shadrokhAMS17-20-2010 · Title: shadrokhAMS17-20-2010.dvi Created Date: 12/25/2009 8:10:00 PM

22

Transcript of shadrokhAMS17-20-2010 · Title: shadrokhAMS17-20-2010.dvi Created Date: 12/25/2009 8:10:00 PM

  • ������� ��������� �������� ���� �� ����� ��� ��� ��� � ���

    �� �������� ������ � ��������� ������

    ����� � ������ �������� ��������

    �� ��� ����� ����

    ��� ����� �

    ���������� �������� �������

    ��������� ����� �� ������� ����

    ������������������

    !"#�#� �$�%&'!()

    �������� ����������� ��������� ��� !���"���

    ��������� #����$�� %�����

    #�������&'���(������&(����$���

    ��������

    ������� ���� � ��������� ����� ��� ���� �

    ��� �� ������� ����

    ���� � � ������ ��������� �������� �� � ������ ����� ���� ����� ����

    ������ �� ����� � �������� ��� � ���� ��� ��� �� �������������� ���

    �������� ������ � �� ��������� ����� ������� �� ��� �� �� ��������

    ������ ���� �������� ��������� �� � �������� ���������� � �� �����

    ����� �������� ����� �� ������� ����� ��� �������� ����� ���� ��!�����

    �������� "�� �� � ��� ����� ��� ����� �� ���� ������� ��� ���������

    #���������� � �� �������� ������� �� ����� ���� $� ������ ���������

    ��� ��������� � ���� �� ����� ������������ �� �� ����� ��������� ������

    ����� ��� ������� ���� ����������� ��

    �� � �� ��������� ������� ��

    ���������� %��������� �� �� ���� ���� �� ������� �� �&����� ����� �

    �� ��������� � �� �������� �� �� ���������� ����������� ��� �� ����

    ��� �� � ���� ��������� �� �������

    �*+�#��, ���������� ���� �&��$�� �����������$� �����������$ �������&

    ���� ������$ ��(��

    ��

  • )*) �� �������� � ���� ���������

    � ���������

    ��� � ������ ��� ��$���$�&��(��

    �� $����� ���$� +����� $

    (�����$���� ���

    ������� ������� ��� �� �$$������� �� ��� �, �������� ���-

    Y = β0 + β1X1 + β2X

    2 + ε ./0

    ,���� �� ��� � �� ���������$ ��1������ �� H0 : β2 = 0 �(���� ��� .�,&����0

    �$��������� H1 : β2 �= 0� ��� ��$$ ������� �� ���� ��� �������� X2 ��������������( � ��� ��$���$� $����� ��(��

    �� ���$�

    ��� �$�

    ���$ ���������� �����( ���� ��� $$,��( #��

    ��� �

    ������ �

    ������$ ε -

    /� � ���$� n �������� ��� 2��� ���������� (Y, X1, X2) � ����$��$��

    3� {εi, i = 1, 2, ..., n} ��� ������ ��� ���$�����

    ���������� - εi ∼ LG(0, σ2)�

    +��� ���� �

    ������ ��� ���� ��� ���$��� ���� ��� �������� ��1����� �

    �� ������� ���� .� �&����0 ���$� � ��� ������� � ��� ��$$ ������� -

    T = (β̂2 − 0)/s(β̂2) ∼ St(n − k − 1) .30

    ,���� β̂2 � ��� ������� $��� 4���� .5��0 ������� ��� ��(��

    �� ��1�����

    β2� s(β̂2) � ��� ������� ���� ��� ������� β2� ��� k � ��� ������

    �������� ������ �� ��� ���$� ��� ���������� T ����� H0� � � ������� $�,

    ,��� (n − k − 1) ��(��� ������+��� ��� ����� ���� ���� ε ��$ � �$6$$ �� ���� �

    ������ � ��

    ���� ���� � �� ���� ����� � ����� �� ��������$ ��������� '� ���

    ��� ����� �� � #��

    ��� ����7������ ����$��$� �� ��� ��� $��(� ���$��

    8�� �� (�� 2���6�� �$� ����� ��� ������$ $���� ������ ���$���� ��� � $��(�

    ���(� ���$� �"� n � ��������� �� ��� ��$$ ���$� ��� �� #��

    ��� ���� ��

    ,�� ��������( ���� �� ������( � ��������$ ��� ���� � ��� ����������

    ���������� �� ������� $��� ��� ���$ t&�����

    ��� 6�� ��������� ���������� ��� � $����� ��������$ ���$� ���$����(

    ���$�� �������� ��� ��(��

    ��� ��� �� ������ ���� � ��� ,�� %���� ./9:*0�

    ��� ������ ./9:;0

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )*9

    @������ ,��$� ����� � (�����$ �(������� ��������( �� ���������� �����

    ���������� � �7��� ��� ������� �� ���$� $����� ��(��

    �� & �� >�(��(��

    ./99*0 ��� @��$� ./99/0 & ��� � �� � ��� ���������$ ��1����� �� ���

    ����7� ��$���$� $����� ��(��

    ��� ������$ ���������� ����� ���� ���� ��&

    ��� � �����( ��� �(��6����� ���� ������$ ��(��

    �� ��1����� �� � ��$���$�

    ��(��

    �� ���$� ���� ��B�� � ��� ���� ��� �$�

    ���$ ��(��

    �� ���$ ,����

    � ��� � � ��� � ���(���( � ���������� �����(�� �� � �7���$�- %�������

    ��� ���� ./9):0

  • )DA �� �������� � ���� ���������

    ��� ���� ����� � $,�� � �4��$ � ���� ������� �� ��� ����� !�������

    @������ ��� �,�� ��� %������� ��� ���� ����� � $,�� � �4��$ � ����

    ������� �� !�������

    %��������� ,� ������� ��� �����������$ �������� ��� ������� β̂π2 ������

    �� Var(β̂π2 ) ��� ,� �, ���� ��� ������� %������� ��� ���� ������ �� �����&�� Var(β̂π2 ) ������ �� s

    2(β̂π2 )F � ,���� � � �����������$� ������� �������

    Var(β̂π2 )� ��������( ,��� � ��� ������� s2(β̂π2 )K (���� �� ��� !������E ������

    � ������� ��� ��������� � ������

    8� ��������� ��� ����� �� π � � ������� � ������� �� � ,�� � ����� ��

    ���������� �� ���������� �� ���$�� ��$��� %� �7���$�� ��� ������ Yπ�������� ���� ��� ��$�� � ������$� Y ���� ���� ��������� G��$����������� π

