Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

169
HAL Id: tel-00625123 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00625123 Submitted on 20 Sep 2011 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Simplification de modèles éléments finis de structures à comportement dynamique de poutre. Stéphane Corn To cite this version: Stéphane Corn. Simplification de modèles éléments finis de structures à comportement dynamique de poutre.. Mécanique [physics.med-ph]. Université de Franche-Comté, 1998. Français. tel-00625123

Transcript of Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

Page 1: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

HAL Id: tel-00625123https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00625123

Submitted on 20 Sep 2011

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Simplification de modèles éléments finis de structures àcomportement dynamique de poutre.

Stéphane Corn

To cite this version:Stéphane Corn. Simplification de modèles éléments finis de structures à comportement dynamique depoutre.. Mécanique [physics.med-ph]. Université de Franche-Comté, 1998. Français. �tel-00625123�

Page 2: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

1� G©RUGUH � ��� $QQpH ����

7+Ë6(SUpVHQWpH j

/©8�)�5��'(6�6&,(1&(6�(7�7(&+1,48(6'(�/©81,9(56,7e�'(�)5$1&+(�&207e

SRXU REWHQLU OH

*5$'(�'(�'2&7(85�'(�/©81,9(56,7e'(�)5$1&+(�&207e6SpFLDOLWp��6FLHQFHV�SRXU�O©,QJpQLHXU

6,03/,),&$7,21�'(�02'Ë/(6�e/e0(176

),1,6�'(�6758&785(6�­�&203257(0(17

'<1$0,48(�'(�32875(

SDU

6WpSKDQH�&251

6RXWHQXH OH �� 1RYHPEUH ���� GHYDQW OD &RPPLVVLRQ G©([DPHQ �

3UpVLGHQW�5DSSRUWHXU

5DSSRUWHXU

([DPLQDWHXUV

-�/�

*�

*�

-�

1�

&�

%$72=

&2)),*1$/

/$//(0(17

3,5$1'$

%28+$'',

67$:,&.,

3URIHVVHXU� 8QLYHUVLWp GH 7HFKQRORJLH GH &RPSLqJQH

3URIHVVHXU� eFROH 1DWLRQDOH 6XSpULHXUH G·$UWV HW

0pWLHUV� 3DULV

3URIHVVHXU� 8QLYHUVLWp GH )UDQFKH�&RPWp

3URIHVVHXU� 8QLYHUVLWp GH )UDQFKH�&RPWp

0DvWUH GH FRQIpUHQFHV� 8QLYHUVLWp GH )UDQFKH�&RPWp

,QJpQLHXU GH UHFKHUFKH� 36$ 3HXJHRW &LWURsQ� 9pOL]\

'RFXPHQW VRXPLV j DFFRUG GH FRQILGHQWLDOLWp� 1H SDV GLIIXVHU DYDQW OH �� 1RYHPEUH ����

Page 3: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

5HPHUFLHPHQWV

-H�WLHQV�WRXW�G·DERUG�j�DGUHVVHU�PHV�WUqV�VLQFqUHV�UHPHUFLHPHQWV�j�0HVVLHXUV�OHV�3URIHVVHXUV

-�/��%$72=�HW�*��&2)),*1$/�TXL�RQW�DFFHSWp�GH�V·LQWpUHVVHU�j�FHWWH�WKqVH�HW�P·RQW�WRXV�GHX[

IDLW�O·KRQQHXU�G·HQ�rWUH�OHV�UDSSRUWHXUV�

/H� WUDYDLO� GH� UHFKHUFKH� SUpVHQWp� GDQV� FH� PpPRLUH� D� pWp� UpDOLVp� DX� /DERUDWRLUH� GH

0pFDQLTXH�$SSOLTXpH�5��&KDOpDW�VRXV�OD�GLUHFWLRQ�GH�0RQVLHXU� OH�3URIHVVHXU�-��3,5$1'$�

/D�FRQILDQFH�TX·LO�P·D�DFFRUGpH�HW�OD�FRQVWDQWH�SHUWLQHQFH�GH�VHV�FRQVHLOV�RQW�RULHQWp�FHWWH

pWXGH�HW�SHUPLV�GH�OD�PHQHU�j�ELHQ��4X·LO�WURXYH�LFL�O·H[SUHVVLRQ�GH�PD�UHFRQQDLVVDQFH�

&HWWH�WKqVH�D�pJDOHPHQW�pWp�HQFDGUpH�SDU�0RQVLHXU�1��%28+$'',��-H�WLHQV�j�OH�UHPHUFLHU

SRXU� VRQ� DLGH� HIILFDFH� HW� DPLFDOH�� DLQVL� TXH� SRXU� OD� ULJXHXU� VFLHQWLILTXH� TX·LO� D� VX

FRPPXQLTXHU�j�QRWUH�WUDYDLO�GH�UHFKHUFKH�

-H�UHPHUFLH�FRUGLDOHPHQW�0RQVLHXU�OH�3URIHVVHXU�*��/$//(0(17�HW�0RQVLHXU�&��67$:,&.,

SRXU�OHXU�SDUWLFLSDWLRQ�DX�MXU\�GH�VRXWHQDQFH�HW�OHXUV�GLYHUVHV�FRQWULEXWLRQV�j�FHWWH�pWXGH�

0HUFL� pJDOHPHQW� j� 0RQVLHXU� OH� 3URIHVVHXU� 5�� ),//2'� SRXU� P·DYRLU� LQLWLp� DX[� DVSHFWV

H[SpULPHQWDX[�GHV�YLEUDWLRQV�GHV�VWUXFWXUHV�PpFDQLTXHV�

(QILQ��M·DGUHVVH�PHV�SOXV�YLIV�UHPHUFLHPHQWV�j�WRXWHV�OHV�SHUVRQQHV�TXH�M·DL�HX�O·RFFDVLRQ�GH

F{WR\HU� DX� VHLQ� GX� /0$5&� HW�� HQ� SDUWLFXOLHU�� PHV� FROOqJXHV� GRFWHXUV� HW� GRFWRUDQWV� GH

O·pTXLSH� '\QDPLTXH� GHV� 6WUXFWXUHV�� &HV� TXHOTXHV� DQQpHV� SDVVpHV� j� %HVDQoRQ� VRQW

HPSUHLQWHV�GH�OHXU�V\PSDWKLH�

Page 4: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

7DEOH�GHV�PDWLqUHV

1RWDWLRQV �

,QWURGXFWLRQ�JpQpUDOH �

&KDSLWUH�������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH �

��������&LQpPDWLTXH�JpQpUDOH ��������������������������������������������������������������������������������� �

����������'HVFULSWLRQ�JpRPpWULTXH�HW�GpILQLWLRQV��������������������������������������� �

����������'HVFULSWLRQ�FLQpPDWLTXH ������������������������������������������������������������� ��

����������'pIRUPDWLRQV�HW�FRQWUDLQWHV ������������������������������������������������������� ��

����������'pILQLWLRQ�HW�SURSULpWpV�GHV�HIIRUWV �������������������������������������������� ��

����������5HODWLRQV�HIIRUWV���GpIRUPDWLRQV ������������������������������������������������� ��

��������5HODWLRQV�G·pTXLOLEUH���������������������������������������������������������������������������������� ��

����������eQHUJLH�GH�GpIRUPDWLRQ ��������������������������������������������������������������� ��

����������eQHUJLH�FLQpWLTXH�������������������������������������������������������������������������� ��

����������eTXDWLRQV�FRPSOqWHV�GX�PRXYHPHQW ���������������������������������������� ��

��������9LEUDWLRQV�GH�IOH[LRQ�GHV�SRXWUHV�V\PpWULTXHV ������������������������������������� ��

����������0RGqOH�GH�(XOHU�%HUQRXOOL ���������������������������������������������������������� ��

����������0RGqOH�GH�7LPRVKHQNR���������������������������������������������������������������� ��

&KDSLWUH�������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH ��

��������eOpPHQW�ILQL�GH�IOH[LRQ�SODQH ������������������������������������������������������������������� ��

����������eOpPHQW�j�GHX[�QRHXGV�HW�GHX[�GGO�SDU�QRHXG ����������������������� ��

����������9DOLGDWLRQ�GX�PRGqOH�GH�7LPRVKHQNR ��������������������������������������� ��

����������1RXYHOOHV�DSSURFKHV �������������������������������������������������������������������� ��

Page 5: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

7DEOH�GHV�PDWLqUHV

��������eOpPHQW�JpQpUDO�GH�SRXWUH�WULGLPHQVLRQQHOOH �����������������������������������������

����������0DWULFH�GH�UDLGHXU���������������������������������������������������������������������������

����������0DWULFH�GH�PDVVH�����������������������������������������������������������������������������

&KDSLWUH�������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV ��

��������0pWKRGH�G·LGHQWLILFDWLRQ �����������������������������������������������������������������������������

����������5pGXFWLRQ�QXPpULTXH�GX�PRGqOH�WULGLPHQVLRQQHO��������������������

����������,GHQWLILFDWLRQ�GH�OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH����������������������������������������

��������9DOLGDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH �����������������������������������������������������������������������������

����������&DV�R��OHV�FHQWUHV�&�HW�*�VRQW�FRQIRQGXV������������������������������������

����������&DV�R��OHV�FHQWUHV�&�HW�*�VRQW�GLVWLQFWV ���������������������������������������

��������4XDOLILFDWLRQ�D�SULRUL�GHV�PRGHV�GH�SRXWUH ����������������������������������������������

��������6WDELOLWp�GH�O·LGHQWLILFDWLRQ ��������������������������������������������������������������������������

&KDSLWUH�������$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ ��

��������3RXWUH�FRPSRVLWH ������������������������������������������������������������������������������������������

����������0pWKRGH�FODVVLTXH�G·KRPRJpQpLVDWLRQ���������������������������������������

����������0pWKRGH�SURSRVpH��������������������������������������������������������������������������

��������6LPXODWLRQV�QXPpULTXHV ����������������������������������������������������������������������������

����������6WUXFWXUH�j�GLVFRQWLQXLWpV�XQLIRUPpPHQW�UpSDUWLHV�����������������

����������6WUXFWXUH�IRUWHPHQW�GLVFRQWLQXH �������������������������������������������������

����������6WUXFWXUH�WUHLOOLV�GH�SRXWUHV ���������������������������������������������������������

&KDSLWUH�������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV ���

��������&RQWH[WH�GH�O·pWXGH��������������������������������������������������������������������������������������

��������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH ��������������������������������������������������������������������������

����������6WUXFWXUH�©�PRQWDQW�GH�SDUH�EULVH�ª ������������������������������������������

����������6WUXFWXUH�©�SLHG�PLOLHX�ª ��������������������������������������������������������������

����������,QIOXHQFH�GX�GpFRXSDJH�HQ�]RQHV������������������������������������������������

��������0LVH�HQ�±XYUH�LQIRUPDWLTXH����������������������������������������������������������������������

&RQFOXVLRQ�JpQpUDOH ���

5pIpUHQFHV�ELEOLRJUDSKLTXHV ���

$QQH[HV ���

Page 6: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

1RWDWLRQV

�$ $LUH�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH

�& &HQWUH�GH�WRUVLRQ�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH

�( 0RGXOH�G·pODVWLFLWp�GX�PDWpULDX

�* &HQWUH�GH�JUDYLWp�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH

�* 0RGXOH�GH�FLVDLOOHPHQW�GX�PDWpULDX

�,Q 0DWULFH�LGHQWLWp�G·RUGUH�Q

�,\ 0RPHQW�TXDGUDWLTXH�G·LQHUWLH�DXWRXU�GH�O·D[H�\S

�,] 0RPHQW�TXDGUDWLTXH�G·LQHUWLH�DXWRXU�GH�O·D[H�]S�,& 0RPHQW�SRODLUH�G·LQHUWLH

�- &RQVWDQWH�GH�WRUVLRQ

�. 0DWULFH�GH�UDLGHXUa. 0DWULFH�GH�UDLGHXU��QXPpULTXH�

. S 0DWULFH�GH�UDLGHXU�GH�OD�SRXWUH�GDQV�OHV�D[HV�SULQFLSDX[

.& 0DWULFH�GH�UDLGHXU�GH�OD�SRXWUH�H[SULPpH�DX�SRLQW�&

�.���.

�0DWULFHV�JpQpUDWULFHV��GpSHQGDQW�GHV�ULJLGLWpV�

�/ /RQJXHXU�GH�O·pOpPHQW�ILQL�GH�SRXWUH

�0\ 0RPHQW�IOpFKLVVDQW�DXWRXU�GH�O·D[H�\S

�0] 0RPHQW�IOpFKLVVDQW�DXWRXU�GH�O·D[H�]S�0 0DWULFH�GH�PDVVHa0 0DWULFH�GH�PDVVH��QXPpULTXH�

0S 0DWULFH�GH�PDVVH�GH�OD�SRXWUH�GDQV�OHV�D[HV�SULQFLSDX[

0& 0DWULFH�GH�PDVVH�GH�OD�SRXWUH�H[SULPpH�DX�SRLQW�&

�1M 1RHXG�GH�MRQFWLRQ��VHFWLRQV�WHUPLQDOHV�

�1Y )RQFWLRQ�G·LQWHUSRODWLRQ�HQ�GpSODFHPHQW

�1 (IIRUW�ORQJLWXGLQDO�GH�WUDFWLRQ

�2 2ULJLQH�GX�UpIpUHQWLHO�ORFDO

Page 7: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

1RWDWLRQV

�4���4

�0DWULFHV�JpQpUDWULFHV��GpSHQGDQW�GHV�FRRUGRQQpHV�GH�&�HW�*�

�5 0DWULFH�GH�FKDQJHPHQW�GH�EDVH

�6 6HFWLRQ�GURLWH�FRXUDQWH

�7\ (IIRUW�WUDQFKDQW�VXLYDQW�O·D[H�\S�7] (IIRUW�WUDQFKDQW�VXLYDQW�O·D[H�]S�7J 7UDQVIRUPDWLRQ�GH�*X\DQ

�76 7UDQVIRUPDWLRQ�FLQpPDWLTXH�ULJLGH

�7 eQHUJLH�FLQpWLTXH�GH�OD�SRXWUH

�83 9HFWHXU�GH�GpSODFHPHQW�DX�SRLQW�3

�: eQHUJLH�GH�GpIRUPDWLRQ�GH�OD�SRXWUH

�H���� (UUHXU�UHODWLYH��HQ���

�I )UpTXHQFH�SURSUH�GH�OD�SRXWUH��IRUPXODWLRQ�FRQWLQXH�

�I )UpTXHQFH�SURSUH�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW

�I5

)UpTXHQFH�SURSUH�GX�PRGqOH�GH�UpIpUHQFH

�N\ &RHIILFLHQW�GH�FLVDLOOHPHQW�VXLYDQW�O·D[H�\S�N] &RHIILFLHQW�GH�FLVDLOOHPHQW�VXLYDQW�O·D[H�]S�O /RQJXHXU�GH�OD�SRXWUH

�P7 0DVVH�WRWDOH�GH�OD�SRXWUH

�Q 1RPEUH�G·pOpPHQWV�ILQLV��5DQJ�GX�PRGH�SURSUH

�T 9HFWHXU�GHV�LQFRQQXHV�QRGDOHV

�U 5D\RQ�GH�JLUDWLRQ�GH�OD�VHFWLRQ

�X3�Y3�Z3 &RPSRVDQWHV�GX�YHFWHXU�GH�GpSODFHPHQW�DX�SRLQW�3

�Y 'pSODFHPHQW�WUDQVYHUVH�VXLYDQW�O·D[H�\S�[S�\S�]S 'LUHFWLRQV�GX�UpIpUHQWLHO�SULQFLSDO

�[2�\2�]2 'LUHFWLRQV�GX�UpIpUHQWLHO�JOREDO

�\&�]& &RRUGRQQpHV�GX�SRLQW�&�GDQV�OH�UpIpUHQWLHO�SULQFLSDO

�\*�]* &RRUGRQQpHV�GX�SRLQW�*�GDQV�OH�UpIpUHQWLHO�SULQFLSDO

�* &RQWRXU�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH

�3 'RPDLQH�GH�O·HVSDFH�RFFXSp�SDU�OD�SRXWUH

�4 9HFWHXU�GH�URWDWLRQ�LQVWDQWDQpH

�: 3DUDPqWUH�DGLPHQVLRQQHO�UHODWLI�j�OD�IUpTXHQFH�SURSUH

�D 3DUDPqWUH�DGLPHQVLRQQHO�OLp�j�O·pODQFHPHQW

�E 3DUDPqWUH�IUpTXHQWLHO�DVVRFLp�j�OD�IRUPXODWLRQ�GH�%HUQRXOOL

�F 3DUDPqWUH�DGLPHQVLRQQHO�OLp�DX�JDXFKLVVHPHQW

�G eODQFHPHQW�GH�OD�SRXWUH

�I\ )DFWHXU�OLp�DX�FLVDLOOHPHQW�VXLYDQW�O·D[H�\S�I] )DFWHXU�OLp�DX�FLVDLOOHPHQW�VXLYDQW�O·D[H�]S

Page 8: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

1RWDWLRQV

�K 3DUDPqWUH�DGLPHQVLRQQHO�OLp�j�O·pODQFHPHQW�HW�DX�FLVDLOOHPHQW

�M )RQFWLRQ�GH�JDXFKLVVHPHQW

�O 9DOHXU�SURSUH

�P &ULWqUH�GH�TXDOLILFDWLRQ�GHV�PRGHV�GH�W\SH�SRXWUH

�Q &RHIILFLHQW�GH�3RLVVRQ��5DQJ�GX�PRGH�SURSUH

�T[�T

\�T

]&RPSRVDQWHV�GX�YHFWHXU�GH�URWDWLRQ�LQVWDQWDQpH

�U 0DVVH�YROXPLTXH�GX�PDWpULDX

�W 3DUDPqWUH�IUpTXHQWLHO�DVVRFLp�j�OD�IRUPXODWLRQ�GH�7LPRVKHQNR

�Z 3XOVDWLRQ�SURSUH

�[ &ULWqUH�GH�GpIRUPDELOLWp�GHV�VHFWLRQV

�\ 5RWDWLRQ�GH�OD�VHFWLRQ�DXWRXU�GH�O·D[H�]S

����7 7UDQVSRVp�G·XQH�PDWULFH�RX�G·XQ�YHFWHXU

������ ,QYHUVH�G·XQH�PDWULFH

����� 3VHXGR�LQYHUVH�GH�0RRUH�3HQURVH

� 1RUPH�HXFOLGLHQQH

Page 9: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

1RWDWLRQV

Page 10: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

,QWURGXFWLRQ�JpQpUDOH

/·DPpOLRUDWLRQ� GH� OD� TXDOLWp� G·XQ� SURGXLW� HW� OD� UpGXFWLRQ� GHV� FR�WV� GH

IDEULFDWLRQ�VRQW�GHV�VRXFLV�SHUPDQHQWV�SRXU�O·LQGXVWULH��HW�FH��TXHO�TXH�VRLW�OH

VHFWHXU� G·DFWLYLWp� FRQVLGpUp��� DXWRPRELOH�� DpURQDXWLTXH�� VSDWLDO�� pQHUJpWLTXH�

JpQLH�FLYLO������'DQV�FH�FRQWH[WH��OD�SUpGLFWLRQ�GX�FRPSRUWHPHQW�G·XQH�VWUXFWXUH

PpFDQLTXH� FRQVWLWXH� XQH� pWDSH� LQFRQWRXUQDEOH� GH� VD� FRQFHSWLRQ�� HW� HOOH

QpFHVVLWH�XQH�PRGpOLVDWLRQ�PDWKpPDWLTXH�ILDEOH�

/HV�VWUXFWXUHV�TXH�O·RQ�pWXGLH�QH�SHXYHQW�TXH�UDUHPHQW�rWUH�UHSUpVHQWpHV

SDU� XQ� PRGqOH� DQDO\WLTXH� FRQWLQX�� 2Q� SHXW� DORUV� DYRLU� UHFRXUV� j� XQH

GLVFUpWLVDWLRQ�GX�VROLGH�pODVWLTXH�FRQVLGpUp��HIIHFWXpH�GDQV� OD�SOXSDUW�GHV�FDV

SDU� OD�PpWKRGH�GHV� pOpPHQWV� ILQLV��&HWWH�PpWKRGH�� ORQJWHPSV� UpVHUYpH� j� GHV

VSpFLDOLVWHV��D�FRQQX�XQ�HVVRU�FRQVLGpUDEOH�FHV�GHUQLqUHV�GpFHQQLHV�JUkFH�DX[

SURJUqV�UpDOLVpV�HQ�LQIRUPDWLTXH�WDQW�VXU�OH�SODQ�PDWpULHO��SXLVVDQFH�GH�FDOFXO�

TXH�ORJLFLHO��FRQIRUW�G·XWLOLVDWLRQ��LQWHUDFWLYLWp��

$XMRXUG·KXL�� OHV� FRGHV� GH� FDOFXO� VRQW� FRXSOpV� DYHF� OHV� ORJLFLHOV� GH

FRQFHSWLRQ��&$2���,O�HVW�DLQVL�SRVVLEOH�GH�UpDOLVHU�GHV�PDLOODJHV�H[WUrPHPHQW

SURFKHV� GH� OD� JpRPpWULH� UpHOOH� G·XQH� VWUXFWXUH�� SHUPHWWDQW� G·DERXWLU� j� XQH

UHSUpVHQWDWLRQ� SUpFLVH� GH� VRQ� FRPSRUWHPHQW�� &HSHQGDQW�� FHOD� FRQGXLW

IRUFpPHQW�j�GHV�PRGqOHV�SRVVpGDQW�XQ�WUqV�JUDQG�QRPEUH�GH�GHJUpV�GH�OLEHUWp

�GGO��� ­� WLWUH� G·H[HPSOH�� OH� PRGqOH� ILQ� G·XQH� FDLVVH� GH� YpKLFXOH� DXWRPRELOH

FRPSRUWH�FRXUDPPHQW�SOXVLHXUV�FHQWDLQHV�GH�PLOOLHUV�GH�GGO��(Q�SUDWLTXH��GH

WHOV�PRGqOHV�VRQW�LQH[SORLWDEOHV�HQ�UDLVRQ�GHV�FR�WV�GH�FDOFXO� �WHPSV�HW�SODFH

PpPRLUH��TX·LOV�HQWUDvQHQW�

(Q� IDLW�� ORUV� G·XQH� pWXGH� GH� SUp�GLPHQVLRQQHPHQW� RX� G·RSWLPLVDWLRQ

SDUDPpWULTXH�� XQ�PRGqOH� VLPSOLILp� GH� WDLOOH� UDLVRQQDEOH� HVW� LQGLVSHQVDEOH�� ,O

Page 11: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

,QWURGXFWLRQ�JpQpUDOH

SHUPHW� G·HIIHFWXHU� IDFLOHPHQW� GHV� FDOFXOV� UpSpWLWLIV� DLQVL� TXH� GHV� UpDQDO\VHV

UDSLGHV��$XVVL��GHV�VWUDWpJLHV�YLVDQW�j�UpGXLUH�OD�WDLOOH�GHV�PRGqOHV�RQW�DORUV�pWp

PLVHV� DX� SRLQW�� &LWRQV� SDU� H[HPSOH� OHV� WHFKQLTXHV� GH� VRXV�VWUXFWXUDWLRQ

G\QDPLTXH�WHOOHV�TXH�OHV�PpWKRGHV�j�LQWHUIDFHV�EORTXpHV�RX�OLEUHV��RX�HQFRUH

OD� FRQGHQVDWLRQ� GH� *X\DQ�� &HV� VWUDWpJLHV� VRQW� JpQpUDOHPHQW� ILDEOHV� SRXU

GpFULUH� OH� FRPSRUWHPHQW� G\QDPLTXH� G·XQH� VWUXFWXUH� PpFDQLTXH� GDQV� XQ

GRPDLQH� IUpTXHQWLHO� GRQQp�� OH� PRGqOH� TXL� HQ� UpVXOWH� pWDQW� DORUV� SXUHPHQW

QXPpULTXH�

,O� HVW� QRWRLUH� TXH� EHDXFRXS� GH� VWUXFWXUHV� LQGXVWULHOOHV� VRQW� FRQVWLWXpHV

G·XQ�JUDQG�QRPEUH�GH�VRXV�VWUXFWXUHV�TXL�SUpVHQWHQW�XQ�FRPSRUWHPHQW�JOREDO

GH�SRXWUH�GDQV�OH�GRPDLQH�IUpTXHQWLHO�G·XWLOLVDWLRQ��&·HVW�HQ�SDUWLFXOLHU�OH�FDV

GHV� YpKLFXOHV� DXWRPRELOHV�� GRQW� O·RVVDWXUH� FRPSRUWH� GHV� FRPSRVDQWV

WXEXODLUHV� �WHOV� TXH� PRQWDQWV� HW� UDLGLVVHXUV�� PRGpOLVpV� ILQHPHQW�� OH� SOXV

VRXYHQW� SDU� GHV� pOpPHQWV� ILQLV� GH� W\SH� FRTXH�� /H� SULQFLSH� GH� UpGXFWLRQ� GH

PRGqOH� SURSRVp� GDQV� FH� PpPRLUH� FRQVLVWH� j� VLPSOLILHU� FHV� PRGqOHV� SDU� GHV

SRXWUHV�pTXLYDOHQWHV��2Q�PRQWUH�TX·LO�HVW�DORUV�SRVVLEOH�GH�UpGXLUH�GH�PDQLqUH

GUDVWLTXH�OD�WDLOOH�GX�PRGqOH�pOpPHQWV�ILQLV�VDQV�GpJUDGDWLRQ�VLJQLILFDWLYH�GH�OD

SUpFLVLRQ��'H� SOXV�� FHV� pOpPHQWV� pTXLYDOHQWV� RQW� ODYDQWDJH�� SDU� UDSSRUW� DX[

PpWKRGHV�KDELWXHOOHV�GH�FRQGHQVDWLRQ��GH�SUpVHQWHU�XQ�SDUDPpWUDJH�SK\VLTXH

H[SOLFLWH�� GLUHFWHPHQW� DGDSWDEOH� GDQV� XQH� SURFpGXUH� G·RSWLPLVDWLRQ� GH

FRPSRUWHPHQW��/HV�PRGqOHV�VLPSOLILpV�DLQVL�REWHQXV�VRQW�GHV�VXSHU�pOpPHQWV

TXL�SHXYHQW�HQVXLWH�rWUH�DVVHPEOpV�DYHF�OHV�DXWUHV�FRPSRVDQWV�GH�OD�VWUXFWXUH

FRPSOqWH�FRPPH�GHV�pOpPHQWV�ILQLV�RUGLQDLUHV�

$ILQ� GH� PHWWUH� HQ� ±XYUH� O·pOpPHQW� ILQL� GH� SRXWUH� pTXLYDOHQW�� LO� HVW

QpFHVVDLUH�GH�GLVSRVHU�G·XQH�IRUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH� OD�SOXV�JpQpUDOH

SRVVLEOH�TXL�SHUPHW�GH�SUHQGUH�HQ�FRPSWH�OHV�HIIHWV�GH�FLVDLOOHPHQW�WUDQVYHUVH

DLQVL�TXH�OH�FRXSODJH�VWDWLTXH�HW�G\QDPLTXH�HQWUH�OHV�HIIHWV�GH�WUDFWLRQ�IOH[LRQ

HW� WRUVLRQ�IOH[LRQ�� 'DQV� FHWWH� IRUPXODWLRQ�� TXL� IDLW� O·REMHW� GX� &KDSLWUH� ��� RQ

V·LQWpUHVVH� DX� FDV� GHV� SRXWUHV� GURLWHV� XQLIRUPHV� EDVpHV� VXU� OH� PRGqOH

PpFDQLTXH� GH� 7LPRVKHQNR�� 2Q� PHW� DORUV� HQ� pYLGHQFH� GHV� SKpQRPqQHV

YLEUDWRLUHV�SURSUHV�DX[�SRXWUHV�GH�IDLEOH�pODQFHPHQW�

/D� IRUPXODWLRQ� GH� O·pOpPHQW� ILQL� FRUUHVSRQGDQW�� DYHF� XQH� FLQpPDWLTXH

FODVVLTXH� j� VL[� GGO� SDU� QRHXG�� HVW� pWDEOLH� j� SDUWLU� GH� FULWqUHV� G·pTXLYDOHQFH

pQHUJpWLTXH�HQWUH�OH�PRGqOH�GLVFUHW�HW�OH�PRGqOH�FRQWLQX��&H�WUDYDLO�HVW�GpFULW

GH�PDQLqUH�GpWDLOOpH�GDQV�OH�&KDSLWUH���GH�FH�PpPRLUH�

Page 12: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

,QWURGXFWLRQ�JpQpUDOH

(Q� SUDWLTXH�� OHV� VRXV�VWUXFWXUHV� TXL� SUpVHQWHQW� XQ� FRPSRUWHPHQW� JOREDO

GH�SRXWUH��H[HPSOH���FRUSV�FUHX[��SURILOpV�������VRQW�PRGpOLVpHV�SDU�GHV�pOpPHQWV

ILQLV�WULGLPHQVLRQQHOV��W\SH�FRTXH���/D�PpWKRGH�GH�VLPSOLILFDWLRQ�SURSRVpH�HVW

H[SOLFLWpH� GDQV� OH� &KDSLWUH� ��� (OOH� FRQVLVWH�� GDQV� XQ� SUHPLHU� WHPSV�� j

FRQGHQVHU� OH� PRGqOH� LQLWLDO�� HW� HQVXLWH�� j� LGHQWLILHU� WRXV� OHV� SDUDPqWUHV

FRQVWLWXDQW� OH� PRGqOH� GH� SRXWUH� DVVRFLp�� ,O� HVW� FODLUHPHQW� pWDEOL� TXH� FHV

SDUDPqWUHV� SHXYHQW� rWUH� LGHQWLILpV� HVVHQWLHOOHPHQW� j� SDUWLU� G·XQH

FRQIURQWDWLRQ�GLUHFWH�DQDO\WLTXH�QXPpULTXH�GHV�PDWULFHV�GH�ULJLGLWp�

'H�QRPEUHX[�WHVWV�QXPpULTXHV�VRQW�SUpVHQWpV��,OV�PHWWHQW�HQ�pYLGHQFH�OHV

SHUIRUPDQFHV� GH� OD� VWUDWpJLH� pODERUpH�� 6RQ� GRPDLQH� G·DSSOLFDWLRQ� HVW� ODUJH�

'DQV�OH�&KDSLWUH����RQ�PRQWUH�TX·LO�V·pWHQG�DX�SUREOqPH�GH�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

GH�PRGqOHV��(Q�HIIHW��FHUWDLQHV�VWUXFWXUHV�PpFDQLTXHV�SHXYHQW�SUpVHQWHU�GHV

GLVFRQWLQXLWpV� PDWpULHOOHV� RX� JpRPpWULTXHV� HW� DYRLU� QpDQPRLQV� XQ

FRPSRUWHPHQW� JOREDO� GH� SRXWUH� HQ� EDVVHV� IUpTXHQFHV�� /·LGHQWLILFDWLRQ� GHV

SDUDPqWUHV�GX�PRGqOH� ©�KRPRJqQH�ª�GH�SRXWUH�SDU� OD�PpWKRGH�SURSRVpH� HVW

SRVVLEOH�HW�GRQQH�GHV�UpVXOWDWV�VDWLVIDLVDQWV��DORUV�TXH�OHV�PpWKRGHV�FODVVLTXHV

EDVpHV� VXU� XQ� FDOFXO� HIIHFWXp� j� SDUWLU� GH� OD� VHXOH� VHFWLRQ� GURLWH� V·DYqUHQW

LQHIILFDFHV�GDQV�FH�FDV�

&HWWH�pWXGH�D�pWp� LQLWLpH�SDU�XQH� FROODERUDWLRQ� LQGXVWULHOOH�� GDQV� OH� FDGUH

G·XQ�FRQWUDW�GH�UHFKHUFKH��/H�&KDSLWUH���GH�FH�PpPRLUH�HVW�HQILQ�FRQVDFUp�j

O·DGDSWDWLRQ� HW� OD� YDOLGDWLRQ� GH� OD� VWUDWpJLH� SURSRVpH� j� GHV� VWUXFWXUHV� GH

JpRPpWULH� FRPSOH[H�� ,O� PHW� HQ� pYLGHQFH� OD� FDSDFLWp� GH� OD� PpWKRGH� j

UHSUpVHQWHU�GHV�VWUXFWXUHV�LQGXVWULHOOHV�SDU�GHV�SRXWUHV�pTXLYDOHQWHV��DLQVL�TXH

OHV�SHUIRUPDQFHV�GX�ORJLFLHO�G·DSSOLFDWLRQ�TXL�D�pWp�GpYHORSSp�j�FHW�HIIHW�

Page 13: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

,QWURGXFWLRQ�JpQpUDOH

Page 14: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

��

)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

&H� FKDSLWUH� D� SRXU� EXW� G·LQWURGXLUH� OHV� QRWLRQV� GH� EDVH� QpFHVVDLUHV� j� OD

FRPSUpKHQVLRQ� GH� FH�PpPRLUH�� 2Q� \� SUpVHQWH� XQH� IRUPXODWLRQ� FRQWLQXH� GH

SRXWUH� VXIILVDPPHQW� JpQpUDOH� SRXU� UHSUpVHQWHU� OH� FRPSRUWHPHQW� VWDWLTXH� HW

G\QDPLTXH� GHV� SRXWUHV� GURLWHV� XQLIRUPHV� GH� VHFWLRQ� TXHOFRQTXH�� &HWWH

IRUPXODWLRQ� HVW� EDVpH� VXU� XQH� FLQpPDWLTXH� GH� W\SH� 7LPRVKHQNR� SUHQDQW� HQ

FRPSWH� OHV�HIIHWV�GH�FLVDLOOHPHQW�WUDQVYHUVH�SRXU� OD� IOH[LRQ��HW�VXU�XQ�PRGqOH

DYHF�JDXFKLVVHPHQW� ORQJLWXGLQDO�SRXU� OD� WRUVLRQ��/HV� pTXDWLRQV�JpQpUDOHV�GX

PRXYHPHQW� VRQW� pWDEOLHV�� SXLV� UpVROXHV� GDQV� OH� FDV� GHV� SRXWUHV� GH� VHFWLRQ

V\PpWULTXH� PHWWDQW� DLQVL� HQ� pYLGHQFH� FHUWDLQV� SKpQRPqQHV� YLEUDWRLUHV

DVVRFLpV� DX[�SRXWUHV� GH� IDLEOH� pODQFHPHQW��/HV� UpVXOWDWV� REWHQXV� FRQVWLWXHQW

XQ� SRLQW� GH� GpSDUW� DLQVL� TX·XQH� UpIpUHQFH� SRXU� O·pWXGH� SDU� pOpPHQWV� ILQLV

SUpVHQWpH�SDU�OD�VXLWH�

���� &LQpPDWLTXH�JpQpUDOH

������ 'HVFULSWLRQ�JpRPpWULTXH�HW�GpILQLWLRQV

&RQVLGpURQV�XQH�SRXWUH�GURLWH�XQLIRUPH��&HWWH�GpQRPLQDWLRQ�GpVLJQH�XQ�VROLGH

F\OLQGULTXH� �RX� SULVPDWLTXH�� GURLW� GH� ORQJXHXU� O�� FRQVWLWXp� G·XQ� PDWpULDX

KRPRJqQH�pODVWLTXH�HW�LVRWURSH��RFFXSDQW�XQ�GRPDLQH�GH�O·HVSDFH�QRWp�3�

&KDSLWUH

Page 15: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

6RLW� [S� XQ� YHFWHXU� XQLWDLUH�� SDUDOOqOH� DX[� JpQpUDWULFHV� GH� OD� SRXWUH�

GpILQLVVDQW� DLQVL� VD� GLUHFWLRQ� ORQJLWXGLQDOH�� 6RLW� [� OD� FRRUGRQQpH� DVVRFLpH� j

FHWWH�GLUHFWLRQ��2Q�DSSHOOH�VHFWLRQ�GURLWH� WRXW�SODQ�PDWpULHO� RUWKRJRQDO� j� [S�

2Q�QRWH�6�OD�VHFWLRQ�GURLWH�G·DEVFLVVH�[�� 6� �HW�6� �OHV�VHFWLRQV�H[WUpPLWpV��[ �

HW� [ O�� DSSHOpHV� ©�EDVHV�ª�� 2Q� VXSSRVH� TXH� OHV� GLPHQVLRQV� GHV� EDVHV� VRQW

UHODWLYHPHQW�SHWLWHV�SDU�UDSSRUW�j�OD�ORQJXHXU�GH�OD�SRXWUH�

/D�VXUIDFH�ODWpUDOH�GH�OD�SRXWUH�HVW� OLEUH�GH�WRXWH�DFWLRQ�H[WpULHXUH��HW� OHV

IRUFHV�YROXPLTXHV�VRQW�VXSSRVpHV�QXOOHV��/HV�VHXOHV�VROOLFLWDWLRQV�PpFDQLTXHV

H[WpULHXUHV� VRQW� GHV� FKDUJHV� VXUIDFLTXHV� DSSOLTXpHV� VXU� OHV� EDVHV� 6� � HW� 6� �

&RQIRUPpPHQW� DX� SULQFLSH� GH� 6DLQW�9HQDQW� >��������@�� RQ� SHXW� LJQRUHU� OD

GLVWULEXWLRQ�UpHOOH�GH�FHV�FKDUJHV��HW�IL[HU�QRWUH�DWWHQWLRQ�VXU�OHXU�WRUVHXU��&·HVW

HQ� FH� VHQV�TXH� O·RQ�SDUOHUD�GH�SRXWUH� VXELVVDQW�XQ�HIIRUW�QRUPDO��XQ� FRXSOH�

HWF«�&·HVW�XQH� IDoRQ�GH� V·H[SULPHU�TXL�Q·LQGLTXH�SDV� IRUFpPHQW�TXH� O·RQ�DLW

DIIDLUH�j�GHV�FKDUJHV�FRQFHQWUpHV�

$LQVL��RQ�FRQVLGqUH�TXH�OHV�HIIRUWV�DSSOLTXpV�VXU�OHV�EDVHV�LQGXLVHQW�GDQV�OD

SRXWUH�XQ�FKDPS�GH�FRQWUDLQWHV�GRQW�O·DFWLRQ�VXU�FKDTXH�VHFWLRQ�GURLWH�6�SHXW

rWUH�UHSUpVHQWpH�SDU�XQ�WRUVHXU��6HV�pOpPHQWV�GH�UpGXFWLRQ�VRQW�XQH�UpVXOWDQWH

QRWpH�5�HW�XQ�FRXSOH�UpVXOWDQW�QRWp�&�

/D�UpVXOWDQWH�5�GHV�IRUFHV�DSSOLTXpHV�j�6�SHXW�rWUH�GpFRPSRVpH�HQ��

x� XQH�FRPSRVDQWH�VXLYDQW�[S��QRWpH�1��DSSHOpH�HIIRUW�QRUPDO

x� XQH�FRPSRVDQWH�7�FRQWHQXH�GDQV�OH�SODQ�GH�6��DSSHOpH�HIIRUW�WUDQFKDQW�

/H�FRXSOH�UpVXOWDQW�&�SHXW�rWUH�GpFRPSRVp�HQ��

x� XQ�PRPHQW�DXWRXU�GH�[S��QRWp�0[

��DSSHOp�PRPHQW�GH�WRUVLRQ

x� XQ�PRPHQW�0�FRQWHQX�GDQV�OH�SODQ�GH�6��DSSHOp�PRPHQW�IOpFKLVVDQW�

3RXU� FKDTXH� VHFWLRQ� GURLWH� 6� GH� OD� SRXWUH�� RQ� SHXW� GpILQLU� GHX[� SRLQWV

UHPDUTXDEOHV���OH�FHQWUH�GH�JUDYLWp�*�HW�OH�FHQWUH�GH�WRUVLRQ�&�

&HQWUH�GH�JUDYLWp���$[H�QHXWUH

6RLW�3�XQ�SRLQW�FRXUDQW�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH�6��6RLW�U� OD�PDVVH�YROXPLTXH

GX�PDWpULDX��/H�FHQWUH�GH�JUDYLWp�*��DSSHOp�pJDOHPHQW�FHQWUH�G·LQHUWLH�RX�FHQWUH

GH�PDVVH��HVW�GpILQL�FODVVLTXHPHQW�SDU��

Page 16: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������&LQpPDWLTXH�JpQpUDOH

��

U*3�G66

³³ � �����

3RXU�XQ�PDWpULDX�KRPRJqQH��FHOD�UHYLHQW�j�pFULUH��

*3�G66

³³ � �����

'DQV�FH�FDV��RQ�PRQWUH�TX·XQ�HIIRUW�QRUPDO�DSSOLTXp�HQ�*�QH�SURGXLW�TXH

GHV�GpIRUPDWLRQV�ORQJLWXGLQDOHV�FRQVWDQWHV�VXU�OD�VHFWLRQ�>�@�

'H�SOXV��G·DSUqV�OH�WKpRUqPH�GH�UpFLSURFLWp�GH�0D[ZHOO�%HWWL��XQ�PRPHQW

IOpFKLVVDQW�VHXO�QH�SURGXLW�SDV�GH�GpIRUPDWLRQV�ORQJLWXGLQDOHV�DX�SRLQW�*�>��@�

/H�OLHX�JpRPpWULTXH�GHV�FHQWUHV�GH�JUDYLWp�*�GH�WRXWHV�OHV�VHFWLRQV�GURLWHV

HVW�XQ�D[H��GH�YHFWHXU�GLUHFWHXU�[S��DSSHOp�D[H�QHXWUH�

&HQWUH�GH�WRUVLRQ���$[H�pODVWLTXH

3DU�GpILQLWLRQ��OH�FHQWUH�GH�WRUVLRQ�&�G·XQH�VHFWLRQ�GURLWH�6�HVW�OH�SRLQW�TXL

UHVWH�IL[H�ORUVTXH�OD�VHFWLRQ�HVW�VHXOHPHQW�VRXPLVH�j�XQ�PRPHQW�GH�WRUVLRQ��(Q

G·DXWUHV� WHUPHV�� TXDQG� RQ� DSSOLTXH� XQ� FRXSOH� 0[� j� OD� SRXWUH�� FKDTXH

JpQpUDWULFH�DX�VHLQ�GH�OD�SRXWUH��LQLWLDOHPHQW�SDUDOOqOH�j�O·D[H� [S��GHYLHQW�XQH

FRXUEH� KpOLFRwGH�� VDXI� XQH� VHXOH� TXL� GHPHXUH� UHFWLOLJQH�� /D� WUDFH� GH� FHWWH

GURLWH�GDQV�OH�SODQ�GH�OD�VHFWLRQ�GpILQLW�OH�FHQWUH�GH�WRUVLRQ�

'·DSUqV�OH�WKpRUqPH�GH�UpFLSURFLWp��XQ�HIIRUW�WUDQFKDQW�DSSOLTXp�DX�SRLQW�&

QH�SURGXLW�DXFXQH�URWDWLRQ�GHV�VHFWLRQV�GURLWHV�DXWRXU�GH� [S��&·HVW�SRXUTXRL

OH�SRLQW�&�HVW�SDUIRLV�DSSHOp�FHQWUH�GH�FLVDLOOHPHQW��RX�PrPH�FHQWUH�GH�IOH[LRQ�

&LWRQV�0DQGHO� >��@���©�SRXU�TXH� O·RQ�DLW� IOH[LRQ�VDQV� WRUVLRQ�� LO� IDXW�HW� LO� VXIILW

TXH�OD�OLJQH�G·DFWLRQ�GH�OD�IRUFH�SDVVH�SDU�XQ�SRLQW�DSSHOp�FHQWUH�GH�WRUVLRQ�GH

OD�VHFWLRQ�GURLWH�ª�

/H�OLHX�JpRPpWULTXH�GHV�FHQWUHV�GH�WRUVLRQ�&�GH�WRXWHV�OHV�VHFWLRQV�GURLWHV

HVW�XQ�D[H��GH�YHFWHXU�GLUHFWHXU�[S��DSSHOp�D[H�pODVWLTXH�

3RXU� XQH� VHFWLRQ� KRPRJqQH�� OD� SRVLWLRQ� GX� FHQWUH� GH� WRUVLRQ� HVW� XQH

FDUDFWpULVWLTXH� JpRPpWULTXH� GH� OD� VHFWLRQ� �FRQWUDLUHPHQW� DX[� VHFWLRQV

FRPSRVLWHV�� SRXU� OHVTXHOOHV� OD� SRVLWLRQ� GH� &� GpSHQG� GH� OD� JpRPpWULH� HW� GHV

FRQVWDQWHV�PDWpULHOOHV�GH�FKDTXH�FRXFKH��

Page 17: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

5HPDUTXHV��

x� VL� OD� SRXWUH� HVW� FRQVWLWXpH� SDU� SOXVLHXUV� SDURLV�PLQFHV� GRQW� O·LQWHUVHFWLRQ

IRUPH�XQ�VHXO�D[H��FH�GHUQLHU�FRwQFLGH�TXDVLPHQW�DYHF�O·D[H�pODVWLTXH�>�@�

x� VL� OD�VHFWLRQ�GURLWH�SRVVqGH�XQ�D[H�GH�V\PpWULH�� OH�SRLQW�&�HVW�VLWXp�VXU�FHW

D[H�� ,O� HQ� HVW� pYLGHPPHQW� GH� PrPH� SRXU� OH� SRLQW� *�� 3DU� FRQVpTXHQW�� VL� OD

VHFWLRQ�GURLWH�SRVVqGH�DX�PRLQV�GHX[�D[HV�GH�V\PpWULH��OHV�SRLQWV�&�HW�*�VRQW

FRQIRQGXV�HW�VLWXpV�j�O·LQWHUVHFWLRQ�GH�FHV�D[HV�

)LJXUH�������'pWHUPLQDWLRQ�H[SpULPHQWDOH�GX�FHQWUH�GH�WRUVLRQ

'H�PDQLqUH�SUDWLTXH��RQ�SHXW�SURFpGHU�j�XQH�GpWHUPLQDWLRQ�HPSLULTXH�GH

OD�SRVLWLRQ�GX�FHQWUH�GH�WRUVLRQ�j�SDUWLU�GH�VROOLFLWDWLRQV�WHUPLQDOHV�WUDQVYHUVHV

VXFFHVVLYHV�� FRPPH� FHOD� HVW� LOOXVWUp� VFKpPDWLTXHPHQW� )LJXUH� ���� SRXU� XQH

SRXWUH�FRQVROH�GH�VHFWLRQ�UHFWDQJXODLUH�SOHLQH�

K

E

*

&

2

x

x

x

2*K

E �K

2&�K

E �K

6HFWLRQ GURLWH HQ 8

)LJXUH�������3RVLWLRQV�GH�*�HW�&�SRXU�XQH�VHFWLRQ�HQ�8

Page 18: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������&LQpPDWLTXH�JpQpUDOH

��

'DQV�OH�FDV�GH�VHFWLRQV�GURLWHV�GH�IRUPH�UHODWLYHPHQW�VLPSOH��LO�H[LVWH�GHV

IRUPXOHV�TXL�GRQQHQW�OD�SRVLWLRQ�GH�*��HW�VXUWRXW�FHOOH�GH�&�>����@��8Q�H[HPSOH

HVW� GRQQp� )LJXUH� ���� SRXU� OH� FDV� G·XQH� VHFWLRQ� HQ� 8� GH� IDLEOH� pSDLVVHXU�

7RXWHIRLV�� OH� FDOFXO� DQDO\WLTXH� GHV� FRRUGRQQpHV� GH�&� SRXU� GHV� IRUPHV�PRLQV

DFDGpPLTXHV� GH� OD� VHFWLRQ� GURLWH� HVW� HQ� JpQpUDO� XQ� SUREOqPH� GLIILFLOH�� GRQW

O·pWXGH�D�GRQQp�OLHX�j�GH�QRPEUHXVHV�SXEOLFDWLRQV�>�����@��2Q�SHXW�DORUV�DYRLU

UHFRXUV�j�GHV�PpWKRGHV�QXPpULTXHV�EDVpHV�VXU� OD�GLVFUpWLVDWLRQ�GH� OD�VHFWLRQ

GURLWH��RX�ELHQ�VXU�OD�WHFKQLTXH�GHV�pTXDWLRQV�LQWpJUDOHV�GH�IURQWLqUH�>�����@�

$[HV�SULQFLSDX[�G·LQHUWLH

1RWRQV� &� � OH� FHQWUH� GH� WRUVLRQ� GH� 6� � HW� &� � OH� FHQWUH� GH� WRUVLRQ� GH� 6� �

GRQW� OHV� SRVLWLRQV� VRQW� VXSSRVpHV� FRQQXHV�� &RQVLGpURQV� XQ� UpIpUHQWLHO

RUWKRQRUPp� GLUHFW� �&� �[ \ ]S S S� � �� G·RULJLQH� &� �� WHO� TXH��� [S � RULHQWH� O·D[H

pODVWLTXH�� \S �HW� ]S �VRQW�OHV�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV�G·LQHUWLH�GpILQLHV�FRPPH�VXLW�

y

���&

���*

y

y

����&�

����*�

y

y

����&�

����*�

y

[O

\S

[S

]S

D[H QHXWUH

D[H pODVWLTXH

6� 6�6

)LJXUH�������'HVFULSWLRQ�JpRPpWULTXH�GH�OD�SRXWUH

'pVLJQRQV�SDU�3�XQ�SRLQW�FRXUDQW�GRQW�OHV�FRRUGRQQpHV�VRQW��[ \ ]� � ��GDQV

OH�UpIpUHQWLHO�DLQVL�GpILQL��HW�SDU�� \ ]* *� ��OHV�FRRUGRQQpHV�WUDQVYHUVHV�GH�*�SDU

UDSSRUW�j�&�VXU�FKDTXH�VHFWLRQ�GURLWH�

/·pTXDWLRQ�������SHXW�DORUV�V·pFULUH��

� �\ \*� ³³ G66

� �����

� �] ]*� ³³ G66

� �����

Page 19: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

'H�SOXV��OHV�GLUHFWLRQV� \S �HW� ]S �pWDQW�SULQFLSDOHV�G·LQHUWLH��RQ�D�SDU�GpILQLWLRQ��

� � � �\ \ ] ]* *� � ³³ G66

� �����

2Q� GpILQLW� pJDOHPHQW� , ] � HW� ,\ �� PRPHQWV� TXDGUDWLTXHV� G·LQHUWLH� GH� 6

UHVSHFWLYHPHQW�DXWRXU�GH��*� ]S ��HW��*� \S ���

, \ \] * �³³ � ��G66

�����

, ] ]\ * �³³ � ��G66

�����

1RWRQV�$� O·DLUH� �FRQVWDQWH�� GH� FKDTXH� VHFWLRQ� GURLWH� 6�� /HV� H[SUHVVLRQV

������ HW� ������ SHUPHWWHQW� G·pFULUH� OHV� IRUPXOHV� GH� WUDQVSRUW� �GLWHV� IRUPXOHV� GH

6WHLQHU��GHV�PRPHQWV�HW�SURGXLWV�G·LQHUWLH��

\ , \ $] *� �G6

6³³ � �����

] , ] $\ *� �G6

6³³ � �����

\ ] \ ] $* *G66

³³ ������

/D� FRQILJXUDWLRQ� JpRPpWULTXH� HW� O·RULHQWDWLRQ� GH� OD� SRXWUH� DLQVL� GpILQLHV

VRQW�UHSUpVHQWpHV�)LJXUH������$ILQ�G·pWXGLHU� VRQ�FRPSRUWHPHQW�PpFDQLTXH�� LO

HVW� PDLQWHQDQW� QpFHVVDLUH� G·LQWURGXLUH� GHV� K\SRWKqVHV� FLQpPDWLTXHV� HW� GH

GpILQLU�XQ�SDUDPpWUDJH�DGDSWp�

������ 'HVFULSWLRQ�FLQpPDWLTXH

2Q� VH� SURSRVH� G·pWXGLHU� OH� FRPSRUWHPHQW� G·XQH� SRXWUH� GDQV� OH� FDV� GH

VROOLFLWDWLRQV� FRPELQpHV�� &·HVW� j� GLUH� TXH� O·RQ� VXSSRVH� TXH� FKDTXH� VHFWLRQ

GURLWH� HVW� VRXPLVH� j� XQ� HIIRUW� QRUPDO�1�� XQ� HIIRUW� WUDQFKDQW�7�� XQ�PRPHQW

IOpFKLVVDQW�0��HW�XQ�PRPHQW�GH�WRUVLRQ�0[ �

/·K\SRWKqVH� FLQpPDWLTXH� SULQFLSDOH� SULVH� HQ� FRPSWH� GDQV� FHWWH� pWXGH�

FRQQXH�VRXV�OH�QRP�GH�©�PRGqOH�GH�7LPRVKHQNR�ª�>�����@��FRQVLVWH�j�VXSSRVHU

TXH� FKDTXH� VHFWLRQ� GURLWH� UHVWH� SODQH� DX� FRXUV� GH� OD� GpIRUPDWLRQ

�)LJXUH�������&HWWH�K\SRWKqVH� MXVWLILH�DLQVL� OD�GpPDUFKH�SHUPHWWDQW�GH�SDVVHU

GH� O·pWXGH� G·XQ� PLOLHX� WULGLPHQVLRQQHO� j� FHOOH� G·XQ� PLOLHX� FXUYLOLJQH

XQLGLPHQVLRQQHO� DVVLPLODEOH� j� XQH� OLJQH� PR\HQQH�� HW� GRQW� OD� VHFWLRQ� GURLWH

Page 20: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������&LQpPDWLTXH�JpQpUDOH

��

FRXUDQWH� HVW� FRQVLGpUpH� FRPPH� LQGpIRUPDEOH�� (Q� G·DXWUHV� WHUPHV�� RQ� SHXW

GLUH� TXH� OH� FKDPS� GH� GpSODFHPHQW� j� O·LQWpULHXU� GH� OD� SRXWUH� SUpVHQWH� XQ

PRXYHPHQW�©�ULJLGLILDQW�SDU�VHFWLRQ�ª�

)LJXUH�������,QGpIRUPDELOLWp�GHV�VHFWLRQV�GURLWHV

6RLW� 4 �T T T[ \ ]� � �� OH� YHFWHXU� GH� URWDWLRQ� LQVWDQWDQpH� GH� OD� VHFWLRQ� GURLWH

FRXUDQWH�6��HW�8& �X �Y �Z& & & ��OH�YHFWHXU�GH�GpSODFHPHQW�DX�FHQWUH�GH�WRUVLRQ�&

GH�FHWWH�VHFWLRQ��$LQVL��VRXV�O·K\SRWKqVH�GHV�SHWLWV�GpSODFHPHQWV��RQ�SHXW�GRQF

GpWHUPLQHU�OH�YHFWHXU�GH�GpSODFHPHQW�83 �X Y Z� � ��HQ�WRXW�SRLQW�3�GH�6�SDU��

8 83 & � �4 &3 ������

&HSHQGDQW��HQ�FH�TXL�FRQFHUQH�OD�WRUVLRQ��O·HPSORL�GH�FHWWH�DSSUR[LPDWLRQ

SHXW� rWUH� VXMHW� j� FDXWLRQ��(Q� HIIHW�� TXDQG� OD� SRXWUH� Q·HVW� SDV� VWULFWHPHQW� XQ

VROLGH� GH� UpYROXWLRQ�� DSSDUDLVVHQW� VRXV� O·DFWLRQ� GX� PRPHQW� GH� WRUVLRQ� GHV

GpIRUPDWLRQV� ORQJLWXGLQDOHV�KRUV�GX�SODQ� LQLWLDO�GH�FKDTXH�VHFWLRQ�GURLWH��&H

SKpQRPqQH��DSSHOp�JDXFKLVVHPHQW�ORQJLWXGLQDO��D�pWp�pWXGLp�SDU�GH�QRPEUHX[

DXWHXUV� >�����@�� $LQVL�� DILQ� GH� SUHQGUH� HQ� FRPSWH� FHW� HIIHW�� RQ� HVW� WHQX

G·HQULFKLU�OD�FLQpPDWLTXH�SDU�XQ�GpSODFHPHQW�DGGLWLRQQHO�VXLYDQW�[S �

6HORQ�OH�PRGqOH�GH�WRUVLRQ�GH�9ODVVRY�>��@�� OD�FRUUHFWLRQ�ORQJLWXGLQDOH� XM

DMRXWpH�DX�GpSODFHPHQW�GRQQp�SDU��������HVW�GpILQLH�SDU��

X [ \ ] W \ ][

[ W[M

MwTw

� � � � � � � � � � � � ������

R�� M � HVW� XQH� IRQFWLRQ� VFDODLUH� DSSHOpH� IRQFWLRQ� GH� JDXFKLVVHPHQW�

FDUDFWpULVWLTXH�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH��HW�wTw

[

[�HVW�OH�WDX[�GH�WRUVLRQ�

Page 21: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

)LJXUH�������*DXFKLVVHPHQW�G·XQH�SRXWUH�GH�VHFWLRQ�UHFWDQJXODLUH

/H�YHFWHXU�GH�GpSODFHPHQW�WRWDO�DX�SRLQW�3�SHXW�GRQF�ILQDOHPHQW�V·pFULUH��

8 8 �����X �[3 & S � �4 &3M ������

(Q�SURMHWDQW�FHWWH�H[SUHVVLRQ�VXU�OHV�D[HV��RQ�REWLHQW�OD�IRUPH�FRUULJpH�GX

FKDPS�GH�GpSODFHPHQW�8�HQ�XQ�SRLQW�3�GH�6��

X X ]� \�[

Y Y ]

