1

Faculdade de Engenharia

Sinais e Sistemas

SS – MIEIC 2008/2009

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-34

-32

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

-16

-14

Frequency (kHz)

Pow

er/fr

eque

ncy

(dB/

Hz)

Power Spectral Density

Hamming

kaiser

Chebyshev

Double Pendulum

Two coupled planar pendulums withgravity and sine wave forcing in the

upper Revolute joint.

Sine Wave

BF

Revolute1

B F

Revolute

Env

Joint Sensor1

Joint Sensor

Joint Actuator

Ground

CS1

Body1

CS1 CS2

Body

Angle

Revolute1

Revolute

SS 0809SinSist2 2

Faculdade de EngenhariaSinais e Sistemas – aula de hoje

Sinais em tempo contínuo e em tempo discreto

Operações elementares com sinais

Transformação de variável independente

Decomposição de sinais

Características de sinais

Sinais fundamentais

Sistemas e sua interligação

Propriedades de sistemas

2

SS 0809SinSist2 3

Faculdade de EngenhariaSinal sinusoidal em tempo contínuo

)cos()( 0 φ+ω= ttx é um sinal periódico, de período fundamental 0

0

2

ω

π=T

0

0

0T

φcos

0ω frequência angular

SS 0809SinSist2 4

Faculdade de EngenhariaSinais exponenciais em tempo contínuo

ℜ∈= aetxat ,)(Exponencial real:

0

0

0>a

0

0

0<acrescente decrescente

3

SS 0809SinSist2 5

Faculdade de EngenhariaExponenciais em tempo contínuo

ℜ∈ω= ω0

j,)( 0t

etxExponencial imaginária:

TtTteee 000 jj)(j ωω+ω

=t

e 0jω=

10j=

ω Te

é um sinal periódico0

0

2

ω

π=T

t-tee 00 jj

eωωNotas: têm o mesmo período

)sin()cos( 00j 0 tjte

t ω+ω=ω

{ } �ω=

0

0

0

2j

0

1)(

T

tdte

TtxP �=

0

00

11

T

dtT

1=

se π=ω mT 20

, de período fundamental

Relação de Euler: ℜ∈θθ+θ=θ ),sin()cos(jje

tetx 0j

)(ω=

SS 0809SinSist2 6

Faculdade de EngenhariaExponenciais em tempo contínuo

�∈= aCCetxat ,,)(Caso geral:

θ= j|| eCC

0ω+= jra

)( 0||)(θ+ω= tjrt

eeCtx

sinal periódico

envolvente exponencial

0

0

{ })(Re tx

4

SS 0809SinSist2 7

Faculdade de EngenhariaExponenciais em tempo discreto

ℜ∈α=α== ββeenx

nn ,][Exponencial real:

1−<α01 <α<−

10 <α< 1>αdecrescente crescente

decrescenteem módulo

crescenteem módulo

SS 0809SinSist2 8

Faculdade de EngenhariaExponenciais em tempo discreto

ℜ∈ω= ω0,][ 0nj

enxExponencial imaginária :

)sin()cos( 000 njnenj ω+ω=ω

{ } �−=

ω

∞→ +=

D

Dn

nj

De

DnxP

20

12

1lim][ 1=

nje

)2( 0 π+ω njnjee

πω= 20 nje 0ω=

n inteiro

os sinais njnjee 00 e

)2( ωπ+ω são idênticos!

0com,][ω=αα= jn

enx

{ }31/8Re nje

π { }6/Re jne

5

SS 0809SinSist2 9

Faculdade de EngenhariaPeriodicidade da exponencial em tempo discreto

ℜ∈ω= ω0,][ 0nj

enxExponencial imaginária

é periódico se existir N>0 tal que ][][ Nnxnx += )(00 Nnjnjee

+ωω = 10 =ω Nje

existe m inteiro tal que mN π=ω 20m

N=

ω

π

0

2é um número racional

Nota: )sin(e)cos( 00 nn ωω também são periódicos se e só se m

N=

ω

π

0

2é racional

, ou seja,

o período fundamental é o menor inteiro múltiplo de 0

2

ω

πmN

0

2

ω

π=

SS 0809SinSist2 10

Faculdade de EngenhariaExponenciais em tempo discreto

�∈αα= ,,][ CCnx nCaso geral:

