle el impacto del consumo energético

de los nodos al ejercerse la sincronización en una WSN, con el objetivo de alcan-

zar la sincronización entre ellos no sólo dentro de los estándares de sincronización

impuestos por la aplicación, sino también contemplando el impacto energético que

experimentan los mismos producto del algoritmo de sincronización.

3.2 Protocolo RBS

3.2.1 Introducción

Reference Broadcast Synchronization (RBS) [25] es un protocolo conocido para la

sincronización de WSN por medio de un mensaje de referencia. En lugar de emplear el

tradicional mecanismo transmisor-receptor [28] en el cual un nodo envía un mensaje y

15

16 CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN

otro nodo lo recibe como parte de un diálogo entre ambos, RBS se basa en el concepto

de sincronización receptor-receptor, donde dos nodos reciben una señal común de

referencia e intercambian sus observaciones con el �n de obtener una referencia común

entre ellos. RBS explota la cualidad de los dominios de broadcast de una red, en el

cual los mensajes llegan a los nodos receptores aproximadamente al mismo tiempo.

Aunque no sea su diseño principal, RBS se puede adaptar para trabajar en redes

multi-hop .

La propiedad fundamental de RBS es que sincroniza un conjunto de receptores

con otro. Los nodos envían periódicamente mensajes a sus vecinos a nivel de capa

física usando la propiedad de broadcast de una red. Los destinatarios usan la hora de

llegada del mensaje como punto de referencia para comparar sus relojes. El mensaje

no contiene marca explícita, ni es importante exactamente cuando se envía, sino la

diferencia en la recepción de un mensaje dado y su comparación relativa entre los

receptores. RBS opera con las diferencias en las observaciones de los nodos receptores

tomados de a pares.

RBS intenta mitigar las aleatoriedades características de las comunicaciones inalám-

bricas y los tiempos de procesamiento de la señal. Estos tiempos pueden descompo-

nerse en los siguientes componentes [25]:

• Tiempo de envío: el tiempo que le toma al transmisor conformar el mensaje.

• Tiempo de Acceso: retardo en el que incurre el transmisor cuando espera ob-

tener acceso al canal de transmisión.

• Tiempo de propagación: el tiempo necesario para que el mensaje transite desde

el transmisor a los receptores una vez que ha sido emitido por el transmisor.

• Tiempo de Recepción: procesamiento requerido para que la interfaz de red

del receptor reciba el mensaje del canal y noti�que la llegada del mismo a la

capa de aplicación del nodo receptor. Generalmente los tiempos de envío y de

propagación son determinísticos, mientras que todos los demás tiempos son

aleatorios [25].

Los mensajes de difusión o broadcast siempre se usan como referencia con respec-

to a un tiempo relativo. Una característica interesante de las transmisiones en RBS

es que no es realmente importante cuándo estos mensajes son enviados, ni tampoco

es relevante la información que ellos llevan, ya que sólo se utilizan como una referen-

cia relativa de los receptores para que intercambien sus observaciones. Dicho esto,

RBS elimina las incertidumbres introducidas por el tiempo de envío y el tiempo de

CAPÍTULO 3. PRINCIPALES ALGORITMOS DE SINCRONIZACIÓN 17

acceso en el transmisor, ya que los receptores no poseen conocimiento del tiempo

que le ha tomado al transmisor construir el mensaje de referencia, o el tiempo que le

ha demandado al transceptor acceder al canal de comunicación. Además, el tiempo

de propagación puede suponer que es cero para distancias de dominio de broadcast

en la mayoría de los casos. De esta forma, la incertidumbre más signi�cativa es el

tiempo de recepción del mensaje en el receptor.

3.2.2 Descripción del Enfoque de RBS

3.2.2.1 Estimación de O�set

En el proceso de estimación de o�set, cada sensor registra el tiempo de llegada de

cada mensaje de referencia enviado. Para cada mensaje en el instante de tiempo tk,

cada sensor ui calculará, con respecto a cada vecino uj , las diferencias de tiempo de

recepción de a pares θij(k) , tj,k− ti,k. Este proceso continúa hasta que se envían mmensajes consecutivos, por lo que cada sensor produce la siguiente estimación [25]:

θij =1

m

m∑k=1

(tj,k − ti,k) ∀i, j ∈ V (3.1)

con V = {1, 2, . . . , N}. Nótese que la estimación producida por (3.1) tiene com-

plejidad O(N2).

Es importante señalar que la precisión de los cálculos dependen del tipo de nodo

hardware y/o software: diferentes equipos de hardware (por ejemplo, procesadores)

puede afectar a la precisión de los resultados (es decir, la diferencia relativa en los

tiempos de recepción de a pares). Por lo tanto, una WSN heterogénea que contenga

nodos de diversas características de hardware y/o que ejecuten diversas bibliotecas de

software estará sujeta a mayor varianza en la estimación que una WSN homogénea,

si no se toman precauciones al respecto.

3.2.2.2 Estimación de Skew

El skew en los relojes de los sensores existe debido a dos factores principales:

primero, las diferencias en las precisiones de los cristales debidas a las tolerancias en la

frecuencia de oscilación natural de cada uno de los cristales; y segundo, las variaciones

en la frecuencia de oscilación debido a factores externos como la temperatura, la

vibración, la tensión de alimentación y envejecimiento.

En RBS la estimación del skew se realiza utilizando una regresión lineal encon-

trada a partir de resolver un problema de cuadrados mínimos, lo cual permite al

sensor estimar el skew de un nodo vecino.


En suma, un nodo ui puede reconstruir la lectura de un nodo uj a su propio

tiempo a través de la estimación del o�set y el skew, asumiendo el modelo de reloj

lineal descripto por (2.1).

3.2.2.3 Sincronización Post-Facto

Siendo la energía un bien preciado en las WSN, RBS implementa un concepto de-

nominado post-facto sincronización, en el cual los nodos normalmente se encuentran

en un estado de bajo consumo de energía, y no se sincronizan los relojes hasta que

ocurren un evento de interés para la aplicación de la red. Sólo después de ese evento

se sincronizan los relojes de los nodos. Esto evita que se desperdicie tiempo y energía

para lograr una sincronización innecesaria. Sin embargo, RBS no especi�ca con qué

frecuencia la sincronización post-facto es bene�ciosa, ya que la re-sincronización y la

reconstrucción de los eventos del pasado puede ser un proceso que requiere mucha

energía. De esta forma, RBS no resuelve adecuadamente el problema del consumo

energético, lo cual se enfatizará y resolverá a lo largo de esta tesis.

3.2.2.4 Sincronización Multi-hop

RBS permite lograr la sincronización en redes de múltiples saltos o del inglés

multi-hop por medio de la designación de un nodo como nodo intermediario o gate-

way común a dos diferentes dominios de broadcast. Este nodo es el responsable de

convertir los diferentes eventos que se producen en diferentes dominios de broadcast.

Sin embargo, RBS no propone un esquema e�ciente en energía para el nodo gateway,

el cual se verá indefectiblemente más afectado desde un punto de vista energético

que el resto de sus pares en la red.

3.2.3 Conclusión

La propiedad fundamental de RBS es que sincroniza un conjunto de nodos re-

ceptores de a pares, usando la propiedad de broadcast de los canales inalámbricos y

reduciendo las mayores fuentes de retardos no determinísticos por dicho motivo.

La estimación de skew de RBS también permite la extrapolación de los o�sets

pasados, habilitando la sincronización post-facto y ahorrando energía en aplicaciones

en las cuales la sincronización es poco frecuente o impredecible.

El promedio de error de sincronización reportado por los autores de RBS es ocho

veces mejor que aquel encontrado en una red con poco trá�co que ejecuta el algoritmo

Network Time Protocol (NTP) [25].


El esquema de múltiple salto de RBS permite uni�car las escalas de tiempo

coordinadas localmente en una escala global de red, a través de distintos dominios

de broadcast.

La precisión de RBS decae lentamente, siendo el error promedio de sincronización

en una red de n saltos proporcional a√n [25].

La mayor desventaja de RBS es que su esquema require una gran cantidad de

intercambio de datos ya que cada nodo necesita compartir la información de tiempo

del paquete de referencia recibido con todos los demás nodos en el dominio de broad-

cast. Por este motivo, RBS no es escalable a redes de gran escala con alta densidad

de nodos, como se describe en [30].

3.3 Protocolo TPSN

3.3.1 Introducción

El protocolo Timing-sync Protocol for Sensor Networks (TPSN) [28] es un algo-

ritmo que intenta lograr la sincronización de los nodos a nivel de red.

El algoritmo funciona en dos etapas: en la primera etapa, se establece una es-

tructura jerárquica en la red, y en la segunda etapa se realiza la sincronización de a

pares a lo largo de los bordes de esta estructura para establecer una escala de tiempo

global a lo largo de la red. Según los autores del artículo original, TPSN proporciona

dos veces mejor rendimiento en comparación con RBS desde el punto de vista del

error de sincronización [28].

TPSN es un enfoque de sincronización transmisor-receptor. A los paquetes se les

realiza una estampa de tiempo en el momento de su envío, es decir, en la capa de

control de acceso al medio, es decir Medium Access Control (MAC). El algoritmo

establece primero la estructura jerárquica y luego tiene como objetivo proporcionar

una escala de tiempo global única en toda la red. Además de esto, TPSN también

se puede combinar con el enfoque de sincronización post-facto.

TPSN está motivado por protocolo NTP, el cual se utiliza para sincronizar

computadoras conectadas a la Internet [47], y por tal motivo los autores lo describen

como una extensión �exible de NTP para redes de sensores [28].

3.3.2 Descripción del Enfoque de TPSN

3.3.2.1 Concepto Básico

El primer paso del algoritmo es crear una topología jerárquica en la red. A cada

nodo se le asigna un nivel en esta estructura jerárquica. Los autores de TPSN [28]

aseguran que un nodo que pertenece al nivel i puede comunicarse con al menos un


nodo que pertenece al nivel i− 1. Sólo a un nodo se le asigna a nivel 0, al cual se lo

denomina nodo raíz. A esta etapa del algoritmo se la llama fase de descubrimiento

de nivel. Una vez que la estructura jerárquica se ha establecido, el nodo raíz inicia

la segunda etapa del algoritmo, denominada fase de sincronización. En esta fase, un

nodo que pertenece a nivel de i se sincroniza a un nodo que pertenece a nivel de

i − 1. Eventualmente cada nodo se sincroniza con el nodo raíz, alcanzándose así la

sincronización de tiempo de toda la red.

3.3.2.2 Fase de Descubrimiento de Nivel

Al nodo raíz se le asigna el nivel 0 y se inicia la fase de difusión de un paquete

de descubrimiento de nivel, el cual contiene la identidad y el nivel del transmisor.

Los vecinos inmediatos del nodo raíz reciben este paquete y se asignan un nivel

superior al que han recibido es decir, nivel 1. Después de establecer su propio nivel,

éstos emiten un nuevo paquete de descubrimiento de nivel que contiene su propio

nivel. Este proceso continúa y con el transcurso del tiempo cada nodo de la red

consigue tener un nivel asignado. A este mecanismo usado por TPSN para formar la

estructura jerárquica se lo denomina mecanismo de inundación, o en inglés �ooding.

3.3.2.3 Fase de Sincronización

En esta etapa, la sincronización se realiza de a pares a lo largo de los bordes de

la estructura jerárquica establecida en la fase anterior. La sincronización transmisor-

receptor funciona de la siguiente manera: un nodo transmisor inicia la comunicación

y espera el mensaje de con�rmación del receptor, o mensaje de Acknowledgement

(ACK), intercambiando los dos nodos sus respectivos relojes; con la recepción del

ACK, el nodo transmisor estima el retardo de propagación y la diferencia de reloj con

respecto al nodo receptor, sincronizando así su reloj con el del receptor. En TPSN,

este proceso se lleva a cabo como se explica a continuación: el nodo raíz (nivel 0)

emite un paquete de sincronización de tiempo. Para recibir el paquete, los nodos

pertenecientes al nivel 1 esperan un tiempo aleatorio de manera de ganar acceso al

medio, antes de que se inicie el intercambio de mensajes de ida y vuelta con el nodo

raíz. Al recibir un ACK, estos nodos ajustan su reloj al del nodo raíz. Al mismo

tiempo, los nodos pertenecientes al nivel 2 escuchan este intercambio de mensajes.

Esto se basa en el hecho de que todos los nodos de nivel 2 están conectados con al

menos uno de los nodos de nivel 1. Al escuchar este mensaje, los nodos de nivel 2

esperan un tiempo aleatorio, después del cual se inicia el intercambio de mensajes con

nodos en el nivel 1. Cada nodo envía un mensaje de ACK al �nalizar la sincronización,

de manera de asegurar que se formen varios niveles de sincronización en la red. De


Figura 3.1: Intercambio de mensajes entre par de nodos [28]. Los tiempos T2 y T3se miden en el reloj del nodo B, mientras que T1 y T4 se miden en el reloj del nodoA.

esta forma, el proceso se repite en toda la red, y conforme transcurre el tiempo cada

nodo de la WSN se sincroniza con el nodo raíz.

3.3.2.4 Estimación de O�set de Reloj

TPSN estima que el o�set de reloj entre dos pares por medio de la siguiente

ecuación [28]:

θ =(T2− T1)− (T3− T4)

2(3.2)

donde T1 es el instante de tiempo de emisión del mensaje de tiempo desde el

nodo A, T2 es el instante de tiempo de recepción de dicho mensaje en el nodo B, T3

es el instante de tiempo de emisión de la respuesta del nodo B hacia al nodo A, y

T4 es el instante de tiempo de recepción en el nodo A de la respuesta del nodo B,

como se muestra en la Figura 3.1.

TPSN no realiza estimación de skew ya que asume que el reloj de cada sensor

no varía mucho entre intervalos corrección de o�set. Este enfoque está ampliamente

aceptado en la literatura y por este motivo son pocos los algoritmos que corrigen el

skew.

3.3.3 Conclusión

TPSN es un protocolo transmisor-receptor que sincroniza un receptor con su

nodo padre en la jerarquía de la red que opera sobre la base de una jerarquía de red,

siendo necesaria una etapa de formación de red antes de alcanzar la sincronización.

Los autores de TPSN a�rman que el mismo tiene un rendimiento dos veces supe-

rior al de RBS, aunque tanto la complejidad de la formación de la jerarquía durante

la etapa inicial como el caso de falla de un nodo no han sido contemplados durante

el análisis del rendimiento.


3.4 Protocolo PBS

3.4.1 Introducción

El protocolo Pairwise Broadcast Synchronization (PBS) [50] introduce el concep-

to de sincronización de sólo receptor, es decir Receiver-Only Synchronization (ROS),

en el que un nodo receptor B puede sincronizar con un nodo P solamente escuchando

un intercambio de mensajes entre dos pares de nodos P y A.

En esencia, se trata de una técnica muy e�ciente en energía ya que todos los

nodos receptores no necesitan intercambiar mensajes sino sólo escucharlos, lo que

reduce la cantidad de energía que se invierte en la transmisión.

3.4.2 Descripción del Enfoque de PBS

3.4.2.1 Concepto Básico

La idea principal de PBS es que todos los nodos de sensores en la red escuchen

el intercambio de mensajes entre dos nodos P y A para estimar el o�set y el skew

con respecto a uno de estos nodos.

PBS supone que todos los nodos receptores están dentro del mismo dominio de

broadcast que ambos nodos P y A. Otra de las principales hipótesis es que los nodos

P y A no están limitados en energía y se comunican entre sí sin interrupciones.

También se supone que las mediciones están contaminadas por ruido blanco aditivo

Gaussiano, del inglés Additive White Gaussian Noise (AWGN), procesado por un

�ltro pasabajos (ver Apéndice A.1).

3.4.2.2 Estimación de O�set y Skew

Las estimaciones de o�set y skew producidas por un nodo B con respecto a un

nodo de referencia P son [50]:

[θ

Φ

]=

1

m∑m

i=1D2i − [

∑mi=1Di]2

×

[ ∑mi=1D

2i

∑mi=1 x[i]−

∑mi=1Di

∑mi=1[Di · x[i]]∑m

i=1D2im∑m

i=1Di · x[i]−∑m

i=1Di∑m

i=1 x[i]

] (3.3)

donde m representa en número de mensajes intercambiados por P y A, y


Di , T(A)1,i − T

(A)1,1 (3.4)

x[i] , T(P )2,i − T

(B)2,i − µ (3.5)

µ , d(AP ) − d(AB) (3.6)

donde d(AP ) y d(AB) son retardos determinísticos que modelan los tiempos de

propagación y de procesamiento de datos.

Nótese que los autores no hacen referencia a la probabilidad de falla en la comu-

nicación, asumiendo que todos los mensajes que envían los nodos transmisores son

perfectamente recibidos por los receptores.

La cota de Cramer-Rao (ver Apéndice A.4) tiene la siguiente forma [50]:

σ2θ≥

σ2∑N

i=1D2i

N∑N

i=1D2i − [

∑Ni=1Di]2

,

σ2Φ≥ σ2N

N∑N

i=1D2i − [

∑Ni=1Di]2

. (3.7)

3.4.3 Conclusión

PBS es un algoritmo e�ciente en energía ya que los nodos receptores no necesitan

realizar las transmisiones sino solamente escuchar los mensajes transmitidos por dos

nodos de referencia. Sin embargo, es importante recalcar que los nodos receptores

deben tener el hardware receptor activado, lo cual en algunos casos puede implicar un

gran consumo de energía, cercana a la energía necesaria para transmitir los mensajes.

3.5 Tabla comparativa

El Cuadro 3.1 muestra la comparación entre los protocolos de sincronización

RBS, TPSN y PBS.

Desde el punto de vista energético, PBS presenta mejor rendimiento que los de-

más protocolos, aunque a expensas de una estimación aislada para cada nodo. Debido

a que la complejidad algorítmica es una medida directa del consumo energético de

cada protocolo, el protocolo TPSN presenta un compromiso razonable entre interac-

ción de nodos en el proceso de estimación de reloj, y consumo energético para tal �n.

Sin embargo, es esperable que RBS sea la elección más ajustada para aplicaciones


que requieran buena respuesta dinámica ante cambios en la estructura de la red así

como también un nivel de interacción entre nodos apreciable.

Otra propiedad notable que se observa en la comparación del Cuadro 3.1 es que

de los tres algoritmos hasta aquí presentados, TPSN presenta la mejor relación de

compromiso entre �abilidad y colaboración en la estimación del reloj, a expensas de

un proceso de formación de jerarquía en tiempo real.

En de�nitiva, la elección del algoritmo de sincronización queda determinada por

diversos factores tales como la energía disponible para el proceso de sincronización

(presupuesto de energía), la topología de la red, las restricciones de retardo de la

aplicación, la �abilidad y la disponibilidad objetivo de la red. Estos factores serán

investigados en su conjunto en los siguientes capítulos de esta tesis, con el objetivo

de encontrar soluciones óptimas para casos generales de las aplicaciones de WSN.


Cuadro 3.1: Comparación entre RBS,TPSN y PBS

Propiedades RBS TPSN PBSTopología Malla Árbol Inde�nidaSoportaMultihop

Sí Si No especi�cado

MétricasEnergéticas

O(N2) O(N logN) O(1)

Interacción Alta Media Ninguna

O�set Estimación esta-dística usando va-lor medio de ob-servaciones entrepares

Estimacióntransmisor-receptor padre-hijo y correcciónde reloj en nodohijo

Estimación decuadrados míni-mos a partir deescuchar mensa-jes del nodo dereferencia

Skew Estimador poruna regresiónlineal entre parde nodos

No se estima Estimación decuadrados míni-mos a partir deescuchar mensa-jes del nodo dereferencia

Fortalezas Cancela las alea-toridades en lasobservacionesoperando con lasdiferencias de lasmismas

Escala a un grannúmero de nodosformando un ár-bol jerárquico

Los nodos no in-tercambian men-sajes, minimizanla energía de sin-cronización

Debilidades El algoritmo de-pende exclusiva-mente del nodo dereferencia. Se de-be agregar redun-dancia de nodoscomo mitigación.

La jerarquía sedebe formar ini-cialmente y cuan-do haya un cam-bio en la cantidadde nodos

Los nodos no secomunican entresí, por lo que nopueden estimar elreloj de los demásnodos.

Capítulo 4

Modelo Simpli�cado deSincronización E�ciente enEnergía

4.1 Introducción

Como se mencionó en los Capítulos 2 y 3, la sincronización es una funcionalidad

fundamental para garantizar la vida útil de los nodos que constituyen la WSN.

También se discutió que en el caso más general, no hay un mensaje común a todos

los nodos que contenga la información de tiempo de la red, por lo que los nodos

deben valerse de estimaciones de un reloj de referencia, las que producen ya sea en

aislamiento o en colaboración con otros nodos de la red.

Dado que el reloj de un nodo se puede modelar con una ecuación lineal dada por

(2.1), el mayor esfuerzo de sincronización consiste en estimar e�cientemente el o�set

de los relojes de los nodos de una red, y no tanto así el skew ya que se lo considera

aproximadamente constante para los períodos de sincronización.

Visto que la sincronización de tiempo implica un intercambio de mensajes y ope-

raciones de transmisión/recepción, ésta se convierte en una tarea que consume la

energía de los sensores que la llevan a cabo. Además, el canal de comunicación pue-

de sufrir perturbaciones, causando que los mensajes transmitidos no lleguen a sus

destinos, el cual constituye un desperdicio de energía para toda la red. En consecuen-

cia, la sincronización de tiempo implica un gasto de energía inevitable; sin embargo,

cuando se la logra, podría permitir importantes ahorros adicionales en el consumo

de energía a través de una adecuada administración de la energía de la red.

Tal como se aprecia en (3.1) y (3.3), la varianza de la estimación del o�set

disminuye conforme se incrementa el número de mensajes intercambiados. Es decir,

el error de la estimación mejora con el número de mensajes. Sin embargo el gasto

27

28 CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO

energético en el que incurren los nodos aumenta al incrementarse la cantidad de

mensajes intercambiados. Es esta relación de compromiso fundamental la que se

investigará a fondo en esta tesis para distintos escenarios de una red WSN.

De esta forma, el objetivo de este capítulo es encontrar un límite inferior universal

en la relación de compromiso �energía - error de sincronización�.

Este capítulo está organizado de la siguiente manera: la Sección 4.2 describe el

problema de estimación del o�set de reloj en función de la potencia de transmisión,

detallando el modelo de sistema, las relaciones de compromiso existentes, y propo-

niendo una solución óptima para dicha relación de compromiso. Adicionalmente se

investigan el desvanecimiento de pequeña y de gran escala, presentándose soluciones

óptimas para cada uno de los casos. La Sección 4.3 muestra los resultados de las

simulaciones, y �nalmente la Sección 4.4 plantea las conclusiones de este capítulo.

Parte de los contenidos de este capítulo fueron publicados en [15].

4.2 Error de Estimación del O�set en Función de la Po-tencia de Transmisión

4.2.1 Modelo de Sistema

En un nodo de una WSN, la potencia de transmisión y el error de sincronización

de reloj operan en diferentes capas del modelo, en inglés Open System Intercon-

nection (OSI) [26, p. 8]. Sin embargo, con la introducción del concepto de diseño

transversal a las capas, del inglés cross-layer design [64], todas las capas de imple-

mentación deben estar alineadas con el �n de lograr una solución óptima de energía.

Aún más, antes de la estimación, la recepción del mensaje en la capa física se produce

con una determinada probabilidad de falla en función de la potencia de transmisión

S, dada por la probabilidad de interrupción, o más comúnmente llamada probabili-

dad de outage del canal Pout, de�nida como la probabilidad que la potencia de la

señal recibida esté por debajo de un mínimo umbral aceptable por el receptor para

permitir la correcta recepción del mensaje [29, p. 45]. La probabilidad de outage

también se puede de�nir como la probabilidad de que la ganancia del canal esté por

debajo de un umbral de�nido por una capacidad umbral del canal [19, p. 20]. La

ganancia de un canal inalámbrico será discutida en más detalle en el Capítulo 6.

Considere que el o�set del reloj de cada nodo, denotado por θ, se estima con una

estimador insesgado θ y sea σ2θla varianza del estimador del o�set. El problema des-

crito en esta sección se centra en el hecho de que el nodo emisor A envía m mensajes

mientras que el nodo receptor B recibe en promedio m = m(1−Pout) mensajes. Por

este motivo, es deseable minimizar la probabilidad de outage de manera de recibir

CAPÍTULO 4. MODELO SIMPLIFICADO 29

la mayor cantidad posible de mensajes; sin embargo, a �n de reducir Pout, se debe

incrementar la potencia de transmisión S, por lo que se debe llegar a una situación

de compromiso entre la probabilidad de falla que se puede tolerar y la inversión

energética para alcanzar la misma.

Teniendo en cuenta que el error de la estimación depende del número de paquetes

recibidos con éxito m, es de interés encontrar la relación entre la varianza en la

estimación del o�set σ2θy la potencia de transmisión S. Por lo tanto, es necesario

tener en cuenta la dependencia del error de estimación con la cantidad de mensajes

recibidos, es decir, σ2θ(m), y el número de mensajes recibidos en función de la potencia

de transmisión, es decir, m(S).

Por último, en este capítulo se considera que los usos del canal inalámbrico son

independientes, es decir, el hecho de enviar un mensaje exitoso o fallido no condiciona

el éxito o la falla del próximo mensaje a enviar. Los efectos de la correlación del canal

en las relaciones de compromiso de la sincronización de WSN se investigan en detalle

en el Capítulo 6.

4.2.2 Planteo del Problema

La esperanza del número de paquetes recibidos con éxito m se relaciona con la

potencia de transmisión S como se muestra a continuación:

m = m (1− Pout(S)) (4.1)

lo cual es la esperanza de una variable binomial con probabilidad de éxito (1 −Pout(S)) y m ensayos descorrelacionados.

El principal desafío es encontrar la potencia de transmisión S que satisfaga la

siguiente condición:

mın(S) tal que σ2θ(m) < ε (4.2)

La ecuación (4.2) implica encontrar la mínima potencia de transmisión S que

garantiza la cantidad necesaria de los mensajes recibidos m de manera que el error

de estimación de o�set σ2θsea inferior a un nivel deseado ε, el cual queda determi-

nado por los requisitos de error de sincronización de la aplicación. Para estimadores

Cramer-Rao e�cientes (ver Apéndice A.4), se cumple la siguiente desigualdad [33, p.

34]:

σ2θ

=1

I(θ, m)< ε (4.3)


donde I(·) es la Información de Fisher (ver Apéndice A.4) del parámetro a estimar

θ en función del número de muestras recibidas m. Por lo tanto, el problema puede

plantearse como sigue:

Encontrar: mın(S) tal que I(θ, m) >1

ε. (4.4)

La ecuación (4.4) puede interpretarse como una expresión de diseño cross-layer

en redes de sensores inalámbricos, ya que relaciona una magnitud física (S) con un

parámetro de capa de aplicación (ε).

4.2.3 Optimización de Consumo Energético

La ecuación (4.4) implica encontrar la mínima potencia de transmisión S para

lograr el error de estimación deseado ε del o�set θ, recibiendo con éxito m mensajes

luego de transmitir m mensajes; sin embargo, esta ecuación no contempla la energía

requerida para alcanzar la solución óptima. Para tener en cuenta la optimización de

la energía, tanto la potencia de transmisión S (expresada en Watt) como el número

de mensajes transmitidos m deben ser minimizados conjuntamente. Por lo tanto, la

función Ec(S,m) dada por

Ec(S,m) = S mTM (4.5)

representa una medida de la energía empleada en el proceso de sincronización,

donde TM es la duración de cada mensaje de sincronización. El objetivo es entonces

minimizar Ec(S,m) tanto para el escenario de desvanecimiento de gran escala como

para el escenario de desvanecimiento de pequeña escala.

