Séptimo 2014

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. 510.7 Grupo Fnix de Costa Rica

. G892m Matemtica 7: Un enfoque con base en la resolucin deVII problemas / Grupo Fnix de Costa Rica. -- 1a ed. -- Alajuela,

Costa Rica: Grupo Fnix de Costa Rica, 2014174 p. : il. ; 27 cm.

ISBN 978-9930-9496-0-3

1. MATEMTICA - ENSEANZA - ENSEANZA MEDIA.2. MATEMTICAS -LIBROS DE TEXTO. I. Ttulo.

Copyright 2014Grupo Fnix

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin autorizacin escrita del Grupo Fnix.

Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 8855-1678www.grupofenixcr.com

Diseo y armadoGrupo Fnix

Diseo de portadaGrupo Fnix

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* Aplican restricciones, ver condiciones en www.grupofenixcr.com

INTRODUCCINPrimero, es conveniente hacer una breve aclaracin sobre nuestro nombre y smbolo (Ave Fnix Tribal),

se tiene como referente histrico-ideolgico el mito del Ave Fnix que aliment varias doctrinas y concepcionesreligiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fnix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba deun ave fabulosa que se consuma por accin del fuego cada 500 aos, para luego resurgir de sus cenizas. Esdecir, el GRUPO FNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, espor esta razn que es nuestro emblema.

Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseanza yaprendizaje de la matemtica, exponiendo de forma pragmtica y didctica todos los Conocimientos,Habilidades Especficas e Indicaciones Puntuales, expuesta y vigentes en el Programa de Estudio deMatemticas (Transicin 2014), con base en los Programas de Estudio de Matemtica aprobados por elConsejo Superior de Educacin el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodolgico el enfoquecon base en la resolucin de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.

Despus de muchos aos de trabajo en las aulas y en oficinas tcnicas del MEP, as como la bastaexperiencia en la elaboracin de libros de texto y material didctico, un grupo de profesionales en la Enseanzade la Matemtica nos propusimos elaborar una propuesta pragmtica y didctica basada en la resolucin deproblemas que propicie el desarrollo de competencias matemticas en el estudiante.

Un problema que consideramos sustantivo en el desarrollo del Programa de Estudio, consiste en quealgunos docentes guiados por otros textos, desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todossus elementos que lo conforman, llmese estos, Conocimientos, Habilidades Especficas e IndicacionesPuntuales, provocando que se trabaje en el aula contenidos que no estn en las directrices curriculares delMEP, o en su defecto, alcanzando niveles de profundizacin de temas que no se consideran importantes paralas habilidades generales previstas para el educando en cada ao de su respectivo ciclo. Es por este motivo,que hemos insertado textualmente dichos elementos y ms (en algunos casos planteamos incluso los mismosproblemas que citan en las Indicaciones Puntuales, nunca con el afn de atribuirnos tales derechos de autor,por el contrario, respetamos y citamos que tales problemas pertenecen a los Programas de Estudio deMatemticas del Ministerio de Educacin de Costa Rica), de modo que sean el verdadero referente para lasactividades de mediacin que el docente proponga.

Tercero, para esta nueva edicin 2014 se ha contemplado que el mayor nmero de habilidades adesarrollar tengan un problema al inicio, permitiendo al docente y al estudiante incursionar en la nueva temticapartiendo de un reto de la vida cotidiana, intentando aprehender del estudiante los conocimientos previos yfomentar para la vida el principio filosfico que consideramos eje transversal de la educacin en general losproblemas son para resolverlos. El material est constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teora,los ejemplos y los trabajos cotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo ms elemental a lo mscomplejo.

Cuarto y ltimo, en una investigacin previa realizada por el GRUPO FNIX con un grupo focal dedocentes de una Regin Educativa, nos dicta que en la mayora de los casos los estudiantes buscan primero lasrespuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este ltimo no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que enmuchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitalesantes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros librosofrecemos a cada docente la posibilidad de descargar* las respuestas en nuestra pgina webwww.grupofenixcr.com para que las utilice segn considere mejor con sus estudiantes, e incluimos unaserie de materiales de apoyo para el docente de matemtica trabajos extra clase, ejercicios deprofundizacin, planeamientos y pruebas escritas entre otros, que busca simplificar al menos un pocotanto trabajo que tiene sobre sus hombros cada docente en su ejemplar labor como formador de nuestrosjvenes estudiantes que participan en sus lecciones.

El estudio de la matemtica debe ser el comienzo del conocimiento depurado (Los autores, 2009)

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RECONOCIMIENTOSAda FigueroaProfesora de MatemticaLiceo Monseor Rubn Odio

Alexander FuentesProfesor de MatemticasLiceo Monseor Rubn Odio

Allan Correa MataProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio SalazarTurrialba

Ana Lucia Araya UmaaProfesora de MatemticaC.T.P Dos Cerca

Alina Palacios ArauzProfesora de MatemticasLiceo Acadmico Diurno deCiudad Neily

lvaro Ortega lvarezProfesor de MatemticaUnida Pedaggica Jos FidelTristn

Allan MairenaProfesor de MatemticaLiceo San Jos

Andrea Madrigal GonzlezProfesora de MatemticaCTP Bolvar

Adrin Umaa DuranProfesor de MatemticaLiceo Escaz

Alejandra Araya QuirsProfesora de MatemticasColegio Marco Tulio Salazar:Liendo y Goicochea

Adriana Marn MoraProfesora de MatemticaIEGB Amrica Central

Andrea AriasProfesora de MatemticaColegio Vocacional de Heredia

Alex MoraProfesor de MatemticaC.T.P de Parrita

Ana Cristina Herrera VProfesora de MatemticaIEGB Andrs Bello Lpez

Adriana Vquez MirandaProfesora de MatemticaLiceo de Turrucares

Adriana Vargas ArguedasProfesora de MatemticaLiceo Samuel Senz

Agustn Mora PicadoProfesor de MatemticaLiceo Pacifico Sur

Ana Isabel Noguera EProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Alonso Caldern CorderoProfesor de MatemticasCTP Siquirres

Andrs Cubillo BarrantesProfesor de MatemticaColegio Teresiano San Enrique

Agustn Monge PiedraProfesor de MatemticaLiceo de Atenas

Andrs GarcaProfesor de MatemticasLiceo de Tarraz

Anita Vindas ChvezProfesora de MatemticaLiceo Manuel Benavides

Ana Grace Carranza AProfesora de MatemticaLiceo Rural de Cabeceras

Aida Segura ArroyoProfesora de MatemticasLiceo Gregorio Jos Ramrez

Ana Margarita Angulo CProfesora de MatemticaCTP 27 de Abril

Andreina Vsquez RojasProfesora de MatemticaCTP Bolvar

Arelis Arias VarelaProfesora de MatemticaIPEC de Puntarenas

Bartolom Palma BarrantesProfesor de MatemticaLiceo Nuevo de Limn

Bernal LunaProfesor de MatemticaLiceo Salvador Umaa

Bernard Carvajal SnchezProfesor de MatemticaColegio Acadmico de Gucimo

Bianca Chacn HernndezProfesora de MatemticaLiceo Diurno de Limn

Carlos Edo Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcaral

Crissel Cspedes BadillaProfesora de MatemticaLiceo Rural Santiago de SanPedro

Carmen Saira Cubero VProfesora de MatemticaLiceo de Tucurrique

Csar Rodrguez LealProfesor de MatemticaLiceo de Ro Fro

Carlos Arce MurilloProfesor de MatemticasLiceo San Miguel deDesamparado

Cindy Obando GProfesora de MatemticaIPEC Sindea Arabela Jimnezde Volio

Carlos Jos SantamaraRamrezProfesor de MatemticaColegio de Florencia

Carmen Liley MonteroProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeGrecia, Alajuela

Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemticaCTP Mansin de Nicoya

Cristian Sancho CambroneroProfesora de MatemticaColegio Dr. Moreno Caas

Carlos Medina ObregnProfesor de MatemticaLiceo Pacifico Sur

Carolina FloresProfesora de MatemticaColegio Saint Benedict

Carlos GaliciaProfesor de MatemticaCentro Educativo Adventista dePaso Canoas

Cristiana Caldern MProfesora de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Carlos Quesada GamboaProfesor de MatemticaCTP Osa

Cristian Peralta CruzProfesor de MatemticaLiceo El Carmen de Nandayure

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Carlos Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcaral

Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemticasLiceo Experimental BilingeLos ngeles

Carlos Venegas SotoProfesor de MatemticaLiceo Ro Fro

Cristina Caldern MejasProfesora de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Carlos Corrales ChavarraProfesor de MatemticaC.T.P Roberto Gamboa

Carlos Gonzlez A.Profesor de MatemticaLiceo de Cervantes

Carlos Villalobos SolsProfesor de MatemticaC.T.P Ambientalista IsaasRetana Arias

Carlos Chavarra VillalobosProfesor de MatemticaCTP Guatuso

Cecilia Prez SalasProfesora de MatemticaLiceo Poasito

Cesar Morales GranadosProfesor de MatemticaLiceo Jos M Gutirrez

Carmen Julia Ulate QuesadaProfesora de MatemticaLiceo San Jos

Danny ColumnaProfesor de MatemticaLiceo Len Corts Castro

Damaris Castillo BustosProfesora de MatemticaLiceo Duacary

Daniel Arguedas AlfaroProfesor de MatemticaTelesecundaria Boca del Ro

David Alfaro AlfaroProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis Norte

Danny MongeProfesor de MatemticaLiceo de Coronado

Daniel Cruz CamposProfesor de MatemticaLiceo de San Jos

Danny Ruiz OrozcoProfesor de MatemticaLiceo Rural la Aldea

David Daniel Conejo AriasProfesor de MatemticaLiceo Nocturno Pacifico Sur

Diego Navarro TrejosProfesor de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deAgua Buena

Daniel Alczar RamrezProfesor de MatemticaLiceo Capitn Manuel Quirs

Dariana Rodrguez IglesiaProfesora de MatemticaColegio Indgena Chiroles

Denia Salas NezProfesora de MatemticaColegio Patriarca San Jos

Dilsia Navarro DurnProfesora de MatemticaIEGB Limn

Diana Herrera AlfaroProfesora de MatemticaColegio el Carme

Diego GonzlezProfesor de MatemticaLiceo de Ro Fro

Dayana Gonzlez ChavesProfesora de MatemticaLiceo San Jos

Doris Bonilla UlateProfesora de MatemticaMarco Tulio Salazar:Puntarenas

Diego Araya AlpizarProfesor de MatemticaIPEC Agua Buena

Dennis Vallejos BarrantesProfesor de MatemticaColegio de Bagaces

Deborah Pierce CuberoProfesora de MatemticaColegio Bilinge Ecolgico SanMartin

Estrella Len HernndezProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Erika Daz LealProfesora de MatemticaSindea de Abangares