θ= j|| eCC

0||ωα=α j

e

)( 0||||][θ+ωα= njn eCnx

sinal oscilante

envolvente exponencial

{ }3/05.1Re jnn e

6

SS 0809SinSist2 11

Faculdade de EngenhariaExponenciais em tempo contínuo e em tempo discreto

tje 0ω nj

e 0ω

sinais distintos para valores distintos de 0ω sinais idênticos para valores de separados de múltiplos de

0ω

π2

sinal periódico para qualquer 0ω sinal periódico apenas seé um número racional

πω 2/0

período fundamental:||

2

0ω

πperíodo fundamental:

menor inteiro múltiplo de ||

2

0ω

π

SS 0809SinSist2 12

Faculdade de EngenhariaDegrau unitário em tempo discreto

Degrau unitário: ���

<

≥=

0,0

0,1][

n

nnu

Degrau unitário deslocado:

���

<

≥=−

mn

mnmnu

,0

,1][

Degrau unitário deslocado e rebatido:

���

>

≤=−

mn

mnnmu

,0

,1][

n0 1 2 3-1-2-3

][nu

1

nm m+1 m+2 m+3m-1m-2m-3

][ mnu −

1

nm m+1 m+2 m+3m-1m-2m-3

][ nmu −

1

7

SS 0809SinSist2 13

Faculdade de EngenhariaImpulso unitário em tempo discreto

Impulso unitário: ���

≠

==δ

0,0

0,1][

n

nn

Impulso unitário deslocado:

���

≠

==−δ

mn

mnmn

,0

,1][

O impulso unitário pode ser obtido subtraindo dois degraus: ]1[][][ −−=δ nunun

n0 1 2 3-1-2-3

][nδ

1

nm m+1 m+2 m+3m-1m-2m-3

][ mn −δ

1

SS 0809SinSist2 14

Faculdade de EngenhariaDegrau unitário em tempo contínuo

Degrau unitário: ���

<

>=

0,0

0,1)(

t

ttu

Degrau unitário deslocado:

Nota: t = 0 é um ponto de descontinuidade, não importa o valor do sinal nesse instante.

���

<

>=−

0

00

,0

,1)(

tt

ttttu

t0

)(tu

1

t

)( 0ttu −

1

0t

Degrau unitário deslocado e rebatido:

���

>

<=−

0

00

,0

,1)(

tt

ttttu

t

)( 0 ttu −

1

0t

8

SS 0809SinSist2 15

Faculdade de EngenhariaImpulso de Dirac

Aproximação contínua do degrau unitário

t0 ∆

1

)(tu∆

Derivada temporal de dt

tdut

)()( ∆

∆ =δ)(tu∆

t0 ∆

)(t∆δ

∆/1Área = 1

Impulso de Dirac: )"(lim")(0

tt ∆→∆

δ=δ

SS 0809SinSist2 16

Faculdade de EngenhariaImpulso de Dirac

t0

)(tδ

1

Propriedades:

0,0)( ≠∀=δ tt

�+∞

∞−

=δ 1)( dtt

Representação gráfica significa área = 1

Nota: O impulso de Dirac pode ser considerado como a derivada do degrau unitário:dt

tdut

)()( =δ

�+

−

=δ

0

0

1)( dtt

�+∞

∞−

δ dttft )()( �+∞

∞−

δ= dtft )0()( �+∞

∞−

δ= dttf )()0( )0(f=

9

SS 0809SinSist2 17

Faculdade de EngenhariaSistemas

Um sistema transforma um sinal de entrada num sinal de saída

sinal de entrada sinal de saídaSistema

é caracterizado pela operação que transforma o sinal de entrada no sinal de saída

Sistema: sinal de entrada sinal de saída

Diagrama de blocos:

Representação:

sinal de entrada é o sinal que o “exterior” impõe ao sistema

sinal de saída é o sinal que o sistema impõe ao “exterior”

