UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELAS PROFESIONALES DE ING. ELECTRONICA- AGROINDUSTRIAL

MATEMATICA IIINTEGRAL INDEFINIDA

OBJETIVO:Aprender el concepto de antiderivada e integral indefinida y resolver integrales usando las formulas básicas.

Función primitiva o antiderivada de una función f(x)

Es otra función F(x) cuya derivada es la función dada: F´(x) = f(x)

Definición.- Si en todos los puntosdel intervalo [a, b] se verifica la ecuación: F´(x) = f(x) A la función F(x) se le llama primitiva de la función f(x). Y a la expresión: F´(x) = f(x) se le conoce como la antiderivada en el intervalo [a, b]

La antiderivada o primitiva de una función f(x) es otra función F(x)+C, donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x) Es decir F’(x) = f(x). A la función F(x) se le llama una antiderivada de la una función f(x).Ejemplo: ¿Qué se derivó para que la derivada sea y´= 4?Podemos intuir que esta derivada se puede obtener de enésimas funciones: y1= 4xy2= 4x+5⋮ yn= F(x) +cEs decir que la función cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos miembros todos tienen pendiente de +4 pero diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las gráficas para los diferentes valores de la constante C: C =0, C=5, C=-2, C=12, C=15, C=8. Veamos el gráfico que sería la INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ANTIDERIVADA

Entonces de lo expuesto se puede afirmar que: la función F(x)=4x+C es la antiderivada de

y´= 4. Entonces encontrar la antiderivada es hallar todas las funciones posibles que dieron origen a la derivada en cuestión y asimismo poder encontrar una antiderivada general como hemos visto en el ejemplo.

INTEGRALES INDEFINIDASINTEGRACION

Al proceso de hallar las antiderivadas se le llama integración y a la familia de funciones que se obtiene mediante este proceso se llama integrales indefinidas y se representa mediante los símbolos ∫ o signo de la integral ,dx indica

la variable respecto a la cual se lleva el proceso de integración, los símbolos siguientes siempre van juntos: ∫❑dx , y en el cuadro va la función f(x) que se debe integrar así: ∫ f (x )dx.

Donde f(x) es la derivada de la función desconocida llamada integrando y la respuesta es una familia de funciones así: ∫ f (x )dx = F(x) + cA la constante C se le llama constante de integración. Propiedades:

1. (∫ f (x )dx ¿ ´ = (F(x) +c)´= F(x)2. d(∫ f (x )dx ¿ = f(x)dx3. Linealidad en las integrales:

∫ [ f ( x )± g ( x )]dx=∫ f (x )dx ±∫ g (x)dx.

INTEGRALES BÁSICAS ELEMENTALESA continuación se presenta un par de reglas para encontrar la integral indefinida de una función.1. Integral de una función constanteF(x)=K donde k es un número real recordemos que: y = F(x).∫ k dx= kx+c .Ejemplos: 1. ∫−9dx = -9x+c

2. ∫ 18

dx = 18

x+c

3. ∫ π dx = πx+cPodemos ver que si la función F(x) es una constante la integral es inmediata y se multiplica la constante por x y se suma la contante c.

2. Integral de una potencia

∫ xn dx= xn+1

n+1 + c y si u = f(x)

y n ≠−1

∫undx= un+1

u+1Nota: cuando la potencia esta en el denominador:

∫ 1xn dx = ∫ x−n dx = x−n+1

−n+1 + c , n≠ 1

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Ejemplos: Ejemplo1 :∫ x4 dx= x4+1

4+1 + c = x5

5 + c

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDASean f y g dos funciones que admiten antiderivadas sobre el intervalo I=[a, b] , “K” una constante real, entonces las funciones (f± g ¿y Kf admiten antiderivadas en el intervalo I=[a, b].En el siguiente teorema se expone las propiedades de la integral indefinida.TEOREMASean f y g dos funciones que admiten antiderivadas sobre el intervalo I =[a, b] y K una constante real entonces:a) ∫ [ f ( x )± g ( x )]dx=∫ f ( x )dx ±∫ g ( x ) dxEn general: ∫ [ f ( x )± g ( x ) ± h(x)± …±r (x)]dx =

∫ f ( x )dx ±∫ g ( x ) dx ±∫ h(x )dx ± …∫r ( x ) dxb) ∫Kf ( x )dx=K∫ f (x ) dx

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS BASICAS

Las siguientes integrales son inmediatas y se asume que u = f(x)1.∫ du=u+C

2.∫undu = un+1

n+1 +c, n∈R ,n ≠−1

3.∫ duu = ln|u|+C

4.∫ au du= au

lna + C

5.∫ eu du=eu+C6.∫ senudu=−cosu+C7.∫ cosudu=senu+C8.∫ sec2udu=tgu+C9.∫ csc2udu=−ctgu+C10. ∫ secutgudu=secu+C11. ∫ cscuctgu du=−cscu+C12. ∫ tgudu=ln|secu|+C13. ∫ ctgudu=¿¿ ln|senu|+C14. ∫ secudu=ln|secu+tgu|+C15. ∫ cscudu=¿ ln|cscu−ctgu|¿+C