Eilyn Snchez FernndezProfesora de MatemticaCTP Gucimo

Eithel HerreraProfesor de MatemticaColegio el Carmen

Eithel Vega RodrguezProfesora de MatemticaColegio Redentorista SanAlfonso

Edwin Jimnez SalinasProfesor de MatemticaSEC Hojancha

Elin Vargas AriasProfesora de MatemticasColegio Concepcin de Pilas

Elizabeth Chavarra CProfesora de MatemticaLiceo Deportivo de Grecia

Enrique Montero MoreiraProfesor de MatemticaColegio Finca de Naranjo

Emmanuel Alvarado RProfesor de MatemticaTelesecundaria Baha Drake

Erick PaguagaProfesor de MatemticaCTP Puerto Viejo

Esteban Arguedas VargasProfesor de MatemticaC.T.P Granadilla

Evelyn Valverde ChacnProfesora de MatemticaLiceo de Puente Piedra

Esteban Blanco UrbinaProfesor de MatemticaCTP Osa

Eugenio RamrezProfesor de MatemticasLiceo El Roble

Fabin Villanueva SalasProfesor de MatemticaColegio Puente Piedra

Floribeth Jimnez HidalgoProfesora de MatemticaC.T.P Piedades del Sur

Fernando Chica RomeroProfesor de MatemticaC.T.P Ambientalista IsaasRetana Arias

Francisco CanessaProfesor de MatemticaLiceo Antonio Obando Chan

Fainier Jimnez MenaProfesor de MatemticaLiceo Julin Volio de Orente

Fabiana Ortiz AstorgaProfesora de MatemticaCTP Dulce Nombre de Cartago

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Flora FernndezProfesora de MatemticaColegio Internacional Canadiense

Gina Iveth Ramrez CerdasProfesora de MatemticaLiceo Rural de San Julin

Gabriela Mena RojasProfesora de MatemticaLiceo de Tarraz

Guiselle EspinozaProfesora de MatemticaLiceo Deportivo de Grecia

Gloria Badilla FonsecaProfesora de MatemticaColegio Pacto del Jocote

Gerardo RamrezProfesor de MatemticaLiceo Regional de Flores

Gloriela HidalgoProfesora de MatemticaLiceo de Heredia

Gabriel Martnez BorbnProfesor de MatemticaLiceo Platanillo de Bar

Gerardo Rodrguez BarriosProfesor de MatemticaLiceo Turrucares

Gabriela VargasProfesora de MatemticaCentro Educativo NuevoMilenium

Greivin Lpez GmezProfesor de MatemticaSINDEA de Hojancha

Grettel ArrietaProfesora de MatemticaSindea de Coopel

Guiselle OtrolaProfesora de MatemticaLiceo de Turrucares

Greivin Eduardo CorderoCorderoProfesor de MatemticaLiceo Rural Maz de los UVA

Gladys Masis BonillaProfesora de Matemtica

Guadalupe KoreaLakeside Internacional School

Greddy Gonzlez HenrquezProfesor de MatemticaJohn F Kennedy High School

Gaudy GonzlezProfesora de MatemticaLiceo de Heredia

Guiselle Pereira RiveraProfesora de MatemticaColegio Daniel Oduber Quirs

Herbert Ugalde LoboProfesor de MatemticaCTP Upala

Henry VillarrealProfesor de MatemticaColegio Los Delfines

Harold CamposProfesor de MatemticaCentro Educativo Catlico

Henry Rodrguez DelgadoProfesor de MatemticaC.T.P Mercedes Norte

Haidi CorralesProfesora de MatemticasInstituto CentroamericanoAdventista

Hannia Leiva FallasProfesora de MatemticaLiceo Sina Diurno

Imelda Senz PinedaProfesor de MatemticaSindea 28 Millas

Isabel VsquezProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deGrecia

Idannia Chaves JimnezProfesora de MatemticaSINDEA de Venecia

Ileana Lezcano RProfesora de MatemticaCTP Talamanca Bibri Limn

Ignacio Jimnez GonzlezProfesor de MatemticaColegio Dulce Nombre

Ileana Naranjo MesenProfesora de MatemticaLiceo San Miguel deDesamparados

Javier Calvo CorderoProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca

Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemticaLiceo Nocturno de Desamparado

Javier Carballo RuzProfesor de MatemticaLiceo San Antonio deCoronado

Jerson Ruz VargasProfesor de Matemtica

Juan Carlos BarrantesMndezProfesor de MatemticaIPEC de Agua Buena

Jason Lagos CruzProfesor de MatemticaColegio Villareal

Jenny Burgos ValverdeProfesora de MatemticaLiceo de Puriscal

Jenny Naranjo NaranjoProfesora de MatemticaC.T.P Jos Daniel FloresZabaleta

Jenny Raquel RomeroBonillaProfesora de MatemticaSindea Bribri Satlite 13

Jessenia Guevara VarelaProfesora de MatemticaLiceo San Jose

Jess HidalgoProfesor de MatemticaColegio Santa Josefina

Johnny Sancho MoralesProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Parrita

Jorge Bonilla VegaProfesor de MatemticaLiceo de San Vito

Jessica Villalobos RojasProfesora de MatemticaTelesecundaria el Llano

Jocelyn VindasProfesor de MatemticaEscuela Internacional Cristiana

Jordn Ros VargasProfesor de MatemticaC.T.P Puntarenas

Jorge Chacn VargasProfesor de MatemticaLiceo del Sur

Jorge Luis Quirs UgaldeProfesor de Matemtica

Jos Alberto QuesadaObandoProfesor de MatemticasColegio Acadmico de Costade Pjaro

Jos Francisco Rivera VargasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cederal

Jos Luis Prez OrtizProfesor de MatemticaLiceo Acadmico de Beln

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Jorge Mata AguilarProfesor de MatemticaLiceo Franco Costarricense

Jos Diomar Salinas PiaProfesor de Matemtica

Jos Javier Ramrez GutirrezProfesor de MatemticaLiceo Jos Antonio ObandoChan

Jos Mrquez GonzalesProfesor de MatemticaC.T.P Roberto Gamboa

Julio Marn SnchezProfesor de MatemticaLiceo de Cariari

Jairo Rojas VargasProfesor de MatemticaLiceo La Lucha

Johnny Villalta BalladaresProfesor de MatemticaLiceo Manuel Emilio RodrguezEchevarra

Jorge Arturo Calvo AlegraProfesor de MatemticaColegio Jos Mart

Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemticaCentro Educativo Pasos deJuventud

Karol Snchez JimnezProfesora de MatemticaLiceo Nocturno Pacifico del Sur

Katherine Sand FallasProfesora de MatemticaLiceo de Mata de Pltano

Kimberly Abarca GmezProfesora de MatemticaCTP Santa Elena

Karla Araya ChavesProfesora de Matemtica

Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge

Kattya Castro FernndezProfesora de MatemticaSun Valley High School

Kendrich Vargas VsquezProfesor de MatemticaColegio Bil. De Palmares

Kattya Pizarro MoragaProfesora de MatemticaLiceo Acadmico de Beln

Kerlyn EsquivelProfesora de MatemticaColegio Puente de Piedra

Karla Guevara VillegasProfesora de MatemticaLiceo de Colorado de Abangares

Lineth Quesada MProfesora de MatemticaLiceo de Tucurrique

Luis Castillo SantamaraProfesor de MatemticaLiceo de Santa Ana

Lissette Ulate AriasProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar:Simn Bolvar

Luis Alonso Ruiz TorresProfesor de MatemticaCTP Carrillo

Lucia Mata VindasProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo

Leonardo Lpez RodrguezProfesor de Matemtica

Luis Quesada AlvaradoProfesor de MatemticaC.T.P. Limn

Laura Cisneros FonsecaProfesora de MatemticaLiceo Santa Marta

Maricruz Granados MedinaProfesora de MatemticaLiceo de Paraso

Mauricio Pearanda FallasProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel

Michael Chvez MadrigalProfesor de MatemticaCTP Cartagena Guanacaste

Mayra Martnez MuozProfesora de MatemticasIEGB Anselmo Gutirrez

Marvin Mndez CruzProfesor de MatemticaIPEC Agua Buena

Maril Rodrguez MoraProfesora de MatemticaLiceo Rural de Santo Domingo

Miguel ngel SnchezProfesor de MatemticaColegio La Aurora

Mirta BritoProfesora de MatemticaColegio Educativo Royal

Manrique Barrientos QProfesor de MatemticaLiceo de Miramar dePuntarenas

Manuel VillegasProfesor de MatemticaLiceo de San Roque

Marta Eugenia Castro UreaProfesora de MatemticaC.T.P Piedades del Sur

Mauricio Solano BolaosProfesor de MatemticaLiceo La Triga

Marta Eugenia Arce RojasProfesora de MatemticaInstituto Educativo Monte Carlo

Maricela Urea JimnezProfesora de MatemticaColegio Nocturno la Cuesta

Maureen Redondo BarqueroProfesora de MatemticaUnidad pedaggica BarrioNuevo

Mara Belermina Chacn V.Profesora de MatemticaInstituto de Guanacaste.

Minor Vargas VargasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cahuita

Mariela Cubero MoralesProfesora de MatemticaLiceo Alfaro Ruiz

Mauricio Gamboa GamboaProfesor de MatemticaLiceo de Tarrazu

Michael Tiffer ChavesProfesor de Matemticas

Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaInstituto de Alajuela Liceo elCarmen

Max Gerardo Araya SequeiraProfesor de MatemticaLiceo Rural de Londres

Melida Soto MoyaProfesora de MatemticaIPEC de San Jos

Mauricio Fallas RodrguezProfesor de Matemtica

Milagro SeguraProfesora de MatemticaC.T.P Santa Eulalia

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Maribel RamrezProfesora de MatemticaSaint Margaret School

Melania Alvarado AlvaradoProfesora de MatemticaLiceo Jos Mart

Manuel lvarez HernndezProfesor de MatemticaSindea Puerto Viejo

Mariela Alfaro HidalgoProfesora de MatemticaLiceo San Roque

Marcela CecilianoProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo

Marco Abarca AlvaradoProfesor de MatemticaColegio Acadmico La Palma

Marisol BonicheProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deGrecia

Natalia Bonilla AstorgaProfesora de Matemtica

Norberto Montero SeguraProfesor de MatemticaColegio Tcnico San Joaqun deFlores

Noem Morera ChvezProfesora de MatemticaSindea de Venecia.