4.2.4 Función de Distribución Gaussiana del O�set

Como se muestra en (4.4), la Información de Fisher requiere la existencia de una

función de verosimilitud [33, p .29]. Teniendo en cuenta el caso de funciones de verosi-

militud con distribución Gaussiana, para m observaciones Gaussianas Independientes

e Idénticamente Distribuidas (i.i.d.) de θ, la función de distribución de probabilidad

conjunta se expresa como [33, p. 7]:

f(θ, m) =1

(2πσ2V )m/2

exp

[−

m∑i=1

(θi − θ)2

2σ2V

](4.6)

donde σ2V es la varianza de las perturbaciones que alteran las mediciones alrededor

del valor real del parámetro a estimar θ.

Operando con (A.13), (4.4) y (4.6), se obtiene:


I(θ, m) =m

σ2V

>1

ε. (4.7)

4.2.5 Relación de Compromiso Energía vs. Error de Estimación deClock con Desvanecimiento de Gran Escala

Los efectos de desvanecimiento de gran escala son aquellos que experimenta una

señal al viajar largas distancias y encontrarse con obstáculos en el camino que separa

el transmisor del receptor, siendo la distancia de propagación un factor determinante

en este escenario, como se describe en el Apéndice A.3.2.

Operando con (4.1), (4.4), (4.7) y (A.8), se observa que para una error de esti-

mación deseado ε, la potencia de transmisión S debe cumplir

Q

(SRx − (S + 10 logK − 10γ log(d/d0))

σψdB

)>σ2V

mε(4.8)

donde Q(·) es la función Q complementaria que calcula la probabilidad que una

distribución normal estándar sea mayor que el argumento dado [29, p. 182] (ver

Apéndice A.8.5), mientras que SRx es la sensibilidad de la antena del receptor a

la cual se produce el outage del canal, K modela el producto de las ganancias de

las antenas del transmisor y receptor, d es la distancia entre transmisor y receptor,

d0 es una distancia de referencia, γ es el exponente de pérdidas de camino y ψdBes una variable aleatoria que modela el desvanecimiento del canal inalámbrico (ver

Apéndice, Sección A.3.2).

La ecuación (4.8) muestra que para ε decreciente, ya sea la potencia S o el número

de mensajes enviados m deben incrementarse consecuentemente.

Estando Q(z) acotada por el intervalo (0, 1), la condición expresada por (4.8)

puede cumplirse si y sólo si σ2Vmε ∈ (0, 1). El rango de esta expresión está dominado

por m para un dado ε. Debido a que la función Q crece con S creciente, la potencia

de transmisión óptima Sopt se encuentra en el límite de la igualdad de (4.8). Entonces

es conveniente escribir esta ecuación en una función como sigue:

B(Sopt,m)cε = Q

(K1 − SoptσψdB

)−σ2V

mε= 0 (4.9)

con K1 = SRx − 10 logK + 10γ log(d/d0).

De (4.9), el número de mensajes transmitidos m se determina como:

dmmine =σ2V

εQ(K1−SoptσψdB

) . (4.10)


Reemplazando (4.10) en (4.5), el problema de minimización se plantea como1:

Minimizar Ec(Sopt,m(Sopt))

Sujeto a Sopt > 0 (4.11)

lo cual conlleva a plantear

dEc(Sopt,m(Sopt))

dSopt= 0. (4.12)

Es importante considerar que la optimización planteada en (4.12) es en principio

sin restricciones. Si la función Ec(Sopt,m(Sopt)) es convexa, entonces la minimización

arrojará un único resultado el cual será el óptimo para el problema planteado. Demos-

trar que Ec(Sopt,m(Sopt)) es convexa [11, p. 67] es en general un problema complejo,

aunque analizando los extremos se aprecia que lımSopt→0Ec = lımSopt→+∞Ec = +∞.

Entonces es necesario demostrar que existe un único valor que satisface (4.12) en la

región factible [11, p. 127], es decir aquel conjunto de valores que puede tomar la

variable que optimiza la función objetivo al tiempo que satisface todas las restriccio-

nes de la optimización, si es que las hubiera. En el caso de la optimización de Ec, la

región factible de la potencia de transmisión es Sopt ≥ 0. De esta manera, se arriba

al siguiente problema de optimización:

d

dSopt

100,1Soptσ2V

εQ(K1−SoptσψdB

) = 0. (4.13)

Operando matemáticamente, (4.13) deriva en la siguiente condición que optimiza

tanto la potencia de transmisión como el número de mensajes transmitidos:

Q

(K1 − SoptσψdB

)−

exp

[−1

2

(K1−SoptσψdB

)2]

0,23√

2πσψdB= 0 (4.14)

lo cual puede ser resuelto grá�camente para encontrar el valor óptimo Sopt, con la

condición de que Sopt ≥ K1. Las ecuaciones (4.10) y (4.14) representan una solución

e�ciente en energía dado el error de estimación objetivo ε bajo efectos de desvaneci-

miento de gran escala. En la Sección 4.3 se mostrarán algunos ejemplos de aplicación

de este resultado.

1Se realizaron cambios de escala para representar Sopt en dBm en la función Ec(S,m), ya queen la de�nición se expresa Sopt en Watt.


4.2.6 Relación de Compromiso Energía vs. Error de Estimación deClock con Desvanecimiento de Pequeña Escala

Los efectos de desvanecimiento de pequeña escala son experimentados por señales

que viajan cortas distancias, típicamente en ambientes interiores, y donde el nodo

receptor recibe varias versiones de la misma señal, producto de los múltiples caminos

resultantes de las re�exiones de la señal original en la geometría del entorno, como

se describe en el Apéndice A.3.2. La señal recibida es entonces una señal estocástica

cuya distribución de amplitud depende en gran medida de las características y la

geometría del medio ambiente.

Usando el límite de igualdad en (4.7) de manera de situarnos en el peor caso

desde el punto de vista de la varianza del estimador (ver (4.3)), e involucrando (A.9)

con (4.1), la relación entre la potencia de transmisión S, el número de mensajes

transmitidosm y el error de la estimación ε para efectos de pequeña escala se describe

mediante la siguiente expresión:

C(Sopt,m)cε = e−γ0σ2N/Sopt −

σ2V

mε= 0. (4.15)

De (4.15), m está determinado por

m =σ2V e

γ0σ2N/Sopt

ε. (4.16)

Reemplazando (4.16) en (4.5), el problema de minimización se transforma en

d

dSopt

(Soptσ

2V e

γ0σ2N/Sopt

ε

)= 0 (4.17)

lo cual tiene como solución

Sopt = γ0σ2N . (4.18)

Consecuentemente, usando (4.16), la expresión del mínimo número de mensajes

transmitidos m es

dmmine =eσ2

V

ε(4.19)

donde e = exp(1).

La ecuación (4.19) muestra una dependencia inversamente proporcional dem con

ε, lo cual re�eja la relación de compromiso existente entre el error de estimación y

el número de mensajes transmitidos, y su relación con el consumo de energía como

se determina en (4.5).


4.3 Resultados de las Simulaciones

De manera de ilustrar las ideas expuestas por este trabajo, se realizaron simula-

ciones para casos de referencia típicos como se detalla en [29, p. 50]. La Figura 4.1

muestra la dependencia del número de mensajes transmitidosm con la energía reque-

rida Ec(S,m) y la potencia de transmisión S bajo la in�uencia del desvanecimiento

de gran escala, para diferentes valores del error de la estimación ε. La contraparte

de desvanecimiento de pequeña escala se muestra en la Figura 4.2. Los resultados

muestran que es necesario ajustar �namente S para obtener un mínimo de m a �n

de minimizar la energía total de sincronización.

Figura 4.1: Número de mensajes transmitidos m (línea sólida) y la energía reque-rida Ec(S,m) (línea discontinua) en función de la potencia de transmisión S paradesvanecimiento de gran escala, para diferentes errores de estimación del o�set ε.Parámetros de la simulación: σ2

V = 1, SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, d/d0 =10, σψdB = 1dB, γ = 3,71.


Figura 4.2: Número de mensajes transmitidos m (línea sólida) y energía consumidaEc(S,m) (línea discontinua) en función de la potencia de transmisión S para des-vanecimiento de pequeña escala, para diferentes errores de estimación del o�set ε.Parámetros de la simulación: σ2

V = 1, γ0 = 7dB and σ2N = −87dBm.

4.4 Conclusiones

La sincronización de tiempo de una WSN se alcanza mediante el intercambio de

mensajes entre un nodo transmisor y un nodo receptor, combinado con técnicas de

estimación paramétricas que permitan la optimización del uso de los recursos de la

red. La cantidad mínima de energía necesaria para lograr un error de estimación

deseado, representada por el producto de la potencia de transmisión y el número de

mensajes enviados por el transmisor, se puede determinar mediante la introducción

del concepto de probabilidad de outage del canal inalámbrico tanto para el caso de

desvanecimiento de gran escala como para el caso de desvanecimiento de pequeña

escala. Una vez establecida una relación entre el error de estimación y la energía

empleada en el proceso de sincronización, se plantea un problema de minimización de

la energía empleada en el proceso de estimación. La resolución de dicha optimización

arroja un punto de trabajo óptimo para la relación de compromiso entre la energía

empleada y el error de sincronización, conformándose así una cota inferior óptima

para el caso de estimadores insesgados del o�set de reloj.


Los resultados generales obtenidos en este capítulo se han obtenido para el caso

particular de perturbaciones Gaussianas en las observaciones de un estimador in-

sesgado y Cramer-Rao e�ciente. Para otros estimadores que no cumplan con estas

condiciones, el error de estimación debe ser utilizado en lugar de la función de infor-

mación de Fisher con el �n de calcular los límites teóricos para ese caso particular,

los cuales estarán por encima de la cota inferior encontrada en este capítulo. Este

último escenario no es abordado por este trabajo.

Las cotas óptimas introducidas en este capítulo representan una base para el

problema de sincronización e�ciente en energía en WSN, lo cual signi�ca una con-

tribución al estado del arte en el área. En los próximos capítulos se extenderán los

resultados aquí presentados a diversos escenarios de manera de cubrir la amplia gama

de situaciones que se presentan en una red WSN.

Capítulo 5

Modelo Extendido deSincronización E�ciente enEnergía

5.1 Introducción

En el Capítulo 4 se formuló formalmente el problema de sincronización en WSN

y se presentó un modelo que introdujo las cotas óptimas que dominan la relación de

compromiso entre el error de sincronización y la energía empleada para tal �n. Sin

embargo, es necesario ahondar aún más en detalle en diversos problemas y situaciones

prácticas en lo que respecta a la sincronización de una WSN real.

En artículos recientes, como por ej. [1] y [27], se trata la problemática de la

e�ciencia energética desde una perspectiva de protocolo de comunicación, aunque sin

detallar los fenómenos existentes en un canal inalámbrico. Por ejemplo, [1] propone

un nuevo algoritmo, el protocolo Recursive Time Synchronization Protocol (RTSP),

el cual trata de minimizar el número de mensajes transmitidos en una WSN, aunque

sin incluir en el análisis las potencias de transmisión/recepción de cada sensor en el

problema de minimización.

Este capítulo está organizado de la siguiente manera: la Sección 5.2 presenta

un modelo sistema general extendiendo el modelo presentado en el Capítulo 4, la

Sección 5.3 muestra la aplicación de dicho modelo al caso de estimación de o�set

usando mensajes unidireccionales entre transmisor y receptor, la Sección 5.4 extien-

de los resultados encontrados en la Sección 5.3 al caso de mensajes bidireccionales

(es decir, de ida y vuelta) para la estimación del o�set, y en la Sección 5.5 se ge-

neraliza el problema para el caso de mensajes n saltos; la Sección 5.6 muestra un

ejemplo de aplicación de los resultados obtenidos para el caso de mensaje de ida

y vuelta aplicados al protocolo RBS; luego la Sección 5.7 ilustra los resultados de

37

38 CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO

las simulaciones de las contribuciones de este capítulo; y �nalmente la Sección 5.8

expone las conclusiones de este capítulo.


5.2 Modelo de Sistema

En esta sección se extienden los conceptos descriptos en la Sección 4.2.1 con-

templando perturbaciones Gaussianas y exponenciales del valor real del o�set de los

relojes de los nodos, así como también el caso de múltiples saltos en las comunica-

ciones.

Siguiendo el mismo razonamiento y las mismas hipótesis planteadas en la Sección

4.2.1, el retardo medio por mensaje, denotado por δ, queda de�nido por la tasa de

mensajes recibidos con éxito como se muestra a continuación:

δ = TMm

E[M(m,Pout)]=

TM1− Pout

(5.1)

donde TM es la duración del mensaje, y E[M(m,Pout)] es la esperanza del nú-

mero de mensajes exitosamente recibidos al enviar m mensajes por un canal con

probabilidad de outage Pout y sin correlación. Fundamentalmente, E[M(m,Pout)] =

m (1−Pout). Por lo tanto, reducir la probabilidad de outage también reduce el tiempo

de sincronización. Es decir, en aplicaciones en las cuales el tiempo de sincronización

es crítico, se puede ajustar el rendimiento mediante la regulación de la potencia de

transmisión. Sin embargo, esto debe equilibrarse con el presupuesto energético de la

aplicación, con el �n de reducir Pout, la potencia de transmisión S se debe aumentar.

Teniendo en cuenta que el error de la estimación depende del número de mensajes

recibidos con éxito m, es interesante encontrar la relación σ2θ

= f(S). Por lo tanto,

es necesario tener en cuenta la dependencia del error de estimación del o�set con la

cantidad de mensajes recibidos, es decir, σ2θ(m), y el número de mensajes recibidos

como función de la potencia de transmisión, es decir, m(S).

A continuación se analizan los casos de perturbaciones con distribuciones Gaus-

sianas y exponenciales, las cuales contaminan el valor real del o�set θ a estimar.

Como se explica en [31, 49], siguiendo la notación de Kendall se puede utilizar una

cola M/M/1 [65, p. 14] para representar el retardo acumulado en la conexión de

referencia de punto a punto, donde los retardos aleatorios se modelan de forma

independiente como variables aleatorias exponenciales. Los retardos aleatorios ex-

ponenciales tienen sus orígenes en el tiempo de acceso al medio y los tiempos de

procesamiento de los nodos. La razón por la cual se adopta una Función de Densi-

dad de Probabilidad (FDP) Gaussiana es debido al Teorema del Límite Central [5,

CAPÍTULO 5. MODELO EXTENDIDO 39

p. 290], que a�rma que la FDP de la media aritmética de un gran número de va-

riables aleatorias i.i.d. es aproximadamente Gaussiana. Este modelo será adecuado

si los retardos se asumen como la suma de varios procesos aleatorios independientes

[49]. Además de esto, cuando los nodos están estimando las magnitudes por medio

de la técnica estampa de tiempo a nivel de capa MAC, el ruido de estimación es

Gaussiano ya que las incertidumbres en los tiempos de envío, acceso y transmisión

se cancelan [28, 62].

En este capítulo, se aborda el problema de sincronización desde la perspecti-

va local de un nodo que se sincroniza con un nodo vecino, independientemente del

tamaño de la red y la topología. Sin embargo, se considera que las posiciones espa-

ciales de los nodos permanecen aproximadamente constantes durante el proceso de

sincronización. El análisis aquí presentado constituye un límite inferior universal en

la relación de compromiso �energía - error de sincronización�.

Adicionalmente, se considera que el canal inalámbrico es sin memoria e inva-

riante en el tiempo, lo que signi�ca que cada uso del canal será independiente y no

correlacionado con los demás usos, es decir, que los usos se someterán a efectos de

desvanecimiento i.i.d. [29]. En otras palabras, dos mensajes subsiguientes enviados

a través del canal inalámbrico presentarán perturbaciones independientes y no co-

rrelacionadas. Aunque esta situación no siempre está presente en la práctica, este

supuesto simpli�ca el problema matemático, mientras que al mismo tiempo permite

profundizar en el problema general. Esta condición puede ser aplicable a los canales

de desvanecimiento rápido así como a sensores en movimiento, donde la distancia de

desplazamiento ∆d de un sensor es mucho menor que la distancia d que separa un

par de sensores. En un escenario típico donde los sensores inalámbricos transmiten

a una frecuencia de 2,4 GHz, con una longitud de onda de λ = 12, 5 cm, bastará con

que ∆d ≈ λ y d ≥ 1,25 m para que la hipótesis se cumpla.

5.2.1 Múltiples Dominios de Broadcast

La Figura 5.1 muestra una situación en donde los nodos desplegados en una

red que contiene diferentes dominios de broadcast necesitan comunicarse entre sí a

través de un nodo intermedio. Inicialmente se investigará el escenario de intercambio

de mensajes unidireccionales, donde el nodo u1 envía mensajes al nodo u2, y este

último estima el o�set del reloj del nodo u1 sin intercambio de mensajes. Después

de presentar una solución a este problema, se investiga el escenario de intercambio

de mensajes bidireccionales, donde el nodo u2 responderá mensajes al nodo u1, y

ambos estimarán sus o�sets. Por último, se amplían los resultados al caso en el que

el nodo u1 tiene que comunicarse con el nodo u3 a través del nodo u2, teniendo


así un intercambio de mensajes de 4 caminos (nodo u1 - nodo u2, nodo u2 - nodo

u3, y los mensajes de retorno hasta llegar al nodo u1), una situación que puede ser

generalizada a n saltos si hay n/2 dominios de difusión y todos los sensores necesitan

comunicarse entre sí en la red. Por lo tanto, mediante el intercambio de mensajes de

n saltos se aborda el problema de las comunicaciones de múltiples saltos (multi-hop)

en una WSN multi-dominio.

Figura 5.1: Topología de red con múltiples dominios de broadcast que requiere co-municación multi-hop.

5.2.2 Problema a Resolver: Optimización de Energía

Retomando la expresión (4.4), es deseable extender el problema para que se con-

sidere también la variación del retardo en función de la probabilidad de outage.

Además, para lograr una solución más abarcativa de la optimización de la energía,

tanto la energía del transmisor como del receptor deben ser minimizadas; la primera

depende de la potencia de transmisión S y el número de mensajes transmitidos m,

mientras que la segunda se determina por el tiempo total que el circuito receptor está

encendido. A priori, el tiempo durante el cual el receptor está encendido podría de�-

nirse como m δ = mTM . Sin embargo, este tiempo es igual al tiempo de transmisión

total, mientras que el nodo receptor debe estar encendido durante más tiempo con

el �n de recibir todos los mensajes, ya que no se puede saber de antemano cuándo

llegará el mensaje. Luego, se espera que el receptor evalúe las propiedades del canal

y aumente su tiempo de recepción en un factor lineal con 1/(1−Pout). De esta forma,

es necesario que el nodo receptor estime Pout a partir de las observaciones disponi-

bles. Por lo tanto, el total de tiempo de recepción es m δ/(1− Pout) = mδ > mTM .

Dicho esto, la función total de energía para un par de nodos (i, j), donde el nodo uiestá transmitiendo mensajes al nodo uj , se puede expresar de la siguiente manera:


Ecij = Eci + Ecj

= S mTM + η S mδ

= S mδ (TMδ

+ η)

= S mδ (1 + η − Pout) (5.2)

donde TM/δ = 1− Pout según (5.1) y η , SRx/S representa la relación entre la

potencia de recepción y la potencia de transmisión, que normalmente cae en el rango

de 0, 5 v 0,8 para transceptores comerciales [68]. Aunque la energía en (5.2) depende

(1 + η − Pout) ∈ (η, 1 + η), este término tiene una variación suave con S por lo que

no contribuye fuertemente a la variación global como lo hacen el resto del incógnitas

S, m y δ, lo que puede presentar una variación ilimitada como se mostrará en la

sección 5.5. Por lo tanto, es su�ciente para minimizar el producto de S, m y δ para

encontrar el punto de trabajo de energía mínimo. Luego, sea:

Ec(S,m, δ) = S mδ (5.3)

una medida de la energía empleada en el proceso de sincronización. Así, el objeti-

vo es reducir al mínimo la función Ec(S,m, δ) tanto para efectos de desvanecimiento

de pequeña escala como de gran escala. Esta será la principal motivación a lo largo

del resto de este capítulo.

5.2.3 Funciones de Distribución de Probabilidad del O�set

5.2.3.1 Función de Distribución de Probabilidad Gaussiana

Los resultados obtenidos en la Sección 4.2.4 para el caso de FDP Gaussiana del

o�set se extenderán al caso de comunicación unidireccional, bidireccional y multi-

hop en las Secciones 5.3, 5.4 y 5.5. A continuación se investiga el caso de FDP

exponenciales del o�set, para luego ser generalizado en las secciones antedichas tal

como se hará para el caso Gaussiano.

5.2.3.2 Función de Distribución de Probabilidad Exponencial

Considere el caso en el que el o�set θ se estima a partir de m observaciones afec-

tadas por retardos aleatorios exponenciales. Sea el estimador del o�set con mensajes

unidireccionales dado por:

θ = θ +Xe − Xe (5.4)


donde Xe es el retardo del canal con FDP exponencial, y Xe = E[Xe] es la esperanza

de X, de manera que θ es un estimador insesgado. La FDP de X se puede expresar

como [4, p. 56]:

fXe(x) = λe exp (−λe x) , x ≥ 0 (5.5)

donde Xe = 1/λe y σ2V = 1/λ2

e son la esperanza y la varianza del retardo X,

respectivamente. La FDP conjunta después de mmensajes i.i.d. recibidos se convierte

en:

f(θ, m) = λm exp [−m λe (θ − θ + Xe)] , θ − θ + Xe ≥ 0. (5.6)

Aplicando (A.13), la información de Fisher para retardos exponenciales queda de�-

nida por:

I(θ, m) = m2 λ2e =

m2

σ2V

. (5.7)

Para simpli�car la notación, se simboliza el caso de retardos Gaussianos con el

parámetro ρ = 1 y retardos exponenciales con ρ = 2.

5.3 Error de Estimación de O�set con Mensajes Unidi-reccionales en Función de la Potencia de Transmisión

5.3.1 Motivación

La estimación de o�set de reloj por medio de mensajes unidireccionales representa

una situación e�ciente en energía para cada nodo receptor, ya que no requiere poner

en práctica un mecanismo de intercambio de mensajes, mientras que puede minimizar

la operación de su radiotransmisor un vez recibido el número requerido de mensajes.

El protocolo Flooding Time Synchronization Protocol (FTSP) [45], hace uso de esta

técnica, donde cada nodo produce una estimación del o�set del transmisor a través

de una regresión lineal.

5.3.2 Desvanecimiento de Gran Escala por Pérdidas de Propaga-ción y Sombreado

La contraparte de (4.8) para retardos Gaussianos (ρ = 1) y exponenciales (ρ = 2)

está dada por:[mQ

(SRx − [S + 10 logK − 10γ log(d/d0)]

σψdB

)]ρ>σ2V

ε(5.8)


la cual lleva a reescribir (4.9) como

B(Sopt,m)cε =

[mQ

(K1 − SoptσψdB

)]ρ−σ2V

ε= 0 (5.9)

con K1 = SRx − 10 logK + 10γ log(d/d0). De (5.9), el número de mensajes transmi-

tidos m está determinado por

dmmine =1

Q(K1−SoptσψdB

) (σ2V

ε

)1/ρ

. (5.10)

Consecuentemente, el retardo δ adopta la siguiente forma bajo efectos de desvaneci-

miento de gran escala:

δmin =TM

Q(K1−SoptσψdB

) (5.11)

Reemplazando (5.10) y (5.11) en (5.3), y expresando Sopt en dBm, el problema de

minimización se puede escribir como:

dEcdSopt

=d(100,1Soptmmin δmin)

dSopt= 0

⇒ d

dSopt

TM 100,1Sopt

Q2(K1−SoptσψdB

) (σ2V

ε

)1/ρ = 0. (5.12)

De�niendo u = (K1 − Sopt)/σψdB , se reescribe (5.12) como:

2Q′(u)

σψdB Q(u)+ 0,23 = 0. (5.13)

Considerando Q′(u) = −(2π)−1/2 exp(−u2

2

), y reemplazando Sopt = K1 − σψdB u,

(5.12) tiene la siguiente solución para la optimización conjunta de la potencia de

transmisión y recepción:

Q

(K1 − SoptσψdB

)−

2 exp[−1

2

(K1−SoptσψdB

)2]

0,23√

2πσψdB= 0 (5.14)

la cual puede ser resuelta grá�camente para encontrar el valor óptimo Sopt, con

Sopt ≥ K1. Las ecuaciones (5.10) y (5.14) son una solución e�ciente en energía para

el error de estimación objetivo ε bajo efectos de desvanecimiento de gran escala.


5.3.3 Desvanecimiento de Pequeña Escala por Multi-camino

La ecuación (4.15) puede extenderse para contemplar retardos Gaussianos(ρ = 1)

y exponenciales(ρ = 2) según:

C(Sopt,m)cε =

[m exp

(−γ0σ

2N

Sopt

)]ρ−σ2V

ε= 0. (5.15)

El número de mensajes transmitidos m se determina según:

m =

(σ2V

ε

)1/ρ

exp(γ0σ

2N

Sopt

). (5.16)

El retardo δ bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala se puede describir

como:

δmin = TM exp(γ0σ

2N

Sopt

). (5.17)

Reemplazando (5.16) y (5.17) en (5.3), el problema de minimización se expresa como:

d

dSopt=d(Soptmmin δmin)

dSopt= 0

⇒ d

dSopt

[(σ2V

ε

)1/ρ

TM Sopt exp(

2γ0σ2N

Sopt

)]= 0

(5.18)

donde Sopt está expresado en Watt. La ecuación (5.18) tiene como solución

Sopt = 2γ0σ2N . (5.19)

En consecuencia, según (5.16), la expresión de la cantidad mínima de mensajes trans-

mitidos m es

dmmine = e1/2

(σ2V

ε

)1/ρ

(5.20)

La ecuación (5.20) muestra una dependencia inversamente proporcional dem con

el error de la estimación ε, lo cual exhibe la relación de compromiso existente entre

los mismos.


5.4 Error de Estimación de O�set con Mensajes Bidirec-cionales en Función de la Potencia de Transmisión

5.4.1 Motivación

Hasta ahora, se investigó el problema del mensaje de estimación con mensa-

jes unidireccionales. En esta sección, se extienden los resultados a la técnica más

utilizada para estimar el o�set (y también el skew) del reloj en el problema de la sin-

cronización de tiempo en WSN, es decir, el mecanismo de intercambio de mensajes

bidireccionales (ver [49, 22] para más detalle acerca de sincronización de WSN con

mensajes bidireccionales).


Considere la situación en la que dos nodos ui y uj producen estimaciones locales

de sus respectivos o�sets de reloj basados en el número de observaciones (mensa-

jes) intercambiado entre ellos, como es el caso de TPSN o RBS. Aunque estos dos

protocolos de sincronización di�eren en naturaleza, ambos explotan el intercambio

bidireccional de mensajes con el �n de lograr la sincronización. En un escenario de

mensaje bidireccional, cada nodo ui calculará una muestra válida si y sólo si a) tiene

éxito en entregar un mensaje al nodo uj y, b) recibe la respuesta asociada a este

mensaje; esto signi�ca que tanto los mensajes transmitidos como respondidos deben

ser entregados con éxito al destino. Para ser más especí�cos, considere que el nodo uienvía un mensaje mk

ij al nodo uj en el instante tk. El nodo ui va a esperar el mensaje

de respuesta mkji del nodo uj asociado al instante de tiempo tk para el cálculo de la

k-ésima muestra de estimación. Esta propiedad de la naturaleza del mecanismo de

intercambio de mensajes bidireccionales que hace que dos mensajes independientes

se encadenen para producir una muestra de estimación válida será más explotado en

las siguientes secciones.