SS 0809SinSist2 18

Faculdade de EngenhariaSistemas em tempo contínuo e em tempo discreto

Sistemas em tempo contínuo � entrada e saída são sinais em tempo contínuo

x(t)S

cont

y(t))()(: tytxScont →

Sistemas em tempo discreto � entrada e saída são sinais em tempo discreto

x[n]S

dis

y[n]][][: nynxSdis →

10

SS 0809SinSist2 19

Faculdade de EngenhariaSistemas – exemplo

Movimento longitudinal de um veículo (modelo simplificado)

entrada: força produzida pelo motor:

saída: velocidade:

)(tf

)(tv

relação entrada-saída: )()()( 2

tcvtfdt

tdvm −=

resistência do ar e atrito

)()()( 2

tftcvdt

tdvm =+ equação diferencial

)(tv

SS 0809SinSist2 20

Faculdade de EngenhariaSistemas – exemplo

Evolução do saldo de uma conta bancária

entrada: montante líquido (depósitos – levantamentos) depositado durante o mês n:

saída: saldo da conta no fim do mês n:

][nx

][ny

relação entrada-saída: ][]1[]1[][ nxnyanyny +−+−=

taxa de juro mensal

][]1[)1(][ nxnyany =−+− equação às diferenças

11

SS 0809SinSist2 21

Faculdade de EngenhariaSistemas e transformação de sinais

As operações sobre sinais podem ser sistemas. Por exemplo:

Atraso x(t)S1

y(t))()()(: 01 ttxtytxS −=→

Ganhox[n]

S2

y[n]][][][:2 nxanynxS ⋅=→

…

SS 0809SinSist2 22

Faculdade de EngenhariaAlguns sistemas importantes (tempo contínuo)

Integrador �∞−

ττ=→

t

dxtytx )()()(x(t) y(t)

�

Derivadordt

tdxtytx

)()()( =→

x(t) y(t)

dt

d

12

SS 0809SinSist2 23

Faculdade de EngenhariaAlguns sistemas importantes (tempo discreto)

Acumulador �−∞=

=→n

k

kxnynx ][][][

Atraso unitário

x[n]�

y[n]

∆x[n] y[n] ]1[][][ −=→ nxnynx

SS 0809SinSist2 24

Faculdade de EngenhariaExercício 1

Considere o sistema integrador )()(: tytxS →

e determine e esboce y(t) quando:

a)

b)

c)

)1(2)1()( −δ−+δ= tttx

)1()2()( −−+= tututx

x(t) é o sinal

t0

1

)(tx

1

13

SS 0809SinSist2 25

Faculdade de EngenhariaInterligação de sistemas

Dois sistemas dizem-se ligados em série (ou cascata) quando a saída de um é a entrada do outro.

)()(:1 tytxS → )()(:2 tztyS →

x(t)S

z(t)

)()(: tztxS →

2Sz(t)y(t)

1Sx(t)

SS 0809SinSist2 26

Faculdade de EngenhariaInterligação de sistemas

Dois sistemas dizem-se ligados em paralelo quando têm a mesma entrada e as suas saídas são somadas.

x(t) y1(t)1S

z(t))()(: 11 tytxS →

)()(: 22 tytxS →

x(t)S

z(t)

x(t)

2Sy2(t)

x(t)

)()()()(: 21 tytytztxS +=→

14

SS 0809SinSist2 27

Faculdade de EngenhariaInterligação de sistemas

• De forma análoga se definem ligações em série e em paralelo de sistemas em tempo discreto

• As ligações em série e em pararelo podem combinar-se criando associações mais complexas, no

entanto a análise de uma associação mais complexa reduz-se à consideração sucessiva de

associações elementares

• O agrupamento/desagrupamento de sistemas associados permite criar diferentes graus de

abstracção sobre um sistema complexo

SS 0809SinSist2 28

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – memória

Um sistema diz-se sem memória se para cada instante, o valor da saída nesse instante apenasdepender do valor da entrada no mesmo instante.

Exemplos: 1][3][][][: 21 +−=→ nxnxnynxS

( ))(1log3)()(: 22 txtytxS +=→

Se a condição acima não se verificar, o sistema diz-se com memória.