Z Z \

& \ ][

& [

& [

� � �

­

®

°°°

¯

°°°

½

¾

°°°

¿

°°°

T T MwTw

T

T

������

'H� SOXV�� RQ� VRXKDLWH� pWDEOLU� XQH� IRUPXODWLRQ� FRQWLQXH� GH� SRXWUH� GDQV

ODTXHOOH�OHV�HIIHWV�VRQW�GpFRXSOpV�HQ�VWDWLTXH��&HOD�VLJQLILH�TXH�O·RQ�GRLW�GpILQLU

OHV�HIIRUWV�HW�GpSODFHPHQWV�GH�WHOOH�PDQLqUH�TXH��VHORQ�OD�GpILQLWLRQ�GRQQpH�SDU

/DUR]H�>��@��FKDTXH�VROOLFLWDWLRQ�QH�WUDYDLOOH�TXH�GDQV�OHV�GpSODFHPHQWV�TX·HOOH

SURGXLW��$XWUHPHQW�GLW��FKDTXH�W\SH�G·HIIRUW�QH�GRLW�SURGXLUH�GH�GpSODFHPHQW

TXH�GDQV�VD�GLUHFWLRQ��2U��FRPPH�OHV�SRLQWV�&�HW�*�VRQW�D�SULRUL�GLVWLQFWV��LO�\�D

XQ� FRXSODJH� HQWUH� OHV� HIIHWV� GH� WUDFWLRQ�� IOH[LRQ�� HW� WRUVLRQ� VL� OHV� YDULDEOHV

FLQpPDWLTXHV�GH�WUDQVODWLRQ��LFL�X �Y �Z& & & ��VRQW�GpILQLHV�WRXWHV�DX�PrPH�SRLQW�

7RXWHIRLV��RQ�D�YX�SUpFpGHPPHQW�TXH��SDU�GpILQLWLRQ�GX�FHQWUH�GH�JUDYLWp

HW� GX� FHQWUH� GH� WRUVLRQ�� OHV� HIIHWV� GH� WUDFWLRQ� HW� IOH[LRQ� �GXH� j� 0�� VRQW

GpFRXSOpV�DX�SRLQW�*��HW�FHX[�GH�IOH[LRQ��GXH�j�7��HW�WRUVLRQ�VRQW�GpFRXSOpV�DX

SRLQW�&��$LQVL�� OHV�HIIHWV�SHXYHQW�rWUH�VLPXOWDQpPHQW�GpFRXSOpV�HQ�VWDWLTXH�VL

RQ�SUHQG�OH�VRLQ�GH�GpFULUH�OHV�GpSODFHPHQWV�DVVRFLpV�j�OD�WUDFWLRQ�DX�SRLQW�*

HW�OHV�DXWUHV�GpSODFHPHQWV�DX�SRLQW�&�

Page 22: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������&LQpPDWLTXH�JpQpUDOH

��

(Q� SDUWLFXOLHU�� OD� UHODWLRQ� ������� SHXW� rWUH� pFULWH� SRXU� OH� SRLQW� *� GH� OD

VHFWLRQ�FRXUDQWH��HW�RQ�D��

X X ] � \ �[

Y Y ]

Z Z \

* & * \ * ][

* & * [

* & * [

� � �

­

®

°°°

¯

°°°

½

¾

°°°

¿

°°°

T T MwTw

T

T

������

(Q�FRPELQDQW��������HW���������RQ�SHXW�ILQDOHPHQW�pFULUH�OD�IRUPH�GpILQLWLYH

GX�FKDPS�GH�GpSODFHPHQW�VXU�OD�VHFWLRQ�GURLWH��

X X ] ] � \� \[

Y Y ]

Z Z \

* * \ * ][

& [

& [

� � � � �

­

®

°°°

¯

°°°

½

¾

°°°

¿

°°°

� � � �T T MwTw

T

T

������

/H� YHFWHXU� GH� GpSODFHPHQW� SHXW� DLQVL� rWUH� FRQVLGpUp� FRPPH� OD

VXSHUSRVLWLRQ�G·HIIHWV�IDLVDQW�LQWHUYHQLU�OHV�YDULDEOHV�FLQpPDWLTXHV�VXLYDQWHV��

x� WUDFWLRQ�FRPSUHVVLRQ�VXLYDQW�[S ��YDULDEOH���X* �

x� IOH[LRQ�DXWRXU�GH� ]S ��YDULDEOHV��� Y& �HW�T] �

x� IOH[LRQ�DXWRXU�GH� \S ��YDULDEOHV���Z& �HW�T\ �

x� WRUVLRQ�DXWRXU�GH�[S ��YDULDEOH���T[ �

x� JDXFKLVVHPHQW�VXLYDQW�[S �G��j�OD�WRUVLRQ��YDULDEOH���wTw

[

[��

3URSULpWpV�GX�JDXFKLVVHPHQW

/·pWXGH�PDWKpPDWLTXH�GX�WUqV�FODVVLTXH�SUREOqPH�GH�OD�WRUVLRQ�GHV�SRXWUHV

GURLWHV� XQLIRUPHV� DYHF� SULVH� HQ� FRPSWH� GX� JDXFKLVVHPHQW� ORQJLWXGLQDO� SDU

XQH�IRQFWLRQ� M� � �\ ] �D�pWp�SURSRVpH�SDU�6DLQW�9HQDQW�GDQV� OH�FDV�GH� OD�WRUVLRQ

XQLIRUPH��wTw

[

[�FRQVWDQW�OH�ORQJ�GH�OD�SRXWUH���SXLV�UHSULVH�HW�FRPSOpWpH�SDU�GH

QRPEUHX[�DXWHXUV�>��������@��7RXV�V·DFFRUGHQW�j�GLUH�TXH��SRXU�TXH�OH�FKDPS

GH�FLVDLOOHPHQW� LQGXLW�SDU� OD� WRUVLRQ�YpULILH� OHV�FRQGLWLRQV�G·pTXLOLEUH� ORFDO�� OD

Page 23: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

IRQFWLRQ� M �GRLW�rWUH�KDUPRQLTXH�HQ� WRXW�SRLQW�GX�GRPDLQH�3� �HW�GRQF�GH�6��

F·HVW�j�GLUH��j�ODSODFLHQ��QRWp�'M ��QXO��

'M � w M

w

w M

w

��

\ ]GDQV�6 ������

1RWRQV� * �OH�FRQWRXU�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH��HW� Q �OD�QRUPDOH�H[WpULHXUH��GRQW

OHV�FRVLQXV�GLUHFWHXUV�VRQW�QRWpV� Q\�HW� Q]

���2Q�PRQWUH�>��@�TXH�O·K\SRWKqVH�GH

QRQ�FKDUJHPHQW�GH�OD�VXUIDFH�ODWpUDOH�GH�OD�SRXWUH��HW�GRQF�GH� * ��HVW�VDWLVIDLWH

SDU�M �j�FRQGLWLRQ�TXH�O·RQ�DLW�SRXU�WRXW�SRLQW�GH�* ��

wMw

wMw\

Q]Q ]Q \ Q

\ ] \ ]� � VXU�* ������

/HV� FRQGLWLRQV� ������� HW� ������� IRUPHQW� SRXU� M� � �\ ] � XQ� SUREOqPH� GH

1HXPDQQ�� SHUPHWWDQW� WKpRULTXHPHQW� GH� GpWHUPLQHU� M � j� XQH� FRQVWDQWH

DGGLWLYH�SUqV�

/D�IRQFWLRQ�GH�JDXFKLVVHPHQW�HVW�FRPSOqWHPHQW�GpWHUPLQpH�VL�RQ�SRVH�OHV

UHODWLRQV�VXSSOpPHQWDLUHV�VXLYDQWHV��

M�G66

³³ � ������

\M�G66

³³ � ������

]M�G66

³³ � ������

R�� ������� HVW� OD� FRQGLWLRQ� G·XQLFLWp� GH� M �� ������� HW� ������� pWDQW� GHV� SURSULpWpV

GXHV�j�OD�GpILQLWLRQ�GX�FHQWUH�GH�WRUVLRQ�>��@�

������ 'pIRUPDWLRQV�HW�FRQWUDLQWHV

&RQIRUPpPHQW� j� O·K\SRWKqVH� GHV� SHWLWHV� GpIRUPDWLRQV�� OH� WHQVHXU� GHV

GpIRUPDWLRQV� H �V·H[SULPH�GH�IDoRQ�OLQpDLUH�HQ�IRQFWLRQ�GX�JUDGLHQW� �QRWp� � �

GX�FKDPS�GH�GpSODFHPHQW�8�SDU��

H � ���

�� �8 87 ������

Page 24: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������&LQpPDWLTXH�JpQpUDOH

��

/HV� FRPSRVDQWHV� QRQ� QXOOHV� GX� WHQVHXU� GHV� GpIRUPDWLRQV�� FDOFXOpHV� j

SDUWLU�GH�O·H[SUHVVLRQ���������VRQW�DORUV��

Hww

wT

wwTw

Mw T

w[[*

*\

*] [X

[] ]

[\ \

[\ ]

[ � � � � �� � � � � � �

� ������

�Hww

TwMw

wTw[\

&]

[Y

[ \]

[ � � �� � ������

�Hww

TwMw

wTw[]

&\

[Z

[ ]\

[ � � �� � ������

/H�PDWpULDX�FRQVWLWXWLI�GH�OD�SRXWUH�pWDQW�VXSSRVp�KRPRJqQH�� LVRWURSH��HW

pODVWLTXH� OLQpDLUH�� RQ� SHXW� pFULUH� OD� ORL� GH� +RRNH� HQWUH� OH� WHQVHXU� H � GHV

GpIRUPDWLRQV�HW�OH�WHQVHXU�V �GHV�FRQWUDLQWHV�GH�&DXFK\��

H V VQ Q

��

�( (

WUDFH ,� � ������

R�� (� HVW� OH� PRGXOH� G·pODVWLFLWp� �RX� PRGXOH� GH� <RXQJ��� Q� OH� FRHIILFLHQW� GH

3RLVVRQ��HW� , �OD�PDWULFH�LGHQWLWp�� , 5���� ��

2Q�SHXW�GRQF�pFULUH� OHV�FRPSRVDQWHV�GH� H �HQ�IRQFWLRQ�GH�FHOOHV�GH� V ��HW

HQ�SDUWLFXOLHU��

H VQ

V V[[ [[ \\ ]]( ( � ��

� � ������

2U��OH�IDLW�TXH�OD�VXUIDFH�ODWpUDOH�GH�OD�SRXWUH�VRLW�OLEUH�V·pFULW�VXU�OH�FRQWRXU�* ��

V V V V\\ \ \] ] \] \ ]] ]Q Q Q Q� � � ����HW��� ������

'RQF�� SRXU� GHV� GLUHFWLRQV� GH� OD� QRUPDOH� FROLQpDLUHV� j� \S � RX� ]S �� RQ� D

pYLGHPPHQW�VXU�* ��

V V V\\ \] ]] � ������

3XLVTXH� OHV� GLPHQVLRQV� GH� OD� VHFWLRQ� VRQW� D� SULRUL� IDLEOHV� GHYDQW� OD

ORQJXHXU�� RQ� QH� SHXW� V·DWWHQGUH� j� O·DSSDULWLRQ� GH� YDOHXUV� LPSRUWDQWHV� GH� FHV

FRPSRVDQWHV�j�O·LQWpULHXU�GH�OD�SRXWUH�>��@��2Q�SHXW�GRQF�HQ�WRXW�pWDW�GH�FDXVH

QpJOLJHU�FHV�FRPSRVDQWHV�GH� V �SDU�UDSSRUW�DX[�DXWUHV��FHFL�FRQGXLVDQW�j�XQ

SUREOqPH�GLW�©�DQWL�SODQ�ª��HW�pFULUH��

V H[[ [[( ������

Page 25: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

'·DXWUH�SDUW��HQ�FH�TXL�FRQFHUQH�OHV�FRQWUDLQWHV�GH�FLVDLOOHPHQW��RQ�D��

V H[\ [\* � ������

V H[] []* � ������

R��*� HVW� OH�PRGXOH� GH� FLVDLOOHPHQW� �RX�PRGXOH� GH� &RXORPE��� OLp� DX[� DXWUHV

FRHIILFLHQWV�SDU�OD�UHODWLRQ�FODVVLTXH��

*(

�� �� �Q

������

������ 'pILQLWLRQ�HW�SURSULpWpV�GHV�HIIRUWV

2Q� VXSSRVH� GRUpQDYDQW� TXH� OD� SRXWUH� HVW� VROOLFLWpH� VXU� VHV� EDVHV� SDU� GHV

FRXSOHV� �PRPHQWV�GH� WRUVLRQ�HW�PRPHQWV� IOpFKLVVDQWV�� HW�GHV� HIIRUWV� WHOV� TXH

O·HIIRUW�QRUPDO�HVW�DSSOLTXp�HQ�*� �HW�*� �HW�O·HIIRUW�WUDQFKDQW�HQ�&� �HW�&� �

(Q� LQMHFWDQW� OHV� H[SUHVVLRQV� ������� HW� ������� GDQV� OHV� UHODWLRQV� G·pODVWLFLWp

�������HW���������RQ�YpULILH�TXH�OH�FKDPS�GHV�FRQWUDLQWHV�GH�FLVDLOOHPHQW��QRWp� W �UpVXOWH�GH� OD� VXSHUSRVLWLRQ�GH�FRQWUDLQWHV�GXHV�j� OD� IOH[LRQ�HW� j� OD� WRUVLRQ�� HW

SHXW�GH�FH�IDLW�rWUH�GpFRPSRVp�GH�OD�PDQLqUH�VXLYDQWH��

W W W �) 7 ������

OHV� H[SRVDQWV� ) � HW� 7 � IDLVDQW� UHVSHFWLYHPHQW� UpIpUHQFH� j� OD� IOH[LRQ� HW� j� OD

WRUVLRQ�

2Q�D�HIIHFWLYHPHQW��

WV J

V J)

)

)

­®°

°̄

½¾°

¿°[\ [\

[] []

*

*������

WV

V

wM

w

wT

w

wM

w

wT

w

7

7

7

­®°

°̄

½¾°

¿°

[\ \ [

[] ] [

* ]

* \

[

[

� �

� �������

R�� J [\ �HW� J [] VRQW�OHV�GpIRUPDWLRQV�j�O·HIIRUW�WUDQFKDQW��GpILQLHV�SDU��

Jww

T

Jww

T

[\&

]

[]&

\

Y

[Z

[

�������

Page 26: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������&LQpPDWLTXH�JpQpUDOH

��

/HV� UHODWLRQV� OLDQW� OH� FKDPS� GH� FRQWUDLQWHV� LQGXLW� GDQV� OD� SRXWUH� HW� OHV

HIIRUWV�DSSOLTXpHV�j�OD�VHFWLRQ�GURLWH�6�VRQW�OHV�VXLYDQWHV��

x� HIIRUW�QRUPDO��

1 [[ ³³ V G66

������

x� HIIRUW�WUDQFKDQW��

7 ³³ WG66

������

6RLW��HQ�QRWDQW�7\ �HW�7] �OHV�SURMHFWLRQV�UHVSHFWLYHV�GH�7�VXU� \S �HW� ]S ��

7\ [\ ³³ V G66

������

7] [] ³³ V G66

������

x� PRPHQWV�IOpFKLVVDQWV�DX�SRLQW�*��UHVSHFWLYHPHQW�DXWRXU�GH� \S �HW� ]S ��

0 ] ]\ * [[ �³³ � �V G66

������

0 \ \] * [[ � �³³ � �V G66

������

x� PRPHQW�GH�WRUVLRQ�DX�SRLQW�&��

0[ �³³ &3 G66

W ������

RX�HQFRUH��

0 \ ][ [] [\ �³³ � �V V G66

������

������ 5HODWLRQV�HIIRUWV���GpIRUPDWLRQV

(IIRUW�QRUPDO

/D� GpILQLWLRQ� ������� GH�1� HW� O·H[SUHVVLRQ� GH� OD� FRQWUDLQWH� QRUPDOH� ������

FRPELQpH�DYHF�FHOOH�GH�OD�GpIRUPDWLRQ�DVVRFLpH��������SHUPHWWHQW�G·pFULUH��

1 (X

[] ]

[\ \

[\ ]

[

**

\*

] [ � � � � �³³ � � � � � � � � �ww

wT

wwTw

Mw T

w

�G6

6������

Page 27: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

7RXWHIRLV�� HQ� LQWURGXLVDQW� OHV� UHODWLRQV� EDU\FHQWULTXHV� ������ HW� ������ DLQVL

TXH�OD�SURSULpWp�G·XQLFLWp�GH�M ���������FHWWH�H[SUHVVLRQ�VH�VLPSOLILH�HQ��

1 ($X

[*

ww ������

0RPHQWV�IOpFKLVVDQWV

'H� IDoRQ� DQDORJXH� DX� FDOFXO� GH� O·HIIRUW� QRUPDO�� RQ� H[SULPH� OHV�PRPHQWV

IOpFKLVVDQWV�j�O·DLGH�GHV�GpILQLWLRQV��������HW��������G·XQH�SDUW��HW�GHV�SURSULpWpV

������j�������GX�UpIpUHQWLHO�SULQFLSDO�G·LQHUWLH��/HV�SURSULpWpV��������j��������GH�OD

IRQFWLRQ�GH�JDXFKLVVHPHQW�SHUPHWWHQW�G·pOLPLQHU� OHV� WHUPHV�GH� WRUVLRQ��7RXV

FDOFXOV�IDLWV��RQ�REWLHQW��

0 (,[\ \\

wT

w ������

0 (,[] ]]

wTw ������

0RPHQW�GH�WRUVLRQ

2Q� VXSSRVH� TXH� OHV� HIIRUWV� WUDQFKDQWV� H[WpULHXUV� VRQW� DSSOLTXpV� VXU� OD

SRXWUH�DX�QLYHDX�GH�&� �HW�&� ��/D�GpILQLWLRQ�GX�FHQWUH�GH�WRUVLRQ�SHUPHW�DORUV

GH� FRQFOXUH� TXH� OH� FKDPS� GH� FRQWUDLQWHV� UpVXOWDQW� GH� FHV� HIIRUWV� QH� SURGXLW

DXFXQ� FRXSOH� HQ� &� VXU� OD� VHFWLRQ� GURLWH� FRXUDQWH� �RQ� SHXW� HQ� WURXYHU� XQH

GpPRQVWUDWLRQ�GDQV�>��@���(Q�G·DXWUHV�WHUPHV��RQ�SHXW�pFULUH��

&3 G6)

6� ³³ W � ������

(Q� FRPELQDQW� FHWWH� SURSULpWp� DYHF� OD� GpILQLWLRQ� �������� OH� PRPHQW� GH

WRUVLRQ�V·H[SULPH�GRQF�SDU��

0[ �³³ &3 G67

6W ������

RX�HQFRUH��

0 \ ][ [] [\ �³³ � �V V7 7

6G6 ������

,QVLVWRQV�VXU� OH� IDLW�TXH�FHWWH�H[SUHVVLRQ�Q·HVW�YUDLH�TX·j� OD�FRQGLWLRQ�TXH

OHV�HIIRUWV�WUDQFKDQW�H[WpULHXUV�VRLHQW�DSSOLTXpV�HQ�&�

Page 28: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������&LQpPDWLTXH�JpQpUDOH

��

(Q� LQMHFWDQW� OHV� UHODWLRQV� ������� GDQV� �������� SXLV� HQ� GpYHORSSDQW

O·H[SUHVVLRQ� REWHQXH�� RQ� PRQWUH� TXH� OH� PRPHQW� GH� WRUVLRQ� 0[ � HVW

SURSRUWLRQQHO�DX�WDX[�GH�URWDWLRQ��

0 *-[[[

wTw ������

R��-�HVW�OD�FRQVWDQWH�GH�WRUVLRQ�GH�6DLQW�9HQDQW��GRQW�O·H[SUHVVLRQ�HVW��

- \ ] \]

]\

� � �³³ � �� �wMw

wMw

G66

������

'H� SOXV�� RQ� PRQWUH� �YRLU� $QQH[H� $�� TXH� OD� FRQVWDQWH� -� SHXW� pJDOHPHQW

V·pFULUH��

- ,& � �M³³ � ��G66

������

R�� ,& �HVW�OH�PRPHQW�SRODLUH�HQ�&��OLp�DX[�PRPHQWV�TXDGUDWLTXHV�G·LQHUWLH� ,\

HW� , ] �HW�j�O·DLUH�$�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH�SDU��

, , , \ ] $& \ ] * * � � �� �� �

������

/H�GHUQLHU� WHUPH�GH� ������� pWDQW�PDQLIHVWHPHQW� GH� VLJQH� SRVLWLI�� RQ� SHXW

FRQFOXUH� TXH�� TXHOOH� TXH� VRLW� OD� IRUPH� GH� OD� VHFWLRQ� GURLWH�� -� HVW� WRXMRXUV

LQIpULHXU�j� ,& �

(IIRUWV�WUDQFKDQWV

2Q� VDLW�TXH� OD�GLVWULEXWLRQ�GH� FRQWUDLQWHV�GXH�j�XQ� FRXSOH�GH� WRUVLRQ�HVW

WHOOH� TXH� VD� UpVXOWDQWH� VXU� OD� VHFWLRQ� HVW� QXOOH�� 3DU� FRQVpTXHQW�� RQ� SHXW

pQRQFHU��

W76

G6³³ � ������

&HFL� SHXW� rWUH� YpULILp� j� SDUWLU� GH� OD� GpILQLWLRQ� ������� GHV� FRQWUDLQWHV� GH

FLVDLOOHPHQW� LVVXHV� GH� OD� WRUVLRQ�� HW� GHV� SURSULpWpV� GH� OD� IRQFWLRQ� GH

JDXFKLVVHPHQW�FRPPH�O·D�PRQWUp�/RYH�>��@�

$LQVL��RQ�SHXW�pFULUH��

7 ³³ W)6

G6 ������

Page 29: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

HW�SOXV�SDUWLFXOLqUHPHQW��HQ�SURMHWDQW�VXU�\S��

7\ [\ ³³ V)

6G6 ������

2U�� OD�GpILQLWLRQ� ������� GH� OD� FRQWUDLQWH� GH� FLVDLOOHPHQW� V[\

) � j� SDUWLU� GH� OD

GpIRUPDWLRQ� j� O·HIIRUW� WUDQFKDQW� J[\

[� � � ODLVVH� SHQVHU� TXH� FHOOH�FL� VHUDLW

FRQVWDQWH� VXU� WRXWH� XQH� VHFWLRQ� GURLWH�� &H� QH� SHXW� rWUH� OH� FDV�� FDU� FHOD

FRQWUHGLUDLW�O·K\SRWKqVH�GH�QRQ�FKDUJHPHQW�GH�OD�VXUIDFH�ODWpUDOH�GH�OD�SRXWUH�

$ILQ�GH�WHQLU�FRPSWH�GH�OD�UpSDUWLWLRQ�UpHOOH�QRQ�FRQVWDQWH�GH� V[\

) ��RQ�LQWURGXLW

XQ�IDFWHXU�GH�FRUUHFWLRQ� N\��FRPPXQpPHQW�DSSHOp�FRHIILFLHQW�GH�FLVDLOOHPHQW�

WHO�TXH��

7 N *\ \ [\ ³³ J G6

6������

,O� H[LVWH� SOXVLHXUV� IDoRQV� GREWHQLU� OH� FRHIILFLHQW� GH� FLVDLOOHPHQW� N\�

7LPRVKHQNR�>���@�D�SUpVHQWp��GDQV�OH�FDV�G·XQH�SRXWUH�GH�VHFWLRQ�UHFWDQJXODLUH�

XQ� FDOFXO�EDVp� VXU� OK\SRWKqVH�GXQH� UpSDUWLWLRQ�SDUDEROLTXH�GH� OD� FRQWUDLQWH

GH�FLVDLOOHPHQW�WUDQVYHUVH�V[\

) ��4XDQW�j�5HLVVQHU��LO�D�GpGXLW�OD�YDOHXU�GH�N\�HQ

pFULYDQW� O·pTXLYDOHQFH�HQWUH� O·pQHUJLH�GH�GpIRUPDWLRQ�GX�PRGqOH�FXUYLOLJQH�HW

FHOOH� GXH� j� OD� GLVWULEXWLRQ� H[DFWH� GH� V[\

) �� 'DQV� OH� FDV� G·XQH� VHFWLRQ

UHFWDQJXODLUH�� FHOD� FRQGXLW� j� OD� IDPHXVH� YDOHXU� N\ �

�� >��@�� /D� PpWKRGH

XOWpULHXUHPHQW�PLVH�HQ�RHXYUH�SDU�&RZSHU�>��@�FRQVLVWH�j�FDOFXOHU� N\�j�SDUWLU

GX� SUREOqPH� GpODVWLFLWp� WULGLPHQVLRQQHOOH� GH� OD� SRXWUH� FRQVROH�� (OOH� VDYqUH

rWUH� SOXV� SUpFLVH� FDU� HOOH� SUHQG� VLPXOWDQpPHQW� HQ� FRPSWH� OH[SUHVVLRQ

DQDO\WLTXH� H[DFWH� GH� V[\

) � HW� FHOOH� GH� V[]

) �� 'DQV� GDXWUHV� WUDYDX[�� FHUWDLQV

DXWHXUV� >�����@� IRQW� LQWHUYHQLU� OD� YDULDWLRQ� GX� FRHIILFLHQW� N\� HQ� IRQFWLRQ� GHV

IUpTXHQFHV�SURSUHV�GH�OD�SRXWUH�

7RXWHIRLV��VL� O·RQ�YHXW�JDUGHU�GHV�UpVXOWDWV�UHODWLYHPHQW�VLPSOHV�TXHOV�TXH

VRLHQW� OD� IRUPH� GH� OD� VHFWLRQ� GURLWH� HW� OH� W\SH� GH� FRQGLWLRQV� DX[� OLPLWHV�� OD

GpILQLWLRQ� GH� N\� �IDLVDQW� LQWHUYHQLU� OH� FRHIILFLHQW� GH� 3RLVVRQ� Q �� REWHQXH� SDU

&RZSHU�UHVWH�OD�SOXV�VDWLVIDLVDQWH��(OOH�VHUYLUD�GH�UpIpUHQFH�SRXU�OD�VXLWH�GH�FH

PpPRLUH� HW� VHUD� PrPH� FRQVHUYpH� HQ� G\QDPLTXH�� FH� TXL� FRQVWLWXH� XQH

DSSUR[LPDWLRQ�GRQW�OD�YDOLGLWp�D�pWp�pWXGLpH�HQ�GpWDLO�SDU�*D\�>��@�

Page 30: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������5HODWLRQV�G·pTXLOLEUH

��

/HV�YDOHXUV�GX�FRHIILFLHQW�GH�FLVDLOOHPHQW�SRXU�GHV�IRUPHV�FODVVLTXHV�GH�OD

VHFWLRQ�GURLWH�VRQW�GRQQpHV�HQ�$QQH[H�%��&LWRQV�SDU�H[HPSOH��

x�� �

N\ �

�� �

�� ��

Q

Q� SRXU� XQH� VHFWLRQ� UHFWDQJXODLUH� SOHLQH� �UHPDUTXRQV� TXH� VL� RQ

SRVH� Q � ��FHWWH�IRUPXOH�FRQGXLW�DORUV�j�OD�YDOHXU�SURSRVpH�SDU�5HLVVQHU�

x�� �

N\ �

� �

� �

Q

Q�SRXU�XQH�VHFWLRQ�FLUFXODLUH�SOHLQH�

)LQDOHPHQW�� OD� UHODWLRQ� ������� OLDQW� O·HIIRUW� WUDQFKDQW� j� OD� GpIRUPDWLRQ

FRUUHVSRQGDQWH�SUHQG�OD�IRUPH��

7 N *$\ \ [\ J ������

HW��GH�PDQLqUH�DQDORJXH��RQ�D�SRXU�O·DXWUH�GLUHFWLRQ�WUDQVYHUVH��

7 N *$] ] [] J ������

(Q�UpVXPp��OHV�UHODWLRQV�GH�ULJLGLWp����������������������������������������HW�������

PRQWUHQW�FODLUHPHQW�TXH��DYHF� OHV�GpILQLWLRQV�SURSRVpHV��FKDTXH�W\SH�G·HIIRUW

SURGXLW�XQ�GpSODFHPHQW�XQLTXHPHQW�GDQV�VD�SURSUH�GLUHFWLRQ�

/H�PRGqOH� FLQpPDWLTXH� GH� OD� SRXWUH� pWDQW�PDLQWHQDQW� FODLUHPHQW� GpILQL�

RQ�VH�SURSRVH�G·pWXGLHU�VRQ�FRPSRUWHPHQW�VWDWLTXH�HW�G\QDPLTXH�

���� 5HODWLRQV�G·pTXLOLEUH

������ eQHUJLH�GH�GpIRUPDWLRQ

1RWRQV� : � OH� WUDYDLO� YLUWXHO� GHV� HIIRUWV� LQWHUQHV� GDQV� XQ� FKDPS� GH

GpSODFHPHQW�YLUWXHO�GRQW�OHV�YDULDEOHV�FLQpPDWLTXHV� ^ `X Y Z* & & [ \ ] � � � � �T T T �VRQW

GpILQLHV�GH�PDQLqUH�DQDORJXH�j�FHOOHV�GX�FKDPS�UpHO��3DU�GpILQLWLRQ��RQ�D��

:

³³³ V H� G33

������

FH�TXL�pTXLYDXW�GDQV�OH�FDV�SUpVHQW�j��

: [[[ [[ [\ [\ [] []

O � �³³³ � �V H V H V H� �

�G6 G

6������

Page 31: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

(Q�UHPSODoDQW�GDQV�FHWWH�H[SUHVVLRQ�OHV�GpIRUPDWLRQV�YLUWXHOOHV�SDU�OHXUV

YDOHXUV� GpGXLWHV� GHV� GpIRUPDWLRQV� UpHOOHV� GRQQpHV� SDU� ������� j� �������� HW� HQ

VpSDUDQW�YDULDEOHV�GH�IOH[LRQ�HW�GH�WRUVLRQ��RQ�REWLHQW��

:X

[] ]

[\ \

[

\ ][

\ ] [\ ]

[� [

[[*O

* [[\

* [[]

[\ [\ [] [] [] [\[

[\ [][

[[[

§

©¨ � � � �

� � � �

� � �·

¹¸

³³³ Vww

VwT

wV

wTw

V J V J V VwTw

wMw

VwMw

VwTw

M Vw T

w

6

G6 G

� � � �

� �

� � � � �

������

&HWWH�pFULWXUH�PHW�HQ�pYLGHQFH�GDQV�OD�SOXSDUW�GHV�WHUPHV�OD�SUpVHQFH�GHV

HIIRUWV�GpILQLV�SUpFpGHPPHQW��7RXWHIRLV��DWWDFKRQV�QRXV�SOXV�SDUWLFXOLqUHPHQW

j�H[SOLFLWHU�OHV�GHX[�GHUQLHUV�WHUPHV��7RXW�G·DERUG��LO�HVW�FODLU�TXH�O·RQ�D��

� � � � �wMw

VwMw

V M MwV

wwVw

W\ ]

Q\ ][\ [][\ []� � � �³³ ³ ³³G6 G G6

6 6*

*������

R��OH�WHUPH�LQWpJUp�VXU� * �HVW�QXO�FDU�OD�VXUIDFH�ODWpUDOH�HVW�OLEUH��$�SDUWLU�GHV

SURSULpWpV�GH�OD�IRQFWLRQ�GH�JDXFKLVVHPHQW�HW�GHV�FRQWUDLQWHV�GH�FLVDLOOHPHQW�

RQ�PRQWUH�TXH�OH�WHUPH�GH��������LQWpJUp�VXU�6�HVW�pJDOHPHQW�QXO��'RQF��

� �wMw

VwMw

V\ ][\ []� ³³ G6

6� ������

/D�SUpVHQFH�GX�GHUQLHU� WHUPH�GDQV� �������HVW�G��j� OD�SULVH�HQ�FRPSWH�GX

JDXFKLVVHPHQW�SDU�OH�PRGqOH�SURSRVp��,O�SHUPHW�GH�IDLUH�DSSDUDvWUH�XQ�QRXYHO

HIIRUW� V·H[HUoDQW� VXU� OD� VHFWLRQ� GURLWH�� DSSHOp� ELPRPHQW� HW� QRWp� 0M �� GRQW� OD

GpILQLWLRQ�HVW��

0 \ ] [[M M V ³³ � � � G66

������

/HV�UHODWLRQV��������j��������FRPELQpHV�j��������HW��������SHUPHWWHQW�GH�OLHU�OH

ELPRPHQW�DYHF�OD�YDULDEOH�GH�WRUVLRQ��HW�FRQGXLVHQW�j��

0 (,[

[M M

w T

w

�������

R��OD�FRQVWDQWH� ,M ��DSSHOpH�PRPHQW�VHFWRULHO��KRPRJqQH�j�/� ���HVW�GpILQLH�SDU��

,M M ³³ � G66

������

Page 32: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������5HODWLRQV�G·pTXLOLEUH

��

&HV� SUpFLVLRQV� HW� GpILQLWLRQV� SHUPHWWHQW� ILQDOHPHQW� G·pFULUH� OD� IRUPH

GpILQLWLYH�GX�WUDYDLO�YLUWXHO�GHV�HIIRUWV�LQWHUQHV��

: 1X

[7 7 0

[0

[0

[0

[[

*\ [\ ] [] \

\]

][

[ [O

� � � � � �³ � �w

wJ J

wT

w

wT

w

wT

w

w T

wM

��G ������

DYHF��

Jww

T

Jww

T

[\&

]

[]&

\

Y

[

Z

[

������

/·H[SUHVVLRQ� ������� HW� OHV� UHODWLRQV� �������� �������� �������� �������� �������� �������

������� OLDQW� OHV� HIIRUWV� DX[�GpIRUPDWLRQV�SHUPHWWHQW�G·pWDEOLU�TXH� O·pQHUJLH� GH

GpIRUPDWLRQ��QRWpH�:��HVW�XQH�IRUPH�TXDGUDWLTXH�GHV�YDULDEOHV�FLQpPDWLTXHV

GRQW�O·H[SUHVVLRQ�HVW��

: ($X

[N *$

Y

[N *$

Z

[

(,[

(,[

*-[

(,[

[

*\

&] ]

&\

O

\\

]] [ [

� � � �§

©¨

� � � �·

¹¸

³�� � � �

� � �

� � � � � �

� � � � � � � �

ww

ww

Tww

T

wT

wwTw

wTw

w T

wM G������

&HWWH�pFULWXUH�PHW�FODLUHPHQW�HQ�pYLGHQFH� O·DEVHQFH�GH�FRXSODJH�VWDWLTXH

HQWUH�OHV�GLIIpUHQWV�W\SHV�GH�GpIRUPDWLRQV�

������ eQHUJLH�FLQpWLTXH

/·pQHUJLH� FLQpWLTXH�GH� OD�SRXWUH�GDQV� VRQ�PRXYHPHQW� HVW� GpILQLH� j� SDUWLU� GX

FKDPS�GH�GpSODFHPHQW�8�[�\�]�W��SDU��

7 8 ³³³�

�U � G33

������

R��U�HVW�OD�PDVVH�YROXPLTXH�GX�PDWpULDX�HW� �8 �OD�YLWHVVH�GH�GpIRUPDWLRQ�

'DQV�OH�FDV�SUpVHQW��RQ�SHXW�VpSDUHU�O·LQWpJUDWLRQ�VXU�OD�VHFWLRQ�SXLV�VXU�OD

ORQJXHXU��HW�pFULUH��

7 X Y Z [O

� �³³³�� � � �

�U� � � � �G6 G

6������

Page 33: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

(Q� XWLOLVDQW� OD� GpILQLWLRQ� ������� GX� FKDPS� GH� GpSODFHPHQW�� OHV� UHODWLRQV

������j��������HW�OHV�SURSULpWpV�GH�OD�IRQFWLRQ�GH�JDXFKLVVHPHQW��RQ�REWLHQW��

7 $X $Y $Z , , ,

$ \ Z ] Y ,[

[

O

* & & \ \ ] ] & [

* & [ * & [[

� � � � �

� � �

³���

� � � � � �

��

U T T T

T TwTwM

� � � � � � �

� � � � � � ��

� � G

������

/HV�WHUPHV�FURLVpV�©� � �Y& [T �ª�HW�©� � �Z& [T �ª�TXL�LQWHUYLHQQHQW�GDQV�O·pQHUJLH

FLQpWLTXH�PRQWUHQW�FODLUHPHQW�TXH��FRQWUDLUHPHQW�DX�SUREOqPH�VWDWLTXH�SRXU

OHTXHO� OHV� HIIHWV� VRQW� GpFRXSOpV�� LO� H[LVWH� FHSHQGDQW� XQ� FRXSODJH�G\QDPLTXH

HQWUH�OD�IOH[LRQ�HW�OD�WRUVLRQ�>������@��&H�FRXSODJH�HVW�VLPSOHPHQW�G��DX�IDLW�TXH

O·D[H�pODVWLTXH�HW�O·D[H�QHXWUH�QH�VRQW�SDV�FRQIRQGXV�FDU�OD�VHFWLRQ�HVW�D�SULRUL

GH�IRUPH�TXHOFRQTXH��\* z � �HW� ]* z � ���1RWRQV�G·DXWUH�SDUW�TXH�O·RQ�UHWURXYH

GDQV�O·pQHUJLH�FLQpWLTXH�XQ�WHUPH�LVVX�GX�JDXFKLVVHPHQW�

/H�FDOFXO�GH�O·pQHUJLH�FLQpWLTXH�IDLW�LQWHUYHQLU�GHV�FDOFXOV�DQDORJXHV�j�FHOXL

GX�WUDYDLO�YLUWXHO�7 �GHV�IRUFHV�G·LQHUWLH��2Q�D��SDU�GpILQLWLRQ��

7 8 8 � �³³³ U �� G33

������

2Q�REWLHQW��WRXV�FDOFXOV�IDLWV��

7 $X X $Y Y $Z Z , , ,

$\ Z Z $] Y Y ,[ [

[

O

* * & & & & \ \ \ ] ] ] & [ [

* & [ [ & * & [ [ &[ [

� � � � � �

� � � � �

³ U T T T T T T

T T T TwTw

wTwM

�� �� �� �� �� �� ��

� �� �� � ��� �� ���

�G

������

������ eTXDWLRQV�FRPSOqWHV�GX�PRXYHPHQW

/HV�pTXDWLRQV�GX�PRXYHPHQW�OLEUH�GH�OD�SRXWUH�SHXYHQW�rWUH�pWDEOLHV�j� O·DLGH

GX�SULQFLSH�GHV�WUDYDX[�YLUWXHOV�>��@��

: 7 � � ������

FHWWH� pJDOLWp� GHYDQW� rWUH� YpULILpH� SRXU� WRXW� FKDPS� YLUWXHO� FLQpPDWLTXHPHQW

DGPLVVLEOH��L�H��QXO�DX[�HQGURLWV�R��OHV�GpSODFHPHQWV�UpHOV�VRQW�LPSRVpV��

$ILQ� GH� VpSDUHU� OHV� SDUDPqWUHV� FLQpPDWLTXHV� YLUWXHOV� GDQV� O·H[SUHVVLRQ

�������GX�WUDYDLO�YLUWXHO�GHV�HIIRUWV� LQWHUQHV��RQ�SURFqGH�j�XQH� LQWpJUDWLRQ�SDU

SDUWLHV��SDU�UDSSRUW�j�OD�YDULDEOH�[��TXL�SHUPHW�G·DERXWLU�j��

Page 34: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������5HODWLRQV�G·pTXLOLEUH

��

:1

[X

7

[Y

7

[Z

0

[7

0

[7

0

[

0

[[

1X 7 Y 7 Z 0 0 00

[0

[

*

\

&]

&

\

] \]

\ ]

O

[[

* \ & ] & \ \ ] ] [ [[ O

� � � � � � �

§

©¨

� �

·

¹

¸¸

� � � � � � � �

³w

w

w

w

w

w

w

wT

w

wT

w

w

w

w

T

T T

w

wT

wT

w

M

M

M

� � � �

� �

> � � @

G������

R�� O·H[SUHVVLRQ� HQWUH� FURFKHWV� UHSUpVHQWH� OHV� WHUPHV� LQWpJUpV�� SHUPHWWDQW

G·H[SULPHU� OHV� UHODWLRQV� HQWUH� OHV� YDOHXUV� DX[� OLPLWHV� GHV� HIIRUWV� LQWHUQHV� HW

FHOOHV� GHV� HIIRUWV� H[WpULHXUV� DSSOLTXpV� j� OD� SRXWUH�� 1RWRQV

a� � � � � � ��) 1 7 7 0 0 0

0

[0\ ] \ ] [ �^ `

w

w

M

M� O·HQVHPEOH� GHV� HIIRUWV� JpQpUDOLVpV

DSSOLTXpV�j� OD� VHFWLRQ�GURLWH�� a)� � OHV�HIIRUWV�H[WpULHXUV�DSSOLTXpV� VXU6� �� HW�a)�

VXU�6� ��$LQVL��RQ�GRLW�DYRLU�OHV�FRQGLWLRQV�DX[�OLPLWHV�VXLYDQWHV��

a a

� �) )[

�� � ���HW���a a

� �) )[ O

�������

(Q� SURFpGDQW� pJDOHPHQW� j� XQH� LQWpJUDWLRQ� SDU� SDUWLHV� VXU� O·H[SUHVVLRQ

��������RQ�REWLHQW�SRXU�OH�WUDYDLO�YLUWXHO�GHV�IRUFHV�G·LQHUWLHV��

7 $X X $ Y ] Y $ Z \ Z ,

, $\ Z $] Y , ,[

[

O

* * & * [ & & * [ & \ \ \

] ] ] * & * & & [[

[

� � � � � �

� � � � �

³ U T T T T

T T Tw T

wT

M

� �� ��� �� � � �� �� � ��

�� � �� ��

��

��

� �G

������

3DU�DSSOLFDWLRQ�GX�SULQFLSH�GHV� WUDYDX[�YLUWXHOV� �������� OHV� UHODWLRQV� ������

HW��������FRQGXLVHQW�j�OD�IRUPXODWLRQ�GHV�VL[�pTXDWLRQV�G·pTXLOLEUH�ORFDO��

ww

U1

[$X* �� ������

w

wU T

7

[$ Y ]

\& * [ ���� �� � ������

ww

U T7

[$ Z \

]& * [ �� �� �� � ������

w

wU T

0

[7 ,

\

] \ \� �� ������

ww

U T0

[7 ,

]\ ] ]� ��

������

Page 35: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

ww

w

wU T

w T

wU

M

M

0

[

0

[, ,

[$ \ Z ] Y

[& [

[* & * &� � � �

�� ��

��

� � �� �� � ������

/HV� UHODWLRQV� HQWUH� HIIRUWV� HW� GpSODFHPHQWV� pWDEOLHV� SUpFpGHPPHQW

SHUPHWWHQW� DORUV�G·pFULUH� OHV� pTXDWLRQV� FRPSOqWHV�GX�PRXYHPHQW� OLEUH�G·XQH

SRXWUH�XQLIRUPH�GH�VHFWLRQ�TXHOFRQTXH��

( $X

[$X

**

w

wU

� �� ������

N *$Y

[ [$ Y ]\

& ]& * [� � ��� �� �

w

w

wTw

U T�

�� � ������

N *$Z

[ [$ Z \]

& \

& * [� � � �� �� �w

w

wT

wU T

�� � ������

(,[

N *$Z

[,\

\

]&

\ \ \

w T

w

ww

T U T�

�� � � � �� ������

(,[

N *$Y

[,]

]]

&] ] ]

w T

w

ww

T U T�

�� � � � �� ������

*-[

( ,[

, ,[

$ \ Z ] Y[ [

& [[

* & * &

w T

w

w T

wU T

w T

wU

M M

�� � � �� ��

��

� � �� �� � ������

&HV� pTXDWLRQV� GX� PRXYHPHQW� SHXYHQW� rWUH� FRQVLGpUpHV� FRPPH� XQH

JpQpUDOLVDWLRQ� GHV� pTXDWLRQV� GH� 9ODVVRY� >��@� DX� FDV� GHV� SRXWUHV� DYHF

GpIRUPDWLRQ�j� O·HIIRUW� WUDQFKDQW��FH�TXL�YD�SHUPHWWUH�FRPPH�RQ� OH�YHUUD�SOXV

ORLQ�GH�GpFULUH�DYHF�SUpFLVLRQ�OH�PRXYHPHQW�GHV�SRXWUHV�GH�IDLEOH�pODQFHPHQW�

'LVFXVVLRQ�VXU�OH�FDV�VWDWLTXH

/HV� pTXDWLRQV� GX� PRXYHPHQW� DLQVL� GpILQLHV� SHUPHWWHQW� DLVpPHQW� GH

GRQQHU�TXHOTXHV�UpVXOWDWV�XWLOHV�TXDQW�j�O·pWXGH�GX�FDV�VWDWLTXH��3DU�H[HPSOH�

O·pTXDWLRQ� ������� PRQWUH� TXH� OH� GpSODFHPHQW� ORQJLWXGLQDO� X [* � � � HVW

pYLGHPPHQW�XQH�IRQFWLRQ�OLQpDLUH��HW�O·HIIRUW�QRUPDO�HVW�GRQF�FRQVWDQW��

/D� UHODWLRQ� ������� PHW� HQ� pYLGHQFH� XQ� HIIRUW� WUDQFKDQW� FRQVWDQW� GDQV� OD

SRXWUH��HW�GRQF�DYHF� �������XQ�PRPHQW� IOpFKLVVDQW�TXL�YDULH� OLQpDLUHPHQW��(Q

FRPELQDQW��������HW���������RQ�YRLW�DLQVL�TXH� OH�GpSODFHPHQW�WUDQVYHUVH� Y [& � � �

Page 36: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������5HODWLRQV�G·pTXLOLEUH

��

DSSHOp� pJDOHPHQW� GpIRUPpH� GH� O·D[H� pODVWLTXH�� HVW� XQ� SRO\Q{PH� GX� WURLVLqPH

GHJUp�HQ�[��,O�HQ�YD�pYLGHPPHQW�GH�PrPH�SRXU�Z [& � � �

/D�GHUQLqUH� pTXDWLRQ� ������� FRQFHUQH� OD� WRUVLRQ� HW� OH� JDXFKLVVHPHQW��(OOH

V·pFULW�HQ�VWDWLTXH��

G

G

G

G

��

T F T[ [

[ O [� � � ������

DYHF� FM

*- O

( ,

�� SDUDPqWUH� DGLPHQVLRQQHO� GpSHQGDQW� HVVHQWLHOOHPHQW� GH� OD

IRUPH�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH��6RQ�LQWpJUDWLRQ�PRQWUH�TXH� T[ [� � �HVW�OD�VRPPH�GH

IRQFWLRQV� OLQpDLUHV� HW� K\SHUEROLTXHV�� 7RXWHIRLV�� RQ� SHXW� DYRLU� UHFRXUV� j

FHUWDLQHV�VLPSOLILFDWLRQV�VXLYDQW�OHV�YDOHXUV�GH� F ��(Q�HIIHW��RQ�FRQVLGqUH�GHX[

FDV�OLPLWHV��

x� F �HVW�SHWLW���RQ�UHPDUTXH�DORUV�TXH� T[ [� � �HVW�XQH�IRQFWLRQ�SRO\QRPLDOH�GX

WURLVLqPH�GHJUp�HW� OH�ELPRPHQW�HVW� OLQpDLUH��&·HVW� OH� FDV�GHV�SRXWUHV�j�SDURLV

PLQFHV�GRQW�OD�VHFWLRQ�HVW�RXYHUWH��/H�JDXFKLVVHPHQW�\�HVW�DORUV�SUpSRQGpUDQW

GHYDQW�OD�WRUVLRQ�VLPSOH�>���@��6L�OD�SRXWUH�HVW�HQFDVWUpH��OH�ELPRPHQW�DSSOLTXp

SDU� FHW� HQFDVWUHPHQW� FUpH� GHV� FRQWUDLQWHV� D[LDOHV� QRQ� QpJOLJHDEOHV�� &HWWH

FRQILJXUDWLRQ��pWXGLpH�HQ�GpWDLO�SDU�9ODVVRY�>��@��HVW�JpQpUDOHPHQW�FRQQXH�VRXV

OH�QRP�GH�©�WRUVLRQ�JrQpH�ª�

x� F �HVW�JUDQG���F·HVW�OH�FDV�GH�OD�WRUVLRQ�XQLIRUPH�R�� T[ [� � �HVW�GRQF�OLQpDLUH�HW

OH� ELPRPHQW� HVW� QXO�� &HWWH� DSSUR[LPDWLRQ� DSSHOpH� ©�WRUVLRQ� OLEUH� GH� 6DLQW�

9HQDQW�ª�HVW�H[DFWH�SRXU�OHV�SRXWUHV�GH�UpYROXWLRQ��HW�YDODEOH�SRXU�OHV�SRXWUHV

SOHLQHV�RX�j�VHFWLRQ�IHUPpH��/H�JDXFKLVVHPHQW�HVW�DORUV�XQLIRUPH�HW�VHV�HIIHWV

VRQW�SHX�LPSRUWDQWV��5DSSHORQV�TXH��PrPH�VRXV�FHWWH�K\SRWKqVH��RQ�QH�SHXW

QpDQPRLQV�SDV�FRQIRQGUH�OD�FRQVWDQWH�GH�WRUVLRQ�-�DYHF�OH�PRPHQW�SRODLUH� ,& �

Page 37: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

���� 9LEUDWLRQV�GH�IOH[LRQ�GHV�SRXWUHV�V\PpWULTXHV

&RQVLGpURQV�XQH�SRXWUH�XQLIRUPH�V\PpWULTXH�SDU�UDSSRUW�j�XQ�SODQ�SDUDOOqOH�j

VRQ� D[H�� /·LQWHUVHFWLRQ� GH� FH� SODQ� DYHF� WRXWH� VHFWLRQ� GURLWH� IRUPH� XQ� D[H� GH

V\PpWULH�SRXU� FHOOH�FL��2Q�D� YX�SUpFpGHPPHQW�TXH� OH� FHQWUH�GH� JUDYLWp� HW� OH

FHQWUH� GH� WRUVLRQ� VRQW� DORUV� VLWXpV� VXU� FHW� D[H�� $LQVL�� OH� SODQ� GH� V\PpWULH

FRQWLHQW�O·D[H�QHXWUH�HW� O·D[H�pODVWLTXH�HW��GH�SOXV�� O·D[H�GH�V\PpWULH�FRQVWLWXH

pYLGHPPHQW�XQ�D[H�SULQFLSDO�G·LQHUWLH�SRXU�OD�VHFWLRQ�GURLWH�

6XSSRVRQV�SDU�H[HPSOH�TXH�OD�SRXWUH�VRLW�V\PpWULTXH�SDU�UDSSRUW�DX�SODQ

SULQFLSDO��&� �[ \S S� ���/H�FHQWUH�GH�JUDYLWp�*�GH�FKDTXH�VHFWLRQ�GURLWH�HVW�DORUV

VLWXp�VXU��& � \S ��HW�RQ�D��

]* � ������

/H�PRXYHPHQW�GH�IOH[LRQ�GDQV�OH�SODQ�GH�V\PpWULH�VH�WURXYH�DORUV�GpFRXSOp

GH�OD�WRUVLRQ��HW�OD�UHODWLRQ��������SHUPHW�G·pFULUH�GDQV�FH�FDV��

Y Y* & ������

$ILQ�G·DOOpJHU� OD�SUpVHQWDWLRQ�GH�FHWWH�pWXGH��SRVRQV�PRPHQWDQpPHQW� OHV

VLPSOLILFDWLRQV�G·pFULWXUH�VXLYDQWHV��

Y Y 7 7 0 0 , , N N& ] \ ] ] \ � � � � �\ T ������

'·DXWUH�SDUW��RQ�GpILQLW�OD�PDVVH�OLQpLTXH�P�GH�OD�SRXWUH�DLQVL�TXH�OH�UD\RQ

GH�JLUDWLRQ�U�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH�UHVSHFWLYHPHQW�SDU��

P $ U ������

U,

$ �������

/HV� pTXDWLRQV� ������� HW� ������� UpJLVVDQW� OH� PRXYHPHQW� GH� IOH[LRQ� GDQV� OH

SODQ��&� �[ \S S� ��V·pFULYHQW�DORUV��

w

w

w

w

7

[P

Y

W

��������

w

w

w \

w

0

[7 P U

W� �

��������

0 ( ,[

w\

w �������

Page 38: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9LEUDWLRQV�GH�IOH[LRQ�GHV�SRXWUHV�V\PpWULTXHV

