Simulation – Fach im Modul „Modellbildung und Simulation ...€¦ · Introduction to Modeling...

Fakultät für Informatik und AutomatisierungInstitut für Automatisierungs- und Systemtechnik

Fachgebiet Simulation und Optimale Prozesse

Simulation

– Fach im Modul”Modellbildung und Simulation“ –

– Fach im Modul”Simulationstechnik“

Dr.-Ing. Siegbert Hopfgarten

Tel., E-Mail: +49 3677 69-1418, [email protected]: http://www.tu-ilmenau.de/simulationVorlesungsskript: Lehre/Vorlesungen, Seminare, Praktika/Simulation

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http://www.tu-ilmenau.de/simulation

Inhalt

1 Einleitung - Begriffe, Motivation, Beispiele

2 Modelle

3 Analoge Simulation

4 Digitale Simulation

5 Simulationssprachen und -systeme

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1. Einleitung - Begriffe, Motivation, Beispiele

Was ist Simulation?

< lat., simulare > vortäuschen

1.) bewusste Vortäuschung von Krankheiten oder übertriebene Darstellungihrer Symptome

2.) Sammelbegriff für die Darstellung oder Nachbildung physikalischer,technischer, biologischer, psychologischer oder ökonomischer Prozesse oderSysteme durch mathematische oder physikalische Modelle, wobei dieUntersuchung des Modelles einfacher, billiger oder ungefährlicher als die desOriginals ist und die Erkenntnisse Rückschlüsse auf die Eigenschaften desOriginals erlauben

→ Simulation ist das Experimentieren an einem Modell.

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Zwei Aspekte der Simulation:

1. Modellbeschreibung (z. B. ẋ(t) = −3x(t) + 2u(t), x(0) = 0.5)2. Experimentbeschreibung (z. B. t ∈ [0, 10] )Oft nicht strikt trennbar; durch Software nicht immer unterstützt

Gefahr: Experimentdurchführung an Modell, das für diese Experimente nichtgültig ist

Was ist ein System? (siehe auch DIN 19226)

In betrachtetem Zusammenhang gegebene Anordnung von Gebilden(Teilsystemen); Beziehungen zueinander und zur Umwelt

Gebilde: Gegenstände, Denkmethoden oder deren Ergebnisse

Hüllfläche (gedacht): Abgrenzung zur/Wechselwirkung mit Umwelt

Betrachteter Zusammenhang: durch Aufgabenstellung gegeben; in derRegelungs- und Systemtechnik: Beziehungen durch Wirkungen

Voraussetzungen für sinnvolle Untersuchungen: Steuerbarkeit(Beeinflussbarkeit) und Beobachtbarkeit (Messbarkeit von Signalen)

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Beispiel: Globaler Wasserkreislauf (Aggregationsgrad,Detailliertheitsgrad)Quelle: http://bildungsserver.hamburg.de/

Schwarze Zahlen in 1.000 km3, blaue Zahlen in 1.000 km3/y5 / 172


Beispiel: Talsperren in ThüringenBildquelle: Thür. Talsperrenverwaltung; jetzt: Thür. Fernwasserversorgung

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Beispiel: Nordthüringer TalsperrensystemBildquelle: Thür. Talsperrenverwaltung; jetzt: Thür. Fernwasserversorgung

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Beispiel: AbwasserreinigungBildquelle: Wasser- und Abwasserzweckverband Jena

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Was ist ein Experiment?

Datengewinnung von einemSystem bei Aufschaltung vonEingangssignalen

Nachteil des Experiments amrealen System: Einfluss vonStörgrößen; gewisse Anzahlnützlicher Ausgängen nichtdirekt messbar

Vorteil der Simulation: Zugriffauf alle Ein–/Ausgangsgrößen

Problem bei der Simulation:Simulationsläufe außerhalb desExperimentgültigkeitsbereichesdes Experimentes liegen

Was ist ein Modell?

Abbildung eines Systems oder einesProzesses (Gesamtheit derVorgänge) in ein anderesbegriffliches oder gegenständlichesSystem

Bsp.: begriffliches System:

ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) , x(0) = x0

Bsp: gegenständliches System:Hochwasserüberlauf an einerTalsperre im Maßstab getreuenNachbau (s. Abb.)

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Gegenständliches ModellBildquelle: Thüringer Fernwasserversorgung

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Warum ist Modellierung wichtig?

Modellierung: Prozess des Ordnens von Wissen über ein System

Modellierung als Problemlösungswerkzeug

”(Natur–)Wissenschaftler sind glücklich, wenn sie die Welt beobachten und

verstehen können.“ (Analyseaspekt)

”Ingenieure möchten die Welt zu ihrem Vorteil verändern.“ (Entwurfsaspekt)

Warum ist Simulation wichtig?

Neben Experimenten mit dem realen System: Simulation einzige verfügbareTechnik zur Analyse komplexer dynamischer Prozesse

Analytische Techniken im Allgemeinen leistungsfähiger, aber durchProzesskomplexität begrenzt

Simulation: meistgenutzte Problemlösungsstrategie

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Gründe zum Einsatz von Simulationstechniken

Entwurf/Veränderung eines reales System; Test in unbekanntenParameterbereichen; gängige Praxis bei technischen Systemen

Experiment am Original gefährlich, teuer, kompliziert, . . . (Bsp.: Kernreaktor,kostenintensive Wasserqualitätsuntersuchungen)

Zeitkonstanten (Eigenwerte) sind sehr klein/groß (Bsp.: explosionsartigechemische Reaktionen, Talsperrensysteme, Entwicklung von Sternen)

Vermeidung von Störungen am realen System (Bsp.:Wasserqualitätsuntersuchungen in Rohrleitungsnetzen)

Unterdrückung von Störungen am Modell, die am realen Systemunvermeidbar (Bsp.: Freilandwachstumsprozesse)

Störungen, Zustände, Systemparameter nicht zugänglich

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Probleme bei der Anwendung der Simulation

Ironischerweise Vorteil der Simulation gleichzeitig Nachteil: allgemeine und

einfache Anwendbarkeit

Leicht: Nutzung von SimulationsprogrammenExperimentieren mit Modell hat keine KonsequenzenAber: Intelligente Nutzung der Simulation setzt voraus, dass manweiß, was man tut!

Modellverliebtheit

Systemverständnis entsteht oft erst nach vielen, gezielten Simulationsläufen

Luenberger:”Ein kluger Gedanke spart oft Tausende von Rechnerläufen.“

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Kriterien zur Wahl der Simulationsmittel

Aufgabenstellung (Einschätzung von Umfang und Kompliziertheit)

Vorhandene Hard– und Software

Spezielle Kentnisse des Bearbeiters (Einarbeitung, Flexibilität,Programmierkenntnisse)

Ökonomische Kriterien (Rechner, Lösungszeitraum, erwarteter Nutzen,Ersparnis teurer Experimente)

Abgrenzung

Schwerpunkt: Modellierung und digitale Simulation zeitkontinuierlicher undzeitdiskreter analoger Systeme

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Allgemeine Vorgehensweise

Originalprozess Rechnermodell

Prozessmodell

Modelleignung Modellverifikation

ProgrammierungSystemanalyseModellbildung

Modellvalidierung

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Arbeitsschritte

1. Erstellen des (math. oder algor.) Simulations- modells aus der Problemstellung

2. Planung der Rechenexperimente aus Problemsicht

3. Festlegen der Variablen des Simulationsmodells

4. Wahl des Simulationsmittels (Rechner + Sprache)

5. Programmierung der Aufgabe (+ syntaktische Tests)

6. Rechnung mit ausgewählten Testdaten (s. 2.)

7. {Programm syntaktisch und algorithm. richtig?}

8. Durchführung geplanter Rechenläufe (s. 2. u. 3.)

9. Auswertung der Ergebnisse und Überprüfen der Zielstellung

10. {Programmänderungen notwendig?}

11. Zusammenstellung und Interpretation der Simulationsergebnisse

A

E

Korr.

Korr.

j

n

n

j

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Literatur I

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Systematik der Modellbildung, Teil 2: Verifikation und Validation.VDI-Berichte 925, Modellbildung für Regelung und Simulation, S. 19-43, VDI-Verlag, Düsseldorf, 1992.

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2. Modelle2.1 Einteilung von Modellen

Einteilung

Prozessmodell = Systemmodell + Signalmodell(e)

Im Folgenden und im Wesentlichen im Rahmen der Lehrveranstaltungbetrachtet: Systemmodell

Physikalische Modelle, Strukturmodelle (”white box“); erhalten aus Bilanz-

und Erhaltungsgleichungen in unterschiedlichen Fachgebieten (Bsp.:Differentialgleichungen (Dgln.), Übertragungsfunktionen,Zustandsraumdarstellung, linear/nichtlinear, zeitkontinuierlich/zeitdiskret,Modellvereinfachungen, . . .)

Verhaltensmodelle (”black box“); Bsp.: Kennfelder (

”lookup table“),

Polynomansätze, künstliche neuronale Netze

Mischformen (”grey box“)

Siehe Lehrveranstaltungen: Modellbildung, Regelungs- und Systemtechnik,Elekrotechnik, Mechanik, Physik, . . .

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2. Modelle2.2 Zeitkontinuierliche Modelle2.2.1 Systeme mit konzentrierten Parametern

Gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Zustandsgrößen x(t) und Zeit t kontinuiertlich veränderbar

Zustand x(t) kann seinen Wert unendlich oft und zu jeder Zeit ändern

→ Zustandsbeschreibung:

Gewöhnliche Differentialgleichung(Dgl.)/Vektor-Dgl. (engl.: ordinarydifferential equation (ODE))

ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(0) = x0

Spezialfall: Lineare Systeme

ẋ(t) = A x(t) + B u(t), x(0) = x0

(Anfangswertproblem;Mehrpunkt-Randwertproblem,z. B. x(tf ) = xf ) 23 / 172

2. Modelle2.2 Zeitkontinuierliche Modelle

Differential-algebraische Gleichungssysteme

Engl.: Differential-algebraic equation system (DAE system)

Implizit: f(x(t), ẋ(t), u(t), t) = 0 , x(0) = x0

Semi-explizit: ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(0) = x0

0 = g(x(t), u(t), t)

Mit konstanter oder zeit- und/oder zustandsabhängiger, singulärerMasse-Matrix M(t, x):

M(t, x) ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(0) = x0

x(t) - Zustandsvariable (differentielle V.), u(t) - algebraische Variable

Konsistente Anfangswerte!