    � �$���� � � ��������� & � �� T π & ,��� ��� ������� T � ������� � � ������

    � �� ��(����� ��������( �� $��� �� �������� ������$��

    ��� ��� �� �������

    +� $$, ��� ���������� (���� �� #�2����� .3AAC� �� 3/3&3/C0� %���� $�� �

    ������ ��� �$�

    ���$ $����� ��(��

    �� ���$ �� ��� ��� �, �������� - Y =

    β0 + β1x1 + β2x

    2 + ε ��� 5�� ������� ��� ������� �� ������"��( ��� $

    ������ Q ��6��� � ��� ��������$ �� 4����-

    Q =n∑

    i=1

    (εi)2 =

    n∑i=1

    (Yi − β0 − β1x1i − β2x2i )2 .:0

    = ‖�‖2 = ‖Y − tXβ‖2 β = t(β0, β1, β2), x0i = 1 ∀i = 1, · · · , n

    ��� ����� ,�� � ���$� � $���� ���� �� �������( Q �� ���� β� � � (��

    ��� ���� ����� ����$ �4����� -

    ∂Q

    ∂β= 0 ⇔

    ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

    Ȳ = β̂0 + β̂1x̄1i + β̂2x̄

    2,∑ni=1 Yi x

    1i = β̂0

    ∑ni=1 x

    1i + β̂1

    ∑ni=1(x

    1i )

    2 + β̂2∑n

    i=1 x1i x

    2i ,∑n

    i=1 Yi x2i = β̂0

    ∑ni=1 x

    2i + β̂1

    ∑ni=1 x

    1i x

    2i + β̂2

    ∑ni=1(x

    2i )

    2.

    .C0

    ��� 6�� �4����� �� ��� ���� 67� ��� ������� β̂0 ��� ��������� � � ������

    ���� ��� β̂1 ��� β̂2� ��� �, ���� �4����� ���$�� �� ��������� β̂0�

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D/

    ��� ���( ��� �� �������� � ����� ��������$$� �������� ������$� -

    n∑i=1

    Ẏi ẋ1i = β̂1

    ∑ni=1(ẋ

    1i )

    2 + β̂2∑n

    i=1 ẋ1i ẋ

    2i , .*0

    n∑i=1

    Ẏi ẋ2i = β̂1

    ∑ni=1 ẋ

    1i ẋ

    2i + β̂2

    ∑ni=1(ẋ

    2i )

    2. .D0

    ��� ���� ��� �� ,������ ��� ������$� �� ��6���(

    s2j =

    n∑i=1

    (ẋji )2, sY j =

    n∑i=1

    Ẏi ẋji j = 1, 2, s12 =

    n∑i=1

    ẋ1i ẋ2i , Δ = s

    21 s

    22 − s212. .;0

    ���� β̂1 ��� β̂2 ��� ������� �� ��������( ��� ���� .���

  • )D3 �� �������� � ���� ���������

    ��� ��� ������������������ ��������

    %������� ��� ���� ����� ./9):0 ����� � �����( ���� � ����������

    ��� ������$ ��$��$���� ����� ��� ������� ���$ ��� �$$ $����� ��(��

    �� ���

    @�� ������$�� %������� ��� ���� �((���� � ���$� ��� $$,��( �������� �

    ��������� ��(��

    ��-

    /� ��� ������$� Y � ��(��

    �� & �� �� ������� $��� 4���� .� 5��0 ����� &

    � ��� �$$ �� �������� ������$� .���� X1 �� X20 �� � ,�� � ������ ���

    5�� ������� ��� ��������� ��� ���$� 5�� �������$��$� ����� ��

    ������� β̂2 ��� ��������� β2� ' t&���� � ���� ��$��$���� � ��� ������

    ���$� � �����( ��� ������� H0 : β2 = 0� ��� ������ ��� ��������

    ��$�� tref = b2/s(β̂)� ,���� b2 � ��� ��$�� β̂ � ��� ������ ���$��

    3� ��� ������$� Y � ��(��

    �� � X1 �$�� �������( � ��� ���$

    Y = α0 + α1x1 + �Y.1 .//0

    � ����� ��� ��������� Ŷ .1 = a0+a1X1 ��� ��$�� ��� ������$ eY.1� ,����

    a0 ��� a1 ��� ��� 5�� ������� α0 ��� α1 ���������$��

    :� ��� ������$ eY.1 �� ��� ��(��

    �� ���� 3 ��� ��������� �������( eY.1π �

    C� ' ��, ����&������$� Y F,π � ��$��$���� �� �����( ��� �������� ��$��

    ��� ������$ � ��� 6���� ��$�� ������� �� ���� 3� ����$��

    Y F,π = b0 + b1x1 + b2x

    2 + eY.1π .

    *� ��� ��, ������$� Y F,π � ��(��

    �� � �$$ �������� ������$� ���$�����$�

    �������( � ���$

    Y F,π = βF,π0 + βF,π1 X

    1 + βF,π2 X2 + �F ./30

    � ����� ��� ��������� �4����� Y F,π = bF,π0 + bF,π1 x

    1 + bF,π2 x2 ��� � ��$��

    tF,π2 = bF,π2 /s(β̂

    F,π2 ) ��� t&���� � �����( H0 : β2 = 0� +����� b

    F,π2 �� s(β̂

    F,π2 )

    ��� ���������$� ��� 5�� ������� � βF,π2 �� σ(β̂F,π2 ) � ��� �������� �����

    D� ���� 3 ����(�� * ��� �������� � $��(� ������ ���� ����$ ����� � �����&

    ����� ���������� tF,π�

    ;� %� � �,&���$�� ���� ��� ��$��� ��$�� ��� �������� ��$�� tref � �$���� ��

    ��� ���������� ���������� ��$��� ��$�� tref � ��� �&��$�� � ��$��$����

    � ��� ������� ��$�� �� ��� ���������� (������ ���� � �4��$ � ���

    ��$��� ��$�� tref �

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D:

    ����� ������� �#���#��� �- � #��.��� ����� ��#�.������ ���

    ��/����� ����

    s(Xk, Y Fπ ) =1

    n

    n∑i

    ẋki (YF,π(i) − Ȳ Fπ ) � s(Xk, eY.1π ) =

    1

    n

    n∑i

    ẋki eY.1π(i), k = 1, 2

    � Δ1 = s22s(X

    1, eY.1π ) − s(X1, eY.1π )s12 Δ2 = s21s(X2, eY.1π ) − s(X2, eY.1π )s12� a1 = sY 1/s