Realizando las hipótesis más comúnmente adoptadas en la literatura, se considera

que todos los nodos de la red son constructivamente idénticos, lo que signi�ca que

todos los nodos tienen la misma Signal-to-Noise Ratio (SNR) mínima aceptable por

el receptor γ0, y además transmiten señales a través de un canal simétrico en un

entorno con la misma potencia de ruido de pequeña y gran escala, denotadas por σ2N

y σ2ψdB

, respectivamente. Además de esto, considere que las señales transmitidas en

un enlance ascendente o descendente estarán sometidas al mismo proceso estocástico

desde el punto de vista del ruido, es decir con la misma media, varianza y distribución.

En resumen, se asume que:


σ2Ni = σ2

Nj

γ0i = γ0j

σψdBi = σ2ψdBj

∀i, j = 1, 2, . . . , N. (5.21)

5.4.3 Planteo del Problema

Recordando la sección 5.2.2, es deseable encontrar contraparte para el intercam-

bio de mensajes bidireccionales. Puesto que cada nodo individual ui procesará la

k-ésima muestra de estimación basado en el mensaje que envía al nodo uj y su res-

puesta asociada, se puede expresar la probabilidad de que el nodo ui reciba una

muestra válida de su nodo vecino uj en el instante tk como:

P kij→ji = P (ski→j ∩ skj→i) (5.22)

donde ski→j indica que el nodo uj recibió exitosamente el mensaje enviado por el

nodo ui en el instante tk.

Dado que los mensajes enviados por los nodos son independientes de los mensajes

del otro, y cada uso del canal es también una variable aleatoria i.i.d., (5.22) se puede

reescribir como:

P kij→ji = P (ski→j)P (skj→i)

= (1− P kouti→j) (1− P koutj→i

). (5.23)

Debido a que se asumieron nodos idénticos inmersos en un canal simétrico inva-

riante en el tiempo, se reescribe (5.23) de la siguiente manera:

P kij→ji , PkRTSij = [1− Pout(S)]2 ∀k (5.24)

donde P kRTSij es la probabilidad de éxito de ida y vuelta para el mensaje enviado

en el instante tk entre los nodos ui y uj , y Pout(S) es la probabilidad de outage

tradicional de�nida en la Sección 5.3. La ecuación (5.24) indica que, para un nodo

dado, la probabilidad de recibir una muestra de estimación de ida y vuelta válida

depende del cuadrado de la probabilidad de outage del canal inalámbrico. Por otra

parte, resultados encontrados en las Secciones 5.3.2 y 5.3.3 deben recalcularse con

este nuevo factor de éxito del canal. La contraparte de (4.1) bajo un escenario de


mensajes bidireccional se convierte en:

m = mPRTS = m [1− Pout(S)]2 (5.25)

donde PRTS = P kRTSij para cada par (i, j) y para todo k.

5.4.4 Efectos de Desvanecimiento de Gran Escala

Combinando (A.8) con (5.24), la probabilidad de éxito de ida y vuelta PRTS es

igual a Q(z(S))2. Por lo tanto, esto lleva el problema efectos de desvanecimiento

gran escala a la siguiente solución:

Q

(K1 − SoptσψdB

)−

4 exp[−1

2

(K1−SoptσψdB

)2]

0,23√

2πσψdB= 0 (5.26)

con Sopt ≥ K1. Para la potencia de transmisión mínima encontrada en (5.26), el

número mínimo de mensajes transmitidos viene dada por:

dmmine =1

Q2(K1−SoptσψdB

) (σ2V

ε

)1/ρ

(5.27)

Sin embargo, se espera que el retardo en este escenario sea el doble que el retardo

encontrado para el caso de mensajes unidireccionales:

δmin =2TM

Q2(K1−SoptσψdB

) (5.28)

5.4.5 Efectos de Desvanecimiento de Pequeña Escala

Con la introducción de PRTS , (5.18) tendrá su exponente incrementado en un

factor de 4, lo cual se puede considerar como un aumento en la potencia de ruido

σ2N . Por lo tanto, la obtención de la tupla (Sopt,mmin, δmin) es sencillo:

Sopt = 4γ0σ2N

dmmine = e1/4

(σ2V

ε

)1/ρ

δmin = 2 e1/4 TM (5.29)

Esto demuestra que el impacto de los efectos de desvanecimiento de pequeña esca-

la para el escenario de mensajes de ida y vuelta se puede linealizar al número de

excursiones circulares necesarias para la obtención de un único mensaje válido. Es


interesante observar que el número mínimo de mensajes mmin se mantiene sin cam-

bios con respecto al escenario unidireccional para la igualdad de ε, mientras que la

variable de ajuste sigue siendo la potencia de transmisión S.

5.5 Error de Estimación de O�set con Mensajesn-direccionales en Función de la Potencia de Trans-misión

Se puede generalizar el problema investigado en las secciones anteriores para

ambos escenarios de desvanecimiento. Sea una muestra de estimación compuesta de

n mensajes intercambiada entre nodos ui y uj por un canal estacionario simétrico.

Un valor de n = 1 representa mensajes unidireccionales, n = 2 corresponde a los

mensajes bidireccionales, y así sucesivamente. Una situación en la que un único

nodo produce una sola muestra de estimación basada en n mensajes representará un

mecanismo de intercambio de mensajes n-direccionales. Entonces se pueden realizar

las siguientes generalizaciones para cada situación de desvanecimiento del canal.

5.5.1 Efectos de Desvanecimiento de Gran Escala

Q

(K1 − SoptσψdB

)=

2n exp[−1

2

(K1−SoptσψdB

)2]

0,23√

2πσψdB

dmmine =1

Qn(K1−SoptσψdB

) (σ2V

ε

)1/ρ

δmin =TM

Qn(K1−SoptσψdB

) (5.30)

5.5.2 Efectos de Desvanecimiento de Pequeña Escala

Sopt = 2nγ0σ2N

dmmine = e1/(2n)

(σ2V

ε

)1/ρ

δmin = n e1/(2n) TM (5.31)

La ecuación (5.30) muestra que para aumentar n, tanto mmin como δmin crecen

ilimitadamente ya que |Q| → 0 a medida que n→ +∞ debido a que |Q| < 1. Por lo


tanto, Sopt tiene que aumentar a �n de mantener Q → 1−, por lo que mmin y δminno experimentan un crecimiento abrupto conforme se incrementa n. Para efectos de

pequeña escala, como se muestra en (5.31), Sopt aumenta linealmente con n para

lograr el error de estimación objetivo ε; asimismo, el retardo medio de mensaje δminaumenta sin límites con n, lo que representa una desventaja ya sea desde el punto

de vista energético como de aplicación. Finalmente, el número mínimo de mensajes

mmin depende principalmente en forma inversamente proporcional a ε.

5.6 Ejemplo de Aplicación al Algoritmo RBS

En esta sección, se utilizará el protocolo RBS descripto en la Sección 3.2 co-

mo ejemplo para aplicar los límites teóricos antes mencionados. En RBS, un par

de nodos receptores se sincronizan mediante la estimación de o�sets relativos a ca-

da uno después de recibir una señal de referencia común que se supone que llega

simultáneamente a todos los nodos dentro del mismo dominio de broadcast. Este

enfoque, llamado sincronización de receptor-receptor, elimina la parte principal no

determinística del retardo de recepción debido a la característica de broadcast del

canal inalámbrico. Por lo tanto, cada par de nodos vecinos (ui, uj) intercambiará sus

observaciones del mensaje de referencia y estimará el o�set relativo a su vecino θijcon el siguiente estimador:

θij =1

m

m∑k=1

(Tj,k − Ti,k). (5.32)

Considerando que Tj,k = Tk+θij+xk y Ti,k = Tk+yk, donde xk y yk representan

ruido AWGN con igual media µz y varianza θ2V /2, mientras que Tk es el tiempo

absoluto correspondiente a la muestra producida en el instante tk, se puede reescribir

(5.32) como sigue:

θij =1

m

m∑k=1

(θij + zk) (5.33)

donde zk , xk − yk es una variable aleatoria con distribución Gaussiana N(0, σ2V ).

Lema 1 De (5.33), RBS estima el o�set entre los nodos ui y uj a través de la mediamuestral, que es un estimador insesgado de varianza mínima, del inglés MinimumVariance Unbiased Estimator (MVUE) [33, p. 20] de θij, alcanzando la cota deCramer-Rao. Entonces, los límites inferiores generales que se muestran en la sec-ción 5.2.2 son perfectamente aplicables al protocolo de RBS.

La demostración del Lema 1 se encuentra en el Apéndice B.1.



Esta sección expone los resultados de las simulaciones para los parámetros típicos

de una WSN como se indica en [29, p. 27-60] para el mecanismo de intercambio de

mensajes más comúnmente utilizado, es decir, intercambio bidireccional (n = 2).

La Figura 5.2 y la Figura 5.3 muestran la dependencia de la cantidad de mensajes

transmitidos m y la energía requerida Ec(S,m, δ) con la potencia de transmisión

S bajo la in�uencia de desvanecimiento de gran escala, para retardos Gaussianos y

exponenciales, respectivamente, y para diferentes valores del error de estimación ε. La

contraparte de pequeña escala o desvanecimiento de Rayleigh se muestra en la Figura

5.4 y la Figura 5.5, para retardos Gaussianos y exponenciales, respectivamente. Los

resultados muestran que es necesario ajustar �namente S para obtener un mínimo

m a �n de minimizar la energía total de sincronización.

Figura 5.2: Número de mensajes transmitidos m y energía de sincronización reque-rida Ec(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimientode gran escala, y para diferentes errores ε de la estimación del o�set usando mensa-jes bidireccionales, con retardos Gaussianos. Parámetros de la simulación: σ2

V = 1,SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, d/d0 = 10, σψdB = 1dB, γ = 3,71, TM = 1s,ρ = 1 [29, p. 27-60].


Figura 5.3: Número de mensajes transmitidosm y energía de sincronización requeridaEc(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimiento degran escala, y para diferentes errores ε de la estimación del o�set usando mensajesbidireccionales, con retardos exponenciales. Parámetros de la simulación: σ2

V = 1,SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, d/d0 = 10, σψdB = 1dB, γ = 3,71, TM = 1s,ρ = 2 [29, p. 27-60].

A medida que el número de saltos n aumenta, los mínimos de energía se mueven

hacia valores más altos de S para ambos escenarios desvanecimiento; esto signi�ca

que las redes de sensores multi-hop densas (n grande) requerirán más energía de

sincronización. Ejemplos de este tipo de redes se pueden encontrar en [55], aplicada

a la agricultura y la vigilancia geográ�ca. Figura 5.6 muestra los mínimos de energía

para el desvanecimiento de gran escala y ruido Gaussiano, donde se puede observar

que el crecimiento de Ec(S,m, δ) es bastante suave debido al hecho de que Sopttiende a maximizar la función-Q para mantener el valor de mmin y δmin tan pequeño

como sea posible. La contraparte de desvanecimiento a pequeña escala y ruido de

Gaussiano se muestra en Figura 5.7, donde la situación de mejor esfuerzo exhibe un

crecimiento lineal de la función de energía con el número de saltos; para valores de

la potencia de transmisión menores que Sopt, se prevé un crecimiento exponencial de

Ec(S,m, δ) al aumentar n, según lo dictado por (5.31).


Figura 5.4: Número de mensajes transmitidosm y energía de sincronización requeridaEc(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimiento depequeña escala, y para diferentes errores ε de la estimación del o�set usando mensajesbidireccionales, con retardos Gaussianos. Parámetros de la simulación: σ2

V = 1, γ0 =7dB, σ2

N = −87dBm, TM = 1s, ρ = 1 [29, p. 27-60].

5.8 Conclusiones

La cantidad mínima de energía total requerida para lograr una error de estima-

ción deseado está completamente caracterizada por el producto de la potencia de

transmisión S, número de mensajes m y el promedio de retardo mensaje δ.

En esta sección se han analizado en detalle el problema de sincronización de

WSN en los escenarios de intercambio de mensajes unidireccionales y bidireccionales,

habiéndose encontrado cotas inferiores óptimas para cada caso. Adicionalmente, se

ha demostrado que el algoritmo de sincronización RBS alcanza los límites teóricos

para el caso de intercambio de mensajes unidireccionales.

Finalmente, se extendieron los resultados al caso de mensajes de n-direccionales,

lo cual sirve como base para la generalización del problema de sincronización e�ciente

en energía en redes de sensores inalámbricos multi-hop con alta densidad de nodos,

tal como es el caso de la Internet de las Cosas.

En los siguiente capítulos, se hará foco en el análisis de una WSN genérica con el


Figura 5.5: Número de mensajes transmitidosm y energía de sincronización requeridaEc(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimiento depequeña escala, y para diferentes errores ε de la estimación del o�set usando mensajesbidireccionales, con retardos exponenciales. Parámetros de la simulación: σ2

V = 1,γ0 = 7dB, σ2

N = −87dBm, TM = 1s, ρ = 2 [29, p. 27-60].

objetivo de encontrar la relación de compromiso entre energía y error de sincroniza-

ción para una red genérica, con nodos que se encuentran en movimiento y los efectos

asociados al respecto, e incluso incorporando en el análisis el caso de sensores con

capacidad de captura de energía.


Figura 5.6: Mínima energía de sincronización Ec(S,m, δ) en función del númerode saltos n para desvanecimiento de gran escala, y para diferentes errores ε de laestimación del o�set, con retardos Gaussianos. Parámetros de la simulación: σ2

V = 1,γ0 = 7dB, σ2

N = −87dBm, TM = 1s, ρ = 1 [29, p. 27-60].


Figura 5.7: Mínima energía de sincronización Ec(S,m, δ) en función del número desaltos n para desvanecimiento de pequeña escala, y para diferentes errores ε de laestimación del o�set, con retardos Gaussianos. Parámetros de la simulación: σ2

V = 1,γ0 = 7dB, σ2

N = −87dBm, TM = 1s, ρ = 1 [29, p. 27-60].

Capítulo 6

Sincronización de Nodos enMovimiento

6.1 Introducción

En este capítulo se investigará el efecto del movimiento relativo de los nodos en las

relaciones de compromiso entre la energía de sincronización y el error de estimación

del o�set de reloj. El estudio de dichas relaciones de compromiso con nodos en

movimiento revelará el efecto del desvacenimiento del canal de comunicación en las

cotas óptimas estudiadas en los Capítulos 4 y 5.

Parte de los contenidos de este capítulo fueron publicados en [16] y [13].

6.2 Sincronización de Nodos en Movimiento con Desva-necimiento de Gran Escala

6.2.1 Introducción

En los capítulos anteriores se introdujeron las relaciones de compromiso existen-

tes entre el error de sincronización y la energía empleada en el proceso de sincro-

nización, aunque sin contemplar en el análisis el movimiento de los nodos. En esta

sección se presenta la dependencia de las relaciones de compromiso con la velocidad

y más precisamente con la distancia entre nodos, para el caso de desvanecimiento a

gran escala, una situación que está presente en un entorno realista donde los nodos

cambian su distancia relativa dentro de una red.

La situación de movimiento de nodos afectados por el desvanecimiento de gran

escala se presenta típicamente en aplicaciones vehiculares y en redes ad-hoc [29,

p. 550], especialmente en el caso de redes en entornos exteriores en las cuales la

atenuación por propagación toma un papel dominante.

57

58 CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO

De manera de completar el estudio de nodos en movimiento, se investiga en la

Sección 6.3 el caso de nodos móviles afectados por desvanecimiento de pequeña escala

y con canal Rayleigh con correlación.

A continuación se expande el problema de sincronización de nodos con mensa-

jes unidireccionales, partiendo de la base del modelo de sistema introducido en el

Capítulo 5, para el caso de perturbaciones Gaussianas del o�set.

6.2.2 Estimación de O�set con Mensajes Unidireccionales y Nodosen Movimiento con Desvanecimiento de Gran Escala

La motivación es nuevamente minimizar la energía consumida Ec(S,m, δ), dada

por (5.3), a lo largo del proceso de sincronización mientras se obtiene el error de

estimación ε deseado. La innovación en este capítulo es investigar la dependencia de

dicho problema de optimización con la variación de la distancia entre nodos d.

Recordando la expresión (5.9) que relaciona la atenuación de gran escala con el

error de sincronización ε y la mínima potencia de transmisión Sopt, se puede reescribir

la misma en función de la distancia d entre nodos como sigue:

B(Sopt,m, d)cε = Q

(K1(d)− Sopt

σψdB

)−σ2V

mε= 0 (6.1)

con

K1(d) , SRx − 10 logK + 10γ log(d/d0). (6.2)

Para nodos que se mueven a una velocidad relativa v, la distancia d entre ellos

en el instante de tiempo t queda determinada por:

d = d(t) = d0 + v t (6.3)

donde d0 es la distancia inicial entre los nodos que intercambian mensajes. La

ecuación (6.3) es una expresión escalar debido al hecho de que se investigan los fun-

damentos del problema de balance de energía con dos nodos que se comunican entre

sí; para el caso general de N nodos, la expresión se convierte en una ecuación vec-

torial (lo cual estará fuera del alcance de esta tesis). Además, v puede ser positivo o

negativo; en el caso de velocidad relativa negativa (nodos acercándose), se conside-

rará que la distancia instantánea de los nodos d cumple d(t) > dmin para todo t con

el �n de permanecer en el escenario de efectos de desvanecimiento de gran escala. La

distancia mínima de dmin para los efectos de gran escala es típicamente 10 m para

aplicaciones de interiores y 100 m para aplicaciones de exteriores [29, p. 24].

CAPÍTULO 6. SINCRONIZACIÓN DE NODOS EN MOVIMIENTO 59

6.2.2.1 Minimización de Energía para Nodos en Movimiento para Per-turbaciones Gaussianas del O�set

Recordando (5.10), el número de mensajes transmitidos m en función de la dis-

tancia entre nodos d para el caso de perturbaciones Gaussianas del o�set se determina

como

dmmine =σ2V

εQ(K1(d)−Sopt

σψdB

) . (6.4)

De (5.11), el mínimo retardo δmin adopta la siguiente expresión para el caso de

desvanecimiento de gran escala:

δmin =TM

Q(K1(d)−Sopt

σψdB

) . (6.5)

Reemplazando (6.4) y (6.5) en (5.3), y expresando Sopt en dBm, el problema de

minimización toma la forma:

d

dSopt

TM 100,1Soptσ2V

εQ2(K1(d)−Sopt

σψdB

) = 0. (6.6)

La solución de (6.6) es la que se mostró en (5.14), a la que se le agrega la dependencia

con la distancia d:

Q

(K1(d)− Sopt

σψdB

)−

2 exp[−1

2

(K1(d)−Sopt

σψdB

)2]

0,23√

2πσψdB= 0 (6.7)

la cual puede ser resuelta por medio de simulaciones por computadora.

6.2.3 Resultados de las Simulaciones

La Figura 6.1 muestra la dependencia de la cantidad de mensajes transmitidos m

y la energía requerida Ec(S,m, δ) con potencia de transmisión S bajo la in�uencia de

desvanecimiento de gran escala para diferentes valores del error de estimación ε, para

una distancia �ja d entre los nodos transmisor y receptor. La Figura 6.2 muestra la

dependencia de m con S y d bajo desvanecimiento de gran escala. Se puede observar

que para S �ja, a medida que crece d, m tiene que aumentarse consecuentemente.

Debido a que bajo los efectos del desvanecimiento de gran escala el factor domi-

nante en la atenuación de la señal es la distancia entre pares d, la velocidad relativa

de los nodos no se muestra en los grá�cos de energía. Sin embargo, siempre es po-

sible de�nir una ventana de tiempo �jo, por ejemplo, ∆t = 1s, reemplazar d por


su de�nición en (6.3), y analizar la variación de los mínimos de la energía según lo

dictado por (6.7). Por lo tanto, si bien existe una relación única entre d y v, es más

preciso analizar las variaciones de los mínimos de la energía con d en este escenario.

Figura 6.1: Número de mensajes transmitidosm y energía de sincronización requeridaEc(S,m, δ) en función de la potencia de transmisión S para desvanecimiento de granescala a distancia d constante, y para diferentes errores ε de estimación del o�set.Parámetros de la simulación: σ2

V = 1, SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, d/d0 =10, σψdB = 1dB, γ = 3,71, TM = 1s.

6.3 Sincronización de Nodos en Movimiento con Desva-necimiento de Pequeña Escala

6.3.1 Introducción

En la Sección 6.2 se investigó la dependencia de las relaciones de compromiso

entre energía de sincronización y error de estimación de o�set para el caso de nodos

desplazándose y comunicándose por medio de canales con desvanecimiento de gran

escala. Los resultados mostraron que la distancia juega un papel preponderante en

las relaciones de compromiso, aunque la velocidad no entra en juego en las cotas

óptimas salvo por su relación con la distancia y el tiempo de desplazamiento.


Figura 6.2: Número de mensajes transmitidos m en función de la potencia de trans-misión S y la distancia entre nodos d para desvanecimiento de gran escala, y paradiferentes errores ε de estimación del o�set. Parámetros de la simulación: σ2

V = 1,SRx = −80dBm, K = 7,0146 · 10−4, σψdB = 1dB, γ = 3,71, TM = 1s.

En este capítulo se investigará un caso análogo al anterior pero para canales con

desvanecimiento de pequeña escala. Los resultados que se mostrarán diferirán sus-

tancialmente respecto del caso de desvanecimiento de gran escala, fundamentalmente

por el rol que juega la velocidad relativa de los nodos en este escenario.

Varios autores abordaron el problema del gasto energético asociado a la sincro-

nización de una WSN bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala, aunque no

con el detalle matemático presentado en este capítulo. Por ejemplo, en [39] los au-

tores minimizan la probabilidad de outage en función de la potencia de transmisión

para el problema de sincronización, lo que no necesariamente implica optimización

de la energía; por otra parte, los autores no consideran la velocidad relativa de los

nodos en su modelo. El trabajo publicado en [24] investiga la relación de compro-

miso entre el consumo de energía y el error de sincronización desde una perspectiva

local de un nodo de�nido por el tiempo que un nodo permanece en estado standby,

sin contemplar la energía consumida en la interacción con otros nodos. En [48], se

de�ne la e�ciencia energética como una función del tamaño de la carga útil o payload


para usos de canales Rayleigh no correlacionados. Varios artículos presentados en

[3] exhiben el requisito de la minimización de la energía en una WSN sin tener en

cuenta el modelo de canal inalámbrico en los análisis. Es por esto que este capítulo se

presenta un modelo matemático innovador para obtener un equilibrio entre el error

de sincronización objetivo y la energía necesaria para tal �n, para el escenario de

nodos en movimiento afectados por desvanecimiento de pequeña escala Rayleigh con

correlación de canal.


6.3.2.1 Generalidades

Sean dos nodos u1 y u2 en la misma WSN, como se muestra en Figura 6.3,

los cuales requieren sincronizarse entre sí estimando sus respectivos relojes a través

de mensajes inalámbricos unidireccionales intercambiados a través de un canal con

desvanecimiento Rayleigh correlacionado con ganancia g(t), en el instante de tiempo

t.

En esta situación, el nodo u1 envía m mensajes al nodo u2, el cual estima el

o�set del reloj de u1 a partir de la información de reloj contenida en los mensajes

recibidos exitosamente.

��u1

m- g(t) -

m��u2

Figura 6.3: Nodo u2 estimando el o�set del reloj del nodo u1 usando mensajes uni-direccionales.

A continuación se propone un modelo matemático para el problema de sincroni-

zación desde la perspectiva de un par de nodos vecinos que intercambian mensajes

con el �n de sincronizarse mutuamente. Por dicho motivo, el enfoque en este capí-

tulo es independiente del tamaño y topología de la red. Para justi�car la robustez

del modelo propuesto, también se consideran perturbaciones de ruido AWGN para

derivar la relación señal a ruido en el receptor. La potencia de fuentes interferentes

se supone pequeña e incluida dentro la potencia de ruido σ2N .

6.3.2.2 Correlación de los Usos del Canal

De manera de investigar la correlación de los usos del canal, se considerarán

en el análisis canales inalámbricos con desvanecimiento plano y lento [60, 61] (ver

Apéndice A.3.3), es decir canales en los cuales la correlación del canal permanece

constante a lo largo de un número determinado de usos del canal. La ganancia del


canal en desvanecimiento de Rayleigh se modela como un proceso aleatorio Gaussiano

complejo y circular [36], de�nido por:

g(t) = gx(t) + j gy(t) (6.8)

donde gx(t) y gy(t) son procesos Gaussianos de media cero y correlacionados. Sea

zi(t) = A0 ej(ωt+ϕi) una señal con frecuencia angular ω y fase ϕi que se transmite

a través del canal mencionado anteriormente el cual está afectado por efectos de

desvanecimiento de pequeña escala, y sea zi(t) la señal recibida de�nida por

zi(t) = Re{g(t) zi(t)} = Re{ |ri(t)| ej(ωt+ϕi+φi(t))} (6.9)

donde i = 1, . . . ,m es el índice de la señal, y la envolvente compleja recibida ri(t)

está descripta por

ri(t) = Xi(t) + j Yi(t) = ri ej φi(t) = A0 gx(t) + j A0 gy(t) (6.10)

con ri , |ri(t)| y φi(t) , arg(ri(t)). De�niendo la potencia de transmisión S , A20/2,

las propiedades de correlación de cada componente de ri(t) para ganancia de canal

normalizada son [36]:

R(τ) , RXX(τ) = RY Y (τ) = S J0

(2π

v

λrτ

)(6.11)

donde J0(·) es la función de Bessel de primera especie de orden cero (ver Apéndice

A.8.2), v es la velocidad relativa entre nodos, y λr es la longitud de onda de la señal

transmitida.

6.3.3 Error de Estimación del O�set en Función de la Potencia deTransmisión

6.3.3.1 Optimización de Energía

La premisa en esta sección es continuar con el problema de optimización de la

energía consumida en el proceso de sincronización, es decir,

Encontrar Sopt tal quedEc(S,m, δ)

dS

∣∣∣∣S=Sopt

= 0 (6.12)

sujeto a lograr una error de estimación objetivo ε. A continuación se plantea el

modelo matemático de la correlación del canal y su impacto en la señal recibida

a nivel físico, la cual determinará la correcta recepción o no del mensaje enviado

desde el transmisor hacia el receptor, y consecuentemente la e�ciencia energética de


la solución combinada con el error de estimación en función de los mensajes recibidos

correctamente.

6.3.3.2 FDP Conjunta de las Componentes de la Envolvente Recibida

Al transmitir un número de mensajem, los conjuntosX = {Xi}mi=1,Y = {Yi}mi=1

descriptos en (6.10) exhiben la siguiente FDP conjunta [33, p.7]:

fXY (x,y) =exp

(−1

2 [x,y]T ·C−1 · [x,y])

(2π)m|C|1/2(6.13)

donde x = [x1 x2 . . . xm]T , y = [y1 y2 . . . ym]T , y [x,y] = [x1 x2 . . . xm y1 y2 . . . ym]T

son vectores columna. La matriz de covarianza C está de�nida por

C =

(Ca 0

0 Ca

)(6.14)

siendo la matriz de autocorrelación de tanto X como Y , denotada por Ca, de�nida

como sigue:

Ca =

ζ11 ζ12 . . . ζ1m

ζ12 ζ11 . . . ζ2m

......