(Differentiations-)Index: minimale Anzahl der analytischen Differentiationender algebraischen Gleichung nach der Zeit, bis explizites Dgl.-system entsteht(−→ Indexreduktion)

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Neben Differentiationsindex: Störindex: Maß für die Empfindlichkeit(Sensitivität) der Lösung gegenüber Stör-Term bzw. Anfangswerten

Z. B. Differentiationsindex 1:

0 =∂g

∂x

∂x

∂t︸︷︷︸f

+∂g

∂u

∂u

∂t︸︷︷︸u̇

+∂g

∂t

u̇(t) = −[∂g

∂u

]−1∂g

∂xf(x(t), u(t), t)−

[∂g

∂u

]−1∂g

∂t

Semi-expizites Dgl.-system, wenn[∂g∂u

]−1existiert

Differentiationsindex: 0 (ODE-System), 1, 2, 3, . . .; je höher, destoschwieriger zu lösen

Beim indexreduzierten System: Anfangsbedingungen der abgeleitetenGleichungen müssen auch erfüllt sein

Drift: indexreduziertes System erhöht die Lösungsmannigfaltigkeit; kannBerechnungsstabilität beeinträchtigen

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Bsp. für differential-algebraisches Gleichungssystem: Fadenpendel(s. [1])

QF

1m =

1l =

GF

BF

φ

φy

x

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Bsp. für differential-algebraisches Gleichungssystem: Fadenpendel(1a)-(1e)

Variablenzuordnung: Algebraische Variable: λ(t) - Spannkraftstärke,FQ (t) = −λ(t)q = −λ(t)[x1(t) x2(t)]T , - Spannkraft,Zustandsvektor: x(t) = [x1(t) x2(t) x3(t) x4(t)]

T = [x(t) y(t) vx (t) vy (t)]T ,

Konstanten: g - Erdbeschleunigung, l = 1 - Länge, m = 1 - Masse

Kräftebilanz; kleine Winkel

ẋ1(t) = x3(t) (1a)

ẋ2(t) = x4(t) (1b)

ẋ3(t) = −2λ(t)x1(t) (1c)ẋ4(t) = −2λ(t)x2(t)− g (1d)

0 = x21 (t) + x22 (t)− 1 (1e)

⇓ Umformung in ODE-System

λ̇(t) = − [2x1(t)x3(t) + 2x2(t)x4(t)]λ(t)−3

2gx4(t)

Differentiationsindex: 327 / 172

2. Modelle2.2 Zeitkontinuierliche Modelle2.2.2 Systeme mit verteilten Parametern

Zustandsgrößen x(s, t), Ort s und Zeit t kontinuiertlich veränderbar

Zustand x(s, t) kann seinen Wert unendlich oft, zu jeder Zeit ändern

Beschreibung durch partielle Dgl. (engl.: partial differential equation (PDE))

Bsp.: Diffusionsgleichung

∂x(s, t)

∂t= σ

∂2x(s, t)

∂s2

mit x - Konzentration, σ - Diffusionskonstante, s - Ort (Weg) und t - Zeit .

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Color: c Vector field: -grad(c)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

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2. Modelle2.3 Zeitdiskrete Modelle

Zeit t ist diskretisiert, d. h. nur zuausgewählten Zeiten tkbzw. diskreten Zeitpunkten(k = 0, 1, . . . ,K) ist dieBeobachtung des Systems und/oderder Eingriff in das System möglich

Ausgehend vonDifferentialgleichung: Einführungeiner Diskretisierung∆t = tk+1 − tk ; Repräsentationzeitdiskreter Modelle durchDifferenzengleichungen

Zeitachse äquidistant geteilt

dx

dt≈ ∆x

∆t=

x(tk+1)− x(tk )∆t

=xk+1 − xk

∆t= fk (xk , uk , tk ) , x0

(2)

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2. Modelle2.3 Zeitdiskrete Modelle

Häufig ist zeitdiskretes Modell diskretisierte Variante des kontinuierlichenModelles (s. Bsp. System 1. Ordnung):

ẋ(t) = −x(t) + u(t) , x(0) = x0

Häufiges Vorkommen in technischen und computergesteuerten Systemen

Falls Zeitachse nicht äquidistant geteilt: i. Allg. ereignis-diskreteSystembeschreibung bevorzugt

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2. Modelle2.4 Qualitative Modelle, 2.5 Ereignis-diskrete Modelle2.4 Qualitative Modelle

Zeitachse von Natur aus diskretisiert (nicht notwendigerweise äquidistant)

Abhängige Variable (Amplitude) ist ebenfalls diskretisiert (wertdiskret)

2.5 Ereignis-diskrete Modelle

Paradoxerweise: Zeit- undAmplitude normalerweisekontinuierlich

Unterschied zu zeit- undwertkontinuierlichen Modellen:in endlicher Zeitdauer kann nureine endliche Anzahl vonZustandsveränderungenauftreten (Bsp.:Pumpenförderregimes)

Zeit- und zustandsabhängigeEreignisse

Auch gemischtereignis-diskrete/zeitkontinuierlicheModelle (hybride Modelle) möglich. 31 / 172

2. Modelle2.6 Systembeschreibung chaotischer Systeme

Gewöhnliche oder partielle nichtlineare Dgln./Dgl.-Systeme

Bsp.:”Wetter“

Abbildung : Rotierende Konvektionszellen

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Idealisierte zweidimensionale Flüssigkeit, die konstantemTemperaturgradienten unterliegt

Modell beschreibt näherungsweise die Kopplung von Konvektion undWärmeleitung (Lorenz-Attraktor)

ẋ1 = −σ (x1 − x2)ẋ2 = ρ x1 − x2 − x1 x3ẋ3 = −β x3 + x1 x2

mit σ – hydrodynamische Größe, ρ ≈ Temperaturunterschied zwischen obererAtmosphäre und Erdoberfläche, β – beschreibt Geometrie des Systems, x1 ≈Geschwindigkeitsprofil mit einer konvektiven Zelle (x1 > 0: rechtsdrehend, x1 < 0:

linksdrehend), x2 – waagerechte Temperaturverteilung, x3 – senkrechte

Temperaturverteilung.

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ẋ1 = −σ (x1 − x2)ẋ2 = ρ x1 − x2 − x1 x3ẋ3 = −β x3 + x1 x2

Bsp.: x1 > 0 und x2 > 0: erwärmte Flüssigkeit steigt auf, gekühlte fällt

Gleichgewichtspunkte:

1 x1 = x2 = x3 = 0 keine konvektive Bewegung;festkörperähnliche Wärmeableitung

2 x1 = x2 =√β (ρ− 1), x3 = ρ− 1 ; Gleichgewicht stabil für

1 ≤ ρ < 24, aber für ρ ≥ 24 instabil3 x1 = x2 = −

√β (ρ− 1), x3 = ρ− 1

Letzte beiden Gleichgewichtspunkte: entsprechen regelmäßigem

”Rollen“ der Konvektionszelle

Animation des Lorenz-Attraktors (Funktion lorenz unter MATLAB R©)

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2. Modelle2.7 Stochastisches Modell – Beispiel für Signalmodelle

Signalbeschreibung durchKenngrößen wie Erwartungswert,Streuung, (Auto-, Kreuz-)Korrelationsfunktionen, (Auto-,Kreuz-)Leistungsdichtespektren

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2. Modelle2.8 Spektrum der Modellierung und Simulation

Es∆

� ��

� ��

Systems

BlackBox

WhiteBox

AEs

Analysis

Circuits

Economic Systems

Electric

Speculation Design

ODEs

ODEs

PsychologicalSystems

BiologicalChemicalSystems

MechanicalSystemsSystems

ControlPrediction

PDEs

Social

Zwischen mechanischen und chemischen Systemen weitere: thermische,hydraulische, pneumatische Systeme

v.r.n.l.: wohl-definiert (white box) bis”schlecht“ definiert (black box)

Modellzweck entscheidend (nach [11])

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2. Modelle2.9 Systembegriff und Aufgabenstellungen

Problemstellungen im Zusammenhang mit Systemmodell

Direktes ProblemFall 1: E, S bekannt; A unbekannt(Vorhersage)

Inverse ProblemeFall 2: E, A bekannt; S unbekannt(Parameter-,Strukturidentifikation,Zustandsschätzung)Fall 3: S, A bekannt; E unbekannt(Steuerungsproblem)

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2. Modelle2.9.1 Fall 1: Direktes Problem

0( , ),

( , )

x f x u x

y f x u

=

=

&

Abbildung : Vorhersage (Anfangswertproblem)

Fall 1: Vorhersage

Berechnung des zukünftigen Systemverhaltens (t ∈ [t0 = 0, t0 + K ]) unterNutzung des Systemmodells S (t0 = 0: ”

Gegenwart“, K : Zeithorizont)

. . . ausgehend vom Anfangszustand x(0)

. . . bei bekannter oder angenommener Steuerung u(t) und evtl. Störung z(t)

D. h., eine Simulationsrechnung

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2. Modelle2.9.1 Fall 1: Direktes Problem

0( , ),

( , )

x f x u x

y f x u

=

=

&

Abbildung : Vorhersage (Anfangswertproblem)

Fall 1: Vorhersage

Berechnung des zukünftigen Systemverhaltens (t ∈ [t0 = 0, t0 + K ]) unterNutzung des Systemmodells S (t0 = 0: ”

Gegenwart“, K : Zeithorizont)

. . . ausgehend vom Anfangszustand x(0)

. . . bei bekannter oder angenommener Steuerung u(t) und evtl. Störung z(t)

D. h., eine Simulationsrechnung38 / 172

2. Modelle2.9.2 Fall 2: Inverses Problem

ˆmin ( , , , )

ˆ ˆ( , )

px x u p

y f x u

J

=

Abbildung : Parameteridentifikation

Fall 2: z. B. Parameteridentifikation

Berechnung der Modellparameter p unter Nutzung des Systemmodells S,gemessener Eingangs- u(t) und Zustands- x(t) bzw. Ausgangsgrößen y(t)

Typisch: Optimierungsproblem, z. B. Methode der kleinsten Fehlerquadrate

(MKQ) minp||xi − x̂i ||2 , i = 1, 2, . . . , nm

xi - Messwerte, x̂i - Modellwerte, nm - Anzahl der Stützstellen

. . . ausgehend von einem Anfangsparameterdatensatz

. . . bei angenommener Modellstruktur

. . . iterative Lösung des Problems (schrittweise Verbesserung der Parameter)

D. h., eine Simulationsrechnung pro Iteration zur Berechnung derModellwerte x̂i

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0

min ( , , )

( , ),

ux u

x f x u x

J t

=&

Abbildung : Optimalsteuerungsproblem

Fall 3: Optimalsteuerungsproblem

Berechnung der optimalen Steuerung u(t) unter Nutzung des SystemmodellsS und gewünschter Zustands- x(t) bzw. Ausgangsgrößen y(t)

