Simulasi 11
-
Upload
fazri-alfarizzi -
Category
Technology
-
view
621 -
download
1
Transcript of Simulasi 11
DISTRIBUSI KONTINYU
2
Variabel Random Kontinyu
Distribusi Probabilitas Uniform
Distribusi Probabilitas Eksponensial
Distribusi Probabilitas Normal
Distribusi Porbabilitas Gamma
Distribusi Probabilitas Weibull
3
6.56.05.55.04.54.03.53.02.52.01.51.0
0.15
0.10
0.05
0.00
Minutes
P(x)
Minutes to Complete Task: By Half-Minutes
0.0. 0 1 2 3 4 5 6 7
Minutes
P(x )
Minutes to Complete Task: Fourths of a Minute
Minutes
P(x)
Minutes toCompleteTask:Eighthsof aMinute
0 1 2 3 4 5 6 7
Interval waktu dapat dibagi menjadi:
Interval 0.5 menit Interval 0.25 menit Interval 0.125 menit
Interval kecil tak terbatas Jika sebuah variabel random diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan probabilitasnya ditentukan oleh sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas adalah luas area di bawah kurva dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan dengan P(2<X<3).
76543210
Minutes
f( z)
DARI DISKRIT MENJADI KONTINYU
4
VARIABEL RANDOM KONTINYU
Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel random yang dapat
berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati.
Probabilitas dari variabel random kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi
densitas, dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut.
f(x) > 0 untuk setiap nilai x.
Probabilitas bahwa X berada diantara dua nilai a dan b
adalah sama dengan luas area dibawah f(x) yang dibatasi
oleh a dan b.
Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
FUNGSI DENSITAS DAN KUMULATIF
5
F(x)
f(x)
x
x0
0
ba
F(b)
F(a)
1
ba
}
P(a < X < b) = Area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b= F(b) - F(a)
P(a X b)=F(b) - F(a)
Fungsi kumulatif
Fungsi densitas
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
6
Densitas uniform [0,5] :1/5 for 0 < X < 5
f(x)= 0 lainnya
E(X) = 2.5
{
6543210-1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0.
x
f(x)
Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00
Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3 = P(1<X<3) = 2.(1/5) = 2/5
Distribusi Uniform
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU (2)
Definisi:
Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinankemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) xmengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas probabilitas:
1/( - ), untuk <x<
f(x)=
0 untuk x lainnya.
Ekspektasi dan variansi:
E(X)=( + )/2 dan V(X)= ( - )2/12
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
7
{
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI UNIFORM KONTINYU (3)
Contoh:
Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit bilangan random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses simulasi akan akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2 , 7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilangan random, berapa kemungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)?
Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian probabilitas bahwa proses simulasi akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
8
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (1)
Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson(dari proses poisson) jika persoalan didekati dari variabel intervalantar kedatangan.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
9
Dari uraian tentang distribusi poisson diperolehkemungkinan tidak ada kedatangan sebagai tep )0( .
Kemungkinan ini dapat diinterpretasikan sebagaikemungkinan bahwa tidak ada kejadian kedatangan padarentang waktu sampai terjadinya kedatangan pertama lebih
besar dari t atau 0 ,)()0( tetTPp t.
Untuk variabel random waktu kedatangan T , maka dapatdiperoleh besarnya kemungkinan melalui
0 ,1)()( tetTPtF t . Dengan demikian diperoleh.0 ,)(')( tetFtf t
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (2)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
10
Definisi:Sebuah variabel random (kontinyu) X menyatakan intervalwaktu antar kedatangan dimana kejadian kedatangantersebut mengikuti proses Poisson, dikatakan mengikutidistribusi eksponensial dengan fungsi distribusi:
lainnya. x 0
0 )( xexf x
Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagaiberikut :
0
x- e)( dxxXE /1 dan 2
0
2 /1 )( dxexXV x
2/1
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (3)
Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk
melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan
pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki
daya tahan yang dinyatakan oleh variabel random satuan waktu
(minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5.
Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent)
dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman
yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang
harus dipenuhi, perusahaan menginkan peralatan tersebut tidak
mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang
direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu. Jika diinginkan paling
sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan
tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi?