. . ....

ζm1 ζm2 . . . ζmm

(6.15)

donde ζij = R (Ts (i− j)), R(·) está dada por (6.11) y 1/Ts es la tasa de mensajes.

El nivel de correlación, denotado por ρC , se de�ne como [39]:

ρC =‖C − diag(C)‖F

‖C‖F(6.16)

donde ‖C‖F es la norma de Frobenius (ver Apéndice A.8.3) y diag(C) es una

matriz que contiene solamente la diagonal principal de C. Luego, ρC varía de 0 (usos

de canal descorrelacionados) a 1 (usos de canal altamente correlacionados).

6.3.3.3 Potencia Instantánea Recibida

Haciendo referencia a (6.10), el valor absoluto de la envolvente recibida ri sigue

una distribución Rayleigh y la fase φi(t), o simplemente φi de ahora en adelante, está

distribuida uniformemente en el rango [0, 2π], es decir xi = ri cosφi y yi = ri sinφi,

con ri ≥ 0 y φi ∈ [0, 2π]. Entonces, la FDP conjunta de la envolvente compleja


recibida está dada por

frφ(r,φ) = |JXY (r,φ)| fXY (x(r,φ),y(r,φ))

= fXY (x(r,φ),y(r,φ))m∏i=1

ri (6.17)

con r = [r1 . . . rm]ᵀ, φ = [φ1 . . . φm]ᵀ, donde |JXY (r,φ)| es el Jacobiano [2, p. 297]

de la transformación x(r,φ), y(r,φ). La FDP conjunta de r, denotada por fr(r),

se obtiene como se muestra a continuación:

fr(r) =

∫ 2π

0. . .

∫ 2π

0frφ(r,φ)dφ1 . . . dφm (6.18)

Sea M una variable aleatoria binomial que representa el número de mensajes re-

cibidos exitosamente al transmitirsem mensajes a través de un canal con correlación.

Además, sea E[M |m] = m la esperanza de M al enviarse m mensajes. Considere

la probabilidad de recibir k mensajes exitosos cuando se transmiten m mensajes,

denotada por P (M = k), para k = 0, 1, . . . ,m. La expresión de P (M = k) se obtie-

ne a partir de la probabilidad conjunta de las envolventes ri con respecto al límite

β =√

2σ2Nγ0, donde σ2

N es la potencia de ruido AWGN en el receptor y γ0 es el

umbral mínimo aceptable para la SNR.

Sea U = {r1, r2, . . . , rm} un conjunto de envolventes recibidas, entonces se de�ne

L = {V nl } al conjunto que contiene los subconjuntos de orden k de distintas com-

binaciones de U , con q =(mk

), n = 1, 2, . . . , q, y l = 1, 2, . . . , k. Cada subconjunto

V nl contiene k número de elementos, denotados por vnl . El complemento relativo de

V nl con respecto a U , denotado por V n

l , contiene (m − k) número de elementos,

denotados por wnl . En consecuencia, la expresión de P (M = k) es:

P (M = k) =

q∑n=1

Pr(V nl > β, V n

l < β)

(6.19)

donde V nl > β = vn1 > β, . . . , vnk > β indica k mensajes recibidos exitosamente,

V nl < β = wn1 < β, . . . , wnm−k < β se re�ere a (m− k) mensajes que no pudieron ser

recibidos, y Pr es la densidad de probabilidad acumulada de r, obtenida por medio

de integración de�nida de (6.18). La expresión de E[M |m] está dada por

m = E[M |m] =

m∑k=1

k P (M = k) = m (1− Pout(S)) (6.20)

donde el último término de la derecha en (6.20) es la esperanza de la distribución

binomial. Es decir, el valor medio de la probabilidad de outage Pout(S) queda deter-


minada por

Pout(S) = 1− m

m. (6.21)

6.3.3.4 FDP Gaussiana del O�set de Reloj

Recordando la función de energía de�nida en (5.3) para el retardo medio dado

por (5.1), el problema de minimización de energía para perturbaciones Gaussianas

del o�set se escribe como:

Minimizar Ec(S,m, δ) tal quem

σ2V

=1

ε. (6.22)

Considerando (6.20) para el cálculo de la probabilidad de outage, el problema de

minimización descripto en (6.12) se transforma en

σ2V Tmε

d

dS

{S

[1− Pout(S)]2

} ∣∣∣∣S=Sopt

= 0 (6.23)

cuya solución determina la potencia de transmisión óptima Sopt para alcanzar

la relación de compromiso entre energía de sincronización y error de estimación del

o�set en una WSN.

A diferencia de los capítulos anteriores, en los cuales la probabilidad de outage era

calculada a partir de un modelo simpli�cado de usos de canales descorrelacionados,

en este capítulo se debe calcular Pout combinando (6.20) con (6.21), lo cual si bien

complica las operaciones matemáticas en tiempo real, presenta un grado de realismo

mucho más acertado en aplicaciones en los cuales los nodos están en movimiento

y se comunican a través de canales que experimentan desvanecimiento de pequeña

escala.

6.3.4 Resultados de las Simulaciones

En esta sección se describen los resultados de las características de red dadas

por la potencia de transmisión, el mínimo número de mensajes transmitidos y la

velocidad relativa entre los nodos.

La Figura 6.4 muestra la región de las características de red óptima en energía,

lo cual permite al diseñador de la red idear una WSN e�ciente en energía. El número

mínimo de mensajes transmitidos m es inversamente proporcional a la potencia de

transmisión S para S grande. Para valores pequeños de S y nodos que se mueven

lentamente m aumenta debido al efecto de la alta correlación del canal, lo cual está

en línea con los resultados presentados en [39]. A medida que la velocidad relativa

entre nodos aumenta, la correlación del canal disminuye y el problema se aproxima


al caso del canal descorrelacionado investigado en el Capítulo 4. Debido a que la

función de Bessel J0 no tiende a cero cuando su argumento tiende a in�nito, el

problema nunca será igual al de un canal descorrelacionado ya que siempre habrá

una correlación residual debido al efecto de la velocidad relativa entre nodos, lo

cual se evidencia como una pequeña oscilación al variar la velocidad entre nodos

a potencia de transmisión constante. Sin embargo esto no es un impedimento para

aproximar el problema al caso descorrelacionado en aplicaciones prácticas.

La Figura 6.5 ilustra la relación de compromiso entre la energía de sincronización

y el número de mensajes transmitidos por nodos que se mueven a velocidad relativa

constante, para diferentes valores del error de sincronización ε. Para S �jo, la energía

de sincronización crece a medida que ε se incrementa. La Figura 6.6 compara el

límite inferior propuesto en este capítulo, obtenido a partir de la potencia óptima

que resuelve (6.23), con los resultados obtenidos en [39]. Se puede apreciar que la

energía total de a pares empleada en [39] está por encima de la cota inferior óptima

presentada en esta sección.

NúmerodeMensajesTransmitidos(m)

Potencia de Transmisión (S) [W]Velocidad entre Nodos (V) [m/s]

Núm. de Mensajes vs. Potencia de Transm. y Velocidad entre Nodos

Figura 6.4: Número de mensajes transmitidos vs. potencia de transmisión y velocidadrelativa entre nodos. Parámetros de la simulación: f = 2,4GHz, Tm = 3ms, Ts =80Tm, σ2

N = 7mW, σV = 1, γ0 = 5 dB, ε = 0,01.

6.3.5 Aplicación a Diseño de WSN

Considere una aplicación de seguimiento de nodos móviles los cuales están res-

tringidos en la energía que pueden consumir como se detalla en [56]. A cada nodo


Figura 6.5: Energía de sincronización total Ec(S,m, δ) en función de la potencia detransmisión S. Parámetros de la simulación: f = 2,4GHz, v = 1m/s, Tm = 3ms,Ts = 80Tm, σ2

N = 7mW, σ2V = 1, γ0 = 5dB.

Figura 6.6: Comparación de la energía total de sincronización Ec(S,m, δ) entre [39]y la cota inferior aquí propuesta, en función de S. Parámetros de la simulación:f = 2,4GHz, v = 1m/s, Tm = 3ms, ρC = 0,4, σ2

N = 0,13mW, σ2V = 1, γ0 = 5dB,

ε = 0,05.


se le asigna un presupuesto de energía, denotado por Esync, con el �n de sincroni-

zarse con sus pares. La Figura 6.5 muestra la familia de curvas que satisfacen una

determinado presupuesto de energía de sincronización, para diferentes valores de ε.

En este ejemplo, se tiene Esync = 37 mJ, ε = 10−2 y v = 1 m/s, entonces

para Ec(S,m, δ) = Esync, la Figura 6.5 muestra que se obtiene la solución energética

óptima cuando Sopt = 45 mW, conm = 150, siendo este último obtenido a partir de la

Figura 6.4. El tiempo de sincronización total, denotado por Tsync, se puede obtener

como Tsync , Ec(S,m, δ)/S; por lo tanto, Tsync = 37mJ/45mW ≈ 0, 82 mboxs.

Además, se consideran las limitaciones de tiempo dadas por el máximo tiempo de

sincronización aceptable, denotado por Tmax. Suponiendo que la aplicación impone

Esync = 37 mJ y Tmax = 0, 5 s, la Figura 6.5 muestra que se puede �jar Ec(S,m, δ) de

manera de satisfacer Tsync ≤ Tmax dentro de los límites impuestos por el presupuesto

de energía cediendo un 10% del error de sincronización, es decir, ε = 1, 1 × 10−2,

consecuentemente obteniendo S = 75 mW y m = 137.

6.4 Conclusiones

En este capítulo se ha mostrado el impacto en las relaciones de compromiso de

energía de sincronización y error de estimación de o�set que producen la distancia

entre nodos en el caso de nodos comunicándose en un canal con desvanecimiento de

gran escala descorrelacionado, y la contraparte de la velocidad relativa entre nodos

para el caso de un canal con desvanecimiento de pequeña escala con correlación.

Para el caso de usos de canal descorrelacionados con desvanecimiento de gran

escala, los resultados muestran que la distancia incrementa signi�cativamente la can-

tidad de mensajes requeridos para la misma potencia de transmisión de manera de

lograr el error de estimación objetivo. El efecto de la distancia entre nodos es domi-

nante en el caso de desvanecimiento de gran escala ya que la atenuación por pérdidas

de camino impactan negativamente en la probabilidad de éxito en la recepción de

los mensajes, razón por la cual es necesario transmitir más mensajes para lograr la

misma error de sincronización que en el caso en el que los nodos no están afectados

por los efectos de propagación. Es decir, en este escenario la distancia que separa los

nodos juega un papel preponderante en las relaciones de compromiso óptimas entre

energía y error de sincronización.

Para el caso de usos de canal correlacionados con desvanecimiento de pequeña

escala, la correlación del canal juega un papel importante para bajas velocidades

relativas entre nodos, ya que el nivel de correlación para estos casos es elevado,

disminuyendo el mismo a medida que la velocidad relativa entre los mismos se in-


crementa, aproximándose el problema es este último escenario al caso de canales sin

correlación a los �nes prácticos.

El modelo propuesto proporciona una herramienta útil para que el diseñador de

una WSN pueda elegir la estrategia de sincronización que mejor se adapte a una

aplicación con limitaciones de energía con nodos en movimiento, comunicándose ya

sea mediante usos de un canal con desvanecimiento de gran escala descorrelacionado

o bien de pequeña escala correlacionado. Utilizando el modelo aquí presentado, se

puede obtener una solución óptima en energía mediante la regulación �na la potencia

de transmisión, el número de mensajes transmitidos y el error de sincronización limi-

tado por un presupuesto de energía de sincronización prede�nido. Para aplicaciones

en las cuales el tiempo de sincronización es crítico y se cuenta además con restriccio-

nes de energía, el número de mensajes transmitidos juega un papel predominante en

el tiempo de sincronización total, razón por la cual el error de sincronización deberá

ser elegido estratégicamente entre un conjunto de soluciones arrojadas por el modelo

propuesto.

Capítulo 7

Generalización de las Relacionesde Compromiso en Sincronizaciónde Nodos

7.1 Introducción

Como se explicó en los capítulos anteriores, la sincronización del tiempo se ha

convertido en una característica importante en el campo de las WSN para satisfacer

las demandas a nivel de aplicación tales como la fusión de datos, la gestión de la

energía y los mecanismos de prevención de colisiones que pueden experimentar los

nodos al competir por el acceso al medio inalámbrico. Las redes que contienen un

gran número de nodos se enfrentan a nuevos retos para cumplir con el requisito

de error de estimación objetivo ya que los sensores funcionan con un presupuesto

de energía limitado para �nes de sincronización. La necesidad de sincronización de

tiempo de alta e�ciencia energética ha sido un foco de investigación intenso tal

como se evidencia en la literatura existente en los últimos años. Un estudio reciente

publicado en [20] detalla los desafíos que se presentan en las WSN sin mantenmiento

y la inevitable necesidad de algoritmos de enrutamiento y procesamiento de datos

energéticamente e�cientes, aunque sin mencionar la existencia de una solución de

e�ciencia energética que se extienda a toda la red en lo que respecta al error de

estimación. Los autores de [7] resaltan la relación de compromiso subyacente entre la

energía consumida y la latencia de los datos, y proponen una técnica de recolección de

energía para mitigar las limitaciones de la aplicación. Los autores de [37] actualizaron

el protocolo PulseSync incluyendo consideraciones de e�ciencia energética, latencia

del mensaje y error de estimación en el proceso de sincronización. Sin embargo, tanto

las soluciones propuestas por [7] como [37] no han considerado optimalidad en las

relaciones de compromiso planteadas para las diversos requisitos de las aplicaciones,

71

72 CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN

por lo que el problema en la literatura actual no está resuelto en forma óptima ni

genérica.

En este capítulo se presenta un modelo generalizado que proporciona soluciones

óptimas que pueden ser fácilmente adaptadas a diversas aplicaciones y con�gura-

ciones de red para lograr la sincronización e�ciente en energía entre los nodos que

componen una WSN, lo cual es una contribución al estado del arte.



Considere la WSN que se muestra en la Figura 7.1 la cual consiste en N nodos

desplegados al azar dentro de un área determinada. Suponga que todos los nodos de

la WSN bajo consideración son idénticos en sus propiedades y afectados por igual

nivel de potencia de ruido, lo cual es una hipótesis ampliamente adoptada en la

literatura [58, p. 37].

ui

uj

u1

u2

u3

d ij

Dijmax

Figura 7.1: Conexión de nodos vecinos en una red WSN genérica. El nodo ui estáconectado con el nodo uj ya que dij < Dijmax .

Sean ui y uj dos nodos ubicados en las posiciones espaciales {xi, xj} ∈ R3,

respectivamente, separados por una distancia Euclideana dij , ‖xi−xj‖2. SeaDijmax

el máximo radio de cobertura del nodo ui cuando se comunica con el nodo uj . Más

aún, sea Sij la potencia de transmisión emitida por el nodo ui cuando establece

comunicación con el nodo uj , y sea γ0j la sensibilidad del receptor del nodo uj . El

valor de Dijmax queda determinado por Sij y γ0j , así como también la condición del

canal de comunicación entre los nodos ui y uj . De esta forma, se dice que el nodo uiestá conectado con el nodo uj si Di ≥ dij .

Si dos nodos ui y uj están conectados, de ahora en adelante serán denominados

vecinos. El concepto de nodos vecinos será abordado en mayor detalle en el Capítulo

9, pero por el momento considere que dos nodos vecinos siempre se comunicarán

entre sí.

En este capítulo se adopta el modelo de grafo de una WSN como se de�ne en el

Apéndice A.2. Considere la situación en la cual el nodo uj estima el o�set del reloj

CAPÍTULO 7. GENERALIZACIÓN 73

del nodo ui, denotado por θij , mediante un intercambio de mensajes unidireccionales,

como es el caso del protocolo FTSP [45]. En un determinado instante de tiempo t,

el nodo ui transmite un mensaje modulado en la señal qij(t) a través de un canal

de desvanecimiento plano con ganancia compleja gij(t) como se de�nió en la Sección

6.3.2, y el nodo uj recibe yij(t) = gij(t) qij(t) + w(t), donde w(t) es un proceso

AWGN con potencia de ruido σ2N . La señal qij es recibida por el nodo uj con una

probabilidad de éxito dada por la probabilidad de outage del canal inalámbrico. Más

precisamente, el nodo ui envía mij número de mensajes al nodo uj , el cual recibe

exitosamente Mij número de mensajes, donde Mij ≤ mij .

La esperanza deMij , denotada por mij , está dada por mij = mij

(1− Poutij

)tal

como se muestra en (6.20), donde Poutij denota la probabilidad de outage del enlace

inalámbrico entre los nodos ui y uj .

En general, la probabilidad de outage es una función de la potencia de transmisión

Sij , la ganancia del canal gij , la sensibilidad del receptor γ0j , la potencia de ruido

σ2Nj en el receptor, el peso de la interconexión entre nodos aij (ver Apéndice A.2) y

la velocidad relativa entre sensores vij . Tal como se ha mencionado en los capítulos

anteriores, para estimadores Cramer-Rao e�cientes del parámetro θij , el error de

estimación incurrido por el nodo uj cuando estima el o�set de ui, denotado por εij ,

está dado por εij = σ2V /mij tal como se aprecia al considerar igualdad en (4.7),

donde σ2V es la varianza de la perturbación alrededor del valor real del o�set θij . De

esta manera, el error total de estimación en el nodo ui cuando estima localmente los

o�sets de sus nodos vecinos, denotado por εi, queda descripto por

εi ,∑j

εij =∑j

σ2V

mij

(1− Poutij

) ∀j ∈ V, j 6= i (7.1)

donde V = {1, 2, . . . , N} (ver Apéndice A.2). De esta manera, el parámetro εi deter-

mina el máximo error de sincronización con el que contribuye el nodo ui al procesar

un mensaje.

7.3 Optimización de Energía vs. Error de Estimación aNivel de Red

Recordando (6.22), la energía de a pares del nodo ui, de�nida como la función

de energía local media del nodo ui cuando se sincroniza con el nodo uj , está dictada

por Ecij = Sijmij δij , donde δij = Tm/(1− Poutij

)representa el tiempo medio

de entrega de cada mensaje, y Tm es la duración de cada mensaje. En general, el

nodo ui se sincronizará con (N − 1) nodos en la red, consumiendo una energía de


sincronización total, denotada por Eci , igual a

Eci ,∑j

Ecij ∀j ∈ V, j 6= i. (7.2)

Siendo la energía un recurso escaso en las WSN, el objetivo es minimizar la

función de costo Eci usando técnicas de optimización convexa, como se detalla en

[11]. Adicionalmente, es necesario garantizar que la sincronización a nivel de red se

alcanza dentro de un margen de error tolerable, denotado por εmax. Entonces, se

puede plantear el siguiente problema:

Minimizar Eci tal que∑i

εi ≤ εmax ∀i ∈ V (7.3)

El objetivo es entonces encontrar los pares óptimos {Sij , εij} ∀i, j ∈ V, que resuelvenel problema de optimización convexa descripto por (7.3).

Una Solución Óptima y Rígida. De manera de simpli�car el problema de

optimización con restricciones de desigualdad, se puede encontrar una solución ópti-

ma para el problema (7.3) para el caso de restricciones de igualdad usando el método

de los multiplicadores de Lagrange, planteando

∇Eci = λ∇

(∑i

εi

)tal que

∑i

εi = εmax ∀i ∈ V (7.4)

donde λ ∈ R es el multiplicador de Lagrange, y ∇(·) se calcula con respecto a

todas las variables que componen la función de energía y para los (N − 1) vecinos

del nodo ui. A los parámetros aij , γ0j , σ2Ni y vij se los asume constantes y conocidos

por el diseñador de la red. Entonces, se cumple que

εij , εij(Sij) (7.5)

Poutij , Poutij (Sij) (7.6)

P ′outij ,dPoutijdSij

(7.7)

E′cij ,dEcijdSij

. (7.8)

De esta manera, (7.4) implica la minimización de cada componente de Eci , lo cual

utilizando la regla de la cadena para la derivada [2, p. 194] conduce a

E′cij = λ ε′ij (7.9)


E′cij =σ2V TM

εij(1− Poutij

)2(

1−ε′ijSij

εij+

2SijP′outij

1− Poutij

). (7.10)

La ecuación (7.9) implica que aquellos términos en (7.10) que no contienen ε′ij deben

desaparecer, entonces

2SijP′outij = 1− Poutij . (7.11)

Sea Sijopt la potencia de transmisión óptima que resuelve (7.11). Entonces, de (7.9)

y (7.10) se desprende que el error de pares óptimo para el enlace que une los nodos

ui y uj , denotado por εijopt , está dada por

εijopt =

√√√√− Sijopt

λ(

1− Poutij (Sijopt))2σ2V TM

. (7.12)

El valor de λ en (7.12) se obtiene reemplazando cada error de estimación óptima de

a pares εijopt en la restricción de sumatoria mostrada en (7.4) y resolviendo para λ,

es decir

λ = − 1

ε2max

∑i

∑j,j 6=i

√√√√ Sijopt(1− Poutij (Sijopt)

)2σ2V TM

2

. (7.13)

Nótese en (7.13) que λ < 0 para valores no-negativos de Sijopt , lo cual permite en-

contrar soluciones en el dominio de los reales para (7.12).

Una Solución Subóptima y Flexible. En la práctica, es posible que los

sensores de una WSN no puedan sintonizar �namente la potencia de transmisión

de sus transceptores al valor exacto de Sijopt debido a limitaciones constructivas de

los mismos. Por este motivo, es útil encontrar y caracterizar soluciones �exibles que

sean adecuadas a diferentes escenarios realísticos. Más precisamente, las restricciones

de desigualdad mostradas en (7.3) se pueden alcanzar a una energía constante y

prede�nida Ecij , lo cual implica que ∇Eci = 0 a lo largo del conjunto de soluciones

{Sij , εij(Sij)} para todo i, j ∈ V, o lo que es lo mismo

E′cij =∂Ecij∂Sij

+∂Ecij∂εij

ε′ij = 0. (7.14)

Luego de simples operaciones matemáticas, (7.14) conlleva a

ε′ij =1

Sij+

2P ′outij1− Poutij

εij , εij(Sijopt) = ξij εijopt (7.15)

donde Sijopt es una potencia de transmisión de referencia que determina la condición


inicial del error de estimación, dada por εijopt ξij . Al problema descripto por (7.15) se

lo conoce como el Problema del Valor Inicial para sistemas no lineales, en el campo

de los sistemas dinámicos (ver Apéndice A.6).

La existencia y unicidad de la solución de (7.14) se puede probar a través del

Teorema Fundamental de Existencia y Unicidad para sistemas no-lineales [52, p. 71].

Usando separación de variables, la solución de (7.15) es

εij(Sij) = εijopt ξijSijSijopt

[1− Poutij (Sijopt)1− Poutij (Sij)

]2

(7.16)

donde ξij es un grado de libertad del error de estimación de a pares e�ciente en

energía, la cual está en el rango ξ ∈ (0, 1].

De manera de asegurar el cumplimiento de la restricción (7.3), se debe limitar

εij(Sij) a εijopt . Nótese que ξij = 1 corresponde a la solución óptima encontrada

a partir del método de Lagrange encontrado anteriormente en (7.12), mientras que

decrementar ξij permite variar la potencia de transmisión Sij y el error de estimación

εij en un rango cuya amplitud está dada por ξij , para energía de sincronización

constante.

La restricción de desigualdad impuesta por (7.3) puede también resolverse por

el método de optimización de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) [11, p. 243] en el cual se

convierte a la desigualdad en una serie de restricciones de igualdad y desigualdad, y

se resuelve el sistema resultante en forma iterativa, encontrando potenciales solucio-

nes factibles hasta encontrar la solución óptima. En esta tesis no se investigará dicho

método dado que su aplicación a sistemas en tiempo real con restricción de ener-

gía, tal como lo es una red WSN, suele ser impráctica por motivos de complejidad

algorítmica y tiempos de convergencia hacia la solución [44, p. 99].

7.4 Ejemplo de Aplicación

Considere la WSN mostrada en la Figura 7.1 con N = 5 nodos designados ui, con

i ∈ V = {1, 2, ..., N}, dispuestos aleatoriamente en una esfera de radio r = 6m. Las

tolerancias en las posiciones espaciales de los nodos se modelan con una distribución

normal de media cero y desvío estándar σd = 0,03m.

Se asume que los nodos se comunican en un canal inalámbrico que experimenta

pérdidas de camino combinadas con efectos de desvanecimiento Rayleigh descorre-

lacionado. Usando el modelo de canal simpli�cado (ver Apéndice A.3.1), la potencia

recibida por el nodo uj cuando el nodo ui actúa como transmisor, denotada por SijR ,

es igual a SijR = K aijSij , donde K es una constante adimensional, siendo entonces


la probabilidad de outage del canal [29, p. 169]

Poutij (Sij) = 1− exp(−γ0j

γSij

)≈ 1− exp

(−

γ0jσ2N

K aijSij

)(7.17)

donde la magnitud adimensional γ0j representa la SNR mínima aceptable por el

receptor. La potencia de transmisión Sij y la potencia de ruido σ2N en (7.17) están

expresadas en Watt. La potencia de fuentes interferentes se asume incluida en el

parámetro σ2N .

Reemplazando (7.17) en (7.11) se obtiene

Sijopt = 2σ2Nγ0j/(K aij). (7.18)

De esta manera, cada valor εijopt se obtiene reemplazando el valor de Sijopt dado por

(7.18 ) en (7.12) y (7.13).

La Figura 7.2 muestra los resultados de las simulaciones utilizando el método de

Monte Carlo para los errores de estimación de a pares para el nodo u1 cuando se

sincroniza con los nodos u2 a u5. Las áreas sombreadas en esta �gura muestran la

región en la cual cada error de estimación de a pares puede ser variada libremente,

mediante el parámetro ξij , sin comprometer la restricción de error de estimación a

nivel de red, a lo largo de una región limitada superiormente por εijopt . Asimismo,

nótese que el error de estimación de a pares alcanza un mínimo para el valor de

potencia Sijopt . Para potencias de transmisión Sij constantes, la energía de sincro-

nización requerida puede reducirse aún más a expensas del error de estimación εij .

La distancia de a pares de entre nodos juega un papel preponderante en la determi-

nación de los mínimos de error de estimación y potencia de transmisión óptima: al

aumentar la distancia entre pares, la optimización sugiere que la potencia de trans-

misión se incremente, de manera de poder compensar las pérdidas por atenuación de

camino introducidas por la distancia, al tiempo que asigna un error de estimación de

a pares mayor de manera de no penalizar doblemente el esfuerzo energético realizado

por los nodos lejanos al entablar la comunicación.

La Figura 7.3 ilustra la energía de sincronización de a pares en función de la

potencia de transmisión y el error de estimación. Para favorecer la claridad de la

explicación, y sin pérdida de generalidad, sólo se muestra la energía para el par u1-

u3. Es importante notar que, para un dado ξij , la energía de sincronización permanece

constante a través de las soluciones de (7.16), lo cual puede interpretarse como curvas

de nivel de la energía de sincronización.


Error

Error

Figura 7.2: Error de sincronización óptimo entre el nodo u1 y sus nodos vecinos.