Optimalsteuerungsproblem

minu(t)

J(x(t), u(t))

J - Zielfunktional

. . . ausgehend von einer Anfangssteuerung u0(t)

. . . unter Nutzung des Systemmodells S

. . . iterative Lösung des Optimalsteuerungs-/nichtlinearenOptimierungsproblems (schrittweise Verbesserung der Steuerung)

D. h., eine Simulationsrechnung pro Iteration zur Berechnung der Steuerung

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0

min ( , , )

( , ),

ux u

x f x u x

J t

=&

Abbildung : Optimalsteuerungsproblem

Fall 3: Optimalsteuerungsproblem

Berechnung der optimalen Steuerung u(t) unter Nutzung des SystemmodellsS und gewünschter Zustands- x(t) bzw. Ausgangsgrößen y(t)

Optimalsteuerungsproblem

minu(t)

J(x(t), u(t))

J - Zielfunktional

. . . ausgehend von einer Anfangssteuerung u0(t)

. . . unter Nutzung des Systemmodells S

. . . iterative Lösung des Optimalsteuerungs-/nichtlinearenOptimierungsproblems (schrittweise Verbesserung der Steuerung)

D. h., eine Simulationsrechnung pro Iteration zur Berechnung der Steuerung40 / 172

3. Analoge SimulationSimulation von zeit- und wertkontinuierlichen Systemen, z. B. zumSystemverständnis, d. h. Simulation mit verschiedenen Werten derSytemparameter → Schulung des SystemdenkensBsp.: System 1. Ordnung

ẋ(t) = −a x(t) + b u(t) , x(0) = x0y(t) = c x(t)

z. B. mit u(t) = σ(t) , σ(t) =

{1 für t ≥ 00 für t < 0

Schaltung/Signalflussbild

x0

ẋ(t)u(t) y(t)x(t)

a

cb∫dt

1

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3. Analoge Simulation

Rechnerisch: Auswertung der Bewegungsgleichung

x(t) = x0 e−at +

t∫0

e−a(t−τ)b u(τ)dτ

Rückkopplung offen: reiner Integrator (System ohne Ausgleich),d. h. a = 0 . Für b = 1 und x0 = 0.1:

x(t) = x0 +

t∫0

b dτ

= x0 + b t

= x0 + t

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Rückkopplung geschlossen: Verzögerungsglied (System mitAusgleich; stabil), z. B. a = 1

T1= 10, d.h. T1 = 0.1, b = 1,

x0 = 0.1 :

x(t) = x0 e−at +

t∫0

e−a(t−τ)b dτ

= x0 e−at + b e−at

t∫0

eaτdτ

= x0 e−at +

b

ae−at

[eaτ]t

0

= x0 e−at +

b

ae−at (eat − 1)

= x0 e−at +

b

a

(1− e−at

)

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Durch stetiges Verändern des Modellparameters a: ausgehend vom Integratorerhält man ein T1-Glied (analoge Simulation).

Ebenso kann z. B. u(t) von σ(t) nach δ(t) verändert werden (Spungfunktion→ Impulsfunktion).An einem Analogrechner (AR) ist während dieser Änderungen gleichzeitg dieBeobachtung des Ausgangssignals möglich.

Analogrechner: siehe nächste Seite

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3. Analoge SimulationAnalogrechner (Bildquelle: http://rechentechnik.foerderverein-tsd.de/

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Einfache Übertragungsglieder/Rechenelemente des Analogrechners

Summierer

ue1

uen

ue1 c1−ua

R1

R0

uen

-

Rn

+ −ua cn

1

ua = −n∑

i=1

ci uei ; ci =R0Ri

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3. Analoge SimulationEinfache Übertragungsglieder/Rechenelemente des Analogrechners

Integrator

ue1

uen

R1

−ua0

ue1 c1k0 ua

C

Rnuen

ua cn+

-

1

ua(t) = −

{n∑

i=1

1

CRi

∫ t0

uei (τ)dτ + ua0

}

ua(t) = −

{n∑

i=1

R0Ri

1

R0C

∫ t0

uei (τ)dτ + ua0

}

ua(t) = −

{n∑

i=1

CiT

∫ t0

uei (τ)dτ + ua0

}

ci =R0Ri, T =

1

k0= CR0 , R0 - fiktiver Widerstand

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Einfache Übertragungsglieder/Rechenelemente des Analogrechners

Komparator

-ue1

R1

ue2R2

ue1

x1

0

ue2

ua

A+

1

ue1 + ue2 > 0→ x = 1ue1 + ue2 < 0→ x = 0

Koeffizientenpotentiometer, Verstärker mit einem oder mehreren Eingängen,Multiplizierer, Dividierer, Funktionsgeber, hydride Elemente (Logik, Speicher,Schalter)

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Programmierung des Analogrechners in 4 Schritten

1 Aufstellen des Koppelplanes

2 Normierung

3 Koeffizientenvergleich

4 Entnormierung

3 Betriebsarten: Anfangswertannahme, Rechnen, Halten

Gegenüberstellung der analogen, digitalen und hybriden Simulation(Analogrechner (AR), Digitalrechner (DR), Hybridrechner (AR steuert DR;Verbindung von AR und DR über Steuer- und Datenkoppelwerk)

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Vor- und Nachteile der analogen Simulation im Vergleich zur digitalen Simulation

Vorteile

Berücksichtigung: Wesentliche Elemente dynamischer Systeme habenanalogen Charakter (Prozesse, Messglieder, Umformer)

”Parallelprozessor“-Eigenschaften: Rechengeschwindigkeit der Gesamtaufgabe

identisch mit der der Teilaufgaben an Einzelelementen

AR besitzt um 1 bis 2 Zehnerpotenzen höhere Rechengeschwindigkeit als DR

Interaktivität

Anschluss von Echtzeitelementen einfach

Digitale Simulatoren haben oft Analogrechner als Vorbild

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Vor- und Nachteile der analogen Simulation im Vergleich zur digitalen Simulation

Nachteile

Große statische und dynamische Fehler der Rechenelemente

Schaltfehler bei Betriebsartensteuerung (Anfangswertannahme, Rechnen,Halten)

Skalierung immer notwendig

Koppelplanerstellung manuell

Begrenzte Rechenkapazität

Hoher Preis

Vorteile der digitalen Simulation: umfangreichere Palette und Möglichkeiten

(Programmierbarkeit, Softwareunterstützung)

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3. Analoge SimulationArbeitsschritte zur Programmierung des Analogrechners -1-

Problem Maschine1. Programmierung und Normierung (T1–Glied )

Problemgleichung Maschinengleichung(abgeleitet aus unnormierter Problemgl.)

q̇ = − 1T

q + 1T

u , t ∈ [0, t1]1

k0

dx

dt̄= − c1α1x(t̄) + c2α2u(t̄) , t̄ ∈ [0, t1]

q∫dt1

T

1T

u q̇

1

−xu

c1

c2k0

ẋ

k0

α1

α2

1

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Arbeitsschritte zur Programmierung des Analogrechners -2-

Problem Maschine2. Normierung

a) Zeit a) Zeit

τ = λt =⇒ t = τλ

τ = k0t̄ =⇒ t̄ =τ

k0

τ – dimensionslose Variable τ – dimensionslose Variableλ –Normierungsfaktor k0 – Integrationsgeschwindigkeit

b) Amplitude b) Amplitudeq = Qqm ; u = Uum x = XE ; u = UE ; E = ±10 V

qm, um – bekannte oder geschätzteMaximalwerte (Probelauf)

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Problem Maschine2. Normierung

c) Problemgleichung c) Maschinengleichungdq

dt=

dQ

d( τλ

)qm = −

1

TQqm +

1

TUum

1

k0

dx

dt̄=

1

k0

dX

d( τk0

)E = c1α1XE + c2α2UE

Multiplikation mit

∣∣∣∣ · 1λqm Multiplikation mit∣∣∣∣ · 1E

dQ

dτ= − 1

λTQ +

1

λT

umqm

U (∗) dxdτ

= − c1α1X + c2α2U (∗∗)

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3. Koeffizientenvergleich (*) mit (**)

c1α1 =1

λT=⇒ α1 =

1

c1λT

c2α2 =1

λT

umqm

=⇒ α2 =1

c2λT

umqm

Mit ciλ ist αi ∈ [0, 1] zu sichern!

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4. Entnormierung

a) Zeit

Es muss sein: λt = k0t̄ =⇒ t =k0λ

t̄

t̄ – problemabhängig festlegenk0λ

– Zeitmaßstab

k0λ

< 1 Zeitdehnung

k0λ

=t

t̄;

t

t̄< 1 =⇒ t̄ > t

= 1 Echtzeit> 1 Zeitraffung =⇒ t̄ < t

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b) Amplitude

Es muss sein: Q = X =⇒q

qm=

X

E=⇒ q = qm

EX

u

um=

U

E=⇒ u = um

EU

qmE

ist Amplitudenmaßstab

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4. Digitale Simulation

Historie

Mitte der 1960-er Jahre zügige Entwicklung blockorientierterSimulationssysteme

Motiv:

insbesondere Regelungstechniker forderten Werkzeuge für Analyseund Entwurfaußerdem: Entwicklung der zustandsorientierten Simulation zurLösung vornehmlich der Zustandsdgl./-dzgl.

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4. Digitale Simulation4.1 Blockorientierte Simulation

Zerlegung des zu untersuchenden Systems in geeignete Blöcke; daraufaufbauend: möglichst problemnahe Notation

Bei blockorientierter Simulation:

Simulationssprache (Metasprache)Translator übersetzt Metasprache in BasisspracheTypisch: Reihenfolge der Notation der Blöcke unabhängig vonderen AbarbeitungSystem von Unterprogrammen (Funktionen, Prozeduren)Beispiele: MATLAB R©/Simulink R©, Scilab, . . .Installation auf Workstations oder PCsDigitalrechner arbeitet seriell (Einprozessormaschine oder inKernen)Zeitachse diskretisiertFunktionswerte werden nacheinander berechnet

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Erläuterung der sequentiellen Vorgehensweise bei der digitalen Simulation an einemSystem 1. Ordnung

ẋ = f (x , u) ≈ xk+1 − xkh

= a xk + b uk

k - diskrete Zeit , h - Schrittweite

xk+1 − xk = h (a xk + b uk )xk+1 = (h a + 1)xk + h b uk

Mult.h b

u(k)Sprung-funktion

Mult.(1 + h a)

Summ.x(k+1) Mult.

c

x(k) y(k)Integrator

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Fazit: Enthält das zu simulierende System Rückführungen, so sind diezurückgeführten Signale xk+1 noch nicht bekannt, wenn aus ihnen derEingang des Integrators berechnet werden soll. Es steht nur xk zur Verfügung.