Nuria GarroProfesora de MatemticaConvi S.A

Nancy CastroProfesora de MatemticaLiceo de Santa Ana

Nelson Torres UmaaProfesor de MatemticaIEGB la Cruz.

Nelson Loria SnchezProfesor de MatemticaLiceo de Ticaban

Paolo AnguloProfesor de MatemticaGreen Valley

Pablo Coto BrenesProfesor de MatemticaIPEC Sindea Arabela Jimnezde Volio.

Omar Camacho AstuaProfesor de MatemticaC.T.P Mario Quirs Sasso

Paulo Paniagua DelgadoProfesor de MatemticaLiceo Manuel Benavides

Paulina Coto MataProfesora de MatemticasUnidad Pedaggica San Diego

Paola SolsProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar

Rosario Mndez EsquivelProfesora de Matemtica

Ronald Jimnez GonzlezProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis

Rafael Montero RodrguezProfesor de MatemticaColegio Internacional Sek

Randall Quirs BermdezProfesor de MatemticaLiceo de Cariari

Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel DeDesamparados

Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel

Rebeca Mora Oconitrillo.Profesora de MatemticaColegio Florida.

Robert Rojas BadillaProfesor de MatemticaColegio Madre del DivinoPastor

Rodney Ng BaltodanoProfesora de MatemticasLiceo de Tucurrique

Rody Arrieta SolanoProfesor de MatemticaCentro Educativo Jorge deBravo.

Romn Ruiz ContrerasProfesor de MatemticaLiceo Experimental BilingeSanta Cruz.

Ronald Villalobos AriasProfesor de MatemticaLiceo Ambientalista el Roble

Rosa Iris Centeno Ros.Profesora de Matemtica

Rolando Cascante R.Profesor de MatemticaSindea de Pejibaye

Ramn Jimnez SolsProfesor de MatemticaColegio Acadmico Republicade Italia

Rony Rodrguez ChavaraProfesor de MatemticaLiceo Rural Colonia del Valle

Rafael Gonzales PalaciosProfesor de MatemticaUnid. Pedaggica La Valencia

Rosa M. Soto PaladinaValley Forge High School.

Ricardo Mndez BlancoProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cahuita

Shirley Marn AbarcaProfesora de MatemticaLiceo Santa Martha

Sterling Arce EspinozaProfesor de MatemticaC.T.P Castro Beer

Saray Gamboa CorralesProfesora de MatemticaLiceo de Chachagua

Siria Daz HernndezProfesora de MatemticaColegio Atlntico Siquirres

Sergio A. Madrigal CorderoProfesor de MatemticaLiceo de Tarrazu

Sergio Vanegas RojasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Gandoca

Shirley Gonzlez AProfesora de MatemticaColegio Nocturno de Quepo

Shirley Cerdas PeaProfesora de MatemticaSindea Sardinal Carrillo

Shirley ValverdeProfesora de MatemticaLiceo de Atenas

Stephanie Herrera VargasProfesora de MatemticaC.T.P Las Palmitas

Teresita SnchezProfesora de MatemticaVocacional de Heredia

Tania CrdobaProfesora de MatemticaLiceo Joaqun Gutirrez Mangel

Tania RomeroProfesora de MatemticaUnidad Pedaggica Jos FidelTristn

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Thais Sandi MenaProfesora de MatemticaLiceo de Gravillas

Vctor RetanaProfesor de MatemticaLiceo del San Jos

Victoria Matarrita MndezProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio: Holanda

Violeta LozanaProfesora de MatemticaCentro Educativo Adventista deLimn

Vicenta Laurence LpezProfesora de MatemticaLiceo Nocturno de Siquirres

Vanessa Gmez JimnezProfesora de MatemticaColegio Nocturno de Guay cara

Vialexca Membreo GonzlezProfesora de MatemticaC.T.P de Guatuso

Vctor Quirs OtrolaProfesor de MatemticaLiceo Finca Alajuela

Vernica Medrano RojasProfesora de MatemticasLiceo Judas de Chomes

Vernica Morales RamrezProfesor de MatemticaC.T.P Mario Quirs Sasso

William Guilln CarpioProfesor de MatemticaLiceo Ricardo FernndezGuardia

Wilberth Guido QuirsProfesor de Matemtica

Wendy Campos GuevaraProfesora de MatemticaLiceo Nocturno Paraso

Wayne Chacn BrenesProfesor de Matemtica

Wilmar Castro SolsProfesor de MatemticaLiceo Canan de Ros

Wilberth Altamirano SequeiraProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar:Golfito

Xenia ParkerCentro EducativoAdventista de CR

Xinia EspinozaProfesora de MatemticaLiceo San Francisco de Ass

Xiomara Rivera LpezProfesora de MatemticaLiceo Eco turista Quepo

Yajaira Abarca SolsProfesora de MatemticaLiceo de Laguna

Yulissa SolsProfesora de Matemtica

Yendri Naranjo RodrguezProfesora de MatemticaLiceo Sixaola

Yamil Villanueva DazProfesor de MatemticaColegio Tepecue

Yohan Gmez GarroProfesor de MatemticaCTP Jcaral

Yogen Suarez GarcaProfesor de MatemticaSindea Huacas

Yuri Lobo HernndezProfesora de MatemticaColegio La Aurora

Yajaira Rodrguez Gonzales.Profesora de MatemticaLiceo Rural de Manzanillo

Zeidy ChvezProfesora de MatemticaLiceo Castro Madriz

Zeidy Jarquin CalvoProfesora de MatemticaLiceo Rural Nueva Guatemala

Zeidy Cordero NezProfesora de MatemticaColegio Artstico Felipe Prez

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NDICEUNIDAD I: NMEROS

1. Potencias 142. Combinacin de operaciones 193. Algoritmo de la divisin 244. Concepto de divisibilidad, factor y mltiplo 255. Nmeros primos y compuestos 296. Nmeros compuestos y sus factores primos 307. Mnimo comn mltiplo 328. Mximo comn divisor 339. Nmeros enteros negativos 3910. Relaciones de orden 4311. Recta numrica 4512. El valor absoluto y el opuesto 4813. Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones 5314. Algunos casos de potencias 6115. Propiedades de potencias 6216. Potencias y races 6517. Raz de un nmero entero 6618. Ms sobre combinacin de operaciones 68

UNIDAD II: GEOMETRA19. Puntos, segmento, recta, semirrecta, rayo y plano 7420. Concepto de plano 7621. Figuras tridimensionales y sus elementos 8022. ngulos llanos, adyacentes, los que forman par lineal y los23. opuestos por el vrtice 8424. ngulos congruentes, complementarios, suplementarios 8525. ngulos determinados por tres rectas coplanares 8826. Desigualdad triangular 9427. Suma de las medidas de los ngulos de un tringulo 9628. ngulos internos y externos de un tringulo 9729. Suma de los ngulos internos de un cuadriltero 10030. Suma de los ngulos externos de un cuadriltero 10131. Puntos y figuras geomtricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos 10932. Algebraicamente el punto medio de un segmento 11133. Puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un sistema de ejes cartesianos 113

UNIDAD III: RELACIONES Y LGEBRA34. Ley de formacin de una sucesin utilizando lenguaje natural, tabular y algebraico 12035. Proporcionalidad inversa 12436. Proporcionalidad directa e inversa 127

UNIDAD IV: ESTADSTICA Y PROBABILIDAD37. La Estadstica como una herramienta imprescindible para el anlisis de datos 13138. Desarrollo histrico de la Estadstica 13239. Cuadros, grficas u otras representaciones 13440. Conceptos bsicos estadsticos 14141. Variabilidad 14842. Datos del entorno por medio de experimentacin o interrogacin 15143. Distribucin de frecuencias 153

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Tomado de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/matemagicas/pages/hist_mat/textes/h_nombre.htm

HISTORIA DE LOS NMEROSLa historia de las matemticas ha sido precedida de una larga prehistoria de la que tenemos algunos trazosque se remontan a 4000 aos. Los animales superiores y los nios perciben en nuestro mundo dos entidadesabstractas fundamentales: el nmero y la forma. Por lo tanto, la aritmtica y la geometra fueron, durantemucho tiempo, distintas, separadas, aunque se mantuvieron como las dos ciencias fundamentales. En unprincipio, el conocimiento de los nmeros por el hombre no fue muy fino. En las sociedades primitivas, nodistingua entre dos conjuntos equipotentes (con el mismo nmero de elementos), sino que apenas sabacontar: uno, dos, muchos. Muchos se dice tres en latn: esta palabra subsiste todava hoy en francs: trs,pero tambin trois. El sistema ms antiguo consista en contar con los dedos. Pero, cmo anotar elresultado?Despus contaron y anotaron grandes nmeros echando fichas en una bolsa. Se dieron cuenta entonces deque bastaban unas simples marcas grabadas sobre una tablilla.Los Babilonios utilizaron marcas de formas diferentes para designar grandes nmeros. Diversos smboloscolocados en diferentes posiciones bastaban para representar los nmeros ms grandes.Anotaciones a lo largo de las pocasLas civilizaciones ms antiguas observaban las vueltas a la redonda de los astros en el cielo. Sabemos as quelos Sumerios de Uruk y de Nippur (- 3000) utilizaban ya un calendario lunar. Y que tuvieron la idea derepresentar los nmeros por smbolos: la luna representaba la unidad, lunas juntas los nmeros siguientes.La necesidad de hacer cuentas y de escribirlas les condujo a utilizar abreviaciones ms cmodas. La barravertical u oblicua tiene entonces sentido de unidad (Fenicios, Sirios, Nabateos, Griegos Antiguos, rabes delSur, Hindes). Los conjuntos de cinco, diez o veinte unidades eran abreviados por smbolos especiales,eventualmente derivados de su nombre. Todos estos sistemas eran aditivos, es decir, el nmero cdigo es lasuma de los smbolos representados.Los Babilonios (- 2000) se destacan al inventar el sistema sexagesimal: los smbolos de base valen 1, 10, 60,luego 600, 3600, 36000 y as sucesivamente. Este sistema se ha perpetuado hasta nosotros, mediante laastronoma, para las medidas sexagesimales de tiempos y de ngulos.Varias civilizaciones han tenido, adems, la idea de utilizar las letras de su alfabeto para representar losnmeros. Esto permite dar un sentido a algunos de entre ellos: son los clculos cabalsticos. El nmerocorrespondiente a una letra viene a ser funcin de la posicin de sta en la palabra; la necesidad de marcar lanada se hace sentir. El origen del cero todava permanece oscuro. Con toda seguridad existe en textosHindes del siglo VI donde toma la forma de un punto. En escritos astronmicos griegos, el cero estrepresentado por la letra o inicial de la palabra griega omdem : nada.