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
11
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL (4)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
12
Dalam kasus tersebut, perusahaan harus dapat memperkirakanketersediaan (availability) bahwa sebuah peralatan masih dapatbekerja selama paling sedikit 8 minggu. Kemungkinan bahwasuatu komponen pengaman masih akan berfungsi setelah 8
minggu adalah 8
5/
5
1)8( dteTP t
= e-8/5~ 0,2.
Selanjutnya, misalkan X sebagai variabel random yangmenyatakan banyaknya komponen pengaman yang masihberfungsi setelah 8 minggu dengan kemungkinan p=0.2, denganmenggunakan fungsi distribusi kemungkinan binomial, dapatdiperoleh kemungkinan paling sedikit dua peralatan dapatberoperasi sebagai berikut
5
2
)2.0,5;()2(x
xbXP =1-1
0
)2.0,5;(x
xb = 0,68.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
13
Untuk p 0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial menjadi …
n = 6 n = 14n = 10
6543210
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x
)
Binom ial D is tribution: n=6, p=.5
109876543210
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x
)
Binomial D istribution: n=10, p=.5
14131211109876543210
0.3
0.2
0.1
0.0
x
P(x
)
Binom ial D istribution: n=14, p=.5
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
Normal Distribution: = 0, = 1
Distribusi yang berbentuk kurva sepertilonceng (bell)
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (2)
Distribusi kemungkinan variabel random kontinyu yang terpenting dalam
statistika adalah distribusi normal, yang merupakan variabel random yang
berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar
disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris.
Dikenal sebagai distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang
mempublikasikannya pada tahun 1809 (bentuk matematika pertama kali
diturunkan dari distribusi binomial oleh DeMoivre 1733 dan Laplace 1775)
dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah dalil probabilitas untuk setiap
variabel random kontinyu.
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
14
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (3)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
15
Fungsi densitas probabilitas normal:
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
Normal Distribution: = 0, = 1
xxfx
e2
1)(
221
/-
DefinisiSebuah variabel random (kontinyu) x ( x ) dikatakan mengikutidistribusi normal dengan parameter lokasi pemusatan dan parameter
penyebaran (variansi) 02 jika mengikuti fungsi distribusi
kemungkinan berikut : xxfx
e2
1)(
2
2
1 /-
dimana ...14159,3 dan e = 2,71828…(bilangan natural).
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (4)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
16
Kurva normal membentuk:
Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (.50 or 50%) bagian akan berada di salah satu sisi dari rata-rata.
Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi, , dan dintayakan dengan: [X~N( )].
Setiap kurva bersifat asymptotik.
Luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal dalam rantang k dari adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (5)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
17
Distribusi ini digunakan sangat luas dan seringkali
dinotasikan dengan 2
~ , NX .
Jika dan diketahui maka lokasi dan bentuk kurva
normal dapat diketahui.
Nilai parameter (parameter lokasi) yang semakin
besar akan menggeser kurva ke kanan, dan nilaiparameter (parameter bentuk) yang semakinmembesar akan menyebabkan kurva normal semakinlandai (memperbesar jarak dari pemusatan ke posisititik-titik belok kurva).
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (6)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
18
Beberapa sifat penting fungsi densitas probabilitas normal:
i. Luas daerah di bawah kurva 1 )( dxxf .
Dengan melakukan transformasi linier /)(xy , akan
diperoleh fungsi distribusi kemungkinan normal standar2
2
1
2
1)(
yeyf . Kemudian definisikan bentuk satuan berikut
dyeIy 2
2
1
2
1,
dan pertimbangkan sebuah bentuk satuan dari variabel randomZ yang juga mengikuti fungsi distribusi kemungkinan normal standar
dzeIz 2
2
1
2
1.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (7)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
19
Selanjutnya definisikan perkalian kedua bentuk satuantersebut sebagai berikut
dzdyedzedyeIzyzy
2
1=
2
1
2
1 )(222
2
12
2
12
2
1
.
Gunakan transformasi berikut cosdan ,sin rzry , maka
dapat diperoleh
.1
2
1
0
2
00
22
2
12
2
1
drerdrderIrr
Karena 12I , maka 12
1 2
2
1
dyeIy
.
ii. Untuk setiap nilai variabel random X, nilai 0)(xf .