    21 (���� 11)

    0#���#* ���� ��� ������� ��� ������ �������� ������������� �� ��� ����������

    ������

    Y F,π(i) = βF,π0 + βF,π1 x

    1i + β

    F,π2 x

    2i + �

    Fi . ./:0

    ���!�� ��� �����"��� �����������

    Ȳ F,π = Ȳ � Y F,π(i) − Ȳ F,π = a1(x1i − x̄1) + eY.1π(i) ∀i = 1, 2�� s(Xj , Y F,π) = a1s(X

    1, Xj) + s(Xj, eY.1π ) j = 1, 2 �

    1���� ���� ��� #�$ ��������� �� ���������� ���%����� �� �������� ��� ����

    ����� &� ������

    β̂F,π1 = a1 + Δ1/Δ � β̂F,π2 = Δ2/Δ � β̂

    F,π0 = a0 − (Δ1x̄1 + Δ2x̄2)/Δ

    0#��-, /0 ��� ������� 5�� � ��1����� ��(��

    �� βF,π1 � .�� )0-

    β̂F,π1 = S22S(X

    1, Y F,π) − S(X2, Y F,π)S12)/Δ. '������( � ������� .3�/0 ��� ��

    ������� S(X1, Y F,π)� S(X2, Y F,π) �� �����- β̂F,π1 = a1 + Δ1/Δ

    30 �� �� ���$(�� ,�� 5�� ������� β̂F,π2 .�� )0 �-

    β̂F,π2 = [s21s(X

    2, Y F,π) − s(X1, Y F,π)s12]/Δ = Δ2/Δ

    :0 �� � ��,� ���� 5�� ������� βF,π0 �- β̂F,π0 = Ȳ − β̂F,π1 x̄1 − β̂F,π2 x̄2� %�� ���

    β̂F,π1 ��� β̂F,π2 �� ����� �� ���������- β̂

    F,π0 = a0 − (Δ1x̄1 + Δ2x̄2)/Δ. �

    ��� ���$ ��(��

    �� ��� ������$� eY.1π(i) �� x1 �� x2-

    eY.1π(i) = β′π0 + β

    ′π1 x

    1i + β

    ′π2 x

    2i + �

    ′i, (i = 1, 2, ..., n) ./C0

    ,���� Var(�′i|x1,x2) = (σ′)2 ��� E(�′i|x1,x2) = 0� �����-

    0#�������� ���� � ��� #�$ ���������� �� β′π0 ' β

    ′π1 �� β

    ′π2 ����

    � β̂′π2 = Δ2/Δ = β̂

    π2 �β̂

    ′π1 = Δ1/Δ = β̂

    F,π1 − a1

    � β̂′π0 = −(Δ1x̄1 + Δ2x̄2)/Δ = β̂F,π0 − a0

    �� ��� #�$ ����� �� �����(��� �� ��� ����� & ��� �)(�� �� ��� �����(��� �� ���

    ����� �� �������� ��� ����' ����� �̂′= �̂F

  • )DC �� �������� � ���� ���������

    �� ��� #�$ ���������� �� ������� ��� ���������� �� ���������� ���%������ ���

    ����� & ��� �)(�� �� ��� #�$ ���������� �� ������� ��� ���������� �� ��*

    �������� ���%������ ��� �������� ��� ���� �����' �����

    ̂Var(β̂π

    ′k ) =

    ̂Var(β̂F,πk ) k = 0, 1, 2

    0#��-, �� .

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D*

    � !������E ����� �$ ���� �� ����������( ��� ������$ ����� �� �������

    ��(��

    �� ���$� � �� ��� ��� ��� %������� ��� ����E �������� %�� �

    ����������$ ���� ���,� �� ������ �� ��� $$,��( ���-

    /&: ��� ��� 6�� ����� ��� ��� ��� � �� ��� %������� ��� ���� ������

    C� ��� ������$� X2 � ��(��

    �� � X1 �$�� �������( � ��� ���$

    X2 = γ0 + γ1X1 + �2.1 ./*0

    � ����� ��� 5�� ������� γ0� γ1 ��� ��� ������$ ��� ��������� g0 ���

    g1 ��� e2.1�

    *� ��� �������� ������$ eY.1π �� ��� : ��� ��(��

    �� � e2.1 �������( � ���

    ���$-

    eY.1π = βK,π2 e

    2.1 + �k

    ./D0

    � ����� � ������� bK,π2 ��� � ��$�� tK,π2 = b

    K,π2 /s(β̂

    K,π2 )� H���� t

    K,π2 � ��$��&

    $���� ,��� (n − 3) ��(��� ������ � �� ��� %������� ��� ���� ������*&D ��� ��� $�� �, ��� ��� ��� � �� ��� %������� ��� ���� ������

    ��2�� ������� �#���#��� �- � .3��������������4��#�����#� ���

    �#���

    1���� ��2�

    n∑

    i=1

    eY.1π(i) e2.1i = nΔ2/s

    21 �

    n∑i=1

    (e2.1i )2 = nΔ/s21

    0#��-, /0 ' ������ ���4����� ��� ��6����� e2.1i �-

    n∑i=1

    eY.1π(i) e2.1i =

    n∑i=1

    eY.1π(i)(x2i − g0 − g1x1i ) =

    n∑i=1

    eY.1π(i)(x2i − x̄2 − d1(x1i − x̄1))

    =

    n∑i=1

    eY.1π(i)(x2i − x̄2) − s12/s21

    n∑i=1

    eY.1π(i)(x1i − x̄1)

    = ns(X2, eY.1π(i)) − ns12/s21s(X1, eY.1π(i))= n

    (s21s(X

    2, eY.1π(i)) − s12s(X1, eY.1π(i))/s21 = nΔ2/s

    21 ./;0

    30 �� ��� ��� ,��� �� ���$� �� ��� ��6����� e2.1i ����-

    n∑i=1

    (e2.1i )2 =

    n∑i=1

    (x2i − x̄2 − g1(x1i − x̄1))2 =n∑

    i=1

    (x2i − x̄2 − s12/s21(x1i − x̄1))2

    = ns2(X2) + ns212/s21 − 2ns212/s21 = n(s22 − s212/s21) = nΔ/s21� ./)0

  • )DD �� �������� � ���� ���������

    ���( �����7�$ ��(����� !������ ./99*0 �, ���� ��� 5�� ������� β2�� ��� %������� ��� ���� ����� ��� �� ����� ��� ��������$� ���� �-