UNIDAD INMEROS

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Conocimientos Habilidadesespecficas Indicaciones puntualesNmerosNaturalesOperaciones Suma Resta multiplicacin Divisin Potencias

Combinacin deoperaciones

1. Calcular expresionesnumricas aplicandoel concepto depotencia y la notacinexponencial.

2. Aplicar la prioridad delas operaciones enexpresiones quepresentencombinacin deoperaciones conparntesis o sin ellos.

Se puede introducir el tema expresando, como repaso, mltiplos de 10 como potencias de base 10 .Luego se realiza la representacin de productos con factores iguales como potencia y viceversa, paraidentificar luego cuadrados y cubos perfectos.

Posteriormente se trabaja con ejercicios bsicos de operaciones; por ejemplo, verificar si las siguientesafirmaciones son falsas o verdaderas:

2 2 25 7 5 7 , 2 2 26 2 6 2 , 2 2 2(8 3) 8 3 , 2 2 2(9 3) 9 3 Adems se analizan problemas Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje deconocimientosEs necesario retomar los algoritmos que permiten operar con nmeros naturales. No se debe perder devista que la habilidad de realizar operaciones con estos nmeros ser necesaria para abordar con xitoel trabajo con nmeros enteros. Este repaso debe ir dirigido a corregir errores tpicos que pueden surgircuando las y los estudiantes resuelven una combinacin de operaciones. El planteo de problemas eneste sentido puede ser una herramienta que le permita a cada estudiante justificar procedimientos. Porejemplo, se considera el problema: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje deconocimientosUn error comn es realizar la primera operacin que aparece de izquierda a derecha (en este caso lasuma) y a dicho resultado aplicar la operacin siguiente. Aqu el mismo contexto del problema debepropiciar, de forma natural, la necesidad de realizar primero los productos y cocientes correspondientesy finalmente sumar los resultados. De ese modo se propician oportunidades para adquirir confianza enla utilidad de las Matemticas.Debe indicarse el cambio de simbologa para la multiplicacin, ahora se utilizar el punto. Un problemacomo el anterior permite discutir las ventajas para la salud de una alimentacin sana.La combinacin de operaciones no debe exceder de cuatro trminos, donde en cada uno de ellos slose haga uso de un parntesis. En el interior de cada parntesis incluir a lo sumo dos diferentes tipos deoperaciones. Por ejemplo:

a) 24 8 5 3 b) 7 5 2 2 c) 35 2 5 8 7 2 3 d) 2 33 10 2 9 3 12 3 2 7 3 2

Nota: En primaria la multiplicacin se representa con una " "x , en secundaria se representa con un punto " " . Ejemplo 2 5 10

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NMEROS 13

GRUPO FNIX

NMEROS NATURALESEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar aresolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionarun mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn caminoque no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1Rosy promete regalar a Denzel 2 colones el 1 de julio, 4 colones el 2 de julio, 8 colonesel 3 de julio, 16 colones el 4 de julio, y as sucesivamente hasta completar el mes. Es decir,cada da del mes, Rosy se compromete a regalar el doble de lo que regal el da anterior.

1) Cunto debe pagar Rosy el 31 de Julio?2) Te parece que podr cumplir su promesa?

Problema 2Determine lo que se solicita en los siguientes enunciados:

1) Si una potencia equivale a 10 y su base es 10 Cul es el exponente?2) Si una potencia equivale a 100 y su base es 10 Cul es el exponente?3) Si una potencia equivale a 1000 y su base es 10 Cul es el exponente?4) Si una potencia equivale a 27 y su base es 3 Cul es el exponente?5) Si una potencia equivale a 8 y su base es 2 Cul es el exponente?

Problema 3Escriba en forma de potencia los siguientes nmeros.1) 4 2) 9 3) 36

4) 49 5) 27 6) 125

7) 81 8) 144 9) 343

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14 NMEROS

GRUPO FNIX

NMEROS NATURALESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 1: Calcular expresiones numricas aplicando el concepto de potencia y la notacin exponencial

PotenciasUna potencia es una expresin matemtica compuesta por una base y un exponente de laforma ...n

n vecesa a a a a a b . Donde " "a es la base que se toma como factor tantas

veces como unidades tiene el exponente " "n y cuyo resultado de la operacin " "b , es lapotencia.

Ejemplo 1Potencia na 4x 8 n 10 y 4 w 7 r 25 313 1m 0pBase a x 8 10 4 7 5 13 m pExponente n 4 n y w r 2 3 1 0

Ejemplo 2Analicemos algunos casos de potencias

22

3 3 3 9veces

44

2 2 2 2 2 16veces

55

3 3 3 3 3 3veces

3 23 2veces vecesa a a b b a b

Trabajo cotidiano # 1

A. Determine las siguientes potencias, y escriba el resultado si es posible.1) 21 2) 31 3) 22 4) 42 5) 43

6) 24 7) 34 8) 25 9) 35 10) 06

11) 26 12) 07 13) 17 14) 0m 15) 1m

16) 2m 17) 3m 18) 4x 19) 5y 20) 5b

B. Escribe en forma de potencia los siguientes productos.1) a a a 2) 2 2 2 3) 3 3 3 3 4) 4 4 4 4 4

5) 5 5 5 5 5 5 5 6) 8 8 8 8 8 8 8 8 7) 3 3 3 3 4 4 4 4 8) a a a a m m m m

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NMEROS 15

GRUPO FNIX

NMEROS NATURALESPropiedades de las potencias

Propiedad Caso general Ejemplo

Multiplicacin de potenciasde igual base

Se conserva la base y sesuman los exponentes

n m n ma a a 1) 3 5 3 5 8a a a a

2) 10 8 10 8 185 5 5 5

Divisin de potencias deigual base

Se conserva la base y serestan los exponentes

n m n ma a a 1) 7 3 7 3 4m m m m

2) 10 8 10 8 25 5 5 5

Potencia de una potenciaSe conserva la base y semultiplican los exponentes

( )n m n ma a 1)

2)

Potencia de un productoSe eleva cada factor alexponente indicado

( )n n na b a b 1)

2)

Potencia con exponentecero

Todo nmero elevado a lapotencia cero es igual a uno

0 1a 1)

2)

Potencia con exponenteuno

Todo nmero elevado a lapotencia uno es igual almismo nmero.

1a a1) 14 4

2) 3 5 1 3 5 3 5(2 3 ) (2 3 ) 2 3

53 3 5 152 2 2 32 2 3 6a a a

( )x y n n x n ya b a b

4 4 4(2 ) 2b b

07 1

3 5 0(2 3 ) 1

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16 NMEROS

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 2Aplique en cada caso la propiedad de las potencias (Sugerencia: No es necesariodesarrollar la potencia)A. Multiplicacin de potencias de igual base

1) 2 22 2 2) 3 24 4 3) 5 35 5

4) 4 28 8 5) 6 33 3 6) 7 43 3

7) 2 4m m 8) 4 3x x 9) 2p p

B. Divisin de potencias de igual base1) 4 23 3 2) 6 44 4 3) 5 43 3

4) 9 74 4 5) 12 82 2 6) 18 154 4

7) 3a am m 8) 5 2m mb b 9) m px x

C. Potencia de una potencia1) 322 2) 323 3) 235

4) 235 5) 543 6) 242

7) 53a 8) 73b 9) 39c

D. Potencia de un producto1) 33x 2) 22 b 3) 35 m

4) 23 22 3 5) 22 23 2 6) 33 23 2

7) 53a b 8) 73m b 9) 39c d

E. Eleve a la potencia indicada las siguientes expresiones

1) 03 2) 07 3) 05

4) 02 37 4 5) 03 23 7 6) 13 22 3

7) 122 4 8) 13b 9) 19c

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NMEROS 17

GRUPO FNIX

F. Resuelva los siguientes problemas.1) Determine si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas:

1) 2 2 25 7 5 7 2) 2 2 26 2 6 2 3) 2 2 28 3 8 3

4) 2 2 29 3 9 3 5) 2 2 2a b a b 6) b b bm n m n

7) k k kh d h d 8) 4 4 4w y w y 9) 2 2 27 3 7 3

2) Los trabajadores de una construccin deben colocar un pedido de ladrillos, si los colocanen 16 pisos y en cada piso ponen 16 ladrillos Cuntos ladrillos habr colocado entotal? Exprese el resultado en forma de potencia.

3) Cuantos libros habr en 12 cajas si en cada caja hay 12 docenas Exprese elresultado en forma de potencia.

4) En un supermercado los refrescos se venden en paquetes de 4 latas. Si el dependienteapila las latas en 4 pisos y en cada piso pone cuatro paquetes de refrescos, Cuntaslatas habr colocado en total? Exprese el resultado en forma de potencia.

5) Mara ha preparado 5 bandejas de empanadas, cada bandeja tiene 5 filas deempanadas cada una Cuntas empanadas habr en total? Exprese el resultado enforma de potencia.

6) Exprese en forma de potencia las siguientes situaciones: Numero de discos si se compran 5 paquetes con 5 cada uno Numero de flores si se hacen 17 ramos con 17 flores cada uno Numero de trozos de pan si se parten 6 panes en seis pedazos cada uno

7) En una urbanizacin hay cuatro entradas, cada entrada tiene 4 escaleras, cadaescalera 4 pisos, y cada piso 4 puertas. Si en cada puerta hay 4 personas,Cuntas personas hay en esa urbanizacin?

8) Dos parejas de alumnos de stimo ao han preparado una fiesta para sus compaeros.Si cada uno lleva 2 cintas de colores en cada mano, en total Cuntas cintasnecesitaran preparar?

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18 NMEROS

GRUPO FNIX

NMEROS NATURALESEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar a

resolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un

mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn camino que

no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta obtenida.

Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1Miriam va a la feria con su padre para comprar las frutas que llevarn como meriendadurante la semana. Encuentran que el CNP sugiere, para esa semana, los precios quebrinda en la siguiente tabla:

Productos feria del agricultorProducto Unidadmedida

Precio enColones Producto

Unidadmedida

Precio enColones

Apio verde Kg 60040040027650100082582580030060350390

Limn Uno 50600850130030045600470325400675135250

Ayote sazn Kg Manga KgAyote tierno Uno Maracuy KgBanano Uno Mora KgBrcoli Kg Meln KgCamote Kg Naranja UnoCebolla seca Kg ampi KgCebolla tren Kg Papa KgColiflor Uno Papaya KgCoco Uno Pepino KgCulantro Rollo Pia UnoChayote sazn Uno Pltano UnoChayote tierno Uno Remolacha Uno

1) Si ellos compran 1 pia, 5 kilogramos de papaya, 8 naranjas y medio kilogramo demoras. Cunto pagaron en total?

