Segredos do Radical Duplo – Parte I Palmerim Soares

Meu objetivo neste artigo é mostrar um

novo método, simples e prático, de se obter mentalmente uma soma de radicais simples que seja equivalente a um radical duplo dado. Existe um conhecido macete para se fazer isso, mas ele não se aplica a radicais duplos

do tipo 4 7− , porque 7 não é múltiplo de 4. Porém, meditando sobre o assunto outro dia, acabei encontrando uma forma simples de calcular mentalmente esse tipo de radical duplo também. Para melhor compreensão do novo método, vou recordar brevemente o antigo macete.

Seja, por exemplo, “resolver”1o radical

duplo 5 24− . Como o segundo radicando, 24, é um múltiplo de 4, basta dividi-lo por 4 para obter 6 e, daí, é só calcular mentalmente dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja 5. Os números procurados são 3 e 2, que, colocados sob a forma de soma de radicais

simples, dão 3 2− . Assim,

5 24 3 2− = − . Da mesma forma, temos

5 24 3 2+ = + . Ficaria difícil, porém, aplicar esse mesmo procedimento num radical

do tipo 4 7− . Mas, como disse no início, mesmo nesse

caso há uma saída fácil e rápida. Para resolver

4 7− , multiplique ambos os radicandos por 4, obtendo 16 e 28, e agora basta encontrar dois números cujo produto seja 28 e cuja soma seja 16. Os números são 14 e 2, que, deverão ser escritos sob a forma de soma de radicais simples, porém divididos por 2:

14 2

2

−. Portanto,

14 24 7

2−

− = . Da

mesma forma, teríamos14 2

4 72

+ =+

.

Agora resolva mentalmente os radicais duplos a seguir, e confira a resposta no final do artigo.

a) 2 3− b) 3 5+ c) 4 15−

d) 3

22+ e)

73

4+ f) 11 5

4 2+

Você não vai encontrar radicais duplos do tipo d), e) e f) em livros, apostilas, ou na internet. Procure criar outros semelhantes.

1Neste artigo, “resolver” um radical duplo, significa transformar numa soma de radicais simples.

Passemos, agora, à justificativa da técnica.

O que fizemos foi aplicar o mesmo princípio da racionalização de denominadores, qual seja, multiplicar a expressão original por uma

fração do tipo xx ( ), cujo valor é 1, o

que não altera o valor da expressão original, mas modifica a sua forma, tornando-a mais conveniente para determinados cálculos. No

caso de radicais duplos do tipo 4 7− ,

podemos multiplicar por 2

2:

2 2 4 74 7 4 7

2 2

4 4 4 7 16 1122 2

⋅ −− = ⋅ − = =

⋅ − −= =

Caímos agora no caso mais antigo, em que o segundo radicando é um múltiplo de 4. Para resolver o radical duplo do numerador dessa fração, dividimos 112 por 4, que dá 28 e procuramos dois números que multiplicados dão 28 e somados dão 16, que são 14 e 2. Repare que 16 e 28 são, respectivamente, os produtos de 4 e 7 por 4. O segundo radicando, o número 7, foi multiplicado por 16 e o resultado, 112, foi dividido por 4. Multiplicar por 16 e dividir por 4 é o mesmo que multiplicar por 4, o que explica a nossa técnica.

Para finalizar, apresento o radical

duplo2 7

3 6 7− e convido você a resolvê-lo

sem usar a fórmula, mas aplicando as ideias discutidas neste artigo. No próximo artigo, darei a solução e mostrarei outros exercícios inéditos e interessantes de álgebra, geometria trigonometria e números complexos envolvendo radicais duplos.

Segredos do Radical Duplo – Parte I Palmerim Soares

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