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (8)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
20
iii. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal bersifatassymptotic pada kedua sisinya (tail), atau 0)(lim
xxf dan
0)(limx
xf .
iv. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal simetris di kiridan kanan lokasi pemusatan , atau xfxf .
v. Nilai maksimum (modus) dari kurva fungsi distribusi
kemungkinan normal )(xf berada pada lokasi pemusatanx .
vi. Titik belok (point of onflections) dari kurva fungsi distribusikemungkinan normal )(xf berada pada titik-titik x .
Kurva memiliki bentuk cekung dari bawah untuk - <x< + , dan cekung dari atas untuk harga x lainnya.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (9)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
21
Kedua parameter fungsi normal dan 2 adalah rata-
rata (ekspektasi )(XE ) dan variansi ( 2)(XV )
distribusi probabilitas normal.Bukti :
e2
1)(
-
/-2
2
1
dxxXEx
.
Gunakan transformasi /)(xz , dan diperoleh :
.)0()1(
e2
e2
1
e2
)()(
-
-
-
-
-
-
2
212
21
2
21
dzz
dz
dzz
XE
zz
z
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (10)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
22
Selanjutnya hitung variansi sebagai berikut:
.10
2
1
2
2
2
)(
])[()(
22
2
22
)(2
2
2
112
11
2
11
2
11
dzeez
dzez
dxex
XEXV
zz
z
X
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (11)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
23
Besarnya nilai probabilitas variabel random normalditentukan dengan formulasi berikut :
dxexXPxFux 2
2
1 )(
2
1)()( .
Nilai probabilitas tersebut tidak dapat dihitung secaraanalitis matematis melalui persamaan integral di atas, untukitu digunakan tabel distribusi normal yang diperoleh melaluipendekatan numerik.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (12)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
24
Beberapa pendekatan numerik yang dapat digunakan untukmenentukan besarnya nilai probabilitas adalah:i. Pendekatan Hoyt (1968) menggunakan fungsi
31untuk )3(
1untuk )3(
2
161
2
81
xx
xx
pendekatan ini memberikan kesalahan kurang dari 0.01.ii. Pendekatan Polya (1945) menggunakan fungsi
2/12
21 )}/2exp(1{1)( xxF .
Pendekatan ini memberikan kesalahan maksimumsebesar 0.003 pada x=1.6.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (13)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
25
iii. Pendekatan Burr (1967) menggunakan fungsikcxxG )(11)(
dimana =0.644693, =0.161984, c =4.874, dan k=-6.158. Pendekatan yang lebih baik dengan fungsi G(x)adalah )](1)([)(
21 xGxGxH . Dengan pendekatan ini
memberikan kesalahan maksimum adalah 0.00046 padax=0.6 dan x=-0.6.
Pendekatan lainnya dapat dilihat pada:Johnson, N.L. & Kotz, S., (1970), Continuous Univariate
Distribution, JWS.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (14)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
26
Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata-rata dan variansi yang berbeda
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
z
f(z)
Normal Distribution: =0, =1
454035
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
w
f(w)
Normal Distribution: =40, =1
6050403020100
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
Normal Distribution: =30, =5
65554535
0.2
0.1
0.0
y
f(y)
Normal Distribution: =50, =3
50
Perhatikan bahwa:
P(39 W 41)
P(25 X 35)
P(47 Y 53)
P(-1 Z 1)
Nilai probabilitas dari setiap interval adalah luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL (15)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
27
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Norm al D is tribution
• Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang satu deviasi standar dari rata-rata adalah 0.6826, atau sekitar 0.68.
• Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang dua deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9544, atau sekitar 0.95.
• Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang tiga deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9974.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
28
Variabel random normal standar, Z, adalah variabel random
normal dengan rata-rata = 0 dan deviasi standar = 1: Z~N(0,12).