2) Si ellos compran un cuarto de kilo de amp, 4 chayotes y dos kilos de papas. Cuntopagaron en total?

3) Si Mirian compra dos kilos y medio de cebollas, 5 bananos, y su pap compra 4pltanos y dos kilos de papas. Cunto pagaron en total?

4) Si compraron dos cocos, tres rollos de culantro y kilo tres cuartos de camote. Cuntopagaron en total?

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NMEROS 19

GRUPO FNIX

NMEROS NATURALESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 2: Resolver una combinacin de operaciones que involucre o no el uso de parntesisCombinacin de operaciones

El orden de prioridad para resolver operaciones es el siguiente:1) Efectuar las operaciones entre parntesis , corchetes y llaves 2) Calcular las potencias y races.3) Efectuar los productos y cocientes.4) Realizar las sumas y restas.

Nota: una estrategia de solucin es resolver de adentro hacia afuera , , Ejemplo 1 Ejemplo 2

Simplifique la expresin24 8 5 3

3 15

18

24 8 5 33 1518

Simplifique la expresin7 (5 2 2)

4

1

7 (5 2 2)7 (5 4)7 16

Ejemplo 3 Ejemplo 4Simplifique la expresin

35(2 5) 8 (7 2 3)

38 6

3 1

15 8

5(2 5) 8 (7 2 3)5(8 5) 8 (7 6)5(3) 8 (1)15 87

Simplifique la expresin2 33 (10 2 9) 3(12 3) 2 (7 3 2)

2 389 5 36 6

14 1108

126

18

3 (10 2 9) 3(12 3) 2 (7 3 2)9(5 9) 3(36) 8(7 6)9(14) 108 8126 108 818 826

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20 NMEROS

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 3A. Resuelva las siguientes operaciones manteniendo el orden establecido1) 8 5 2

2) 14 3 7

3) 11 6 3

4) 6 7+12 6

5) 8 3+18 3

6) 35 5 6 4

7) 12 10 4 2

8) 18 233 5

9) 7 7 4 7

10) 1210 2 8

11) 13 17 3 5

12) 12 243 6

13) 13 315 6

14) 23 3 4 12 10 2 2 15) 22 4 6 18 59 10 5 16) 38 13 14 2 10 5 5 17) 325 2 3 12 7 2 2 18) 5 4 2 47 2 2 10 2 2 3 19) 3 24 2 3 8 14 2 3 2

20) 2 2 25 8 2 3 2 7 3 3 4 3 3 21) 2 35 2 2 +5 2 6 12 6 3 8 3 2

22) 2 3 33 2 2 3 5 5 3 4 16 2 4 23) 4 2 3 2 22 12 3 4 3 2 2 5 150 12 24) 0 1 2 2 210 66 2 33 8 4 1 8 5 25 25) 2 3 2 2 22 16 2 8 5 4 16 9 5 24

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NMEROS 21

GRUPO FNIX

B. Resuelva los siguientes problemas1) Si 17 estudiantes viajan en autobs toda la semana y pagan 2000 por da cada uno

Qu ganancia obtiene el dueo del autobs si le paga al chofer 58 mil por semana?

2) Si Juan recarga su telfono con 2000 y realiza 3 llamadas de 4 minutos, 5llamadas de 2 minutos y manda 33 mensajes. Cunta recarga le queda si cadaminuto de llamada cuesta 30 y cada mensaje 5 ?

3) Cinco familias salen de paseo y han comprado 6 kilos de carne a 4 mil el kilo, 13mil en embutidos, y 41 mil en refrescos. Cunto debe pagar cada familia?

4) Una mquina etiqueta 85 botellas por minuto. Cuntas botellas etiquetar en total siest funcionando sin parar durante 5 das por semana ocho horas al da?

5) Una fotocopiadora hace 80 copias cada minuto. Cunto costarn todas las fotocopiasque puede hacer durante 5 horas, si cada fotocopia cuesta 9 cada una?

6) Carlos y Gabriela van a la librera Carlos compra 2 lapiceros en 90 y un folder en45 y Gabriela compra un cuaderno en 450 y tres postales a 20 cada una. Cuntodinero pagaron entre los dos?

7) Unos estudiantes deciden realizar una actividad para obtener dinero para el grupo por loque compran 40 chocolates en 3600 y los venden a 135 cada uno. Qu gananciaobtendrn por la venta de todos los chocolates?

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Conocimientos

Habilidadesespecficas Indicaciones puntuales

Teorade nmeros Algoritmo dela divisin Divisibilidad Factor Mltiplo Nmerosprimos

Nmeroscompuestos

Descomposicin prima

3.Aplicar el algoritmo dela divisin en laresolucin deproblemas.

4.Aplicar los conceptosde divisibilidad, divisor,factor y mltiplo de unnmero natural en laresolucin deproblemas endiferentes contextos.

5. Identificar nmerosprimos y compuestos.

6.Descomponer unnmero compuesto ensus factores primos.

7.Obtener el MnimoComn Mltiplo de dosnmeros aplicando elalgoritmocorrespondiente.

8.Obtener el MximoComn Divisor de dosnmeros aplicando elalgoritmocorrespondiente.

9.Plantear y resolverproblemas donde seutilice el MnimoComn Mltiplo y elMximo ComnDivisor.

Para trabajar con el algoritmo de la divisin, se puede plantear un problema. Como se indica en las Etapas 1: delaprendizaje de conocimientos.Se pide trabajar en el problema y exponer las estrategias usadas. En todo caso, para responder a las dos ltimas preguntasse deber emplear la divisin y analizar lo que sucede.El algoritmo de la divisin se puede utilizar para demostraciones muy sencillas, como por ejemplo probar que todo nmeronatural es par o es impar. Esto permite fortalecer el proceso Razonar y argumentar.La teora de nmeros permite retomar los conceptos y propiedades numricas estudiadas en la educacin Primaria y darlesun mayor nivel de profundidad.A travs del uso de la pregunta dirigida se pueden repasar estos conceptos. Por ejemplo, el o la docente (D) escribe en lapizarra el nmero 120 y puede dirigir un dilogo con sus estudiantes de la siguiente forma:D: Qu nmeros dividen al 120 y por qu?, Ester: Dos profe, ya que es un nmero par. D: Correcto. Dicho nmerotiene ms divisores?, Allan: S, el tres, dado que sus cifras suman un nmero que es mltiplo de tres. Tambin el cincopues termina en cero. D: Este nmero es mltiplo de 10 ? Melvin: S, porque 12 10 120 . D: Muy bien. (El o la docenteescribe lo siguiente:)a. 120 12 10 , b. 120 2 2 2 3 5 , c. 3120 2 3 5 , d. 120 =2 12 5 , D: Cul de las representaciones anteriorescorresponde a la descomposicin en factores primos del nmero 120 ? Xinia: La opcin b. y c. ya que las otras contienencantidades que no corresponden a nmeros primos.El uso de la pregunta dirigida en forma adecuada activa los procesos Comunicar y Razonar y argumentar. Por otra parte,permite fomentar un aprendizaje participativo y colaborativo. Luego, se pueden resolver problemas de nivel de reflexin,como los propuestos a continuacin para reforzar el manejo de los conceptos. Como se indica en las Etapas 1: delaprendizaje de conocimientos.Se puede desarrollar este tema por medio del componente histrico, proponiendo investigaciones acerca del uso de laCriba de Eratstenes, o bien los mtodos utilizados por los matemticos de la antigedad para generar nmeros primos.Por ejemplo: el matemtico suizo Euler (1707-1783) propuso una frmula que sirve para obtener nmeros primos: 2 41P n n n Sin embargo, para 41n el resultado es un nmero compuesto.

Se puede plantear el siguiente problema: Escriba todos los nmeros menores que 1000 en los que el producto de susdgitos sea 30 .Se puede introducir el tema a travs de problemas Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje deconocimientos.Se puede proponer problemas anlogos a los que permitieron introducir los problemas de la habilidad anterior. Es necesarioque se compartan las diferentes estrategias que usaron para resolver esta situacin. Luego se establecen los conceptos ylos algoritmos.

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NMEROS 23

GRUPO FNIX

TEORA DE NMEROSEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos



mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn camino

que no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta obtenida.


Problema 1Don Manuel va a poner losetas en el piso de una habitacin que mide 4 metros por 3metros, las losetas miden 30cm por 15cm . Se van a colocar de forma anloga a lo quese ve en la figura, con el lado mayor de la loseta paralela al lado mayor de la habitacin.

Las losetas pueden cortarse para que encajen en los extremos de cada fila de ellas. DonManuel le dio las dimensiones a su hijo y ste compr 135 losetas. Si no se quiebraninguna,

1. Le alcanzarn estas losetas a don Manuel?2. Le sobrarn?, si es as, Cuntas?3. Cuntas filas de losetas habr que colocar?4. Cuntas losetas por fila?

Exponga al resto de la clase las estrategias utilizadas para resolver este problema.

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24 NMEROS

GRUPO FNIX

TEORA DE NMEROSEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 2: Aplicar el algoritmo de la divisin en la resolucin de problemas

Algoritmo de la divisinEs una secuencia de instrucciones que cumpliendo etapa tras etapa se llegue a unasolucin requerida. Se puede utilizar para determinar si un nmero natural es par o impar.

Ejemplosa) Determine si 12 es par o impar

Nota:Todo nmero divido entre 2 y cuyoresiduo es 0 , es par, por lo tanto12 es par

b) Determine si 17 es par o impar

Nota:Todo nmero divido entre 2 y cuyoresiduo es diferente de 0 es impar,por lo tanto 17 es impar.

Trabajo cotidiano # 4A. Utilizando el algoritmo de la divisin determine si los siguientes nmeros son pares o

impares.1) 13

2) 15

3) 28

4) 34

5) 86

6) 102

7) 111

8) 1249) 234

10) 253

11) 239

12) 334

13) 402

14) 437

12 2612

0017 2

81601

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NMEROS 25

GRUPO FNIX


Habilidad # 3: Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y mltiplo de un nmero natural en laresolucin de problemas en diferentes contextos

Concepto de divisibilidad, factor y mltiploSe dice que un nmero a es divisible por otro b si existe un nmero ctal que a b c y se denota a b , a continuacin se presentan reglas que se debensaber.Divisibilidad ReglaPor 2 Si su ltima cifra es 0 o un nmero par.Por 3 Si la suma de sus cifras es divisible por 3Por 5 Si la ltima cifra, de un nmero es 0 5 .Por 6 Si se divide por 2 3y al mismo tiempo.Por 7 Cuando la diferencia entre el nmero sin la cifra de las

unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 unmltiplo de 7 . Ej: 343 34 3 2 = 28 28 7es mltiplo de

Por 10 Si la ltima cifra, de un nmero es 0 .

