Series de Potencia y de Fourier

8/6/2019 Series de Potencia y de Fourier

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Capıtulo 2.

Series de potencias y de Fourier

En este capıtulo estudiaremos dos casos particulares, pero muy importantes, de

series de funciones: las series de potencias y las series de Fourier. Ambas series

se aplican a problemas de diversa ındole: modelizacion de problemas fısicos,

resolucion de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en derivadas parciales,

tratamiento de senales, tratamiento de imagenes, etc. Usaremos el calculo delas series de potencias y de Fourier de una funcion dada para el problema

particular de conocer la suma de series numericas.

2.1 Series de potencias

Muchos problemas matematicos, fısicos, economicos, etc. convienen expresar-

los como suma de una serie de potencias. Este recurso es especialmente util en

los casos en los que la funcion no es elemental; al disponer de su representacion

en series de potencias, es posible analizarla, estudiando sus propiedades y su

comportamiento.

19



20 2. Series de potencias y de Fourier

2.1.1 Definiciones y propiedades basicas

Definicion. Se llama serie de potencias a una serie funcional de la forma

∞n=0

anxn ,

siendo an y x numeros reales.

Como vemos, en cierto modo, una serie de potencias consiste en una especie

de “polinomio con infinitos terminos”. Veremos que, a la hora de operar con

ellas, las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten

muchas propiedades con los polinomios.

La primera pregunta que nos podemos hacer es ¿para que valores de x

converge una serie de este tipo?. Antes de nada, veamos algunos ejemplos.

Ejemplos de series de potencias

• La serie geometrica∞n=0

xn es una serie de potencias absolutamente con-

vergente si |x| < 1 y no convergente si |x| ≥ 1.

Nota. Usar el criterio del cociente.

• La serie de potencias∞n=1

(xn

)n es absolutamente convergente para todo

x ∈ IR

Nota. Usar el criterio de la raız.

• La serie de potencias∞n=0

(nx)n solamente converge para x = 0.



2.1. Series de potencias 21

Para el caso de una serie de potencias general, tenemos el siguiente resul-

tado.

Teorema 2.1.1 Teorema de Cauchy-Hadamard. Dada una serie de po-

tencias∞n=0

anxn, existe R ∈ [0, +∞] tal que:

1. La serie no converge en los puntos x tales |x| > R.

2. La serie converge absolutamente en los puntos x tales que |x| < R.

A este R se le llama radio de convergencia de la serie de potencias y a

(−R, R) intervalo de convergencia.

En los puntosx

= ±R

la serie puede que converja o no. Por tanto, el campode convergencia de una serie de potencias es uno de estos cuatro intervalos:

(−R, +R), [−R, +R), (−R, +R], [−R, +R].

Nota 2.1.2 Tenemos que R = lim|an|

|an+1| ´ o R = lim1

n

|an|

si existen dichos

lımites.

Prueba. Basta aplicar los criterios del cociente y de la raız a la serie

∞n=0

anxn.

Ejemplo. Hallar el radio de convergencia de la serie∞n=1

(−1)nn!

nnxn y estudiar

su comportamiento en los extremos de su intervalo de convergencia.




Operaciones con series de potencias

Sea k ∈ IR, sean f (x) =∞n=0

an xn y g(x) =∞n=0

bn xn en (−R, R), entonces

• f (kx) =∞n=0

an knxn en (−R|k|

, R|k|

).

• f (xN ) =∞n=0

an xnN en (− N √

R,N √

R).

• f (x) ± g(x) =∞n=0

(an ± bn) xn en (−R, R).

Ejemplo. Hallar la suma de la serie∞n=2

2 +

1

32n

x2n y calcular su intervalo

de convergencia.

2.1.2 Propiedades de las series de potencias

La serie∞n=0

an xn converge a f (x) uniformemente en todo intervalo cerrado

contenido en (−R, R). Pero no se puede asegurar, en general, la convergencia

uniforme en (−R, R).

Ejemplo. La serie∞n=0

xn que posee campo de convergencia (−1, 1) no es

uniformemente convergente ahı.