Eingang des Integrators kann nur berechnet werden aus (h a + 1)xk undh b uk , nicht aber aus (h a + 1)xk+1.

Lösung des Problems:

a) Reales System besitzt Totzeit Tt ; evtl. kann h = Tt gewähltwerden

b) Fehler umso kleiner, je mehr Zeitschritte (Aufwand!)c) Abtastsysteme fehlerfrei simulierbar (t = Tt)d) Iteration der Rückführung (meist benutzt), d. h. in jedem

Arbeitsschritt wird gesamtes System (einschließlichRückführungen) so lange iteriert, bis sich am Ausgang stationärerWert einstellt; dann nächster Zeitschritt

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4. Digitale Simulation4.1 Blockorientierte SimulationKernstück der Simulation – Numerische Integration

Allgemein: Numerische Integration zur Berechnung . . .

. . . der Fläche unter einerKurve (hier wenig relevant)

Lösen des bestimmten Integrals

I =b∫

a

f (t)dt (Näherung → Fehler)

0 0.5 1 1.5 2

0

20

40

60

80

100Flaeche = 7.1132

t

f(t)

a b

. . . eines Zeitverlaufes,z. B. x(t) (relevant!)

Problemstellung bei derUntersuchung dynamischerSysteme

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zustandsverlauf

t

x(t)

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4. Digitale Simulation4.1 Blockorientierte SimulationWiederholung: numerische Berechnung eines bestimmten Integrals

Aufgabenstellung: I =b∫

a

f (t)dt

Newton-Cotes-Formeln, z. B. äquidistant unterteilte Zeitachse

tj = a + j h (j = 0, 1, 2, . . . n) mit h =b−a

n

für n = 1: Trapez–Regel:

I1 =h

2(f0 + f1)

für n = 2: Simpson–Regel (Keplersche Fass–Regel):

I2 =h

3(f0 + 4 f1 + f2)

bei hinreichend glattem Funktionsverlauf arbeitet Simpson–Regelsehr genaufür n = 3: 38 –Regel:

I3 =3

8h (f0 + 3 f1 + 3 f2 + f3)

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4. Digitale Simulation4.1 Blockorientierte SimulationProblemstellung bei dynamischen Systemen: Schwerpunkt im Rahmen derVeranstaltung

”Simulation“!

- Andere Aufgabenstellung im Vergleich zu vorheriger Folie -

Gegeben: Systembeschreibung ẋ(t) = f (x, u, t) (Dgl. n–ter Ordnung bzw. n

Dgln. 1. Ordnung), p Zeitfunktionen ui (t), u = (u1 u2 . . . up)T , n

Anfangswerte xi (t0)

Gesucht: (Numerische) Lösung x(t) = g(t, t0, x0) (Approximation)

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4. Digitale Simulation4.1 Blockorientierte SimulationRichtungsfeld → Lösung x(t) = g(t, t0, x0)

t0 t1

x0

x1

t

x(t)

∂ x / ∂ t = f(x1,t

1)

Voraussetzungen:

Falls f (x, t) stetig ∀x ∈ X , dann geht durch (t0, x0) mindestens eineLösungskurve

Falls f (x, t) die Lipschitz-Bedingung |fk+1 − fk | ≤ K · |xk+1 − xk |, K > 0, Kkonst. ∀x ∈ X erfüllt, geht durch den Punkt (t0, x0) genau eine LösungskurvePraktisch erfüllt, wenn ∂f

∂x ≤ K , ∀x ∈ X65 / 172

4. Digitale Simulation4.1 Blockorientierte SimulationGrundgedanke: Lösung in diskreten Schritten

x(t0)

f(x, t)

fkẋ = f(x, t)

(Approximation

∫dt

ẋ x

von xk)

x̃

x(t0)

xk

1

Abbildung : Zeitliche Approximation von x

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Zeitliche Diskretisierung:

Äquidistant (zunächst betrachtet)Nicht äquidistantDurch Kollokation (Zeitdiskretisierung und Werteberechnungdurch Polynomapproximation)

Aufstellen einer numerischen Integrationsformel (Formel fürZuwachs/Änderung von x)

Schreibweise: xk = x(tk ), xk+1 = x(tk+1) = x(tk + h)

Näherung durch Taylorreihe, Abbruchfehler:

x(tk + h) ≈ x(tk ) + ∆x

= x(tk ) +dx(t)

dt

∣∣∣∣∣t=tk

·h + 12!

d2x(t)

dt2

∣∣∣∣∣t=tk

·h2 + . . .

Methode p-ter Ordnung, wenn die mit ihr berechnete Lösung bis zum p-tenGlied mit der Taylorreihe übereinstimmt

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Abbruch der Taylorreihenach dem linearen Termliefert folgendeRekursionsformel(EULER-Verfahren):

xk+1 = xk + ẋk · h = xk + fk · h

Fehler:

εk+1 = |x̃k+1 − xk+1| =∣∣∣∣ẍk h22! + . . .

∣∣∣∣≈ |ẍk |

h2

2!=

1

2

∣∣∣ḟk ∣∣∣ h2 = O(h2)Der Fehler ist von derOrdnung h2.

hopt

Schrittweite h

Fehl

er

Diskretisierungsfehler

Rundungsfehler

Gesamtfehler

Abbildung : Fehlerarten

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Wahl der Schrittweite h

h orientiert sich an der kleinsten Zeitkonstante Tmin des Systems;Empfehlung: h = Tmin

10. . . Tmin

4

Numerische Stabilität

nicht: Systemstabilität

limt→∞

x(t) = xs , ∀x(t0) = x0

sondern: numerische Stabilität

Definition:

∣∣∣∣∣δxk+1δxk∣∣∣∣∣ ≤ 1 ∀k

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Beispiel:

ẋ = −a x , x(0) = x0, a =1

T, t ≥ 0

x(t) = e−at , stabil für a > 0

Stabilität des EULER–Verfahrens:

xk+1 = xk + h fk = xk + h ẋk

xk+1 = xk − h a xk = xk (1− h a)x̃k+1 = x̃k − h a x̃k = x̃k (1− h a)δxk = x̃k − xk

δxk+1δxk

= 1− h a∣∣∣∣∣δxk+1δxk∣∣∣∣∣ = |1− h a| ≤ 1, → 0 ≤ h a ≤ 2

System stabil für a > 0 und Verfahren numerisch stabil für:

h ≤ 2a

= 2T (Einfluss der Schrittweite!)

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Weitere Verfahren

Trapez-Verfahren (Funktionswerte bei k = 0, 1, . . . k − 1 gegeben)

xk+1 = xk +h

2(fk+1 + fk )

Adams-Bashfort-V. (ähnlich EULER-V., aber gewichtetes Mittel bzgl. fk ,fk−1)

xk+1 = xk +h

2(3fk − fk−1)

Runge-Kutta-Verfahren approximieren Taylorreihenentwicklung

Runge-Kutta-V. 2. Ordnung (p = 2, HEUN-V., verbessertesEULER-V.); verbesserte Vorhersage (Prädiktion (P)) durchEULER-Schritt; Nutzung linearer Näherung, so dass bei xk+ 12 auchfk2 gilt

xPk+ 12= xk +

h

2f (xk , uk )

xk+1 = xk + h · f (xPk+ 12 , uk+ 12 )71 / 172


Runge–Kutta–Verfahren 4. Ordnung (p = 4)

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Erläuterungen zum Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung

1. x(t) in P0(x0, t0) durch Tangente genähert;bei t0 + h ist k1 eine erste Näherung (Q1);ẋ ≈ ∆x/h:

∆x ≈ k1 = h · tanα = hẋ = hf (x0, t0)h = ti+1 − ti .Bei R1(x0 +

k12, t0 +

h2

) gilt näherungsweise derAnstieg p1 (siehe Verlauf x(t))

p1 = f (x0 +k12, t0 +

h2

) .

2. Gerade P0Q2 mit p1 liefert

∆x ≈ k2 = hf (x0 + k12 , t0 +h2

) .

3. Auf Gerade P0Q2 entsteht bei t0 +h2

R2(x0 +k22, t0 +

h2

) mit p2 = f (x0 +k22, t0 +

h2

) .

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4. Gerade P0Q3 mit p2 liefert

∆x ≈ k3 = hf (x0 + k22 , t0 +h2

) .

5. Die in R3(x0 + k3, t0 + h) vorgeschriebene Richtung p3führt zu P0Q4 und damit bei Q4 zu

∆x ≈ k4 = hf (x0 + k3, t0 + h) .

6. Aus k1 · · · k4 wird gewogenes Mittel gebildet∆x = 1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4),

womit x(t0 + h) = x(t0) + ∆x zu berechnen ist.

Tabelle : Arbeitsschritte des Runge–Kutta-Verfahrens 4. Ordnung (sieheauch vorhergehende Abb.)

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Charakterisierung der Integrationsverfahren

explizite/implizite (bzw. offene/geschlossene),

Einschritt-/Mehrschritt-,

Prädiktor-/Korrektor-,

rekursive/iterative Verfahren

explizit (offen) implizit (geschlossen)

EULER–Verfahren (-vorwärts) EULER-V. (-rückwärts)- Vorwärtsdifferenzenapproximation - - Rückwärtsdifferenzenapproximation -xk+1 = f (xk , ẋk ) xk+1 = f (ẋk+1, xk+1, uk+1)

(nur lösbar mit Iterationsverfahren,z.B. Sukzessive Approximation)

xk+1 = xk + h ẋk xk+1 = xk + h ẋk+1Trapez–Verfahrenxk+1 = xk +

h2

(ẋk+1 + ẋk )

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Charakterisierung der Integrationsverfahren - Fortsetzung

explizit (offen) implizit (geschlossen)

Runge-Kutta-V. 4. Ordnung Heun-V. (verbessertes EULER-V.)xk+1 = xk +

h6

(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)k1 = f (xk , uk )k2 = f (xk +

h2

k1, uk+ 12)

k3 = f (xk +h2

k2, uk+ 12)

k4 = f (xk + h k3, uk+1)

ẋk+1 = f (xk+1, uk+1)≈ f (xk + h ẋk , uk+1)

Vorhersage:ẋk = f (xk , uk )

2 Prädiktorschritte:xPk+1 = xk + h ẋkẋPk+1 = f (x

Pk+1, uk+1)

Korrektorschritt:xk+1 = xk +

h2

(ẋPk+1 + ẋk )

Einschritt-V. Mehrschritt-V.

alle Argumente aus [tk , tk+1], Verwendung zeitlich weiter zurück-max. einen Zeitschritt

”alt“ liegender Stützwerte

in [tk−m, tk−m+1, . . . tk , tk+1]

Mittelpunktregel:xk+1−xk−1

2h≈ ẋk

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Schrittweitensteuerung

bisher: feste Integrationsschrittweite

Schrittweitensteuerung (nicht äquidistante zeitliche Diskretisierung)

h xIntegrations-algorithmus

Schrittweiten-steuerung

abschätzungFehler-

κsoll

κist

1

hneu = haltκsollκist

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Steife Differentialgleichungssysteme

Verhältnis von größter zukleinster Zeitkonstante

TmaxTmin

≈ (20) 100 . . . 1000

oder noch größer

Bsp.: Zustandsvektor-Dgl.