Figura 7.3: Curvas de nivel de energía de sincronización para el par u1-u3.

7.5 Conclusiones

El modelo generalizado que presentado en este capítulo contempla los paráme-

tros principales que dominan la sincronización e�ciente en energía en una WSN. Las

soluciones propuestas, apoyadas por resultados de simulaciones, muestran cómo re-

gular �namente tanto la potencia de transmisión entre pares de nodos como el error

de estimación local para cada nodo de la red, con el �n de satisfacer el requisito de


error de estimación global a nivel de red de una manera e�ciente en energía. Es im-

portante destacar que el modelo de sistema utilizado se basa en una WSN genérica,

sin particularizar el tamaño o topología de la red, lo cual hace que sea una herra-

mienta poderosa para el diseño de algoritmos de sincronización de WSN e�cientes

en energía.

Los resultados muestran que es posible utilizar una potencia de transmisión de a

pares determinada rígidamente por el requisito de error de sincronización, a partir de

una curva óptima de error de sincronización vs. potencia de transmisión. De manera

de contemplar el caso práctico en el cual los transmisores solamente puedan regular

sus potencias de transmisión de a pasos discretos, es posible relegar cierto error de

sincronización hasta un límite impuesto por un valor máximo de la misma tal que no

se comprometa el error de sincronización global de la red, de acuerdo por las curvas

arrojadas por el modelo aquí presentado.

La importancia de este método yace en el hecho que una red puede ser geomé-

tricamente diseñada a partir de los requisitos de energía vs. error de sincronización,

o bien se puede presentar el caso inverso en el cual la geometría de la disposición de

los nodos de una red viene dada por la aplicación y se puede utilizar este modelo de

sistema para resolver el problema de sincronización de forma óptima para toda la

red.

Capítulo 8

Prevención de Fallas en una WSN

8.1 Introducción

En los capítulos anteriores el foco principal fue la búsqueda y obtención de cotas

óptimas para el problema de sincronización e�ciente en energía, para diversos escena-

rios de desvanecimiento de canal, topología de red y requerimientos de la aplicación.

En este capítulo se investiga un tema que está íntimamente relacionado con la con-

�abilidad de una red, donde se evidencia la importancia de la correcta gestión de los

recursos energéticos de los nodos que componen la WSN de manera de prevenir la

ocurrencia de fallas.

Como ya se ha discutido en los capítulos anteriores, la energía es un recurso

importante en una WSN. La mayoría de las aplicaciones de WSN cuentan con un

presupuesto de energía limitada, lo que repercute en las métricas de �abilidad, como

puede ser por ejemplo el máximo error de sincronización realizable. Por esa razón, la

energía debe ser administrada cuidadosamente por el diseñador de la red de sensores

a lo largo de toda su vida útil. Sin embargo, el hecho que los nodos de una red

tengan un probabilidad de falla no nula pone en peligro tanto la �abilidad como

la disponibilidad de la red, por lo que debe proveerse un mecanismo que asegure

una disponibilidad de la red objetivo, al tiempo que cumpla con los estándares que

demanda de la aplicación.

Varios artículos como por ejemplo [10, 63, 46, 32] han abordado la cuestión de la

con�abilidad de una red WSN pero ninguno de ellos ha tenido en cuenta el equilibrio

existente entre la disponibilidad de la red, la tasa de transmisión de mensajes y el

consumo de energía. Como ya se ha explicado en los capítulos anteriores, en una

WSN la potencia de transmisión determina la probabilidad de outage del canal de

comunicación para un determinado conjunto de condiciones de ruido y velocidad

relativa entre nodos.

81

82 CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS

En este capítulo se presenta un modelo matemático que permite al diseñador de

red asegurar la �abilidad y la disponibilidad de red objetivo a través de la introduc-

ción de una relación de compromiso entre la tasa de transmisión de mensajes y la

estimación de la probabilidad de outage, para nodos comunicándose a tasa de men-

sajes constante a través de un canal inalámbrico con desvanecimiento de pequeña

escala.



8.2.1 Consideraciones Generales

Considérese una WSN con topología en estrella en la que N nodos intercambian

información cíclicamente con el nodo cabeza de clúster, denotado por u1, a tasa de

transmisión de mensajes constante, denominada R, como se muestra en la Figura

8.1. Cada nodo de la red tiene la misma energía inicial E0 y es constructivamente

igual a los nodos sensores restantes.

Se asume también que los nodos dentro de un mismo cluster implementan un

esquema de Acceso Múltiple por División de Tiempo, en inglés Time Division Multi-

ple Access (TDMA) [29, p. 8], que permite el acceso al medio sin competencia entre

nodos, y evitando de esta forma la colisión de mensajes. Para implementar TDMA,

es necesario primero tener un esquema de sincronización que permita de�nir el con-

cepto de tiempo entre los nodos, como se explica en [21]. La cabeza de cluster u1

sirve de nodo intermediario o gateway en los nodos de los clusters 1 y 2.

ub u1

uau2

u3

u4

u5

uc

u8

u6

u10

u9

u7

cluster 1 cluster 2

Figura 8.1: Topología estrella de una red WSN con nodo coordinadores ub y uc, ycabeza de cluster u1.

Sea ub un nodo coordinador responsable de controlar el error del enlace de co-municación entre los nodos dentro de un único dominio de broadcast; siendo esencial

CAPÍTULO 8. PREVENCIÓN DE FALLAS 83

para el correcto funcionamiento del sistema propuesto, se espera que los nodos coor-dinadores estén alimentados en forma continua y conectados a la red eléctrica, conmantenimiento regular o con la energía su�ciente para realizar sus actividades desupervisión sin estar limitado energéticamente para cumplir sus tareas. Adicional-mente se supone que estos nodos cuentan con redundancia, es decir, si los mismosfallan, existe otro nodo que puede retomar su funcionalidad de forma transparentea la aplicación.

El número esperado de mensajes recibidos con éxito por el nodo coordinador ub,denotado por m, dependerá de la probabilidad de outage Pout del canal. Como yase describió en capítulos anteriores, la probabilidad de outage es una función de lapotencia de transmisión S. En la mayoría de las aplicaciones, Pout está limitada alrango 10−5 ∼ 10−1, con un valor típico de Pout = 0,01, es decir Pout � 1 [29, p. 46].

La asignación de potencia máxima permisible por transmisión de mensaje de cadasensor está determinada por sus parámetros de construcción, así como probabilidadde outage objetivo a la cual se espera que trabaje la red. El número total de respuestascompletadas con éxito por cada sensor está limitada por la tasa de transmisión demensajes R y la ventana de observación Tw del nodo coordinador. Para justi�carla robustez del modelo propuesto, también se consideran perturbaciones de ruidoAWGN al obtener la SNR recibida instantánea, asumiendo que las característicasde ruido de canal permanecen constantes durante ventana de observación del nodocoordinador, y es igual para todos los nodos dentro del mismo cluster; la potenciade fuentes interferentes se supone pequeña e incluida dentro de la potencia de ruidoσ2N .En este capítulo, se propone un esquema en el que un nodo coordinador produce

un estimación Pout de la probabilidad de outage para usos de canal afectados pordesvanecimiento de pequeña escala no correlacionados, al tiempo que el mismo regulala potencia de transmisión de cada nodo del cluster con el �n de garantizar en formasimultánea la probabilidad de outage objetivo para cada sensor y la disponibilidadglobal de red, denotada por α, dentro de límites preestablecidos.

La estrategia de control propuesta anticipa una falla en los nodos cabeza decluster y recon�gura la red anticipándose a la falla, planteando una relación decompromiso entre la tasa de transmisión de mensajes R y el correspondiente errorde estimación ε del parámetro de interés de la aplicación, por ej. el o�set de relojentre nodos, dados Pout y α.

8.2.2 Estimación de la Probabilidad de Outage

Como se muestra en el Apéndice A.9, para usos de canal descorrelacionados conefectos de desvanecimiento de pequeña escala la probabilidad de outage es

Pout = 1− exp

(−γ0σ

2N

S

)(8.1)

donde γ0 es la sensibilidad del receptor y σ2N es la potencia de ruido en el canal, la

cual se supone conocida. Debido a que el objetivo es trabajar alrededor de pequeñosvalores de la probabilidad de outage, es decir γ0σ

2N/S � 1, se puede hacer la siguiente


aproximación:

Pout ≈γ0σ

2N

S. (8.2)

El nodo coordinador observa el número de mensajes recibidos exitosamente, denotadopor M , a lo largo de una ventana de observación Tw, desconociendo el número demensajes transmitidos originalmente por el nodo transmisor, denotado por m. Unaestimación de m, denotada por m, se puede realizar, con conocimiento previo de latasa de mensajes R, como se muestra a continuación:

m = TwR. (8.3)

Usando (8.3) y reemplazando m por su estimación m, se puede obtener unaestimación de Pout, denotada por Pout, como se muestra a continuación:

Pout = 1− M

m= 1− M

TwR. (8.4)

Usando (4.1), la esperanza de M en un canal descorrelacionado es:

m , E[M]

= m (1− Pout). (8.5)

8.3 Tiempo de Vida vs. Potencia de Transmisión de unNodo

8.3.1 Modelo de Sistema de Control

La interacción entre el nodo coordinador ub y cada uno de los nodos restantesui, i = 1, 2, . . ., en el mismo dominio de broadcast que ub puede modelarse como unsistema de control en el cual la respuesta impulsiva de la planta, denotada por h(t),modela el comportamiento de cada nodo ui y los efectos del canal de comunicacióndel enlace inalámbrico, mientras que los bloque controlador y realimentación residenen el nodo coordinador del cluster (nodos ub y uc en la Figura 8.1).

La Figura 8.2 muestra la probabilidad de outage objetivo o setpoint Pout, laestimación de la probabilidad de outage Pout y la señal de error ∆Pout.

C h(t)∆S

F

Pout ∆Pout M−

Pout

nodo coordinador

nodo ui + canal

Figura 8.2: Problema de estimación modelado como un sistema de control.


La función de transferencia del controlador, denotada por C, se de�ne como

C ,∆S

∆Pout. (8.6)

El controlador C puede implementar una banda de tolerancia, o en inglés dead-band,de manera de solamente reaccionar a desviaciones de |∆Pout| > δ/2, donde δ > 0 esel error máximo tolerable en estimación de la probabilidad de outage. La función dede transferencia del realimentador, denotada por F , está dada por

F ,Pout

M. (8.7)

De (8.2), el nodo coordinador ub puede estimar la potencia de transmisión de cadanodo ui en el cluster 1 como sigue:

S =γ0σ

2N

Pout. (8.8)

Usando (8.8), la función de transferencia del controlador C puede ser reescrita como

C = − 2S2

γ0σ2N

. (8.9)

El lazo de control mostrado en la Figura 8.2 se usa para controlar el valor de laestimación de la probabilidad de outage Pout igual al valor objetivo de la probabilidadde outage Pout. Además, esta estrategia de control puede ser utilizada para equilibrarla potencia de transmisión de los nodos, contemplando la atenuación por pérdidasde camino si es que es relevante, balanceando así el gasto energético de los nodos enla WSN, e igualando consecuentemente sus tiempos de vida medio.

El algoritmo de control de probabilidad de outage debe contemplar que la esti-mación a priori de la potencia de transmisión estará sujeto a un tiempo transitorioinicial durante la misma será inexacta debido a la falta de muestras representativas.De esta forma, el algoritmo de control debe contemplar la condición inicial de manerade no incurrir en problemas de inicio del programa.

8.3.2 Energía y Tiempo de Vida de un Nodo

Para cada nodo ui, la energía total en un instante de tiempo t dado, denotadapor ET (t), está dada por

ET (t) = E0 + EH(t)− Ec(t) (8.10)

donde E0 es la energía inicial del nodo, EH(t) es la energía capturada (en casoque el nodo tenga mecanismos de captura de energía) y Ec(t) es la energía consumidaen función del tiempo. Por razones de simplicidad, y sin pérdida de generalidad, seanaliza el caso en el que no hay mecanismo de captura de energía en los nodos,es decir EH(t) = 0, aunque el modelo aquí presentado se puede aplicar también al


caso en el cual la WSN tenga nodos con capacidad de captura de energía. La energíaconsumida Ec(t) es una función lineal de la potencia de transmisión media, denotadapor Savg, así como también del producto de la tensión de operación, denotada porVdd, y la corriente de polarización, denotada por Iq. Es decir,

Ec(t) = Savgt+ VddIqt (8.11)

donde Savg está dada porSavg = TmR S (8.12)

siendo Tm < 1/R la duración del mensaje. Entonces, usando (8.11) y (8.12), (8.10)se puede reescribir como

ET (t) = E0 + EH(t)− (TmR S + VddIq)t. (8.13)

El tiempo de vida de un nodo, denotado por tlt, se de�ne como el tiempo que letoma al mismo alcanzar un valor mínimo de energía, denotado por Emin, debajo delcual el correcto funcionamiento del nodo ya no puede garantizarse. La expresión detlt se obtiene para ET (tlt) = Emin, o lo que es lo mismo

tlt =E0 + EH − EminTmR S + VddIq

. (8.14)

Regularmente, el nodo coordinador emite un comando de ajuste de potenciade transmisión para los demás nodos de manera de cumplir con la probabilidadde outage objetivo al tiempo que asegura que las energías de los nodos no caiganpor debajo de su valor mínimo aceptable. Es decir, la responsabilidad del nodocoordinador es resolver tomar las siguientes decisiones para cada nodo en su cluster:

S(k) = S(k − 1) + ∆S(k), si |∆Pout(k)| > δ/2 (8.15)

Recon�gurar la red, si tlt(k) = tmin o si timeout = 1 (8.16)

donde k es el índice del instante tiempo tk en el cual se realiza la evaluación delalgoritmo de control, S(k) es la potencia estimada en el instante tk del nodo siendocontrolado, tlt es el tiempo de vida remanente de la cabeza de cluster, y tmin esel umbral de decisión de tiempo de vida mínimo para recon�gurar la red, es decircambiar el rol de cabeza de cluster de u1 a ua como se muestra en la Figura 8.1. A lavariable timeout en (8.16) se asigna el valor 1 cuando el nodo en cuestión no emitemensajes luego de una ventana de tiempo determinada por la aplicación, indicandoque el mismo puede haber fallado inesperadamente.

El umbral tmin debe cumplir tmin > trt, donde trt denota el tiempo de recon�-guración de la red. Es decir, el nodo que está por fallar debe sobrevivir hasta que lared pueda recon�gurarse para evitar la interrupción en el �ujo de datos en la misma.En una implementación real, la comparación tlt(k) = tmin puede realizarse con unahistéresis de manera de resolver la igualdad con una cierta banda de tolerancia, esdecir |tlt(k)− tmin| < ξ, para algún pequeño valor de ξ > 0.

La ecuación (8.15) se alcanza a través de un lazo de control como se muestra enla Figura 8.2. El mecanismo para implementar (8.16) se detalla en la Sección 8.3.3.


8.3.3 Disponibilidad de Red vs. Error de Estimación

De manera de evitar la interrupción del �ujo de datos en la red, el tiempo devida restante del nodo cabeza de cluster debe ser mayor que el tiempo de recon�-guración de la red trt, permitiendo así que tanto la recon�guración de la red comoel �ujo de datos ininterrumpido sea factible. La probabilidad de falla, determinadapor Pr (tlt < tmin), se puede calcular como

Pr (tlt < tmin) = 1− α (8.17)

donde α < 1 especi�ca la disponibilidad de red objetivo. La derivación de Pr (tlt < tmin)se muestra en el Apéndice B.2.

La forma expresión compacta de la probabilidad de falla viene dada por

Pr (tlt < tmin) = 1−bB(R)c∑k=0

(bmck

)(1− Pout)k (Pout)

bmc−k (8.18)

con

A(R) ,1

RTm

(E0 + EH − Emin

tmin− VddIq

)B(R) , RTw

(1−

γ0σ2N

A(R)

)(8.19)

como se muestra en el Apéndice B.2. Debido a que el objetivo �nal de la WSN esmonitorear y controlar un conjunto de parámetros de�nidos por la aplicación (por ej.,la temperatura en un ambiente, el o�set del reloj en un esquema de sincronización,etc.), el error de la estimación de cada parámetro relevante depende del númeropromedio de mensajes recibidos exitosamente m. Como ya se ha discutido en elCapítulo 4, la mínima varianza de la estimación, denotada por σ2

θ(m), cuando seestima el parámetro θ con un estimador insesgado Cramer-Rao e�ciente está dadapor:

σ2θ(m) ,

σ2V

m< ε (8.20)

donde σ2V es la varianza de la perturbación que altera el valor medido de θ, y el

término de la derecha en (8.20) es el error de estimación objetivo ε. Operando con(8.4), (8.5) y reemplazando m por su estimación m, se puede reescribir (8.20) como

(1− Pout)R >σ2V

ε Tw. (8.21)

De (8.18) y (8.21) se observa que la tasa de transmisión de mensajes R y la pro-babilidad de outage del canal Pout pueden regularse cuidadosamente de manera dealcanzar la disponibilidad de red objetivo α y el error de estimación ε. Llevando(8.21) a un límite de igualdad, (8.18) se puede expresar como

bB(R)c∑k=0

(b(RTw)c

k

)(σ2V

ε Tw R

)k (1−

σ2V

ε Tw R

)b(RTw)c−k= α. (8.22)


La solución de (8.22), denotada por Rs, se puede encontrar usando métodos nu-méricos. En un nodo inmerso en una aplicación real, esto puede signi�car incluiruna tabla de búsqueda, del inglés lookup table, para determinar cuál es la soluciónpráctica más cercana, de manera de evitar grandes esfuerzos en cómputo en tiemporeal.

Usando (8.21) y la solución de (8.22), el setpoint de la probabilidad de outagePout se obtiene a partir de

Pout <

(1−

σ2V

εRs Tw

)H

(1−

σ2V

εRs Tw

)(8.23)

donde H(·) es la función de Heaviside, de�nida en el Apéndice A.8.4.


En esta sección, se considera que los sensores están alimentados a batería conuna energía inicial de E0 = 15kJ, un valor típico de las baterías AA, con una tensiónde operación de Vdd = 3V y corriente de polarización Iq = 10µA [68]. La duraciónde cada mensaje es de Tm = 3ms, la potencia de ruido del canal es σ2

N = 7mW, lavarianza de las mediciones del parámetro a estimar es σ2

V = 1, y la sensibilidad delreceptor es γ0 = 5dB. Todos estos parámetros se mantienen constantes a lo largo delas simulaciones desarrolladas en esta sección.

La Figura 8.3 muestra la dependencia del tiempo de vida tlt de un nodo conla probabilidad de outage Pout, para diferentes tasas de transmisión R. El valor detlt está expresado en días, durante los cuales los nodos están transmitiendo datoscíclicamente a una tasa de mensaje R con potencia de transmisión S ajustada por elnodo coordinador de manera de lograr el objetivo de probabilidad de outage Pout. Amedida que Pout crece (es decir, la potencia de transmisión S decrece para potenciade ruido constante σ2

N ), el tiempo de vida de los nodos crece debido a un decrementoen la energía consumida. Aún más, incrementar R hace que se incremente el consumode energía promedio, reduciéndose el tiempo de vida del sensor. Es importante aclararque el hecho que Pout decrezca con R no contradice a (8.21) ya que la desigualdadallí establecida no signi�ca una dependencia entre las dos magnitudes sino una cotaque debe cumplirse para lograr el error de estimación ε.

La Figura 8.4 ilustra la relación entre el valor objetivo o setpoint de la probabili-dad de outage Pout y la tasa de mensajesR para diferentes valores de la disponibilidadα. Para un dado α, a medida que R crece se recibe más mensajes por período deobservación, pero también la energía consumida crece más rápido por la mayor tasade mensajes, razón por la cual se debe trabajar a una menor probabilidad de outagePout para producir una estimación más veloz del tiempo de vida restante de los nodosde la red. Esto también implica que el número de mensajes recibidos exitosamenteM crece y consecuentemente se mejora el error de la estimación ε. Sin embargo,disminuir Pout e incrementar R simultáneamente causa un doble incremento en laenergía consumida, razón por la cual las familias de curvas para diferentes valoresde α trabajan a una mayor Pout para α decreciente. Es claro entonces que existe una


relación de compromiso entre el error de estimación ε y la disponibilidad de la redα, como se muestra en la Figura 8.5 para diferentes valores de R.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

10

20

30

40

50

60

Outage probability (Pout)

Sensorlifetime[days]

R = 2

R = 3

R = 4

R = 5

Figura 8.3: Tiempo de vida tlt de un sensor en función de la probabilidad de outagePout, para diferentes tasas de mensajes R.

10 20 30 40 50 60 70 800

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Message Transmission Rate (R) [msg/sec]

OutageProbability(Pout)

α = 0.95

α = 0.99

α = 0.995

α = 0.999

Figura 8.4: Setpoint de la probabilidad de outage Pout en función de la tasa demensajes R, para diferentes valores de la disponibilidad de red α, y ε = 10−2.


0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.990.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

R = 2

R

R

R

Error

Figura 8.5: Error de estimación ε en función de la disponibilidad de red α, paradiferentes tasas de mensajes R.

8.5 Conclusiones

En este capítulo se presentó una estrategia de control de prevención de fallasnovedosa para aplicaciones con WSN. Los resultados presentados constituyen unaherramienta útil a la hora de diseñar aplicaciones restringidas en energía, error deestimación y disponibilidad de red.

En el modelo propuesto, el nodo coordinador estima el número de mensajes trans-mitidos para cada nodo dentro de un cluster, y controla la probabilidad de outagede los enlances entre cada nodo y el coordinador, controlando en forma indirecta suspotencias de transmisión y eventualmente sus energías remanentes.

La disponibilidad de red deseada u objetivo se alcanza mediante estimación ycontrol del tiempo de vida de los nodos claves de cabeza de cluster de la red, demanera de mantener sus energías por encima de un nivel mínimo aceptable por laaplicación, al tiempo que se cumplen los requerimientos de error de estimación de lamisma. En el caso en el que el tiempo de vida estimado de un nodo cabeza de clusteralcance su umbral mínimo de energía, la red se recon�gura de manera de garantizarla continuidad del �ujo de datos.

Capítulo 9

Algoritmo Propuesto paraSincronización E�ciente enEnergía en WSN

9.1 Introducción

Como se ha explicado en capítulos anteriores, las WSN han sido objeto de unaintensa investigación en los últimos años. El hecho de que estén intrínsecamente dise-ñadas para operar con bajo consumo de energía, baja capacidad de procesamiento enlos nodos, plantea un desafío al procesar y estimar datos en tiempo real y con el errordeseado. Por otra parte, debido a que las aplicaciones son cada vez más complejas,el alto número de nodos totales desplegados en una WSN agregan complejidad a laelaboración de una estrategia de e�ciencia energética para asegurar la sustenabilidadde la WSN en su conjunto, y particularmente maximizar el tiempo de vida de cadanodo, al tiempo que se mantiene su rendimiento a valores aceptables.

Un aspecto clave de una WSN que le permite alcanzar su objetivo de tiempode vida es la sincronización de tiempo, lo que permite la fusión de datos, esquemasde multiplexación en el tiempo de la radio-operación de cada nodo y asimismo laoptimización del uso de la energía a través de la implementación de esquemas debajo consumo. Una red que no logra controlar su gasto energético en su conjuntoestá destinada a salir de operación prematuramente, siendo la gestión energética unaprioridad clave en el proceso de diseño de una WSN. Aún así, la sincronización detiempo conduce a un gasto de energía inevitable que retribuye al diseñador de redcon un poderoso mecanismo para el control de la energía una vez que el procesode sincronización alcanza un grado aceptable de error. Normalmente el proceso desincronización se divide en dos etapas: en primer lugar, una etapa de descubrimientode red, es decir, una fase en la que los nodos conocen sus vecinos y construyenuna representación de sus vecinos en la red, lo que conduce a una subdivisión de lared denominada agrupación o clustering, lo cual permite gestionar la red completamediante la reducción del tamaño del problema a unos pocos número de nodos encada cluster; y en segundo lugar, una vez �nalizada la fase de descubrimiento de red,

91

92 CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO

se ejecuta una etapa de formación de la red con el �n de organizar los nodos de laWSN en grupos, algunos de los cuales se superponen entre sí para garantizar que laconectividad de red sea transparente e ininterrumpida

El proceso de sincronización involucra el intercambio de un número de mensajesentre cada par de nodos en un cluster determinado hasta que el error de la sincro-nización se controla a un nivel deseado para cada uno de los clusters en la WSN,y, eventualmente, para toda la red. La energía empleada para la sincronización de-pende de las características de desvanecimiento del canal inalámbrico, la disposicióngeográ�ca de los clusters, y en consecuencia el grado de redundancia necesaria paragarantizar que los mensajes sean recibidos con éxito por todos los nodos a lo largo delproceso de sincronización. Es en esta etapa que el uso de mensajes de temporizacióncodi�cados con la técnica de codi�cación de red o network coding para compensar elefecto de la probabilidad de outage del canal es una opción atractiva para mejorarel proceso de estimación de clock. Además, la WSN puede ser pensada como unsistema dinámico cuya respuesta temporal de la energía total depende principalmen-te de la energía empleada en el proceso de intercambio de mensajes, la cual puedeser controlada mediante la aplicación de una estrategia de control adecuada a talpropósito.

Desde que aparecieron los primeros protocolos de sincronización de WSN talescomo RBS, TPSN y PBS, se destinó mucho esfuerzo de investigación a desarrollaralgoritmos de sincronización de WSN e�cientes en energía en un intento de proveerde mecanismos que no sólo alcancen el error de sincronización requerida por la apli-cación sino que también sean soluciones que contemplen al consumo energético enel algoritmo de sincronización mismo. Como se ha probado en los Capítulos 4 a 7,existen límites óptimos en energía para el problema de sincronización de WSN, enlos cuales la energía empleada en el proceso de sincronización se debe balancear conel error de sincronización lograda, para diferentes condiciones de topología de red yestado del canal inalámbrico.

Trabajos recientes como por ej. [69] discuten la necesidad de estrategias de sin-cronización e�cientes en energía que consideren el gasto energético y el retardo en elproceso de sincronización para una red multi-hop clusterizada. En [66], los autores seenfocan en la recolección de gran cantidad de datos en forma e�ciente en energía pro-veyendo un algoritmo de clustering que minimiza el número de clusters en la WSN,aunque no se enfocan en la estabilidad energética de la solución. Los autores de [38]usaron el concepto de estabilidad de Lyapunov [34, p. 111] aplicada a la estimaciónde información del estado del canal inalámbrico en forma e�ciente en energía, endetrimento del retardo de red. Aún más, el trabajo realizado en [40] investiga es-trategias de sincronización de WSN e�ciente en energía para redes heterogéneas, yel impacto que tiene la diversidad de los nodos en el error de estimación de clock,aunque el trabajo no hace referencia a la estabilidad energética de las soluciones.Por otra parte, los autores de [59] resumen los diferentes enfoques de sincronizaciónmencionando la existencia de la relación de compromiso entre error de sincronizacióny prevención de fallas, aunque no mencionan enfoques de sincronización e�cientes enenergía.

En resumen, la sincronización de WSN e�ciente en energía debe investigarse

CAPÍTULO 9. ALGORITMO PROPUESTO 93

en conjunto al problema de estabilidad energética de forma de garantizar el correctocomportamiento de la red desde un punto de vista energético, y es ésta la contribuciónde este capítulo al estado del arte, presentándose un algoritmo de sincronización queengloba los conceptos principales presentados hasta este momento en la tesis.