Exemplos: ]1[][][:3 +=→ nxnynxS

�∞−

ττ=→

t

dxtytxS )()()(:4

Neste caso haverá, pelo menos, um instante para o qual o valor da saída nesse instante dependerá de valores da entrada em instantes passados ou futuros.

15

SS 0809SinSist2 29

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – invertibilidade

Um sistema diz-se invertível se diferentes sinais de entrada conduzem a diferentes sinais de saída.

Exemplos: )(2)()(:1 txtytxS =→

�−∞=

=→n

k

kxnynxS ][][][:2

Exemplos:

]1[][][][:4 −−=→ nxnxnynxS

)1()()(: 23 −=→ txtytxS

Nota: dois sinais são diferentes, se existir pelo menos um instante de tempo em que tomam valores diferentes, ou seja, são iguais se e apenas se tomarem valores iguais em todos os instantes de tempo.

Um sistema diz-se não invertível se existirem pelo menos dois sinais de entrada diferentes queconduzam ao mesmo sinal de saída.

SS 0809SinSist2 30

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – invertibilidade

Se o sistema S for invertível então existe um outro sistema, designado sistema inverso, que ligado àsaída so sistema S produz como sua saída a entrada de S

Exemplos: )(2)()(:1 txtytxS =→

�−∞=

=→n

k

kxnynxS ][][][:2

x yS 1−

Sx

)()()(:211

1 tytztyS =→−

]1[][][][:1

2 −−=→−

nynynznyS

16

SS 0809SinSist2 31

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – causalidade

Um sistema diz-se causal, ou não antecipativo, se para cada instante, o valor da saída nesse instanteapenas depender do valor da entrada no mesmo instante ou em instantes passados.

Exemplos: �−∞=

=→n

k

kxnynxS ][][][:1

)3()()(:2 −=→ txtytxS

Neste caso haverá, pelo menos, um instante para o qual o valor da saída nesse instante dependerá de valores da entrada em instantes futuros.

Exemplos: ][][][:3 nxnynxS −=→

0,][12

1][][:4 >−

+=→ �

−=

MknxM

nynxS

M

Mk

Se a condição acima não se verificar, o sistema diz-se não causal, ou antecipativo.

SS 0809SinSist2 32

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – estabilidade

Um sistema diz-se estável se entradas limitadas derem origem a saídas limitadas.

Notas:

Verificar que um sistema é estável exige mostrar que todas as entradaslimitadas produzem saídas limitadas.

Verificar que um sistema é instável exige encontrar uma entrada limitada queproduza uma saída ilimitada.

O sinal x(t) diz-se limitado se LtxtL <∀>∃ )(0

O sinal x[n] diz-se limitado se LnxnL <∀>∃ ][0

Quando esta condição não se verifica o sistema diz-se instável.

17

SS 0809SinSist2 33

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – estabilidade

Exemplos:

Lnx <][

]1[][2][][:1 −−=→ nxnxnynxS Estável

]1[][2][ −−= nxnxny

]1[][2 −+≤ nxnx

LL +≤ 2 L3=

limitado

)()()(:2 txttytxS =→ Instável

1)( =tx é um sinal limitado

tty =)( é um sinal ilimitado

SS 0809SinSist2 34

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – invariância

Um sistema diz-se invariante (no tempo) se uma translação no sinal de entrada produz a mesmatranslação no sinal de saída.

Notas: Verificar que um sistema é invariante exige mostrar que para todo o sinal de entrada x(t) (x[n]) com saída y(t) (y[n]) e todo o deslocamento t0 (n0), o sinal de entrada x(t-t0) (x[n-n0]) produz a saída y(t-t0) (y[n-n0]).

Quando esta condição não se verifica o sistema diz-se variante (no tempo).

sistemas em tempo contínuo )()( tytx → )()( 00 ttyttx −→−

sistemas em tempo discreto ][][ nynx → ][][ 00 nnynnx −→−

Verificar que um sistema é variante exige encontrar um sinal de entrada x1(t)

(x1[n]) com saída y1(t) (y1[n]) e um deslocamento t0 (n0) tal que o sinal de entradax1(t-t0) (x1[n-n0]) não produza a saída y1(t-t0) (y1[n-n0]).