ẋ =

[−1 00 −20

]x , x(0) =

[11

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zustandsverlaeufe

t

x(t)

Tmax

/Tmin

=20

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Numerische Stabilität am vorangegangenen Beispiel

EULER–vorwärts: h1 < 0.1 , h2 < 2

EULER–rückwärts: stabil ∀h→ Verwendung impliziter Verfahren (z.B. Heun-Gear-Verfahren);

”Problem“: Anlauf, Prädiktion

Integration bei unstetiger rechter Seite der Dgl.

z.B. Sprungsignal, Begrenzung, unstetige Regler

→ Einschrittverfahren mit automatischer Schrittweitensteuerung (h wird sogewählt, dass Unstetigkeit an der Intervallgrenze {tk , tk+1 , . . .} liegt)

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Integration von differential-algebraischen Systemen(DAE-Systemen)

Sehr hohe Steifigkeit: DAE-System

DAE-System: algebraische Schleife

Verfahren mit Rückwärts-Differenzen-Formeln (engl.: backward differentiationformulas (BDF)), d. h. implizite Mehrschritt-Verfahren oderKollokationsverfahren

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Algebraische Schleifen

ua

ye

1

e = u − yy = a e

t = 0:

e = y = 0, u = 1

für t > 0:

e = 1− 0 = 1y = a · 1 = ae = 1− ay = a(1− a) = a− a2

e = 1− (a− a2)

y = a(1− (a− a2)) = a− a2 + a3 , usw.t >> : y = a− a2 + a3 − a4 + a5 − . . .+ . . .

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Algebraische Schleifen - Fortsetzung

Konvergenz: nur für −1 < a < 1

y =a

1 + a

Ausweg: zeitdiskrete Realisierung

e(k) = u(k)− y(k − 1)y(k) = a e(k)

Algebraische Schleifen können, wenn sie nicht entdeckt werden, zuInstabilitäten bei einem stabilen Modell führen.

Auswege beim Auftreten von algebraischen Schleifen:

Vermeiden (so weit wie möglich; nicht immer möglich)Schleifenverstärkung < 1: Tt (Modellveränderung; akzeptabel)Iterative Lösung

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Algebraische Schleifen - Fortsetzung

Im Allgemeinen führt Auftreten von algebraischen Schleifen (neben anderenSystemeigenschaften) zu einem DAE-System:

ẋ(t) = f (x, u, t)

0 = g(x, u, t)

Lösung mittels BDF- oder Kollokationsverfahren

Stationäre Punkte

Bestimmung der Ruhelage/des Gleichgewichtszustandes

ẋ(t) = f (x, u, t), x(0) = x0

Lösung der algebraischen Gleichung (Nullstellenbestimmung)

0 = f (xs , u), u = us = const.,Anfangswert: x0S = x0

Lösungsverfahren (z.B. Newton–Raphson–Verfahren, Picard–Verfahren)

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Empfehlungen zum Einsatz numerischer Integrationsverfahren

1. Versuch: Runge-Kutta-V. 4./5. Ordnung mit Schrittweitensteuerung(Dormand-Prince-V., explizites Einschritt-V.)

Bei geringen Genauigkeitsanforderungen: Runge-Kutta-V. 2./3. Ordnung(Bogacki-Shampine-V., explizites Einschrittverfahren; auch geeignet beimoderater Steifigkeit)

Bei höheren Genauigkeitsanforderungen: Adams-Bashfort-Moulton-V.(explizites Mehrschrittverfahren)

Für steife Differentialgleichungssysteme:

Gear-V. bzw. Heun-Gear-V. variabler Ordnung (implizitesMehrschrittverfahren; benutzt numerische(Rückwärts-)Differenzen)implizites Runge-Kutta-V. 2. Ordnung (implizitesEinschrittverfahren; benutzt Trapezregel und Rückwärtsdifferenz)

Für DAE-Systeme: BDF- oder Kollokationsverfahren

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Numerische Differentiation - Pendant zur Integration

Aufbauend auf Newtonschen Interpolationspolynom:

dx

dt

∣∣∣∣∣t=tk

=xk − xk−1

hSchrittweite h = tk − tk−1

Genauere Ergebnisse liefern Ausdrücke, die symmetrisch zu tk liegen, z.B.:

dx

dt

∣∣∣∣∣t=tk

=xk+1 − xk−1

2h

oder für die 2. Ableitung

d2x

dt2

∣∣∣∣∣t=tk

=1

h2(xk+1 − 2xk + xk−1)

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4. Digitale Simulation4.2 Zustandsorientierte Simulation

Leistungsfähige Modellierungsmethoden + Fortschritte in der Rechentechnik→ verbesserte Anwendbarkeit von Methoden zum optimalen Systementwurf(optimale Steuerung, adaptive on–line Steuerung)

Bei diesen Problemstellungen:

Objektsimulation ist kleiner TeilNicht zweckmäßig: Anwendung von SimulationssystemenBesser: numerische Integration von Differentialgleichungssystemenoder Auswertung der Bewegungsgleichung für lineare bzw.quasi–lineare Systeme

Zur Erinnerung: Zustandsbeschreibung:

ẋ(t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

Bei zeitvarianten Systemen sind die Systemmatrizen zeitabhängig,z.B. A = A(t) .

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4. Digitale Simulation4.2 Zustandsorientierte Simulation

Allgemeine Lösung der Zustands-Dgl.:

x(t) = ΦΦΦ(t)x(0) +

t∫0

ΦΦΦ(t − τ)Bu(τ)dτ

ΦΦΦ(t) = eAt

Numerische Lösung der Zustands-Dgl. mittels numerischer Integration undrekursiver Beziehung xk+1 = f (xk )

Weiterführende Literatur, z.B. Ludyk [19] oder Reinisch [22]

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4. Digitale Simulation4.3 Objektorientierte Simulation

Objektorientierte Modellierung: Verallgemeinerung der blockorientiertenModellierung

Geeignet für multidisziplinäre Systemmodellierung und -simulation(Simulationssysteme oft auf Fachgebiete zugeschnitten; Modellierung vonKomponenten oder Disziplinen anderer Fachgebiete nicht oder nur ineingeschränktem Maße möglich)

Praxisanwendungen: Automobilindustrie, Luft- und Raumfahrt, Robotik,Thermodynamik (Gase, Flüssigkeiten), Klimatisierung, Kraftwerke, Mechanik(Mehrkörpersysteme), Optik, Abwasserreinigung, . . .

Bisher: meist blockorientierte (kausale) Modellierung vorherrschend

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Kausale Modellierung - Vorteile/Nützlichkeit

Systemverständnis (Pole, Nullstellen, Übertragungsfunktion, -verhalten,lineares/nichtlineares/linearisiertes System, . . .

Beschreibung der Steuerungs-/Regelungsstruktur

Kausale Modellierung - Nachteile

Aufwändig zu erzeugen/umzuformen; manuelle Ableitung aus Zustands- undErhaltungsgleichungen; fehlerträchtig

Weniger gut wiederverwendbar

Schwierigkeiten bei komplexen Systemen, konsistente Anfangsbedinungenherzustellen (bei differential-algebraischen Gleichungssystemen(DAE-Systemen))

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Kausale Modellierung - Nachteile (Fortsetzung)

A priori (Im Vorhinein): Was ist bekannt (Eingang), was ist unbekannt(Ausgang)?

Annahmen über Kausalität auf Komponentenebene (nicht: Gesamtsystem)

Robustheit, Wartung: Modellparameter”verteilt“ (nicht im Sinne von

Systemen mit verteilten Parametern, sondern im Sinne”verstreut“ im

gesamten Modell (Signalflussbild))

Diagramm beinhaltet nicht genügend Informationen, umAnfangsbedingungen zu berechnen

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Akausale Modellierung (physikalisch, objektorientiert) - Merkmale

Beschreibung eines Systems/einer Komponente anhand von Zustands- undErhaltungsgleichungen (i. d. R. Kombination; −→ DAE-System);physikalische Gesetzmäßgikeiten

Keine explizite Festlegung über Ein- und Ausgang

Zwei Arten von Variablen: Potenzial- und Flussvariablen; (Potenzialvariablen:Triebkräfte); Einheit des Produkts von Fluss- und Potenzialvariablentypischerweise Einheit der Leistung

Objektdiagramm: hierarchischer Aufbau, Verallgemeinerung desBlockschaltbilds

Beispiele (s. auch nächste beide Folien):

Block- und objektorientierte Modellierung eines elektrischenNetzwerks (Blockschaltbild, Objektdiagramm)Objektdiagramm eines AntriebsstrangsObjektdiagramm eines Motors

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Blockorientierte vs. physikalische objektorientierte Modellierung

Blockorientiert (Ursache → Wirkung, Ein-/Ausgang, kausal)

Objektorientiert (physikalisch, akausal)

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Verbindungen

Signalflüsse

Starre mechanische

Regler Getriebe LastMotor

1

Abbildung : Objektdiagramm eines Antriebsstrangs

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richterStrom-

Motor-trägheit

Strom

EMK

Drehzahl

FlanschMechanischer

R L

1

Abbildung : Objektdiagramm eines Motors

Bestandteile des Objektdiagramms

Grafische Darstellung der physikalischen Komponenten

Schnittstellen, mit denen die Komponente mit anderen Bauteilen verbundenwerden kann

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Bestandteile des Objektdiagramms (Fortsetzung)

Gerichtete oder ungerichtete Verbindungslinien (elektrische, hydraulischeLeitungen, mechanisch starre Verbindungen, aber auch Signalflüsse)

Komponenten werden unabhängig von Umgebung definiert (lokale undSchnittstellenvariablen)

Komponente ist hierarchisch aufgebaut oder durch algebraische bzw. Dgln.beschrieben

