shadrokhAMS17-20-2010 · Title: shadrokhAMS17-20-2010.dvi Created Date: 12/25/2009 8:10:00 PM
Transcript of shadrokhAMS17-20-2010 · Title: shadrokhAMS17-20-2010.dvi Created Date: 12/25/2009 8:10:00 PM
-
������� ��������� �������� ���� �� ����� ��� ��� ��� � ���
�� �������� ������ � ��������� ������
�
����� � ������ �������� ��������
�� ��� ����� ����
��� ����� �
���������� �������� �������
��������� ����� �� ������� ����
������������������
!"#�#� �$�%&'!()
�������� ����������� ��������� ��� !���"���
��������� #����$�� %�����
#�������&'���(������&(����$���
��������
������� ���� � ��������� ����� ��� ���� �
��� �� ������� ����
���� � � ������ ��������� �������� �� � ������ ����� ���� ����� ����
������ �� ����� � �������� ��� � ���� ��� ��� �� �������������� ���
�������� ������ � �� ��������� ����� ������� �� ��� �� �� ��������
������ ���� �������� ��������� �� � �������� ���������� � �� �����
����� �������� ����� �� ������� ����� ��� �������� ����� ���� ��!�����
�������� "�� �� � ��� ����� ��� ����� �� ���� ������� ��� ���������
#���������� � �� �������� ������� �� ����� ���� $� ������ ���������
��� ��������� � ���� �� ����� ������������ �� �� ����� ��������� ������
����� ��� ������� ���� ����������� ��
�� � �� ��������� ������� ��
���������� %��������� �� �� ���� ���� �� ������� �� �&����� ����� �
�� ��������� � �� �������� �� �� ���������� ����������� ��� �� ����
��� �� � ���� ��������� �� �������
�*+�#��, ���������� ���� �&��$�� �����������$� �����������$ �������&
���� ������$ ��(��
��
-
)*) �� �������� � ���� ���������
� ���������
��� � ������ ��� ��$���$�&��(��
�� $����� ���$� +����� $
(�����$���� ���
������� ������� ��� �� �$$������� �� ��� �, �������� ���-
Y = β0 + β1X1 + β2X
2 + ε ./0
,���� �� ��� � �� ���������$ ��1������ �� H0 : β2 = 0 �(���� ��� .�,&����0
�$��������� H1 : β2 �= 0� ��� ��$$ ������� �� ���� ��� �������� X2 ��������������( � ��� ��$���$� $����� ��(��
�� ���$�
��� �$�
���$ ���������� �����( ���� ��� $$,��( #��
��� �
������ �
������$ ε -
/� � ���$� n �������� ��� 2��� ���������� (Y, X1, X2) � ����$��$��
3� {εi, i = 1, 2, ..., n} ��� ������ ��� ���$�����
���������� - εi ∼ LG(0, σ2)�
+��� ���� �
������ ��� ���� ��� ���$��� ���� ��� �������� ��1����� �
�� ������� ���� .� �&����0 ���$� � ��� ������� � ��� ��$$ ������� -
T = (β̂2 − 0)/s(β̂2) ∼ St(n − k − 1) .30
,���� β̂2 � ��� ������� $��� 4���� .5��0 ������� ��� ��(��
�� ��1�����
β2� s(β̂2) � ��� ������� ���� ��� ������� β2� ��� k � ��� ������
�������� ������ �� ��� ���$� ��� ���������� T ����� H0� � � ������� $�,
,��� (n − k − 1) ��(��� ������+��� ��� ����� ���� ���� ε ��$ � �$6$$ �� ���� �
������ � ��
���� ���� � �� ���� ����� � ����� �� ��������$ ��������� '� ���
��� ����� �� � #��
��� ����7������ ����$��$� �� ��� ��� $��(� ���$��
8�� �� (�� 2���6�� �$� ����� ��� ������$ $���� ������ ���$���� ��� � $��(�
���(� ���$� �"� n � ��������� �� ��� ��$$ ���$� ��� �� #��
��� ���� ��
,�� ��������( ���� �� ������( � ��������$ ��� ���� � ��� ����������
���������� �� ������� $��� ��� ���$ t&�����
��� 6�� ��������� ���������� ��� � $����� ��������$ ���$� ���$����(
���$�� �������� ��� ��(��
��� ��� �� ������ ���� � ��� ,�� %���� ./9:*0�
��� ������ ./9:;0
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )*9
@������ ,��$� ����� � (�����$ �(������� ��������( �� ���������� �����
���������� � �7��� ��� ������� �� ���$� $����� ��(��
�� & �� >�(��(��
./99*0 ��� @��$� ./99/0 & ��� � �� � ��� ���������$ ��1����� �� ���
����7� ��$���$� $����� ��(��
��� ������$ ���������� ����� ���� ���� ��&
��� � �����( ��� �(��6����� ���� ������$ ��(��
�� ��1����� �� � ��$���$�
��(��
�� ���$� ���� ��B�� � ��� ���� ��� �$�
���$ ��(��
�� ���$ ,����
� ��� � � ��� � ���(���( � ���������� �����(�� �� � �7���$�- %�������
��� ���� ./9):0
-
)DA �� �������� � ���� ���������
��� ���� ����� � $,�� � �4��$ � ���� ������� �� ��� ����� !�������
@������ ��� �,�� ��� %������� ��� ���� ����� � $,�� � �4��$ � ����
������� �� !�������
%��������� ,� ������� ��� �����������$ �������� ��� ������� β̂π2 ������
�� Var(β̂π2 ) ��� ,� �, ���� ��� ������� %������� ��� ���� ������ �� �����&�� Var(β̂π2 ) ������ �� s
2(β̂π2 )F � ,���� � � �����������$� ������� �������
Var(β̂π2 )� ��������( ,��� � ��� ������� s2(β̂π2 )K (���� �� ��� !������E ������
� ������� ��� ��������� � ������
8� ��������� ��� ����� �� π � � ������� � ������� �� � ,�� � ����� ��
���������� �� ���������� �� ���$�� ��$��� %� �7���$�� ��� ������ Yπ�������� ���� ��� ��$�� � ������$� Y ���� ���� ��������� G��$����������� π
� �$���� � � ��������� & � �� T π & ,��� ��� ������� T � ������� � � ������
� �� ��(����� ��������( �� $��� �� �������� ������$��
��� ��� �� �������
+� $$, ��� ���������� (���� �� #�2����� .3AAC� �� 3/3&3/C0� %���� $�� �
������ ��� �$�
���$ $����� ��(��
�� ���$ �� ��� ��� �, �������� - Y =
β0 + β1x1 + β2x
2 + ε ��� 5�� ������� ��� ������� �� ������"��( ��� $
������ Q ��6��� � ��� ��������$ �� 4����-
Q =n∑
i=1
(εi)2 =
n∑i=1
(Yi − β0 − β1x1i − β2x2i )2 .:0
= ‖�‖2 = ‖Y − tXβ‖2 β = t(β0, β1, β2), x0i = 1 ∀i = 1, · · · , n
��� ����� ,�� � ���$� � $���� ���� �� �������( Q �� ���� β� � � (��
��� ���� ����� ����$ �4����� -
∂Q
∂β= 0 ⇔
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Ȳ = β̂0 + β̂1x̄1i + β̂2x̄
2,∑ni=1 Yi x
1i = β̂0
∑ni=1 x
1i + β̂1
∑ni=1(x
1i )
2 + β̂2∑n
i=1 x1i x
2i ,∑n
i=1 Yi x2i = β̂0
∑ni=1 x
2i + β̂1
∑ni=1 x
1i x
2i + β̂2
∑ni=1(x
2i )
2.
