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BACCALAURAT MALIEN SESSION DE JUIN 1984

SRIE : S.E.T MTI MTGC EPREUVE DE : MATHMATIQUES (Composition)

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A/ Soit E lensemble des matrices de la forme Ma,,b =

+

ababa 0

o a et b sont deux rels.

On pose I = M0, 1 ; J = M1, 0. 1/ Montrer que E est un sous espace vectoriel de base (I ; J) de lespace vectoriel sur IR des matrices carres dordre deux. 2/ Calculer J2. En dduire que si ME et ME alors M.ME. Montrer que (E ; + ; ) est un anneau commutatif unitaire. 3/ Quelles sont les matrices Ma,,b inversibles dans E ? Exprimer alors 1, baM dans la base (I ; J) B/ Dans ce qui suit b = 0 Soit V un plan vectoriel euclidien de base orthonorme ( ji ; ). Soit P un plan affine euclidien despace vectoriel associ V ; P est rapport au repre orthonorm (O ; ji ; ). Soit fa lapplication de P dans P dont lendomorphisme associ a pour matrice Ma,,0 dans la base ( ji ; ), et qui, au point O fait correspondre le point O(0 ; a + 3). 1/ Dterminer analytiquement fa . 2/ Pour quelles valeurs de a fa est elle une bijection ? Dterminer analytiquement sa bijection rciproque lorsquelle existe. 3/ Dterminer suivant les valeurs de a lensemble D des points invariants par fa. 4/ Dmontrer que seule lapplication f1 est une involution que lon caractrisera. 5/ fa est - elle une isomtrie ? 6/ Soit un rel strictement positif. Soit G le barycentre des points A( ; ) ; B( ; 2 ) ; C( ;

ln2 ) affects respectivement des coefficients 1, 2, 1. Trouver les coordonnes de G, en dduire la courbe dcrite par G quand varie. 7/ Soient A1, B1, C1 les images des points A, B, C par lapplication f1 ( dfinie en B/4). Soit G1 le barycentre du systme {( A1, 1) ; ( B1 ; 2) ; (C1 ; -1)}. Trouver une quation cartsienne de la courbe dcrite par G1 lorsque varie. C/ Soit (C) la courbe reprsentative dans le repre (O ; ji ; ) de la fonction numrique g dfinie sur *+IR par : g(x) =

x

xx ln22

++ .

1/ On considre la fonction h : *+IR IR : x a h(x) = x2 2lnx + 2. Etudier les variations de h et prciser le signe de h(x). (On ne demande pas de tracer sa courbe) 2/ Etudier les variations de la fonction g. Montrer que la courbe (C) a deux asymptotes que lon dterminera. Montrer que (C) coupe lune de ces asymptotes en un point que lon prcisera. Tracer la courbe (C ). 3/ Soit (C1) la transformation de ( C ) par f1 ( dfinie en B-4/)

a) Ecrire une quation de (C1). b) Montrer que (C) et (C1) ont les mmes droites asymptotes. Tracer (C1) dans le mme c) repre (O ; ji ; ). que ( C) sans tudier g1.

4/ Calculer laire de la partie du plan limite par la droite dquation x = 1, la droite dquation x = m ( m>1) et les courbes ( C) et (C1).

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BACCALAURAT MALIEN SESSION DE JUIN 1984

SRIE : S.E.T MTI MTGC EPREUVE DE : MATHEMATIQUES (Connaissance)

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m tant un rel, soit fm lapplication de IR dans IR dfinie pour tout rel x par fm(x) = ( x + m)e-x et (Cm) sa courbe reprsentative dans le plan muni dun repre orthonorm ( 0 ; ji ; ). A/ 1) Etudier les variations de fm. Prciser les points dinflexion et les branches infinies de la courbe (Cm). 2) Montrer que les valeurs qui annulent fm., fm. et fm. forment une progression arithmtique. Soit Hm le point de (Cm) o la tangente est parallle la droite ( 0 ; i ). Dterminer une quation cartsienne de lensemble ( ) des points Hm quand m dcrit . 3) Ecrire une quation cartsienne Dm en un point quelconque M0(x0 ; fm(x0)) appartenant (Cm). Montrer que pour x0 fix et m dcrivant , toutes les droites Dm ont en commun un point T dont les coordonnes ne dpendent pas de m.

B/ 1) Etudier le signe de fm+1(x) fm(x). Prciser la position relative des courbes (C0), (C1) et (C2). On pourra utiliser les valeurs numriques approches suivantes.

x -1 1/2 1 2 e-x 2,72 0,60 0,37 0,14

Construire les tangentes les aux courbes (C0), (C1) et (C2).aux points dabscisses 0 et 1. 2) Soit un rel tel que m< . Calculer laire A( ) de lensemble des points M(x ; y) du plan tels que :

)(0 xmfyxm

A( ) a-t-elle une limite lorsque tend vers + ? Si oui calculer cette limite.

C/ 1) Dmontrer par rcurrence sur lentier naturel non nul n que la drive dordre n de la fonction f existe et est donne par la relation )(1)1()()( xmfnxnmf =

2) tant un rel fix, on pose U0 = fm( ) et nIN*, Un = )()( nmf . Montrer que nIN*, Un-1 + Un = (1)n1e . Soit p *IN , calculer en fonction de , la somme S2p-1 = U0 + U1 + U2+.....+ U2p-1.

En dduire la somme S2p = =

p

iiU

2

0. Montrer que S2p = fm p( ).

3) Calculer la somme F2p = U0 + U2 +.....+ U2p = =

p

iiU

02 . Montrer que F2p = (p + 1)S2p.

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