Trabajo cotidiano # 5A. Determine cuales nmeros naturales dividen las siguientes cantidades.1) 42) 9

3) 20

4) 17

5) 32

6) 64

7) 78

8) 189

9) 435

10) 243

11) 244

12) 44113) 456

14) 301

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26 NMEROS

GRUPO FNIX



Concepto de factorSon nmeros que se multiplican para obtener otro nmero

Ejemplosa) 3 4y son factores de 12

Porque 3 4 12b) 6 2y son factores de 12

Porque 6 2 12

Trabajo cotidiano # 6A. Determine todos los factores de los siguientes nmeros.1) 6

2) 8

3) 3

4) 20

5) 14

6) 16

7) 22

8) 30

9) 13

10) 19

11) 27

12) 32

13) 35

14) 49

15) 43

16) 64

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NMEROS 27

GRUPO FNIX



Concepto de mltiploLos mltiplos se forman al multiplicar un nmero por todos los nmeros cardinales 0,1,2,3..... . Esto significa que cada nmero tiene un conjunto infinito de mltiplos.

Ejemplosa) Determinar mltiplos de 0

0 0 0 00 0, 0 1, 0 2, 0 3......

b) Determinar mltiplos de 1

0 1 2 31 0, 1 1, 1 2, 1 3......

c) Determinar mltiplos de 5

0 5 10 155 0, 5 1, 5 2, 5 3......

d) Determinar mltiplos de 7

0 7 14 217 0, 7 1, 7 2, 7 3......

Trabajo cotidiano # 7A. Determine los primeros cinco mltiplos de los siguientes nmeros.1) 2

2) 3

3) 4

4) 6

5) 8

6) 9

7) 10

8) 11

9) 12

10) 17

11) 14

12) 15

13) 16

14) 25

15) 33

16) 41

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28 NMEROS

GRUPO FNIX


Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar

a resolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y

seleccionar un mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn

camino que no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta

obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1Determinar todos los posibles valores de los dgitos a y b tales que el nmero de 5 cifras1 2 1a b es mltiplo de 3 .

Problema 2Cuntas cifras tiene el nmero 15 172 5 ?

Problema 3Escriba todos los nmeros mayores que 5000 y menores que 11 000 que tienen elproducto de sus dgitos igual a 343 .

.

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NMEROS 29

GRUPO FNIX


Habilidad # 5: Identificar nmeros primos y compuestos

Nmeros primosTienen nicamente dos divisores eluno y el mismo nmero

Nmeros compuestosTienen uno o ms divisores distintosa uno y a s mismo

Ejemplos Ejemplos2, 3, 5, 7...... 4, 6, 8, 9......

Trabajo cotidiano # 8Utilizando el siguiente algoritmo complete la siguiente tabla.1) Empezamos con el 2 como primo y marcamos todos los mltiplos de 2 (es decir,

4, 6, 8 etc. Que sern compuestos )2) Se contina con el siguiente nmero no marcado en la tabla, en este caso el nmero 3

y marcamos todos los mltiplos de 3 (es decir 6 , 9 , 12 , etc. que sern compuestos )3) El siguiente nmero no marcado en la tabla es el 5 , que es primo y marcamos todos

los mltiplos de 5 (es decir 10 , 15 , 20 , etc. Que sern compuestos )1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

(Criba de Eratstenes. 276 a.C. 194 a.C.), podemos determinar tanto los nmeros primos como tambin los nmeroscompuestos.

Otra forma de obtener nmeros primos es la propuesta por el matemtico suizo Euler(1707-1783) 2 41P n n n . Sin embargo, para 41n el resultado es un nmerocompuesto.Nota : El nmero uno no se considera ni primo ni compuesto.

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30 NMEROS

GRUPO FNIX


Habilidad # 6: Descomponer un nmero compuesto en sus factores primos

Nmeros compuestos y sus factores primosLa descomposicin de un nmero compuesto en sus factores primos se realiza dividiendola cantidad, siempre por el primer nmero primo que lo divida.

Ejemplo 1Descomponer el 40 en sus factores primos

Forma correcta Forma incorrecta

4 no es un factor primo

Trabajo cotidiano # 9A. Descomponga si es posible los siguientes nmeros en factores primos.1) 12

2) 43

3) 32

4) 49

5) 36

6) 17

7) 44

8) 128

9) 156

10) 113

11) 64

12) 344

13) 256

14) 512

15) 1024

3

40 220 210 25 51 2 5

40 410 25 51 4 2 5

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NMEROS 31

GRUPO FNIX


Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar

a resolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y

seleccionar un mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn

camino que no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta

obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Ejemplo 1Lorena es una estudiante que utiliza una red social cada 6 das. Su amigo Luis accedecada cinco das y su hermano Alex ingresa cada 8 das. Si ellos coincidieron en su visita aesta red social el da 24 de julio,1. En qu fecha vuelven los tres a coincidir?

Ejemplo 2Damaris desarrolla un proyecto de bien social brindando ayuda a familias necesitadas. Ensu barrio, ella recogi 12 paquetes de frijoles, 18 paquetes de arroz y 30 tipos diferentesde pastas (fideos, caracolitos, lasaa, etc.). Ellos quieren hacer un pequeo diario quecontenga la misma cantidad de productos con el mayor nmero de ellos posible sin quesobre alguno.

1. Cuntos paquetes podrn hacer con estas caractersticas?

2. Cuntos productos de cada tipo (arroz, frijoles y pastas) tendr dicho diario?

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32 NMEROS

GRUPO FNIX


Habilidad # 7: Obtener el mnimo comn mltiplo de dos nmeros aplicando el algoritmocorrespondiente.

Mnimo comn mltiploEl mnimo comn mltiplo . .m c m de dos o ms nmeros naturales es elmenor nmero que es mltiplo de todos ellos.

Ejemplo 1 Ejemplo 2Forma terica Forma tradicional

Mnimo comn mltiplo de 4 5yLos mltiplos de 4 son

4,8,12,16, , 24,28,32,36, , 44 .20 40

Los mltiplos de 5 son5,10,15, , 25,30,35, , 45,50,...20 40

En este caso podemos ver que el 20 yel 40 , son mltiplos de 4 5y , pero el20 es el menor por lo tanto es el mnimocomn mltiplo.

Otra forma de encontrar el mnimo comnmltiplo de 4 5y es descomponer enfactores primos ambas cantidades ymultiplicar los factores.

Trabajo cotidiano # 10A. Determine el mnimo comn mltiplo de los siguientes nmeros.1) 2, 5

2) 3, 4

3) 4, 7

4) 5, 8

5) 6, 10, 3

6) 4, 5, 11

7) 5, 2, 12

8) 12, 4, 8

9) 6, 3, 4, 7

10) 3, 8, 9, 5

11) 4, 6, 8, 9

12) 10, 15, 20, 2

2

4 5 22 5 21 5 51 1 2 5 20

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NMEROS 33

GRUPO FNIX


Habilidad # 8: Obtener el mximo comn divisor de dos nmeros aplicando el algoritmo correspondiente.

Mximo comn divisorObtener el mximo comn divisor de dos nmeros aplicando el algoritmo correspondiente.El mximo comn divisor . .m c d de dos o ms nmeros es el mayor nmero quedivide a los nmeros en forma exacta.

Ejemplo 1 Ejemplo 2Forma terica Forma tradicional

Determine el mximo comn divisorde 12 18y

El 12 se puede dividir entre12 2, 12 3, 12 4 12 6y

El 18 se puede dividir entre18 2, 18 3 18 6y

En este caso podemos ver que el mayornmero que divide al 12 18y es el 6 ,por lo tanto decimos que el 6 es elmximo comn divisor.

Otra forma de encontrar el mximocomn divisor es descomponer en unoo ms factores primos iguales a lascantidades dadas.

Se multiplican los factores y este es el . .m c dEn este caso el 6

Trabajo cotidiano # 11A. Determine el mximo comn divisor de los siguientes nmeros1) 12, 10

2) 15, 30

3) 12, 24

4) 35, 49

5) 16, 24, 32

6) 64, 40, 72

7) 48, 64, 56

8) 56, 22, 88

9) 14, 28, 49, 77

10) 15, 25, 40, 60

11) 44, 66, 88, 64

12) 256, 128, 512, 64

1 2 1 8 26 9 32 3 6

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34 NMEROS

GRUPO FNIX


Habilidad # 9: Plantear y resolver problemas donde se utilice el Mnimo Comn Mltiplo y el Mximo ComnDivisor.

Trabajo cotidiano # 12A. Resuelva los siguientes problemas utilizando en cada caso el . .m c m y el . .m c d .

1) Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 2 , de 5 ode 8 pies de largo.

2) Cul es la menor suma de dinero con que se puede comprar un nmero exacto deconfites de 30 , 40 , 50 y 80 cada uno y cuntos confites de cada precio podracomprar con esa suma?

3) Si un constructor tiene tres tubos de 120 , 160 y 200cm cm cm respectivamente yquieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte nada. Determinetres longitudes posibles para cada pedazo.

4) Para comprar un nmero exacto de docenas de paletas de 80 la docena o un nmeroexacto de docenas de lpices a 60 docena, cul es la menor cantidad de dinero quese necesita?

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NMEROS 35

GRUPO FNIX

5) El director de un colegio le hace entrega a tres estudiantes tres grupos de cuadernospara que los repartan entre los compaeros, a uno le entrega 80 cuadernos, al otro 75y al otro 60 . Si cada uno debe repartir la misma cantidad. Cul es la mayor cantidadque podrn dar a cada compaero y cuntos estudiantes hay en el grupo?

6) Cul es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un nmero exactode minutos por cualquiera de las tres llaves que vierten: la primera 12 litros por minuto;la segunda 18 litros por minuto y la tercera 20 litros por minuto?

7) Hallar el menor nmero de chocolates necesario para repartir entre tres grupos de 20alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alumno reciba un nmeroexacto de chocolates y cuntos chocolates recibir cada alumno del primer, segundo ytercer grupo.