    β̂F,π2 = β̂K,π2 � ������� � %������&���� ���$ ./:0 ��� 5�� ������� � β

    F,π2 �-

    β̂F,π2 = Δ2/Δ ��� � !������E ���$ ./D0� ��� 5�� ������� � βK,π2 �- β̂

    K,π2 =∑n

    i=1 eY.1π(i) e

    2.1i /

    ∑ni=1(e

    2.1i )

    2. � ���� �� $���� 3�3 ,� ����- β̂K,π2 = Δ2/Δ = β̂F,π2

    ��������� ,� ����� �� �� β̂π2 �

    1���� ���� ��� �����(��� �� +�������� ����� &, ������

    n∑i=1

    (�̂iK)2 =

    n∑i=1

    (eY.1i )2 − (nΔ21)/(s21Δ)

    0#��-, 8� ������� .3�/0-

    �̂Ki = eY.1π(i) − β̂2,πe2.1i = eY.1π(i) − Δ2/Δ((x2i − x̄2) − s12/s21(x1i − x̄1))

    = eY.1π(i) − Δ2/Δ(x2i − x̄2) + (Δ2s12)/(Δs21)(x1i − x̄1) ��� ���∑(�̂Ki )

    2 =n∑

    i=1

    (eY.1π(i))2 + Δ22/Δ

    2n∑

    i=1

    (x2i − x̄2)2 + Δ22/Δ2[s12/s

    21

    ]2 n∑i=1

    (x1i − x̄1)2

    − 2Δ2/Δn∑

    i=1

    (x2i − x̄2)eY.1π(i) + 2(Δ2s12)/(Δs21)n∑

    i=1

    (x1i − x̄1)eY.1π(i)

    − 2(Δ22s12)/(Δ2s21)n∑

    i=1

    (x1i − x̄1)(x2i − x̄2) .��∑n

    i=1 eY.1π(i) =

    ∑ni=1 e

    Y.1i 0

    ∑(�̂Ki )

    2 =n∑

    i=1

    (eY.1i )2 + nΔ21/Δ

    2s22 + n(Δ21[s12]

    2)/(Δ2s21) − 2nΔ2/Δs(X2, eY.1π(i))

    + 2n(Δ2s12)/(Δs21)s(X

    1, eY.1π(i)) − 2n(Δ22[s12]2)/(Δ2s21)

    =

    n∑i=1

    (eY.1i )2 + nΔ22/Δ

    2(s22 + [s12]

    2/s21 − 2[s12]2/s21)

    − 2nΔ2/Δ(s(X2, eY.1π(i)) − s12/s21s(X1, eY.1π(i))

    )=

    n∑i=1

    (eY.1i )2 − nΔ21/(Δs21)�

    � ���� �������

    ���∑n

    i=1(�̂Ki )

    2 �= ∑ni=1(�̂Fi )2 ���� ��� ������� �&���� ������� �� ��� %���������� ���� ��� !������E ����� ��B��-

    T F,π2 = β̂π2 /s

    F (β̂π2 ) �= β̂π2 /sK(β̂π2 ) = T K,π2 ./90

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D;

    ���� SF (β̂π2 ) �= SK(β̂π2 ) ,���� s2F (β̂π2 ) = (s21s2F )/(nΔ) � ��� ������� Var(β̂π2 )������� �� ��� %������� ,��$� ��� !������E ����� $��� � s2K(β̂π2 ) = s

    21s

    2K)/(nΔ)�

    @������ s2F =∑n

    i=1(�̂Fi )

    2/(n − 3) ��� s2K = ∑ni=1(�̂Ki )2/(n − 3)� ��� ���������$���� 5�� ������� (σF )2 ��� (σK)2� ��� ������� ��� ������$ ��������

    ������� �� ���� ����� ��� ������ ����-

    1���� 2���n∑

    i=1

    (�̂Ki )2 −

    n∑i=1

    (�̂Fi )2 = n[s(X1, eY.1π )]

    2/s21 ≥ 0

    0#��-, %�� 3�3 ��� 3�C ,� ����-

    n∑i=1

    (�̂Ki )2 −

    n∑i=1

    (�̂Fi )2 = −nS21Δ22/Δ − nS22Δ22/Δ2 − nS21Δ21/Δ2 − 2n(Δ1Δ2)/Δ2S12

    + 2n(S(X2, eY.1π )Δ2/Δ + S(X1, eY.1π ))Δ1/Δ

    = n(−Δ22(Δ + S21S22)) − nΔ21[S21 ]2 − 2nΔ1Δ2S21S12)/(Δ2S21)+

    (2nΔS21 [Δ2S(X

    2, eY.1π ) + Δ1S(X1, eY.1π )]

    )/(Δ2S21)

    �� ��������� Δ� Δ1 ��� Δ2 �� �����-n∑

    i=1

    (�̂Ki )2 −

    n∑i=1

    (�̂Fi )2 = n[S(X1, eY.1π )]

    2/S21 ≥ 0 �

    5��#�� 2��� s2K(β̂π2 ) − s2F (β̂π2 ) = [s(X1, eY.1π(i))]2/((n − 3)Δ) ≥ 0

    0#��-, 8� ��6������

    s2K(β̂π2 ) − s2F (β̂π2 ) = s21n∑

    i=1

    (�̂Ki )2/(n(n − 3)Δ) − s21

    n∑i=1

    (�̂Fi )2/(n(n − 3)Δ)

    = s21/(n(n − 3)Δ)(n∑

    i=1

    (�̂Ki )2 −

    n∑i=1

    (�̂Fi )2)

    �� $���� .:�/0 = [s(X1, eY.1π(i))]2/((n − 3)Δ) ≥ 0 �

    ���� � ���� ���������� ��� ��$��� ��$�� ��� t&���� ������� �� ���

    %������� ��� ����E ����� � ������ � �4��$ � ��� ���������( �� �������

    �� !������E �������� s2F (β̂π2 ) ≤ s2K(β̂π2 ) =⇒

    |T K,π2 | = |β̂π2 |/sK(β̂π2 ) ≤ |β̂π2 |/sF (β̂π2 ) = |T F,π2 | =⇒ |T K,π2 | ≤ |T F,π2 |' � ���4����� ��� ������� ��� �����������$ ���������� |T F,π2 | �

    (������ � �4��$ � ���� |T K,π2 |� ,���� ���� �����( ���� �, ������� ����&����$$� ������ -

  • )D) �� �������� � ���� ���������

    5��#�� 2��� ��� �������(���� �(������ �� |T F,π2 | �� ��"�� �� �)(�� �� ���� �� |T K,π2 |'���� F|T F,π2 |(t) ≤ F|T K,π2 |(t) ∀t0#��-, �� .

