Series de Fourier y Taylor

PARTICIPANTES:TSU. Contino, Julio. C.I. 15.970.295TSU. Pérez Keith. C.I. 16.759.316TSU. Barrios, José. C.I. 14.652.067

PROFESOR:LIC. COLMENARES WILMER

SERIES DE TAYLOR Y FOURIER

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA DEL ESTADO BOLIVAR DPTO. DE ELÉCTRICIDAD Asignatura: MATEMÁTICAS

CIUDAD BOLIVAR, ABRIL 2010

SERIES DE TAYLOR Y FOURIER

INTRODUCCION

DESARROLLO

Reseña Histórica

Conceptos

Ejercicios aplicados a las series de Taylor y Fourier

Ejercicios aplicados a la Ingeniería Eléctrica

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.Las series de Fourier tienen la forma:

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:

Reseña Histórica

Brook Taylor (Edmonton, Inglaterra, 1685-Londres, 1731)

Hijo de John Taylor, del Parlamento de Bifrons, y de Olivia Tempest (hija de Sir Nicholas Tempest). Entró en la Universidad de St. John de Cambridge como estudiante en 1701. Se licenció en Derecho en 1709, y se doctoró en 1714. Estudió matemáticas con John Machin y John Keill. En 1708 encontró una importante solución del problema del "centro de oscilación" que, sin embargo, no se publicó hasta mayo de 1714 ("Phylosophycal Transactions of the Royal Society" vol.28), lo que provocó una disputa sobre su autoría con Johann Bernoulli.

Reseña Histórica Brook Taylor (Edmonton, Inglaterra, 1685-Londres, 1731)

Matemático inglés. Discípulo de Newton, continuó su obra en el campo del análisis matemático. En 1715 publicó el Methodus incrementorum directa et inversa, donde examinó los cambios de variable, las diferencias finitas (las cuales definió como incrementos), y presentó el desarrollo en serie de una función de una variable. Tales estudios no se hicieron famosos enseguida, sino que permanecieron prácticamente desconocidos hasta 1772, cuando el matemático francés Joseph-Louis de Lagrange subrayó su importancia para el desarrollo del cálculo diferencial.

Publicó también varios trabajos sobre perspectiva, dando el primer tratamiento general de los puntos de fuga, sobre los fenómenos de capilaridad, sobre los problemas de las cuerdas vibrantes y sobre los centros de oscilación, a los que ya en 1708 había dado una solución.

Reseña Histórica

Jean Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París)

Matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al efecto invernadero en un tratado. Se le dedicó un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en 1992.

Reseña HistóricaJean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París)

Fue en Grenoble donde condujo sus experimentos sobre la propagación del calor que le permiten modelar la evolución de la temperatura a través de series trigonométricas. Estos trabajos mejoraron el modelado matemático de fenómenos físicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinámica. Sin embargo, la simplificación excesiva que proponen estas herramientas fue muy debatida, principalmente por Pierre-Simón Laplace y Joseph-Louis Lagrange.

Redacta el prefacio histórico de la obra Description de l'Egypte y publica en 1822 su célebre Théorie Analytique de la Chaleur (Teoría Analítica del Calor). Seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. En esto introduce la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier.

Reseña Histórica

Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París)

El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables reales.

En la obra Théorie analytique de la chaleur (Teoría Analítica del calor) (1822) de Fourier, los dos primeros capítulos tratan problemas sobre difusión de calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, es decir el problema discreto.

Aquí se deduce además la ecuación en derivadas parciales que rige el fenómeno: Donde: V=V(x, y, z, t) designa la temperatura del cuerpo en el punto (x, y, z) en el momento t; k el coeficiente de difusión del calor, C la constante de capacidad calórica del cuerpo y D la densidad.