Teorema 2.1.3 Teorema de Abel. Si n≥0

an xn converge en x = −R (resp.

en x = R) entonces converge uniformemente en [−R, c] (resp. en [c, R]) para

todo c ∈ (−R, R).

Por tanto, si f (x) =∞n=0

anxn en (−R, R) y la serie converge en x = −R

(resp. en x = R) entonces f (−R) = limx→−R f (x) (resp. f (R) = limx→R f (x)).

Teorema 2.1.4 Continuidad, derivada e integral de una serie de

potencias. Sea f (x) =∞n=0

an xn en (−R, R), entonces

• f (x) es continua en todo su campo de convergencia.

• f (x) es derivable en (−R, R) y su derivada es

f (x) =∞n=1

(anxn) =∞n=1

nan xn−1

para todo x ∈ (−R, R).

• f (x) es integrable en todo el intervalo [0, x] incluido en su campo de

convergencia y su integral es

x

0

f (t)dt =∞

n=0

x

0

anxndt =∞

n=0

an

n + 1xn+1

Prueba. Basta aplicar los teoremas de continuidad , derivada e integral para

series de funciones vistos en el capıtulo anterior.




Ejercicio. A partir de la funcion suma de una serie geometrica y recurriendo

a las anteriores propiedades de derivacion e integracion de series de potencias,

comprobar que

• 1

(1 − x)2= 1 + 2x + 3x2 + · · · + (n + 1)xn en (−1, 1).

• log(1 + x) = x −x2

2 +x3

3 − · · · + (−1)n+1xn

n + · · · en (−1, 1].

• arctg x = x − x3

3+

x5

5− · · · + (−1)n

x2n+1

2n + 1+ · · · en [−1, 1].

2.1.3 Series de Taylor y de McLaurin

Como hemos podido ver, la suma de una serie de potencias de radio no nulo

define en su intervalo de convergencia una funcion f (x) =

∞n=0

anxn. Se dice

entonces que la serie representa a la funci´ on f en el intervalo de convergencia

y que es el desarrollo en series de potencias de la funcion f centrada en x = 0.

Se plantean entonces de manera natural dos problemas:

1. Dada una serie, hallar propiedades de la funcion suma.

2. Dada una funcion, averiguar si se puede representar por una serie de

potencias.

A continuacion, veamos como resolver estos problemas.

Primero, aplicando reiteradamente la formula de la derivada de una funcion

suma, obtenemos la siguiente propiedad.




Proposicion 2.1.5 Si f (x) =∞n=0

an xn en (−R, R), entonces f (x) admite

derivada de todo orden k ∈ IN, adem´ as

f k)(x) =∞n=k

n!

(n − k)!an xn−k para todo x ∈ (−R, R) .

En particular se cumple que f k)(0) = k! ak. Por tanto, podemos escribir

f (x) =∞k=0

f k)(0)k!

xk para todo x ∈ (−R, R) .

Como consecuencias de la propiedad anterior, tenemos que:

1. Si∞n=0

an xn y∞n=0

bn xn tienen el mismo radio de convergencia y la misma

suma f (x) entonces ambas series son iguales, es decir,

an = bn = f n)

(0)n!

, para todo n ≥ 0 .

2. Si f (x) =∞n=0

an xn es una serie de potencias de radio R, entonces

f (x) =∞n=0

f n)(0)

n!xn para todo x ∈ (−R, R) .

Definicion. Se dice que una funcion f (x) admite desarrollo en serie de

potencias en el intervalo (−R, R) si existe una serie de potencias

∞n=0

anxn tal

que

f (x) =∞n=0

anxn para todo x ∈ (−R, R) .

Obviamente, f (x) admite derivada de todo orden en (−R, R) y an =f n)(0)

n!.




1. Si una funcion f tiene derivada de todos los ordenes en x = a, se llama

serie de Taylor de f centrada en a, a la serie

n≥0

f n)(a)

n!(x − a)n .

2. Si una funcion f tiene derivada de todos los ordenes en x = 0, se llama

serie de McLaurin de f a la serie

n≥0

f n)(0)n!

xn .