.C0
��� 6�� �4����� �� ��� ���� 67� ��� ������� β̂0 ��� ��������� � � ������
���� ��� β̂1 ��� β̂2� ��� �, ���� �4����� ���$�� �� ��������� β̂0�
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D/
��� ���( ��� �� �������� � ����� ��������$$� �������� ������$� -
n∑i=1
Ẏi ẋ1i = β̂1
∑ni=1(ẋ
1i )
2 + β̂2∑n
i=1 ẋ1i ẋ
2i , .*0
n∑i=1
Ẏi ẋ2i = β̂1
∑ni=1 ẋ
1i ẋ
2i + β̂2
∑ni=1(ẋ
2i )
2. .D0
��� ���� ��� �� ,������ ��� ������$� �� ��6���(
s2j =
n∑i=1
(ẋji )2, sY j =
n∑i=1
Ẏi ẋji j = 1, 2, s12 =
n∑i=1
ẋ1i ẋ2i , Δ = s
21 s
22 − s212. .;0
���� β̂1 ��� β̂2 ��� ������� �� ��������( ��� ���� .���
-
)D3 �� �������� � ���� ���������
��� ��� ������������������ ��������
%������� ��� ���� ����� ./9):0 ����� � �����( ���� � ����������
��� ������$ ��$��$���� ����� ��� ������� ���$ ��� �$$ $����� ��(��
�� ���
@�� ������$�� %������� ��� ���� �((���� � ���$� ��� $$,��( �������� �
��������� ��(��
��-
/� ��� ������$� Y � ��(��
�� & �� �� ������� $��� 4���� .� 5��0 ����� &
� ��� �$$ �� �������� ������$� .���� X1 �� X20 �� � ,�� � ������ ���
5�� ������� ��� ��������� ��� ���$� 5�� �������$��$� ����� ��
������� β̂2 ��� ��������� β2� ' t&���� � ���� ��$��$���� � ��� ������
���$� � �����( ��� ������� H0 : β2 = 0� ��� ������ ��� ��������
��$�� tref = b2/s(β̂)� ,���� b2 � ��� ��$�� β̂ � ��� ������ ���$��
3� ��� ������$� Y � ��(��
�� � X1 �$�� �������( � ��� ���$
Y = α0 + α1x1 + �Y.1 .//0
� ����� ��� ��������� Ŷ .1 = a0+a1X1 ��� ��$�� ��� ������$ eY.1� ,����
a0 ��� a1 ��� ��� 5�� ������� α0 ��� α1 ���������$��
:� ��� ������$ eY.1 �� ��� ��(��
�� ���� 3 ��� ��������� �������( eY.1π �
C� ' ��, ����&������$� Y F,π � ��$��$���� �� �����( ��� �������� ��$��
��� ������$ � ��� 6���� ��$�� ������� �� ���� 3� ����$��
Y F,π = b0 + b1x1 + b2x
2 + eY.1π .