8) En un colegio hay 161 estudiantes de noveno, 207 de octavo y 253 de stimo y sedeben hacer grupos con la mayor cantidad de estudiantes posible y que todos seaniguales. Cuntos estudiantes deben haber en cada grupo y cuntas aulas se requierenpara atender al mismo tiempo a todos los estudiantes?

9) Tres corredores arrancan juntos en una carrera en la pista del estadio nacional. Si elprimero tarda 10 minutos en dar una vuelta, el segundo 11 minutos, el tercero 12minutos. Al cabo de cuntos segundos pasarn juntos por la lnea de salida y cuntasvueltas habr dado cada uno?

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36 NMEROS

GRUPO FNIX

10) Tres aviones salen de una misma ciudad, el primero cada ocho das, el segundo cadadiez das y el tercero cada veinte das. Si salen juntos de ese aeropuerto el da 2 deenero, cules sern las dos fechas ms prximas en que volvern a salir juntos?(febrero tiene 28 das).

11) Tres cajas contienen 1600kg , 2000kg y 3392kg de jabn respectivamente. El jabnde cada caja est dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible Cunto pesacada bloque y cuntos bloques hay en cada caja?

12) Los estudiantes de una seccin realizaron ventas para el grupo. El tesorero tiene tresbolsas con monedas en una tiene 4500 en otra 5240 y 6500 . Si todas lasmonedas son iguales y de la mayor denominacin posible, Cul es el valor de cadauna y cuntas hay en cada bolsa?

13) Se tienen tres extensiones de terreno una de 23675m , otro de 21575m y 22275mrespectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. Cul ha de ser la superficiede cada parcela para que el nmero de cada una sea el menor posible?

14) Mara tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de24 botones cada una y no sobra ningn botn. En la caja B tiene bolsitas de 20botones cada una y tampoco sobra ningn botn. El nmero de botones que hay en lacaja A es igual que el que hay en la caja B . Cuntos botones como mnimo hay encada caja?

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Conocimientos

Habilidadesespecficas Indicaciones puntuales

NmerosEnterosEnterosnegativosConcepto denmeroenteroRelaciones deordenRectanumricaValor absolutoNmeroopuesto

10. Identificar nmerosenteros negativosen contextosreales.

11. Plantear y resolveroperaciones yproblemasutilizando lasrelaciones deorden en losnmeros enteros.

12. Ubicar nmerosenteros en la rectanumrica.

13. Determinar elopuesto y el valorabsoluto de unnmero entero.

Muchas situaciones en contextos reales proporcionan informacin que tiene que ver con los nmeros negativos:temperaturas,ubicacin sobre o bajo el nivel del mar, dficit econmico, etc. Aunque en muchas ocasiones estas situaciones no presentanexplcitamente el signo menos (), se pueden modelar matemticamente utilizando dicho signo. Se puede proponerinformacin como la siguiente para que cada estudiante d un modelo: El ascenso durante el buceo, salir del agua Parainiciar el ascenso, se debe inspirar lentamente o dejar entrar un poco de aire en el chaleco para comenzar a ascender.Es necesario estar de cara al compaero para comprobar el ritmo de ascenso y el estado del otro. Se debe controlar lacantidad de aire que entra en el chaleco ya que la expansin de ste har que se acelere la ascensin. Un clculoadecuado consiste en ascender 15 metros por minuto hasta 5 metros de profundidad. En este punto muchosbuceadores realizan una parada de seguridad de 3 minutos por precaucin. Los ltimos 5 metros hasta la superficiedeben recorrerse en 1 minuto. Si se realiza una inmersin de des compresin, debe asegurarse que se realizan todaslas paradas de seguridad establecidas.Posteriormente, se implementan problemas donde se aproveche las formas grficas de representacin para su solucin. .Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos.Esta actividad permite usar las formas de representacin grfica en la resolucin de problemas. Se debe utilizar esto paraestablecer la existencia y representacin de los nmeros enteros negativos, as como otros contextos reales donde suelenser usados. Se puede plantear problemas donde se apele intuitivamente al ordenamiento de cantidades, luego establecerlas relaciones de orden en los nmeros enteros. Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos.Este tipo de problemas establece conexiones con otras reas y asignaturas. Por ejemplo, se podra elaborar una lnea detiempo con los aos en que ocurrieron hechos histricos relevantes antes y despus de nuestra era. Tambin, unarepresentacin de las temperaturas promedio caracterstica de los climas que se presentan en el mundo. Despus se puedeestablecer la nocin de recta numrica a partir de dichas representaciones. Posteriormente, se pueden plantear problemaspara reforzar la comprensin de estas relaciones en la recta numrica. Por ejemplo, en la interpretacin de la informacin queofrecen ciertos grficos estadsticos:Posteriormente, se pueden plantear problemas para reforzar la comprensin de estas relaciones en la recta numrica. Porejemplo, en la interpretacin de la informacin que ofrecen ciertos grficos estadsticos: Como se indica en las Etapas 1:del aprendizaje de conocimientos.Se puede iniciar con un problema que permita establecer la diferencia entre el valor relativo y el valor absoluto de un nmeroentero: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos.Se definir el valor absoluto de un nmero entero como la distancia que existe entre el nmero y el cero en la recta numrica.Es necesario utilizar el smbolo (smbolo de resta) para denotar el clculo del opuesto de un nmero dado. As el opuestode 31 se denotara simblicamente 31 31 y el opuesto de 24 24 24 24 24o bien Es conveniente verificar las propiedades con ejemplos numricos, tal como: un nmero entero y su opuesto tienen el mismovalor absoluto 6 6 Despus de asimilar las operaciones con nmeros enteros se puede proponer la verificacin de las siguientes propiedades:a b a b a b a b

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38 NMEROS

GRUPO FNIX

NMEROS ENTEROSEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos






Problema 1El yak es un animal que habita en las montaas del Tbet a unos 5000m sobre el niveldel mar y el cachalote vive 5900m ms abajo. Determine la altura en la que suele vivireste ltimo.

Problema 2La temperatura promedio en la ciudad de San Jos es de 25 C durante la estacinlluviosa. Ciudades como Nueva York pueden experimentar hasta 30 C menos. Describa aqu temperatura puede estar dicha ciudad. Respuesta: podra experimentar temperaturas dehasta 5 C bajo cero.

.

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NMEROS 39

GRUPO FNIX

NMEROS ENTEROSEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 10: Identificar nmeros enteros negativos en contextos reales

Nmeros enteros negativosEs un conjunto formado por todos los nmeros negativos que no tienen expansin decimal yel smbolo que se utiliza para representarlos es .

Notacin simblica Notacin por extensin.... 5, 4 , 3 , 2 , 1 ..., 5 , 4 , 3 , 2 , 1

EjemploAnalicemos algunas situaciones donde se evidencia la importancia de los nmeros enterosnegativos.

Situacin inicial Notacinsimblica Situacin opuestaNotacinsimblica

1) Una temperatura de100 sobre cero. 100

12) Una temperatura de100 bajo cero. 100

2) 100 metros sobre elnivel del mar. 100

13) 100 metros bajo elnivel del mar. 100

3) Una altura de 100metros. 100

14) Una profundidad de100 metros. 100

4) Una ganancia de1000 . 1000

15) Una prdida de1000 . 1 000

5) Caminar 10 pasos ala derecha. 10

16) Caminar 10 pasosa la izquierda. 10

6) Recorrer 200 metroshacia el Norte. 200

17) Recorrer 200metros hacia el Sur. 200

7) Recorrer 500 metroshacia el Este. 500

18) Recorrer 500metros hacia elOeste.

500

8) Aumentar 10kilogramos. 10

19) Disminuir 10kilogramos. 10

9) Ascender 2 pisos. 2 20) Descender 2 pisos. 2

10) Tener 1 000000 . 1 000000 21) Deber 1 000000 . 1 000 000

11) En el ao 500 D.C 500 22) En el ao 500 A.C 500

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40 NMEROS

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 13A. Complete el espacio subrayado escribiendo la notacin simblica que representa la

situacin descrita.

Situacin Notacinsimblica SituacinNotacinsimblica

1) Disminuir 7kilogramos. _____________

12) Una profundidad de15 metros. ____________

2) Una profundidad de500 metros bajo elnivel del mar. _____________

13) Una altura de 750metros sobre el niveldel mar. ____________

3) Una temperatura de80 bajo cero. _____________

14) Una altura de 12metros. ____________

4) En el ao 1321 A.C(Antes de Cristo). _____________

15) Una prdida de2 000 000 . ____________

5) Caminar 52 pasos ala derecha. _____________

16) Recorrer 125 metroshacia el Este. ____________

6) Caminar 48 pasos ala izquierda. _____________

17) Recorrer 350 metroshacia el Sur. ____________

7) Descender 8 pisos._____________

18) Recorrer 125 metroshacia el Oeste. ____________

8) Aumentar 7kilogramos. _____________

19) Una temperatura de80 sobre cero. ____________

9) Ascender 8 pisos._____________

20) Recorrer 350 metroshacia el Norte. ____________

10) Tener 875 ._____________

21) Una ganancia de1200000 . ____________

11) Deber 500 ._____________

22) En el ao 1435 D.C(Despus de Cristo). ____________

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NMEROS 41

GRUPO FNIX


El conjunto de los nmeros enterosEl conjunto de los nmeros enteros est formado por todos los nmeros negativos ypositivos que no tienen expansin decimal, incluyendo tambin al cero; el smbolo que seutiliza para representarlos es .

Notacin simblica Notacin por extensin

.... 4 , 3 , 2 , 1, 0, 1, 2 , 3, 4,....

0, 1, 2, 3, 4,... ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...

0 Subconjuntos de los nmeros enteros

Subconjuntos de Smbolo Notacin por extensinConjunto de los nmeros

naturales 0, 1, 2, 3, 4,...Conjunto de los nmeros

enteros negativos 1, 2 , 3 , 4 , 5 ,... Conjunto de los nmeros

enteros positivos 1, 2, 3, 4,...Conjunto unitario cuyo

elemento es cero No posee smbolo 0

Trabajo cotidiano # 141) Escriba tres notaciones por extensin que sean distintas de representar el conjunto de

los nmeros enteros.2) Represente en la recta numrica los primeros tres nmeros enteros positivos que sean

pares.3) Represente en la recta numrica los primeros tres nmeros enteros positivos que sean

impares.4) Represente en la recta numrica los primeros tres nmeros enteros negativos.5) Represente en la recta numrica los primeros tres nmeros enteros negativos que sean

divisibles entre cinco.6) Escriba el nombre de cuatro subconjuntos del conjunto de los nmeros enteros, escriba

tambin su respectivo smbolo y notacin por extensin.