543210- 1- 2- 3- 4- 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
0 . 0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
=0
=1{
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (2) P(0 < Z < 1.56)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
29
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f ( z)
Standard Normal Distribution
1.56{
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
Probabilitas Normal Standar
Lihat pada baris 1.5dan kolom .06 untuk menemukanP(0<z<1.56) = 0.4406
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (3) P(Z < -2.47)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
30
Untuk P(Z<-2.47):
Lihat tabel untuk 2.47P(0 < Z < 2.47) = .4934
P(Z < -2.47) = .5 - P(0 < Z < 2.47)= .5 - .4934 = 0.0066
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
Nilai tabel area 2.47
P(0 < Z < 2.47) = 0.4934
Area di sebelah kiri -2.47P(Z < -2.47) = .5 - 0.4932
= 0.0068
z ... .06 .07 .08
. . . .
. . . .
. . . .2.3 ... 0.4909 0.4911 0.49132.4 ... 0.4931 0.4932 0.49342.5 ... 0.4948 0.4949 0.4951.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (4) P(1< Z < 2)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
31
z .00 ...
. .
. .
. .
0.9 0.3159 ...
1.0 0.3413 ...
1.1 0.3643 ...
. .
. .
. .
1.9 0.4713 ...
2.0 0.4772 ...
2.1 0.4821 ...
. .
. .
. .
Temukan P(1 < Z < 2):1. Temukan nilai tabel 2.00
F(2) = P(Z < 2.00) = .5 + .4772 =.9772
2. Temukan nilai tabel 1.00
F(1) = P(Z < 1.00) = .5 + .3413 = .8413
3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00)
= .9772 - .8413 = .1359
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
Luas area diantara 1 dan 2P(1 < Z < 2) = .4772 - .8413 = 0.1359
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (5) P(0 < Z < Z) = 0.40
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
32
Temukan z sehinggaP(0 < Z < z) = .40:
Temukan nilai probabilitassedekat mungkin dengan .40 dari tabel kemungkinan normal standar.
•Tentukan nilai z pada baris dan kolom yang sesuai. P(0<z<1.28) 0.40
Karena P(Z < 0) = .50
P(Z <1.28) .90543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
Area = .40 (.3997)
Z = 1.28
Luas area di kiri 0 = .50
P(z 0) = .50
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI NORMAL STANDAR (6) P(-Z.005< Z < Z.005) = 0.99
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
33
z .04 .05 .06 .07 .08 .09
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
2.4 ... 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 ... 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 ... 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Untuk memperoleh probabilitas 0.99 di tengah distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) = (1/2)(.01) = .005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(.99) = .495 setengah dari interval .99, atau :
P(0<Z< z.005) = .495
Dari tabel probabilitas normal standar:
2,57 < z.005 < 2,58z.005 2,575
P(-.2575 < Z < 2,575) = .99 543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Zf(z)
-z.005 z.005
Area di ekor kanan = .005
Area di ekor kiri = .005
Area di kanan = .495
Area di kiri = .495
2.575-2.575
Area di tengah = .99
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
34
Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk variabel random normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal standar. Contoh: P(40 X P(-1 Z untuk dan
1009080706050403020100
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
X
f (x)
Normal Distribution: =50, =10
=10{
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
1.0
{
Transformasi pada
(2) Pembagian dengan x)
Transformasi X menjadi Z:
ZX x
x
Transformasi sebaliknya Zmenjadi X:
X x Z x
(1) Pengurangan: (X - x)
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
35
Contoh: X~N(160,302)P X
PX
P Z
P Z
( )
.
. . .
100 180
100 180
100 160
30
180 160
30
2 6667
0 4772 0 2475 0 7247
ContohX~N(127,222)P X
PX
P Z
P Z
( )
.
. . .
150
150
150 127
22
1 045
0 5 0 3520 0 8520
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL(MINITAB)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
36
MTB > cdf 100;
SUBC> normal 160,30.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 160.000 and standard
deviation = 30.0000
x P( X <= x)
100.0000 0.0228
MTB > cdf 180;
SUBC> normal 160,30.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 160.000 and standard
deviation = 30.0000
x P( X <= x)
180.0000 0.7475
MTB > cdf 150;
SUBC> normal 127,22.
Cumulative Distribution Function
Normal with = 127.000 and = 22.0000
x P( X <= x)
150.0000 0.8521
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL(MINITAB)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
37
Contoh X~N(383,122) P X
PX
P Z
P Z
( )
. .
. . .