*� ��� ��, ������$� Y F,π � ��(��
�� � �$$ �������� ������$� ���$�����$�
�������( � ���$
Y F,π = βF,π0 + βF,π1 X
1 + βF,π2 X2 + �F ./30
� ����� ��� ��������� �4����� Y F,π = bF,π0 + bF,π1 x
1 + bF,π2 x2 ��� � ��$��
tF,π2 = bF,π2 /s(β̂
F,π2 ) ��� t&���� � �����( H0 : β2 = 0� +����� b
F,π2 �� s(β̂
F,π2 )
��� ���������$� ��� 5�� ������� � βF,π2 �� σ(β̂F,π2 ) � ��� �������� �����
D� ���� 3 ����(�� * ��� �������� � $��(� ������ ���� ����$ ����� � �����&
����� ���������� tF,π�
;� %� � �,&���$�� ���� ��� ��$��� ��$�� ��� �������� ��$�� tref � �$���� ��
��� ���������� ���������� ��$��� ��$�� tref � ��� �&��$�� � ��$��$����
� ��� ������� ��$�� �� ��� ���������� (������ ���� � �4��$ � ���
��$��� ��$�� tref �
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D:
����� ������� �#���#��� �- � #��.��� ����� ��#�.������ ���
��/����� ����
s(Xk, Y Fπ ) =1
n
n∑i
ẋki (YF,π(i) − Ȳ Fπ ) � s(Xk, eY.1π ) =
1
n
n∑i
ẋki eY.1π(i), k = 1, 2
� Δ1 = s22s(X
1, eY.1π ) − s(X1, eY.1π )s12 Δ2 = s21s(X2, eY.1π ) − s(X2, eY.1π )s12� a1 = sY 1/s
21 (���� 11)
0#���#* ���� ��� ������� ��� ������ �������� ������������� �� ��� ����������
������
Y F,π(i) = βF,π0 + βF,π1 x
1i + β
F,π2 x
2i + �
Fi . ./:0
���!�� ��� �����"��� �����������
Ȳ F,π = Ȳ � Y F,π(i) − Ȳ F,π = a1(x1i − x̄1) + eY.1π(i) ∀i = 1, 2�� s(Xj , Y F,π) = a1s(X
1, Xj) + s(Xj, eY.1π ) j = 1, 2 �
1���� ���� ��� #�$ ��������� �� ���������� ���%����� �� �������� ��� ����
����� &� ������
β̂F,π1 = a1 + Δ1/Δ � β̂F,π2 = Δ2/Δ � β̂
F,π0 = a0 − (Δ1x̄1 + Δ2x̄2)/Δ
0#��-, /0 ��� ������� 5�� � ��1����� ��(��
�� βF,π1 � .�� )0-
β̂F,π1 = S22S(X
1, Y F,π) − S(X2, Y F,π)S12)/Δ. '������( � ������� .3�/0 ��� ��
������� S(X1, Y F,π)� S(X2, Y F,π) �� �����- β̂F,π1 = a1 + Δ1/Δ
30 �� �� ���$(�� ,�� 5�� ������� β̂F,π2 .�� )0 �-
β̂F,π2 = [s21s(X
2, Y F,π) − s(X1, Y F,π)s12]/Δ = Δ2/Δ
:0 �� � ��,� ���� 5�� ������� βF,π0 �- β̂F,π0 = Ȳ − β̂F,π1 x̄1 − β̂F,π2 x̄2� %�� ���
β̂F,π1 ��� β̂F,π2 �� ����� �� ���������- β̂
F,π0 = a0 − (Δ1x̄1 + Δ2x̄2)/Δ. �
��� ���$ ��(��
�� ��� ������$� eY.1π(i) �� x1 �� x2-
eY.1π(i) = β′π0 + β
′π1 x
1i + β
′π2 x
2i + �
′i, (i = 1, 2, ..., n) ./C0
,���� Var(�′i|x1,x2) = (σ′)2 ��� E(�′i|x1,x2) = 0� �����-
0#�������� ���� � ��� #�$ ���������� �� β′π0 ' β
′π1 �� β
′π2 ����
� β̂′π2 = Δ2/Δ = β̂
π2 �β̂
′π1 = Δ1/Δ = β̂
F,π1 − a1
� β̂′π0 = −(Δ1x̄1 + Δ2x̄2)/Δ = β̂F,π0 − a0
�� ��� #�$ ����� �� �����(��� �� ��� ����� & ��� �)(�� �� ��� �����(��� �� ���
����� �� �������� ��� ����' ����� �̂′= �̂F
-
)DC �� �������� � ���� ���������
�� ��� #�$ ���������� �� ������� ��� ���������� �� ���������� ���%������ ���
����� & ��� �)(�� �� ��� #�$ ���������� �� ������� ��� ���������� �� ��*
�������� ���%������ ��� �������� ��� ���� �����' �����
̂Var(β̂π
′k ) =
̂Var(β̂F,πk ) k = 0, 1, 2
0#��-, �� .
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D*
� !������E ����� �$ ���� �� ����������( ��� ������$ ����� �� �������
��(��
�� ���$� � �� ��� ��� ��� %������� ��� ����E �������� %�� �
����������$ ���� ���,� �� ������ �� ��� $$,��( ���-
/&: ��� ��� 6�� ����� ��� ��� ��� � �� ��� %������� ��� ���� ������
C� ��� ������$� X2 � ��(��
�� � X1 �$�� �������( � ��� ���$
X2 = γ0 + γ1X1 + �2.1 ./*0
� ����� ��� 5�� ������� γ0� γ1 ��� ��� ������$ ��� ��������� g0 ���
g1 ��� e2.1�
*� ��� �������� ������$ eY.1π �� ��� : ��� ��(��
�� � e2.1 �������( � ���
���$-
eY.1π = βK,π2 e
2.1 + �k
./D0
� ����� � ������� bK,π2 ��� � ��$�� tK,π2 = b
K,π2 /s(β̂
K,π2 )� H���� t
K,π2 � ��$��&
$���� ,��� (n − 3) ��(��� ������ � �� ��� %������� ��� ���� ������*&D ��� ��� $�� �, ��� ��� ��� � �� ��� %������� ��� ���� ������
��2�� ������� �#���#��� �- � .3��������������4��#�����#� ���
�#���
1���� ��2�
n∑
i=1
eY.1π(i) e2.1i = nΔ2/s
21 �
n∑i=1
(e2.1i )2 = nΔ/s21
0#��-, /0 ' ������ ���4����� ��� ��6����� e2.1i �-