La organización de este capítulo es la siguiente: en la Sección 9.2 se de�ne unmodelo de sistema que será usado a lo largo del capítulo; en la Sección 9.3 se introduceun concepto innovador en sincronización e�ciente en energía y estable para WSN; losresultados de las simulaciones de la solución propuesta se ilustran en la Sección 9.4;y �nalmente se realizan las discusiones �nales y conclusiones del algoritmo propuestoen la Sección 9.5.


9.2.1 Consideraciones Generales

En este capítulo se adopta el modelo de grafo de una WSN como se de�ne en elApéndice A.2, y el cual ya fue introducido en la Sección 7.2. Desde este punto en ade-lante, se consideran las siguientes hipótesis ampliamente adoptadas en la literatura[58, p. 37]:

• Todos los nodos son constructivamente idénticos, es decir, la sensibilidad delreceptor de cada nodo, denotada por γ0, se supone conocida e igual para todoslos nodos.

• Todos los nodos están afectados por la misma potencia de ruido AWGN, de-notada por σ2

N .

• La potencia de fuentes interferentes se asume incluida en σ2N .

La red se divide en clusters, siendo un cluster un conjunto de nodos agrupados enla misma vecindad a efectos de comunicaciones, por ejemplo, intercambio de datos,sincronización de tiempo, reenvío de datos, codi�cación de datos y detección coope-rativa. Los clusters han de formarse dinámicamente por los nodos que componen lared. El tamaño del clúster, denotado por Nq, será un parámetro de diseño elegido porel diseñador de la red con el �n de lograr los estándares de desempeño requeridos.La Figura 9.1 muestra una sección de WSN compuesta por diez nodos dispuestosaleatoriamente en un espacio de R3.

Una cuidadosa selección de los clusters permite a la WSN superar a topologíasque no utilicen clusters desde una perspectiva de e�ciencia energética, debido alhecho de que el procedimiento de sincronización se divide en subconjuntos más pe-queños de nodos que alcanzan su error de sincronización objetivo, reduciendo así lacomplejidad algorítmica del proceso de sincronización. Recordando el Cuadro 3.1, elhecho de reducir el número de nodos involucrados en el proceso de sincronizacióngeneralmente está asociado con una reducción en el consumo energético debido almenor intercambio de mensajes que debe ejercitar cada nodo, para el misma errorde sincronización alcanzado.


u3

u2u1

u8

u9

u4

u10

u6

u7

u5

... ...

Figura 9.1: Sección de WSN compuesta por diez nodos.

El proceso de clusterización implica una fase de descubrimiento de red, seguidode una fase de formación de red, como se detalla en la Sección 9.3.1.

9.2.2 Modelo de Canal

9.2.2.1 Potencia de Transmisión y SNR

Usando el modelo de canal simpli�cado (ver Apéndice A.3.1), se dice que lacomunicación entre los nodos ui y uj es exitosa, es decir el receptor puede procesar elmensaje transmitido correctamente, cuando la SNR1 en el receptor γs ≈ Sij/(aijσ2

N )satisface γs > γ0, siendo γ0 la mínima SNR aceptable por el receptor [29].

En este capítulo se hace foco en los efectos de desvanecimiento de pequeña escalaRayleigh con usos del canal descorrelacionado, aunque también se contemplan laspérdidas por propagación debido a la disposición geométrica de los nodos en elespacio.

9.2.2.2 Estimación de la Potencia de Transmisión a partir de la Estima-ción de la Probabilidad de Outage

Durante el proceso de sincronización los nodos intercambian mensajes a unatasa de datos R constante, permitiendo a cada nodo receptor contar el número demensajes recibidos exitosamente, denotado por Mij , a lo largo de una ventana deobservación Tw, desconociendo el número de mensajes originalmente emitidos porel transmisor. Recordando aquello discutido en la Sección 8.2.2, (8.3) provee unaestimación de mij , denotada por mij , a partir del producto de R y Tw. Asimismo,una estimación de la probabilidad de outage del enlace entre los nodos ui y uj seha presentado en (8.4). Combinando estos dos resultados, y contemplando usos decanales independientes Rayleigh, el nodo uj puede producir la siguiente estimaciónde la potencia de transmisión utilizada por el nodo ui cuando le envía mensajes alprimero:

1Más precisamente, la Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio (SINR).


Si|uj =γ0σ

2N

Poutij. (9.1)

donde se ha utilizado el hecho que se trabaja a bajos valores de la probabilidadde outage, es decir γ0σ

2N/Sij � 1,

La ecuación (9.1) representa una medida de la cantidad de energía empleada porel nodo transmisor ui en un esfuerzo por entablar una comunicación exitosa con elnodo uj .

9.3 Algoritmo Propuesto para Sincronización de WSNE�ciente y Estable en Energía basado en Codi�caciónde Red

9.3.1 Descubrimiento y Formación de Red

9.3.1.1 Fase de Descubrimiento de Red

El objetivo de la fase de descubrimiento de red es permitir que cada nodo en lared descubra sus vecinos físicos, es decir aquellos nodos que están dentro de su rangode comunicación, al tiempo que descubre sus potenciales vecinos lógicos, es decirnodos con los que se va a mantener una comunicación sostenida en el tiempo, por ej.con propósito de sincronización o intercambio de datos. En esta etapa, el objetivoes que cada nodo ui registre la distancia que los separa de cada uno de sus vecinosfísicos uj , denotada por dij , así como también su velocidad relativa, denotada porvij , y el o los clusters a los cuales los vecinos físicos de ui pertenecen, denotados porel conjunto de clusters {Cn}, con n = {1, 2, ..., Nc}, con Nc el número de nodos enla red clusterizada.

El proceso comienza con el nodo ui enviando su Número de Identi�cación (ID),denotado por U{i}_ID, así como también los ID de clusters a los cuales pertenece,si es que hay alguno, denotado por U{i}_CL. El proceso se repite para todos losnodos ui en la red, con i ∈ V = {1, 2, . . . , N} donde N es el número de nodos en laWSN. Los vecinos físicos del nodo ui registran estos datos y responden a ui con susdatos respectivos. Intercambiando sucesivamente mensajes con sus vecinos, el nodoui puede estimar las distancias con respecto a sus pares dij así como también lasvelocidades relativas vij usando la indicación de Received Signal Strength Indicator(RSSI) [8]. El Algoritmo 1 resume la fase de descubrimiento de red para cada nodoen formato de pseudocódigo.

La Figura 9.2 muestra el proceso de descubrimiento de red en el cual el nodo u3

difunde su información a sus vecinos físicos en el instante de tiempo tk, los cualesresponden con sus datos en el instante de tiempo tk+1 , tk + Ts, para un intervalode transmisión dado Ts.


u2u1

u5

u4

u3

U3_ID, {U3_CL}

U3_ID, {U3_CL}

U3_ID, {U3_CL}

U3_ID, {U3_CL}

U5_ID, {U5_CL}

U4_ID, {U4_CL}

U1_ID, {U1_CL}

U2_ID, {U2_CL}

tk+1

tktk

tk

tk

tk+1

tk+1

tk+1

Figura 9.2: Process de descubrimiento de red para el nodo u3.

9.3.1.2 Fase de Formación de Red

La fase de formación de red [58, p. 109] es responsable de subdividir la WSN enclusters, así como también con�gurarlos con los nodos correspondientes. La premisaes subdividir la WSN en clusters conteniendo como máximo Nc nodos, de manera dereducir el tiempo de sincronización y la energía empleada en el proceso, comparadocon la versión no clusterizada de la WSN.

El Algoritmo 2 muestra el pseudocódigo del programa que se debe ejecutar porcada nodo durante la fase de formación de red.

Una vez �nalizada la fase de descubrimiento de red, cada nodo de la WSN con-tiene una lista de sus vecinos físicos. El proceso continúa de la siguiente manera:el nodo ui consulta a sus vecinos a qué clusters pertenecen, y se une al clúster quecontiene el menor número de nodos, con el objetivo de igualar el número de nodosen cada cluster. Si los vecinos físicos del nodo ui no pertenecen a ningún cluster,entonces ui se asigna a sí mismo un único cluster ID, al cual con el tiempo se uniránotros vecinos físicos de ui. El proceso de formación de red continúa así su ciclo paratodos los nodos de la WSN.

Luego de ejecutar el algoritmo de formación de red en cada nodo de la WSN, lared estará típicamente subdividida en Nc = dN/Nqe clusters, pudiendo llegar hastaun máximo de Nc =

(NNq

)clusters. La Figura 9.3 muestra una WSN clusterizada con

N = 12, Nq = 5 y Nc = d12/5e = 3 a modo de ejempli�cación.

9.3.2 Estimación de O�set de Reloj a Nivel de Red

9.3.2.1 Elección del Error de Estimación

El error de estimación en un cluster de nodos está restringido por el error deestimación total a nivel de red, denotado por εmax, el cual está impuesto por laaplicación. Debido a que la red está dividida en como máximo Nc clusters luego de�nalizada la etapa de formación de red, cada cluster puede ser asignado una error deestimación de o�set objetivo, denotado por εq, de�nido por εq , εmax/Nc. Entonces,


Algoritmo 1 Algoritmo de descubrimiento de red para el nodo u3.1: . Difundir tramas de descubrimiento con ID de nodo e ID de cluster2: discoveryFrame.Broadcast(nodeID, clusterID)3: . Cargar discoveryT imer para expirar el tiempo de fase de descubrimiento4: discoveryT imer ← Timeout_Discovery_Phase5: . Inicializar arreglo de vecino físicos como pneighbors6: pneighbors← new char[Nq − 1]7: while discoveryT imer no expirado do8: . Cargar el reloj de timeout esperando nuevas respuestas9: timeout← Timeout_New_Response10: . Esperar respuestas de otros nodos11: WaitForNewResponses(timeout)12: if Nueva respuesta detectada then13: . Almacenar response en variable newNeighbor14: newNeighbor ← response15: if newNeighbor no está en pneighbors then16: Agregar newNeighbor a pneighbors17: end if18: end if19: end while

Algoritmo 2 Algoritmo de formación de red para el nodo ui.

1: Ordenar pneighbors en forma ascendente por número de clusters2: for i = 0 a pneighbors[Nq − 1] do3: Enlazar lógicamente pneighbor[i]4: if Núm. de clusters de pneighbor[i] es cero then5: . Asignar un nuevo cluster ID único6: ui.ClusterID ← newID7: end if8: end for9: if pneighbors.Length > Nq then10: for j = Nq to pneighbors.Length do11: Agregar pneighbors[j] a pclusters12: for i = 0 to Nq − 1 do13: pn← pneighbors[i]14: for k = 0 to pclusters.Length do15: if pn no está en pclusters[k] then16: Unirse a pclusters[k]17: end if18: end for19: end for20: end for21: end if


u3

u2u1

u8

u9

u4

C1C2

C3

u12

u6

u7

u5

Figura 9.3: WSN clusterizada luego de completarse el proceso de formación de red.

para un cluster Cq dado, donde q = 1, 2, . . . , Nc, conteniendo Nq nodos, el error deestimación tomada de a pares de los nodos contenidos en Cq deben cumplir∑

i

∑j

εij = εq ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , Nq}. (9.2)

Como se ha explicado en el Capítulo 7, para estimadores del o�set de a pares θijque sea Cramer-Rao e�cientes, el error de estimación incurrido por el nodo uj cuandoestima el o�set del reloj del nodo ui, denotado por εij , está dado por εij = σ2

V /mij ,donde σ2

V es la varianza del ruido que afecta la medición del parámetro real θij . Espor esto que el error de estimación total local al nodo ui cuando estima el reloj desus vecinos, denotado por εi, es

εi ,∑j

εij =∑j

σ2V

mij

(1− Poutij

) ∀j ∈ V, j 6= i. (9.3)

Se puede establecer un problema de optimización desde la perspectiva local deun nodo sujeto a la restricción del error de estimación global a nivel de red, conel objetivo de minimizar la desviación de energía del nodo ui respecto de un valorprede�nido, denotada por ei(t, Sij), en el instante de tiempo t cuando opera conuna potencia de transmisión Sij . La restricción también se aplica a los clusters demanera que la suma de todos los errores de los clusters εq debe ser menor o igual ala restricción global de error a nivel de red. De esta forma se puede de�nir ei(t, Sij)como

ei(t, Sij) , ESP i − Ei(t, Sij) (9.4)


donde ESP i es el setpoint u objetivo de energía para el nodo ui y Ei(t, Sij)representa la energía remanente del nodo ui en el instante de tiempo t cuando ésteopera con potencia de transmisión Sij . Por simplicidad de notación, y sin pérdidade generalidad, se omitirán los argumentos de tiempo y potencia para la energía decada nodo y su desviación del setpoint.

La potencia de transmisión óptima Sij emitida por el nodo ui cuando se sin-croniza con el nodo nodo receptor uj es la solución de la optimización de Lagrangeinvolucrando el error de estimación total por cluster εq y el error de estimación totalεi introducida por el nodo ui cuando se sincroniza con sus vecinos dentro del cluster,como se vio en la Sección 7.3:

∂ei∂Sij

= −λ∑i

∂εi∂Sij

(9.5a)

tal que∑i

εi = εq ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , Nq}. (9.5b)

donde λ es el multiplicador de Lagrange que resulta del problema de optimización.La potencia de transmisión óptima emitida por el nodo ui al comunicarse con elnodo uj está dada por la solución de la siguiente ecuación diferencial que relacionala potencia de transmisión Sij con la probabilidad de outage Poutij entre un par denodos (ui, uj), tal como se vio en la Sección 4.2.6:

2Sij∂Poutij∂Sij

= 1− Poutij . (9.6)

Sea Sijopt la potencia de transmisión óptima que resuelve (9.6). Recordando(7.12), el error de estimación óptimo para el enlace entre los nodos ui y uj , denotadopor εijopt , está dada por

εijopt =

√√√√− Sijopt

λ(


(9.7)

donde TM es la duración de cada mensaje, mientras que el valor de λ en (9.7)está dado por (7.13).

El Algoritmo 3 presenta el pseudocódigo de la rutina de elección del error de apares ejecutándose en cada nodo dentro de un mismo cluster. Nótese que Poutij hasido reemplazado por su estimación Poutij .

9.3.3 Estimación del O�set de Reloj usando Codi�cación de Red

Considere el escenario mostrado en la Figura 9.4 en el cual el nodo u1 envía unmensaje de broadcast con la medición de su reloj a todos sus vecinos en su clusteren el instante de tiempo tk. Bajo estas circunstancias, se dice que el nodo u1 actúacomo referencia de reloj para el cluster en en intervalo de tiempo [tk, tk+1).

En condiciones ideales y libres de ruido del canal de comunicación, así comotambién mediciones del reloj sin ruido, un único mensaje de broadcast bastaría para


Algoritmo 3 Elección de εijopt para el par de nodos (ui, uj).

1: . De�nir la potencia de transmisión óptima2: Sijopt ← (1− Poutij (n · Tw)) · Tw/(2 · (Poutij (n · Tw))− Poutij ((n− 1) · Tw))))3: . Resolver el multiplicador de Lagrange λ4: λ← 05: for i = 0 to Nq − 1 do6: for j = 0 to Nq − 1 do7: if i 6= j then

8: aux←√Sijopt/((1− Poutij )2 · σ2

V · TM )

9: λ← λ+ aux10: end if11: end for12: end for13: λ← −λ/ε2q

14: εijopt =

√−Sijopt

/(λ(


)

u4u5

u2

u3

tu1

tu1

tu1

tu1

u1 t=tk

Figura 9.4: El nodo u1 envía un mensaje de broadcast con su reloj a todos los nodosen el cluster.

que los nodos del cluster puedan estimar el o�set del reloj del nodo u1. Sin embargo,en una aplicación real las señales recibidas están contaminadas con ruido electro-magnético, los canales de comunicación experimentan efectos de desvanecimiento,apantallamiento, bloqueo y atenuación, eventualmente llevando a las señales reci-bidas a niveles indetectables para el receptor, e incluso las mediciones de origencontienen incertidumbres inherentes al proceso de adquisición de datos empleadopor los nodos comerciales. Por esto mismo, es realista asumir que ciertos mensajesse perderán eventualmente y algunos nodos receptores no van a poder capturar losdatos enviados originalmente por el nodo transmisor. Por esta razón, se debe intro-ducir algún tipo de redundancia de datos de manera de recuperar la información apartir de un camino de comunicación alternativo. Es decir, combinar o codi�car lainformación de tiempo de los nodos puede ayudar a reducir la energía empleada enel proceso de sincronización por el hecho de minimizar el número de retransmisionesy el tiempo de sincronización total.


El concepto de combinar información a nivel de red para obtener un bene�cioglobal se denomina codi�cación de red o en inglés network coding [71, p. 411]. Uncaso particular de estrategia de codi�cación de red es lo que se denomina codi�caciónlineal de red, en la cual la redundancia que se agrega es una combinación lineal delos datos a nivel de red [43, p. 56],[42]. La ventaja de los códigos lineales subyace enla simplicidad a la hora de realizar la decodi�cación, y por dicho motivo se ajustanbien a las aplicaciones de WSN en las cuales se debe minimizar el procesamientode datos. El concepto de los códigos lineales de red se muestra en la Figura 9.5, enla cual el nodo fuente s envía los datos b1 y b2 a los nodos repetidores 1 y 2, loscuales luego combinan los datos originales a través de los nodos intermediarios 3 y 4,permitiendo así que los nodos de destino d1 y d2 reciban los datos originales b1 y b2,respectivamente, más un mensaje redundante conteniendo una combinación lineal delos datos originales, es decir b1 + b2. La suma de los datos originales le permite a losnodos de destino recuperar los datos originales en caso de pérdida de datos, por ej. siel dato b1 se perdiera o se corrompiera en el nodo receptor d1, entonces éste podríaobtener el dato b2 de su nodo vecino d2 y así recuperar la información original b1por medio de una substracción simple entre el dato redundante (b1 + b2) y el datob2, es decir b1 = (b1 + b2)− b2, sin necesidad de que ocurra una retransmisión desdeel nodo origen s. La ventaja de este método subyace en el hecho de que combinar lainformación b1 + b2 es más e�ciente en energía y en tiempo que tener retransmitirlos mensajes b1 y b2. Entonces, la estrategia de codi�cación de red incrementa lacapacidad del canal ya que permite transmitir información aún cuando la condicióndel canal de comunicación es pobre, gracias a los mensajes redundantes introducidospor el esquema de codi�cación.

La Figura 9.6 muestra al nodo u2 enviando un mensaje de broadcast con suobservación del o�set del nodo u1, es decir θ12 , tu1 − tu2 en el instante tk+δ, para0 < δ � 1. La justi�cación de por qué δ no es un número entero es que todas lasretransmisiones deben ocurrir antes de la próxima ronda de mensaje broadcast dereferencia , es decir antes de tk+1. Las Figuras 9.7 a 9.9 ilustran a los nodos u3,u4 y u5 enviando mensajes de broadcast de sus respectivas observaciones del o�setdel nodo u1 a sus vecinos (lógicos) en el cluster. El ciclo de transmisión continúacon el nodo u2 actuando como referencia de reloj y enviando su medición de tiempotu2 al resto de los nodos en el cluster, seguido por estos últimos retransmitiendosus observaciones del reloj de referencia, agregando así redundancia al proceso deestimación de reloj. Se continúa el ciclo para todos los nodos en el cluster en formacircular. A medida que se avanza en el proceso de sincronización, los nodos comienzana tener el mismo concepto de tiempo, permitiendo así que se implemente un esquemaTDMA de manera de evitar colisiones en las transmisiones.

No obstante, el potencial de la aplicación de la técnica de codi�cación de reden el campo de las WSN no está limitado únicamente a la sincronización de lasmismas sino al favorecimiento del aumento de la capacidad efectiva de la técnica decomunicación para un rango más amplio de aplicaciones.

En resumen, la aplicación de la técnica de codi�cación de red a la sincroniza-ción de WSN tiene dos propósitos fundamentales: recuperar información perdida yecualizar los errores de estimación entre los nodos, como se detalla a continuación.


d1 d2

b1 b2

b1 b2

b2

b1+b2

b1+b2b1+b2

b1

s

21

3

4

Figura 9.5: Topología de mariposa para codi�cación de red [71].

Recuperación de Información Perdida La redundancia introducida por losmensajes retransmitidos mostrados en las Figuras 9.6 a 9.9 sirven de mecanismo derecuperación de información en caso de pérdida de mensajes. La Figura 9.10 ilustraun escenario en el cual el nodo u4 no puede recibir un mensaje de broadcast quecontiene el reloj del nodo u2.

Figura 9.6: El nodo u2 retransmite el o�set del reloj del nodo u1 a los nodos en sucluster.

Empleando adecuadamente la información redundante provista por los mensajesde codi�cación de red, el nodo u4 puede producir una estimación del o�set de u2,





denotada θ24(tk)|u4 , a partir de la información de tiempo obtenida a partir del nodou1 como

θ24(tk)|u4 = tu1(tk)|u4 − θ12(tk)|u4 − tu4(tk) (9.8)

donde tk es el instante de sincronización, tui(tk) es la medición de tiempo del nodoui en el instante de tiempo tk, y θil(tk)|uj es la medición del o�set de reloj relativoentre los nodos ui y ul observado desde el nodo uj . En general, la estimación del o�setdel reloj del nodo ui producida por el nodo uj , con i, j ∈ Vq = {1, 2, . . . , Nq}, puede


u4

u1

u5u3

tu2

tu2

tu2

tu2

u2t=tk+1

Figura 9.10: El nodo u2 envía un mensaje de broadcast con la medición de su reloja todos los nodos en su cluster, pero el nodo u4 no recibe el mensaje.

ser re�nada promediando la estimación obtenida en el instante de tiempo tk con lainformación ganada a partir de las observaciones de los demás nodos del cluster enel instante tk+1, i.e.

θij(tk+1)|uj =1

Nqθij(tk)|uj +

1

Nq

Nq∑l=1l 6=i

(tul(tk+1)|uj−

θli(tk+1)|uj − tuj (tk+1))∀l ∈ Vq. (9.9)

La ecuación (9.9) exhibe la ventaja de usar codi�cación de red en el proceso desincronización, ya que permite a cualquier nodo en el cluster recuperar la informaciónperdida en un instante de tiempo dado reutilizando las observaciones de sus vecinosde los relojes de los nodos del cluster. Sin embargo, debido a la restricción energéticaexistente en una WSN del mundo real, no es posible retransmitir todas las obser-vaciones de todos los nodos en un cluster para todo instante de tiempo, así comotampoco es realista suponer que todos los mensajes serán recibidos perfectamente.Por este motivo, (9.9) debe ser reescrita de manera de contemplar el escenario en elque un nodo no retransmite su observación del nodo de referencia, y asimismo incor-porar un factor dependiente de la probabilidad de error en la recepción de mensajes,es decir

θij(tk+1)|uj =1

Nq∗ij

θij(tk)|uj +

1

Nq∗ij

Nq∑l=1l 6=i,j

φil|uj(tul(tk+1)|uj − θli(tk+1)|uj − tuj (tk+1)

)(9.10)

donde

φil|uj , µl(tk+1)|ujµil(tk+1)|ujνil(tk+1) (9.11)

y


Nq∗ij , 1 +

Nq∑l=1l 6=i

φil|uj (9.12)

µl(tk+1)|uj =

{1, si uj recibe tul a través de ul en tk+1

0, en cualquier otro caso;(9.13)

µil(tk+1)|uj =

{1, si uj recibe θil a través de ul en tk+1

0, en cualquier otro caso;(9.14)

νil(tk+1) =

{1, si ul retransmite θil en tk+1

0, en cualquier otro caso.(9.15)

Los valores de µl(tk+1)|uj y µil(tk+1)|uj son determinados estadísticamente pormedio de la probabilidad de outage de los enlaces de comunicación respectivos, comose muestra a continuación:

P(µl(tk+1)|uj = 1

)= 1− Poutlj (9.16)

P(µil(tk+1)|uj = 1

)= P

(µil(tk+1)|uj = 1

∣∣∣µl(tk+1)|ui = 1)P (µl(tk+1)|ui = 1) +

P(µil(tk+1)|uj = 1

∣∣∣µl(tk+1)|ui = 0)P (µl(tk+1)|ui = 0) (9.17)

donde en (9.17) se emplea el Teorema de la Probabilidad Total (ver ApéndiceA.5) para expresar la probabilidad que el nodo ui reciba exitosamente o�set delnodo ul, condicionado a que el nodo uj reciba exitosamente la observación del o�set

de ul por el nodo ui. Nótese que P(µil(tk+1)|uj = 1

∣∣∣µl(tk+1)|ui = 0)

= 0 porquesimboliza la probabilidad de que el nodo uj reciba la observación del o�set del nodoul relativa al nodo ui, condicionada a que el nodo ui no reciba la medición de relojdel nodo ul. Es decir, si el nodo ui no recibe la medición de reloj de ul entonces nopodrá retransmitir su estimación del o�set de este último en ese instante de tiempo,y entonces uj no recibirá la medición de o�set de ul mediante ui. Habiendo dichoesto, se puede reescribir (9.17) como:

P(µil(tk+1)|uj = 1

)= P

(µil(tk+1)|uj = 1

∣∣∣µl(tk+1)|ui = 1)P (µl(tk+1)|ui = 1)

(9.18)Para usos del canal descorrelacionados, (9.18) se reduce a

P(µil(tk+1)|uj = 1

)= (1− Poutil)(1− Poutlj ) (9.19)

siendo entonces,

P(µl(tk+1)|uj = 0

)= Poutlj (9.20)

y


P(µil(tk+1)|uj = 0

)= PoutilPoutlj . (9.21)

La variable controlada νil(tk+1) regula la retransmisión de las observaciones delos o�set de reloj en base a una relación de compromiso que se debe establecer entreel nivel de redundancia de datos y el gasto energético de los nodos en el cluster.

Nótese de (9.10) que si todos los relojes en Vq están sincronizados, entonces porde�nición de medición relativa se cumple que

θlj(tk+1)|uj − θli(tk+1)|uj ≈ θij(tk)|uj ∀k > k0 > 0 (9.22)

donde k0 es una medida en segundos del tiempo de convergencia del algoritmode sincronización. Entonces se puede decir que

θij(tk+1) ≈ θij(tk)|uj ∀k > k0 (9.23)

lo cual implica que las estimaciones de reloj dejan de evolucionar debido al hechoque el cluster Cq ha alcanzado el objetivo de sincronización. Como consecuencia, losnodos dejan de transmitir mensajes de sincronización y sus consumos energéticosdebido al proceso de sincronización detienen su tasa de cambio.

Ecualización del Error de Estimación Los mensajes de codi�cación de redpueden ser explotados para igualar las tolerancias de las mediciones y observacionesde los vecinos obtenidas a través del canal inalámbrico. Idealmente en un canal decomunicación libre de errores, la suma de lazo cerrado de las observaciones de loso�sets tomados de a pares deben cumplir

Nq∑j=1

θj,j(tk+1)|ui = 0 (9.24)

con j , (j+ 1) mod Nq. En una aplicación real, el ruido de medición, las pertur-baciones y las tolerancias en la construcción de los nodos conllevan a

Nq∑j=1j 6=i

θj,j(tk+1)|ui = ξ(tk+1)|ui 6= 0 (9.25)

es decir, el error total en el instante tk+1 en el nodo ui, denotado por ξ(tk+1)|ui ,es distinto de cero. La ecuación (9.25) puede ser usada para ecualizar este error entretodas las estimaciones tomadas de a pares del nodo ui en el instante de tiempo tk,es decir

θ∗ij(tk+1)|uj = θij(tk+1)|uj +ξ(tk+1)|ui

Nq(9.26)

donde θ∗ij(tk+1)|uj simboliza a la medición ecualizada del o�set del nodo ui en elinstante de tiempo tk+1 observado desde el nodo uj .