Arten von Verbindungsgleichungen zwischen Komponenten

Verbundene Variablen haben denselben Wert: Potenzialvariablen, Bsp.:Spannung, Weg, Geschwindigkeit, Druck

Die Summe der verbundenen Variablen verschwindet: Flussvariablen, Bsp.:Strom, Kraft, Moment, Volumen–, Massenstrom; an allen Elementen gleichepositive Flussrichtung, z.B. in Element hinein

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Beispiele für elektrische Einzelkomponenten (Objektdiagramm undBeschreibungsgleichungen)

Widerstand

v1 v2

i2i1

u

R+

1

0 = i1 + i2

u = v1 − v2u = R i1

Kapazität

v1 v2

i2i1 C

u

+

1

0 = i1 + i2

u = v1 − v2i1 = C u̇

Elektrische Zweipole haben Gemeinsamkeiten (Stromsumme = Null,Spannung = Potentialdifferenz) ⇒ Definition einer (noch nicht vollständigen)Klasse (eines Teil-Modells) Zweipol

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Beispiele für elektrische Einzelkomponenten (Objektdiagramm undBeschreibungsgleichungen) - Fortsetzung

Induktivität

v1 v2

i2i1

u

L+

1

0 = i1 + i2

u = v1 − v2

u1 = Ldi1dt

Spannungsquelle

∼v2

i2i1

v1

u

u(t)

+

1

0 = i1 + i2

u = v1 − v2u = A sinωt

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Beispiele fürelektrische Einzel-komponenten(Objektdiagrammund Beschrei-bungsgleichungen)- Fortsetzung

Erdung

v i

1

v = 0

Vorgehensweise bei der Modellierung

a)”buttom-up“-Entwurf

Definition einer (noch nichtvollständigen) Klasse (einesTeil-Modells) Zweipol mitallgemeinen Eigenschaften sowiePotential- und FlussvariablenDefinition einer Klasse(z. B. Widerstand), dass dieEigenschaften von Zweipol erbtInstanziierung einer Klasse (=Objekt) (z. B. R vom TypWiderstand mit dem Wert 1 Ω)Verbindung zum Gesamtmodell

b)”top-down“-Entwurf (umgekehrt zu a) )

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Zusammenschaltung o. g. Komponenten

ElektrischerSchaltkreis(Objektdiagramm)

u(t)

g

3

1

2

R

C+

+

A

+

∼

1

Anmerkungen

17 Gleichungen, 17 Unbekannte;R.i1 R.i2 R.v1 R.v2 R.uC .i1 C .i2 C .v1 C .v2 C

dudt

A.i1 A.i2 A.v1 A.v2 A.ug .i g .v

1 Zustand (C .u); Beschreibung läuftauf Zustandsbeschreibung hinaus, d.h.ẋ(t) = f (x , u, t); Anfangszustandbekannt, Parameter bekannt

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Ablauf der objektorientierten Simulation

Modellierungs-system

Objektor.Transformations-Symbolische

algorithmen

numerischeÜbliche

Integrations-verfahren

Lösung

diagramm

Zustands-Objekt-

form

besetzteMatrizen)

DAEs

(groß,schwach

1

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Anmerkungen

Manuelle Umformung aufwändig (nach der interessierendenZustandsableitung); → Algorithmen sortieren DAEs (rekursiveBerechnungsvorschrift, nicht vereinfacht; symbolische Verarbeitung)

Vorgehen systematisch und einfach

Rechnerunterstützung unabdingbar

Seit den 1990-er Jahren: Entwicklung von Softwaresystemen und Sprachen(unvollständige Liste: ABACUS, Omola, Dymola R©, Modelica R©,OpenModelica, SimulationX, Wolfram System Modeler R©, MapleSimTM . . . )

Weiterführende Literatur: Otter, et. al. [21], Fritzson [15]

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5. Simulationssprachen und -systeme5.1 Übersicht – kleine Auswahl

Bsp.: Softwarebibliotheken

The Numerical Algorithm Group (NAG) / Kommerzielle numerischeAlgorithmen / nag.co.uk

Netlib / Freie mathematische Software (Numerik, wissenschaftlichesRechnen) / netlib.org

Bsp.: Simulationssysteme mit grafischer Oberfläche

LabVIEW / Grafische Programmierumgebung (Messdatenerfassung und-verarbeitung, Messgerätesteuerung, eingebettete Systeme, Steuerung,Regelung, . . .) / ni.com/labview/d/

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nag.co.uknetlib.orgni.com/labview/d/

5.1 Übersicht – kleine Auswahl

Bsp.: Integrierte Systeme (Modellierungssprache undSimulationsumgebung)

OpenModelica, Dymola / Objektorientiert; Modellbildung und Simulation /openmodelica.org, http://www.3ds.com/products-services/catia/products/dymola

MATHMODELICA / Objektorientiert; Modellbildung und Simulation /http://www.mathcore.com/products/mathmodelica/

MATLAB R©/Simulink R© / MATLAB R©: führende Sprache fürwiss.-techn. Berechnungen, Steuerungsentwurf, . . . ; Modellierung,Simulation, Analyse dynamischer Systeme, usw. / mathworks.com

GNU Octave / Freie Software; numerische Berechnungen, . . .; überwiegendMATLAB R©-kompatibel / octave.org

Scilab / Freie Software; numerische Berechnungen, ähnlich MATLAB R© . . . /scilab.org

Bsp.: Sprachen

MATLAB R© / Hochsprache für wiss.-techn. Berechnungen / mathworks.com

Modelica R© / Freie Software; Objektorientierte Sprache / modelica.org

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openmodelica.orghttp://www.3ds.com/products-services/catia/products/dymolahttp://www.mathcore.com/products/mathmodelica/mathworks.comoctave.orgscilab.orgmathworks.commodelica.org


Bsp.: Simulation industrieller Prozesse

gPROMS / Modellierung, Simulation und Optimierung kont. dyn. Systeme;Simulator einzubetten in Kundenanwendungen /http://psenterprise.com/gproms.html

WITNESS / Modellierung, Simulation und Optimierung derArbeitsumgebung einschl. Geschäftsprozesse / lanner.com/en/witness.cfm

Bsp.: Web-basierte und verteilte Simulation

RT-LAB / Echzeit-Modellierungs- und Steuerungswerkzeug (HiL) /opal-rt.com

JSIM / Java-basiert; Schwerpunkt: Physiologie, Biomedizin /http://www.physiome.org/jsim/

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http://psenterprise.com/gproms.htmllanner.com/en/witness.cfmopal-rt.comhttp://www.physiome.org/jsim/


Bsp.: Sonstige

Hybride Systeme

Netzwerke

Anwendungsspezifische Systeme (Welt, Umwelt, Wirtschaft, Produktion,CAD, Ressourcen, u.v.a.m.)

Übersicht

en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_simulation_software

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en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_simulation_software

5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.1 Einleitung

MATLAB R©: Hochsprache für wissenschaftlich-technische Berechnungen(Berechnungen, Visualisierung, Programmierung) in leicht handhabbarer

Umgebung

Mathematisch-numerische Berechnungen (auch symbolische)Modellierung, Simulation, Prototyping, Algorithmen, . . .Datenanalyse, -auswertung und -visualisierungWissenschaftlich-technische grafische DarstellungenAnwenderprogrammentwicklung (einschl. grafischesBenutzerinterface)Physikalische objekt-orientierte Modellierung

Simulink R©: Block- (tw. objekt-)orientiertes grafisches SimulationssystemFachgebietsspezifische Toolboxen

Abkürzung MATLAB R©: matrix laboratory

Grundlegendes Datenelement: Feld (array, matrix)Interaktiv (Kommando–Interpreter)Ursprüngliche Entwicklung: leichter Zugang zu LINPACK undEISPACK (zwei Bibliotheken,

”state-of-the-art“ der

Matrizenrechnung) und grafische Veranschaulichung106 / 172

5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung

Überblick (Quelle: www.de.mathworks.com/products)

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www.de.mathworks.com/products

5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.1 Einleitung

Entwicklung von MATLAB R© im Verlaufe der Zeit: Toolboxen,Objektorientierung (Klassendefinitionen, . . .)

Verfügbarkeit: PCs und Workstations, verschiedene Betriebssysteme(WINDOWS, Unix, Linux, . . .), TU Ilmenau: im Uni-Rechnernetz (ThüringerLandeslizenz der Unis; zeitparallele Zugriffe)

Kommerzielles Produkt; Studentenversion (82,00 e)(https://www.academic-center.de/cgi-bin/program/S1672) mit(kleinen) Einschränkungen (MATLAB R©, Simulink R© (1000 Blöcke), 12Toolboxen; auch: Prototyping, Test auf Arduino, LEGO MINDSTORMSNXT, Raspberry Pi)

Informationen

http://www.mathworks.com

http://www.mathworks.de

Literaturliste (Bibliothek), Copy-Shop, Internet

Alternativen zu MATLAB R©:

Scilab/Xcos unter Linux, Windows, usw. (Freie, quelloffeneSoftware, GPL-kompatibel), https://www.scilab.orgGNU Octave unter Linux, Windows, usw. (Freie, quelloffeneSoftware), https://www.gnu.org/software/octave 108 / 172

https://www.academic-center.de/cgi-bin/program/S1672http://www.mathworks.comhttp://www.mathworks.dehttps://www.scilab.orghttps://www.gnu.org/software/octave

5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.2 Arbeitsumgebung

Kommando-, Workspace-, Verzeichnis-, Historiefenster

Reiter Home, Plots, Apps

Kommandomanipulation; -folgen in ASCII-Skript-Dateien; (*.m)

Hilfe, Informationen, Übersichten, usw.

Befehl Erläuterung

demo Beispiele

doc schlüsselwort Hypertext-Dokumentation (auch PDF-Format)

help, help help,help fcn | m-file | thema Textuelle Online-Hilfeexist Test, ob Variable oder Funktione definiert

type Auflisten vom M-Files

edit Editieren von M-Files

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.2 Arbeitsumgebung

Wichtige”Betriebssystemkommandos“

cd Verzeichniswechsel

pwd Ausgabe des gegenwärtigen Arbeitsverzeichnisses

ls, dir Inhaltsverzeichnis

delete Löschen von Dateien

!befehl Betriebssystemskommandos ((WIN)DO(W)S, LINUX, . . .)

Sonstiges

format Zahlenformat (short, long, e, g, bank, . . .)