��

/D� IRUPXODWLRQ� GH� (XOHU�%HUQRXOOL� HVW� OD� WKpRULH� OD� SOXV� FRXUDPPHQW

XWLOLVpH� SRXU�PRGpOLVHU� OH� FRPSRUWHPHQW� G\QDPLTXH� GHV� SRXWUHV� HQ� IOH[LRQ�

3DU�OD�VXLWH��FHOOH�FL�D�pWp�FRPSOpWpH�SDU�7LPRVKHQNR�SRXU�SUHQGUH�HQ�FRPSWH

FHUWDLQV�SKpQRPqQHV�� WHOV�TXH� OLQHUWLH�URWDWRLUH�HW� OH�FLVDLOOHPHQW� WUDQVYHUVH�

VRXYHQW�FRQVLGpUpV�FRPPH�VHFRQGDLUHV��&HWWH�SULVH�HQ�FRPSWH�VH� WUDGXLW�SDU

GH�SHWLWHV� FRUUHFWLRQV� VXU� OHV� UpVXOWDWV� GH�%HUQRXOOL� GDQV� OH� FDV� GXQH�SRXWUH

pODQFpH��(OOH�SHXW�WRXWHIRLV�DYRLU�XQH�LQIOXHQFH�QRWDEOH�GDQV�OH�FDV�GHV�SRXWUHV

GH� IDLEOH� pODQFHPHQW�� SRXU� OHVTXHOOHV� RQ� SHXW� REVHUYHU� GHV� FRPSRUWHPHQWV

YLEUDWRLUHV�UDGLFDOHPHQW�GLIIpUHQWV�GH�FHX[�SUpYXV�SDU�OD�WKpRULH�VLPSOLILpH�GH

(XOHU�%HUQRXOOL�

������ 0RGqOH�GH�(XOHU�%HUQRXOOL

5DSSHORQV�EULqYHPHQW�TXHOTXHV�UpVXOWDWV�FODVVLTXHV�FRQFHUQDQW� OH�PRGqOH�GH

IOH[LRQ� GH� (XOHU�%HUQRXOOL�� 3RXU� OHV� SRXWUHV� pODQFpHV� � O U� � JUDQG�� OD

GpIRUPDWLRQ� GX� PDWpULDX� GXH� DX� FLVDLOOHPHQW� HVW� JpQpUDOHPHQW� QpJOLJHDEOH

GHYDQW�FHOOH�GXH�j�OD�IOH[LRQ�SXUH�>��@��2Q�SHXW�DORUV�FRQVLGpUHU�TXH�OD�URWDWLRQ

GHV� VHFWLRQV� GURLWHV� HVW� WHOOH� TXH� FHOOHV�FL� UHVWHQW� RUWKRJRQDOHV� j� OD� ILEUH

QHXWUH��&LQpPDWLTXHPHQW��FHWWH�K\SRWKqVH�VH�WUDGXLW�SDU��

\ww

Y

[ �������

(Q� FRPELQDQW� OHV� pTXDWLRQV� SUpFpGHQWHV�� RQ� DERXWLW� j� OpTXDWLRQ� GX

PRXYHPHQW�VRXV�OD�IRUPH�VXLYDQWH��LQLWLDOHPHQW�SURSRVpH�SDU�/RUG�5D\OHLJK���

(,Y

[PU

Y

[ WP

Y

W

w

w

w

w w

w

w

� �

��� � �������

6L� GH� SOXV� RQ� QpJOLJH� OLQHUWLH� URWDWRLUH� GHV� VHFWLRQV� GURLWHV� �FH� TXL� HVW

FRKpUHQW�SXLVTXH� O U� �JUDQG��� OpTXDWLRQ�GX�PRXYHPHQW� OLEUH�SUHQG� OD� IRUPH

SURSRVpH�SDU�(XOHU�HW�%HUQRXOOL��

(,Y

[P

Y

W

w

w

w

w

��� �������

Page 39: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

(Q� HIIHFWXDQW� OD� VpSDUDWLRQ� GHV� YDULDEOHV� G·HVSDFH� HW� GH� WHPSV� GDQV

O·pTXDWLRQ�SUpFpGHQWH��RQ�PRQWUH�TXH�OD�GpIRUPpH�G\QDPLTXH�SHXW�V·pFULUH��

Y [ W Y [ W� � � � �FRV Z �������

Y [� � �pWDQW�OD�GpIRUPpH�PRGDOH�GH�OD�SRXWUH�HW�Z�OD�SXOVDWLRQ�GX�PRXYHPHQW�

/·pTXDWLRQ�GHV�YLEUDWLRQV���������GHYLHQW�DLQVL��

(,Y

[PY

G

G

� �� Z �������

2Q�SHXW�DORUV�LQWURGXLUH�OH�SDUDPqWUH�IUpTXHQWLHO�DGLPHQVLRQQHO�E�GpILQL�SDU��

EZ

� �

PO

(,�������

/D�VROXWLRQ�JpQpUDOH�GH���������HVW�DORUV�XQH�FRPELQDLVRQ�OLQpDLUH�GH�IRQFWLRQV

WULJRQRPpWULTXHV�HW�K\SHUEROLTXHV�GH�OD�IRUPH��

Y [ D[

OE

[

OF

[

OG

[

O� � FRV� � VLQ� � FK� � VK� � � � �E E E E �������

/HV� FRQVWDQWHV� G·LQWpJUDWLRQ� �D�E�F�G�� VRQW� GpWHUPLQpHV�SDU� OHV� FRQGLWLRQV

DX[� OLPLWHV�DX[�GHX[�H[WUpPLWpV�GH� OD�SRXWUH��/H� V\VWqPH� OLQpDLUH�KRPRJqQH

IRUPp� HQ� pFULYDQW� FHV� FRQGLWLRQV� DX[� OLPLWHV� SHUPHW� pJDOHPHQW� G·REWHQLU

O·pTXDWLRQ�DX[�SXOVDWLRQV�SURSUHV�Z�

3DU� H[HPSOH�� SRXU� XQH� SRXWUH� HQFDVWUpH� HQ� [ �� HW� OLEUH� HQ� [ O�� OHV

FRQGLWLRQV�DX[�OLPLWHV�VRQW��

Y 7�O�

0�O�

� �

� �

� � �

� � �

­®¯

½¾¿\

�������

&HOD�FRQGXLW�j�O·pTXDWLRQ�WUDQVFHQGDQWH��

� �� FRV FKE E �������

1RWRQV�EQ�OD�QLqPH�VROXWLRQ�GH�FHWWH�pTXDWLRQ��/HV�IUpTXHQFHV�SURSUHV�GH�OD

SRXWUH�V·pFULYHQW�DORUV��

IO

( ,

$Q

Q E

S U

���������

Page 40: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9LEUDWLRQV�GH�IOH[LRQ�GHV�SRXWUHV�V\PpWULTXHV

��

2Q� SHXW� FDOFXOHU� DLQVL� OHV� VROXWLRQV� FRUUHVSRQGDQW� j� WRXV� OHV� W\SHV� GH

FRQGLWLRQV� DX[� OLPLWHV� >�@�� /HV� UpVXOWDWV� VRQW� FRQVLJQpV� GDQV� OH� WDEOHDX

VXLYDQW��

&RQGLWLRQV

DX[�/LPLWHV

eTXDWLRQ

WUDQVFHQGDQWHE� E� E� ����E

Q

*XLGpH�$SSX\pH FRVE � ������ ������ ������ ��Q���S��

(QFDVWUpH�/LEUH ��FRVEFKE � ������ ������ ������ ��Q���S��

/LEUH�*XLGpH WDQE�WKE � ������ ������ ������ ��Q���S��

(QFDVWUpH�*XLGpH WDQE�WKE � ������ ������ ������ ��Q���S��

$SSX\pH�$SSX\pH VLQE � ������ ������ ������ QS

*XLGpH�*XLGpH VLQE � ������ ������ ������ QS

/LEUH�$SSX\pH WDQE�WKE � ������ ������ ������ ��Q���S��

(QFDVWUpH�$SSX\pH WDQE�WKE � ������ ������ ������ ��Q���S��

/LEUH�/LEUH ��FRVEFKE � ������ ������ ������ ��Q���S��

(QFDVWUpH�(QFDVWUpH ��FRVEFKE � ������ ������ ������ ��Q���S��

7DEOHDX�������9DOHXUV�QRQ�QXOOHV�GH�E�SRXU�GLIIpUHQWHV�&�/�

������ 0RGqOH�GH�7LPRVKHQNR

1RXV� QRXV� SURSRVRQV� G·pWXGLHU� PDLQWHQDQW� OHV� YLEUDWLRQV� GH� IOH[LRQ� GH� OD

SRXWUH�j�SDUWLU�GX�PRGqOH�GH�7LPRVKHQNR�WHO�TX·LO�D�pWp�GpILQL�SUpFpGHPPHQW�

$�O·LQYHUVH�GH�OD�IRUPXODWLRQ�GH�%HUQRXOOL��QRXV�QH�IDLVRQV�SOXV�LFL�O·K\SRWKqVH

GH� FRQVHUYDWLRQ� GH� O·RUWKRJRQDOLWp� GHV� VHFWLRQV� GURLWHV� j� OD� ILEUH� QHXWUH�� /D

SHQWH�GH�OD�GpIRUPpH�HVW�D�SULRUL�GLIIpUHQWH�GH�OD�URWDWLRQ�GHV�VHFWLRQV�GURLWHV�

FHOOHV�FL�SRXYDQW�©�JOLVVHU�ª�OHV�XQHV�SDU�UDSSRUW�DX[�DXWUHV�>��@��,O�V·DJLW�G·XQ

PRGqOH� DYHF� SULVH� HQ� FRPSWH� GH� OD� GpIRUPDWLRQ� GXH� DX[� FLVDLOOHPHQWV� HW� GH

O·LQHUWLH�URWDWRLUH�GHV�VHFWLRQV�GURLWHV��FH�TXL�SHUPHW�DLQVL�GH�WUDLWHU�OH�FDV�GHV

SRXWUHV�GH�IDLEOH�pODQFHPHQW�

/·HIIRUW�WUDQFKDQW�V·H[SULPH�HQ�IRQFWLRQ�GH�O·DQJOH�GH�FLVDLOOHPHQW�SDU��

7 N$*Y

[ �� �

ww

\ �������

Page 41: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

/HV�pTXDWLRQV�GX�PRXYHPHQW�HQ�IRQFWLRQ�GHV�YDULDEOHV�GH�GpSODFHPHQW�HW

GH�URWDWLRQ�VRQW��HQ�XWLOLVDQW�OHV�VLPSOLILFDWLRQV�G·pFULWXUH�SUpFpGHQWHV��

N $*Y

[ [P

Y

W� �w

w

w \

w

w

w

�� �������

(,[

N$*Y

[PU

W

w \

w

ww

\w \

w

�� � � � �������

&HV�pTXDWLRQV�VRQW�FRXSOpHV�HQ�Y�HW�\��(Q�OHV�FRPELQDQW��RQ�SHXW�WRXWHIRLV

pOLPLQHU�\�HW�DERXWLU�j�XQH�pTXDWLRQ�GLIIpUHQWLHOOH�GX�TXDWULqPH�RUGUH�HQ�Y��

(,Y

[PU

(

N*

Y

[ WP

Y

WPU

P

N$*

Y

W

w

w

w

w w

w

w

w

w

� �

�� �� � � � � � �������

3RXU�XQ�PRXYHPHQW�KDUPRQLTXH�GH�SXOVDWLRQ�Z�� OD�GpIRUPpH�G\QDPLTXH

V·pFULW��

Y [ W Y [ W� � � � �FRV Z

\ \ Z� � � � �FRV[ W [ W �������

/·pTXDWLRQ���������VH�WUDQVIRUPH�DORUV�HQ��

(,Y

[PU

(

N*

Y

[P

PU

N$*Y

G

G

G

G

� �

� �

� � �� � � � Z ZZ

� � � � �������

'H� IDoRQ� DQDORJXH� DX� SDUDPqWUH� IUpTXHQWLHO� E � DVVRFLp� DX� PRGqOH� GH

%HUQRXOOL���GpILQLVVRQV�OH�SDUDPqWUH� W �DVVRFLp�DX�PRGqOH�GH�7LPRVKHQNR��

WZ

� �

PO

(,�������

/HV�IUpTXHQFHV�SURSUHV�GH�OD�SRXWUH�V·pFULYHQW�DORUV��

IO

( ,

$Q

Q W

S U

���������

'pILQLVVRQV�OH�SDUDPqWUH�DGLPHQVLRQQHO�VXLYDQW��

: WZ

� �PO

(,�������

DLQVL�TX·XQ�SDUDPqWUH�OLp�j�O·LQHUWLH�URWDWRLUH�HW�XQ�DXWUH�DX�FLVDLOOHPHQW��

D U

O

��������

Page 42: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9LEUDWLRQV�GH�IOH[LRQ�GHV�SRXWUHV�V\PpWULTXHV

��

K (

N*

U

O

��������

/·XWLOLVDWLRQ�GH�FH�SDUDPpWUDJH��SURSRVp�SDU�*pUDGLQ�>��@��SHUPHW�G·REWHQLU

O·H[SUHVVLRQ�VXLYDQWH�GH�O·pTXDWLRQ�GX�PRXYHPHQW��

OY

[O

Y

[Y�

�� �

G

G

G

G� � � � : : :� � � �D K DK �������

(Q�RXWUH��FHOD�SHUPHW�G·pFULUH�G·XQH�SDUW�OD�UHODWLRQ�HQWUH�OD�URWDWLRQ�\�HW

OH�GpSODFHPHQW�WUDQVYHUVH�Y��

\DK

K K �

� ��

���

::� � � �O

Y

[

Y

[

G

G

GG

�������

HW�G·DXWUH�SDUW��O·H[SUHVVLRQ�GX�PRPHQW�IOpFKLVVDQW�HW�GH�O·HIIRUW�WUDQFKDQW��

0O (, OY

[Y� �

� �� �

G

GK: �������

7O( ,

OY

[

Y

[� �

�� �

�� �

DKD K

::� � � �

G

G

GG

�������

/D�VROXWLRQ�JpQpUDOH�GH�O·pTXDWLRQ�GLIIpUHQWLHOOH���������HVW�GH�OD�IRUPH��

Y [ D[

O� � H[S� �

O �������

HW�VRQ�pTXDWLRQ�FDUDFWpULVWLTXH�HQ�O �HVW��

O D K O DK� � � �� � � � : : :� � � � �������

/H� GLVFULPLQDQW� GH� FHWWH� pTXDWLRQ� �SRO\QRPLDOH� HQ� O� �� pWDQW� WRXMRXUV

SRVLWLI��VHV�UDFLQHV�O�� �HW�O�

� �VRQW�UpHOOHV�HW�RQW�SRXU�H[SUHVVLRQ��

� � � �

� � � �

OD K D K

OD K D K

� �

� �

� � � � �

� � � � �

: : :

: : :�������

/D�VROXWLRQ� O�

� �HVW�WRXMRXUV�QpJDWLYH��PDLV� O�

� �FKDQJH�GH�VLJQH�ORUVTXH�OHV

SDUDPqWUHV�VDWLVIRQW�OD�FRQGLWLRQ��

DK: � �������

Page 43: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

&HWWH� FRQGLWLRQ� HQWUDvQH� OH[LVWHQFH� GH� GHX[� GRPDLQHV� IUpTXHQWLHOV� GH

VROXWLRQV� >����@� VXLYDQW� OD� SRVLWLRQ�GH� Z � SDU� UDSSRUW� j� OD� YDOHXU� FULWLTXH� ZF

GpILQLH�SDU��

ZUF U

N* �

�������

TXL�FRQGXLW�j�XQH�YDOHXU�FULWLTXH�WF�GX�SDUDPqWUH�IUpTXHQWLHO� W ��

� �W

QF

O

U

N

�� �� �������

2Q� PRQWUH� DLQVL� TXH� OD� IURQWLqUH� HQWUH� OHV� GHX[� GRPDLQHV� GH� VROXWLRQV

PRGDOHV� QH� GpSHQG� TXH� GH� O·pODQFHPHQW� O

U� GH� OD� SRXWUH� HW� G·XQ� FRHIILFLHQW

UHODWLI�DX�FLVDLOOHPHQW�WUDQVYHUVH��,O�HVW�LPSRUWDQW�GH�QRWHU�TXH�OD�YDOHXU� W W F

SHXW� DSSDUDvWUH� GDQV� OH� GRPDLQH� IUpTXHQWLHO� GDQDO\VH� ORUVTXH� OpODQFHPHQW

GLPLQXH� �SRXWUHV� FRXUWHV�� RX� ORUVTXH� N� GpFURvW� HW� GRQF� O·LQIOXHQFH� GX

FLVDLOOHPHQW�DXJPHQWH��SURILOpV��WXEHV��FDLVVRQV��

3RXU� OHV�PRGHV�GX�SUHPLHU�GRPDLQH� � �W W�F�� O�

� � HVW�QpJDWLI� HW� O�

� �SRVLWLI�

/D�GpIRUPpH�PRGDOH�SUHQG�GRQF�OD�IRUPH�VXLYDQWH��

Y [ D[

OE

[

OF

[

OG

[

O� � FRV� � VLQ� � � � � � � � �O O O O� � � �FK VK �������

R��D�� E�� F� HW�G� VRQW� GHV� FRQVWDQWHV� GLQWpJUDWLRQ� GpGXLWHV� GHV� FRQGLWLRQV� DX[

OLPLWHV�DX[�H[WUpPLWpV�GH�OD�SRXWUH�

3RXU�OH�VHFRQG�GRPDLQH� � �W W!F��O�

� �HWO�� �VRQW�WRXV�GHX[�QpJDWLIV��2Q�D�GRQF��

Y [ D[

OE

[

OF

[

OG

[

O� � FRV� � VLQ� � � � � � � � �O O O O� � � �FRV VLQ �������

$�OD�IURQWLqUH� � �W W F��O � �pWDQW�XQH�UDFLQH�GH�PXOWLSOLFLWp����OD�VROXWLRQ�HVW��

Y [ D[

OE

[

OF[ G

F F� � FRV� � VLQ� � � � �O O �������

DYHF�OF�GpILQL�SDU��

OF

O

U

N*

( �� �������

Page 44: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9LEUDWLRQV�GH�IOH[LRQ�GHV�SRXWUHV�V\PpWULTXHV

��

/·REWHQWLRQ�GH�OpTXDWLRQ�DX[�SXOVDWLRQV�j�SDUWLU�GHV�FRQGLWLRQV�DX[�OLPLWHV

DLQVL� TXH� VD� UpVROXWLRQ� DQDO\WLTXH� FRQGXLVHQW� JpQpUDOHPHQW� j� GHV� FDOFXOV

IDVWLGLHX[� >�����@��7RXWHIRLV�� FHX[�FL� VRQW� UHODWLYHPHQW� VLPSOHV�SRXU� FHUWDLQHV

FRQGLWLRQV�DX[�OLPLWHV��&HVW�SDU�H[HPSOH�OH�FDV�SRXU�OD�SRXWUH�EL�DSSX\pH�RX

EL�JXLGpH�� 1pDQPRLQV�� OH� OHFWHXU� SRXUUD� WURXYHU� HQ� $QQH[H� &� GHV� WDEOHV

FRPSOqWHV� GRQQDQW� OHV� YDOHXUV� QXPpULTXHV� GX� SDUDPqWUH� IUpTXHQWLHO� HQ

IRQFWLRQ�GH�O·pODQFHPHQW��HW�FH�SRXU�SOXVLHXUV�IRUPHV�GH�VHFWLRQ�GURLWH�HW�SRXU

WRXV�OHV�W\SHV�GH�FRQGLWLRQV�DX[�OLPLWHV�

$SSOLFDWLRQ�DX�FDV�EL�DSSX\p

3RXU� XQH� SRXWUH� EL�DSSX\pH� �DSSHOpH� pJDOHPHQW� EL�DUWLFXOpH��� OHV

FRQGLWLRQV�DX[�OLPLWHV�VRQW��

Y Y�O�

0 0�O�

� �

� �

� � �

� � �

­®¯

½¾¿

�������

/D� UpVROXWLRQ� GX� V\VWqPH� OLQpDLUH� IRUPp� j� SDUWLU� GH� FHV� UHODWLRQV

DSSOLTXpHV�DX[�H[SUHVVLRQV�GH�OD�GpIRUPpH�GpILQLHV�SUpFpGHPPHQW�SDU��������

HW� �������� FRQGXLW��SRXU� OHV� GHX[�GRPDLQHV� IUpTXHQWLHOV�� DX� UpVXOWDW� VXLYDQW

�GpILQL�j�XQH�FRQVWDQWH�PXOWLSOLFDWLYH�SUqV���

Y [ Y Q[

OQ� � VLQ� � �� S 1 �������

(Q�LQMHFWDQW� OD�VROXWLRQ�REWHQXH��O S L Q ��GDQV� OpTXDWLRQ�FDUDFWpULVWLTXH

���������RQ�DERXWLW�j�XQH�pTXDWLRQ�HQ�: ��WRXMRXUV�DYHF�: W� ���

DK D K S S: :� � � � �� �� � � � �� � �Q Q �������

1RWRQV�TXH�SRXU�OHV�SRXWUHV�pODQFpHV��OHV�SDUDPqWUHV�D �HW� K �WHQGHQW�WRXV

GHX[�YHUV�]pUR�HW�RQ�REWLHQW�DORUV�GLUHFWHPHQW��

W S EQ Q

Q �������

R��EQ�HVW�OD�VROXWLRQ�GX�PRGqOH�GH�%HUQRXOOL��YRLU�7DEOHDX������

'H�SOXV��ORUVTXH�D � �HW�K z � ��OpTXDWLRQ���������DGPHW�SRXU�VROXWLRQ��

WK S

EQ Q

Q

� � ���������

Page 45: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

HW�ORUVTXH�D z � �HW�K � ��OD�VROXWLRQ�HVW��

WD S

EQ Q

Q

� � ���������

/D�SULVH�HQ�FRPSWH�GX�FLVDLOOHPHQW��K �HW�GH� OLQHUWLH�URWDWRLUH� �D ��D�GRQF

SRXU�HIIHW�GH�GLPLQXHU� OHV� IUpTXHQFHV�SURSUHV�GDXWDQW�SOXV�TXH� OpODQFHPHQW

HVW� IDLEOH�HW�TXH� O·RUGUH�GX�PRGH�HVW�JUDQG��/HV� IUpTXHQFHV�SURSUHV�GRQQpHV

SDU� OH� PRGqOH� GH� 7LPRVKHQNR� VRQW� GRQF� WRXMRXUV� LQIpULHXUHV� j� FHOOHV� GX

PRGqOH� GH� %HUQRXOOL� � W EQ Qd ��� /·HUUHXU� FRPPLVH� HQ� XWLOLVDQW� FHV� GHUQLqUHV

UHVWH� UHODWLYHPHQW� IDLEOH� SRXU� OHV� SUHPLHUV� PRGHV� PDLV� GHYLHQW� UDSLGHPHQW

WUqV�LPSRUWDQWH�SRXU�OHV�PRGHV�GH�UDQJ�pOHYp��HW�FH��TXHO�TXH�VRLW�O·pODQFHPHQW�

6RLHQW�:Q�HW�:Q� �OHV�UDFLQHV��SRVLWLYHV��GH�OpTXDWLRQ����������: :

Q Q� �d ���

:

:

Q

Q

Q Q Q

Q Q Q

� � � � � � �

� � � � � � �

� � �

� � �

� � � � � �

� � � � � �

� � �� � �

� � �� � �

D K S D K S DK S

DK

D K S D K S DK S

DK

�������

&HV� GHX[� H[SUHVVLRQV� FRQGXLVHQW� GRQF� j� FRQVLGpUHU� GHX[� IDPLOOHV� GH

VROXWLRQV�SURSUHV� LVVXHV� UHVSHFWLYHPHQW�GH� :Q� � HW� :Q� ��([DPLQRQV�SOXV� HQ

GpWDLO�OD�IDoRQ�GRQW�HOOHV�LQWHUYLHQQHQW�GDQV�OH�FDOFXO�GHV�IUpTXHQFHV�SURSUHV�

1RWRQV�:F�OD�YDOHXU�IURQWLqUH�GH�: ��GpILQLH�SDU��

:F �DK �������

2Q�PRQWUH�DLVpPHQW�TXH��TXHOOH�TXH�VRLW�OD�YDOHXU�GH�Q��RQ�D��

: :Q F� t �������

FH�TXL�SHXW�pJDOHPHQW�V·pFULUH��

W WQ F� t �������

5HPDUTXRQV�G·DXWUH�SDUW�TXH�O·RQ�SHXW�GpGXLUH�GH����������

: : :Q Q F

Q� �

� � S �������

/HV�UHODWLRQV������������������HW���������SHUPHWWHQW�HQILQ�G·DERXWLU�j��

W EQ Q� d �������

Page 46: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9LEUDWLRQV�GH�IOH[LRQ�GHV�SRXWUHV�V\PpWULTXHV

��

5 6 7 8 9 10 15 20 30 50

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

)URQWLqUH

3UHPLHU GRPDLQH

6HFRQG GRPDLQH

W

E�

E�

E�

E�

E�

E�

E�

E�

E�

O U�

)LJXUH�������3DUDPqWUH�IUpTXHQWLHO�HQ�IRQFWLRQ�GH�O·pODQFHPHQW

$LQVL��OHV�UHODWLRQV�SUpFpGHQWHV�SHUPHWWHQW�GH�FRQFOXUH�TXH��

x� /HV� SDUDPqWUHV� IUpTXHQWLHOV� WQ� FRUUHVSRQGDQW� DX[� PRGHV� SURSUHV� GX

SUHPLHU� GRPDLQH� � �W WQ F� � VRQW� XQLTXHPHQW� LVVXV� GH� OD� SUHPLqUH� IDPLOOH� GH

VROXWLRQV��FRUUHVSRQGDQW�j�:Q� ��

x� 'DQV� OH� VHFRQG� GRPDLQH� IUpTXHQWLHO� � �W WQ F! �� OHV�PRGHV� SURSUHV� SHXYHQW

rWUH� LVVXV�GH� O·XQH�RX�GH� O·DXWUH�GHV�GHX[� IDPLOOHV�GH�VROXWLRQV��1RWRQV�TXH�j

Page 47: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

XQH�YDOHXU�GRQQpH�GH�Q�FRUUHVSRQGHQW�XQH�VHXOH�GpIRUPpH�PRGDOH�PDLV�GHX[

YDOHXUV�GLVWLQFWHV�:Q� �HW�:Q� ��3DU�FRQVpTXHQW��LO�H[LVWH�GHV�PRGHV�SURSUHV�TXL�

DYHF� GHV� IUpTXHQFHV� GLIIpUHQWHV�� SUpVHQWHQW� XQ�PrPH� QRPEUH� GH� QRHXGV� GH

YLEUDWLRQ�� &RQWUDLUHPHQW� j� FH� TXL� HVW� FODVVLTXHPHQW� OH� FDV� GDQV� OH� SUHPLHU

GRPDLQH�� LO� Q·\� D� SOXV� GDQV� OH� VHFRQG� GRPDLQH� XQH� FRUUHVSRQGDQFH� GLUHFWH

HQWUH� OH� QRPEUH� GH� QRHXGV� � �Q � � � HW� OH� UDQJ� GX� PRGH� SURSUH�� (Q� GDXWUHV

WHUPHV��LO�DSSDUDvW�GDQV�FH�GRPDLQH�XQ�QRXYHDX�VSHFWUH�GH�IUpTXHQFHV�SURSUHV

TXL� VH� VXSHUSRVH� DX� VSHFWUH� FODVVLTXH� LVVX� GH� :Q� �� &H� W\SH� GH� PRGHV

Q·DSSDUDLVVDQW� TXH� ORUVTXH� OH� FLVDLOOHPHQW� LQWHUYLHQW�� RQ� OHV� TXDOLILHUD� GH

©�PRGHV� GH� FLVDLOOHPHQW�ª�� (Q� IDLW�� RQ�PRQWUH� TXH� FH� VRQW� JpQpUDOHPHQW� GHV

PRGHV�SRXU�OHVTXHOV�OH�PRXYHPHQW�LQWHUQH�GH�URWDWLRQ�GHV�VHFWLRQV�GURLWHV�HVW

SUpSRQGpUDQW�YLV�j�YLV�GX�GpSODFHPHQW�WUDQVYHUVH�

&HV� UpVXOWDWV� VRQW� LOOXVWUpV� VXU� OD� )LJXUH� ����� PRQWUDQW� O·pYROXWLRQ� GX

SDUDPqWUH� IUpTXHQWLHO� HQ� IRQFWLRQ� GH� O·pODQFHPHQW� SRXU� OHV� SUHPLHUV�PRGHV

SURSUHV�G·XQH�SRXWUH�EL�DSSX\pH��QRWRQV�OD�FRQYHUJHQFH�GH� WQ� �YHUV�EQ ��

$� OD� IURQWLqUH� HQWUH� OHV� GHX[� GRPDLQHV�� RQ� D� Z Z F�� /LQWpJUDWLRQ� GHV

pTXDWLRQV�FRQGXLW�j�OD�VROXWLRQ�VXLYDQWH��

Y [ W� � � � ��HW��\ \ Z� � � FRV[ W WF

� �������

&H�PRXYHPHQW�GH�IOH[LRQ�WUqV�SDUWLFXOLHU�R���SDUDGR[DOHPHQW�� LO�Q\�D�SDV

GH�GpSODFHPHQW�WUDQVYHUVH��HVW�DSSHOp�©�PRGH�GH�FLVDLOOHPHQW�SXU�ª��,O�FRQVLVWH

XQLTXHPHQW�HQ�XQH�RVFLOODWLRQ�DOWHUQpH�GHV�VHFWLRQV�GURLWHV�DXWRXU�GH��& � ]S��

7RXV� FHV�SKpQRPqQHV� OLpV� j� O·H[LVWHQFH�GH� IDPLOOHV�PRGDOHV� VRQW� LOOXVWUpV

VXU�OD�)LJXUH������2Q�\�SUpVHQWH�OHV�GL[�SUHPLHUV�PRGHV�SURSUHV�GXQH�SRXWUH

GH� VHFWLRQ� UHFWDQJXODLUH� EL�DSSX\pH�PRGpOLVpH� SDU� GHV� pOpPHQWV� YROXPLTXHV

W\SH� EULTXH� j� �� QRHXGV� j� �� GGO� SDU� QRHXG� �SDV� GH� GGO� GH� URWDWLRQ��� &HWWH

GLVFUpWLVDWLRQ�� GpSRXUYXH� GH� WRXWH� K\SRWKqVH� FLQpPDWLTXH� SDUWLFXOLqUH�

FRQILUPH� O·DXWKHQWLFLWp� GHV� UpVXOWDWV� pQRQFpV� SUpFpGHPPHQW�� /D� SRXWUH� HQ

TXHVWLRQ� D\DQW� XQ� pODQFHPHQW� O U� �| �� � �� OD� VXFFHVVLRQ� GHV� PRGHV� SURSUHV

SHXW�rWUH�GpWHUPLQpH�j�SDUWLU�GH� OD�)LJXUH������$LQVL��RQ�REVHUYH�GDQV� O·RUGUH

FURLVVDQW�GHV�IUpTXHQFHV�����PRGHV�©�FODVVLTXHV�ª��OH�PRGH�GH�FLVDLOOHPHQW�SXU�

�� PRGH� FODVVLTXH�� �� PRGH� GH� FLVDLOOHPHQW�� �� PRGH� FODVVLTXH�� �� PRGH� GH

FLVDLOOHPHQW����PRGH�FODVVLTXH����PRGH�GH�FLVDLOOHPHQW����&HWWH�DOWHUQDQFH�HQWUH

PRGHV� GH� SUHPLqUH� HW� GHX[LqPH� IDPLOOH� FRUUHVSRQG� HIIHFWLYHPHQW� j� FHOOH

REWHQXH�SDU�OH�PDLOODJH�HQ�pOpPHQWV�YROXPLTXHV��)LJXUH������

Page 48: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9LEUDWLRQV�GH�IOH[LRQ�GHV�SRXWUHV�V\PpWULTXHV

��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH���

)LJXUH�������'L[�SUHPLHUV�PRGHV�SURSUHV�GXQH�SRXWUH�EL�DSSX\pH

&HV� PRGHV� GH� FLVDLOOHPHQW� Q·DSSDUDLVVDQW� TXH� SRXU� GHV� SODJHV

IUpTXHQWLHOOHV� UHODWLYHPHQW� pOHYpHV�� RQ� SRXUUDLW� rWUH� WHQWp� G·DFFRUGHU� SHX

G·DWWHQWLRQ�DX�SKpQRPqQH��,O�HVW�WRXWHIRLV�LPSRUWDQW�GH�VRXOLJQHU�TX·LO�SHXYHQW

rWUH�G·XQ�JUDQG� LQWpUrW�SRXU�GHV�GRPDLQHV�G·pWXGHV�R�� O·RQ�GRLW�SDU�H[HPSOH

WHQLU�FRPSWH�GHV�KDUPRQLTXHV�GH�UDQJ�pOHYp��DFRXVWLTXH��KDXWHV�IUpTXHQFHV�����

Page 49: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������)RUPXODWLRQ�FRQWLQXH�GH�SRXWUH

��

Page 50: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

��

eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

'DQV� FH� FKDSLWUH�� RQ�SUpVHQWH�GLIIpUHQWV�PRGqOHV�GH� IOH[LRQ�GH�SRXWUH�GURLWH

DYHF� FLVDLOOHPHQW�� 8QH� QRXYHOOH� PpWKRGH� SHUPHWWDQW� GH� FRQVWUXLUH� GHV

pOpPHQWV�ILQLV�FRKpUHQWV�GH�SRXWUH�GH�GHJUp�VXSpULHXU�HVW�SURSRVpH��(QILQ��OHV

PDWULFHV� GH� UDLGHXU� HW� GH� PDVVH� G·XQ� pOpPHQW� ILQL� GH� SRXWUH� SUHQDQW� HQ

FRPSWH�OH�FRXSODJH�IOH[LRQ�WRUVLRQ�VRQW�IRUPXOpHV�GH�PDQLqUH�H[SOLFLWH�

���� eOpPHQW�ILQL�GH�IOH[LRQ�SODQH

������ eOpPHQW�j�GHX[�QRHXGV�HW�GHX[�GGO�SDU�QRHXG

&RQVLGpURQV� XQH� SRXWUH� GURLWH� XQLIRUPH� G·D[H� [S� IOpFKLVVDQW� GDQV� OH� SODQ

SULQFLSDO� G·LQHUWLH� �[ \S S� ��� &HWWH� SRXWUH� HVW� GLVFUpWLVpH� HQ� Q� pOpPHQWV� ILQLV

LGHQWLTXHV�GH� ORQJXHXU� / O Q � �j�GHX[�QRHXGV�HW�GHX[�GHJUpV�GH� OLEHUWp�SDU

QRHXG���XQ�GpSODFHPHQW� WUDQVYHUVDO� Y � VXLYDQW� \S� HW� XQH� URWDWLRQ� \ � VXLYDQW

]S�� &RQIRUPpPHQW� j� FH� TXL� D� pWp� SUpFpGHPPHQW� pWDEOL� GDQV� OH� &KDSLWUH� ��

FKDTXH�VHFWLRQ�GURLWH�GH�OD�SRXWUH�HVW�VRXPLVH�j�XQ�HIIRUW�WUDQFKDQW�QRWp�7�HW

XQ�PRPHQW�IOpFKLVVDQW�QRWp�0�

$ILQ�G·pWDEOLU�O·H[SUHVVLRQ�GHV�PDWULFHV�pOpPHQWDLUHV��SODoRQV�QRXV�GDQV�OH

FDV� G·XQ� pOpPHQW� ILQL� HW� QRWRQV� > @T Y Y � � � �\ \7

� OH� YHFWHXU� GHV

&KDSLWUH

Page 51: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

GpSODFHPHQWV�QRGDX[�JpQpUDOLVpV�GH�FHW�pOpPHQW��6RLW� > @) 7 0 7 0 � � � �

7

OH�YHFWHXU�GHV�IRUFHV�JpQpUDOLVpHV�FRUUHVSRQGDQW�

Y�

\�

[ /[ �

\S Y

[S

\�

)LJXUH�������eOpPHQW�j�GHX[�QRHXGV�HW�GHX[�GGO�SDU�QRHXG

/DSSUR[LPDWLRQ�QRGDOH�VXU�O·pOpPHQW�ILQL�FRQVLGpUp�VpFULW��

Y [

[

1 [

1 [T

Y� �

� �

� �

� �\ \

ª

¬«

º

¼»

ª

¬«

º

¼» �����

R�� 1 [Y � � � HW� 1 [\� � � VRQW�� GDQV� 5� �� �� OHV� IRQFWLRQV� GLQWHUSRODWLRQ� GH� W\SH

SRO\QRPLDO�

'·DSUqV� OH� &KDSLWUH� ��� O·pQHUJLH� GH� GpIRUPDWLRQ� GH� IOH[LRQ� GH� O·pOpPHQW

SUHQDQW�HQ�FRPSWH�OD�GpIRUPDWLRQ�GXH�DX�FLVDLOOHPHQW�V·H[SULPH�SDU��

: (,[

N$*Y[

[/

� �³�� � �

�� � � � � �

w\w

ww

\ G �����

/D�PDWULFH�pOpPHQWDLUH�GH�UDLGHXU�DVVRFLpH�j�FHWWH�IRUPXODWLRQ��QRWpH�.7 �

HVW�GpILQLH�SDU��

: T . T7 ��

7 �����

3DU� FRQVpTXHQW�� FHWWH�PDWULFH� GH� 5� �� � SHXW� rWUH� GpFRPSRVpH�GH� OD� IDoRQ

VXLYDQWH��

. (,1

[

1

[[ N$*

1

[1

1

[1 [7

/Y Y

/

§

©¨

·

¹¸ � �

§

©¨

·

¹¸ �

§

©¨

·

¹¸³ ³

G

G

G

GG

GG

GG

G7 7

\ \

\ \� �

�����

­�SDUWLU�GH�FHV�GpILQLWLRQV��LO�HVW�SRVVLEOH�G·REWHQLU�GLIIpUHQWHV�H[SUHVVLRQV

GH�OD�PDWULFH�GH�UDLGHXU�VHORQ�OH�FKRL[�GHV�IRQFWLRQV�G·LQWHUSRODWLRQ� 1 [Y � � �HW

1 [\� � �

Page 52: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�ILQL�GH�IOH[LRQ�SODQH

��

eOpPHQW�LVRSDUDPpWULTXH

/HV� YDULDEOHV� GH� GpSODFHPHQW� HW� GH� URWDWLRQ� VRQW� LQGpSHQGDQWHV� GDQV� OD

IRUPXODWLRQ� GH� 7LPRVKHQNR� �\w

wz

Y

[

��� HW� FKDFXQH� G·HOOHV� QH� GpSHQG� TXH� GH

GHX[�YDULDEOHV�QRGDOHV��2Q�SHXW�GRQF�rWUH� WHQWp�GH� FKRLVLU�XQH� LQWHUSRODWLRQ

OLQpDLUH� SRXU� FHV� YDULDEOHV�� DERXWLVVDQW� DLQVL� j� XQ� pOpPHQW� LVRSDUDPpWULTXH�

2Q�D�DORUV��

1 [[/

[/Y � � �

ª

¬«º

¼»� � � �����

1 [[/

[/\

� � �ª¬«

º¼»

� � � �����

1RWRQV�a.7 �OD�PDWULFH�GH�UDLGHXU�pOpPHQWDLUH�LVVXH�GH�FHWWH�LQWHUSRODWLRQ�

6RQ�H[SUHVVLRQ�HVW��

a � � � �

� �

.(,

/

/ /

/ / /

/

/

7

� � �

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

� �

�� � �� �

� � �

�� �

I

I I

IV\P

�����

R�� I �HVW�XQ�IDFWHXU�OLp�DX�FRHIILFLHQW�GH�FLVDLOOHPHQW�N�DLQVL�TX·j�O·pODQFHPHQW

GH�O·pOpPHQW�ILQL��GpILQL�SDU��

I ��

(,

N$*/ �����

SRXYDQW�pJDOHPHQW�V·pFULUH��

IQ

� §

©̈·¹̧��

� �� �N

U/

�����

,O�FRQYLHQW�PDLQWHQDQW�GH�YpULILHU�OH�FRPSRUWHPHQW�GH�FHW�pOpPHQW�ORUVTXH

OH� FLVDLOOHPHQW� HVW� QpJOLJHDEOH� �L�H�� O·pODQFHPHQW� DXJPHQWH��� 3RXU� FHOD�

H[DPLQRQV�OH�FDV�G·XQH�SRXWUH�FRQVROH�VRXV�FKDUJHPHQW�FRQFHQWUp�7� �HQ�[ /�

PRGpOLVpH�SDU�XQ�VHXO�pOpPHQW�ILQL�GX�W\SH��������/D�IOqFKH� Y� �GH�FHWWH�SRXWUH

V·pFULW�DORUV��

Y7 /(,�

� ���

�II

I� � ������

Page 53: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

2Q�SHXW�DORUV�UHPDUTXHU�TXH�ORUVTXH�O·pODQFHPHQW�GH�O·pOpPHQW�DXJPHQWH

�I �WHQG�YHUV�]pUR��OD�IOqFKH�GHYLHQW�QXOOH��FH�TXL�HVW�DEVXUGH�>��@��2Q�GLW�TX·LO�\

D�YHUURXLOODJH�SDU�OH�FLVDLOOHPHQW��RX�VKHDU�ORFNLQJ�HQ�DQJODLV���/·XWLOLVDWLRQ�GH

FHW�pOpPHQW�ILQL�HVW�GpFRQVHLOOpH�FDU�HOOH�FRQGXLW�j�GH�PDXYDLV�UpVXOWDWV�GDQV�OH

FDV� GHV� SRXWUHV� PLQFHV�� 'DQV� OD� OLWWpUDWXUH�� RQ� WURXYH� QpDQPRLQV� GHV

WHFKQLTXHV�QXPpULTXHV�TXL�SHUPHWWHQW�G·DPpOLRUHU�VRQ�FRPSRUWHPHQW�

eOpPHQW�H[DFW�HQ�VWDWLTXH

$ILQ�GH�V·DIIUDQFKLU�GX�SUREOqPH�GH�YHUURXLOODJH��FRQVWUXLVRQV�XQ�pOpPHQW

GH� SRXWUH� j� GHX[� QRHXGV� j� SDUWLU� GXQH� LQWHUSRODWLRQ� SRO\QRPLDOH� GH� GHJUp

SOXV�pOHYp��,O�SHXW�DORUV�rWUH�LQWpUHVVDQW�G·pWDEOLU� OD� IRUPXODWLRQ�G·XQ�pOpPHQW

TXL� DLW� OD� SURSULpWp� G·rWUH� H[DFW� HQ� VWDWLTXH� �SDU� UDSSRUW� j� OD� VROXWLRQ� GX

PRGqOH� FRQWLQX� GH� 7LPRVKHQNR��� 5DSSHORQV� TXH� GDQV� FH� FDV�� OHV� UHODWLRQV

G·pTXLOLEUH�VRQW��

ww0[

7� � ������

ww7[ � ������

0 ( ,[

w\

w ������

7 N$*Y[

�� �ww

\ ������

/D�GpIRUPpH�VWDWLTXH� Y [� � VXU�O·pOpPHQW�HVW�GRQF�XQ�SRO\Q{PH�GH�GHJUp��

HW� OD� URWDWLRQ� \� �[ � HVW� GH� GHJUp� ��� FHFL� FRQGXLVDQW� FHUWDLQV� DXWHXUV� >�@� j� OH

GpQRPPHU�©�pOpPHQW�304�ª��SRXWUH�PL[WH�TXDGUDWLTXH��

'·DXWUH�SDUW��OD�FRPELQDLVRQ�GHV�pTXDWLRQV�G·pTXLOLEUH�SUpFpGHQWHV�SHUPHW

G·REWHQLU�XQH�UHODWLRQ�VXSSOpPHQWDLUH�HQWUH�OHV�GpSODFHPHQWV�GH�WUDQVODWLRQ�HW

GH�URWDWLRQ��

\ww

Iw

w� �[

Y

[

/ Y

[ �

� �

���������

1RWRQV�TXH�FHWWH�H[SUHVVLRQ�FRQILUPH�OH�IDLW�TXH�SRXU�OHV�SRXWUHV�pODQFpHV

�I � WHQG�YHUV� ]pUR�� RQ�SHXW� FRQIRQGUH� OD� URWDWLRQ�GHV� VHFWLRQV�GURLWHV� DYHF� OD

SHQWH�GH�OD�GpIRUPpH��HW�DGRSWHU�DORUV�OD�IRUPXODWLRQ�GH�(XOHU�%HUQRXOOL�

Page 54: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�ILQL�GH�IOH[LRQ�SODQH

��

&RQVLGpURQV� XQH� LQWHUSRODWLRQ� SRO\QRPLDOH� FXELTXH� SRXU� Y [� � �� 2Q� SHXW

DORUV�pFULUH�1 [Y � � �FRPPH�OH�SURGXLW�PDWULFLHO�G·XQH�EDVH�SRO\QRPLDOH�HW�G·XQH

PDWULFH�GH�FRHIILFLHQWV�JpQpUDOLVpV�FRQVWDQWV�GH�5� �� �QRWpH�+ ��

> @1 [ [ [ [Y� � �� � + ������

/D� UHODWLRQ� ������� SHUPHW� G·pFULUH� OD� IRQFWLRQ� G·LQWHUSRODWLRQ� SRXU� OHV

URWDWLRQV�j�SDUWLU�GH�OD�PrPH�PDWULFH�GH�FRHIILFLHQWV��

> @1 [ [ [ /\I� � �� � � � � �

�� + ������

&HWWH�PDWULFH� + � HVW� HQWLqUHPHQW� GpWHUPLQpH� HQ� pFULYDQW� OHV� YDOHXUV� GHV

IRQFWLRQV�G·LQWHUSRODWLRQ�DX[�GHX[�QRHXGV�GH�O·pOpPHQW�ILQL��(Q�HIIHW��RQ�D��

1

1

1 /

1 /

/

/ / /

/ /

Y

Y

� �

� �

� �

� � � �

�� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � �

� � � �

��

� �

��

\

\

I

I

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

ª

¬

««««

º

¼

»»»»

ª

¬

««««

º

¼

»»»»

+ ������

/HV�H[SUHVVLRQV�GHV�IRQFWLRQV�1 [Y� � �HW�1 [\� � �REWHQXHV�VRQW�OHV�VXLYDQWHV��

1

[/

[/

[/

/[/

[/

[/

[/

[/

[/

/[/

[/

[/

Y

7 �

� � � �­®¯

½¾¿

� � � �­®¯

½¾¿

� � �­®¯

½¾¿

� � �­®¯

½¾¿

ª

¬

«««««««««

º

¼

»»»»»»»»»

��

� � �

��

��

� �

�� �

� �

� �

� �

� �

� �

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � �

� � � � � � � �

I

I I

I I

I

I I

������

1

/[/

[/

[/

[/

/[/

[/

[/

[/

\ I

I I

I

7 �

�­®¯

½¾¿

� � � �­®¯

½¾¿

� �­®¯

½¾¿

� �­®¯

½¾¿

ª

¬

«««««««««

º

¼

»»»»»»»»»

��

�� �

� � �

�� �

� �

� �

� � � �

� � � � � �

� � � �

� � � � � �

������

/·pFULWXUH� ������ SHUPHW� DORUV� G·pYDOXHU� OD� PDWULFH� GH� UDLGHXU� .7 � GH

O·pOpPHQW�DLQVL�GpILQL��2Q�REWLHQW�WRXV�FDOFXOV�IDLWV��

Page 55: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

.(,

/

/ /

/ / /

/

/

7 �

� � �

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

� �

�� � �� �

� � �

�� �

� �

� � � �

� �

I

I I

IV\P

������

/·pQHUJLH� FLQpWLTXH� GH� IOH[LRQ� GH� O·pOpPHQW� SUHQDQW� HQ� FRPSWH� OD

GpIRUPDWLRQ�GXH�DX�FLVDLOOHPHQW�D�pWp�pWDEOLH�DX�&KDSLWUH���HW�V·H[SULPH�SDU��

7 $Y , [/

�³�� � �

�� � � �U U \ G ������

/D�PDWULFH�pOpPHQWDLUH�GH�PDVVH��QRWpH�07 ��HVW�GpILQLH�SDU��

7 T 0 T7 ��� �7 ������

3DU�FRQVpTXHQW��FHWWH�PDWULFH�GH�5� �� �SHXW�rWUH�H[SULPpH�FRPPH�VXLW��

0 $1 1 [ ,1 1 [7 Y Y

/ /

�³ ³U U\ \

7 7G G� �

������

/DSSUR[LPDWLRQ�PLVH� HQ� RHXYUH� GDQV� OH� GRPDLQH� G\QDPLTXH� FRQVLVWH� j

XWLOLVHU� SRXU� OHV� YDULDEOHV� Y � HW� \ � OHV�PrPHV� IRQFWLRQV� G·LQWHUSRODWLRQ� TXHQ

VWDWLTXH�>��@��&HOD�FRQGXLW�j�OD�PDWULFH�GH�PDVVH�FRKpUHQWH�VXLYDQWH��

0$/

P P P P

P P P

P P

P

7 �

ª

¬

««««

º

¼

»»»»

U

I� �� �

� � � �

� � �

� �

�V\P

DYHF����

PU

/

PU

//

PU

/

PU

//

PU

//

P

� �

� �

� �

� �

� � �

��

� �

����

��� �

��

�����

����� ��

��� �

���

��� �

��

�����

��� ��

��� �

���� �� ���

��� � �

���� �� ���

��� �

� � �

� � � �

� � �

� � � �

� � � � �

� � � � �

I I

I I I

I I

I I I

I I I I

I I I I

� � � �

� � � �

� � � �

� ��

��� �

U

//

­

®

°°°°°°°°

¯

°°°°°°°°

½

¾

°°°°°°°°

¿

°°°°°°°°

������

Page 56: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�ILQL�GH�IOH[LRQ�SODQH

��

&HWWH�IRUPXODWLRQ�GH�O·pOpPHQW�ILQL�GH�SRXWUH�j�GHX[�QRHXGV�DYHF�SULVH�HQ

FRPSWH� GX� FLVDLOOHPHQW� j� pWp� LQLWLDOHPHQW� SURSRVpH� SDU� 3U]HPLHQLHFNL� >��@�

SXLV�GpYHORSSpH�SDU�SOXVLHXUV�DXWHXUV�GRQW�'DYLV�>��@�HW�7KRPDV�>�����@�

2Q� YpULILH� DLVpPHQW� TXH� FHW� pOpPHQW� ILQL� HVW� H[HPSW� GH� YHUURXLOODJH�� (Q

RXWUH��QRWRQV�TXH�ORUVTXH�OpODQFHPHQW�GH�OpOpPHQW�GHYLHQW�JUDQG�� U /� o � �HW

SDU�FRQVpTXHQW� Io � ��� .7 � HW� 07 � WHQGHQW� UHVSHFWLYHPHQW�YHUV� OHV�PDWULFHV

.% � HW� 0% � GH� OpOpPHQW� ILQL� GH�SRXWUH� j� GHX[�QRHXGV� LVVX�GH� OD� IRUPXODWLRQ

G·(XOHU�%HUQRXOOL�GRQW�O·H[SUHVVLRQ�FODVVLTXH�HVW��

.( ,

/

/ /

/ / /

/

/

%

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

� �

�� � �� �

� � �

�� �

�V\P

������

0 $/

/ /

/ / /

/

/

%

ª

¬

««««««««

º

¼

»»»»»»»»

U

����

�����

���

�����

����

�����

����

����

���������

� �

�V\P

������

������ 9DOLGDWLRQ�GX�PRGqOH�GH�7LPRVKHQNR

/·H[SUHVVLRQ�GH� OD�PDWULFH� GH�PDVVH� 07 � GH� OpOpPHQW� ILQL� j� GHX[� QRHXGV� GH

W\SH�7LPRVKHQNR�SURSRVpH�HQ��������HVW�UDUHPHQW�SUpVHQWpH�GDQV�OD�OLWWpUDWXUH�

'H� QRPEUHX[� DXWHXUV� OD� UHPSODFHQW� SDU� OD� PDWULFH� 0% � GH� W\SH� %HUQRXOOL�

REWHQDQW�DLQVL�XQ�pOpPHQW�ILQL�TXL�SHXW�rWUH�TXDOLILp�GH�©�PL[WH�ª��SRXU�OHTXHO

OH� WHUPH� I � GH� FRUUHFWLRQ� DX� FLVDLOOHPHQW� LQWHUYLHQW� XQLTXHPHQW� GDQV� OD

UDLGHXU� .7 �� 8Q� WHO� pOpPHQW� ILQL� HVW� HQFRUH� FRPPXQpPHQW� XWLOLVp� GDQV

SOXVLHXUV�FRGHV�GH�FDOFXO�GH�VWUXFWXUHV�

$ILQ� GH� FRPSDUHU� OH� FRPSRUWHPHQW� GH� FHV� GLIIpUHQWV� pOpPHQWV� ILQLV�

FRQVLGpURQV� OH� FDV� G·XQH� SRXWUH� EL�JXLGpH�� GH� VHFWLRQ� FLUFXODLUH� SOHLQH� HW

GpODQFHPHQW� O U� �� �� (OOH� HVW� PRGpOLVpH� VpSDUpPHQW� SDU� OHV� WURLV� W\SHV

GpOpPHQW� SRXWUH� �� 7LPRVKHQNR�� %HUQRXOOL�� HW� 0L[WH�� 3RXU� XQ� QRPEUH� IL[p

GpOpPHQWV� � �Q ��� �� OHUUHXU� HQWUH� OHV� IUpTXHQFHV� SURSUHV� REWHQXHV� SDU� FHV

Page 57: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

PRGqOHV� HW� FHOOHV� GRQQpHV� SDU� OD� IRUPXODWLRQ� FRQWLQXH� GH� 7LPRVKHQNR� HVW

UHSUpVHQWpH�VXU�OD�)LJXUH������/D�PRGpOLVDWLRQ�HQ�pOpPHQWV�GH�W\SH�%HUQRXOOL�D

WHQGDQFH� j� IRUWHPHQW� VXUHVWLPHU� OHV� IUpTXHQFHV� SURSUHV�� HW� FH� G·DXWDQW� SOXV

TXH�OH�UDQJ�GX�PRGH�HVW�JUDQG��/H�PRGqOH�PL[WH��TXDQW�j�OXL��j�WHQGDQFH�j�OHV

VRXV�HVWLPHU�� ,O� FRQGXLW� DLQVL� j� XQH� HUUHXU� UHODWLYH�GH� O·RUGUH�GH� �����GqV� OH

TXDWULqPH� PRGH�� DORUV� TXHOOH� HVW� TXDVL� QXOOH� SRXU� OpOpPHQW� GH� W\SH

7LPRVKHQNR��GH�ORUGUH�GH���������FH�TXL�FRQILUPH�OD�SUpFLVLRQ�GH�FH�GHUQLHU�

'H�SOXV� LO� HVW� LPSRUWDQW�GH�QRWHU�TXH��G·XQ�SRLQW�GH�YXH�TXDOLWDWLI�� O·pOpPHQW

FRKpUHQW� GH� 7LPRVKHQNR� HVW� OH� VHXO� j� PHWWUH� HQ� pYLGHQFH� OHV� PRGHV� GH

FLVDLOOHPHQW�SUpVHQWpV�GDQV�OH�FKDSLWUH�SUpFpGHQW�

1 2 3 4 5 6 7 8 9-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

0RGqOH GH

7LPRVKHQNR

0RGqOH GH

%HUQRXOOL

0RGqOH

0L[WH

1XPpUR GX 0RGH

(UUHXU��

1RPEUH G©pOpPHQWV � ���

)LJXUH�������(UUHXU�HQ�IUpTXHQFH�HQWUH�PRGqOHV�GLVFUHW�HW�FRQWLQX

&DV�WHVW�H[SpULPHQWDO

'DQV� OH� EXW� GH� YDOLGHU� OpOpPHQW� ILQL� SRXWUH� j� GHX[� QRHXGV� GH� W\SH

7LPRVKHQNR�� FRQVLGpURQV� OH� FDV� SUDWLTXH� VXLYDQW�� ,O� V·DJLW� G·XQH� SRXWUH

XQLIRUPH� GURLWH� KRPRJqQH� GH� VHFWLRQ� FLUFXODLUH� SOHLQH�� GH� ORQJXHXU

O ��� �� PP �HW�GH�GLDPqWUH� ' �� �� PP � �GRQF�G·pODQFHPHQW� O U� �|���� ���/H

Page 58: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�ILQL�GH�IOH[LRQ�SODQH