16. ∫ du√a2−u2 = arc.sen(

ua )+C

17. ∫ −du√a2−u2 = arc.cos(

ua )+C

18. ∫ dua2+u2 =

1a

arc .tg ( ua )+c

19. ∫ −dua2+u2=¿ 1

aarc . ctg( u

a )+c¿

20.∫ duu√u2−a2 = 1

aarc . sec|ua| +C

21.∫ −duu√u2−a2 = 1

aarc . csc|u

a| +C

22.∫ duu2−a2 = 1

2 aln|u−au+a|+C

23.∫ dua2−u2 = 1

2 aln|a+ua−u|+C

24.∫ du√u2+a2 = ln|u+√u2+a2|+C

TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLESea g función diferenciable de x e un intervalo I =[a, b] y F una antiderivada de f en I=[a, b]

Si u = f(x) →∫ f ( g ( x ) ) g´ ( x ) dx=¿∫ f (u ) du¿Ejemplo 1:

Demostremos la fórmula 12 ∫ tgudu=ln|secu|+C

∫ tgudu ………(*)

∫ senucosu

du

hagamos un cambio de variable: t=cosu→ dt=−senudu→ senudu=−dtReemplazamos en (*)

∫−dtt =−∫ dt

t = -ln|t|+C

Volvemos a la variable u∫ tgudu=− ln|cosu| +C

∫ tgudu=ln|cosu|−1 +C

∫ tgudu=ln|secu| +CEjemplo 2: Calcular:

∫ e5 cosx

2

cscx dx = ∫ e

5 cosx2 senxdx…..(*)

Llevando a la forma: ∫ eu duCambio de variable

u = 5cosx

2→ du=−5

2 (-senx)dx

du = 52senxdx→ sendx=2

5 du

En (*) : ∫ eu . 25

du= 25∫eu du=

25

eu+C

Volvemos a la variable x:

∫ e5 cosx

2

cscx dx = 2

5e

5 cosx2 +C

COMPLETACION DE CUADRADOSAlgunas integrales inmediatas se integran mediante la completación de cuadrados.Ejemplo: Calcular

∫ dx√−x2−6 x−6

……..(*)

Completemos cuadrados a: −x2−6 x−6 = -[x2+6 x+6]

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−[(x+3)2−9+6] = −( x+3 )2+3

En (*): ∫ dx

√3−(x+3)2 ……(**)

Cambio de variable: x+3 = u→ dx=duEn (**)

∫ du√3−u2 = ∫ du

√(√3)2−u2 Veamos la tabla

Es la integral 16

Entonces: ∫ du

√(√3)2−u2 =arc.sen(

u√3

)+c

Volvemos a la variable x:

∫ dx√−x2−6 x−6

= arc.sen( x+3√3

)+C

Nota: En ∫ P(x)T (x)

dx

P (x)T ( x)Tengan el mismo grado o P(x) tenga mayor

grado que T(x) se debe dividir: P (x)T ( x) =Q(x) + R(x)

Ejemplo:

∫ x2+3x2+1

dx = ∫¿¿)dx

∫ dx +2∫ dxx2+1

= x+2arc.tgx+C

TALLER DE PROBLEMAS 11. ∫ x5 cos x6 dx

R. 16

x6+C

2. ∫ sen3 xcos3 xdx

R. 16

sen2 3 x+C

3. ∫(−5+ 2 ex

3)

2

ex dx

R. (−5+ 2 ex

3)

3

2 +C

4. ∫( 2 x3+xx4+ x2+2

¿)dx ¿

R. 12

ln|x4+x2+2|+C

5. ∫ lnxx

dx

R . 12

ln2|x|+C

6. ∫( x2−5 x+6x2+4

)dx

R. x−52

ln|x2+4|+arc.tg(x2

¿+C

7. ∫ x2 √5 x3−3dx

R. 2

45(5 x3−3)3/ 2+C

8. ∫ ex3

x2dx

R. 13

ex3

9. ∫ earc .tg( x

3 )

9+ x2

R. 13

earc .tg( x

3 )+C

10. ∫ x+9(x−9)7 dx

R. −15

(x−9)−5−3(x−9)−6+C

11. ∫(√x+lnxx )dx

R. 23

x3/2+ 12

ln2|x|+C

12. ∫ dx6 x−3 x2

R. −16

ln|x−2x |+C

13. ∫ ex

√9−4 e2x dx

R. 12arc.sen( 2ex

3¿+C

14. ∫ cosxdx√1+sen2 x

R. ln|senx+√1+sen2 x|+C

15. ∫ ex+e2x

ex dx

16. ∫(−3√r 2

5 −¿7

2√r)dr¿

17. ∫(x−3+ 34

x−4)dx

18. ∫ x2+2x+1

dx

19. ∫ x2−x(x−1)2 dx

20. ∫ x4+5 3√ x−3 x√ x−24 x dx

21. ∫( 1x2 +

4x √x

+2)dx

22. ∫ dxx−1

+∫ dx3 x+2

23. ∫ 3 a x2−2 bx√a x3−b x2

R. 2√a x3−b x2 +C

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24.∫ xcosxdx(xsenx+cosx−1)m

R. (xsenx+cosx−1)1−m

1−m + C

25. ∫ ln (cosx )tgxdx

R. −ln2(cosx)2

+C

Tacna, 19 de mayo del 2015Docente: Ing° Luis Nina Ponce

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