El Algoritmo 4 muestra el pseudocódigo del programa de codi�cación de redejecutándose en el nodo uj en el instante tk+1.


Algoritmo 4 Sincronización con codi�cación de red ejecutándose en uj en tk+1.

1: . Almacenar número de nodos en cluster Cq2: Nq ← numberNodesCq3: for i = 1 to Nq do4: . Actualizar estimación de o�set de ui5: aux← 06: N∗q ← 17: for l = 1 to Nq do8: if ((l 6= i) and (tul(tk+1) recibido) and9: (θil(tk+1) recibido)) then10: aux← aux+ tul(tk+1)− θuli(tk+1)− tuj (tk+1)11: N∗q ← N∗q + 112: end if13: end for14: θij(tk+1)← (θij(tk) + aux)/N∗q15: . Estimar los errores de estimación de lazo cerrado16: ξ ← 017: h← 018: for j = 1 to Nq do19: j ← (j + 1) mod Nq

20: ξ ← ξ + θj,j(tk+1)21: end for22: . Actualizar los relojes ecualizados23: for i = 1 to Nq do24: θij(tk+1)← θij(tk+1) + ξ/Nq

25: end for26: end for


9.3.4 Control Óptimo de Energía

9.3.4.1 Energía de un Nodo

Recordando (8.10), la energía total de un nodo ui en el instante de tiempo t,denotada por Ei(t), está dada por:

Ei(t) = E0i + EHi(t)− Eci(t) (9.27)

donde E0i es la energía inicial del nodo, EHi(t) es la energía capturada y Eci(t) esla energía consumida en función del tiempo.

Recordando la de�nición de la desviación de la energía respecto de su setpointdada por (9.4), y la expresión (9.5a) se puede a�rmar que

∂ei∂Sij

∂Sij∂t

= −λNq∑i=1

∂εi∂Sij

∂Sij∂t

. (9.28)

donde se ha usado el hecho de que la potencia de a pares Sij es una función deltiempo en el caso más genérico.

Usando notación de Newton para la diferenciación en tiempo, es decir x , ∂x/∂t,(9.28) se transforma en

ei = −λNq∑i=1

εi (9.29)

lo cual sugiere que si εi → 0 para todo i ∈ Vq, entonces cada ei → 0, aunquela recíproca no es necesariamente válida. Entonces, controlando a cero cada tasa decambio en el error de estimación εi, o lo que es lo mismo cuando εi alcanza su valorobjetivo, se estabiliza la energía de cada nodo ui ya que su tasa de cambio se controlacero.

9.3.4.2 Sincronización como Sistema Dinámico

El error de estimación incurrido por los nodos cuando estiman los o�sets de susvecinos en el cluster puede ser reducido mediante intercambio de mensajes sucesivos,produciéndose así mejores estimaciones en función de los mensajes correctamenterecibidos, tal como se mostró en (4.2). Es por esto que la tasa de cambio del error deestimación tomada de a pares mejora a medida que se incrementa la energía utilizadaen el proceso de sincronización, en forma de número de mensajes enviados y potenciade transmisión empleada. Sin embargo, la mejora en el error de estimación se debebalancear con la energía empleada en cada nodo. Como se mostró en la Sección 7.3,la conectividad de los nodos aij juega un papel preponderante en la optimalidad delas soluciones, por lo que se puede reducir (9.29) solamente a las conexiones de losnodos tomadas de a pares. Al hacer esto, (9.29) puede ser reescrita como

ei = −λNq∑j=1j 6=i

aij εij (9.30)


donde se ha usado εi =∑Nq

j=1 aij εij , con j 6= i.El siguiente paso es expresar εij en términos de la energía de los nodos ui y uj .

Reescribiendo (9.3) en términos de las energías de los nodos, queda

εij =σ2V

Eci Ecj=

σ2V

(ESP i − ei) (ESP j − ej)(9.31)

donde se ha usado (9.4) para expresar Eci , Ecj en términos de ei, ej . La ecuación(9.31) muestra que el error de estimación mejora a medida que ei, ej crecen enmagnitud. Diferenciando (9.31) con respecto al tiempo resulta

εij =eiσ

2V

(ESP i − ei)2 (ESP j − ej)+

ejσ2V

(ESP i − ei) (ESP j − ej)2. (9.32)

Reemplazando (9.32) en (9.30), se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

ei = −λNq∑j=1j 6=i

aij

(eiσ

2V

(ESP i − ei)2 (ESP j − ej)+

ejσ2V

(ESP i − ei) (ESP j − ej)2

)(9.33)

o simplemente,

ei = fi(ei, ej , ei, ej) (9.34)

donde fi(ei, ej , ei, ej) es la función no lineal del lado derecho del igual en (9.33),para todo j ∈ V, j 6= i.

Es importante notar que debido a que las operaciones de los transceptores serealizan a instantes discretos de tiempo, la evolución temporal de la energía de losnodos está descripta por un sistema dinámico discreto. Entonces, expandiendo (9.33)a todos los i, j ∈ Vq, de�niendo

x ,

e1...eNq

(9.35)

y muestrando el sistema continuo resultante con una frecuencia de muestreo iguala 1/(TsNq), es posible expresar la desviación de energía de los nodos como un sistemadinámico discreto a lazo cerrado en el instante de tiempo tk como (ver Apéndice A.7)

x(k + 1) = Ad · x(k) + Bd · uv(k) (9.36)


donde Ad y Bd son matrices que dependen del punto de operación de energía,mientras que u(k) es el comando de control enviado por el nodo de referencia dereloj con el objetivo de controlar la energía de sus nodos vecinos. El sistema (9.36)representa la linealización de la forma vectorial de (9.34) alrededor del punto deoperación (x0,y0), el cual depende del punto de trabajo de error de estimaciónóptimo como se muestra en el Apéndice A.7. De�niendo la función de costo [6, p.412]

Jd =∞∑k=0

(xT (k) ·Q1 · x(k) + uTv (k) ·Q2 · uv(k)

)(9.37)

con matrices de peso Q1 y Q2, el comando de control óptimo, denotado por uv,que incluye las perturbaciones del sistema y que minimiza (9.37) (ver Apéndice A.7)viene dado por la siguiente ley de control óptima

uv(k) = −Kd · x(k) (9.38)

con

Kd =(Q2 + BT

d ·Pd ·Bd

)−1 ·BTd ·Pd ·Ad (9.39)

donde P se calcula a partir de la ecuación de Riccati de tiempo discreto y estadoestacionario

Pd = ATd ·Pd ·Ad + Q1 − (AT

d ·Pd ·Bd) ·(BT

d ·Pd ·Bd + Q2)−1 · (BTd ·Pd ·Ad) (9.40)

como se muestra en el Apéndice A.7. Cuando el nodo uj actúa de reloj de re-ferencia en el instante tk, cada nodo ui, i 6= j, recibe el vector de comando uv(k)y almacena su variable de comando a partir del i-ésimo elemento de uv, es decirνji(k) = uv(k)[i], de manera de poder determinar si debe retransmitir la medicióndel o�set del nodo uj en el siguiente instante de tiempo en el cual el nodo uj actuaránuevamente como referencia de reloj, es decir en el instante tk+Nq .

Una consecuencia importante de la señal de comando uv(k) es que efectivamentemodi�ca la tasa de transmisión de mensajes R en función del tiempo, afectando asíla estimación de la potencia de transmisión promedio Si cuya expresión está dadapor (8.12), y consecuentemente impactando en la estimación de la energía consumidaEci . La expresión de la variación de tasa de transmisión de mensajes para el nodoui se puede encontrar consultando la desviación de energía en los Nq instantes detiempo previos y proponiendo la función

Ri(k) =1

Ts

1 +k−1∑

p=k−Nq

0,5 (1 + sgn(x(p)[i]))

(9.41)

donde sgn(·) denota la función signo y x(k)[i] denota el i-ésimo elemento del vec-tor x en el instante tk, de manera que el argumento de la suma en (9.41) incremente


el valor de Ri(k) sólo cuando el comando de control x(p)[i] > 0, en otras palabrascuando ui retransmita su medición del o�set del nodo uj . También es importan-te destacar que los mensajes sólo se retransmiten cuando se recibe exitosamente elcomando de retransmisión de mensaje, de manera que el algoritmo de sincroniza-ción es tolerante a las fallas del nodo de referencia ya que una falla en el mismo nodesencadena una cantidad de retransmisiones descontroladas.

El Algoritmo 5 sintetiza el �ujo del programa de control de energía ejecutándoseen el nodo uj cuando éste es la referencia de reloj y produce una ley de control u enel instante de tiempo tk de manera de controlar la energía de los nodos en el clusterCq alrededor del valor objetivo requerido por la aplicación.

El Algoritmo 6 muestra el pseudocódigo del programa ejecutándose en un nodoul en el instante de tiempo tk, el cual no está actuando como nodo de referencia, ysimplemente espera el comando de retransmitir o no su estimación de o�set de relojdel nodo ui en el instante de tiempo tk+Nq .


De manera de ilustrar el potencial del esquema de sincronización propuesto,considere una WSN clusterizada donde el cluster C1 contiene Nq = 5 nodos simbo-lizados u1 a u5 desplegados en un posiciones espaciales l1 = (0, 0, 0), l1 = (2, 6, 0),l1 = (0, 5, 5), l1 = (0, 3, 6), l1 = (0, 5, 4), respectivamente. El objetivo del nodo u1 esestimar el o�set de los relojes de sus vecinos lógicos en el cluster. Suponga ademásque los o�sets relativos a u1 reales son: θ12 , t1− t2 = −0,1s, θ13 , t1− t3 = −0,2s,θ14 , t1 − t4 = −0,3s, y θ15 , t1 − t5 = −0,4s.

La Figura 9.11 muestra las estimaciones producidas por el nodo u1 en relacióna los o�sets de sus vecinos lógicos en el cluster C1. La oscilación (ripple) en laestimación se debe al ruido de medición inherente en la construcción de los nodos,el cual se ha simulado como ruido AWGN. Se puede observar que el nodo u1 sesincroniza exitosamente con sus vecinos mientras que logra controlar las energías delos mismos dentro de límites aceptables para la aplicación.

La Figura 9.12 ilustra las estimaciones producidas por el nodo u1 relativas a lasprobabilidades de outage de sus vecinos lógicos, las cuales son usadas para generarlos comandos de control, tal como se visualiza en la Figura 9.13, de manera demantener sus energías alrededor del setpoint u objetivo. Es posible apreciar que lasleyes de control producidas por u1 son tales que las energías de los demás nodospueden controlarse aún cuando las estimaciones de las probabilidades de outage nohan convergido completamente al valor �nal.

La Figuras 9.15 a 9.18 ilustran las desviaciones de energía de los nodos u2 a u5

siendo controladas en la vecindad del origen, lo cual signi�ca que la energía de losmismos se mantiene alrededor de su setpoint.

Es claro que implementar un esquema de sincronización sin tener en cuenta laenergía de los nodos en el algoritmo no es factible ya que la energía de los mismosse agotaría por efectos del mismo algoritmo de sincronización. Nótese en las Figuras9.15 a 9.18 que cuando las desviaciones de las energías de los nodos cruzan el ejeordenada normalizada ei = (ESP i − 0)/ESP i = 1, el nodo ya no puede funcionar


Algoritmo 5 Algoritmo de control de energía ejecutándose en uj en tk.

1: if uj es referencia de reloj then2: . Inicializar variables3: x(0)← 04: y(0)← 05: for i = 1 to Nq do6: if (i 6= j) then7: . Estimar cada Si|uj mediante Poutij8: Si|uj ← γ0σ

2N/Poutij

9: . Calcular Ri(k)10: aux = 011: for p = k −Nq to k − 1 do12: aux← aux+ 0,5 (1 + sgn(x(p)[i]))13: end for14: Ri(k)← (1 + aux)/Ts15: . Estimar Si16: Si ← TmRi(k)Si|uj17: . Estimar cada Ei|uj18: Ei|uj ← E0i + EHi(t)− (Si|uj t+ VddIqt)19: . Crear vector de estado x20: xi ← ESP i − Ei|uj21: end if22: end for23: . Crear vector de estado x en tk24: x(k)← [x1, x2, . . . , xNq ]

T

25: . Obtener punto de operación (x0,y0)26: x0(k)← x(k) o x0(k) dado por búsqueda de grilla27: y0 ← (x0(k)− x0(k − 1))/(NqTs)28: . Calcular matriz A

29: A← −(∂g∂y |x0

)−1· ∂g∂x |x0

30: . Calcular matriz de tiempo discreto Ad

31: Ad = eANqTs

32: . Calcular perturbación v33: v(k)← A · x0 + y0

34: . Calcular matriz de tiempo discreto Bd (notar que Bv = I)

35: Bd =∫ NqTs

0 eAtdt36: . Encontrar P usando la ecuación de Riccati de tiempo discreto37: P = AT

d ·P ·Ad + Q1 − (ATd ·P ·Bd)·

38: (BTd ·P ·Bd + Q2)−1 · (BT

d ·P ·Ad)39: . Calcular Kx

40: Kx ←(Q2 + BT

d ·P ·Bd

)−1 ·BTd ·P ·Ad

41: . Calcular ley de control uv

42: uv(k)← −Kx · x(k)43: . Calcular ley de control u44: u(k)← (BT ·B)−1 ·BT · (Bd

T · uv(k)− v(k))45: . Nodo uj no es referencia de reloj46: Transmitir mensaje de broadcast con ley de control u(k)47: end if


Algoritmo 6 Algoritmo de control para nodo no-referencia de reloj ul en tk.1: . Recibir comando de control emitido por nodo referencia de reloj uj2: if (νil(k) > 0) then3: νil(k)← uv(k)[i]4: Retransmitir medición de ui en tk+Nq

5: else6: No retransmitir medición de ui en tk+Nq

7: end if

debido a que se ha agotado por completo su energía. En otras palabras, un procesode sincronización su�cientemente prolongado en el tiempo no es sustentable desdeun punto de vista energético. La diferencia observada entre la energía controlada yla energía sin controlar representa la energía que cada nodo salvaguarda durante elproceso de sincronización, por efecto de la reducción de redundancia de codi�caciónde red, consecuentemente planteando una relación de compromiso entre error deestimación y tiempo de vida de los nodos, traduciéndose esto último en con�abilidadde la red.

Es válido destacar en las Figuras 9.15 a 9.18 el esfuerzo inicial de energía que elnodo debe ejercitar de manera de conducir la estimación de o�set de reloj a límitesaceptables, luego del cual el consumo energético se mantiene constante por acciónde la estrategia de control. El sesgo observado entre el valor de convergencia �nal delas desviaciones de energía y el origen se debe al hecho de que se ha utilizado unalinealización (aproximación) de las funciones de energía no lineales. Sin embargo,este sesgo puede ser estimado y compensado en los casos en los que la aplicación asílo requiera.

La Figura 9.14 muestra la desviación de energía del nodo u2 superpuesta al valorpromedio de las desviaciones de energías de los nodos u2 to u5. Se observa que elcomportamiento de la energía de los nodos en el cluster C1 es prácticamente idénticoa aquel del nodo u2, siendo las pequeñas diferencias atribuibles a la característica nodeterminística del canal de comunicación inalámbrico.

9.5 Conclusiones

La sincronización es un requerimiento clave para alcanzar la e�ciencia energéticaen una WSN, al tiempo que permite que se implementen otras funcionalidades talescomo la fusión de datos, localización y control de acceso al medio. Generalmente sesubdivide a la WSN en clusters de forma de lograr un mejor control de energía y unamás rápida convergencia del algoritmo de sincronización, a expensas de una mayorcomplejidad en las etapas de descubrimiento y formación de red.

Tanto la geometría de la red y el tipo de desvanecimiento del canal inalámbricoafectan al punto de trabajo energético óptimo de cada nodo en la WSN. Aún más, laprobabilidad de outage no nula del canal conlleva a la pérdida de mensajes, causandoasí un impacto negativo en el rendimiento energético de los nodos y en la convergenciadel algoritmo de sincronización. De manera de mitigar este inconveniente, en este


0 0.05 0.1 0.15 0.20 45

0 4

0 35

0 3

0 25

0 2

0 15

0 1

0 05

0

u2

�i1

Figura 9.11: Estimaciones producidas por u1 relativas a los o�sets de los nodosu2 ∼ u5. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms, Ts = 10ms, σ2

N = 100mW,σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.

0 0.5 10

0.005

0.01

0.015

a) Outage Probability of u2

Nodeu2Pout

t [s]

0 0.5 10

0.005

0.01

0.015

b) Outage Probability of u3

Nodeu3Pout

t [s]

0 0.5 10

0.005

0.01

0.015

c) Outage Probability of u4

Nodeu4Pout

t [s]

0 0.5 10

0.005

0.01

0.015

d) Outage Probability of u5

Nodeu5Pout

t [s]

Figura 9.12: Estimaciones producidas por u1 relativas a las probabilidades de outageentre él mismo y los nodos u2 ∼ u5. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms,Ts = 10ms, σ2

N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.

capítulo se ha propuesto un esquema en el cual los nodos pueden reconstruir lainformación perdida a través de información redundante agregada con la técnica decodi�cación de red.


0 2 4 60.5

0

0.5

1

1.5

a) Command to u2

Controlcommand

t [s]

0 2 4 60.5

0

0.5

1

1.5

b) Command to u3

Controlcommand

t [s]

0 2 4 60.5

0

0.5

1

1.5

c) Command to u4

Controlcommand

t [s]

0 2 4 60.5

0

0.5

1

1.5

d) Command to u5

Controlcommand

t [s]

Figura 9.13: Comandos óptimos emitidos por el nodo u1 para los nodos u2 ∼ u5.Parámetros de la simulación: Tm = 1ms, Ts = 10ms, σ2

N = 100mW, σV = 0,03,γ0 = −3 dB, ε = 0,1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

1

0

1

2

3

4

Energydeviationx[J]

t [s]

Energy deviation

uncontrolled u4

uncontrolled average

LQR u4

LQR average

Figura 9.14: Desviación de energía respecto del setpoint (normalizadas) para el nodou2 cuando es controlado por el nodo u1, superpuesta al promedio de desviaciones deenergía para los nodos u2 ∼ u5. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms, Ts = 10ms,σ2N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.

De manera de lograr estabilidad en la energía de los nodos al momento de ejer-cer la sincronización, se ha presentado en este capítulo un mecanismo innovador quepermite alcanzar la sincronización de los diferentes clusters que constituyen la red, al


0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

1

0

1

2

3

4

Energydeviationx[J]

t [s]

Energy deviation of u2

LQR

uncontrolled

Figura 9.15: Desviación de energía respecto del setpoint (normalizada) para el nodou2 cuando es controlado por el nodo u1. Parámetros de la simulación: Tm = 1ms,Ts = 10ms, σ2

N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

1

0

1

2

3

4

Energydeviationx[J]

t [s]


LQR

uncontrolled


N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.

tiempo que se controla en forma óptima la energía de los nodos de cada cluster alre-dedor del valor objetivo prede�nido por la aplicación. En otras palabras, el esquemapropuesto actúa como una protección bidireccional que balancea la redundancia dela información y la energía de los nodos de manera de obtener una solución estable


0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

1

0

1

2

3

4

Energydeviationx[J]

t [s]


LQR

uncontrolled


N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

1

0

1

2

3

4

Energydeviationx[J]

t [s]


LQR

uncontrolled


N = 100mW, σV = 0,03, γ0 = −3 dB, ε = 0,1.

en energía en primer lugar.

Capítulo 10

Conclusiones Generales

En esta tesis se ha investigado en detalle técnicas de sincronización e�cientes enenergía y de prevención de ocurrencia de fallas para redes de sensores inalámbricos,o simplemente WSN. La fundamental importancia de la sincronización de una WSNsubyace fundamentalmente en la posibilidad de implementar esquemas de control deenergía mediante técnicas de control de la radio operación de los nodos que componenla red. La energía de un nodo constituye uno de las restricciones más importantesen el diseño de una WSN real, ya que los mismos suelen estar alimentados poruna batería, cuya energía es limitada y no renovable, o en caso contrario estánautoalimentados de forma limitada debido a la baja e�ciencia en la captura de energíay la baja disponibilidad de energía emitida por fuentes externas como ser la energíasolar, los campos electromagnéticos, las fuentes térmicas o las vibraciones mecánicas.Adicionalmente, la sincronización de los nodos es generalmente un requerimiento dela aplicación de manera de permitir la correcta interpretación cronológica de losdatos así como también la fusión de datos de manera de reducir el trá�co de la red.

A lo largo de esta tesis se han investigado distintos escenarios de sincronización denodos en una WSN, comenzando por el caso de un par de nodos aislados del resto dela red, sincronizándose entre sí, lo cual ha servido de base para investigar los fenóme-nos fundamentales del problema de sincronización e�ciente en energía. Para ese casose ha demostrado la existencia de una relación de compromiso que vincula el error desincronización con el consumo energético empleado en el proceso de sincronización.Se ha demostrado consecuentemente cómo regulando la potencia del transmisor sepuede lograr un valor óptimo para la relación de compromiso mencionada anterior-mente, con previo conocimiento de las condiciones del canal inalámbrico.

Luego, se investigaron los diversos casos de desvanecimiento de pequeña y granescala sin correlación de canal, para redes de múltiples saltos, donde se ha demos-trado que el retardo de sincronización juega también un papel preponderante en ladeterminación del valor óptimo de la potencia de los transmisores. El caso de múl-tiples saltos empeora la relación de compromiso debido a la mayor probabilidad deerror existente en redes con varios nodos intermediarios.

Otra contribución de esta tesis ha sido el estudio detallado de la sincronización delos nodos cuando existe un movimiento relativo entre ellos. Para el caso de atenuaciónde gran escala, el factor dominante en la sincronización de nodos en movimiento

119

120 CAPÍTULO 10. CONCLUSIONES GENERALES

es la distancia entre pares, debido a la atenuación del canal de comunicación porpérdidas de camino. Sin embargo cuando los nodos se comunican en un canal condesvanecimiento de pequeña escala Rayleigh entra en juego la correlación del canalresultado de la velocidad relativa entre nodos, la cual se evidencia como una oscilaciónsostenida en las relaciones de compromiso óptimas. El problema tiende a los �nesprácticos al caso de canal descorrelacionado cuando la velocidad entre nodos esrelativamente grande por efecto de la función de correlación del canal.

Debido a la versatilidad que ofrecen las WSN, se ha propuesto en esta tesis unageneralización al problema de sincronización e�ciente en energía independientementede la topología y tamaño de la red, mostrándose las cotas óptimas que cumplen conun requisito de error de sincronización a nivel de red cuando se quiere optimizar laenergía consumida en el proceso de sincronización. Nuevamente la variable de ajustees la potencia de transmisión de los nodos, ofreciéndose un modelo que exhibe enforma inmediata los resultados tanto para el caso teórico como para el caso práctico.Esto último constituye una herramienta muy poderosa a la hora de diseñar una WSNreal, en la cual los nodos solamente pueden regular un número �nito de posiblesvalores de la potencia de transmisión.

Como en toda red sin mantenimiento, es importante investigar el comportamien-to de la misma cuando existe una probabilidad de falla de los dispositivos que lacomponen. En el caso de los nodos de una WSN, es fundamental predecir y prevenirla falla de los mismos, tomando acciones consecuentemente de manera que la red nosufra mayores interrupciones en el �ujo de datos. En esta tesis se ha propuesto unalgoritmo innovador que estima el tiempo de vida de los nodos de una red mediantela recepción pasiva de mensajes intercambiados entre un par de nodos, anticipándosey previniendo una falla inminente de los nodos mediante la recon�guración de lasconexiones de los nodos en la red. El modelo aquí propuesto dispone resultados quepermiten al diseñador de la red elegir criteriosamente los valores de disponibilidadde red, error de sincronización y tasa de transmisión de datos de manera de cumplirlos requisitos de la aplicación.

Finalmente, se han engloblado los conceptos presentados a lo largo de la tesis enun único algoritmo de sincronización innovador el cual, mediante técnicas combina-das de codi�cación de red y control óptimo, logra sincronizar una WSN clusterizadaal tiempo que controla la energía de los nodos de manera de garantizar una soluciónestable en energía. Para tal �n se ha modelado la interacción de los nodos durante elproceso de sincronización como un sistema dinámico, al cual se lo controla a partirde la estimación de la energía remanente de cada nodo usando información del esta-do del canal de comunicaciones. Adicionalmente, dicho algoritmo de sincronizaciónpropuesto previene la falla de los nodos mediante un control de energía óptimo, altiempo que contribuye a la robustez de la WSN al no requerir una jerarquía de reddeterminada para su correcto funcionamiento.

Perspectiva

A lo largo del curso de esta tesis se han resuelto varios problemas que hasta el mo-mento se los consideraba como problemas abiertos en la literatura. Más allá de esto,

CAPÍTULO 10. CONCLUSIONES GENERALES 121

existen varios problemas que merecen ser investigados en el futuro cercano. Uno deestos problemas es la sincronización e�ciente en energía de redes heterogéneas, es de-cir, redes compuestas por nodos con diferentes características constructivas, tiemposde vida, potencias de transmisión, capacidad de procesamiento, etc. Estos problemasse verán con mayor frecuencias en las aplicaciones de la IoT, ya que potencialmen-te cualquier dispositivo podrá ser un nodo de una WSN, siendo la sincronizaciónprimordial para garantizar el correcto funcionamiento de la red.

Otro aspecto innovador introducido por esta tesis es el de modelar el comporta-miento de una WSN como un sistema dinámico, un enfoque que hasta el presenteno está difundido en la literatura de esta temática. Dicho esto, es varios problemasde ruteo, recon�guración asignación de recursos, etc, pueden ser investigados desdeel punto de vista de un sistema dinámico en el cual los parámetros de interés evolu-cionan con el tiempo, pudiéndose plantear una estrategia óptima para alcanzar lasmétricas de rendimiento deseadas a partir de técnicas de control moderno.

Finalmente, el concepto de radio cognitiva, o del inglés cognitive radio, utilizadopara de�nir a receptores que sensan el estado del canal inalámbrico de manera detomar decisiones en los algoritmos que ejecutan, presenta un potencial muy ampliocuando se lo combina con las técnicas de estimación paramétrica, sistemas dinámi-cos y control óptimo investigados por esta tesis, siendo un terreno particularmenteinteresante para explorar el de redes ad-hoc para aplicaciones de IoT.