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D9

    ���� !������E ��������

    PrH0(PF,π2 < α) ≤ PrH0(P K,π2 < α) .3:0

    ���� ���$� (��� � �����������$ 2���6����� � ��� ���$� ���$���� '�&

    ���

    � ��� ��(����� ./9990� 5� ��� ���� ����� ,��� ��� ���� ��� (��������

    ����� ��� ������� H1 : β2 �= 0 ��� ��$���� ���� �� ���� ��� �,�� ������ ��� %������� ��� ����E ����� � $,�� � �4��$ � ���� ��� !������E

    ������

    PrH1(PF,π2 < α) ≤ PrH1(P K,π2 < α) .3C0

    H,����� +��� '����

    � ��� ��(����� ������ ��� �,�� ��� ���

    ���������� ����� �� ���$���� ��� ����� !������ � �� ���������

    @�� ������$�� ��� ������ .:�/0 �� ���� ��� ��(������

    s2K(β̂π2 ) − s2F (β̂π2 ) = s21s2(eY.1π )[ρ(X1, eY.1π )]2/((n − 3)Δ) ≥ 0 .3*0

    ������ � ��� 4���� ��� ����$���� X1 ��� eY.1π � ����� ��� ��������$ ��������

    � ��������� �� ����������� �� �, ��� �����(� ���� ��� ��� �,�� �$� � ���

    ����$���� � ��$$� � ���( �7(������ ���$����

    5��#�� 2�2� /��� ��� ������ ���� ���"� �� ��!����' ��� ��0������ ���"��� ���

    �"� ���������� �� Var(β̂π2 )' ����� �� �����

    0#��-, +��� n (�, � ��6���� �

    ����( ���� �$$ ��� $���� �7��� �$�

    ���$ ��(�&

    ���� �, ���� ��� �����7-[s21 s12s12 s

    22

    ]�����(� �,���

    [σ21 σ12σ12 σ

    22

    ]� s2(e2.1) �����(� �,��� (σ2.1)2, Δ

    �����(� �,��� Δ∗ = σ21σ22 − (σ12)2 > 0 ��� ρ(X1, X2) �7�� ����-

    limn→+∞

    (s2K(β̂π2 ) − s2F (β̂π2 )) = limn→+∞

    s21s2(eY.1)[ρ(X1, eY.1π )]

    2/((n − 3)Δ)= σ21σ

    22.1

    [ρ(X1, eπY.1

    )]2/Δ∗ × limn→+∞

    1/(n − 3) = 0

    �� ��� �, ������� ��� ���������$$� �4��$� ��� ������ �, �� ������&

    �$�� ���� ��� t&���� ������� ��� %������� ��� ����E ����� ��� !������E

    ����� ����� �������(�����$� ,��� ��� ���$� �"� � $��(�� �,��( ���� �$�

    ���� � ���� ��� �,�� ��$��� �� �(������� ,��� ��� ���$� ���$���� ���$����

    �� '����� ��� ��(����� ./9990�

  • );A �� �������� � ���� ���������

    ����������� ������� � !��������

    ��� ����� �, ���� ,��$� ������� Var(β̂π2 ) � ��,� � ��� �, ��������� ��

    $��� � ��B����� �����������$ ���������

    ��� ����� � ������ � ��� ��$��$���� ��� �����������$ �7�������� ���

    �����������$ �������� β̂π2 $��� � ��� �����������$ �7�������� ��� �����&

    �� Var(β̂π2 ) ���$� �������( � ��� ����� %������� ��� ���� ��� !�������

    H���� ,� �� ��� ���$� G"��$�,�� �� 1�� .

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� );/

    ����(����������� �2��������� �� (xπ(i)yπ(i)) ��� ((xπ(i))2(yπ(i))

    2)' ����(����� �� ���

    ��� n! �������� ����(������� �� z' ���� � E(xπ(i)yπ(i)) = 1/n∑n

    p=1 xpyp = xy

    �� E((xπ(i))2(yπ(i))2) = 1/n∑n

    p=1 x2py

    2p = x

    2y2

    0#��-, /� 8� ��6����� ��� �7��������� ,� ����-

    E(xπiyπi) =∑n

    k=1 xkykp(xπi = xk, yπi = yk)

    ,���� p(xπi = xk, yπi = yk) � ��� ������$��� ,��� ,���� ��� �������� ������$�

    (xπi, yπi)� (1 ≤ i ≤ n) ���� ��� ������ ��$�� (xp, yp)� (1 ≤ p ≤ n) ���( n!�

    ��$� ����������� �� � ��,� ���� (n − 1)! ���������� ���( n! �

    ��$����������� ��� ��� � xπi = xp, yπi = yp� G��4����$�-

    p(xπi = xp, yπi = yp) = (n − 1)!/n! = 1/n, (1 ≤ p ≤ n) ��� ���-E(xπi.yπi) = 1n

    ∑np=1 xpyp = xy

    3� �� � ���$�� ,�� � �,�- E((xπi)2.(yπi)2) = 1/n∑n

    p=1 x2py

    2p = x

    2y2

    1���� ��2� ��� (� �������� ��� ������ ����(������ π' ��!��� �� ��� x = (x1, x2, ..., xn)'

    x = (x1, x2, ..., xn)π� xπ = (xπ1, ..., xπ(i), ..., xπ(j), ...xπ(n))

    ����' ��� ��� ��(��� i, j = 1, · · · , n, i �= j' ��� ����(�������� �2��������� ��(xπ(i)xπ(j)) ����(����� �� ��� n! �������� ����(������� π' ������

    E(xπ(i).xπ(j)) = nx̄2/(n − 1) − x2/(n − 1) �= E(xπ(i))E(xπ(j)) = x̄2

    0#��-, E(xπ(i).xπ(j)) =n∑

    p=1

    n∑q �=p=1

    xpxqp(xπ(i) = xp, xπ(j) = xq) ,����-

    p(xπ(i) = xp, xπ(j) = xq) = p(xπ(j) = xq|xπ(i) = xp)p(xπ(i) = xp).�� �������� ,� ��, ���� ,��� ��� ���(�� Xπ(i) ��������� ������$� (xπ(i), xπ(j))

    ���� ��$�� xp� ��� ������$� xπ(J)(j �= i) ����� ���� ��� ��$�� xp� ���� xp � ������� ��� ������$� xπ(i)� '��( ��� n! �

    ��$� ����������� ����� ��� �7�� (n−1)!

