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PROBLEMAS

NOTA: Su nmero de matrcula es ABCDEFGH; Nes el dgito de las unidadesde: F+2G.

Ejemplo: 78954263; 2 + 2(6) = 14; luego N = 4.

CODIFICACIN:1= A 3=C 5=E 7= BE 9= DE Solucin Imposible=AB

2= B 4=D 6=AE 8= CE 0= ADE Faltan datos=AC

Tomando un N=5

En un tringulo ABC, c=20+N, B+C =(121+N) y a+b=45+N. indique el dgito de las unidadesde:1. El lado a. (2 p)

6143.598071.296883.40*50*2

256883.4050cos.

2'

222

Carco

CC

446.23*

senC

senAca , 3857.666143.5954180180 CAB

5540.26*

senC

senBcb

Respuesta 3

2. El lado b. (2 p)Respuesta 6

3. La relacin entre el radio de la circunferencia inscrita y circunscrita (2 p)

Para hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita debemos hallar el rea del

tringulo:

Datos:c=25

A=54

a+b=50

En el tringulo ACB, segn los datos (dos lados y elngulo comprendido), estamos en el segundo caso

de resolucin de tringulos en el que existe una

nica solucin.

Aplicando el teorema de cosenos:

6883.40'

54cos*25*50*22550'

cos***2'

22

22

BC

BC

AcbacbaBC

BCba

cBCbaarco

CC

'**2

'cos.

2'

222

C

B

a

C

b

c

b

a+b

A

C/2

C/2

A

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La circunferencia inscrita siempre es menor que la circunferencia circunscrita, por lo tanto, la

relacin entre sus radios es menor a 1. Si nos piden las unidades, esta sera cero.

Respuesta 0

En un tringulo, se conoce ma = 10+N, ba = 8+N, ha = 4+N, siendo B obtuso, indique el dgito de las

unidadesde:4. El lado a. (2 p)

En el tringulo MOC, OC=R, MC=a/2 y OM=OP-MP, OP=R, OM=R-MP, MP=QM*Tag ().

()

Sabemos que el rea de un tringulo es:

Respuesta 4

5. El radio de la circunferencia circunscrita. (2 p)

Respuesta 2

6. El radio de la circunferencia inscrita. (2 p)Respuesta 2

Datos:ma=15; ba=13; ha=9

La prolongacin de la bisectriz AQ, coincide en

el punto P junto con OP, debido a que el arco

BP= arco PC.

Hallamos los ngulos y :

16.6296559L3 es mediatriz de AP, OP=R, el ngulo que

forman L3y OP es igual a .ha ba

ma

A

B C

O

R

MQ

P

L1

L2

L3

R

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CLAVEDERESPUESTAS

ProblemaValor de N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 21.5845 21.9833 22.3697 22.7428 23.1018 23.4459 23.7744 24.0864 24.3813 24.6582

2 23.4154 24.0166 24.6302 25.2571 25.8981 26.5540 27.2255 27.9135 28.6186 29.3417

3 0.49050 0.49252 0.49384 0.49452 0.49461 0.49418 0.49326 0.49189 0.49011 0.48795

4 10.1327 11.0293 11.9376 12.8541 13.7764 14.7031 15.6331 16.5658 17.5005 18.4369

5 10.5830 10.6053 10.8253 11.1578 11.5607 12.0103 12.4925 12.9986 13.5224 14.0599

6 1.32268 1.63535 1.94537 2.25348 2.56018 2.86581 3.17060 3.47472 3.77830 4.08144

RESUMEN DE CLAVES

N Clave N Clave

0 13000-1 5 36042-21 14010-1 6 37052-3

2 24010-1 7 47062-3

3 25021-2 8 48073-3

4 35031-2 9 49084-4

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TEORA

7. Construir grficamente el tringulo ABC, conociendo B, bby r (radio de la circunferencia

inscrita). (4 p)

Datos:

FIGURA AUXILIAR ANLISIS1. Se supone el problema resuelto.

2. Si fijamos OJ, Odista r de J.3. Desde Bse observa al segmento

OJ, bajo el ngulo B/2.4. B pertenece a la recta

perpendicular a OJ que pasa por

J.

5. Q pertenece a la prolongacinde BOy dista bbde B.6. Desde Hse observa al segmento

OQ, bajo el ngulo 90 y distar de O.

7. Cpertenece a la prolongacin deBJy HQ.

8. A pertenece al segundo lado delngulo B y a la prolongacin deQH.

9. Datos suficientes para hacer la

construccin.

CONSTRUCCIN (SNTESIS)1. Se traza arbitrariamente r (OJ)2. Bse encuentra en la interseccin de 2 L.G.s:

Arco capaz de segmento OJy nguloB/2.

Perpendicular a OJ, que pasa por J.

3. Qse encuentra en la interseccin de 2 L.G.s: Prolongacin de BO. Circunferencia de centro B y radio bb.

4. Hse encuentra en la interseccin de 2 L.G.s: Arco capaz de segmento OQy ngulo

90. Circunferencia de centro O y radio r.

5. Cse encuentra en la interseccin de 2 L.G.s: Prolongacin de BJ. Prolongacin de HQ.

6. Ase encuentra en la interseccin de 2 L.G.s:

Prolongacin del 2do lado del B. Prolongacin de QH.

Finalmente unimos los tres vrtices(A, B y C),construyendo el tringulo pedido.

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8. Construir grficamente un tringulo, conociendo bc, mc y hc. (4 p)

CONSTRUCCIN (SNTESIS)1. Se trazan dos rectas (L1y L2) paralelas a una distancia hc.2. Se traza sobre L2el punto C. Mse ubica en la interseccin de dos LGs:

Recta L1.

Circunferencia de centro Cy radio mc.

3. P se ubica en la interseccin de dos LGs:

Recta L1.

Circunferencia de centro Cy radio bc.

4. Se traza una recta perpendicular a L1 y que pasa por M(se llama L3).5. Q se ubica en la interseccin de dos LGs:

Recta L3.

Prolongacin de segmento CP.

6. O se ubica en la interseccin de dos LGs:

Recta L3.

Mediatriz de CQ.

7. A y B se ubican en la interseccin de dos LGs:

Recta L1.

Circunferencia de centro O y radio OC.

Ubicados los tres vrtices, se unen formando el tringulo pedido.

FIGURA AUXILIAR ANLISIS1. Se supone el problema resuelto.

2. Se fija L1y L2paralelas a una distancia hc.3. m es la circunferencia circunscrita altringulo ABC. O es el centro dem. El

ACP=PCB, por lo que la medida delarco AQes igual a la medida del arco QB.

4. La recta L3 es la mediatriz de AB quecontiene a Qy a O.

5. Se fija Csobre la recta L2.6. Mdista mcde Cy pertenece a L1.7. Pdista bcde Cy pertenece a L1.8. Qpertenece a L3y a la prolongacin de

CP.9. Oequidista de Qy Cy pertenece a L3.

10. A y Bdistan OC de O y pertenecen a larecta L1.

Conocidas las condiciones de los tres

vrtices, podemos pasar a la sntesis

construccin.

mcbc

C

BA P

hc

L2

L1

M

Q

L3

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Datos:

mcbc

hc

C

BA P

hc

L2

L1

M

Q

L3R1

R1

R2

R2

mc

bc