��

PDWpULDX�HVW�GX�'XUDO��$8�*��GH�PDVVH�YROXPLTXH�U �����NJ�P � ��GH�PRGXOH

G·pODVWLFLWp� ( � � ����� 3D ��HW�GH�FRHIILFLHQW�GH�3RLVVRQ� Q � �� ��/HV�FRQGLWLRQV

DX[� OLPLWHV� VRQW� OLEUH�OLEUH��$ILQ�GH�PHVXUHU� VHV�PRGHV�SURSUHV�� FHWWH�SRXWUH

GH�IDLEOH�pODQFHPHQW�D�pWp�LQVWUXPHQWpH�GH�OD�IDoRQ�VXLYDQWH���TXDWUH�SDVWLOOHV

SLp]R�pOHFWULTXHV� �SRXYDQW� VHUYLU� LQGLIIpUHPPHQW� GH� FDSWHXU� RX� GH[FLWDWHXU�

RQW�pWp�SODFpHV�VXU�XQH�JpQpUDWULFH��HW�GHX[�DFFpOpURPqWUHV�SLp]R�pOHFWULTXHV

VXU�OHV�VHFWLRQV�WHUPLQDOHV��)LJXUH������

&DSWHXUV

HW H[FLWDWHXUV

SLp]RpOHFWULTXHV

$FFpOpURPqWUHV

3RXWUH

)LJXUH�������&DV�WHVW�H[SpULPHQWDO

4XDWUH�GLVFUpWLVDWLRQV�RQW�pWp�VXFFHVVLYHPHQW�PLVHV�HQ�±XYUH��

x� PRGqOH�SRXWUH�GH�W\SH�7LPRVKHQNR�� Q ��� ������GGO�

x� PRGqOH�SRXWUH�GH�W\SH�%HUQRXOOL�� Q ��� ������GGO�

x� PRGqOH�SRXWUH�GH�W\SH�0L[WH�� Q ��� ������GGO�

x� PRGqOH�+H[DpGULTXH�j���QRHXGV�HW���GGO�SDU�QRHXG�� Q ��� �������GGO�

/HV� IUpTXHQFHV�SURSUHV� FDOFXOpHV� SRXU� OHV� VL[� SUHPLHUV�PRGHV�GH� IOH[LRQ

DLQVL� TXH� OHUUHXU� UHODWLYH� SDU� UDSSRUW� j� OD�PHVXUH� HIIHFWXpH� VRQW� SUpVHQWpHV

GDQV�OH�7DEOHDX������

0RGH 0HVXUH +H[DqGUH 7LPRVKHQNR %HUQRXOOL 0L[WH

Q� I��+]� I��+]� H���� I��+]� H���� I��+]� H���� I��+]� H����

� ���� ���� ����� ���� ����� ���� ���� ���� �����

� ����� ����� ���� ����� ����� ����� ���� ���� �����

� ����� ����� ���� ����� ����� ����� ���� ����� �����

� ����� ����� ���� ����� ���� ����� ���� ����� �����

� ����� ����� ���� ����� ���� ����� ���� ����� �����

� ����� ����� ���� ����� ���� ����� ����� ����� �����

7DEOHDX�������&RPSDUDLVRQ�HQWUH�GLIIpUHQWHV�PRGpOLVDWLRQV��H �IFDO�I

PHV��I

PHV�

Page 59: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

/HV� UpVXOWDWV� REWHQXV� PRQWUHQW� TXH� OH� PRGqOH� GH� W\SH� 7LPRVKHQNR

SUpVHQWH�XQ� H[FHOOHQW� FRPSRUWHPHQW� HQ� DFFRUG� DYHF� OH[SpULHQFH��'H� SOXV�� LO

HVW� DXVVL� SHUIRUPDQW� TXH� OH� PRGqOH� HQ� pOpPHQWV� YROXPLTXHV�� HW� FH� SRXU� XQ

QRPEUH� ELHQ� PRLQGUH� GH� GGO� �HQYLURQ� GRX]H� IRLV� PRLQV� GDQV� FH� FDV��� 3DU

FRQWUH�� O·HPSORL�G·pOpPHQWV�GH� W\SH�%HUQRXOOL�RX�GH� W\SH�0L[WH�FRQGXLW�j�GHV

HUUHXUV�LQDFFHSWDEOHV�GqV�OHV�SUHPLHUV�PRGHV��HW�FH�PDOJUp�XQH�GLVFUpWLVDWLRQ

UHODWLYHPHQW�ILQH��&HFL�FRQILUPH�OH�IDLW�TXH��SRXU�O·pWXGH�GHV�SRXWUHV�GH�IDLEOH

pODQFHPHQW��OHXU�XWLOLVDWLRQ�HVW�j�SURVFULUH�

������ 1RXYHOOHV�DSSURFKHV

/D�PpWKRGH�SURSRVpH�LFL�HVW�EDVpH�VXU�OD�FRQGHQVDWLRQ�VWDWLTXH�GH�*X\DQ�>��@�

(OOH�SHUPHW�GH�FRQVWUXLUH�GHV�pOpPHQWV�ILQLV�SRXWUH�GH�7LPRVKHQNR�j�GHX[�GGO

SDU�QRHXG�GH�PDQLqUH�VLPSOH�HW�V\VWpPDWLTXH�>�@�

eOpPHQW�j�GHX[�QRHXGV

&RQVLGpURQV� XQ� pOpPHQW� GH� SRXWUH� GH� 7LPRVKHQNR� j� TXDWUH� QRHXGV

pTXLGLVWDQWV��EDVp�VXU�XQH�LQWHUSRODWLRQ�LVRSDUDPpWULTXH�

[

[ /�� [ �/�� [ /[ �

� � � �

)LJXUH�������eOpPHQW�LVRSDUDPpWULTXH�GH�SRXWUH�j���QRHXGV

/H�FKDPS�GLQWHUSRODWLRQ�HVW�FXELTXH�SRXU�OHV�YDULDEOHV� LQGpSHQGDQWHV� Y

HW�\ ��HW�OH�YHFWHXU�GHV�GpSODFHPHQWV�JpQpUDOLVpV�VXU�OpOpPHQW�VpFULW��

> @T Y Y Y Y � � � � � � � �\ \ \ \7

������

6RLHQW� . �HW�0 � OHV�PDWULFHV�pOpPHQWDLUHV�GH�UDLGHXU�HW�GH�PDVVH�GH� 5� ��

GH�FHW�pOpPHQW��/H�FDOFXO�GHV�IRQFWLRQV�GLQWHUSRODWLRQ�1Y�HW�1

\�HVW�LPPpGLDW�

HW�DERXWLW�j��

Page 60: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�ILQL�GH�IOH[LRQ�SODQH

��

1/

/ / [ /[ [

/ [ /[ [

/ [ / [ [

/ [ /[ [

Y

7

� � �

� �

� � �

� �

ª

¬

«««««««««««

º

¼

»»»»»»»»»»»

� �� �� �

�� �� ��

� �� ��

� � �

� � � �

� � �

� � �

� � �

������

1/

/ / [ /[ [

/ [ /[ [

/ [ / [ [

/ [ /[ [

\

7

� � �

� �

� � �

� �

ª

¬

«««««««««««

º

¼

»»»»»»»»»»»

� �� �� �

�� �� ��

� �� ��

� � �

� � � �

� � �

� � �

� � �

������

/HV�PDWULFHV�GH� UDLGHXU�HW�GH�PDVVH� . � HW� 0 � VRQW�FDOFXOpHV�j�SDUWLU�GHV

UHODWLRQV�������HW���������HW�RQW�SRXU�H[SUHVVLRQ��

.(,

/

/ / / /

/ / / / / / /

/ /

/ / / / /

/

� � �

� � � � � � �

� �

� � � � � �

� � � �

� � �

���

��

���

��

���

��

��

��

��

��

��

��

�� ���

��

���

��

� �� ���

���

��

� � ��

���

��

��

�� ��

���

���

��

���

��

���

��

��

��

�� � �

��

���

��

�� � ��

���

��

� � ��

���

���

��

���

��

���

��

�� � �

I

I I I I

I I I

� � � � � � � �

� � � � � �

�V\P

I I

I

� � �

� �

��

���

��

� �� ���

���

���

��

�� ���

��

� �

/ / /

/

/

� �

ª

¬

««««««««««««««««««

º

¼

»»»»»»»»»»»»»»»»»»

������

0 $/

U U U U

U U U

U U

U

� �

� �

ª

¬

««««««««««««««««««

º

¼

»»»»»»»»»»»»»»»»»»

U

����

��

����

����

��

�����

����

��

����

����

��

����

��

���

��

����

����

��

���

��

����

���

��

���

��

����

��

���

��

���

����

���

� � � �

� � �

� �

V\P

������

Page 61: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

$ILQ�GH�FRQVWUXLUH� OpOpPHQW� ILQL�GH�SRXWUH�j�GHX[�QRHXGV��HIIHFWXRQV�XQH

SDUWLWLRQ�GHV�GGO�HQ�GHX[�VRXV�HQVHPEOHV���OHV�GGO�PDvWUHV�DVVRFLpV�DX[�QRHXGV

GH�MRQFWLRQ�GH�OpOpPHQW��QRHXGV���HW����HW� OHV�GGO�HVFODYHV�FRUUHVSRQGDQW�DX[

GHX[�QRHXGV�LQWHUQHV��QRHXGV���HW����

$LQVL��RQ�GpFRPSRVH�OH�YHFWHXU�GHV�LQFRQQXHV�QRGDOHV�GH�OD�IDoRQ�VXLYDQWH��

TT

TP

V

ª

¬«

º

¼» ���DYHF����

> @> @

T Y Y

T Y Y

P

V

­®°

°̄

� � � �

� � � �

\ \

\ \

7

7 ������

/D�PrPH�SDUWLWLRQ�HVW�DSSOLTXpH�DX[�PDWULFHV�GH�UDLGHXU�HW�GH�PDVVH��

.. .

. .PP PV

PV

7

VV

ª

¬««

º

¼»»�������0

0 0

0 0PP PV

PV

7

VV

ª

¬««

º

¼»»������. 0� ��5� � ������

/pTXLOLEUH�G\QDPLTXH�GH�OpOpPHQW�VpFULW��

� �. 0 T )� Z� ������

R��� > @) )P7 7 � �HVW�OH�YHFWHXU�GHV�IRUFHV�GH�MRQFWLRQ�HQWUH�pOpPHQWV�

/HV�pTXDWLRQV�G·pTXLOLEUH�SHXYHQW�DORUV�V·H[SULPHU�SDU��

� � � �. 0 T . 0 T )PP PP P PV PV V P� � � Z Z� �������

� � � �. 0 T . 0 TPV

7

PV

7

P VV VV V� � � Z Z� � � ������

/K\SRWKqVH� GH�*X\DQ� >��@� FRQVLVWH� j� QpJOLJHU� OHV� IRUFHV� GLQHUWLH� VXU� OHV

GGO� HVFODYHV� GDQV� O·pTXDWLRQ� �������� FH� TXL� SHUPHW� GH[SULPHU� OHQVHPEOH� GHV

GGO�HQ�IRQFWLRQ�GHV�VHXOV�GGO�PDvWUHV��2Q�GpILQLW�DORUV�DX�QLYHDX�GH�OpOpPHQW�OD

WUDQVIRUPDWLRQ�GH�*X\DQ�7* �LQGpSHQGDQWH�GH�OD�IUpTXHQFH��

T,

. .T 7 T

P

VV PV

7 P * P �ª

¬«

º

¼»

��

'

������

R�� ,P �HVW�OD�PDWULFH�LGHQWLWp�GRUGUH�P�

/H�SUREOqPH��������VH�UDPqQH�DORUV�j�OD�IRUPH�FRQGHQVpH�VXU�OHV�MRQFWLRQV��

� �. 0 T )F F P P� Z� ������

R��.F �HW�0F �VRQW�OHV�PDWULFHV�pOpPHQWDLUHV�FRQGHQVpHV�GpILQLHV�SDU��

. 7 .7F * * 7 ���HW���0 7 07F * * 7 ������

Page 62: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�ILQL�GH�IOH[LRQ�SODQH

��

/H� FDOFXO� IRUPHO� DSSOLTXp� DX[� PDWULFHV� GH� O·pOpPHQW� j� TXDWUH� QRHXGV

GpILQLHV�HQ��������HW��������SHUPHW�ILQDOHPHQW�G·pYDOXHU�OHV�PDWULFHV�.F �HW�0F

FRQGHQVpHV� VXU� OHV� GHX[� QRHXGV� GH� MRQFWLRQ�� 2Q� REWLHQW� WRXV� FDOFXOV� IDLWV� OH

UpVXOWDW�FDUDFWpULVWLTXH�VXLYDQW��

. .F 7 ���HW���0 0F 7 ������

(Q� G·DXWUHV� WHUPHV�� OHV� PDWULFHV� FDOFXOpHV� SDU� FRQGHQVDWLRQ� GH� *X\DQ

V·DYqUHQW� rWUH� ULJRXUHXVHPHQW� LGHQWLTXHV� j� FHOOHV� REWHQXHV� SUpFpGHPPHQW

GDQV� OH� FDV� GH� O·pOpPHQW� ILQL� GH� 7LPRVKHQNR� FRKpUHQW�� H[SUHVVLRQV� ������� HW

��������&H�UpVXOWDW�QH�GRLW�SDV�VXUSUHQGUH���LO�HVW�pYLGHQW�HQ�FH�TXL�FRQFHUQH�OD

PDWULFH�GH�UDLGHXU�FDU�OD�FRQGHQVDWLRQ�GH�*X\DQ�HVW�H[DFWH�HQ�VWDWLTXH��(Q�FH

TXL� FRQFHUQH� OD� PDWULFH� GH� PDVVH�� OK\SRWKqVH� TXL� FRQVLVWH� j� XWLOLVHU� HQ

G\QDPLTXH� XQH� LQWHUSRODWLRQ� pWDEOLH� HQ� VWDWLTXH� UHYLHQW� HIIHFWLYHPHQW� j

QpJOLJHU�OHV�IRUFHV�GLQHUWLH�LQWHUQHV�GDQV�OD�SURFpGXUH�GH�FRQGHQVDWLRQ�

eOpPHQWV�GH�GHJUp�VXSpULHXU

$ILQ�GHQULFKLU�OH�PRGqOH�GH�SRXWUH�DYHF�SULVH�HQ�FRPSWH�GX�FLVDLOOHPHQW��LO

SHXW� rWUH� LQWpUHVVDQW� GH� JpQpUDOLVHU� OD�PpWKRGH� GH� FRQGHQVDWLRQ� SUpFpGHQWH

SRXU�FRQVWUXLUH�GHV�pOpPHQWV�ILQLV�GH�SRXWUH�j�SDUWLU�GLQWHUSRODWLRQV�GH�GHJUp

VXSpULHXU�

&RQVLGpURQV� SDU� H[HPSOH� XQ� pOpPHQW� GH� SRXWUH� LVRSDUDPpWULTXH� j� FLQT

QRHXGV� pTXLGLVWDQWV� �)LJXUH� ������/HV� IRQFWLRQV� GLQWHUSRODWLRQ� VRQW� DORUV� GHV

SRO\Q{PHV� GH� GHJUp� ��� 'H� PDQLqUH� DQDORJXH� j� FH� TXL� D� pWp� UpDOLVp

SUpFpGHPPHQW��OHV�PDWULFHV�GH�UDLGHXU�HW�GH�PDVVH�RQW�pWp�FRQGHQVpHV�VXU�OHV

GHX[� QRHXGV� H[WUrPHV�� FRQGXLVDQW� DLQVL� j� O·H[SUHVVLRQ� GH� PDWULFHV

pOpPHQWDLUHV�j�TXDWUH�GGO��,O�HVW�DORUV�HVVHQWLHO�GH�VLJQDOHU�TXH�FHV�PDWULFHV�QH

SHXYHQW� rWUH� GLIIpUHQWHV� GH� .7 � HW� 07 � REWHQXHV� DXSDUDYDQW� j� SDUWLU� GH

OpOpPHQW� GH� SRXWUH� j� TXDWUH� QRHXGV�� (Q� HIIHW�� DSSOLTXHU� OD� FRQGHQVDWLRQ� GH

*X\DQ� UHYLHQW� j� HIIHFWXHU� XQH� LQWHUSRODWLRQ� H[DFWH� HQ� VWDWLTXH�� 3XLVTXH� OD

GpIRUPpH� VWDWLTXH� H[DFWH� GH� OD� SRXWUH� HVW� XQ� SRO\Q{PH� GH� GHJUp� ��� WRXWH

LQWHUSRODWLRQ� SRO\QRPLDOH� GH� GHJUp� VXSpULHXU� RX� pJDO� j� �� FRQGXLW� DORUV

IDWDOHPHQW� DX[� PrPHV� PDWULFHV� FRQGHQVpHV� H[SULPpHV� SDU� .7 � HW� 07 �� &H

UpVXOWDW�D�G·DLOOHXUV�pWp�FRQILUPp�SRXU�OHV�GHJUpV�G·LQWHUSRODWLRQ����������HW���j

ODLGH�GXQ�ORJLFLHO�GH�FDOFXO�IRUPHO�

Page 63: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

$ILQ�GREWHQLU�HIIHFWLYHPHQW�XQ�PRGqOH�GH�SRXWUH�GH�GHJUp�VXSpULHXU��LO�HVW

SRVVLEOH� GH� FRQVWUXLUH� XQ� pOpPHQW� ILQL� FRQGHQVp� GH� SRXWUH� j� WURLV� QRHXGV

GpILQL�SDU�GHX[�QRHXGV�GH�MRQFWLRQ�HW�XQ�QRHXG�LQWHUQH�

[

[ /[ �

� � � � �

[ /��

)LJXUH�������eOpPHQW�LVRSDUDPpWULTXH�GH�SRXWUH�j���QRHXGV

&RQVLGpURQV�OpOpPHQW�LVRSDUDPpWULTXH�j�FLQT�QRHXGV��)LJXUH������GRQW�OHV

QRHXGV�PDvWUHV�VRQW�OHV�QRHXGV������HW����/H�FDOFXO�IRUPHO�D�SHUPLV�GREWHQLU�OHV

PDWULFHV� GH� UDLGHXU� HW� GH�PDVVH� FRQGHQVpHV� j� VL[� GGO� FRUUHVSRQGDQWHV�� /HV

SHUIRUPDQFHV�G\QDPLTXHV�GH� OpOpPHQW�DLQVL�REWHQX�VRQW� LOOXVWUpHV�SDU� OH�FDV

WHVW�QXPpULTXH�VXLYDQW��

/D�VWUXFWXUH�HVW�XQH�SRXWUH� UHFWLOLJQH�HQFDVWUpH�HQFDVWUpH�HW�DSSX\pH�DX

PLOLHX�� (OOH� HVW� PRGpOLVpH� HQ� pOpPHQWV� GH� SRXWUH� GH� 7LPRVKHQNR

UHVSHFWLYHPHQW�j�GHX[�QRHXGV�HW�j�WURLV�QRHXGV��QRWpV��1�HW��1��HW�OHV�FDOFXOV

GHV� PRGHV� SURSUHV� RQW� pWp� HIIHFWXpV� j� WDLOOH� pJDOH� HQWUH� OH� PRGqOH� �1� HW� OH

PRGqOH� �1� ��� pOpPHQWV� �1�� ��� pOpPHQWV� �1��� /HV� UpVXOWDWV� REWHQXV� VRQW

UHSRUWpV�GDQV�OH�7DEOHDX�����

0RGH ([DFW eOpPHQWV��1�����GGO� eOpPHQWV��1�����GGO�

Q� I��+]� I��+]� H���� I��+]� H����

� ������� ������� ���� ������ �����

� ������� ������� ���� ������� ����

� ������� ������� ��� ������� ����

� ����� ������� ��� ������� ���

� ������� ������� ��� ������� ���

� ������� ������� ��� ������� ����

� ������� ������� ��� ������� ����

� ������� ����� ��� ������� ����

7DEOHDX�������&RPSDUDLVRQ�HQWUH�OHV�PRGqOHV��1�HW��1��H �IHI�I

H[��I

H[�

Page 64: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�ILQL�GH�IOH[LRQ�SODQH

��

2Q� SHXW� DLQVL� UHPDUTXHU� TXH� OHV� SHUIRUPDQFHV� GX� PRGqOH� �1� VRQW

VDWLVIDLVDQWHV�� (Q� HIIHW�� LO� DPpOLRUH� VHQVLEOHPHQW� OHV� UpVXOWDWV� GRQQpV� SDU� OH

PRGqOH��1��/HUUHXU�HQ�IUpTXHQFH�HQWUH�OH�PRGqOH�GLVFUHW�HW�OH�PRGqOH�FRQWLQX

HVW� LQIpULHXUH� j� �� �� SRXU� OHV� KXLW� SUHPLHUV� PRGHV� DYHF� OpOpPHQW� �1�� DORUV

TXHOOH� HVW� VXSpULHXUH� j� �� �� SRXU� OH� KXLWLqPH� PRGH� DYHF� O·pOpPHQW� �1�� /H

PRGqOH��1�DLQVL�REWHQX�V·DYqUH�rWUH�UHODWLYHPHQW�SOXV�SUpFLV�TXH�OH�PRGqOH��1

SOXV�FODVVLTXH�

$X� YX� GH� FHV� UpVXOWDWV�� XQH� TXHVWLRQ� VH� SRVH��� SHXW�RQ� DXJPHQWHU

LQGpILQLPHQW� OH� GHJUp� GLQWHUSRODWLRQ�� UHQGDQW� GH� FH� IDLW� HQYLVDJHDEOH� OD

FRQVWUXFWLRQ�G·pOpPHQWV�GH�SRXWUH�HQFRUH�SOXV�SHUIRUPDQWV�"

(Q� IDLW�� OD� GpIRUPpH� VWDWLTXH� H[DFWH� GXQ� pOpPHQW� j� WURLV� QRHXGV� HVW� XQ

SRO\Q{PH� GH� GHJUp� �� SDU� PRUFHDX[� �GHX[� PRUFHDX[�� HQ� O·RFFXUUHQFH��

&RQWUDLUHPHQW� j� OpOpPHQW� j� GHX[� QRHXGV�� FHWWH� GpIRUPpH� QH� SHXW� GRQF� SDV

rWUH�LQWHUSROpH�GH�PDQLqUH�H[DFWH�SDU�XQ�VHXO�SRO\Q{PH��TXHO�TXH�VRLW�OH�GHJUp

GH�FHOXL�FL��3DU�FRQVpTXHQW��OD�PpWKRGH�GHQULFKLVVHPHQW�GH�PRGqOH�SURSRVpH

SHXW�rWUH�D�SULRUL�JpQpUDOLVpH�j�GHV�GHJUpV�G·LQWHUSRODWLRQ�VXSpULHXUV�

)

\

)LJXUH�������eOpPHQW��1�EL�HQFDVWUp�HW�FKDUJp�VXU�OH�QRHXG�FHQWUDO

$ILQ� G·LOOXVWUHU� FHWWH� SURSULpWp�� FRQVLGpURQV� OH� SUREOqPH� VWDWLTXH� GXQH

SRXWUH�GH� ORQJXHXU� O��PRGpOLVpH�SDU�XQ� VHXO� pOpPHQW� ILQL� j� WURLV� QRHXGV� LVVX

GXQH� LQWHUSRODWLRQ� VXFFHVVLYHPHQW� HQULFKLH�� HW� VRXPLVH� j� XQH� IRUFH� )

WUDQVYHUVDOH�VLWXpH�j�PL�ORQJXHXU�VXU� OH�QRHXG�LQWHUQH��)LJXUH�������/D�IOqFKH

H[DFWH� Y O� � �� �FDOFXOpH�SDU�OH�PRGqOH�FRQWLQX�GH�7LPRVKHQNR�V·H[SULPH�SDU��

Y O) O( ,

� � � � ������ ��

�I

������

Page 65: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

/D� IOqFKH� REWHQXH� j� SDUWLU� GHV� GLIIpUHQWV� GHJUpV� G·LQWHUSRODWLRQV� HVW

GRQQpH�GDQV�OH�7DEOHDX������

G��GH�OLQWHUSRODWLRQ )OqFKH� Y O� � �� )OqFKH�SRXU�I �

� � ������

� ���

� I) O( ,

���� �

�) O( ,

� � ������

� ���

� I) O( ,

���� ��

�) O( ,

� � ��

���������� ����

� I) O( ,

���� ��

�) O( ,

�� � ��

����������� ����

� I) O( ,

���� ��

�) O( ,

7DEOHDX�������5pVXOWDWV�LVVXV�G·LQWHUSRODWLRQV�GH�GHJUpV�GLIIpUHQWV

&RPPH�SUpYX��OHV�UpVXOWDWV�REWHQXV�HQ�VWDWLTXH�PRQWUHQW�TXH�OD�SUpFLVLRQ

GX� PRGqOH� DXJPHQWH� DYHF� OH� GHJUp� GH� O·LQWHUSRODWLRQ� �OH� SUHPLHU� WHUPH

FRQYHUJH�YHUV�OD�VROXWLRQ�H[DFWH��� � ���� ���3DU�FRQWUH��FHWWH�SURSULpWp�Q·HVW�SOXV

IRUFpPHQW� YDODEOH� HQ� G\QDPLTXH�� R�� OHV� SHUIRUPDQFHV� GH� OD� FRQGHQVDWLRQ

VWDWLTXH� RQW� WHQGDQFH� j� GLPLQXHU�� (Q� HIIHW�� OH� GRPDLQH� GH� YDOLGLWp� GH� OD

FRQGHQVDWLRQ� GH� *X\DQ� HVW� WRXMRXUV� GpILQL� SDU� OD� IUpTXHQFH� GH� FRXSXUH� IF�

FHOOH�FL� pWDQW� OD� SOXV� SHWLWH� IUpTXHQFH� SURSUH� GX� SUREOqPH� j� GGO� PDvWUHV

EORTXpV� >�@�� *pQpUDOHPHQW�� OD� PpWKRGH� GH� *X\DQ� GRQQH� GHV� UpVXOWDWV

DFFHSWDEOHV� GDQV� OD� EDQGH� XWLOH� >���� IF� � @�� $LQVL�� ORUVTXH� OH� QRPEUH� GH� GGO

HVFODYHV� DXJPHQWH� �DYHF� OH� GHJUp� GLQWHUSRODWLRQ� FKRLVL�� OD� IUpTXHQFH� IF

GLPLQXH��FH�TXL�HQWUDvQH�XQH�GpJUDGDWLRQ�JOREDOH�GHV�UpVXOWDWV��/HV�QRPEUHX[

FDV�WHVWV�QXPpULTXHV�UpDOLVpV�PRQWUHQW�TXH�OpOpPHQW�j�WURLV�QRHXGV�LVVX�GXQH

LQWHUSRODWLRQ� SRO\QRPLDOH� GH� GHJUp� �� HVW� HQ� JpQpUDO� FHOXL� TXL� SUpVHQWH� OHV

PHLOOHXUHV�SHUIRUPDQFHV�G\QDPLTXHV�

Page 66: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�JpQpUDO�GH�SRXWUH�WULGLPHQVLRQQHOOH

��

���� eOpPHQW�JpQpUDO�GH�SRXWUH�WULGLPHQVLRQQHOOH

������ 0DWULFH�GH�UDLGHXU

'·DSUqV� OH�&KDSLWUH���� O·pQHUJLH�GH�GpIRUPDWLRQ�:�G·XQ�pOpPHQW�GH�SRXWUH�GH

ORQJXHXU�/�V·H[SULPH�GDQV�OH�UpIpUHQWLHO�SULQFLSDO�G·LQHUWLH��[ \ ]S S S� � ��SDU��

: ( $X[

N *$Y[

N *$Z[

( ,[

( ,[

*-[

( ,[

[

*\

&] ]

&\

/

\

\

]] [ [

� � � �§

©¨

� � � �·

¹¸

³�� � � �

� � ��

��

� � � � � �

� � � � � � � �

ww

ww

Tww

T

wT

wwTw

wTw

w T

wMG

������

5DSSHORQV�TXH�GDQV�FHWWH�H[SUHVVLRQ�� X* �HVW� OH�GpSODFHPHQW�ORQJLWXGLQDO

�VXLYDQW� [S ��GX�FHQWUH�GH�JUDYLWp�*�GH� OD�VHFWLRQ�GURLWH�FRXUDQWH��� Y& �HW� Z&

VRQW� OHV� GpSODFHPHQWV� WUDQVYHUVHV� GX� FHQWUH� GH� WRUVLRQ�&��� T T T[ \ ]� � � VRQW� OHV

URWDWLRQV� GH� OD� VHFWLRQ� GURLWH�� /H� FKRL[� GH� FHV� YDULDEOHV� FLQpPDWLTXHV� D� pWp

DPSOHPHQW�MXVWLILp�ORUV�GH�O·pWXGH�GX�PRGqOH�FRQWLQX��,O�HVW�DYDQW�WRXW�PRWLYp

SDU� OH� IDLW� TX·LO� SHUPHW� GH� GpFRXSOHU� OHV� GLIIpUHQWV� W\SHV� GH� GpIRUPDWLRQ

�WUDFWLRQ��IOH[LRQV��WRUVLRQ��FRPPH�OH�PRQWUH�FODLUHPHQW�O·H[SUHVVLRQ��������

&RQVLGpURQV�OpOpPHQW�ILQL�GH�SRXWUH�j�GHX[�QRHXGV��QXPpURWpV���HW����HW�j

VL[� GGO� SDU� QRHXG� UHSUpVHQWDQW� OD� FLQpPDWLTXH� GpILQLH� SUpFpGHPPHQW�� /HV

YDULDEOHV�QRGDOHV�VRQW�GDQV�XQ�SUHPLHU�WHPSV�GpILQLHV�SDU��

> @T X X Y Y Z ZS * * & ] & ] & \ & \ [ [ � � � � � � � � � � � �T T T T T T7

������

2Q�SHXW� DORUV� GpFRPSRVHU� OD�PDWULFH� GH� UDLGHXU� . S � GH� OpOpPHQW� ILQL� HQ

SOXVLHXUV�VRXV�PDWULFHV�GH�OD�PDQLqUH�VXLYDQWH��

.

.

.

.

.

S

X

Y

Z

*

&

&

[

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

� � �

� �

V\P T

�������. S �5����� ������

$ILQ�GH�FRQVWUXLUH�XQ�pOpPHQW�ILQL�H[DFW�HQ�VWDWLTXH��RQ�DVVRFLH�j�FKDTXH

W\SH�GH�GpIRUPDWLRQ�XQH�IRQFWLRQ�G·LQWHUSRODWLRQ�SRO\QRPLDOH�GH�GHJUp�pJDO�j

OD�GpIRUPpH�VWDWLTXH�FRUUHVSRQGDQWH�

Page 67: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

$LQVL�� OH� GpSODFHPHQW� ORQJLWXGLQDO� X [* � � � pWDQW� XQH� IRQFWLRQ� OLQpDLUH�� OH

FDOFXO� GHV� IRQFWLRQV� G·LQWHUSRODWLRQV� SXLV� GH� OD� PDWULFH� GH� UDLGHXU� DVVRFLpH

.X* �HVW�LPPpGLDW��2Q�DERXWLW�j�OD�WUqV�FODVVLTXH�H[SUHVVLRQ��

.( $/

X* �

�ª

¬«

º

¼»

� �

� �������

3RXU�GHV� UDLVRQV�SUDWLTXHV�G·LQWpJUDWLRQ�GH� O·pOpPHQW� ILQL�GDQV�GHV� FRGHV

GH� FDOFXO� H[LVWDQWV�� RQ� VXSSRVHUD� TXH� OD� WRUVLRQ� HVW� UpJLH� SDU� OH� PRGqOH� GH

WRUVLRQ� OLEUH� GH� 6DLQW�9HQDQW�� 1RXV� YHUURQV� XOWpULHXUHPHQW� TXH� FHWWH

K\SRWKqVH� Q·HVW� PDOKHXUHXVHPHQW� SDV� WRXMRXUV� YpULILpH�� 1pDQPRLQV�

FRQVLGpURQV� DLQVL� XQH� GpIRUPpH� VWDWLTXH� OLQpDLUH� SRXU� T[ [� � �� /H� WHUPH

FRQWHQDQW�OH�PRPHQW�VHFWRULHO�V·DQQXOH��HW�RQ�D��

.*-/

[T �

�ª

¬«

º

¼»

� �

� �������

(Q� FH� TXL� FRQFHUQH� OD� IOH[LRQ�� RQ� D� YX� GDQV� OD� SUHPLqUH� SDUWLH� GH� FH

FKDSLWUH� TXH� O·XWLOLVDWLRQ� G·XQH� LQWHUSRODWLRQ� SRO\QRPLDOH� GH� GHJUp� WURLV

FRQGXLW� SRXU� XQ� GHV� GHX[� SODQV� SULQFLSDX[� j� O·H[SUHVVLRQ� VXLYDQWH� GH� OD

PDWULFH�GH�UDLGHXU��

.(,

/

/ /

/ / /

/

/

Y ]

\

\ \

\

& �

� � �

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

� �

� � � �

� �

�� � �� �

� � �

�� �

� �

I

I I

IV\P

������

DYHF��

I\]

\

(,

N $*/ ��

� ������

'DQV�O·DXWUH�SODQ�SULQFLSDO��XQ�FDOFXO�DQDORJXH�SHUPHW�G·DERXWLU�j��

.( ,

/

/ /

/ / /

/

/

Z \

]

] ]

]

& �

� � �

� �

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

� �

� � � �

� �

�� � �� �

� � �

�� �

� �

I

I I

IV\P

������

HW��

I]\

]

(,

N $*/ ��

� ������

Page 68: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�JpQpUDO�GH�SRXWUH�WULGLPHQVLRQQHOOH

��

������ 0DWULFH�GH�PDVVH

/·pQHUJLH� FLQpWLTXH�7� GH� O·pOpPHQW� ILQL�� GDQV� ODTXHOOH� RQ� QpJOLJH� OH� WHUPH� GH

JDXFKLVVHPHQW��V·H[SULPH�SDU��

7 $X $Y $Z , ,

, $ \ Z ] Y [

/

* & & \ \ ] ]

& [ * & [ * & [

� � � �

� � �

³�� �

� � � � �

� �

U T T

T T T

� � � � � �

� � � � � � � � G������

$ILQ� GH� FRQVWUXLUH� XQH� PDWULFH� GH� PDVVH� FRKpUHQWH� DYHF� OD� PDWULFH� GH

UDLGHXU�� RQ� XWLOLVH� OHV� PrPHV� IRQFWLRQV� G·LQWHUSRODWLRQ� H[DFWHV� HQ� VWDWLTXH�

$LQVL�� HQ� UHVSHFWDQW� OD� GpILQLWLRQ� HW� OH� UDQJHPHQW� GHV� YDULDEOHV� QRGDOHV

SURSRVpV� HQ� �������� RQ� SHXW� GpILQLU� VXU� OD� PDWULFH� GH� PDVVH� 0 S � OH� PrPH

GpFRXSDJH�TXH�FHOXL�DSSOLTXp�SUpFpGHPPHQW�j�OD�PDWULFH�GH�UDLGHXU���������j

VDYRLU��

0

0

0 0

0 0

0

S

X

Y Y

Z Z

*

& & [

& & [

[

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

� � �

� T

T

TV\P

�������0S �5�����

������

&HWWH� pFULWXUH� SHUPHW� G·RUHV� HW� GpMj� GH� PHWWUH� HQ� pYLGHQFH� OH� FRXSODJH

G\QDPLTXH�HQWUH�OHV�HIIHWV�GH�IOH[LRQ�HW�GH�WRUVLRQ�

/HV� H[SUHVVLRQV� GHV� GLIIpUHQWHV� VRXV�PDWULFHV� FRQVWLWXDQW� 0 S � VRQW� OHV

VXLYDQWHV��

7UDFWLRQ��

0$/X

* ª

¬«

º

¼»

U�

� �

� �������

7RUVLRQ�VLPSOH��

0, /

[&T

U

ª

¬«

º

¼»�

� �

� �������

DYHF���� , , , \ ] $& \ ] * * � � �� �� �

Page 69: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

)OH[LRQ��

0 $/

P U P U P U P U

P U P U P U

P U P U

P U

Y

\ ] \ ] \ ] \ ]

\ ] \ ] \ ]

\ ] \ ]

\ ]

&

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

U

I I I I

I I I

I I

I

� � � �

� � �

� �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � �

� � �V\P

DYHF����

P UU

/

P UU

//

P UU

/

P U

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

��

��

�� �

��

���

��

��� ��

�� �

��

�� �

��

���

�� ��

��

� � �� �

� � �� �

� � � �

� � �� �

� � �� �

� �

II

I I

II

I I I

II

I I

II

I I

� � �§

©¨

·

¹¸

� � � �§

©¨

·

¹¸

� � �§

©¨

·

¹¸

� � � �§

©¨

·

¹¸

� � � � �§

©¨

·

¹¸

� � � � �§

©¨

·

¹¸

­

®

°°°°°°°°°

¯

°°°°°°°°°

½

¾

°°°°°°°°°

¿

°°°

I

II

I I I I

II

I I I I

��� �� ���

�� � �

��� �� ���

�� � �

� �

� � �

� �

� � �

� �

� � �� �

� � � �

� � �� �

� � � �

U

//

P UU

//

P UU

//

°°°°°°

������

0 $/

P U P U P U P U

P U P U P U

P U P U

P U

Z

] \ ] \ ] \ ] \

] \ ] \ ] \

] \ ] \

] \

&

� �ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

U

I I I I

I I I

I I

I

� � � �

� � �

� �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � �

� � �V\P

������

&RXSODJH�)OH[LRQ�7RUVLRQ��

� � � �� � � �� � � �� � � �

0 ]$/Y

*\

\ \

\ \

\ \

\ \

& [T

UI

I I

I I

I I

I I

� � � �

� � � �

� � � �

� �

ª

¬

««««««

º

¼

»»»»»»

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

������

� � � �� � � �� � � �� � � �

0 \$/Z

*]

] ]

] ]

] ]

] ]

& [TU

I

I I

I I

I I

I I

� �

� � � �

� �

� �

ª

¬

«««««

º

¼

»»»»»

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

������

Page 70: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������eOpPHQW�JpQpUDO�GH�SRXWUH�WULGLPHQVLRQQHOOH

��

/D� IRUPXODWLRQ�DLQVL� REWHQXH� FRUURERUH� OHV� UpVXOWDWV� pWDEOLV�SDU�+DOODXHU

>��@� SRXU� OD� IOH[LRQ�WRUVLRQ� VDQV� FLVDLOOHPHQW�� 'HV�PRGqOHV� VLPLODLUHV� RQW� pWp

SURSRVpV�SDU�SOXVLHXUV�DXWHXUV�GRQW�'XELJHRQ�>��@�HW�3RWLURQ�>��@�GDQV�OH�FDV

GXQ� pOpPHQW� ILQL� SUHQDQW� HQ� FRPSWH� OH� JDXFKLVVHPHQW� G�� j� OD� WRUVLRQ�� DYHF

XQH�FLQpPDWLTXH�GH�SRXWUH�j�VHSW�GGO�SDU�QRHXG�

$ILQ�G·REWHQLU�OD�IRUPXODWLRQ�GpILQLWLYH�GH�O·pOpPHQW�ILQL�GH�SRXWUH��LO�UHVWH

j� H[SULPHU� OHV� PDWULFHV� pOpPHQWDLUHV� VXU� OHV� LQFRQQXHV� QRGDOHV� T&

FRUUHVSRQGDQW�HQ�WRWDOLWp�DX[�GpSODFHPHQWV�GHV�FHQWUHV�GH�WRUVLRQ�HW�UDQJpHV

GDQV�ORUGUH�QDWXUHO�VXLYDQW��

> @T X Y Z X Y Z& & & [ \ ] & & & [ \ ]&

7

� � � � � � � � � � � �T T T T T T ������

/D� WUDQVIRUPDWLRQ� GHV� YDULDEOHV� DX� SRLQW� &� HVW� EDVpH� VXU� OK\SRWKqVH� GH

QRQ� GpIRUPDELOLWp� GHV� VHFWLRQV� GURLWHV�� (Q� HIIHW�� FHOD� SHUPHW� GH� OLHU� OHV

GpSODFHPHQWV� ORQJLWXGLQDX[� H[SULPpV� HQ� *� DX[� GpSODFHPHQWV� HQ� &�� SDU� OD

UHODWLRQ�VXLYDQWH��

X X ] � \ �* & * \ * ] � �T T ������

/D�PDWULFH� GH� WUDQVIRUPDWLRQ� JpRPpWULTXH� TXL� HQ� UpVXOWH�� QRWpH� 7S �� HVW

DLQVL�GpILQLH�SDU��

T

X

X

Y

Y

Z

Z

] \

] \

S

*

*

&

]

&

]

&

\

&

\

[

[

* *

* *

ª

¬

«««««««««««««««««

º

¼

»»»»»»»»»»»»»»»»»

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �

T

T

T

T

T

T

� � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �

ª

¬

«««««««««««««««««

º

¼

»»»»»»»»»»»»»»»»»

ª

¬

««

X

Y

Z

X

Y

Z

&

&

&

[

\

]

&

&

&

[

\

]

T

T

T

T

T

T

«««««««««««««««

º

¼

»»»»»»»»»»»»»»»»»

'

7 TS &������

(Q�DSSOLTXDQW�FHWWH� WUDQVIRUPDWLRQ�DX[�PDWULFHV� . S � HW� 0 S � GpILQLHV�SDU

OHV� pTXDWLRQV� ������� HW� �������� RQ�REWLHQW� ILQDOHPHQW� OHV�PDWULFHV� pOpPHQWDLUHV

. S& �HW�0

S& �GH�OpOpPHQW�ILQL�GH�SRXWUH�GURLWH��H[SULPpHV�DX[�FHQWUHV�GH�WRUVLRQ

&�HW�GDQV�OHV�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV��

. 7 . 7SS

SS&

7 �������0 7 0 7SS

SS&

7 ������

Page 71: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������eOpPHQW�ILQL�JpQpUDO�GH�SRXWUH

��

/·pOpPHQW�DLQVL�GpILQL�SHXW�rWUH�TXDOLILp�GH�©�JpQpUDO�ª�FDU�LO�WLHQW�FRPSWH�j

OD� IRLV� GH� OHIIHW� GH� FLVDLOOHPHQW� WUDQVYHUVH� HW� GX� FRXSODJH� G\QDPLTXH

VWUXFWXUDO�IOH[LRQ�WRUVLRQ�UpVXOWDQW�GH�OH[FHQWUDWLRQ�HQWUH�OH�FHQWUH�GH�WRUVLRQ

HW�OH�FHQWUH�GH�PDVVH��6RQ�XWLOLVDWLRQ�HVW�GRQF�DGDSWpH�j�XQH�JUDQGH�YDULpWp�GH

IRUPHV�GH�SRXWUH�

Page 72: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

��

,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

���� 0pWKRGH�G·LGHQWLILFDWLRQ

&RQVLGpURQV�XQH�SRXWUH�GURLWH�XQLIRUPH�GH� ORQJXHXU� O�SUpDODEOHPHQW�PDLOOpH

HQ� pOpPHQWV� ILQLV� WULGLPHQVLRQQHOV�� &HV� pOpPHQWV� SHXYHQW� rWUH�� SDU� H[HPSOH�

GH�W\SH�FRTXH�GDQV�OH�FDV�G·XQH�SRXWUH�WXEXODLUH��RX�VROLGH�GDQV� OH�FDV�G·XQH

SRXWUH� GH� VHFWLRQ� SOHLQH�� /D� SUREOpPDWLTXH� HVW� OD� VXLYDQWH��� TXHOOHV� YDOHXUV

GRLW� RQW� DIIHFWHU� DX[�SDUDPqWUHV� GX�PRGqOH� GH�SRXWUH� �GpILQL� DX�&KDSLWUH� ��

DILQ�TXH�FHOXL�FL�UHSUpVHQWH��TXDQG�FHOD�HVW�SRVVLEOH��OH�FRPSRUWHPHQW�VWDWLTXH

HW� G\QDPLTXH� GX�PRGqOH� WULGLPHQVLRQQHO� LQLWLDO�"� /H� FDV� pFKpDQW�� OD� SRXWUH

DLQVL�REWHQXH�VHUD�TXDOLILpH�GH�©�SRXWUH�pTXLYDOHQWH�ª�

Ø

)LJXUH�������9XH�VFKpPDWLTXH�GH�OD�PpWKRGH

&KDSLWUH

Page 73: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

������ 5pGXFWLRQ�QXPpULTXH�GX�PRGqOH�WULGLPHQVLRQQHO

6RLHQW�a. �HW�

a0 �OHV�PDWULFHV�QXPpULTXHV�GH�UDLGHXU�HW�GH�PDVVH�DVVHPEOpHV�GX

PRGqOH� WULGLPHQVLRQQHO�� &HV� PDWULFHV� YRQW� VXELU� SOXVLHXUV� WUDQVIRUPDWLRQV

DILQ�G·DERXWLU�j�XQ�PRGqOH�QXPpULTXH�GH�WDLOOH�WUqV�UpGXLWH�

&RQGHQVDWLRQ�GH�*X\DQ

7RXW� GDERUG�� OD� FRQGHQVDWLRQ� GH� *X\DQ� >��@� HVW� DSSOLTXpH� DX� PRGqOH

�)LJXUH�������3RXU�FHOD�� OHV�GGO�VRQW�SDUWLWLRQQpV�HQ�GHX[�VRXV�HQVHPEOHV��� OHV

GGO� PDvWUHV� �j� FRQVHUYHU�� FRUUHVSRQGDQW� DX[� QRHXGV� GH� MRQFWLRQ� �LQGLFH� M�

VLWXpV� VXU� OHV� GHX[� VHFWLRQV� WHUPLQDOHV�� HW� OHV� GGO� HVFODYHV� �j� pOLPLQHU�

FRUUHVSRQGDQW�DX[�QRHXGV�LQWHUQHV��LQGLFH�L���(Q�SUDWLTXH��RQ�D��� M L�� �

zz

zzz

z

zzzzz

z

z

z

zzz

z

z

zz

zz

zzzzzz

z

z

z

zz

zzzzzz

z

z

{

{{

{{{{{{

{

{

{

{{

{{{{{{

{

{

{

{{

{{{{{{

{

{

{

{{

{{{{{{

{

{

{

{{

{{{{{{

{

{

{

{{

{{{{{{

{

{

[S

2�

u

)LJXUH�������&RQGHQVDWLRQ�GH�*X\DQ

z�QRHXGV�PDvWUHV��{�QRHXGV�HVFODYHV

/H�YHFWHXU�GHV�GpSODFHPHQWV�QRGDX[� \ �HW�OHV�PDWULFHV�a. �HW�

a0 �VRQW�DORUV

GpFRPSRVpV�GH�OD�PDQLqUH�VXLYDQWH��

\\

\

M

L

ª

¬«

º

¼» �������

aa a

a a.. .

. .

MM ML

ML LL

ª

¬««

º

¼»»

7�������

aa a

a a00 0

0 0

MM ML

ML LL

ª

¬««

º

¼»»

7 �����

/pTXLOLEUH� G\QDPLTXH� GH� OD� SRXWUH� HQ� WDQW� TXH� VRXV�VWUXFWXUH� VRXPLVH

DX[�VHXOV�HIIRUWV�GH�MRQFWLRQV�VpFULW��

�a a

�. 0 \ )� Z� �����

DYHF����))M ª

¬««

º

¼»»���YHFWHXU�GHV�IRUFHV�GH�MRQFWLRQ�

Page 74: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������0pWKRGH�G·LGHQWLILFDWLRQ

��

/D�FRQGHQVDWLRQ�GH�*X\DQ�HVW�GpILQLH�SDU�OD�WUDQVIRUPDWLRQ� 7J�H[DFWH�HQ

VWDWLTXH� SHUPHWWDQW� G·H[SULPHU� O·HQVHPEOH� GHV� GGO� HQ� IRQFWLRQ� GHV� GGO� GH

MRQFWLRQ�SDU��

\,

. .\ 7 \

M

LL ML

M J M

ª

¬««

º

¼»»

�� 7

'

�����

/pTXDWLRQ�G·pTXLOLEUH�������SHXW�DORUV�rWUH�H[SULPpH�VRXV�OD�IRUPH�FRQGHQVpH��

�a a

�. 0 \ )M M M M� Z� �����

R��a.

M�HW�

a0

M�VRQW�OHV�PDWULFHV�GH�UDLGHXU�HW�GH�PDVVH�GX�PRGqOH�FRQGHQVp�VXU

OHV�GGO�GH�MRQFWLRQV��GpILQLHV�SDU��

a a. 7 .7

M J J 7 ������

a a0 7 07

M J J 7

�����

5pGXFWLRQ�FLQpPDWLTXH�GH�FRUSV�VROLGH

&RQVLGpURQV�GHX[�SRLQWV�2��HW�2

��WHOV�TXH�2

���UHVS��2

���VRLW�ORFDOLVp�GDQV�OH

SODQ�GH�OD�VHFWLRQ�WHUPLQDOH�6���UHVS��6

���HW�TXH�2

�2

��VRLW�SDUDOOqOH�j�OD[H� [

S�GH

OD�SRXWUH��'RUpQDYDQW��2��HVW�SULV�FRPPH�RULJLQH�GX�UpIpUHQWLHO�GH�FDOFXO�

*�

y

y

2�

y

&�

y

&�

*�

y

6� 6�

y

2�

\2

]2

[2 [S

)LJXUH�������/RFDOLVDWLRQ�GHV�SRLQWV�GH�UpGXFWLRQ

'DSUqV� OHV� K\SRWKqVHV� FLQpPDWLTXHV� GH� SRXWUH�� WRXWH� VHFWLRQ� GURLWH

SUpVHQWH�XQ�FRPSRUWHPHQW�GH�FRUSV�ULJLGH��&HVW�HQ�SDUWLFXOLHU�OH�FDV�SRXU�OHV

VHFWLRQV�6��HW�6

���2Q�SHXW�GRQF�pWDEOLU�SRXU�FKDTXH�QRHXG� 1�

M�GH�6

���UHVS�� 1 �

M

GH�6���XQH�UHODWLRQ�FLQpPDWLTXH�ULJLGH�DYHF�OHV�VL[�GpSODFHPHQWV��WUDQVODWLRQV

HW�URWDWLRQV��T2�

�GH�2���UHVS��T2

�GH�2����

Page 75: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

\ 7 TM M1 1 2

� � �

����� \ 7 TM M1 1 2

� � �

�������������������������������������������� ����� �����

�����

/D� PDWULFH� GH� WUDQVIRUPDWLRQ� ULJLGH� 7 M1� DVVRFLpH� j� FKDTXH� QRHXG� GH

MRQFWLRQ�1�

M�D�SRXU�H[SUHVVLRQ��

7

] \

, ]

\

,

M

M M

M

M

1

1 1

1

1

ª

¬

«««««««

º

¼

»»»»»»»

� �

� �

�����

R��� \ ]M M1 1� ��VRQW�OHV�FRRUGRQQpHV�GX�QRHXG�1

M�

$LQVL�� SRXU� OHQVHPEOH� GHV� QRHXGV� GHV� GHX[� VHFWLRQV�� RQ� REWLHQW

VpSDUpPHQW�OHV�GHX[�WUDQVIRUPDWLRQV��

7

7

7

7

7

6

M

M

Q

��

ª

¬

««««««««

º

¼

»»»»»»»»

1

1

1

1

�������7

7

7

7

7

6

M

M

Q

��

ª

¬

««««««««

º

¼

»»»»»»»»

1

1

1

1

�����

/D�PDWULFH�GH�FRQGHQVDWLRQ�FLQpPDWLTXH�FRPSOqWH�76 �GH�OD�WRWDOLWp�GHV�GGO

GH�MRQFWLRQ� \ M �VXU�T2 �����GGO��HVW�DORUV�GpILQLH�SDU��

\7

7

T

T7 TM

6

6

2

26

ª

¬

««

º

¼

»» ª

¬«

º

¼»ª

¬«

º

¼»

'

2 �����

,O�HVW� LPSRUWDQW�GH�QRWHU�TXH��GXQ�SRLQW�GH�YXH�QXPpULTXH��RQ�UpGXLW�GH

PDQLqUH�VLJQLILFDWLYH�OHV�FR�WV�GH�FDOFXO�HQ�HIIHFWXDQW�VLPXOWDQpPHQW�OD�GRXEOH

WUDQVIRUPDWLRQ�7 7J 6 ��

\ 7 7 TJ 6 2 ������

2Q� SHXW� ILQDOHPHQW� H[SULPHU� OHV� PDWULFHV� QXPpULTXHV�a.2 � HW�

a02 � GX

PRGqOH�UpGXLW�j����GGO�HQ��2��2

����

a a. 7 7 .7 72 6 J J 6 7 7 �������

a a0 7 7 07 72 6 J J 6 7 7

������

Page 76: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������0pWKRGH�G·LGHQWLILFDWLRQ

��

������ ,GHQWLILFDWLRQ�GH�OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH

2Q�D�YX�DX�&KDSLWUH�SUpFpGHQW�TXH�O·pOpPHQW�ILQL�GH�7LPRVKHQNR�SURSRVp�HVW

H[DFW�HQ�VWDWLTXH��3DU�FRQVpTXHQW��VL�OD�VWUXFWXUH�pWXGLpH�VH�FRPSRUWH�FRPPH

XQH�SRXWUH�� LO�VXIILW�G·XQ�VHXO�pOpPHQW�ILQL�VXU� OD� ORQJXHXU�SRXU�UHSUpVHQWHU

GH� IDoRQ� H[DFWH� VRQ� FRPSRUWHPHQW� VWDWLTXH� �DORUV� TX·XQH� GLVFUpWLVDWLRQ� SOXV

ILQH� V·LPSRVH� HQ� G\QDPLTXH��� 2Q� SURSRVH� LFL� XQH� WHFKQLTXH� G·LGHQWLILFDWLRQ

SDUDPpWULTXH�EDVpH�VXU�FH�UpVXOWDW�

6XSSRVRQV� TXH� OD� VWUXFWXUH� VRLW� GLVFUpWLVpH� SDU� XQ� VHXO� pOpPHQW� ILQL� GH

SRXWUH� VLWXp� HQWUH� OHV� QRHXGV� &�� HW� &

��� (Q� SUDWLTXH�� OHV� SRXWUHV

WULGLPHQVLRQQHOOHV� pWXGLpHV� SRVVqGHQW� XQH� VHFWLRQ� GURLWH� GH� IRUPH

TXHOFRQTXH�� /HV� GLUHFWLRQV� SULQFLSDOHV� GH� IOH[LRQ� � \ ]S S� �� GpILQLVVDQW

O·RULHQWDWLRQ� GX� UpIpUHQWLHO� ORFDO� HW� OHV� FRRUGRQQpHV� GH� &� � \ ]& &� �� HW� GH� *

� \ ]* *� ��GDQV�FHOXL�FL�VRQW�D�SULRUL� LQFRQQXHV��,O�HVW�DORUV�SRVVLEOH�GH[SULPHU

OpOpPHQW� ILQL� HQ�GHX[�SRLQWV� DUELWUDLUHV� HW� VHORQ�XQH� RULHQWDWLRQ�TXHOFRQTXH

�FRUUHVSRQGDQW�j�FHOOH�GX�UpIpUHQWLHO�JOREDO�GH�FDOFXO���1RXV�FKRLVLVVRQV�SRXU

FHOD� OHV� SRLQWV� 2�� HW� 2

�� SUpFpGHPPHQW� XWLOLVpV� ORUV� GH� OD� FRQGHQVDWLRQ

QXPpULTXH� �)LJXUH� ������ /D� VHXOH� FDUDFWpULVWLTXH� JpRPpWULTXH� GH� SRXWUH

FRQQXH�D�SULRUL�HVW�VD�GLUHFWLRQ�ORQJLWXGLQDOH�FDU�HOOH�HVW�GRQQpH�SDU�FHOOH�GX

PRGqOH� LQLWLDO�� 5DSSHORQV� TXH�2�� HVW� FKRLVL� FRPPH� RULJLQH� GX� UpIpUHQWLHO� GH

FDOFXO�� HW� TXH� OD� ORQJXHXU� GH� O·pOpPHQW� ILQL� HVW� pJDOH� j� FHOOH� GH� OD� VWUXFWXUH

UpHOOH�

'H�IDoRQ�DQDORJXH�j�OD�WUDQVIRUPDWLRQ�FLQpPDWLTXH�GH�FRUSV�VROLGH�GpILQLH

SRXU� OHV� QRHXGV� GH� MRQFWLRQ� GHV� VHFWLRQV� 6�� HW� 6

�� ������� RQ� GpILQLW� OD

WUDQVIRUPDWLRQ�7L

& �L �����SHUPHWWDQW�GH[SULPHU�OHV�GpSODFHPHQWV�GX�SRLQW�&

L�GH

FRRUGRQQpHV� � \ ]& &� �� HQ� IRQFWLRQ� GHV� GpSODFHPHQWV� TL

2 � GX� SRLQW� 2L� GH� OD

PDQLqUH�VXLYDQWH��

7 7

] \

, ]

\

,

& &

& &

&

&

� �

� �

� �

ª

¬

«««««««

º

¼

»»»»»»»

������

,O� HQ� UpVXOWH� OD� WUDQVIRUPDWLRQ� FRPSOqWH� GHV� GpSODFHPHQWV� GHV� QRHXGV

�&��&

���DX[�QRHXGV��2

��2

���GpILQLH�SDU��

Page 77: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

T

T

7

7

T

T7 T

&

&

&

&

2

2& 2

ª

¬«

º

¼»

ª

¬«

º

¼»ª

¬«

º

¼» '

������

/HV�PDWULFHV�pOpPHQWDLUHV�GH�UDLGHXU�HW�GH�PDVVH� .2S�HW�02

S�GH�OpOpPHQW

H[SULPpHV�HQ��2��2

���HW�GDQV�OHV�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV�GLQHUWLH�VRQW�REWHQXHV

IRUPHOOHPHQW� j� SDUWLU� GHV� PDWULFHV� pOpPHQWDLUHV� H[SULPpHV� HQ� �&��&

��

SUpVHQWpHV�GDQV�OH�&KDSLWUH����2Q�D��

. 7 . 7S S2 &

7

& & �������0 7 0 7S S2 &

7

& & ������

'·DXWUH�SDUW��QRXV�DYRQV�pWDEOL� DSUqV�SOXVLHXUV� RSpUDWLRQV� VXU� OD�PDWULFH

GH� UDLGHXU� pOpPHQWDLUH� .2S� TXH� FHOOH�FL� SHXW� rWUH� GpFRPSRVpH� HQ� VRXV�

PDWULFHV��HOOHV�PrPHV�JpQpUpHV�SDU�TXDWUH�PDWULFHV�GH�EDVH�.� ��.� ��4� �HW�4�

j���GGO�FKDFXQH��2Q�H[SULPH�DORUV�.2S�VRXV�OD�IRUPH�VXLYDQWH��

.

