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8/8/2019 Series e Sequencias

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1 SEQNCIAS:

1.1-Teste do limite: Uma seqncia

tem o limite

e escrevemos

lim Se o limite de lim existir, dizemos que a seqncia converge (convergente). Caso contrrio, dizemos que seqncia diverge (divergente).

Se para cada nmero 0 existir um correspondente inteiro talque:| | Sempre que

Se para e lim lim , entolim A seqncia convergente se 1 1 e divergente para

todos os outros valores de r.lim 0 1 11 1 Toda seqncia limitada, montona, convergente.

2 SRIES

2.1 Convergncia da srie:

Dada uma srie

, seja

sua

- soma parcial:

Se a seqncia for convergente e lim existir comoum nmero real, ento a srie denominada convergente, eescrevemos

O nmero a soma da srie. Caso contrrio, a srie divergente.A Srie Geomtrica

Se || 1 a srie geomtrica convergente e sua soma

1 || 1

Se || 1, a srie geomtrica divergente.


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A Srie Harmnica 1

1 12

13

14

divergente. Se a srie for convergente, ento o lim 0.

Porm se o lim 0 no podemos concluir que a srie seja convergente.Se o lim no existir ou se lim 0, a srie divergente.

A p-srie convergente se 1 e divergente se 1.2.2 O teste da integral:

Suponha que seja uma funo contnua, positiva e decrescente em1, e seja . Ento a srie convergente se esomente se a integral imprpria for convergente. Emoutras palavras:

(i) Se for convergente, ento convergente.(ii)Se for divergente, ento divergente.

2.3 Estimativa do Resto para o Teste da Integral:

Suponha , onde uma funo contnua, positiva,decrescente para e convergente.Se , ento

2.4 O Teste de Comparao:

Suponha que e sejam srie com termos positivos.(i) Se for convergente e para todo , ento

tambm ser convergente.(ii)Se for divergente e para todo , ento tambm

ser divergente. Suponha que e sejam srie com termos positivos. Se

lim Onde um nmero e 0, ento ambas as sries convergem ouambas as sries divergem.

2.5 O teste da srie alternada:

Se a srie alternada1

0

Satisfizer

(i) para todo .(ii)lim 0Ento a srie convergente


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2.6 Estimativa de Sries Alternadas:

Se 1 for a soma de uma srie alternada quesatisfaz

(i)0 (ii)lim 0Ento|| | |

2.7 Convergncia Absoluta:

Uma srie chamada de absolutamente convergente se a sriede valores absolutos || for convergente.

Uma srie chamada de condicionalmente convergente se elafor convergente, mas no for absolutamente convergente.

Se uma srie for absolutamente convergente, ento ela convergente.

2.8 Teste da Razo:

O teste da razo para uma srie (i) Se lim 1, ento a srie

absolutamente convergente (portanto converge)

(ii) Se lim 1 ou lim , ento a srie divergente.(iii) Selim 1, nenhuma concluso pode ser tiradasobre

a convergncia ou divergncia de .2.9 Teste da Raiz:

O teste da raiz para uma srie (i) Se lim || 1, ento a srie

absolutamente convergente (portanto converge)

(ii) Se lim || 1 ou lim || , ento asrie divergente.

(iii) Selim || 1, o teste da Raiz no conclusivo.2.10 Sries de Potncias:

A Srie de potncia possui a forma:

Para uma dada srie de potncias existemapenas trs possibilidades:(i) A srie converge apenas quando .(ii) A srie converge para todos .(iii) Existe um nmero positivo tal que a srie converge se

| | diverge se | | . Seja uma srie de potncias . Suponha quelim

Onde um nmero real no-negativo ou


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(i) Se um nmero real positivo, ento 1 / .(ii) Se 0, ento .(iii) Se , ento 0.

Podemos representar certas funes como uma srie de potncias. Sea srie de potncias tiver um raio de convergncia 0, ento a funo definida por

diferencivel (e, portanto contnua) no intervalo , e(i) 2 3 (ii)

1

Os raios de convergncia da srie de potncias nas Equaes (i) e (ii)so ambos .

3SRIES DE TAYLOR E MACLAURIN

3.1- Sries de Taylor:

Se tiver uma representao (expanso) em srie de potncias em ,isto , se

| | Ento seus coeficientes so dados pela frmula

! Substituindo as frmulas acima temos

!

1!

2!

3!

Essa srie chamada de srie de Taylor da funo em . Se , onde o polinmio de Taylor de grau

de em elim 0

Para | | , ento igual soma de sua srie de Taylor nointervalo | |

A Desigualdade de Taylor:Se | | para | | , ento o resto da srie deTaylor satisfaz a desigualdade

|| 1!| | | |


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Para todo nmero real lim

! 0

3.2 Sries de Maclaurin:

Se considerarmos, na sria de Taylor, 0 teremos ento uma sriede Maclaurin

!

0

01!

2!

Para todo

!

1

! 1 1

1! 1

2! 1

3!

Para todo

3!

5!

7! 1

2 1!

Para todo x 1

2!

4!

6! 1

2!

Srie de Maclaurin importantes e seus intervalos de convergncia1

1

1 1,1

! 1

11!

12!

13! ,

1

2 1!

3!

5!

7! ,

1

2! 1

2!

4!

6! ,

tan

1

2 1

3

5

7 1,1

4 ESTRATGIA PARA TESTAR AS SRIES

1. Se a srie for da forma 1/, ela uma -, que sabemos serconvergente se 1 e divergente se 1.

2. Se a srie tiver a forma ou , ela uma srie geomtrica,que converge se || 1 e diverge se | | 1. Algumas manipulaesalgbricas podem ser necessrias para deixar a srie dessa forma.

3. Se a srie tiver uma forma similar a uma - ou a uma sriegeomtrica, ento um dos testes de comparao deve serconsiderado. Em particular, se - for uma funo racional ou uma


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funo algbrica de (envolvendo razes de polinmios), a srie deveser comparada com uma -. (O valor de deve ser escolhidodeforma a deixar apenas as potencias mais altas no numerados edenominador). Os testes de comparao se aplicam apenas a sriescom termos positivos, mas, se tiver alguns termos negativos,ento poderemos aplicar o Teste da Comparao na || e testar aconvergncia absoluta.

4. Se voc vir que , o Teste para Divergncia deve serusado.

5. Se a srie for da forma ou , ento o teste daSrie Alternada uma possibilidade bvia.

6. Sries que envolvem fatoriais ou outros produtos (incluindo umaconstante elevada - potncia) so com freqncia testadasconvenientemente usando-se o Teste da Razo. Tenha em mente que|/| 1 quando , para todas as -, e portantotodas as funes racionais ou algbricas de . Ento, o Teste da Razono deve ser usado para tais sries.

7. Se for da forma , o Teste da Raiz pode ser til.8. Se , onde facilmente avaliada, ento o Teste

da Integral eficaz (satisfeitas as hipteses para este teste)

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