Apéndice A

Resumen de HerramientasMatemáticas

A.1 Ruido AWGN

Considere el proceso de ruido blanco Gaussiano aditivo estacionario, denotadon(t), de media cero y densidad espectral de potencia, denotada Sn(f), constante eigual a N0/2 para toda frecuencia f , es decir

E[n(t)] = 0

Sn(f) =N0

2. (A.1)

Dado que n(t) es ruido AWGN, su función de autocorrelación, denotada porRN (τ), está dada por [9, p. 744]

RN (τ) =

∫ +∞

−∞Sn(f)exp(j2πfτ)df =

N0

2δ(τ) (A.2)

donde δ(·) es la función delta de Dirac [9, p. 13] (ver Apéndice A.8.1).Sea s(t) una señal originalmente enviada por el nodo transmisor a través de

un canal afectado por una realización de ruido AWGN en el instante de tiempo t,denotada por n(t). La señal recibida a la entrada del nodo receptor, denotada porr(t), tiene la forma:

r(t) = s(t) + n(t) (A.3)

La mayoría de los receptores comerciales de los nodos utilizan detectores de co-rrelación [9, p. 133] para determinar el símbolo que fue enviado desde el transmisor,observando el símbolo recibido durante una duración de tiempo TM dada por la du-ración del mensaje. Los detectores por correlación utilizan un conjunto de funcionesprototipo, denominada ψ(t) para un dado detector, la cual es utilizada como puntode referencia para la determinación del símbolo originalmente enviado a partir de laseñal recibida afectada por ruido.

123

124 APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS

De esta forma, la señal recibida r(t) es procesada por un �ltro pasabajos ideal defrecuencia de corte igual a 1/(2TM ) Hz [9, p. 33] de manera que la potencia de ruidoa la entrada del receptor, la cual coincide con la varianza σ2

N , queda determinadapor

σ2N = E[n2(t)] =

∫ TM

0

∫ TM

0RN (t− s)ψ(t)ψ(s)dtds =

N0

2(A.4)

donde se ha considerado la potencia a ambos lados del eje f = 0 y se usado elhecho que las funciones prototipo ψ(t) son ortonormales, es decir∫ TM

0

∫ TM

0ψ2(t)dt = 1. (A.5)

A.2 Modelo de Grafo de una WSN

Una WSN puede ser representada por un grafo dirigido G = (V, E) con vérticesV = {1, 2, ..., N}, un conjunto de aristas E ⊂ V × V y una matriz de adyacenciaA ∈ RN×N compuesta por los elementos A = {aij}, donde los coe�cientes aijrepresentan el peso de la conexión entre los nodos ui y uj , con {i, j} ∈ V, es deciruna extensión de lo de�nido en la Sección 2.2.1.

De manera de contemplar la atenuación por propagación de las señales transmi-tidas, se de�ne el coe�ciente aij de la siguiente manera:

aij =

1 i = j

(d0/dij)n dij ≤ Dijmax

0 en cualquier otro caso.

(A.6)

donde Dijmax es el máximo radio de cobertura del nodo ui cuando se comunicacon el nodo uj . El parámetro d0(< dij) es una distancia de referencia, mientras quen denota el exponente de pérdidas de camino, el cual varía en el rango n = 2 ∼ 6[29, p. 41].

A.3 Modelo de Canal Inalámbrico

A.3.1 Modelo de Canal Inalámbrico Simpli�cado

En general, en canales inalámbricos la relación entre las potencias de transmisiónSR/S y recepción está dada por [29, p. 46]:

SRS

(dB) = 10 logK − 10γ logd

d0− ψdB (A.7)

donde K es una constante que modela la ganancia de la antena, d0 es una distan-cia de referencia, γ es el exponente de pérdida de camino (pathloss), d es la distanciaentre el transmisor y el receptor, y ψdB = 10 logψ, siendo ψ una variable aleatoria

APÉNDICE A. RESUMEN DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 125

que modela ya sea los efectos de la atenuación a gran escala (apantallamiento o sha-dowing), o los efectos de la atenuación de pequeña escala de multicamino (multipathfading). Una comunicación es exitosa, es decir el receptor puede procesar el mensajeemitido por el transmisor, cuando la relación señal a ruido SNR, denotada por γs,satisface γs > γ0, siendo γ0 la mínima SNR que admite el receptor.

A.3.2 Canal Inalámbrico con Desvanecimiento de Gran Escala

El desvanecimiento de gran escala representa la atenuación o la pérdida de caminopromedio en la potencia de una señal transmitida a lo largo de grandes distancias,un fenómeno atribuido a contornos de terrenos prominentes entre el transmisor yel receptor, como pueden ser por e.j. carteles publicitarios, grupo de edi�cios, etc.[60]; aún más, para aplicaciones de ambientes interiores este fenómeno también estápresente para distancias menores a 10 metros [29, p. 27-60]. Bajo los efectos depérdidas de camino y sombreado (shadowing), la probabilidad de outage Pout sede�ne como la probabilidad de que la potencia recibida por el receptor caiga pordebajo de un mínimo umbral aceptable SRx expresado en dBm como se muestra acontinuación [29, p. 27-60]:

z(S) =SRx − [S + 10 logK − 10γ log(d/d0)]

σψdBPout(S) = 1−Q(z(S)) (A.8)

donde la función Q(·) es la función Q complementaria de�nida en la Sección A.8.5, yla potencia de transmisión S está en dBm. Los parámetros K, d, d0, γ, de�nidos en(A.7) se suponen conocidos. En este escenario, la variable aleatoria ψdB asume unadistribución Gaussiana con media cero y varianza σψdB , también asumida conocida.

A.3.3 Canal Inalámbrico con Desvanecimiento de Pequeña Escala

Se entiende por efectos de desvanecimiento de pequeña escala a los cambios dra-máticos en la amplitud de la señal como resultado de pequeños cambios en la separa-ción espacial entre transmisor y receptor [60], una situación que se presenta cuandoel transmisor y el receptor están rodeados de un gran número de objetos dispersores.

Bajo efectos de desvanecimiento de pequeña escala Rayleigh, no hay componentede línea de vista de la señal, y la envolvente de la señal recibida se describe por unaFDP Rayleigh. La probabilidad de outage en desvanecimiento Rayleigh para unamínima SNR aceptable γ0 y SNR de transmisión promedio γs se expresa como [29,p. 27-60]:

Pout(S) = 1− e−γ0/γs ≈ 1− e−γ0σ2N/S (A.9)

donde γ0 y γs ≈ S/σ2N son adimensionales, mientras que tanto la potencia de trans-

misión S como la potencia de ruido σ2N están expresados en Watt.

En un canal inalámbrico, el desvanecimiento de pequeña escala se mani�esta através de las siguientes diferentes mecánicas: dispersión de tiempo (desvanecimiento


plano y desvanecimiento selectivo en frecuencia)y varianza de tiempo (desvaneci-miento rápido y desvanecimiento lento). A continuación se agrega una breve des-cripción de los tipos de desvanecimiento de pequeña escala según lo explicado en[60].

Para explicar el fenómeno de dispersión de tiempo, se de�ne el ancho de bandade coherencia f0 del canal como el ancho de banda durante el cual la respuestapermanece constante. Este parámetro está relacionado con el dispersión de retardoστ el cual simboliza el tiempo que tarda cada componente de frecuencia de una señaltransmitida en llegar al receptor, siendo στ = 0 en un canal ideal (es decir, no haydispersión de tiempo en la señal recibida). La relación entre f0 y στ , aunque noexiste exactamente, se suele aproximar por f0 ≈ 1/(5στ ). El desvanecimiento planose experimenta cuando στ < TM , donde TM es la duración de tiempo del mensajetransmitido. Si στ < TM entonces se tiene el caso de desvanecimiento selectivo enfrecuencia, lo cual conlleva a interferencia entre símbolos o más comúnmente conocidodel inglés Inter-Symbol Interference (ISI).

Por otra parte, para estudiar el fenómeno de varianza de tiempo se de�ne el tiem-po de coherencia del canal, denotado por T0, como el tiempo durante la respuesta delcanal permanece constante, y de esta forma se obtiene una medida de la correlacióndel mismo. Intuitivamente, si se envían dos símbolos espaciados en el tiempo un valormenor o igual a T0, la señal recibida al enviar un símbolo estará correlacionada con laseñal recibida debida al símbolo anterior. Asimismo, si T0 < TM entonces se tendráuna respuesta cambiante del canal mientras se está enviando un mismo símbolo, locual distorsiona la señal recibida, causado problemas de SNR y de sincronización enel oscilador del receptor. Al caso T0 < TM se lo denomina desvanecimiento rápidoya que el canal está cambiando antes que se pueda recibir el símbolo o mensaje encuestión. Por el contrario, cuando se tiene el caso contrario, es decir T0 > TM sedice que el canal experimenta desvanecimiento lento, el cual es el caso deseado en lapráctica. Finalmente, en el fenómeno de varianza en el tiempo se de�ne la frecuenciade dispersión de Doppler como fd ≈ 1/T0, la cual explica el comportamiento de larespuesta en frecuencia del canal para un grupo de señales espaciadas ±f0 respectode la frecuencia central de la portadora de la señal. En general es deseable que ladispersión de Doppler sea lo más parecida posible a una función delta de Dirac, locual indica que al transmitir un tono sinusoidal puro, no hay dispersión en frecuen-cia y consecuentemente el espectro de la señal recibido es el de un tono, es decir lafunción delta de Dirac centrada en la frecuencia de la portadora.

A.4 Estimación Paramétrica y Cotas Óptimas

Considere la esperanza y la varianza de un estimador insesgado del o�set comose muestra a continuación:

E[θ] = θ (A.10)

σ2θ

= E[(θ − E[θ])2] = E[(θ − θ)2] = σ2θ(m) (A.11)

La cota inferior de Cramer-Rao [33, p. 22], en inglés Cramer-Rao Lower Bound(CRLB), sirve como medida del mejor rendimiento que un estimador insesgado puede


alcanzar. El error de estimación se relaciona con la Información de Fisher I(θ) comosigue [33, p. 34]:

σ2θ≥ 1

I(θ)(A.12)

con

I(θ, m) , −E[∂2

∂θ2ln f(θ, m)

](A.13)

donde f(θ, m) es la función de verosimilitud del parámetro θ para m mensajesrecibidos exitosamente.

Cuando un estimador insesgado alcanza la CRLB, se dice que éste es Cramer-Raoe�ciente [33, p. 30].

A.5 Teorema de la Probabilidad Total

Sean Bi, i = 1, 2, . . ., un conjunto �nito de eventos mutualmente excluyentes.Sea A otro evento, entonces la probabilidad marginal de A está dada por [4, p. 35]

P (A) =∑i

P (A ∩Bi) =∑i

P (A|Bi)P (Bi). (A.14)

A.6 Problema del Valor Inicial

Sea un sistema no lineal de�nido por

x = f(t)

x(0) = x0 (A.15)

donde x , dx/dt. Bajo la hipótesis de que f(t) es integrable, la solución de (A.15)está dada por [52, p. 66]

x(t) = x0 +

∫ t

0f(s)ds. (A.16)

Si f(t) en el sistema (A.15) es una función lineal del tipo Ax entonces la solución(A.16) toma la forma

x(t) = eAtx0 (A.17)

la cual es válida tanto para el caso escalar como para el caso vectorial de x, dondeA es una matriz no nula.


A.7 Sistemas Dinámicos y Control Óptimo

Sea x0 , [e10 . . . eNq0 ]T el punto de operación de las desviaciones de las ener-gías de los nodos de una WSN alrededor del cual se desea operar cada cluster Cq.Idealmente, |εij − εijopt | se debería minimizar para todo i, j ∈ Vq de manera quelos errores de estimación tomadas de a pares yazcan tan próximo como sea posiblea sus valores objetivos. Expandiendo el sistema para todos los pares de nodos, essimple notar que el sistema de ecuaciones formado por todas las incógnitas ei, ej andrestricciones εijopt es incompatible, es decir no se puede encontrar una solución enel caso general porque se tienen NM ,

(Nq2

)ecuaciones y sólo Nq incógnitas. Sin

embargo, siempre es posible encontrar una solución que minimice la desviación totalde los errores de las estimaciones. Formando un vector de dimensión NM × 1 quecontenga todas las diferencias en los errores de estimación tomadas de a pares vector,es decir Υij , {εij} y Υijopt , {εijopt}, ∀i, j ∈ Vq , se puede formular el siguienteproblema de optimización

Encontrar x0 que minimice ‖Υij −Υijopt‖2 (A.18)

lo cual puede ser resuelto por medio de una búsqueda de grilla [35]. En la Sec-ción 7.3 se mostró que es posible modi�car el punto de trabajo dependiendo de la�exibilidad que se quiera obtener en tiempo de implementación, y por este motivox0 no necesariamente debe cumplir (A.18). De acuerdo (9.31), x0 puede ser elegidalibremente siempre y cuando no se comprometa el rendimiento del error de estima-ción a nivel de red en la WSN. Si la implementación, sin embargo, no permite quese realice una búsqueda de grilla, una solución práctica a la elección de x0 es tomarx0 = x(k).

Recordando (9.35), se de�ne

y , x (A.19)

f(x,y) ,

f1(e1, ej , e1, ej)

...fi(ei, ej , ei, ej)

...fNq(eNq , ej , eNq , ej)

(A.20)

Expandiendo para todo j ∈ V, j 6= i, se puede escribir el sistema no linealy = f(x,y) como una ecuación diferencial vectorial implícita como se muestra acontinuación:

g(x,y) = y − f(x,y) = 0. (A.21)

Dado x0, es inmediato obtener el punto de operación y0 a partir de (A.19) usandola derivada discreta de la forma


y0(k) =x0(k)− x0(k − 1)

NqTs. (A.22)

Usando el Teorema de la Función Implícita (TFI) [2, p. 238], si las derivadasparciales de los elementos g(x,y) en (A.21), dadas por la matriz Jacobiana del campovectorial g(x,y), existen y son continuas en su dominio, entonces se puede a�rmarque existe un único campo vectorial h(x) tal que y = h(x), y consecuentemente(A.21) tiene una única solución.

Nótese que fi(ei, ej , ei, ej), ∀i ∈ V, es singular solamente cuando Eci = 0, esdecir cuando el nodo ui no consume energía con propósitos de sincronización, unasituación que está fuera del rango de operación del algoritmo de sincronización. Luegofi(ei, ej , ei, ej) es clase C1 en su dominio tal como lo requiere el TFI.

Dado que el sistema resultante (A.21) es no lineal, es conveniente linealizarloalrededor del punto de operación (x0,y0) como se muestra a continuación [2, p. 264]

∂g

∂x

∣∣(x0,y0) · (x− x0) +

∂g

∂y

∣∣(x0,y0) · (y − y0) = 0 (A.23)

con ∂g∂x , {

∂gi∂xi} y ∂g

∂y , {∂gi∂yi}, ∀i ∈ {1, 2, . . . , Nq}.

Recordando (9.31), debido a que las desviaciones de la energía se deben manteneralrededor del origen, es decir ei ≈ 0 para todo i ∈ Vq, se cumple ei � ESP i . Másaún, se puede decir que (ESP i − ei)/ESP i ≈ 1. Con estas dos aproximaciones, ydenotando yi0 , y0[i], yj0 , y0[j], ESP , ESP i para todo i ∈ Vq, resulta

∂gi∂xj≈

{0, si j = i

− λE4SP

(yi0 + yj0)∑Nq

j=1 aij , en caso contrario. (A.24)

y

∂gi∂yj≈

{1, si j = iλ

E2SP

∑Nqj=1 aij , en caso contrario. (A.25)

De�niendo

A , −(∂g

∂y

∣∣(x0,y0)

)−1

· ∂g

∂x

∣∣(x0,y0) (A.26)

v , A · x0 + y0 (A.27)

el sistema (A.23) se puede reescribir en la forma lineal estándar

x = A · x + v (A.28)

donde x es el estado del sistema dinámico, y v es una perturbación conocida.De manera de controlar el sistema (A.28), se puede introducir una señal de con-

trol, denotada por u, la cual de�ne el per�l de radio operación de cada nodo en elcluster. De esta forma, se propone una estrategia de control llevada a cabo por cada


nodo ui, el cual emite una señal de control u cada Nq Ts segundos, es decir con unaresolución de tiempo dada por la frecuencia de broadcast de la medición de relojdel nodo ui. El sistema dinámico de lazo cerrado resultante desde la perspectiva delnodo ui está dado por

x = A · x + B · u + v (A.29)

donde B es la matriz de identidad de dimensión Nq × Nq, mientras que u estádado por

u ,

ν1i...

νNq i

(A.30)

con νji > 0 si el nodo uj debe enviar su medición del o�set del reloj del nodoui en la siguiente ronda de sincronización en el instante tk+Nq , o νji < 0 en casocontrario, donde j ∈ {1, 2, . . . , Nq}, j 6= i.

La perturbación v generalmente se incluye en la variable de control u usando elcambio de variable

Bv · uv , B · u + v (A.31)

lo cual conduce a

x = A · x + Bv · uv. (A.32)

La ley de control original u se recupera usando la pseudoinversa de B a partirde

u = (BT ·B)−1 ·BT · (BvT · uv − v). (A.33)

Considere ahora la energía de la WSN desde una perspectiva de sistema dinámico;se analizará primero el enfoque de sistema dinámico de tiempo continuo, y luego semuestreará el sistema de tiempo continuo para arribar a uno de tiempo discreto.

Enfoque de Sistema de Tiempo Continuo Considere el siguiente sistema deecuaciones diferenciales no lineales

x = h(x) (A.34)

donde x,h(x) ∈ Rn, n ∈ N es la dimensión del sistema, mientras que x = dxdt .

Sea el origen x0 = 0 un punto crítico de (A.34), es decir un punto en el cual lastrayectorias del sistema detienen su tasa de cambio temporal, o lo que es lo mismox = h(0) = 0 [52, p. 102].

Se dice que el sistema descripto por (A.34) es estable en el sentido de Lyapunov[34, p. 114] si existe un campo escalar V (x) que cumple con las siguientes condiciones:

• V (0) = 0,


• V (x) > 0 ∀x 6= 0,

• V (x) ≤ 0 ∀x 6= 0.

Si V (x) es estrictamente negativa para x no nulo, es decir V (x) < 0 ∀x 6= 0,entonces se dice que el sistema (A.34) asintóticamente estable, lo que signi�ca quetodas las trayectorias que comienzan alrededor del origen convergerán al mismo amedida que t→ +∞. Sea la función de Lyapunov

V (x) , xT · x (A.35)

entonces,

V (x) = 2 xT · x. (A.36)

Particularmente, si f(x) en (A.34) es una función lineal de x, entonces (A.34) sepuede expresar como

x = A · x. (A.37)

El sistema lineal (A.37) es de especial interés ya que si A es regular, es decirdet A 6= 0, entonces x → 0 ⇐⇒ x → 0, o lo que es lo mismo a medida que lastrayectorias estabilizan sus tasas de cambio, también convergen al origen, lo cual esun efecto deseado cuando se trata de controlar las trayectorias alrededor de un valorobjetivo o setpoint.

El objetivo �nal de esta técnica es producir una ley de control que alcance lasincronización a nivel de red al tiempo que se controla el vector de desviaciones deenergía x a cero, o lo que es lo mismo que cada nodo en la WSN alcance su setpointde energía mientras se asegura que el sistema a lazo cerrado es estable. Dicho objetivopuede lograrse eligiendo una ley de control de la forma

uv = −Kx · x (A.38)

donde Kx es una matriz que ubica los polos de lazo cerrado del sistema dinámico.A (A.38) se la denomina control por realimentación de vector de estados completoya que usa el vector de estado medido completo x. Combinando (A.32) con (A.38)se obtiene

x = (A−Bv ·Kx) · x. (A.39)

Reemplazando (A.39) en (A.36) da

V (x) = 2 xT · (A−Bv ·Kx) · x. (A.40)

De esta manera, la matriz Kx se debe elegir tal que V (x) en (A.40) sea de�nidanegativa, es decir que la matriz A − Bv · Kx sea Hurwitz [34, p. 135], o lo quees lo mismo, que todos sus autovalores tengan parte real negativa. Dicho problemageneralmente conlleva a encontrar in�nitas soluciones de Kx, y por este motivo sepuede plantear un problema de optimización de la forma de control Linear Quadratic


Regulator (LQR) [6, p. 408]. La ventaja del controlador LQR subyace en la habilidadde minimizar tanto los estados x como los comandos u por medio del uso de matricesde peso para cada uno de ellos. Es claro que minimizar x implica una convergenciamás cercana a los objetivos de energía; el bene�cio de minimizar u sólo se hace visiblecuando la magnitud de las señales de comando tienen sentido para la aplicación.En este caso, el algoritmo de sincronización podría codi�car en ‖u‖2 el número derondas de sincronización consecutivas que un receptor debería tener su transceptorencendido o apagado, y de esta forma la optimización de ‖u‖2 tendría un impactodirecto en el rendimiento energético de la red.

De�niendo la función de costo

J =

∫ ∞0

(xT ·Q1 · x + uTv ·Q2 · uv) dt (A.41)

se penaliza tanto el estado x como la señal de comando uv mediante las matricesde peso Q1 y Q2. La matriz Q1 se puede elegir igual a la matriz de identidad dedimensión Nq × Nq de manera de darle igual peso a todas las desviaciones de lasenergías de los nodos. Se elige la matriz Q2 como una matriz diagonal de dimensiónNq ×Nq basado en la estimación de la energía remanente del nodo ui producida porel nodo uj , denotada por Ei|uj , la cual se obtiene a partir de las estimaciones depotencia transmitida Si|uj combinando (9.1), (9.27) y (8.12). Es decir,

Q1 = I

Q2 = diag{q(2)i } (A.42)

con q(2)i , 1/Ei|uj , ∀i ∈ Vq. La matriz óptima LQR Kx en (A.38) viene dada

por [51, p. 795]

Kx = Q2−1 ·B ·P (A.43)

donde la matriz P está dada por la ecuación implícita de Riccati de matrizreducida

A ·P + P ·A−P ·Bv ·Q2−1 ·Bv ·P + Q1 = 0. (A.44)

Nótese que Q2−1 = diag{1/q(2)

i } = diag{Ei|uj}, ∀i ∈ Vq.

Cambiando a Tiempo Discreto De muestrear el sistema de tiempo continuo(A.32) con una frecuencia de muestreo igual a 1/(NqTs) resulta el siguiente sitemade tiempo discreto:

x(k + 1) = Ad · x(k) + Bd · uv(k) (A.45)

donde las matrices Ad y Bd se obtienen como [6, p. 302]

Ad = eANqTs (A.46)


Bd =

∫ NqTs

0eAtdt ·Bv. (A.47)

En la versión de tiempo discreto del problema de optimización LQR, la función decosto (A.41) se debe muestrear con la misma frecuencia con que se ha muestreado elsistema de tiempo continuo. La función de costo discreta que el control LQR discretominimiza está dada por:

Jd =∞∑k=0

(xT (k) ·Q1 · x(k) + uTv (k) ·Q2 · uv(k)

). (A.48)

La ecuación de Riccati de tiempo discreto estacionario se obtiene muestreando(A.44), lo cual produce la siguiente ecuación implícita de la incógnita P [6, p. 420]:

Pd = ATd ·Pd ·Ad + Q1 − (AT

d ·Pd ·Bd) ·(BT

d ·Pd ·Bd + Q2)−1 · (BTd ·P ·Ad). (A.49)

Luego, la ley de control discreta está dada por

u = (BdT ·Bd)−1 ·Bd

T · (BvT · uv − v) (A.50)

mientras que la matriz de ganancia óptima viene dada por [6, p. 417]

Kd =(Q2 + BT

d ·Pd ·Bd

)−1 ·BTd ·Pd ·Ad. (A.51)

A.8 Funciones Matemáticas Accesorias

A.8.1 Función Delta de Dirac

La función delta de Dirac, denotada δ(t), está de�nida por las siguientes propie-dades [9, p. 13] ∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1 (A.52)

δ(t) = 0 ∀t 6= 0 (A.53)

lımt→0

δ(t) = +∞ (A.54)

∫ +∞

−∞x(t)δ(t− t0)dt = x(t0) (A.55)


A.8.2 Funciones de Bessel

La Figura A.1 muestra las funciones de Bessel de primera especie y de órdenescero, primero y segundo [67, 60]. La función de Bessel de primera especie y orden cero,J0(x) tiene su valor máximo en x = 0 y luego decae en forma oscilatoria aunque noconverge a medida que se incrementa el valor de x. Sin embargo, de�niendo ψ = 16,3se puede a�rmar que

lımx→+∞

|J0(x)| < |J0(ψ)| = 0,2 ∀x > ψ (A.56)

con lo cual J0(0) > 5|J0(ψ)| puede utilizarse como una aproximación del caso dealta correlación en x=0 y baja correlación para valores de x > ψ. De esta manera sepueden cuantizar los casos de alta y baja correlación de canal solamente analizandoel argumento de la función J0(x).

Figura A.1: Funciones de Bessel de primera especie.

A.8.3 Norma de Frobenius

La norma de Frobenius [11, p. 634] de una matriz C se de�ne como

‖C‖F ,

√√√√ 2m∑i=1

2m∑j=1

cij (A.57)

siendo cij el elemento (i, j) de C.

A.8.4 Función de Heaviside

La función de Heaviside H(x) se de�ne como [12, p. 61-65]


H(x) =

0 x < 0

0,5 x = 0

1 x > 0

(A.58)

A.8.5 Función Q Complementaria

La función Q complementaria está de�nida por

Q(x) =1√2π

∫ ∞x

exp(−u

2

2

)du (A.59)

la cual de�ne la probabilidad que una distribución normal estándar sea mayorque el parámetro x.

Apéndice B

Demostraciones Matemáticas

B.1 Demostración del Lema (1)

Esta demostración está en el contexto del Lema 1 de�nido en la Sección 5.6.Un estimador insesgado del parámetro θij que alcance la cota de CRLB utilizando

datos disponibles en el vector x se puede encontrar si y sólo si [33, p. 20]:

∂ ln p(x; θij)

∂θij= I(θij)[g(x)− θij ] (B.1)

para algunas funciones I(θij) y g(x). Aún así, si I(θij) y g(x) existen, la CRLB esigual a 1/I(θij) y g(θij) es el estimador insesgado de mínima varianza (MVUE) deθij . De�niendo de x , {xk = θij + zk}, y usando la función de verosimilitud de�nidaen (4.6), (B.1) toma la siguiente expresión:

∂ ln p(x; θij)

∂θij=

m

σ2V

((1

m

m∑k=1

xk

)− θij

). (B.2)

La ecuación (B.2) muestra que la cota CRLB está dada por I(θij) = m/σ2V

mientras que g(x) = 1m

∑mk=1 xk = 1

m

∑mk=1(θij + zk) es el estimador MVUE de θij .

De este modo, mediante la introducción de (5.33), el estimador MVUE de θij es lamedia muestral. Por lo tanto, el Lema 1 queda demostrado �

B.2 Demostración de Pr (tlt < tmin) en (8.17)

La expresión de Pr (tlt < tmin) en (8.17) se obtiene de�niendo

Pr (tlt < tmin) = Pr

(E0 + EH − EminTmR S + VddIq

< tmin

)= Pr

(A(R) < S

)(B.3)

con

A(R) ,1

RTm

(E0 + EH − Emin

tmin− VddIq

). (B.4)

137

138 APÉNDICE B. DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS

Usando (8.4) y (8.8), (B.3) se reescribe como

Pr (tlt < tmin) = Pr

(M > RTw

(1−

γ0σ2N

A(R)

))= 1− Pr

(M ≤ bB(R)c

)(B.5)

donde b·c es la función piso (es decir, toma el entero inferior más próximo a suargumento), y

B(R) , RTw

(1−

γ0σ2N

A(R)

). (B.6)

Dado que Pr (tlt < tmin) en (B.5) está de�nida a partir de una distribución bino-mial obtenida como la probabilidad de recibir más de bB(R)c mensajes exitosos, suexpresión está dada por

Pr (tlt < tmin) = 1−bB(R)c∑k=0

(bmck

)(1− Pout)k (Pout)

bmc−k (B.7)

concluyéndose así la demostración de (8.17) �

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