n∑i=1
eY.1π(i) e2.1i =
n∑i=1
eY.1π(i)(x2i − g0 − g1x1i ) =
n∑i=1
eY.1π(i)(x2i − x̄2 − d1(x1i − x̄1))
=
n∑i=1
eY.1π(i)(x2i − x̄2) − s12/s21
n∑i=1
eY.1π(i)(x1i − x̄1)
= ns(X2, eY.1π(i)) − ns12/s21s(X1, eY.1π(i))= n
(s21s(X
2, eY.1π(i)) − s12s(X1, eY.1π(i))/s21 = nΔ2/s
21 ./;0
30 �� ��� ��� ,��� �� ���$� �� ��� ��6����� e2.1i ����-
n∑i=1
(e2.1i )2 =
n∑i=1
(x2i − x̄2 − g1(x1i − x̄1))2 =n∑
i=1
(x2i − x̄2 − s12/s21(x1i − x̄1))2
= ns2(X2) + ns212/s21 − 2ns212/s21 = n(s22 − s212/s21) = nΔ/s21� ./)0
-
)DD �� �������� � ���� ���������
���( �����7�$ ��(����� !������ ./99*0 �, ���� ��� 5�� ������� β2�� ��� %������� ��� ���� ����� ��� �� ����� ��� ��������$� ���� �-
β̂F,π2 = β̂K,π2 � ������� � %������&���� ���$ ./:0 ��� 5�� ������� � β
F,π2 �-
β̂F,π2 = Δ2/Δ ��� � !������E ���$ ./D0� ��� 5�� ������� � βK,π2 �- β̂
K,π2 =∑n
i=1 eY.1π(i) e
2.1i /
∑ni=1(e
2.1i )
2. � ���� �� $���� 3�3 ,� ����- β̂K,π2 = Δ2/Δ = β̂F,π2
��������� ,� ����� �� �� β̂π2 �
1���� ���� ��� �����(��� �� +�������� ����� &, ������
n∑i=1
(�̂iK)2 =
n∑i=1
(eY.1i )2 − (nΔ21)/(s21Δ)
0#��-, 8� ������� .3�/0-
�̂Ki = eY.1π(i) − β̂2,πe2.1i = eY.1π(i) − Δ2/Δ((x2i − x̄2) − s12/s21(x1i − x̄1))
= eY.1π(i) − Δ2/Δ(x2i − x̄2) + (Δ2s12)/(Δs21)(x1i − x̄1) ��� ���∑(�̂Ki )
2 =n∑
i=1
(eY.1π(i))2 + Δ22/Δ
2n∑
i=1
(x2i − x̄2)2 + Δ22/Δ2[s12/s
21
]2 n∑i=1
(x1i − x̄1)2
− 2Δ2/Δn∑
i=1
(x2i − x̄2)eY.1π(i) + 2(Δ2s12)/(Δs21)n∑
i=1
(x1i − x̄1)eY.1π(i)
− 2(Δ22s12)/(Δ2s21)n∑
i=1
(x1i − x̄1)(x2i − x̄2) .��∑n
i=1 eY.1π(i) =
∑ni=1 e
Y.1i 0
∑(�̂Ki )
2 =n∑
i=1
(eY.1i )2 + nΔ21/Δ
2s22 + n(Δ21[s12]
2)/(Δ2s21) − 2nΔ2/Δs(X2, eY.1π(i))
+ 2n(Δ2s12)/(Δs21)s(X
1, eY.1π(i)) − 2n(Δ22[s12]2)/(Δ2s21)
=
n∑i=1
(eY.1i )2 + nΔ22/Δ
2(s22 + [s12]
2/s21 − 2[s12]2/s21)
− 2nΔ2/Δ(s(X2, eY.1π(i)) − s12/s21s(X1, eY.1π(i))
)=
n∑i=1
(eY.1i )2 − nΔ21/(Δs21)�
� ���� �������
���∑n
i=1(�̂Ki )
2 �= ∑ni=1(�̂Fi )2 ���� ��� ������� �&���� ������� �� ��� %���������� ���� ��� !������E ����� ��B��-
T F,π2 = β̂π2 /s
F (β̂π2 ) �= β̂π2 /sK(β̂π2 ) = T K,π2 ./90
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D;
���� SF (β̂π2 ) �= SK(β̂π2 ) ,���� s2F (β̂π2 ) = (s21s2F )/(nΔ) � ��� ������� Var(β̂π2 )������� �� ��� %������� ,��$� ��� !������E ����� $��� � s2K(β̂π2 ) = s
21s
2K)/(nΔ)�
@������ s2F =∑n
i=1(�̂Fi )
2/(n − 3) ��� s2K = ∑ni=1(�̂Ki )2/(n − 3)� ��� ���������$���� 5�� ������� (σF )2 ��� (σK)2� ��� ������� ��� ������$ ��������
������� �� ���� ����� ��� ������ ����-
1���� 2���n∑
i=1
(�̂Ki )2 −
n∑i=1
(�̂Fi )2 = n[s(X1, eY.1π )]
2/s21 ≥ 0
0#��-, %�� 3�3 ��� 3�C ,� ����-
n∑i=1
(�̂Ki )2 −
n∑i=1
(�̂Fi )2 = −nS21Δ22/Δ − nS22Δ22/Δ2 − nS21Δ21/Δ2 − 2n(Δ1Δ2)/Δ2S12
+ 2n(S(X2, eY.1π )Δ2/Δ + S(X1, eY.1π ))Δ1/Δ
= n(−Δ22(Δ + S21S22)) − nΔ21[S21 ]2 − 2nΔ1Δ2S21S12)/(Δ2S21)+
(2nΔS21 [Δ2S(X
2, eY.1π ) + Δ1S(X1, eY.1π )]
)/(Δ2S21)
�� ��������� Δ� Δ1 ��� Δ2 �� �����-n∑
i=1
(�̂Ki )2 −
n∑i=1
(�̂Fi )2 = n[S(X1, eY.1π )]
2/S21 ≥ 0 �
5��#�� 2��� s2K(β̂π2 ) − s2F (β̂π2 ) = [s(X1, eY.1π(i))]2/((n − 3)Δ) ≥ 0
0#��-, 8� ��6������
s2K(β̂π2 ) − s2F (β̂π2 ) = s21n∑
i=1
(�̂Ki )2/(n(n − 3)Δ) − s21
n∑i=1
(�̂Fi )2/(n(n − 3)Δ)
= s21/(n(n − 3)Δ)(n∑
i=1
(�̂Ki )2 −
n∑i=1
(�̂Fi )2)
�� $���� .:�/0 = [s(X1, eY.1π(i))]2/((n − 3)Δ) ≥ 0 �
���� � ���� ���������� ��� ��$��� ��$�� ��� t&���� ������� �� ���
%������� ��� ����E ����� � ������ � �4��$ � ��� ���������( �� �������
�� !������E �������� s2F (β̂π2 ) ≤ s2K(β̂π2 ) =⇒
|T K,π2 | = |β̂π2 |/sK(β̂π2 ) ≤ |β̂π2 |/sF (β̂π2 ) = |T F,π2 | =⇒ |T K,π2 | ≤ |T F,π2 |' � ���4����� ��� ������� ��� �����������$ ���������� |T F,π2 | �
(������ � �4��$ � ���� |T K,π2 |� ,���� ���� �����( ���� �, ������� ����&����$$� ������ -
-
)D) �� �������� � ���� ���������
5��#�� 2��� ��� �������(���� �(������ �� |T F,π2 | �� ��"�� �� �)(�� �� ���� �� |T K,π2 |'���� F|T F,π2 |(t) ≤ F|T K,π2 |(t) ∀t0#��-, �� .