2.1.4 Representacion de funciones por series de poten-

cias

Las propiedades anteriores pueden inducir a pensar que si una funcion f admite

derivadas de todos los ordenes, entonces se puede expresar como la suma deuna serie de potencias. Como veremos a continuacion, esto no siempre ocurre.

Ejemplo. Obtener el desarrollo de McLaurin de la funcion (que se llama

funcion de Cauchy):

f (x) =

e−1/x2

si x = 0

0 si x = 0

y comprobar que la serie es igual a la funcion solo en x = 0.

Nota. Las sucesivas derivadas de f (x) para x = 0 se determinan mediante

las reglas de derivacion:

f (x) =2

x3e−1/x

2

, f (x) =

4

x6− 6

x4

e−1/x

2

, f n)(x) = P n

1

x

e−1/x

2

siendo P 3n1x

= 2n

x3n+ · · · , un polinomio de grado 3n respecto de 1

x.




Teorema 2.1.6 Condicion necesaria y suficiente para que exista

desarrollo en serie. Si una funci´ on f : A ⊂ IR → IR admite derivadas de

todos los ´ ordenes en un intervalo abierto (−R, R), entonces la igualdad

f (x) =∞n=0

f n)(0)

n!xn para todo x ∈ (−R, R)

es v´ alida si y s´ olo si existe alg´ un c entre 0 y x tal que

f (x) =n

k=0

f k)(0)

k!xk +

f n+1)(c)

(n + 1)!xn+1 y lim

n→∞

f n+1)(c)

(n + 1)!xn+1 = 0

para todo x ∈ (−R, R).

Recordar que a la expresion Rn(x) =f n+1)(c)

(n + 1)!xn+1 se le llama Resto de

Lagrange.

Ejemplo. Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = ex y comprobar

que la suma de la serie coincide con la funcion en todo IR.

Por tanto, para que una funcion f coincida con la suma de su serie de

McLaurin, es necesario que sus derivadas sucesivas no tengan un tamano “des-

mesurado”. En aplicaciones concretas es suficiente comprobar que las deriva-

das estan acotadas por una constante.

Teorema 2.1.7 Condicion suficiente para que exista desarrollo

en serie. Si una funci´ on f : A ⊂ IR → IR admite derivadas de todos los

´ ordenes en un intervalo abierto (−R, R), y si dichas derivadas est´ an acotadas

por una misma cota K , es decir existe K > 0 tal que |f n)(x)| ≤ K para todo




n ∈ IN y para todo x ∈ (−R, R), entonces f admite desarrollo en serie de

potencias, es decir,

f (x) =∞n=0

f n)(0)

n!xn ∀x ∈ (−R, R) .

Prueba. Por el teorema del sandwich, tenemos que para todo x

∈(

−R, R),

0 ≤ limn→∞

f n+1)(x)

(n + 1)!xn+1

≤ limn→∞

K |x|n+1

(n + 1)!≤ lim

n→∞

KRn+1

(n + 1)!= 0.

Ejercicios.

• Utilizando el teorema anterior, comprueba que sin x y cos x coinciden

con la suma de su serie de McLaurin en todo IR.

• Comprueba que la serie de McLaurin S (x) de ex no satisface las hipotesis

del teorema anterior, aunque se cumpla que ex = S (x) para todo x ∈ IR.

Observacion final. En esta seccion siempre hemos considerado las series

centradas en x0 = 0, es decir, hemos considerado series de la forma

anxn.

Para estudiar series centradas en x0 = 0, es decir, del tipo

an(x−x0)n, basta

realizar el cambio de variables X = x − x0.

Ejemplo. Es equivalente estudiar la serie de Taylor de log x centrada en

x = 1 que la serie de McLaurin de log(1 + x).




2.1.5 Desarrollos de algunas funciones en series de po-

tencias

1

1 − x = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · para x ∈ (−1, 1)

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ · · · +

xn

n!+ · · · para todo x ∈ IR.

sen x = x − x3

3!+

x5

5!+ · · · + (−1)n

x2n+1

(2n + 1)!+ · · · para todo x ∈ IR.

cos x = 1

−x2

2!

+x4

4!

+

· · ·+ (

−1)n

x2n

(2n)!