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42 NMEROS

GRUPO FNIX







Problema 1En Santiago de Chile se ha registrado el promedio mensual (redondeado al entero ms

cercano) de las temperaturas durante el ltimo ao, como se muestra en la siguiente tabla:

MES Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic

TEM 22 30 29 19 10 5 6 9 0 2 6 10

1) Cul fue el mes donde hubo menor temperatura?

2) Cul fue el mes donde hubo mayor temperatura?

3) Cundo hubo mayor temperatura, en julio o en noviembre?

4) Ordene las temperaturas de menor a mayor.

5) Dibuje un termmetro donde se representen las temperaturas correspondientes a cadames.

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NMEROS 43

GRUPO FNIX


Habilidad # 11: Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las relaciones de orden en los nmerosenteros.

Relaciones de ordenMenor que

Mayor que

Igual que

Estar entre

Cualquier nmerocolocado a laizquierda de otroen la rectanumrica esmenor.

Ejemplo10 15

8 5

Cualquier nmerocolocado a laderecha de otroen la rectanumrica esmayor.

Ejemplo10 65 8

Dos o msnmeros soniguales si sonequivalentes.

Ejemplo5 58 8

Est entre otrosdos nmeros si esmenor que uno deesos nmeros,pero mayor que elotro.

Ejemplo12 13 11 8 2 5

Trabajo cotidiano # 15A. Complete utilizando los smbolos , , para cada uno de los siguientes pares de

nmeros enteros.1) 0 _______12) 2 _______ 03) 5_______ 64) 7 _______ 75) 7 _______ 36) 3_______ 47) 23_______148) 87 _______ 769) 112 _______ 211

10) 2_______ 311) 7 _______ 212) 8_______ 6 13) 4 _______ 7 14) 5_______ 9 15) 25_______ 17 16) 19 _______ 36 17) 98_______ 89 18) 203_______ 302

19) 2 _______ 020) 3 _______ 321) 4 _______ 9 22) 9 _______ 5 23) 7 _______ 1 24) 26 _______ 18 25) 26 _______ 26 26) 76 _______ 67 27) 67 _______ 67

B. Considerando a x un nmero entero, escriba un nmero que se encuentra entre lossiguientes pares de nmeros enteros.1) 4 9x 2) 3 5x 3) 2 7x 4) 1 4x 5) 0 6x

6) 2 1x 7) 3 3x 8) 5 2x 9) 5 0x 10) 11 7x

11) 10 1x 12) 12 10x 13) 72 67x 14) 30 24x 15) 23 20x

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44 NMEROS

GRUPO FNIX







Problema 1

A. En el siguiente cuadro aparecen las ganancias o prdidas en cada mes del ao2011 de una empresa:

1) En qu meses la empresa tuvo prdidas?2) En qu meses la empresa tuvo ganancias?3) En qu meses no hubo ni ganancias ni prdidas?4) Cul es la ganancia total en los primeros seis meses?5) Cul es la ganancia total en el segundo semestre?6) Cul fue la situacin de la empresa en los meses de mayo, junio, julio y agosto?

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NMEROS 45

GRUPO FNIX


Habilidad # 12: Ubicar nmeros enteros en la recta numrica

Recta numricaLa recta numrica o recta de coordenadas es una representacin geomtrica del conjuntode los nmeros enteros. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, lospositivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro(normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de larecta numrica y el conjunto de los nmeros enteros.

Ejemplo 1

Trabajo cotidiano # 16A. Escriba en los espacios indicados los nmeros que hacen falta para completar su

representacin en la recta numrica.1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

123 0

20 0

240

76 0

37 0

03 2 1 1 2 345 4 5

41 0

64 0

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46 NMEROS

GRUPO FNIX

B. Construya una recta numrica (lnea del tiempo), ubique alguno de los siguientespersonajes y comente con los compaeros cual fue su protagonismo en la historia.

Charles Darwin

Elena de Troya

Ernesto Guevara

Euclides

Galileo Galilei

Gandhi

Hypatia de Alejandra

Isaac Newton

Jess de Nazaret

Johannes Gutenberg

Juana de Arco

Julio Cesar

Karl Marx

Lenin

Leonardo da Vinci

Mao Tse-Tung

Marie Curie

Martin Luther King Jr

Miguel ngel

Miguel de Cervantes

Napolen Bonaparte

Nefertite

Niculas Coprnico

Nikola Tesla

Pablo Neruda

Pablo Picasso

Platn

Ramss II

AdolfoHitler

Albert Einstein

Aristteles

Arqumedes

Blaise Pascal

Sigmund Freud,

Confucio

Cristbal Colon

Simn Bolvar

Scrates

Teresa de Calcuta

Thomas Edison

Walt Disney

William Shakespeare

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NMEROS 47

GRUPO FNIX


Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar aresolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionarun mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn caminoque no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1Carolina sale de su casa y se dirige al hogar de su mam que se ubica 2 km al Sur delsuyo. Luego de saludarla y conversar con ella, le informan que su hermano Andrs (quienestudia en el extranjero y llevaba ms de 5 aos de no visitar a su familia) lleg a CostaRica y que se encuentra en su casa de habitacin, a 750m Norte de la casa de sumam por lo que ellas se dirigen para darle la bienvenida. Considerando como punto dereferencia la casa de Carolina:

1) Determine su ubicacin actual en metros.

2) Determine la distancia en metros que hay entre la casa de Carolina y la de su hermano.

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

48 NMEROS

GRUPO FNIX


Habilidad # 13: Determinar el opuesto y el valor absoluto de un nmero entero

El valor absolutoEl valor absoluto de un nmero entero es la distancia que hay entre el cero y cualquiernmero entero en la recta numrica; dicha distancia ser un nmero entero positivo o cero.

Ejemplo 1 Ejemplo 22 2

Representacin grfica

2 2

Representacin grfica

Ejemplo 3 Ejemplo 432 32 10 10

Algunas propiedadesa)

b)

c)

d) 2 3 2 3

e) 5 2 5 2

Trabajo cotidiano # 17A. Calcular el valor absoluto de los siguientes nmeros enteros.1) 2

2) 8

3) 10

4) 13

5) 37

6) 52

7) 5

8) 13

9) 12

10) 23

11) 48

12) 5

13) a

14) b

15) m

16) 19

17) 2a

18) 3b

02 1 13 20 1 31

a a

a b a b a b a b

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

NMEROS 49

GRUPO FNIX

B. Escriba en el parntesis si las siguientes expresiones son verdaderas (V), o falsa (F).

1) 3 8 3 8

2) 2 5 2 5

3) 4 5 4 5

4) 3 10 3 10

5) 6 12 6 12

6) 4 12 4 4

7) 3 11 3 11

8) m n m n

9) 2 3 2 3

10) 5 5a a

11) 5 8 5 8

12) 4 8 4 8

13) 6 12 6 12

14) 4 12 4 4

15) a b a b

16) x y x y

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

50 NMEROS

GRUPO FNIX


Habilidad # 13: Determinar el opuesto y el valor absoluto de un nmero entero

El opuestoDos nmeros enteros son opuestos si poseen el mismo valor absoluto y se encuentran ensentidos direccionales contrarios.

Ejemplo 1 Representacin grficaa a

Ejemplo 2 Representacin grfica

2 2y

Trabajo cotidiano # 18A. Determinar el nmero opuesto, el antecesor y el sucesor de los nmeros enteros que se

presentan a continuacin.Nmero entero Opuesto Nmero entero Opuesto1) 0

2) 7

3) 8

4) 12

5) 16

6) 20

7) 26

8) 32

1) _____________

2) _____________

3) _____________

4) _____________

5) _____________

6) _____________

7) _____________

8) _____________

9) 9

10) 12

11) 16

12) 20

13) h

14) m

15) a

16) a

1) _____________

2) _____________

3) _____________

4) _____________

5) _____________

6) _____________

7) _____________

8) _____________

0 22

aa 0

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

Conocimientos Habilidadesespecficas Indicaciones puntuales

Operaciones,clculos yestimacionesSumaRestaMultiplicacinDivisinPotenciasRacesCombinacinde operaciones

14. Resolver problemasaplicando sumas, restas,multiplicaciones ydivisiones de nmerosenteros.

15. Simplificar clculosmediante el uso de laspropiedades deconmutatividad yasociatividad de la adiciny multiplicacin

16. Calcular potencias cuyabase sea un nmeroentero y el exponente seaun nmero natural.

17. Utilizar las propiedadesde potencias pararepresentar el resultadode operaciones conpotencias de igual base.

18. Identificar la relacin entrepotencias y races comooperaciones inversas.

19. Calcular la raz de unnmero entero cuyoresultado sea entero.

20. Calcular resultados deoperaciones con nmerosenteros en expresionesque incorporen lacombinacin deoperaciones conparntesis o sin ellos.

21. Resolver problemas enlos que se apliquen lasoperaciones con nmerosenteros.

Para el caso de la suma y la resta, se puede esclarecer el concepto mediante el planteo de problemas. Porejemplo: Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientos. Aunque para resolver losproblemas anteriores no se requiere estrictamente el uso de nmeros negativos, se deber utilizar como unaforma de modelizar que ser til en diversas circunstancias. As, en la etapa de discusin se representarn losdatos con nmeros enteros positivos o negativos, de manera que se puedan enunciar estrategias que permitanestablecer los algoritmos correspondientes. En el caso del producto, se debe enfatizar la razn de la ley designos. Para ello, el docente puede plantear problemas Como se indica en las Etapas 1: del aprendizajede conocimientos. Sera interesante introducir la historia de los nmeros negativos al comenzar su estudio.Cuando se trata el producto de dos nmeros enteros negativos, se puede utilizar la nocin de nmero opuestopara justificar el signo que posee el resultado. Observe: 3 2 = 3 2 2 2 2 6 6 La divisin es con cociente entero y residuo cero. Por ejemplo si se desea resolver la operacin5 7 5 10 un estudiante puede resolver primero 5+5 luego 7 10 y finalmente se suman losresultados. Esto se justifica por la conmutatividad y la asociatividad de la suma y permite simplificar losclculos. Es importante la deduccin de las propiedades de potencias a partir de su definicin. Esto se puedelograr por medio del planteo de problemas anlogos al siguiente: problemas Como se indica en lasEtapas 1: del aprendizaje de conocimientos. Aqu se pretende que ante la imposibilidad de brindar unresultado, se busque una representacin alternativa del resultado: 563 Adems es importante que secomuniquen las estrategias utilizadas con el fin de lograr un aprendizaje ms activo y colaborativo. Laspropie

Séptimo 2014

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