. . 4 . . 4

4 . 4 . 4 . 4 . 4 .

. . 4

4 . 4 .

2S

� �

� � � �

ª

¬

«

«

«

«

«

«

«

«

«

º

¼

»

»

»

»

»

»

»

»

»

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� � �

� � � �

7 7 7

7V\P

������

/HV�PDWULFHV�JpQpUDWULFHV�.� �HW.� �PHWWHQW�HQ�pYLGHQFH��HQ�OHV�GLVVRFLDQW�

WRXV�OHV�SDUDPqWUHV�FRQVWLWXWLIV�GX�PRGqOH�GH�SRXWUH��/HXUV�H[SUHVVLRQV�VRQW��

.

( $

/

(,

/

( ,

/

]

\

\

]

� �

� �

���

��

� ���

ª

¬

««««««««

º

¼

»»»»»»»»

� �

� �

I

I

������

.

*-

/( ,

/( ,

/

\

]

� �

� �

� �

ª

¬

««««««

º

¼

»»»»»»

������

Page 78: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������0pWKRGH�G·LGHQWLILFDWLRQ

��

/HV�PDWULFHV� 4� �HW� 4� �TXDQW�j�HOOHV�VH[SULPHQW�VLPSOHPHQW�j�SDUWLU�GHV

FRRUGRQQpHV�GH�&�HW�GH�*�GDQV�OH�UHSqUH�SULQFLSDO�FHQWUp�HQ�2��)LJXUH�������

4

] \

] /

\ /

* *

&

&

ª

¬

«««

º

¼

»»»

������

4

] \

] /

\ /

* *

&

&

� �

ª

¬

«««

º

¼

»»»

������

DYHF��

\ \ \ ] ] ]* & * * & * � �� ������

�������&���y

�����*y

\S

]S

y \& \*

]*

]&

2

\R

]R

\*

]*

GLUHFWLRQ

SULQFLSDOH

GLUHFWLRQ

JOREDOH

)LJXUH�������3DUDPqWUHV�G·H[FHQWUDWLRQ�GDQV�XQH�VHFWLRQ�GURLWH

$ILQ�GREWHQLU�OD�FRQILJXUDWLRQ�OD�SOXV�JpQpUDOH�GH�OpOpPHQW�ILQL�GH�SRXWUH�

LO�UHVWH�j�H[SULPHU�OHV�PDWULFHV�pOpPHQWDLUHV�SUpFpGHQWHV�GDQV�OHV�GLUHFWLRQV�D

SULRUL�TXHOFRQTXHV� �[ \ ]R R R� � �� GX� UpIpUHQWLHO�GH� FDOFXO�� 6RLW� 4 � OD�PDWULFH� GHV

FRVLQXV�GLUHFWHXUV�GHV�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV� �[ \ ]S S S� � ��GDQV� OH�UpIpUHQWLHO�GH

FDOFXO��/D�PDWULFH�RUWKRJRQDOH�5�GH�FKDQJHPHQW�GH�EDVH�HVW�GpILQLH�GH�IDoRQ

FODVVLTXH�SDU��

5

ª

¬

««««

º

¼

»»»»

4

4

4

4

�������4 47 ,� ������

Page 79: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

2Q� SHXW� DORUV� pFULUH� OHV� PDWULFHV� GH� UDLGHXU� .2 � HW� GH� PDVVH� 02 � GH

OpOpPHQW�pTXLYDOHQW�H[SULPp�HQ��2��2

���GH�OD�PDQLqUH�VXLYDQWH��

. 5 . 52 2S 7 �������0 5 0 52 2

S 7������

(Q�DSSOLTXDQW�j� OD�PDWULFH� .2 �XQ�GpFRXSDJH�FRPSDWLEOH�DYHF� OpTXDWLRQ

��������OH�EORF�VXSpULHXU�JDXFKH�VpFULW�DORUV�VRXV�OD�IRUPH��4 47.� ��3XLVTXH�.�

GpILQLH�SDU� �������HVW�XQH�PDWULFH�GLDJRQDOH��RQ�SHXW�DLQVL�HQ�GpGXLUH�TXH� OHV

GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV��[ \ ]S S S� � ��VRQW�OHV�YHFWHXUV�SURSUHV�GH�FH�EORF�

)LQDOHPHQW��OH�PRGqOH�pTXLYDOHQW�GH�SRXWUH�HVW�GRQF�WRWDOHPHQW�GpWHUPLQp

j�SDUWLU�GHV�SDUDPqWUHV�VXLYDQWV��

x� ��4 �� 2ULHQWDWLRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV��[ \ ]S S S� � �

x� �� \ ]& &� �� 3RVLWLRQ�GH�O·D[H�pODVWLTXH��GDQV�OHV�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV�

x� �� \ ]* *� �� 3RVLWLRQ�GH�O·D[H�QHXWUH��GDQV�OHV�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV�

x� ��/ �� /RQJXHXU�GH�OD�SRXWUH��VXSSRVpH�FRQQXH�

x� �� $ �� $LUH�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH

x� �� - �� &RQVWDQWH�GH�WRUVLRQ

x� �� ,\ �� 0RPHQW�TXDGUDWLTXH�G·LQHUWLH�DXWRXU�GH� \S

x� �� ,] �� 0RPHQW�TXDGUDWLTXH�G·LQHUWLH�DXWRXU�GH� ]S

x� ��N\ �� &RHIILFLHQW�GH�FLVDLOOHPHQW�VXLYDQW� \S

x� ��N] �� &RHIILFLHQW�GH�FLVDLOOHPHQW�VXLYDQW� ]S

x� ��( �� 0RGXOH�G·pODVWLFLWp�GX�PDWpULDX��VXSSRVp�FRQQX�

x� ��* �� 0RGXOH�GH�FLVDLOOHPHQW�GX�PDWpULDX��VXSSRVp�FRQQX�

x� ��U �� 0DVVH�YROXPLTXH�GX�PDWpULDX

/H� SULQFLSH� GLGHQWLILFDWLRQ� SURSRVp� FRQVLVWH� j� FRQIURQWHU� OD� PDWULFH� GH

UDLGHXU�QXPpULTXH�a.2 � j� OD�PDWULFH� DQDO\WLTXH� .2 � FRUUHVSRQGDQWH� GpILQLH

SUpFpGHPPHQW� ��������2Q� SHXW� DLQVL� pFULUH� OpJDOLWp� HQWUH� OHV� H[SUHVVLRQV� GHV

WHUPHV� GH� .2 � HW� OHXU� YDOHXU� QXPpULTXH� FRUUHVSRQGDQWH� GDQV�a.2 �� /D

GpPDUFKH�HVW�H[SOLFLWpH�FL�DSUqV�

Page 80: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������0pWKRGH�G·LGHQWLILFDWLRQ

��

$LQVL�� OHV� GLUHFWLRQV� SULQFLSDOHV� GH� OD� SRXWUH� � \ ]S S� �� VRQW� LGHQWLILpHV� j

SDUWLU� GH� OD�PDWULFH� GH� UDLGHXU� QXPpULTXH�a.2 �� FRQIRUPpPHQW� DX� VRXV�EORF

DQDO\WLTXH� 4 47.� � GpILQL� SUpFpGHPPHQW�� SDU� XQ� VLPSOH� FDOFXO� GH� YHFWHXUV

SURSUHV��2Q�SHXW�HQVXLWH�pYDOXHU�OD�PDWULFH�5�GpILQLH�SDU�OD�UHODWLRQ���������2Q

REWLHQW�OD�PDWULFH�QXPpULTXH�a.2S�SDU�OD�UHODWLRQ�LQYHUVH��

a a. 5 . 52S

2 7 ������

2Q� GpWHUPLQH� HQVXLWH� OHV� YDOHXUV� QXPpULTXHV� DVVRFLpHV� DX[� VRXV�EORFV

©�.� �ª�� ©�. 4� � �ª� HW� ©�4 . 4 .� � � �

7 � �ª� GH� OD�PDWULFH�a.2S� VHORQ� OH� GpFRXSDJH

GpILQL�SDU� ��������/H� FDOFXO�QXPpULTXH�GHV�PDWULFHV�GH�EDVH� .� �� 4� � SXLV� .�

GpILQLHV�SDU�����������������HW��������HVW�DORUV�LPPpGLDW�

/pYDOXDWLRQ�GH�4� �GRQQH�OHV�SRVLWLRQV�UHVSHFWLYHV�GX�FHQWUH�GH�WRUVLRQ�&

� \ ]& &� �� HW� GX� FHQWUH� GH�PDVVH�*� � \ ]* *� ��� WDQGLV� TXH� .� � HW� .� � SHUPHWWHQW

GLGHQWLILHU�OHV�VL[�SDUDPqWUHV�FRQVWLWXWLIV� $ - , , N N\ ] \ ]� � � � � �

/H�PRGqOH�pTXLYDOHQW�pWDQW� LGHQWLILp�H[FOXVLYHPHQW�j�SDUWLU�GH� OD�UDLGHXU�

OD�PDVVH�YROXPLTXH�U �HVW�XQ�SDUDPqWUH�TXL�GRLW�rWUH�LGHQWLILp�VpSDUpPHQW�DILQ

GH� FRQVHUYHU� OD� PDVVH� WRWDOH� P $/7 U � GX� PRGqOH�� 2Q� PRQWUH� TXH� OD

FRQGHQVDWLRQ�VWDWLTXH�GH�OD�PDWULFH�GH�PDVVH� 02S�GH�O·pOpPHQW�GH�SRXWUH�VXU

XQ� VHXO� QRHXG� �SDU� H[HPSOH� 2��� SHUPHW� G·DERXWLU� j� OD� PDWULFH� G·LQHUWLH� GH

VROLGH�02S

�KDELWXHOOH��

0 $/

] \

] /

\ /

U U \ ] \ / ] /

U ] / \ ]

U \ /

2S

* *

*

*

\ ] * * * *

\ * * *

] *

� � � �

� � �

� �

� � � � �

� � �

� � �

� � � � �

� � �

� �

ª

¬

«

«

«

«

«

«

«

«

º

¼

»

»

»

»

»

»

»

»

U

V\P

������

(Q�DSSOLTXDQW�OD�PrPH�WUDQVIRUPDWLRQ�j�OD�PDWULFH�a02

S��RQ�SHXW�DORUV�HQ

GpGXLUH� OD� YDOHXU� QXPpULTXH� GH� OD� PDVVH� GX� PRGqOH� FRQGHQVp� VXU� 2�2

�� �j

SDUWLU�GX�SUHPLHU�WHUPH�GLDJRQDO��SDU�H[HPSOH���&HOOH�FL�HVW�pJDOH�j� OD�PDVVHaP7 � GX� PRGqOH� LQLWLDO� SXLVTXH� OD� GRXEOH� WUDQVIRUPDWLRQ� 7 7J 6 � FRQVHUYH� OD

PDVVH�WRWDOH��'·R��ILQDOHPHQW�OD�YDOHXU�GH�OD�PDVVH�YROXPLTXH�pTXLYDOHQWH�U �

Page 81: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

���� 9DOLGDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

/D� PpWKRGH� G·LGHQWLILFDWLRQ� GHV� SDUDPqWUHV� SUpVHQWpH� D� pWp� WHVWpH� VXU� GH

QRPEUHXVHV� VWUXFWXUHV� UHFWLOLJQHV� j� FRPSRUWHPHQW� GH� SRXWUH�� &HOOHV�FL� VH

GLIIpUHQFLHQW�HVVHQWLHOOHPHQW�SDU�OD�IRUPH�GH�OHXU�VHFWLRQ�GURLWH��2Q�SUpVHQWH

GDQV� OD� VXLWH� OHV� UpVXOWDWV� QXPpULTXHV� REWHQXV� SRXU� TXHOTXHV� XQHV� GH� FHV

VWUXFWXUHV�� /H� PDWpULDX� XWLOLVp� SRXU� FKDFXQ� GHV� H[HPSOHV� SUpVHQWpV� HVW

KRPRJqQH� LVRWURSH� HW� pODVWLTXH�� /H� PDLOODJH� LQLWLDO� HVW� GDQV� WRXV� OHV� FDV

FRQVWLWXp� G·pOpPHQWV� ILQLV� TXDGUDQJXODLUHV� GH� FRTXH� j� �� GGO� SDU� QRHXG�� /H

PDLOODJH� HQ� SRXWUH� FRPSUHQG� D� SULRUL� XQ� QRPEUH� VXIILVDQW� G·pOpPHQWV� ILQLV

SRXU� FDOFXOHU� FRQYHQDEOHPHQW� OHV� SUHPLHUV� PRGHV� SURSUHV� GH� OD� VWUXFWXUH

pWXGLpH�

������ &DV�R��OHV�FHQWUHV�&�HW�*�VRQW�FRQIRQGXV

7XEH�j�VHFWLRQ�UHFWDQJXODLUH

,O� VDJLW� GXQ� WXEH� UHFWLOLJQH� KRPRJqQH� HQ� DFLHU� �( u ��� ����� 1�P � �

* u �� ��� ����� 1�P � �� U �����NJ�P � �� GH� ORQJXHXU� / �P � HW� GH� VHFWLRQ

UHFWDQJXODLUH�GRQW� OHV�GLPHQVLRQV� VRQW�SUpFLVpHV� VXU� OD�)LJXUH� �����'H�SDU� OD

V\PpWULH� GH� OD� VHFWLRQ�� OHV� GLUHFWLRQV� SULQFLSDOHV� GH� IOH[LRQ� �\ ]S S� �� VRQW

FRQQXHV�HW�OHV�SRLQWV�FDUDFWpULVWLTXHV�&�HW�*�VRQW�FRQIRQGXV�DYHF�OH�FHQWUH�GH

V\PpWULH� 2�� /H� PDLOODJH� GX� PRGqOH� LQLWLDO� HQ� pOpPHQWV� FRTXHV� FRPSRUWH� �

GLYLVLRQV�SRXU�FKDTXH�FRWp�GH� OD�VHFWLRQ�HW����GLYLVLRQV� VXU� OD� ORQJXHXU�� ,O� HQ

UpVXOWH�XQ�PRGqOH�pOpPHQWV�ILQLV�j������GGO�

�� FP

� FP

� FP

]S

\S

2

)LJXUH�������*pRPpWULH�GX�WXEH�j�VHFWLRQ�UHFWDQJXODLUH

Page 82: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9DOLGDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

��

/H�7DEOHDX�����SUpVHQWH� OHV�YDOHXUV�GHV�SDUDPqWUHV�FDUDFWpULVWLTXHV�GH� OD

SRXWUH� pTXLYDOHQWH� LGHQWLILpHV� SDU� OD� PpWKRGH� SURSRVpH�� 3RXU� XQH� VHFWLRQ

GXQH� WHOOH� VLPSOLFLWp� JpRPpWULTXH�� GHV� YDOHXUV� ©�WKpRULTXHV�ª� SHXYHQW� rWUH

DLVpPHQW�WURXYpHV�GDQV�OD�OLWWpUDWXUH�>������@��2Q�SHXW�DLQVL�REVHUYHU�OD�ERQQH

FRQFRUGDQFH� GHV� UpVXOWDWV� REWHQXV�� /·pFDUW� SOXV� LPSRUWDQW� REVHUYp� VXU� OD

YDOHXU�GH�-�SHXW�V·H[SOLTXHU�SDU�O·RULJLQH�WKpRULTXH�GX�FDOFXO�DQDO\WLTXH�

3DUDPqWUH 9DOHXU�WKpRULTXH 9DOHXU�LGHQWLILpH

$���P�� �����u���� �����u����

-���P�� �����u���� �����u����

,\���P�� �����u���� �����u����

,]���P�� �����u���� �����u����

N\

���� ����

N]

���� ����

U���NJ�P��� ���� ����

7DEOHDX�������&DUDFWpULVWLTXHV�GH�OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH

8Q� FDOFXO� G\QDPLTXH� D� pWp� HIIHFWXp� DILQ� GH� YDOLGHU� OH� FRPSRUWHPHQW� GX

PRGqOH�VLPSOLILp�SDU�UDSSRUW�j�FHOXL�GX�PRGqOH�FRTXH��/H�7DEOHDX�����SUpVHQWH

OHV� IUpTXHQFHV� GHV� SUHPLHUV� PRGHV� SURSUHV� GH� OD� VWUXFWXUH� OLEUH�OLEUH� �YRLU

)LJXUH�������(OOH�HVW�PDLOOpH�GXQH�SDUW�HQ�pOpPHQWV�FRTXHV� �PRGqOH� LQLWLDO�GH

UpIpUHQFH�j������GGO���HW�GDXWUH�SDUW�HQ�pOpPHQWV�SRXWUHV�JpQpUpV�j�SDUWLU�GHV

YDOHXUV�GH�SDUDPqWUHV�GX�7DEOHDX������PRGqOH�pTXLYDOHQW�j�����GGO���/H�PRGqOH

GH�SRXWUH�XWLOLVp�HVW�LVVX�GH�OD�IRUPXODWLRQ�GH�W\SH�7LPRVKHQNR�SUpVHQWpH�GDQV

OH�FKDSLWUH�SUpFpGHQW�

0RGqOH�FRTXHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV�pTXLYDOHQW

����GGO

5pIpUHQFH 7KpRULTXH ,GHQWLILp 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� I��+]� H���� GX�PRGH

� ������ ������ ���� ������ ���� )OH[LRQ����[\�

� ������ ������ ���� ������ ���� )OH[LRQ����[]�

� ������ ������ ����� ������ ���� 7RUVLRQ��

� ������ ������ ����� ������ ���� )OH[LRQ����[\�

� ������ ������ ����� ������ ���� )OH[LRQ����[]�

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

I\ �����

I] �����

Page 83: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

/HV� UpVXOWDWV� REWHQXV� PRQWUHQW� FODLUHPHQW� TXH� OH� PRGqOH� pTXLYDOHQW� GH

SRXWUH��ELHQ�TXH�GH�WDLOOH�WUqV�LQIpULHXUH�j�FHOOH�GX�PRGqOH�LQLWLDO��HQYLURQ�����

GH� UpGXFWLRQ��� SHUPHW� GH� UHSUpVHQWHU� FRUUHFWHPHQW� OHV� SUHPLHUV� PRGHV

GHQVHPEOH�GH�OD�VWUXFWXUH��/XWLOLVDWLRQ�GHV�YDOHXUV�LGHQWLILpHV�GHV�SDUDPqWUHV

FRQGXLW�j�XQH�SUpFLVLRQ�GX�PrPH�RUGUH�TXH�FHOOH�REWHQXH�j�SDUWLU�GHV�YDOHXUV

WKpRULTXHV��HW�PrPH�PHLOOHXUH�HQ�FH�TXL�FRQFHUQH�OH�PRGH�GH�WRUVLRQ�

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

)LJXUH�������3UHPLHUV�PRGHV�SURSUHV�GX�WXEH���0RGqOH�FRTXHV

/D� )LJXUH� ���� SUpVHQWH� OD� SUpFLVLRQ�� SDU� UDSSRUW� DX� PRGqOH� LQLWLDO�� GHV

IUpTXHQFHV� SURSUHV� FDOFXOpHV� SDU� XQ� PRGqOH� VLPSOLILp� j� ���� GGO� LVVX� GHV

GLIIpUHQWV�PRGqOHV�GH�IOH[LRQ�GH�SRXWUH�VXLYDQWV��GpILQLV�DX�&KDSLWUH�����

x� PRGqOH�GH�7LPRVKHQNR

x� PRGqOH�GH�%HUQRXOOL

x� PRGqOH�0L[WH

/HV�YDOHXUV�GH�SDUDPqWUHV�XWLOLVpHV�SRXU� FHV�PRGqOHV� FRUUHVSRQGHQW� DX[

YDOHXUV�LGHQWLILpHV�SUpVHQWpHV�GDQV�OH�7DEOHDX�����

Page 84: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9DOLGDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

��

� � � � � ��

��

��

��

��

��

��

7LPRVKHQNR �

%HUQRXOOL �

0L[WH �

_HUU ���_

Q� GH PRGH

)LJXUH�������3UpFLVLRQ�GH�GLIIpUHQWHV�IRUPXODWLRQV�GH�SRXWUH

1RWRQV� TXH� OD� IRUPXODWLRQ� GH� 7LPRVKHQNR� XWLOLVpH� GDQV� OH� PRGqOH

pTXLYDOHQW�HVW� FHOOH�TXL�GRQQH� OHV�PHLOOHXUV� UpVXOWDWV�SRXU� WRXV� OHV�PRGHV�GH

SRXWUH�� /D� IRUPXODWLRQ� VLPSOLILpH� GH� %HUQRXOOL� D� WHQGDQFH� j� VXUHVWLPHU� OHV

IUpTXHQFHV�SURSUHV�� FRQGXLVDQW� j� GHV� HUUHXUV� LQDFFHSWDEOHV� GqV� OHV� SUHPLHUV

PRGHV��/D�IRUPXODWLRQ�0L[WH�GRQQH�GHV�UpVXOWDWV�GH�TXDOLWp�LQWHUPpGLDLUH�

7XEH�j�VHFWLRQ�HOOLSWLTXH

/D�VWUXFWXUH�pWXGLpH�HVW�XQ�WXEH�HQ�DFLHU�GH�VHFWLRQ�HOOLSWLTXH��)LJXUH�����

HW�GH�ORQJXHXU�/ ����P�

/ ��� P

� FP

]S

\S

�� FP

� PP

)LJXUH�������*pRPpWULH�GX�WXEH�j�VHFWLRQ�HOOLSWLTXH

Page 85: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

/HV� YDOHXUV� LGHQWLILpHV� GHV� SDUDPqWUHV� GX� PRGqOH� GH� SRXWUH� pTXLYDOHQW

DLQVL� TXH� OHV� YDOHXUV� WKpRULTXHV� FRUUHVSRQGDQWHV� �TXDQG� HOOHV� H[LVWHQW�� VRQW

GRQQpHV�GDQV�OH�7DEOHDX������

3DUDPqWUH 9DOHXU�WKpRULTXH 9DOHXU�LGHQWLILpH

$���P�� ����u���� ����u����

-���P�� ����u���� ����u����

,\���P�� ����u���� ����u����

,]���P�� ����u���� ����u����

N\

� ����

N]

� ����

U���NJ�P��� ���� ����

7DEOHDX�������&DUDFWpULVWLTXHV�GH�OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH

(Q� FRQILJXUDWLRQ� OLEUH�OLEUH�� OHV� SUHPLHUV�PRGHV� SURSUHV� GH� OD� VWUXFWXUH

VRQW� HVVHQWLHOOHPHQW� GHV� ©�PRGHV� GH� FRTXH�ª�� F·HVW� j� GLUH�� GHV� PRGHV� SRXU

OHVTXHOV� OD�VHFWLRQ�GURLWH�GX�WXEH�VH�GpIRUPH�ORFDOHPHQW��3DU�FRQVpTXHQW�� OHV

K\SRWKqVHV� IRQGDPHQWDOHV� GH� OD� IRUPXODWLRQ� GH� SRXWUH� QH� VRQW� DORUV� SOXV

UHVSHFWpHV��HW� OH�PRGqOH�pTXLYDOHQW�SURSRVp�HVW� LQDGpTXDW�GDQV�FH�FDV��$XVVL�

DILQ� G·pWXGLHU� OH� FRPSRUWHPHQW� GH� SRXWUH� GH� OD� VWUXFWXUH� GDQV� OH� EXW� GH

TXDOLILHU�OH�PRGqOH�pTXLYDOHQW��RQ�HQYLVDJH�GH�FKDUJHU�VHV�GHX[�H[WUpPLWpV�SDU

GHV�PDVVHV�SRQFWXHOOHV�����NJ�j�FKDTXH�H[WUpPLWp���/HV�UpVXOWDWV�REWHQXV�GDQV

FHWWH�FRQILJXUDWLRQ�©�FKDUJpH�FKDUJpH�ª�VRQW�SUpVHQWpV�GDQV�OH�7DEOHDX������2Q

SHXW�DLQVL�QRWHU�O·H[FHOOHQWH�SUpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW�PDOJUp�XQ�UDSSRUW

GH�UpGXFWLRQ�GH����HQ�FH�TXL�FRQFHUQH�OD�WDLOOH�GX�PRGqOH��'H�SOXV��VRXOLJQRQV

j�QRXYHDX�O·LQDGpTXDWLRQ�GX�PRGqOH�GH�%HUQRXOOL�GDQV�FH�FDV�

0RGqOH�FRTXHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV�pTXLYDOHQW

����GGO

5pIpUHQFH 7LPRVKHQNR %HUQRXOOL 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� I��+]� H���� GX�PRGH

� ����� ����� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� ����� ���� 7UDFWLRQ��

� ����� ����� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

I\ �����

I] �����

Page 86: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9DOLGDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

��

6HFWLRQ�V\PpWULTXH�GH�IRUPH�TXHOFRQTXH

/D�VWUXFWXUH� WXEXODLUH�GH� ORQJXHXU�/ ��P�HVW�PDLOOpH�HQ�FRTXHV�PLQFHV�

/D� IRUPH� GH� VD� VHFWLRQ� GURLWH� HVW� TXHOFRQTXH� PDLV� UHVWH� V\PpWULTXH� SDU

UDSSRUW� DX� SRLQW� FHQWUDO� 2� �O·D[H� QHXWUH� HW� O·D[H� pODVWLTXH� VRQW� GRQF

FRQIRQGXV��� 7RXMRXUV� HVW�LO� TXH� GDQV� FH� FDV�� RQ� QH� GLVSRVH� G·DXFXQH� YDOHXU

WKpRULTXH�GHV�SDUDPqWUHV�GX�PRGqOH�SRXWUH�

D

\S

]S

2\R

]R

)LJXUH�������)RUPH�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH�GX�WXEH

/D�PpWKRGH�SURSRVpH�D�SHUPLV�QpDQPRLQV�G·LGHQWLILHU�DXWRPDWLTXHPHQW

OHV�YDOHXUV�QXPpULTXHV�GHV�SDUDPqWUHV�j�LQWURGXLUH�GDQV�OH�PRGqOH�pTXLYDOHQW�

\� FRPSULV� O·RULHQWDWLRQ� GHV� GLUHFWLRQV� SULQFLSDOHV� SDU� UDSSRUW� DX[� D[HV� GH

FDOFXO��&HV�YDOHXUV�VRQW�JURXSpHV�GDQV�OH�7DEOHDX�����FL�GHVVRXV��

3DUDPqWUH 9DOHXU�LGHQWLILpH

$���P�� ����u����

-���P�� ����u����

,\���P�� ����u����

,]���P�� ����u����

N\

����

N]

����

U���NJ�P��� ����

D���GHJUpV� ����

7DEOHDX�������3DUDPqWUHV�pTXLYDOHQWV

$ILQ�GH�TXDOLILHU� OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH�� OD�VWUXFWXUH�D�pWp�HQFDVWUpH�j�XQH

H[WUpPLWp�HW� FKDUJpH�j� ODXWUH�SDU�XQH�PDVVH�SRQFWXHOOH�GH����NJ��/HV�PRGHV

SURSUHV�FDOFXOpV�GDQV�FHWWH�FRQILJXUDWLRQ�VRQW�SUpVHQWpV�GDQV�OH�7DEOHDX�����

I\ �����

I] �����

Page 87: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

0RGqOH�FRTXHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV�pTXLYDOHQW

����GGO

5pIpUHQFH 7LPRVKHQNR %HUQRXOOL 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� I��+]� H���� GX�PRGH

� ����� ����� ���� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ���� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ����� ����� ����� 7UDFWLRQ��

� ����� ����� ���� ����� ���� 7RUVLRQ��

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

&HW�H[HPSOH�LOOXVWUH�OD�FDSDFLWp�GH�OD�PpWKRGH�SURSRVpH�SRXU�LGHQWLILHU�OHV

SDUDPqWUHV� GH� VHFWLRQV� V\PpWULTXHV� GH� JpRPpWULH� TXHOFRQTXH�� /HV� UpVXOWDWV

REWHQXV� SRXU� OHV� IUpTXHQFHV� SURSUHV� FRQILUPHQW� OH� ERQ� FRPSRUWHPHQW

G\QDPLTXH� GX� PRGqOH� pTXLYDOHQW�� 7RXWHIRLV�� QRWRQV� TXH� OD� SUpFLVLRQ� GHV

UpVXOWDWV�SHXW�rWUH�GpJUDGpH�SDU�ODSSDULWLRQ�GH�GpIRUPDWLRQV�ORFDOHV�GH�FRTXH

�PRGH���HW�PRGH�����HW�FH�PDOJUp�XQ�FRPSRUWHPHQW�JOREDO�GH�W\SH�SRXWUH�

/D� VpULH� GH� FDV� WHVWV� SUpVHQWpH� FRQILUPH� OH� IDLW� TXH�� ELHQ� TXH� OHV

SDUDPqWUHV� GH� SRXWUH� VRLHQW� LGHQWLILpV� j� SDUWLU� GH� OD� UDLGHXU� VWDWLTXH�� LOV

SHUPHWWHQW� QpDQPRLQV� GH� JpQpUHU� �DYHF� FRUUHFWLRQ� GH� OD� PDVVH� WRWDOH�� XQH

PDWULFH� G·LQHUWLH� VXIILVDPPHQW� SUpFLVH� SRXU� GRQQHU� GH� ERQV� UpVXOWDWV� HQ

G\QDPLTXH�

������ &DV�R��OHV�FHQWUHV�&�HW�*�VRQW�GLVWLQFWV

6WUXFWXUH�j�VHFWLRQ�©�GHOWD�ª

/D�VWUXFWXUH�pWXGLpH�HVW�XQ�WXEH�UHFWLOLJQH�HQ�DFLHU�GH�ORQJXHXU�/ �P �HW

GH�VHFWLRQ�GURLWH�GH�IRUPH�©�GHOWD�ª�GRQW�OD�JpRPpWULH�HVW�GpFULWH�VXU�OD�)LJXUH

������/H�PRGqOH�pOpPHQWV�ILQLV�FRTXHV�FRPSRUWH���GLYLVLRQV�VXU�FKDTXH�FRWp�GH

OD�VHFWLRQ�HW����GLYLVLRQV�VXU�OD�ORQJXHXU��3RXU�XQH�IRUPH�WHOOH�TXH�FHOOH�FL��RQ

QH�GLVSRVH�SDV�D�SULRUL�GH�OD�WRWDOLWp�GX�MHX�GH�SDUDPqWUHV�FDUDFWpULVWLTXHV�GH

OpOpPHQW� GH� SRXWUH� pTXLYDOHQW�� &HX[�FL� RQW� pWp� LGHQWLILpV� SDU� OD� PpWKRGH

SURSRVpH�HW�VRQW�SUpVHQWpV�GDQV�OH�7DEOHDX�����

Page 88: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9DOLGDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

��

3�

3� 3�

2

u 1

U

x

x

&

*

\S

]S

3�3� 3�3� 3�3� �� FP

12 U�� ���� FP

HS � FP

2& \&

2* \*

HS

)LJXUH��������*pRPpWULH�GH�OD�VHFWLRQ�©�GHOWD�ª

3DUDPqWUH 9DOHXU�LGHQWLILpH

\&���FP� ����

\*���FP� ����

$���P�� �����u����

-���P�� �����u����

,\���P�� �����u����

,]���P�� �����u����

N\ ����

N] ����

U���NJ�P��� ����

7DEOHDX�������3DUDPqWUHV�pTXLYDOHQWV

/D� SUpFLVLRQ� GX� PRGqOH� pTXLYDOHQW� D� pWp� WHVWpH� GDQV� OHV� FRQGLWLRQV� DX[

OLPLWHV� ©�HQFDVWUp�OLEUH�ª�� /H� PRGqOH� FRTXHV� GH� UpIpUHQFH� �GRQW� OHV� PRGHV

SURSUHV�VRQW�UHSUpVHQWpV�)LJXUH�������FRPSWH������GGO��FHVW�j�GLUH����IRLV�SOXV

TXH� OH� PRGqOH� SRXWUHV� TXL� HQ� FRPSRUWH� VHXOHPHQW� ����� /HV� SRLQWV� &� HW� *

QpWDQW� SDV� FRQIRQGXV� � \* z � ��� FHWWH� VWUXFWXUH� SUpVHQWH� XQ� FRXSODJH

G\QDPLTXH�HQWUH�OD�IOH[LRQ�GDQV�OH�SODQ�[S]S�HW�OD�WRUVLRQ�DXWRXU�GH�OD[H�[S��3DU

FRQWUH�� OD� IOH[LRQ�GDQV� O·DXWUH�SODQ� HVW� GpFRXSOpH�GH� OD� WRUVLRQ� SDU� UDLVRQ� GH

V\PpWULH�GH�OD�VHFWLRQ�SDU�UDSSRUW�j�OD[H�\S�� ]* � ��

I\ �����

I] �����

Page 89: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

)LJXUH��������3UHPLHUV�PRGHV�SURSUHV�GX�WXEH���0RGqOH�FRTXHV

2Q�SUpVHQWH�GDQV�OH�7DEOHDX�����OHV�UpVXOWDWV�FDOFXOpV�j�SDUWLU�GX�PRGqOH�GH

SRXWUH�SURSRVp��DYHF�HW�VDQV�SULVH�HQ�FRPSWH�GX�FRXSODJH�IOH[LRQ�WRUVLRQ�GDQV

OD�PDWULFH� GH�PDVVH� 0&S�� 2Q�PRQWUH� DLQVL� GXQH� SDUW� OD� ERQQH� SUpFLVLRQ� GX

PRGqOH� pTXLYDOHQW� LQWpJUDQW� OH� FRXSODJH� SRXU� XQH� ODUJH� EDQGH� IUpTXHQWLHOOH

GDQDO\VH�� 'DXWUH� SDUW�� RQ� SHXW� QRWHU� TXH� QH� SDV� WHQLU� FRPSWH� GX� FRXSODJH

Page 90: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9DOLGDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

��

G\QDPLTXH� FRQGXLW� j� XQH� GpJUDGDWLRQ� WUqV� VLJQLILFDWLYH� GHV� UpVXOWDWV�� 3DU

FRQVpTXHQW�� OH�PRGqOH�VDQV�FRXSODJH�GRLW�rWUH�GpILQLWLYHPHQW�pFDUWp�FDU�LO�HVW

LQFDSDEOH� GH� UHSUpVHQWHU� FRUUHFWHPHQW� OH� FRPSRUWHPHQW� G\QDPLTXH� GH� OD

VWUXFWXUH�DX�GHOj�GHV�TXDWUH�SUHPLHUV�PRGHV�SURSUHV�

0RGqOH�FRTXHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV�pTXLYDOHQW

����GGO

5pIpUHQFH $YHF�&RXSODJH 6DQV�&RXSODJH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� I��+]� H����

� ������ ������ ����� ������ �����

� ������ ������ ����� ������ ����

� ������ ������ ���� ������ ����

� ������ ������ ���� ������ ����

� ������ ������ ����� ������ �����

� ������ ������ ���� ������ ����

� ������ ������ ���� ������ ����

� ������ ������ ����� ������ �����

� ������ ������ ���� ������ ����

�� ������ ������ ���� ������ ����

�� ������ ������ ���� ������ ����

�� ������ ������ ���� ������ ����

�� ������ ������ ����� ������ �����

�� ������ ������ ���� ������ ����

�� ������ ������ ���� ������ ����

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

$ILQ�GH�GpWHUPLQHU�OD�QDWXUH�GHV�PRGHV�SURSUHV�REWHQXV��HW�HQ�SDUWLFXOLHU

GH�FHX[�TXL�SUpVHQWHQW�XQ�FRXSODJH�IOH[LRQ���WRUVLRQ��LO�SHXW�rWUH�HQYLVDJHDEOH

G·H[SULPHU�FHV�PRGHV�HQ�IRQFWLRQ�GH�FHX[�GX�PRGqOH�GpFRXSOp��SRXU�OHTXHO�RQ

FRQQDvW�SDUIDLWHPHQW�OD�QDWXUH�GH�FKDTXH�PRGH��

1RWRQV� <� � OD� EDVH�PRGDOH� FDOFXOpH� DYHF� OH�PRGqOH� GH�SRXWUH�SUHQDQW� HQ

FRPSWH�OH�FRXSODJH��HW� <� � OD�EDVH�PRGDOH�UpVXOWDQW�GX�PRGqOH�VDQV�FRXSODJH�

2Q�FKHUFKH�j�UHSUpVHQWHU�FKDTXH�FRORQQH�GH� <� �SDU�XQH�FRPELQDLVRQ�OLQpDLUH

GHV� YHFWHXUV� FRORQQHV� GH� <� �� &HOD� UHYLHQW� j� FKHUFKHU� OD� PDWULFH� ©�GH

SURMHFWLRQ�ª��QRWpH�3 ��YpULILDQW��

< < 3� � ������

Page 91: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

3XLVTXH�OD�EDVH�PRGDOH� <� �HVW�WURQTXpH��FHWWH�pJDOLWp�GRLW�rWUH�FRQVLGpUpH

DX�VHQV�GHV�PRLQGUHV�FDUUpV��$LQVL��RQ�FKHUFKH�HQ�IDLW�OD�PDWULFH�3 �SHUPHWWDQW

GH�PLQLPLVHU�O·HUUHXU� H �VXU�OD�QRUPH��

H �< < 3� �������

2Q� PRQWUH� TXH� OD� PDWULFH� 3 � VROXWLRQ� GH� FH� SUREOqPH� V·H[SULPH� HQ

IRQFWLRQ�GHV�GHX[�EDVHV�PRGDOHV�SDU��

3 < < �

� �������

R��<�� �HVW�OD�SVHXGR�LQYHUVH�DX�VHQV�GH�0RRUH�3HQURVH�GH�<� ��GpILQLH�SDU��

< < < <� � �

� � � �7 7 ������

/HV�UpVXOWDWV�QXPpULTXHV�REWHQXV�SHUPHWWHQW�GH�WUDFHU�XQH�UHSUpVHQWDWLRQ

JUDSKLTXH�GH�OD�PDWULFH�GH�SURMHFWLRQ� 3 �GDQV�OH�FDV�GH�OD�VWUXFWXUH�j�VHFWLRQ

©�GHOWD�ª�� /D� )LJXUH� ����� SHUPHW� DLQVL� GH� YLVXDOLVHU� GH� IDoRQ� VLPSOH� ORULJLQH

GHV�PRGHV�SURSUHV�GH� OD�SRXWUH�HW��SOXV�SDUWLFXOLqUHPHQW��GHV�PRGHV�SURSUHV

FRXSOpV��GRQW�OHV�QXPpURV�VRQW�VRXOLJQpV��

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

)OH[LRQ � �[\�

)OH[LRQ � �[]�

)OH[LRQ � �[\�

)OH[LRQ � �[]�

7RUVLRQ �

)OH[LRQ � �[\�

)OH[LRQ � �[]�

7RUVLRQ �

)OH[LRQ � �[\�

7UDFWLRQ �

)OH[LRQ � �[]�

7RUVLRQ �

)OH[LRQ � �[\�

7RUVLRQ �

)OH[LRQ � �[]�

� � � � � � � � � �� �� �� �� �� ��

0

2

'

(

6

6

$

1

6

&

2

8

3

/

$

*

(

02'(6 $9(& &283/$*(

)LJXUH��������0DWULFH�GH�SURMHFWLRQ�PRGDOH

Page 92: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9DOLGDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

��

8QH� DXWUH� IDoRQ� GH� YLVXDOLVHU� OD� QDWXUH� G·XQ� PRGH� FRXSOp� FRQVLVWH� j

UHSUpVHQWHU�VLPXOWDQpPHQW�SRXU�FH�PRGH�OD�GpIRUPpH�HQ�IOH[LRQ�HW�HQ�WRUVLRQ�

2Q� SHXW� DLQVL� WUDFHU�� GH� OHQFDVWUHPHQW� j� OH[WUpPLWp� OLEUH� �/ �P ��� OH

GpSODFHPHQW� Z& � GH� IOH[LRQ� VXLYDQW� ]S� DLQVL� TXH� OH� GpSODFHPHQW� GH� PrPH

GLUHFWLRQ� \* [T �G��j� OD� WRUVLRQ� >�@��/HV�FRXUEHV�SUpVHQWpHV� VXU� OD�)LJXUH�����

PRQWUHQW� OHV� UpVXOWDWV� REWHQXV� SRXU� TXHOTXHV� XQV� GHV� SUHPLHUV� PRGHV

IRUWHPHQW�FRXSOpV�

0RGH�� 0RGH��

� ��� � ��� � ��� ������

����

�����

����

���

[

� ��� � ��� � ��� ������

�����

�����

����

����

����

[

0RGH�� 0RGH��

� ��� � ��� � ��� ������

����

�����

����

���

[

� ��� � ��� � ��� ������

�����

�����

����

����

����

����

[

\* [TZ&

)LJXUH��������'pIRUPpHV�GH�PRGHV�SURSUHV�FRXSOpV

6WUXFWXUH�j�VHFWLRQ�HQ�©�8�ª

/D�VWUXFWXUH�H[DPLQpH�HVW�XQ�SURILOp�HQ�8�j�VHFWLRQ�IHUPpH��HQ�DFLHU�HW�GH

ORQJXHXU� / � �� P �� /D� JpRPpWULH� HW� OHV� GLPHQVLRQV� GH� OD� VHFWLRQ� VRQW

GpWDLOOpHV�VXU�OD�)LJXUH������

Page 93: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

2

x&

x*

\S

]S

2& \&

2* \*

� PP� FP

� FP

� PP

� PP

x

)LJXUH��������'LPHQVLRQV�GX�SURILOp�HQ�©�8�ª

/H� PDLOODJH� HQ� pOpPHQWV� FRTXHV� LQLWLDO� HVW� FRQVWLWXp� GH� ��� GLYLVLRQV

ORQJLWXGLQDOHV�� ,O� FRQGXLW� j� XQ� PRGqOH� pOpPHQWV� ILQLV� j� ����� GGO�� /HV

SDUDPqWUHV�GH�OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH�RQW�pWp�LGHQWLILpV�GH�IDoRQ�DXWRPDWLTXH�j

SDUWLU� GH� OD� PpWKRGH� SURSRVpH�� HW� VRQW� SUpVHQWpV� GDQV� OH� 7DEOHDX� ����� /HV

SUHPLHUV� PRGHV� SURSUHV� GH� OD� VWUXFWXUH� HQ� FRQILJXUDWLRQ� OLEUH�OLEUH� VRQW

UHSUpVHQWpV�VXU�OD�)LJXUH������

3DUDPqWUH 9DOHXU�LGHQWLILpH

\&���PP� ����

\*���PP� ����

$���P�� �����u����

-���P�� �����u����

,\���P�� �����u����

,]���P�� �����u����

N\ ����

N] ����

U���NJ�P��� ����

7DEOHDX�������3DUDPqWUHV�pTXLYDOHQWV

I\ �����

I] �����

Page 94: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������9DOLGDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

)LJXUH��������3UHPLHUV�PRGHV�SURSUHV�GX�SURILOp�HQ�©�8�ª

/H�PRGqOH� GH�SRXWUH� LGHQWLILp� D� pWp� WHVWp� DYHF� OHV�PrPHV� FRQGLWLRQV� DX[

OLPLWHV��/HV�IUpTXHQFHV�SURSUHV�REWHQXHV�VRQW�SUpVHQWpHV�GDQV�OH�7DEOHDX�����

HW� FRPSDUpHV�j� FHOOHV�GX�PRGqOH� LQLWLDO��1RWRQV� OD� UHPDUTXDEOH�SUpFLVLRQ�GX

PRGqOH�pTXLYDOHQW��DLQVL�TX·XQ�WDX[�GH�UpGXFWLRQ�GH�O·RUGUH�GH������

0RGqOH�FRTXHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV

����GGO 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� GX�PRGH

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ��� )OH[LRQ�FRXSOpH

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[\�

� ���� ���� ��� )OH[LRQ�FRXSOpH

� ���� ���� ��� )OH[LRQ����[\�

� ���� ���� ��� 7RUVLRQ��

7DEOHDX��������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

Page 95: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

���� 4XDOLILFDWLRQ�D�SULRUL�GHV�PRGHV�GH�SRXWUH

/HV� UpVXOWDWV� REWHQXV� SRXU� FKDFXQ� GHV� FDV� WHVWV� SUpVHQWpV� PRQWUHQW� TXH� OD

PpWKRGH�GH�VLPSOLILFDWLRQ�HVW�ILDEOH��j�FRQGLWLRQ�TXH�OD�VWUXFWXUH�VH�FRPSRUWH

©�JOREDOHPHQW�ª�FRPPH�XQH�SRXWUH��(Q�HIIHW��OH�PRGqOH�pOpPHQW�ILQL�GH�SRXWUH

HVW�pYLGHPPHQW� LQDSWH�j�UHSUpVHQWHU� OHV�PRGHV�SURSUHV�GH� W\SH�FRTXH�� ,O� HVW

DORUV�QpFHVVDLUH�GH�SRXYRLU�TXDOLILHU�D�SULRUL� OH�FRPSRUWHPHQW�GH�OD�VWUXFWXUH

GDQV�OD�EDQGH�IUpTXHQWLHOOH�G·LQWpUrW��/D�FRQQDLVVDQFH�SUpDODEOH�GHV�PRGHV�GH

SRXWUH�HW�GH�FRTXH�SHXW�HQ�HIIHW�SHUPHWWUH�GH�MXJHU�j�O·DYDQFH�VL�LO�HVW�SHUWLQHQW

RX� QRQ� G·DSSOLTXHU� OD� PpWKRGH� G·LGHQWLILFDWLRQ� SDUDPpWULTXH� GDQV� OH� FDV

FRQVLGpUp��3RXU�FHOD��QRXV�DYRQV�GpYHORSSp�XQ�FULWqUH�GH�TXDOLILFDWLRQ�GH�PRGH

EDVp� VXU� OD� SURSULpWp� VXLYDQWH��� VL� OH�PRGH� SURSUH� FRQVLGpUp� HVW� XQ�PRGH� GH

SRXWUH��DORUV�FKDTXH�VHFWLRQ�GURLWH�SUpVHQWH�XQH�FLQpPDWLTXH�GH�FRUSV�VROLGH�

&HWWH� SURSULpWp� Q·HVW� SDV� YpULILpH� SDU� OHV� PRGHV� GH� FRTXH�� SRXU� OHVTXHOV� RQ

REVHUYH�DX�FRQWUDLUH�GHV�GpIRUPDWLRQV� ORFDOHV�GHV�VHFWLRQV�GURLWHV��/H�FULWqUH

XWLOLVp�SHUPHW�GH�TXDQWLILHU�JOREDOHPHQW�SRXU�FKDTXH�PRGH�SURSUH�OH�WDX[�GH

GpIRUPDELOLWp� GHV� VHFWLRQV�� /HV� FDOFXOV� VRQW� HIIHFWXpV� j� SDUWLU� GH� OD� PDWULFH

PRGDOH� GX� PRGqOH� UpVXOWDQW� G·XQ� PDLOODJH� FRTXHV� UpJXOLHU� GH� OD� VWUXFWXUH

UHFWLOLJQH�

$ILQ� G·LOOXVWUHU� OD� SUpVHQWDWLRQ� GHV� FDOFXOV�� RQ� VH� SURSRVH� G·DSSOLTXHU� OD

PpWKRGH� HQ� TXHVWLRQ� DX� WXEH� j� VHFWLRQ� HOOLSWLTXH�� GRQW� OHV� FDUDFWpULVWLTXHV

�GLPHQVLRQV��PDWpULDX��PDLOODJH��RQW�pWp�SUpVHQWpHV�SUpFpGHPPHQW�

1M

2

)LJXUH��������0DLOODJH�GX�WXEH���3ODQ�QRGDO

&RQVLGpURQV� XQH� VHFWLRQ� GURLWH� GX� WXEH� FRUUHVSRQGDQW� j� XQ� SODQ� QRGDO�

1RWRQV� \Q� OH� YHFWHXU� GHV� GpSODFHPHQWV� QRGDX[� DVVRFLpV� DX�PRGH� GH� UDQJ� Q

Page 96: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������4XDOLILFDWLRQ�D�SULRUL�GHV�PRGHV�GH�SRXWUH

��

�SRXU�XQ�PRGqOH�j���GGO�SDU�QRHXG���/H�PRXYHPHQW�GH� OD�VHFWLRQ�GURLWH�SHXW

rWUH�UHSUpVHQWp��DX�VHQV�GH�5LW]��SDU�XQ�GpSODFHPHQW�GH�FRUSV�VROLGH�a\Q�HW�XQH

GpIRUPDWLRQ�GH�VHFWLRQ��VRXV�OD�IRUPH��

\ \Q Q Q

H �a ������

6L� OH�PRGH�FRQVLGpUp�HVW�XQ�PRGH�GH�SRXWUH�©�SXU�ª��DORUV� O·HUUHXU� HQ�HVW

QXOOH��2Q�SHXW�GRQF�OLHU�OHV�GpSODFHPHQWV�GH�FKDTXH�QRHXG�j�FHX[�G·XQ�SRLQW

PR\HQ�� (Q� SUDWLTXH�� RQ� FKRLVLW� OH� SRLQW� 2�� LVREDU\FHQWUH� GHV� QRHXGV� GH� OD

VHFWLRQ��)LJXUH��������3RXU�OHV�GpSODFHPHQWV�a\MQ �GX�QRHXG�1M��RQ�pFULW�DLQVL��

a\ 7 \M MQ Q 2 ������

/D�PDWULFH� GH� WUDQVIRUPDWLRQ� ULJLGH� 7M � j� �� GGO� GpSHQG� XQLTXHPHQW� GHV

FRRUGRQQpHV� GX� QRHXG�1M� HW� GX� SRLQW�2�� (Q� DVVHPEODQW� OHV�PDWULFHV� 7M �� RQ

REWLHQW�OD�UHODWLRQ�VXLYDQWH�SRXU�O·HQVHPEOH�GHV�GGO�GH�OD�VHFWLRQ��

a\ 7\Q Q 2 ������

3DU� FRQVpTXHQW�� SRXU� XQ�PRGH� TXHOFRQTXH�� OH� GpSODFHPHQW� H[DFW� VXU� OD

VHFWLRQ�D�SRXU�H[SUHVVLRQ��

\ 7\Q Q Q

H �2 ������

2Q�FKHUFKH�OH�GpSODFHPHQW�GH�FRUSV�VROLGH�OH�SOXV�SURFKH�GX�GpSODFHPHQW

H[DFW��F·HVW�j�GLUH��FHOXL�TXL�SHUPHW�GH�OH�UHSUpVHQWHU�DX�PLHX[��&HOD�UHYLHQW�j

PLQLPLVHU�O·HUUHXU� HQ��/D�VROXWLRQ�REWHQXH�SRXU�OHV�PRLQGUHV�FDUUpV�HVW��

\ 7 \2Q Q � ������

R��7� �HVW�OD�SVHXGR�LQYHUVH�DX�VHQV�GH�0RRUH�3HQURVH��GpILQLH�SDU��

7 7 7 7� � � �7 7� ������

/H� GpSODFHPHQW� GH� FRUSV� VROLGH� a\Q � Q � � �� � ���� �� SHXW� DORUV� V·H[SULPHU� HQ

IRQFWLRQ�GX�GpSODFHPHQW�H[DFW� \Q �SDU��

a\ 77 \ 5\Q Q Q �'

������

/D� WUDQVIRUPDWLRQ� 5 77 � � HVW� OD�PDWULFH� GH� SURMHFWLRQ� RUWKRJRQDOH� GHV

GpSODFHPHQWV� H[DFWV� GH� OD� VHFWLRQ� VXU� OHV� GpSODFHPHQWV� GH� FRUSV� VROLGH

DVVRFLpV�� 2Q� PRQWUH� DLVpPHQW� TX·HOOH� HQ� YpULILH� OHV� SURSULpWpV�� j� VDYRLU

O·LGHPSRWHQFH��5 5� ��HW�OD�V\PpWULH��5 57 ��

Page 97: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

&RQVLGpURQV�GpVRUPDLV� OD� WRWDOLWp� GHV� GpSODFHPHQWV� QRGDX[� GX�PDLOODJH�

TXH�QRXV�QRWHURQV�pJDOHPHQW� \Q�DILQ�GH�VLPSOLILHU�O·H[SRVp��'H�PrPH��QRWRQV

a\Q� OH� GpSODFHPHQW� ULJLGLILp� DVVRFLp�� $ILQ� GH� TXDOLILHU� OH� FRPSRUWHPHQW� GH� OD

VWUXFWXUH�� OH� FULWqUH� XWLOLVp� FRQVLVWH� j� FDOFXOHU� OH� 0$&� �PRGDO� DVVXUDQFH

FULWHULD�� HQWUH� OHV�GHX[�GpIRUPpHV�PRGDOHV� \Q� HW� a\

Q��5DSSHORQV�TXH� OH�0$&

HVW� XQH� IRQFWLRQ� ELYHFWRULHOOH�� SHUPHWWDQW� G·pYDOXHU� OD� FROLQpDULWp� GH� GHX[

YHFWHXUV��1RWRQV�PQ�OH�FULWqUH�HQ�TXHVWLRQ��GpILQL�DLQVL�SDU��

PQ Q Q

Q Q

Q Q

0$&

7

� �a �

a

a\ \\ \

\ \ '