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� )D9
���� !������E ��������
PrH0(PF,π2 < α) ≤ PrH0(P K,π2 < α) .3:0
���� ���$� (��� � �����������$ 2���6����� � ��� ���$� ���$���� '�&
���
� ��� ��(����� ./9990� 5� ��� ���� ����� ,��� ��� ���� ��� (��������
����� ��� ������� H1 : β2 �= 0 ��� ��$���� ���� �� ���� ��� �,�� ������ ��� %������� ��� ����E ����� � $,�� � �4��$ � ���� ��� !������E
������
PrH1(PF,π2 < α) ≤ PrH1(P K,π2 < α) .3C0
H,����� +��� '����
� ��� ��(����� ������ ��� �,�� ��� ���
���������� ����� �� ���$���� ��� ����� !������ � �� ���������
�
@�� ������$�� ��� ������ .:�/0 �� ���� ��� ��(������
s2K(β̂π2 ) − s2F (β̂π2 ) = s21s2(eY.1π )[ρ(X1, eY.1π )]2/((n − 3)Δ) ≥ 0 .3*0
������ � ��� 4���� ��� ����$���� X1 ��� eY.1π � ����� ��� ��������$ ��������
� ��������� �� ����������� �� �, ��� �����(� ���� ��� ��� �,�� �$� � ���
����$���� � ��$$� � ���( �7(������ ���$����
5��#�� 2�2� /��� ��� ������ ���� ���"� �� ��!����' ��� ��0������ ���"��� ���
�"� ���������� �� Var(β̂π2 )' ����� �� �����
0#��-, +��� n (�, � ��6���� �
����( ���� �$$ ��� $���� �7��� �$�
���$ ��(�&
���� �, ���� ��� �����7-[s21 s12s12 s
22
]�����(� �,���
[σ21 σ12σ12 σ
22
]� s2(e2.1) �����(� �,��� (σ2.1)2, Δ
�����(� �,��� Δ∗ = σ21σ22 − (σ12)2 > 0 ��� ρ(X1, X2) �7�� ����-
limn→+∞
(s2K(β̂π2 ) − s2F (β̂π2 )) = limn→+∞
s21s2(eY.1)[ρ(X1, eY.1π )]
2/((n − 3)Δ)= σ21σ
22.1
[ρ(X1, eπY.1
)]2/Δ∗ × limn→+∞
1/(n − 3) = 0
�� ��� �, ������� ��� ���������$$� �4��$� ��� ������ �, �� ������&
�$�� ���� ��� t&���� ������� ��� %������� ��� ����E ����� ��� !������E
����� ����� �������(�����$� ,��� ��� ���$� �"� � $��(�� �,��( ���� �$�
���� � ���� ��� �,�� ��$��� �� �(������� ,��� ��� ���$� ���$���� ���$����
�� '����� ��� ��(����� ./9990�
-
);A �� �������� � ���� ���������
����������� ������� � !��������
��� ����� �, ���� ,��$� ������� Var(β̂π2 ) � ��,� � ��� �, ��������� ��
$��� � ��B����� �����������$ ���������
��� ����� � ������ � ��� ��$��$���� ��� �����������$ �7�������� ���
�����������$ �������� β̂π2 $��� � ��� �����������$ �7�������� ��� �����&
�� Var(β̂π2 ) ���$� �������( � ��� ����� %������� ��� ���� ��� !�������
H���� ,� �� ��� ���$� G"��$�,�� �� 1�� .
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� );/
����(����������� �2��������� �� (xπ(i)yπ(i)) ��� ((xπ(i))2(yπ(i))
2)' ����(����� �� ���
��� n! �������� ����(������� �� z' ���� � E(xπ(i)yπ(i)) = 1/n∑n
p=1 xpyp = xy
�� E((xπ(i))2(yπ(i))2) = 1/n∑n
p=1 x2py
2p = x
2y2
0#��-, /� 8� ��6����� ��� �7��������� ,� ����-
E(xπiyπi) =∑n
k=1 xkykp(xπi = xk, yπi = yk)
,���� p(xπi = xk, yπi = yk) � ��� ������$��� ,��� ,���� ��� �������� ������$�
(xπi, yπi)� (1 ≤ i ≤ n) ���� ��� ������ ��$�� (xp, yp)� (1 ≤ p ≤ n) ���( n!�
��$� ����������� �� � ��,� ���� (n − 1)! ���������� ���( n! �
��$����������� ��� ��� � xπi = xp, yπi = yp� G��4����$�-
p(xπi = xp, yπi = yp) = (n − 1)!/n! = 1/n, (1 ≤ p ≤ n) ��� ���-E(xπi.yπi) = 1n
∑np=1 xpyp = xy
3� �� � ���$�� ,�� � �,�- E((xπi)2.(yπi)2) = 1/n∑n
p=1 x2py
2p = x
2y2
1���� ��2� ��� (� �������� ��� ������ ����(������ π' ��!��� �� ��� x = (x1, x2, ..., xn)'
x = (x1, x2, ..., xn)π� xπ = (xπ1, ..., xπ(i), ..., xπ(j), ...xπ(n))
����' ��� ��� ��(��� i, j = 1, · · · , n, i �= j' ��� ����(�������� �2��������� ��(xπ(i)xπ(j)) ����(����� �� ��� n! �������� ����(������� π' ������
E(xπ(i).xπ(j)) = nx̄2/(n − 1) − x2/(n − 1) �= E(xπ(i))E(xπ(j)) = x̄2
0#��-, E(xπ(i).xπ(j)) =n∑
p=1
n∑q �=p=1
xpxqp(xπ(i) = xp, xπ(j) = xq) ,����-
p(xπ(i) = xp, xπ(j) = xq) = p(xπ(j) = xq|xπ(i) = xp)p(xπ(i) = xp).�� �������� ,� ��, ���� ,��� ��� ���(�� Xπ(i) ��������� ������$� (xπ(i), xπ(j))
���� ��$�� xp� ��� ������$� xπ(J)(j �= i) ����� ���� ��� ��$�� xp� ���� xp � ������� ��� ������$� xπ(i)� '��( ��� n! �
��$� ����������� ����� ��� �7�� (n−1)!