    ��� � xπ(i) = xp ���� ��� ����� p(xπ(i) = xp) = (n−1)/n! = 1/n� � �$� (n−1)!���������� ���( n! �

    ��$� ���������� ��� ��������$� � (n − 1) �����������$� (xπ(k))� (k �= i) ��� ���( ���� (n − 1)! ���������� ��������$� ������7�� (n − 2)! ���������� ��� � xπ(j) = xq(q �= p)� G��4����$�-

    p(xπ(j) = xq|xπ(i) = xp) = (n − 2)!/(n − 1)! = 1/(n − 1) ��� ���-p(xπ(i) = xp, xπ(j) = xq) = p(xπ(j) = xq|xπ(i) = xp)p(xπ(i) = xp) = 1/(n(n − 1))���4����$�-

    E(xπ(i).xπ(j)) = 1/(n(n − 1))n∑

    p=1

    n∑q �=p=1

    xpxq = 1/(n(n − 1))n∑

    p=1

    xp(

    n∑q=1

    xq − xp)

    = nx̄2/(n − 1) − x2/(n − 1) �

  • );3 �� �������� � ���� ���������

    6�#����#* ���� .� π �� � ������ ����(������ ��!��� �� ��� ��� �� ����� �� ��(�

    x = {x1, x2, · · · , xn}' i �= j = 1, 2, · · · , n, �����

    � E((xπ(i))2.(xπ(j))2) = n (x2)2/(n − 1) − x4/n'

    �� E((xπ(i))2.xπ(j)) = n x2x̄/(n − 1) − x3/n

    0#��-, +� ��� ����� �� �� ������� �� $���� C�:

    ��� ������������ ���� �� β̂π2

    +� ����� �� .3�3�/0 ���� ,� ��� ��, ��� �����������$ �7�������� ���

    ������� s(X1, eY.1π ) ��� s(X2, eY.1π ) �� ���� � ��$��$��� ��� �����������$ �7���&

    ����� β̂π2 � ��� ���$� �� ��� ��7� $�����

    1���� ���� ��� ��� ����(������ π ��!��� �� In' ��� ����� �� ��� �����(��� eY.1π

    ������ 1. E(s(X1, eY.1π ) = 0 2. E(s(X2, eY.1π ) = 0

    0#��-, /� 8� ��6����� E(s(X1, eY.1π )) = E(n∑

    i=1

    (x1i − x̄1)eY.1π(i)) =n∑

    i=1

    ẋ1E(eY.1π(i))) =n∑

    i=1

    ẋ11

    n

    n∑j=1

    (eY.1π(i)))� �����n∑i

    eY.1π(i) =n∑

    i=1

    eY.1i = 0, ����- E(s(X1, eY.1π )) = 0

    3� �� ��� ��� ,��� ,� ��� �,� ����- E(s(X2, eY.1π )) = 0 �

    0#�������� ���� ��� ����(�������� �2��������� �� β̂π2 �� �(�� E(β̂π2 ) = 0

    0#��-, ����� β̂π2 = Δ2/Δ ��� Δ � ��������� �� ���������� ���-

    E(Δ2) = E(s21s(X2, eY.1π ) − s(X1, eY.1π )s12) = s21E(s(X2, eY.1π )) − s12E(s(X1, eY.1π ))

    ��� ��$$��� E(β̂π2 ) � ���4����� $���� .C�C0-

    ��� ��� ������������ �������� �� β̂π2

    ��� ���$����� ��� �����������$ ���$��( �������� β̂π2 ����

    ����� ��� ��

    �� ��������$ $�����

    1���� ���� ��� eY.1π �� ��� ����� �� �����(��� ����(��� ��� �(����� ���� X1 ��

    �� ����(�� ��������� ������ �������� #�� ����

    �n∑

    i=1

    (eY.1i )2 = n

    (s2Y − [sY 1]2/s21

    )��

    n∑j �=i=1

    eY.1i eY.1j = −n

    (s2Y − [sY 1]2/s21

    )

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� );:

    0#��-,

    1.

    n∑i=1

    (eY.1i )2 =

    n∑i=1

    (Yi − a0 − a1x1i)2 =n∑

    i=1

    (Yi − Ȳ − a1(x1i − x̄1))2

    =n∑

    i=1

    (Yi − Ȳ )2 + a21n∑

    i=1

    (x1i − x̄1)2 − 2a1n∑

    i=1

    (x1i − x̄1)(Yi − Ȳ )

    = ns2Y + n[sY 1]2s21/[s

    21]

    2 − 2nsY 1sY 1/s21 = n(s2Y − [sY 1]2/s21)

    2.n∑

    i=1

    n∑j �=i=1

    eY.1i eY.1j =

    n∑i=1

    n∑j �=i=1

    (Yi − a0 − a1x1i)(Yj − a0 − a1x1j)

    =

    n∑i=1

    n∑j �=i=1

    ((Yi − Ȳ ) − a1(x1i − x̄1))((Yj − Ȳ ) − a1(x1j − x̄1))

    =

    n∑i=1

    n∑j �=i=1

    ((Yi − Ȳ )(Yj − Ȳ ) + a21n∑

    i=1

    n∑j �=i=1

    (x1i − x̄1)(x1j − x̄1)

    − 2a1n∑

    i=1

    n∑j �=i=1

    (Yi − Ȳ )(x1j − X̄1)

    = −ns2Y − n[sY 1]2/[s21]2s21 + 2nsY 1sY 1/s21 = −n(s2Y − [sY 1]2/s211���� ��7� .� eY.1π ' ��� ����� ����(��� �����(�� ��� X

    1' �� �� ����(�� ���������

    �������' ��� ����

    � E(eY.1π(i))2 = s2Y − [sY 1]2/s21 �� E(eY.1π(i)eY.1π(j)) = −(s2Y − [sY 1]2/s21

    )/(n − 1)

    0#��-, /� '������( � $���� .C�/0� �� ��- E((eY.1π(i))2) = 1/nn∑

    i=1

    (eY.1i )2 $����

    .C�*0 �$$, � ,����- E(eY.1π(i))2 = s2Y − [sY 1]2/s213� '������( � $���� .C�:0� �� �� ������ -

    E(eY.1π(i)eY.1,πj) = n(ēY.1)2/(n − 1) −∑n

    p=1(eY.1p )