����� > � @� � ������

3OXVLHXUV�FDV�SHXYHQW�DORUV�VH�SUpVHQWHU�VXLYDQW�OD�YDOHXU�GH�PQ ��

x� PQ | ����OH�PRGH�SURSUH�FRQVLGpUp�HVW�XQ�PRGH�GH�SRXWUH

x� PQ | � ���OH�PRGH�SURSUH�Q·HVW�SDV�XQ�PRGH�GH�SRXWUH

3RXU� GHV� YDOHXUV� LQWHUPpGLDLUHV�� OH� PRGH� SURSUH� SHXW� JpQpUDOHPHQW� rWUH

LQWHUSUpWp� FRPPH� OD� FRPELQDLVRQ� G·XQ� FRPSRUWHPHQW� GH� SRXWUH� HW� G·XQH

GpIRUPDWLRQ�GH�OD�VHFWLRQ�GLIILFLOH�j�HVWLPHU�D�SULRUL�

2Q�SHXW�PRQWUHU�j�O·DLGH�G·XQ�FDOFXO�VLPSOH�TXH�OH�FULWqUH�PQ �SURSRVp��EDVp

VXU� OD� FROLQpDULWp� GHV� YHFWHXUV� SURSUHV� H[DFWV� HW� ULJLGLILpV�� UHYLHQW� HQ� IDLW� j

FDOFXOHU� O·HUUHXU� HQ� QRUPH� HQWUH� FHV� YHFWHXUV�� &RQVLGpURQV� SRXU� FHOD� OD

IRQFWLRQ�[Q �SHUPHWWDQW�GH�TXDQWLILHU�FHWWH�HUUHXU��GpILQLH�SDU��

[H

Q

Q Q

Q

Q

Q

\ \

\ \

a������

/·HUUHXU� HQ � pWDQW� LVVXH� GH� OD� UpVROXWLRQ� SDU� OD� PpWKRGH� GHV� PRLQGUHV

FDUUpV��HOOH�HVW�RUWKRJRQDOH�j�OD�VROXWLRQ�a\Q ��(Q�HIIHW��RQ�D��

a � � � �\ \ 5 , 5 \ \ 5 5 \Q Q Q Q Q QH7 7 7 7 7 � � � ������

(Q�FRPELQDQW�OHV�H[SUHVVLRQV����������������HW���������RQ�DERXWLW�G·XQH�SDUW�j��

PQQ

Q

a\

\������

HW�G·DXWUH�SDUW��RQ�SHXW�ILQDOHPHQW�pFULUH�OD�UHODWLRQ�OLDQW�OHV�FULWqUHV�PQ �HW�[Q ��

P [Q Q

� � �� ������

Page 98: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������4XDOLILFDWLRQ�D�SULRUL�GHV�PRGHV�GH�SRXWUH

��

$ILQ�G·pYDOXHU�OD�ILDELOLWp�GX�FULWqUH�pWDEOL��OHV�SUHPLHUV�PRGHV�SURSUHV�GX

WXEH�HQ�FRQILJXUDWLRQ� OLEUH�OLEUH�RQW�pWp�FDOFXOpV�j�SDUWLU�GX�PRGqOH�FRTXH�HW

VRQW�SUpVHQWpV�VXU�OD�)LJXUH�������2Q�SHXW�GLVWLQJXHU�GH�IDoRQ�FODLUH�OHV�PRGHV

GH�SRXWUH�HW�OHV�PRGHV�GH�FRTXH�

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

)LJXUH��������3UHPLHUV�PRGHV�SURSUHV�GH�OD�VWUXFWXUH

Page 99: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

/H� FULWqUH� GX� 0$&� D� pWp� DSSOLTXp� j� FHV� PRGHV� SURSUHV�� /HV� UpVXOWDWV

REWHQXV�VRQW�UHSUpVHQWpV�JUDSKLTXHPHQW�VXU�OD�)LJXUH�������$LQVL��QRWRQV�TXH

FH� FULWqUH� VHPEOH� rWUH� HQ� SDUIDLWH� DGpTXDWLRQ� DYHF� FH� TXL� SHXW� rWUH� GpGXLW

YLVXHOOHPHQW�GH�O·DOOXUH�GHV�GpIRUPpHV�

� � � � � � � ��

���

���

���

���

� � � � � � � �

0RGH Q

PQ

)LJXUH��������0$&�HQWUH�PRGHV�H[DFWV�HW�PRGHV�ULJLGLILpV

'·DXWUH� SDUW�� OHV� SDUDPqWUHV� GX� PRGqOH� pTXLYDOHQW� GH� SRXWUH� RQW� pWp

LGHQWLILpV�SUpFpGHPPHQW��7DEOHDX�������,OV�RQW�SHUPLV�G·pYDOXHU�OD�SUpFLVLRQ�GH

FHOXL�FL�GDQV�OD�PrPH�FRQILJXUDWLRQ��/HV�YDOHXUV�REWHQXHV�VRQW�OHV�VXLYDQWHV��

0RGqOH�FRTXHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV

����GGO 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� GX�PRGH

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[\�

� ���� ���� ��� 7RUVLRQ��

� ���� ���� ��� )OH[LRQ����[]�

� ���� � � &RTXH

� ���� � � &RTXH

� ���� � � &RTXH

7DEOHDX��������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

&HV�UpVXOWDWV�FRQILUPHQW�D�SRVWHULRUL�OHV�LQGLFDWLRQV�SUpDODEOHPHQW�pWDEOLHV

j� SDUWLU� GX� FULWqUH� �)LJXUH� ������� (Q� SDUWLFXOLHU�� RQ� SHXW� FRQVWDWHU� TXH� OH

Page 100: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������6WDELOLWp�GH�O·LGHQWLILFDWLRQ

��

PDQTXH�GH�SUpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW�HQ�FH�TXL�FRQFHUQH�OH�PRGH�SURSUH

GH�WRUVLRQ�V·H[SOLTXH�SDU�OH�IDLW�TXH��SRXU�FH�PRGH��OD�VHFWLRQ�GURLWH�GX�WXEH�VH

GpIRUPH� FRQVLGpUDEOHPHQW�� &HFL� D� SX� rWUH� GpWHFWp� SDU� OD� YDOHXU� GH� ����

REWHQXH�SRXU� OH�0$&��/H� FULWqUH� pWDEOL� SHUPHW�GRQF�GH�GRQQHU�D�SULRUL� XQH

HVWLPDWLRQ�GX�GRPDLQH�GH�YDOLGLWp�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW�

���� 6WDELOLWp�GH�O·LGHQWLILFDWLRQ

$ILQ�G·pYDOXHU�OD�VWDELOLWp�GH�OD�PpWKRGH�G·LGHQWLILFDWLRQ�SURSRVpH��RQ�SURSRVH

OH� FDV� WHVW� VXLYDQW�� &RQVLGpURQV� OH� WURQoRQ� GH� WXEH� j� VHFWLRQ� UHFWDQJXODLUH

pWXGLp� SUpFpGHPPHQW�� /D� ORQJXHXU� GX� WXEH� HVW� /� � P �� HW� OD� GLPHQVLRQ

PR\HQQH�GH�OD�VHFWLRQ�HVW�G·HQYLURQ����FP��YRLU�)LJXUH�������2Q�V·LQWpUHVVH�j�OD

VWDELOLWp�GHV�SDUDPqWUHV� LGHQWLILpV�HQ�IRQFWLRQ�GH� OD� ORQJXHXU�G·LGHQWLILFDWLRQ�

3RXU�FHOD��IDLVRQV�YDULHU�OD�ORQJXHXU� / �GX�WURQoRQ��VDQV�SRXU�DXWDQW�FKDQJHU

OD� WDLOOH� GX� PRGqOH� pOpPHQWV� ILQLV�� HW� DSSOLTXRQV� OD� PpWKRGH� SURSRVpH�� /HV

SDUDPqWUHV�LGHQWLILpV�SRXU�FKDTXH�ORQJXHXU�VRQW�JURXSpV�GDQV�OH�7DEOHDX������

/

)LJXUH��������7URQoRQ�G·LGHQWLILFDWLRQ

/�/� $ - ,\ ,] N\ N]

��� ������ ������ ������ ������ ����� �����

��� ������ ������ ������ ������ ����� �����

��� ������ ������ ������ ������ ����� �����

� ������ ������ ������ ������ ����� �����

� ������ ������ ������ ������ ����� �����

� ������ ������ ������ ������ � �

� ������ ������ ������ ������ � �

7DEOHDX��������3DUDPqWUHV�LGHQWLILpV�SRXU�SOXVLHXUV�ORQJXHXUV

Page 101: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

/HV� SDUDPqWUHV� GX� PRGqOH� pTXLYDOHQW� pWDQW� GpILQLV� VXU� OD� VHFWLRQ�� LOV

GHYUDLHQW�rWUH�LQVHQVLEOHV�j�OD�ORQJXHXU�G·LGHQWLILFDWLRQ��/HV�UpVXOWDWV�REWHQXV

HW�SUpVHQWpV�GDQV�OH�7DEOHDX������PRQWUHQW�TX·LO�Q·HQ�HVW�ULHQ�

����

����

����

����

����

���

��� ��� ��� � � � �

/RQJXHXU GLGHQWLILFDWLRQ

$

-

,\

,]

)LJXUH��������9DULDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV�HQ�IRQFWLRQ�GH�OD�ORQJXHXU

/H� JUDSKLTXH� GH� OD� )LJXUH� ����� UHSUpVHQWH� OHV� YDULDWLRQV� GH�$�� -�� ,\� HW� ,

]

UHODWLYHPHQW�DX[�YDOHXUV�QRPLQDOHV�LGHQWLILpHV�VXU�/� ��2Q�SHXW�DLQVL�QRWHU�TXH

OD�YDULDWLRQ�UHODWLYH�GH�$��,\�HW�,

]�HVW�WUqV�IDLEOH���PRLQV�GH�����SRXU�XQH�]RQH�GH

VWDELOLWp� DOODQW� GH� / ��� FP� j� / �� P��� 3DU� FRQWUH�� OD� YDULDWLRQ� GH� -� HVW

OpJqUHPHQW� SOXV� SURQRQFpH�� 2Q� UHPDUTXH� TXH� ORUVTXH� OD� ORQJXHXU

G·LGHQWLILFDWLRQ� GLPLQXH�� OD� YDOHXU� GHV� SDUDPqWUHV� D� WHQGDQFH� j� DXJPHQWHU�

&HOD�V·H[SOLTXH�GH�OD�IDoRQ�VXLYDQWH��

/RUVTXH� O·pODQFHPHQW� GHYLHQW� IDLEOH�� OD� VWUXFWXUH� SUpVHQWH� GHV

GpIRUPDWLRQV� ORFDOHV� �JDXFKLVVHPHQW�� pFUDVHPHQWV�� ������ /·K\SRWKqVH� GH� QRQ

GpIRUPDELOLWp� GH� OD� VHFWLRQ� GURLWH� Q·HVW� SOXV� DORUV� YpULILpH�� &RQVLGpURQV� OD

VWUXFWXUH� VRXPLVH� j� XQ� HIIRUW� GRQQp�� /·pQHUJLH� GH� GpIRUPDWLRQ� WRWDOH� HVW� OD

VRPPH�GH� O·pQHUJLH�GH�GpIRUPDWLRQ�GH�SRXWUH� HW�GH� O·pQHUJLH�GH�GpIRUPDWLRQ

ORFDOH��(Q�G·DXWUHV�WHUPHV��OH�GpSODFHPHQW�G·HQVHPEOH�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH�HVW

PRLQGUH�TXH�GDQV�OH�FDV�R��O·pQHUJLH�GH�GpIRUPDWLRQ�ORFDOH�HVW�QpJOLJHDEOH��3DU

FRQVpTXHQW�� OD� PpWKRGH� G·LGHQWLILFDWLRQ� SURSRVpH�� EDVpH� XQLTXHPHQW� VXU� OH

FRPSRUWHPHQW�GH�SRXWUH��D�WHQGDQFH�D�VXUHVWLPHU�OHV�ULJLGLWpV�GH�OD�VWUXFWXUH�

HW� GRQF� OHV� YDOHXUV� GHV� SDUDPqWUHV� DVVRFLpV�� $ILQ� G·pYLWHU� FH� SKpQRPqQH�

O·H[SpULHQFH�PRQWUH�TXH�SRXU�GH�WHOOHV�VWUXFWXUHV��OD�ORQJXHXU�G·LGHQWLILFDWLRQ

GRLW�rWUH�DX�PRLQV�pJDOH�j�WURLV�IRLV�OD�GLPHQVLRQ�WUDQVYHUVDOH�GH�OD�VHFWLRQ�

Page 102: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������6WDELOLWp�GH�O·LGHQWLILFDWLRQ

��

(Q�FH�TXL�FRQFHUQH�O·LGHQWLILFDWLRQ�GHV�FRHIILFLHQWV�GH�FLVDLOOHPHQW��OD�]RQH

GH�VWDELOLWp�HVW�SOXV� UpGXLWH�TXH�SRXU� OHV�DXWUHV�SDUDPqWUHV��(Q�HIIHW�� RQ� VDLW

TXH�ORUVTXH�O·pODQFHPHQW�GH�OD�VWUXFWXUH�HVW�JUDQG��O·LQIOXHQFH�GX�FLVDLOOHPHQW

GDQV� VRQ� FRPSRUWHPHQW� JOREDO� GHYLHQW� QpJOLJHDEOH�� $LQVL�� SRXU� GH� JUDQGHV

ORQJXHXUV�GX�WURQoRQ�G·LGHQWLILFDWLRQ��OD�FRUUHFWLRQ�DSSRUWpH�SDU�OH�FRHIILFLHQW

GH�FLVDLOOHPHQW�HVW�GX�PrPH�RUGUH�GH�JUDQGHXU�TXH�O·HUUHXU�LQWULQVqTXH�GXH�j

OD� GLVFUpWLVDWLRQ�� ,O� HVW� DORUV� LPSRVVLEOH� G·LGHQWLILHU� N\� HW� N

]� SRXU� GH� JUDQGV

pODQFHPHQWV��(Q�SUDWLTXH��RQ�SHXW�DERXWLU�j�GHV�YDOHXUV�QpJDWLYHV��FH�TXL�HVW

DEVXUGH��HW�H[SOLTXH�OHV�VLJQHV�©���ª�GDQV�OH�7DEOHDX��������1pDQPRLQV��FHOD�QH

SRVH�DXFXQ�SUREOqPH�TXDQW� j� O·XWLOLVDWLRQ�GH� OD�SRXWUH� pTXLYDOHQWH�SRXU�XQH

ORQJXHXU�GX�PrPH�RUGUH�TXH�OD�ORQJXHXU�G·LGHQWLILFDWLRQ�

2Q� SHXW� DORUV� VH� GHPDQGHU� TXHO� HVW� OD� YDOLGLWp� G·XQ� MHX� GH� SDUDPqWUHV

LGHQWLILpV�VXU�XQH�ORQJXHXU�GRQQpH��TXDQW�OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH�HVW�XWLOLVpH�VXU

XQH� ORQJXHXU� GLIIpUHQWH�� (Q� SUDWLTXH�� RQ� REVHUYH� TXH� OHV� SDUDPqWUHV

SHUPHWWDQW�GH�JpQpUHU�OD�SRXWUH�SUpVHQWDQW�OH�PHLOOHXU�FRPSRUWHPHQW�GRLYHQW

rWUH� LGHQWLILpV� VXU� XQ� WURQoRQ� G·LGHQWLILFDWLRQ� GH� ORQJXHXU� YRLVLQH� GH� OD

ORQJXHXU�UpHOOH�GH�OD�VWUXFWXUH�LQLWLDOH��&HWWH�SURSULpWp�� LQKpUHQWH�DX�SULQFLSH

G·LGHQWLILFDWLRQ� PLV� HQ� ±XYUH�� SHXW� DSSDUDvWUH� HQ� SUHPLHU� OLHX� FRPPH� XQH

FRQWUDLQWH�G·XWLOLVDWLRQ��PDLV�QRXV�YHUURQV�GDQV� OH� FKDSLWUH� VXLYDQW�TXH� F·HVW

SUpFLVpPHQW�FH�TXL�JDUDQWLW�O·HIILFDFLWp�GH�OD�PpWKRGH�SURSRVpH�

Page 103: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

��

Page 104: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

��

$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

/·pWXGH� SUpVHQWpH� GDQV� OHV� FKDSLWUHV� SUpFpGHQWV� WUDLWH� OH� FDV� GHV� SRXWUHV

GURLWHV� XQLIRUPHV�� &HOD� VXSSRVH� TXH� OHV� VWUXFWXUHV� pWXGLpHV� RQW� XQH� VHFWLRQ

GURLWH� GH� IRUPH� FRQVWDQWH� OH� ORQJ� GH� O·D[H� HW� VRQW� FRQVWLWXpHV� G·XQ�PDWpULDX

XQLTXH� KRPRJqQH� HW� LVRWURSH�� 2U�� LO� H[LVWH� GH� QRPEUHXVHV� VWUXFWXUHV� TXL� QH

YpULILHQW� SDV� FHV� SURSULpWpV�PDLV� TXL� VH� FRPSRUWHQW� QpDQPRLQV� JOREDOHPHQW

FRPPH� GHV� SRXWUHV�� 'DQV� FH� FKDSLWUH�� RQ� PRQWUH� FRPPHQW� OD� PpWKRGH

G·LGHQWLILFDWLRQ� SURSRVpH� SHXW� rWUH� DSSOLTXpH� j� GH� WHOOHV� VWUXFWXUHV

KpWpURJqQHV�

���� 3RXWUH�FRPSRVLWH

/HV�VWUXFWXUHV�FRQFHUQpHV�GDQV�FHWWH�SDUWLH�VRQW�GH�W\SH�©�VDQGZLFK�ª��F·HVW�j

GLUH��FRQVWLWXpHV�G·XQ�DVVHPEODJH�GH�SOXVLHXUV�FRXFKHV�GH�PDWpULDX[�LVRWURSHV

GLIIpUHQWV�� (Q� JpQpUDO�� LO� V·DJLW� GH� GHX[� VHPHOOHV� �RX� SHDX[�� PLQFHV� G·XQ

PDWpULDX� ULJLGH� DXWRXU� G·XQH� kPH� �RX� F±XU�� SOXV� OpJqUH� VHUYDQW

HVVHQWLHOOHPHQW� j�PDLQWHQLU� OHXU� pFDUWHPHQW��/HV�SURSULpWpV� VSpFLILTXHV� j� FH

W\SH�GH� VWUXFWXUHV� VRQW�XQH�JUDQGH� OpJqUHWp� DLQVL�TX·XQH�JUDQGH� ULJLGLWp� j� OD

IOH[LRQ� �MXVWHPHQW� GXH� j� FHW� pFDUWHPHQW��� 'H� SOXV�� HOOHV� RFFXSHQW� XQ� ODUJH

FUpQHDX�GH�OD�FRQVWUXFWLRQ�GHV�SLqFHV�FRPSRVLWHV��HW�FRQVWLWXHQW�GH�FH�IDLW�XQ

GRPDLQH� G·DSSOLFDWLRQ� LQWpUHVVDQW� SRXU� OD� PpWKRGH� GH� VLPSOLILFDWLRQ� GH

PRGqOH�SURSRVpH�

&KDSLWUH

Page 105: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

���

/HV�UpVXOWDWV�FRQFHUQDQW�OHV�SRXWUHV�VDQGZLFK�VHURQW�pWDEOLV�j�SDUWLU�GH�OD

VWUXFWXUH� WHVW� VXLYDQWH�� ,O� V·DJLW� G·XQH� SRXWUH� GURLWH� GH� ORQJXHXU� / ��FP �

GRQW�OHV�FDUDFWpULVWLTXHV�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH�VRQW�SUpVHQWpHV�VXU�OD�)LJXUH�����

2

\S

]S

H� ���PP

K� ���FP

E� ���FP

)LJXUH�������&DUDFWpULVWLTXHV�GH�OD�VHFWLRQ�FRPSRVLWH

/HV� SURSULpWpV� PpFDQLTXHV� GHV� GHX[� PDWpULDX[� LVRWURSHV� HW� KRPRJqQHV

VRQW� SRXU� OHV� VHPHOOHV��� �(�

���� �� u �� 1�P � �� U� ���� �NJ�P � ��� HW� SRXU� OH

F±XU����(�

�� � �� u �� 1�P � ��U� ��� �NJ�P � ��

'X� IDLW� GH� VRQ� pODQFHPHQW�� FHWWH� VWUXFWXUH� SHXW� rWUH� DVVLPLODEOH� j� XQH

SRXWUH�� 8QH� PpWKRGH� SHUPHWWDQW� G·pWXGLHU� VLPSOHPHQW� OHV� GpIRUPDWLRQV

JOREDOHV� G·XQH� WHOOH� SRXWUH� FRQVLVWH� j� UHFKHUFKHU� TXHOOHV� VRQW� OHV

FDUDFWpULVWLTXHV� GH� OD� SRXWUH� KRPRJqQH� D\DQW� XQ� FRPSRUWHPHQW� VWDWLTXH

VLPLODLUH��2Q�SHXW�GLUH�DORUV�TXH�O·RQ�DERXWLW�j�XQH�IRUPXODWLRQ�KRPRJpQpLVpH

GH�OD�WUDFWLRQ��GH�OD�IOH[LRQ��HW�GH�OD�WRUVLRQ�

������ 0pWKRGH�FODVVLTXH�G·KRPRJpQpLVDWLRQ

$ILQ� GH� GpILQLU� OHV� ULJLGLWpV� pTXLYDOHQWHV� SRXU� FKDFXQ� GHV� HIIHWV�� OD�PpWKRGH

G·KRPRJpQpLVDWLRQ� FODVVLTXH� FRQVLVWH� j� pFULUH� OD� ULJLGLWp� GDQV� XQH� GLUHFWLRQ

FRPPH� OD� VXSHUSRVLWLRQ� GHV� ULJLGLWpV� GHV� GLIIpUHQWHV� FRXFKHV� FRQVWLWXDQW� OH

VDQGZLFK�

$LQVL�� SRXU� OD� WUDFWLRQ� HW� OD� IOH[LRQ�� RQ� SHXW� GpILQLU� VXU� FKDTXH� VHFWLRQ

GURLWH�6��

Page 106: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������3RXWUH�FRPSRVLWH

���

��������������������������������������� ( $ ( (L L LL

³ ¦G6 66

�����

�������������������������������������� (, ( ] ( ,\ L L \ LL

³ ¦� G66

�����

�������������������������������������� ( , ( \ ( ,] L L ]LL

³ ¦� G66

�����

'DQV� OH� FDV� SUpVHQW�� OHV� VHFWLRQV� SULVHV� HQ� FRPSWH� VRQW� WRXWHV� GH� IRUPH

UHFWDQJXODLUH��&HOD�FRQGXLW�LPPpGLDWHPHQW�DX[�H[SUHVVLRQV�VXLYDQWHV��

��������������������������������� ( $ E ( H ( K �> @� � ������

�������������������������������� (,E

( H ( K\ ��

� ����> @ �����

�������������������������������� ( ,E

( H K H H ( K] � � ���

� ��

� �

�> � � � � @ �����

3DU�FRQWUH�� OH�FDOFXO�GHV�H[SUHVVLRQV�DVVRFLpHV�DX[�SDUDPqWUHV�WHOV�TXH� OD

ULJLGLWp�GH�WRUVLRQ�RX�OHV�FRHIILFLHQWV�GH�FLVDLOOHPHQW�Q·HVW�SDV�GLUHFW��(Q�HIIHW��LO

UHTXLHUW�OD�GpWHUPLQDWLRQ�SUpDODEOH�GHV�IRQFWLRQV�GH�IRUPH�GDQV�FKDTXH�VRXV�

GRPDLQH� GH� OD� VHFWLRQ� GURLWH�� FH� TXL� FRQVWLWXH� JpQpUDOHPHQW� XQ� SUREOqPH

GLIILFLOH�j�UpVRXGUH�GH�PDQLqUH�H[SOLFLWH��2Q�SRXUUD�HQ�WURXYHU�XQH�IRUPXODWLRQ

WHFKQLTXH�FRPSOqWH�GDQV�O·RXYUDJH�GH�*D\�>��@�RX�GDQV�FHOXL�GH�%DWR]�>�@�

������ 0pWKRGH�SURSRVpH

$ILQ� G·DSSOLTXHU� OD� PpWKRGH� G·LGHQWLILFDWLRQ� TXH� QRXV� DYRQV� pODERUpH�� OH

YROXPH�GH�OD�VWUXFWXUH�D�pWp�PDLOOp�HQ�pOpPHQWV�ILQLV�KH[DpGULTXHV�j���QRHXGV

HW� j� �� GGO� SDU� QRHXG�� /H�PDLOODJH�� FRPSUHQDQW� ��� GLYLVLRQV� VXU� OD� ORQJXHXU�

FRQGXLW�j�XQ�PRGqOH�QXPpULTXH�j������GGO�

/D� PpWKRGH� G·LGHQWLILFDWLRQ� SUpVHQWpH� DX� FKDSLWUH� SUpFpGHQW� SHUPHW

G·REWHQLU�GH�PDQLqUH�DXWRPDWLTXH�OHV�SDUDPqWUHV�j�LQWURGXLUH�GDQV�OH�PRGqOH

GH� SRXWUH� KRPRJqQH� pTXLYDOHQW�� /HV� YDOHXUV� GHV� SDUDPqWUHV� LGHQWLILpV� VRQW

SUpVHQWpHV� GDQV� OH� 7DEOHDX� ����� HW� FRPSDUpHV� DYHF� FHOOHV� REWHQXHV� SDU� OD

PpWKRGH� FODVVLTXH��2Q� SHXW� FRQVWDWHU� XQH� WUqV� ERQQH� FRQFRUGDQFH� HQWUH� OHV

UpVXOWDWV�LVVXV�GHV�GHX[�PpWKRGHV��(Q�RXWUH��QRWRQV�TXH�OD�PpWKRGH�SURSRVpH

SHUPHW�WRXMRXUV�G·DIIHFWHU�XQH�YDOHXU�QXPpULTXH�j�FKDTXH�SDUDPqWUH��FH�TXL

Q·HVW� SDV� OH� FDV� GH� OD� PpWKRGH� FODVVLTXH� TXL� SHXW� FRQGXLUH� j� GHV� FDOFXOV

DQDO\WLTXHV�IDVWLGLHX[�VXLYDQW�OD�IRUPH�GH�OD�VHFWLRQ�

Page 107: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

���

3DUDPqWUH

pTXLYDOHQW

0pWKRGH

FODVVLTXH

0pWKRGH

SURSRVpH

( $ ���1� ����u���� ����u����

( ,\���1�P�� ����u���� ����u����

(,]���1�P�� ����u���� ����u����

*- ���1�P�� � ����u����

��N\

���������� � �����

��N]

� ����

U$ ���NJ�P��� ���� ����

7DEOHDX�������&DUDFWpULVWLTXHV�GH�OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH

/D�SUpFLVLRQ�GX�PRGqOH�GH�SRXWUH�pTXLYDOHQWH�LGHQWLILp�D�pWp�pYDOXpH�GDQV

OHV�FRQGLWLRQV�DX[�OLPLWHV�GH�OD�SRXWUH�FRQVROH��&H�PRGqOH�FRPSRUWH�����GGO��FH

TXL�UHSUpVHQWH�XQH�UpGXFWLRQ�GH�WDLOOH�GH�SOXV�GH������SDU�UDSSRUW�DX�PRGqOH

LQLWLDO�� /HV� IUpTXHQFHV� SURSUHV� FDOFXOpHV� j� SDUWLU� GHV� GHX[� PRGqOHV� VRQW

SUpVHQWpHV� GDQV� OH� 7DEOHDX� ����� /HV� UpVXOWDWV� REWHQXV� FRQILUPHQW� OH� ERQ

FRPSRUWHPHQW� G\QDPLTXH� GX� PRGqOH� pTXLYDOHQW� DLQVL� TXH� OD� ILDELOLWp� GH

O·LGHQWLILFDWLRQ�

0RGqOH�KH[DqGUHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV

����GGO 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� GX�PRGH

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� 7RUVLRQ��

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ��� )OH[LRQ����[\�

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I5

&RQVLGpURQV�SOXV�SUpFLVpPHQW�OH�FRPSRUWHPHQW�GH�OD�VWUXFWXUH�DVVRFLp�j�OD

IOH[LRQ�GDQV� OH�SODQ� �[S\S��� ,O� HVW� LPSRUWDQW� GH�QRWHU� TXH� OD� YDOHXU� WUqV� IDLEOH

�������� LGHQWLILpH�SRXU�N\� VLJQLILH�TXH� OD�FRQWULEXWLRQ�GX�FLVDLOOHPHQW�HVW�GDQV

FH�FDV�WUqV�LPSRUWDQWH�FRPSDUpH�j�FHOOH�GH�OD�IOH[LRQ�SXUH�

I\ �����

I] �����

� � 9DOHXU FDOFXOpH j SDUWLU GH O·RXYUDJH GH -�/� %DWR] *� 'KDWW >�@� HT� ���������

Page 108: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������6LPXODWLRQV�QXPpULTXHV

���

/HV�HIIHWV�GX�FLVDLOOHPHQW�VRQW�SDUIRLV�FRQVLGpUpV�FRPPH�VHFRQGDLUHV�SRXU

O·pWXGH� GHV� SRXWUHV� KRPRJqQHV�� &H� Q·HVW� SOXV� YUDL� GDQV� OH� FDV� GHV� SRXWUHV

FRPSRVLWHV� GH� W\SH� ©�VDQGZLFK�ª�� /H� 7DEOHDX� ���� LOOXVWUH� FH� SKpQRPqQH� HQ

FRPSDUDQW� OD� SUpFLVLRQ� GHV� UpVXOWDWV� FDOFXOpV� j� SDUWLU� GX� PRGqOH� GH

7LPRVKHQNR� XWLOLVp� HW� GX� PRGqOH� GH� %HUQRXOOL�� /HV� HUUHXUV� LQDFFHSWDEOHV

REWHQXHV�SDU�FH�GHUQLHU��GqV�OHV�SUHPLHUV�PRGHV�SURSUHV��PRQWUHQW�TXH��SRXU

GH�WHOOHV�VWUXFWXUHV�� LO�HVW� LQGLVSHQVDEOH�G·XWLOLVHU� OD� IRUPXODWLRQ�GH�SRXWUH�GH

7LPRVKHQNR�

&RTXHV 7LPRVKHQNR %HUQRXOOL

I5��+]� I��+]� H���� I��+]� H����

����� ����� ��� ����� ���

����� ����� ��� ����� ����

����� ����� ��� ���� ����

7DEOHDX�������)UpTXHQFHV�SURSUHV�GH�IOH[LRQ��[S\S�

���� 6LPXODWLRQV�QXPpULTXHV

������ 6WUXFWXUH�j�GLVFRQWLQXLWpV�XQLIRUPpPHQW�UpSDUWLHV

&RQVLGpURQV� XQH� VWUXFWXUH� UHFWLOLJQH� FRQVWLWXpH� G·XQ� PDWpULDX� KRPRJqQH

XQLTXH�� PDLV� SRVVpGDQW� GHV� GLVFRQWLQXLWpV� UpSDUWLHV� UpJXOLqUHPHQW� VXU� VD

ORQJXHXU�� $ILQ� G·LOOXVWUHU� FHWWH� FRQILJXUDWLRQ�� RQ� SUpVHQWH� OH� FDV� WHVW� VXLYDQW

FRQVWLWXp�G·XQ�WXEH�HQ�DFLHU�GH�VHFWLRQ�HOOLSWLTXH�SHUIRUp�SpULRGLTXHPHQW�SDU

GHV�RXYHUWXUHV�GH�GLPHQVLRQV�FRQVWDQWHV��)LJXUH������

)LJXUH�������7XEH�SHUIRUp

Page 109: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

���

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

0RGH�� 0RGH��

)LJXUH�������3UHPLqUHV�GpIRUPpHV�PRGDOHV�GX�WXEH�SHUIRUp

/D� ORQJXHXU� GX� WXEH� HVW� GH� ���� P� HW� OHV� GLPHQVLRQV� H[WpULHXUHV� GH� OD

VHFWLRQ�VRQW�GH����FP�HW���FP�SRXU�OHV�D[HV��HW���PP�SRXU�O·pSDLVVHXU��3RXU�GH

WHOOHV�GLPHQVLRQV�� LO�HVW�UDLVRQQDEOH�GH�VXSSRVHU�TXH�OD�VWUXFWXUH�HQ�TXHVWLRQ

SHXW� SUpVHQWHU� JOREDOHPHQW� XQ� FRPSRUWHPHQW� GH� W\SH� SRXWUH�� &HFL� HVW

FRQILUPp�SDU�OHV�SUHPLqUHV�GpIRUPpHV�SURSUHV�FDOFXOpHV�j�SDUWLU�G·XQ�PRGqOH

FRTXH�GDQV�OHV�FRQGLWLRQV�DX[�OLPLWHV�HQFDVWUp�OLEUH��)LJXUH������

Page 110: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������6LPXODWLRQV�QXPpULTXHV

���

(Q�FRQVpTXHQFH�� OD�VWUXFWXUH�HQ�TXHVWLRQ�SHXW�DORUV�rWUH�KRPRJpQpLVpH�j

SDUWLU� GX� PRGqOH� GH� SRXWUH� XQLIRUPH� SUpVHQWp� SUpFpGHPPHQW�� &HOD� Q·HVW

pYLGHPPHQW�HQYLVDJHDEOH�TX·j�OD�FRQGLWLRQ�TXH�OHV�SHUIRUDWLRQV�Q·HQJHQGUHQW

SDV� GH� GpIRUPDWLRQV� ORFDOHV� WURS� LPSRUWDQWHV�� /HV� SDUDPqWUHV� LGHQWLILpV� GX

PRGqOH�GH�SRXWUH�pTXLYDOHQW�VRQW�SUpVHQWpV�GDQV�OH�7DEOHDX������HW�FH�j�SDUWLU

G·XQ�PRGqOH�FRTXH�j������GGO��1RWRQV�TXH�VHXOV�OHV�FRHIILFLHQWV�GH�FLVDLOOHPHQW

Q·RQW� SX� rWUH� LGHQWLILpV�� (Q� HIIHW�� OH� FDOFXO� XVXHO� D� PRQWUp� TXH� O·HIIHW� GX

FLVDLOOHPHQW� HVW� QpJOLJHDEOH� GDQV� FH� FDV�� '·DXWUH� SDUW�� LO� HVW� LPSRUWDQW� GH

UHPDUTXHU�TXH� OD� YDOHXU� pOHYpH�REWHQXH�SRXU� OD�PDVVH�YROXPLTXH� V·H[SOLTXH

SDU� OH� IDLW� TXH� OD� SRXWUH� pTXLYDOHQWH� HVW� GH� VHFWLRQ� FRQVWDQWH�� /H� GpIDXW� GH

PDVVH� OLp� DX[� SHUIRUDWLRQV� GRLW� DORUV� rWUH� FRPSHQVp� SDU� XQH� YDOHXU� GH� U

VXSpULHXUH�j�OD�YDOHXU�LQLWLDOH�LQWURGXLWH�SRXU�OH�PRGqOH�FRTXH�

3DUDPqWUH 9DOHXU�LGHQWLILpH

$���P�� �����u����

-���P�� �����u����

,\���P�� �����u����

,]���P�� �����u����

N\

QRQ�LGHQWLILp

N]

QRQ�LGHQWLILp

U���NJ�P��� ����

7DEOHDX�������3DUDPqWUHV�pTXLYDOHQWV

0RGqOH�FRTXHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV

���GGO 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� GX�PRGH

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ����� )OH[LRQ����[]�

� ������ ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ������ ����� ���� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ���� 7RUVLRQ��

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

$ILQ�G·pYDOXHU�OD�TXDOLWp�GH�O·LGHQWLILFDWLRQ��XQ�PDLOODJH�pOpPHQW�ILQL�SRXWUH

j����GGO�D�pWp�JpQpUp��/·H[DPHQ�GX�7DEOHDX�����PRQWUH� O·H[FHOOHQWH�SUpFLVLRQ

REWHQXH� SRXU� OH� SUHPLHU� PRGH� GH� IOH[LRQ� GDQV� FKDTXH� SODQ�� &HSHQGDQW�

Page 111: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

���

O·HUUHXU�DXJPHQWH�UDSLGHPHQW�DYHF�OH�UDQJ�GX�PRGH��FH�TXL�SURXYH�OH�IDLW�TXH

OHV� GpIRUPpHV� GHV� PRGHV� VXLYDQWV� QH� SHXYHQW� SOXV� rWUH� DVVLPLOpHV� j� FHOOHV

G·XQH�SRXWUH�XQLIRUPH��(Q�HIIHW��GHV�pFUDVHPHQWV�ORFDX[�DSSDUDLVVHQW�j�FDXVH

GHV�SHUIRUDWLRQV��HW�O·K\SRWKqVH�GH�QRQ�GpIRUPDELOLWp�GHV�VHFWLRQV�GURLWHV�Q·HVW

SOXV�YpULILpH��1RWRQV�WRXWHIRLV�TXH�OD�WDLOOH�GX�PRGqOH�D�pWp�UpGXLWH�GH�������FH

TXL�HVW�FRQVLGpUDEOH�

������ 6WUXFWXUH�IRUWHPHQW�GLVFRQWLQXH

&RQVLGpURQV�WRXW�G·DERUG�XQ�WXEH�UHFWLOLJQH�GH�ORQJXHXU� / �P �HW�GH�VHFWLRQ

HQ�©�DLOH�GDYLRQ�ª�GRQW�OD�JpRPpWULH�HVW�GpFULWH�VXU�OD�)LJXUH������/H�PDLOODJH

GH� OD�VWUXFWXUH�HQ�pOpPHQWV�FRTXHV�HVW�EDVp� VXU�XQ�GpFRXSDJH�HQ���GLYLVLRQV

SRXU�FKDFXQ�GHV�WURLV�DUFV�GH�FHUFOH� IRUPDQW� OD�VHFWLRQ��HW����GLYLVLRQV�VXU� OD

ORQJXHXU��/D�SRVLWLRQ�GHV�SRLQWV�FDUDFWpULVWLTXHV�&�HW�*�DLQVL�TXH�O·RULHQWDWLRQ

GHV�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV�� \ ]S S� ��VRQW�D�SULRUL�LQFRQQXHV�

y &

y *

D2

3�

3�

3�+

HS

\R

\S

]R

3�3� ��� P

3�+ ��� P

3�+ � P

HS ���� P

2&o

�\ \ ] ]&

R

R &

R

R

& &

2*o

�\ \ ] ]*

R

R *

R

R

& &

5D\RQV GH FRXUEXUH �

53�3� ��� P

53�3� ���� P

53�3� ����� P

)LJXUH�������*pRPpWULH�GX�SURILO�HQ�©�DLOH�G·DYLRQ�ª

/D� PpWKRGH� SURSRVpH� SHUPHW� GLGHQWLILHU� OHQVHPEOH� GHV� SDUDPqWUHV� GX

PRGqOH� SRXWUH� pTXLYDOHQW�� &HX[�FL� VRQW� SUpVHQWpV� GDQV� OH� 7DEOHDX� ����� /H

FRPSRUWHPHQW�G\QDPLTXH�GX�PRGqOH�pOpPHQWV� ILQLV�FRQGHQVp�j�����GGO�DLQVL

REWHQX�HVW�FRPSDUp�j�FHOXL�GX�PRGqOH�FRTXHV�LQLWLDO�j������GGO��/H�UDSSRUW�GH

UpGXFWLRQ�HVW�GDQV�FH�FDV�VXSpULHXU�j������

Page 112: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������6LPXODWLRQV�QXPpULTXHV

���

3DUDPqWUH 9DOHXU�LGHQWLILpH

\&R ���P� �����

]&R ���P� �����

\*R ���P� �����

]*R ���P� ������

D���GHJ� ����

$���P�� �����u����

-���P�� �����u����

,\���P�� �����u����

,]���P�� �����u����

N\

����

N]

����

U���NJ�P��� ����

7DEOHDX�������3DUDPqWUHV�pTXLYDOHQWV

/H� 7DEOHDX� ���� SUpVHQWH� OHV� SUHPLqUHV� IUpTXHQFHV� SURSUHV� FDOFXOpHV� j

SDUWLU�GH�FHV�GHX[�PRGqOHV�pOpPHQWV�ILQLV��$ILQ�GH�VROOLFLWHU�OHV�PRGHV�GH�W\SH

SRXWUH�� OD� VWUXFWXUH� HVW� HQFDVWUpH� j� XQH� H[WUpPLWp�� HW� FKDUJpH� j� ODXWUH�� /H

FKDUJHPHQW�� DSSOLTXp� DX� FHQWUH�GH� WRUVLRQ�GH� OH[WUpPLWp� OLEUH�� HVW� GH�PDVVH

� ���u NJ �HW�GLQHUWLH� � ���u NJ�P� �GDQV�OHV�WURLV�GLUHFWLRQV�

0RGqOH�FRTXHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV

����GGO 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� GX�PRGH

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� 7RUVLRQ�IOpFKLH

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� &RTXH

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

I\ �����

I] �����

Page 113: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

���

/HV� UpVXOWDWV�REWHQXV�SRXU� OHV�FLQT�SUHPLHUV�PRGHV� FRQILUPHQW� OD�ERQQH

SUpFLVLRQ� GX�PRGqOH� pTXLYDOHQW�� PDOJUp� XQH� WDLOOH� WUqV� LQIpULHXUH� j� FHOOH� GX

PRGqOH� LQLWLDO�� /HV� HUUHXUV� REWHQXHV� j� SDUWLU� GX� VL[LqPH� PRGH� VRQW� GXHV� j

ODSSDULWLRQ� GH�PRGHV� GH� W\SH� FRTXH� TXH� OH�PRGqOH� pTXLYDOHQW� GH� SRXWUH� QH

SHXW�pYLGHPPHQW�SDV�UHSUpVHQWHU�

'DQV� FHW� H[HPSOH�� OHV� YDOHXUV� GHV� SDUDPqWUHV� pTXLYDOHQWV� RQW� pWp

LGHQWLILpHV�j�SDUWLU�GH�OD�PpWKRGH�SURSRVpH��,O�H[LVWH�FHSHQGDQW�GDQV�FHUWDLQV

FRGHV� GH� FDOFXO� pOpPHQWV� ILQLV� GHV� PpWKRGHV� SHUPHWWDQW� GH� GpWHUPLQHU� FHV

SDUDPqWUHV�� j� SDUWLU� GH� OD� GLVFUpWLVDWLRQ� GH� OD� VHFWLRQ� HQ� pOpPHQWV� ILQLV

VSpFLILTXHV�� RX�SDU� GHV� WHFKQLTXHV� GpTXDWLRQV� LQWpJUDOHV� >��@�� &HV�PpWKRGHV

QH� VRQW� pYLGHPPHQW� DSSOLFDEOHV� TXH� VL� OD� VHFWLRQ� GURLWH� HVW� GH� IRUPH� HW� GH

FDUDFWpULVWLTXHV�FRQVWDQWHV�OH�ORQJ�GH�OD[H�GH�OD�SRXWUH��/D�PpWKRGH�SURSRVpH�

TXDQW� j� HOOH�� SUpVHQWH� ODYDQWDJH� GrWUH� EDVpH� VXU� XQH� LGHQWLILFDWLRQ� GHV

SDUDPqWUHV�j�SDUWLU�GX�FRPSRUWHPHQW� pODVWLTXH�GH�SRXWUH�GH� OD� VWUXFWXUH�� HW

QRQ�SDV�j�SDUWLU�GXQ�FDOFXO�VXU�OD�VHFWLRQ��$XVVL�HVW�LO�SRVVLEOH�GH�O·DSSOLTXHU�j

GHV� VWUXFWXUHV� SRVVpGDQW� GH� IRUWHV� LUUpJXODULWpV� ORFDOHV� PDLV� GRQW� OH

FRPSRUWHPHQW�G\QDPLTXH�JOREDO�HVW�GH�W\SH�SRXWUH�

&HWWH� SURSULpWp� HVW� LOOXVWUpH� SDU� OH� FDV� WHVW� QXPpULTXH� VXLYDQW�� R�� OD

VWUXFWXUH�pWXGLpH�HVW�OH�WXEH�j�SURILO�HQ�DLOH�GDYLRQ�SUpFpGHQW��PDLV�SHUIRUp�SDU

HQGURLWV�FRPPH�OH�PRQWUH�OD�)LJXUH�����

)LJXUH�������6WUXFWXUH�j�VHFWLRQ�©�HQ�DLOH�GDYLRQ�ª�SHUIRUpH

/H�7DEOHDX� ���� SUpVHQWH� OHV� QRXYHOOHV� YDOHXUV� GHV� SDUDPqWUHV� LGHQWLILpHV

TXH�O·RQ�SHXW�FRPSDUHU�j�FHOOHV�REWHQXHV�GDQV�OH�FDV�GH�OD�VWUXFWXUH�XQLIRUPH�

/H� PRGqOH� GH� SRXWUH� DLQVL� REWHQX� HVW� XQ� PRGqOH� pTXLYDOHQW� DX� VHQV� GH

OKRPRJpQpLVDWLRQ�

Page 114: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������6LPXODWLRQV�QXPpULTXHV

���

3DUDPqWUH $LOH�XQLIRUPH $LOH�SHUIRUpH

\&R ���P� ����� �����

]&R ���P� ����� ������

\*R ���P� ����� �����

]*R ���P� ������ ������

D���GHJ� ���� ����

$���P�� �����u���� �����u����

-���P�� �����u���� �����u����

,\���P�� �����u���� �����u����

,]���P�� �����u���� �����u����

N\

���� ����

N]

���� ����

U���NJ�P��� ���� ����

7DEOHDX�������3DUDPqWUHV�pTXLYDOHQWV

2Q�SHXW�DLQVL�QRWHU�TXH�OHV�SRVLWLRQV�GH�&�HW�GH�*��)LJXUH�������DLQVL�TXH�OHV

YDOHXUV� GHV� PRPHQWV� GLQHUWLH� GH� IOH[LRQ� HW� WRUVLRQ�� RQW� VXEL� GHV� YDULDWLRQV

VLJQLILFDWLYHV� SDU� UDSSRUW� DX[� YDOHXUV� REWHQXHV� SRXU� OH� FDV� QRQ� SHUIRUp�� (Q

HIIHW�� FRPPH� O·RQ�SRXYDLW� V·\� DWWHQGUH�� WRXWHV� OHV� ULJLGLWpV� LGHQWLILpHV�GDQV� FH

FDV�VRQW�SOXV�IDLEOHV�FDU�OHV�SHUIRUDWLRQV�RQW�WHQGDQFH�j�DVVRXSOLU�OD�VWUXFWXUH�

&� y

y

]R

\R

����&�

y

FDV XQLIRUPH

FDV SHUIRUp

**

)LJXUH�������eYROXWLRQ�GHV�SRVLWLRQV�GH�&�HW�*

I\ �����

I] �����

Page 115: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

���

/HV� PRGHV� SURSUHV� GH� OD� VWUXFWXUH� RQW� pWp� pYDOXpV� DILQ� GH� FRQILUPHU� OD

UREXVWHVVH� GX� PRGqOH� pTXLYDOHQW� DLQVL� TXH� OD� YDOLGLWp� GH� OKRPRJpQpLVDWLRQ�

/HV� FRQGLWLRQV� GH� FKDUJHPHQW� VRQW� OHV� PrPHV� TXH� SRXU� OD� VWUXFWXUH� QRQ

SHUIRUpH�� /HV� UpVXOWDWV� REWHQXV� SRXU� OHV� SUHPLqUHV� IUpTXHQFHV� SURSUHV� VRQW

SUpVHQWpV� GDQV� OH� 7DEOHDX� ����� /H� PRGqOH� SRXWUH� pTXLYDOHQW� GRQQH� GHV

UpVXOWDWV� WUqV� VDWLVIDLVDQWV� GRQW� OD� SUpFLVLRQ� GHV� SUHPLHUV� PRGHV� HVW

FRPSDUDEOH� DX� FDV� SUpFpGHQW�� PrPH� HQ� SUpVHQFH� GH� IRUWHV� GLVFRQWLQXLWpV

JpRPpWULTXHV�GDQV�OH�PRGqOH�LQLWLDO��,QVLVWRQV�VXU�OH�IDLW�TXXQH�PpWKRGH�EDVpH

XQLTXHPHQW�VXU�OD�IRUPH�GH�OD�VHFWLRQ�GURLWH�VHUDLW�LFL�WRWDOHPHQW�LQDGpTXDWH�

FRPPH� OH� PRQWUH� OD� FRPSDUDLVRQ� GHV� IUpTXHQFHV� SURSUHV� LVVXHV� GHV� GHX[

PRGqOHV��7DEOHDX�����HW�7DEOHDX������

0RGqOH�FRTXHV

�����GGO

0RGqOH�SRXWUHV

����GGO 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� GX�PRGH

� ����� ����� ���� 7RUVLRQ�IOpFKLH

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ���� &RTXH

� ����� ����� ���� &RTXH

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

������ 6WUXFWXUH�WUHLOOLV�GH�SRXWUHV

/D� VWUXFWXUH� pWXGLpH� HVW� XQ� WUHLOOLV� VSDWLDO� HQ� 'XUDO� �( u �� � ����� 1�P � �

Q � �� �� U �����NJ�P � �� GH� ORQJXHXU� / � �� P � FRPSRVp� GH� SOXVLHXUV

SRXWUHOOHV� UHFWLOLJQHV�� /HV� GLPHQVLRQV� H[WpULHXUHV� GH� FKDFXQ� GHV� ��� PRWLIV

pOpPHQWDLUHV� �YRLU�)LJXUH� ����� VRQW�GH� ����u������u�����P��&KDTXH�SRXWUHOOH� HVW

HQ� IDLW� XQ� WXEH� UHFWLOLJQH� j� VHFWLRQ� FLUFXODLUH� GH� GLDPqWUH� H[WpULHXU� ��FP� HW

G·pSDLVVHXU� ��PP�� /H� PDLOODJH� GX� PRGqOH� LQLWLDO� FRQVWLWXp� G·pOpPHQWV� GH

SRXWUH�GH�7LPRVKHQNR����pOpPHQWV�SDU�SRXWUHOOH��FRPSWH������GGO�

Page 116: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������6LPXODWLRQV�QXPpULTXHV

���

0RWLI

pOpPHQWDLUH

)LJXUH�������7UHLOOLV�GH�SRXWUHV

2Q�SHXW� UHPDUTXHU�TXH��PDOJUp� OH� IDLW�TXH� O·RQ�QH�SXLVVH�SDV� UpHOOHPHQW

SDUOHU�GH�©�VHFWLRQ�GURLWH�ª�SRXU�OD�VWUXFWXUH�FRQVLGpUpH��OD�PpWKRGH�SURSRVpH

SHUPHW� G·LGHQWLILHU� XQ� MHX� GH� SDUDPqWUHV� SRXU� OD� SRXWUH� KRPRJqQH� DVVRFLpH

�7DEOHDX�������

3DUDPqWUH

pTXLYDOHQW

9DOHXU

LGHQWLILpH

( $ ���1� �����u����

( ,\���1�P�� �����u����

(,]���1�P�� �����u����

*- ���1�P�� �����u����

��N\

����

��N]

����

U$ ���NJ�P��� �����

7DEOHDX��������&DUDFWpULVWLTXHV�GH�OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH

/D�YDOLGLWp�GHV�SDUDPqWUHV�LGHQWLILpV�D�pWp�WHVWpH�j�SDUWLU�G·XQ�PDLOODJH�GH

��� pOpPHQWV� GH� SRXWUH� LQWpJUDQW� OHV� SDUDPqWUHV� LGHQWLILpV�� /HV� FRQGLWLRQV� GH

IRQFWLRQQHPHQW�VRQW�UHSUpVHQWpHV�SDU�XQ�HQFDVWUHPHQW�j�XQH�H[WUpPLWp�HW�XQH

VXUFKDUJH� j� O·DXWUH�� GRQW� OHV� FDUDFWpULVWLTXHV� � �PDVVH� ��NJ � HW� LQHUWLHV

� �� NJ�P� �GDQV� OHV� WURLV�GLUHFWLRQV��RQW�pWp�REWHQXHV�j� O·DLGH�G·XQ�FDOFXO�EDVp

VXU� OH� TXRWLHQW� GH� 5D\OHLJK� SUpVHQWp� DX� FKDSLWUH� VXLYDQW�� /HV� SUHPLqUHV

I\ �����

I] �����

Page 117: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

���

GpIRUPpHV�PRGDOHV�FDOFXOpHV�j�SDUWLU�GX�PRGqOH�LQLWLDO��TXL�VRQW�UHSUpVHQWpHV

VXU�OD�)LJXUH������FRUUHVSRQGHQW�WRXWHV�j�GHV�PRGHV�GH�W\SH�SRXWUH�

PRGH � � ���� +]

yx

z

PRGH � � ���� +]

yx

z

PRGH � � ����� +]

yx

z

PRGH � � ����� +]

yx

z

PRGH � � ����� +]

yx

z

PRGH � � ������ +]

yx

z

PRGH � � ������ +]

yx

z

PRGH � � ������ +]

yx

z

)LJXUH�������3UHPLHUV�PRGHV�SURSUHV�GX�WUHLOOLV�GH�SRXWUHV

/HV� IUpTXHQFHV�SURSUHV� LVVXHV�GHV� GHX[�PRGqOHV� VRQW� SUpVHQWpHV� GDQV� OH

7DEOHDX�������/D�SUpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW�HVW�VLJQLILFDWLYH��(OOH�SHUPHW

GH� FRQFOXUH� VXU� OD� ERQQH� DGDSWDWLRQ� GH� OD� PpWKRGH� SURSRVpH� j

O·KRPRJpQpLVDWLRQ� GH� PRGqOHV� GH� VWUXFWXUHV� PpFDQLTXHV� j� FRPSRUWHPHQW

JOREDO�GH�SRXWUH�

Page 118: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������6LPXODWLRQV�QXPpULTXHV

���

0RGqOH�LQLWLDO

�����GGO

0RGqOH�pTXLYDOHQW

���GGO 1DWXUH

0RGH�Q� I5��+]� I��+]� H���� GX�PRGH

� ���� ���� ��� )OH[LRQ����[\�

� ���� ���� ��� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ���� 7RUVLRQ��

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[\�

� ����� ����� ��� 7UDFWLRQ��

� ����� ����� ���� )OH[LRQ����[]�

7DEOHDX��������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���H��� ����I�I5��I

5

Page 119: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQ�j�O·KRPRJpQpLVDWLRQ