��� � xπ(i) = xp ���� ��� ����� p(xπ(i) = xp) = (n−1)/n! = 1/n� � �$� (n−1)!���������� ���( n! �
��$� ���������� ��� ��������$� � (n − 1) �����������$� (xπ(k))� (k �= i) ��� ���( ���� (n − 1)! ���������� ��������$� ������7�� (n − 2)! ���������� ��� � xπ(j) = xq(q �= p)� G��4����$�-
p(xπ(j) = xq|xπ(i) = xp) = (n − 2)!/(n − 1)! = 1/(n − 1) ��� ���-p(xπ(i) = xp, xπ(j) = xq) = p(xπ(j) = xq|xπ(i) = xp)p(xπ(i) = xp) = 1/(n(n − 1))���4����$�-
E(xπ(i).xπ(j)) = 1/(n(n − 1))n∑
p=1
n∑q �=p=1
xpxq = 1/(n(n − 1))n∑
p=1
xp(
n∑q=1
xq − xp)
= nx̄2/(n − 1) − x2/(n − 1) �
-
);3 �� �������� � ���� ���������
6�#����#* ���� .� π �� � ������ ����(������ ��!��� �� ��� ��� �� ����� �� ��(�
x = {x1, x2, · · · , xn}' i �= j = 1, 2, · · · , n, �����
� E((xπ(i))2.(xπ(j))2) = n (x2)2/(n − 1) − x4/n'
�� E((xπ(i))2.xπ(j)) = n x2x̄/(n − 1) − x3/n
0#��-, +� ��� ����� �� �� ������� �� $���� C�:
��� ������������ ���� �� β̂π2
+� ����� �� .3�3�/0 ���� ,� ��� ��, ��� �����������$ �7�������� ���
������� s(X1, eY.1π ) ��� s(X2, eY.1π ) �� ���� � ��$��$��� ��� �����������$ �7���&
����� β̂π2 � ��� ���$� �� ��� ��7� $�����
1���� ���� ��� ��� ����(������ π ��!��� �� In' ��� ����� �� ��� �����(��� eY.1π
������ 1. E(s(X1, eY.1π ) = 0 2. E(s(X2, eY.1π ) = 0
0#��-, /� 8� ��6����� E(s(X1, eY.1π )) = E(n∑
i=1
(x1i − x̄1)eY.1π(i)) =n∑
i=1
ẋ1E(eY.1π(i))) =n∑
i=1
ẋ11
n
n∑j=1
(eY.1π(i)))� �����n∑i
eY.1π(i) =n∑
i=1
eY.1i = 0, ����- E(s(X1, eY.1π )) = 0
3� �� ��� ��� ,��� ,� ��� �,� ����- E(s(X2, eY.1π )) = 0 �
0#�������� ���� ��� ����(�������� �2��������� �� β̂π2 �� �(�� E(β̂π2 ) = 0
0#��-, ����� β̂π2 = Δ2/Δ ��� Δ � ��������� �� ���������� ���-
E(Δ2) = E(s21s(X2, eY.1π ) − s(X1, eY.1π )s12) = s21E(s(X2, eY.1π )) − s12E(s(X1, eY.1π ))
��� ��$$��� E(β̂π2 ) � ���4����� $���� .C�C0-
��� ��� ������������ �������� �� β̂π2
��� ���$����� ��� �����������$ ���$��( �������� β̂π2 ����
����� ��� ��
�� ��������$ $�����
1���� ���� ��� eY.1π �� ��� ����� �� �����(��� ����(��� ��� �(����� ���� X1 ��
�� ����(�� ��������� ������ �������� #�� ����
�n∑
i=1
(eY.1i )2 = n
(s2Y − [sY 1]2/s21
)��
n∑j �=i=1
eY.1i eY.1j = −n
(s2Y − [sY 1]2/s21
)
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� );:
0#��-,
1.
n∑i=1
(eY.1i )2 =
n∑i=1
(Yi − a0 − a1x1i)2 =n∑
i=1
(Yi − Ȳ − a1(x1i − x̄1))2
=n∑
i=1
(Yi − Ȳ )2 + a21n∑
i=1
(x1i − x̄1)2 − 2a1n∑
i=1
(x1i − x̄1)(Yi − Ȳ )
= ns2Y + n[sY 1]2s21/[s
21]
2 − 2nsY 1sY 1/s21 = n(s2Y − [sY 1]2/s21)
2.n∑
i=1
n∑j �=i=1
eY.1i eY.1j =
n∑i=1
n∑j �=i=1
(Yi − a0 − a1x1i)(Yj − a0 − a1x1j)
=
n∑i=1
n∑j �=i=1
((Yi − Ȳ ) − a1(x1i − x̄1))((Yj − Ȳ ) − a1(x1j − x̄1))
=
n∑i=1
n∑j �=i=1
((Yi − Ȳ )(Yj − Ȳ ) + a21n∑
i=1
n∑j �=i=1
(x1i − x̄1)(x1j − x̄1)
− 2a1n∑
i=1
n∑j �=i=1
(Yi − Ȳ )(x1j − X̄1)
= −ns2Y − n[sY 1]2/[s21]2s21 + 2nsY 1sY 1/s21 = −n(s2Y − [sY 1]2/s211���� ��7� .� eY.1π ' ��� ����� ����(��� �����(�� ��� X
1' �� �� ����(�� ���������
�������' ��� ����
� E(eY.1π(i))2 = s2Y − [sY 1]2/s21 �� E(eY.1π(i)eY.1π(j)) = −(s2Y − [sY 1]2/s21
)/(n − 1)
0#��-, /� '������( � $���� .C�/0� �� ��- E((eY.1π(i))2) = 1/nn∑
i=1
(eY.1i )2 $����
.C�*0 �$$, � ,����- E(eY.1π(i))2 = s2Y − [sY 1]2/s213� '������( � $���� .C�:0� �� �� ������ -
E(eY.1π(i)eY.1,πj) = n(ēY.1)2/(n − 1) −∑n
p=1(eY.1p )
2/(n(n − 1)) ��� �� � ��,� ����ēY.1 = 0� G��4����$�� ��� $$,��( ���$� � � ���4����� ��� $���� .C�*0-
E(eY.1π(i)eY.1,πj) = −(s2Y − [sY 1]2/s21)/(n − 1) �1���� ���� .� �� �(������ ���� s21 �= 0� ��� ������� eY.1π ������
� E(s(X1, eY.1π ))2 = s21(s2Y − [sY 1]2/s21
)/(n − 1)
�� E(s(X2, eY.1π ))2 = s22(s2Y − [sY 1]2/s21
)/(n − 1)
�� E(s(X1, eY.1π )s(X2, eY.1π )) = s12(s2Y − [sY 1]2/s21
)/(n − 1)
-
);C �� �������� � ���� ���������
0#��-,
/� E(s(X1, eY.1π ))2 = E(1/nn∑
i=1
(X1i − X̄1)eY.1π(i))2 = E(1/n2n∑
i=1
(X1i − X̄1)2eY.1π(i))2
+E(1/n2n∑
i=1
n∑j �=i=1
(X1i − X̄1)(X1j − X̄1)eY.1π(i)eY.1π(j)) = 1/n2n∑
i=1
(X1i − X̄1)2E(eY.1π(i))2
+1/n2n∑
i=1
n∑j �=i=1
(X1i− X̄1)(X1j − X̄1)E(eY.1π(i)eY.1π(j)) =1
ns2(X1)[E(eY.1π(i))2−E(eY.1π(i)eY.1π(j))]
��� $���� .C�D0 ����� ����- E(s(X1, eY.1π ))2 = s21(s2Y − [sY 1]2/s21)/(n − 1)3� �� � ���$�� ,��� �� ��� �, ����-
E(s(X2, eY.1π ))2 = s22(s2Y − [sY 1]2/s21)/(n − 1):� E(s(X1, eY.1,π)s(X2, eY.1,π)) = E( 1
n
n∑i=1
(X1i − X̄1)eY.1π(i)1
n
n∑i=1
(X2i − X̄2)eY.1π(i))
= E(1/n2n∑
i=1
(X1i − X̄1)(X2i − X̄2)(eY.1π(i))2)
+E(1/n2n∑
i=1
n∑j �=i=1
(X1i − X̄1)(X2j − X̄2)eY.1π(i)eY.1π(j))
= s12/n(E(eY.1π(i))2 − s12/nE(eY.1π(i) eY.1π(j)) = s12/n(E(eY.1π(i))2 − E(eY.1π(i) eY.1π(j))�� ���( $���� C�D �� ����� ���-
E(s(X1, eY.1π )s(X2, eY.1π )) = s12(s2Y − [sY 1]2/s21)/(n − 1) �
0#�������� ���� .� ��� &��� ��� ��� ���� "���� Δ �= 0' ��� ����(�������� ��������� β̂π2 ��� Var(β̂π2 ) = (s21s2Y − [sY 1]2)/((n − 1)Δ)
0#��-, 8� ������� .C�/0 Var(β̂π2 ) = E(β̂π2 )2 − E2(β̂π2 ) = E(β̂π2 )2 ���-Δ.E(β̂π2 )2 = E
[s21s(X
2, eY.1π ) − s(X1, eY.1π )s12]2
= (s21)2E [s(X2, eY.1π )]2
+(s12)2E [s(X1, eY.1π )]2 − 2s21s12E [s(X1, eY.1π )s(X2, eY.1π )] �� $���� .C�;0
Var(β̂π2 ) = (s21s2Y − [sY 1]2)/((n − 1)Δ) ���� �4����� �, ���� ��� �����������$ �������� ��� ������� β̂π2 � � ��&
�$� ������ ��� ��������$ ����� ��� ����� ��� �������� (X1, X2, Y )
��� � ��������� �� ���������� ��� ������ ���� ��� +� ��� �, �� � �����
� ������ ��� ��$�� ,��� ��� 5�� ������� Var(β̂π2 )� � ��� %������� ���
����E ����� ��� ��� �� !�������
��� ������������ � ��������� �� ��� ������� �� Var(β̂π2 )������� .C�30 �,�� ���� ��� �����������$ �������� β̂π2 � �����������
π .� �4����� C�:0� ' �$����� ��,�� ��� 5�� ������� Var(β̂π2 ) ���$���(
�� ��� %������� ��� ���� ����� ��B�� �� ��� !������E ��� +� � ����
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� );*
����� �����������$ $�,� ,��� ��$� ��� �����������$ �7�������� ��� �����&
�� Var(β̂π2 ) ������� �� ��� �, ������ ����� ���� ��� ������� � ���
�����������$ �������� β̂π2 .
����� 5� 8#������ ��� 1��� ��#�.���� ����
��� ������� %������� ��� ����� � ����������"�� �� ��� ��(��
�� �4����� ./:0
��� ,� ��, ����- Var(β̂π2 )F = s21(σ
F )2/(nΔ). ��� 5�� ������� Var(β̂π2 )F
�- ̂Var(β̂π2 )F = s2(β̂π2 )F = s
21s
2F /(nΔ). �� � ,�� � ��$��$��� ��� �����������$
�7�������� s2(β̂π2 )F � ,� ����� 6�� ���� -
E(s2(β̂π2 )F ) = E(s21n∑
i=1
(�̂Fi )2/(n(n − 3)Δ) = s21/(n(n − 3)Δ).