    2/(n(n − 1)) ��� �� � ��,� ����ēY.1 = 0� G��4����$�� ��� $$,��( ���$� � � ���4����� ��� $���� .C�*0-

    E(eY.1π(i)eY.1,πj) = −(s2Y − [sY 1]2/s21)/(n − 1) �1���� ���� .� �� �(������ ���� s21 �= 0� ��� ������� eY.1π ������

    � E(s(X1, eY.1π ))2 = s21(s2Y − [sY 1]2/s21

    )/(n − 1)

    �� E(s(X2, eY.1π ))2 = s22(s2Y − [sY 1]2/s21

    )/(n − 1)

    �� E(s(X1, eY.1π )s(X2, eY.1π )) = s12(s2Y − [sY 1]2/s21

    )/(n − 1)

  • );C �� �������� � ���� ���������

    0#��-,

    /� E(s(X1, eY.1π ))2 = E(1/nn∑

    i=1

    (X1i − X̄1)eY.1π(i))2 = E(1/n2n∑

    i=1

    (X1i − X̄1)2eY.1π(i))2

    +E(1/n2n∑

    i=1

    n∑j �=i=1

    (X1i − X̄1)(X1j − X̄1)eY.1π(i)eY.1π(j)) = 1/n2n∑

    i=1

    (X1i − X̄1)2E(eY.1π(i))2

    +1/n2n∑

    i=1

    n∑j �=i=1

    (X1i− X̄1)(X1j − X̄1)E(eY.1π(i)eY.1π(j)) =1

    ns2(X1)[E(eY.1π(i))2−E(eY.1π(i)eY.1π(j))]

    ��� $���� .C�D0 ����� ����- E(s(X1, eY.1π ))2 = s21(s2Y − [sY 1]2/s21)/(n − 1)3� �� � ���$�� ,��� �� ��� �, ����-

    E(s(X2, eY.1π ))2 = s22(s2Y − [sY 1]2/s21)/(n − 1):� E(s(X1, eY.1,π)s(X2, eY.1,π)) = E( 1

    n

    n∑i=1

    (X1i − X̄1)eY.1π(i)1

    n

    n∑i=1

    (X2i − X̄2)eY.1π(i))

    = E(1/n2n∑

    i=1

    (X1i − X̄1)(X2i − X̄2)(eY.1π(i))2)

    +E(1/n2n∑

    i=1

    n∑j �=i=1

    (X1i − X̄1)(X2j − X̄2)eY.1π(i)eY.1π(j))

    = s12/n(E(eY.1π(i))2 − s12/nE(eY.1π(i) eY.1π(j)) = s12/n(E(eY.1π(i))2 − E(eY.1π(i) eY.1π(j))�� ���( $���� C�D �� ����� ���-

    E(s(X1, eY.1π )s(X2, eY.1π )) = s12(s2Y − [sY 1]2/s21)/(n − 1) �

    0#�������� ���� .� ��� &��� ��� ��� ���� "���� Δ �= 0' ��� ����(�������� ��������� β̂π2 ��� Var(β̂π2 ) = (s21s2Y − [sY 1]2)/((n − 1)Δ)

    0#��-, 8� ������� .C�/0 Var(β̂π2 ) = E(β̂π2 )2 − E2(β̂π2 ) = E(β̂π2 )2 ���-Δ.E(β̂π2 )2 = E

    [s21s(X

    2, eY.1π ) − s(X1, eY.1π )s12]2

    = (s21)2E [s(X2, eY.1π )]2

    +(s12)2E [s(X1, eY.1π )]2 − 2s21s12E [s(X1, eY.1π )s(X2, eY.1π )] �� $���� .C�;0

    Var(β̂π2 ) = (s21s2Y − [sY 1]2)/((n − 1)Δ) ���� �4����� �, ���� ��� �����������$ �������� ��� ������� β̂π2 � � ��&

    �$� ������ ��� ��������$ ����� ��� ����� ��� �������� (X1, X2, Y )

    ��� � ��������� �� ���������� ��� ������ ���� ��� +� ��� �, �� � �����

    � ������ ��� ��$�� ,��� ��� 5�� ������� Var(β̂π2 )� � ��� %������� ���

    ����E ����� ��� ��� �� !�������

    ��� ������������ � ��������� �� ��� ������� �� Var(β̂π2 )������� .C�30 �,�� ���� ��� �����������$ �������� β̂π2 � �����������

    π .� �4����� C�:0� ' �$����� ��,�� ��� 5�� ������� Var(β̂π2 ) ���$���(

    �� ��� %������� ��� ���� ����� ��B�� �� ��� !������E ��� +� � ����

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� );*

    ����� �����������$ $�,� ,��� ��$� ��� �����������$ �7�������� ��� �����&

    �� Var(β̂π2 ) ������� �� ��� �, ������ ����� ���� ��� ������� � ���

    �����������$ �������� β̂π2 .

    ����� 5� 8#������ ��� 1��� ��#�.���� ����

    ��� ������� %������� ��� ����� � ����������"�� �� ��� ��(��

    �� �4����� ./:0

    ��� ,� ��, ����- Var(β̂π2 )F = s21(σ

    F )2/(nΔ). ��� 5�� ������� Var(β̂π2 )F

    �- ̂Var(β̂π2 )F = s2(β̂π2 )F = s

    21s

    2F /(nΔ). �� � ,�� � ��$��$��� ��� �����������$

    �7�������� s2(β̂π2 )F � ,� ����� 6�� ���� -

    E(s2(β̂π2 )F ) = E(s21n∑

    i=1

    (�̂Fi )2/(n(n − 3)Δ) = s21/(n(n − 3)Δ).

    n∑i=1

    E(�̂Fi )2 .3;0

    ��� � �� ���� ��,∑n

    i=1 E(�̂F )2 � ��$��$��� ��� �����������$ �7��������

    s2(β̂π2 )F � 8��� $���� .3�:0 �� ����-

    E(n∑

    i=1

    (�̂iF )2) =

    n∑i=1

    (eY.1i )2 + ns21/Δ

    2E(Δ21) + ns22/Δ2E(Δ22) + 2ns12/Δ2E(Δ1Δ2)

    − 2n/ΔE(Δ1s(X1, eY.1π(i))) + E(Δ2s(X2, eY.1π(i)))/Δ����� ��� �7��������

    ∑ni=1(�̂

    F )2 � � ������ ��� Δ1, Δ2, s(X2, eY.1π(i)) ���

    s(X1, eY.1π(i))-

    1���� ���� ��� ��� ���� ��� �(�� �� s21 �= 0' ��� ����� eY.1π �� ����(��� �����(����� ��� ���������� �� Y �� X1' ����!��

    � E(Δ1)2 = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21

    )s22/(n − 1)

    �� E(Δ2)2 = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21

    )s21/(n − 1)

    �� E(Δ1Δ2) = −Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21

    )s212/(n − 1)

    � E(Δ1s(X2, eY.1π )) = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21

    )/(n − 1)

    �� E(Δ2s(X1, eY.1π )) = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21

    )/(n − 1)

    0#��-,

    1. E(Δ1)2 = E [s22s(X1, eY.1π ) − s12s(X2, eY.1π )]2= [s22]

    2E [s(X1, eY.1π )]2 + [s12]2E [s(X2, eY.1π )]2 − 2s22s12E [s(X1, eY.1π )s(X2, eY.1π )]��� ��� $���� C�; ���� �� �

    ��$� � ,����

    = 1/(n − 1) (s2Y − [sY 1]2/s21) ([s22]2s21 + [s12]2s22 − 2s22[s12]2)= Δ.

    (s2Y − [sY 1]2/s21

    )s22/(n − 1) .3)0

  • );D �� �������� � ���� ���������

    3� '� ���$(� ��(����� �, ����- E(Δ2)2 = Δ(s2Y − [sY 1]2/s21

    )s21/(n − 1)

    :� �� ������ � ��, ��� ��������$ �7�������� ��� ������� 8���

    E(Δ1Δ2) = E [s2(X1)s(X2, eY.1,π) − s(X1, X2)s(X1, eY.1,π)]× [(s2(X2)s(X1, eY.1,π) − s(X1, X2)s(X2, eY.1,π)]= s2(X1)s2(X2)E [s(X1, eY.1,π)s(X2, eY.1,π)]− s(X1, X2)s2(X2)E [s(X1, eY.1,π)]2 − s2(X1)s(X1, X2)E [s(X2, eY.1,π)]2+ [s(X1, X2)]2E [s(X1, eY.1,π)s(X2, eY.1,π)]

    � $���� C�) ���$�� ���� �� ��������� ��� �$(������ ���(���"����-

    E(Δ1Δ2) = −Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21

    )s212/(n − 1)

    4. E((Δ1s(X2, eY.1,π)) = E [s2(X1)s(X2, eY.1,π) − s(X1, X2)s(X1, eY.1,π))s(X2, eY.1,π)]= s2(X1)E [s(X2, eY.1,π)]2 − s(X1X2)E [s(X1, eY.1,π)s(X2, eY.1,π)]

    �� $���� C�;- E((Δ1s(X2, eY.1,π)) = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21

    )/(n − 1)

    *� �� ��� �� �,� �� � ���$�� ,�� ����

    E(Δ2s(X1, eY.1π )) = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21

    )/(n − 1)

    0#�������� ��2� .� ��� &��� ��� ��� ���� Δ �= 0' s21 �= 0' ��� ����(�������� �2*��������� �� s2(β̂π2 )F �� �)(�� �� ��� ����(�������� ������� �� β̂

    π2 �

    E(s2(β̂π2 )F ) = (s21s2Y − [sY 1]2)/(Δ(n − 1)) = Var(β̂π2 )0#��-, +� �� ��� $���� .C�)0 � ����� �� ��������� ��� ���� ���$�6�����∑n

    i=1 E(�̂Fi )2 = (s2Y − [sY 1]2/s21) n(n − 3)/(n − 1)� ' � ���4�����-E(s2(β̂π2 )F ) = s21/(n(n − 3)Δ).

    ∑ni=1 E(�̂Fi )2 = Var(β̂π2 )

    G��4����$�� ��� ������� Var(β̂π2 ) ��� �� ��� ������� %������� ���

    ���� � �����������$� ��������

    ����� 5� �����*$� ��#�.���� ����

    ��� ������� �((���� �� !������ � ���� � ��� �4����� ./D0 ��� ��� ������

    (σK)2 = Var(�K) �, ����- Var(β̂π2 )K = s21(σ

    K)2/nΔ. ��� 5�� �������

    Var(β̂π2 )K �-̂

    Var(β̂π2 )K = s2(β̂π2 ) = s

    2(X1)s2K/nΔ. H���� � �� ��� ����� .C�C�/0�

    ,� ��$��$��� ��� �����������$ �7�������� ̂Var(β̂π2 )K � �� ���( ��� ��������-

    E(s2(β̂π2 )K) = E(s21n∑

    i=1

    (�̂Ki )2/(n(n − 3)Δ)) = s21/(n(n − 3)Δ)E(

    n∑i=1

    �̂Ki )2).

  • � ����� �������� �� ���� ���� ���!��� );;

    �������� ��� ��������� ��� �����������$ �7�������� s2(β̂π2 )K ������

    � ���� E(∑ni=1(�̂Ki )2)� 8��� �������( � ��� $���� 3�C� E(∑ni=1(�̂iK)2) =∑ni=1(e

    Y.1i )

    2 − (nE(Δ21))/(s21Δ). �� ,� ��� �� � ����� � ����$�� ��� $$,��(���$�-

    0#�������� ���� .� ��� ��� ��� ��� ���� Δ �= 0' "� �� ��

    E(s2(β̂π2 )K) = (s21s2Y − [sY 1]2(n − 2)/((n − 3)(n − 1)Δ) = (n − 2)/(n − 3)Var(β̂π2 )

    Proof : 8� ��6������ E(s2(β̂π2 )K) = s21/(n(n−3)Δ)∑n

    i=1 E(�̂Ki )2. 5�� ���� �����

    �� $���� C�) -

    ∑ni=1 E(�̂Ki )2 = (s2Y − sY 1/s21)n(n − 2)/(n − 1) ,���� ���$� ��-

    E(s2(β̂π2 )K) = s21/(n(n − 3)Δ)n∑

    i=1

    E(�̂Ki ) = ((n − 2)/(n − 3)).Var(β̂π2 )

    ��� ���$� �, ���� ��� ������� !������ ������ �� ������� Var(β̂π2 )

    ������ �� s2(β̂π2 )K � ,���� � � �����������$� ����� ������� Var(β̂π2 )� ��&������( ,��� � ��� ������� s2(β̂π2 )F (���� �� ��� %������� ��� ����E ������

    ���������

  • );) �� �������� � ���� ���������