���

Page 120: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

��

$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���� &RQWH[WH�GH�O·pWXGH

/D�YDOLGDWLRQ�GHV�PpWKRGHV�SURSRVpHV�D�IDLW�O·REMHW�G·XQ�FRQWUDW�GH�UHFKHUFKH

/0$5&���36$��������������(Q�HIIHW��GDQV�OH�FDGUH�G·XQ�SURMHW�GH�PRGpOLVDWLRQ

YLEUR�DFRXVWLTXH��36$�VRXKDLWH�GpYHORSSHU�GHV�PRGqOHV�VLPSOLILpV�GH�FDLVVH�GH

YpKLFXOH�DXWRPRELOH��&H�FRQWUDW�FRQFHUQH�OD�PLVH�DX�SRLQW�G·XQH�PpWKRGRORJLH

GH� FUpDWLRQ� GH� PRGqOHV� pTXLYDOHQWV� SRXU� UHSUpVHQWHU� OHV� FRUSV� FUHX[� GHV

RVVDWXUHV�DXWRPRELOHV�

��

)LJXUH�������&DLVVH�GH�YpKLFXOH���6RXV�VWUXFWXUH�GH�W\SH�SRXWUH

&KDSLWUH

Page 121: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

(Q�FRQVWUXFWLRQ�DXWRPRELOH��XQ�JUDQG�QRPEUH�GH�VRXV�HQVHPEOHV�RQW�GHV

FRPSRUWHPHQWV�GH�W\SH�SRXWUH���WUDYHUVHV��PRQWDQWV�GH�SRUWLqUHV��PRQWDQWV�GH

SDUH�EULVH����&HV�VRXV�HQVHPEOHV�VRQW�UpDOLVpV�SRXU�OD�SOXSDUW�j�SDUWLU�GH�W{OHV

HPERXWLHV�� VRXGpHV� SDU� SRLQWV�� ULJLGLILpHV� SDU� GHV� UHQIRUWV� HW� GHV� QHUYXUHV�

GRQW� OD�PRGpOLVDWLRQ� SUpFLVH� HVW� GpVRUPDLV� SRVVLEOH� JUkFH� DX� FRXSODJH� HQWUH

&$2� HW� FDOFXO�� 2Q� REWLHQW� JpQpUDOHPHQW� XQ� ERQ� PRGqOH� GH� FRPSRUWHPHQW

G\QDPLTXH��PDLV�DX�SUL[�GH�WDLOOHV�pOHYpHV��GH�ORUGUH�GH�TXHOTXHV�GL]DLQHV�GH

PLOOLHUV� GH� GHJUpV� GH� OLEHUWp� SRXU� FKDTXH� VRXV�HQVHPEOH��� 'DQV� OH� EXW

G·REWHQLU�XQ�PRGqOH�GX�YpKLFXOH�FRPSOHW�GH�WDLOOH�UDLVRQQDEOH��LO�HVW�QpFHVVDLUH

GH�VLPSOLILHU�FHV�FRPSRVDQWV�

/D� PpWKRGH� G·LGHQWLILFDWLRQ� GH� PRGqOHV� pTXLYDOHQWV� GH� SRXWUH� D� pWp

GpYHORSSpH�HW�DGDSWpH�DX�WUDLWHPHQW�GH�VWUXFWXUHV�GH�IRUPH�FRPSOH[H��6D�PLVH

HQ�±XYUH�DLQVL�TXH�VHV�SRVVLELOLWpV�VRQW�LOOXVWUpHV�GDQV�FH�FKDSLWUH�SDU�GHV�FDV

WHVWV�UHSUpVHQWDWLIV�HPSUXQWpV�j�OLQGXVWULH�DXWRPRELOH�

���� $GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

������ 6WUXFWXUH�©�PRQWDQW�GH�SDUH�EULVH �ª

/D�VWUXFWXUH�pWXGLpH�HVW�XQ�PRQWDQW�GH�SDUH�EULVH�FRQVWLWXp�G·XQ�SURILOp�FUHX[

FRPSRUWDQW�VRXGXUHV��SHUIRUDWLRQV��HW�W{OHV�PLQFHV�G·pSDLVVHXU�YDULDEOH�

\

]

[

)LJXUH�������0RGqOH�LQLWLDO�GX�PRQWDQW�GH�SDUH�EULVH

Page 122: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

/D�VWUXFWXUH�D�pWp�PDLOOpH�HQ�pOpPHQWV� ILQLV�GH� FRTXH�TXDGUDQJXODLUHV� HW

WULDQJXODLUHV�� DERXWLVVDQW� DLQVL� j� XQ�PRGqOH� LQLWLDO� GH� ����� GGO�� 2Q� VRXKDLWH

VLPSOLILHU� FHWWH� VWUXFWXUH� SDU� XQ� PRGqOH� pTXLYDOHQW� GH� SRXWUH�� /D� PpWKRGH

SURSRVpH� GDQV� OHV� FKDSLWUHV� SUpFpGHQWV� HVW� EDVpH� VXU� XQH� LGHQWLILFDWLRQ� GHV

SDUDPqWUHV� j� SDUWLU� G·XQH� IRUPXODWLRQ� GH� SRXWUH� UHFWLOLJQH� XQLIRUPH�� 2U�� OD

VWUXFWXUH�pWXGLpH�V·DSSDUHQWH�SOXW{W�j�XQH�SRXWUH�FRXUEH�GH�VHFWLRQ�pYROXWLYH�

,O�HVW�GRQF�LQRSSRUWXQ�GH�OD�VLPSOLILHU�SDU�XQH�VHXOH�SRXWUH�pTXLYDOHQWH��2Q�VH

SURSRVH� DORUV� GH� GpILQLU� XQ� GpFRXSDJH� GH� ]RQHV� DGMDFHQWHV� VXU� OH� PRGqOH

LQLWLDO��GDQV�OH�EXW�GH�SRXYRLU�HQVXLWH�LGHQWLILHU�XQ�MHX�GH�SDUDPqWUHV�GH�SRXWUH

SRXU�FKDFXQH�GH�FHV�]RQHV��'DQV� OH�FDV�SUpVHQW�� OH�GpFRXSDJH�HIIHFWXp�HVW� OH

VXLYDQW��FKDTXH�]RQH��RX�WURQoRQ��pWDQW�UHSUpVHQWpH�SDU�XQH�FRXOHXU��

y

x

z

)LJXUH�������'pILQLWLRQ�GHV�]RQHV�GX�PRQWDQW�GH�SDUH�EULVH

1RWRQV� TXH� OH� QRPEUH� GH� ]RQHV� j� GpILQLU� SRXU� XQH� VWUXFWXUH� GRQQpH

GpSHQG�HVVHQWLHOOHPHQW�GH�OD�YDULDWLRQ�GH�VD�JpRPpWULH�HW�GH�OD�FRXUEXUH�GH�VD

OLJQH� PR\HQQH�� 3RXU� XQH� VWUXFWXUH� SUpVHQWDQW� XQH� FRXUEXUH� SURQRQFpH�� RX

GRQW�OD�VHFWLRQ�pYROXH�UDSLGHPHQW��LO�HVW�pYLGHQW�TX·LO�HVW�QpFHVVDLUH�GH�GpILQLU

GHV� ]RQHV� G·LGHQWLILFDWLRQ� VH� UDSSURFKDQW� OH� SOXV� SRVVLEOH� GH� OD� SRXWUH

XQLIRUPH�HW�UHFWLOLJQH��FH�TXL�WHQG�j�UHVWUHLQGUH�OHXU�ORQJXHXU��7RXWHIRLV��FHOOH�

FL�QH�GRLW�SDV�rWUH�WURS�IDLEOH�FDU��GDQV�FH�FDV�� O·LGHQWLILFDWLRQ�VHUDLW�HQWDFKpH

GH�O·HUUHXU�HQJHQGUpH�SDU�OD�VRXSOHVVH�ORFDOH�GH�W\SH�FRTXH��FRPPH�RQ�O·D�YX

DX�&KDSLWUH����

,O�V·DJLW�GRQF�GH�WURXYHU�XQ�FRPSURPLV�HQWUH�FHV�GHX[�WHQGDQFHV�RSSRVpHV�

1RWRQV� WRXWHIRLV� TXH�� HQ� O·DEVHQFH� GH� UqJOHV� GH� GpFRXSDJH� SUpFLVHV�� LO� HVW

WRXMRXUV�SRVVLEOH�GH�YpULILHU� D�SRVWHULRUL� O·DGpTXDWLRQ�GX�GpFRXSDJH�SXLVTXH�

Page 123: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

DX� WHUPH� GH� O·pWXGH�� OH� FRPSRUWHPHQW� GX� PRGqOH� VLPSOLILp� HVW� WRXMRXUV

FRPSDUp�j�FHOXL�GX�PRGqOH�LQLWLDO�

,GHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV

8Q� MHX� GH� SDUDPqWUHV� pTXLYDOHQWV� GRLW� rWUH� LGHQWLILp� LQGpSHQGDPPHQW

SRXU� FKDTXH� ]RQH�� FRQVLGpUpH� FRPPH� XQH� VRXV�VWUXFWXUH� SULVH� VpSDUpPHQW�

'·XQ�SRLQW�GH�YXH�QXPpULTXH��LO�V·DJLW�GH�FRQVLGpUHU�O·DVVHPEODJH�GHV�PDWULFHV

pOpPHQWDLUHV�GH�WRXV�OHV�pOpPHQWV�ILQLV�FRQWHQXV�GDQV�OD�]RQH�HQ�TXHVWLRQ��8Q

GHV�FLQT�WURQoRQV�G·LGHQWLILFDWLRQ�GX�PRQWDQW�HVW�UHSUpVHQWp�VXU�OD�)LJXUH�����

)LJXUH�������8QH�]RQH�G·LGHQWLILFDWLRQ

&RQIRUPpPHQW�j�FH�TXL�D�pWp�SUpVHQWp�GDQV�OH�&KDSLWUH����OD�FRQGHQVDWLRQ

GH�*X\DQ�HVW�DSSOLTXpH�DX[�PDWULFHV�GH�UDLGHXU�HW�GH�PDVVH�UpVXOWDQW�GH�FHW

DVVHPEODJH�� 3RXU� FHOD�� OHV� QRHXGV�PDvWUHV� FRUUHVSRQGDQW� DX[� H[WUpPLWpV� GX

WURQoRQ�VRQW�V\VWpPDWLTXHPHQW�GpILQLV�FRPPH�OHV�QRHXGV�FRPPXQV�j�OD�]RQH

FRQVLGpUpH�HW�j�OD�]RQH�DGMDFHQWH��1RWRQV�TXH�GDQV�OH�FDV�R��XQH�H[WUpPLWp�GX

WURQoRQ� FRUUHVSRQG� j� XQH� GHV� GHX[� VHFWLRQV� WHUPLQDOHV� GH� OD� VWUXFWXUH�� OD

VpOHFWLRQ�GHV�QRHXGV�PDvWUHV�Q·HVW�SDV�DXWRPDWLTXH�HW�HOOH�GRLW�rWUH�HIIHFWXpH�D

SULRUL�� 8QH� IRLV� OD� FRQGHQVDWLRQ� GH� *X\DQ� HIIHFWXpH�� OHV� PDWULFHV� DLQVL

REWHQXHV� VRQW� FRQGHQVpHV� SDU� XQH� WUDQVIRUPDWLRQ� GH� FRUSV� VROLGH� VXU� GHX[

SRLQWV� 2�� HW� 2

��� (Q� SUDWLTXH�� FHV� SRLQWV� VRQW� GpILQLV� FRPPH� OHV� SRLQWV

JpRPpWULTXHV� PR\HQV� GHV� QRHXGV� PDvWUHV� j� FKDFXQH� GHV� H[WUpPLWpV

FRUUHVSRQGDQWHV� GX� WURQoRQ�� $X� WHUPH� GH� FHV� RSpUDWLRQV�� RQ� REWLHQW� OHV

PDWULFHV� QXPpULTXHV� UpGXLWHV� GH� UDLGHXU�a.2 � HW� GH� PDVVH�

a02 � j� ��� GGO�

H[SULPpHV�HQ��2��2

���GDQV�OHV�GLUHFWLRQV�JOREDOHV�GX�UpIpUHQWLHO�GH�FDOFXO�

Page 124: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

&�

&�

2�

2�

y

y

y

y

[S

[S & &

& &� �

� �

)LJXUH�������/RFDOLVDWLRQ�GH�OD�SRXWUH�pTXLYDOHQWH

3DU�UDSSRUW�DX�FDV�GHV�VWUXFWXUHV�UHFWLOLJQHV�� OD�GLIILFXOWp� VXSSOpPHQWDLUH

UHQFRQWUpH�HQ�FH�TXL�FRQFHUQH�O·LGHQWLILFDWLRQ�SDUDPpWULTXH�UpVLGH�LFL�GDQV�OH

IDLW�TXH�O·RQ�QH�FRQQDvW�D�SULRUL�QL�OHV�SRVLWLRQV�GHV�FHQWUHV�GH�WRUVLRQ�&��HW�&

��

QL� O·RULHQWDWLRQ�GH� OD� GLUHFWLRQ�SULQFLSDOH� ORQJLWXGLQDOH� GDQV� OH� UpIpUHQWLHO� GH

FDOFXO��&HV�GLIILFXOWpV�VRQW�UpVROXHV�GH�OD�PDQLqUH�VXLYDQWH��

7RXW� G·DERUG�� UDSSHORQV� TXH� O·RQ� D� PRQWUp� SUpFpGHPPHQW� TXH� OHV� WURLV

GLUHFWLRQV� SULQFLSDOHV� GH� OD� SRXWUH� SHXYHQW� rWUH� LGHQWLILpHV� GLUHFWHPHQW� j

SDUWLU� G·XQ� VLPSOH� FDOFXO� GH� YHFWHXUV� SURSUHV� VXU� XQ� VRXV�EORF� GH�a.2 �� (Q

SUDWLTXH�� O·D[H� GH� OD� SRXWUH� HVW� DORUV� GRQQp� SDU� FHOXL� GH� FHV� WURLV� YHFWHXUV

SURSUHV�TXL�IRUPH�O·DQJOH�OH�SOXV�SHWLW�DYHF�OD�GLUHFWLRQ�2�2

���/HV�GHX[�DXWUHV

YHFWHXUV�SURSUHV�FRUUHVSRQGHQW�GRQF�DX[�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV�GH�IOH[LRQ��HW

RQ�SHXW�DORUV�H[SULPHU�OD�PDWULFH�QXPpULTXH�GH�UDLGHXU�a.2S �GDQV�OH�UpIpUHQWLHO

SULQFLSDO�RULHQWp�SDU�FHV�WURLV�GLUHFWLRQV�

(Q� RXWUH�� RQ� PRQWUH� TXH� OD� GpFRPSRVLWLRQ� GH� OD� PDWULFH� DQDO\WLTXH� GH

UDLGHXU� .2S � FRUUHVSRQGDQWH� TXL� D� pWp� SURSRVpH� GDQV� OH�&KDSLWUH� �� SHXW� rWUH

JpQpUDOLVpH�DX�FDV�R��&�&

��Q·HVW�SDV�SDUDOOqOH�j�2

�2

���(Q�HIIHW��RQ�SHXW�pFULUH

GDQV�FH�FDV��

.

. . 4 . . 4

4 . 4 . 4 . 4 . 4 .

. . 4

4 . 4 .

2S

� �

� � � �

ª

¬

«

«

«

«

«

«

«

«

«

º

¼

»

»

»

»

»

»

»

»

»

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� � �

� � � �

7 7 7

7V\P

�����

Page 125: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

/HV�PDWULFHV�JpQpUDWULFHV�.� �HW�.� �RQW�SRXU�H[SUHVVLRQV��

.

( $

/

(,

/

( ,

/

]

\

\

]

� �

� �

���

��

� ���

ª

¬

««««««««

º

¼

»»»»»»»»

� �

� �

I

I

�����

.

*-

/( ,

/( ,

/

\

]

� �

� �

� �

ª

¬

««««««

º

¼

»»»»»»

�����

/HV�PDWULFHV� 4� � HW� 4� � VH[SULPHQW� GpVRUPDLV� j� SDUWLU� GHV� FRRUGRQQpHV

� � � ��\ ]& & LL L

� � �GH�2 &L L

��o

�HW� � � � ��\ ]* * LL L

� � �GH�2 *L L

��o

�GDQV�OHV�GLUHFWLRQV�SULQFLSDOHV��

4

] \

] /

\ /

* *

&

&

� �

ª

¬

««««

º

¼

»»»»

�����

4

] \

] /

\ /

* *

&

&

� �

� �

ª

¬

««««

º

¼

»»»»

�����

DYHF��

\ \ \ ] ] ]* & * * & *L L L L

� �� �����

5HPDUTXHV��

x� /D�FRRUGRQQpH�ORQJLWXGLQDOH�GH�&L �HVW�IL[pH�LPSOLFLWHPHQW�SDU�GpILQLWLRQ�GH

OD�]RQH�FDU�RQ�VXSSRVH�TXH�OH�YHFWHXU�2 &L L �HVW�RUWKRJRQDO�j�O·D[H�[S �

x� /D�ORQJXHXU�/�GH�OD�SRXWUH�j�LGHQWLILHU�HVW�pJDOH�j�OD�GLVWDQFH�&�&

��

x� /D�UHODWLRQ�������FRUURERUH�OH�IDLW�TXH�O·D[H�QHXWUH�HW�O·D[H�pODVWLTXH�VRQW��SDU

K\SRWKqVH��SDUDOOqOHV�

Page 126: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

/·LGHQWLILFDWLRQ� GHV� SDUDPqWUHV� GH� OD� SRXWUH� pTXLYDOHQWH� SHXW� DORUV� rWUH

HIIHFWXpH�FRQIRUPpPHQW�j�OD�GpPDUFKH�SUpVHQWpH�GDQV�OH�&KDSLWUH����2Q�pFULW

DLQVL�O·pJDOLWp�WHUPH�j�WHUPH�HQWUH�OHV�H[SUHVVLRQV�GH� .� �� .� �� 4� �HW� 4� �HW� OHV

YDOHXUV�QXPpULTXHV�FRUUHVSRQGDQWHV��7RXWHIRLV��LO�SHXW�DUULYHU�TXH�OD�VWUXFWXUH

GH� FHV� PDWULFHV� DQDO\WLTXHV� QH� VRLW� SDV� UHVSHFWpH� SDU� OHXUV� pTXLYDOHQWV

QXPpULTXHV�� &HOD� V·H[SOLTXH� SDU� OH� IDLW� TXH� OH�PRGqOH� GH� SRXWUH� Q·HVW� TX·XQ

PRGqOH�GH�FRPSRUWHPHQW�DSSURFKp�SRXU�OD�VWUXFWXUH�FRQVLGpUpH�

/H� 7DEOHDX� ���� SUpVHQWH� OHV� YDOHXUV� GH� SDUDPqWUHV� LGHQWLILpHV� SRXU

FKDFXQH�GHV�FLQT�]RQHV�GX�PRQWDQW�GH�SDUH�EULVH� �QXPpURWpHV�GH���j���GDQV

O·RUGUH� GHV� [� FURLVVDQWV��� 1RWRQV� TXH� OHV� YDOHXUV� GHV� FRQVWDQWHV� PDWpULHOOHV

LQWURGXLWHV�GDQV�OH�PRGqOH�VRQW�( u ��� ����� 1�P � �� Q � ���� ��U �����NJ�P � �

3DUDPqWUH =RQH�� =RQH�� =RQH�� =RQH�� =RQH��

[&R

��PP� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

\&R

��PP� ������H��� �����H��� �����H��� �����H��� ������H���

]&R

��PP� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

[&R

��PP� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

\&R

��PP� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� ������H���

]&R

��PP� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

\ [S R� ������H��� ������H��� ������H��� ������H��� ������H���

\ \S R� �����H��� �����H��� ������H��� ������H��� ������H���

\ ]S R� �����H��� �����H��� ������H��� ������H��� ������H���

\* ��PP� ������H��� ������H��� �����H��� �����H��� �����H���

]* ��PP� ������H��� ������H��� �����H��� �����H��� �����H���

$���PP�� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

-���PP�� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

,\���PP�� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

,]���PP�� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

N\

�����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

N]

�����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

U���NJ�P��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H��� �����H���

7DEOHDX�������3DUDPqWUHV�pTXLYDOHQWV

Page 127: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

'HX[�FDWpJRULHV�GH�SDUDPqWUHV�VRQW�SUpVHQWpHV�GDQV�OH�7DEOHDX������'DQV

OD�SUHPLqUH�SDUWLH��OHV�YDOHXUV�FRUUHVSRQGHQW�j�GHV�SDUDPqWUHV�GH�SRVLWLRQ�WHOV

TXH� ORFDOLVDWLRQ� HW� RULHQWDWLRQ� GHV� SRXWUHV� pTXLYDOHQWHV�� 1RWRQV� OD

YUDLVHPEODQFH� GHV� YDOHXUV� LGHQWLILpHV� VXJJpUpH� SDU� OHXU� FRQWLQXLWp

JpRPpWULTXH��� OHV� SRXWUHV� LGHQWLILpHV� VHPEOHQW� HIIHFWLYHPHQW� FRUUHVSRQGUH� j

XQH� OLJQH�PR\HQQH� SRXU� OH� SURILOp� �YRLU� )LJXUH� ������ HW� O·RULHQWDWLRQ� GH� OHXUV

GLUHFWLRQV� SULQFLSDOHV� GH� IOH[LRQ� HVW� VHQVLEOHPHQW� OD� PrPH� SRXU� WRXWHV� OHV

]RQHV�� /D� VHFRQGH� SDUWLH� GX� 7DEOHDX� ���� FRQFHUQH� HVVHQWLHOOHPHQW� OHV

SDUDPqWUHV�FODVVLTXHV�UHODWLIV�DX[�ULJLGLWpV�GHV�SRXWUHV�pTXLYDOHQWHV�

\

]

[

)LJXUH�������9LVXDOLVDWLRQ�GHV�SRXWUHV�LGHQWLILpHV

/RUVTXH� OHV� SDUDPqWUHV� GH� WRXWHV� OHV� ]RQHV� RQW� pWp� LGHQWLILpV�� RQ� HVW� HQ

PHVXUH� GH� FRQVWUXLUH� OHV� PDWULFHV� GH� UDLGHXU� HW� GH� PDVVH� DVVHPEOpHV� GX

PRGqOH� pTXLYDOHQW� FRUUHVSRQGDQW�� &HOXL�FL� HVW� WUDFp� VXU� OD� )LJXUH� ����� R�

FKDTXH�MHX�GH�SDUDPqWUHV�HVW�UHSUpVHQWp�GH�IDoRQ�V\PEROLTXH�SDU�XQ�VHJPHQW

�FLQT�DX�WRWDO���&KDFXQ�GH�FHV�VHJPHQWV�HVW�PDLOOp�HQ�SOXVLHXUV�pOpPHQWV�ILQLV

GH�SRXWUH�FRQVWLWXpV�GHV�PrPHV�SDUDPqWUHV��/H�QRPEUH�G·pOpPHQWV� ILQLV�SDU

]RQH� GRLW� rWUH� VXIILVDQW� SRXU� SRXYRLU� UHSUpVHQWHU� FRUUHFWHPHQW� OHV� SUHPLHUV

PRGHV� JOREDX[� GH� OD� VWUXFWXUH�� 'DQV�� OH� FDV� SUpVHQW�� RQ� D� FKRLVL� GH� PDLOOHU

FKDTXH�VHJPHQW�SDU���pOpPHQWV�ILQLV�GH�SRXWUH��FH�TXL�SHUPHW�G·DERXWLU�j�XQH

WDLOOH� ILQDOH�GH�����GGO�SRXU� OH�PRGqOH� VLPSOLILp�� VRLW�XQH�UpGXFWLRQ�G·HQYLURQ

�����SDU�UDSSRUW�j�OD�WDLOOH�GX�PRGqOH�LQLWLDO�

Page 128: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

,O� HVW� LPSRUWDQW� GH� QRWHU� TXH� GDQV� OH� PRGqOH� VLPSOLILp�� GHX[� VHJPHQWV

FRQVpFXWLIV�QH�FRwQFLGHQW�JpQpUDOHPHQW�SDV��2Q�SURSRVH�DORUV�GH�OHV�UDFFRUGHU

SDU�XQH�OLDLVRQ�GH�W\SH�ULJLGH��(Q�SUDWLTXH��RQ�UHOLH�SDU�XQH�WUDQVIRUPDWLRQ�GH

FRUSV�VROLGH�OHV�GpSODFHPHQWV�GX�GHUQLHU�QRHXG�GH�OD�]RQH�L�j�FHX[�GX�SUHPLHU

QRHXG� GH� OD� ]RQH� L���� &HWWH� RSpUDWLRQ� VH� MXVWLILH� SDU� OH� IDLW� TXH� FHV� GHX[

QRHXGV� DSSDUWLHQQHQW� VHQVLEOHPHQW� j� OD� PrPH� VHFWLRQ� GURLWH� GH� SRXWUH� HW

GRQF�� SDU� K\SRWKqVH�� SHXYHQW� rWUH� OLpV� SDU� XQH� FLQpPDWLTXH� GH� FRUSV� VROLGH�

'DQV�OHV�FRGHV�GH�FDOFXO��FHOD�VH�WUDGXLW�SDU�O·XWLOLVDWLRQ�G·XQ�pOpPHQW�ULJLGH��GH

W\SH�5%(��SRXU�1DVWUDQ���RX�&(5,*�SRXU�$QV\V���

4XDOLILFDWLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW

/H�PRGqOH�pTXLYDOHQW�GH�W\SH�SRXWUH�pWDQW�LGHQWLILp��LO�V·DJLW�PDLQWHQDQW�GH

YDOLGHU� VRQ� FRPSRUWHPHQW� G\QDPLTXH� SDU� UDSSRUW� j� FHOXL� GX�PRGqOH� LQLWLDO�

7RXWHIRLV�� RQ� QH� FRQQDvW� JpQpUDOHPHQW� SDV� O·HQYLURQQHPHQW� UpHO� GH

IRQFWLRQQHPHQW�GH�OD�VRXV�VWUXFWXUH�pWXGLpH��(Q�HIIHW��RQ�QH�GLVSRVH�TXH�WUqV

UDUHPHQW�GX�PRGqOH�FRPSOHW�GDQV�OHTXHO�HVW�LQWpJUpH�OD�VRXV�VWUXFWXUH�pWXGLpH

�SDU�H[HPSOH�� OD�FDLVVH�GH�YpKLFXOH�G·R��HVW�H[WUDLW� OH�PRQWDQW�GH�SDUH�EULVH��

/H� SULQFLSH� GH� YDOLGDWLRQ� SURSRVp� FRQVLVWH� DORUV� j� DSSOLTXHU� XQ� FKDUJHPHQW

DX[�H[WUpPLWpV�GH� OD�VRXV�VWUXFWXUH�GH�VRUWH�TXH� OHV�SUHPLHUV�PRGHV�SURSUHV

FDOFXOpV� VRLHQW� VLWXpV� GDQV� OD� EDQGH� IUpTXHQWLHOOH� G·LQWpUrW� GH� OD� VWUXFWXUH

FRPSOqWH��TXL�D�pWp�IL[pH�D�SULRUL�HQWUH���HW�����+]�GDQV�FH�FDV�

$ILQ� G·pYDOXHU� WUqV� DSSUR[LPDWLYHPHQW� OHV� FDUDFWpULVWLTXHV� GH� PDVVH� HW

G·LQHUWLH�GH�FHV�VXUFKDUJHV��RQ�HIIHFWXH�XQ�FDOFXO� VLPSOH�EDVp� VXU� OH�TXRWLHQW

GH�5D\OHLJK��&RQVLGpURQV�OH�FDV�GH�OD�VWUXFWXUH�SRXWUH�HQFDVWUpH�j�O·H[WUpPLWp

©�[ ��ª��HW�FKDUJpH�HQ�©�[ O�ª�SDU�XQH�PDVVH�P��/D�SXOVDWLRQ� Z� �GX�SUHPLHU

PRGH�SURSUH�GH�FH�V\VWqPH��DSSHOp�IRQGDPHQWDO��SHXW�DORUV�V·pFULUH��

Z�

� � �

� � �

\ . \

\ 0\ P \ O

7

7 > � �@�����

R�� \� �HVW�OH�YHFWHXU�GH�GpIRUPpH�PRGDOH�DVVRFLp�j�FH�PRGH�SURSUH�

'DQV� OH� FDV�R�� OD�GpIRUPpH�HVW� FHOOH�GX�SUHPLHU�PRGH�SURSUH�GH� IOH[LRQ�

HOOH� SHXW� DORUV� rWUH� DSSURFKpH� SDU� OD� GpIRUPpH� VWDWLTXH� \V� GH� OD� SRXWUH

VRXPLVH� j� XQH� IRUFH� )� VLWXpH� DX� SRLQW� GH� FKDUJHPHQW� HW� GLULJpH� VXLYDQW� OD

GLUHFWLRQ�SULQFLSDOH�G·LQHUWLH�FRUUHVSRQGDQWH�

Page 129: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

'HV� GLUHFWLRQV� SULQFLSDOHV� GH� IOH[LRQ� JOREDOHV� SHXYHQW� rWUH� DLVpPHQW

LGHQWLILpHV�j�SDUWLU�G·XQ�VLPSOH�FDOFXO�VWDWLTXH��6XSSRVRQV�DORUV�TXH�OD�IRUFH�)

VRLW�DSSOLTXpH�GDQV�OD�GLUHFWLRQ�VRXSOH�GH�IOH[LRQ��(Q�UpVROYDQW��

.\ )V �����

RQ�REWLHQW� OH�YHFWHXU�GH�GpIRUPpH�VWDWLTXH��2Q�SHXW� DORUV� FDOFXOHU� OD� UDLGHXU

pTXLYDOHQWH� YXH� GX� SRLQW� GH� FKDUJHPHQW�� QRWpH�aN �� GpILQLH� SDU� OD� UHODWLRQ

VFDODLUH�VXLYDQWH��

a� �N \ O )

V �����

$LQVL�� OD� SXOVDWLRQ� SURSUH� GX� PRGH� HQ� TXHVWLRQ� SHXW� DORUV� V·H[SULPHU� j

SDUWLU�GH�O·DSSUR[LPDWLRQ��

Z�

�|

a> � �@

> � �@

N7

\ O

\ 0\ P \ O

V

V V V

������

'H� SOXV�� VL� OD� PDVVH� GH� OD� SRXWUH� HVW� QpJOLJHDEOH� GHYDQW� OD� PDVVH�P� GX

FKDUJHPHQW��RQ�REWLHQW�ILQDOHPHQW�O·H[SUHVVLRQ�OLDQW�OD�YDOHXU�GH�P�HQ�IRQFWLRQ

GH�OD�IUpTXHQFH�SURSUH� I� �TXH�O·RQ�VRXKDLWH�LPSRVHU�SRXU�OH�IRQGDPHQWDO��

PI

|a

� �

N

� �

�S������

8Q�FDOFXO�DQDORJXH�DSSOLTXp�DX�SUHPLHU�PRGH�SURSUH�GH�WRUVLRQ�SHUPHW�GH

FDOFXOHU� OD� YDOHXU� GH� O·LQHUWLH� D[LDOH� GH� OD� VXUFKDUJH�� (Q� SUDWLTXH�� OD� YDOHXU

REWHQXH�HVW�pJDOHPHQW�DIIHFWpH�DX[�LQHUWLHV�GDQV�OHV�GHX[�DXWUHV�GLUHFWLRQV�

/HV� FKDUJHPHQWV� pWDQW� GpWHUPLQpV�� RQ� SHXW� DORUV� SURFpGHU� j� OD

TXDOLILFDWLRQ� GX� PRGqOH� VLPSOLILp� HQ� FDOFXODQW� OHV� SUHPLHUV� PRGHV� SURSUHV

SRXU� OHV� FRQILJXUDWLRQV��� HQFDVWUp�FKDUJp�� FKDUJp�HQFDVWUp�� HW� FKDUJp�FKDUJp�

/HV� IUpTXHQFHV� SURSUHV� REWHQXHV� VRQW� FRPSDUpHV� j� FHOOHV� GX� PRGqOH� LQLWLDO

GDQV� OHV�PrPHV� FRQGLWLRQV� DX[� OLPLWHV�� 3RXU� FH� GHUQLHU�� OHV� VXUFKDUJHV� VRQW

pJDOHPHQW� VLWXpHV� DX� QLYHDX� GHV� FHQWUHV� GH� WRUVLRQ� GHV� GHX[� VHFWLRQV

WHUPLQDOHV��GRQW�OHV�FRRUGRQQpHV�RQW�pWp�SUpFpGHPPHQW�LGHQWLILpHV��HW�UHOLpHV

DX[�QRHXGV�YRLVLQV�j�O·DLGH�GH�OLDLVRQV�ULJLGHV�

/HV�GLUHFWLRQV�GHV�YHFWHXUV�SURSUHV�GX�PRGqOH�VLPSOLILp�VRQW�FRPSDUpHV�j

FHOOHV� GX� PRGqOH� LQLWLDO� SDU� O·LQWHUPpGLDLUH� GX� FULWqUH� 0$&� GH� OD� IDoRQ

VXLYDQWH��(Q�FH�TXL�FRQFHUQH� OH�PRGqOH�VLPSOLILp��RQ� IRUPH� OH�YHFWHXU� a\Q�GHV

GpSODFHPHQWV�DVVRFLpV�DX�PRGH�SURSUH�GH� UDQJ� Q � HW� REVHUYpV�DX�QLYHDX�GHV

Page 130: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

QRHXGV� &L� VLWXpV� DX[� GHX[� H[WUpPLWpV� GH� FKDTXH� ]RQH� �VHJPHQW�

G·LGHQWLILFDWLRQ��(Q�JpQpUDO��FHV�QRHXGV�Q·H[LVWHQW�SDV�VXU�OH�PRGqOH�LQLWLDO��HW

OH�GpSODFHPHQW�FRUUHVSRQGDQW� \Q�HVW�DORUV�FRQVWLWXp�HQ�pFULYDQW�SRXU�FKDTXH

MRQFWLRQ�GH�]RQH�XQH�UHODWLRQ�GH�FRUSV�VROLGH�HQWUH�OHV�GpSODFHPHQWV�GX�QRHXG

ILFWLI� &L� FRQVLGpUp� HW� FHX[� GHV� QRHXGV� GH� OD� VHFWLRQ� FRUUHVSRQGDQWH� �QRHXGV

FRPPXQV� j� GHX[� ]RQHV� DGMDFHQWHV��� 3XLVTXH� OH� FRPSRUWHPHQW� HIIHFWLI� GHV

QRHXGV� HQ� TXHVWLRQ� Q·HVW� SDV� XQ� PRXYHPHQW� GH� FRUSV� VROLGH�� OH� V\VWqPH

G·pTXDWLRQV� OLQpDLUHV� IRUPp� SDU� FHWWH� UHODWLRQ� SHUPHWWDQW� G·DERXWLU� DX[

GpSODFHPHQWV�GX�QRHXG�&L�HVW�UpVROX�DX�VHQV�GHV�PRLQGUHV�FDUUpV��5DSSHORQV

HQ�RXWUH�TXH�OH�0$&�HQWUH�OHV�GHX[�YHFWHXUV�SURSUHV�HVW�GpILQL�SDU��

0$&7

� �a �a

a\ \\ \

\ \Q Q

Q Q

Q Q

������

(Q�IDLW��QRXV�SUpIpURQV�VpSDUHU�OH�0$&�HQ�GHX[�IRQFWLRQV�QRWpHV�0$&7�HW

0$&5�GpILQLHV�UHVSHFWLYHPHQW�FRPPH�OH�0$&�VXU� OHV�GGO�GH�WUDQVODWLRQ�HW� OH

0$&� VXU� OHV� GGO� GH� URWDWLRQ�� (Q� HIIHW�� OHV� WUDQVODWLRQV� HW� OHV� URWDWLRQV� DX[

QRHXGV�QH�VRQW�SDV�GHV�TXDQWLWpV�GLUHFWHPHQW�FRPSDUDEOHV��2Q�SHXW�HQ�HIIHW

rWUH�DPHQp�j� UHQFRQWUHU�GHV�PRGHV�JOREDX[�GH� OD� VWUXFWXUH� WHOV�TXH� OH�0$&

FRPSOHW�VLJQDOH�GH�PDXYDLV�UpVXOWDWV��DORUV�TXH�OH�0$&7�HW�OH�0$&

5�LQGLTXHQW

OH�FRQWUDLUH��&·HVW�SDU�H[HPSOH�OH�FDV�SRXU�OHV�PRGHV�GH�WRUVLRQ��SRXU�OHVTXHOV

OD�SULVH�HQ�FRPSWH�GDQV� OH�0$&�GHV�GpSODFHPHQWV�GH� WUDQVODWLRQ� �HQ� WKpRULH

LQVLJQLILDQWV��D�WHQGDQFH�j�HQ�IDXVVHU�O·LQWHUSUpWDWLRQ�

/H� 7DEOHDX����� SUpVHQWH� OHV� UpVXOWDWV� REWHQXV� SRXU� OH� PRQWDQW� GH� SDUH�

EULVH�GpFRXSp�HQ�FLQT�]RQHV�G·LGHQWLILFDWLRQ�

&RQILJXUDWLRQ�HQFDVWUp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ���� ����� ����� �����

���� ���� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

Page 131: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�HQFDVWUp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ���� ����� ����� �����

���� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

7DEOHDX�������4XDOLILFDWLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW

,O�DSSDUDvW�j�O·H[DPHQ�GH�FHV�WDEOHDX[�TXH�OHV�IUpTXHQFHV�SURSUHV�FDOFXOpHV

DYHF� OH� PRGqOH� VLPSOLILp� VRQW� WRXWHV� VXUHVWLPpHV� HW� SHXYHQW� DWWHLQGUH� ��� �

SRXU� OHV� SUHPLHUV� PRGHV� SURSUHV�� FH� TXL� HVW� UpGKLELWRLUH� SDU� UDSSRUW� DX[

REMHFWLIV�TXH�QRXV�QRXV�pWLRQV�IL[p��&HSHQGDQW��OH�0$&�GRQQH�PDOJUp�WRXW�GH

ERQV� UpVXOWDWV� SRXU� OHV� PRGHV� FRQFHUQpV�� FH� TXL� WHQGUDLW� j� SURXYHU� TX·LOV

FRUUHVSRQGHQW� HIIHFWLYHPHQW� j� GHV� PRGHV� SURSUHV� JOREDX[� GH� W\SH� SRXWUH�

&HWWH� DSSDUHQWH� FRQWUDGLFWLRQ� V·H[SOLTXH� SDU� OH� IDLW� TXH� OD� SURFpGXUH� GH

UpGXFWLRQ�QXPpULTXH�LQWHUYHQDQW�ORUV�GH�OD�SKDVH�G·LGHQWLILFDWLRQ�LPSRVH��SDU

FRQVWUXFWLRQ��GHV�OLDLVRQV�ULJLGHV�HQWUH�OHV�QRHXGV�G·XQH�VHFWLRQ�HW�OH�QRHXG�GH

FRQGHQVDWLRQ�� HW� FH� SRXU� WRXWHV� OHV� VHFWLRQV� FRUUHVSRQGDQW� DX[� MRQFWLRQV� GH

]RQHV�� &HV� OLDLVRQV� FRQWUDLJQHQW� DORUV� OHV� GpIRUPDWLRQV� GHV� VHFWLRQV� GURLWHV

FRQFHUQpHV� HW� FRQGXLVHQW� GRQF� j� XQH� ULJLGLILFDWLRQ� GH� OD� VWUXFWXUH�� GpFDODQW

DLQVL� OH� PRGqOH� GH� UpIpUHQFH�� $ILQ� GH� V·HQ� FRQYDLQFUH�� FRPSDURQV� OHV

Page 132: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

IUpTXHQFHV� SURSUHV� GX� PRGqOH� VLPSOLILp� j� FHOOHV� GX� PRGqOH� HIIHFWLYHPHQW

ULJLGLILp��/HV�UpVXOWDWV�VRQW�SUpVHQWpV�GDQV�OH�7DEOHDX�����

&RQILJXUDWLRQ�HQFDVWUp�FKDUJp

0RGqOH�ULJLGH 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ���� ����� ����� �����

���� ���� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�HQFDVWUp

0RGqOH�ULJLGH 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�FKDUJp

0RGqOH�ULJLGH 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

����� ����� ���� ����� ������ �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

7DEOHDX�������4XDOLILFDWLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW

Page 133: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

'DQV�FH�FDV��OHV�UpVXOWDWV�REWHQXV�SRXU�OHV�PRGHV�SURSUHV�JOREDX[�GH�W\SH

SRXWUH� VRQW� H[FHOOHQWV� SDU� UDSSRUW� DX�PRGqOH� ULJLGLILp�� 3DU� FRQVpTXHQW�� DILQ

G·REWHQLU�XQ�PRGqOH�pTXLYDOHQW�TXL�VRLW�DXVVL�SURFKH�TXH�SRVVLEOH�GX�PRGqOH

LQLWLDO�� LO� HVW� LQGLVSHQVDEOH� GH� FRUULJHU� OH� PRGqOH� TXH� O·RQ� D� SUpDODEOHPHQW

LGHQWLILp�� /D� VROXWLRQ� TXH� QRXV� SURSRVRQV� HVW� EDVpH� VXU� XQH� PpWKRGH� GH

UHFDODJH�GHV�SDUDPqWUHV�

5HFDODJH�GHV�SDUDPqWUHV�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW

/D�GpPDUFKH�SURSRVpH�IDLW�O·K\SRWKqVH�TXH�OD�SURFpGXUH�G·LGHQWLILFDWLRQ�D

SHUPLV� GH� GpWHUPLQHU� FRUUHFWHPHQW� OHV� SRVLWLRQV� GHV� SRLQWV� FDUDFWpULVWLTXHV

GHV� SRXWUHV� DLQVL� TXH� OHXUV� GLUHFWLRQV� SULQFLSDOHV� GH� IOH[LRQ�� /HV� PRGHV

SURSUHV� JOREDX[� UHQFRQWUpV� pWDQW� HQ� PDMRULWp� GHV� PRGHV� GH� IOH[LRQ� RX� GH

WRUVLRQ� �RX� XQH� FRPELQDLVRQ� GHV� GHX[��� OHV� SDUDPqWUHV� VXU� OHVTXHOV� RQ� SHXW

DJLU�HIILFDFHPHQW�SRXU�OH�UHFDODJH�VRQW�DORUV�DX�QRPEUH�GH�WURLV�SRXU�FKDTXH

]RQH�G·LGHQWLILFDWLRQ��,O�V·DJLW�GHV�PRPHQWV�G·LQHUWLH�GH�IOH[LRQ� ,\�HW� ,

]��DLQVL

TXH�GX�PRPHQW�G·LQHUWLH�GH�WRUVLRQ� - �

8QH�PpWKRGH�VLPSOH�SRXU�HIIHFWXHU�OH�UHFDODJH�GHV�SDUDPqWUHV�FRQVLVWH�j

XWLOLVHU� XQH� WHFKQLTXH� GH� VHQVLELOLWp� PRGDOH��� OH� UpVLGX� j� PLQLPLVHU� HVW

FRQVWUXLW�j�SDUWLU�GHV�GLVWDQFHV�VXU�OHV�IUpTXHQFHV�SURSUHV�GH�Q�PRGHV�GDQV

OHV� WURLV� FRQILJXUDWLRQV� �HQFDVWUp�FKDUJp�� FKDUJp�HQFDVWUp�� HW� FKDUJp�FKDUJp��

FHVW�j�GLUH� �ðQ� IUpTXHQFHV� SURSUHV�� /H� QRPEUH� GH� SDUDPqWUHV� j� UHFDOHU� HVW

pJDO�j��ð]��]�pWDQW�OH�QRPEUH�GH�]RQHV�GpILQLHV�ORUV�GX�GpFRXSDJH��/H�PRGqOH

VLPSOLILp�FRPSRUWH�XQ�QRPEUH�UpGXLW�GH�GGO� �GH� O·RUGUH�GH� OD�FHQWDLQH��� ,O�HVW

SDU� FRQVpTXHQW� SDUIDLWHPHQW� DGDSWp� DX� FDOFXO� GHV� FRORQQHV� GH� OD� PDWULFH

-DFRELHQQH�SDU�YRLH�QXPpULTXH�j�O·DLGH�GHV�GLIIpUHQFHV�ILQLHV��(Q�SUDWLTXH�� OH

FDOFXO�HVW�HIIHFWXp�GH� OD�PDQLqUH� VXLYDQWH�� OHV�PRGHV�SURSUHV�SULV� HQ� FRPSWH

D\DQW�pWp�SUpDODEOHPHQW�DSSDULpV��

D��eYDOXDWLRQ�GX�YHFWHXU�GH�UpVLGXV�'I �j�SDUWLU�GHV�UpVXOWDWV�GH�OD�TXDOLILFDWLRQ

E��&RQVWUXFWLRQ� SDU� GLIIpUHQFHV� ILQLHV� GH� OD� PDWULFH� -DFRELHQQH� 6��� FKDTXH

FRORQQH� HVW� pYDOXpH� HQ� HIIHFWXDQW� XQ� FDOFXO� GH� IUpTXHQFHV� SURSUHV� DYHF� OH

PRGqOH�VLPSOLILp�GDQV�OHTXHO�RQ�D�SHUWXUEp�GH������OH�SDUDPqWUH�S�FRQFHUQp�

2Q�REWLHQW�DORUV�XQ�SUREOqPH�GH�OD�IRUPH��

' 'I 6 S ������

Page 134: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

F��&DOFXO�GX�MHX�GH�SDUDPqWUHV�SHUPHWWDQW�GH�UHSUpVHQWHU�DX�PLHX[�OHV�UpVLGXV

SDU�SVHXGR�LQYHUVH��

�� � VL� OH� QRPEUH� G·pTXDWLRQV� HVW� VXSpULHXU� RX� pJDO� DX� QRPEUH� G·LQFRQQXHV

�Qt]���RQ�XWLOLVH�OD�PpWKRGH�GHV�PRLQGUHV�FDUUpV�FRQGXLVDQW�j��

' 'S 6 6 6 I �� �7 7� ������

�� � VL� OH� QRPEUH� G·pTXDWLRQV� HVW� LQIpULHXU� DX� QRPEUH� G·LQFRQQXHV� �Q�]��� RQ

FKRLVLW�OD�VROXWLRQ�GH�QRUPH�PLQLPDOH�GRQQpH�SDU��

' 'S 6 66 I �7 7� � � ������

3UpFLVRQV�TX·XQH�WROpUDQFH�SDU�LWpUDWLRQ��r�������HW�XQH�WROpUDQFH�JOREDOH

�r�������VRQW�LPSRVpHV�DX[�YDULDWLRQV�SDUDPpWULTXHV�ORUV�GH�OD�UpVROXWLRQ�

F��5pDFWXDOLVDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV�HW� FDOFXO�GHV�QRXYHOOHV� IUpTXHQFHV�SURSUHV

�HW�GX�QRXYHDX�UpVLGX��

G��/D� PpWKRGH� GH� VHQVLELOLWp� pWDQW� EDVpH� VXU� OD� OLQpDULVDWLRQ� SDU� OD� PDWULFH

-DFRELHQQH��OH�SURFHVVXV�HVW�UpLWpUp�MXVTX·j�VWDELOLVDWLRQ�GX�UpVLGX�

&HWWH�SURFpGXUH�HVW�DSSOLTXpH�DX�FDV�GX�PRQWDQW�GH�SDUH�EULVH��3RXU�FHOD�

RQ� FKRLVLW� GH� IRUPHU� OH� UpVLGX� j� SDUWLU� GHV� �� SUHPLqUHV� IUpTXHQFHV� SURSUHV�

SRXU� OHV� WURLV� FRQILJXUDWLRQV�� OH� QRPEUH� G·pTXDWLRQV� pWDQW� DORUV� pJDO� DX

QRPEUH� G·LQFRQQXHV�� /HV� VL[� ILJXUHV� VXLYDQWHV� SUpVHQWHQW� O·pYROXWLRQ� GH

O·HUUHXU�HQ�IUpTXHQFH�DX�FRXUV�GHV� LWpUDWLRQV��DLQVL�TXH�FHOOHV�GHV�FRHIILFLHQWV

GH� FRUUHFWLRQ� DVVRFLpV� DX[� SDUDPqWUHV� UHFDOpV� SRXU� FKDTXH� ]RQH�� /H

FRHIILFLHQW� GH� FRUUHFWLRQ� HVW� OH� UDSSRUW� HQWUH� OD� YDOHXU� GX� SDUDPqWUH� j

O·LWpUDWLRQ�L�HW�VD�YDOHXU�LQLWLDOH��DYDQW�UHFDODJH��

1 2 3 4 50 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1

1 .1

1 .2

1 .3

1 .4

1 .5

1 .6

)LJXUH�������eYROXWLRQ�GHV�FRHIILFLHQWV�GH�FRUUHFWLRQ�GH� ,]

Page 135: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

1 2 3 4 50 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

1 .6

)LJXUH�������eYROXWLRQ�GHV�FRHIILFLHQWV�GH�FRUUHFWLRQ�GH� ,\

1 2 3 4 50 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

1 .6

)LJXUH�������eYROXWLRQ�GHV�FRHIILFLHQWV�GH�FRUUHFWLRQ�GH� -

1 2 3 4 5-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

( QFD VWUp �& K D UJ p

)LJXUH��������eYROXWLRQ�GH�O·HUUHXU�HQ�IUpTXHQFH��HQ���

Page 136: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

1 2 3 4 5-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

& KD UJp �( Q FD VWUp

)LJXUH��������eYROXWLRQ�GH�O·HUUHXU�HQ�IUpTXHQFH��HQ���

1 2 3 4 5-5

0

5

10

15

20

25

& KD UJp �& K D UJ p

)LJXUH��������eYROXWLRQ�GH�O·HUUHXU�HQ�IUpTXHQFH��HQ���

%LHQ� TXH� OHV� YDOHXUV� GHV� SDUDPqWUHV� UHFDOpV� QH� VHPEOHQW� SDV� FRQYHUJHU

�FHUWDLQV� G·HQWUH� HX[� DWWHLJQHQW� UDSLGHPHQW� OHV� ©�EXWpHV�ª��� LO� HVW� FODLU� TXH

O·HUUHXU� HQ� IUpTXHQFH� WHQG� j� GLPLQXHU�� HW� VH� VWDELOLVH� DX� ERXW� GH� TXHOTXHV

LWpUDWLRQV� VHXOHPHQW�� /D� FRQYHUJHQFH� HVW� UDSLGH�� HW� OD� SUpFLVLRQ� GX� PRGqOH

pTXLYDOHQW�FRUULJp�HVW�SUpVHQWpH�GDQV� OH�7DEOHDX������2Q�SHXW�DLQVL�QRWHU�XQH

WUqV�QHWWH� DPpOLRUDWLRQ� GHV� UpVXOWDWV� SRXU� OHV�PRGHV� SURSUHV� SULV� HQ� FRPSWH

GDQV�OD�SURFpGXUH�GH�UHFDODJH��(Q�HIIHW�� O·HUUHXU�PD[LPDOH�VXU� OHV� IUpTXHQFHV

HVW�PDLQWHQDQW�GH� O·RUGUH�GH�����SRXU� OH�PRGqOH� VLPSOLILp��5DSSHORQV�TXH� OD

WDLOOH� GX�PRGqOH� D� GDQV� FH� FDV� pWp� UpGXLWH� G·HQYLURQ� ������ FH� TXL� SHUPHW� GH

UDFFRXUFLU� FRQVLGpUDEOHPHQW� OHV� WHPSV� GH� FDOFXO� �OD� UpVROXWLRQ� GX� V\VWqPH

KRPRJqQH�SDVVH�GH�SOXVLHXUV�PLQXWHV�j�TXHOTXHV�VHFRQGHV�VHXOHPHQW��

Page 137: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

&RQILJXUDWLRQ�HQFDVWUp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ����� ����� ����� �����

���� ���� ���� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�HQFDVWUp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ����� ����� ����� �����

���� ���� ���� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

������ ������ ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW�DSUqV�FRUUHFWLRQ

Page 138: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

6WDELOLWp�YLV�j�YLV�GX�GpFRXSDJH

&RPSWH�WHQX�GH�OD�SURFpGXUH�SURSRVpH�SRXU�OD�GpWHUPLQDWLRQ�GHV�FHQWUHV

GH�WRUVLRQ��RQ�SHXW�VXSSRVHU�TXH�OD�TXDOLWp�GHV�UpVXOWDWV�HVW�FRQGLWLRQQpH�SDU

OD� IDoRQ� GRQW� VRQW� GpFRXSpHV� OHV� ]RQHV� G·LGHQWLILFDWLRQ�� $ILQ� G·pWXGLHU

O·LQIOXHQFH�pYHQWXHOOH�GH�FH�IDFWHXU��OD�PpWKRGH�GH�VLPSOLILFDWLRQ�SURSRVpH�HVW

VXFFHVVLYHPHQW� DSSOLTXpH� j� GHX[� PDLOODJHV� GX� PRQWDQW� GH� SDUH�EULVH��� OH

PDLOODJH� LQLWLDO� SUpVHQWp� SUpFpGHPPHQW�� HW� XQ� PDLOODJH� PRGLILp� VH

GLIIpUHQFLDQW� GX� SUHPLHU� XQLTXHPHQW� SDU� OH� IDLW� TXH� OHV� QRHXGV� RQW� pWp

GpSODFpV�DX�QLYHDX�GH�FKDTXH�MRQFWLRQ�GH�]RQHV�GH�PDQLqUH�j�FH�TX·LOV�VRLHQW

FRQWHQXV�GDQV�XQ�SODQ�QRUPDO�j�OD�ILEUH�PR\HQQH�GX�SURILOp��TXL�SRXUUD�DLQVL

rWUH�OpJLWLPHPHQW�TXDOLILp�GH�SODQ�GH�FRXSH��)LJXUH������HW�)LJXUH�������

y x

z

)LJXUH��������0DLOODJH�LQLWLDO

y x

z

)LJXUH��������0DLOODJH�PRGLILp���3ODQV�GH�FRXSH

Page 139: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

(QFDVWUp�&KDUJp &KDUJp�(QFDVWUp &KDUJp�&KDUJp

I5��+]� H���� I

5��+]� H���� I

5��+]� H����

���� ����� ���� ����� ����� �����

���� ���� ���� ���� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���0DLOODJH�LQLWLDO

(QFDVWUp�&KDUJp &KDUJp�(QFDVWUp &KDUJp�&KDUJp

I5��+]� H���� I

5��+]� H���� I

5��+]� H����

���� ����� ���� ����� ����� �����

���� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ���� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW���0DLOODJH�PRGLILp

/HV� UpVXOWDWV� REWHQXV�DSUqV� O·LGHQWLILFDWLRQ�GHV�PRGqOHV� VLPSOLILpV� HW� OHXU

UHFDODJH�VRQW�SUpVHQWpV�GDQV�OH�7DEOHDX�����HW�OH�7DEOHDX������,OV�PRQWUHQW�DLQVL

TXH�OD�TXDOLWp�GX�GpFRXSDJH�GHV�]RQHV�Q·D�SDV�G·LQFLGHQFH�VLJQLILFDWLYH�VXU�OD

SUpFLVLRQ� GX� PRGqOH� pTXLYDOHQW�� &HWWH� FRQFOXVLRQ� HVW� GpWHUPLQDQWH� TXDQW� j

O·XWLOLVDWLRQ� LQGXVWULHOOH� GH� OD�PpWKRGH�� (Q� HIIHW�� OHV�PDLOODJHV� GH� FH� W\SH� GH

SURILOpV�VRQW�JpQpUDOHPHQW�JpQpUpV�DXWRPDWLTXHPHQW�j�SDUWLU�GH�OD�&$2��SRXU

ODTXHOOH�FHWWH�FRQGLWLRQ�GH�GpFRXSDJH�SHXW�GLIILFLOHPHQW�rWUH�SULVH�HQ�FRPSWH�

������ 6WUXFWXUH�©�SLHG�PLOLHX�ª

[

]

\

)LJXUH��������0RGqOH�LQLWLDO�GX�SLHG�PLOLHX

Page 140: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

/D�VWUXFWXUH�pWXGLpH�HVW�XQ�SURILOp�FUHX[�DSSHOp�©�SLHG�PLOLHX�ª��VLWXp�HQWUH

OHV�SRUWLqUHV�DYDQW�HW�DUULqUH��FRPPH�FHOD�HVW�LQGLTXp�VXU�OD�)LJXUH������

/H� 7DEOHDX� ���� SUpVHQWH� OHV� YDOHXUV� GH� SDUDPqWUHV� LGHQWLILpHV� SRXU

FKDFXQH� GHV� WURLV� ]RQHV� GX�PRGqOH� �QXPpURWpHV� GH� �� j� �� GDQV� O·RUGUH� GHV� ]