394 399
394 399
394 383
12
399 383
12
0 9166 1 333
0 4088 0 3203 0 0885
440390340
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
X
f( X)
Normal Distribution: = 383, = 12
MTB > cdf 394;
SUBC> normal 383,12.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000
x P( X <= x)
394.0000 0.8203
MTB > cdf 399;
SUBC> normal 383,12.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000
x P( X <= x)
399.0000 0.9088
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z)
Standard Normal Distribution
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL(EXCEL)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
38
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
39
Transformasi X menjadi Z:
ZX x
x
Transformasi kebalikan Z menjadi X:
Xx
Zx
Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b:
P X a P Za
P X b P Zb
P a X b Pa
Zb
( )
( )
( )
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
40
z .07 .08 .09
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1.1 . . . 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 . . . 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 . . . 0.4147 0.4162 0.4177
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu untuk sembarang variabel random normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi standar dari rata-ratanya.
Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di atas rata-rata X: 70= +2 . P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal standar.
P X Px
P Z P Z( ) ( )7070 70 50
102
Contoh: X~N(124,122) P(X > x) = 0.10 dan P(Z > 1.28) 0.10x = + z = 124 + (1.28)(12) = 139.36
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
41
z .02 .03 .04
. . . . .
. . . . .
. . . . .
2.2 . . . 0.4868 0.4871 0.4875
2.3 . . . 0.4898 0.4901 0.4904
2.4 . . . 0.4922 0.4925 0.4927
. . . . .
. . . . .
. . . . .
z .05 .06 .07
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693
1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756
2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808
. . . . .
. . . . .
Contoh: X~N(5.7,0.52)
P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01
x = + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865
Contoh: X~N(2450,4002)
P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96) 0.95
x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234)
P(1666 < X < 3234) = 0.95
8.27.26.25.24.23.2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
8.27.26.25.24.23.2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
f(x)
Normal Distribution: = 5.7 = 0.5
543210-1-2-3-4-5
z Z.01 = 2.33
Area = 0.49
Area = 0.01
4000300020001000
0.0015
0.0010
0.0005
0.0000
X
f(x)
Normal Distribution: = 2450 = 400
4000300020001000
0.0015
0.0010
0.0005
0.0000
543210-1-2-3-4-5
Z
.4750.4750
.0250.0250
-1.96 1.96
X.01 = +z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
42
4000300020001000
0.0012
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0000
X
f( x)
Normal Distribution: = 2450, = 400
.
.
.
.
.
.
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z )
S tand ard N o rm al D is trib utio n
1.Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal standar.
2.Arsir daerah probabilitas yang diteliti.
3.Dari tabel distribusi normal standar, temukan nilai z.
4.Transformasikan nilai z menjadi x (nilai variabel random asal).
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
43
4. Transformasi nilai z ke nilai x
x = z
= 2450 ± (1.96)(400)
= 2450 ± 784
=(1666,3234)
z .05 .06 .07
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693
1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756
2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808
. . . . .
. . . . .
3. Temukan nilai z dari tabel normal standar z=-1,96 dan z=1.96
1. Distribusi normal dan normal standar.
2. Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri dan kanan.
400300200100
0.0012
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0.0000
X
f( x)
Nor al Distribution: = 2450, = 40
.
.
.
.
.
.
.4750.4750
.9500
543210-1-2-3-4-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Z
f(z )
S tand ard No rm al D is trib utio n
.4750.4750
.9500
-1.96 1.96
Normal Distribution: = 2450, = 400
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM NORMAL
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
44
Using EXCEL
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
45
1050
0.3
0.2
0.1
0.0
X
f(x)
Normal Distribution: = 3.5, = 1.323
76543210
0.3
0.2
0.1
0.0
X
P(x
)
Binomial Distribution: n = 7, p = 0.50
Distribusi normal dengan = 3.5 dan = 1.323 mendekati
distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50.
P(x<4.5) = 0.7749
MTB > cdf 4.5;
SUBC> normal 3.5 1.323.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 3.50000 and standard deviation =
1.32300
x P( X <= x)
4.5000 0.7751
MTB > cdf 4;
SUBC> binomial 7,.5.