‣SERIE DE FOURIER (Conceptos) Definición de la serie de Fourier

Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,..., para el cual

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:

Conceptos Definición de la serie de Fourier

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos

Entonces los coeficientes que buscamos son

En otras palabras,(1)

Conceptos Definición de la serie de Fourier

En la que (2)

La ecuación 2, en notación de producto interno (o producto punto), es

(3)

El conjunto de funciones

(1)

Es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica

(2)

Conceptos


Entonces, los coeficientes pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene

(3)

Como cada función n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,

Al despejar se obtiene

(4)

Conceptos


Ahora multipliquemos la ecuación (2) por e integremos:

(5)

Por la ortogonalidad tenemos que

y,

Entonces la ecuación 5 se reduce a

Y así (6)

Conceptos


Por último si multiplicamos a (2) por , integramos y aplicamos los resultados

Llegamos a (7)

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es

(8)

(9)

Conceptos

‣ Aplicaciones El poder extraordinario y la flexibilidad de las series y transformadas de Fourier se

ponen de manifiesto en la asombrosa variedad de las aplicaciones que ellas tienen en diversas ramas de la matemática y de la física matemática, desde teoría de números y geometría hasta mecánica cuántica. En esta sección presentamos algunas de las más importantes aplicaciones del análisis de Fourier.

Comenzamos dando una hermosa y elegante solución al que demostró ser uno de los más complejos problemas de la geometría plana: el famoso problema isoperimétrico.


‣Aplicaciones Otras Aplicaciones serian: Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la

superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

Análisis en el comportamiento armónico de una señal. Reforzamiento de señales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la

señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

‣Aplicaciones Series de Fourier de cosenos y de senos

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

, n=0,1,2,...,

‣Aplicaciones Resumen de las constantes de la series de Fourier

a) La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

En que

b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos

En donde

AplicacionesSerie de Fourier en forma compleja

AplicacionesCálculo de Cn:

Ejercicios aplicados a las serie de FourierCalcular la serie compleja de Fourier para

f (t+2) = f (t) Û T=2 Û w 0= p rad/s

Ejercicio aplicados a las serie de Fourier

Ejercicios aplicados a la Ingeniería Eléctrica (serie de Fourier)

Ejercicios aplicados a la Ingeniería Eléctrica (serie de Fourier)Entonces; tenemos el siguiente procedimiento

Ejercicios aplicados a la Ingeniería Eléctrica (serie de Fourier)

Ejercicios aplicados a la Ingeniería Eléctrica (serie de Fourier)Analíticamente tenemos:

‣SERIE DE TAYLOR (Conceptos) Definición de la serie de Taylor

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

‣SERIE DE TAYLOR (Conceptos) Caso de una variable

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado ( , ) y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:

Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por Pn,a , el polinomio:

O en forma compacta


Donde denota el factorial de y es el resto, término que depende dey es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación:

Donde y pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :2

Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.


Para algunas funciones , se puede probar que el resto se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Caso de varias variables

El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :

‣SERIE DE TAYLOR (Conceptos) Caso de varias variables

Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:

Para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).

Demostración: Vamos a demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional: Sea un campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase .

‣SERIE DE TAYLOR (Conceptos) Caso de varias variables

‣SERIE DE TAYLOR (Conceptos)


Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómodo y compacto.

La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.

DemostraciónLa demostración de la fórmula (1a), con el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente del teorema de Rolle aplicado a la función:

Un cálculo rutinario permite ver la derivada de esta función cumple que:



Se define ahora la función G como:

Es evidente que esta función cumple , y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:

Y como:

Se obtiene finalmente que:


Series de Taylor notables

La función coseno


Series de Taylor notables

Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos Las dos imágenes de arriba puestas juntas.

‣SERIE DE TAYLOR (Conceptos)Los coeficientes de un polinomio, en términos de sus derivadas

Observación: En base a lo anterior, podemos afirmar que, dado un polinomio cualquiera podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo. Asimismo si conocemos las derivadas en un punto xo, podemos encontrar el polinomio.

Ejercicios aplicados a las serie de Taylor

Ejercicio aplicado a la Ingeniería Eléctrica (serie de Taylor)

http://translate.google.co.ve/translate?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://modular.math.washington.edu/home/wdj/teaching/DiffyQ/de-fourier.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

http://www.monografias.com/trabajos32/fourier-y-laplace/fourier-y-laplace.shtml

http://www.ce-mat.org/cdc/Fourier.pdf

http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/09-seriespotencias.pdf

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