+

· · ·para todo x

∈IR.

L(1 + x) = x − x2

2+

x3

3+ · · · + (−1)n+1 xn

n+ · · · para x ∈ (−1, 1].

arctg x = x − x3

3+

x5

5+ · · · + (−1)n

x2n+1

2n + 1+ · · · para x ∈ [−1, 1].

(1 + x)k = 1 +k

1!x +

k(k − 1)

2!x2 + · · · +

k(k − 1) . . . (k − n + 1)

n!xn + · · · para x ∈ (−1, 1).

arcsen x = x +1

2

x3

3+ · · · +

1 · 3 · · · (2n − 1)

2 · 4 · · · (2n)

x2n+1

2n + 1+ · · · para x ∈ [−1, 1].




2.2 Series de Fourier

Dada una funcion periodica f (t), por ejemplo de periodo 2π, queremos escri-

birla como una combinacion en la que intervengan unicamente senos y cosenos,

que son las funciones periodicas de periodo 2π mas simples y conocidas. Es,

decir, queremos expresar f (t) de la forma

1

2a0 +

∞n=1

(ancos(nx) + bnsen(nx))

para todo x en el intervalo (−π, π]. Este tipo de series se llaman series trigo-

nometricas y de todas las posibles, las series de Fourier son las que “mejor se

aproximan” a una funcion dada, que sea periodica y “suave a trozos”.

El problema de la representacion de una funcion mediante una serie trigo-

nometrica surge de la resolucion de ecuaciones en derivadas parciales, como

la ecuacion de ondas que gobierna el problema de la cuerda vibrante. Hoy en

dıa, la teorıa de las series de Fourier es una herramienta fundamental de la

ingenierıa de la comunicacion: se utilizan en la resolucion de problemas fısicos

como son la transmision de sonido, ondas electromagneticas, etc.

En esta seccion estudiaremos bajo que condiciones puede escribirse una

funcion como una combinacion lineal de senos y cosenos, como calcular sus

coeficientes y algunas propiedades.



2.2. Series de Fourier 31

2.2.1 Coeficientes de Fourier

Sea f : (−π, π] → IR una funcion integrable. Definimos los coeficientes de

Fourier de f mediante:

a0 =1

π

π−π

f (x)dx ;

an = 1π

π−π

f (x)cos(nx)dx , n ≥ 1 ;

bn =1

π

π−π

f (x)sen(nx)dx , n ≥ 1 .

La serie

Sf (x) =1

2a0 +

∞n=1


obtenida usando los coeficientes de Fourier se llama serie de Fourier de lafuncion f .

Ejemplos.

• La serie de Fourier de un polinomio trigonometrico es el propio polino-

mio.

•La serie de Fourier de la funcion de onda rectangular de periodo 2π

definida en (−π, π] por f (t) = −1 si − π < t < 0

1 si 0 ≤ t ≤ πy extendida

periodicamente a IR es

Sf (t) =4

π

sin t +

1

3sin3t +

1

5sin5t + · · ·




Nota. Sea c un numero real, sean f y g dos funciones integrables en (−π, π]

y sea Sf (x) y Sg(x) sus respectivas series de Fourier, entonces

• La serie de Fourier de h(x) = c es Sh(x) = c.

• La serie de Fourier de f (x) ± g(x) es Sf (x) ± Sg(x).

• la serie de Fourier de f (x) ± c es Sf (x) ± c

• la serie de Fourier de cf (x) es c Sf (x).

2.2.2 Convergencia puntual de las series de Fourier

Ahora abordaremos el problema de saber si la serie de Fourier de una funcion

f converge y, en ese caso, si su suma es la propia funcion f .

Una funcion f : I → IR (I intervalo) es suave a trozos si I se puede dividir

en un numero finito de subintervalos, donde f y f sean funciones continuas

en cada uno de estos subintervalos abiertos y las unicas discontinuidades de f

y f en I sean de salto finito. Esto ultimo quiere decir que los lımites laterales

de f y f en cada uno de los extremos de estos subintervalos existan y sean

finitos.

Observese que no es esencial que las funciones f y f existan en los extremos

de los subintervalos.