FURLVVDQWV���/HV�YDOHXUV�GHV�FRQVWDQWHV�PDWpULHOOHV�LQWURGXLWHV�GDQV�OH�PRGqOH

VRQW�( u ��� ����� 1�P � �� Q � ��� �HW�U �����NJ�P � �

3DUDPqWUH =RQH�� =RQH�� =RQH��

[&R

��PP� ������H��� ������H��� ������H���

\&R

��PP� ������H��� ������H��� ������H���

]&R

��PP� �����H��� �����H��� �����H���

[&R

��PP� ������H��� ������H��� ������H���

\&R

��PP� ������H��� ������H��� ������H���

]&R

��PP� �����H��� �����H��� �����H���

\ [S R� ������H��� ������H��� ������H���

\ \S R� �����H��� �����H��� �����H���

\ ]S R� ������H��� ������H��� ������H���

\* ��PP� �����H��� �����H��� �����H���

]* ��PP� ������H��� �����H��� ������H���

$���PP�� �����H��� �����H��� �����H���

-���PP�� �����H��� �����H��� �����H���

,\���PP�� �����H��� �����H��� �����H���

,]���PP�� �����H��� �����H��� �����H���

N\

�����H��� �����H��� �����H���

N]

�����H��� � �����H���

U���NJ�P��� �����H��� �����H��� �����H���

�������������������7DEOHDX�������3DUDPqWUHV�pTXLYDOHQWV

/HV�WDLOOHV�UHVSHFWLYHV�GX�PRGqOH�LQLWLDO�HW�GX�PRGqOH�VLPSOLILp�VRQW������HW

����GGO��/D�TXDOLILFDWLRQ�DYHF�XQ�FKDUJHPHQW� IL[p� �FDOFXOp�DXWRPDWLTXHPHQW�

PRQWUH�Oj�HQFRUH�GHV�HUUHXUV�VXU�OHV�IUpTXHQFHV�SRXYDQW�DWWHLQGUH������GqV�OHV

SUHPLHUV�PRGHV� SURSUHV�� /D� PpWKRGH� LWpUDWLYH� GH� UHFDODJH� SDU� VHQVLELOLWp� D

y

x

z

Page 141: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

GRQF� pWp� DSSOLTXpH�� /HV� FRHIILFLHQWV� GH� FRUUHFWLRQ� GHV� SDUDPqWUHV� HQ� ILQ� GH

SURFpGXUH�VRQW�GRQQpV�GDQV�OH�7DEOHDX�����

3DUDPqWUH�FRUULJp =RQH�� =RQH�� =RQH��

,\

���� ���� ����

,]

���� ���� ����

- ���� ���� ����

7DEOHDX�������&RHIILFLHQWV�GH�FRUUHFWLRQ

/D�SUpFLVLRQ�GX�PRGqOH� pTXLYDOHQW� FRUULJp� HVW�SUpVHQWpH�GDQV� OH�7DEOHDX

VXLYDQW��SRXU�OHV�PRGHV�SULV�HQ�FRPSWH�GDQV�OD�SURFpGXUH�GH�UHFDODJH���

&RQILJXUDWLRQ�HQFDVWUp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ���� ����� ����� �����

���� ���� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�HQFDVWUp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ���� ����� ����� �����

���� ���� ���� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

����� ����� ����� ���� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

7DEOHDX�������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW

Page 142: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

/H�7DEOHDX�����PRQWUH�XQH�IRLV�GH�SOXV�TXH� OH�PRGqOH�VLPSOLILp�UHFDOp�HVW

JOREDOHPHQW� VDWLVIDLVDQW�� ELHQ� TXH� GDQV� FH� FDV� O·HUUHXU� VXU� OD� IUpTXHQFH

DWWHLJQH� HQYLURQ� �� �� SRXU� TXHOTXHV� PRGHV� SURSUHV�� /·H[DPHQ� YLVXHO� GH� OD

GpIRUPpH� DVVRFLpH� DX[� PRGHV� LQFULPLQpV� QRXV� DSSUHQG� WRXWHIRLV� TX·LOV

SUpVHQWHQW�GHV�pFUDVHPHQWV�WUqV� ORFDX[��2Q�QH�SHXW�GRQF�SDV� OHV�UHSUpVHQWHU

H[DFWHPHQW�SDU�XQ�PRGqOH�GH�SRXWUH�

������ ,QIOXHQFH�GX�GpFRXSDJH�HQ�]RQHV

/H�FDV�WUDLWp�FRQFHUQH�XQH�WUDYHUVH�GH�SODQFKHU�GH�YpKLFXOH�DXWRPRELOH��&HWWH

VWUXFWXUH� D\DQW� XQH� OLJQH� PR\HQQH� ©�JOREDOHPHQW�ª� UHFWLOLJQH�� RQ� HQYLVDJH

GDQV� XQ� SUHPLHU� WHPSV� G·LGHQWLILHU� OH� PRGqOH� SRXWUH� pTXLYDOHQW� HQ� QH

FRQVLGpUDQW�TX·XQH�VHXOH�]RQH�G·LGHQWLILFDWLRQ�

\

]

[

)LJXUH��������7UDYHUVH�GH�SODQFKHU

'DQV�XQ�VRXFL�GH�VLPSOLFLWp��QRXV�QH�SUpVHQWHURQV�SDV� LFL� OHV�YDOHXUV�GHV

SDUDPqWUHV�LGHQWLILpV��/H�PRGqOH�VLPSOLILp�JpQpUp�j�SDUWLU�GH�FHV�SDUDPqWUHV�D

pWp� WHVWp� GDQV� OHV� FRQILJXUDWLRQV� HQFDVWUp�FKDUJp� HW� FKDUJp�FKDUJp�� /D

FRQILJXUDWLRQ� FKDUJp�HQFDVWUp� Q·DSSRUWH� SDV� GDQV� FH� FDV� G·LQIRUPDWLRQ

VXSSOpPHQWDLUH�FDU�OD�VWUXFWXUH�SRVVqGH�XQ�SODQ�GH�V\PpWULH�j�PL�ORQJXHXU�

Page 143: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

/H�7DEOHDX������SUpVHQWH� OD�SUpFLVLRQ�REWHQXH�VXU� OHV� IUpTXHQFHV�SURSUHV

GDQV�FHV�GHX[�FRQILJXUDWLRQV��

&RQILJXUDWLRQ�HQFDVWUp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ���� ������ ����� �����

����� ����� ���� ����� ������ �����

����� ����� ����� ������ ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

������ ������ ������ ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

����� ����� ���� ����� ������ �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

������ ������ ������ ����� ����� �����

7DEOHDX��������4XDOLILFDWLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW

$ILQ�GH� WHQWHU�G·DPpOLRUHU� OHV� UpVXOWDWV�� OH�PRGqOH� VLPSOLILp� HVW� FRUULJp� �j

SDUWLU� GHV� �� SUHPLqUHV� IUpTXHQFHV� SURSUHV��� /D� SUpFLVLRQ� GX� PRGqOH� DLQVL

REWHQX�HVW�SUpVHQWpH�GDQV�OH�7DEOHDX�������/·HUUHXU�HVW�GDQV�FH�FDV�LQIpULHXUH�j

����SRXU�OHV�IUpTXHQFHV�SULVHV�HQ�FRPSWH��

&RQILJXUDWLRQ�HQFDVWUp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ���� ������ ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ������ ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

������ ������ ������ ����� ����� �����

Page 144: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

����� ����� ���� ����� ������ �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

������ ������ ������ ����� ����� �����

7DEOHDX��������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�FRUULJp

%LHQ�TXH�OH�PRGqOH�pTXLYDOHQW�LGHQWLILp�j�SDUWLU�G·XQH�VHXOH�]RQH�SRVVqGH

XQH� SUpFLVLRQ� VDWLVIDLVDQWH�� LO� SHXW� rWUH� LQWpUHVVDQW� G·pYDOXHU� OD� TXDOLWp� GHV

UpVXOWDWV�REWHQXV�j�O·DLGH�G·XQ�GpFRXSDJH�HQ���]RQHV��)LJXUH��������

y

x

z

)LJXUH��������'pILQLWLRQ�GH�WURLV�]RQHV�VXU�OD�WUDYHUVH

Page 145: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

/HV� UpVXOWDWV� GH� TXDOLILFDWLRQ� REWHQXV� j� O·LVVXH� GH� O·LGHQWLILFDWLRQ� VRQW

SUpVHQWpV� GDQV� OH� 7DEOHDX������ HW� IRQW� DSSDUDvWUH� SRXU� OHV� SUHPLqUHV

IUpTXHQFHV� GHV� pFDUWV� PD[LPXPV� GH� O·RUGUH� GH� ������ &HV� pFDUWV� VRQW� SOXV

LPSRUWDQWV�TXH�FHX[�REWHQXV�j�SDUWLU�GH�O·LGHQWLILFDWLRQ�VXU�XQH�VHXOH�]RQH��,OV

FRUURERUHQW�DLQVL�OH�IDLW�TXH�FHWWH�GpJUDGDWLRQ�GHV�UpVXOWDWV�HVW�HVVHQWLHOOHPHQW

GXH�j�OD�ULJLGLILFDWLRQ�DX�QLYHDX�GHV�SODQV�GH�FRXSH�

&RQILJXUDWLRQ�HQFDVWUp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ���� ����� ����� �����

���� ���� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

7DEOHDX��������4XDOLILFDWLRQ�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW����]RQHV�

/·RSWLPLVDWLRQ� GHV� SDUDPqWUHV� D� pWp� HIIHFWXpH� j� SDUWLU� GHV� IUpTXHQFHV

SURSUHV� LQIpULHXUHV� j� ����+]� ��� SUHPLHUV�PRGHV�GDQV� FKDTXH� FRQILJXUDWLRQ��

$SUqV� �� LWpUDWLRQV�� RQ� REWLHQW� OHV� FRHIILFLHQWV� GH� FRUUHFWLRQ� GHV� SDUDPqWUHV

GRQQpV�GDQV�OH�7DEOHDX�������

3DUDPqWUH�FRUULJp =RQH�� =RQH�� =RQH��

,\

���� ���� ����

,]

���� ���� ����

- ���� ���� ����

7DEOHDX��������&RHIILFLHQWV�GH�FRUUHFWLRQ

Page 146: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������$GDSWDWLRQ�GH�OD�PpWKRGH

���

1RWRQV�TXH�OHV�FRUUHFWLRQV�DSSRUWpHV�DX[�SDUDPqWUHV�RQW�WHQGDQFH�j�WRXV

OHV� GLPLQXHU�� FH� TXL� YD� GDQV� OH� VHQV� SK\VLTXH� GH� ©�O·DVVRXSOLVVHPHQW�ª� GX

PRGqOH� VLPSOLILp�� 8Q� UpVXOWDW� DXVVL� FDUDFWpULVWLTXH� GDQV� FH� FDV� HVW

SUREDEOHPHQW� G�� j� OD� UHODWLYH� UpJXODULWp� GH� OD� VWUXFWXUH� �UHFWLOLJQH� HW� j� SHX

SUqV�XQLIRUPH��SDU�RSSRVLWLRQ�DX[�FDV�WHVWV�SUpFpGHPPHQW�WUDLWpV�

/D� SUpFLVLRQ� GX�PRGqOH� VLPSOLILp� DSUqV� FRUUHFWLRQ� HVW� SUpVHQWpH� GDQV� OH

7DEOHDX������� 1RWRQV� O·H[FHOOHQWH� TXDOLWp� GX� PRGqOH� pTXLYDOHQW� DLQVL� REWHQX

�O·HUUHXU�PD[LPDOH�HVW�LQIpULHXUH�j���������VDFKDQW�TXH�OD�WDLOOH�GX�PRGqOH�HVW

SDVVpH�GH������j�����GGO��2Q�SHXW�WRXWHIRLV�UHPDUTXHU�TXH�OHV�IDLEOHV�YDOHXUV

GH�0$&�REWHQXHV�SRXU�OHV�GHX[�PRGHV�YRLVLQV�GH����+]�UpVXOWHQW�HQ�IDLW�G·XQ

FURLVHPHQW�GH�FHV�PRGHV�ORUV�GH�OD�SKDVH�G·RSWLPLVDWLRQ��FH�TXL�DXUDLW�SX�rWUH

pYLWp�HQ�HIIHFWXDQW�XQ�QRXYHO�DSSDULDJH�j�O·LVVXH�GH�OD�SURFpGXUH�

&RQILJXUDWLRQ�HQFDVWUp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

���� ���� ���� ����� ����� �����

���� ���� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

&RQILJXUDWLRQ�FKDUJp�FKDUJp

0RGqOH�LQLWLDO 0RGqOH�pTXLYDOHQW &RPSDUDLVRQ�GHV�GLUHFWLRQV�SURSUHV

I5��+]� I��+]� H���� 0$&

7���� 0$&

5���� $SSDULDJH

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ����� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

����� ����� ���� ����� ����� �����

������ ������ ����� ����� ����� �����

7DEOHDX��������3UpFLVLRQ�GX�PRGqOH�VLPSOLILp����]RQHV�

Page 147: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

���� 0LVH�HQ�±XYUH�LQIRUPDWLTXH

/D�PpWKRGH�GH�VLPSOLILFDWLRQ�GH�PRGqOH�SURSRVpH�HVW�DFWXHOOHPHQW�XWLOLVpH�SDU

OH� SDUWHQDLUH� LQGXVWULHO� GH� FHWWH� pWXGH�� 3OXVLHXUV� GL]DLQHV� GH� VRXV�VWUXFWXUHV

RQW� SX� DLQVL� rWUH� WUDLWpHV� DYHF� VXFFqV�� HW� GDQV� XQ� WHPSV� UHODWLYHPHQW� UpGXLW

JUkFH� j� O·DXWRPDWLVDWLRQ� LQIRUPDWLTXH� GX� SURFpGp�� (Q� HIIHW�� FH� WUDYDLO� D� pWp

IRUPDOLVp�GDQV�XQ�ORJLFLHO�pFULW�HQ�ODQJDJH�0DWODE��VRXV�HQYLURQQHPHQW�8QL[�

HW� LQWpJUp� GDQV� OD� SODWHIRUPH� GH� FDOFXO� 3URWR�'\QDPLTXH�� GpYHORSSpH

FRQMRLQWHPHQW�SDU�OH�/0$5&�HW�,QWHVSDFH��7RXORXVH���(Q�pYLWDQW�G·DERUGHU�OHV

GpWDLOV�GH�OD�SURJUDPPDWLRQ��RQ�SUpVHQWH�LFL�OHV�SULQFLSDOHV�IRQFWLRQQDOLWpV�GH

FH�ORJLFLHO��UpVXPpHV�VXU�OD�)LJXUH�������

/HFWXUH GX

PRGqOH LQLWLDO

�1DVWUDQ� $QV\V�

'pILQLWLRQ

GHV ]RQHV

GLGHQWLILFDWLRQ

,GHQWLILFDWLRQ

GHV MHX[ GH

SDUDPqWUHV

$VVHPEODJH HW

FRQGHQVDWLRQ

GHV ]RQHV

5HFDODJH GHV

SDUDPqWUHV

&UpDWLRQ

GX PRGqOH

VLPSOLILp

4XDOLILFDWLRQ

j SDUWLU GHV

IUpTXHQFHV

9DOLGLWp "

*pQpUDWLRQ

GX PRGqOH ()

�1DVWUDQ� ,GHDV�

RXL

QRQ

)LJXUH��������3ULQFLSDOHV�IRQFWLRQQDOLWpV�GX�ORJLFLHO

Page 148: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

�������0LVH�HQ�±XYUH�LQIRUPDWLTXH

���

/H� SDUWHQDLUH� LQGXVWULHO� GX� FRQWUDW� GH� UHFKHUFKH� RFFDVLRQQp� SDU� FHWWH

pWXGH�D�GpILQL�GDQV�OH�FDKLHU�GHV�FKDUJHV�O·REMHW�GX�ORJLFLHO��

©�OH� ORJLFLHO� GRLW� SHUPHWWUH� XQH� DXWRPDWLVDWLRQ� SDUWLHOOH� GX� SDVVDJH� G·XQ

PRGqOH�FRTXH�GH�FRUSV�FUHX[�j�XQ�PRGqOH�SRXWUH�pTXLYDOHQW�ª

/H�ORJLFLHO�UpDOLVp�UpSRQG�j�FHWWH�DWWHQWH��,O�SHUPHW��j�SDUWLU�G·XQ�PDLOODJH

ILQ� G·XQH� VWUXFWXUH� LVVX� G·XQ� FRGH� GH� FDOFXO�� GH� JpQpUHU� GH� PDQLqUH

DXWRPDWLTXH�OHV�FDUWHV�GH�GpILQLWLRQ��DX�IRUPDW�GX�FRGH��GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW�

/HV�ILFKLHUV�UpVXOWDQWV�FRQWLHQQHQW�OHV�FRRUGRQQpHV�GHV�QRHXGV��OD�FRQQHFWLYLWp

GHV�pOpPHQWV��OHV�FRQVWDQWHV�UpHOOHV�HW�RULHQWDWLRQV�����

/HV�SULQFLSDOHV�GLIILFXOWpV�UHQFRQWUpHV�ORUV�GH�OD�SURJUDPPDWLRQ�VRQW�OLpHV

G·XQH�SDUW�DX�VRXFL�FRQVWDQW�GH�UpGXLUH�OHV�WHPSV�GH�FDOFXO�HW��G·DXWUH�SDUW��j�OD

YRORQWp� GH� SHUPHWWUH� j� O·XWLOLVDWHXU� GH� WUDLWHU� GHV� PRGqOHV� GH� WDLOOH

UHODWLYHPHQW�LPSRUWDQWH��MXVTX·j�������GGO���/D�JHVWLRQ�PRGXODLUH�GHV�WkFKHV�j

HIIHFWXHU�SDU�OH�ORJLFLHO�D�pWp�RULHQWpH�GDQV�FH�VHQV�

2XWUH� FHV� FRQVLGpUDWLRQV� WHFKQLTXHV�� OH� SURGXLW� ILQL� HVW� HIIHFWLYHPHQW

SUDWLTXH� G·XWLOLVDWLRQ�� OH� GLDORJXH� HQWUH� ORJLFLHO� HW� XWLOLVDWHXU� pWDQW� DXVVL

VRXYHQW� TXH� SRVVLEOH� EDVp� VXU� O·HPSORL� GH� PHQXV� LQWHUDFWLIV� HW� G·LQWHUIDFHV

JUDSKLTXHV��'H�SOXV��JUkFH�j� OD�VRXSOHVVH�GX� ODQJDJH�0DWODE��� OD� WRWDOLWp�GHV

YDULDEOHV�HW�UpVXOWDWV�GHV�FDOFXOV�LQWHUPpGLDLUHV�HVW�DFFHVVLEOH�HQ�SHUPDQHQFH

SRXU�O·XWLOLVDWHXU�

Page 149: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&KDSLWUH������$SSOLFDWLRQV�LQGXVWULHOOHV

���

Page 150: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&RQFOXVLRQ�JpQpUDOH

1RXV�DYRQV�SUpVHQWp�GDQV�FH�PpPRLUH�GH�WKqVH�XQH�PpWKRGRORJLH�JpQpUDOH�GH

VLPSOLILFDWLRQ�GH�PRGqOHV�pOpPHQWV�ILQLV�GH�VWUXFWXUHV�j�FRPSRUWHPHQW�JOREDO

GH� SRXWUH�� 8Q� ODUJH� FKDPS� GLVFLSOLQDLUH� D� pWp� DERUGp�� GH� OD� IRUPXODWLRQ

G·pOpPHQWV� JpQpUDX[� GH� SRXWUH� GH� 7LPRVKHQNR�� DX� UHFDODJH� GH� PRGqOHV

G\QDPLTXHV�� HQ� SDVVDQW� SDU� GHV� SURFpGXUHV� GH� FRQGHQVDWLRQ� HW

G·LGHQWLILFDWLRQ�SDUDPpWULTXH�

&H� WUDYDLO� D� OH� PpULWH� GH� FODULILHU� OD� IRUPXODWLRQ� GH� SRXWUH� JpQpUDOH� GH

7LPRVKHQNR� HQ� SURSRVDQW� XQH� H[SUHVVLRQ� IRUPHOOH� H[SOLFLWH� GHV�PDWULFHV� GH

UDLGHXU� HW� GH� PDVVH�� PHWWDQW� HQ� pYLGHQFH� OH� FRXSODJH� HQWUH� OD� IOH[LRQ� HW� OD

WRUVLRQ�GDQV�OD�PDWULFH�GH�PDVVH��'H�SOXV�QRXV�DYRQV�PRQWUp�TXH�OD�PDWULFH�GH

UDLGHXU� GH� OD� SRXWUH� JpQpUDOH� GH� 7LPRVKHQNR� SHXW� V·pFULUH� HQ� IRQFWLRQ� GH

TXDWUH�PDWULFHV� j� WURLV� GGO�� j� SDUWLU� GHVTXHOOHV� QRXV� DYRQV� SX� SURSRVHU� XQH

PpWKRGH�G·LGHQWLILFDWLRQ�GHV�SDUDPqWUHV�FRQVWLWXWLIV�ILDEOH�HW�UREXVWH�

/HV� DSSOLFDWLRQV� WUDLWpHV� RQW� SHUPLV� GH� YDOLGHU� OD� PpWKRGH� GDQV� GH

QRPEUHXVHV�FRQILJXUDWLRQV��,O�D�pWp�PRQWUp�HQ�SDUWLFXOLHU�TXH�FHWWH�WHFKQLTXH

SRXYDLW� rWUH� XWLOLVpH� SRXU� KRPRJpQpLVHU� OHV� SDUDPqWUHV� GH� VWUXFWXUHV

FRPSRVLWHV�� /·H[WHQVLRQ� GH� OD� PpWKRGH� DX[� VWUXFWXUHV� FRXUEHV� GH� VHFWLRQ

YDULDEOH�RXYUH�XQ�ODUJH�FKDPS�G·DSSOLFDWLRQ�GDQV�OH�GRPDLQH�LQGXVWULHO��1RXV

DYRQV� SX� OHYHU� OH� KDQGLFDS� OLp� j� OD� ULJLGLILFDWLRQ� GHV� VHFWLRQV� GURLWHV� HQ

DSSOLTXDQW� XQH� PpWKRGH� GH� UHFDODJH� SDUDPpWULTXH� DVVXUDQW� XQH� H[FHOOHQWH

FRUUpODWLRQ� HQWUH� OHV� FRPSRUWHPHQWV� G\QDPLTXHV� GX� PRGqOH� LQLWLDO� HW� GX

PRGqOH�VLPSOLILp�

(QILQ�� OHV� GpYHORSSHPHQWV� WKpRULTXHV� RQW� pWp� IRUPDOLVpV� GDQV� XQ� ORJLFLHO

G·DSSOLFDWLRQ� pFULW� GDQV� OH� ODQJDJH� 0DWODE��� DVVXUDQW� XQH� DXWRPDWLVDWLRQ

Page 151: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&RQFOXVLRQ�JpQpUDOH

���

SRXVVpH� GX� SURFHVVXV� GH� GpWHUPLQDWLRQ� GHV� SDUDPqWUHV� GH� SRXWUHV

pTXLYDOHQWHV�� /H� FRXSODJH� DYHF�1DVWUDQ�� HQ� IDLW� XQ� RXWLO� VLPSOH� HW� HIILFDFH�

DFWXHOOHPHQW� ODUJHPHQW�XWLOLVp�SDU�36$�SRXU�pWDEOLU�XQH�EDQTXH�GH�GRQQpHV

GH�PRGqOHV�pTXLYDOHQWV�

&H�WUDYDLO�GH�WKqVH�D�SHUPLV�G·LQLWLHU�GH�QRXYHOOHV�YRLHV�GH�UHFKHUFKH�GDQV

OH�GRPDLQH�GH�OD�VLPSOLILFDWLRQ�HW�GH�O·DPpOLRUDWLRQ�GH�PRGqOHV�GH�FDOFXO��$ILQ

GH� JpQpUDOLVHU� VRQ� FKDPS� G·DSSOLFDWLRQ�� LO� FRQYLHQGUD� GH� V·LQWpUHVVHU� DX[

SUREOqPHV� GH� FRQQH[LRQ� HQWUH� pOpPHQWV� GH� SRXWUHV� �WUDLWHPHQW� GHV� QRHXGV

G·RVVDWXUH�GH�YpKLFXOHV�DXWRPRELOHV��DLQVL�TX·j�FHOXL�GHV�OLDLVRQV�HQWUH�SRXWUHV

pTXLYDOHQWHV� HW� FRTXHV�� 2Q� GLVSRVHUD� DORUV� G·XQ� RXWLO� SHUIRUPDQW� GH

VLPSOLILFDWLRQ� GH� PRGqOHV� G\QDPLTXHV� FRPSOH[HV�� /HV� PRGqOHV� VLPSOLILpV

SRXUURQW� DORUV� rWUH� XWLOLVpV� GDQV� OH� EXW� G·RSWLPLVHU� OH� FRPSRUWHPHQW

G\QDPLTXH� GH� OD� FDLVVH� FRPSOqWH� GX� YpKLFXOH�� '·DXWUHV� SRLQWV� UHVWHQW� j

DERUGHU���LOV�FRQFHUQHQW�G·XQH�SDUW�OD�SULVH�HQ�FRPSWH�GX�JDXFKLVVHPHQW�GDQV

O·pOpPHQW�ILQL�GH�SRXWUH�HW��G·DXWUH�SDUW��O·pWXGH�GHV�PRGLILFDWLRQV�j�DSSRUWHU�DX

PRGqOH�LQLWLDO�j�SDUWLU�GH�FHOOHV�GX�PRGqOH�pTXLYDOHQW�

Page 152: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

5pIpUHQFHV�ELEOLRJUDSKLTXHV

>�@� $**$5:$/ +�5���&5$1&+ (�7���$� WKHRU\� RI� WRUVLRQDO� DQG� FRXSOHG� EHQGLQJ

WRUVLRQDO� ZDYHV� LQ� WKLQ�ZDOOHG� RSHQ� VHFWLRQ� EHDPV�� -RXUQDO� RI� $SSOLHG

0HFKDQLFV��7UDQVDFWLRQV�RI�WKH�$60(��YRO������S����������������

>�@� %$1(5-(( -�5��� &RXSOHG� EHQGLQJ�WRUVLRQDO� G\QDPLF� VWLIIQHVV� PDWUL[� IRU

EHDP� HOHPHQWV�� ,QWHUQDWLRQDO� -RXUQDO� IRU� 1XPHULFDO� 0HWKRGV� LQ

(QJLQHHULQJ��YRO������S������������������

>�@� %$72= -�/���'+$77*���0RGpOLVDWLRQ�GHV�VWUXFWXUHV�SDU�pOpPHQWV�ILQLV��YRO����

3RXWUHV�HW�SODTXHV��(G��+HUPqV��3DULV�������

>�@� %,6+23 5�(�'���35,&(:�*���&RXSOHG�EHQGLQJ�DQG�WZLVWLQJ�RI�D�7LPRVKHQNR

EHDP��-RXUQDO�RI�6RXQG�DQG�9LEUDWLRQ��YRO������S����������������

>�@� %/(9,16 5�'��� )RUPXODV� IRU� QDWXUDO� IUHTXHQF\� DQG� PRGH� VKDSH�� 9DQ

1RVWUDQG�5HLQKROG�������

>�@� %28+$'', 1��� 6RXV�VWUXFWXUDWLRQ� SDU� FRQGHQVDWLRQ� G\QDPLTXH� OLQpDULVpH�

7KqVH�GH�'RFWRUDW��8QLYHUVLWp�GH�)UDQFKH�&RPWp��%HVDQoRQ�������

>�@� &251 6���%28+$'', 1���3,5$1'$ -���6LPSOLILFDWLRQ�RI�ILQLWH�HOHPHQW�PRGHOV

IRU� VWUXFWXUHV� KDYLQJ� D� EHDP�OLNH� EHKDYLRXU�� � -RXUQDO� RI� 6RXQG� DQG

9LEUDWLRQ��j�SDUDvWUH�HQ������

>�@� &251 6���%28+$'', 1���3,5$1'$ -���7UDQVYHUVH�YLEUDWLRQV�RI�VKRUW�EHDPV��

ILQLWH� HOHPHQW� PRGHOV� REWDLQHG� E\� D� FRQGHQVDWLRQ� PHWKRG�� � -RXUQDO� RI

6RXQG�DQG�9LEUDWLRQ��YRO�������S����������������

Page 153: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

5pIpUHQFHV�ELEOLRJUDSKLTXHV

���

>�@� &251 6���3,5$1'$ -���%28+$'', 1���+RPRJHQL]DWLRQ�PHWKRG�IRU�EHDP�OLNH

VWUXFWXUHV�� 3URF�� RI� WKH� ��UG� ,QWHUQDWLRQDO� 6HPLQDU� RQ� 0RGDO� $QDO\VLV

�,60$���/HXYHQ��9RO�����S������������������

>��@� &251 6��� 3,5$1'$ -��� %28+$'', 1��� 6LPSOLILFDWLRQ� GH� PRGqOHV� pOpPHQWV

ILQLV�GH� VWUXFWXUHV�j� FRPSRUWHPHQW� GH� SRXWUH� SDU� GHV� pOpPHQWV� GH� SRXWUHV

pTXLYDOHQWHV�� $FWHV� GX� �qPH� &ROORTXH� 1DWLRQDO� HQ� &DOFXO� GHV� 6WUXFWXUHV�

*LHQV��9RO�����S�����������2XHVW�(GLWLRQV�������

>��@� &2:3(5 *�5���7KH�VKHDU�FRHIILFLHQW�LQ�7LPRVKHQNR·V�EHDP�WKHRU\��-RXUQDO

RI�$SSOLHG�0HFKDQLFV��7UDQVDFWLRQV�RI�WKH�$60(��YRO������S����������������

>��@� &=(.$-6., &��� /$52=( 6��� *$< '��� $SSOLFDWLRQ� RI� D� ERXQGDU\� LQWHJUDO

HOHPHQW� PHWKRG� WR� WKH� VWXG\� RI� G\QDPLFDO� WRUVLRQ� RI� EHDPV�� 5HVHDUFK� LQ

6WUXFWXUDO�DQG�6ROLG�0HFKDQLFV��1$6$�&RQIHUHQFH�3XE�������������

>��@� '$9,6 5���+(16+(// 5�'���:$5%85721 *�%���$�7LPRVKHQNR�EHDP�HOHPHQW�

-RXUQDO�RI�6RXQG�DQG�9LEUDWLRQ��YRO������S����������������

>��@� '8%,*(21 6���.,0 &�%���$�ILQLWH�HOHPHQW�IRU�WKH�VWXG\�RI�FRXSOHG�EHQGLQJ�

SUHYHQWHG�WRUVLRQ�RI�D�VWUDLJKW�EHDP��-RXUQDO�RI�6RXQG�DQG�9LEUDWLRQ��YRO�

����S����������������

>��@� )(55$5,6�%(662 *���3UpYLVLRQ�GX�FRPSRUWHPHQW�G\QDPLTXH�GHV�HQVHPEOHV

GLVTXH�DXEHV��7KqVH�GH�'RFWRUDW��8QLYHUVLWp�&ODXGH�%HUQDUG��/\RQ�������

>��@� )5,%(5* 3�2��� &RXSOHG� YLEUDWLRQV� RI� EHDPV� �� $Q� H[DFW� G\QDPLF� HOHPHQW

VWLIIQHVV� PDWUL[�� ,QWHUQDWLRQDO� -RXUQDO� IRU� 1XPHULFDO� 0HWKRGV� LQ

(QJLQHHULQJ��YRO������S����������������

>��@� )5,('0$1 =��� .260$7$ -�%��� $Q� LPSURYHG� WZR�QRGH� 7LPRVKHQNR� EHDP

ILQLWH�HOHPHQW��&RPSXWHUV�DQG�6WUXFWXUHV��YRO������S����������������

>��@� *$< '��� ,QIOXHQFH�GHV�HIIHWV�VHFRQGDLUHV�VXU� OHV�YLEUDWLRQV�GH� IOH[LRQ�HW�GH

WRUVLRQ�GHV�SRXWUHV�� 7KqVH�GH�'RFWRUDW��8QLYHUVLWp�3�� 6DEDWLHU�� 7RXORXVH�

�����

>��@� *$<'���0DWpULDX[�FRPSRVLWHV��(G��+HUPqV��3DULV�������

>��@� *e5$',10���5,;(1 '���7KpRULH�GHV�YLEUDWLRQV��$SSOLFDWLRQ�j�OD�G\QDPLTXH

GHV�VWUXFWXUHV��(G��0DVVRQ��3DULV�������

Page 154: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

5pIpUHQFHV�ELEOLRJUDSKLTXHV

���

>��@� *(50$,1 3���08//(5 3���,QWURGXFWLRQ�j�OD�PpFDQLTXH�GHV�PLOLHX[�FRQWLQXV�

(G��0DVVRQ��3DULV�������

>��@� *8<$1 5�-���5HGXFWLRQ�RI�VWLIIQHVV�DQG�PDVV�PDWULFHV��$PHULFDQ�,QVWLWXWH

RI�$HURQDXWLFV�-RXUQDO��YRO�����S������������

>��@� +$//$8(5 :���/,8 5�<�/���%HDP�EHQGLQJ�WRUVLRQ�G\QDPLF�VWLIIQHVV�PHWKRG

IRU�FDOFXODWLRQ�RI�H[DFW�YLEUDWLRQ�PRGHV��-RXUQDO�RI�6RXQG�DQG�9LEUDWLRQ�

YRO������S����������������

>��@� +8$1* 7�&��� 7KH� HIIHFW� RI� URWDU\� LQHUWLD� DQG� RI� VKHDU� GHIRUPDWLRQ� RQ� WKH

IUHTXHQF\� DQG� QRUPDO�PRGH� HTXDWLRQV� RI� XQLIRUP� EHDPV�ZLWK� VLPSOH� HQG

FRQGLWLRQV��-RXUQDO�RI�$SSOLHG�0HFKDQLFV��7UDQVDFWLRQV�RI�WKH�$60(��YRO�

����S����������������

>��@� +87&+,1621 -�5��� 7UDQVYHUVH� YLEUDWLRQV� RI� EHDPV�� H[DFW� YHUVXV

DSSUR[LPDWH�VROXWLRQV��-RXUQDO�RI�$SSOLHG�0HFKDQLFV��7UDQVDFWLRQV�RI�WKH

$60(��YRO������S����������������

>��@� ,0%(57 -�)��� $QDO\VH� GHV� VWUXFWXUHV� SDU� pOpPHQWV� ILQLV�� (G�� &HSDGXqV�

7RXORXVH�������

>��@� .5,6+1$1 $��� 6,1*+ 9�.��� 6RPH� VWXGLHV� RQ� YLEUDWLRQ� RI� WKLQ�ZDOOHG� RSHQ

VHFWLRQV��-RXUQDO�RI�6RXQG�DQG�9LEUDWLRQ��YRO�������S����������������

>��@� /$52=( 6��� 5pVLVWDQFH� GHV� PDWpULDX[� HW� VWUXFWXUHV�� YRO�� ��� 7KpRULH� GHV

SRXWUHV��(G��(\UROOHV�0DVVRQ��3DULV�������

>��@� /(9,1621 0��� $� QHZ� UHFWDQJXODU� EHDP� WKHRU\�� -RXUQDO� RI� 6RXQG� DQG

9LEUDWLRQ��YRO������S��������������

>��@� /29( $�(�+���$�WUHDWLVH�RQ�WKH�PDWKHPDWLFDO�WKHRU\�RI�HODVWLFLW\��'RYHU�(G��

1HZ�<RUN�������

>��@� 086.+(/,6+9,/, 1�,��� 6RPH� EDVLF� SUREOHPV� RI� WKH�PDWKHPDWLFDO� WKHRU\� RI

HODVWLFLW\��1RRUGKRII�LQWHUQDWLRQDO�SXEOLVKLQJ��/H\GHQ�������

>��@� 3,5$1'$ -���&251 6���%28+$'', 1���/0$5&����67$:,&., &���9$1 +(53( )�

�36$�3HXJHRW�&LWURsQ���'HWHUPLQDWLRQ� RI� HTXLYDOHQW� EHDP� SURSHUWLHV� IRU

KROORZ�JLUGHUV� W\SLFDOO\�XVHG� LQ� WKH� DXWRPRWLYH� LQGXVWU\�� 3URF�� RI� WKH� ��WK

,QWHUQDWLRQDO�0RGDO�$QDO\VLV�&RQIHUHQFH��,0$&���S������������������

Page 155: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

5pIpUHQFHV�ELEOLRJUDSKLTXHV

���

>��@� 3,5$1'$ -��� &RXUV� GH� 9LEUDWLRQV� GHV� VWUXFWXUHV�� eFROH� 1DWLRQDOH

6XSpULHXUH�GH�0pFDQLTXH�HW�GHV�0LFURWHFKQLTXHV��%HVDQoRQ�������

>��@� 327,521 $��� eWXGH� GX� FRPSRUWHPHQW� G\QDPLTXH� GHV� SRXWUHV� SDU� XQH

FLQpPDWLTXH� j� VHSW� SDUDPqWUHV�� )RUPXODWLRQ� SDU� pOpPHQWV� ILQLV

FRUUHVSRQGDQWH��7KqVH�GH�'RFWRUDW��8QLYHUVLWp�3��6DEDWLHU��7RXORXVH�������

>��@� 35=(0,(1,(&., -�6��� 7KHRU\� RI� PDWUL[� VWUXFWXUDO� DQDO\VLV�� 0F*UDZ�+LOO�

1HZ�<RUN�������

>��@� 5(,661(5 (���76$,:�7���2Q�WKH�GHWHUPLQDWLRQ�RI�WKH�FHQWHUV�RI�WZLVW�DQG�RI

VKHDU� IRU� F\OLQGULFDO� VKHOO� EHDPV�� -RXUQDO� RI� $SSOLHG� 0HFKDQLFV�

7UDQVDFWLRQV�RI�WKH�$60(��YRO������S������������������

>��@� 52$5.5�-���)RUPXODV�IRU�VWUHVV�DQG�VWUDLQ��0F*UDZ�+LOO��1HZ�<RUN�������

>��@� 6$/(1d21 -���0pFDQLTXH�GHV�PLOLHX[�FRQWLQXV�� YRO�� ���eODVWLFLWp� ��0LOLHX[

FXUYLOLJQHV��(G��(OOLSVHV��3DULV�������

>��@� 62/2021/���eODVWLFLWp�OLQpDLUH��(G��0DVVRQ��3DULV�������

>��@� 67(3+(1 1�*��� 2Q� WKH� YDULDWLRQ� RI� 7LPRVKHQNR·V� VKHDU� FRHIILFLHQW� ZLWK

IUHTXHQF\��-RXUQDO�RI�$SSOLHG�0HFKDQLFV��7UDQVDFWLRQV�RI�WKH�$60(��YRO�

����S����������������

>��@� 7+20$6 '�/��� :,/621 -�0��� :,/621 5�5��� 7LPRVKHQNR� EHDP� ILQLWH

HOHPHQWV��-RXUQDO�RI�6RXQG�DQG�9LEUDWLRQ��YRO������S����������������

>��@� 7+20$6 -��� $%%$6 %�$�+��� )LQLWH� HOHPHQW� PRGHO� IRU� G\QDPLF� DQDO\VLV� RI

7LPRVKHQNR�EHDP��-RXUQDO�RI�6RXQG�DQG�9LEUDWLRQ��YRO������S������������

>��@� 7,026+(1.2 6�3���2Q� WKH� FRUUHFWLRQ� IRU� VKHDU� RI� WKH� GLIIHUHQWLDO� HTXDWLRQ

IRU� WUDQVYHUVH� YLEUDWLRQV� RI� SULVPDWLF� EDUV�� 3KLORVRSKLFDO�0DJD]LQH�� YRO�

����S����������������

>��@� 7,026+(1.2 6�3��� 2Q� WKH� WUDQVYHUVH� YLEUDWLRQV� RI� EDUV� RI� XQLIRUP� FURVV

VHFWLRQ��3KLORVRSKLFDO�0DJD]LQH��YRO������S����������������

>��@� 75203(77( 3���0pFDQLTXH�GHV�VWUXFWXUHV�SDU�OD�PpWKRGH�GHV�pOpPHQWV�ILQLV�

(G��0DVVRQ��3DULV�������

>��@� 9/$6629%�=���3LqFHV�ORQJXHV�HQ�YRLOHV�PLQFHV��(G��(\UROOHV��3DULV�������

Page 156: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$�

­�SURSRV�GH�OD�FRQVWDQWH�GH�WRUVLRQ

/D�FRQVWDQWH�GH�WRUVLRQ��QRWpH�-��SHUPHW�G·pWDEOLU�OD�UHODWLRQ�GH�ULJLGLWp�HQWUH�OH

PRPHQW�GH�WRUVLRQ�0[ �HW�OH�WDX[�GH�URWDWLRQ�wTw

[

[��

0 *-[[[

wTw �$���

DYHF������������������������������������0 \ ][ [] [\ �³³ � �V V7 7

6G6 �$���

(Q�UHPSODoDQW�V[\ �HW�V[] �SDU�OHXUV�YDOHXUV�UHVSHFWLYHV��RQ�REWLHQW�SRXU�-��

- \ ] \]

]\

� � �³³ � �� �wMw

wMw

G66

�$���

TXL�SHXW�pJDOHPHQW�V·pFULUH�HQ�LQWURGXLVDQW�OH�PRPHQW�SRODLUH�HQ�&��QRWp� ,& ��

- , \]

]\& � �³³ � �

wMw

wMw

G66

�$���

5DSSHORQV�TXH�OH�PRPHQW�SRODLUH� ,& �HVW�GpILQL�SDU��

, \ ] , , \ ] $& \ ] * * � � � �³³ � � � �� � � �G66

�$���

(Q�HIIHFWXDQW�XQH�LQWpJUDWLRQ�SDU�SDUWLHV�GH�O·H[SUHVVLRQ��$�����RQ�REWLHQW��

� � � �\]

]\

\ Q ] Q] \

wMw

wMw

M M� �³³ ³G6 G6

**

�$���

$QQH[H

Page 157: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�$

���

2U��HQ�XWLOLVDQW�OHV�FRQGLWLRQV�GX�SUREOqPH�GH�1HXPDQQ��&KDSLWUH�����RQ�D��

� � � �\ Q ] Q\Q

]Q] \ \ ]M M M

wMw

wMw

� � �³ ³G G* ** *

�$���

(Q�HIIHFWXDQW�XQH�QRXYHOOH�LQWpJUDWLRQ�SDU�SDUWLHV��RQ�SHXW�DORUV�pFULUH��

MwMw

wMw

M� � � �\Q

]Q\ ]� � �M³ ³³ ³³G G6 G6

6 6* 'M

*

� �$���

/D�IRQFWLRQ�GH�JDXFKLVVHPHQW�pWDQW�GH� ODSODFLHQ�QXO�VXU�WRXW� OH�GRPDLQH�

RQ�DERXWLW�ILQDOHPHQW�j�OD�IRUPH�VXLYDQWH�GH�-��

- ,& � �M³³ � ��G66

�$���

/H�GHUQLHU�WHUPH�GH��$����pWDQW�PDQLIHVWHPHQW�GH�VLJQH�SRVLWLI��QRXV�DYRQV

DLQVL�PRQWUp�TXH�-�HVW�WRXMRXUV�LQIpULHXU�j� ,& �

Page 158: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

%�

&RHIILFLHQW�GH�FLVDLOOHPHQW

'DQV� FHWWH� $QQH[H�� RQ� SUpVHQWH� SRXU� GHV� IRUPHV� FODVVLTXHV� GH� OD� VHFWLRQ

GURLWH�� OHV� YDOHXUV� GX� FRHIILFLHQW� GH� FLVDLOOHPHQW� WUDQVYHUVH� N� FDOFXOpHV� SDU

&RZSHU� >�@� j� SDUWLU� GX� SUREOqPH� GpODVWLFLWp� WULGLPHQVLRQQHOOH� GH� OD� SRXWUH

FRQVROH�

&HUFOH��

N �

� �

� �

� �Q

Q

(OOLSVH��

����

D

E

\

NP

P P\

� �

� � � �

�� � �

�� �� �� ��

� �

� � � �

� �

Q

Q Q Q

DYHF��PE

D

$QQH[H

Page 159: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�%

���

7XEH�FLUFXODLUH��

DE

NP

P P

� �

� � � �

� � �

� � � �� ��

� �

� � �

� � � �

� � � � � �

Q

Q Q

DYHF��PE

D

7XEH�FLUFXODLUH�j�SDURL�PLQFH��

��

N �

� �

� �

� �Q

Q

5HFWDQJOH��

N �

�� �

�� ��

� �Q

Q

7XEH�UHFWDQJXODLUH��

������

H�

EK

H

\

N

P

P P P P P P PQ P\

� �

� � � � � � � � � �

�� � � �

�� �� ��� �� �� �� ��� �� �� � �

� � � � �

� � � �

� � � � � �

Q

Q Q

DYHF�� QE

K ��HW��P

H

HQ

Page 160: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�%

���

7XEH�FDUUp�j�SDURL�PLQFH��

N �

�� �

�� ��

� �Q

Q

3URILOp�HQ�©�7�ª��

������

H�

K

E

H

\

NP

P P P P P P PQ P P P\

� �

� � � � � � � � � � � �

�� � � �

�� �� ��� ��� �� �� ��� ��� �� � � � �

� � � � � �

� �� �

� � � � � � ��

Q

Q Q

DYHF�� QE

K ��HW��P

H

HQ

3URILOp�HQ�©�,�ª��

������

H�K

E

H

\

NP

P P P P P P PQ P P\

� �

� � � � � � � � � � �

�� � � �

�� �� ��� �� �� �� ��� �� � � � � �

� � � � �

� � � �

� � � � � � ��

Q

Q Q

DYHF�� QE

K ��HW��P

H

HQ �

Page 161: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�%

���

Page 162: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

&�

9DOHXUV�GX�SDUDPqWUH�IUpTXHQWLHO

&RQIRUPpPHQW� j� OD� IRUPXODWLRQ� GH�7LPRVKHQNR�� O·H[SUHVVLRQ� GHV� IUpTXHQFHV

SURSUHV�G·XQH�SRXWUH�HVW��

IO

( ,

$

W

S U

���&���

R�� W �HVW�OH�SDUDPqWUH�IUpTXHQWLHO�

2Q�SUpVHQWH�GDQV�FHWWH�$QQH[H�GHV�WDEOHV�GRQQDQW�OHV�YDOHXUV�QXPpULTXHV

GX� SDUDPqWUH� IUpTXHQWLHO� HQ� IRQFWLRQ� GH� O·pODQFHPHQW� G O

U

$ O

,

' �

�� SRXU

GHX[�IRUPHV�XVXHOOHV�GH�VHFWLRQ�GURLWH�HW�WRXWHV�OHV�FRQGLWLRQV�DX[�OLPLWHV��

/LEUH�/LEUH��/�/���/LEUH�*XLGpH��/�*���(QFDVWUpH�/LEUH��(�/���/LEUH�$SSX\pH

�/�$��� %L�$SSX\pH� �$�$��� (QFDVWUpH�$SSX\pH� �(�$��� %L�(QFDVWUpH� �(�(��

(QFDVWUpH�*XLGpH��(�*���*XLGpH�$SSX\pH��*�$���HW�%L�*XLGpH��*�*��

5HPDUTXH���FHV�WDEOHV�SUpVHQWHQW�VHXOHPHQW�OHV�YDOHXUV�FRUUHVSRQGDQW�DX

SUHPLHU� GRPDLQH� IUpTXHQWLHO� GH� VROXWLRQV� � W W�F��� /HV� VLJQHV� ©���ª

FRUUHVSRQGHQW�j�GHV�YDOHXUV�GX�VHFRQG�GRPDLQH��YRLU�&KDSLWUH����

&HV� UpVXOWDWV� RQ� pWp� REWHQXV� HQ� UpVROYDQW� QXPpULTXHPHQW� O·pTXDWLRQ

WUDQVFHQGDQWH� HQ� W � SRXU� FKDTXH� FRQGLWLRQV� DX[� OLPLWHV�� SRXU� OHV� SRXWUHV� GH

VHFWLRQ�FLUFXODLUH�HW�UHFWDQJXODLUH�SOHLQH�

$QQH[H

Page 163: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�&

���

&��� 3RXWUH�GH�VHFWLRQ�FLUFXODLUH�SOHLQH

N �

� �

� �� �

� ��

Q

QQ

/���/ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

/���* G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

(���/ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

Page 164: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�&

���

/���$ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������ ������� �������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

$���$ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

(���$ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������ ������� �������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

(���( G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

Page 165: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�&

���

(���* G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

*���$ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

*���* G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

Page 166: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�&

���

&��� 3RXWUH�GH�VHFWLRQ�UHFWDQJXODLUH�SOHLQH

N �

�� �

�� ��� �

� ��

Q

QQ

/���/ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

/���* G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

(���/ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

Page 167: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�&

���

/���$ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������ ������� �������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

$���$ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

(���$ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������ ������� �������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

(���( G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

Page 168: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

$QQH[H�&

���

(���* G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

*���$ G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

*���* G� �� G� �� G� �� G� ��� G� ��� G� ��� G� ���� G� ����

0RGH�� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������ ������ ������ ������

0RGH�� � � � ������ ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � ������� ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

0RGH�� � � � � ������� ������� ������� �������

Page 169: Simplification de modèles éléments finis de structures à ...

5e680e

8QH PpWKRGRORJLH JpQpUDOH GH VLPSOLILFDWLRQ

GH PRGqOHV pOpPHQWV ILQLV GH VWUXFWXUHV j

FRPSRUWHPHQW GH SRXWUH HVW SURSRVpH GDQV

FH PpPRLUH� (OOH FRQFHUQH OHV VWUXFWXUHV

PpFDQLTXHV FRQVWLWXpHV GH FRPSRVDQWV TXL

SUpVHQWHQW XQ FRPSRUWHPHQW G\QDPLTXH

JOREDO GH SRXWUH GDQV OH GRPDLQH IUpTXHQWLHO

G·XWLOLVDWLRQ� &·HVW HQ SDUWLFXOLHU OH FDV GHV

YpKLFXOHV DXWRPRELOHV� GRQW O·RVVDWXUH

FRPSRUWH GHV FRUSV FUHX[ HW GHV SURILOpV

PRGpOLVpV ILQHPHQW SDU GHV pOpPHQWV ILQLV GH

W\SH FRTXH� /H SULQFLSH GH VLPSOLILFDWLRQ PLV

HQ ±XYUH FRQVLVWH j UHPSODFHU OH PDLOODJH

ILQ GH FHV VRXV�VWUXFWXUHV SDU XQ PRGqOH

© pTXLYDOHQW ª FRQVWLWXp GpOpPHQWV ILQLV GH

SRXWUH DGpTXDWV� UpGXLVDQW DLQVL GH PDQLqUH

GUDVWLTXH OD WDLOOH GX PRGqOH VDQV

GpJUDGDWLRQ VLJQLILFDWLYH GH VD SUpFLVLRQ� 2Q

SURSRVH XQH PpWKRGH RULJLQDOH SHUPHWWDQW

GLGHQWLILHU GH PDQLqUH DXWRPDWLTXH WRXV OHV

SDUDPqWUHV SK\VLTXHV j LQWURGXLUH GDQV OH

PRGqOH pTXLYDOHQW� EDVp VXU OD IRUPXODWLRQ

GH 7LPRVKHQNR HW SUHQDQW HQ FRPSWH OH

FRXSODJH G\QDPLTXH IOH[LRQ�WRUVLRQ� /HV

QRPEUHX[ WHVWV QXPpULTXHV SUpVHQWpV

PHWWHQW HQ pYLGHQFH OHV SHUIRUPDQFHV HW OD

ILDELOLWp GH OD VWUDWpJLH pODERUpH� 6RQ

DGDSWDWLRQ j GHV VWUXFWXUHV LQGXVWULHOOHV GH

IRUPH FRPSOH[H� DLQVL TXH O·HIILFDFLWp GX

ORJLFLHO G·DSSOLFDWLRQ GpYHORSSp j FHW HIIHW�

VRQW LOOXVWUpHV GDQV FH PpPRLUH�

0RWV FOpV � '\QDPLTXH GHV VWUXFWXUHV� 3RXWUH GH 7LPRVKHQNR� eOpPHQWV ILQLV� &RQGHQVDWLRQ�

,GHQWLILFDWLRQ SDUDPpWULTXH� 0RGqOH pTXLYDOHQW�

$%675$&7

$ JHQHUDO PHWKRGRORJ\ IRU VLPSOLI\LQJ ILQLWH

HOHPHQW PRGHOV RI VWUXFWXUHV KDYLQJ D EHDP�

OLNH EHKDYLRXU LV SURSRVHG LQ WKLV VWXG\� ,W

FRQFHUQV PHFKDQLFDO VWUXFWXUHV FRPSRVHG

RI FRPSRQHQWV WKDW KDYH D EHDP�OLNH JOREDO

G\QDPLFDO EHKDYLRXU LQ D JLYHQ IUHTXHQF\

GRPDLQ� 7KLV LV HVSHFLDOO\ WKH FDVH IRU

DXWRPRWLYH YHKLFOHV� ZKRVH IUDPH FRQVLVWV RI

KROORZ JLUGHUV ILQHO\ PHVKHG ZLWK VKHOO ILQLWH

HOHPHQWV� 7KH LPSOHPHQWHG SULQFLSOH RI

VLPSOLILFDWLRQ FRQVLVWV LQ UHSODFLQJ WKH

UHILQHG PHVK RI WKHVH VXE�VWUXFWXUHV ZLWK DQ

© HTXLYDOHQW ª PRGHO RI DSSURSULDWH EHDP

HOHPHQWV� WKXV GUDVWLFDOO\ UHGXFLQJ WKH VL]H

RI WKH PRGHO ZKLOH SUHVHUYLQJ LWV DFFXUDF\�

$Q RULJLQDO PHWKRG LV SURSRVHG ZKLFK

DOORZV WKH VHW RI SK\VLFDO SDUDPHWHUV WR

LQWURGXFH LQ WKH HTXLYDOHQW PRGHO WR EH

LGHQWLILHG DXWRPDWLFDOO\� 7KLV PRGHO LV EDVHG

RQ WKH 7LPRVKHQNR IRUPXODWLRQ DQG LW WDNHV

LQWR DFFRXQW WKH G\QDPLFDO FRXSOLQJ

EHWZHHQ EHQGLQJ DQG WRUVLRQ� 7KH PDQ\

QXPHULFDO WHVW FDVHV WKDW DUH SUHVHQWHG

GHPRQVWUDWH WKH SHUIRUPDQFH DQG WKH

UHOLDELOLW\ RI WKH HODERUDWHG VWUDWHJ\� ,WV

DGDSWDWLRQ WR LQGXVWULDO VWUXFWXUHV RI

FRPSOH[ VKDSH� DV ZHOO DV WKH HIILFLHQF\ RI

WKH GHYHORSHG DSSOLFDWLRQ VRIWZDUH� DUH

LOOXVWUDWHG LQ WKLV VWXG\�

.H\ ZRUGV � 6WUXFWXUDO G\QDPLFV� 7LPRVKHQNR EHDP� )LQLWH HOHPHQWV� &RQGHQVDWLRQ�

3DUDPHWULF LGHQWLILFDWLRQ� (TXLYDOHQW PRGHO�

8QLYHUVLWp GH )UDQFKH�&RPWp 8�)�5� GHV 6FLHQFHV HW 7HFKQLTXHV

/DERUDWRLUH GH 0pFDQLTXH $SSOLTXpH 5� &KDOpDW 805 ����

��� &KHPLQ GH O·eSLWDSKH ����� %HVDQoRQ &HGH[