n∑i=1
E(�̂Fi )2 .3;0
��� � �� ���� ��,∑n
i=1 E(�̂F )2 � ��$��$��� ��� �����������$ �7��������
s2(β̂π2 )F � 8��� $���� .3�:0 �� ����-
E(n∑
i=1
(�̂iF )2) =
n∑i=1
(eY.1i )2 + ns21/Δ
2E(Δ21) + ns22/Δ2E(Δ22) + 2ns12/Δ2E(Δ1Δ2)
− 2n/ΔE(Δ1s(X1, eY.1π(i))) + E(Δ2s(X2, eY.1π(i)))/Δ����� ��� �7��������
∑ni=1(�̂
F )2 � � ������ ��� Δ1, Δ2, s(X2, eY.1π(i)) ���
s(X1, eY.1π(i))-
1���� ���� ��� ��� ���� ��� �(�� �� s21 �= 0' ��� ����� eY.1π �� ����(��� �����(����� ��� ���������� �� Y �� X1' ����!��
� E(Δ1)2 = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21
)s22/(n − 1)
�� E(Δ2)2 = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21
)s21/(n − 1)
�� E(Δ1Δ2) = −Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21
)s212/(n − 1)
� E(Δ1s(X2, eY.1π )) = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21
)/(n − 1)
�� E(Δ2s(X1, eY.1π )) = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21
)/(n − 1)
0#��-,
1. E(Δ1)2 = E [s22s(X1, eY.1π ) − s12s(X2, eY.1π )]2= [s22]
2E [s(X1, eY.1π )]2 + [s12]2E [s(X2, eY.1π )]2 − 2s22s12E [s(X1, eY.1π )s(X2, eY.1π )]��� ��� $���� C�; ���� �� �
��$� � ,����
= 1/(n − 1) (s2Y − [sY 1]2/s21) ([s22]2s21 + [s12]2s22 − 2s22[s12]2)= Δ.
(s2Y − [sY 1]2/s21
)s22/(n − 1) .3)0
-
);D �� �������� � ���� ���������
3� '� ���$(� ��(����� �, ����- E(Δ2)2 = Δ(s2Y − [sY 1]2/s21
)s21/(n − 1)
:� �� ������ � ��, ��� ��������$ �7�������� ��� ������� 8���
E(Δ1Δ2) = E [s2(X1)s(X2, eY.1,π) − s(X1, X2)s(X1, eY.1,π)]× [(s2(X2)s(X1, eY.1,π) − s(X1, X2)s(X2, eY.1,π)]= s2(X1)s2(X2)E [s(X1, eY.1,π)s(X2, eY.1,π)]− s(X1, X2)s2(X2)E [s(X1, eY.1,π)]2 − s2(X1)s(X1, X2)E [s(X2, eY.1,π)]2+ [s(X1, X2)]2E [s(X1, eY.1,π)s(X2, eY.1,π)]
� $���� C�) ���$�� ���� �� ��������� ��� �$(������ ���(���"����-
E(Δ1Δ2) = −Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21
)s212/(n − 1)
4. E((Δ1s(X2, eY.1,π)) = E [s2(X1)s(X2, eY.1,π) − s(X1, X2)s(X1, eY.1,π))s(X2, eY.1,π)]= s2(X1)E [s(X2, eY.1,π)]2 − s(X1X2)E [s(X1, eY.1,π)s(X2, eY.1,π)]
�� $���� C�;- E((Δ1s(X2, eY.1,π)) = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21
)/(n − 1)
*� �� ��� �� �,� �� � ���$�� ,�� ����
E(Δ2s(X1, eY.1π )) = Δ.(s2Y − [sY 1]2/s21
)/(n − 1)
0#�������� ��2� .� ��� &��� ��� ��� ���� Δ �= 0' s21 �= 0' ��� ����(�������� �2*��������� �� s2(β̂π2 )F �� �)(�� �� ��� ����(�������� ������� �� β̂
π2 �
E(s2(β̂π2 )F ) = (s21s2Y − [sY 1]2)/(Δ(n − 1)) = Var(β̂π2 )0#��-, +� �� ��� $���� .C�)0 � ����� �� ��������� ��� ���� ���$�6�����∑n
i=1 E(�̂Fi )2 = (s2Y − [sY 1]2/s21) n(n − 3)/(n − 1)� ' � ���4�����-E(s2(β̂π2 )F ) = s21/(n(n − 3)Δ).
∑ni=1 E(�̂Fi )2 = Var(β̂π2 )
G��4����$�� ��� ������� Var(β̂π2 ) ��� �� ��� ������� %������� ���
���� � �����������$� ��������
����� 5� �����*$� ��#�.���� ����
��� ������� �((���� �� !������ � ���� � ��� �4����� ./D0 ��� ��� ������
(σK)2 = Var(�K) �, ����- Var(β̂π2 )K = s21(σ
K)2/nΔ. ��� 5�� �������
Var(β̂π2 )K �-̂
Var(β̂π2 )K = s2(β̂π2 ) = s
2(X1)s2K/nΔ. H���� � �� ��� ����� .C�C�/0�
,� ��$��$��� ��� �����������$ �7�������� ̂Var(β̂π2 )K � �� ���( ��� ��������-
E(s2(β̂π2 )K) = E(s21n∑
i=1
(�̂Ki )2/(n(n − 3)Δ)) = s21/(n(n − 3)Δ)E(
n∑i=1
�̂Ki )2).
-
� ����� �������� �� ���� ���� ���!��� );;
�������� ��� ��������� ��� �����������$ �7�������� s2(β̂π2 )K ������
� ���� E(∑ni=1(�̂Ki )2)� 8��� �������( � ��� $���� 3�C� E(∑ni=1(�̂iK)2) =∑ni=1(e
Y.1i )
2 − (nE(Δ21))/(s21Δ). �� ,� ��� �� � ����� � ����$�� ��� $$,��(���$�-
0#�������� ���� .� ��� ��� ��� ��� ���� Δ �= 0' "� �� ��
E(s2(β̂π2 )K) = (s21s2Y − [sY 1]2(n − 2)/((n − 3)(n − 1)Δ) = (n − 2)/(n − 3)Var(β̂π2 )
Proof : 8� ��6������ E(s2(β̂π2 )K) = s21/(n(n−3)Δ)∑n
i=1 E(�̂Ki )2. 5�� ���� �����
�� $���� C�) -
∑ni=1 E(�̂Ki )2 = (s2Y − sY 1/s21)n(n − 2)/(n − 1) ,���� ���$� ��-
E(s2(β̂π2 )K) = s21/(n(n − 3)Δ)n∑
i=1
E(�̂Ki ) = ((n − 2)/(n − 3)).Var(β̂π2 )
��� ���$� �, ���� ��� ������� !������ ������ �� ������� Var(β̂π2 )
������ �� s2(β̂π2 )K � ,���� � � �����������$� ����� ������� Var(β̂π2 )� ��&������( ,��� � ��� ������� s2(β̂π2 )F (���� �� ��� %������� ��� ����E ������
���������
-
);) �� �������� � ���� ���������