; / ... Ausgabeunterdrückung/Kommandofortsetzung

Workspace:who, whos Info zu Variablen (Kurz-, Langform); s. auch Workspace

clear Löschen von Variablen oder Funktionen

save, load Speichern bzw. Laden von Variablen in bzw.

von Datei mit angebbarem Format (-mat, -ascii, u.a.)

diary Tagebuchfunktion, d. h. Speichern aller Kommandos undErgebnisausgaben des Kommandofensters in einer Datei

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.3 MATLAB R©-Kommandosprache

Variable und Datentypen

Variable: erste 31 Zeichen signifikant; Buchstaben, Ziffern, ; beginnend mitBuchstaben; keine explizite Vereinbarung; Speicherung im Workspace(Arbeitsspeicher)

Spezielle Variable und Variablenwerte

Variable Erläuterung

ans Antwortvariable, wenn das Ergebnis keiner Variablenzugewiesen wurde

eps Relative Genauigkeit

realmax, realmin Größte bzw. kleinste darstellbare Gleitkommazahl

pi π = 3.1415926 . . .

i,j Imaginäre Einheit

inf Unendlich (∞)NaN

”not a number“ , Ergebnis eines unbestimmten

Ausdruckes, z. B. 00

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Datentypen (Klassen) – eine Auswahl

Datentyp Erläuterung

double Vektoren, Matrizen, 3D-Felder;Elemente reelle oder komplexe Zahlen; voll besetzt;Indizierung bei 3-D-F.: (Zeile, Spalte, Seite)

sparse Schwach besetzte Matrizen (sparse matrices)

char Zeichenketten(-felder)

cell Mehrdimensionale”Zellenfelder“; Zellen: Elemente

unterschiedlicher Datentypen, auch Strukturen

struct Elemente unterschiedlicher Datentypen

einer Variablen zusammengefaßt

int8, ..., int64, Vorzeichenbehaftete unduint16, ..., uint64, . . . vorzeichenlose ganze Zahlenfelder

logical Boolesche Felder

. . . . . .

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.3 MATLAB R©-KommandospracheZahlen, Zeichen(ketten)

Vorzeichenbehaftete reelle oder komplexe Zahlen in Festkomma- oder inwissenschaftlicher Darstellung (Mantisse, Exponent):

Bsp.: 3 9.6 -.99 1e3 -5.34e-4 -3.14j 1i 3-4i

Zeichen(ketten) in Hochkomma eingeschlossen, Bsp. ’xyz’ ,’er hat’’s’

Operatoren (doc ops)

Arithmetische, Vergleichs–, logische, bitweise, Mengen- und spezielleOperatoren

Funktionen (doc elfun)

Mathematische Funktionen (Winkelfunktionen, Exponentialfunktion,Logarithmen, Wurzel, Rundung, Teiler, Rest, Komplexe Zahlen, ...) (docelfun) u.v.a., z.B. Umwandlung von Datentypen (Zeichenketten,numerisch), Zeichenkettenmanipulation

Ausdrücke

Ausdrücke werden aus Variablen, Zahlen, Zeichenketten, Operatoren undFunktionen gebildet.

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Ein-/Ausgabe

save Speicherung aller Workspace-Variablenin einer binären oder ASCII-Datei

Bsp.:save fname Speicherung der Datei fname.matsave matlab.mat

save fname X,Y,Z fname.mat; Inhalt: X, Y und Zsave fname -ascii fname.mat im ASCII-Format

load Laden von Variablen aus einer binärenoder ASCII-Datei in den Workspace

Bsp.:load fname Laden aus dem binären MAT-File fname.matload dto. matlab.matload test.dat Laden aus der ASCII-Datei test.dat bzw.(oder load test -ascii) test; Abspeichern in Variable/Matrix test

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Ein-/Ausgabe (Fortsetzung)

input Tastatureingabe durch NutzerBsp.: n=input(’Wieviele Messwerte ?’);Eingabe: MATLAB R©-AusdruckBsp.: Name=input(’Wie ist Ihr Name? : ’,’s’);Eingabe: Zeichenkette; wird nicht ausgewertet

fopen, fclose,fread, fwrite,fscanf, fprintf . . .

”low–level“-E/A-Kommandos

print Ausgabe von Grafiken auf Drucker, Plotter oder inDatei; Formate (PS, EPS, JPG, PNG, TIF, HPGL,druckerspezifisch); Zusammenwirken mit GhostScript

plot(x,y) Grafik mit linearer Achseneinteilung, y = f (x)

Weitere Kommandos zur grafischen Darstellung: siehe Visualisierung

Weitere Sprachelemente: siehe M-File-Programmierung

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.4 Matrizen, lineare Algebra

Matrizen, Teilmatrizen (doc elmat)

Matrix A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= 1 2 34 5 6

7 8 6

A=[1 2 3;4 5 6;7 8 6]

Teilmatrix B =

[a11 a12a21 a22

]B=A(1:2,1:2)

Generierung von Matrizen

Funktion Erläuterung

zeros, ones, eye Null-, Eins-, Einheitsmatrizen

rand, randn zufällig belegte Matrizen (Gleich-, Normalverteilung)

linspace, logspace Vektor mit äquidistanter/logarithmischer Teilung

diag Diagonalmatrizen/Diagonalen

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Matrizenoperationen

Operator Erläuterung

’ Transposition

+, - Addition, Subtraktion

* Matrizenmultiplikation

.* Elementweise Multiplikation

\, /, ./ Links-, Rechts- und elementweise Divisionˆ, .ˆ Potenzierung, elementweise Potenzierung

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Lineare Gleichungssysteme (m = n)

1. Bsp.: m, n - Anzahl d. Gleichungen bzw. Anzahl d. Variablen

3 x1 + 2 x2 − 3 x3 = 2−5 x1 − 4 x2 + 6 x3 = −1

2 x1 − x3 = 1

Matrix-/Vektor-Schreibweise: 3 2 −3−5 −4 62 0 −1

x1x2x3

= 2−1

1

A x = b

x = A−1 b

Lösung: x=inv(A)*b oder x=A\b

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Lineare Gleichungssysteme (m = n)

1. Bsp.: m, n - Anzahl d. Gleichungen bzw. Anzahl d. Variablen

3 x1 + 2 x2 − 3 x3 = 2−5 x1 − 4 x2 + 6 x3 = −1

2 x1 − x3 = 1

Matrix-/Vektor-Schreibweise: 3 2 −3−5 −4 62 0 −1

x1x2x3

= 2−1

1

A x = b

x = A−1 b

Lösung: x=inv(A)*b oder x=A\b 118 / 172


Lineare Gleichungssysteme (überbestimmt; m > n)

2. Bsp.:

3 x1 + 2 x2 = 3

x1 − 2 x2 = 1x1 − x2 = 1

4 x1 + x2 = 4

Matrix-/Vektor-Schreibweise:3 21 −21 −14 1

[ x1x2]

=

3114

A x = b

Lösung (i. S. kleinste Fehlerquadrate): hier nur möglich: x=A\b

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Lineare Gleichungssysteme (überbestimmt; m > n)

2. Bsp.:

3 x1 + 2 x2 = 3

x1 − 2 x2 = 1x1 − x2 = 1

4 x1 + x2 = 4

Matrix-/Vektor-Schreibweise:3 21 −21 −14 1

[ x1x2]

=

3114

A x = b

Lösung (i. S. kleinste Fehlerquadrate): hier nur möglich: x=A\b 119 / 172


Lineare Gleichungssysteme (unterbestimmt; m < n)

3. Bsp.: keine eindeutige Lösung

6 x1 + 8 x2 + 7 x3 + 3 x4 = 7

3 x1 + 5 x2 + 4 x3 + x4 = 8

Lösung: siehe MATLAB-Online-Hilfe (Linear Equations/Systems of LinearEquations/Underdetermined Systems (Stichworte: Basislösungen; höchstensm Nicht-Null-Komponenten; Linearkombination; Nullraum-Vektor))

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Matrizenfunktionen (doc matfun)


norm, cond Matrix- oder Vektornorm, Konditionszahl

rank, inv Rang, Inverse einer Matrix

det Determinante einer Matrix

trace Spur einer Matrix (Summe der Diagonalelemente)

chol, lu Cholesky-, LU-Faktorisierung

eig Eigenwerte, -vektoren

poly Koeffizienten des charakteristischen Polynoms

. . .

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.5 Gewöhnliche Differentialgleichungen

- Anfangswertprobleme -

Funktionen für Dgln. (doc funfun)

Befehl/Datei Erläuterung

odeset, odeget Einstellen/Lesen von Parametern zur Dgl.lösung

Num. Integrationsverf. zur Lösung von Dgl.systemen . . .ode45, ode23, ode113 . . . nicht-steifeode15s, ode23s, ...

ode23t, ode23tb . . . steifeode15s, (ode23t) . . . DAEs (mit konst. Masse-Matrix)ode15i . . . implizite

odeplot Zeitverlaufgrafik während der Simulation

odephas2, odephas3 2D-, 3D-Phasendiagramm währendder Simulation

odeprint Tabellarische Ergebnisse im Kommandofenster

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Beispiel 1: Logistisches Wachstum (Wachstums-Dgl.)

ẏ(t) = a y(t)(1− y(t)) , y(0) = y0 = 0.1mit Wachstumsparameter a = 3.2

MATLAB R©-Funktion (Datei: growth.m)

function ypunkt=growth(t,y)

a=3.2; % Wachstumsparameter

ypunkt=a*y*(1-y);

Aufruf (im Kommandofenster, im Skript, in einer Funktion)

[t,y]=ode45(@growth,[0 5],0.1);plot(t,y) % odersol=ode45(@growth,[0 5],0.1);plot(sol.x,sol.y) % oder—–sol=ode45(@growth,[0 5],0.1);x=linspace(0,5,101); % Zeitbasis neuy=deval(sol,x,1); % Interpolation fuer neue Zeitbasis

plot(x,y)

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Beispiel 2: Van-der-Pol-Schwinger (Dgl.-system)

ẏ(t) =

[ẏ1(t)ẏ2(t)

]=

[y2(t)

µ(1− y 21 (t)

)y2(t)− y1(t)

], y(0) = y0 =

[20

]µ = {1, 1000}

MATLAB R©-Funktion (Datei: shvdpmue.m)

function dydt=shvdpmue(t,y,mue) % mit weiterer Parameteruebergabe

dydt=[y(2);mue*(1-y(1)ˆ2)*y(2)-y(1)];


options=odeset(’OutputFcn’,’odeplot’); mue=1;

[t,y]=ode45(@shvdpmue,[0 50],[2;0],options,mue); % oder

[t,y]=ode15s(@shvdpmue,[0 50],[2;0],options,mue);

Eigenschaft für µ = {1, 1000}?