Cumulative Distribution Function
Binomial with n = 7 and p = 0.500000
x P( X <= x)
4.00 0.7734
P( x 4) = 0.7734
=0.0017
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL (2)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
46
1050
0.3
0.2
0.1
0.0
X
f(x)
Normal Distribution: = 5.5, = 1.6583
11109876543210
0.2
0.1
0.0
X
P(x
)
Binomial Distribution: n = 11, p = 0.50
Distribusi normal dengan = 5.5 dan = 1.6583 pendekatan yang lebih
baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.
P(x<4.5) = 0.2732
P(x 4) = 0.2744
MTB > cdf 4.5;
SUBC> normal 5.5 1.6583.
Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 5.50000 and standard deviation = 1.65830
x P( X <= x)
4.5000 0.2732
MTB > cdf 4;
SUBC> binomial 11,.5.
Cumulative Distribution Function
Binomial with n = 11 and p = 0.500000
x P( X <= x)
4.00 0.2744
=0.0012
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL (3)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
47
Definisi:Bila X variabel random binomial dengan rata-rata = np
dan variansi 2 = npq, maka bentuk pendekatan adalah
distribusi ,npq
npXZ bila n adalah distribusi normal
baku N(0,1).
Dari perhitungan, distribusi normal memberikan pendekatannilai probabilitas yang baik terhadap distribusi binomial bilan besar dan p mendekati 0.5, bahkan bila n mengecil tapi ptidak terlalu jauh dari 0.5 masih diperoleh pendekatan yangcukup baik.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL (4)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
48
P a X b Pa np
np pZ
b np
np p( )
( ) ( )1 1
for large (n 50) and not too close to 0 or 1.00n p
P a X b Pa np
np pZ
b np
np p( )
.
( )
.
( )
0 5
1
0 5
1
for moderately large (20 n < 50).n
Atau:
Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson.
Untuk n besar (n>50) dan p tidak mendekati 0 atau 1.00
Untuk n sedang (20<n<50)
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
PENDEKATAN UNTUK BINOMIAL (5)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
49
Suatu proses menghasilkan sejumlah produk (dengan kemungkinandproduk cacat 10%). Bila 100 produk diambil secara acak, berapakah
kemungkinan bahwa terdapat lebih dari 13 produk cacat?
Dalam kasus ini, banyaknya cacat berdistribusi binomial dengan
parameter n= 100 dan p=0,1. Karena ukuran sampel besar dilakukan
pendekatan dengan fungsi kemungkinan normal dimana parameternya
adalah 10)1,0)(100(np , dan 0,3)9,0)(1,0)(100(npq .
Karena ingin diamati kemungkinan bahwa terdapat lebih dari 13 produkcacat, maka dicari probabilitas x>13. Untuk kasus diskrit, digunakan
batas x=13.5, dan harga z yang sesuai adalah 167,13/)105.13(z .
Dari tabel diperoleh kemungkinan z>1.167 adalah 0.1216.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
PERHITUNGAN DENGAN EXCEL (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
50
Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan memberikan
nilai probabilitas kumulatif dari variabel random normal standar.
Perintah NORMDIST(number, mean, standard deviation) akan
memberikan nilai probabilitas dari variabel random normal secara
umum.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
PERHITUNGAN DENGAN EXCEL (2)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
51
Contoh:
NORMSDIST(1.0) = 0.8413.
NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938.
Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number,
mean, standard deviation).
NORMSINV(0.975) = 1.96.
NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
52
Distribusi dalam analisis multivariat umumnya adalahdistribusi multivariat normal sebagai perluasan daridistribusi normal univariat.Terdapat dua landasan pokok untuk hal tersebut, yaitu :i. Kasus pengukuran multivariat seringkali adalah bentuk
penjumlahan dari beberapa pengaruh random yangindependen. Dengan teorema central limit, beberapavariabel tadi membentuk distribusi normal multivariat.
ii. Teori statistika yang berlandaskan pada distribusi normalterbukti telah menunjukkan keberhasilan dalammelakukan kajian secara terstruktur dan sistematis.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT (2)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
53
Nilai ekspektasi dari sebuah vektor variabel random
X=(X1,…,Xm)’ adalah ')(),...,()( 1 mXEXEXE .
Jika X mempunyai rata-rata matriks variansi-kovariansi X didefinisikan sebagai matriks (mxm) berikut
)')(()( XXEXCov .