Teorema 2.2.1 Teorema de Dirichlet. Sea f : (−π, π] → IR una funci´ on

suave a trozos, entonces la serie de Fourier de f converge (puntualmente):

• a la extensi´ on peri´ odica de f , en los puntos en los que esta sea continua;

• a 1

2(f (x+

0 ) + f (x−0 )) en los puntos x0 ∈ IR donde la extensi´ on peri´ odica

de f tenga discontinuidad de salto finito.

Ası, en general tendremos

1

2(f (x+) + f (x−)) =

1

2a0 +

∞n=1


para todo x ∈ IR.

Recordemos que

limx→x+

0

f (x) = f (x+0 ) y lim

x→x−0

f (x) = f (x−0 )

y que la extension periodica de una funcion f : (−π, π] → IR es otra funcion

F : IR → IR que consiste en trasladar la funcion f a lo largo de todo el eje X

en los sucesivos intervalos de longitud 2π a derecha e izquierda del intervalo

(−π, π]. Mas concretamente, sea x ∈ IR, entonces existe un entero n tal que

(2n − 1)π < x ≤ (2n + 1)π y en ese caso definimos F (x) = f (x − 2nπ).

Ejemplo. La serie de Fourier de la funcion dada por f (t) = (π − t)(π + t)

para −π ≤ t ≤ π extendida periodicamente en IR es

Sf (t) =2π2

3+ 4

cos t − 1

4cos2t +

1

9cos3t − 1

16cos4t + · · ·

.




Como f verifica las condiciones de Dirichlet (las hipotesis del teorema de Di-

richlet), tenemos que

f (t) =2π2

3+ 4

cos t − 1

4cos2t +

1

9cos3t − 1

16cos4t + · · ·

para todo t ∈ [−π, π]. Usando el teorema de Dirichlet en t = π y operando

obtenemos que

π2

6= 1 + 1

4+ 1

9+ 1

16+ · · · + 1

n2+ · · ·

(resultado obtenido por primera vez por Euler en 1736 usando otro metodo).

Fenomeno de Gibbs.

El teorema de Dirichlet nos dice que en los puntos de discontinuidad, la

grafica de la suma de la serie de Fourier pasa por el punto medio del salto.

Si se dibujan las sumas parciales, se ve que en en las cercanıas de los puntos

de discontinuidad se reduce la velocidad de convergencia de la serie y que lagrafica de la suma parcial oscila alrededor de la grafica de la funcion. Cuando

se aumenta el numero de terminos, las oscilaciones se condensan a ambos

lados del punto, pero su amplitud no decrece. Esto se conoce como fenomeno

de Gibbs en honor a J.W. Gibbs que en 1899 demostro que la amplitud de la

oscilacion a cada lado de la grafica de la funcion tiende a ser aproximadamente

el 9% del tamano del salto.

Ejemplo. A continuacion representamos graficamente la funcion f (t) =

−1 si − π < t < 0

1 si 0 < t < πextendida periodicamente en IR, la suma de los 3

primeros terminos de su serie de Fourier y la suma de los 20 primeros terminos

de dicha serie.




2.2.3 Derivacion e integracion de series de Fourier

Integracion de las series de Fourier.

Sea f : (π, π] → IR una funcion que verifica las condiciones de Dirichlet

(en realidad es suficiente con que sea continua a trozos). Entonces, la serie de

Fourier de f puede integrarse termino a termino de manera que

x−π

f (t) dt = x−π

a0

2dt +

∞n=1

x−π

(ancos(nx) + bnsen(nx)) dx,

para todo x en (−π, π].

Ejemplo. A partir de la serie de Fourier de f (x) = x en (−π, π], obtener la

serie de Fourier de x2.




Derivacion de las series de Fourier.

Sea f : [−π, π] → IR una funcion que verifica las condiciones de Dirichlet

y tal que f (−π) = f (π). Si f (x0) existe con x0 ∈ (−π, π), entonces la serie

de Fourier de f puede derivarse termino a termino de manera que, para todo

x ∈ IR,

f (x) =∞

n=1

nbn cos(nx)−

nansen(nx).