µ = 1: nicht-steif, µ = 1000: steif

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Beispiel 2: Van-der-Pol-Schwinger (Dgl.-system)

ẏ(t) =

[ẏ1(t)ẏ2(t)

]=

[y2(t)

µ(1− y 21 (t)

)y2(t)− y1(t)

], y(0) = y0 =

[20

]µ = {1, 1000}

MATLAB R©-Funktion (Datei: shvdpmue.m)

function dydt=shvdpmue(t,y,mue) % mit weiterer Parameteruebergabe

dydt=[y(2);mue*(1-y(1)ˆ2)*y(2)-y(1)];


options=odeset(’OutputFcn’,’odeplot’); mue=1;

[t,y]=ode45(@shvdpmue,[0 50],[2;0],options,mue); % oder


Eigenschaft für µ = {1, 1000}?µ = 1: nicht-steif, µ = 1000: steif

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Beispiel 2: Van-der-Pol-Schwinger (Steifes Dgl.-system)

ẏ(t) =

[ẏ1(t)ẏ2(t)

]=

[y2(t)

µ(1− y 21 (t)

)y2(t)− y1(t)

], y(0) = y0 =

[20

]µ = 1000

Jacobi-Matrix, MATLAB R©-Funktion (Datei: shvdpjacob1000.m)

Jacobi-Matrix: J =∂f

∂y=

[∂f1∂y1

∂f1∂y2

∂f2∂y1

∂f2∂y2

]=

[0 1

−2µy1y2 − 1 µ(1− y 21 )

]function J = shvdpjacob1000(t,y,mue)

J = [0 1; -2*mue*y(1)*y(2)-1 mue*(1-y(1)ˆ2)];


options=odeset(’Jacobian’,@shvdpjacob1000);mue=1000;


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Beispiel 3: DAE-Systeme

a) Implizites ODE- oder DAE-System (höchstens Index 1) liegt bereits vor

2 Schritte:

1 Konsistente Anfangsbedingungen (AB) zur Integration mit ode15i[y0mod,yp0mod] =

decic(odefun,t0,y0,fixed y0,yp0,fixed yp0,options)

y0 = [1; 0; 1e-3]; % Nicht konsistente AB

yp0 = [0; 0; 0]; % Nicht konsistente AB

tspan = [0 4*logspace(-6,6)];

M = [1 0 0;0 1 0;0 0 0]; % Masse-Matrixoptions = odeset(’RelTol’,1e-4, ...

’AbsTol’,[1e-6 1e-10 1e-6],’Jacobian’,{[],M});[y0,yp0] = decic(@f,0,y0,[1 1 0],yp0,[],options)

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Beispiel 3: DAE-Systeme (Fortsetzung)

zu a) Implizites ODE- oder DAE-System (höchstens Index 1) liegt bereits vor

2 Lösen mit ode15i

[t,y] = ode15i(@f,tspan,y0,yp0,options)

MATLAB R©-Funktion (Datei: f.m)

function res = f(t,y,yp)

res = [ yp(1) + 0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3);

yp(2) - 0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3) + 3e7*y(2)*y(2);

y(1) + y(2) + y(3) - 1];

Bsp.: Chemische Reaktion (s. o., ihb1dae.m)

Weiteres Bsp.: Diskretisierte partielle Dgl. mit beweglichem Gitter(Burgers-Gleichung; Mechanik, Nichtlineare Akustik, Fluid-, Gasdynamik,Verkehrsfluss), iburgersode.m)

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Beispiel 3: DAE-Systeme (Fortsetzung)

b) DAE-System (Differentiationsindex > 1) liegt vor

6 Schritte (symbolisch (Symbolic Math ToolboxTM

), numerisch):

1 Definition der symbolischen Variablen und des DAE-Systems2 Falls Dgl.-system höherer Ordnung: → Dgl.-system 1. Ordnung3 Falls Differentiationsindex > 1: Reduzierung4 Symbolisches System → numerisches

”MATLAB R© function

handle“5 Konsistente Anfangsbedingungen (AB)6 Lösen mit ode15i, ode15s, ode23t

Bsp.: Planares Pendel (siehe MATLAB-Online-Dokumentation))

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- Mehrpunkt-Randwertproblem -

Beispiel 4: Dgl. mit Anfangs- und Endbedingung (s. [1]):Mehrpunkt-Randwertproblem (Kleine Durchbiegungen am

Biegebalken; 1 +(

dydx

)2 ≈ 1)( ) 0M x >

0 1

y

x

Dgl.: − d2y

dx2=

M(x)

EI (x)= b(x) =

5− 4x100e−x

mit l = 1, y(0) = 0, y(1) = 0, Biegemomentverlauf M(x), Biegesteifigkeit EI (x)

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Beispiel 4: (Fortsetzung)

Umwandlung in Dgl.-system 1. Ordnung: y1 = y , y2 =dydx

MATLAB R©-Routinen (Dgl., Randbedingungen, Lösung):

function dydx = ystrich b(x,y)

dydx = [ y(2); (4*x-5)/(100*exp(-x))];

—

function res = bc b(ya,yb)

res=[ya(1);yb(1)]; % d. h. y(0) - 0 und y(1) - 0

—

xmesh=linspace(0,1,100); % Schaetzung fuer Startloesung

yinit=[0;0]; % Anfangswerte

loesinit=bvpinit(xmesh,yinit); % Anfangsloesung

loesung=bvp4c(@ystrich b,@bc b,loesinit); % Loesung

plot(loesung.x,loesung.y(1,:)) % Druck der Biegelinie

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- Dgln. mit Totzeit(en) -

Beispiel 5: Dgl.-system mit Totzeiten

ẋ1 = −0.4 x1(t − 1)ẋ2 = x1(t − 1)− 2 x2(t − 0.5)

MATLAB R©-Routinen (Dgl., Historie, Lösung):

function xp = dgl Ttbsp(t,x,z)

xT1=z(:,1);xT2=z(:,2);xp=[-0.4*xT1(1); xT1(1)-2*xT2(2)];

—

function s = history Ttbsp(t)

s=[1;-2];

—

tspan=[0 6]; Tt=[1 0.5]; options=ddeset(’InitialY’,[0;0]);

loesung=dde23(@dgl Ttbsp,Tt,@history Ttbsp,tspan,options);

t interp=linspace(0,6,80); x=deval(loesung,t interp);

plot(t interp,x(1,:),t interp,x(2,:)) % Druck131 / 172


Im Gegensatz: numerische Integration zur Ermittlung desbestimmten Integrals

Flächeninhalt (Bsp.)

I =

5∫0

|x |dx


quad, quad8 Numerische Integration (bestimmte Integration)

MATLAB R©-Befehl:

F=quad(’abs’,0,5);

Ergebnis:

F=12.5

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.6 Partielle Differentialgleichungen

Partial Differential Equation ToolboxTM

Funktionen zur Lösung von PDEs (2D-, 3D-, Zeit) mittelsFinite-Differenzen-Methode

Statische, Zeit-, Frequenzbereichs-, Eigenwertprobleme

Nachbearbeitung, Visualisierung

Diffusion, Wäremübertragung, Strukturmechanik, Elektrostatik,Magnetostatik, AC-Leistungsmagnetismus; nutzerspezifische, gekoppelteSysteme

Siehe Online-Nutzerdokumentation

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.7 Polynome, Interpolation

Darstellung von Polynomen: Koeffizienten des Polynoms in absteigenderReihenfolge der Potenzen in vektorieller Form,z. B. steht p=[1 0 -2 -5] für p(x) = x3 − 2 x − 5

Polynomfunktionen (doc polyfun)


roots(p) Wurzeln (Nullstellen) des Polynoms

poly Berechnung der Polynomkoeffizienten aus den Wurzeln(siehe auch poly bei Matrizen)

polyval(p,5) Berechnung des Wertes des Polynoms für x = 5

conv, deconv Polynommultiplikation, -divisionBsp.: a=[1 2 3], b=[4 5 6], c=conv(a,b)(Ergebnis: c=[4 13 28 27 18])[q,r]=deconv(c,a)

(Ergebnisse: q=[4 5 6], r=[0 0 0 0 0])

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.7 Polynome, Interpolation

Polynomfunktionen (Fortsetzung)


polyder Ableitung eines Polynoms

polyfit Anpassung der Polynomkoeffizienten an Daten

residue Residuenberechnung (Partialbruchzerlegung)Bsp.: 2 s+5

s4+3 s3+2 s2= A

s+2+ B

s+1+ C

s+ D

s2

Ergebnis: A=-0.25, B=3, C=-2.75, D=2.5

Interpolation


interp1 1D-Interpolation (linear, spline, kubisch)

interp2 2D–Interpolation

. . .

spline Spline-Interpolation (siehe auch Splines-Toolbox)

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.8 Schwach besetzte Matrizen

Funktionen für schwach besetzte Matrizen (doc sparfun)


speye Einheitsmatrix

sprand, sprandn Zufällige belegte Matrizen(Gleich-, Normalverteilung)

spdiags Diagonalmatrizen/Diagonalen (jeweils schwach besetzt)

. . .

sparse, full Umwandlung in schwach besetzte Matrix bzw.umgekehrt

spconvert Einlesen von Daten und Speichern in schwachbesetzter Matrix

. . .

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Beispiel

D =

8 1 6.003 5 7.004 9 2.009 9 0

(Variante 1)bzw. eine ASCII-Datei mydata.dat enthält die o.a. Werte der Matrix D (Variante 2)

MATLAB R©-BefehleS=spconvert(D) (Variante 1)load mydata.dat (Variante 2)

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Weitere Funktionen für schwach besetzte Matrizen


nnz Anzahl von Null verschiedener Elemente

find Auffinden von Null verschiedener Elemente

spfun Anwendung von Funktionen auf von Nullverschiedene Elemente

spy Visualisierung der Besetzheitsstruktur

BeispielZ=sprandn(100,100,0.3);

[L,U,P]=lu(Z,1e-3);

[L,U,P]=luinc(Z,’0’);

spy(Z), spy(L), spy(U), spy(P)

Algorithmen zur Umordnung

Funktionen zur lineraren Algebra

Iterative Methoden zur Lösung linearer Gleichungen, usw.

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5.2 MATLAB R©/Simulink R© - Einführung5.2.9 M-File-Programmierung

– Ergänzung zu Abschnitt 5.2.3; weitere Sprachelemente (doc lang) –

Skripte, Funktionen (doc function)

Skripte, Funktionen und Unterfunktionen mit variabler Anzahl von Argumentenfunction c=test(a,b)

if nargin== 1,

c = a.̂ 2; % Quadratzahl einer Zahl

elseif nargin==2

c = a + b; % Summe zweier Zahlen

end

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Simulation – Fach im Modul „Modellbildung und Simulation ...€¦ · Introduction to Modeling...

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