Elemen ke-i dan ke-j dari matriks variansi-kovariansi
adalah )])([( jjiiij XXE , sedangkan elemen ke-i
dikenal sebagai variansi ])[( 2
iiii XE .
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT (3)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
54
Agar variansi variabel random Xi ada, maka matriks definit nonnegatif. Karena similaritas kovariansi, makamatriks adalah matriks simetris, sehingga ' . Sebuah matriks simetris (mxm) A disebut definit non-
negatif jika 0' A untuk semua mR dan pasti positif
jika 0' A untuk semua 0,mR . mR adalah ruang
Euklidean berdimensi m dengan komponen real.
)()'(2
1exp)(det)2()( 12/12/ xxxf m
x
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS GAMMA (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
55
Distribusi gamma dikenal dari fungsi gamma yang banyak digunakandalam bidang matematika. Fungsi gamma didefinisikan oleh
0
1)( dxex x
untuk 0 .
Jila dilakukan integrasi parsial atas 1xu dan dv=e-xdx, maka akan
diperoleh 0
21 )1(0
)( dxxexe xx=
0
2)1( dxxe x
,
sehingga dihasilkan pengulangan fungsi gamma )1()1()( ,)2()2)(1()( , dan seterusnya jika =n, dimana n bilangan
bulat positif, maka )1()...2)(1()( nnn. Karena menurut definisi
fungsi gamma 0
1)1( dxe x
, maka )!1()( nn .
Satu sifat penting fungsi gamma, adalah )2/1( .
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS GAMMA (2)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
56
DefinisiSebuah variabel random kontinyu X berdistribusi gammadengan parameter bila 0 dan 0 , bila mengikutifungsi
/1
)(
1)( xexxf x > 0
= 0, untuk x lainnya.
Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagaiberikut :
)(XE dan 22)(XV .
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS GAMMA (3)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
57
Hal ini dapat dibuktikan dengan mengevaluasi momen ke-r disekitar titik asal distribusi gamma adalah
0
/1'
)(
1)( dxexXE rr
r .
Jika dimisalkan y=x/ , maka 0
/1'
)(dyey r
r
r)(
)( rr
.
Dengan demikian )(
)1('
1 , dan
222
2'
2
2
)(
)2(=
2
Distribusi gamma yang khusus (spesifik) untuk =v/2, =2,
dan v bilangan bulat positif disebut distribusi khi-kuadrat (chi-square) dengan degree of freedom v.
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS GAMMA (4)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
58
Proposisi:
Jika niX i ,...,2,1, adalah variabel random gamma independen
dengan parameter ),( i , maka n
i iX1 juga gamma dengan
parameter ,1
n
i i .
(parameter /1adalah )
Proposisi:
Jika niX i ,...,2,1, adalah variabel random independen
eksponensial independen dan identik dengan rata-rata ,
maka n
i iX1 adalah variabel random gamma dengan
parameter ),(n .
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS WEIBULL (1)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
59
Distribusi Weibull (Waloddi Weibull, Swedish, 1939) banyak digunakandalam analisis keandalan yang berkiatan dengan umur (rentang
waktu), contohnya rantang waktu dimana sebuah peralatan mungkinakan rusak (tidak berfungsi).
DefinisiVariabel random kontinyu T berdistribusi Weibull, dengan duaparameter 0 dan 0 , jika fungsi padatnya mengikuti
atettf 1)( untuk t > 0, dan f(t)=0, untuk t lainnya
Parameter pemusatan dan penyebaran adalahsebagai berikut :
11)( /1TE dan
2
/22 11
21)(TV
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS WEIBULL (2)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
60
Dengan menggunakan analogi, fungsi distribusi kemungkinan
Weibull dapat mencakup tiga parameter W( , , ) dan fungsikeandalannya didefinisikan oleh
, t,exp),,;(
1tt
tf dan
ttR exp),,;( .
Mean time to failure (MTTF) dan variansinya adalah1
),,;(TE dan
12),,;( 22TVar .
Departemen Teknik Industri FTI-ITB
DISTRIBUSI PROBABILITAS WEIBULL (3)
TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3
61
Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures.
kerusakan karena terjadi wear-out causes dan chance causes
lajukerusakan
Kerusakan karena terjadinya early
causes dan chance causes
hanya terjadichance failure
t