Ejemplo. A partir de la serie de Fourier de f (x) = |x| en (−π, π], calcular la

serie de Fourier de

f (x) =

1 si − π < x < 0

−1 si 0 ≤ x ≤ π

2.2.4 Funciones pares e impares

Una funcion f se dice que es par si f (−x) = f (x). Su grafica es simetrica

respecto al eje Y .

Una funcion f se dice que es impar si f (−x) = −f (x). Su grafica es

simetrica respecto al origen de coordenadas.




Proposicion 2.2.2 Sea f : (−π, π] → IR una funci´ on suave a trozos.

• Si f es par, sus coeficientes vienen dados por

an =2

π

π0

f (x) cos (nx) dx, bn = 0

Por tanto, su serie de Fourier es de la forma:

Sf (x) = 12

a0 +∞n=1

ancos(nx)

• Si f es impar, sus coeficientes vienen dados por

an = 0, bn =2

π

π0

f (x) sen (nx) dx

Por tanto, su serie de Fourier es de la forma:

Sf (x) =∞n=1

bnsen (nx)

En ocasiones se necesita expresar una funcion definida en el intervalo [0, π]

como una suma infinita de senos o de cosenos. Esto se consigue definiendo la

funcion de manera adecuada fuera de dicho intervalo para que sea par o impar.

• La serie de Fourier en cosenos de f : [0, π] → IR es la serie de Fourier

de la extension par de f (x),

f p(x) =

f (x) 0

≤x

≤π

f (−x) −π < x < 0

es decir

S cosf (x) =1

2a0 +

∞n=1

ancos(nx)

donde an =2

π

π0

f (x)cos(nx)dx para todo n ≥ 0.




• La serie de Fourier en senos de f : [0, π] → IR es la serie de Fourier de

la extension impar de f (x),

f i(x) =

f (x) 0 < x ≤ π

0 x = 0

−f (−x) −π < x < 0)

es decirS sinf (x) =

∞n=1

bn sin(nx)

donde bn =2

π

π0

f (x) sin(nx)dx para todo n ≥ 1.

Ejemplo. Sea f (t) = t para t ∈ [0, π]. Entonces, su desarrollo en serie de

cosenos en [0, π] es

S cosf (t) =π

2 −4

πcos t +

cos3t

3+

cos5t

5+

· · ·y su desarrollo en serie de senos es

S sinf (t) = 2

sin t − sin2t

2+

sin3t

3− sin4t

4+ · · ·

A continuacion representamos graficamente los 4 primeros sumandos de la

serie de Fourier de la extension par e impar de f (t) respectivamente.




2.2.5 Extension a intervalos arbitrarios

En muchas aplicaciones es deseable adaptar la forma de una serie de Fourier

a funciones f (x) definidas sobre intervalos (−L, L], donde L es un numeropositivo cualquiera.

Para ello hacemos un cambio de variable. La variable de f es x que se

encuentra en −L < x ≤ L, consideramos una nueva variable t que se encuentra

en −π < t ≤ π. Por una simple regla de tres tenemos:

t

π=

x

L, o sea, t =

πx

Ly x =

Lt

π(2.1)

Por tanto, f (x) se transforma en una funcion de t,

f (x) = f (Lt

π) = g(t), −π < t ≤ π

Observar que si f : (−L, L] → IR es integrable (y satisface la condiciones de

Dirichlet), tambien g: (−π, π] → IR sera integrable (y verificara las condiciones

de Dirichlet).




Por tanto, podemos desarrollar g(t) en serie de Fourier del modo usual. A

partir de esta serie y deshaciendo el cambio de variable, es decir, expresandola

en terminos de la variable x, se obtiene la serie de Fourier de f (x).

La aplicacion del cambio de variable (2.1), nos da directamente la formula

de la serie de Fourier de una funcion f (x) definida en un intervalo (−L, L],

que es:

Sf (x) = a0

2+

∞n=1

an cos nπx

L+ bn sen nπx

L

.

donde

a0 =1

L

L−L

f (x) dx, an =1

L

L−L

f (x)cosnπx

Ldx,

bn =1

L

L−L

f (x)sennπx

Ldx.

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