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SS 0809SinSist2 35

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – invariância

Exemplos:

)(sin)()(:1 txtytxS =→ Invariante

][][][:2 nxnnynxS =→ Variante

][][1 nnx δ=

sinal de entrada qualquer, com saída )(sin)( 11 txty =

0t deslocamento qualquer

)()( 012 ttxtx −= nova entrada, com saída )(sin)( 22 txty = )(sin 01 ttx −=

)( 01 tty −=

][][1 nnny δ=

)(1 tx

]1[]1[][ 12 −δ=−= nnxnx ]1[][2 −δ= nnny

0=

]1[ −δ= n ]1[1 −≠ ny

SS 0809SinSist2 36

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – linearidade

Um sistema diz-se linear se a saída correspondente a uma qualquer combinação linear de entradas é a mesma combinação linear das saídas correspondentes a cada uma das entradas.

(para o caso discreto as definições são análogas)

Esta condição é equivalente às propriedades:

Aditividade: )()( 11 tytx → e )()( 22 tytx → )()()()( 2121 tytytxtx +→+ 21, xx quaisquer

Homogeneidade: )()( 11 tyatxa →)()( 11 tytx → 1, xa quaisquer

19

SS 0809SinSist2 37

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – linearidade

A linearidade é também conhecida por sobreposição.

Num sistema linear, a uma entrada nula corresponde sempre um saída nula!

Notas: Basta que uma das propriedades de aditividade ou homogeneidade não se verifique para algum caso, para o sistema ser não linear.

Verificar a linearidade de um sistema é ainda equivalente a verificar que

)()( 11 tytx → e )()( 22 tytx → )()()()( 2121 tybtyatxbtxa +→+ 21,,, xxba quaisquer

SS 0809SinSist2 38

Faculdade de EngenhariaPropriedades de sistemas – linearidade

Exemplos:

)()()(:1 txttytxS =→ Linear

][][][: 22 nxnynxS =→ Não linear

5][][ 21 =+≠ nyny

)()( 21 txtbtxta +=

)()()( 111 txttytx =→

)()()( 222 txttytx =→( ))()()()( 2121 tbxtaxttbxtax +⋅→+

)()( 21 tybtya +=

1][1][ 11 =→= nynx

4][2][ 22 =→= nynx

93][3][][ 2321 ==→=+ nynxnx

{ })(Re)()(:3 txtytxS =→ Não linear

{ } 11Re)(1)( 11 ==→= tytx

mas

{ } 0Re)()( 21 ==→= jtyjtxjmas

jtyj =≠ )(1

20

SS 0809SinSist2 39

Faculdade de EngenhariaExercício 2

a) Determine e esboce o módulo e a fase do sinal tjtjeetx

32)( +=

12/2][ π= njenxi)

b) Verifique se cada um dos sinais é periódico e em caso afirmativo determine o seu período fundamental:

ii) )31/8cos(][ nny π=

iii) )6cos(][ nnz =

iv) nnw )1(][ −=

SS 0809SinSist2 40

Faculdade de EngenhariaExercício 3

Considere os sistemas de entrada x e saída y caracterizados por

)2()()(:1 −=→ txtytxS

)2/()()(:2 txtytxS −=→

)(2)()(:3 txtytxS =→

Determine a saída do sistema

1S

2S

3S

quando a entrada é o sinal da figura

t0

1

1-2

21

SS 0809SinSist2 41

Faculdade de EngenhariaExercício 4

Determine a saída y[n] do sistema da figura em função da sua entrada x[n].

∆

][ny

�1−

][nx

SS 0809SinSist2 42

Faculdade de EngenhariaExercício 5

a) Considere o sistema em tempo contínuo caracterizado por )()()( txtytx p=→

Verifique quais as propriedades que este sistema possui.

b) Identifique um sistema em tempo discreto linear, estável, com memória e causal.

c) Identifique um sistema não causal e sem memória. Caso não seja possível, indique a razão.